UNIVERDIDAD DE ORIENTE NUCLEO DE ANZOATEGUI ESCUELA DE INGENIERIA Y CIENCIAS APLICADA DEPARTAMENTO DE ELÉCTRICIDAD SISTEMAS DE CONTROL II BARCELONA, JUNIO DEL 2014
SIMULACÓN DE UN LEVITADOR MAGNETICO PARA ESTUDIAR Y DISEÑAR UN CONTROLADOR PID EN TIEMPO CONTINUO Y DISCRETO Prof: Verena Mercado Bachiller(s): - Luis Mora, C.I.: 19.013.790 - Carlos Gómez. C.I.: 19.495.834 RESUMEN: El trabajo a continuación pretende demostrar a través de simulaciones el funcionamiento de un levitador magnético, haciendo uso de una representación matemática del proceso y expresar su característica inestable, para luego con ayuda de los conocimientos adquiridos en la asignatura de SISTEMAS DE CONTROL II y el apoyo de herramientas como MATLAB y su sistema grafico SIMULINK, diseñar un controlador PID para estabilizar el sistema y luego hacer el estudio del comportamiento del proceso y el control pero en tiempo discreto (z). INTRODUCCIÓN: Desde sus primeros estudios, la levitación magnética ha sido aplicada naturalmente en numerosos sistemas, como por ejemplo, rodamientos de bajo roce, sistemas mecánicos de almacenamiento de energía y sistemas de transporte de alta velocidad. Existen dos principios de levitación que sustentan todas estas aplicaciones: repulsión y atracción. En la levitación por repulsión (electrodynamic suspension, EDS), las corrientes inducidas en un cuerpo conductor generan las fuerzas de levitación. Este sistema es estable en su eje vertical, y tiene un punto de equilibrio natural. En la levitación por atracción (electromagnetic suspension, EMS), un cuerpo es atraído por un flujo magnético en contra de la gravedad; el equilibrio que se produce entre la fuerza de atracción y la gravedad es inestable, por lo que la levitación por atracción es impracticable sin la ayuda de sistemas de control (teorema de Earnshaw). Pese a existir gran cantidad de información y trabajos relacionados con proyectos de levitadores y diseño optimizado de un levitador, la levitación magnética siempre constituye una demostración de alto impacto visual que permite ilustrar claramente un gran número de temas relacionados con la ingeniería eléctrica, tales como principios electromagnéticos, estudio y modelo de sistemas dinámicos, control de sistemas inestables etc. En términos generales un sistema de levitación magnética consiste de un elemento metálico que se suspende o levita mediante un campo magnético generado por un electroimán controlado por una fuente de corriente. Se deberá mantener al cuerpo a una cierta distancia del electroimán. La medición de dicha distancia se realiza por medio de un sensor de posición. La
introducción de un controlador es necesaria para mantener en equilibrio la fuerza gravitacional ejercida sobre el cuerpo y la del campo magnético. En este trabajo se presenta el desarrollo de la instrumentación basada principalmente en la prueba de un controlador lineal aplicado sobre un sistema no lineal y la discretización del mismo. ESTADO DEL ARTE: Varios han sido los experimentos sobre la levitación magnética y muchos han sido los inventos, pero podemos destacar algunos de ellos como la báscula electrónica. El dibujo adjunto representa una báscula tradicional, en la que un tubo metálico (por ejemplo, de aluminio), conectado a un circuito eléctrico, se fija entre los polos de un imán que produce un campo magnético horizontal. Con el circuito cerrado fluye por el tubo una corriente, y entre el imán y el conductor se ejerce una fuerza magnética vertical, dependiente de la intensidad de la corriente. Después de colocar la muestra en la base de la báscula, su peso se determina compensando la fuerza magnética ejercida sobre el imán con dicho peso. A la derecha se muestra una vista aérea del montaje, indicando la dirección del campo magnético de forma que la fuerza entre la corriente y el imán, se dirige hacia abajo sobre el conductor (hacia dentro de la pantalla en el dibujo) y hacia arriba (hacia nosotros en el dibujo) sobre el imán.
Luego tenemos un invento muy importante y de gran tamaño los trenes de levitación magnética. Estos trenes van dotados con unos potentes electroimanes, que son repelidos por otros que se encuentran a lo largo de la vía, lo que eleva al tren unos centímetros del suelo. Una vez en "modo de levitación", el tren utiliza la interacción de sus electroimanes con los de las vías para crear fuerzas de atracción en la parte delantera del tren y de
SIMULACÓN DE UN LEVITADOR MAGNETICO PARA ESTUDIAR Y DISEÑAR UN CONTROLADOR PID EN TIEMPO CONTINUO Y DISCRETO repulsión en la parte trasera. De esta forma se acelera el tren hasta alcanzar velocidades de hasta 500-600Km/h.
