BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Latar Belakan Belakang g
Persoal Persoalan an yang yang melibat melibatkan kan model model matemat matematika ika banyak banyak muncul muncul dalam dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan persoalan rekayasa rekayasa (engineering) (engineering),, seperti Teknik Teknik Kimia, Teknik Teknik Sipil, Teknik Teknik Mesin, Elektro Elektro dan sebagainya. sebagainya. Seringkali Seringkali model matematika tersebut muncul muncul dalam bentuk yang tidak ideal atau sulit untuk dikerakan dikerakan secara analitik analitik untuk untuk mendap mendapatk atkan an solusi solusi seatiny seatinyaa (exact solution solution). ). !dap !dapun un yang yang dima dimaks ksud ud dengan metode analitik adalah metode penyelesaian model matematika dengan rumus"rumus alabar yang sudah baku atau la#im digunakan. !da beberapa persoalan matematika yang tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik. !kan tetapi metode analitik unggul untuk seumlah persoalan yang yang memi memili liki ki tafs tafsir iran an geom geomet etri ri sede sederh rhan ana. a. Misa Misaln lny ya
mene menent ntuk ukan an akar akar
penyelesaian dari menggunakan rumus abc. Padahal persoalan yang muncul dalam kehidupan sehari"hari tidak selalu dalam bentuk sederhana tetapi sangat kompleks serta melibatkan bentuk dan proses yang rumit. !kibatnya nilai praktis penyelesaian metode analitik menadi terbatas. $ila metode analitik tidak dapat lagi lagi diguna digunakan kan,, maka maka salah salah satu solusi solusi yang yang dapat dapat diguna digunakan kan adalah adalah dengan dengan meto metode de %ume %umerik rik.. Meto Metode de %ume %umerik rik adala adalah h tekn teknik ik yang yang digu diguna naka kan n untu untuk k memform memformulas ulasika ikan n persoa persoalan lan matema matematik tikaa sehing sehingga ga dapat dapat dipecah dipecahkan kan dengan dengan operasi perhitungan atau aritmatika biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi). !da beberapa alasan menggunakan metode numerik, yaitu yaitu (Susy, &'') *. Tida Tidak k semua semua perm permasa asala laha han n matem matemati atiss atau atau perh perhit itun unga gan n dapa dapatt disel diselesa esaik ikan an dengan mudah. &. +ibutuhkan +ibutuhkan metode metode yang yang menggunak menggunakan an analisis"anali analisis"analisis sis pendekatan pendekatan persoalan persoalan"" persoalan non linier untuk menghasilkan nilai yang diharapkan. diharapkan.
*
. Kesulit Kesulitan an menggun menggunakan akan metode metode analitik analitik untuk untuk mencari mencari solusi solusi e-act dengan dengan umlah data yang besar, diperlukan perhitungan komputer, metode numerik digunakan untuk menyelesaikan permasalahan ini. . Pemaka Pemakaian ian metode metode analiti analitik k terkada terkadang ng sulit diterema diteremahka hkan n ke dalam algoritm algoritmaa yang yang dapa dapatt dime dimeng nger erti ti oleh oleh komp komput uter er.. Meto Metode de nume numerik rik yang yang mema memang ng berangkat dari pemakaian alat bantu hitung merupakan alternatif yang baik dalam menyelesaian persoalan"persoalan perhitungan yang rumit. Prinsip"prinsip metode numerik adalah sebagai berikut *. Metode Metode numerik numerik ini disaik disaikan an dalam bentuk bentuk algoritm algoritma"al a"algor goritm itmaa yang yang dapat dihitung secara cepat dan mudah. &. Pendek Pendekatan atan yang digunak digunakan an dalam metode metode numeri numerik k merupa merupakan kan pendeka pendekatan tan analisis analisis matema matematis, tis, dengan dengan tambah tambahan an grafis grafis dan teknik teknik perhit perhitung ungan an yang yang mudah. . !lgo !lgorit ritma ma pada pada meto metode de nume numerik rik adala adalah h algor algoritm itmaa pend pendek ekata atan n maka maka dalam dalam algori algoritm tmaa terseb tersebut ut akan akan munc muncul ul istil istilah ah iterasi yaitu yaitu pengul pengulang angan an proses proses perhitungan. . +enga +engan n meto metode de pend pendek ekata atan, n, tent tentuny unyaa seti setiap ap nilai nilai hasi hasill perh perhit itun unga gan n akan akan mempunyai nilai error (nilai kesalahan). Peny Penyele elesai saian an secar secaraa nume numeri rik k umum umumny nyaa meli meliba batk tkan an pros proses es itera iterasi, si, perhitungan berulang dari data numerik yang ada. /ika proses iterasi tersebut dilak dilakuk ukan an secar secaraa manu manual, al, akan akan memb membut utuh uhka kan n 0akt 0aktu u yang yang relat relatif if lama lama dan dan kemungkinan timbulnya nilai kesalahan (error) akibat manusia itu sendiri uga relatif besar. Misalnya untuk menyelesaikan persoalan persamaan non"linear , ika diselesaikan menggunakan cara manual menggunakan Metode $iseksi diperlukan beberapa iterasi. itera si. 1ntuk penyelesaian sampai tuuh angka di belakang koma dapat teradi iterasi sampai puluhan kali. 2ni tentu membutuhkan 0aktu yang relatif lama. Pada kenyataannya sering teradi proses iterasi sampai ratusan kali, pada keadaa keadaan n demiki demikian an ini komput komputer er sangat sangat dibutu dibutuhka hkan n untuk untuk mengur mengurang angii 0aktu 0aktu penyelesaian (Munif, *334).
&
Selain mempercepat perhitungan numerik, dengan komputer dapat dicoba berbagai kemungkinan solusi yang teradi akibat perubahan beberapa parameter tanpa menyita 0aktu dan pikiran. Solusi yang diperoleh uga dapat ditingkatkan ketelitiannya dengan mengubah"ubah nilai parameter (Susy, &''). Penyelesaian yang digunakan dalam metode %umerik adalah penyelesaian pendekatan,
oleh
karena
itu
biasanya
timbul
kesalahan
(error).
Pada
penyelesaiannya diusahakan untuk mendapatkan error yang yang sekecil mungkin. 1.2
Rumusan Masalah
$erdas $erdasark arkan an latar latar belakan belakang g terseb tersebut ut diatas, diatas, maka maka permas permasalah alahan an dalam dalam makalah ini adalah bagaimana menyelesaikan persamaan non"linear menggunakan berbagai metode dengan program komputer. komputer. 1.3
Tujuan Penulsan
+engan adanya permasalahan yang muncul, maka tuuan dari makalah ini adala adalah h menge mengeta tahu huii perb perbed edaan aan kecep kecepat atan an dan dan ting tingka katt kemud kemudah ahan an dalam dalam meny menyele elesai saikan kan persa persama maan an non" non"li linea nearr diti ditin nau au dari dari berb berbag agai ai meto metode de yang yang digunakan. 1.!
Man"aat Penulsan
!da bebera beberapa pa manfaat manfaat yang yang dihara diharapka pkan n dari dari makalah makalah ini, ini, dianta diantarany ranyaa adalah adalah memberi memberikan kan 0a0asan 0a0asan tambaha tambahan n mengen mengenai ai cara"car cara"caraa menye menyelesa lesaika ikan n persamaan non linear menggunakan Metode %umerik yang paling efektif dan efisien, efisien, karena hanya dengan beberapa beberapa langkah langkah saa sudah bisa didapatkan apa yang diinginkan.
BAB II TIN#UAN PU$TA%A
2.1
Persamaan N&n'Lnear
+alam usaha mendapatkan mendapatkan persamaaan matematika yang menabarkan menabarkan model dari suatu persoalan nyata, sering solusi yang dicari berupa suatu nilai 5aria 5ariabe bell - sedem sedemik ikian ian rupa rupa,, sehi sehing ngga ga terp terpen enuh uhii pers persam amaan aan f (-) (-) 6 ' yang yang digunakan dalam model. 1ntuk beberapa kasus, melalui faktorisasi f(-) 6 ' dapat diperoleh penyelesaian seperti yang diinginkan, namun bentuk yang lebih rumit telah mampu memberikan solusi melalui analisis matematik. !pa yang dimaksud dengan menentukan - hingga terpenuhi persamaan f(-) f(-) 6 ' 7 secara secara geomet geometri ri ini berarti berarti mencari mencari suatu titik hal mana f(-) f(-) tepat tepat memo memoto tong ng sumb sumbu u -, sehi sehing ngga ga f(-) f(-) 6 '. ika ika dian diangg ggap ap f(-) f(-) sesu sesung nggu guhn hny ya memoto memotong ng sumbu sumbu -, maka maka dapat dapat dicari dicari suatu suatu inter5 inter5al al 8a,b9, 8a,b9, sedemi sedemikia kian n rupa rupa sehingga f(a) dan f(b) mempunyai tanda berbeda.
