matem financiera

UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja

MODALIDAD MODALID AD ABIERT ABIE RTA A Y A DISTANCIA ESCUELA DE BANCA Y FINANZAS

FINANCIERA M ATEMÁTICA FINANCIERA Guía didáctica 4 CRÉDITOS

1. Datos informativos

CICLOS

2 AUTOR: Ángel Romelio Muñoz Guamán

S T C E L P T U

CARRERAS

• Administración de Empresas Turísticas y Hoteleras.

3

• Administración en Gestión Pública

4

• Administración en Banca y Finanzas.

5

• Economía

• Contabilidad y Auditoría.

• Administración de Empresas.

Reciba asesoría virtual v irtual en: www www.utpl.edu.ec .utpl.edu.ec

MATEMÁTICA FINANCIERA Guía didáctica

Ángel Romelio Muñoz Guamán Corrector de estilo

Álida Jara R. UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA CC Ecuador 3.0 By NC ND Diagramación, diseño e impresión: EDITORIAL DE LA UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA Call Center: 593 - 7 - 2588730, Fax: 593 - 7 - 2611418 C. P.: 11- 01- 608 www.utpl.edu.ec San Cayetano Alto s/n Loja - Ecuador Derechos de autor: 022241 Tercera edición Séptima reimpresión ISBN-978-9942-00-184-9

Esta versión impresa, ha sido licenciada bajo las licencias Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimient Reconocimiento-No o-No comercial-Sin obras derivadas; la cual permite copiar, copiar, distribuir y comunicar públicamente la obra, mientras se reconozca reconozca la autoría original, no se utilice con fines comerciales ni se realicen obras derivadas. http://www.creativecommons.org/licences/by-nc-nd/3.0/ec/

Abril, 2012

2. Índice ....................... ....................... ....................... ........................ ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ................ 3. Introducción........... ...................... ........................ ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ................ .... 4. Bibliografía ..........

6 8

4.1 Básica ............ ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ........................ ....................... ....................... ....................... ..................... .......... 8 4.2 Complementaria ............ ........................ ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ........................ ....................... ............... .... 8

5. Orientaciones generales para el estudio............................................................ 9 6. Proceso de enseñanza-aprendizaje para el logro de ...................... ....................... ....................... ........................ ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ............ 10 competencias .......... PRIMER BIMESTRE

6.1 6.2 6.3 7.2

Competencias genéricas ........... ...................... ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ................ 10 Planificación para el trabajo del alumno ........... ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... .................. ...... 10 Sistema de evaluación evaluación (primero y segundo segundo bimestres) .......... ...................... ....................... ....................... .................. ...... 12 Orientaciones específicas para el el aprendizaje aprendizaje por competencias ........... ...................... ....................... ............ 13

CAPÍTULO 1: GENERALIDADES ............ ....................... ....................... ....................... ....................... ........................ ....................... ....................... ....................... ..................... .......... 14 ...................... ........................ ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ........................ ....................... ............... .... 14 1.1 Porcentaje .......... 1.2 Ley de signos ...................... ............................................. ............................................. ............................................. .............................................. .................................. ........... 17 1.3 Depreciación ..................... ............................................ .............................................. ............................................. ............................................. ...................................... ............... 18 1.4 Logaritmos y antilogaritmos ..................... ............................................ .............................................. .............................................. .................................. ........... 19 1.5 Series o progresiones .................... ........................................... .............................................. .............................................. ............................................. ...................... 23 1.6 Ecuaciones ....................... .............................................. .............................................. ............................................. ............................................. ...................................... ............... 24 .............................................. .............................................. .............................................. ............................................. ..................................... ............... 25 Autoevaluación 1 ....................... CAPÍTULO 2: INTERÉS SIMPLE ........... ...................... ....................... ........................ ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ............ 26

2.1. Interés .................. ..................................... ...................................... ..................................... ..................................... ..................................... .................. 26 2.2. Cálculo del valor actual o presente a interés simple .......................... ............................................. ......................... ...... 28 Autoevaluación 2 .................. ..................................... ...................................... ..................................... ..................................... ............................... ............ 30 CAPÍTULO 3: DESCUENTO ........... ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ........................ ....................... ................. ...... 31

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Descuento................. .................................... ...................................... ..................................... ..................................... .................................. ............... 31 Descuento racional .................. .................................... ..................................... ...................................... ..................................... ..................... ... 31 Descuento bancario, comercial o bursátil ................. ................................... ..................................... ............................... ............ 32 Valor actual actual con descuento bancario o valor efectivo ................... ...................................... ............................... ............ 33 Análisis de la relación descuento racional racional - descuento bancario y comparación comparación entre tasa de interés y tasa de descuento ................ ................................... ...................................... ..................................... ........................ ...... 34 Autoevaluación 3 .................. ..................................... ...................................... ..................................... ..................................... ............................... ............ 35

CAPÍTULO 4: ECUACIONES DE VALOR Y CUENTAS DE AHORRO ............ ....................... ....................... ....................... ....................... ...................... .......... 36

4.1 Ecuaciones de valor .................. .................................... ..................................... ...................................... ..................................... .................. 36 4.2 Cuentas de ahorro ................ ................................... ...................................... ..................................... ..................................... ...................... ... 37 4.3 Liquidaciones de intereses en cuentas de ahorro................. ................................... ..................................... ................... 39 Autoevaluación 4 .................. ..................................... ..................................... ..................................... ...................................... ............................... ............ 40

SEGUNDO BIMESTRE

6.5 Competencias genéricas ........... ....................... ....................... ....................... ........................ ....................... ....................... ....................... ....................... ................ 40 6.6 Planificación para el trabajo del alumno........... ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... .................... ........ 42 6.7 Orientaciones específicas para el el aprendizaje aprendizaje por competencias .......... ...................... ....................... ............. 42 CAPÍTULO 5: INTERÉS COMPUESTO ............................. ........................................ ....................... ....................... ....................... ........................ ....................... ..................... .......... 42

5.1. Interés compuesto compuesto ................ ................................... ...................................... ..................................... ..................................... ...................... ... 42 5.2. Comparación interés interés simple - interés interés compuesto ................. ................................... ..................................... ................... 42 Autoevaluación 5 .................. ..................................... ..................................... ..................................... ...................................... ............................... ............ 49 CAPÍTULO 6: ANUALIDADES O RENTAS.......... ...................... ....................... ....................... ........................ ....................... ....................... ....................... ....................... ............ 50

6.1. Anualidades o rentas................. ................................... ..................................... ...................................... ..................................... .................. 50 6.2. Gradientes.................. ..................................... ..................................... ..................................... ...................................... ............................... ............ 55 Autoevaluación 6 .................. ..................................... ..................................... ..................................... ...................................... ............................... ............ 56 CAPÍTULO 7: AMORTIZACIÓ AMORTIZACIÓN N Y FONDOS DE AMORTIZACIÓN ............ ....................... ....................... ....................... ....................... ........................ ............ 57

7.1. Amortización ................. .................................... ..................................... ..................................... ...................................... ............................ ......... 57 Autoevaluación 7 .................. ..................................... ..................................... ..................................... ...................................... ............................... ............ 61 CAPÍTULO 8: DOCUMENTOS FINANCIEROS ............ ....................... ....................... ........................ ....................... ....................... ....................... ....................... ................ .... 62

8.1. Sistema Financiero Financiero ................... ..................................... ..................................... ...................................... ..................................... .................. 62 8.2. Bonos .................. ..................................... ..................................... ..................................... ...................................... ..................................... .................. 62 8.3. Ta Tasa sa de interés real ................... ..................................... ..................................... ...................................... ..................................... .................. 63 8.4. Valor actual neto (VAN)................... ..................................... ..................................... ...................................... ............................... ............ 64 8.5. Ta Tasa sa interna de retorno ................. ................................... ..................................... ...................................... .................................. ............... 64 Autovaluación 8................. .................................... ..................................... ..................................... ...................................... .................................. ............... 67

7. Solucionario ........... ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ........................ ....................... ....................... ............ 68 ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ....................... ........................ ....................... ....................... ............ 85 8. Anexos............

