Sintesis Cuadripolos No Disipativos

9.3 9.3

Sínt Síntes esis is de tran transf sfer eren enci cias as media ediant ntee cuad cuadri ripo polo loss LC

Del mismo modo modo que lo hicimo hicimos s con la síntes síntesis is de funcio funciones nes de excit excitaci ación ón inici iniciare aremos mos la presentación de los métodos de síntesis de funciones transferencia ocupándonos en primer término de aquellas aquellas que están caracteriz caracterizadas adas por poseer polos y ceros sobre el eje imaginario imaginario del plano comple complejo. jo. La síntes síntesis is de una funció función n trans transfer ferenc encia ia de estas estas caract caracterí erísti sticas cas nos conduc conducirá irá inexorablemente a la implementación de un cuadripolo reactivo puro. Claro está que existirán diferentes estructuras LC y su elección dependerá fundamentalmente de la ubicación de los ceros de transmisión. Comenzaremos abordando la solución de los casos más simples, ilustrándolos a través de la solución de problemas concretos e incrementando paulatinamente el orden de complejidad de la metodología asociada a cada problema. En primer término presentaremos un método sistemático de síntesis síntesis apto para resolver resolver transferen transferencias cias tensión-co tensión-corrien rriente te en vacío vacío mediante mediante cuadripol cuadripolos os simétricos, compactos y balanceados. Luego nos ocuparemos de la síntesis de transferencias en vacío vacío pero pero media mediante nte escale escaleras ras asimét asimétri ricas cas y final finalmen mente te sugeri sugerirem remos os una interc intercone onexi xión ón de cuadripolos elementales para sintetizar ceros complejos conjugados. Comprendida la síntesis de transferencias en vacío nos ocuparemos de los casos más próximos a la realidad y en los cuales las condiciones de extremo participan de las especificaciones de un dado proble problema, ma, en otras otras palabr palabras as presen presentar taremos emos alguno algunos s método métodos s de síntes síntesis is de trans transfer ferenc encias ias cargadas Haremos hincapié en los procesos gráficos de síntesis y sugeriremos las más variadas alternativas dejando al lector abierta la posibilidad de optar por otras.

9.3.1 9.3.1

Sínte Síntesis sis de transf transfere erenci ncias as en vacío vacío med media iant ntee cua cuadri dripol polos os LC LC bala balance nceado adoss

Tal como lo anticipáramos iniciaremos la presentación de los procesos de síntesis intentando resolver una transferencia tensión-corriente en vacío dada por una cierta función racional cuyos polos están ubicados sobre el eje imaginario del plano complejo. Jω

I1 V2

fig (9.5)

T ( s)

=

V2 I1

= I2 = 0

P ( s) Q ( s)

=

Z21 ( s)

La ubicación de los polos de la transferencia nos conducirá a la síntesis de un cuadripolo reactivo puro vale decir decir un cuadripol cuadripolo o recíproco recíproco caracterizad caracterizado o por Z21(s)=Z12(s). (s). Por ser el cuadri cuadripol polo o reactivo puro la función que define a esta impedancia de transferencia estará caracterizada por poseer polos simples sobre el eje j ω y es de esperar que sus residuos resulten reales y positivos. C:\Documents and Settings\usuario\Configuración local\Temp\15b sintesis LC_02.doc 1 de 52

Esta última expectativa será cierta si la función que define a Z 21(s)=Z12(s) es FRP, pero si como ocurre en la mayoría de los casos esta función no es FRP algunos de sus residuos estarán dados por cantidades reales y negativas. En el problema planteado las funciones de excitación Z11(s) y Z22(s) no han sido especificadas y por consiguie consiguiente nte tendremos amplia libertad libertad para elegirlas. elegirlas. Lo más sencillo sencillo sería adoptar adoptar una red simétrica o sea caracterizada por Z11(s)=Z22(s) y en estas circunstancias la condición de residuo se simplificará tal como lo sugiere la siguiente expresión K121

−

K 221

≥

0

Esta última desigualdad la podemos transformar en una igualdad removiendo convenientemente el exce exceso so de resi residu duo o y tran transf sfor orma mand ndo o de este este modo modo los los polo polos s en comp compac acto tos. s. Esta Esta seri serie e de simplificaciones da origen a un método de síntesis que designaremos como el de los cuadripolos sin pérdidas, simétricos y compactos. En base a lo antedicho la condición de residuo para una red simétrica y compacta la podemos expresar mediante K121

( K11 +

−

K 221

=

0

K 21 ) ( K11 − K 21 )

=

0

o también como lo indica la expresión (9.9) K11

=

K 22

=

K 21

(9.9)

Aprovechando estos comentarios y algunos supuestos que iremos agregando, surge de inmediato el siguiente proceso de síntesis: dada o conocida la expresión que define la impedancia de transferencia Z21(s)=Z12(s) y suponiendo que no es FRP, la expandiremos en fracciones parciales parciales generándose generándose fracciones fracciones con residuos residuos reales, reales, pero algunos algunos positiv positivos os y otros negativos. Agruparemos a continuación las fracciones caracterizadas caracterizadas por residuos positivos en Z21P(s) y las caracterizadas por residuos negativos en Z12N(s) tal como lo indica la (9.10) Z21 (s) = Z21P (s) − Z21N (s)

(9-10)

Adoptaremos para sintetizar el cuadripolo una estructura simétrica o sea una red que verifique la condición Z11(s)=Z22(s). Desde el momento que todas las funciones de excitación son FRP estarán caracterizadas por poseer residuos reales y positivos y si además le imponemos la condición de compactos podremos expresar a Z11(s)=Z22(s) expandida en fracciones parciales mediante la (9.11) Z11 (s) = Z22 (s) = Z21P (s) + Z21N (s)

(9.11)

Esto Esto es así debido debido a que la condic condición ión de polos polos compactos compactos en una red simétr simétrica ica implica implica la satisfacción de la (9.9). Finalmente y conocidos todos los parámetros que definen el cuadripolo (Z12=Z21 y Z11=Z22) sólo sólo restar restará á adopta adoptarr una estruc estructur tura a simétr simétrica ica para para resolv resolver er el proble problema ma e indudablemente que la mas sencilla corresponde a un cuadripolo láttice o puente balanceado cuya estructura es la indicada esquemáticamente en la fig(9.6) y cuyas impedancias componentes ZA y ZB están vinculadas con las de excitación y de transferencia en vacío a través de las conocidas expresiones (9.12)

C:\Documents and Settings\usuario\Configuración local\Temp\15b sintesis LC_02.doc 2 de 52

Esta última expectativa será cierta si la función que define a Z 21(s)=Z12(s) es FRP, pero si como ocurre en la mayoría de los casos esta función no es FRP algunos de sus residuos estarán dados por cantidades reales y negativas. En el problema planteado las funciones de excitación Z11(s) y Z22(s) no han sido especificadas y por consiguie consiguiente nte tendremos amplia libertad libertad para elegirlas. elegirlas. Lo más sencillo sencillo sería adoptar adoptar una red simétrica o sea caracterizada por Z11(s)=Z22(s) y en estas circunstancias la condición de residuo se simplificará tal como lo sugiere la siguiente expresión K121

−

K 221

≥

0

Esta última desigualdad la podemos transformar en una igualdad removiendo convenientemente el exce exceso so de resi residu duo o y tran transf sfor orma mand ndo o de este este modo modo los los polo polos s en comp compac acto tos. s. Esta Esta seri serie e de simplificaciones da origen a un método de síntesis que designaremos como el de los cuadripolos sin pérdidas, simétricos y compactos. En base a lo antedicho la condición de residuo para una red simétrica y compacta la podemos expresar mediante K121

( K11 +

−

K 221

=

0

K 21 ) ( K11 − K 21 )

=

0

o también como lo indica la expresión (9.9) K11

=

K 22

=

K 21

(9.9)

Aprovechando estos comentarios y algunos supuestos que iremos agregando, surge de inmediato el siguiente proceso de síntesis: dada o conocida la expresión que define la impedancia de transferencia Z21(s)=Z12(s) y suponiendo que no es FRP, la expandiremos en fracciones parciales parciales generándose generándose fracciones fracciones con residuos residuos reales, reales, pero algunos algunos positiv positivos os y otros negativos. Agruparemos a continuación las fracciones caracterizadas caracterizadas por residuos positivos en Z21P(s) y las caracterizadas por residuos negativos en Z12N(s) tal como lo indica la (9.10) Z21 (s) = Z21P (s) − Z21N (s)

(9-10)

Adoptaremos para sintetizar el cuadripolo una estructura simétrica o sea una red que verifique la condición Z11(s)=Z22(s). Desde el momento que todas las funciones de excitación son FRP estarán caracterizadas por poseer residuos reales y positivos y si además le imponemos la condición de compactos podremos expresar a Z11(s)=Z22(s) expandida en fracciones parciales mediante la (9.11) Z11 (s) = Z22 (s) = Z21P (s) + Z21N (s)

(9.11)

Esto Esto es así debido debido a que la condic condición ión de polos polos compactos compactos en una red simétr simétrica ica implica implica la satisfacción de la (9.9). Finalmente y conocidos todos los parámetros que definen el cuadripolo (Z12=Z21 y Z11=Z22) sólo sólo restar restará á adopta adoptarr una estruc estructur tura a simétr simétrica ica para para resolv resolver er el proble problema ma e indudablemente que la mas sencilla corresponde a un cuadripolo láttice o puente balanceado cuya estructura es la indicada esquemáticamente en la fig(9.6) y cuyas impedancias componentes ZA y ZB están vinculadas con las de excitación y de transferencia en vacío a través de las conocidas expresiones (9.12)


ZA ZB

fig (9.6)

ZA ( s)

=

Z11 ( s )

−

Z 21 ( s )

ZB ( s )

=

Z11 ( s)

+

Z21 ( s)

(9.12)

y de las expresiones (9.10) y (9.11) y (9.12) resulta la (9.13) ZA ( s )

=

2 Z21N ( s)

ZB ( s)

=

2 Z21P ( s)

(9.13)

Desde el momento que las impedancias ZA y ZB responden a funciones reales y positivas se las podrá sintetizar aplicando cualquiera de los métodos vistos al tratar la síntesis de dipolos. Una observación que surge de la metodología propuesta es que las impedancias que integran las ramas del láttice así obtenido no tendrán polos comunes. Intentaremos ilustrar el proceso de síntesis que acabamos de comentar resolviendo el siguiente problema. Problema 9.1 Sintetizar Sintetizar un cuadripolo que satisfaga la siguiente impedancia de transferencia 2s

=

Z21 ( s )

s

6

+

6s

4

+ 11s2 +

6

En primer término pondremos en evidencia la ubicación de sus polos Z21 ( s)

2s

=

2

(s

+

2

1) (s

+

2) (s2

+

3)

Luego expandimos la impedancia de transferencia dada en fracciones p arciales, obteniendo obteniendo

=

Z21 ( s)

s 2

s

+

1

-

2s s

2

+

2

s

+

s

2

+

3

Organizamos a continuación las expresiones que definen a Z21P(s) y Z21N(s), o sea Z21P 21P ( s )

=

s 2

s

+

1

+

s 2

s

+

3

Z21N ( s )

2s

=

2

s

+

2

Fina Finalm lmen ente te y en base base a las las expr expresi esion ones es (9.1 (9.13) 3) obte obtend ndre remo mos s las las corre corresp spon ondi dien ente tes s a las las impedancias que integran las ramas serie y cruzada del láttice ZA ( s )

=

4s s

2

+

2

ZB ( s )

=

2s s

2

+1

+

2s s

2

+

3


y la red sugerida por este par de ecuaciones es la indicada en la fig(9.7) 2 1/4 2

2/3

1/2

1/2

fig (9.7)

