www.briliantprivate.co.cc
Page 1
PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
A. PERSAMAAN KUADRAT 1. PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax + bx + c = 0 , dimana a ≠ 0 dan a,b,c ∈ R . Pembuat nol dari persamaan di atas merupakan penyelesaian persamaan kuadrat. Himpunan dari penyelesaian di atas disebut Himpunan Penyelesaian (HP). Menentukan penyelesaian persamaan kuadrat sama dengan menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Secara geometri, menentukan 2
penyelesaian persamaan kuadrat berarti menentukan titik-titik potong kurva
y = ax 2 + bx + c
dengan sumbu X. Cara menentukan penyelesaian persamaan kuadrat ada 3 cara, yaitu : 1. memfaktorkan 2. melengkapkan kuadrat sempurna 3. rumus kuadrat (rumus abc)
1.1 Penyelesaian persamaan kuadrat dengan memfaktorkan Jika suatu persamaan kuadrat dapat diubah menjadi bentuk AB = 0, maka penyelesaiannya adalah A = 0 atau B = 0. Langkah pertama untuk menentukan penyelesaian persamaan kuadrat
ax 2 + bx + c = 0 dengan pemfaktoran yaitu dengan menentukan faktor dari perkalian ac yang jumlahnya adalah b, misalnya faktornya p dan q. Sehingga perkalian luar dan perkalian dalam dari koefisiennya besarnya p dan q. Perhatikan pola di bawah ini : Perkalian dalam (…x + …)(…x + …) = 0
Perkalian luar Contoh 1: Tentukan Himpunan Penyelesaian dari Jawab
:
x2 − 2x − 8 = 0
x 2 − 2 x − 8 = 0 ⇔ (x - ….)(x + ….) = 0 x1 = .... x2 = .... Jadi HP:{….,…..}
Contoh 2: Tentukan penyelesaian dari 6 x Jawab
: 6x
2
2
− x−5 = 0
− x − 5 = 0 ⇔ (…...-……)(……+……) = 0 x1 = .... x2 = ....
LATIHAN SOAL Tentukan HPnya dengan menggunakan cara pemfaktoran !
x 2 − x − 12 = 0 2 2. x + 7 x + 12 = 0 2 3. x − 8 x + 16 = 0
1.
www.briliantprivate.co.cc
Page 2
x2 − 9 = 0 − x 2 + 81 = 0 2 x 2 − 10 = 0 x2 − a = 0 x 2 − 3x = 0 3 x 2 + 12 x = 0 ax 2 + bx = 0 2x2 − x − 6 = 0 5x2 + 8x − 4 = 0 6 x 2 + 11x + 3 = 0 − 8 x 2 − 18 x + 5 = 0 12 x 2 − 20 x + 3 = 0
4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.
1.2
Penyelesaian persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna
Yaitu dengan mengubah persamaan penyelesaiannya
ax 2 + bx + c = 0 menjadi bentuk
(x + p )2 = q
x = − p ± q . Pertama, usahakan menjadi bentuk x 2 +
sehingga
b c x = − . Kemudian a a
menjadikan ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna, yaitu dengan menambahkan kedua ruas dengan
(
b 2 ) . 2a
Contoh 3: Tentukan HP dari Jawab
:
x 2 − 2 x − 8 = 0 dengan melengkapkan kuadrat sempurna
x2 − 2x − 8 = 0 ⇔
….
= …..
………………………….
Jadi HP : {……,…….}
Contoh 4: Tentukan HP dari Jawab
:
6 x 2 − x − 5 = 0 dengan melengkapkan kuadrat sempurna
6x2 − x − 5 = 0 ⇔
….
= ….
:6
………………………………..
Jadi HP:{
www.briliantprivate.co.cc
….
}
Page 3
LATIHAN SOAL Tentukan HPnya dengan melengkapkan kuadrat sempurna, dari :
x 2 − x − 12 = 0 x 2 + 7 x + 12 = 0 x 2 − 8 x + 16 = 0 x2 − 9 = 0 − x 2 + 81 = 0 2 x 2 − 10 = 0 x2 − a = 0 x 2 − 3x = 0 3 x 2 + 12 x = 0 ax 2 + bx = 0
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
1.3
2x2 − x − 6 = 0 2 12. 5 x + 8 x − 4 = 0 2 13. 6 x + 11x + 3 = 0 2 14. − 8 x − 18 x + 5 = 0 2 15. 12 x − 20 x + 3 = 0 11.
