BAB II FUNGSI DAN GRAFIK
Pada awalnya fungsi muncul karena adanya ketergantungan suatu kuantitas (besaran) tertentu pada kuantitas (besaran) lainnya. Fungsi dapat dinyatakan dalam 4 cara yaitu secara verbal (kata-kata), numerik (tabel nilai), visual (grafik) dan aljabar (rumus eksplisit).
TIK : Setelah mempelajari pokok bahasan ini, mahasiswa dapat menggambarkan grafik fungsi yang diberikan
2.1. Pengertian dan Penyajian Fungsi Sebuah fungsi f adalah aturan yang memasangkan setiap elemen x dalam satu himpunan, misalkan A, dengan tepat satu elemen f(x) dalam himpunan kedua, misalkan B. Himpunan B boleh sama dengan himpunan A. Apabila f merupakan fungsi yang memasangkan setiap anggota A pada tepat satu anggota B, maka f ditulis sebagai f : A → B. Himpunan A disebut domain (daerah asal, daerah definisi) fungsi f dan himpunan B disebut kodomain (daerah kawan) dari fungsi f. Empat situasi berikut menggambarkan cara penyajian fungsi, yaitu : a. Luas daerah A dari suatu lingkaran tergantung pada jari–jari r lingkaran tersebut. Aturan yang mengaitkan r dan A diberikan oleh persamaan A = π r2.
10
Setiap nilai r berhubungan dengan nilai A, maka dikatakan bahwa A adalah fungsi dari r. Fungsi tersebut disajikan melalui suatu rumus eksplisit. b. Populasi manusia P di dunia tergantung pada waktu t. Tabel berikut memberikan taksiran populasi dunia P(t) pada waktu t, untuk tahun tertentu. Tabel taksiran populasi penduduk dunia Tahun (t) 1900 1910 1920 1930 1940 1950
Populasi (P)* 1650 1750 1860 2070 2300 2520
*dalam jutaan
Untuk
setiap
nilai
t
terdapat
nilai
padanannya P, sehingga kita katakan bahwa
Tahun (t) 1960 1970 1980 1990 1996
Populasi (P)* 3020 3700 4450 5300 5770
P merupakan fungsi dari t. Fungsi tersebut disajikan dalam bentuk tabel. c.
Biaya pengiriman surat tercatat C tergantung pada beratnya w. Walaupun tidak terdapat rumus sederhana yang mengaitkan C dan w, kantor pos mempunyai aturan tertentu (dapat disajikan dengan uraian kata – kata) untuk menentukan C bila w diketahui. Aturan yang digunakan Perusahaan Pos Amerika Serikat tahun 1998 sebagai berikut : Biayanya adalah 32 sen untuk berat sampai dengan satu ons, ditambah 23 sen untuk setiap ons tambahan sampai dengan 11 ons.
11
d.
Kecepatan tegak tanah a yang diukur oleh seismograf selama gempa adalah fungsi dari waktu terlewat t. Biasanya digunakan grafik yang menyatakan hubungan antara a dan t.
a (cm/det2)
t (detik)
2.2. Domain dan Kodomain Fungsi Domain fungsi f yaitu himpunan elemen-elemen di mana fungsi f mendapat nilai (suatu bilangan real). Himpunan bagian dari B yang anggota-anggotanya merupakan nilai-nilai yang diperoleh dari fungsi f disebut range (daerah hasil) dari fungsi f. Pembicaraan tentang domain dan range memegang peranan penting dalam fungsi karena hal ini terkait dengan nilai-nilai dimana fungsi mempunyai makna.
