TRABAJO Nº 4 PERDIDA DE CARGA POR FRICCION EN FLUJO TURBULENTO POR TUBERIAS Resolver la ecuación de Colebrook & White.
Para f, utilizando un determinado método numérico para resolver una ecuación no lineal de la forma F(x) = 0 (Método de Punto Fijo, por ejemplo). Considerar los siguientes casos: a) D = 0.10m, E = 0.0025m, Re = 3*104 b) D = 0.10m, E = 0.0005m, Re = 3*106 BREVE RESUMEN TEORICO ECUACIÓN DE COLEBROOK-WHITE
Fórmula usada en hidráulica para el cálculo del factor de fricción de Darcy también conocido como coeficiente de rozamiento. Se trata del mismo factor que aparece en la ecuación de Darcy-Weisbach. La expresión de la fórmula de Colebrook-White (1937, 1939)1 2 es la siguiente:
Donde
es el número de Reynolds,
la rugosidad relativa y
el factor de fricción.
El campo de aplicación de esta fórmula se encuentra en la zona de transición de flujo laminar a flujo turbulento y flujo turbulento. Para la obtención de es necesario el uso de métodos iterativos. Otra forma más sencilla y directa de obtener el valor de es hacer uso del diagrama de Moody. Para el caso particular de tuberías lisas la rugosidad relativa, es decir la relación entre la rugosidad en las paredes de la tubería y el diámetro de la misma, es muy pequeño con lo que el término es muy pequeño y puede despreciarse el primer sumando situado dentro del paréntesis de la ecuación anterior. Quedando en este caso particular la ecuación del siguiente modo:
Para números de Reynolds muy grandes el segundo sumando situado dentro del paréntesis de la ecuación de Colebrook-White es despreciable. En este caso la viscosidad no influye
en la práctica a la hora de determinar el coeficiente de fricción, este únicamente depende de la rugosidad relativa
de la tubería. Esto se manifiesta en el diagrama de Moody en
que en la curva para valores elevados de
se hacen rectas.
MÉTODO DEL PUNTO FIJO
Los dos puntos fijos, marcados en rojo, de la función
El método del punto fijo es un método iterativo que permite resolver sistemas de ecuaciones no necesariamente lineales. En particular se puede utilizar para determinar raíces de una función de la forma, siempre y cuando se cumplan los criterios de convergencia. Descripción del Método El método de iteración de punto fijo, también denominado método de aproximación sucesiva, requiere volver a escribir la ecuación Llamemos
en la forma
a la raíz de . Supongamos que existe y es conocida la función
. tal que:
Del dominio. Entonces:
Tenemos, pues, a
como punto fijo de .
Procedimiento El procedimiento empieza con una estimación o conjetura inicial de, que es mejorada por iteración hasta alcanzar la convergencia. Para que converja, la derivada debe ser menor que 1 en magnitud (al menos para los valores x que se encuentran durante las iteraciones).
La convergencia será establecida mediante el requisito de que el cambio en iteración a la siguiente no sea mayor en magnitud que alguna pequeña cantidad €.
de una
Algoritmo para iteración de punto fijo 1. Se ubica la raíz de
analizando la gráfica.
2. Se obtiene un despeje 3. Obtenemos de
de la función. su derivada
4. Resolviendo la desigualdad -1 ≤ está el punto fijo llamado R. 5. Con R buscamos la raíz en operaciones.
. ≤ 1 obtenemos el rango de valores en los cuales
, es decir
haciendo iteración de las
Ejemplo Sea
una función, encuentre la raíz.
Ubicamos la raíz analizando la gráfica.
UNA DE LAS REAICES
Obtenemos
:
Después obtenemos la derivada de la función:
Entonces resolvemos las desigualdades:
La solución es:
La solución es:
O visto de otra manera, vemos que en la gráfica de la derivada existen valores entre -1 y 1:
Ya que se tienen los valores del rango R, encontramos la raíz haciendo la iteración de las operaciones:
En la tabla se puede ver el valor que en este caso se usó de R, la
iteración consiste en usar ese valor en para obtener los siguientes valores haciendo la misma operación usando el valor anterior. Después de un número considerable de iteraciones obtenemos la raíz en cual se puede ver en la gráfica de la función al inicio del ejemplo.
. Lo
DESARROLLO DEL TRABAJO
a) D = 0.10m, E = 0.0025m, Re = 3*104
Si despejamos
(
obtenemos:
√
)
y remplazando
valores de D, Ɛ y Re
(
Llamamos a
√
)
√
(
)
Resolviendo la ecuación en una hoja de cálculo Excel ITERACION
f
FUNCION
f
h(f)
1
0.048
0.054090777
2
0.050
0.054066962
3
0.052
0.054044525
4
0.054
0.054023339
5
0.056
0.05400329
6
0.058
0.053984281
Vemos que la iteración 4 es la que es una solución porque llegamos a una semejanza en respuestas a cada miembro tratándose de una misma variable. Entonces podemos afirmar que 0.054 es una solución de la ecuación ósea f = 0.054. Es posible realizar esta solución en un software llamado MATLAB, escribimos el siguiente código en el editor.
Este programa creado nos da la interfaz siguiente:
Como observamos la raíz nos da 0.054 0231183 Haciendo comparación entre los valores tenemos: Método de solución Punto fijo Excel Matlab Diagrama de moody
Raíz 0.054023339 0.054 0231183 0.054
La raíz es 0.054
𝒇
𝟎 𝟎𝟓𝟒
Lo cual vemos que hay diferentes formas de hallar solución a este tipo de ecuaciones.
b) D = 0.10m, E = 0.0005m, Re = 3*106
(
√
)
√
(
)
Resolución en Excel: ITERACION
f f 1 2 3 4 5 6
FUNCION h(f) 0.0301 0.0303 0.0520 0.0540 0.0560 0.0580
0.030375507 0.030375398 0.030367662 0.030367195 0.030366754 0.030366336
La raíz es 0.0303 Resolución en matlab ingresamos la siguiente ecuación donde nos piden en la interface:
Ingresa función f(x): (-2*log10(0.001347709+ 2.51/((3*10^6)*(x)^0.5)))^(-2)-x
La raíz es 0.0303753578 Haciendo comparación entre los valores tenemos: Método de solución Punto fijo Excel Matlab Diagrama de moody
Raíz 0.030375398 0.0303753578 0.0303
Lo cual nos indica que la raíz de la solución de la ecuación es 0.0303 Entonces
𝑓
En conclusión, podemos optar por hacer un Excel, realizar una codificación en matlab o simplemente ver en el diagrama de Moody, en los tres casos obtendremos un valor que al centésimo son iguales, pues generando un error en los cálculos de 0.001%.
