Soal Dan Solusi Kalkulus

1001 Pembahasan UAS Kalkulus I

KATA PENGANTAR Sebagaian besar mahasiswa menganggap bahwa Mata Kuliah yang berhubungan dengan menghitung yang salah satunya Kalkulus adalah susah, rumit dan memusingkan. Alhasil jalan keluar yang ditempuh untuk mengatasinya adalah mahasiswa menghafal teknik (urutan cara) menjawab soal, bukan memahami inti persoalan, materi, dan bagaimana mendapatkan ide menyelesaikan soal. Sebagian lagi menganggap pemahaman materi saja sudah cukup. Pengalaman saya, mahasiswa yang baru memahami sebuah materi secara intuitif tetap saja akan kesulitan ketika menjawab persoalan. Kesulitan bukan karena tidak tahu jawabannya, tetapi kurang pandai bagaimana cara mengungkapkannya.

Kemampuan seseorang menuangkan apa yang

difahaminya ke dalam tulisan yang sistematis dan bisa dimengerti orang lain juga penting, karena orang khususnya dosen ketika UAS menilai apa yang kita tulis pada lembar jawaban bukan apa yang ada di dalam otak kita. “1001 soal dan pembahasan “ ini dibuat bukan dengan tujuan agar mahasiswa pembaca menghafal teknik menjawabnya, melainkan supaya pembaca dapat lebih memahami materi, dan berlatih mengungkapkan apa yang difahami. Tentunnya tulisan ini tidaklah cukup bagi pembaca, text book dan penjelasan dari dosen tetaplah lebih utama, jadikan soal- soal yang ada disini sebagai latihan, sekedar untuk melihat kebenaran jawaban anda atau ketika anda merasa sudah mengalami kebuntuan, baru silahkan pembaca menyimak pembahasannya. i


Semoga bermanfaat ! Penulis

Arip Paryadi

ii


DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ...................................................................................... i DAFTAR ISI ................................................................................................. iii MATHEMATIC FORMULAE ....................................................................... v SOAL SOAL ................................................................................................... 2 Uas 2009-2010 Kalkulus I MA1114 (SP).................................................... 3 Uas 2008-2009 Kalkulus I MA1114............................................................ 4 Uas 2007-2008 Kalkulus I MA1114............................................................ 5 Uas 2006-2007 Kalkulus I MA1114............................................................ 6 Uas 2005-2006 Kalkulus 1 MA1114 ........................................................... 7 Uas 2004-2005 Kalkulus I MA1114............................................................ 8 Uas 2003-2004 Kalkulus I MA1122............................................................ 9 Uas 2003-2004 Kalkulus I PU1333 ........................................................... 10 Uas 2003-2004 Kalkulus I MA1314......................................................... 11 Uas 2002-2003 Kalkulus I PU1333 ........................................................... 12 Uas 2002-2003 Kalkulus I MA1314.......................................................... 13 Uas 2002-2003 Kalkukus I ........................................................................ 14 Uas 2001-2002 Kalkulus I DA1314 .......................................................... 15 Uas 2000-2001 Kalkulus I ......................................................................... 16 PEMBAHASAN ............................................................................................ 17 Uas 2009-2010 Kalkulus I MA1114 (SP).................................................. 18 Uas 2008-2009 Kalkulus I MA1114.......................................................... 21 Uas 2007-2008 Kalkulus I MA1114.......................................................... 25 Uas 2006-2007 Kalkulus I MA1114.......................................................... 28 iii


Uas 2005-2006 Kalkulus I MA1114.......................................................... 32 Uas 2004-2005 Kalkulus I MA1114.......................................................... 36 Uas 2003-2004 Kalkulus I MA1122.......................................................... 40 Uas 2003-2004 Kalkulus I PU1333 ........................................................... 45 Uas 2003-2004 Kalkulus I MA1314.......................................................... 49 Uas 2002-2003 Kalkulus I PU1333 ........................................................... 52 Uas 2002-2003 Kalkulus I MA1314.......................................................... 56 Uas 2002-2003 kalkulus I .......................................................................... 61 Uas 2001-2002 Kalkulus I DA1314 .......................................................... 66 Uas 2000-2001 Kalkulus I ......................................................................... 71 TRIGONOMETRY FORMULAE ................................................................ 76

iv


MATHEMATIC FORMULAE

(uv )' = u ' v + v' u

∫ udv = uv − ∫ vdu

'

 u  u ' v − v' u   = v2 v

n ∫ x dx =

1 dx = ln x + c x

du du dy = ⋅ dx dy dx

∫

(x )' = nx (e )' = e (a )' = a ln a

ax ∫ e dx =

n −1

n

x

x

x

x

∫

x n +1 +c n +1

1 ax e +c a

 x = sin −1   + c a a −x dx

2

2

(sin x ) ' = cos x

∫ sin xdx = − cos x + c

(cos x)' = − sin x (tan x)' = sec2 x (cot x)' = − csc2 x (sec x)' = sec x tan x (csc x)' = − csc x cot x

∫ cos xdx = sin x + c

(ln x ) = 1 x '

(ln f ( x))' =

1 f ' ( x) f ( x)

'

(cos x) = − −1

'

1

'

∫ tan xdx = − ln cos x + c ∫ cot xdx = ln sin x + c ∫ sec xdx = ln sec x + tan x + c

∫

dx 2

x +a

2

=

1  x tan −1   + c a a

1− x2 1

(tan x) = 1 +1x −1

x2 + a2

 x = sinh −1   + c a

1− x2 1

(cot x) = − 1 + x −1

dx

∫ csc xdx = ln csc x − cot x + c

(sin x ) = −1

∫

2

'

2

v

1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I

SOAL SOAL

Arip Paryadi , IT Telkom

2


UJIAN AKHIR SEMESTER PENDEK 2009/2010 KALKULUS I/MA1114 15 AGUSTUS 2009 TUTUP BUKU Uas 2009-2010 Kalkulus I MA1114 (SP) 1. Diketahui daerah D dibatasi kurva y = x , garis y = 1 , garis x = 4 . a. Gambarkan daerah D b. Hitung luas daerah D c. Hitung volume benda putar bila D diputar terhadap sumbu y. 2. a.

Cari turunan dari y = e sin

(

b. Hitung lim e − x + x 2 x →∞

)

1

x

−1

x

bila ada

3. Hitung integral π

2

5 ∫ cos xdx

a.

0

b.

∫

x−3

dx

2

x − 6 x + 10 ∞

4. Periksa kekonvergenan integral tak wajar ∫

x+4

0 (x + 3)( x − 2 )

No Nilai

1a 2

1b 4

1c 7

2a 4

2b 7

3a 7

dx

3b 7

4 7

Selamat Bekerja dengan Jujur !


3


UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2008/2009 KALKULUS I MA1114 SELASA / 13 JANUARI 2009 TUTUP BUKU Uas 2008-2009 Kalkulus I MA1114 1. Diketaui D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva x 2 + y = 4 dan garis y= x+2

a. Gambarkan daerah D dan cari titik-titik potongnya b. Hitung luas daerag D c. Hitung volume benda putar, bila D diputar mengelilingi sumbu x 1 a

2. Bila f ( x) = tan −1 x + tan −1 (ax) , a

konstanta. Tentukan

a

sehingga

f ' (0) = 2 x

3. Hitung lim (cot x ) , bila ada. + x →0

4. Hitung integral dx a. ∫ − x 2 + 4x − 3 b.

∫x

3

x 2 + 4 dx ∞

3

5. Periksa kekonvergenan integral tak wajar ∫ x 2 e − x dx −∞

Soal Nilai

1 8

2 8

3 8

4 8

5 8

Selamat Mengerjakan !


4


UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2007-2008 KALKULUS I/MA1114 TUTUP BUKU Uas 2007-2008 Kalkulus I MA1114

1. Diketahui suatu daerah D di kuadran I yang dibatasi oleh kurva y = 4 − x 2 , garis y = 3x dan sumbu y. a. Gambarkan daerah D dan hitung luasnya b. Hitung volume benda putar, bila D diputar terhadap garis x = 4

2. Diketahui f (x ) = (sin x )

   1   π  x− 2 

a. Hitung lim f (x ) + x → π2

b. Tentukan turunan pertama dari f (x ) 3. a. Hitung integral ∫

x3 + 6 x 3 − x 2 − 6x

dx ∞

b. periksa kekonvergenan integral tak wajar ∫ xe − x dx 0

No Nilai

1 12

2 14

3 14

Selamat mengerjakan denga jujur !


5


UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2006/2007 KALKULUS I MA1114 SABTU / 13 JANUARI 2007 TUTUP BUKU Uas 2006-2007 Kalkulus I MA1114 Berdoalah sebelum mulai mengerjakan! Kerjakan dengan jujur dan teliti!

1. Diketaui daerah D dibatasi oleh grafik y = 1 − x 2 , garis x = 1, dan garis y=1 d. Hitung luas daerah D e. Volume benda putar , jika daerah D diputar terhadap sumbu y. 2. a. Tentukan y ' ( untuk x > 0 dan y > 0) jika y x = x y x3

b. Diketahui ∫ f (t )dt = x (cos πx − 1). Tentukan nilai f(8). 0

3. Hitung ∫

x2 +1 dx x3 + x2 0

4. Selidiki kekonvergenan ∫

−1

5. Diketahui f ( x) =

x

dx

x +1

x x +1

a. Selidiki apakah f(x) mempunyai invers ? b. Cari f −1 (− 1) !

NOMOR NILAI MAKS PENGOREKSI

1 8 FDA

2a 4 JDN

2b 4 ERW

3 8 ZKA

4 8 DMA

5 8 SSI

-o0o- Semoga Kemudahan Senantiasa Menyertai Anda -o0o-


6


UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2005/2006 KALKULUS 1 MA1114 SENIN 2 JANUARI 2006 TUTUP BUKU Uas 2005-2006 Kalkulus 1 MA1114 Berdoalah sebelum mulai mengerjakan! Kerjakan dengan jujur dan teliti!

1. Diketahui daerah D dibatasi oleh grafik y = x2 dan y = x. Grafik fungsi y = xm membagi luas daerah D menjadi dua bagian yang sama. a. Gambarkan daerah D b. Tentukan m 2. Tentukan panjang kurva y = x3/2 dari titik (0,0) ke (1,1). 3. Carilah a. ∫ sin 4 ( x) cos 3 ( x)dx 1

b.

−1 ∫ tan ( x)dx

0

3

4. Selidiki kekonvergenan ∫ 0

dx 9 − x2

5. Diketahui f(x) = (x-π)tan x. Tentukan a. f ' (x ) . b.

lim f ( x )

x →π +

No Nilai Max Pengoreksi

1 8 ERW

2 8 BZL

3 8 FDA

4 8 SSI

5 8 JDN

Jumlah 40



7


UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2004/2005 MA-1114 KALKULUS I SENIN 10 JANUARI 2005 TUTUP BUKU Uas 2004-2005 Kalkulus I MA1114 1. Diketahui D dibatasi oleh y = x 2 , x = 2 dan y = 1

a. Hitung luas D b. Hitung volume benda putar yang terjadi jika D diputar terhadap garis x=3 2. Bila f ( x) = ( x + sin x) x , tentukan : a. b.

f ' ( x) lim f ( x )

x →0 +

1

3. Hitung ∫

x+5

2 −1 x + 2 x + 5

4. Hitung ∫

1 ( 4 x 2 − 1)

3

dx dx

2

2

5. Periksa kekonvergenan integral tak wajar ∫ ln( x − 1)dx 1



8


UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2003/2004 MA 1122 KALKULUS I 23 DESEMBER 2003 TUTUP BUKU Uas 2003-2004 Kalkulus I MA1122


x 2

x +1

Tentukan : a. Daerah dimana grafik f naik atau turun dan titik ekstrimnya beserta jenisnya (bila ada) b. Daerah dimana grafik f cekung atau cekung ke bawah dan titik beloknya (bila ada) c. Garis-garis Asimtot d. Sketsa grafik f x3 −4

x

2x

1+ t 4

2. Diketahui H ( x ) = ∫

dt , tentukan H’(2)

3. Daerah D dibatasi oleh kurva-kurva y = x2 dan y = 4 a. Gambar daerah D dan hitung luas daerah tersebut b. Hitung volume benda putar yang terjadi apabila daerah D diputar terhadap garis y = -1

(

)

4. Diberikan f ( x) = x 2 + 1

ln x

, tentuka f ‘(x)

5. Hitung integral-integral berikut a.

x x ∫ 9 − e dx Dengan menggunakan subtitusi u = 9 − e

π

b.

2 ∫ x cos xdx

0



9


UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2003/2004 PU 1333 KALKULUS SENIN 5 JANUARI 2004 TUTUP BUKU Uas 2003-2004 Kalkulus I PU1333

1. Diketahui daerah tertutup D yang dibatasi oleh kurva y = x , garis x = 0 dan garis y = 3

a. Hitung luas daerah D b. Hitung volume benda putar jika D diputar terhadap garis y = -1 2. Diketahui f ( x) = (cos x)cos ecx a. Hitung : lim f ( x) x→0

b. Tentukan turunan pertama f(x) 3. Hitung integral berikut: a. b.