x
f(x)
a
f(a) f
Domain
Range
Keterkaitan antar variabel
12
Lambang yang menyatakan suatu bilangan sebarang pada domain f disebut variabel bebas. Sedangkan lambang yang menyatakan bilangan pada range f disebut variabel terikat. Misalnya dalam empat penyajian fungsi di atas, apabila fungsi disajikan dalam bentuk rumus eksplisit berikut
A = π r2
maka r
merupakan variabel bebas, sedangkan A adalah variabel terikat. Fungsi bentuk eksplisit adalah fungsi yang variabel bebas dan variabel terikatnya terpisah. Jika x variabel bebas dan y variabel terikat maka notasi fungsi bentuk eksplisit ditulis y = f(x). Contoh : a. y = 3 sin x + cos x b. y = x2 - 8 x + 10 Fungsi bentuk implisit adalah fungsi yang variabel bebas dan variabel terikat letaknya tidak terpisah. Jika x variabel bebas dan y variabel terikat maka notasi fungsi bentuk implisit ditulis f(x, y) = 0. Contoh : a. (x-3) y + 5 x -3 y = 0 b. x2 – x y2 + 6 x y – 7 x = 0 Fungsi parametrik adalah fungsi yang relasi antara variabel bebas dan variabel terikatnya disajikan dalam persamaan yang menggunakan parameter. Jika x variabel bebas, y variabel terikat dan, t parameter maka notasi bentuk fungsi
x = f (t ) , t sebagai parameter y = g (t )
implisit dapat di tulis sebagai berikut :
13
Contoh : x = cos a , a sebagai parameter y = sin a
a.
x = 2t + t 2 t 2 − 2t , t sebagai parameter b. y = 2t + 1 Fungsi y = f(x) merupakan fungsi yang dibentuk dari satu variabel yakni x, sedangkan fungsi z = f(x, y) adalah fungsi yang dibentuk dari dua varibel yaitu x dan y. Contoh : a.
Fungsi satu variabel
∼
y=3x–2
∼
z = sin y + cos y b. Fungsi dua variabel
∼
z = x3 + 4 x2 y - 8
∼
c = a2 b2 + a b4 Apabila sebuah fungsi domainnya tidak dirinci, maka dapat dianggap bahwa domainnya adalah himpunan bilangan real yang terbesar sehingga fungsi tersebut bernilai bilangan real. Domain tersebut disebut daerah asal alamiah. Contoh : a.
Tentukan domain dan range f(x) =
25 − x 2
b.
Tentukan domain dan range g(x) =
x 2 − 25 x −5
14
Penyelesaian : a. Domain fungsi f(x) =
25 − x 2 adalah nilai-nilai x sehingga f(x) bernilai
bilangan real, yaitu himpunan penyelesaian dari 25 - x2 ≥ 0. Jadi D(f) = {x ∈ R : 25 - x2 ≥ 0} = {x ∈ R : x2 ≤ 25 } = {x ∈ R : -5 ≤ x ≤ 5}. Range fungsi f adalah nilai y yang diperoleh apabila x berada dalam D(f). Jadi R(f) = {y ∈ R : y = b. Domain fungsi g(x) =
25 − x 2 , -5 ≤ x ≤ 5} = {y ∈ R : 0 ≤ y ≤ 5}∎
x 2 − 25 adalah nilai-nilai x sehingga g(x) bernilai real. x −5
Fungsi g(x) bernilai real apabila x – 5 ≠ 0, jadi D(g) = {x ∈ R : x ≠ 5}. Range fungsi g(x) adalah
y=
x 2 − 25 R(g) = {y ∈ R : y = , x ≠ 5} x −5
x 2 − 25 ( x + 5)( x − 5) = = x + 5, x ≠ 5 ⇒ y ≠ 10 x −5 x −5
R(g) = {y ∈ R : y ≠ 10}∎
2.3. Operasi, Komposisi dan Invers Fungsi Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal A dan B. Maka fungsi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian antara kedua fungsi itu didefinisikan sebagai berikut : 1. (f + g) (x) = f(x) + g(x) ,daerah asal f + g adalah A ∩ B 2. (f – g) (x) = f(x) – g(x) daerah asal f – g adalah A ∩ B 3. (f g) (x) = f(x) g(x) daerah asal f g adalah A ∩ B
15
4. (
f f(x) )(x) = g g(x)
f
daerah asal g adalah { x ∈A ∩ B ; g(x) ≠ 0 }
Contoh : Jika f(x) =
dan g(x) =
x
4 −x2
, tentukan f + g, f – g, fg,
f dan daerah g
asalnya Penyelesaian : Daerah asal f(x) adalah [0, +
∞ ) dan daerah asal g(x) adalah [-2, 2] sehingga
irisan daerah asal f(x) dan g(x) adalah [0, +
∞ ) ∩ [-2, 2] = [0, 2].
