ROTASI (PUTARAN)

ROTASI (PUTARAN) Diajukan untuk memenuhi tugas mata kuliah GEOMETRI TRANSFORMASI yang diampuh oleh Ekasatya Aldila A., M.Sc.

Di susun oleh:

ZAKKINA GAIS

NIM: 13511008

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP) GARUTJl. Pahlawan No. 32 Telp. (0262) 233556 Fax. (0262) 540649 Tarogong – Garut

ZAKKINA GAIS 13511008

INDIVIDUAL PROJECT “GEOMETRI TRANSFORMASI”

BAB XI PUTARAN (ROTASI) Buku Rawuh 11.1 Ketentuan dan sifat-sifat sederhana putaran Telah anda ketahui bahwa hasilkali transformasi yang terdiri atas dua reflexi adalah suatu setengah putaran dengan pusat titik potong sumbu-sumbu reflexi apabilasumbu-sumbu ini tegak lurus. Apabila sumbu-sumbu reflexi itu sejajar maka hasilkali dua reflexi menghasilkan suatu geseran (translasi). Hal yang akan anda pelajari kali ini adalah hasilkali dua reflexi yang sumbu-sumbunya tidak tegak lurus dan tidak pula sejajar. Untuk ini akan didefinisikan sudut yang berarah.

Definisi

• Sebuah sudut yang berarah adalah suatu sudut, yang salah satu kakinya ditentukan sebagai kaki awal dan kaki yang lain sebagai kaki akhir

Catatan

• Bandingan dengan ruas garis berarah. Di sini ada titik awal dan titik akhir.

Untuk melambangkan suatu sudut misalnya ∠𝐴𝐵𝐶 adalah sudut arah dengan sinar BA sebagai kaki awal dan sinar BC sebagai kaki akhir. Kita tulis ↗ ABC. Lambang ↗ ABC adalah untuk sudut berarah dengan kaki awal BC dan kaki akhir BA. Untuk melambangkan besarnya sebuah sudut berarah kita tentukan hal-hal berikut : m ( ↗ ABC ) = m (∠𝐴𝐵𝐶) apabila orientasi ganda (BAC) adalah positif. m ( ↗ ABC ) = - m (∠𝐴𝐵𝐶) apabila orientasi ganda (BAC) adalah negatif. Gambar 11.1 C

B

C

A

B

m ( ↗ ABC ) = 45

I

A

H

m ( ↗ ABC ) = 45

G m ( ↗ GHI ) = 150

M

Y

Z

R N

P m ( ↗ PNM ) = -90

X

S

T

m ( ↗ RST ) = < 0

m ( ↗ XYZ ) > 0

Page | 1


INDIVIDUAL PROJECT “GEOMETRI TRANSFORMASI” Apabila ∠ABC sebuah sudut, maka ∠ABC = ∠CBA sehingga m (∠ABC) = m (∠CBA). Tetapi untuk sebuah sudut berarah ABC, berlaku m ( ↗ ABC = m ( ↗ CBA ). Ini disebabkan oleh orientasi ganda (BAC) selalu lawan orientasi ganda (BCA) Apabila ada dua garis berpotongan yang tidak tegaklurus, sudut antara dua garis itu kita pilih sudut lancip. Sebab ada dua pasang sudut bertolak belakang, satu pasang lancip dan satu pasang tumpul. Pada gambar 11.2 besarnya sudut antara gari s dan garis t adalah 70, sedangkan besar sudut antara garis s dan garis u adalah 80. Gambar 11.2 u

t 80

s

70

Gambar 11.3 s

C

A P

t

B

Kita sekarangan lebih merinci sudut antara dua garis sebagai berikut. Andaikan garis s dan garis t berpotongan di titik A (gambar 11.3). Andaikan P sebuah titik pada s sedang B dan C dua titik t sehingga A terletak antara B dan C. Jika ∠PAB lancip, maka dikatakan bahwa sudut dari s ke t adalah sudut ∠PAB. Jika ∠PAB tumpul, maka sudut dari s ke t adalah ↗ 𝑃𝐴𝐶. Pada gambar 11.3 jika m ( ∠PAB ) = 150, maka besarnya sudut dari s ke t adalah m (↗ 𝑃𝐴𝐶) = 30 sedangkan besarnya sudut dari t ke s adalah m (↗ 𝐶𝐴𝑃) = 30 t