PRELIMINARES

Guía didáctica: Matemática Financiera

3. Introducción Estimado estudiante, permítanme darle la bienvenida a este nuevo período académico en la carrera que ha elegido; es satisfactorio para mí, en calidad de docente de la asignatura de Matemática Financiera, desearle el mejor de los éxitos y poderle asistir en el proceso de entendimiento de los distintos temas propuestos. Matemática Financiera constituye una aplicación del vasto campo de las matemáticas; su estudio es un requisito dentro del pénsum de materias en la formación universitaria de profesionales para el 3 er ciclo en Contabilidad y Auditoría, Administración de Empresas, Administración en Banca y Finanzas con la asignación de 4 créditos; y 4 to ciclo para las carreras de Economía, Administración en Empresas turísticas y Hoteleras con 3 créditos. Su estudio o su conocimiento es indispensable para las actividades del área Administrativa, por cuanto requiere aplicar las matemáticas financieras en las operaciones de crédito, ahorros, inversiones, descuentos, depreciación, valor actual, negociación y utilización de documentos financieros, como pagarés, letras de cambio, cédulas hipotecarias, bono, pago de cupones, acciones, certificados de inversión, etc. El interés sobre los saldos deudores, también constituye una aplicación práctica de esta disciplina así como el financiamiento de obras, equipos, bienes o capital de operación de las empresas, mediante amortización gradual, la elaboración de tablas de amortización, se aplica como base para créditos a mediano y largo plazo, operaciones de seguros, análisis financieros y contables; en conclusión, se utilizan como herramienta principal en las actividades de la vida profesional de un Contador Auditor, Administrador, Financista, Economista o profesiones similares. La presente asignatura tiene como propósito, el dotarle de las herramientas necesarias en el análisis de los principales conceptos de las matemáticas financieras y proporcionarle las técnicas necesarias que permitan valorar como el dinero pierde o cambia su valor en diferentes períodos de tiempo y con ello aprovechar de la mejor manera este recurso con el fin de obtener mayores beneficios o rentabilidad. Con esta intención, amigo estudiante, le invito a adentrarse en el interesante mundo de las matemáticas a través de la investigación de otros textos, además del que le presentamos como texto básico; esto le permitirá adquirir mayores conocimientos y habilidades en la aplicación y manejo de los diferentes conceptos y temas que se tratarán más adelante, relacionados con la matemática financiera. Iniciaremos el estudio con el primer capítulo de generalidades con revisión de porcentajes, aplicaciones, actividades de ejercitación, actividades de autoevaluación y actividades de repaso. El segundo capítulo se refiere al interés simple, tasa de interés, fórmulas de cálculo, monto, valor presente o valor actual a interés simple, gráfica de tiempos y valores, el interés sobre saldos deudores, actividades de ejercitación, actividades de autoevaluación y actividades de repaso. El tercer capítulo analizaremos los tipos de descuento, comercial o bursátil, el valor actual con descuento bancario o valor efectivo, y comparación entre tasa de interés y tasa de descuento. Actividades de ejercitación, actividades de autoevaluación y actividades de repaso.

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PRELIMINARES

El cuarto capítulo incluye la utilización de las ecuaciones de valor, las cuentas de ahorro, actividades de ejercitación, actividades de autoevaluación y actividades de repaso. En el capítulo quinto se analizará el Interés Compuesto, la comparación de interés simple – interés compuesto, actividades de ejercitación, actividades de autoevaluación y actividades de repaso. El capítulo sexto se refiere a las anualidades o rentas, anualidades anticipadas, gradientes, actividades de ejercitación, actividades de autoevaluación y actividades de repaso. El capítulo séptimo trata de las amortizaciones y fondos de amortización o de valor futuro, actividades de ejercitación, actividades de autoevaluación y actividades de repaso. Finalmente el capítulo octavo incluye nociones sobre el sistema financiero, bonos, seguros, tasa de interés real, tasa de interés internacional, valor actual neto (VAN), tasa interna de retorno. Además se incluye actividades de ejercitación, actividades de autoevaluación y actividades de repaso. Mi nombre es Ángel Muñoz y estoy presto en ayudarles a resolver sus distintas inquietudes.

Les deseo éxitos en su carrera de estudante universitario.

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PRELIMINARES

4. Bibliografía 4.1 Básica -

Mora Zambrano, A. ( 2009). Matemáticas Financieras, Bogotá – Colombia: Grupo Editor S.A. Alfaomega.

El texto básico de Matemáticas Financieras de Armando Mora Zambrano, lo hemos tomado, porque está orientado a estudiantes de las ciencias Administrativas, Contables, Económicas, Bancarias y similares, en general, porque la metodología utilizada facilita al estudiante de modalidad a distancia, comprender e interpretar cualquier problema que se plantee en el mundo fantástico de las matemáticas financieras. Armando Mora Zambrano, es máster en Administración de Empresas MBA, y Profesor de destacadas universidades con más de treinta años de experiencia, lo que le ha permitido obtener la práctica necesaria para el desarrollo del presente libro, que reúne las condiciones para asimilar el contenido de las matemáticas financieras de forma sencilla y con gran variedad de ejercicios prácticos.

-

Muñoz Guamán, A.( 2009). Guía de Matemáticas Financieras, Loja – Ecuador, Editorial: UTPL.

Como apoyo para el aprendizaje se elaboró la presente guía de matemáticas financieras con el fin de facilitarle a usted, elementos indispensables para el manejo y aplicación del texto básico, especialmente respecto a las variables que se utilizarán en la resolución de problemas y ejercicios propuestos.

4.2 Complementaria 1.

Álvarez Arango, A. (1999). Matemáticas Financieras, Bogotá – Colombia: Editorial Mc Graw Hill, Interamericana. S.A. El presente texto se ha considerado como complementario porque nos permite acceder a los diferentes temas planteados para el presente ciclo, con la única diferencia respecto al texto básico, la nomenclatura y algunos temas como: valor presente neto y costo anual uniforme equivalente (Capítulo 7), evaluación financiera de alternativas de inversión (Capítulo 8), bonos (Capítulo 10), etc., mismos que son tratados con mayor profundidad.

2.

Díaz Mata, A. (1997). Matemáticas Financieras, México: Editorial Mc Graw Hill Interamericana, S.A. Otro de los textos que se lo ha tomado como complementario es de Alfredo Díaz Mata, por la cantidad de ejercicios propuestos y porque proporciona al estudiante las herramientas necesarias para evaluar la equivalencia del valor del dinero en diferentes tiempos y en diferentes circunstancias de la manera más sencilla y posible; es decir abordando los temas con menor complejidad matemática que el tema permite.

3.

Villalobos, José L. (2001). Matemáticas Financieras, México: Pearson Educación, S.A. Me permito recomendar este texto como complementario, toda vez que con la gran cantidad de ejercicios y problemas planteados y resueltos utilizando dos o más métodos y los diagramas de tiempos y valores, constituyen gran ayuda en especial a los señores estudiantes que han escogido la modalidad a distancia.



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PRELIMINARES

5. Orientaciones generales para el estudio Las matemáticas financieras que analizaremos son de vital importancia para los estudiantes de las diferentes carreras que desempeñarán actividades en el campo administrativo como son: Contabilidad y Auditoría, Economía, Administración de Empresas, Bancaria, Administración en empresas Hoteleras y turísticas, y carreras afines. Amigo estudiante, los materiales básicos a utilizar serán la calculadora, un formulario, texto básico y la guía didáctica. Por otra parte es necesario indicar que para obtener un mayor rendimiento en el estudio a realizar deberá hacerlo preferentemente en las mañanas, en un lugar adecuado que tenga ambiente tranquilo, cómodo y con mucha claridad, por lo menos una hora diaria en especial en el desarrollo de los ejercicios prácticos de aplicación, y trate de incluirlo en sus actividades diarias. Esta asignatura ha sido considerada para el análisis en los primeros ciclos de su formación profesional, por lo que es indispensable tener los conocimientos básicos adquiridos en Matemáticas I y II aprobadas en los ciclos anteriores. Debido a que esta asignatura se constituye como la aplicación de contenidos ya aprendidos, sería conveniente una ayuda memoria de los contenidos de las materias que son cadena. Las dificultades frecuentes en el estudio, son el despeje de las fórmulas en especial del tiempo y la tasa de interés, para lo cual se sugiere resolver las autoevaluaciones y comparar con sus respuestas, en el solucionario propuesto dentro de esta guía. Estudie detenidamente cada uno de los capítulos presentados, mediante cuadros resúmenes y el desarrollo de todos los ejercicios planteados, ya que sólo después de interiorizarlos y comprenderlos estará en capacidad para desarrollar satisfactoriamente las preguntas y actividades de aprendizaje propuestos al final de cada capítulo. Recuerde revisar la bibliografía complementaria, la misma que le ofrecerá información adicional para profundizar en el contenido de los diferentes temas propuestos. Analice detalladamente los ejemplos y ejercicios que se indican en el texto básico, eso le ayudará a relacionar la parte teórica con los hechos reales, además le permitirá comprender mejor los temas que se está tratando en cada capítulo. Por otra parte me permito recomendar que los problemas desarrollados, se lleven al campo práctico como es un préstamo bancario personal o familiar y analizar la conveniencia del mismo de acuerdo con la tasa de interés, así como también si desea comprar una póliza de “X” valor, previamente debe analizar la tasa de rendimiento. Señor estudiante, si encuentra dificultad en alguno de los temas, relacionados con la materia puede escribir al correo electrónico [email protected] y en caso de que no disponga de este medio, no dude en consultar en el horario de asesoría que lo encuentra en su guía didáctica, que estaré presto a dar la ayuda necesaria y si no ha sido posible en el horario indicado podrá hacerlo llamando a mi domicilio al teléfono 07 2 563034 a partir de las 20:00 a 22:00. Recuerde que cada bimestre debe entregar un trabajo a distancia que consta de dos partes, una de ensayo con valoración de dos puntos y otra de aplicación con la valoración de 4 puntos, este trabajo es obligatorio presentarlo en el centro regional en las fechas indicadas, pues constituye un requisito para que pueda rendir su evaluación presencial.

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PRIMER BIMESTRE

6. Proceso de enseñanza-aprendizaje para el logro de competencias PRIMER BIMESTRE 6.1 Competencias genéricas • Vivencia de los valores universales del Humanismo Cristiano. • Adquirir hábitos y técnicas de estudio eficaces. • Capacidad de abstracción, análisis y síntesis. • Capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica. • Conocimiento sobre el área de estudio. • Capacidad de aprender a aprender como política de formación continua. • Capacidad crítica y autocrítica. • Capacidad para identificar, plantear y resolver problemas. • Habilidad para trabajar en forma autónoma. • Capacidad para formular, diseñar y gestionar proyectos. • Capacidad para tomar decisiones. • Compromiso ético. • Motivación de logro.

6.2 Planificación para el trabajo del alumno COMPETENCIAS ESPECIFICAS * Utiliza modelos matemáticos en la solución de problemas financieros y de inversión de las organizaciones (Contabilidad y Auditoria).

