Linealización de Sistemas: Levitador Magnético (Práctica 5) César Augusto Corchuelo, Mariana Rendón Leal, Luis Alejandro Torres Ingeniería en Automática Industrial Universidad del Cauca
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[email protected] [email protected] R esumen- En el presente informe se describirán las actividades realizadas durante la práctica ejecutada en el curso de Sistemas Dinámicos, tomando como sistema a estudiar un Levitador Magnético, del mismo se analizará el modelo no lineal que describe el sistema con ecuaciones diferenciales y se describirán las técnicas apropiadas para linealizarlo, posteriormente se obtendrán los diagramas de bloques, haciendo uso de la herramienta Matlab y Simulink, de las cuales se obtendrán gráficas que ayudarán a la comprensión del mismo.
I. I NTRODUCCIÓN Los sistemas no lineales representan sistemas cuyo comportamiento no es expresable como la suma de los comportamientos de sus descriptores. Más formalmente, un sistema es no lineal cuando las ecuaciones de movimiento que regulan su comportamiento no están sujetas al principio de superposición, como lo es un sistema lineal. En diversas ramas de las ciencias la no linealidad es la responsable de comportamientos complejos y frecuentemente, impredecibles o caóticos, en los que pequeñas variaciones en las condiciones iniciales pueden implicar grandes diferencias en el comportamiento futuro, imposibilitando la predicción a largo plazo. Si bien el sistema es caótico, se puede establecer un punto de equilibrio para el cual se pueden hallar determinadas condiciones iniciales que eviten que el sistema entre en caos y mantener el sistema estable, sin embargo, es característico de los sistemas no lineales su alta sensibilidad a las condiciones iniciales, por lo que una pequeña perturbación en el punto de equilibrio puede hacer que el sistema se descontrole por completo. Suponiendo que se desea realizar una aproximación lineal del de l comportamiento de este sistema, se deberá realizar un análisis para un solo punto del espacio. Esto se puede describir gráficamente por medio de una línea tangente a dicho punto de operación, la cual describirá linealmente al sistema. La línea representa la derivada de la función analizada en dicho punto, lo cual es la representación lineal de la curva para el punto de operación establecido. establecido.
II. TEORÍA Analizaremos para este caso un Levitador Magnético, cuya salida a controlar es la distancia a la cual está la esfera respecto al electroimán, como se puede apreciar en la siguiente figura.
Figura 1. Levitador Magnético
=
Se desea obtener los puntos de equilibrio y el modelo lineal incremental para este sistema para una posición Sabemos que las ecuaciones que determinan el modelo son:
Donde:
̇ = () (1) ̈ = () = () () (2) () () () () ()
es la corriente del circuito y el desplazamiento de la esfera. es la inductancia del electroimán y c es una constante conocida. La fuerza se supone inversamente proporcional a la distancia y directamente proporcional al cuadrado de la corriente
Se implementará un controlador en lazo cerrado, en el cual la acción de control está en función de la señal de salida. Los sistemas de control en lazo cerrado usan la retroalimentación desde un resultado final para ajustar la acción de control en consecuencia. A diferencia de los sistemas de control en lazo abierto, los controladores en lao cerrado no siguen una referencia externa ni calculan un error, sino que retroalimentan
a la entrada del controlador a partir de los estados actuales del sistema. Se hace necesario reescribir estas ecuaciones, despejando las variables de estado y expresando el sistema de forma lineal con máxima derivada de primer orden, dando como resultado el siguiente sistema de ecuaciones.
̇ = (3) ̇ = (() () (4) ̇ = () (5) = 0 = (6) 0 = (7) 0 = (8) = (9) = 0 (10) (10) = √ (11) (12) = = √ =
Los puntos de equilibrio están definidos para un valor de operación de la posición . A partir de allí se calculan los demás estados y la señal de control constante.