Existen varias líneas de trenes de levitación magnética en activo en el mundo y, en cuanto a proyectos, se publicó que Japón está desarrollando la tecnología de levitación magnética hasta sus últimas consecuencias y pretende materializarla construyendo el tren más rápido de la Tierra (con una velocidad punta del orden de 700 kilómetros por hora). Terminamos con otra aplicación de las fuerzas entre imanes y corrientes: el timbre eléctrico tradicional. Al pulsar el interruptor de un timbre eléctrico, circula una corriente eléctrica por un electroimán, cuyo campo magnético atrae a un pequeño martillo. Cuando el martillo golpea una campanilla se interrumpe el circuito, lo que hace que el campo magnético desaparezca y la barra vuelva a su posición. Este proceso se repite rápidamente y se produce el sonido característico del timbre.
Figura 1. Entrada: 𝒖(𝒕) → 𝒗𝒐𝒍𝒕𝒂𝒋𝒆 Salida: 𝒚(𝒕) → 𝑷𝒐𝒔𝒊𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒆𝒔𝒇𝒆𝒓𝒂 Ecuación eléctrica. d i(t ) dt R 1 = i( t ) u( t ) L L
u( t ) = i(t ) R L d i( t ) dt
Ecuación Física. Segunda ley de newton. ∑𝑭 = 𝟎 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA En la asignatura SISTEMAS DE CONTROL II ha incentivado el estudio de distintos procesos modelados matemáticamente para observar su comportamiento y el tipo de sistema que representan, para así aplicar las técnicas de control que en dicha asignatura se han expresado y diseñar, en este caso, un PID para estabilizar los procesos; por tratarse de una solicitud libre se escogió para este trabajo el estudio de un levitador magnético. En este trabajo el levitador magnético no es más que una estructura didáctica para estudiar su comportamiento y crear o diseñar un control que regule dicho comportamiento, para que se comporte de forma estable dentro de parámetros deseados. Un punto importante a considerar es que el proceso de un levitador magnético no es un proceso lineal, y para poder desarrollar un control para dicho proceso es necesaria la linealización de este, pero como no se está evaluando el proceso de linealización se partirá de la función de transferencia ya linealizada y los valores de los parámetros expuestos en el proceso. DESARROLLO: El siguiente esquema representa el proceso a controlar de forma básica y los parámetros que están involucrados en dicho proceso sin tomar en cuenta los sensores de posición de la esfera
En el sistema. Dónde:
𝑚 ∗ 𝑎 = 𝑚 ∗ 𝑔 − 𝐹𝑚
𝒎 = 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝒂 = 𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝒈 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑭𝒎 = 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑚𝑎𝑔𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑖𝑚á𝑛 La fuerza magnética se expresa 𝐹𝑚 = 𝐾 ∗ Siendo K la constante del electroimán 𝐾= Dónde:
𝑖2 𝑦2
𝑁 2 ∗ 𝜇2 2 ∗ 𝜇0
𝑵 = 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑏𝑖𝑛𝑎 𝝁 = 𝑃𝑒𝑟𝑚𝑒𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑛ú𝑐𝑙𝑒𝑜 𝝁0 = 𝑃𝑒𝑟𝑚𝑒𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑐í𝑜 Reemplazando lo anterior, nos queda. 𝑦 ′′ (𝑡) = 𝑔 −
𝐾 𝑖(𝑡)2 ∗ 𝑚 𝑦(𝑡)2
SIMULACÓN DE UN LEVITADOR MAGNETICO PARA ESTUDIAR Y DISEÑAR UN CONTROLADOR PID EN TIEMPO CONTINUO Y DISCRETO Haciendo un análisis de la FDT del proceso y graficando con ayuda de Matlab se puede observar lo inestable de la misma.
Variables de estado. 𝑥1 = 𝑦(𝑡) 𝑥2 = 𝑦 ′ (𝑡) 𝑥3 = 𝑖(𝑡)
Dónde:
y(t) = Posición de la esfera con respecto al electroimán y’(t)= Velocidad de la esfera i(t) = corriente que circula por el circuito del electroimán Sustituyendo nos queda lo siguiente.
Figura 2. También podemos observar la inestabilidad en el lugar geométrico de las raíces, donde se observa mejor y se puede estudiar mejor los polos que hacen inestable al sistema y los polos dominantes del mismo.
