makalah setengah putaran

RANGKUMAN BAB VII

SETENGAH PUTARAN

Disusun untuk memenuhi tugas mata Kuliah Geometri Transformasi Dosen Pengampu : Dr. Iwan Junaedi, M.Pd

Disusun Oleh . Ika !adia

"#$#$%$&'(

&. Pradatanu K.).

"#$#$%$&%(

*. +u + uhan

"#$#$%$&-(

#. )lfha Gemilang

"#$#$%$*$(

. Kori Korina na Pusp Puspit itas asar arii

"#$ "#$# #$% $%$* $*( (

JURUSAN MATEMATIKA MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2010



Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.













BAB VII

SETENGAH PUTARAN +etengah +etengah Putaran Putaran mengeliling mengelilingii seuah titik adalah suatu in/olusi. in/olusi. +uatu setenga setengah h putaran putaran men0erm men0ermink inkan an setiap setiap titik titik idang idang pada pada seuah seuah titik titik tertent tertentu u sehingga diseut 1uga pen0erminan pada suatu titik. Definisi +euah setengah putaran pada suatu titik

A

S A

adalah suatu padanan

2ang

didefinisikan untuk setiap titik pada idang seagai erikut : P ) = P' P ' sehingg P ≠ A maka S 1 ( P . )paila P≠ sehinggaa A titik tengah ruas garis &.

´ ' . PP' PP S A = A

Setenga !"ta#an a$a%a s"at" t#ansf&#'asi 3ukti: )kan diuktikan S A 3i1ektif. 4ntuk memuktikan S A 3i1ektif maka harus diuktikan terleih dahulu

+ur1ektif dan In1ektif. "( )kan )kan diukt diuktika ikan n S A +ur1ektif S A 4ntuk menun1ukkan

+ur1ektif,

akan

S A

ditu itun1uk 1ukkan

'

P )= P ' ∃ P ∈ V ∋ S A ( P )mil searang P' ∈ V P' ∈ V ∋ P ' =S A ( P )

jika P= A ,maka S A ( A A )= A ' = A ' ' Jadi, ∀ P ∈ V ∃ P = P =S A ( P ) P ≠ A maka Jika P≠ aka ) men1 en1adi

sum umu ruas garis

'

S A ( P P )= P ' Jadi, S A +ur1ektif "&( )kan )kan diukt diuktika ikan n S A In1ektif Missal B 1 ≠ B 2 Kasus I

B 1=B 2= A 4ntuk B 1= A 4ntuk B 2= A

S A ( B1 )= B1= B1 ' 555555..6( maka S A ( B2 )= B2= B2 ' 5555555&6( Dari 6( dan &6( maka diperoleh S A ( B1 ) ≠ S A ( B2 )

Kasus II

B ≠B ≠ A

maka

, era erart rtii















S A ( B1 )= B1 dan '

+ehingga

S A ( B2 )= B2 '

S A ( B1 )= S A ( B2 ) S A ( B1 )= S A ( B2 )

)ndaikan Karena

B 1=S A ( B1 )= S A ( B 2) = B2 ' '

Maka

' +ehingga diperoleh B 1=B 2 ' dan ᒐ1= B2 Menurut teorama, 7Melalui dua titik han2a dapat diuat satu garis8 Ini kontradiksi dengan pern2ataan ahwa B 1 ≠ B 2 Pengandaian B 1 ≠ B 2 makaS A ( B1 )= S A ( B2 ) harus diatalkan.

Jadi, S A ( B1 ) ≠ S A ( B2 ) Jadi S A In1ektif Dari "( dan "&( maka diperoleh S A +ur1ektif dan S A In1ektif Karena S A +ur1ektif dan S A In1ektif, maka S A 3i1ektif Karena S A 3i1ektif, maka S A adalah suatu transformasi. Jadi, terukti ahwa suatu setengah putaran adalah transformasi.

Te&#e'a ()1 An$a An$ai* i*an an

A

+e#!&t&ngan $i

se+" se+"a a titi titi*, *,

A .

Ma*a

g $a $an S A = M g M h

h

$"a ga#is ga#is tega* tega* %"#"s %"#"s -ang -ang

h

dua dua gari gariss tega tegak k luru luruss 2ang ang

)

B"*ti .