INDICADORES DE APRENDIZAJE Interpreta y ejemplifica los conceptos de porcentaje, depreciaciones, progresiones, logaritmos y ecuaciones.

CONTENIDOS Unidades / Tema 1: Generalidades 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

* Planifica actividades de inversión, financiamiento y gestión de recursos financieros en la organización. (Administración en Banca y Finanzas).

Porcentaje Ley de signos Depreciación Logaritmos y antilogaritmos Series o progresiones Ecuaciones

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Lectura comprensiva del texto guía. Realización de las actividades recomendadas. Resolución del cuestionario de autoevaluación. Interacción en el EVA. Participación en el foro en el EVA. Inicio del desarrollo de la evaluación a distancia.


CRONOGRAMA ORIENTATIVO

(Tiempo Estimado)

Semana 1 y Semana 2 (8 horas de autoestudio y 8 horas de interacción)


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PRIMER BIMESTRE

* Aplica modelos estadísticos y matemáticos en el procesamiento de datos para la toma de decisiones, así como el desarrollo de estrategias de crecimiento empresarial. (Administración en Empresas)

Ejemplifica el cálculo del interés simple y sus variables (capital, tasa de interés, tiempo); así como también el cálculo del monto y del valor actual o presente.

* Identifica y Examinar críticamente la información contable y financiera de las organizaciones turísticas para gestionar los recursos financieros. (Administración de Empresas Turísticas y Hoteleras)

Interpreta y distingue lo esencial de los conceptos de descuento y redescuento tanto racional como bancario o bursátil.

3. Descuentos

* Examina aspectos contables y financieros de la empresa y la economía para la toma de decisiones. * Tomar decisiones de inversión, financiamiento y gestión de recursos financieros. (Escuela de Economía)

Aplica las ecuaciones de valor en problemas reales de empresas del sector público y privado.

4. Ecuaciones de valor y cuentas de ahorro

10

2. Interés simple 1.1. Interés. 2.2.Cálculo del valor actual o presente a interés simple.

Descuento Descuento racional Descuento bancario, comercial o bursátil Valor actual con descuento bancario o valor efectivo Análisis de la relación descuento racional descuento bancario y comparación entre tasa de interés y tasa de descuento

1.1 1.2 1.3


Ecuaciones de valor Cuentas de ahorro Liquidaciones de intereses en cuentas de ahorro

Lectura comprensiva del texto guía Realización de las actividades recomendadas Resolución del cuestionario de autoevaluación. Participación en el foro en el EVA Continuación del desarrollo de la evaluación a distancia

Semana 3 y Semana 4 (8 horas de autoestudio y 8 horas de interacción)


Semana 5 y Semana 6 ( 8 horas de autoestudio y 8 horas de interacción)





PRIMER BIMESTRE

6.3 Sistema de evaluación de la asignatura (Primero y segundo bimestres) 2. Heteroevaluación

Formas de Evaluación *

n ó i c a u l a v e o t u A . 1

Competencia: Criterio

s e d u t i t c A

s e d a d i l i b a H

s o t n e i m i c o n o C

Evaluación a Distancia** a v i t e e t r j a b P O

Prueba Presencial

n ó i A c V c E a r l e e t n n I e

e d o e y a t r s a n P E

a v a i b t e e j u r b P O

n ó i c a u l a v e o C . 3

Comportamiento ético

x

x

x

x

x

Cumplimiento, puntualidad y responsabilidad

x

x

x

x

x

Esfuerzo e interés en los trabajos

x

x

x

x

x

Respeto a las personas y a las normas de comunicación

x

x

x

x

Creatividad e iniciativa

x

x

x

x

Contribución en el trabajo colaborativo y de equipo

x

Presentación, orden y ortografía

x

Emite juicios de valor argumentadamente

x

Dominio del contenido

x

Investigación (cita fuentes de consulta)

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x x x

Aporta con criterios y soluciones

x

x

x

x

Análisis y profundidad en el desarrollo de los temas

x

x

x

x

PORCENTAJE Puntaje

e e d j a z a i i g d e t n e a r r t p s A E

10% 20% 30%

2

4

6

o t a a n l u a n ) a p t ó i c e i 1 l c n a o p a t u s l m m a i i o d v x á C ( e M

TOTAL

70%

14

20 Puntos

a v e l e s n e e d a y d i s v e i t l a c i A c n e s e r P

Para aprobar la asignatura se requiere obtener un puntaje mínimo de 28/40 puntos, que equivale al 70%. *Sonestrategiasdeaprendizaje,notienencalifcación;perodeberesponderlasconelfndeautocomprobarsuproceso

de aprendizaje ** Recuerde: que la evaluación a distancia del primer bimestre y segundo bimestre consta de dos partes: una objetiva y otra de ensayo, debe desarrollarla y entregarla en su respectivo Centro Universitario. Señor estudiante:

Tenga presente que la fnalidad de la valoración

cualitativa es principalmente formativa.



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PRIMER BIMESTRE

6.4 Orientaciones específcas para el aprendizaje por competencias Señor estudiante, es el momento de iniciar el aprendizaje.

CAPÍTULO 1: GENERALIDADES Para el estudio de Generalidades, deberá dirigirse al capítulo uno del texto básico. En especial se recomienda desarrollar los ejercicios y problemas de la actividad desarollar la autoevaluación.

Con el fin de proporcionar una mayor ayuda al estudiante en el aprendizaje de las Matemáticas Financieras, se incluyen algunos temas preliminares como un repaso de aquellos conceptos matemáticos sobre los cuales se basa en gran parte el contenido del texto. Estamos conscientes de que en la mayor parte de los casos, han olvidado los conceptos de porcentajes, depreciaciones, agotamiento, logaritmo, progresiones aritméticas y geométricas, en fin, se ha olvidado en parte de su formación matemática. Por esta razón, es necesario realizar una revisión y así familiarizarse nuevamente con estos temas y nada más apropiado que proporcionar la información adecuada para una buena nivelación y comprensión del resto de conceptos que se tratarán en el presente ciclo: los mismos que se irá en forma secuencial orientando y ampliando de acuerdo con el esquema anteriormente presentado. 1.1.

PORCENTAJE

¿Qué entendemos por porcentaje? Iniciaremos definiendo el término porcentaje o tanto por ciento. “Consiste en relacionar una cantidad con respecto a 100 y se expresa con el símbolo %. Cualquier número expresado en forma decimal puede ser escrito como porcentaje, colocando simplemente el punto decimal dos lugares a la derecha y agregando el símbolo %.”1

A continuación se plantean algunos ejercicios sobre este tema, que permitirán recordar lo antes aprendido, en el bachillerato. Por ejemplo: -

8% significa tomar 8 unidades de cada 100 50% significa tomar 50 unidades de cada 100 0,5% significa tomar 0,5 unidades de 100 8/100 = 0,08 = 8%; 50/100 = 0,5 = 50%; 0,5/100 = 0,005 = 0,5%.

En el campo práctico se utiliza con frecuencia el tanto por ciento fraccionario en las tasas de interés. Por ejemplo: 1

Mora Zambrano A. (2009) Matemáticas Financieras, Bogotá-Colombia: Alfaomega, p.14.

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PRIMER BIMESTRE

-

1 1/8% 11 3/8% 9 6/ 16% 12 4/16%

= 1, 125% = 11.375% = 9,375% = 12,25

= 0,01125 = 0,11375 = 0.09375 = 0,1225.

PROCEDIMIENTOS PARA EL CÁLCULO DE PORCENTAJES: 1. Dado un porcentaje respecto de una cantidad, encontrar la cantidad resultante. Utilizamos la regla de tres simple, o se multiplica directamente la cantidad por el porcentaje, expresando en forma decimal.

Ejemplo Calcular el 12% de $800,00 -

POR REGLA DE TRES SIMPLE

800 = 100% X = 12% (800) (12) X = ------------- = $96.00 100 -

DIRECTAMENTE (800) (0.12) = $ 96.00

2.

Dada la cantidad resultante, encontrar el porcentaje respecto de una cantidad. Aplicamos la regla de tres simple, o se divide la cantidad dada, entre los resultantes multiplicada por cien.

Ejemplo ¿Qué porcentaje de $ 600.00 es $ 90.00? a.

600 = 100% 90 = X% (90) (100) X = --------------- = 15% 600

b.

(90) (100) X = ---------------- = 15% 600



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PRIMER BIMESTRE

APLICACIONES Las aplicaciones más comunes son: Descuento por compra al contado Calcular el valor de la factura de venta de un televisor de 32 pulgadas cuyo precio de lista es de $ 680.00, si se ofrece el 15% de descuento por venta al contado.

Primer procedimiento $ 680,00 precio de lista - 102.00 15% descuento ($ 680.00) (0,15) -----------$ 578.00 valor de la factura. Segundo procedimiento: $. 680.00 (1 – 0,15) = $ 578.00 Descuento por compra al contado con aplicaciones de impuestos. Calcular el valor de la factura de venta de un equipo de sonido cuyo precio de lista es de $ 280.00 con el 15% de descuento por compra al contado, si se aplica el 12% de impuesto a las ventas.

Primer procedimiento $ 280.00 precio de lista -42.00 15% descuento ($ 280 .00) (0,15) --------------$ 238.00 precio con descuento + 28.56 impuesto a las ventas ($238.00) (0.12) --------------$ 266.56 Valor de la factura de venta.

•

Segundo procedimiento $ 280.00 (1- 0,15) = $ 238,00. $ 238.00 (1+0,12) = $ 266,56 Cálculo del porcentaje del precio de costo Ejemplo Un comerciante desea obtener una utilidad o beneficio del 25% sobre el precio de costo de un producto que adquirió en $ 800.00; calcular el precio de venta.