+engan pembatasan
inter5al ini,
se c a r a
cermat dapat (am)ar 2.1 ;rafik non linier
dicari - 6
memb memberi erika kan n nila nilaii f (
yang
) 6 ' seba sebaga gaii beri beriku kutt
*.
$agi $agi dua dua inter5 inter5al al 8a,b9 8a,b9 dan dan e5alua e5aluasi si nilai nilai f(-) f(-) pada pada titik titik teng tengah ah inter inter5al. 5al.
&.
!pabil !pabilaa f(m) f(m) 6 ' bera berarti rti - 6 m, bila bila tidak tidak sama sama dicari dicari posisi posisi nilai nilai m apakah apakah berada pada inter5al 8a,m9 atau inter5al 8m,b9 : yaitu dengan memeriksa perbedaan tanda
a.
/ika f (a) dan f(m) berb erbeda eda tanda berart arti
di 8a,m a,m9
b.
/ika f(a) dan f(m) mempunyai tanda sama berarti
di 8n,b9 proses
pembagian inter5al dapat diulang sampai ditemukan nilai
memb emberik rikan f( f(
yang
) 6 '.
Pada Pada bab bab ini ini diba dibaha hass solu solusi si dari dari pers persam amaa aan n non non line linear ar yang yang bany banyak ak diumpai diumpai dalam formulasi formulasi kasus"kasus kasus"kasus fisika, yaitu pencarian pencarian akar persamaan (findi (finding ng roots). roots). +isaik +isaikan an beberap beberapaa metode metode yang yang biasa biasa diguna digunakan kan,, dan inti inti pembahasan terletak beberapa metode komputasi numerik yang akan dibahas, yaitu metode Successi5e Successi5e Substitutio Substitution, n, metode metode Secant, Secant, metode metode %e0ton %e0ton
Successive Substitution
Metode ini mempunyai strategi yang sama dengan metode iterasi titik tetap dan metode ;auss"Seidel. Masing"masing persamaan tak linier diselesaikan untuk untuk mempero memperoleh leh sebuah sebuah nilai nilai - yang yang tak diketah diketahui. ui. Sistem Sistem persam persamaan aan ini selanutnya diproses secara iteratif untuk menghitung nilai"nilai - yang baru, yang diharapkan akan kon5ergen. Suatu persamaan non linier tunggal dalam bentuk f(-) f(-) 6 ' dapat dapat ditent ditentuka ukan n akar"a akar"akar karny nyaa dengan dengan cara iterasi iterasi subtit subtitusi usi beruru berurut, t, dengan cara sebagai berikut *. Mengub Mengubah ah persam persamaan aan men menadi adi bent bentuk uk > 6 g(-) g(-) &. +imu +imulai lai deng dengan an mene meneba bak k nilai nilai x0 a0al untuk menge5aluasi nilai g( x0) dan menentukan nilai x nilai x1, kemudian lakukan iterasi. >(i?*) 6 g(-i)
dimana i 6*,&,,@
Sampai hasilnya tidak mengalami perubahan lagi, dimana
| x i+1− x i|≤
ϵ
4
Tida Tidak k semua semua fung fungsi si dapa dapatt disel diselesa esaik ikan an deng dengan an meto metode de succ success essi5 i5ee subs substi titu tutio tion, n, karen karenaa ada ada itera iterasi si yang yang di5e di5erg rgen en.. Syar Syarat at agar agar iter iterasi asi diam diamin in kon5ergen, adalah dg ( x )
nilai dari
dx
〈*
, pada nilai tebakan a0al x a0al xo.
(am)ar 2.2 Grafik Direct Direct Substitution Substitution (Convergence) Ketika lereng dg (-)Ad- B *, maka metode tersebut kon5ergen seperti yang
ditunukkan pada gambar.