A

Dike Diketa tahu huii

erpotongan di

se seuah uah titi titik, k,

A

P ≠ A a( Kasus I : P≠ g ⊥h Karen arenaa dengan

g

g

da dan

. maka maka dapat dapat dient dientuk uk seuah seuah sistem sistem sumu sumu ortho orthogon gonal al

seagai sumu 9 dan

h seagai sumu .

A

seagai titik

asal. )mil titik

P ∈ V

Perhatikan Gamar %.&

P' (− x , y g

P";,2(

A '

X















Ditun1ukkan ahwa untuk setiap

S A ( P )= P ' ' maka

( 0,0 )=

(

x1 + x y 1+ y ,

Diperoleh )rtin2a

2

2

erlaku

S A ( P P )= M g M h ( P P )

S A ( P P )= P' ' ( x x 1 , y 1 )

x , y ) ≠ A dan )ndaikan P ( x Karena

P

A

titik tengah

PP' PP '

sehingga

)

x 1+ x = 0 ⟺ x 1=− x

dan

〱1+ y =0 ⟺ y 1=− y

〱 A ( P ) =( − x , − y ) 555555555555555555"(

Komposisi pen0erminan

[

M g M h ( P )= M g M M h ( P ) < <

]

M g (− x , y ) (− x , − y )

)rtin2a M g M h ( P )=(− x , − y )

55555555555555555

"&( Dari persamaan "( dan "&( diperoleh Jadi,

¿ A ( P P )= M g M h ( P P ) .

S A = M g M h

( Kasus II : P= A Menurut Definisi,

S A ( A )= A

55555555555555555

"6(

M g M h ( A ) = M g ( A A )= A

555555555555555555."&6(

Dari persamaan "6( dan "&6( diperoleh Jadi,

S A ( A ) = M g M h ( A ) .

S A = M g M h .

Te&#e'a ()2 Ji*a g $an h $"a ga#is -ang tega* %"#"s 'a*a ' a*a M g M h= M h M g B"*ti P ≠ A a( Kasus I : P≠ P ≠ A , maka M g M h( P )= S A ( P ) . Karena P≠ M h M g ( P P )= M h ( M M g ( P P ) ) =㜵h ( ( x, x , − y ) )=(− D ,− y ) = 〰 A ( P ) .

P ) diperoleh M g M h( P )= S A ( P )= M h M g ( P Jadi, M g M h= M h M g















+ehingga diperoleh M g M h ( A ) = M h M g ( A ) . Jadi, M g M h= M h M g .

Te&#e'a ()/ Ji*a S A setenga !"ta#an, 'a*a S A= S A ) B"*ti )ndaik )ndaikan an g dan dan h dua garis garis 2ang tegak tegak lurus maka −1

M g M h=S A

A titik potong antara g dan h . ( M g M h)−1= M −1h M −1g =S−1 A . −1 −1 −1 Karena M h = M h dan M g= M g maka M h M g =S A . Karena g ⊥ h , maka menurut teorema %.&, M g M h= M h M g . +edangkan menurut teorema %., S A =てg M h . −1 +ehingga diperoleh S A= M h M g= M g M h =S A . −1 Jadi, S A= S A . dengan

Te&#e'a ()

x , y ) 'a*a S A ( P )=( 2 a− x , 2 b − y ) ) Ji*a A =( a , b ) $an P=( x, B"*ti P ≠ A a( Kasus I : P≠ S A ( P )= P maka Misa Misalk lkan an P =( {x} rsub {1} , {y} rsub {1} ) da dan A

titik tengah

P P sehingga diperoleh y 1+ y

(( ) ,( ))

(a , b) = Maka

x 1 + x 2

y 1 + y 2

x 1 + x 2

x 1 + x 2

2

=a dan

y 1 + y 2

=b sehingga diperoleh

=a ⟺ x1 + x =2 a ⟺ x 1=2 a− x =b ⟺ y 1 + y =2 b ⟺ y 1=2 b − y

55555555555.."6( 555555555555"&6(

x 1 , y 1 )=( 2 a − x ) , ( 2 b − y ) Dari persamaan "6( dan "&6( maka ( x P )=( x x 1 , y1 ) =( 2 a− x ) , (2 b − y ) Karena S A ( P )= P , maka S A ( P Jadi, S A ( P )=( 2 a− x , 2 b − y ) . ( Kasus II : P= A Karena P= A , maka ( x , y )= ( a ,b ) artin2a a = x dan b = y . ⍞ P )= S A ( A )= A =(a , b ) A ( P

( a , b ) =( ( 2 a−a ) , ( 2 b −b ) ) ¿ ( ( 2 a− x ) , ( 2 b − y ) )















()2 Lan"tan Setenga P"ta#an

Kita ingat kemali tentang refleksi atau pen0erminan. Definisi refleksi atau pen0erminan ialah .