Primer procedimiento Precio de venta = Precio de costo + utilidad Precio de venta = $ 800,00 + $ 800,00 (0.25) Precio de venta = $ 800.00 + $ 200.00 Precio de venta = $1,000.00 14




PRIMER BIMESTRE

Segundo procedimiento Precio de venta = $ 800.00 (1+ 0,25) = $ 1,000.00

Cálculo del porcentaje sobre el precio de venta Ejemplo Un comerciante desea vender computadoras portátiles que tienen un costo de $ 2.200,00, con una utilidad del 20% sobre el precio de venta. Calcular el precio al que puede vender cada computadora.

Primer procedimiento Precio de venta = Precio de costo + utilidad Precio de venta – utilidad = Precio de costo Precio de venta - [ 0,20 ( precio de venta) ] = 2.200,00 PV (1 -0,20 ) = 2.200,00 PV (0 ,80 ) = 2.200,00 PV = 2.200,00 0,80 PV = $ 2.750,00

Segundo procedimiento Precio de venta ( 1-0,20 ) = 2.200,00 PV ( 0,80 ) = 2.200,00 PV = 2.200,00 0,80 PV = $2.750,00 Otro de los temas que consideramos de suma importancia para la resolución de operaciones es el manejo adecuado de la ley de signos, en razón de que, al ser más utilizadas trae como consecuencia resoluciones erróneas de los ejercicios. Cabe recalcar que esta información no consta en la bibliografía indicada, ya que se trata de un extracto de la Matemática Básica 1.2.

LEY DE SIGNOS

•

El producto de dos factores de igual signo es siempre positivo.

Ejemplo 5(5) = 25 (-6) (-2 ) = 12. •

El producto de dos factores de signos diferentes es siempre negativo.



15


PRIMER BIMESTRE

Ejemplo (-7) (3) = - 21 (9) (-4) = -36.

División El cociente entre dos números del mismo signo es siempre positivo.

•

Ejemplo 30/5 = 6

y

- 40/ - 10 = 4

El cociente de dos números de signos diferentes es siempre negativo.

•

Ejemplo 84/ 7 = - 12

•

y

55/ - 11 = - 5.

Una vez que hemos recordado las leyes de los signos y estar seguros de su correcta aplicación, será fácil la resolución de cualquier ejercicio completo con operaciones indicadas, de tal forma que al momento de resolver los problemas planteados, usted podrá hacer uso de lo aprendido en el texto básico como las indicaciones dadas en la presente guía.

Ejemplo: (- 30 + (- 5)/ ((-2) (3) + 1) (- 30 – 5)/ (-6 + 1) = - 35/ -5 = 7. Si revisamos el ejercicio desarrollado, se observa que hemos aplicado las leyes de los signos de las cuatro operaciones matemáticas fundamentales (suma, resta, multiplicación y división); mismas que le serán de mucha ayuda para la solución de los problemas propuestos del texto básico y la actividad de auto evaluación que se adjunta al final de cada capítulo. 1.3.

DEPRECIACIÓN

Señor estudiante, la tipificación de los métodos de depreciación se clasifican en métodos de depreciación contable y métodos de depreciación económica y se encuentran desglosados en el texto básico, en el capitulo 1. A Continuación le adjunto algunos ejercicios para mejorar la comprensión del tema. De estos métodos los de uso común son los métodos uniforme o de línea recta y el método por porcentaje fijo o método legal.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE LOS DOS MÉTODOS Calcule la depreciación al 31 de diciembre de 2008 de un vehículo Forsa II, cuyo costo actual es de $ 11,200.00, adquirido el 1º de enero/08; y para el cual se estima un valor residual de $ 140.00 y una vida útil de diez años.

•

16




PRIMER BIMESTRE

SOLUCIÓN BAJO LOS DOS MÉTODOS 1.

MÉTODO POR PORCENTAJE FIJO O LEGAL:

D

= (V/actual – V/ residual) % = ($ 11,200.00 - $ 140.00) 20% = ($ 11,060.00) 0,20 = $ 2, 212.00 (depreciación por año)

NOTA: Esta cifra es el tope del gasto deducible aceptable por el Ministerio de Finanzas, para efectos tributarios.

2.

MÉTODO LÍNEA RECTA: D =

V/actual – V/residual Nro. Años vida

$ 11,200.00 - $ 140.00 $ 11,060.00 = ---------------------------------- = ----------------------10 10 = $ 1,106.00 (depreciación por año) 1.4.

LOGARITMOS Y ANTILOGARITMOS

Para el desarrollo del presente tema confróntese con los contenidos del texto básico en el capitulo 1. Al tratar este tema estudiaremos únicamente la parte que tiene aplicación en la resolución de problemas de matemáticas financieras, y de ella, los que aún si se utilizan calculadoras electrónicas de bolsillo no pueden resolverse directamente y requieren explicación.

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS2 1. Los números negativos no tienen logaritmos. 2. La base de un sistema de logaritmos no puede ser negativo. 3. En cualquier sistema de logaritmos, el logaritmo de 1 es cero. 4. Todo número mayor que la unidad tendrá logaritmo positivo. 5. Todo número menor que la unidad tendrá logaritmo negativo Es importante tener presente los siguientes conceptos elementales sobre este tema: El logaritmo de un producto de dos o más números positivos, es igual a la suma de los logaritmos de dichos números. Log (A) (B) = Log A + Log B.

2

Álvarez Arango, A., (1999). Matemáticas Financieras , Bogotá – Colombia: Mc Graw Hill, Interamericana. S.A., p. 16. UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA


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PRIMER BIMESTRE

Ejemplo Log (2) (4) = Log 2 + Log 4

El logaritmo de un cociente de dos números positivos, es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador. Log A/B = Log A – Log B

Ejemplo 4 Log --------- = Log 4 – Log 2 2

El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicador por el logaritmo de la base. Log An = n log A Ejemplo Log 43 = 3 log 4

El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad subradical dividida por el índice de la raíz.

NOTA:

ANTILOGARITMOS Si L = log N, N es llamado antilogaritmo de L y se denota como N = antilog L cuando L = log N.

Por ejemplo: 200 = antilog 2.301030

ya que log 200 = 2.301030

0,5 = antilog 0,698970 – 1

ya que log 0,5 = 0,698970 – 1

El antilogaritmo de un logaritmo dado puede ser determinado utilizando una calculadora electrónica o por medio de tablas.

3

Díaz Mata, A. (1997). Matemáticas Financieras, México,: Mc Graw Hill Interamericana, S.A. pág. 17

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PRIMER BIMESTRE

Ejemplos: Dado el log 8.37 = 0,922725 determine el antilogaritmo de los siguientes logaritmos. a. b. c. d. e.

2. 922725 1. 922725 0. 922725 – 3 3. 922725 0. 922725 – 1

SOLUCIÓN a. b. c. d. e.

Antilog 2.922725 = 837.00 Antilog 1.922725 = 83.70 Antilog 0.922725 – 3 = 008370 Antilog 3.922725 = 8370.00 Antilog 0.922725 – 1 = 0.8370

Los logaritmos han perdido importancia ante el advenimiento de las calculadoras y computadoras electrónicas que permiten la realización de complejas operaciones aritméticas con rapidez y precisión. Sin embargo, aún deben utilizarse los logaritmos para encontrar la solución de una ecuación o problemas planteados.

Ejemplos: Resuelva las siguientes operaciones por medio de logaritmos: a. b.

85 347 X 15 274 ----------------------125 386 (0.03768)2 (6.354428)6

SOLUCIÓN: a.

log

85 347 x 15 274 ------------------------125 386

antilog 4. 016892 b.

log

= log 85 347 + log 15 274 – log 125 386 = 4. 931188 + 4. 183953 – 5. 098249 = 4. 016892 = 10 396. 62

( 0,03768)2 ( 6. 354428 )6

= 2 log 0.03768 + 6 log 6. 354428 = 2 ( -1. 423889 ) + 6 (0. 803076) = -2. 847778 + 4. 818456



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PRIMER BIMESTRE

= 1. 970678 antilog 1. 970678 = 93. 471239. Existen problemas que sólo pueden resolverse mediante el uso de logaritmos; por ejemplo: El tiempo en que un capital quintuplicará su valor dada una tasa de interés de 5% mensual es de aproximadamente 33 meses.

a.

Determine el valor de n ( números de períodos de conversión ) si n representa semestres, y 4 500 ( 1+ 0. 25 )-n

= 600

log 4500 + - n log ( 1.25 )

= 600

•

n log 1. 25

= log 600 – log 4 500

•

n (0.096910)

= 2. 77915125 – 3.653212514

b.

n

0. 87406126 = --------------------0. 096910

n

= 9. 02 semestres

Determine el valor de n ( número de pagos periódicos ) si n son trimestres, y ( 1 + 0.18 )n -1 = 12 0.18

DESARROLLO: c.

Por logaritmos: ( 1 + 0.18)n - 1 = ( 1 + 0.18)n - 1 = ( 1 + 0.18)n = ( 1.18)n = n log 1.18

12 (0.18 ) 2.16 2.16 + 1 3.16 =

log 3.16

log 3.16 n = ------------log 1.18 0.499687082 n = -----------------0.071882007 n = 6.95 pagos trimestrales

20



PRIMER BIMESTRE

1.5.


SERIES O PROGRESIONES

Una serie es una sucesión de términos que obedecen a una ley de formación.