(am)ar 2.3 Direct Substitution (Divergence) Ketika Ketika lereng dg (-) A d-C *, maka metode metode tersebut di5ergen di5ergen seperti yang
ditunukkan pada gambar &.&. Dontoh *. Tentuk ntukan an nila nilaii x dari x dari persamaan berikut
− 2 x 2
3
x + 2 x + 2= 10 e /a0ab
1bah persamaan menadi bentuk > 6 g(-) 3
x + 2 x + 2 > 6 g(-) 6
10 −1 ln ( ¿) 2
√ ¿ Misalkan x Misalkan x' 6 "'.4 Penyelesaian iterasi dapat dilihat pada tabel. >
g(-) *.*'4
"'.4 *.*'4
'.4&
'.4&
4 '.4'&'
4 '.4'&'
F '.F'
F '.F'
3 '.'&'
3 '.'&'
F '.3F3'
F '.3F3'
4 '.'*&
4 '.'*&
4 '.''4&
4 '.''4&
4 '.''F
4 '.''F
3 '.'''
3 '.'''
& '.''
& '.''
* '.''&
*
*
'.''&
'.''&
* '.''&
'.''&
'.''&
'.''&
&. Temuka emukan n penyel penyelesai esaian an dari dari f(-)6 - (tan -) " *, 1ntuk ' B - B GA& /a0ab Pilih tebakan a0al dalam range yg dipersyaratkan, missal GAF Dari g(-) >6g(-) >6*Atan -
dg ( x ) Dek Dek kon5 kon5er erge gens nsi, i, tern terny yata ata
dx
C* maka aka tida tidak k diam amin
kon5ergen. +i coba subtitusi
-'6 GAF6',3& atau &&,4 deraat sebagai nilai tebakan
a0al Maka menghasilkan -*6&,* 6&,*& & atau ', G, sehin sehingga gga berada berada di luar luar range range ' B - B GA& atau atau di5ergen untuk g(-) yg lain -6tan"*(*A-) dg ( x )
Dek kon5ergensi, ternyata +i coba subtitusi
dx
B* maka diamin kon5ergen.
-'6 GAF6',3& atau &&,4 deraat sebagai nilai tebakan
a0al. Maka menghasilkan table iterasi > g(-) '.3& *.*3433 *.* *.*343 3433 3 '. '.3* 3*4
F
'. '.3* 3*4 4 '.3 '.3& &3 3 '.F '.F'* '* '.F '.F3 3F F '.F '.F*4 *4 '.F '.F** ** '.F '.F4* 4*& & '.F '.F3' 3'& & '.F '.F4F&F 4F&F '.F '.F*4* *4** * '.F '.F434 434 '.F '.F'& '&& & '.F'** '.F '.F' '& & '.F'& '.F '.F' ' '.F '.F'' ''3 3 '.F '.F' 'F F
2.3
'.3 '.3& &3 '.F '.F' '* '.F '.F3 3F '.F '.F* *4 '.F '.F** ** '.F '.F4* 4*& '.F '.F3 3'& '.F '.F4F& 4F&F '.F '.F*4 *4** '.F '.F43 434 '.F '.F' '&& '.F '.F'* '** '.F'& '.F '.F'& '& '.F' '.F '.F' ''3 '.F '.F' 'F '.F '.F' '&
Met&*e Ne+t&n
Metode Metode ini adalah adalah salah salah satu metoda metoda penyeles penyelesaian aian sistem sistem persama persamaan an nonlin nonlinier ier,, metoda metoda ini terdiri terdiri dari dari beberap beberapaa langka langkah h yaitu yaitu penuru penurunan nan secara secara parsial, penyusunan, menghitung nilai
d1
dan
d2
, dan proses pengulangan.