Jadi menurut definisi diperoleh (f + g)(x) =
x
+
(f – g)(x) =
x
-
(f g)(x)
=
f
( g )(x)
x
=
4 −x2 4 −x2
4 −x2
x 4 −x
2
=
=
, dan daerah asal : [0, 2].
, dan daerah asal : [0, 2]. 4x − x3
, dan daerah asal : [0, 2].
x , dan daerah asal : [0, 2) ∎ 4 − x2
Komposisi Fungsi Diberikan fungsi f dan g, fungsi komposit f
g (disebut juga komposisi
dari f dan g), didefinisikan oleh
g)(x) = f(g(x)) Daerah asal f g adalah himpunan dari semua x di dalam daerah asal g sedemikian hingga g(x) berada di dalam daerah asal f. Dengan kata lain, (f g) (x) akan terdefinisi jika g(x) dan f(g(x)) keduanya terdefinisi. Penjelasan f g (f
dapat dilakukan dengan gambaran diagram mesin berikut :
g
f 16
x
g(x)
f(g(x)) (masukan)
(keluaran)
Variabel x sebagai masukan, akan diproses mesin g dan akan diperoleh hasil g(x), selanjutnya g(x) akan menjadi masukan bagi mesin f, hasilnya adalah f(g(x)) Contoh : Jika f(x) =
x
dan g(x) =
, tentukan komposisi fungsi berikut daerah
2 −x
asalnya.
g b. g f
f d. g g
a. f
c. f
Penyelesaian : a. (f
g)(x) = f(g(x)) = f(
2 −x
)=
Daerah asalnya adalah {x ∈ℜ b. (g
f)(x) = g(f(x)) = g(
Agar
x
x
)=
x
2-x .
2-
(-
∞ , 2]
.
x
2-
x
terdefinisi maka 2 -
x
≤ 2 atau x ≤ 4, sehingga daerah asalnya adalah [0, 4].
f)(x) = f(f(x)) = f( x ) = x d. (g g)(x) = g(g(x)) = g(2 - x ) = c. (f
2 −x
4
2 - x ≥0} = {x ∈ℜ x ≤2} =
terdefinisi, maka x ≥ 0 dan agar
≥ 0, yaitu
Agar
=
2-x
=
4
x , dan daerah asalny adalah [0 ,
2-
2 -x
.
terdefinisi maka 2 – x ≥ 0, yaitu x ≤ 2 dan agar
terdefinisi maka 2 -
2 −x
≥ 0 , yaitu
∞ ).