Penyelesaian Persamaan Kuadrat Dengan Rumus Kuadrat (Rumus abc)
ax 2 + bx + c = 0
x1.2 =
Sehingga :
⇔ …. =… :a ⇔ …. =… ⇔ …. + …. = …. + …. 2 ⇔ (.... + ....) = .... ⇔ …+… =… ⇔ x=… ⇔
− b ± b 2 − 4ac 2a
dimana
b 2 − 4ac disebut dengan diskriminan (D)
Jadi D = b − 4ac Rumus di atas dikenal dengan nama rumus kuadrat atau sering dikenal dengan rumus abc. 2
Contoh 5: Tentukan HP dari
x 2 − 2 x − 8 = 0 dengan menggunakan rumus kuadrat
Jawab
, c = ….
:a=…
x1.2 =
, b = ….
− b ± b 2 − 4ac = … 2a =…
x1 = .... x2 = .... Jadi HP:{
….
Contoh 6: Tentukan HP dari www.briliantprivate.co.cc
}
5 − 9 x − 2 x 2 = 0 dengan menggunakan rumus kuadrat Page 4
Jawab
:a=…
x1.2 =
, b= ….
, c = ….
− b ± b 2 − 4ac = … 2a
Jadi HP:{
….
}
LATIHAN SOAL Tentukan HPnya dengan menggunakan rumus kuadrat (abc) dari : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
x 2 − x − 12 = 0 x 2 + 7 x + 12 = 0 x 2 − 8 x + 16 = 0 x2 − 9 = 0 − x 2 + 81 = 0 2 x 2 − 10 = 0 − 5 x 2 + 40 = 0 x 2 − 3x = 0 3 x 2 + 12 x = 0 − 6 x 2 + 60 x = 0
2x2 − x − 6 = 0 2 12. 5 x + 8 x − 4 = 0 2 13. 6 x + 11x + 3 = 0 2 14. 5 − 18 x − 8 x = 0 2 15. − 20 x + 3 + 12 x = 0 11.
2. JENIS-JENIS AKAR PERSAMAAN KUADRAT Jenis-jenis akar persamaan kuadrat : - Jika D < 0 maka akar-akarnya imajiner/ireal/tidak nyata - Jika D = 0 maka akar-akarnya real dan sama (akar kembar) - Jika D > 0 maka akar-akarnya real dan berlainan Jika D > 0 dan Jika D > 0 dan
D merupakan bentuk akar, maka akar-akarnya irasional dan berlainan D bukan bentuk akar, maka akar-akarnya rasional dan berlainan
Harga a pada ax + bx + c = 0 menentukan kurva parabola menghadap ke atas atau ke bawah. - Jika a < 0 maka parabola menghadap ke bawah - Jika a > 0 maka parabola menghadap ke atas 2
Definit negatif dan definit positif - Jika a < 0 dan D < 0 maka berapapun nilai x selalu menghasilkan nilai (definit negatif)
ax 2 + bx + c yang negatif
- Jika a > 0 dan D < 0 maka berapapun nilai x selalu menghasilkan (definit positif)
ax 2 + bx + c yang positif
www.briliantprivate.co.cc
Page 5
Perhatikan gambar berikut : Definit positif a >0 D <0
a>0 D=0
a >0 D >0
Sb X a<0 D>0
a<0 D=0
a<0 D<0
Definit negatif Contoh 1: Tentukan jenis akar-akar dari Jawab
3x 2 + 5 x − 4 = 0
:D=… =… Karena D … 0 maka akar-akarnya …
Contoh 2: Tentukan nilai n agar persamaan Jawab
2 x 2 + nx + 8 = 0 mempunyai akar kembar !
: Syarat akar kembar, yaitu D …. 0 … =0 … =0 … =0 ( … )( … )=0 n = … atau n = …
LATIHAN SOAL 1.