B

u

C P

70

D

30

s

A

E Gambar 11.4

Page | 2


INDIVIDUAL PROJECT “GEOMETRI TRANSFORMASI” Pada gambar 11.4 anda dapat melihat bahwa : (1) Sudut dari s ke t : 𝑚 (↗ 𝐴𝑃𝐵) = 70 (2) Sudut dari s ke u : 𝑚 (↗ 𝐷𝑃𝐶 ) = −80 (3) Sudut dari u ke t : 𝑚 (↗ 𝐶𝑃𝐵) = −30 Sehingga dapat dikatakan bahwa sudut berarah dari satu garis ke garis lain dapat berkisar antara -90 hingga +90. Sedangkan sudut antara dua garis dapat berkisar antara 0 dan 90. Dengan didasari oleh sudut-sudut berarah ke atas kita sekarang dapat menyelidiki lebih lanjut hasilkali reflexi-reflexi yang sumbu-sumbunya tidak saling tegak lurus dan juga tidak sejajar. Sifat ini dituangkan dalam teorema berikut.

Teorema 11.1 :  Andaikan s dan t dua garis yang tidak saling tegak lurus dan yang berpotongan di titik A. Andaikan P dan Q dua titik yang berlainan dengan A. Maka 𝑚 ( ↗ 𝑃𝐴𝑃") = m ( ↗ QAQ") , dengan P”= MtMs (P) dan Q”= MtMs (Q)

Bukti : Kasus I. Andaikan P dan K terletak pada s (gambar 11.5.a)

P”

K”

K”

P” t

t

A

A K

P’ P

K

s

Gambar 11.5.a

P

s

Gambar 11.5.b

P’

K”

P t

A K s

P’ Gambar 11.5.c

Page | 3



Maka MtMs (A) = A. Sebut peta ini A”, jadi A” = A, oleh karena MtMs sebuah isometri, maka P”,K” dan A”=A terletak pada satu garis yang melalui A. Sehingga 𝑚 ( ↗ 𝑃𝐴𝑃” ) = m ( ↗ KAK” ) Apabila P  s, dan karena besarnya sudut-sudut tidak berubah terhadap isometri maka 𝑚 ( ↗ 𝑃𝐴𝐾) = 𝑚(∠𝑃"AK") Oleh karena komposit dua reflexi garis adalah sebuah isometri langsung maka orientasi ganda (APK) sama dengan orientasi ganda (AP”K”). Jadi 𝑚 (↗ 𝑃𝐴𝐾) = 𝑚( ↗ 𝑃” AK” ). Kasus 2. Apabila kedudukan P seperti dalam gambar 11.5.b maka 𝑚(↗ 𝑃𝐴𝑃 ) = m ( ↗ PAK) + m ( ↗ KAP”). Sedangkan 𝑚 ( ↗ 𝐾𝐴𝐾) = m ( ↗ KAP” ) + 𝑚 ( ↗ 𝑃”AK”). Sehingga 𝑚 ( ↗ 𝑃𝐴𝑃”) = m ( ↗ 𝐾𝐴𝐾”) Kasus 3. Dengan cara yang serupa untuk kedudukan P seperti pada gambar 11.5.c, dapat pula dibuktikan bahwa 𝑚 (↗ 𝑃𝐴𝑃") = 𝑚 (↗ 𝐾𝐴𝐾"). Coba Anda buktikan sendiri Jadi untuk seriap titik P ≠ A kita peroleh 𝑚(↗ 𝑃𝐴𝑃”) = 𝑚(↗ 𝐾𝐴𝐾”) Begitu pula titik Q : 𝑚(↗ 𝑄𝐴𝑄”) = 𝑚(↗ 𝐾𝐴𝐾”) Sehingga 𝑚(↗ 𝑄𝐴𝑄”) = 𝑚(↗ 𝑃𝐴𝑃”) Jadi oleh transformasi MtMs setiap titik terputar dengan sudut berarah yang sama mengelilingi titik yang sama.