2 −x
2-
2 -x
≤ 2 atau x ≥ - 2, sehingga
daerah asalnya adalah [-2, 2] ∎
Melakukan komposisi tiga fungsi atau lebih , misalnya f g h, adalah dengan memproses masukan pada h terlebih dahulu, selanjutnya hasilnya diproses pada g,
17
dan terakhir hasil dari proses g diproses pada f, rumusannya adalah sebagai berikut
(f g h)(x) = f(g(h(x))) Contoh :
Carilah f g h jika f(x) =
x , g(x) = x5 dan h(x) = x + 3 x +1
Penyelesaian :
(f g h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(x + 3)) = f((x + 3)5) =
(x + 3 )5 (x + 3 )5 +1
∎
Invers Fungsi. Suatu fungsi f memadankan suatu nilai x dalam daerah asalnya A dengan nilai tunggal y dalam daerah hasilnya B. Untuk suatu nilai y dalam B diperoleh kembali nilai x yang oleh f itu dipadankan dengan y. Fungsi yang baru memadankan nilai y dengan x, dilambangkan dengan f
-1
ini, yang
dan disebut invers
dari f. Daerah asal f -1 adalah B dan daerah hasilnya adalah A. Lambang f -1 bukan 1
berarti f . Hal ini dapat dituliskan y = f(x) ⇔ x = f -1(y) Contoh : Tentukan f -1(x) dari f(x) = 2 x + 6
Penyelesaian :
18
Variabel x dapat dicari dari y = f(x) = 2 x + 6, yaitu x = Sehingga f -1(x) =
y- 6 = f -1(y) 2
x- 6 ∎ 2
2.4. Macam-macam Fungsi Beberapa macam fungsi yang disajikan dalam sub bab ini adalah fungsi tangga, fungsi gasal, fungsi genap, fungsi aljabar, fungsi logaritma, dan fungsi eksponensial Fungsi Tangga Fungsi tangga adalah fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong Fungsi-fungsi yang sering digunakan adalah dua fungsi yang sangat khusus yaitu fungsi nilai mutlak , dinotasikan
|
|,
dan fungsi bilangan bulat terbesar,
dinotasikan [ ] . x - x
Fungsi nilai mutlak disajikan sebagai | x | =
jika x ≥ 0 jika x < 0
Grafiknya mempunyai sudut tajam pada titik asal. Perhatikan grafik berikut :
y
-x
0
x
19
Fungsi bilangan bulat terbesar disajikan sebagai [ x ] , yaitu bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. Grafiknya melompat pada tiap bilangan bulat. Contoh : Biaya pengiriman surat C(w) dengan berat w disajikan sebagai berikut. 0,32 0,55 C(w) = 0,78 1,01
jika
0 < w ≤1
jika jika jika
1
Jika berat surat w = 1,5 maka C(1,5) = 0,55. Selanjutnya C(2,1) = 0,78, C(2,7) = 0,78 dan seterusnya Fungsi Genap dan Fungsi Gasal Fungsi y = f(x) disebut fungsi genap jika f( - x ) = f( x ) Fungsi y = f(x) disebut fungsi gasal jika f( - x ) = - f( x ) Grafik fungsi genap simetris dengan sumbu y, sedangkan grafik fungsi gasal simetri terhadap titik asal. Contoh : a.
Apakah f(x) = 3 x6 – 2 x4 + 11 x2 – 5 genap, gasal , atau bukan keduanya ?
b.
Apakah f(x) = x3 – 2 x genap, gasal, atau bukan keduanya ? Penyelesaian : a. Karena f(-x) = 3 (-x)6 – 2 (-x)4 + 11 (-x)2 – 5 = 3 x6 – 2 x4 + 11 x2 – 5 = f(x) maka f(x) adalah fungsi genap. b. Karena f(-x) = (-x)3 – 2 (-x) = -x3 + 2 x = -( x3 – 2 x) = - f(x) maka f(x) adalah fungsi gasal ∎
20
Fungsi Aljabar Fungsi f disebut fungsi aljabar jika dapat dibuat dengan menggunakan operasi aljabar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan penarikan akar). Fungsi aljabar dikatakan rasional jika variabel x tidak terdapat di bawah tanda akar dan dikatakan irrasional jika x terdapat di bawah tanda akar. Fungsi aljabar dikatakan bulat rasional jika x tidak terdapat sebagai penyebut dan dikatakan pecah rasional jika x terdapat sebagai penyebut. Contoh : a.
f(x) =
1 3 x – x2 + 4 x + 1 dan g(x) = x2 + 5 x + 7 adalah fungsi aljabar bulat 3
rasional b.
f(x) =
c.
f(x) =
x -1 x2 + x 3 dan g(x) = adalah fungsi aljabar pecah rasional. 3 x +1 x +5 2x -1 merupakan fungsi aljabar pecah irrasional, dan g(x) = x-4
x +2
adalah fungsi aljabar bulat irrasional. Fungsi Eksponensial Fungsi f(x) = 2x disebut fungsi eksponensial karena variabel x merupakan eksponen. Secara umum fungsi eksponensial adalah fungsi yang berbentuk f(x) = ax Sifat-sifat fungsi eksponensial dirangkum dalam teorema berikut Teorema : Jika a > 0 dan a
≠ 1, maka f(x) = ax merupakan fungsi kontinu dengan
daerah asal ℜ dan daerah hasil (0, ∞ ).