La mayor desventaja de esta estructura es la e xcesiva cantidad de componentes que requiere (una docena en nuestro ejemplo). Como contrapartida, lo realmente destacable es la simplicidad de su proceso de síntesis que resulta totalmente sistemático. Hemos visto oportunam oportunamente ente como en ocasiones ocasiones es posible posible transformar transformar un cuadripol cuadripolo o láttice láttice simétr simétrico ico en una red equiv equivale alente nte pero pero desbal desbalanc ancead eada a y entonc entonces es podrí podríamos amos aprove aprovecha charr la simplicidad operativa operativa asociada a la síntesis de redes balanceadas para obtener luego, a partir de su transf transform ormaci ación ón en desbal desbalanc ancead eada, a, el consig consigui uient ente e ahorr ahorro o de compon component entes es y por ende ende su simplicidad circuital. El siguiente ejemplo ilustra lo comentado Problema 9.2 Sintetice un cuadripolo que satisfaga simultáneamente el siguiente par de parámetros admitancia 1

− Y21 ( s ) =

+

2s5

+

3s3

s

Y11 ( s )

=

Y22 ( s )

+ 8s2 + 1 2s5 + 3s3 + s 8s4

=

Expandiendo en fracciones parciales resulta

− Y21 ( s ) =

1 s

+

s 2

s

+1

−

2s 2

s

+ 12

Y11 ( s )

=

Y22 ( s )

=

1 s

+

s 2

s

+1

+

2s 2

s

+ 12

Como vemos se trata de un juego de parámetros admitancia que caracterizan a un cuadripolo LC simétrico y caracterizado por polos compactos, de modo que si adoptamos un láttice simétrico para sintetizar este juego de parámetros la red balanceada quedará integrada por YA ( s)

=

Y11 ( s ) -Y21 ( s) =

2 s

+

2s s2

+1

YB ( s )

=

Y11 ( s ) +Y21 ( s) =

4s 2

s

+ 12

Este Este último último par de ecuaci ecuacione ones s sugier sugieren en la red indicad indicada a en la fig(9. fig(9.8a) 8a) y si acto acto seguid seguido o las transformamos a impedancias obtendremos los correspondientes dipolos que integran otra red equivalente y balanceada como la indicada en la fig(9.8b) 1

s + 1) 1 8 ZA ( s) = = s + 1 4s2 + 2 4 s2 + s ( s2

2

ZB ( s)

=

1 2 = 1 s+ 1 4s 4 8s

s2

+


1/2

1/4 1/4

1/2

2

1/4

8 1/4

8

fig (9.8a)

8

fig (9.8b)

A partir partir de la red indicad indicada a en la fig(9. fig(9.8b) 8b) y record recordand ando o el mecani mecanismo smo que nos permit permitía ía la transformación de una red b alanceada en otra equivalente pero desbalanceada mediante remoción de impedancias y admitancias comunes a sus ramas serie y derivada es posible obtener la red indicada en la fig(9.8c) integrada tan solo por cinco elementos reactivos

Z A1

=

ZA

−

1 s s= 8 1 4 s2 + 2 1

YA1

=

8s +

ZB1

4

=

YB1

s

1/4

1/2

ZB

=

−

1 4

s=

1 8s

8s

1/4

8

8

fig (9.8c)

Otra alternativa para resolver el problema planteado surge de la observación del par de admitancias que debe satisfacer nuestro cuadripolo reactivo. Se observa que la admitancia de transferencia no es FRP y además que todos sus ceros están ligados a las altas frecuencias mientras que la admitancia de excitación apenas si posee un cero en dicho extremo de banda. Desde el momento que que las las únic únicas as func funcio ione nes s que que sabe sabemo mos s sint sintet etiz izar ar medi median ante te dipo dipolo los s pasi pasivo vos s son son las las FRP FRP intentaremos la síntesis del cuadripolo desde su entrada y a través de su admitancia de excitación Y11 pero preocupándonos por satisfacer el cero de quinto orden que caracteriza a su admitancia de transferencia Y12 en alta frecuencia. En otras palabras le aplicaremos el método de Cauer I a la inversa de Y11 obteniendo como resultado de ello la siguiente expansión en fracciones continuas que sugiere como solución un cuadripolo escalera coincidente con el indicado en la fig(9.8c) 1 Y11

=

+ 3s3 + s = 8s4 + 8s2 + 1

2s 2s5

1 4

1

s+ 8s +

1 1 s+ 2

1 8s +

1 1 s 4


El problema de la síntesis de transferencias de tensiòn en vacío no ofrece mayor dificultad ya que es una reiteración de lo hecho con anterioridad. De todos modos lo ilustraremos practicamente resolviendo el siguiente problema Problema 9.3 Sintetizar la siguiente función transferencia de tensiones en vacío mediante un cuadripolo simétrico y balanceado. T21 (s)

V2

=

V1

= I2 = 0

K (s2 2

(s

+

9)

+ 1) (s + 2

4)

Como se trata de una transferencia de tensiones en vacío podemos escribir V2 V1

=

K (s2 2

(s

+

9)

+ 1) (s + 2

4)

=

Z21 Z11

=

− Y21 Y22

Esta última expresión nos pone de manifiesto que podemos realizar la síntesis del cuadripolo a partir de los parámetros Y o utilizando los parámetros Z y sintetizando el cuadripolo desde su salida o desde su entrada respectivamente. Desde el momento que las funciones de excitación son inexorablemente FRP y atento a lo que sugiere la última expresión esto no ocurre, debemos, previo a la tarea de síntesis, completar la definición de la función de excitación. Para ello dividiremos tanto el polinomio numerador como el denominador que definen a la función transferencia propuesta por un polinomio auxiliar caracterizado por raíces imaginarias conjugadas pero intercaladas entre las raíces del polinomio denominador de la mencionada función transferencia. Este proceso no altera la transferencia a sintetizar y completa como FRP el modelo matemático de la función de excitación. Supongamos que para completar la definición de los parámetros Z adoptamos el siguiente polinomio auxiliar A(s) A ( s) = s ( s2 + 2 ) Dividiendo ahora ambos polinomios numerador y denominador de la transferencia por este polinomio auxiliar resulta (s2 + 9) K s ( s2 + 2) V2 Z = 21 = 2 2 V1 Z11 (s + 1) (s + 4) s ( s2

+ 2)

Esta última expresión nos permite construir el diagrama polos-ceros correspondiente Z11 y Z21 indicado en la fig(9.9) en el cual se constata como Z11 resulta una función FRP mientras que no ocurre lo propio con Z21


T21 1

2

3

∞

Z21 ∞

2

Z11 ∞

2

fig (9.9)

Si decidimos sintetizar la transferencia mediante un láttice simétrico debemos recordar las expresiones que vinculan los parámetros Z con las impedancias que integran la red puente y que están dadas por 1 1 Z11 = (ZB + ZA ) Z21 = (ZB − ZA ) 2 2 O sea que la relación que vincula directamente la función transferencia de tensiones con las impedancias del láttice es ZB − ZA K (s2 + 9) = 2 2 ZB + ZA (s + 1) (s + 4) O también

+ 9) s ( s2 + 2 ) (s2 + 1) (s2 + 4) s ( s2 + 2 ) (s2

K

=

− ZB + ZB

ZA ZA

De donde Z21 ( s)

=

K

+ 9) 2 s (s + 2) (s2

Z11 ( s)

=

(s2

+ 1) (s2 + 4) s (s2 + 2)

Si a continuación expandimos en fracciones parciales ambas impedancias resultará

k Z21 = K  0 +  s

Z11(s) =

k'0 s

+

= 2 s + 2  2k1s

2k1' s 2

s

+

2

+

9  K 2 − s 

k'∞ s =

2 s

+

 2   2 s + 2  7

s

s 2

s

+

2

+

s

Las impedancias ZA y ZB que integran el láttice las podremos evaluar mediante


ZA

ZB

=

=

Z11 − Z21

Z11 + Z21

=

(2 −

9 7 K) (1 + K)s 2 + 22 s s + 2

(2 +

=

9 2 s

K)

+

(1 − s2

7 2

+

K) 2

+

+

s

s

Desde el momento que este par de impedancias deben ser FRP adoptaremos la constante K de modo tal de satisfacer el siguiente par de inecuaciones: 2−

9

K

2 7 1- K 2

≥

0

⇒

K

≤

≥

0

⇒

K

≤

4 9 2 7

Si adoptamos K=2/7 además de lograr que las impedancias Z A y ZB resulten FRP podremos ahorrarnos cuatro elementos y en estas circunstancias las expresiones representativas de las impedancias ZA y ZB que integran el láttice serán: ZA

=

57 s

+

2s s

2

+

2

+

s

ZB

=

23 7 s

+

s

Finalmente en la fig(9.10) se muestra uno de los tantos cuadripolos que resuelven la transferencia planteada 1 1

7/5

1/2 1

7/23

fig (9.10)

Un comentario acerca de la constante K. Este valor constante e independiente de la frecuencia es utilizado para fijar el nivel requerido de la función transferencia. Como hemos decidido implementar la función transferencia mediante elementos pasivos es imposible lograr para su módulo un valor mayor a 0dB. En otras palabras y en este caso puntual el máximo valor de K será de 4/9 resultando mayor que el suministrado por la red que acabamos de sintetizar y que resultó igual a 2/7. Finalmente, si bien es cierto que para realizar el proceso de síntesis hemos optado por los parámetros impedancia no tendríamos que encontrar dificultad alguna si decidimos operar con los parámetros admitancia.

9.3.2

Síntesis de transferencias en vacío mediante cuadripolos LC desbalanceados

Hasta el momento realizamos la síntesis de una función transferencia mediante redes simétricas y balanceadas a continuación presentaremos otros métodos de síntesis de transferencias caracterizadas por poseer polos y ceros sobre el eje imaginario circunstancia que nos conducirá intuitivamente a los procesos de síntesis de cuadripolos reactivos puros configurados en escalera o C:\Documents and Settings\usuario\Configuración local\Temp\15b sintesis LC_02.doc 8 de 52

sea redes desbalanceadas y asimétricas. Pero antes de atacar los métodos de síntesis propiamente dichos haremos algunos comentarios genéricos relativos a las redes escalera. En la fig(9.11) se ilustra con total generalidad este tipo de configuración.

Z1

Z3

Z2

Z5

Z4

fig (9.11)

Es sencillo imaginar el temperamento de este tipo de estructura para generar ceros de transferencia. Supongamos que a una cierta frecuencia f 1 se desea que la transferencia de tensiones T(s) se anule totalmente, o sea: T ( jω 1 )

=

V2 ( jω 1 ) V1(jω 1 )

=

0

(9.14)

I2 = 0

Una red escalera tiene dos posibilidades de satisfacer la (9.14), o bien presentando a la frecuencia f 1 un polo de impedancia (apertura de una rama serie de la escalera) o bien exhibiendo a esa misma frecuencia un polo de admitancia (cortocircuito de una rama derivada). No existe por parte de estas redes otra posibilidad y por lo tanto mediante tanques LC en serie o ramas LC serie conectadas en derivación generaremos los ceros finitos de transmisión o de transferencia. En la fig(9.12) se ilustra una red escalera caracterizada por poseer ceros de transferencia en ω0=0; ω1=2πf 1 ; ω2=2πf 2 y ω → ∞ C’o

L1

L2 C2

C∞

C1

fig (9.12)

El capacitor C0 es el elemento responsable del cero de transmisión en corriente continua a través del polo asociado a su función impedancia. La rama derivada L1C1 genera un cero de transferencia a la frecuencia f 1 mediante un polo de admitancia; mientras que el tanque L2C2 hace lo propio a la frecuencia f 2 pero mediante un polo de impedancia. Finalmente el capacitor C∞ genera el cero de transmisión en alta frecuencia a través del polo asociado a su función admitancia. Por supuesto que un cero de transmisión en alta frecuencia también se lo puede generar mediante la incorporación de un inductor serie del mismo modo que un cero de transmisión en corriente continua estará ligado a la presencia de un inductor derivado. En lo posible trataremos de evitar, por razones obvias, la generación de ceros da transmisión utilizando inductores.