Tentukan jenis-jenis akar persamaan berikut :
x 2 − 5x + 2 = 0 2 b. 3 x − 30 x + 75 = 0 2 c. 4 x + 5 x + 3 = 0
a.
− x2 + 5x − 3 = 0 2 e. 5 x + 30 x + 45 = 0
d.
2. Tentukan n, agar persamaan berikut mempunyai akar kembar ! a. b. c. d. e.
x 2 − nx + 16 = 0 nx 2 + 20 x + 50 = 0 3 x 2 − 18 x + 20 + n = 0 (n + 1) x 2 + 16 x + 32 = 0 1 2 1 x + (n + 2) x + 12 = 0 2 2
www.briliantprivate.co.cc
Page 6
3. JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT
ax 2 + bx + c = 0 adalah x1 =
Akar-akar
− b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac dan x2 = . 2a 2a
Sehingga jika dijumlahkan dan dikalikan akar-akarnya akan mendapatkan rumus :
x1 + x2 = −
b a
dan
x1 x2 =
c a
Contoh 1: Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar :
Jawab
a.
x 2 + 10 x + 25 = 0
: a.
x 2 + 10 x + 25 = 0
b.
3 x 2 − 10 x + 3 = 0
a = … , b = … , dan c = …
x1 + x2 = ...... x1 x2 = ….. 2 b. 3 x − 10 x + 3 = 0 a = … , b = …. dan c = ….
x1 + x2 = ...... x1 x2 = ….. x1 dan x2 akar-akar 2 x 2 − 5 x + 3 = 0 maka tentukan nilai : 1 1 2 2 3 3 + a. x1 + x2 b. c. x1 − x2 d. x1 + x2 x1 x2
Contoh 2: Jika
Jawab
:
x1 + x2 = ...... x1 x2 = …..
x1 + x2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = .... 1 1 x + x2 b. + = 1 = ..... x1 x2 x1 x2 2
a.
c. d.
2
2
(x1 + x2 )2 − 4 x1x2 = ..... 3 3 3 x1 + x2 = ( x1 + x2 ) − 3 x1 x2 ( x1 + x2 ) = ....
x1 − x2 =
LATIHAN SOAL 1.
Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari : a.
x 2 − 5x + 2 = 0
b.
3x 2 + x − 6 = 0
x1 dan x2 akar-akar persamaan 3 x 2 − 4 x + 1 = 0 , maka tentukan harga : 1 1 2 2 3 3 a. x1 + x2 b. + c. x1 − x2 d. x1 + x2 x1 x2
2. Jika
3. Tentukan n agar berkebalikan.
nx 2 + 5 x + 4 = 0 hasil kali akar-akarnya 1 atau akar-akarnya saling
4. Tentukan n agar
4 x 2 + nx + 3 = 0 akar-akarnya berlawanan tanda.
5. Tentukan n agar
x 2 + 10 x + n = 0 hasil kali akar-akarnya 5.
www.briliantprivate.co.cc
Page 7
4. MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT 4.1
Persamaan Kuadrat Yang Akar-akarnya x1 dan x2 .
Digunakan rumus sebagai berikut :
(x − x1 )(x − x2 ) = 0
atau
x 2 − ( x1 + x2 )x + x1 x2 = 0
Contoh 1: Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan –3 Jawab
: Cara I :
Cara II :
4.2
(x − x1 )(x − x2 ) = 0 ⇒ ..... x 2 − ( x1 + x2 )x + x1 x2 = 0 ⇒ .....
Persamaan Kuadrat Yang Persamaan Kuadrat Lainnya
Akar-akarnya
Berhubungan
Dengan
Akar-akar
x1 dan x2 akar-akar dari ax 2 + bx + c = 0 , sedangkan y1 dan y2 akar-akar persamaan kuadrat baru, dimana y1 = kx1 dan y2 = kx2 , maka cara menentukan persamaan kuadrat baru itu
Misal
ada 2 cara, yaitu : 1.