=
=
= |
2
Calculando la Matriz Jacobiana de los comandos:
=
Despejando los estados iniciales, se tiene:
Para parametrizar el equilibrio a partir de , se hace necesario el cálculo de la Matriz Jacobiana del sistema, la cual consta de las derivadas parciales de las funciones con respecto r especto a cada uno de los estados.
0 0
=
= |
Definiendo entonces el modelo incremental:
[ ̇̇ ] = 0 10 20√ + 00 ̇ ⌊ 0 0 − ⌋ =
Y la salida
III. MODELO
Obtendremos el modelo del sistema a controlar, para lo cual será necesario identificar las entradas, los parámetros y las salidas del mismo.
IV. ANÁLISIS
Se simuló el modelo utilizando Matlab con los siguientes parámetros: Vr = 5 V, R = 1KΩ , C = 0.1mF, Ri = 1KΩ, Ci = 50µF; Rp2 = 1KΩ; Rp1 = 1KΩ;
Figura 5. Circuito RC
Se puede apreciar que al aplicar la señal escalón el voltaje en el condensador tiene un sobresalto o pico de voltaje de aproximadamente 6,5 V y decae al valor de referencia que se desea.
Planteando la ecuación de malla se tenemos:
() = () + () (9) () () () = () (10) () = () + () (11) () = () () (12)
Se sabe que = ; que es la corriente en el condensador, co ndensador, la cual se define como:
Reemplazando la ecuación (10) en (9), se obtiene:
Despejando la derivada tenemos que:
Grafica 1. Simulación base controlador integral.
Posteriormente se repitió la simulación, ahora disminuyendo el valor de la referencia Vr = 2.5V; los otros parámetros se A continuación se representa el modelo matemático en un dejaron iguales para apreciar solo el efecto debido a este obtuvo la gráfica 2, en la cual se puede observar observar diagrama de bloques, utilizando la herramienta SimuLink. Este parámetro. Se obtuvo parte desde la referencia, pasando por el cálculo del error y la que, al disminuir este valor, la amplitud sobresalto se acción integral del controlador, hasta llegar a la planta, donde disminuye a la mitad (aprox. 3.25V). Concluimos entonces que la magnitud del sobresalto dado por un impulso es proporcional propo rcional está la salida a controlar, la cual es . a la intensidad del mismo. Siendo la ecuación (12), el modelo que describe el sistema.
()
Figura 6. Diagrama de bloques del sistema Los parámetros del diagrama son: Bloque Parámetros Step Amplitud: Vr Tiempo de retraso: 5s Gain Valor: - 1/(RiCi) Gain1 Valor: 1/RC Gain2 Valor: - Rp2/Rp1 Integrator Condición Inicial: 0 Integrator1 Condición Inicial: 0 Tabla 1. Parámetros del diagrama de bloques.
Grafica 2. Comportamiento del controlador disminuyendo la magnitud de la referencia. Una vez hecho esto, se realizó una nueva simulación modificando los valores de Ci y Ri a la mitad de su magnitud. Al analizar la gráfica 3, se pudo concluir que la magnitud del sobresalto y el número de oscilaciones son inversamente
proporcionales a estas constantes, ya ambos valores aumentaron su magnitud.
Grafica 3. Efecto de los parámetros Ri y Ci sobre el controlador A continuación se muestra una gráfica donde se puede apreciar mejor las distintas simulaciones para efectos de comparación.
Gráfica 4. Comportamiento de las diferentes simulaciones realizadas V. CONCLUSIONES Se obtuvo el modelo de un controlador integral analógico de acuerdo a los fundamentos teóricos establecidos y se simuló para comprobar el comportamiento dinámico del d el mismo con ayuda de las herramientas Matlab y Simulink. Se realizó el análisis de las diferentes simulaciones y se observó el efecto que tenían los distintos parámetros sobre el comportamiento del sistema a través del tiempo. R EFERENCIAS EFERENCIAS [1] https://es.wikipedia.org/wiki/Controlador_PID Revisado el 7 de septiembre de 2017.
03 de agosto 2017.