Ejemplo 1, 2, 3, 4, 5 6, 8, 10, 12 4, 8, 16, 32 Las progresiones se pueden aplicar para la resolución de problemas, Así tenemos que éstas pueden ser: progresión aritmética y progresión geométrica; así:

PROGRESION ARITMÉTICA Es una serie de números, llamados términos, en la que cualquier término posterior al primero puede obtenerse del anterior, sumándole (o restándole) un número constante llamado diferencia común (d) 4.

Ejemplo 6, 12, 18, 24 En este caso la diferencia es de 6 El primer término es 6 El último término es 24

Ejemplo Por la compra de una casa una persona paga al final del primer año la cantidad de 5,500 dólares; al final del segundo año 5,000 dólares; al final del tercer año 4,500 dólares. ¿Cuánto pagará por la casa si realiza 10 pagos? 5,500; 5,000; 4, 500;…….; es una progresión aritmética cuya diferencia es -500 en razón de que es progresión decreciente; por lo tanto se debe calcular el último término, en el presente caso término décimo. U = a + (n-1) d U = 5, 500 + (10 – 1) ( - 500) U = 5,500 + (9) (-500) U =5, 500 – 4,500 U = 1,000 Para encontrar el costo total de la casa se aplica la fórmula de la suma, así: S = n/2 ( a + u) S = 10/2 (5,500 + 1, 000) S = 5 (6,500) S = 32,500 (Costo total) 4

Mora Zambrano, A. (2009). Matemáticas Financieras, Bogotá-Colombia: Alfaomega, p. 24.



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PRIMER BIMESTRE

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA “Es una sucesión de números tales que cada uno de ellos se deduce del anterior multiplicándolo o dividiéndole por una cantidad constante llamada razón.”(Diccionario Enciclopédico Universal, 1980, Valencia)5

Ejemplo En una institución pública se constata que al 31 de diciembre de 1999, el equipo de computación tiene un valor de 1,800 dólares. Si al final de cada año se deprecia el 20%. ¿Cuál será su valor después de 10 años? Valor inicial: 1,800 dólares Final del primer año: 1,800 – 1,800 (0,20) 1,800 (1-0,20) = 1,800 (0,80) Final del segundo año: 1, 800 (0,80) – 1, 800 ( 0, 80 ) ( 0, 20) = 1, 800 (0, 80) (1 – 0, 20) = 1, 800 (0,80)² Se puede escribir la progresión geométrica 1, 800 + 1, 800 (0, 80) + 1, 800 (0, 80)² +1,800(0, 80)³ … U = a r n-1 U = 1, 800 ( 0, 80) = 1,800 ( 0, 134217728)9 U = 241. 592 dólares. Valor al final del décimo año. 1.6.

ECUACIONES

Le invito a leer detenidamente el capítulo 1, del texto básico en lo relacionado con la unidad de ecuaciones, ya que trata de conocimientos de matemática básica. Si tiene la oportunidad y desea ampliar sus conocimientos sobre este capítulo, le sugiero referirse a los textos complementarios de Alfredo Días Mata y Víctor Manuel Aguilera Gómez, y José Luis Villalobos, Matemáticas Financieras, a las páginas 2 a la 41. y 2 a la 35, respectivamente, en el orden indicado.

Actividades recomendadas -

Señor estudiante, le recomiendo desarrollar las actividades de repaso que se encuentra en las páginas de la 33 a la 36 del texto básico, y de esta forma estar seguros de los conocimientos asimilados en este primer capítulo.

5

Díaz Mata, A. (1997). Matemáticas Financieras , México: Editorial Mc Graw Hill Interamericana, S.A. pág. 17. 22




PRIMER BIMESTRE

Autoevaluación 1 Aplicando la regla de tres simple y directamente, calcular: 1.

2.

a. EL 15% de $ 500.00 dólares b. El 12% de $ 800.00 dólares c. El 25% de $ 320.00 dólares. ¿De qué cantidad es $ 240.00 el 15%?

3.

¿De qué cantidad es $360.00 el 18%?

4.

¿Qué porcentaje de $ 1,200.00 dólares es $ 45.00 dólares?

5.

¿Qué porcentaje de $ 2,500.00 dólares es $ 85.00 dólares?

6.

Descuento por compra al contado con aplicación de impuestos

7.

Calcular el valor de la factura de venta de un televisor cuyo precio de lista es $380.00 dólares, con el 8% de descuento por compra al contado, si se aplica el 12% de impuesto a las ventas.

8.

Un comerciante desea obtener una utilidad del 25% sobre el precio de costo de un artículo que adquirió en $ 12.00 dólares; calcular el precio de venta.

9.

Una firma desea vender equipos de sonido que tiene un costo de lista de $ 400.00 dólares, con una utilidad del 28% sobre el precio de venta. Calcular el precio al que puede vender cada equipo de sonido.

10. Utilizando logaritmos y calculadora, calcular (i): a. b.

(1 + i)50 = 4,383906019 (1 + i)25 = 3,386354941

11. Calcular n: (1 + 0,05)n = 80,73036503. 12. Calcular el término 15 y la suma de los 15 primeros términos de la progresión: 6; 14; 22; 30;........ 13. Aplicación de progresiones a un problema: a.

Por la adquisición de un automóvil, una persona paga al final del primer año $ 1,200.00 dólares, al final del segundo año; $ 1,150.00 dólares, y al final del tercer año $ 1,100.00. ¿Cuánto pagará por el automóvil si hace 15 pagos.

Hemos concluido el primer capítulo de los temas de estudio, es el momento de verificar las respuestas en el solucionario 1.



23


CAPÍTULO 2: 2.1.

PRIMER BIMESTRE

INTERÉS SIMPLE

INTERÉS

¿Qué significado tiene el interés contable?

Antes de adentrarnos a tratar lo que es el Interés Simple, es necesario que conozcamos qué es el interés: Algunos autores lo definen como6: 1.

“Utilidad o ganancias que genera un capital”.( Villalobos, 2001. Matemáticas Financieras)

2.

“Valor recibido o entregado por el uso del dinero a través del tiempo”. ( F. Ayres Jr. 1971Teoría y 500 problemas resueltos)

3.

“Valor del dinero en el tiempo” ( Álvarez. A. 1999. Matemáticas Financieras)

4.

“Rendimiento de una inversión” ( Álvarez. A. 1999. Matemáticas Financieras)

5.

“Precio que se paga por el uso del dinero que se tiene en préstamo durante un período determinado”, etc. ”(Teoría y 500 problemas resueltos, F. Ayres Jr. 1971)

Las definiciones anteriormente citadas son válidas: A continuación presentamos un ejemplo para aclarar lo expuesto. El señor Flores le prestó al señor Román la suma de $ 1,200.00 con la condición de que el señor Román le devuelva al señor Flores la suma de 1,224.00 dólares dos meses después. Como podemos observar, el señor Flores se ganó $24.00 por prestarle $ 1,200 al señor Román durante dos meses. Esto indica que los intereses fueron de $ 24.00 dólares durante los dos meses, o en otras palabras, de $ 12 mensuales. Del problema expuesto podemos deducir lo siguiente:

6

a.

$ 1,200.00 representan el capital invertido, o el capital inicial o valor presente o valor actual del crédito. Este valor se denotará con la letra mayúscula “C”, por consiguiente C = 1,200.00

b.

$ 1,224.00 representa el valor en el cual se transformaron los $1,200.00 durante dos meses; es el valor inicial más los intereses, se denominará Monto o valor futuro y se representará con la letra M; por tanto, se define como el valor en el cual se convierte o transforma una suma de dinero durante un tiempo determinado, y a una tasa de interés acordada o pactada; M = $ 1,224.00 dólares.

c.

$ 24.00 representa el valor de un interés devengado por $ 1,200.00 prestados durante dos meses. Este valor se indica con la letra mayúscula “I” y se define como la diferencia entre el monto y el capital; o lo que es lo mismo decir, la diferencia entre el valor futuro y el valor presente, lo cual corresponde a cualquiera de los conceptos dados anteriormente.

Mora Zambrano A. (2009). Matemáticas Financieras, Bogotá-Colombia: Alfaomega, p. 42. 24




PRIMER BIMESTRE

I=M–C Del ejemplo planteado, I = $1,224.00 – 24.00 = $ 1,200.00 y corresponde un período de dos meses, el cual se denota con la letra minúscula « t », así, t = 2 meses. Si en dos meses los intereses fueron de $ 24.00, en un mes serán de $ 12.00. Esto equivale a decir que el interés será de $ 12.00 por cada $ 1,200.00 prestado en un mes. Por lo tanto en porcentajes se tiene que $ 12/1200 = 0,01, este valor corresponde a un índice porcentual que indicará el valor de los intereses; este indicador se denomina tasa de interés y se denota con la letra minúscula « i ». Obsérvese que la tasa de interés no es más que la relación entre los intereses y el valor de crédito. i = l/C = 12/1 200 = 0,01 = 1% (mensual).

NOTA: Siempre que trabajemos con problemas o ejercicios financieros, es necesario tener en cuenta que la tasa de interés debe estar dada en función del período en el cual se trabaje o el tiempo de las transacciones financieras. Por ejemplo, si el pago de interés es mensual, la tasa periódica debe ser mensual; si los pagos son trimestrales, la tasa de interés periódica deberá ser trimestral.