21
Khususnya, ax > 0 untuk setiap x. Jika 0 < a < 1, f(x) = ax merupakan fungsi turun Jika a >1, f(x) merupakan fungsi naik. Jika a, b > 0 dan x , y ∈ ℜ, maka 1.
ax + y = ax + ay
2.
a x-y =
3.
(ax) y = xx y
4.
(a b) x = ax bx
ax ay
Jika a = e bilangan natural maka diperoleh fungsi eksponensial natural,yaitu y = ex Fungsi Logaritma Fungsi eksponensial f(x) = ax mempunyai invers yang disebut fungsi logaritma dengan bilangan pokok
a, dilambangkan dengan
a
log
. Jika
digunakan perumusan fungsi invers, f -1 (x) = y ⇔ f(y) = x maka diperoleh a
log
x = y ⇔ ay = x
sehingga a
log
(ax) = x untuk setiap x ∈ ℜ
dan a
a
log x
= x untuk setiap x > 0
Sifat fungsi logaritma diberikan dalam teorema berikut.
22
Teorema : Jika a > 1, fungsi f(x) = daerah asal (0,
a
x merupakan fungsi kontinu dan naik dengan
log
∞ ) dan daerah hasil
ℜ.
Jika x, y > 0 dan r bilangan real sebarang, maka 1.
a
log
(x y) =
2.
a
log
(xr) = r
3.
a
log
( y )=
x
a
log a
a
x+
log
log
a
log
y
x x–
a
log
y
Fungsi logaritma dengan bilangan pokok e disebut logaritma natural dan mempunyai lambang khusus e
log
x = ln x
Dari sifat fungsi logaritma diperoleh ln x = y ⇔ e y = x ln(e x) = x untuk setiap x ∈ ℜ e ln x = x untuk setiap x > 0 Untuk x = 1, diperoleh ln e = 1
Sifat-sifat logaritma Natural Jika x dan y bilangan positip dan r bilangan rasional, maka 1.
ln (x y) = ln x + ln y
2.
ln ( y ) = ln x – ln y
3.
ln (xr) = r ln x
x
23
2.5. Grafik Fungsi Jika daerah asal dan daerah hasil suatu fungsi merupakan bilangan real, maka fungsi itu dapat digambarkan grafiknya pada suatu bidang koordinat. grafik fungsi f adalah grafik dari persamaan y = f(x). Dalam hal menggambar grafik, ada dua bentuk grafik yang digunakan, yaitu sketsa kasar dan sketsa halus. Untuk menentukan sketsa mana yang akan digunakan, apakah sketsa halus atau kasar, tentu tergantung dari kebutuhan. Jika yang dibutuhkan hanya pola hubungan antar variabel, cukup digunakan sketsa kasar, tetapi jika akan digunakan untuk memprediksi nilai data pada titik tertentu, tentu saja sketsa halus yang dibutuhkan. Jika bentuk fungsi belum diketahui dan yang diketahui hanya sekumpulan datanya, maka untuk menentukan bentuk fungsinya, terlebih dahulu diprediksi bentuk fungsi tersebut.
Selanjutnya dengan menggunakan data-data yang
tersedia, kemudian dicari konstanta-konstanta yang belum diketahui.