M g ( A)

= A, A ∈ g

&.

M g ( P )

= P = , 2ang ersifat g adalah sumu ruas garis PP =

Jelas ahwa ∀ A ∈ g 2ang di0erminkan terhadap garis g maka ) erimpit dengan petan2a. Titik Titik 2ang demikian dinamakan titik tetap "in/ariant( refleksi.

Definisi A $ina'a*an titi* teta! in3a#iant4 t#ansf&#'asi T a!a+i%a +e#%a*" TA4 5 A

Dari definisi terseut, kita dapat memperoleh fakta ahwa seuah refleksi garis g memiliki tak hingga an2akn2a titik tetap 2aitu semua titik pada sumu refleksi g itu sendiri. +edangkan pada seuah setengah putaran di P "+ p(, maka satu>satun2a

∉ P dan P titik titik /arian adalah P, sea + p"P( < P dan + p"9( < 9? dengan X ∉ tengah ruas garis XX = . Definisi Se+"a t#ansf&#'asi T -ang +e#sifat +a6a se+"a ga#is !etan-a "ga ga#is $ina'a*an *&%ineasi

Karena setiap isometri0 adalah suatu kolineasi maka refleksi dan setengah putaran adalah suatu kolineasi. Diantara kolineasi terseut ada 2ang diseut dilatasi

Definisi S"at" *&%ineasi $ina'a*an s"at" $i%atasi sifat

∆ ( g )/ ¿ g

Te&#e'a Te &#e'a ()7

)

∆ i*a "nt"* setia! ga#is g +e#%a*"

















: +) seuah garis g, A ∉ g

Diketahui

3uktikan ahwa

S A ( g )/ ¿ g

3ukti : Misal

P ∈ g,danQ ∈ g

kare karena na

Q∈ g

P ∈ g

maka maka ) titik titik tengah tengah

maka ) titik tengah @

QQ

'

P P'

dengan

P' =S A ( P P )

denga dengan n

karena

Q' = S A ( Q )

P )

∆ APQ APQ ' dan dan ∆ AQP AQP '

Perhatikan 4ntuk

memuktikan

∆ APQ APQ ' dan dan ∆ AQP AQP ' m ( ¿ PA PA Q

'

ahwa

g'   g

maka maka

adalah kongruen.

)= m( ¿ QA P ' )

"sudut ertolak elakang(

PA PA= AP '

" karena ) titik tengah

P P'

(

QA = AQ


QQ

'

(

Menurut definisi kekongruenan "+ +d +( sehingga Karena Karena

∆ APQ APQ ' ≅∆ AQP'

∆ APQ' ∆AQP ' maka PQ P Q' = Q P' PQ P Q' = Q P' maka g'   g ≅

haru haruss

ditu ditun1 n1uk ukka kan n

















A ∉ g , A ∉ h Ditan2a

: tentukan semua X ∈ g , Y ∈ h ∋ A titik ten gah 9:

Jawa

: )mil P ∈ g Jika P = = S A ( P ) maka g = = S A ( g ) melalui P’ melalui P’ dan P dan PA A=AP’, g’//g Jika g? memotong h di  Tarik YA memotong g di 9 Maka 9 dan  pasangan titik 2ang di0ari Ilustrasi : 

h P?

g?

)

P

9

g

Dari Dari 0ont 0ontoh oh di atas, atas, ukt uktik ikan an ahw ahwaa 9 dan dan  satu satu>sa >satu tun2 n2aa pasan pasanga gan n 2ang 2ang memenuhi memenuhi pers2aratan, pers2aratan, dan 1ika tidak menggunakan menggunakan g = = S A ( g ) tapi tapi h= = = S A ( h ) apakah akan memperoleh pasangan lain lalu 1elaskan hal terseut

Dipun2ai

: garis g dan h tidak se1a1ar

A ∉ g , A ∉ h , Ditan2a

: )d 9 dan  satu>satun2a pasangan 2ang memenuhi pers2aratan.

