Definisi

• Andaikan A sebuah titik dan φ sebuah bilangan yang memenuhi -180 < φ < +180. Sebuah rotasi mengelilingi A adalah sebuah padanan RAφ : V  V yang ditentukan sebagai berikut: • RAφ (A) = A • Jika P ≠ A maka RAφ (P) = P’ sehingga m ↗ PAP ′ = φ dan AP’ = AP.

Page | 4



RA,60 (P) = P’ P 60 A

Q= Ra,60 (Q) Q Gambar 11.6

Teorema 11.2

• Jika s dan t dua garis yang tidak tegak lurus dan yang berpotongan di A dan jika sudut antar garis s ke garis t adalah setengah φ, maka RAφ = MtMs

Bukti :

K’ t

1 2

A

φ K Gambar 11.7

Andaikan sebuah titik P ≠ A dan titik K ≠ A pada s. Andaikan K’= MtMs (K) maka 1 m (↗ KAK ′ ) 2 x 2 φ = φ. Jika P’= MtMs (P) maka menurut teorema 11.1 m(↗ PAP′ ) = m (↗ KAK ′ ) sehingga m(↗ PAP′ ) = φ

Berhubung dengan A’= MtMs (A) =A dan berhubung MtMs sebuah isometri maka P’A’= PA atau PA = P’A’ , menurut ketentuan maka MtMs = RAφ Menurut teorema di atas, komposit dua reflexi terhadap dua garis yang berpotongan tidak tegak lurus adalah sebuah rotasi dengan kedua garis itu sebagai pusat. Jika kaki-kaki sudut BA dan BC membentuk dua sinar yang berlawanan arah, sehingga misalnya (CAB), kita jiga dapat mengatakan bahwa BA  BC adalah sudut
Page | 5


INDIVIDUAL PROJECT “GEOMETRI TRANSFORMASI” Dengan perluasan konsep sudut ini, kita juga dapat mendefinisikan rotasi dengan sudut berukuran +180 atau -180. Maka rotasi demkian tidak lain suatu setengah putaran. Sehingga dapat dikatakan bahwa Akibat 1 : Hasil kali dua reflexi pada 2 garis adalah suatu rotasi atau suatu transisi. Oleh karena stiap rotasi dapat diuraikan sebagai dua reflexi garis,maka Akibat 2 :Setiap rotasi adalah suatu isometri langsung Contoh : Jika RAφ, sebuah rotasi yang memetakan P pada P’. Tentukan dua pasang garis yang dapat digunakan sebagai sumbu-sumbu reflexi sehingga komposit reflexi-reflexi ini adalah yang diketahui. Penyelesaian : S

t u

P P’ xx

x

v

Gambar 11.8

1

1) Andaikan s = ‘AP , t garis bagi
adalah q. Maka juga RAQ = MvMQ 2

11.2 Komposisi ( hasilkali ) putaran Dalam pasal terdahulu telah anda lihat bahwa hasilkali atau komposisi dua putaran dengan satu pusat adalah sebuah putaran dengan pusat yang sama atau adalah transformasi identitas. Transformasi identitas ini dapat dianggap sebagai sebuah putaran pula dengan sudut putaran sebesar 0. Jadi dapat dikatakan bahwa himpunan putaran-putaran mengelilingi titik yang sama adalah tertutup terhadap komposisi. Pada gambar 11.9 dapat dilihat bahwa : P’ P”

P’ P’

B

40

P

120

120 150

30

C

P

-90

P P”

P” Gambar 11.9 Page | 6


INDIVIDUAL PROJECT “GEOMETRI TRANSFORMASI” RA.120 RA.30 = RA.-160 : RB.40 RC.-90 = RB. – 120 RC.150 RC.120 = RC.-90 Dengan demikian, ditambah bahwa (R Aφ)-1 = R Aφ , maka himpunan rotasi-rotasi mengelilingi satu titik A adalah sebuah grup Bagaimana apabila pada sebuah titik pada bidang dilakukan dua rotasi mengeliling dua titik berbeda A dan B masing-masing dengan sudut rotasi masing masing φ 1 dan φ2 Jawaban dari pertanyaan tersebut dapat dituangkan dalam teorema berikut. Teorema 11.3 : Hasil kali dua rotasi adalah sebuah rotasi atau sebuah translasi. Bukti :