2x

∫

dx

2

x − 2x + 5 ln ∫ (2 + x )dx

4. Selidiki kekonvergenan integral tak wajar berikut: +∞

dx

0

(2x + 3) 3 2

∫

a.

3

b.

∫ 1

2x −1 2

dx

x − x−6

Selamat Bekerja Dengan Jujur


10


UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2003/2004 MA 1314 KALKULUS I SENIN 5 JANUARI 2004 TUTUP BUKU Uas 2003-2004 Kalkulus I MA1314 1. Tentukan y ' dari bentuk emplisit x + e xy = 1

2. Hitung ∫ ln(2 + x)dx 3

3. Diketahui ∫ 1

2x −1 2

x − x−6

dx

a. Periksa apakah integral di atas adalah integral tak wajar ? b. Jika integral tak wajar, periksa kekonvergenannya! 4. a. Tentukan selang kekonvergenan deret : ∞

n 2 ∑ (n + 1)x = 1 + 2 x + 3x + ... n =0

b. Tentukan jumlah deret pada soal 4a dengan menggunakan : 1 + x + x 2 + x 3 + ... =

1 1− x

5. Tentukan deret McLaurin dari fungsi f ( x ) =

x 1+ x



11


UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2002/2003 KALKULUS / PU 1333 6 JANUARI 2003 TUTUP BUKU Uas 2002-2003 Kalkulus I PU1333 Kerjakan dengan singkat dan jelas! Jangan lupa berdo’a sebelum mengerjakan!

1. Diketaui f ( x) = ( x + 1) cos ecx a. Tentukan f ' ( x ) b. Hitung lim f ( x) + x →0

2. Hitung integral berikut a. ∫ ln (5 x + 2)dx b.

dx

∫ x

2

4 − x2

3. Selidiki kekonvergenan dari a. b.

+∞

dx

0

(x + 1)3 2

∫

0

∫

ex

−∞ 1 + e

2x

dx

4. Diketahui daerah D dibatasi oleh y = x , x = 4 , sumbu x. a. Tentukan luas D b. Hitung volume benda putar jika D diputar terhadap sumbu y.



12


UJIAN AKHIR SEMESTER GENAP 2002/ 2003 MA1314 KALKULUS I JUMAT, 13 JUNI 2003 TUTUP BUKU Uas 2002-2003 Kalkulus I MA1314

1. Hitung a.

∫

b.

∫

3x 3 − 4 x 2 + 6 x

(x − 1)2 (x 2 + 4) 1 x

2

x2 +1

dx +∞

2. Tentukan kekonvergenan integral tak wajar ∫

1

3. Diketaui f ( x) = (cot x ) x

x

(x

2

)

+1

32

dx

2

Tentukan : a. Turunan pertama dari f(x) ! b. lim f ( x) x →0 +

∞

4. Tentukan selang kekonvergenan ∑

(x + 1)n

n =1 2

n +1 2

n



13


UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2002/2003 KALKULUS I TUTUP BUKU Uas 2002-2003 Kalkukus I

1. Hitunglah lim (tan x )sin x + x →0

2. Tentukan f ' ( x) dari f ( x) = (2 + sin x) x 3. Hitung integral berikut ∫

2

4x 2 −1 dx x

4. Tentukan kekonvergenan integral tak wajar di bawah a. b.

∞

∫

e−x

−∞ 1 + e

−2 x

∞

dx

−∞

x ln 3 x

∫

dx

3n +1 n =1 n! ∞

5. a. Periksa kekonvergenan deret ∑

∞

2 n −1 x n

n =0

(n 2 + 1)

b. Tentukan selang kekonvergenan deret ∑



14


UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2001/2002 DA 1314 KALKULUS I SENIN 15 JANUARI 2001 TUTUP BUKU Uas 2001-2002 Kalkulus I DA1314 1. Diberikan fungsi f ( x) = x 2 + 2 x + 2 , x ≤ −1 . Tunjukkan bahwa fungsi f (x ) mempunyai invers kemudian carilah f

2. a. Carilah integral tak tentu ∫ 9 − x2

3

b. Hitunglah ∫

x2

1

x+4 3

x + 4x

−1

( x)

dx

dx

3. selidiki kekonvergenan integral tak wajar berikut ∞

a.

∫ ln( x + 1)dx

0 1

b.

∫ 0

ex

2

dx

x

4. Tentukan

selang/himpunan

kekonvergenan

dari

deret

pangkat

(−2) n +1 x n 2n + 3 n =0 ∞

∑

5. Perderetkan ke dalam deret Mac Laurin (minimal 4 suku pertama) untuk fungsi f ( x) =

1 4 − x2



15


UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2000/2001 KALKULUS 1 SENIN / 24 NOVEMBER 2000 TUTUP BUKU Uas 2000-2001 Kalkulus I

1. Diketahui f ( x) = (2 x + 4 x )

1

x

a. Tentukan f ' ( x) b. Hitunglah lim f ( x) ( jika ada ) x →∞

2. Hitung 5

a.

∫ ln{( x − 1)(x − 2)}dx

3

b.

2x − 3

∫

9 − x2

3. Hitung ∫

dx x 2 − 2x − 3

( x − 1)( x 2 + 2 x + 2)

dx

4. Tentukan kekonvergenan integral tak wajar berikut : π

a.

2

∫ tan θdθ

0 0

b.

2

x ∫ xe dx

−∞

∞

5. Tentukan selang ( himpunan ) kekonvergenan deret ∑ (−1) k +1 k =1

xk k (k + 1)



16


PEMBAHASAN


17


PEMBAHASAN UJIAN AKHIR SEMESTER PENDEK 2009/2010 KALKULUS I/MA1114 15 AGUSTUS 2009 Uas 2009-2010 Kalkulus I MA1114 (SP) 1. Diketahui daerah D dibatasi kurva y =

x

y = x , garis y = 1 , garis x = 4 .

D 1

a. Gambar daerah D diperlihatkan pada gambar di samping b. Menghitung luas daerah D luas salah satu partisi dari D adalah :

(

)

0

daerah

D

4

2

∆A = 4 − y 2 ∆y

∆y

apabila luas seluruh partisi dari D dijumlahkan akan diperoleh luas daerah D yaitu 2

(

)

A = ∫ 4 − y 2 dy = 4 y − 13 y 3 1

(

) (

)

= 8 − 83 − 4 − 13 =

1

0

4 − y2 1

4

2 1

5 3

rl = 4

c. Menghitung volume benda putar bila D diputar terhadap sumbu y. •

Jika salah satu partisi dari D diputar terhadap sumbu y maka akan diperoleh sebuah cakram dengan jari-jari bagian dalam y 2 dan jari-jari bagian luar 4 serta tebal

∆y

∆y rd = y 2

. Volume cakram

tersebut yaitu ∆V = π rl2 − rd2 t = π 16 − y 4 ∆y

(

)

(

)

Sehingga volume benda putar yang dimaksud adalah 2

(

)

(

V = π ∫ 16 − y 4 dy = π 16 y − 15 y 5 1

)

2 1

=

49 π 5


18


2. a. Mencari turunan dari y = e sin misalkan

−1

x

du 1 = dx 1− x2

u = sin −1 x maka

, y = e u dan

dy = eu . du

Dengan menggunakan aturan rantai kita peroleh : dy dy du = = eu dx du dx

1 1− x 2

x →∞

(

x →∞

)

1

x

−1

x

1− x 2

(

b. Menghitung lim e − x + x 2 −x 2 lim e + x

e sin

=

)

1

x

( ln(e = exp lim x →∞

x →∞

= exp lim

x →∞

−x

x

1

) = exp lim 1x ln(e + x ) +x ) − e + 2x * = exp lim **

= lim exp ln e − x + x 2

−x

x

x →∞

2

−x

x →∞

e −x + 2 − e −x + 2x

2

e −x + x 2

= exp(0 ) = 1

Note : * dan ** limit berbentuk ∞/∞ sehingga L’H dapat diterapkan. 3. Menghitung integral π

2

5 ∫ cos xdx

a.

0

(

)

(

2

)

2

5 2 2 ∫ cos xdx = ∫ cos x cos xdx = ∫ 1 − sin x cos xdx

( = ∫ (1 − 2 sin

) x )d (sin x )

= ∫ 1 − 2 sin 2 x + sin 4 x cos xdx 2

x + sin 4

= sin x − 23 sin 3 x + 15 sin 5 x + c π

(

2

5 3 5 1 2 ∫ cos xdx = sin x − 3 sin x + 5 sin x

0

b.

∫

x−3

)

π 2

0

8 = 15

dx

2

x − 6 x + 10 ∫

x−3 2

x − 6 x + 10

dx = 12 ∫

(

d x 2 − 6 x + 10

)

= x 2 − 6 x + 10 + c

2

x − 6 x + 10 Arip Paryadi , IT Telkom

19


Alternative ∫

lain

x−3

adalah

x −3

=∫

dx

2

dengan

(x − 3)2 + 1

x − 6 x + 10

melihat

kenyataan

bahwa

dx kemudian lakukan substitusi

x − 3 = tan t ∞

x+4 dx 0 (x + 3)( x − 2 )

4. Memeriksa kekonvergenan integral tak wajar ∫ ∞

a 3 x+4 x+4 x+4 dx + lim ∫ dx dx = lim ∫ − + a → 2 0 (x + 3)( x − 2 ) b → 2 b (x + 3)(x − 2 ) 0 (x + 3)( x − 2 )

∫

c

+ lim ∫ c→∞ 3

Misalkan kita

x+4

x+4

(x + 3)(x − 2)

=

a

dx........(*)

b

+

(x + 3)(x − 2) (x + 3) (x − 2)

kalikan

kedua

ruas

. Untuk mendapatkan nilai a dan b

(x + 3)(x − 2)

dengan

menjadi

x + 4 = a ( x − 2 ) + b( x + 3)

untuk x = 2 diperoleh 6 = 5b atau b =

6 5

untuk x = −3 diperoleh 1 = −5a atau a = − 15 sehingga ∫

 1 6  x+4  dx = − 15 ln x + 3 + 65 ln x − 2 + c . + dx = ∫  − (x + 3)(x − 2 )  5(x + 3) 5(x − 2 ) 

Sekarang kita selesaikan limit bagian pertama pada ruas kanan (*) a

x+4 dx = lim − 15 ln x + 3 + 65 ln x − 2 a →2 − 0 (x + 3)(x − 2 )

lim− ∫

a →2

(

)0a

(

) (

)

= lim − 15 ln a + 3 + 65 ln a − 2 − − 15 ln 3 + 65 ln − 2 = −∞ − a →2

a

x+4 dx divergen yang berakibat 0 (x + 3)(x − 2 )

Ini menunjukkan bahwa lim ∫ − a →2

∞

x+4 dx juga divergen. 0 (x + 3)( x − 2 ) ∫


20


PEMBAHASAN UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2008/2009 KALKULUS I MA1114 SELASA / 13 JANUARI 2009 Uas 2008-2009 Kalkulus I MA1114 1. Diketaui D adalah daerah yang dibatasi oleh

y = x+2

kurva x 2 + y = 4 dan garis y = x + 2 a. Menggambar daerah D dan mencari titik-titik potongnya Titik potong kurva antara x 2 + y = 4 dan

D

y = −x 2 + 4 −2

y = x+2

1

x2 + y = 4 x2 + x + 2 = 4 x2 + x − 2 = 0 (x + 2)(x − 1) = 0

x = −2 atau x = 1

b. Menghitung luas daerah D luas salah satu partisi dari D adalah :

(( = (− x

)

(− x + 4) − (x + 2)

)

2

∆A = − x 2 + 4 − (x + 2) ∆x 2

)

− x + 2 ∆x

Jika luas semua partisi dari D kita jumlahkan akan didapat luas daerah D yaitu : 1

(

∆x

)

A = ∫ − x 2 − x + 2 dx −2

1

1 1 = − x3 − x 2 + 2 x 3 2 −2  9  8  1 1 =  − − + 2 −  − 2 − 4 = 3 2 3  2   


21


c. Menghitung volume benda putar, bila D diputar mengelilingi sumbu x.