S A ( h ) =h'   h

karena

, maka

S A ( X X ) =# ∈ h

Karena titik potong dari dua garis atau leih akan han2a ada satu titik potong, Maka

X

dan

#

satu>satun2a pasangan .

X ∈ h ' , X ∈ g , X ∈ X# , dan dan# # ∈ h , # ∈ g' , # ∈ X# X dan # satu>satun2a pasangan.

sehingga 1adi,

Dipun2ai

: garis g dan h tidak se1a1ar

A ∉ g , A ∉ h , h= = = S A ( h ) Ditan2a Ditan2a

: )pakah ada pasangan pasangan lain 2ang memenuhi memenuhi pers2aratan pers2aratan selain 9 dan .

3ukti

:

Te&#e'a ()8 Hasi% *a%i $"a setenga !"ta#an $engan !"sat -ang +e#+e$a, ti$a* 'e'i%i*i titi* teta!

3ukti

:

Misal A, B ∈ V , A ≠ B )kan diuktikan S A S B tidak memiliki titik tetap Misal g < AB h

AB di ), k

AB di 3

















=

M g M h M g M k

[ M M M ] M = [ M M M ] M = [ M ( M M ) ] M =

g

h

g

k

h

g

g

k

h

g

g

k

= ( M h I ) M k = M h M k

)kan ditun1ukkan S A S B tidak memiliki titik tetap Misal 9 titik /arian S A S B

( M h M k ) ( X ) Jadi S A S B "9( < 9 sehingga

= X

Jadi

M h [ ( M h M k ) ]( X ) = M h " X ( ... ()

[ ( M h M h ) M k ]( X ) = M h " X (

...( &)

Dari "( dan "&( diperoleh

M h ( X ) Misal

= IM k ( X ) ⇔ M h ( X ) = M k ( X )

M k ( X )

"i(

= X 

Kasus  " X ≠ X  ( Misal X ≠ X 

→h≠

k

Karena h dan k adalah sumu ruas garis 99  dan ruas garis han2a memiliki satu sumu maka h
Kasus & " X = X  ( Misal X = X 

















Ilustrasi teorema %.' k

h g )

3

Te&#e'a ()( Ji*a Ji*a A ≠ B a$a%a $"a titi* 'a*a an-a a$a sat" setenga !"ta#an -ang 'e'eta*an A !a$a B

3ukti : Dipun2ai A ≠ B )kan diuktikan S T ( A)

=

B dengan T titik tengah ruas garis AB

Misal ada dua setengah putaran + D dan +E sehingga S D ( A) Jadi S D ( A)

= B dan

+E ( A) = B

= +E ( A)

− − Maka S D [ S D ( A) ] = S D [ +E ( A) ]

Karena +>D<+D maka A = S D [ +E ( A) ] Jadi 1ika D ≠ E , maka erarti ahwa ) adalah titik tetap dari S D S E Cal ini tidak mungkin ada leih dari satu setengah putaran 2ang memetakan ) pada 3. +atu>satun2a setengah putaran adalah + T")( < 3 dengan T titik tengah ruas garis AB



















3ukti : "( "( Jela Jelass +P"g( < g? suatu garis. Misal A ∈ g , B ∈ g Maka A ∈ g = , B ∈ g = dan P) < P)?, P3 < P3? P) < P)? P)?, P3 < P3?, P3?, dan dan m( ∠ APB )

Kare Karena na

=

m( ∠ A= PB =) sehingga

PAB B ≅ ∆ PA PA= B " s sd s) ∆ PA Jelas m( ∠ B = A= P )

=

m( ∠ BAP )

Jadi g+P"g( dan +P seuah dilatasi "&( "&( Karen Karenaa

S p S p ( A)

= S p ( A=) = A , maka ∀ A ∈ g ∋ S P S P ( g ) = I ( g )

Jadi, S P S P = I . Cal ini erarti +P ersifat in/oluntorik Dari pern2ataan "( dan "&( diperoleh fakta ahwa + P seuah dilatasi ersifat in/olu in/olunto ntorik rik.. )tau )tau dengan dengan kata lain lain suatu suatu setenga setengah h putaran putaran adalah adalah suatu suatu dilatasi 2ang ersifat in/olutorik. Ilustrasi

: 3

















( ⇒) )mil A ∈ T ( H ) Jadi ∃ X ∈ H ∋ A = T ( X ) −

maka T ( A)

