1. Diketahui titik-titik A dan P yang berbeda. Lukislah : a. b.
, ,
,− d. sehingga , = c.
Jawaban :
,
P
,
Q
,−
A
2.
, = , so ,− = Diketahui m(
120 A
40 B C
a.
∠ = ∠ = 120 ∠ = 180 ∠ ∠ = 180 40 60 = 180 100 ∠ = 80 ∠ = 180 ∠ = 180 80 ∠ = 100
E
b. Sudut dari AB ke BC = Sudut dari AC ke BC = Sdut dari AB ke AC = 3. Tulislah komposit transformasi berikut dalam bentuk yang paling sederhana a. , ,
40 80 60
b. c.
d. e. f.
, , , ,− , , , ,−, ,− , , ,− ,
Jawaban : a. b. c. d. e. f.
, , , ,− ,− ,
4. Diketahui dua garis s dan t yang berpotongan di A serta dua titik P dan Q tidak pada garis itu. a. Lukislah b. Lukislah c. Lukislah berapa besar sudut dari s ke t d. Jika , besar sudut dari s ke t Jawaban : Garis s dan t tidak tegak lurus,
= " = = ∠ = 68
= 34
∠ = 68 P’
t
A
P
Q s
Q’
P”
5. Jika 0 titik asal sebuah system koordinat orthogonal dan A = (1,0). Tentukanlah koordinat-koordinat koordinat-koordinat titik-titik berikut : a. b. c. d.
, , , ,−
Jawaban : a.
b.
c.
= 60 = c cos = 1cos60 = 12 A(1,0),
= sin sin = 1si 1 sinn 60 = 12 √ 3 ∴ , = 12 , 12 √ 3 3 A(1,0), = 45 = c cos = 1cos45 = 12 √ 2 = sin sin = 1si 1 sinn 45 = 12 √ 2 ∴ , = 12 √ 2,2, 12 √ 2 2 A(1,0), = 120 = c cos = 1co 1 coss 120 120
= 12 = sin sin = 1sin120 = 12 √ 3 ∴ , = 12 , 12 √ 3 3 d.
= 135 = c cos = 1cos135 = 12 √ 2 A(1,0),
= sin sin = 1sin135 = 12 2 ∴ , = 12 √ 2, 2, 12 √ 2 2 = {, , | = 0} and = {, , | = } Tentukanlah peta oleh dari titik-titik B(1,0), C(0,3), D(2,-2) Jika P(x,y) tentukan koordinat
6. A(0,0), a. b.
Jawaban : a.
B(1,0)
= 1,0 = 0,1 0, 1 C(0,3)
= 0,3 = 3,0
D(2,-2)
= 2,2 = 2,2 b.
7.
= , , = , = , Diketahui A = (0,0). Tentukan rotasi yang memetakan titik B(1,0) pada
, √ 3 3 Jawaban : B(1,0), r = 1
12 , 12 √ 3 3 ′ = c cos 12 = 1cos 1cos = 120 ′ = si sinn 1 √ 3 = 1 sin 2 = 120 ∴ rotasi dari BB’ adalah , 8.
Tulislah persamaan garis-garis s dan t sehingga sehingga ini apabila A = (1,3). 0 adalah titik asal. a. b. c. d. e.
,− , , , ,−
sama dengan rotasi di bawah
Jawaban : a.
Berdasarkan Berdasarkan teorema 11.2 didapat
= ,− = c cos sin = 1cos45 3si 3 sinn45 = 12 √ 2 32 √ 2 = √ = √ 2
,− = ′ ,
′ = s sin cos = 1sin 1sin45 3co 3 coss45 = 12 √ 2 32 √ 2 = 2√ 2√ 2 ∴ (√ 2,2√ 2,2√ 2) 2) Garis dari melalui O dan A’ 0 = 0 ≡ 2√ 2√ 2 0 √ 2 0 ≡ √ 2 2 = 2√ 2√ 2 2 ≡ = 2 Garis dari melalui O dan A’ ≡ 3 00 = 1 00 ≡ = 3 t
s
b.
Berdasarkan teorema 11.2 didapat
= , = c cos sin = 1cos 1cos90 3si 3 sinn90 =03 = 3
, = ′,
′ = s sin cos = 1sin90 3co 3 coss90 =10 = 1 ∴ 3,1 Garis dari melalui O dan A’ ≡ 1 00 = 300 ≡ 3 = ≡ = 13 Garis dari melalui O dan A’ ≡ 3 00 = 1 00 ≡ = 3 t
s
c.