∆x rl = −x2 + 4

Bila sebuah partisi dengan tinggi − x 2 − x + 2 dan alas ∆x diputar terhadap sumbu x maka akan diperoleh sebuah cakram dengan jari – jari dalam x + 2

rd = x + 2

dan jari jari bagian luar − x 2 + 4 serta tebal ∆x . Luas volume cakram tersebut adalah ∆V = π rl2 − rd2 t

(

)

2 = π  − x 2 + 4 − (x + 2 )2 ∆x  

(

(( = π (x

)

)(

))

= π x 4 − 8x 2 +16 − x 2 + 4x + 4 ∆x 4

)

− 9 x 2 − 4 x + 12 ∆x

Sehingga volume benda putar yang dimaksud adalah : 1

1  1 V = π ∫ x 4 − 9 x 2 − 4 x + 12 dx = π  x 5 − 3x 3 − 2 x 2 + 12 x  5  −2  −2

(

)

 1   108   32 = π  − 3 − 2 + 12  −  − + 24 − 8 − 24   = π 5    5  5

2. Menentukan a sehingga f ' (0) = 2 jika f ( x) = f ' (x ) =

1 tan −1 x + tan −1(ax ) a

1 1 a + 2 a 1 + x 1 + (ax )2

karena f ' (0) = 2 maka 2=

1 +a a

2a = 1 + a 2 a 2 − 2a + 1 = 0

(a −1)2 = 0

,

a =1 Arip Paryadi , IT Telkom

22


3. Menghitung lim (cot x ) +

x

x →0

x x lim (cot x ) = lim+ exp ln(cot x ) = exp lim+ x ln(cot x )

x →0 +

x →0

x →0

 − csc 2 x     cot x  ( ) ln cot x   * = exp lim = exp lim 1 1  x →0+  x →0 +   − 2   x  x 

= exp lim + x →0

x2

x x sin x = exp lim lim+ + x →0 sin x x →0 cos x sin x cos x 2

= exp(1.0 ) = 1

Note : *limit berbentuk ∞/∞ sehingga L’H bisa diterapkan. 4. Mengitung integral dx dx a. ∫ * = sin −1 (x − 2) + c =∫ 2 2 − x + 4x − 3 1 − (x − 2 ) Note: * jika kurang faham lakukan substitusi x − 2 = sin t b.

∫x

3

x 2 + 4 dx

misalkan : u = x 2 + 4 maka du = 2 xdx atau dx = ∫x

3

x 2 + 4 dx = ∫

x 3 u du 2x

=

du sehingga 2x

1 2 1 ∫ x u du = ∫ (u − 4) u du 2 2

=

1  12 5 8 3  1  32 ∫  u − 4u 2 du =  u 2 − u 2  + c 2  25 3  

=

1 2 x +4 5

(

5

)

2

−

4 2 x +4 3

(

)

3

2

+c


23

1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I ∞

3

5. Memeriksa kekonvergenan integral tak wajar ∫ x 2 e − x dx −∞ ∞

0

3

3

b

3

2 −x 2 −x 2 −x ∫ x e dx = lim ∫ x e dx + lim ∫ x e dx a → −∞ a

−∞

b →∞ 0

3

misalkan u = − x maka du = −3 x 2 dx sehingga 1 u 1 u 1 − x3 2 − x3 +c ∫ x e dx = − ∫ e du = − e + c = − e 3 3 3 ∞

3

1 3

2 −x −x ∫ x e dx = lim − e a → −∞

−∞

3

0

3 1 + lim − e− x a b →∞ 3

b

0

3 3 1 1 1 1 = lim − + e − a + lim − e −b + = ∞ 3 3 a → −∞ 3 b→∞ 3

∞

3

Jadi ∫ x 2 e − x dx divergen. −∞


24


PEMBAHASAN UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2007-2008 KALKULUS I/MA1114 Uas 2007-2008 Kalkulus I MA1114 1. Diketahui suatu daerah D di kuadran I yang

dibatasi oleh kurva y = 4 − x 2 , garis y = 3x

(4 − x ) − 3 x 2

dan sumbu y. a. Gambar daerah D luas daerahnya Perhatikan gambar disamping ! Titik potong antara kurva y = 4 − x 2 dan y = 3x

∆x y = 3x

1

terjadi saat 4 − x 2 = 3x yaitu

x 2 + 3x − 4 = 0 (x + 4)(x − 1) = 0 x = −4 (tidak memenuhi karena D pada

kwadran I) atau x = 1 Luas salah satu partisi dari D adalah :

((

) )

(

)

∆A = 4 − x 2 − 3x ∆x = − x 2 − 3x + 4 ∆x

Jika kita jumlahkan luas seluruh partisi dari D akan didapat luas daerah D yaitu 1

(

)

A = ∫ − x 2 − 3 x + 4 dx 0

1

= − 13 x 3 − 32 x 2 + 4 x = 13 satuan luas. 6 0

b. Menghitung volume benda putar, bila D diputar terhadap garis x = 4 Apabila salah satu partisi dengan tinggi t = − x 2 − 3 x + 4 dan alas ∆x serta berjarak 4 − x dari garis x = 4 diputar terhadap garis x = 4 akan diperoleh sebuah kulit tabung dengan dengan tinggi t = − x 2 − 3 x + 4 , jari-jari r = 4 − x serta tebal ∆x . Arip Paryadi , IT Telkom

25


Volume kulit tabung tersebut adalah : ∆V = 2πrt∆r = 2π (4 − x ) − x 2 − 3x + 4 ∆x = 2π − x 3 − x 2 − 16 x + 16 ∆x

(

)

(

)

Apabila volume seluruh kulit tabung dijumlahkan akan diperoleh volume benda putar yang dimaksud yaitu 1

(

(

)

V = 2π ∫ − x 3 − x 2 − 16x + 16 dx = 2π − 14 x 4 − 13 x 3 − 8 x 2 + 16 x

)

0

1 0

= 15 56 π

1

π 2. Diketahui f (x ) = (sin x ) (x − 2 )

a. Menghitung lim+ f (x ) x → π2

1

(x − π 2 ) lim+ f ( x ) = lim+ exp ln (sin x )

x → π2

x → π2

= lim exp + π

x→ 2

ln(sin x ) ln(sin x ) * = exp lim π+ x − π2 x − π2 x→ 2

cos x = exp lim = exp(0 ) = 1 + x → π sin x 2

Note :*limit berbentuk 0/0 sehingga L’H dapat diterapkan. b. Menentukan turunan pertama dari f (x ) 1  x −π 

f (x ) = (sin x ) 



2  1

ln f (x ) = ln(sin x )

 x −π  



2 

=

ln sin x x − π2

 ln sin x   D x ln f (x ) = D x   x− π  2  

(x − π2 )− ln sin x (x − π2 )2 (x − π2 )cot x − ln sin x (x − π2 )cot x − ln sin x ( ) (sin x ) f x = f ' (x ) = (x − π2 )2 (x − π2 )2 f ' (x ) = f (x )

cos x sin x


1  x −π  



2 

26


3. a. Menghitung integral ∫

x3 + 6 3

2

x − x − 6x

dx = ∫

x3 + 6 dx x(x − 3)(x + 2 )

3

misalkan

x +6 b c d =a+ + + x(x − 3)( x + 2 ) x x−3 x+ 2

untuk mendapatkan nilai a, b, c dan d kita kalikan kedua ruas dengan x(x − 3)(x + 2) menghasilkan x 3 + 6 = ax(x − 3)(x + 2) + b(x − 3)(x + 2) + cx(x + 2) + dx(x − 3)....................(*)

kemudian dengan menyulihkan nilai x = 0 , x = 3 , x = −2 dan x = −1 ke dalam (*) secara berturut turut kita peroleh 6 = −6b atau b = −1 33 = 15c atau c = 11 5 −2 = 10d atau d = − 15 5 = 4a − 4b − c + 4d atau a = 1

Dengan demikian kita memiliki ∫

1   1 11 dx = ∫ 1 − + 5 − 5  dx x − x − 6x  x x −3 x + 2 ln(x − 3) − 15 ln(x + 2 ) + C = x − ln x + 11 5

x3 + 6

3

2

∞

b. Memeriksa kekonvergenan integral tak wajar ∫ xe − x dx 0

−x

Misalkan u = x dan dv = e dx maka du = dx dan v = −e − x sehingga −x ∫ xe dx = ∫ udv = uv − ∫ vdu

= − xe − x + ∫ e − x dx = − xe − x − e − x + c ∞

a

0

a →∞ 0

−x −x −x −x ∫ xe dx = lim ∫ xe dx = lim − xe − e a →∞

= lim − ae − a − e − a + 1 = 1 + lim a →∞

a →∞

a

0

−a − 1 e

a

* * = 1 + lim

a →∞

−1 ea

=1

∞

Jadi ∫ xe − x dx konvergen ke 1. 0

Note :** limit berbentuk ∞/∞ sehingga L’H dapat diterapkan Arip Paryadi , IT Telkom

27


PEMBAHASAN UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2006/2007 KALKULUS I MA1114 SABTU / 13 JANUARI 2007 Uas 2006-2007 Kalkulus I MA1114 1. Diketaui daerah D dibatasi oleh grafik y y = 1 − x 2 , garis x = 1, dan garis y = 1. y =1

D ∆x

a. Menghitung luas daerah D Perhatikan gambar di samping ! Luas salah satu partisi dari D adalah

x

∆A = (1 − (1 − x 2 ))∆x = x 2 ∆x .

Sehingga luas daerah D adalah : 1 1 1 A = ∫ x 2 dx = x 3 = satuan luas 3 0 3 0 1

y = 1− x 2

x =1

b. Menentukan volume benda putar , jika daerah D diputar terhadap sumbu y. Metode kulit tabung Jika salah satu irisan dengan tinggi 1 − (1 − x 2 ) = x 2

berjarak

x dari

dan

alas

sumbu

∆x serta y diputar

terhadap sumbu y akan diperoleh suatu kulit tabung dengan tinggi x 2 , jari jari x dan tebal ∆x . Sehingga volume kulit tabung tersebut adalah :

( )

∆V = 2πx x 2 ∆x = 2πx 3 ∆x 1

1 π 1  V = 2π ∫ x 3 dx = 2π  x 4  = 4 0 2 0


28


2. a. Menentukan y ' jika y x = x y yx = xy ln y x = ln x y x ln y = y ln x Dx (x ln y ) = Dx ( y ln x )

ln y +

1 1 y ' x = y ' ln x + y y x

x y y '− y ' ln x = − ln y y x  x y  − ln x  y ' = − ln y y x   y − ln y x y' = x − ln x y x3

b. Menentukan f(8) jika diketahui ∫ f (t ) dt = x(cos πx − 1).........(*) 0

Terlebih dahulu kita tentukan fungsi ekspilisit dari f(x) dengan menerapkan teorema dasar kalkulus pada (*) x3

Dx ∫ f (t )dt = Dx [ x(cos πx − 1).] 0

f ( x 3 )3x 2 = (cosπx − 1) + x(− sin πx)π f ( x 3 )3 x 2 = cos πx − πx sin πx − 1 f ( x3 ) =

cos πx − πx sin πx − 1 3x 2

Dengan menyulihkan nilai x = 2 ke persamaan terkahir kita peroleh cos 2π − 2π sin 2π − 1 1 − 0 − 1 3 f ( 2 ) = f (8) =

3.2 2

=

12

=0


29


3. Menghitung ∫ misalkan x 2 +1 x 2 ( x + 1)

x2 +1 x3 + x 2

x 2 +1

=

x 2 ( x + 1) =

dx a b c maka : + + x x 2 x +1

ax( x + 1) + b( x + 1) + cx 2 x 2 ( x + 1)

x 2 + 1 = ax( x + 1) + b( x + 1) + cx 2

untuk x = 0 kita peroleh b = 1 untuk x = −1 kita peroleh c = 2 untuk x = 1 kita peroleh 2 = 2a + 2b + c atau a = −1 sehingga : ∫

x2 +1

2  1  1 1 dx = ∫  − + 2 + dx = − ln x − + 2 ln x + 1 + C x x + 1 x x +x x   3

2

0

4. Menyelidiki kekonvergenan ∫

−1 0

∫

−1

0

x x +1 0

= lim ∫

a → −1 a

x

dx = lim ∫

dx

x +1

dx

x +1

a → −1 a

( x + 1) − 1

x

dx

x +1

0 1  dx = lim ∫  x + 1 − a → −1 a  x +1  0 1 −1   = lim ∫  ( x + 1) 2 − ( x + 1) 2 dx a → −1 a   3 1 0 2 = lim  ( x + 1) 2 − 2( x + 1) 2  a → −1  3 a 3 1  4  2 2 = lim  − 2  −  (a + 1) 2 − 2(a + 1) 2  = − 3 a → −1  3   3

0

Dengan demikian ∫

−1

x x +1

dx konvergen ke −

4 3


30


5. Diketahui f ( x ) =

x x +1

a. Menyelidiki apakah f ( x ) mempunyai invers Untuk menyelidikinya kita periksa apakah f monoton murni untuk setiap selang pada R (sesuai dengan domainnya). Sekarang perhatikan bahwa f ' ( x) =

( x + 1) − x ( x + 1)