Viendo las ecuaciones se puede notar la no linealidad del sistema, mediante proceso matemáticos se obtiene la matriz final linealizada, donde los valores para las variables son [y=0.015m; g=9.81 m/s2; k=0.3044; m=36 g; R=9 ohm; L=0.0336 H] y finalmente la matriz es: 𝑥1 0 1 [𝑥2 ] = [1304 0 𝑥3 0 0
𝑦(𝑡) = [1
𝑥1 (𝑡) 0 0 −36.782 ] . [𝑥2 (𝑡)] + [ 0 ] . 𝑢(𝑡) −267.857 𝑥3 (𝑡) 29.76 𝑥1 (𝑡) 0 0]. [𝑥2 (𝑡)] + [0]. 𝑢(𝑡) 𝑥3 (𝑡)
MATRIZ DE ESTADO EN TIEMPO CONTINUO.
Figura 3. SIMULACIÓN: Nuevamente haciendo uso de la herramienta Matlab y Simulink se presenta el diagrama de bloques del sistema.
Para el caso del mismo proceso pero en tiempo discreto, con ayuda de matlab y la herramienta “2cdm” y un tiempo de muestreo de Ts= 0.001sg se obtiene: 𝑥1 𝑥1 (𝑘) 1 0.01 0 0 [𝑥2 ] = [1.304 1 −0.034] . [𝑥2 (𝑘)] + [ 0 ] . 𝑢(𝑘) 𝑥3 𝑥3 (𝑘) 0 0 0.765 0.026 𝑥1 (𝑘) 𝑦(𝑘) = [1 0 0]. [𝑥2 (𝑘)] + [0]. 𝑢(𝑘) 𝑥3 (𝑘) MATRIZ DE ESTADO EN TIEMPO DISCRETO. Función de transferencia. 𝑮(𝒔) =
−1143 𝑠 3 + 268.2𝑠 2 − 1304𝑠 − 349700
Figura 4. Se ira trabajando paso a paso sobre este esquema y se presentaran las distintas opciones para conseguir un buen control para el sistema, para ello primero se aplicara un control PD (proporcional derivativo) solamente y se observaran los resultados. Un control PD esta expresado de la siguiente manera: 𝑃𝐷 = 𝐾𝑑 𝑆 + 𝐾𝑝 Dónde: “Kp” es la parte proporcional del controlador y “Kd” es la parte derivativa. Para calcular los valores de estas variables se hará uso de una herramienta no tan exacta, pero considerable a la hora de conseguir valores
SIMULACÓN DE UN LEVITADOR MAGNETICO PARA ESTUDIAR Y DISEÑAR UN CONTROLADOR PID EN TIEMPO CONTINUO Y DISCRETO que estabilicen un sistema, la cual es el método de Routh-Hurtwiz Para ello se utilizara el polinomio característico generado por el producto del control PD y la FDT del proceso a lazo cerrado. 3
2
𝑃(𝑆) = 𝑠 + 268.2𝑠 − (1304 + 1143𝐾𝑑 )𝑠 − 349700 − 1143𝐾𝑝
s^3 s^2 s^1 s^0
1 268.2 -0.128-1143Kd+4.26Kp -349700-1143Kp
-(1304+1143Kd) -349700-1143Kp 0
Estudiando la tabla anterior se concluye que para que el sistema sea estable se deben considerar los parámetros Kp y Kd:
𝐺𝑐 =
(−1143) ∗ (𝐾𝑑 ∗ 𝑠 2 + 𝐾𝑝 ∗ 𝑠 + 𝐾𝑖 ) 𝑠 4 + 268.2𝑠 3 + (−1143𝐾𝑑 + 1304)𝑠 2 + (−1143𝐾𝑝 − 349700)𝑠 − 1143𝐾𝑖
Si se observa bien, el polinomio característico (el denominador de la FDT a lazo cerrado con el control) es de grado cuatro y el polinomio deseado es de grado dos, para solventar este inconveniente, se usa el polinomio deseado dos veces, es decir el cuadrado de Pd(s). Otro punto a resaltar son los valores del factor de amortiguamiento y el de la frecuencia natural, en estudios realizados por otros investigadores, se sugiere usar los siguientes valores para cada uno de ellos. 𝜁 = 2.355 𝜔𝑛 = 54.11 Quedando así, el polinomio deseado de la siguiente forma.
Kd < -1.140 Kp < -305.95
𝑃𝑑 (𝑠) = (𝑠 2 + 2𝜁𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔2 ) ∗ (𝑠 2 + 2𝜁𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔2 )
Usando los valores antes mostrados en el Simulink para estudiar la acción de un control PD en lazo cerrado con el proceso se obtiene lo siguiente.
