INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG FAKULTAS MATEMATIKA & ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI FISIKA Jl. Ganesha No 10, Bandung 40132, Indonesia MODUL TUTORIAL FISIKA DASAR 1A (FI-1101) (FI-1101) KE 1 TOPIK : Kinematika A. Pertanyaan 1.
Berikan gambaran untuk vektor A dan B, sedemikian sehingga: (a) A + B = C dan A + B = C (b) A + B = A - B (c) A + B = C dan A2 + B2 = C 2 Solusi:
(a) Kedua vektor A dan B searah. (b) Vektor B adalah vektor nol. (c) Vektor A dan B saling tegaklurus. 2.
Seseorang berdiri di atas jembatan kemudian menjatuhkan sebuah batu dari tangan kanannya sambil melempar sebuah bola ke bawah dengan tangan kirinya. Kurva manakah manakah dari gambar di samping ini yang menunjukkan kurva kecepatan (a) batu dan (b) bola? (A dan B sejajar; C, D, E sejajar; demikian juga dengan F dan G). Solusi:
Batu dijatuhkan dijatuhkan tanpa kecepatan awal, sehingga kurva yang sesuai adalah adalah D. Bola Bola dilempa dilemparkan rkan dengan kecepatan kecepatan awal awal ke bawah bawah sehingga sehingga kecepatan kecepatan awalnya negatif, dan mengalami mengalami percepatan yang sama dengan batu, sehingga kemiringan kurva kecepatan bola sama dengan batu. Kurva yang sesuai untuk bola adalah E.
3.
Sebuah benda dilemparkan vertikal ke atas dengan suatu kecepatan awal. Jika perlambatan benda akibat gesekan udara nilainya tetap, tentukan manakah waktu yang lebih lama, waktu naik atau turun. Solusi:
Gaya yang besarnya tetap menghasilkan percepatan percepatan yang besarnya tetap juga. Karena gaya gesek selal selalu u berla berlawa wanan nan arah arah denga dengan n gerak gerakan an benda benda,, maka maka perce percepat patan an (atau (atau lebih lebih tepat tepat disebu disebutt perlambatan) perlambatan) akibat gaya gesek akan ke arah bawah saat benda naik dan ke atas saat benda turun. Dengan demikian, saat naik benda mengalami dua perlambatan sekaligus (perlambatan akibat gravitasi dan gaya gesek), sedangkan saat turun benda dipercepat ke bawah oleh gravitasi dan diperlambat diperlambat ke atas oleh gaya gesek. Sehingga, untuk jarak tempuh yang sama, gerakan naik akan berlangsung lebih singkat dibanding gerakan turun.
Secara matematis dapat dibuktikan bahwa jika kecepatan awal benda adalah v0 dan perlambatan akibat gaya gesek adalah a, maka benda mencapai titik tertinggi dalam selang waktu t naik = v0 / (g+a), dan ketinggian yang dicapai benda adalah h = v02 /2(g+a), dan selang waktu benda saat bergerak turun adalah t turun=[2h/(g-a)]1/2=v0 /[(g-a)(g+a)]1/2. Terlihat bahwa t turun > t naik . 4. Sebuah koin di atas meja diberikan kecepatan awal arah horizontal sehingga jatuh meninggalkan
tepi meja dan menyentuh lantai. Sesaat koin tersebut meninggalkan tepi meja, sebuah bola dilepas dari ketinggian yang sama dan jatuh ke atas lantai. Jelaskan kenapa kedua benda tersebut menyentuh lantai pada saat yang bersamaan, padahal koin tersebut memiliki kecepatan awal. Abaikan hambatan udara. Solusi:
Gravitasi hanya mengubah komponen vertikal dari gerak. Karena keduanya jatuh adri ketinggian yang sama maka keduanya memiliki komponen vertikal kecepatan awal yang sama, maka haruslah menyentuh lantai pada saat yang bersamaan.