2

=

1 ( x + 1) 2

> 0 ∀x ∈ R

Ini menunjukkan bahwa f selalu naik yaitu f monoton murni sehingga f memiliki invers. b. Mencari f −1 (−1) misalkan x = f −1 ( y) f ( x) =

x x +1

x x +1 y ( x + 1) = x yx + y = x yx − x = − y y=

( y − 1) x = − y x=

−y y = y −1 1 − y

f −1 ( y ) =

y 1− y

f −1 ( x) =

x 1− x

f −1 (−1) =

−1 1 =− 1 − (−1) 2


31


PEMBAHASAN UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2005/2006 KALKULUS 1 MA1114 SENIN 2 JANUARI 2006 Uas 2005-2006 Kalkulus I MA1114 1. Diketahui daerah D dibatasi oleh grafik y = x2 dan y = x. Grafik fungsi y=xm membagi luas daerah D menjadi 2 bagian yang sama. a. Menggambar daerah D 2 y=x

y=x

b. Menentukan nilai m Karena Grafik fungsi y = xm membagi luas daerah D menjadi 2 bagian yang sama, maka luas daerah yang dibatasi fungsi y = xm dan y = x adalah setengah luas D. secara matematis dapat dituliskan dalam : 1

m ∫ ( x − x )dx =

0

y = x 2 y = xm y=x

11 2 ∫ ( x − x )dx 20

1 1 1 1 2 1 3  1 1 2 m +1  − = x x 2   x −3x  m +1   0 2 2 0

1  1 1 1 1  − =  −   2 m +1 2  2 3  1  1 1  − =  2 m + 1  12 1 1 1 5 = − = m + 1 2 12 12

⇒

m=

7 5


32


2. Menentukan l = panjang kurva y = x3/2 dari titik (0,0) ke (1,1). 2

2

1 1  dy  3 1  l = ∫ 1 +   dx = ∫ 1 +  x 2  dx  dx  2  0 0

3 2 9  9  2  = + x 1 = ∫ 1 + x dx   3  4  4 0  1

3 8  13  2  4  1 =   −1  9  0 27  4    

3. Menentukan : a. ∫ sin 4 ( x) cos 3 ( x)dx 4 3 4 2 ∫ sin ( x) cos ( x)dx = ∫ sin ( x) cos ( x) cos(x)dx

(

)

= ∫ sin 4 ( x) 1 − sin 2 ( x) cos( x)dx

( = ∫ (sin

4

6

4

6

) ( x) )d (sin x )

= ∫ sin ( x) − sin ( x) cos(x)dx

=

( x) − sin

1 1 sin 5 ( x ) − sin 7 (x ) + c 5 7

1

b.

−1 ∫ tan ( x)dx

0

misalkan : u = tan −1 ( x) dan dv = dx maka : du =

1

dx dan v = x sehingga

1+ x2

−1 −1 ∫ tan ( x)dx = ∫ udv = uv − ∫ vdu = x tan ( x) − ∫

= x tan −1 ( x) − ∫

1 2

(

d 1+ x 2

x 1+ x2

dx

)

1+ x 2

1 = x tan −1 ( x) − ln 1 + x 2 + C 2 1



1

1

dengan demikian ∫ tan −1 ( x)dx =  x tan −1 ( x) − ln 1 + x 2  2   0

0

1 1    π 1  =  tan −1 (1) − ln 2  −  0 − ln 1 = − ln 2 2 2    4 2 


33

1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I 3

4. Menyelidiki kekonvergenan ∫ 0 3

∫ 0

a

dx

9− x

= lim ∫ −

2

a →3 0

dx

9 − x2

dx

9 − x2

misalkan : x = 3 sin θ maka dx = 3 cos θdθ jika x = 0 maka θ = 0 π− sehingga 2 b 3 cos θdθ

jika x → 3 − maka θ → a

dx

lim− ∫

b

b→

b

9(1 − sin 2 θ )

π 0 2

9 − 9 sin 2 θ

π 0 2

3 cos θdθ

= lim ∫ − b→

= lim ∫ −

9 − x2

a →3 0

= lim ∫ − b→

3 cos θdθ 9 cos 2 θ

π 0 2

b

b π 3 cos θdθ = lim ∫ dθ = lim b = − − 3 cos θ 2 π π 0 0

= lim ∫ − b→

π 2

b→

3

dx

Jadi ∫

9− x

0

b→

2

konvergen ke

2

2

π 2

Alternative lain 3

∫ 0

a

dx 9 − x2

= lim ∫ −

a →3 0

dx 9 − x2

a

 x = lim sin −1   a →3 − 3 0

a π = lim sin −1   = a →3− 3 2 3

yaitu ∫ 0

dx

9− x

2

konvergen ke

π 2


34


5. Diketahui f (x ) = ( x − π ) tan x a. Menentukan f ' (x ) y = ( x − π ) tan x ln y = ln(x − π ) tan x ln y = tan( x) ln( x − π )

D x ln y = D x [tan(x ) ln(x − π )] 1 1 y ' = sec 2 ( x) ln (x − π ) + tan ( x ) y x −π 1   y ' = sec 2 (x ) ln (x − π ) + tan ( x ) y x −π   1   y ' = sec 2 (x ) ln ( x − π ) + tan (x ) (x − π )tan x x −π  

b. Menghitung lim+ f ( x ) x →π

tan x lim+ f ( x ) = lim+ ( x − π )

x →π

x →π

  = lim exp ln( x − π ) tan x  + x →π   = lim exp [tan( x) ln( x − π )] x →π +

= exp lim [tan( x) ln( x − π )] + x →π

 1   *   x −π    ln(x − π )     exp = = exp lim  lim+   2 +  cot( ) x − csc ( x)  x →π x →π       *

2 sin( x) cos( x ) sin 2 ( x) = exp lim − = exp lim − + + 1 x −π x →π x →π

= exp (0) = e 0 = 1

note : * limit bernilai 0/0 sehingga L’H dapat diterapkan


35


PEMBAHASAN UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2004/2005 MA-1114 KALKULUS I SENIN 10 JANUARI 2005 Uas 2004-2005 Kalkulus I MA1114 y 1. Diketahui D dibatasi oleh y = x 2 , x = 2 dan y 4

=1 a. Menghitung luas D Luas salah satu partisi pada D adalah

(

y = x2

}

)

∆A = x 2 − 1 ∆x

sehingga 2

(

x2 −1

luas

daerah

D

adalah

y =1

} ∆x

)

2

A = ∫ x − 1 dx 1

1

 2 8 1  1  4 =  x 3 − x  =  − 2  −  − 1 = 1 3 3  3  3

x x= 2

b. Menghitung volume benda jika D diputar terhadap garis x = 3 jika salah satu irisan dengan tinggi x 2 − 1 dan alas ∆x serta berjarak 3 − x dari garis x = 3 diputar terhadap garis x = 3 akan diperoleh suatu kulit tabung dengan tinggi x 2 − 1 , jari jari 3 − x dan tebal ∆x . Sehingga volume kulit tabung tersebut adalah :

(

)

∆V = 2π (3 − x ) x 2 − 1 ∆x

(

3

2

)

= 2π − x + 3 x + x − 3 ∆x 2

(

} ∆x

)

V = 2π ∫ − x 3 + 3 x 2 + x − 3 dx 1

1  2 7π  1 = 2π − x 4 + x 3 + x 2 − 3 x  = = 11 2 2 1  4


0

x

3 3− x

36


2. Diketahui f ( x) = ( x + sin x) x a. Menentukan f ' ( x) y = ( x + sin x) x ln y = ln(x + sin x) x ln y = ln(x + sin x) x

Dx (ln y) = Dx (x ln(x + sin x )) 1 1 + cos x y ' = ln(x + sin x ) + x y x + sin x 1 + cos x  y ' = ln (x + sin x ) + x + sin x 

 x y 

1 + cos x   y ' = ln (x + sin x ) + x  (x + sin x )x sin x + x  

b. Menghitung lim+ f ( x ) x →0

x x lim+ f ( x ) = lim+ (x + sin x ) = lim+ exp ln (x + sin x )

x→0

x→0

x→0

= lim exp [x ln ( x + sin x )] = exp lim [x ln ( x + sin x )] + + x→0

x→0

  1 + cos x       x + sin x     ln (x + sin x )     = exp * = exp lim lim+  +  1    x →0   1 x →0       − x2   x          x 2 (1 + cos x )  = exp lim −  ** x + sin x  x →0 +    2 x(1 + cos x ) + x 2 (− sin x )  = exp lim −  1 + cos x x →0+    0 = exp   = exp(0) = e 0 = 1 2 Note : * limit berbentuk ∞/∞ **(0/0) sehingga L’H dapat diterapkan.


37


3. Menghitung ∫

x+5

−1 x

1

∫

x+5

−1 x

2

+ 2x + 5

2

+ 2x + 5

dx

1

x+5

−1

(x + 1)2 + 2 2

dx = ∫

dx

misalkan : x + 1 = 2 tan θ maka dx = 2 sec 2 θdθ jika x = −1 maka θ = 0 π

jika x = 1 maka θ =

4

sehingga

π 1

∫

−1

4 ( 2 tan θ

x+5 2

(x + 1)

+2

2

dx = ∫

− 1) + 5

2

4 tan θ + 4

0

2 sec 2 θdθ

π

π

2 tan θ + 4

4

= ∫

0

2

4(tan θ + 1)

4

2

2 sec θdθ = ∫

0

2 tan θ + 4

2 sec 2 θdθ

2

4(sec θ )

π

π

14 1 = ∫ (2 tan θ + 4 )dθ = − 2 ln cos θ + 4θ 20 2

[

=

4 0

 π 1  1 1  2 + π  − (0 ) = − ln 2  − 2 ln 2 2 2  2   1

4. Menghitung ∫

]

(4 x 2 − 1)

3

1

dx θ

2

1 − 4x2

2x

1 1 misalkan : x = sec θ maka d x = sec θ tan θdθ sehingga 2 2 1 1 1 dx = ∫ sec θ tan θdθ ∫ 3 3 2 2 2 2 (4 x − 1) 2 sec θ − 1

(

)

=

1 sec θ tan θ 1 sec θ tan θ 1 sec θ dθ = ∫ dθ = ∫ dθ ∫ 3 3 2 2 2 tan 2 θ 2 θ tan 2 (tan θ )

=

1 cos 2 θ 1 1 1 cos dθ = ∫ θdθ ∫ 2 2 sin θ cos θ 2 sin θ sin θ

=

1 1 1 1 − 4x 2 + C ∫ csc θ cot θdθ = − csc θ + C = − 2 2 2 Arip Paryadi , IT Telkom

38


5. Memeriksa kekonvergenan integral tak wajar ∫ ln( x − 1)dx 1 2

2

1

a →1 a

∫ ln( x − 1)dx = lim+ ∫ ln( x − 1)dx

Misalkan u = ln( x − 1) dan dv = dx maka du =

dx dan v = x sehingga x −1

∫ ln( x − 1)dx = ∫ udv = uv − ∫ vdu = x ln( x − 1) − ∫

x dx x −1

= x ln( x − 1) − ∫

( x − 1) + 1 dx x −1

1   = x ln( x − 1) − ∫ 1 + dx  x −1

= x ln( x − 1) − (x + ln( x − 1) ) + C = x ln( x − 1) − x − ln( x − 1) + C = ( x − 1) ln( x − 1) − x + C jadi 2

∫ ln( x − 1)dx = lim+ [( x − 1) ln( x − 1) − x] a →1

1

2 a

= lim [(− 2 ) − ((a − 1) ln (a − 1) − a )] + a →1

= lim a − 2 − (a − 1) ln(a − 1) + a →1

= lim (a − 2) − lim (a − 1) ln(a − 1) + + a →1

a →1

ln(a − 1) = −1 − lim = −1 − lim + a →1  1  a →1+    a −1 

 1     a −1   1 −  (a − 1) 2 

   

= −1 − lim − (a − 1) = −1 (ans ) + a →1

2

∴ ∫ ln( x − 1)dx konvergen ke − 1 1


39


PEMBAHASAN UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2003/2004 MA1122 KALKULUS I 23 DESEMBER 2003 Uas 2003-2004 Kalkulus I MA1122


x 2

x +1

a. Daerah kemonotonan f dan titik ekstrimnya beserta jenisnya Kemonotonan dari f dapat ditentukan dari f ' ( x) f ' ( x) =

(x

)

+ 1 − (2 x )x

2

(x

2

)

+1

2

=

1− x 2

(x

)

2

+1

2

=

(1 − x )(1 + x )

(x

2

− − − − −• + + + + + • − − − − − −1 1

)

+1

2

f ' (x )

•

f monoton naik jika f ' ( x) > 0 yaitu pada selang (-1,1)

•

f monoton turun jika jika

yaitu pada selang

f ' ( x) < 0

(−∞,−1) ∪ (1, ∞)

•

karena terjadi perubahan kemonotonan pada x = −1 (-- ++) maka titik (− 1, f (− 1)) = (− 1,− 1 2) merupakan titik minimum. Begitu juga pada x = 1 terjadi perubahan kemonotonan (++ --) maka titik (1, f (1)) = (1, 1 2) merupakan titik maksimum.