Cara I : Substitusi y = kx atau
x=
y 2 ke ax + bx + c = 0 , lalu ganti y dengan x k
2. Cara II: dengan menggunakan rumus :
x 2 − ( y1 + y2 )x + y1 y2 = 0 dim ana y1 = kx1 dan y2 = kx2
Contoh 2: Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2 kali akar-akar Jawab
x 2 − 5x + 3 = 0
: Cara I : y = 2x maka x = …. Substitusi x = …. ke
x 2 − 5x + 3 = 0
…. …. Ganti y dengan x, maka diperoleh : …. Cara II:
=0 =0
x 2 − ( y1 + y2 )x + y1 y2 = 0 dim ana y1 = 2 x1 dan y2 = 2 x2 …. ….
LATIHAN SOAL 1.
Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya : a. 3 dan 4 c. 5 dan –1/2 b. 2 dan –7 d. –3/2 dan 4/5
2. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 kali akar-akar
www.briliantprivate.co.cc
3x 2 − 2 x + 1 = 0
Page 8
3. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 1/2 kali akar-akar
x2 − 2x − 8 = 0
4. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akar-akar 5. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya kebalikan akar-akar
x2 + 4x − 3 = 0
2 x 2 − 8x + 6 = 0
B. PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Pertidaksamaan kuadrat diselesaikan dengan bantuan garis bilangan, yaitu dengan menguji pada masing-masing daerah pada garis bilangan dengan mencantumkan akar-akar persamaan kuadrat. Tentukan penyelesaiannya sesuai dengan soal dan tanda “+” atau “-“ pada garis bilangan. Contoh 1: Tentukan HP dari : a.
Jawab
: a.
x2 − 2x − 8 < 0
b.
2x2 + x − 6 ≥ 0
c.
x−3 >0 x+4
x 2 − 2 x − 8 < 0 ⇔ (..........)(..........) < 0 …
…
…
… HP:{x/
b.
… …
}
2 x 2 + x − 6 ≥ 0 ⇔ (..........)(..........) ≥ 0 …
…
…
… …
HP:{x/
c.
…
}
x−3 >0 x+4 (.............)(............) > 0 …
… …
HP:{x/
www.briliantprivate.co.cc
… … …
}
Page 9
LATIHAN SOAL 1.
Tentukan HPnya dari pertidaksamaan : a.
x 2 + 3 x − 18 < 0
b.
x 2 + 8 x + 16 > 0
c.
x 2 + 10 x + 25 ≤ 0
d.
2x2 + 7 x > 0
7 − 3x 2 ≥ 4 x 8 f. >1 x+2 x g. −5 ≤ 0 x −1 e.
2. Tentukan n agar
nx 2 + 8 x + 4 = 0 akar-akarnya imajiner
3. Tentukan n agar
1 2 nx + (n − 4) x − 1 = 0 akar-akarnya real dan berlainan 2
4. Tentukan interval x sehingga f(x) =
x 2 + 5 x + 6 berada di atas sumbu X
5. Tentukan interval x sehingga f(x) =
− 2 x 2 + 15 x + 8 berada di atas sumbu X
C. FUNGSI KUADRAT 1. MELUKIS PARABOLA Bentuk umum fungsi kuadrat adalah f(x) =
ax 2 + bx + c, a ≠ 0 dan a, b, c ∈ R .
Kurvanya berupa Parabola. Cara melukis sketsa Parabola, yaitu : 1. Tentukan titik-titik potong dengan sumbu koordinat a. Dengan sumbu X syarat y = 0 b. Dengan sumbu Y syarat x = 0
− b b 2 − 4ac 2. Tentukan Titik Puncak dengan rumus TP: , 2 a − 4 a 3. Jika a > 0, maka parabola menghadap ke atas Jika a < 0, maka parabola menghadap ke bawah 4. Gunakan beberapa buah titik bantu jika perlu 5. Lukis kurvanya dengan menghubungkan titik-titik yang sudah diketahui
Contoh 1: Lukis parabola berikut :
Jawab
a.
y = x2 + 2x − 8
: a.
y = x2 + 2x − 8 -
b.