Antes de ocuparnos de los métodos de síntesis de redes escalera haremos un breve recordatorio de lo comentado oportunamente al tratar la teoría de cuadripolos lineales y que facilitará la interpretación de los procesos inherentes a la síntesis de transferencias mediante estructuras desbalanceadas. •

Condiciones de realizabilidad de funciones transferencia

En primer término recordemos que habíamos caracterizado un cuadripolo lineal a través de cuatro parámetros definidos en condiciones extremas de carga (vacío o cortocircuito). Por razones de comodidad elegiremos los parámetros Z e Y para llevar a cabo nuestras tareas de síntesis y entonces si un cuadripolo es reciproco se verificará que Z12=Z21 mientras que si es simétrico satisfará Z11=Z22. Por otra parte recordemos que todos los polos asociados a las impedancias de transferencia Z12=Z21 estarán presentes en las impedancias de excitación Z11 y Z22 mientras que la recíproca no es válida y puede ocurrir que Z11 o Z22 estén caracterizadas por poseer “polos privados” o sea polos exclusivos de estas impedancias y que no se encontrarán por tanto presentes en las impedancias de transferencia Z12=Z21. Desde el momento que los parámetros Z11 y Z 22 son funciones de excitación y por tanto FRP sus residuos serán siempre cantidades reales y positivas. Respecto del parámetro Z 12 = Z21 veremos como en la mayoría de los casos la función racional que los define no es FRP y por consiguiente sus residuos pueden estar dados por cantidades reales y negativas. Sin embargo para que la red resulte físicamente realizable deberá verificarse en los polos comunes a Z11, Z22 y Z12 = Z21 el estricto cumplimiento de la condición de residuo dada por la expresión (9.15) k11k 22

−

k12k 21

≥

0

(9.15)

En la (9.15) K11 representa el residuo de la impedancia Z11 en el polo común a los tres parámetros (Z11, Z 22 y Z12 = Z 21). Análoga consideración vale para K12= K21 y K22 pero haciendo referencia a las impedancias Z12 = Z21 y Z22 respectivamente. En el caso extremo que la (9.15) se transforme en una igualdad, los polos se conocen como “compactos”. Es más, si para una red determinada se verifica la desigualdad (9.15) veremos cómo es posible, retirando en forma controlada el exceso de residuo, forzar a que esta última desigualdad se transforme en una igualdad. Es mediante la aplicación de este criterio que se puede transformar una red que originalmente no es compacta en otra que sí lo sea. Ya hemos trabajado con redes compactas LC y mas adelante analizaremos con mayor profundidad la ventaja de trabajar con redes de este tipo al ocuparnos de la síntesis de cuadripolos RC. Finalmente recordemos que los coeficiente que afectan a la variable compleja en las funciones racionales que caracterizan a Z11 y Z22 deben ser iguales o mayores que sus homónimos en los modelos matemáticos que definen sus impedancias de transferencia Z21=Z12. Esta es otra condición de realizabilidad conocida como condición de coeficiente. Todo lo dicho sobre los parámetros impedancia en relación a las condiciones de realizabilidad podemos hacerlo extensible a los parámetros admitancia y habiendo recordado estas propiedades podemos atacar ahora los métodos de síntesis de funciones transferencia mediante redes desbalanceadas. Concretamente nos ocuparemos de la síntesis de funciones transferencia caracterizadas por poseer polos y ceros imaginarios conjugados mediante cuadripolos reactivos puros pero estructurados como escalera.

Síntesis de transferencias en vacío mediante redes escalera LC Vamos a ir presentando a continuación los diversos métodos de síntesis de transferencias a través de sencillos ejemplos numéricos y respetando la siguiente secuencia: A. En primer término resolveremos el problema haciendo uso del método de las remociones gráficas que fuera desarrollado oportunamente al tratar el tema de la síntesis de dipolos y C:\Documents and Settings\usuario\Configuración local\Temp\15b sintesis LC_02.doc 10 de 52

en base al cual queda unívocamente determinada la estructura de la red que resuelve el problema. B. A continuación y respetando los pasos sugeridos por el gráfico determinaremos en forma analítica el valor de todos y cada uno de los componentes que integran la red. C. Finalmente y haciendo uso de alguna herramienta de análisis verificaremos si la red así obtenida satisface plenamente la función transferencia propuesta. Por supuesto que resolveremos minuciosamente un problema tipo y dejaremos que el lector, sobre esta base, tenga la oportunidad de practicar optando por otras alternativas y variantes que indudablemente enriquecerán sus aptitudes en el manejo de las herramientas asociadas a la síntesis de redes. Problema 9.4 Sintetizar un cuadripolo que satisfaga simultáneamente el siguiente juego de parámetros impedancia: s4 + 34s2 + 225 s4 + 5s2 + 4 Z11 = Z21 = s3 + 16s s3 + 16s Factoreando los polinomios que definen las impedancias del cuadripolo a sintetizar en sus raíces, resulta

( s2 + 9 ) ( s2 + 25 ) Z11 = s ( s2 + 16 )

( s2 + 1) ( s2 + 4 ) Z21 = s ( s2 + 16 )

El proceso de síntesis consistirá en implementar un cuadripolo desde su entrada ya que conocemos Z11(s) y durante el transcurso de la síntesis de Z 11(s) obligar a esta función a satisfacer los ceros que caracterizan a Z21(s) y que no se encuentren en la función de excitación. Nótese como la impedancia de transferencia no es FRP. Método gráfico 1. Se comienza diagramando los polos y ceros que caracterizan a la impedancia de transferencia Z21(s) adoptando una representación horizontal para el eje imaginario jω. Por simplicidad operativa solo consideraremos el semieje imaginario positivo, pero a los efectos de los cálculos de los residuos deberemos involucrar las singularidades a la largo de todo el eje imaginario. 2. Luego se hace lo propio con los polos y ceros de Z11(s). 3. Se inicia la síntesis a partir de Z 11(s) y obligando a que esta satisfaga los ceros requeridos por Z21(s). Por este motivo comenzamos removiendo parcialmente el polo que posee Z 11(s) en continua y regulamos esta remoción de forma tal de desplazar el cero finito ubicado en s=j3 hasta ubicarlo en s=j2 satisfaciendo de este modo uno de los ceros finitos de Z21(s). Como consecuencia de este proceso hemos generado una cierta impedancia residual Z2(s) caracterizada por un cero en s=j2. 4. Invertimos la impedancia Z2(s) con el objeto de remover totalmente y como polo de admitancia, el conjunto de elementos asociados al cero generado en el paso anterior. 5. Como resultado de la remoción total del polo finito de Y 2(s) en s=j2 se obtiene la admitancia residual Y4(s). 6. Debemos a continuación generar el otro cero finito de Z21 para lo cual invertimos la admitancia Y4(s) con el objeto de tener disponible un cero finito. 7. Removemos parcialmente el polo que posee Z4(s) en corriente continua y regulamos su remoción de modo tal de desplazar el cero finito y llevarlo hasta la posición s=j1 satisfaciendo de esta forma el segundo y último cero requerido por Z 21(s) y obteniendo la impedancia residual Z6(s). 8. Invertimos la impedancia Z6(s) y obtenemos la admitancia Y6(s) C:\Documents and Settings\usuario\Configuración local\Temp\15b sintesis LC_02.doc 11 de 52

9.

Removemos totalmente el polo de Y6(s) en s=j1 obteniendo la admitancia residual Y7(s) que resulta nula para todo ω. Esta última circunstancia es indicativa de la finalización del proceso de síntesis.

La estructura de la red, sugerida por el conjunto de remociones gráficas que acabamos de comentar y que se muestran en la fig(9.13a), es la indicada en la fig(9.13b)

Z21 1

2

4

5

Z11 3

∞ ∞

4

Z2 1

2

Y2 2

∞

∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

4

Y4 Z4 Z6 1

Y6 Y8 fig (9.13a)

C1

Z11

Z2/Y2

C3

L2

L4

C2

C4

Y4/Z4

Z6/Y6

fig (9.13b)

Algunos comentarios C:\Documents and Settings\usuario\Configuración local\Temp\15b sintesis LC_02.doc 12 de 52

La presencia del capacitor C1 es una consecuencia de la remoción parcial del polo que posee Z11(s) en corriente continua. Z2(s) posee un cero en s=j2 y por lo tanto Y2(s) está caracterizada por un polo a esa frecuencia y al removerlo totalmente aparecerá la serie L2C2 resonante en ω = 2 que genera el primer cero de Z21(s). De acá en adelante el proceso se reitera. Obsérvese que al no ser Z21(s) una FRP no se la puede identificar en la red como ocurría en el caso de la simple estructura T. Solución analítica: En esta etapa y respetando lo sugerido por el método gráfico, hallaremos el valor de todos y cada uno de los componentes que integran la red. El punto de partida es la función de excitación

( s2 + 9 ) ( s2 + 25) Z11 = s ( s2 + 16 ) A la impedancia Z11 le removemos parcialmente el polo que posee en corriente continua controlando la cantidad de residuo k’0 que retiramos de modo tal que la impedancia residual Z2(s) resulte caracterizada por un cero en s=j2 en total coincidencia con uno de los dos ceros requeridos por la impedancia de transferencia Z21(s) Z2

=

Z11

−

k 0′ s

y atento a lo comentado el valor de k’0 surgirá del cumplimiento de la siguiente igualdad Z2 (j2)=0 de donde k0 = j2 Z11(j2)=35/4 Consecuentemente la expresión representativa de la impedancia residual Z2(s) resultará

( s2 + 9 ) ( s2 + 25 ) Z2 = − s ( s2 + 16 )

Z2

Z2

=

s4

35 4 s

101 2 s + 85 4 s ( s2 + 16 )

+

( s2 + 4 ) ( s2 + 85 4) = s ( s2 + 16 )

Como se observa Z2(s) exhibe un cero en ω=2. Invertimos a continuación esta impedancia residual obteniendo Y2

=

s ( s2

+

16 )

( s2 + 4 ) ( s 2 +

85 / 4 )


Le removemos totalmente a Y2(s) el polo que la caracteriza en s=j2. El conjunto de elementos responsable de este polo de admitancia genera el primer cero de Z21(s) y la admitancia residual Y4(s) será de la forma 2k s 16 Y4 = Y2 − 2 1 con 2k1 = 23 s + 4 Reemplazando el valor de este residuo resulta 16

Y4

=

s 23 s2 + 4

−

Y2

De esta última expresión surgen los valores de los elementos que integran la rama LC derivada y que genera el primer cero finito de transmisión para ω=2 L2

=

23 16

y

C2

=

4 23

Con el objeto de generar el segundo cero de Z 21(s) invertimos la admitancia Y4(s) y le removemos parcialmente, a la impedancia Z4(s) así obtenida, el polo que la caracteriza en corriente continua. Regularemos la remoción de dicha singularidad de modo tal de desplazar el cero finito de Z 4(s) hasta posicionarlo en s=j1 obteniendo la impedancia residual Z6(s).