5. Saat t = 0, sebuah partikel bergerak sepanjang sumbu x dan posisinya x0 = -20 m. Tanda untuk
kecepatan dan percepatan partikel saat t 0 secara berurutan diberikan oleh empat kasus berikut: (l) +,+;(2) +,-;(3) -,+;(4)-, -. Pada kasus manakah partikel, (a) berhenti sejenak, (b) dapat melewati titik asal ( x = 0), dan (c) tidak pernah melewati titik asal ( x = 0)? Solusi:
(a) Agar dapat berhenti sejenak, tanda untuk kecepatan dan percepatan harus berlainan, jadi kasus yang memungkinkan adalah (2) dan (3). (b) Partikel dapat melewati titik asal untuk kasus (1), kasus (2) jika kecepatan awal cukup besar dibanding percepatan, dan kasus (3) untuk nilai t yang cukup besar (c) Partikel tidak pernah melewati titik asal untuk kasus (4).
B. Soal 1. Sebuah partikel bergerak menempuh suatu jarak tertentu dalam lintasan berupa garis lurus. Mula-
mula ia bergerak dengan kecepatan v0 = 1 m/s dan menempuh setengah perjalanan. Setengah perjalanan sisanya ditempuh dengan kecepatan v1 = 2 m/s selama t detik dan kecepatan v2 = 3 m/s selama t detik pula. Tentukan kecepatan rata-rata partikel. Solusi:
Anggap jarak total yang ditempuh partikel adalah S, maka waktu yang diperlukan pada setengah perjalanan awal adalah t1 = S!v" = S!. #ada setengah perjalan selanjutnya, berlaku S! = $v1 % v!&t atau !t = S$v 1 %v!&. Sehingga kecepatan rata'rata partikel adalah (v) = S$t1 %!t& = !v"$v1%v!&$v 1%v!%!v"& = 1"* ms. 2. Sebuah mobil mula-mula dalam keadaan diam, lalu bergerak dipercepat dengan percepatan a = 5
m/s2 sampai selang waktu tertentu, kemudian bergerak dengan kecepatan konstan, dan akhirnya diperlambat dengan perlambatan a = -5 m/s 2 hingga berhenti. Jika total waktu perjalanan mobil adalah 25 detik dan kecepatan rata-rata mobil adalah 20 m/s, berapa lamakah mobil bergerak
dengan kecepatan konstan? Solusi:
Anggap mobil dipercepat dalam selang waktu t, maka waktu perlambatan juga t dan mobil bergerak dengan kecepatan konstan dalam waktu !+'!t. arak total yang ditempuh mobil adalah S =!. - a t! % at$!+ !t& = 1!+ t ' +t !. arak ini tak lain adalah hasil kali antara kecepatan rata'rata dengan waktu total, sehingga diperoleh persamaan kuadrat +"" = 1!+t +t! atau t! !+t %1"" = ". Solusi persamaan kuadrat tersebut adalah t = + $t =!" tidak dipilih karena waktu tempuh total hanya !+ detik&. Sehingga, waktu tempuh mobil bergerak dengan kecepatan konstan adalah !+'!.+ = 1+ detik. 3. Gambar di samping adalah kurva posisi suatu benda yang bergera k
dalam satu dimensi dengan percepatan konstan. Jika xs = 6,0 m, tentukan besar dan arah percepatan benda. Solusi:
Gradien kurva tersebut membesar, sehingga benda mengalami percepatan positif (arah percepatan sama dengan arah kecepatan). Karena seiring waktu nilai x bertambah, maka kecepatan benda searah x positif, demikian juga dengan percepatannya. Persamaan posisi benda dapat dituliskan sebagai x = x0 + v0t + 0.5 at 2
Dengan mensubstitusikan nilai ( t , x) untuk tiga titik (0,-1), (1,0), dan (2,6) pada gambar, diperoleh sistem persamaan linear -1 = x0 0 = x0 + v0 + 0.5a 6 = 2v0 + 2a Dari sistem persamaan tersebut diperoleh a = 4 m/s2 4. Sebuah batu dilemparkan ke atas, kemudian melewati titik A dengan kecepatan v dan melewati