Resumiendo y abundando sobre el ejercicio planteado: C = $ 1,200 I = $ 24 t = 2/12 =1/6 i = 12% = 0,12 ( anual ) M = $ 1,224.00 Podemos observar que, en general:

(1)

M = C + I 1,224 = 1 200 + 24 El monto es igual al capital más los intereses I = C i t 24 = 1,200 (0,12) ( 1/6)

(2)

El interés es igual al capital multiplicado por la tasa y luego por el tiempo, combinando las dos expresiones anteriores, tenemos: M = C + Cit Al obtener el factor común C; se tiene la fórmula del monto. M = C (1 + it)

(3)



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PRIMER BIMESTRE

M = C (1 + it ) =1 200 [1 +0,12 (1/6)] =1 200 (1,02) = $ 1.224 dólares. Al factor (1 + i t) se lo conoce como factor de acumulación con interés simple. Finalmente, otra relación que es necesario destacar es: M = C (1+ i.t)1 C=

(4)

= M(( 1 + i t)-1 ) = 1 224 ( 1,02 )-1 = 1,224 ( 0.980392156)

C = $1,200.00 dólares. Este problema podría expresarse, con las mismas cantidades, en los siguientes términos: El señor Pérez tiene una deuda de $. 1,224.00 que debe cancelar dentro de dos meses. Si la transacción está acordada a 12 por ciento anual de interés simple, ¿cuánto debería cancelar para saldar su deuda? La respuesta es, desde luego, $1,200.00 dólares. 2.2.

CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL O PRESENTE A INTERÉS SIMPLE

Para comprender mejor sobre el cálculo del valor actual o presente , recordemos una breve definición. “Valor actual o presente de un documento o deuda es el capital calculado en una fecha anterior a la del vencimiento del documento, deuda o pago. Se representa por la letra « C ». Valor actual de una suma, con vencimiento en una fecha futura, es aquel que, a una tasa dada y en un periodo de tiempo determinado hasta la fecha de vencimiento, alcanzará un valor igual a la suma debida.”7 La presente definición, resume el concepto del valor actual y precisa que el tiempo faltante para el vencimiento de un documento financiero o deuda es el que interesa y debe tomarse en cuenta para el cálculo.

DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA DEL VALOR ACTUAL La deducción de la fórmula del valor actual, se encuentra en el texto básico pág. 53. A continuación se plantea un ejercicio con todo el proceso que usted deberá desarrollar en problemas similares.

Ejemplo: Un ejecutivo compró un automóvil nuevo por el cual pagó 18,000.00 dólares el primero de enero, y lo vende el primero de junio del año siguiente en 18,500.00 dólares. A parte del uso que ya le dio, del seguro que pagó, y otros gastos que hizo, considerando sólo los valores de compra y venta, ¿fue conveniente como inversión la operación realizada si la tasa de interés de mercado era el 15%?

7

Mora Zambrano A. (2009). Matemáticas Financieras, Bogotá-Colombia: Alfaomega, p. 53. 26




PRIMER BIMESTRE

SOLUCIÓN En el presente caso, para evaluar la conveniencia se calcula el valor actual o presente de $ 18,500.00 dólares, 17 meses atrás, a una tasa similar a las vigentes en ese lapso, para comparar esa cantidad con lo que se pagó. Valor actual de $ 18,500.00 dólares, 17 meses antes, a 15% anual simple. C= C = $ 15,257.73 Dejó de ganar ($ 18 500 – 15.257,73) = 3 242,27 dólares aproximadamente), al haber invertido en el automóvil en vez de haberlo hecho en una inversión bancaria o bursátil que habría tenido el mismo rendimiento del mercado. Para una mejor comprensión, sugiero a los señores estudiantes utilizar la Gráfica de Tiempos y Valores, que consiste en una línea recta en la cual se colocan los siguientes datos:

Valor nominal

Valor actual

Enero 3 Fecha de suscripción

Marzo 18 Fecha de negociación

Monto Agosto 5 Fecha de vencimiento

Esta gráfica es muy útil para el planteamiento y resolución de problemas de valor actual y otros tipos de problemas en matemática financiera, como veremos en los ejercicios que se explican a continuación. Se presentan dos casos en el cálculo del valor actual: 1.

Cuando conocemos el valor al vencimiento o monto.

2.

Cuando hay la necesidad de calcular el monto.

Para ampliar los conocimientos sobre el interés simple seria importante y si tiene la oportunidad, revisar los textos complementarios de Alfredo Días Mata y José Luis Villalobos, Matemáticas Financieras, a las páginas 44 a la 78 y 62 a la 102, respectivamente, en el orden indicado. Actividades recomendadas

-

Hemos concluído este segundo capítulo relacionado con el Interés Simple, los conocimientos adquiridos y desarrollados hasta el momento serán aplicados en el ámbito financiero y comercial; en tal virtud, se le recomiendo realizar las actividad de repaso que consta en la página 63 del texto básico, esto proporcionará un mayor grado de confianza en el manejo de las diferentes variables: capital, tasa de interés, tiempo, valor actual y sus aplicaciones. Con la lectura comprensiva de los contenidos del capítulo 2 estamos en capacidad de desarrollar la siguiente autoevaluación.



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PRIMER BIMESTRE

Autoevaluación 2 Aplicando las fórmulas del interés simple, monto y valor actual, resuelva los siguientes ejercicios: 1.-

Calcular el interés simple que genera un capital de $ 500.00 dólares colocados a una tasa de interés del 25% anual durante 120 días.

2.-

Calcular el monto del ejercicio anterior.

3.-

Determinar la fórmula para calcular: a. b. c.

la tasa de interés, el tiempo, el capital inicial.

4.-

¿Cuál es la fórmula para calcular el valor actual en cualquier tiempo comprendido entre la fecha de suscripción y la fecha de negociación?

5.-

Un pagaré de $ 3,200.00 dólares, suscrito el 12 de abril a 180 días de plazo con una tasa de interés del 25% anual desde la suscripción, es vendido el 15 de junio del mismo año a una tasa de interés del 22% anual; calcular: a.

la fecha de vencimiento;

b.

la gráfica de tiempos y valores;

c.

el valor al vencimiento o monto;

d.

el número de días comprendidos entre las fechas de suscripción y la fecha de negociación o venta;

e.

el valor actual o precio del pagará a la fecha de negociación Verifique sus respuestas en el solucionario 2. ¡ Ahora, nos corresponde el estudio del capítulo tres !

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PRIMER BIMESTRE

CAPÍTULO 3:

DESCUENTOS

Para el estudio de este capítulo debemos revisar previamente, las páginas del capítulo 3 del texto básico. Haciendo una lectura comprensiva. 3.1.

DESCUENTOS

¿En qué consiste el descuento?

Es necesario conocer que el descuento es una operación de crédito que se lleva a cabo principalmente en instituciones bancarias, y consiste que éstas adquieren letras de cambio o pagarés, de cuyo valor actual o nominal descuentan una suma equivalente a los intereses que devengaría el documento entre la fecha en que se recibe y la fecha del vencimiento. El descuento es una modalidad del interés simple. La diferencia entre éste y aquél radica en que el interés simple por lo general se paga vencido, en cambio que el descuento se produce por anticipado. 3.2.

DESCUENTO RACIONAL

Para calcular el descuento racional o descuento simple, se debe conocer primero el valor actual y luego restarlo del monto: C=

(3.1)

Descuento racional: Dr = M Dr = monto - valor actual Dr = M - C

Ejercicios de aplicación: Una hipoteca tiene un valor de 2,500.00 dólares al vencimiento. Determinar su valor 6 meses antes del vencimiento, suponiendo un rendimiento del 4.5% de interés simple. Calcular el descuento racional. M =$ 2 500 i = 0,045 t = 12/12-6/12=6/12

C = M / (1 +i t) C = 2 500 / ((1 +0,045(6/12)) C = 2 500 / 1,0225 C = $ 2,444.99

Luego: Dr = M - C Dr = 2 500 – 2,444.99 Dr = $ 55.01 dólares. UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA


29


PRIMER BIMESTRE

A fin de que su estudio sea productivo y obtenga aprendizajes significativos le planteo el siguiente tema. 3.3.

DESCUENTO BANCARIO, COMERCIAL O BURSÁTIL

Previo a la realización de algunos ejercicios, indicaremos la fórmula para el cálculo del descuento bancario, comercial o bursátil . Descuento bancario: Db = M d t

(3.2)

Descripción Db M d t

= descuento bancario, comercial o bursátil = valor del documento a la fecha de vencimiento = tasa de descuento = tiempo en días, comprendido entre la fecha del descuento del documento y la fecha de vencimiento.

Ejemplo -

¿Cuál es el descuento bancario que un banco aplica a un cliente que descuenta un pagaré de $ 5,400.00 en el día de hoy, a 90 días plazo, considerando una tasa de descuento del 15% anual? Monto: $ 5 400 dólares. Para encontrar el descuento bancario aplicamos la fórmula (3.2) Db = Mdt Db = 5 400 (0,15 (90/360)) = 202.50 dólares. Db = $ 202.50 dólares.

-

Una institución bancaria desea ganar el 5% de interés simple por el descuento de documentos. ¿Qué tasa de descuento debe utilizar si el período de descuento es:

a.

3 meses d = i / (1 + i t) d = 0,05 / (1+0,05 (1/4)) d = 0,05/1, 0125 d = 0,04938 = 4,94%

a.

120 días d = i/(1 +it) d = 0,05/(1 +0,05(4/12)) d = 0,05/(1,01666) d = 0,04918 = 4,92%

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PRIMER BIMESTRE

3.4.