Y4

Y4

Z4 ( j1)

= −j

=

7 3 28 s + s 23 23 ( s2 + 4 ) ( s2 + 85 4 )

=

7 s ( s2 + 4 ) 23 2 ( s + 4 ) ( s2 + 85 4 )

Z4

=

Z6

=

81/ 4 7 / 23

s2

+

Z4

−

= −j

C3

6=

Z4

−

Z4 ( j1) =

Z4 ( j1) 1863 28

1 28

= j

1863

28

=

s2 Z

85 / 4 7 s 23

1863

+ 7

23

85 4 s

−

1 28 1863

= s

s2 + 1 7 s 23


Hemos generado así el segundo y último cero requerido por Z21(s) y ahora debemos remover como polo de Y6(s) el conjunto de elementos que generan dicha singularidad en s=j1 7

Y6

=

s 23 s2 + 1

De esta última expresión surgen los valores de los elementos que integran la rama LC derivada y que genera el segundo cero f inito de transmisión en ω=1 L4

=

23 7

y

C4

=

7 23

La admitancia residual resulta ahora nula para todo ω lo cual es indicativo que el proceso de síntesis ha finalizado y la red que resuelve el problema planteado es la indicada en la fig(9.14)

4/35

28/1863

23/16

23/7

4/23

7/23

fig (9.14)

Hemos sintetizado el cuadripolo a través de su impedancia de excitación de entrada Z11 respetando a lo largo del proceso de síntesis lo requerido por la impedancia de transferencia Z 21 y hemos obtenido como solución la red indicada en la fig(9.14). Verifiquemos si realmente la impedancia de transferencia de esta red coincide con la requerida. Para ello evaluaremos la Z21 correspondiente a la red y la compararemos con la expresión de Z21 sugerida por el modelo de partida. La red tiene el aspecto genérico indicado en la fig(9.15a) y si normalizamos el nivel de impedancia de estos componentes para facilitar el cálculo de Z21 asumiendo como norma de impedancia Z=23/7 resulta la red indicada en la fig(9.15b) cuya impedancia de transferencia podemos evaluarla mediante ? 4/81

ZA

ZC ?

ZB

?

ZD 1/4

fig (9.15a)

16/7

fig (9.15b)


Z21N

Z21N

=

=

ZB ZD ZB

+

ZC

+

ZD

=

7  s2 + 4   s2 + 1    16  s   s 

 s 2 + 4    + 16  s 

7 ( s2

+ 4) ( s2 + 1) 23s ( s2 + 16)

+1

s2

7

s

81 4

+

s

( s2 + 4) ( s2 + 1) Z21(s) = s ( s2 + 16 )

⇒

El resultado corrobora la exactitud con la que se ha realizado el proceso de síntesis. En realidad no hace falta complicarse la vida de esta forma ya que si evaluamos la impedancia de transferencia asociada a la red en baja frecuencia y comparamos este resultado con el sugerido por el modelo matemático de Z21 para s→0 tendremos inmediatamente, por comparación de ambos resultados, la certeza o no del proceso de síntesis. En nuestro caso y del análisis el modelo para s→0 resulta

( s2 + 1) ( s2 + 4) = lim Z21 ( s) = lim s→ ∞ s→ ∞ s ( s2 + 16 )

lim

s→

∞

1 4s

Mientras que de la observación de la red en baja frecuencia resulta 1 2

Z21 ( 0)

s CB CD 1 1

=

sCB

Z21 ( 0 )

=

+

sCC

+

1 sCD

=

1

 

s  CD

1

 7 +  23

s

4 81 +   23 23 

+

= s

CB

1 92

=

+

CB CD CC

  

1 4s

23

Como vemos tiende a comportarse como un capacitor normalizado de valor 4 exactamente como lo requería el modelo. Haremos un último comentario relacionado con el modo natural de oscilación de la red hallada y los polos asociados a los modelos matemáticos que la originaron. Para evaluar el modo natural de oscilación de la red determinaremos los valores de L serie y Cserie asociados al cuadripolo o sea 1 Cserie

=

23 4

+

23 7

=

23x81 28

Lserie

=

23 16

+

23 7

=

232 112

Estos componentes resuenan a una frecuencia que por definición constituye el modo natural de oscilación de la red o sea 1 ω natural = = 4 CserieLserie


que como vemos coincide la pulsación que identifica el polo finito común a Z11 y Z21. A los efectos de reforzar la metodología expuesta resolveremos otro problema pero sin la minuciosidad con la que fue tratado el anterior. Problema 9.5 Sintetizar un cuadripolo que satisfaga simultáneamente el siguiente juego de parámetros admitancia: 12s4 + 19s2 + 4 4s4 + 17s2 + 4 Y11 = − Y12 = 7s3 + 5s 7s3 + 5s Factoreando los polinomios que definen las impedancias del cuadripolo a sintetizar en sus raíces, resulta ( 4s2 + 1) ( 3s2 + 4) ( 4s2 + 1) ( s2 + 4) Y11 = − Y21 = s ( 7s2 + 5 ) s ( 7s2 + 5 ) El proceso de síntesis consistirá en implementar un cuadripolo desde su entrada ya que conocemos Y11(s) y durante el transcurso de la síntesis de Y 11(s) obligar a esta función a satisfacer los ceros que caracterizan a Y21(s) y que no se encuentren en la función de excitación. Nótese como en este caso la impedancia de transferencia también es FRP. En la fig(9.16a) se ilustra el proceso gráfico de remociones del cual se deduce el proceso analítico que en última instancia sugiere como solución la red indicada en la fig(9.16b)


-Y12 1/2

∞

2

5/ 7

Y11 1/2

∞ ∞

4/3

Z1 1/2

Z3

∞ ∞ ∞ ∞ ∞

Y3 Y4 Z4 2

Z5 fig (9.16a)

Z1

Z3

Y4

=

=

1

=

Y11

−

Y4

+ 5) ( 4s2 + 1) ( 3s2 + 4)

=

2k1s

Z1 −

Y3

s ( 7s2

2

s

+14

=

Z1 −

Y4 ( j2)

k∞ s

=

Y3

−

2s =

Z4

=

2

s2

+

=

0

4

s

s s

+

4

1 4

1 s 4 s2 + 1 4

1/4

2

1

fig (9.16b)

El problema de la verificación es simple ya que se reduce al cálculo de la admitancia de transferencia asociada a la red obtenida, que en este caso está dada por C:\Documents and Settings\usuario\Configuración local\Temp\15b sintesis LC_02.doc 18 de 52

 4s + 1   s + 4     s s    − Y21 = 5 5s + + 2s

2 ( 4s + 1) ( s2 + 4) = s ( 7s2 + 5 )

s Para calcular el modo natural de oscilación de la red cortocircuitamos los terminales de entrada y salida y evaluamos Cparalelo y Lparalelo resultando

Cparalelo

=

7

Lparalelo

1

=

ω natural =

⇒

5

1 CparaleloLparalelo

=

5 7

El lector extraerá sus propias conclusiones en relación con los resultados obtenidos y las herramientas empleadas para su verificación. Hasta el momento ilustramos la síntesis de un cuadripolo a partir del conocimiento de un par de parámetros pero si nos requirieran la síntesis del mismo a partir de alguna de las funciones transferencia que habitualmente se utilizan para caracterizarlo el procedimiento de síntesis transitaría exactamente por los mismos carriles tal como se ilustra a continuación. Problema 9.6 Sintetizar un cuadripolo que satisfaga la siguiente transferencia de tensiones en vacío. T ( s)

=

V2 V1

=

K

s4

+

s

I2 = 0

4

+ 225 + 4s + 3

34s2

2

Comenzamos factoreando los polinomios, numerador y denominador de la transferencia a los efectos de verificar la ubicación de sus polos y ceros

( s2 + 4) ( s2 + 9) T ( s) = =K 2 V1 I = 0 ( s + 1) ( s2 + 3) V2

2

Recordando la relación existente entre la transferencia de tensiones en vacío que suministra un cuadripolo y sus respectivos parámetros Z e Y surgen un par de alternativas de síntesis. Una posibilidad consistiría en sintetizar la transferencia dada a partir de la entrada del cuadripolo, la otra hacer lo propio pero desde el extremo de carga y hacia el generador V

2

V1

= I2 = 0

Z

21

Z11

= −

Y

21

Y22

Si adoptamos para la síntesis una red escalera y recordamos que los ceros de transmisión son generados por polos de impedancia (apertura de ramas serie) o por polos de admitancia (cortocircuitos de ramas derivadas) es posible asumir un criterio u otro e inclusive una mezcla de ambos lo que en consecuencia dará lugar a diferentes arreglos circuitales como solución a un mismo problema. Por otra parte y observando la última expresión, se desprende que también es posible generar ceros de transferencia a través de polos privados de Z11(s) o de Y22(s). Trataremos de ilustrar estas alternativas resolviendo el problema planteado.


Ceros de transmisión generados mediante polos de admitancia Supongamos en primer término que optamos por relacionar la función transferencia dada con los parámetros Z del cuadripolo que en definitiva resolverá nuestro problema, o sea. T21 ( s )

=

K

( s2 + 4 ) ( s2 + 9 ) ( s2 + 1) ( s2 + 3 )

=

Z21 Z11

Grafiquemos la configuración polos-ceros de T21(s) tal como lo muestra la fig(9.17):

T21 1

3 2

3

∞

fig (9.17)

Según lo sugerido por la última igualdad la misma configuración polos-ceros debiera obtenerse efectuando el “cociente” entre los diagramas polos-ceros correspondientes a las funciones Z21(s) y Z11(s) respectivamente. Invirtiendo esta línea de razonamiento podríamos decir que repartiendo los polos y ceros de T 21(s) entre las impedancias Z 21(s) y Z11(s) obtendríamos indudablemente varias configuraciones polos-ceros como representativas de este par de impedancias y un posible arreglo sería el indicado en la fig(9.18):

Z21 2

3

Z11 1

∞ ∞

3

fig (9.18)

Como vemos, los ceros de T 21(s) se han constituido en ceros de Z 21(s) mientras que los polos de T21(s) se han consolidado como ceros de Z11(s) y el cociente gráfico de Z 21(s) a Z11(s) reproduce la configuración polos-ceros de T21(s). No debemos olvidar que Z11(s) es una FRP y por tanto debe cumplir, entre otros requisitos, con la condición de alternancia de polos-ceros sobre el eje j ω y justamente para satisfacer este requisito debemos completar su definición pero sin alterar la transferencia T 21(s). La alternativa mas simple consiste en agregar polos a Z11(s) alternando entre sus ceros y esos mismos polos adjudicárselos a Z21(s). De este modo no se alterará la función transferencia T21(s) y simultáneamente Z11(s) resultará una FRP. Supongamos que agregamos un polo en ω = 0 y otro entre ω = 1 y ω = 3 que por comodidad lo ubicamos en ω = 2 resultando las gráficas polos-ceros de la fig(9.19):

Z21 2

2

Z11 1

3

∞ ∞

3

fig (9.19)


Ahora Z11(s) es FRP tipo LC y podremos sintetizar el cuadripolo desde su entrada como si se tratara de la impedancia correspondiente a un simple dipolo, salvo que durante el proceso de síntesis de Z11(s) debemos cuidarnos de satisfacer los dos ceros finitos que caracterizan a Z21(s) y no están presentes en la definición de Z11(s). Desde el punto de vista algebraico lo que hemos hecho fue simplemente dividir el numerador y denominador que definen T 21(s) por un cierto polinomio auxiliar A(s) cuyas raíces están ubicadas sobre el eje imaginario y alternan con los polos de T21(s). En este caso hemos adoptado como polinomio auxiliar A(s)=s(s2+2) o sea K (s2 + 4 ) (s2 + 9 ) T21 ( s)

=

A(s) (s2 + 1 ) (s2 + 3 )

=

Z21 Z11

A(s)

las impedancias Z21(s) y Z11(s) resultarán definidas mediante Z21(s)

=

(s2

+

4)(s2

s(s2

+

+

2)

9)

Z11(s)

=

(s2

+ 1)(s2 + 3) s(s2 + 2)

Evidentemente que estamos en las mismas condiciones del problema anterior y por tanto la metodología de síntesis será la misma. En primer término resolveremos el problema gráficamente y a partir de este proceso dispondremos no sólo de la estructura de nuestro cuadripolo sino de la naturaleza, en este caso una obviedad, de los componentes que lo integran. Luego y siguiendo las sugerencias del método gráfico lo resolveremos en forma analítica obteniendo en definitiva el valor de los componentes que integran la red, completando de esta forma el proceso de síntesis. Método gráfico En la fig(9.20) se indican las sucesivas remociones gráficas efectuadas sobre la función de excitación Z11 con el ánimo de generar en primer término los ceros requeridos por la función de transferencia Z21 y acto seguido su correspondiente implementación. No haremos mayores comentarios sobre el particular ya que la simple observación de la secuencia indicada en la fig(9.20) conduce a la estructura de la red que sintetiza la transferencia propuesta.