titik B (yang berada 3,00 m di atas A dengan kecepatan v!"# $entukanlah (a nilai v dan (b ketinggian maksimum yang dicapai batu, diukur dari titik B# Solusi:
%ubungan kecepatan di A dan B dengan selisih keduanya diberikan oleh vB2 = v A2 – 2g∆ y
Substitusi data&data yang diberikan oleh soal dan mengambil g ' 0 m!s " memberikan v" ' )0 (m!s "#
Selanjutnya, dengan menerapkan hubungan yang sama untuk titik B dan titik puncak (misal disebut titik *, dengan vC ' 0, diperoleh tinggi maksimum m di atas titik B# 5. Sebuah koin meluncur dari tepi sebuah meja setinggi ,"0 m dan menyentuh lantai pada jarak ,+"
m dari tepi meja# (a Berapa lama koin melayang di udara sebelum jatuh ke lantai (b Berapakah laju koin saat meninggalkan meja Solusi:
(a -arena saat meninggalkan meja koin tidak memiliki kecepatan vertikal, maka berlaku hubungan antara tinggi meja ( ymeja ) dan waktu melayang di udara ( t 1, ymeja ' 0#+ gt 1"# .ari hubungan ini diperoleh t 1 ≈ 0,/ s# (b Setelah meninggalkan meja, gerakan hori1ontal koin tidak mengalami percepatan# Sehingga berlaku R ' vt 1, dengan 2 adalah jarak jatuhnya koin di lantai (dari tepi meja dan v laju koin saat meninggalkan meja# .ari hubungan tersebut diperoleh v ≈ 3,10 m/s. 6. Gambar di samping menunjukkan laju terhadap posisi
sebuah bola yang dilempar ke atas sepanjang sumbu y# ika d ' 0,/0 m, berapakah nilai dari v A Solusi:
Soal ini dikerjakan dengan cara yang sama dengan soal nomor /, dan diperoleh v A ' 3 m!s#
7. 4osisi sebuah benda tiap waktu dinyatakan dalam koordinat -artesius sebagai ( x, y, dengan x ' t
cos(t dan y ' t sin(t # (a $entukanlah besar sudut yang dibentuk oleh vektor posisi dan kecepatan benda sebagai 5ungsi waktu# (b Berapakah besar sudut tersebut saat t ' 0 dan t sangat besar (menuju takhingga (c Buatlah sketsa lintasan benda dalam koordinat -artesius# Solusi:
(a) Posisi dan kecepatan benda masing-masing diberikan oleh r = x i + y j dan turunannya. Cosinus sudut kedua besaran tersebut (anggap sebagai θ) diperoleh dari perkalian titik ( dot product ) keduanya, yaitu cos θ = 1/(t 2+1). (b) Terlihat bahwa cosinus sudut di atas akan mendekati 1 saat t = 0 dan mendekati 0 saat t sangat besar. Sehingga besar sudut θ mendekati 0 saat t = 0 dan mendekati π /2 saat t sangat besar. (c) Sketsa lintasan benda adalah
8. Sebuah benda dilemparkan dengan sudut elevasi α di atas permukaan bumi. Setiap saat, benda
tersebut selalu menjauhi titik awal pelemparan jika masih memiliki komponen kecepatan yang sejajar dengan vektor posisinya. Jika percepatan gravitasi di bumi adalah g, tentukan nilai dari α agar benda selalu menjauhi titik awal pelemparan. Solusi Vektor posisi dan kecepatan bola tiap saat (anggap posisi awal benda adalah
):
Sudut yang dibentuk oleh vektor posisi dan kecepatan tiap saat dapat dicari dari perkalian titik ( dot product) antara kedua vektor.
Jika benda masih memiliki komponen kecepatan yang sejajar dengan posisinya, maka nilai persamaan di haruslah positif. Karena penyebut dari persamaan di atas selalu bernilai positif, maka persamaan di atas positif jika r v
(
⃗⋅⃗ =
"
v0
3 −
"
v 0 g sin α t
( "
"
"
)
g t t> 0
Terlihat bahwa ruas kiri pertidaksamaan di atas berupa fungsi kuadrat nilainya akan definit positif jika diskriminannya bernilai negatif, atau
(
3 D=b − / ac= − v 0 g sin α " 2
)
" −
/#
dalam t yang
" " g v 0< 0 # "