Luego de sustituir e igualar los polinomios deseados y característicos se obtienen los valores de las constantes del controlador PID 𝐾𝑝 = −1609 𝐾𝑖 = −7500 𝐾𝑑 = −60.56 Con los valores anteriores se procede a realizar la simulación en el Matlab.
Figura 5. Obtenemos un sistema subamortiguado pero con un error de estado estacionario muy elevado, por ende un control PD para este caso en particular no funciona, asi que se procede al estudio de un controlador tipo PID. Para calcular las variables de un control PID el cual se expresa de la siguiente manera. 𝑃𝐼𝐷 =
𝐾𝑑 ∗ 𝑠 2 + 𝐾𝑝 ∗ 𝑠 + 𝐾𝑖 𝑠
Se hace uso de un polinomio deseado del tipo. Dónde:
𝑃𝑑 (𝑠) = 𝑠 2 + 2𝜁𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔2 𝜻 = 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝝎𝒏 = 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
El procedimiento anterior parte de igualar el polinomio deseado con el polinomio característico, dicho polinomio característico es el resultado del producto del control PID con la FDT del sistema en lazo cerrado.
Figura 6. Como se puede observar el sistema carece del error en estado estacionario aunque mantiene un sobrepico y una oscilación un poco extraña con una pequeña perturbación, pero observando el lugar geométrico de las raíces se puede constatar que el sistema es estable.
SIMULACÓN DE UN LEVITADOR MAGNETICO PARA ESTUDIAR Y DISEÑAR UN CONTROLADOR PID EN TIEMPO CONTINUO Y DISCRETO
Figura 7. En la figura 7 se puede ver que todos los polos se encuentran en el semiplano izquierdo, denotando estabilidad, aunque hay dos polos muy lejos del centro del plano. En una búsqueda por mejorar el sistema aún más, de forma metódica y por ensayo y error se fueron variando los valores de las constantes del controlador manualmente, hasta lograr un mejor resultado, resultando como mejor opción los valores.
Figura 9. En este punto con el sistema estable, se procede a discretizarlo haciendo uso del Simulink por cuestiones de facilidad en la herramienta de discretización.
𝐾𝑝 = −1100 𝐾𝑖 = −7500 𝐾𝑑 = −30 Estos valores se dedujeron en base al comportamiento de la gráfica, el sobre pico indicaba un alto nivel derivativo y proporcional, es por ello que el parámetro integrativo no se modificó y el resultado fue.
Figura 10. Las gráficas del sistema en tiempo discreto deberían ser iguales a las de tiempo continuo, o parecerse lo más posible, todo esto dependiendo del tiempo de muestreo, para este caso se usó un Ts igual a 0.01 y se obtuvo.
Figura 8. Tal y como se puede observar en la figura 8 el resultado de la modificación de los parámetros del PID resultan en una mejora considerable del sistema, obteniéndose así la forma final del sistema controlado y estable.
Figura 11. En la figura anterior se puede observar de color fucsia la gráfica del sistema en tiempo continuo y la gráfica en color amarillo representa el tiempo continuo.
SIMULACÓN DE UN LEVITADOR MAGNETICO PARA ESTUDIAR Y DISEÑAR UN CONTROLADOR PID EN TIEMPO CONTINUO Y DISCRETO CONCLUSIONES. Un sistema de levitación magnético, aunque en este proyecto se vea como algo didáctico y sencillo (que para este caso se puede tomar así) es un proyecto ambicioso y del cual se le puede sacar un gran provecho en un futuro, las ventajas de la inexistencia de la fricción como es el caso del tren bala es una ventaja aprovechable, esto por decir algo del sistema del cual se hizo referencia anteriormente. De forma general la búsqueda de la estabilidad de algún proceso, el que fuese, es un trabajo que no se deja ni se debe dejar en menos, dejar sistemas importantes que oscilen a su libre albedrío es un punto a considerar basándose en la importancia del sistema, si dichas oscilaciones no afectan el funcionamiento del equipo, de la planta o el proceso, quizá no haya problema, pero no siempre es el caso y es preferible conocer de forma más exacta el comportamiento del proceso a no tener conocimiento alguno del mismo. El convertir un proceso de tiempo continuo a discreto, nos hace familiarizarnos con el comportamiento real de los componentes electrónicos y digitales, los cuales no conocen realmente el tiempo continuo, trabajando normalmente en tiempo discreto, tomando medidas del proceso en tiempos determinados y luego para comodidad del usuario estos puntos se linealizan, dando la sensación de un tiempo continuo.