Z21 1

2

2

∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

3

Z11 1

3

Z2 2

Y2 2

Y4 Z4 Z6 3

Y6 3

Y7

∞ fig (9.20)

Solución analítica A los efectos de completar la tarea de síntesis partiremos de la impedancia de excitación Z 11 y operaremos sobre ella en un todo de acuerdo a lo sugerido por el proceso gráfico. (s2

=

Z11

+

+

1)(s2 2

s (s

+

3)

2)

Comenzamos efectuando una remoción parcial del polo que posee la función de excitación en alta frecuencias de modo que la impedancia residual Z2(s) resulte caracterizada por un cero en s=j2 Z2 k '∞

=

Z2

Z2

=

5 8

=

Z11

−

k '∞ s

Z11 ( j2) j 2

=

Z11

(s2

+

−

3

= 3 8

8

s

4)(s 2

s (s2

+

+

6 ) 5

2)


Verificado que la impedancia Z2(s) posee un cero en s=j2 invertimos la función y removemos totalmente el conjunto de elementos responsables del polo asociado a la admitancia Y2(s) en s=j2 obteniendo la admitancia residual Y4(s)

=

Y2

Y4

=

Y2

−

=

Y2

−

5

2

s

+

s

+

+

2)

+

4) (s2

6 5

)

⇒

4 s

7 2

+

(s2

2K 1 s 8

Y4

s (s2

8

2k1 Y4

⇒

=

=

16

8 7 s

35 

2 s + 

4

6 



5 

Debemos ahora generar el segundo cero de transmisión en s=j3, para lo cual comenzamos invirtiendo la admitancia Y4(s) y removiendo parcialmente el polo de impedancia que posee Z4(s) en altas frecuencias  s2 + 6    5  35  Z4 = 16 s

Z6

=

Z4

−

Z6

k ''∞ s

=

Z4

91

−

Z6

48

=

s

7 24

=

s+

Z4 ( j3)

k''∞

=

7

( s2 + 9 )

24

s

j3

=

91 48

63 24s

Verificada la correcta generación de este cero sólo resta implementarlo. En la fig(9.21) se ilustra un cuadripolo que satisface la transferencia propuesta.

3/8

91/48 7/8

7/24

2/7

24/63

fig (9.21)

•

Ceros de transmisión generados mediante polos de impedancia.


Consideremos la expresión de T21(s) y vinculémosla como lo hicimos anteriormente con los parámetros Z del cuadripolo a sintetizar, o sea:

=

T21 ( s )

K

( s2 + 4 ) ( s2 + 9 ) ( s2 + 1) ( s2 + 3 )

=

Z21 Z11

Para resolver nuestro problema y atento a lo anteriormente comentado comenzaremos adoptando un polinomio auxiliar A(s) de modo que Z11(s) resulte FRP. Por ejemplo adoptemos A(s)=s(s 2+2) (s2+5). Si ahora dividimos los polinomios numerador y denominador que caracterizan la función transferencia por este polinomio auxiliar, quedaran definidos los parámetros Z 21(s) y Z11(s) que intervendrán en el proceso de síntesis: Z21 ( s )

=

K

(s2

+

s ( s2

4)(s2

+

9)

Z11 ( s )

+ 2) ( s2 + 5)

=

+ 1)(s2 + 3 ) s ( s2 + 2) ( s2 + 5 ) (s2

Método gráfico En la fig(9.22a) se ilustra el conjunto de remociones gráficas realizadas con el objeto de sintetizar la red. Mientras que en la fig(9.22b) se indica la estructura resultante de este p roceso

Z21 1

2

2

5

3

Z11 1

3

1

3

5

Y1 Y3 2

Z3 Z5

3

Y5 Y7 2

Z7 Z9

3

∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

fig (9.22a)


32/153

81/272

17/32 17/12

68/81

7/12

68/51

fig (9.22b)

De la estructura obtenida se observa como los dos ceros finitos de transmisión resultan generados por la apertura de ramas serie (polos d e impedancia), o sea por la resonancia de un par de tanques LC. El primero resuena a ω = 3 y el segundo lo hace a ω=2. Solución Analítica Sin mayores comentarios y siguiendo los pasos propuestos por el método gráfico la siguiente secuencia nos permitirá determinar otra red que satisface el problema p lanteado Y3

=

=

Y3

Y3

=

5

s(s2

+

9) (s2

+

(s2

+

1) (s2

+

12

11 ) 5 3)

=

44 85

=

Y5

−

2k 1

=

−

17 12

s=

17 s (s2 33

+

 s2 +  

=

=

12

s

=

12

(s2

+

1) (s2

+

5

s(s2

+

9) (s2

+

s2

+

9

32 17

Y5

Y5

−

=

85



11 

   s2  

s  s2 +

44

+

11 

  17   11  5

k ''∞ s

Y5 ( j 2) j2

=

17 12

 s2 +  

17 

17 s ( s2

+ 4)

4) 17 

3) 11 ) 5

2k 1 s

⇒

K ''∞

=

Z3

7

=

Z3

 s2 + 17  s2 + 9 )   ( 11   11  2  s  s2 +  ( s + 9) 5   Y7

Y7

12

j3

⇒ Z5

Z5

7

−

Y1

Y1 (j3)

=

k'∞

Y1 − k'∞ s

⇒

Z7

=

33



11 


Z9

=

Z7

−

2k 2

=

2k 2 s s2

+

4

81 68 81

Z9 51 Z9

=

Z7

( s2 + 4 )

68 s ( s2

=

−

s 68 s2 + 4

+ 4)

=

51 68 s

Otra alternativa consistiría en aplicar Foster I a la impedancia residual Z7(s), pero teniendo especial cuidado con la secuencia utilizada para interconectar esta serie de impedancias que no sólo constituyen parte de la función de excitación Z11(s) sino también definen la Z21(s). Primero debemos colocar el tanque y luego el capacitor ya que esta es la única forma de satisfacer simultáneamente lo requerido por ambas impedancias. 51 81 s K0 2 K 2s 68 68 = + 2 Z7 = + 2 s s s +4 s +4 •

Ceros de transmisión generados a través de polos privados.

El punto de partida será nuevamente la función transferencia T21(s) y la vincularemos como lo hicimos anteriormente con los parámetros Z del cuadripolo a sintetizar, o sea: T21 ( s )

=

K

( s2 + 4 ) ( s2 + 9 ) ( s2 + 1) ( s2 + 3 )

=

Z21 Z11

En este caso repartiremos las singularidades de la función transferencia propuesta de modo que uno de sus ceros resulte asociado a la impedancia Z21(s) mientras que el restante lo asociaremos como polo privado de la función de excitación. Como de costumbre los polos de la función transferencia definirán los ceros de la función de excitación y finalmente completaremos la definición de Z11(s) mediante el agregado de las singularidades necesarias para definirla como FRP. Método gráfico En la fig(9.23a) se muestra el conjunto de remociones requeridas para sintetizar la transferencia propuesta. Lo primero que removemos es el polo privado de Z11 ya que éste es quien genera el cero de transmisión en ω=2. Las siguientes remociones son las habituales para sintetizar la transferencia propuesta y no merecen mayores comentarios. El proceso analítico es el indicado a continuación y la estructura de la red que resuelve el problema es la indicada en la fig (9.23b)


Z21 1

2

2

∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

3

Z11 1

3 2

Z2 2

Y2 1

Y4 3

2

Z4 3

Z6 fig (9.23a)

( s2 + 1) ( s2 + 3) Z11 = s ( s2 + 2 ) ( s2 + 4 ) Z2 =Z11 −

2k1s s

2

+

Z2 ( j2) = = 0

4

Z2 =Z11 −

Y4 =Y2

−

⇒

3 5 4 13 2 s s + s + 3 8 8 4 = s2 + 4 s ( s2 + 2) ( s2 + 4 )

2 8(s

+ 2) s Y4 = − 5  2 6   s + 5    Y4 =

8 9

32 ( s

s=

=

3

k∞

=

8

8

 s2 + 6    5 5  = 8 ( s2 + 2) s

Y4 ( j3 ) =0

k∞ s

2k1

⇒

32 3 s 45

+

s2

+

9

32 s 15 6 5

+ 3) s 45  2 6   s + 5    2

 s2 + 6  9 27 s   45  5  16 32 z4 = = + 32 ( s2 + 3 ) s s s2 + 3 C:\Documents and Settings\usuario\Configuración local\Temp\15b sintesis LC_02.doc 27 de 52

3/32

9/32

8/3

32/27 8/9

16/9

fig (9.23b)

•

El problema de la verificación

Resuelto el problema de la síntesis resta la importante etapa de la verificación siempre presente en todo proceso de diseño e íntimamente asociada a los temas de análisis. Con el objeto de verificar si la síntesis de una función transferencia ha sido correctamente realizada es posible aplicar cualquiera de las herramientas de análisis con el objeto de reconstruir la función transferencia a partir del conocimiento de la red. De la comparación del modelo matemático así obtenido y la función transferencia propuesta surgirá la certeza del proceso de síntesis. Una alternativa consistiría en aplicar la MAI al ejemplo resuelto y mas concretamente a la red resultante de la Alternativa 2. El lector podrá verificar, con esta herramienta de análisis, la satisfacción de la función transferencia propuesta mediante las redes que hemos sugerido como solución utilizando las mas variadas alternativas de síntesis. El punto de partida será en este caso el cuadripolo de la fig(9.23b) que simplemente por comodidad operativa lo representaremos mediante la estructura genérica de la fig(9.24).