Metode ini mempunyai beberapa kekurangan diantaranya, sulitnya menentukan turunan parsial untuk fungsi tertentu, langkah dan pengeraan yang panang. Misalkan ada & persamaan non linier dengan & 5ariabel, misalkan fungsi u(-,y) dan 5(-,y), maka, rumus iterasinya iterasin ya
ur
x r−1= x r−
∂ vr
∂ y ∂ ur ∂ v r ∂ x ∂ y
+ vr −
∂ ur
∂ y ∂ ur ∂ v r ∂ y ∂ x
dan
3
ur
y r− 1= y r −
∂ vr
∂ x ∂ ur ∂ v r ∂ x ∂ y
− vr −
∂ ur
∂ x ∂ ur ∂ v r ∂ y ∂ x
Pembuktian rumus Perhatikan gradien kemiringan suatu kur5a
(am)ar 2.! ;radien suatu kur5a
+ari gambar diatas, kemiringan kur5a dapat didekati dengan '
gradien ( m )= f ( x r ) =
f ( ( x r ) −f ( x r +1 ) xr − x r +1
!tau dalam bentuk lain ditulis
f ( ( x r +1 )= f ( ( xr )− f ( x r )( xr − x r +1) '
atau
f ( ( x r +1 )= f ( ( xr ) + f ( x r )( x r + 1− x r ) '
Maka untuk & persamaan non linier dengan & 5ariabel misal u(-,y) dan 5(-,y), maka analog seperti diatas
ur +1=ur + ( x x r+1− x r )
∂ ur ∂ x
+ ( y r + − y r ) 1
∂ ur ∂ y
*'
dan
v r + 1= v r + ( x x r +1− x r )
∂ v r ∂ x
+ ( y r +1− y r )
∂ v r ∂ y
Karena persoalan mencari akar, maka ur?* 6 ' dan 5 r?* 6 '.
∂u r ∂ x ∂ vr ∂ x
x r +1+
x r +1+
∂ vr ∂ y
∂ ur ∂ y
y r+ 1 =−u r + x r
y r +1=−v r + x r
∂ vr ∂ x
∂ ur ∂ x
+ y r
+ y r
∂ ur ∂ y
∂ vr ∂ y
+engan sedikit manipulasi alabar, kedua persamaan terakhir ini menadi
ur
x r+1= xr −
∂ vr
∂ y ∂ ur ∂ v r ∂ x ∂ y
+v r −
∂ ur
∂ y ∂ ur ∂ v r ∂ y ∂ x Start
+an
∂ vr ∂ ur − u v buat turunan parsial pertama dari fungsi yang tersedia r r ∂ x ∂ x y r +1= y + ∂ ur ∂ v r ∂ u r ∂ v r ∂ x ∂ y
−
∂ y ∂ x buat turunan parsial kedua
TerbuktiH Penyebut PenyebutSusun dari kembali kedua persamaan tersebut menadi disebut bentuk determinan acobi. 1rutan persamaan nonlinier penyelesaian system persamaan non"linear menggunakan metode %e0ton adalah sebagai berikut
masukkan nilai perkiraan, a0al
gunakan nilai dan untuk di subtitusikan kedalam nilai sementara
+iperoleh hasil
=inish
**
,&nt&h $&al $&al 1 -
Misalkan diketahui sistem persamaan non linier berikut
f 1 ( x ) = x 1+ x2− 36=0 2
2
f 2 2 ( x ) = x 1+ 3 x 2−16 =0 2
Iitung nilai
x 1 dan x 2
.
Penyelesaian a
Kita Kita buat buat turuna turunan n parsi parsial al dari dari fungsi fungsi pertam pertamaa
f 1 ( x )= x 1+ x2− 36=0 2
2
Turunan parsial terhadap
∂ f 1 ∂ x1
x 1
adalah
=2 x 1
*&
x 2
Turunan parsial terhadap
∂ f 1 ∂ x2 b
adalah
=2 x 2
Kita buat turunan parsial dari fungsi kedua
f 2 ( x ) = x 1+ 3 x 2−16 =0 2
Turunan parsial terhadap
∂ f 2 ∂ x1
∂ x2 c.