Dengan menyelesaikan pertidaksamaan tersebut, diperoleh syarat
sin" α <
) ⇒ α < 60,+3
∘
9. Bertukar bola. Dua orang anak kembar terpisah sejauh l sedang bermain lempar tangkap bola.
Masing-masing anak melempar bola kepada saudaranya dengan kecepatan awal yang sama, yaitu v. Jika gesekan udara diabaikan dan percepatan gravitasi bumi adalah g, tentukan (a) sudut elevasi lemparan bola tiap anak, (b) posisi relatif satu bola terhadap lainnya untuk tiap waktu t (sebut sebagai r rel), (c) gambarkan lintasan salah satu bola menurut bola lainnya, (d) kecepatan relatif
satu bola terhadap lainnya untuk tiap waktu t (sebut sebagai vrel), (e) sudut antara vektor vrel dengan r rel, dan (f) tentukan jarak minimum kedua benda ketika minimal salah satu benda masih di udara. Solusi (a ika sudut elevasi lemparan masing&masing anak adalah α dan β, maka haruslah berlaku l = sin(2α ) v2 /g = sin(2β ) v2 /g .ari persamaan tersebut, diperoleh α ' sin&(gl/v2 dan juga hubungan α +β =π/2#
(b) Jika dibuat koordinat kartesius dengan titik asal O di posisi awal benda A, sumbu x terletak di permukaan bumi, dan dengan lintasan kedua benda berada pada bidang xy, maka posisi tiap benda dapat dinyatakan sebagai
Sehingga, posisi relatif benda A terhadap B adalah (c) Dari soal (b), terlihat bahwa posisi relatif bola A terhadap B linear terhadap waktu. Sehingga lintasan bola A akan terlihat sebagai garis lurus jika diamati oleh B. Sketsa lintasannya,
(d) Kecepatan relatif bola A terhadap B adalah
Dari kecepatan relatif ini, dapat diperoleh tangen sudut γ pada sketsa di atas sebesar
(e) Sudut antara posisi relatif dengan kecepatan relatif diperoleh dengan melakukan operasi perkalian titik antara vektor kecepatan relatif dengan posisi relatif,
(e) Jarak minimum kedua benda dapat ditentukan dari sketsa lintasan benda A seperti pada soal b. Jarak minimum tersebut adalah , dengan tangen γ diberikan pada jawaban (c).
10. Menentukan percepatan gravitasi. Sebuah bola ditembakkan dalam arah vertikal dari bawah
sebuah gedung. Terdapat dua orang A dan B yang mengamati pergerakan bola tersebut dari suatu ketinggian. Bola akan melewati posisi kedua pengamat tersebut masing-masing sebanyak dua kali, yaitu ketika naik dan ketika turun. Pengamat A mencatat bahwa selang waktu antara dua kejadian (naik dan turun) tersebut adalah T A sedangkan pengamat B yang berada h meter di atas pengamat A mencatat selang waktu sebesar T B. Berdasarkan data-data tersebut, tentukanlah nilai percepatan gravitasi di tempat percobaan dilakukan, nyatakan dalam T A dan T B. Solusi Persamaan untuk ketinggian benda yang ditembakkan vertikal dinyatakan oleh
Terlihat bahwa untuk suatu nilai y tertentu terdapat dua solusi nilai t yang berbeda. Masing-masing nilai t tersebut menyatakan saat benda bergerak naik dan saat benda bergerak turun. Menggunakan persamaan ABC untuk solusi persamaan kuadrat, diperoleh
Sehingga, selisih antara bola naik dan turun melewati pengamat A adalah
dan selisih bola naik dan turun melewati B adalah
.ari kedua persamaan terakhir diperoleh
Cara lain:
Anggap bola mencapai puncak lintasan di titik *# Selang waktu yang diperlukan oleh bola untuk bergerak dari titik A menuju * diperoleh dari hubungan vC ' v A 7 gt A = !" -arena gesekan udara diabaikan, waktu yang diperlukan bola untuk kembali dari * menuju A juga sama dengan t A" .engan demikian diperoleh # A ' "t A = 2v A /g" .engan cara yang sama diperoleh # B ' 2v A /g" %ubungan antara kecepatan di A dan B dapat ditentukan melalui persamaan vB2 = v A2 – 2g$# .ari ketiga persamaan tersebut diperoleh #