ZB ZA

ZD ZC

ZE

fig (9.24)

Planteamos a continuación la MAI que caracteriza a este cuadripolo genérico YA MAI =

+

− YB

YB

− YB 0

− YA

YB

+

YC

− YD − YC

− YA − YC − YE

0

+

YD

− YD YD + YE − YE

YA

+

YC

+

YE

y evaluamos la expresión que caracteriza su transferencia de tensiones


V2 V1

Y13 44

=

Y11 44

=

YB YD (YD

+

YE ) (YB

+

YC ) + YD YE

Si en esta última expresión reemplazamos las admitancias genéricas por las expresiones correspondientes a las admitancias específicas que integran el cuadripolo de la fig(9.22b), resultará YB

YD

YC

=

17

=

68

=

32

81 17 12

s +

s +

153 32 s 272 81 s

=

=

32 68

9

s s2

81 YE

s

+

s2

17

+

4

s

=

4 3

s

Reemplazando y operando se obtiene T21 ( s )

=

1 12

+ 9) (s2 + (s2 + 1) (s2 +

(s2

4) 3)

Como vemos no sólo hemos verificado que la red de la fig(9.22b) satisface la transferencia propuesta sino que hemos obtenido explícitamente el nivel para el cual dicho cuadripolo resuelve el problema planteado. Desde el momento que la transferencia fue implementada mediante una red pasiva el máximo valor que podrá alcanzar a una frecuencia específica será unitario y desde el momento que esta máximo valor está asociado en este caso a las bajas frecuencias la constante K no podrá superar el valor KMAX=1/12. Tal como acabamos de comentar 1/12 define el valor máximo de K y si por algún motivo nos requirieran un mayor nivel tendríamos que conectar en cascada con el cuadripolo obtenido un amplificador capaz de suministrar a través de su ganancia el nivel de transferencia solicitado pero sin cargar en absoluto al cuadripolo pasivo ya que la síntesis fue requerida en la condición de vacío. Si contrariamente se requiriera un nivel de transferencia menor de 1/12 habría que provocar la consiguiente atenuación pero nuevamente sin cargar al cuadripolo pasivo. Un comentario adicional respecto de la evaluación del nivel de la función transferencia. Obtenida la red que supuestamente satisface la función transferencia propuesta y desde el momento que su nivel es una constante independiente de la frecuencia es posible evaluarlo a una frecuencia específica y a través de la simple inspección de la red. Las frecuencias mas cómodas y que suministran los modelos matemáticos mas simples son indudablemente corriente continua (s=0) y alta frecuencia (s→∞ ). En nuestro ejemplo resulta simple imaginarse la red en alta frecuencia ya que resulta totalmente capacitiva y tal como se muestra en la fig(9.25a). Pero indudablemente que las cosas en corriente continua son mucho mas sencillas ya que la red se transforma en el esquema indicado en la fig(9.25b) y de su análisis surge que en corriente continua suministra una transferencia de tensiones unitaria.


CB

CD LB

CC

LD

CE

fig (9.25a)

=

T(0) RED

fig (9.25b)

T(0) MODELO = k

1

36 3

Evidentemente que de este último par de resultados se concluye que nuestra red satisface a la transferencia propuesta para un K =1/12 en un todo de acuerdo con el resultado obtenido como consecuencia de aplicar la MAI, pero ahora con una ínfima complejidad algebraica. Recordemos que otro modo de resolver el problema de la verificación de la transferencia de tensiones que suministra una red escalera de un modo mas sistemático aun consiste en evaluar el recurrente sugerido por la red y que para la estructura genérica de la fig(9.24) es de la forma

V1

=

V2

V1

=

V2

V2

0

0

−1

YC

1

0

0

−1

ZD

1

0

0

−1

YE

YC YE

=

V2

=

1

ZB  YC ( ZD YE V1

V1

ZB

YB YD

YC YE

+

+

YC YD

+ 1) +

YC YB

+

+

YE 

YE YB

YE YD

+

+

+

ZD YE

YE YD

YE YB

+1

+1 +

YB YD

YB YD V2 V1

=

YB YD YD YE

+ ( YC +

YB ) ( YD

+

YE )

Por supuesto que al mismo resultado se arriba pensando la escalera como una interconexión en cascada y evaluando el parámetro Acascada V2 V1

=

1 A CASCADA

=

1

( 1+

ZB YC ) ( 1 + ZD YE )

+

ZB YE

El lector optará por la herramienta de análisis que con menores complicaciones algebraicas le resuelva el problema. C:\Documents and Settings\usuario\Configuración local\Temp\15b sintesis LC_02.doc 30 de 52

•

Síntesis de transferencias utilizando parámetros admitancia

Veamos aunque mas no sea en forma gráfica como es posible resolver la transferencia propuesta a través del empleo de parámetros admitancia. La relación de partida será la habitual:

V1

+ 4)(s2 + 9) = k 2 (s + 1)(s2 + 3) 0 (s2

V2 I2 =

=-

Y21 Y22

Adoptaremos como polinomio auxiliar A(s)=s(s2+2), pero ahora la síntesis del cuadripolo se realizará desde el extremo de carga y hacia el generador. Método gráfico En la fig(9.26a) se muestra el conjunto de remociones requeridas para sintetizar la transferencia propuesta y el proceso analítico sugerido por esta serie de remociones es el indicado a continuación:

-Y21 1

2

2

∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

3

Y22 1

3

Y2 3

Z2 3

Z4 Y4 Y6 2

Z6 2 fig (9.26a)

( s2 + 1) ( s2 + 3) Y22 = s ( s2 + 2 ) Y2 =Y22

−

k∞ s

Y2 ( j3 ) = = 0

⇒

k∞

=

16 21


5 Y2 =Y22

Z4 =Z2

Y6 =Y4

−

−

−

2k1s s2

+

9

16 21

=

s= 21

Z2

−

s4

52

+

21

s( s

2

s2

+

3

+ 2)

 s2 + 7    5  5  = 21 ( s2 + 2) s

 3 s3 + 27 s    21  38 38  = = 7  5 2  2 ( s + 9)  s + 5   

147 s 38 s2 + 9

Y2 ( j2 ) =0

k∞ s

Z6 =

5 21

⇒

 s2 + 7    5  13  s= s

84

Z6 =

s 12

21 s 5 7 s2 + 5

+

2 1 (s

12

k∞

=

13 84

+ 4) s

1 3s

La red que en definitiva resuelve el problema es la indicada en la fig(9.26b):

1/12

49/114

3

38/147 16/21

13/84

fig (9.26b)

Como se observa la estructura de la red obtenida se idéntica a la obtenida en la alternativa anterior y tan solo se diferencia en el valor de los componentes que la integran.

9.3.3

Transferencias con ceros de transmisión fuera del eje imaginario

Adelantándonos a temas que discutiremos con mayor profundidad al tratar la síntesis de cuadripolos RC y aprovechando la experiencia recogida hasta el momento vamos a intentar ahora la síntesis de una función transferencia caracterizada por poseer polos ubicados sobre el eje imaginario pero ceros complejos conjugados. Problema 9.7 Sintetizar la siguiente función transferencia de tensiones en vacío V2 V1

=

+1 + 4s2 + 1 s4

4

s


Si bien los polos de la función transferencia están ubicados sobre el eje imaginario los ceros están distribuidos en el plano complejo y concretamente sobre una circunferencia de radio unitario. Esto es debido a que las raíces del polinomio numerador son justamente las raíces cuartas de la unidad. Evidentemente que ahora no podremos mediante una red escalera LC resolver el problema planteado ya que esta estructura no es capaz de generar ceros de transmisión complejos conjugados. El punto de partida será la adopción de los parámetros a través de los que efectuaremos la síntesis y si adoptamos parámetros admitancia podemos expresar

− Y21 Y22

=

+1

s4 s

4

+

4s2

+1

Antes de iniciar el proceso de síntesis propiamente dicho completaremos la definición de Y 22 adoptando para ello un adecuado polinomio auxiliar y luego expandiremos ambas admitancias en fracciones parciales s4 + 1

− Y21

=

Y22

+1 = s ( s + 1)

1

2

s4

=

+ 1) s4 + 4s2 + 1 s ( s2 + 1)

s4

− Y21 =

Y22

s ( s2

+

4s2

s( s

2

+1

+ 1)

s

1

=

2s

−

s

+1

2

s

+

+

2s s

2

+1

s

+

s

Reagrupando la expansión obtenida podemos expresarla 1 − Y21 =  − s Y22

1 =  + s

 +  s− + 1 

s 2

s

 + 1

s 2

s

V2 V1

=

+  s + 

 = − Y + ( + 1 21A

s 2

s

Y21B )

 = Y + Y + 1 22A 22B

s s

2

− ( Y21A + Y21B ) Y221A + Y22B

Y ahora el tema se reduce a sintetizar un par de cuadripolos A y B configurados en escalera y que interconectados luego en paralelo resuelvan el problema planteado

− Y21A = Y22A

=

1

−

s

s s +1 1 s + 2 s s +1 2

− Y21B = s − Y21B

= s+

s

+1

2

s

s 2

s

+1


Desde el momento que las admitancias de transferencia que definen a los cuadripolos A y B no son FRP no podremos implementarlos mediante estructuras ∏ pero intentemos una transformación a T haciendo uso de las siguientes expresiones

− Y21 =

Z21

=

PP QP

−

− Y21 = ∆Y

PN QN 1  QN

 4

=

Y22

PN

−

QP PP

  

Z11

=

Y22

∆Y

=

PP QP

1  QN

 4

PN

+ +

PN QN QP PP

  

y que aplicadas a nuestro caso especifico arrojan los siguientes resultados 1  s2

 1 − s  = Z21A =  4 s  4s  1 1 1  s2 + 1 + s  = + s Z11A =  4 s  4s 2 +1

1  1 −  = s s s  4  1 1  s2 + 1 1 =  + s  = s + 4 s  4 2s

Z 21B Z11B

=

1  s2

 4

+1

Loa cuadripolos A y B son de síntesis inmediata mediante estructuras T que interconectadas a continuación en paralelo resuelven la transferencia planteada mediante un cuadripolo doble T puenteado. En la fig(9.27) se indica el cuadripolo que en definitiva resuelve la transferencia planteada 1/2

1/2

2

2 1/4

4

fig (9.27)

A los efectos de verificar el resultado obtenido podemos aplicar la siguiente expresión, recomendada para evaluar la transferencia de tensiòn suministrada por una estructura doble T puenteada y simétrica como la indicada en la fig(9.28):


ZA

ZA

ZB

ZB

ZA /2

2.ZB

fig (9.28)

V2 V1

=

YA2 YA2

+

+

YB2

4YA YB

+

YB2

En nuestro caso YA=2/s e YB=2s y reemplazando este par de admitancias en la última expresión se obtiene V2 s4 + 1 = 4 V1 s + 4s2 + 1 La conclusión que podemos e xtraer de lo actuado es la siguiente: cuando intentemos la síntesis de una transferencia cuyos ceros de transmisión ocurren en pares complejos conjugados probablemente logremos resolver el problema mediante una red T puenteada pero si se trata como en este caso de ceros de trasmisión complejos conjugados y con simetría cuadrantal nos veremos obligados al empleo de una red doble T puenteada. En otros términos, nuevamente la ubicación de los ceros de transmisión son determinantes a la hora de adoptar la estructura de síntesis.

9.3.4

Síntesis de transferencias cargadas

Hasta el momento hemos sintetizado transferencias en condiciones extremas de carga (vacío y cortocircuito) y en base a la experiencia recogida estamos ahora en condiciones de afrontar el caso mas real donde los generadores asociados a la etapa de excitación ya no son ideales y estarán por tanto caracterizados por una impedancia interna finita RG y por otra parte el cuadripolo tampoco estará en vacío ni en cortocircuito sino cargado con una impedancia finita R C. Analizaremos a continuación algunos casos de transferencias cargadas recordando que si bien no son los únicos, probablemente resulten los mas representativos. En primer término supondremos que el generador de excitación es ideal y el cuadripolo se encuentra cargado con una cierta impedancia RC y las transferencias de las que nos ocuparemos son T21(s) =

V2 V1

T21(s) = RC

V2 I1

RC


I1 V1

V2

Zc

V2

fig (9.29a)

Zc

fig (9.29b)

En segundo término supondremos que el generador de excitación es real y está por tanto caracterizado por su impedancia interna RG tal como se indica en la fig(9.30). Como vemos se trata de la síntesis de una transferencia de tensiones mediante un cuadripolo en vacío pero excitado con un generador de tensión real T21 (s) =

VG

V2 VG

RG

RG

V2

fig (9.30)

El caso mas genérico es indudablemente el de las transferencias doblemente cargadas. En este caso no sólo se considera el extremo de carga sino que se asume que el generador asociado al extremo de excitación es real y por tanto tiene asociada una impedancia interna finita. Por consiguiente representaremos una transferencia de tensiones doblemente cargada mediante la siguiente notación que intenta reflejar las condiciones de extremo impuestas T21(s) =

VG

V2 VG

RG , R C

RG

V2

RC

fig (9.31)

A los efectos de introducirnos en el tema imaginaremos que el cuadripolo a sintetizar y que resuelve la función transferencia planteada, está integrado por reactancias puras (L y C). Como en todo problema de síntesis se comienza tratando de encontrar una relación que vincule el modelo matemático de la transferencia a sintetizar con los parámetros (Z o Y) de la red que en definitiva resolverá el problema y con las condiciones impuestas por los extremos de carga y generador (RC y RG). Las siguientes expresiones, deducidas oportunamente al tratar los temas vinculados con la interconexión de cuadripolos, permiten el cálculo de las cuatro posibles funciones transferencias que caracterizan a la mencionada estructura. C:\Documents and Settings\usuario\Configuración local\Temp\15b sintesis LC_02.doc 36 de 52

V2 VG V2 IG

= =

ZC AZC

+

I2

B + CZc ZG

+

DZ G

ZC ZG AZC

+

VG I2

B + CZc ZG

+

DZG

IG

= =

1 AZC

+

B + CZc ZG

+

DZ G

+

DZ G

ZG AZC

+

B + CZc ZG

De este conjunto de expresiones genéricas, fácilmente recordables, es posible obtener las correspondientes a los casos mas simples de transferencias cargadas y que se resumen en la tabla adjunta.