adalah
x 2
adalah
=2 x 1
Turunan parsial terhadap
∂ f 2
x 1
=−3
Kita susun persamaan nonlinier kembali menadi,
∂ f 1 ∂ x1
∂ f 2 ∂ x1
d1+
d1+
∂ f 1 ∂ x2
∂ f 2 ∂ x2
d 2 =−f 1 ( x )
d 2 =−f 2 ( x )
Kita subsitusikan turunan parsial diatas, menadi
=−( x + x −36 ) ( 2 x ) d + ( 2 x ) d =−( 1
1
2
2
2 1
2 2
=−( x + 3 x −16 ) ( 2 x ) d + (−3 ) d =−( 2
1
1
2
1
2
*
x 1=1 danx 2=1
a. Kita Kita masuk masukka kan n nilai nilai perk perkir iraan aan,, a0al misa misall nilai
d1
dan
d2
, maka di dapat
, yaitu
d 1=13,8 d 2=3,2
b. Kemudian kita gunakan nilai
e 1 dane 2
nilai
d1
dan
sem sementa entara ra,, dan dan nila nilaii
perkiraaan. Setelah itu kita masukkan
d1
dan
d2
d2
untuk di subtitusikan kedalam
e 1 dane 2 e 1 dane 2
kita kita masu masukk kkan an nila nilaii
sementara ke persamaan
, begitu seterusnya
sementara
e1
sementara
e2
= e +d 1
1
= e2 + d 2
c. Setelah melakukan melakukan proses proses pegulan pegulangan gan diatas, diatas, didapat didapat nilai
e 1 dane 2
, yaitu
e 1=5,06 e 2=3,21 $&al 2 -
Suatu kondisi reaksi menggambarkan reaksi kompleks untuk fase liJuid seperti reaksi berikut
*
+imana r * 6 k * D! (gmolAliter sekon) 3/ 2
r 2= k 2 C A A 2
r 3= k 3 C C 2
r 4 =k 4 C B −1
k 1=1,0 sec
k 2= 0,2 liter
1/ 2
/ gmol1 /2 sec
k 3 =0,05 liter / gmolsec k 4=0,4 liter / gmol gmol sec sec +imana
r i= gmol / liter sec
*4
(Komponen !) D !L 6 D!oL
? <(rs)
" < (r (r * ? r &)
(Komponen $) D $L 6 '
? <(&r*)
" <(r)
(Komponen D) D DL 6 '
? <(r& ? r)
" <(r)
(Komponen +) D +L 6 '
? <(r)
" '
Tahap Tahap selanutnya susun persamaan nonlinear seperti diba0ah ini
F 1=−C A + C AO + V R ( −k 1 C A− k 2 C A + k 3 C C ) / Q=0 3 /2
2
2
F 2 =−C B + V R ( 2 k 1 C A −k 4 C B)/ Q 6 ' 3 2
2
F 3 =−C c + V R ( k 2 C A2 −k 3 C C + k 4 C B )/ Q =0 2
F 4=−C + V R ( k 4 C B)/ Q =0 Selanutnya lau alir masing"masing komponen dapat dicari dengan menggunakan metode %e0ton. 2.!
Met&*e Determnan #a&)
et . !aco"i=
∂ ur ∂ v r ∂ x ∂ y
−
∂ ur ∂ v r ∂ y ∂ x
2nilah rumus iterasi untuk sistem persamaan non linier & persamaan & 5ariabel.
*
Seda Sedang ngka kan n
urut urutan an
peny penyel eles esai aian an
syst system em
pers persam amaa aan n
non" non"li line near ar
menggunakan metode +eterminan /acobi adalah sebagai berikut
*
Start
Dari nilai u dan 5 pada titik"titik tebakan a0al
+iferensiasi parsialkan semua persamaan untuk setiap 5ariabel
Iitung nilai determinan acobi pada titik tebakan a0al
Nakukan iterasi untuk menemukan menemukan persamaan ne0ton utk sistem sistem persamaan non linier
Nanutkan iterasi hingga diperoleh nilai - dan y
+iperoleh hasil
=inish
,&nt&h $&al -
Darilah akar dari sistem persamaan berikut
f 1 ( x . y )=u = x + xy −10= 0 2
f 2 2 ( x # y ) = v = y + 3 xy −57 =0 2
+engan tebakan a0al - ' 6 *,4 dan y ' 6 ,4 Penyelesaian
*F
ur
x r+1= xr −
∂ vr
∂ y ∂ ur ∂ v r ∂ x ∂ y
+vr −
∂ ur
∂ y (3.14 ) ∂ ur ∂ v r ∂ y ∂ x
+an
ur
y r +1= y r +
∂ vr
∂ x ∂ ur ∂ vr ∂ x ∂ y
−v r −
∂ ur
∂ x (3.15 ) ∂ ur ∂ v r ∂ y ∂ x
Nan gkah gka h *. Dari nilai u dan 5 pada titik"titik tebakan a0al
u0=( 1,5 ) + 1,5 ( 3,5 ) −10=−2,5 2
v 0 =( 3,5 ) + 3 (1,5 ) ( 3,5 ) − 57=1,625 2
Nangkah &. +iferensiasi parsialkan semua persamaan untuk setiap 5ariabel. Nalu cari nilai dari semua komponen komponen determinan determinan acobi"ny acobi"nyaa pada titik tebakan a0al.