b. Daerah grafik f cekung atau cekung ke bawah dan titik beloknya Daerah kecekungan dari f dapat ditentukan dari f " (x )

(− 2 x )(x 2 + 1) f " ( x) =

2

(

) (

− 2 x 2 + 1 2x 1 − x 2

)

(x + 1) (− 2 x)(x + 1)− 4 x(1 − x ) = − 2 x − 2 x − 4 x + 4 x = (x + 1) (x + 1) 2 x − 6 x 2 x(x − 3 )(x + 3 ) = = (x + 1) (x + 1) 2

4

2

2

2

3

3

2

3

3

3

2

3

2

3

− − − • + + + • − − − •+ + + 0 − 3 3

f " (x )


40


•

cekung

f

ke

atas

jika

f " (x ) > 0

yaitu

pada

selang

(− 3 ,0) ∪ ( 3 , ∞)

•

f cekung ke bawah jika

f " (x ) < 0

yaitu pada selang

(−∞,− 3 ) ∪ (0, 3 )

•

Karena terjadi perubahan kecekungan pada x = ± 3 , x = 0 dan

( 3 ), f (− 3 ), f (0) ada, maka titik ( 3, f ( 3 )) = ( 3, 3 4) dan (− 3, f (− 3 )) = (− 3,− 3 4) serta (0, f (0)) = (0,0) merupakan f

titik belok. c. Garis-garis Asimtot • Asimtot datar/miring bebentuk y = ax + b 1 f (x ) = lim 2 =0 x →∞ x x →∞ x + 1 x b = lim f (x ) − ax = lim 2 =0 x →∞ x →∞ x + 1 Dengan demikian f hanya memiliki asistot datar yaitu y = 0. a = lim

•

Asimtot tegak f tidak memiliki asimtot tegak.

d. Sketsa grafik f

1,

1 2 •

0,0 •

− 3,−

• 3 4

•

−1− ,

3 3, • 4

1 2 grafik f (x) =

x x2 +1


41

1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I x3 −4

x

2x

1+ t 4

2. Menentukan H ' (2) jika diketahui H ( x ) = ∫

dt

Terlebih dahulu kita tentukan fungsi ekspisit dari H(x) dengan menerapkan teorema dasar kalkulus. x3 −4

x

H ' ( x) = D x ∫

1+ t 4

2x x3 −4

1

= ∫

2x

1+ t

x3 −4

1

= ∫

1+ t 4

2x 4 4

1+ t

x3 −4

1

2x

1+ t 4

dt + xD x ∫

  3x 2 dt + x  1+ x3 − 4 

(

dt

)

4

2

−

1 + (2 x )4

    

  8 2 12 = − dt + 2  1 + 256  257  1 + 256

1

H ' (2 ) = ∫

4

 x3 −4 1  dt =D x  x ∫ dt   2x  1+ t 4  

4

3. Daerah D dibatasi oleh kurva-kurva y = x2 dan y = 4 a. Menggambar daerah D menghitung luas daerahnya.

∆x

dan

y = x2

4 4 − x2

D

luas salah satu partisi dari D adalah :

(

)

∆A = 4 − x 2 ∆x

Apabila luas seluruh partisi kita jumlahkan maka akan diperoleh luas dari D yaitu : 2

1 A = ∫ 4 − x dx = 4 x − x 3 3 −2

(

2

)

−2

2

2 −2

8  8  32  = 8 −  −  − 8 +  = 3  3 3 


42


b. Menghitung volume benda putar yang terjadi apabila daerah D diputar terhadap garis y = -1 Apabila terhadap diperoleh jari luar

∆x

sebuah partisi diputar garis y = -1 maka akan sebuah cakram dengan jari rl = 5 dan jari jari dalam

4

rl = 5 rd = x 2 + 1

rd = x 2 + 1 serta tebal t = ∆x . volume

−1

dari cakram tersebut yaitu

(

)

∆V = π rl2 − rd2 t 2 = π  25 − x 2 + 1 ∆x  

(

)

(

)

= π − x 4 − 2 x 2 + 24 ∆x

Sehingga volume benda putar yang dimaksud adalah : 2

2 2   1 V = π ∫ − x 4 − 2 x 2 + 24 dx = π − x 5 − x 3 + 24 x  3  −2  5 −2

(

)

 32 16   32 16  1088 = π  − − + 48 −  + − 48 = π 5 3 5 3 15    

(

)

4. Menentukan y ' jika y = x 2 + 1

(

)

ln x

( D ln y = D (ln( x ) ln(x + 1)) y' ln(x + 1) 2 x ln x = +

ln y = ln x 2 + 1

ln x

)

= ln(x ) ln x 2 + 1 2

x

x

2

y

x 2 +1

x

(

)

(

)

2   ln x 2 + 1 2 x ln x   ln x  y =  ln x + 1 + 2 x ln x  x 2 + 1 y' =  + 2 2     x x x +1  x +1   

(


)

43


5. Hitung integral-integral berikut a.

x ∫ 9 − e dx

− e x dx

Misalkan u = 9 − e x maka du =

2 9−ex

dx = −

2 9 − e x du e

=−

x

x ∫ 9 − e dx = −2∫

2udu ex

u 2 du

= 2∫ 1 +

9 2

sehingga

= −2∫

ex

u −9

atau

u2 9−u

du = 2 ∫ 2

du = 2∫ 1 +

u2 u2 −9

du

32 32 du − u −3 u +3

3 3   = 2 u + ln(u − 3) − ln(u + 3) + c 2 2   = 2u + 3 ln(u − 3) − 3 ln (u + 3) + c

= 2u + 3 ln

(u − 3) + c (u + 3)

 9−ex −3 +c = 2 9 − e x + 3 ln   x  9−e +3 π

b.

π

2 ∫ x cos xdx = ∫ x

0

(1 + cos 2 x ) dx 2

0

=

=

=

1  1 2 x 2  2

π2 4

+

π 0

=

 π + ∫ x cos 2 xdx *   0 

π π  1  x 1 sin 2 x − ∫ sin 2 xdx   2  2 02 0 

π 1 1 +  0 + cos 2 x 4 2  4 0

π2

1π ∫ (x + x cos 2 x )dx 20

 π2 =  4 

Note : *terapkan integrasi parsial dengan u = x dan dv = cos 2 xdx


44


PEMBAHASAN UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2003/2004 PU 1333 KALKULUS SENIN 5 JANUARI 2004 Uas 2003-2004 Kalkulus I PU1333

1. Diketahui daerah tertutup D yang dibatasi oleh kurva y = x , garis x = 0 dan garis y = 3

a. Menghitung luas daerah D y=

∆x 3

3−

x

x

9

0

Luas salah satu partisi pada D adalah

(

)

∆A = 3 − x ∆x

sehingga luas daerah D adalah 9

3 3    2  2 A = ∫ 3 − x dx = 3x − x 2  =  27 − 9 2  − (0) = 9 3  3     0    0 9

(

)

b. Menghitung volume benda putar jika D diputar terhadap garis y = −1 ∆x 3 4

x +1 9 −1

jika salah satu irisan diputar terhadap garis

y = −1 maka akan

diperoleh sebuah cakram dengan jari jari dalam

x − (− 1) = x + 1

dan jari jari luar 4 serta tebal ∆x . Sehingga volume cakram tersebut adalah : ∆V = πrl2t − πrd2t Arip Paryadi , IT Telkom

45


= π (rl2 − rd2 )t = π (4 2 −

(

(

)

2

x + 1 )∆x

)

= π (16 − x + 2 x + 1 )∆x

(

)

= π − x − 2 x + 15 ∆x

(

)

V = ∫ π − x − 2 x + 15 dx 3 9  1 2 = π − x 2 − 2. x 2 + 15 x  3  0  2 3  1 9 4 2 2 = π − x − x + 15 x  3  2  0

 1  117 4  = π  − .81 − .27 + 135  − (0 ) = π 3 2   2  cos ecx 2. Diketahui f ( x ) = (cos x )

a. Menghitung : lim f ( x) x→ 0

csc x lim+ f ( x) = lim+ (cos x )

x →0

x→0

(

= lim exp ln (cos x )csc x + x →0

(

= exp lim ln (cos x )csc x +

) )

x →0

= exp lim csc x. ln(cos x ) + x →0

= exp lim + x →0

ln(cos x) * . sin x

 sin x    cos x  = exp lim  = exp(0) = 1 x →0 + cos x

Note : * limit berbentuk 0/0 , sehingga L’H bisa diterapkan.


46


b. Menentukan turunan pertama f(x) y = (cos x )cos ecx

ln y = ln(cos x) csc x ln y = csc x ln(cos x) D x ln y = D x [csc x ln(cos x)] 1 sin x y ' = − csc x. cot x ln(cos x) + csc x. y cos x

y ' = [ − csc x. cot x ln(cos x) + sec x ] y y ' = [ − csc x. cot x ln(cos x) + sec x. ](cos x) csc x

3. Menghitung a.

∫ ∫

2x 2

dx

x − 2x + 5 2x 2

x − 2x + 5

dx = ∫

2x

dx

(x − 1)2 + 2 2

x −1

misalkan x − 1 = 2 tan θ maka dx = 2 sec 2 θdθ sehingga : 2(tan θ + 1) 2x 2 sec 2 θdθ dx = ∫ ∫ 2 2 2 4 tan θ + 4 (x − 1) + 2 =∫ =∫ =∫ =

2 tan θ + 2 4(tan 2 θ + 1) 2 tan θ + 2 2

4 sec θ 2 tan θ + 2 4 sec 2 θ

θ 2

2 sec 2 θdθ

2 sec 2 θdθ 2 sec 2 θdθ

1 (− 2 ln cosθ + 2θ ) + c = θ − ln cosθ + c 2

 x −1  = tan −1   − ln  2 

2 2

+c

x − 2x + 5


47


b.

∫ ln(2 + x )dx

Misalkan u = ln( 2 + x ) dan dv = dx maka du =

1 dx dan v = x sehingga 2+ x

∫ ln (2 + x )dx = ∫ udv = uv − ∫ vdu = x ln(2 + x ) − ∫

x dx 2+ x

= x ln(2 + x) − ∫

(2 + x) − 2 dx 2+ x

2   = x ln(2 + x) − ∫ 1 − dx  2+ x

= x ln(2 + x) + 2 ln(2 + x ) − x + c = ( 2 + x ) ln( 2 + x ) − x + c

4. Menyelidiki kekonvergenan integral tak wajar +∞ a dx dx = lim ∫ a. ∫ 3 3 a → +∞ 0 (2x + 3) 2 0 (2 x + 3) 2 a

= lim ∫ (2 x + 3)

−3

2

= lim − 2(2 x + 3)

1 2x + 3

a → +∞

+∞

∴ ∫

0 3

b.

∫ 1

dx

(2x + 3)

2x −1 2

x − x−6

3

konvergen ke

2. 1

2

a →+∞

a → +∞ 0

= lim −

−1

a

1

= lim −

2a + 3

a →+∞

0

+

1 3

a

0

=

1 3

1 3

2 a

dx = lim ∫ −

a →3 1 a

= lim ∫ −

a →3 1

2x −1 2

dx

x − x−6

(

d x2 − x −6 2

x − x−6

) dx = lim ln x a →3

−

2

− x−6

a 1

2

= lim ln a − a − 6 − ln 6 = −∞ − a →3

Jadi integral di atas divergen. Arip Paryadi , IT Telkom

48


PEMBAHASAN UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2003/2004 MA 1314 KALKULUS I SENIN 5 JANUARI 2004 Uas 2003-2004 Kalkulus I MA1314

1. Menentukan y ' dari bentuk emplisit x + e xy = 1

(

)

Dx x + e xy = Dx (1) 1 + e xy ( y + xy') = 0 1 + ye xy + xy' e xy = 0

xy' e xy = −1 − ye xy y' =

− 1 − ye xy xe xy

2. Menghitung ∫ ln( 2 + x) dx ( Lihat Pembahasan Ujian Akhir Semester Ganjil 2003/2004 Pu 1333 Kalkulus I Senin 5 Januari 2004 No. 3b) 3

3. Diketahui ∫ 1

2x −1 2

x − x−6

dx

a. Memeriksa apakah integral di atas adalah integral tak wajar Benar , integral di atas merupakan integral tak wajar karena jika subtitusikan x = 3 maka fungsi integran 22 x − 1 menjadi tak x − x−6 terdefinisi. b. Memeriksa kekonvergenan integral di atas. ( Lihat Pembahasan Ujian Akhir Semester Ganjil 2003/2004 Pu 1333 Kalkulus I Senin 5 Januari 2004 No. 4b)


49


4. ( Untuk kurikulum baru soal ini termasuk dalam materi kalkulus tingkat II) a. Menentukan selang kekonvergenan deret : ∞

n 2 ∑ (n + 1)x = 1 + 2 x + 3x + ... n =0

misalkan : an = (n + 1)x n maka an+1 = (n + 2)x n +1 ρ = lim

n→∞

= lim n→∞

•

an +1 (n + 2)x n +1 = lim n an n →∞ (n + 1)x

(n + 2) x (n + 1)

= x lim n →∞

(n + 2) (n + 1)

= x

Agar deret konvergen maka haruslah ρ < 1yaitu x < 1 atau −1 < x < 1 .