Transferencia de tensión-tensión simplemente cargada y excitada con generador ideal

V2

Transferencia de tensión-tensión en vacío y excitada con generador real

V2

Transferencia de tensión-corriente simplemente cargada y excitada con generador ideal Transferencia de corriente-tensión simplemente cargada y excitada con generador ideal Transferencia de corriente-corriente en cortocircuito y excitada con generador real Transferencia de corriente-corriente simplemente cargada y excitada con generador ideal

V1

=

=

VG V2

=

I1

=

V1

IG

− I2 I1

Z21 Z11

=

ZG

Z22 ZC

− Y21 Y22

1+

=

+

Z21 1+

− I2

− I2

− Y21 Y22 + YC

YC

− Y21 Y11 + YG Z21 Z22

+

ZC

Otra forma de resolver la síntesis de una transferencia tensiòn-corriente simplemente cargada consiste en efectuar un balance de las potencias activas puestas en juego aceptando que por ser el cuadripolo reactivo puro no disipará potencia activa. La potencia activa de entrada al cuadripolo está dada por: Pi

=

I1

2

RE

(9.16)

En donde RE representa la parte real de la impedancia de entrada Z E del cuadripolo cargado, mientras que la potencia activa disipada en la carga resultará dada por

P0

=

V0 RC

2

(9.17)


Como la potencia activa disipada por el cuadripolo LC es nula podremos expresar V0 RC V0

2

=

I1

2

RE

2

=

I1

(9.18)

RE RC

A partir de la (9.18) es posible evaluar la expresión correspondiente a la resistencia de entrada R E del cuadripolo cargado y el problema de sintetizar un cuadripolo (LC) que satisfaga la transferencia propuesta se reduce a dos pasos: Conocida la parte real de la impedancia de entrada R E del cuadripolo cargado tendremos que hallar una expresión para su impedancia de entrada ZE y obtenida esta última expresión lo que resta es simplemente sintetizarla. •

Síntesis de transferencias cargadas en un extremo

A continuación comentaremos los procedimientos de síntesis aplicables a algunos de estos casos y los ilustraremos a través de sencillos ejemplos. Comenzaremos con el caso de una transferencia de tensiones simplemente cargada. Nuestros datos serán la función transferencia a sintetizar y el valor de la impedancia de carga mientras que al generador de tensiòn lo supondremos ideal o sea que VG=V1 T21(s) =

V2 (s) V1(s)

= RC

P(s) Q(s)

y

RC

(9.19)

En estas condiciones podemos vincular la transferencia dada, el valor de la carga y los parámetros del cuadripolo a sintetizar mediante V2 - Y21 (s) = V1 YC + Y22 El proceso de síntesis consistirá en organizar la expresión de la función transferencia dada a los efectos que por simple comparación surjan las expresiones correspondientes a los parámetros admitancia del cuadripolo a sintetizar y recordando siempre que el parámetro de excitación debe ser una FRP. Habitualmente se normaliza el nivel de las admitancias respecto del valor conocido de la carga y se sintetiza la red como si la carga fuera unitaria, luego y antes de cargar el cuadripolo con la carga real, se deben desnormalizar sus componentes. A los efectos de ilustrar el proceso de síntesis y extraer las conclusiones del caso resolveremos un par de problemas Problema 9.8 Sintetizar la siguiente función transferencia de tensiones mediante un cuadripolo LC, cargado con un resistor unitario. V2 ( s) s = 3 2 V1 ( s ) s + s + 3s + 1 Si expresamos el denominador de la función transferencia propuesta como suma de un polinomio par mas otro impar evidentemente que dividiendo una polinomio por el otro resultará uno de los sumados unitario y será automáticamente identificado con la admitancia de carga normalizada mientras que al restante sumando lo identificaremos con la admitancia de excitación. Claro está C:\Documents and Settings\usuario\Configuración local\Temp\15b sintesis LC_02.doc 38 de 52

que existen varias alternativas que consideraremos por separado y que nos permitirán interpretar acabadamente los procesos de síntesis. Una primer alternativa se genera dividiendo numerador y denominador de la transferencia por la parte par del polinomio denominador resultando s 2 V2 ( s ) s +1 = v1 ( s ) s3 + 3 s 1+ 2 s +1 de donde s s3 + 3s − Y21 (s) = 2 Y22 (s) = s + 1 s2 + 1 Como la transferencia posee un cero de transmisión en s=0 y un cero doble en alta frecuencia (s→∞), podemos comenzar aplicando Cauer II a la inversa de Y22(s) y expandir luego la inversa de la impedancia residual resultante mediante Cauer I. Tanto el proceso gráfico como la solución analítica se indican a continuación:

-Y21

∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

1

Y22 1

3

1

3

Z1 =1/Y22 Z3 3

Y3 3

Y5

fig (9.32a)

2 1 Y22

=

1 3s

+

s2

3 3s + s3 2

s2

Zresidual

=

3 3s + s3

1

=

3

Zresidual

2s

+

1 2 9s

y la estructura que resuelve el problema será la indicada en la fig. (9.32b)


2/9

3

V1

3/2

1

V2

fig (9.32b)

Otra alternativa consistiría en iniciar el proceso removiendo totalmente el polo que posee la admitancia Y22 en alta frecuencia y rematar la síntesis con el dipolo sugerido por la inversa de la admitancia residual Y2. Lo que acabamos de comentar se refleja en la fig(9.33a) y el cuadripolo resultante es el indicado en la fig(9.33b):

-Y21

∞ ∞ ∞ ∞ ∞

1

Y22 1

3

Y2 1

Z2 1

Z4 fig (9.33a)

1/2

2 V1

1

V2

1

fig (9.33b)

Una tercer alternativa de síntesis consistiría en partir de las expresiones correspondientes a Y21 e Y22

− Y21 (s) =

s 2

s

+

1

Y22 (s)

=

+

s3 2

s

3s

+

1

y reordenar el polinomio numerador de Y22 de modo tal que incluya a la admitancia Y21 o sea


s + s ( s2

+ 1) + s2 + 1

Y22 (s) =

s

=

s 2

s

+1

+ s+

s

+1

2

s

Este conjunto de expresiones admiten como representación el cuadripolo indicado en la fig(9.33c):

1

1

1 1

V1

1

V2 1

fig (9.33c)

Si evaluamos la admitancia de transferencia asociada a cada una de estas redes resultarán las siguientes expresiones

− Y21A =

9 3s 2s 9 + 3s + 3 s 2s 2

=

3s 2

s

− Y21B =

+1

2s 2

s

− Y21C =

+1

s 2

s

+1

Se nota como las tres redes resuelven el problema con mas o menos componentes y con diferentes niveles. La primera con K=3, la segunda con K=2 y la última con K=1. Por supuesto que existe otra alternativa y que se genera dividiendo numerador y denominador de la transferencia por la parte impar del polinomio denominador resultando s V2 ( s )

=

v1 ( s )

3

s + 3s s2 + 1 1+ 3 s + 3s

de donde

− Y21(s) =

1 2

s

+

Y22 (s) =

3

s2 3

s

+

+1 3s

y aplicando Cauer I a la inversa de Y22 resulta 1 Y22

=

+

s3

2

s

3s

+1

= s+

1 1 2

s+

1 2s

y la red que sugiere esta e xpansión es la indicada en la fig(9.34):


2

1

V1

V2

1/2

1

fig (9.34a)

Verifiquemos si la red obtenida satisface la admitancia Y 21(s) para lo cual simplemente de la observación de fig(9.34) podemos expresar 1 2s2 1 1 1

− Y21(s) =

2s

+

s

+

2

= s

1

+

3

s

3s

Evidentemente que esta red no satisface el problema y tal vez a alguien se le podría ocurrir permutar el par de admitancias extremas obteniendo como resultado la red de la fig(9.34b)

1

1/2 V1

V2

2

1

fig (9.34b)

pero evaluando la admitancia de transferencia que la caracteriza obtendremos 1

− Y21(s) =

1 2s

+

2 1 s

+

1 2

= s

s2 s3

+

3s

que tampoco verifica el modelo de partida.

Problema 9.9 Hallar un cuadripolo pasivo que excitado con un generador de tensión de resistencia interna RG=1Ω satisfaga la siguiente transferencia de tensiones. V2 VG

=

s3 s3 + s2 + 3s + 1


Recordemos la expresión que resuelve esta transferencia cargada en término de los parámetros Z del cuadripolo y la impedancia interna del generador V2 VG

Z21

=

Z11 + ZG

Si dividimos numerador y denominador de la transferencia por la parte par del polinomio denominador obtendremos s3 V0 s2 + 1

=

VG

1+

s3 + 3s s2 + 1

y recordando que RG=1Ω Z21 (s) =

s3 2

s

+

Z11 (s) =

1

+

s3 s

2

3s

+

1

Como todos los ceros de transmisión se hallan en corriente continua aplicamos Cauer II a la inversa de Z11(s), o sea 1 Z11

=

1 3s

1

+

9 2s

+

1 2 3s

y la estructura que resuelve el problema será la indicada en f ig. (9.35)

1

2/9

VG

3

3/2

V2

fig (9.35)

Si verificamos la impedancia de transferencia que caracteriza al cuadripolo obtenido resulta 9 Z21 (s) =

3s +

2 3

s2

2

s+

9

=

s3 s2

+1

2s

Y evidentemente la red de la fig(9.35) resuelve la transferencia planteada Problema 9.10 Hallar un cuadripolo pasivo que excitado con un generador de tensión de resistencia interna RG=1Ω satisfaga la siguiente transferencia de tensiones. C:\Documents and Settings\usuario\Configuración local\Temp\15b sintesis LC_02.doc 43 de 52

V2 VG

( s) =

K 3

s

+

2

2s

+

2s + 1

Desde el punto de vista matemático podemos adoptar el siguiente par de alternativas K V2 VG

s

( s) =

K

+

3

2s 2

+1

+

2s

2s

1+

V2

3

s

VG

( s) =

+1 + 2s 1+ 2 2s + 1 2s2 s3

Y recordando que V2 VG

( s) =

Z21 Z11 + ZC

Alternativa 1 Z21(s) =

k

+

3

s

Z11 (s) =

2s

2s2

+1

3

s

+

2s

s3

+

2s

2s2

+1

Alternativa 2 Z21(s) =

k 2

2s

Z11 (s) =

+1

Comencemos con la síntesis del cuadripolo cuyos parámetros responden a la primer alternativa. Desde el momento que la impedancia de transferencia está caracterizada por un par de ceros de transmisión en alta frecuencia y la de excitación posee tan sólo uno, le aplicaremos a la inversa de esta última el método de Cauer I resultando la siguiente expansión 1 Z11