Untuk
menentukan konstanta-konstanta tersebut sering digunakan metode kuadrat terkecil dan hal ini akan dibahas pada saat pembahasan turunan, sedangkan pada pembahasan ini akan digunakan pendekatan kasar. Contoh : Sketsa grafik y = x Sketsa grafik y = x2 – 3 x + 2 Penyelesaian : a. Jika diambil beberapa nilai x akan diperoleh pula beberapa nilai y berikut
24
x -2
y = x 2
-1
1
0
0
1
1
2
2
Sehingga grafiknya adalah
b. Grafik untuk fungsi kuadrat di atas berupa parabola yang terbuka ke atas. Untuk menggambarkan grafik y = x2 – 3 x +2, maka dilakukan langkahlangkah sebagai berikut : •
Titik potong dengan sumbu x, y = 0 x2 – 3 x +2 = 0 (x – 1) (x – 2) = 0 x = 1 atau x = 2 Titik potong dengan sumbu x adalah (2, 0) dan (1, 0).
•
Titik potong dengan sumbu y, x = 0 y = 02 – 3.0 + 2 = 2 Titik potong dengan sumbu y adalah (0, 2)
25
b 3 =− 2a 2
•
Sumbu simetri y = −
•
Karena a = 1 > 0, maka grafik terbuka ke atas .
Transformasi fungsi. Dengan menerapkan transformasi tertentu pada grafik fungsi yang diketahui akan dapat diperoleh grafik baru yang berkaitan. Ada dua transformasi fungsi yang dapat digunakan untuk mendapatkan grafik baru , yaitu 1. Pergeseran (translasi) tegak dan mendatar. Misalkan c > 0. untuk memperoleh grafik •
y = f(x) + c, geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke atas
•
y = f(x) – c, geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke bawah
•
y = f(x + c), geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke kiri
•
y = f(x – c), geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke kanan
2. Peregangan dan pencerminan tegak dan mendatar. Misalkan c > 1. Untuk memperoleh grafik
26
•
y = c f(x), regangkan grafik y = f(x) secara tegak dengan faktor c
•
y = (1/c) f(x), mampatkan grafik y = f(x) secara tegak dengan faktor c
•
y = f(c x), mampatkan grafik y = f(x) secara mendatar dengan faktor c
•
y = f(x/c), regangkan grafik y = f(x) secara mendatar dengan faktor c
•
y = -f(x), cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu x
•
y = f(-x), cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu y
Terapan Fungsi (Model Matematika) Model
matematika
adalah
uraian
secara
matematika
(seringkali
menggunakan fungsi atau persamaan) dari fenomena dunia nyata. Beberapa contoh penerapan model matematika adalah pemodelan pertumbuhan populasi, permintaan untuk suatu barang, kecepatan benda jatuh, konsentrasi zat hasil pada reaksi kimia, harapan hidup seseorang pada waktu lahir, atau biaya reduksi emisi. Tujuan model adalah memahami suatu fenomena dan membuat prakiraan tentang perilaku fenomena tersebut pada masa depan. Tahapan – tahapan permodelan matematika adalah : 1.
Bila diberikan suatu persoalan dunia nyata, pahami persoalan tersebut dengan seksama.
2.
Rumuskan model matematika dengan cara mengenali dan menentukan variabel bebas dan variabel terikat, membuat asumsi yang menyederhanakan permasalahan. Selanjutnya, dengan bekal pengetahuan tentang situasi fisik dan ketrampilan matematika, dapat dibentuk persamaan yang mengaitkan variabel – variabel tersebut.
27
3.
Dengan penerapan pengetahuan matematika pada model matematika dapat dirumuskan kesimpulan secara matematis. Selanjutnya, kesimpulan matematis tersebut ditafsirkan sebagai informasi tentang fenomena dunia nyata semula dengan cara menyodorkan penjelasan atau membuat perkiraan.
4.
Langkah terakhir adalah validasi model, yaitu membandingkan hasil prakiraan model dengan fenomena mula – mula. Bila hasil prakiraan model mendekati fenomena mula – mula, maka model dapat dikatakan valid. Jika tidak, model tersebut perlu diperbaiki. Model matematika tidak pernah merupakan pernyataan akurat secara
lengkap dari situasi fisik, melainkan merupakan pengidealan (yaitu dengan memberlakukan asumsi – asumsi tertentu). Model yang baik menyederhanakan kenyataan (fenomena) sekedar untuk memungkinkan kalkulasi matematika, tetapi cukup akurat untuk memberikan kesimpulan yang berharga. Model Linier Bila hasil ploting grafik antara variabel terikat dan variabel bebas menunjukkan pola garis lurus, maka cukup masuk akal untuk mengatakan bahwa y merupakan fungsi linier dari x. Secara matematis, hal ini dapat dinyatakan dengan
y = f(x) = m x + b.