t

y u

Q2 01

x

x

A

B

C

Z

s

x

P

Gambar 11.10

1

Andaikan ada rotasi R Aφ1 dan rotasi R BφZ. Tarik garis s = AB , jika m (↗ XAY) = m (↗ XAZ) = 2 φ2 maka R Aφ1 = MsMt dan R BZ = MuMs. Jadi R BφZ R Aφ1 = (MuMs )(MsMt)= MuMt Apabila u // t , maka RB2RA1 adalah suatu geseran. Kalau u dan t berpotongan di C maka M sMt adalah suatu rotasi yang berpusat di C. Andaikan Rc = RB2RB1 hubungan apakah terdapat antara ,1 dan 2 ? 1

1

Dari gambar 11.10 kita lihat bahwa m(↗ ABC) = 2 2 sedangkan m(↗ BAC) = 2 1 . dengan 1

1

demikian m(↗ PCB) = 2 (1+2) . Ini berarti bahwa sudut dari t ke u adalah 2 (1 + z). Sehingga 2 = 1 + 2 .

Jika 1 + 2 > 180 maka  = (1 + 2 ) - 360 Sebagai gambaran , andaikan 2 = 140 dan 1 = 60. Dalam hal ini m(
Page | 7


INDIVIDUAL PROJECT “GEOMETRI TRANSFORMASI” Kalau RB2RA1 = RC 1) 2) 3) 4)

0 < |1 + 2| ≤ 180 maka  = 1 + 2 1 + 2 > 180, maka  = (1 + 2) – 360 1 + 2 < -180, maka  = (1 + 2) + 360 1 + 2 = 0, maka hasilkali rotasi itu adalah suatu translasi

Perputaran (Rotasi) Catatan pembelajaran Definisi: Sudut Berarah sebuah sudut berarah adalah suatu sudut yang salah satu kakinya di tentukan sebagai kaki awal dan kaki yang lain sebagai kaki akhir.

↗ lambang sudut berarah ↗ ABC

kaki awalnya BC dan kaki akhirnya BA

↗ CAB

kaki awalnya BA dan kaki akhirnya BC

Teorema 11.1 : Andaikan s dan t dua garis yang tidak saling tegak lurus dan berpotongan di titik A P” Ps, Qs Q” P”=MtMs (P) t

A

Q”=MtMs (Q) MtMs(A) = A = A”

Q P

s

Q”

Qs

P”

Ps m(↗ MP” ) = m(↗ PAQ) + m(↗ QAP” )

A P’ P

m(↗ QAQ” ) = m(↗ QAP”) + m(↗ Q”AP” ) Sehingga m(↗ PAP” ) = m(↗ QAQ” )

Q P Page | 8


INDIVIDUAL PROJECT “GEOMETRI TRANSFORMASI” oleh transformasi MtMs setiap titik terputar gengan sudut berarah yang sama mengeilingi titik yang sama.

Teorema 11.2 : Jika s dan t dua garis yang tidak tegak lurus dan yang berpotongan di A dan jika sudut antar garis s ke garis t adalah setengah φ, maka RAφ = MtMs. P”

:

t

1

PP” = 2 x 2  = 

P’

P

s

“Pencerminan berturut turut terhadap 2 garis yang tidak tegak lurus adalah rotasi terhadap titik potong kedua cermin dengan sudut 2 kali sudut cermin. ”

ROTASI Rotasi Rotasi

dengan

pusat (0,0) dan sudut putar α Rotasi

dengan

pusat P(a,b) dan sudut putar α

Rumus 0 ,  A x, y  R  A'  x ' , y '

dengan x '  x cos   y sin 

Matriks

 x '   cos       y '   sin 

 sin   x    cos   y 

y '  x sin   y cos   P ,  A x, y  R  A'  x ' , y '

dengan x ' a   x  a  cos    y  b  sin  y 'b   x  a  sin    y  b  cos 

 x '   cos       y '   sin 

 sin   x  a   a     cos   y  b   b 

Keterangan α + : arah putaran berlawanan putaran jarum jam α - : arah putaran searah putaran jarum jam SIFAT-SIFAT Dua rotasi bertumt-turut mempakan rotasi lagi dengan sudut putar dsama dengan jumlah kedua sudut putar semula.Pada suatu rotasi, setiap bangun tidak berubah bentuknya. Catatan:

Page | 9


INDIVIDUAL PROJECT “GEOMETRI TRANSFORMASI” Pada transformasi pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan perputaran (rotasi), tampak bahwa bentuk bayangan sama dan sebangun (kongruen) dengan bentuk aslinya. Transformasi jenis ini disebut transformasi isometri.