y = −2 x 2 + x + 6
Titik potong dengan sumbu X syarat y = 0, maka :
0 = x2 + 2x − 8 =
-
-
…. …. Titik potong dengan sumbu Y syarat x = 0, maka : y=… Titik Puncak :
www.briliantprivate.co.cc
− b b 2 − 4ac = …. , 2 a − 4 a Page 10
-
-
Karena a = … , maka parabola menghadap ke … Beberapa titik bantu : x … … … y … … … Gambar kurvanya : Y
… …
… …
… …
0
b. -
X
y = −2 x 2 + x + 6 Titik potong dengan sumbu X syarat y = 0, maka :
0 = −2 x 2 + x + 6 =
-
…. …. Titik potong dengan sumbu Y syarat x = 0, maka : y=…
− b b 2 − 4ac = …. , 2a − 4a
-
Titik Puncak :
-
Karena a = … , maka parabola menghadap ke … Beberapa titik bantu :
-
x … … … y … … … Gambar kurvanya : Y
0
www.briliantprivate.co.cc
… …
… …
… …
X
Page 11
LATIHAN SOAL 1.
Tentukan koordinat titik puncaknya dari :
y = x 2 + 3 x − 18 2 b. y = x + 6 x + 9
a.
y = 3x 2 − 12 2 d. y = 4 x + 12 x
c.
2. Lukislah sketsa parabola berikut ini :
y = 2x2 + 7 x + 6 2 b. y = x + 10 x + 25 2 c. y = 3 x − 12 x 2 d. y = 4 x − 16 a.
y = − x2 − 6x + 7 2 f. y = −4 x + 8 x + 5 2 g. y = 8 x − 2 x 2 h. y = 9 − x
e.
2. MASALAH-MASALAH OPTIMUM Jika suatu persoalan yang ada pada sehari-hari dapat dinyatakan dengan fungsi kuadrat, maka tentulah ada batas tertinggi atau terendahnya, karena kurvanya berupa parabola. Maka nilai optimum (maksimum/minimum) dari persoalan tersebut dapat ditentukan dengan nilai y pada
b 2 − 4ac koordinat titik puncak, yaitu − 4a Contoh 1: Suatu persegi panjang kelilingnya 24 cm. Tentukan luas maksimumnya ! Jawab
: K = 2(p + l) 24 = 2(p + l) maka p + l = … sehingga p = … L = p.l Substitusi p = … ke L = p.l, maka : L=… =… merupakan fungsi kuadrat. L maks =
b 2 − 4ac = …. − 4a
Contoh 2: Dua bilangan jumlahnya 10. Tentukan kedua bilangan itu, agar hasil kalinya maksimum Jawab
: Misal kedua bilangan itu x dan y, maka x + y = … atau x = … Misal hasil kali x dan y dinyatakan dengan z, maka z = xy. Substitusi x = … ke z = xy sehingga : z=… =… merupakan fungsi kuadrat
b 2 − 4ac z maks = =… − 4a Karena x + y = … dan xy = … maka x = … dan y = … LATIHAN SOAL 1.
Suatu persegi panjang kelilingnya 100 cm. Tentukan luas maksimumnya
2. Dua bilangan jumlahnya 16. Tentukan kedua bilangan itu agar hasil kalinya maksimum
3. Dua bilangan selisihnya 6. Tentukan kedua bilangan itu agar hasil kalinya minimum www.briliantprivate.co.cc
Page 12
4. Persamaan gerak bola yang dilempar ke atas yaitu
S (t ) = −10t 2 + 70t . S(t) merupakan jarak yang
ditempuh setelah waktu t. S(t) dalam satuan meter dan t dalam satuan detik. Tentukan : a. tinggi maksimum yang dapat dicapai bola b. saat bola mencapai tinggi maksimum c. saat bola mencapai tanah 5. Suatu kolam renang akan dikeringkan. Jika hubungan antara air di kolam dengan waktu adalah
V (t ) = 1600 − 80t + t 2 . V(t) yaitu isi air dalam kolam renang setiap waktunya ( dm3 ) dan t yaitu waktu dalam satuan menit. Kapan isi air kolam itu minimum dan tentukan isi minimumnya !
www.briliantprivate.co.cc
Page 13