•

Memeriksa kekonvergenan deret pada ujung selang -

∞

untuk x = −1 deret menjadi ∑ (n + 1).(−1) n . Untuk menguji n =0

kekonvergenannya kita lakukan uji deret ganti tanda. a n +1 n + 2 1 = = 1+ > 1 atau a n +1 > a n 1+ n an n +1

Karena a n +1 > a n maka menurut uji deret ganti tanda deret tersebut divergen. -

∞

Untuk x = 1 deret menjadi ∑ (n + 1) = 1 + 2 + 3 + .... . Deret ini n =0

monoton naik dan tak terbatas di atas sehingga deret ini divergen. ∞

jadi ∑ (n + 1)x n konvergen pada −1 < x < 1 n =0


50


b. Menentukan jumlah deret pada soal 4a dengan menggunakan : 1 1 + x + x 2 + x 3 + ... = 1− x ∞

n 2 3 ∑ (n + 1)x = 1 + 2 x + 3x + 4 x + ... n =0

(

)

= Dx 1 + x + x 2 + x 3 + .... 1  1  = Dx  = 2  1 − x  (1 − x )

5. Menentukan deret McLaurin dari fungsi f ( x ) = f ( x) =

x 1+ x

 x 1  1    = x  = x 1+ x  1 + x   1 − (− x ) 

(

)

= x 1 + (− x ) + (− x )2 + (− x )3 + ...... ∞

∞

∞

n =0

n =0

n =0

= x ∑ (− x )n = x ∑ (− 1)n x n = ∑ (− 1)n x n +1


51


PEMBAHASAN UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2002/2003 KALKULUS / PU 1333 6 JANUARI 2003 Uas 2002-2003 Kalkulus I PU1333

1. Diketaui f ( x) = ( x + 1) cos ecx a. Menentukan f ' ( x) ln f ( x) = ln(x + 1)cosecx ln f ( x) = cos ecx ln( x + 1) D x (ln f ( x) ) = D x (cos ecx ln( x + 1) ) f ' ( x) 1 = − cos ecx. cot gx ln( x + 1) + cos ecx. f ( x) x +1 f ' ( x) = [ − cos ecx. cot gx ln( x + 1) + cos ecx. f ' ( x) = [ − cos ecx. cot gx ln( x + 1) +

1 x +1

] f ( x)

1 cos ecx. ]ln( x + 1) cos ecx x +1

b. Menghitung lim f ( x ) + x →0

cos ecx lim f ( x ) = lim+ ( x + 1)

x→0 +

x →0

( = exp lim (ln( x + 1)

= lim exp ln( x + 1) cos ecx + x →0

x →0

cos ecx

+

) )

= exp lim cos ecx. ln( x + 1) + x →0

= exp lim + x →0

ln( x + 1) * sin x

 1    x +1 = exp(1) = e = exp lim  x →0 + cos x

Note : *limit berbentuk 0/0, sehingga kita dapat menerapkan L’H Arip Paryadi , IT Telkom

52


2. Menghitung integral a. ∫ ln(5 x + 2)dx misalkan : u = ln(5x + 2) dan dv = dx maka du =

5 dx dan v = x sehingga 5x + 2

∫ ln(5 x + 2)dx = ∫ udv = uv − ∫ vdu = ln(5 x + 2).x − ∫

5x dx 5x + 2

= x ln(5 x + 2) − ∫ (1 −

2 )dx 5x + 2

2   = x ln(5 x + 2) −  x − ln(5 x + 2)  + c 5   2  =  x +  ln(5 x + 2) − x + c 5 

b.

∫

dx x2 4 − x2

2

x t

misalkan : x = 2 sin t maka dx = 2 cos tdt sehingga ∫

dx x2 4 − x2

=∫ =∫

=∫

4− x

2

2 cos tdt 4 sin 2 t 4 − 4 sin 2 t 2 cos tdt

4 sin 2 t 4(1 − sin 2 t )

2 cos tdt 2

4 sin t.2 cos t

=∫

=∫

2 cos tdt 4 sin 2 t 4(cos 2 t )

dt 2

4 sin t

=

1 2 ∫ cos ec tdt 4

1 1 4 − x2 = − cot gt + c = − +c 4 4 x


53


3. Menyelidiki kekonvergenan dari +∞ dx a. ∫ 32 0 ( x + 1) +∞

∫

0

a

dx

= lim ∫

32

(x + 1)

a → +∞ 0

dx

(x + 1) 3 2

a

3

= lim ∫ ( x + 1)− 2 dx a → +∞ 0

= lim − 2( x + 1)

−1

a

2

a → +∞

0

  1 = lim − 2  − 1 = 2 a → +∞  a +1  +∞

Ini menunjukkan bahwa ∫

(x + 1)3 2

0 0

b.

∫

ex

−∞ 1 + e 0

∫

2x

ex

−∞ 1 + e

konvergen ke 2.

dx 0

2x

dx

dx = lim ∫

e x dx

b → −∞ b 1 + e

2x

x Misalkan : u = e x maka du = e dx Jika x → −∞ maka u → 0 + Jika x = 0 maka u = 1 sehingga 0

∫

ex

−∞ 1 + e

0 2x

dx = lim ∫

e x dx

b → −∞ b 1 + e

1

= lim ∫ +

2x

du

c →0 c 1 + u

= lim tan −1 (u ) +

2

c →0

= lim tan −1 (1) − tan −1 (c) = + c →0

0

Ini menunjukkan bahwa ∫

ex

−∞ 1 + e

2x

1 c

π 4

dx konvergen ke


π . 4

54


4. Diketahui daerah D dibatasi oleh y = x , x = 4 , sumbu x. a. Menentukan luas D Luas salah satu partisi dari D adalah

x ∆x

0

x=4

∆A = x ∆x dengan demikian luas seluruh daerah D adalah 3

4

2 A = ∫ x dx = x 2 3 0

4

=

16 3

0

b. Menghitung volume benda putar jika D diputar terhadap sumbu y. Jika sebuah partisi dari D dengan tinggi x

x dan alas ∆x serta berjarak x dari

sumbu y diputar terhadap sumbu y maka aka diperoleh sebuah kulit tabung dengan jari jari x, tebal ∆x dan tinggi

x

∆x

x . Sehingga volume kulit tabung

tersebut sebesar ∆V = 2πx x ∆x = 2πx

3

2 ∆x

jadi volume benda yang dimaksud adalah 4

V = 2π ∫ x 0

3

2 dx

= 2π .

2 52 x 5

4

= 0

128 π 5


55


PEMBAHASAN UJIAN AKHIR SEMESTER GENAP 2002/ 2003 MA1314 KALKULUS I JUMAT, 13 JUNI 2003 Uas 2002-2003 Kalkulus I MA1314 1. Menghitung

a.

∫

3x 3 − 4 x 2 + 6 x

(x − 1)2 (x 2 + 4 )

misalkan

3x 3 − 4 x 2 + 6 x

(x − 1)

2

(x

2

+4

)

=

a b cx + d , + + 2 2 (x − 1) (x − 1) x + 4

(

)

untuk mendapatkan nilai a, b, c, dan d kalikan kedua ruas dengan

(x − 1)2 (x 2 + 4) sehingga persamaan menjadi 3x 3 − 4 x 2 + 6 x = a(x − 1)(x 2 + 4) + b(x 2 + 4) + (cx + d )(x 2 − 1)* , kemudian dengan menyulihkan nilai x = 1 , x = −1 , x = 0 dan x = 2 secara berturut turut kita peroleh 5 = 5b atau b = 1 −13 = −10 a + 5b atau a = 9 5 0 = −4 a + 4b − d atau d = − 16

5

20 = 8a + 8b + 6c + 3d atau c = 6 5

sehingga ∫

 9 1 6 x − 16  = + + dx ∫ 2 2  5 x2 + 4 x +4  5( x − 1) ( x − 1)

3x 3 − 4 x 2 + 6 x

(x − 1)2 (

)

(

)

 dx  

 9 1 3 2x * 16 1* *  dx = ∫ + + −  5( x − 1) ( x − 1)2 5 x 2 + 4 5 x 2 + 4   

( 9 1 3 = ln(x − 1) − + ln (x (x − 1) 5 5

2

) 8 + 4 )− tan 5

x  +c 2

−1 

Note : gunakan substitusi u = x 2 + 4 pada (*) dan x = 2 tan t pada (**)


56


b.

∫

1 x2 x2 +1

x2 +1

dx

x

θ 1 2

misalkan x = tan θ maka dx = sec θdθ sehingga 1

∫

2

x

1

dx = ∫

2

2

sec 2 θdθ

2

tan θ tan θ + 1

x +1 =∫

1 2

sec 2 θdθ

2

tan θ sec θ

=∫

1

sec θdθ = ∫

2

cos 2 θ

1 dθ sin θ cos θ 2

tan θ cos θ 1 =∫ dθ = ∫ cot θ cscθdθ sin θ sin θ x 2 +1 +c x

= − csc θ + c = −

+∞

2. Menentukan kekonvergenan integral tak wajar ∫ 1

+∞

∫

1

a

x

(x

2

)

+1

32

dx = lim ∫

a →+∞ 1

(x + 1) 2

3

= lim − b → +∞

Jadi ∫ 1

x

(x

2

)

+1

32

)

+1

32

dx

2

)

+∞

(x

x

misalkan u = x 2 + 1 maka du = 2 xdx jika x = 1 maka u = 2 jika x → +∞ maka u → +∞ sehingga a b 1 du x 1 −2 2 = lim ∫ lim ∫ 3 = lim . 3 a →+∞ 1 b →+∞ 2 b → +∞ 2 u u 2 x 2 +1 2

(

x 2

1 b

+

1

2

1

=

2

dx konvergen ke

b

2 1 2


57


3. Diketaui f ( x) = (cot x ) x

2

a. Menentukan turunan pertama dari f(x) ln y = ln(cot x )x

2

ln y = x 2 ln(cot x )

(

Dx (ln y ) = Dx x 2 ln(cotx)

)

1 − csc x. cot x y ' = 2 x ln(cot x ) + x 2 y cot x

y' = ( 2x ln(cot x) − x 2 csc x ) y y ' = ( 2 x ln(cot x ) − x 2 csc x

)(cot x )x

2

b. Menghitung lim+ f ( x) x →0

lim+ (cot x )

x →0

x

2

= lim exp ln(cot x )x +

2

x →0

= lim exp x 2 ln (cot x ) = exp lim x 2 ln (cot x ) + + x →0

x→0

 − csc 2 x     cot x  ln(cot x )   = exp lim * = exp lim + +  1   2  x →0 x →0  2 − 3   x  x 

= exp lim + x →0

x 3 1 sin x 2 sin 2 x cos x

1 x x 2  = exp lim lim  2 x →0 + sin x x→0 + cos x    1  = exp .1.0  = 1 2 

Note : *limit berbentuk ∞/∞ sehingga kita dapat menerapkan L’H


58


(x + 1)n

∞

4. Menentukan selang kekonvergenan ∑

n =1 2

n +1 2

n (untuk kurikulum baru materi ini termasuk dalam kalkulus tingkat II)

(x + 1)n

misalkan a n = maka an +1 =

ρ = lim

an +1 an

n →∞

2 n +1 n 2

(x + 1)n+1 2 n + 2 (n + 1) 2 = lim

n →∞

= lim n →∞

=

•

(x + 1)n +1 2 n + 2 (n 2 + 2n + 1)

(x + 1)n+1

n →∞

= lim

=

2 n +1 n 2

(

)

2 n + 2 n 2 + 2n + 1 (x + 1)n 2 n +1 (x + 1)n +1

2 n+ 2

(x + 1)n

n2

(n

2

)

+ 2n + 1

1 n2 ( x + 1) 2 2 n + 2n + 1

(

)

x +1 x +1 n2 = lim 2 2 n → ∞ n 2 1 + 2 + 1    n n2  

Agar deret konvergen maka haruslah ρ < 1 yaitu

x +1 < 1 atau 2

x + 1 < 2 ⇒ −2 < x + 1 < 2 ⇒ −3 < x < 1

•

Memeriksa kekonvergenan deret pada ujung selang - untuk x = −3 deret menjadi

(− 2)n

(− 1)n 2n

1 ∞ (− 1)n ∑ n +1 2 n +1 2 2 n=1 n 2 n =12 n =1 2 n n Untuk memeriksa kekonvergenannya dapat dilakukan uji deret ganti tanda. ∞