= T −[T ( X ) ] = (T −T )( X ) = I ( X ) = X

− Jadi, T ( A ) ∈ H

( ⇐) )mil T − ( A) ∈ H − Cal ini erarti T T ( A)

∈ T ( H ) atau ) ∈ T( C)

Aontoh : Dipun2ai

:

E = ( x, y ) x & + # y & = '

Misal ) < "#,>*( dan A < "*,( g adalah adalah sumu sumu 9 Ditan2a

: +elidiki apakah

Jawa

:

A ∈ M g S c ( E )

 ( M g S c ) = S c M  g = S c M g Jelas −

)mil P < ";,2(

−

−

















Menu Menuru rutt teor teorem emaa %.B, %.B, A ∈ T ( H )

M g S c ( E )

↔ T − ( A) ∈ H .

−

c

Jadi haruslah

maka

= ( ' − x,& + y )

( M S ) ( P ) ∈ E ↔ ( ' − x,& + y ) ∈ ( x, y ) x −

Jadi,

,

↔ ( M g S c ) − ( P ) ∈ E . 3erdasarkan perhitungan 2ang telah dilakukan

( M g S c ) ( P ) seelumn2a, 1ika P = ( x, y ) maka g

tran transfo sform rmasi asi T adal adalah ah

E = ( x, y ) x & + # y & = '

de dengan

P ∈ M g S c ( E )

Jika Jika

&

&

+ # y = '

( ' − x) & + #( & + y ) & = '

Cal ini erarti ahwa

P ∈ M g S c ( E )

↔ P ( x, y ) ∈ { x & + # y & − & x + ' y + *' = $}

& +ehingga diperoleh fakta ahwa x

peta E oleh transformasi

M g S c

+ # y & − & x + ' y + *' = $ adalah persamaan

.

Latian S&a% a%a'an 89 . Dike Dikett : tit titik ik ), 3, 3, P tak tak seg segari ariss dan dan er ered eda. a. Fukis : S ( P P ) a.

















 )

S A S B ( P P ) d.

3 P

S B S A ( P P )

S A ( P P ) ) 3 P

e.

S B S A ( P P )

S A2 ( P ) S A ( P P ) )

3 2 < ¿ S A ( P ) &. Dik Diket : garis aris g dan titik A , A ∉ g P Ditan2a : a( Fuki Fukisa san n gar garis is g1= S A ( g ) dan mengapa ( 3uktikan ahwa g' / ¿ g . Jawa :

g

seuah garisH

















4ntuk memuktikan ahwa

∆ APQ' APQ' dan dan ∆ AQP' AQP'

g'   g

maka harus ditun1ukkan

adalah kongruen.

"sudut ertolak elakang( m ( ¿ PA PA Q' )= m( ¿ QA P' ) PA PA= AP ' " karena ) titik tengah P P' (

Q' A = AQ


Q Q'

(

Menurut defnisi kekongruenan (S Sd S) sehingga Karena Karena

*. Diket

:

∆ APQ APQ ' ∆ AQP' ≅

∆ APQ' ∆AQP ' maka PQ P Q' = Q P' PQ P Q' = Q P' maka g'   g ≅

&X #  &X#.

∆ AB% dan 1a1argen1ang

∆ AB% dan diluar 1a1argen1ang Ditan2a : a( Fukisan S ( ( ∆ AB% ) ( Titik J ∋ S ) ( &X# ) =&X# Jawa : a( Fukisan S ( (∆ AB% ) 3

A?

, K terletak diluar daerah

)?



















b)

M −1k ( % )=%

dan

S *= M k M m

. Dike Dikett : ) < "&, "&,*( *( Ditan2a: a. +)" A ( apaila A < "&,*( . +)" D ( apaila D < ">&,%( 0. +)" E ( apaila E< "#,>( d. +)" P ( apaila P < ";,2( Jawa: a. A < "&,*( +)" A ( < "&.& > &, &.* > *( < "&,*( . D < ">&,%( +)" D ( < "&.&>">&(, &.*>%( < "',>( 0. E< "#,>( +)" E ( < "&.&>#, &.*>">(( < "$,%(

















. K < ", >#( +3"K(

< "&.&>, &.' > ">#( < "*, '(

+D+3"K( < +D"*,'( < "&.$ > *, &.">*( > '( < ">*, >&&( 0. +D"K(

< "&.$ > , &.">*( > ">#(( < ">, >&(

+3+D"K( <+3">, >&( < "&.& > ">(, &.' > ">&(( < ", #( d. Menu Menuru rutt teor teorem emaa %.* %.* >

















P ( x x , y ) M g S % ( P P ) = M g ( 2. (−4 )− x , 2.3− y ) ¿ M g (−8 − x , 6 − y ) ¿ ( y −6, x +8 ) M −1 c. ( ¿ ¿ g S % ) ( P P )=( S % −1 M g−1 ) ( P ) b.