Berdasarkan teorema 11.2 didapat
= , = c cos sin = 1cos60 3si 3 sinn60 = 12 32 √ 2 = 12 32 √ 2 ′ = s sin cos = 1sin60 3co 3 coss60 = 12 √ 3 32 = 12 √ 3 32 ∴ 12 32 √ 2,2, 12 √ 3 32
, = ′ ,
melalui O dan A’ ≡ 1 30 = 1 3 0 2 √ 3 2 0 2 2 √ 2 0 ≡ 12 32 √ 2 2 = 12 √ 3 32 1 (√ 3 3) ≡ = 12 2) 2 (1 3√ 2) ) ≡ = (1(√ 3 3√ 32) 2) Garis dari t
Garis dari s melalui O dan A’
≡ 3 00 = 1 00 ≡ = 3 d.
Berdasarkan teorema 11.2 didapat , = ′ , = , = c cos sin = 1cos45 3si 3 sinn45 = 12 √ 2 32 √ 2 = √ 2 ′ = s sin cos = 1sin45 3co 3 coss45 = 12 √ 2 32 √ 2 = 2√ 2 ∴ (√ (√ 2,2 2, 2√ 2) 2) Garis dari melalui O dan A’ ≡ 2√ 20 0 = √ 20 0 ≡ √ √ 2 2 = 2√ 2√ 2 2 t
≡ = 2 Garis dari melalui O dan A’ ≡ 3 00 = 1 00 ≡ = 3 s
e.
Berdasarkan teorema 11.2 didapat
= ,− = c cos sin = 1cos30 3si 3 sinn30 = 12 √ 3 32 = 12 √ 3 32
,− = ′ ,
′ = s sin cos = 1sin30 3co 3 coss30 = 12 32 √ 3 = 12 32 √ 3 ∴ 12 √ 3 32 , 12 32 √ 3 3 Garis dari melalui O dan A’ ≡ 1 3 0 = 1 0 3 2 2 √ 3 0 2 √ 3 2 0 ≡ 12 √ 3 32 = 12 32 √ 3 3 1 (1 3√ 3) 3 ) 2 ≡= 1 2 (√ 3 3) 3√ 3) 3) ≡ = (1(√ 3 3√ 3) t
+√ ≡ = +√
melalui O dan A’ ≡ 3 00 = 1 00 ≡ = 3 Garis dari s
9.
Jika A titik asal sebuah system koordinat orthogonal dan koordinat titik berikut berikut : a. T(B) jika B(2,0) b. T(C) jika C(4,-1) c. T(P) jika P(x,y) d. O jika T(O) = (4,-1) Jawaban :
a.
= , , B’=x’, y’ = c cos sin = 2cos90 0si 0 sinn90 = 0 ′ = s sin cos = 2sin 2sin90 0co 0 coss90 = 2 ∴ ′ ′ 0,2 0,2
b.
= , , C’=x’, y’ = c cos sin = 4cos 4cos90 1sin 1sin90 = 1 ′ = s sin cos = 4sin 4sin90 1 1 cos cos90 = 4 ∴ ′ ′1,4 1,4
= ,. Tentukan
d.
= , , P’=x’, y’ = c cos sin = co coss90 si sinn90 = ′ = s sin cos = si sinn90 co coss90 = ∴ ′ , = ,, O’=x’, y’ = c cos sin 4 = co coss90 si sinn90 4 = = 4 ′ = s sin cos 1 = si sinn90 co coss90 = 1 ∴ ′1,4
10.
Jika A titik asal sebuah system koordinat orthogonal dan
c.
Tentukan persamaan
= ,
Jawaban : Ambil dua titik pada s Andaikan P(0,-3) dan Q(3/2,0)
, = , , , , = , , , 0,3 0,3 = 3,0 , = , , , , = , , , (3⁄2 , 0) = (0, 3⁄2)
= {, , | = 2 3}.
Persamaan s’ melalui P’3,0 dan Q’0,3/2 0 = 3 3 0 0 3 2 3 = 32 92 6 = 3 9 = − 11.
√ √ 2,√ 2, √ 22, dan jika
Jika l adalah lingkaran dengan jari-jari (r) = 2 dan berpusat di B(0,0). Tentukan persamaan Jawaban :
√ 2 ≈ 1,4 = √ √ 2,√ 2, √ 22, maka = c cos sin = √ 2cos 2cos45 √ √ 2sin 2sin45 = √ 2 12 √ 2 2 √ 2 12 √ 2 2 = 0 ′ = s sin cos cos = √ 2cos 2cos45 √ 2sin 2sin45 = √ 2 12 √ 2 2 √ 2 12 √ 2 2 = 2 ∴ ≡ 0 2 = 4 ≡ 2 2 = 4
′ = ,