Perputaran (rotasi) Rotasi adalah perpindahan obyek dari titik P ke titik P’, dengan cara diputar dengan sudut . x’ = x cos() - y sin() y’ = x sin() + y cos()

Untuk memudahkan perhitungan, maka dibuat notasi dalam bentuk matrik :

 x   cos  -sin    x   y     sin cos   y       dengan :   

sin θ dan cos θ adalah fungsi linier dari θ x’ kombinasi linier dari x dan y y’ kombinasi linier dari x dan y Bukti : Titik A berpindah ke titik A’ sejauh α. Dalam koordinat kutub, titik A(a,b) ditulis : A(r cos θ, r sin θ). Sedangkan A’(a’,b’) ditulis : A’(r cos (θ + α), r sin (θ + α)). Maka, diperoleh :

Matrik transformasi untuk titik yang dirotasi terhadap titik pusat O (0,0)

Page | 10



Pengerjaan Soal 1. Diketahui m(∠ABC) = 40° dan m (∠BAD) = 120°. Tentukan a. m(↗ DAB), m(↗ BCA) jawab : a. m(↗ DAB) = -120° m(↗ BCA) = -40° 2. Diketahui A = (0,0), g = {(x,y)| x = 0} dan l = {(x,y)|x = y } a. Tentukan peta oleh MtMg dari titik B = (1,0), C = (0,3) dan D= (2,-2) b. Jika P = (x,y) tentukan koordinat-koordinat MtMg (P) c. Tulislah MlMg sebagai satu transformasi. Jawab : a. Peta oleh MlMg dari titik B = (1,0) C=(0,3) D=(2,-2) 1. MlMg (B) = MlMg (1,0) =Ml (-1,0) = (0,-1) 2. MlMg (C) =MlMg (0,3) =Ml(0,3) =(3,0) 3. MlMg (D) =MlMg(2,-2) =Ml(-2,-2) =(-2,-2) b. Jika P = (x,y) tentukan MlMg (P) MlMg (P) = MlMg (x,y) =Ml(-x,y) =(y,-x) c. Tulis MlMg sebagai satu transformasi MlMg = 90° 1

1

3. Diketahui A= (0,0). Tentukan rotasi yang memetakan titik B = (1,0) pada B’= (-2 . 2 √3 ) Jawab : ) = (cos∝ RD (0,0) (𝑥, 𝑦) = (𝑥′ 𝑦′ sin∝

− sin∝ ) (𝑥𝑦) cos∝

𝑥 = cos 𝐵 𝑦 = sin 𝐵 ′ 𝑥 = cos(∝ +𝐵) 𝑦 ′ = sin(∝ +𝐵) 𝑥′ cos(∝ +𝐵) cos ∝ sin 𝐵 − sin ∝ sin 𝐵 𝑥 cos ∝ −𝑦 sin ∝ ( ′) = ( )=( )=( ) 𝑦 sin(∝ +𝐵) sin ∝ cos 𝐵 + cos ∝ cos 𝐵 𝑥 cos ∝ −𝑦 sin ∝ cos ∝ −sin ∝ 𝑥 =( )( ) 𝑦 sin ∝ cos ∝

Page | 11


INDIVIDUAL PROJECT “GEOMETRI TRANSFORMASI” −sin∝ ) (𝑥−𝑎 ) + (𝑎𝑏) RA(0,0) (𝑥, 𝑦) = (cos∝ 𝑦−𝑏 sin∝ cos∝ 1 −2 cos ∝ cos ∝ −sin ∝ 1 ) (1 ) = ( )( ) = ( 0 sin ∝ sin ∝ cos ∝ √3 2

∝= 150°

Page | 12

ROTASI (PUTARAN)

Recommend Documents