¿

Berdasarkan

teorema

7.3

dan

6.3

diperoleh

S A−1= S A dan M g− 1= M g , sehingga diperoleh M −1 ( ¿ ¿ g S % ) P P ) ( P )=( S % −1 M g−1 ) ( P ¿ ¿ ( S % M g ) ( P P )

¿ S % M - ( ᒐ , # ) )

















Misal

A=(a , b) B =( + , d )

D=( x x , y ) D )= S B ( D D ) Karena S A ( D ( 2 a− x , 2 b − y )=( 2 + − x , 2 d − y ) maka 2 a− x = 2 + − x diperoleh ⇔ 2 a =2 + ⇔ a =+ 2 b− y =2 d − y dan ⟺ 2 b =2 d ⟺ b= d Karena a =+ dan b =d Maka ( a , b ) = ( + , 敡 ) sehingga A = B Jadi dapat ditarik suatu akiat 2aitu A = B / )= / x , y ) ⟹ Misal A ( a , b ) , / ( x, c. S A ( / S A ( / / )=( 2 a − x, x , 2 b− y )

















= S B ( &a − x,&b − y ) = ( &c − ( &a − x ) ,&d − ( &b − y ) ) = ( &c − &a + x,&d − &b + y ) S B S A ( P ) = ( − &a + &c + x,−&b + &d + y )

...( &)

Dari "( dan "&( diperoleh fakta ahwa

( &a − &c + x,&b − &d + y ) ≠ ( − &a + &c + x,−&b + &d + y ) S A S B

≠ S B S A

Jadi, ∀ A ≠ B, S A S B ( Dipun2ai

=

S B S A merupakan pern2ataan 2ang salah

: setiap setengah putaran adalah suatu isometri0 langsung

Ditan2a n2a

: se selidiki ap apakah pe pern2 rn2ata ataan te terse seut e enar

Jawa

:

Menu Menuru rutt

defi defini nisi si

suat suatu u

tran transf sfor orma masi si

isom isomet etri ri00

lang langsu sung ng

apa apail ilaa



















A B = =

( ( & x& − x ) − ( & x − x& ) ) & + ( ( & y& − y ) − ( & y − y& ) ) & ( & x& − x − & x + x& ) & + ( & y& − y − & y + y& ) &

=

( * x& − * x ) & + ( * y& − * y ) &

=

B( x& − x ) + B( y& − y )

=*

&

( x& − x ) & + ( y& − y ) &

&

















g dan h ada di A (−1,0 ) A titik potong g dan h

titik potong B ( 3,4 ) ∈ g

Sehingga

A dan B

Persamaaan

B (3,4 )

garis

∈g

g me melalui

A (−1,0 )

dan

















f.

"Mg+3(>

+eles elesai aian an :

#. Diketah Diketahui:t ui:tiga iga titik titik ), 3, 3, A 3uktikan: 3ukti:

( S A SB )−1= S B S A

















Pen&elesaian( a. iket ( A!"#")# $ $!-%#1) itan&a ( tentukanlah tentukanlah K sehinga sehinga Ja*ab ( =( x , y ) +isal ( =( ⇔

(

S A S B ( ( ( ) =( 6,2 ) S A S B ( x x , y ) =( 6,2 ) )

S A S B ( ( ( ) =(6,2 )

















y =2 〰 + 13 Jadi, g' ={( x, x , y )∨ y = 2 x + 13 } . Kasus I )mil titik 2 = A 2 (−1,4 )∈ h S A ( h ) =h' , 2 ∈ h,danS A ( 2 2 )= 2 ' Maka 2 ' ∈ h ' S A ( 2 2 )=( 2. (−1 )−(−1 ) , 2.4 − 4 )















































































































































































































makalah setengah putaran

Recommend Documents