VALOR ACTUAL CON DESCUENTO BANCARIO O VALOR EFECTIVO

El valor actual con descuento bancario se identifica como la diferencia entre el valor al vencimiento del documento y el descuento bancario. Se lo expresa como Cb.8 Cb = M - Db, Remplazando el valor de Db, según la fórmula (3.2) Cb = M - Mdt, Factorizando, Cb = M (1 - dt), valor actual con descuento bancario (3.3). De donde puede deducirse, el Monto en función del valor actual con descuento bancario: (3.4). M=

Ejemplo: Calcular el valor efectivo que recibe una persona que realiza un descuento de una letra de cambio de $ 960.oo dólares, suscrita el 12 de abril sin intereses a 210 días de plazo, si se descontó el 20 de Julio del mismo año al 22% anual. Primeramente elaboramos el gráfico: 12 de abril

20 de julio

Fecha de suscripción

8 de noviembre

Fecha de descuento

Fecha de vencimiento

Luego calculamos la fecha de vencimiento y los días comprendidos entre la fecha de descuento y la de vencimiento.

PLAZO Abril 18 Mayo 31 Junio 30 Julio 31 Agosto 31 Septiembre 30 Octubre 31 Noviembre 8 TOTAL

TIEMPO DE DESCUENTO Julio 11 Agosto 31 Septiembre 30 Octubre 31 Noviembre 8 TOTAL

111

210

Finalmente aplicamos la fórmula y desarrollamos el problema: 8




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PRIMER BIMESTRE

Cb = M (1 - dt) = 960 Cb = $ 894.88 3.5.

ANÁLISIS DE LA RELACIÓN DESCUENTO RACIONAL - DESCUENTO BANCARIO Y COMPARACIÓN ENTRE TASA DE INTERÉS Y TASA DE DESCUENTO 9

Relación tasa de interés y tasa de descuento: a.

La tasa de interés se utiliza para calcular el descuento racional o matemático y se aplica sobre el valor actual de un documento, se representa por la letra i.

b.

La tasa de descuento se utiliza para calcular el descuento bancario, comercial o bursátil; se aplica sobre el valor al vencimiento del documento o monto y se representa por la letra d.

Ejemplo Calcular el descuento racional y el descuento bancario de una letra de cambio de $ 2.500,00 dólares a 180 días de plazo, si se descuenta 60 días antes de su vencimiento a una tasa de 1,5% mensual. Gráficamente: a.

Descuento racional: $ 2.427,18

M $ 2.500,00 dólares

60 días

Dólares

C =

Dr = M - C Dr = 2.500 – 2.427,18 = $ 72.82 dólares. Comprobamos que corresponde al interés simple del valor actual: I = Dr = Cit = $ 2.427,18 (0,015) 60/30 = $ 72.82 dólares. b.

Descuento bancario: Db = Mdt; Db = 2.500 (0,015) 60/30 = $ 75.00 dólares.

En el descuento bancario, el Interés se calcula sobre el monto o valor al vencimiento. 9


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PRIMER BIMESTRE

Como podemos observar, el descuento bancario es siempre mayor que el descuento racional aplicado antes de la fecha de vencimiento de un documento financiero. Para conocer la relación entre la tasa de interés y la tasa de descuento, se le sugiere revise las páginas del capítulo tres del texto básico. Actividades recomendadas Señor estudiante, es importante tomar en cuenta que aún con mucha práctica y experiencia, no siempre se resuelven acertadamente los problemas en un primer intento, y la peor actitud que puede tomarse, será el abandonar la inquietud, el interés y el entusiasmo por aprender; por ello me permito recomendar que dediquen un poco más de tiempo y desarrolle las actividades de repaso que se encuentran en la página 88 del texto básico. Ahora, con los conocimientos adquiridos a través del capitulo tres, ¨descuentos¨ es momento para realizar la siguiente actividad.

Autoevaluación 3 1. Un pagaré de $ 420.00 dólares, suscrito el 10 de marzo a 120 días de plazo, se descuenta el 12 de abril del mismo año a una tasa de interés del 25% anual. Calcular el descuento racional. 2. Del ejercicio anterior, calcular el descuento bancario si se considera una tasa de descuento del 25% anual. 3. Del mismo ejercicio calcular el precio o valor efectivo del documento. 4. Un documento financiero de $. 2,400.00 dólares, suscrito el 8 de agosto a 90 días de plazo, se descuenta en la Bolsa de Valores el 14 de octubre del mismo año a una tasa de descuento del 24% anual. Calcular el precio o valor efectivo del documento.

Verifique sus respuestas en el solucionario 3. ¡Continuemos con los contenidos del programa de asignatura!



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PRIMER BIMESTRE

CAPÍTULO 4: ECUACIONES DE VALOR Y CUENTAS DE AHORRO 4.1.

ECUACIONES DE VALOR

Estimado Estudiante, las aplicaciones de las ecuaciones de valor las encontrará en el texto básico en el capítulo 4; le invito a que revise y pueda continuar su aprendizaje en forma exitosa. Como podemos apreciar, el uso de las ecuaciones de valor tiene su importancia generalmente en operaciones comerciales, toda vez que con frecuencia es necesario cambiar paquetes de obligaciones por otro conjunto de diferentes capitales disponibles en tiempos distintos. Por otra parte, debemos anotar que, todo problema de matemáticas financieras puede ser resuelto mediante una ecuación de valor. Por ello se recomienda al estudiante, revisar con mucho detenimiento la resolución de los ejercicios y problemas planteados en el texto básico, en especial los gráficos de tiempos y valores, que constituyen una verdadera herramienta previa al desarrollo del problema.

Ejemplo Una compañía tiene las siguientes deudas: $ 1,000.00 a 90 días de plazo; $ 2,500.00 a 150 días de plazo; $ 3,600.00 a 210 días de plazo y $ 8,000.00 a 270 días de plazo; la compañía desea reemplazar sus obligaciones por una sola con vencimiento el día de hoy; si se considera que la operación se realizará con una tasa de descuento del 12% anual, calcular el valor de la obligación el día de hoy.

Solución al problema: 1.

Elaboramos una gráfica de tiempos y valores:

$ 1000 FF

90

$ 2500

$ 3600

$ 8000

150

210

270

Elaborado por: Muñóz, G. Á. Como podemos observar la fecha focal está en el día de hoy; pues a ella se traen los diferentes valores, como valores presentes o actuales a una tasa de descuento, según las condiciones del problema: 2.

Desarrollo: X = 1,000 [1 - 0,12 (90/360)] + 2,500 [1 - 0,12 (150/360)] + 3,600 [1-0,12 (210/360)] + 8,000 [1 - 0,12 (270/360)]. X = 1,000 (0,97) + 2,500 (0,95) + 3,600 (0,93) + 8,000 (0,91) 34




PRIMER BIMESTRE

X = 970 + 2,375 + 3,348 + 7,280. X = 13,973.00 dólares (valor del nuevo documento). 4.2.

CUENTAS DE AHORRO

El presente tema se considera de vital importancia, para Ud. señor estudiante, por lo que se recomienda poner el mayor interés en analizar y desarrollar todos y cada uno de los problemas propuestos en el texto básico, los mismos que han sido considerados los más comunes en el campo de la prestación del servicio bancario. 4.3.

LIQUIDACIONES DE INTERESES EN CUENTAS DE AHORRO

“Para realizar la liquidación de los intereses utilizamos la fórmula del interés simple, con dos modalidades de cálculo: La primera toma en cuenta el valor de la transacción, sea este depósito o retiro; y la segunda, los saldos”10.

Ejemplo El señor Pérez, poseedor de la cuenta de ahorro Nro. 130054 de una institución bancaria, tiene un saldo en su cuenta de $ 10,000.00 dólares a 30 de junio; en el segundo semestre del mismo año realizó el siguiente movimiento; un retiro de $ 6,500.00 el 25 de agosto; un depósito de $ 2,000.00 el 18 de septiembre; un retiro de $ 3,500.00 el 4 de noviembre. Si la tasa de interés fue del 22% anual. ¿Cuánto de interés ganará la cuenta de ahorro al 31 de diciembre?

Desarrollo: Tiempo Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Total:

31 31 6 30 30 31 31 30 30 31 31 184 128

12 31 30 26 31 31 104 57

Interés del saldo: I = (C)(i)(t) I =10.000 (0,22) (184/365) = $ 1,109.04 dólares Primer retiro: I = 6.500 (0,22) (128/365) =

10

$ 501.48 dólares




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PRIMER BIMESTRE

Primer depósito: I =2.000 (0,22) (104/365) = $ 125.37 dólares Segundo retiro: I = 3 500 (0,22) (57/365) = $ 120.25 Total de intereses:

$ 1,856.14 dólares.

Otra forma de resolver este problema es utilizando los multiplicadores fijos o factores. I =10,000 (0,110904109) = $ 1,109.04 dólares I = 6,500 (0,077150684) =

501.48 dólares

I = 2,000 (0,062684931) =

125.37 dólares

I = 3,500 (0,034356164) =

120.25 dólares

Total intereses:

$ 1,856.14 dólares

Actividades recomendadas Señor estudiante, le sugiero desarrollar las actividades de repaso, mismas que se encuentran al final del capítulo cuatro del texto básico, la realización de estas preguntas reforzará los conocimientos y le brindará seguridad al momento de su aplicación. Seguramente con el desarrollo del capítulo cuatro, su aprendizaje es muy productivo, le planteo trabajar en la siguiente autoevaluación.

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PRIMER BIMESTRE

Autoevaluación 4 1.-

Una empresa mantiene las siguientes obligaciones a corto plazo: a.

$. 2,000.00 dólares a 60 días;

b.

2,500.00 a 120 días;

c.