∑

∞

=∑

misalkan an =

1 n2

=

maka a n +1 = 2

o

1 (n + 1) 2

sehingga 2

a n +1 1  n2   n  = =  <1 ;n ≥1  = 1 − an (n + 1)2  n + 1   n + 1  Arip Paryadi , IT Telkom

59


o

lim a n = lim

n →∞

n →∞

1 n2

a n+1 < 1 dan an

Karena

∞

tanda ∑

(− 1)n n2

n =1

=0

lim a n = 0 maka menurut uji deret ganti

n →∞

konvergen yang berakibat

1 ∞ (− 1)n ∑ 2 n =1 n 2

juga

konvergen. ∞

-

1 ∞ 1 ∑ yang merupakan n +1 2 2 n =1 n 2 n =12 n deret p dengan p = 2 < 1 yang menunjukan bahwa deret ini konvergen.

untuk x = 1 deret menjadi ∑

∞

•

(2)n

Jadi deret ∑

(x + 1)n

n =1 2

n +1 2

n

=

konvergen pada −3 ≤ x ≤ 1


60


PEMBAHASAN UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2002/2003 KALKULUS I Uas 2002-2003 kalkulus I sin x

1. Menghitung lim (tan x ) + x→0

sin x

lim+ (tan x )

x→0

= lim exp ln (tan x )sin x = exp lim ln (tan x )sin x + + x →0

x→0

= exp lim sin x ln(tan x ) = exp lim + + x →0

x →0

ln(tan x ) * csc x

 sec 2 x     tan x  sec2 x   = exp = exp lim lim x →0 + − csc x x →0 + − csc x cot x sin x = exp lim − = exp(0) = e 0 = 1 + cos 2 x x →0

Note : * limit berbentuk ∞/∞ sehingga kita dapat menerapkan L’H 2. Menentukan y ' dari y = (2 + sin x ) x y = (2 + sin x) x

2

2

ln y = ln(2 + sin x ) x

2

ln y = x 2 ln(2 + sin x)

(

)

D x (ln y ) = D x x 2 ln(2 + sin x )

1 cos x y ' = 2 x ln(2 + sin x ) + x 2 y 2 + sin x  x 2 cos x  y ' = 2 x ln(2 + sin x ) + y 2 + sin x    x 2 cos x  x2 y ' = 2 x ln(2 + sin x ) + (2 + sin x ) 2 + sin x  


61

1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I 2x

4x 2 −1 dx 3. Menghitung ∫ x misalkan : x = ∫

4x 2 −1

θ 1

1 secθ maka dx = 1 secθ tan θdθ sehingga 2 2

sec 2 θ − 1 1 4x2 −1 secθ tan θdθ dx = ∫ 1 x secθ 2 2

= ∫ tan 2 θ tan θdθ

= ∫ tan 2 θdθ = ∫ (sec2 θ − 1)dθ = tan θ − θ + c = 4 x 2 − 1 − sec −1 (2 x ) + c

4. Menentukan kekonvergenan ∞

a.

∫

e−x

−∞ 1 + e ∞

∫

−2 x

e−x

−∞ 1 + e

dx 0

−2 x

dx = lim ∫

e −x

a → −∞ a 1 + e

b

−2 x

dx + lim ∫

e −x

b →∞ 0 1 + e

−2 x

dx

misalkan : u = e − x maka du = −e − x dx sehingga ∫

e− x 1+ e

∞

∫

−2x

dx = ∫

e−x

−∞ 1 + e

−2 x

− du 1+ u

2

( )

= − tan −1 u + c = − tan −1 e − x + c

( )

dx = lim − tan −1 e − x a → −∞

0 a

( )

+ lim − tan −1 e − x b→∞

b

0

π   π  = lim  − + tan −1 e − a  + lim  − tan −1 e −b +  4 4 a → −∞   b →∞ 

( )

π π  π π  = − +  + 0 +  = 4 2  4 2  ∞

Jadi ∫

e−x

−2 x −∞ 1 + e

dx konvergen ke

π 2


62

1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I ∞

b.

dx

∫

x ln 3 x Karena domain dari ln x adalah x > 0 maka kita tidak dapat melakukan pengintegralan untuk kasus ini. −∞

3n +1 5. a. Memeriksa kekonvergenan deret ∑ n =1 n! ∞

misalkan : a n =

3 n +1 3n + 2 maka an +1 = (n + 1)! n!

3n + 2 n! 3n + 2 n! an +1 = lim = lim n +1 n +1 (n + 1)! n→∞ an n →∞ (n + 1)! 3 n →∞ 3

ρ = lim

= lim 3 n →∞

1 n! = 3 lim =0 (n + 1)n! n→∞ (n + 1)

3n +1 n =1 n! ∞

karena ρ = 0 < 1 maka menurut uji hasil bagi deret ∑ konvergen. ∞

2 n −1 x n

n =0

(n 2 + 1)

b. Menentukan selang kekonvergenan deret ∑ misalkan : a n = ρ = lim n →∞

= lim

n →∞

2 n −1 x n

(n

2

)

+1

maka an +1 =

2 n x n +1

((n + 1) + 1) 2

=

2 n x n +1 n 2 + 2n + 2

2 n x n +1 n 2 + 1 a n +1 = lim 2 n −1 n an n →∞ n + 2n + 2 2 x 2 n x n +1

n2 + 1

2 n −1 x n n 2 + 2n + 2

= lim 2 x n →∞

n2 +1 n 2 + 2n + 2

1   n 2 1 + 2  n +1  n  = 2 x lim = 2 x lim 2 = 2x 2 2  n →∞ 2  n →∞ n + 2 n + 2 n 1 + + 2   n n  2


63


•

Agar deret konvergen maka haruslah ρ < 1 yaitu 1 1
−1 < 2x < 1 ⇒ −

•

2 x < 1 atau

Memeriksa kekonvergenan deret pada ujung selang. -

1 2

untuk x = − deret menjadi n

 1 2 n −1  −  n −n n −1 ∞ 1 ∞ (− 1)n  2  = ∞ 2 (− 1) 2 = ∑ ∑ ∑ 2 n = 0 (n 2 + 1) n=0 n =0 (n 2 + 1) (n 2 + 1)

Untuk memeriksa kekonvergenannya dapat dilakukan uji deret ganti tanda. misalkan a n = o

1 2

n +1

maka a n +1 =

1 2

(n + 1) + 1

=

1 2

n + 2n + 2

a n +1 n 2 +1 n 2 + 1 + (2n + 1) − (2n + 1) = 2 = an n 2 + 2n + 2 n + 2n + 2 =

n 2 + 2n + 2 − (2n + 1)

1

o lim a n = lim n→∞

karena tanda

= 1−

n 2 + 2n + 2 2

n +1

n→∞

(2n + 1) n 2 + 2n + 2

<1 ;n ≥ 0

=0

a n +1 < 1 dan lim a n = 0 maka menurut uji deret ganti an n→∞ ∞

(− 1)n

n =0

(n 2 + 1)

deret ∑

konvergen

yang

berakibat

n

1 ∞ (− 1) juga konvergen. ∑ 2 n =0 (n2 + 1)

-

untuk x =

1 deret menjadi 2 n

1 2 n −1   n −1 − n ∞ 1 2 = ∞ 2 2 = 1 ∞ ∑ ∑ ∑ 2 2 2 2 n =0 (n + 1) n =0 ( n + 1) n = 0 ( n + 1) Arip Paryadi , IT Telkom

64


Sekarang perhatikan bahwa n 2 + 1 > n 2 atau ∞

untuk setiap nilai n. mengingat bahwa ∑

1

1 2

n +1

<

1 n2

merupakan

n2 deret yang konvergen (deret p dengan p = 2 > 1 ) maka n =0

1

∞

menurut uji perbandingan deret ∑ n=0

berakibat

n +1

konvergen yang

1 ∞ 1 juga konvergen. ∑ 2 n =0 ( n 2 + 1) ∞

•

2

Dengan demikian deret ∑ n =0

2 n −1 x n 2

(n + 1)

konvergen pada −


1 1 ≤x≤ 2 2

65


PEMBAHASAN UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2001/2002 DA 1314 KALKULUS I SENIN 15 JANUARI 2001 Uas 2001-2002 Kalkulus I DA1314 1. Membuktikan bahwa f ( x) = x 2 + 2 x + 2 , x ≤ −1 memiliki invers dan

menentukan f

−1

( x)

Untuk membuktikan bahwa f memilik invers harus kita tunjukkan bahwa f monoton murni pada domain yang diberikan. Sekarang perhatikan f ' ( x ) = 2 x + 2 = 2( x + 1) < 0 yang bahwa untuk x < −1 kita memiliki menunjukkan bahwa f selalu naik pada x < −1 atau f monoton murni yaitu f memiliki invers. misalkan x = f −1 ( y ) y = x 2 + 2 x + 2 , x ≤ −1

y = (x + 1)2 + 1

(x + 1)2 = y − 1 (x + 1) = −

y − 1 karena x + 1 ≤ 0, ∀x ≤ −1

x = −1 − y − 1 f

−1

( y ) = −1 − y − 1

f −1 ( x) = −1 − x − 1, x ≥ 1

2. a. mencari integral tak tentu ∫ misalkan :

x+4

(

2

x x +4

)

=

x+4 3

x + 4x bx + c

dx

a + x x2 + 4

dengan menyamakan penyebut pada ruas kanan diperoleh x+4

(

x x2 + 4

)

=

a ( x 2 + 4) + (bx + c) x x ( x 2 + 4)

x + 4 = a( x 2 + 4) + (bx + c) x

x + 4 = (a + b) x 2 + cx + 4a Arip Paryadi , IT Telkom

66


Dengan membandingkan koefisien suku yang sejenis di dapat 4a = 4 atau a = 1 , c = 1 , a + b = 0 atau b = −1 . sehingga ∫

x+4 x3 + 4x

−x 1  1  1 − x +1 dx = ∫  + 2 + 2 dx dx = ∫  + 2 x x x +4 x +4 x +4  

(

)

1 1 d x2 + 4 dx +∫ 2 dx − ∫ 2 x 2 x +4 x +4 1 1 x = ln x − ln x 2 + 4 + tan −1   + c 2 2 2 =∫

(

9 − x2

3

b. Menghitung ∫

x2

1

)

dx

misalkan : x = 3 sin θ maka dx = 3 cos θdθ jika x = 1 maka θ = sin −1 jika x = 3 maka θ =

1 3

π sehingga 2

π 3

∫

1

9− x x2

2

∫

sin −1

π

=

9 − 9 sin 2 θ

2

dx =

9 sin 2 θ 9(1 − sin 2 θ )

2

∫

sin −1

1 3

1 3

9 sin 2 θ

3 cosθdθ

3 cos θdθ

π

=

9 cos 2 θ

2

∫

−1 1

sin

9 sin 2 θ

3 cos θdθ

3

π

=

∫

sin −1

=

3 cos θ

2 1 3

9 sin 2 θ

3 cos θdθ

π

π

2

2

2 ∫ cot θdθ =

sin

−1 1

3

2 ∫ (csc θ − 1)dθ

sin −1

1 3


67

1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I π 2

= (− cot θ − θ )

sin −1

1 3

π   1  1  =  0 −  −  − cot sin −1   − sin −1    2 3  3       =−

π 2

+ 2 2 + sin −1

1 3

3. Menyelidiki kekonvergenan integral tak wajar ∞

a.