∂ u0 ∂ x ∂ u0 ∂ y ∂ v0 ∂ x
= 2 x + y =2 ( 1,5 ) +3,5= 6,5
= x =1,5
=3 y 2=3 (3,5 )2=36,75
*3
∂ v0 ∂ y
=1+ 6 xy =1 +6 (1,5 )= 32,5
Nangkah . Iitung nilai determinan acobi pada titik tebakan a0al
∂ ur ∂ v r
et . !aco"i=
∂ x ∂ y
+et. /acobi
−
∂ ur ∂ v r ∂ y ∂ x
(3.16 )
6 (.4)(&.4) " (*.4)(.4) 6 *4.*&4
Nangkah . Nakukan iterasi untuk menemukan menemukan persamaan ne0ton utk sistem persamaan non linier
ur
x r+1= xr −
∂ vr
∂ y ∂ ur ∂ v r ∂ x ∂ y
+v r −
∂ ur
∂ y (3.14 ) ∂ ur ∂ v r ∂ y ∂ x
+an
ur
y r +1= y r +
∂ vr
∂ x ∂ ur ∂ vr ∂ x ∂ y
−v r −
∂ ur
∂ x (3.15 ) ∂ ur ∂ v r ∂ y ∂ x
&'
+engan cara yang sama iterasi dilanutkan, Doba teruskanH diperoleh -6.... dan y6.... 2./
Met&*e $eant
Masalah potensial dalam implementasi metode %e0ton adalah e5aluasi pada turunan. Metode Secant diperoleh dari metode %e0ton dengan cara menggantikan turunan fO(-) dengan beda hingga terbagi. $ila turunan fungsi f’(x) f’ (x) sulit ditemukan, metode ne0ton tidak dapat dipakai. Solusinya, bah0a sebetulnya f’ (x) pada (x) pada hakekatnya merupakan suatu slope atau gradien.
/ika diambil diambil persamaan persamaan backward untuk disubstitusikan pada persamaan forward iteratifnya iteratifnya menadi
!tau bisa dituliskan dalam bentuk
Secara Secara geomet geometri, ri, dalam dalam metode metode %e0ton %e0ton -i?* -i?* merupa merupakan kan perpot perpotong ongan an sumbu - dengan garis singgung di -i, sedangkan dalam metode Secant -i?* adalah adalah perpot perpotong ongan an sumbu sumbu - dengan dengan talibu talibusur sur kur5a kur5a f(-) f(-) yang yang berpad berpadana anan n
&*
terhadap -n?* dan -n. Metode Secant memerlukan dua tebakan a0al, -i* dan -i, tetapi tanpa perhitungan turunan. +apat diperlihatkan diperlihatkan metode metode Secant lebih lambat dibandingkan dibandingkan metode %e0ton
&&
Sebu Sebuah ah pelu peluru ru berm bermas assa sa & gram gram ditem ditemba bakk kkan an 5erti 5ertika kall ke udara udara dan dan bergerak turun setelah mencapai batas kecepatan. kec epatan. $atas kecepatan ditentukan oleh mg=tarik , dimana m6massa dan g 6 percepatan gra5itas i. Persamaan lengkap adalah sebagai berikut
dima dimana na 5 adal adalah ah kecep kecepat atan an bata batas, s, mAdet mAdet.. Suku Suku pert pertam amaa pada pada ruas ruas kana kanan n menyatakangesekan tarik ( friction drag ), ), dan suku kedua menyatakan tekanan tarik ( !ressure !ressure drag ). ). Tentukan batas kecepatan dengan metode secant. %ilai coba a0al 5 R ' mAdet Solusi Kasus ini didefinisikan sebagai pencarian akar dari
diset 5o6' dan 5*6',* didasarkan pada nilai coba a0al, dimana y' dan y* dihitung dengan persamaan (&.*&). 2terasi penyelesaian dengan persamaan (&. **) sebagai berikut
/adi batas kecepatannya adalah 56, mAdet
&
2.0
Regula als
Sesi metode numerik numerik ini membahas membahas salah satu metode penyelesaian sistem persamaan non linier, yaitu dengan metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas range. +ua titik a dan b pada fungsi f(-) digunakan untuk mengestimasi posisi c dari akar interpolasi linier, dikenal dengan metode =alse Position atau metode regula falsi.