3,000.00 a 180 días. La empresa acuerda con su acreedor reemplazar sus obligaciones por un sólo pago a los 90 días, con una tasa de interés del 25% anual. Calcular el valor del pago único.

2.-

El mismo problema anterior, considere la fecha de pago en el tiempo cero, o al día de hoy.

3.-

Un municipio cuenta con un presupuesto de $ 28,000.00 dólares para comprar maquinaria. Al consultar a varios proveedores, recibe las siguientes propuestas: a.

Pagar $ 17,200.00 dólares al contado y $ 10,800.00 a 150 días;

b.

pagar $ 10,000.00 dólares al contado y $ 18,000.00 a 120 días;

c.

pagar $ 6,000.00 dólares al contado y $ 22,000.00 dólares a 90 días. ¿Cuál oferta le conviene, si se considera una tasa de interés del 25% anual?.

Verifique sus respuestas en el solucionario 4.



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SEGUNDO BIMESTRE

SEGUNDO BIMESTRE 6.5 Competencias genéricas • Vivencia de los valores universales del Humanismo Cristiano. • Adquirir hábitos y técnicas de estudio eficaces. • Capacidad de abstracción, análisis y síntesis. • Capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica. • Conocimiento sobre el área de estudio. • Capacidad de aprender a aprender como política de formación continua. • Capacidad crítica y autocrítica. • Capacidad para identificar, plantear y resolver problemas. • Habilidad para trabajar en forma autónoma. • Capacidad para formular, diseñar y gestionar proyectos. • Capacidad para tomar decisiones. • Compromiso ético. • Motivación de logro.

6.6 Planificación para el trabajo del alumno COMPETENCIAS ESPECIFICAS * Utiliza modelos matemáticos en la solución de problemas financieros y de inversión de las organizaciones (Contabilidad y Auditoria) * Planifica actividades de inversión, financiamiento y gestión de recursos financieros en la organización. (Administración en Banca y Finanzas)

INDICADORES DE APRENDIZAJE Interpreta y utilizar los criterios del interés compuesto. Ejemplifica y aplica el valor actual a largo plazo; y las tasas de interés nominal, efectiva, anticipada y vencida.

CONTENIDOS Unidades / Tema 5. Interés compuesto 5.1. Interés compuesto 5.2. Comparación interés simple interés compuesto 5.2.1. Variables de interés compuesto 5.2.2. Tasas equivalentes 5.2.3. Cálculo de la tasa de interés 5.2.4. El valor actual a interés compuesto, o cálculo del capital 5.2.5. Descuento compuesto 5.2.6. Ecuaciones de valor en interés compuesto 5.2.7. Tiempo equivalente

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Lectura comprensiva del texto guía Realización de las actividades recomendadas

CRONOGRAMA ORIENTATIVO (Tiempo Estimado) Semana 1 y Semana 2 ( 8 horas de autoestudio y 8 horas de interacción)

Resolución del cuestionario de autoevaluación. Participación en el foro en el EVA



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* Aplica modelos estadísticos y matemáticos en el procesamiento de datos para la toma de decisiones, así como el desarrollo de estrategias de crecimiento empresarial. (Administración en Empresas)

Analizar la clasificación de las anualidades o rentas, en función al monto y el valor actual.

* Identifica y examina críticamente la información contable y financiera de las organizaciones turísticas para gestionar los recursos financieros. (Administración de Empresas Turísticas y Hoteleras)

Comparar los documentos financieros y tasas de intereses especiales.

* Examinar aspectos contables y financieros de la empresa y la economía para la toma de decisiones.

Diferenciar los documentos financieros y tasas de intereses especiales.

* Tomar decisiones de inversión, financiamiento y gestión de recursos financieros.(Escuela de Economía)

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SEGUNDO BIMESTRE

6. Anualidades o rentas 6.1. Anualidades o rentas 6.1.1 .Clasificación de las anualidades o rentas 6.1.2. Monto de una anualidad 6.1.3. Valor actual de una anualidad 6.2. Gradientes 7. Amortización y fondos de amortización 7.1. Amortización 7.1.1. Período de gracia 7.1.2. Derechos del acreedor y el deudor 7.1.3. Amortizaciones con reajuste de la tasa de interés

8. Documentos financieros 8.1. Sistema Financiero 8.2. Bonos 8.3. Tasa de interés real 8.4. Valor actual neto (VAN) 8.5. Tasa interna de retorno


Lectura comprensiva del texto guía Realización de las actividades recomendadas Resolución del cuestionario de autoevaluación. Participación en el foro en el EVA Lectura comprensiva del texto guía Realización de las actividades recomendadas


Resolución del cuestionario de autoevaluación. Participación en el foro en el EVA Lectura comprensiva del texto guía Realización de las actividades recomendadas Resolución del cuestionario de autoevaluación. Participación en el foro en el EVA





SEGUNDO BIMESTRE

6.7 Orientaciones específcas para el aprendizaje por competencias Hemos concluído la primera parte del estudio de Matemáticas Financieras; iniciaremos este segundo Bimestre con el concepto de Interés Compuesto, el cual, a diferencia del interés simple, se suman periódicamente los intereses más el capital. Este proceso de sumar los intereses al capital cada vez que se liquidan, se le denomina capitalización, y el período utilizado para liquidar los intereses se llama período de capitalización.

CAPÍTULO 5: INTERÉS COMPUESTO Para el análisis del presente capítulo usted deberá dirigirse al capítulo 5 del texto básico que se viene utilizando. 5.1.

INTERÉS COMPUESTO

¿En qué consiste el interés compuesto?

El interés compuesto se caracteriza porque el interés generado, en una unidad de tiempo, se adiciona al capital y este valor nuevamente gana intereses y se acumula al nuevo capital, y así sucesivamente, tantas veces como períodos de capitalización se hayan establecido. 5.2.

COMPARACIÓN INTERÉS SIMPLE - INTERÉS COMPUESTO

Para comprender mejor y dar una adecuada aplicación de este criterio, se plantea el siguiente ejemplo: Calcular el monto, el interés simple y el interés compuesto de un capital de $3,000.00 a una tasa de interés del 18% anual durante 6 períodos. En primer lugar calculamos el interés simple: I = C.i.t. = 3.000 (0,18) (6) = $ 3.240,00 dólares. M= C (1 + i.t) = 3.000[1 +0,18(6)] = $ 6.240,00 En segundo lugar calculamos el interés compuesto:

(Primer período) M = 3.000 [ 1 + 0,18 (1)] = $ 3.540,00 dólares

(Segundo período) M = 3.540 [1 +0,18(1)]= $ 4.177,20 dólares

(Tercer período) M = 4.177,20 [ 1 + 0,18 (1) ] = $ 4.929,096 dólares UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA


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SEGUNDO BIMESTRE

(Cuarto período) M =4.929,096 [ 1 + 0,18 (1 ) ] = $ 5.816,33 dólares

(Quinto período) M = 5.816,33 [1+0,18(1)]= $ 6.863,269 dólares

(Sexto período) M = 6.863,269 [1 + 0,18 (1) ] = $ 8.098,66 dólaresDel resultado obtenido, podemos de inmediato notar la diferencia, que en el mismo tiempo y con la misma tasa de interés, el monto total que producen: Monto a interés simple: $ 6.240,00 dólares. Monto a interés compuesto: $ 8.098,66 dólares. En el siguiente cuadro observaremos el comportamiento del interés simple y el interés compuesto, y sus respectivos montos: Periodos 1 2 3 4 5 6

Monto Interés simple $ 3.540,00 4.080,00 4.620,00 5.160,00 5.700,00 6.240,00

Monto Interés compuesto $ 3.540,00 4.177,20 4.929,09 5.816,33 6.863,26 8.098,66

Diferencia $ 97,20 309,09 656,33 1.163,26 1.858,66

Para una mejor comprensión le recomiendo analizar detenidamente los gráficos comparativos entre el interés simple - interés compuesto, y los montos a interés simple - interés compuesto. (Páginas 127128) texto básico. 5.2.1. Variables de interés compuesto

Es importante tener en cuenta previamente el cálculo de las variables (i) y (n), correspondientes a la tasa de interés por período de capitalización (i) y el número de períodos de capitalización (n). Si aplicamos a este mismo ejemplo la fórmula del monto a interés compuesto, el resultado será directo: M = c (1 + i) n M = 3.000 (1 + 0,18)6 = 3.000 (2.699554153) M = $ 8.098,66 dólares

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SEGUNDO BIMESTRE

Para el estudio y aplicación de los diferentes conceptos que abarca este capítulo, es necesario familiarizarse con el manejo de las fórmulas que nos servirán para el desarrollo de los ejercicios y problemas propuestos, los mismos que han sido tomadas del texto básico, capítulo cinco y que se detallan a continuación: M = C (1+ i)n

(5.1)

I=M-C

(5.2)

Fórmula del monto para períodos de capitalización menos de un año- semestral, trimestral, mensual, diario o continúa. M = C(1+j/m) m.t (5.3) M = monto C = capital inicial J = tasa de interés nominal capitalizable varias veces en un año m = número de capitalizaciones en el año t = número de años.

Ejemplo: •

Calculemos el monto compuesto que acumulará

•

un capital de $3.500,00 durante 9 años y 9 meses al 16% anual con capitalización mensual:

5.2.2. Tasas equivalentes

Fórmula de equivalencia de tasa nominal - tasa efectiva. ( 1 + i) = (1 + j/m) m

(5.4)

Ejemplo: •

A qué tasa efectiva de interés equivale una tasa nominal del 16% anual capitalizable semestralmente:

En este caso: i=? j = 16% m=2



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matem financiera

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