Contoh : a.
Ketika udara kering bergerak ke atas, ia memuai dan mendingin. Jika suhu permukaan tanah adalah 20 o C dan suhu pada ketinggian 1 km adalah 10 oC. Nyatakan suhu T ( dalam
o
C ) sebagai fungsi tinggi h (dalam km) dengan
28
anggapan bahwa suatu model linier sudah memadai. Dan gambarkan grafik fungsi di atas. Penyelesaian : Karena dianggap bahwa T merupakan fungsi linier h, maka dapat ditulis T=mh+b Pada waktu h = 0 diperoleh T = 20, sehingga 20 = m . 0 + b = b Pada waktu h = 1, T = 10, sehingga 10 = m . 1 + 20 kemiringan garis adalah m = -10 dan fungsi yang diperoleh T = -10 h + 20 Grafiknya berupa sketsa kasar
b.
Tabel di bawah ini berasal dari percobaan laktonisasi asam hidroksivaleri pada suhu 250 C. Tabel menunjukkan konsentrasi C(t) dari asam ini (dalam mol perliter) setelah t menit. T C(t)
0 0,0800
2 0,0570
4 0,0408
6 0,0295
8 0,0210
29
Sketsa grafiknya dan perkirakan nilai C(3), C(5), dan C(7) Penyelesaian : Diasumsikan fungsinya berbentuk garis lurus dan melalui titik ((4, 0.0408) dan (8, 0.0210), maka persamaan fungsinya adalah C(t) − 0 ,0408 t −4 = 0 ,0210 − 0 ,0408 8 −4
C(t)
= - 0,0198 t + 0,2424
Sehingga dengan memasukkan nilai t pada persamaan ini akan diperoleh nilai C(t) yang diinginkan. C(3) = 0,183 ; C(5) = 0,1434 ; C(7) = 0,1038 ∎
Latihan 2. Bagian 2.1
Soal yang berkaitan 1 sampai 10
2.3
11 sampai 38
2.4
39 sampai 48
2.4
49 sampai 63
2.5
59 sampai 61
Untuk soal nomor 1 sampai dengan 10, carilah domain dan range dari fungsi f x +2 x 2 −1
1.
f(x) =
2.
f(x) =
4
3.
f(x) =
3
4.
f(x) =
6. f(x) =
4 - x2 x2 − x − 6
x 2 − 6x
7. f(x) =
1 x +1
x 2 − 6x
8. f(x) = |x| + x
x −2 2x - 6
9. f(x) = |2 x + 3|
30
5.
f(x) =
2 x + 3 3 - x
x −2 2x −6
10. f(x) =
jika jika
x < -1 x ≥ −1
Untuk soal nomor 11 sampai dengan 15, tentukan f + g, f – g , f g ,
f dan g
daerah asalnya. 11. f(x) = x3 + 2 x2, g(x) = 3 x2 – 1 12.
f(x) =
1 +x
13. f(x) =
, g(x) =
1 −x
x , g(x) = x- 1
14. f(x) = x2 + x , g(x) =
1+x2
2 x +3
1 , g(x) = x2 + 1 x
15. f(x) = x –
16. Jika f(x) = x2 + x , g(x) = 17. Jika f(x) = 18. f(x) = x –
x 2 −1 ,
f 2 , carilah (f – g)(2), ( g )(1), g2(3) x +3
g(x) =
2 , carilah f 4(x) + g 4(x) x
1 , g(x) = x2 + 1 , carilah f 3(-1), f 2(2) + g 2(2) x
Untuk soal nomor 19 sampai dengan 22, tentukan (a). f f, (d). g
g
dan daerah asalnya
19.
f(x) =
x +1
, g(x) = x2
20.
f(x) =
1 , g(x) = x3 + 2 x x
21.
f(x) =
1 x- 1 , g(x) = x- 1 x + 1
22.
f(x) =
x 2 −1 ,
g(x) =
g , (b). g f,
(c). f
1 -x
Untuk soal nomor 23 dan 24, tentukan f g h jika
31
23.
f(x) = x – 1, g(x) =
24.
f(x) =
25.