(am)ar 2./ ;rafik metode
•
•
•
&
!lgoritma Metode
x =
f".a − fa." f" − fa
Iitung =- 6 f(-) Iitung error 6 =- /ika =-.=a B ' maka b 6 - dan =b 6 =- ika tidak a 6 - dan =a 6 =0. !kar persamaan adalah ,&nt&h $&al -
Terapkan Terapkan metode
f ( ( $ )= $ tan $ − 1 , ika ' B # B
% 2
Penyelesaian +engan memasukkan nilai batas - ke dalam persamaan, kita mendapatkan bah0a:
f ( ( 0 )=−1
f
( )=+ % 2
&
&4
% Tetapi -&
6
tidak dapat digunakan karena nilainya tak terhingga. /adi kita
2
haru haruss meng menggu gunak nakan an nilai nilai yang yang lebi lebih h kecil kecil dari dari ( % A&), A&), yaitu yaitu '.( '.( % A&), sehingga
( )=
f 0.7
% 2
1.158
Iasil aplikasi dari metode
x1
x2
*.*''
'.''''
f (x ) 1 *.*4F
f (x ) 2
'.4'3
*.*4F
*.*''
'.4*
*.*4F
*.*''
'.F*'
*.*4F
*.*''
'.F44
*.*4F
*.*''
'.F4
*.*4F
-5.482
'.F43
*.*4F
x
x
x
-3
10
x
x
10-3 x
10-3 -6.383
'.F'*
x
10-2
-1.872
'.F43
x
10-2
-5.482
'.F4F
x
10-1
-1.600
'.F44
x
10-1
-4.620
'.F44
10-3 -1. -1.872 872
*.*''
x
10-2
-1
-1.296
'.F*'
10-2 -1.600
*.*4F
x
x
10
-3.354
'.4*
10-1 -4.620
'.F4F
x
10-1 -1.296
*.*''
'.4'3
10-1 -3.354
f (x ) 3 -7.151
"*.''' -7.151
*.*''
x3
-4
10
&
x
-6.383
*.*''
'.F'*
*.*4F
*.*''
'.F'
*.*4F
*.*''
.03
*.*4F
x
'.F'
10-4 -2.196
x
-5
10
x
x
10-5 -2.556
.03
x
10-4 -7.492
'.F'
10-4 -7.492
-2.196
-5
10
&
x
BAB III PENUTUP 3.1
%esm4ulan
*. Metode
%umerik
adalah
teknik
yang
digunakan
untuk
memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan atau aritmatika biasa &. Meto Metode de non non line linear ar terb terbag agii men menad adii bebe beberap rapaa baha bahasa san n yait yaitu u meto metode de successive substitution, substitution, metode secant, metode 0e0ton, dan metode regula falsi
&F
DATAR PU$TA%A
!lifis. &''F. bab"ii"solusi" &''F. bab"ii"solusi" persamaan #!df# +iakses * Maret &'* persamaan"non"linear #!df# !non !nonim im.. &'*' &'*'.. $%en&e $%en&elesa lesaian ian %ersam %ersamaan aan 'on"i 'on"inea near# r# httpAA000. Pustaka skripsi.comApenyelesaian"persamaan"non"linear"metode"biseksi"dan metode"regula"falsi"menggunakan"cara"komputasi"skripsi".html.. metode"regula"falsi"menggunakan"cara"komputasi"skripsi".html +iakses *' Maret &'* Dhapra Dhapra,, S.D. S.D.,, and and Dana Danale, le, <.P. <.P. *33F, *33F,
U 'umerical *et+ods for ,ngineers#
Mc;ra0"Iill. Elsaid,
=ai =airus.
&'' &''F.
U %ersamaan
'on"inear V. V.
httpAAfairu#elsaid
.0ordpress.comA. +iakses * Maret &'* /ames $.
&3