=

1 2

s+

1 4 1 s+ 3 3 s 2

La red que en definitiva resuelve el problema es la indicada en la fig(9.36) 4/3

1 VG

1/2

3/2

V2

fig (9.36)

A los efectos de verificar el resultado obtenido vamos a evaluar la transferencia de tensión que suministra la red cargada. Recordando para ello lo visto al tratar los temas vinculados con la interconexión de cuadripolos


V2 V1

=

1 A CASCADA

V2 V1

=

V2 V1

1

=

 1+  

1  s  ( 1 + 2s2 ) 2 

3 s 2

+

6

( 2 + s) ( 1 +

2s2 )

+

3s

1

=

+

3

s

2

2s

+

2s + 1

Si a continuación e impensadamente optamos por la segunda alternativa y actuamos tal como lo acabamos de hacer obtendríamos el siguiente resultado Z21(s) =

k 2

2s

s3

Z11 (s) =

+1

+

2s

2

+1

2s

Aplicando Cauer I a la impedancia de excitación obtendremos Z11

=

1

s+

2

1 4 3

s+

2 3s

La red que sugiere esta expresión es la indicada en la fig(9.37) y desde el momento que el cuadripolo reactivo responde a una estructura T caracterizada por exhibir una impedancia de transferencia real y positiva es evidente que no resuelve el problema debido a que el modelo de la Z21 a satisfacer no respondía a una FRP. 1/3

1

2/3 4/3

VG

V2

fig (9.37)

Problema 9.11 Sintetizar la siguiente función transferencia tensión-corriente mediante un cuadripolo reactivo puro sabiendo que la impedancia que lo carga es unitaria. V2 I1

( s) =

K 3

s

+

2s2

+

2s + 1

Comenzamos por dividir numerador y denominador de la transferencia por su parte impar, o sea


K V2

( s) =

I1

3

s + 2s 2 s2 + 1 1+ 3 s + 2s

y recordando que V2

( s) =

I1 Z21 (s) =

Z21ZC Z22

+

ZC

k 3

s

+

Z22 (s) =

2s

2s2 3

s

+

+

1

2s

Como Z21(s) posee un cero triple de transmisión en alta frecuencia (s →∞) podemos fácilmente resolver nuestro problema aplicando Cauer I a la inversa de Z22(s), o sea: 1 Z22

=

1 2s

+

1 4 + 1 3 3s 2s

Como el cuadripolo lo hemos sintetizado a partir de su parámetro de salida Z 22(s) la estructura que resuelve nuestro problema es la indicada en la fig. (9.38a): I1 3/4 2/3

2 V2

1

fig (9.38a)

Si RC hubiera sido distinto de 1Ω el procedimiento de síntesis se inicia normalizando los parámetros impedancia respecto de RC se sintetiza luego el cuadripolo como en el ejemplo que acabamos de presentar y finalmente se desnormaliza la estructura respecto de R C o sea se multiplican por R C todos los inductores y el resistor de carga y se dividen por R C todos los capacitores que integran la estructura. Por ejemplo si en el problema anterior la resistencia de carga en vez de ser unitaria se hubiera especificado como RC=2 Ω la estructura que resuelve el problema es la indicada en la fig. (9.38b):


I1 3/2 1/3

1 V2

2

fig (9.38b)

A continuación haremos algunos comentarios en relación con la síntesis de transferencias caracterizadas por poseer ceros de transmisión finitos para lo cual intentaremos resolver el siguiente problema Problema 9.12 Sintetizar la siguiente función transferencia tensión-corriente mediante un cuadripolo reactivo puro sabiendo que la impedancia que lo carga es unitaria. V0 I1

( s)

K (s2 + 4)

=

s3 + 2s2

+

2s + 1

Iniciamos el proceso de síntesis del mismo modo que en el ejemplo anterior, o sea: K (s2 + 4) V0 I1

( s) =

Z21 1 + Z22

=

s3 + 2s 2s2 + 1 1+ 3 s + 2s

Z22(s) es la misma impedancia del caso anterior pero Z21(s) es diferente ya que en este caso posee un cero en ∞ y el otro para s=± j2. Como Z22(s) posee un cero en ∞ lo primero que haremos es remover totalmente elemento que lo provoca. 3 s 1 s3 + 2s s 2 = = + Z22 2 2s2 + 1 2s2 + 1 Ahora debemos generar los ceros en s=± j2 para lo cual habrá que invertir la admitancia residual y efectuar una remoción parcial del polo que posee esta impedancia en ∞ hasta lograr su anulación para dicho valor de “frecuencia” y el proceso sería el indicado a continuación. Comenzamos por invertir la admitancia residual obteniendo 2 s2 + 1 ZA ( s) = 3 s 2 Efectuamos la remoción parcial del polo de impedancia en altas f recuencias ZB ( s )

=

ZA ( s)

−

k∞ ′ s

pero con la condición ZB(j2)=0 la que nos permitirá evaluar el valor del residuo


k∞ ′

=

Z A ( j 2) j2

7

=

6

concretamos la remoción parcial del polo en alta frecuencia ZB ( s)

ZB ( s )

=

4 3

s+

2 3s

=

Z A ( s)

7

−

6

s=

1 6

−

7 6

s

2

s+

3s

=

( s2 + 4) 6s

y generado el cero finito lo removemos totalmente como p olo de su función inversa o sea YB ( s )

=

6s 2

s +4

=

1 s 6

+

2 3s

resultando la red indicada en la fig. (9.39): I1 7/6 1/6 1/2

V2

1

3/2

fig (9.39)

¿Cómo hubiera resultado la red si en lugar de generar en primer término el cero en alta frecuencia hubiéramos generado el cero finito en ± j2 ? Para responder a esta cuestión resolveremos esta alternativa en forma gráfico-analítica:

Z21 1

2

2

Z22 1/ 2

2

1/ 2

2

Y 1 =1/Z22 Y3 1/ 2

2

1/ 2

2

Z3

∞ ∞ ∞ ∞ ∞

fig (9.40a)


Atento a lo sugerido por las remociones gráficas podemos escribir

=

1

1 j 2Z22 ( j2) 2

-

Z22

- k∞ s

Z22

=

k∞

Y3

1

=

Y3

7

s=

=

2 7

3 s (s2 2

7

2s

+ 4) +1

y el resto del circuito lo podemos sintetizar aplicándole Foster I a la impedancia Z3 Z3

=

2s2 + 1

7

3 s (s

2

+

4)

=

7

Z3

=

K0 s

+

2K1 s s2

+

4

49

s 12 + 12 s s2 + 4

El cuadripolo resultante de este proceso es el ilustrado en la fig. (9.40b)

I1

49/48

12/7

12/49

2/7 V2

1

fig (9.40b)

Comparando este cuadripolo con el obtenido en el caso anterior vemos que posee una inductancia menos a expensas de poseer un capacitor más. Si por ejemplo esta red trabajara como interetapa entre un par de elementos activos, podríamos, mediante los capacitores derivados absorber las eventuales capacitancias de entrada y salida de dichos elementos. En consecuencia y por lo antes expuesto esta red resulta más práctica y apropiada que la anterior. Resolveremos nuevamente el problema anterior pero teniendo en cuenta la expresión (9.18). El método consiste en lo siguiente: dada la función transferencia tensión-corriente calcularemos en primer término el cuadrado de su módulo y como R C es conocida se obtiene mediante la (9.18) la expresión correspondiente a la resistencia de entrada RE del cuadripolo cargado y ahora estamos ante un problema conocido ya que debemos determinar el modelo matemático de una impedancia de excitación a partir del conocimiento de su p arte real. C:\Documents and Settings\usuario\Configuración local\Temp\15b sintesis LC_02.doc 49 de 52

Una vez hallada la expresión de la impedancia de entrada del cuadripolo cargado la sintetizaremos implementando el cuadripolo desde el generador hacia la carga. Como certeza que el proceso de síntesis ha resultado exitoso deberá cumplirse que el último término del desarrollo resulte una constante de idéntico valor al resistor de carga RC. Problema 9.13 Sintetizar mediante un cuadripolo reactivo cargado con RC=1Ω la siguiente transferencia tensióncorriente V2 K ( s) = 3 2 I1 s + 2s + 2s + 1 En primer término y atento a lo sugerido por la expresión (9.18) evaluamos el cuadrado del módulo de la función transferencia en régimen armónico o sea V0 I1

V0 I1 V0 I1

K

( s) =

( s)

2

( jω )

3

s

V0

V0

=

I1

I1

+

2s

+

2

K

( − s) =

1 − s6

V0

( jω )

2s + 1

I1

( − jω ) =

K2 1+

ω6

Recordando la relación (9.18) y atento al valor de la carga R C=1Ω resultará la siguiente expresión para la resistencia de entrada del cuadripolo cargado en régimen armónico RE

=

K2

+ ω6

1

Debemos ahora hallar la impedancia de entrada del cuadripolo a partir del conocimiento de su parte real que es un problema conocido y sobre el cual no haremos mayores comentarios. Del conocimiento de la parte real y efectuando en ella el cambio de variable (ω=s/j) obtenemos la parte par de la impedancia de entrada

=

Par de ZE

K2 1 - s6

Ubicamos los polos de esta p arte par lo que equivale a evaluar las raíces sextas de la unidad. s

=

j

e

kπ 3

con

k

=

0, 1, 2, ....5

Ya estamos en condiciones de armar el denominador de Z E(s). Para ello asumimos como polos de ZE(s) los ubicados en el semiplano izquierdo del plano complejo, o sea.



1



2

( s + 1)  s +

−

j

3 2

   s + 

1 2

+

j

3 2

 = s 3 + 

2 s2

+

2s + 1


Por ser la función Z E(s) una FRP el numerador que la caracteriza podrá ser un polinomio de orden cuatro, tres o dos. Se intuye que por tratarse de una transferencia tipo pasa-bajo el cuadripolo reactivo tendrá inductores en serie y capacitores derivados y por tanto la Z E(s) tenderá a cero para s→ ∞ de donde se deduce que el polinomio denominador tendrá que ser un orden mayor que el del polinomio numerador. Vale decir que podemos asegurar que el polinomio numerador de Z E(s) será seguramente de segundo orden haciendo que la ZE(s) resulte de la forma. a2 s2

=

ZE

3

s

+

+

a1s + a0 2

2s

+

2s + 1

La expresión de su parte par estará dada por Par ZE

=

m1m2 - n1n2 2

m2 - n2

Par ZE ( s)

=

( a2 s2 +a0 ) (2s2 +1 ) - ( a1 s )( s3 +2s )

=

2

1 - s6

( 2a2 −

a1 ) s4 + ( 2a0 + a2 -2a1 )s2 +a0 1 - s6

e identificando esta última expresión con K2 1 - s6

resulta: ZE

=

2 2 4 s + s +1 3 3 K s3 + 2s2 + 2s + 1

A partir ahora del conocimiento de ZE(s) podemos sintetizar rápidamente el cuadripolo. Por tratarse de una transferencia de tercer orden pasa bajo aparecerán como mínimo tres elementos reactivos y analíticamente podremos calcular sus valores aplicando el método de Cauer I a la inversa de la función ZE(s). Con el objeto de simplificar los cálculos supongamos que K=1, o sea 2

ZE ( s )

=

s2 +

4

s +1 3 3 s3 + 2s2 + 2s + 1

Expandimos en fracciones continuas 1 ZE

=

3 2

s+

1 4 3

s+

1 1 2

s+ 1

y la red sugerida como solución a nuestro problema es la indicada en la fig. (9.41)


Sintesis Cuadripolos No Disipativos

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