Tentukan f dan g sedemikian hingga g
f=
26.
Tentukan f dan g sedemikian hingga f
x
, h(x) = x – 1
1 , g(x) = x3, h(x) = x2 + 2 x x + 7
g=
x2 x2 + 4
Untuk nomor 27 dan 28, tentukan f, g dan h sedemikian hingga 27.
f
gh
= 1 - 3x 2
28.
f
gh
=
3
x −1
Untuk soal nomor 29 sampai dengan 38, tentukan f -1(x) dari 29.
34.
f(x) = -
x +5 4
30. f(x) = -
2 -x
31. f(x) = 5 – 4 x3
35. f(x) =
1 x −3
32. f(x) = (x – 4)3
36. f(x) =
2x - 2 x + 3
33. f(x) = x3/2
37. f(x) =
f(x) =
x 3 +1 x3 + 2
3 2 x +1 38. f(x) =
1 x + 5
3x - 1
Untuk soal nomor 39 sampai dengan 48, nyatakan apakah fungsi yang diberikan genap, gasal, atau bukan keduanya 39.
40.
f(x) = 3 x2 + 2 x -1
f(x) =
41.
3x 2
x +1
f(x) =
x -1
44. f(x) =
45. f(x) =
x 2
x −1
2 x +1 x-1
46. f(x) =
x 2 +1 x +x 4
32
42.
f(x) =
43.
f(x) = 2 x5 – 3 x3 + x
47. f(x) = | 2 x2 + 2|
x 2 +4
48.
f(x) = - | x + 3 |
Untuk soal nomor 49 sampai dengan 58, gambarkan grafiknya
49. f(x) = 3 x + 6
x 2 − 4, x ≤ 0 52. f ( x) = 2 x − 4, x > 0
50. f(x) = 2 x2 – 4 x + 2
53. f(x) = e x + 1
51. y = log x
54. f(x) =
55.
x 2 − 4, x < 2 ,x =2 57. f ( x) = 4 4 − x , x > 2
x +2
56. y = ln (x + 1) 59.
x2 − 1
58. f(x) = e x + 1
Perusahaan F harus mengeluarkan biaya 20.000 + 1000 x untuk membuat x tempat obat yang dijual dengan harga Rp 2 000,00 per buah.
a.
Carilah rumus untuk P(x), yaitu keuntungan total dalam membuat x buah tempat obat.
b.
Hitung P(200) dan P(2000).
c. Berapa tempat obat yang harus dibuat agar mencapai titik impas. 60.
Kotak tanpa tutup dibuat dari selembar seng berebentu persegi panjang berukuran 12 cm x 20 cm, dengan cara membuang persegi dengan panjang sisi x cm pada setiap pojoknya dan melipat sisi-sisinya ke atas. Nyatakan isi kotak sebagai fungsi dari x.
61. Tabel di bawah memuat rata-rata tingkat karbon dioksida di atmosfir, diukur dalam “ppm-parts per million” di Mauna Loa Observatory sejak th 1972 sampai th. 1990.
33
Tahun Tk.CO2
a.
1972 327,
1974 330,
1976 332,
1978 335,
1980 338,
1982 341,
1984 343,
1986 347,
1988 351,
3
0
0
3
5
0
3
0
3
1990 354,0
Plot grafik tingkat CO2 sebagai fungsi waktu
b. Taksir bentuk fungsinya c.
Dengan menggunakan hasil b carilah tingkat CO2 pada th. 1985 dan th. 2003 @@@
34