∫ ln( x + 1)dx

0

∞

a

0

a→∞ 0

∫ ln( x + 1)dx = lim ∫ ln( x + 1)dx

Misalkan u = ln( x + 1) dan dv = dx maka du =

1 dx dan v = x x +1

sehingga ∫ ln( x + 1)dx = ∫ udv = uv − ∫ vdu = x ln( x + 1) − ∫

x dx x +1

= x ln( x + 1) − ∫

( x + 1) − 1 1   dx = x ln( x + 1) − ∫ 1 − dx x +1  x +1

= x ln( x + 1) − (x − ln( x + 1) ) + c = ( x + 1) ln( x + 1) − x + c a

∞

∫ ln( x + 1)dx = lim [(x +1) ln(x +1) − x] = lim [(a +1) ln(a +1) − a] = ∞ a→∞

0

0

a→∞

∞

Jadi ∫ ln( x + 1)dx divergen. 0

(−2) n +1 x n 2n + 3 n =0 ∞

4. Menentukan selang kekonvergenan dari deret pangkat ∑ misalkan an =

(− 2)n +1 x n maka 2n + 3

a n +1 =

(− 2)n + 2 x n+1 2n + 5


68

1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I n+2

(− 2) x n +1 (2n + 3) an +1 = lim ( 2n + 5) (− 2)n +1 x n an n →∞

ρ = lim n →∞

= lim (− 2 )x n →∞

•

Agar deret kongergen maka haruslah x<

•

2n + 3 2n + 3 = 2 x lim =2x 2 2n + 5 n →∞ n + 5

ρ < 1 yaitu 2 x < 1 atau

1 1 1 ⇒−
Memeriksa kekonvergenan deret pada ujung selang . -

untuk x = −

1 deret menjadi 2

 1 (−2) n +1  −  ∞  2 ∑ 2n + 3 n =0

n

∞ 1 (−1) n +1 (2 )n +1 (− 1)n 2 − n = −2 ∑ . 2n + 3 n=0 n = 0 2n + 3 n ≥ 0 berlaku perhatikan bahwa untuk

sekarang

∞

= ∑

2n + 3 < 2n + 4 = 2( n + 2) atau

bahwa

1 1 > . 2n + 3 2( n + 2)

1 1 ∞ 1 1 ∞ 1 = ∑ = ∑ 2 n =0 n + 2 2 k = 2 k n =0 2( n + 2) ∞

∑

mengingat

merupakan kelipatan

dari deret harmonis yang divergen, maka menurut uji ∞ 1 perbandingan deret ∑ divergen yang berakibat n =0 2n + 3 1 juga divergen. n =0 2n + 3 ∞

−2 ∑

-

untuk x =

1 deret menjadi 2 n

1 (−2) n +1   n +1 −1 n +1 ∞  2  = ∞ (−1) (2) 2 ∑ ∑ 2n + 3 2n + 3 n =0 n =0

( )

n

(−1) n +1 n = 0 2n + 3 ∞

=2∑


69


misalkan a n =

1 1 1 = sehingga maka a n +1 = 2(n + 1) + 3 2n + 5 2n + 3

a n +1 2n + 3 (2n + 5) − 2 2 = = 1− < 1 dan = 2n + 5 2n + 5 2n + 5 an

o

1 =0 n → ∞ 2n + 3

o lim an = lim n →∞

karena

a n +1 < 1 dan lim a n = 0 maka menurut uji deret ganti an n →∞

tanda

∞ ( −1) n +1 (−1) n +1 konvergen yang berakibat 2 ∑ juga n = 0 2n + 3 n = 0 2n + 3 ∞

∑

konvergen. (−2) n +1 x n 1 1 konvergen pada interval − < x ≤ . + 2 3 n 2 2 n =0 ∞

•

jadi ∑

5. Perderetkan ke dalam deret Mac Laurin untuk fungsi f ( x) = f ( x) =

1 4−x

2

=

1 4 − x2

1 1 4  1 2 1 − x   4 

2 3  1  1 2 1 2 1  1 +  x  +  x  +  x 2  + ... 4   4   4  4   1 1 1 1 6  x + ... = 1 + x 2 + x 4 + 4 4 16 64 

=

;

x <1 2

1 4 1 6  x 1 1 x + x + ... ; < 1 =  + x2 + 64 256  2  4 16


70


PEMBAHASAN UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2000/2001 KALKULUS 1 SENIN / 24 NOVEMBER 2000 Uas 2000-2001 Kalkulus I 1

1. Diketahui f ( x) = (2 x + 4 x )

x

a. Menentukan f ' ( x) y = (2 x + 4 x )

1

x

ln y = ln(2 x + 4 x ) ln y =

1

x

1 ln( 2 x + 4 x ) x

 1 Dx (ln y ) = Dx  ln 2 x + 4 x  x  

(

)

1 2 x ln 2 + 4 x ln 4 1  1  y ' =  − 2  ln 2 x + 4 x + y x 2x + 4x  x 

(

)

(

)

(

)

 ln 2 x + 4 x 2 x ln 2 + 4 x ln 4  + y ' = − y x2 x 2x + 4x  

(

)

 ln 2 x + 4 x 2 x ln 2 + 4 x ln 4  x x + y ' = −  2 +4 x2 x 2x + 4x  

) (

(

)

1

x

b. menghitung lim f ( x ) x→∞

(

lim f ( x) = lim 2 x + 4 x

x →∞

x →∞

1 x

)

x →∞

1 x

(

)

(

)

= exp lim ln 2 x + 4 x x →∞

(

= lim exp ln 2 x + 4 x

1 x

)

1 ln 2 x + 4 x x →∞ x

= exp lim

(

)

ln 2 x + 4 x 2 x ln 2 + 4 x ln 4 * = exp lim x x →∞ x →∞ 2x + 4x

= exp lim


71


 2  x   1  x  4 x   ln 2 + ln 4   ln 2 + ln 4  4    2   = exp lim  = exp lim   2  x   1  x  x →∞ x→∞ 4 x   + 1   + 1  4   2    = exp (ln 4 ) = 4

Note : *limit berbentuk ∞/∞ sehingga dalil L’H dapat diterapkan 2. Menghitung 5

a.

∫ ln{( x − 1)(x − 2)}dx

3 5

5

3

3

(

)

2 ∫ ln{( x − 1)( x − 2)}dx = ∫ ln x − 3x + 2 dx

(

)

misalkan : u = ln x 2 − 3x + 2 dan dv = dx maka 2x − 3

du =

2

x − 3x + 2

(

dx dan v = x sehingga

)

2 ∫ ln x − 3 x + 2 dx = ∫ udv = uv − ∫ vdu

(

)

= x ln x 2 − 3 x + 2 − ∫

2 x 2 − 3x x 2 − 3x + 2

dx

 ( ) dx  = x ln(x − 3 x + 2) − 2 x − ln(x − 1) − 2 ln( x − 2) + c ∫ ln (x − 3x + 2)dx = [x ln (x − 3x + 2) − 2 x − ln (x − 1) − 2 ln( x − 2 )] 1 2  = x ln x 2 − 3 x + 2 − ∫  2 + + x x − 1 − 2  2

5

2

5 3

2

3

= 5 ln 12 − 10 − ln 4 − 2 ln 3 − (3 ln 2 − 6 − ln 2 − 0) = 5 ln 12 − 10 − ln 4 − 2 ln 3 − 2 ln 2 + 6

 12 5 = ln 2 2  4.3 .2

  5  − 4 = ln 12   4 232  

  − 4 = 3 ln 12 − 4  


72


•

Untuk

solusi

yang

lebih

mudah

5

5

5

3

3

3

∫ ln{(x − 1)( x − 2)}dx = ∫ ln (x − 1)dx + ∫ ln (x − 2)dx

gunakan

hubungan

kemudian

lakukan

lakukan integral parsial pada masing masing bagian pada ruas kanan.

b.

∫

2x − 3 9 − x2

dx

3

misalkan : x = 3 sin θ maka dx = 3 cos θdθ sehingga ∫

2x − 3 9− x

2

x

θ

2(3 sin θ ) − 3

dx = ∫

9 − 9 sin 2 θ 6 sin θ − 3

=∫

=∫

9(1 − sin 2 θ )

6 sin θ − 3 9 cos 2 θ

9− x2

3 cosθdθ 3 cosθdθ

3 cosθdθ

= ∫ (6 sin θ − 3)dθ = −6 cos θ − 3θ + c  9 − x2 = −6  3 

  − 3 sin −1  x  + c  3  x = −2 9 − x 2 − 3 sin −1   + c 3

3. Menghitung ∫ misalkan :

x2 − 2x − 3 ( x − 1)( x 2 + 2 x + 2) x 2 − 2x − 3 2

=

( x − 1)( x + 2 x + 2)

dx

a bx + c + 2 x −1 x + 2x + 2

dengan mengalikan kedua ruas dengan ( x − 1)( x 2 + 2 x + 2) diperoleh

(

)

x 2 − 2x − 3 = a x 2 + 2 x + 2 + (bx + c)(x −1) .

Dengan menyulihkan nilai x = 1 , x = 0 , dan x = 2 kita peroleh −4 = 5a atau a = − 4 5 −3 = 2a − c atau c = 7 5 −3 = 10a + 2b + c atau b = 9 5 sehingga Arip Paryadi , IT Telkom

73


∫

  −4 9x + 7 dx  = + dx ∫  5( x − 1) 5( x 2 + 2 x + 2)  ( x − 1)( x 2 + 2 x + 2)   x 2 − 2x − 3

4 9 2x + 2 2 dx = − ln(x −1) + ∫ 2 dx − ∫ 2 5 10 x + 2x + 2 5 x + 2x + 2

(

)

dx 9 d x2 + 2x + 2 2 4 − ∫ = − ln(x − 1) + ∫ 2 10 x + 2x + 2 5 (x + 1)2 + 1 5

4 9 2 = − ln( x −1) + ln x2 + 2x + 2 − tan−1( x + 1) + c 5 10 5

(

)

4. Menentukan kekonvergenan integral tak wajar π

a.

a

a

2

∫ tan θdθ = lim − ∫ tan θdθ = lim− ln sec t + tan t

0

a→

π

0

a→

2

π

0

2

= lim ln sec a + tan a − ln sec 0 + tan o = ∞ − a→

π

2

π

2

Ini menunjukkan bahwa ∫ tan θdθ divergen. 0

0

b.

0

2

2

x x ∫ xe dx = lim ∫ e xdx b → −∞ b

−∞

misalkan : u = x 2 maka du = 2 xdx jika x = 0 maka u = 0 jika x → −∞ maka u → +∞ sehingga 0 0 0 1 u 1 x2 du = lim ∫ e u du lim ∫ e xdx = lim ∫ e 2 c →∞ c 2 c →∞ c b →−∞ b = 0

1 u lim e 2 c →∞

0

= c

1 0 c lim e − e = −∞ 2 c →∞

2

x Jadi ∫ xe dx divergen. −∞ ∞

5. Menentukan selang kekonvergenan deret ∑ (−1) k +1 k =1


xk k (k + 1)

74

1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I k +1 misalkan : a k = (− 1)

ρ = lim k →∞

k →∞

(k + 2)

= x lim k →∞

k. = x ( k + 2)

•

Agar deret konvergen maka haruslah

•

−1 < x < 1 Memeriksa kekonvergenan pada ujung selang. - untuk x = −1 deret menjadi ∞

k +1

∑ (− 1) k =1

-

dan

(− 1)k + 2 x k +1 k (k + 1) a k +1 = lim k +1 k ak k →∞ (k + 1)(k + 2) (− 1) x (− 1)k .x

= lim

xk x k +1 k +2 maka ak +1 = (− 1) k (k + 1) (k + 1)(k + 2)

ρ < 1 yaitu

x < 1 atau

∞1 ∞ 1  (−1) k 1 = −∑  − = ∑ (− 1)2k +1  k (k + 1) k =1 k +1  k (k + 1) 1 k

Deret ini merupakan deret collaps yang konvergen. untuk x = 1 deret menjadi : ∞

k +1

∑ (− 1) k =1

∞ 1 (1) k = ∑ (− 1)k +1 k (k + 1) k (k + 1) k =1

Untuk memeriksa kekonvergenannya kita lakukan uji deret ganti tanda. Misalkan

ak =

1 k (k + 1)

maka

a k +1 =

1 sehingga (k + 1)(k + 2)

a k +1 k (k + 1) ( k + 2) − 2 2 = = = 1− < 1; k ≥ 1 k +2 ak (k + 1)(k + 2) k+2

*

* lim a k = lim k →∞

k →∞

dan

1 =0 k (k + 1)

Karena a k +1 < a k ∀k ≥ 1 dan lim a k = 0 maka menurut uji k →∞

∞

deret ganti tanda deret ∑ (− 1)k +1 k =1

•

∞

Jadi ∑ (−1) k +1 k =1

1 kovergen. k (k + 1)

k

x konvergen pada selang −1 ≤ x ≤ 1 k (k + 1)


75


TRIGONOMETRY FORMULAE sin 2 x + cos 2 x = 1 sec 2 x − 1 = tan 2 x sin ( x + y ) = sin x cos y + cos x sin y sin ( x − y ) = sin x cos y − cos x sin y cos( x + y ) = cos x cos y − sin x sin y cos( x − y ) = cos x cos y + sin x sin y tan (x + y ) =

tan x + tan y 1 − tan x tan y

tan (x − y ) =

tan x − tan y 1 + tan x tan y

sin 2 x = 2 sin x cos x cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x

π π   sin x = cos − x  = cos x −  2 2   π π   cos x = sin  − x  = sin  x +  2 2   sin (π − x ) = sin x cos(π − x ) = − cos x

(1 + cos 2 x ) sin 2 x = 12 (1 − cos 2 x ) sin x sin y = 12 [− cos ( x + y ) + cos ( x − y )] cos x cos y = 12 [cos (x + y ) + cos ( x − y )] sin x cos y = 12 [sin ( x + y ) + sin ( x − y )] cos 2 x =

1 2

u+v u−v cos 2 2 u+v u−v cos u + cos v = 2 cos cos 2 2 u+v u−v cos v − cos u = 2 sin sin 2 2 sin x cos x tan x = cot x = cos x sin x 1 1 sec x = csc x = cos x sin x sin u + sin v = 2 sin


76

Soal Dan Solusi Kalkulus

Recommend Documents