Simpleks Yang Direvisi

BAB VI. SIMPLEKS YANG DIREVISI BENTUK PL DALAM BENTUK MATRIKS Formulasi PL dalam bentuk matriks adalah sebagai berikut: Maksimumkan/minimumkan Z = CX

AX ≤ b dan X

Terhadap

≥0

Dimana C adalah vektor baris, C = [c1, c2 ..., cn], X dan b adalah vektor kolom, dengan :

⎡ x1 ⎤ ⎢ x ⎥ 2 X = ⎢ ⎥ ⎢Μ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ xn ⎦

⎡ b1 ⎤ ⎢b ⎥ 2 b=⎢ ⎥ ⎢Μ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣bm ⎦

dan

dan A adalah matriks,

⎛ a 11 ⎜ ⎜ a 21 A=⎜ ⎜ Μ ⎜ ⎝ a m1

a 12 a 22

Μ a m2

Λ Λ

⎞ ⎟ a 2,n -m ⎟ ⎟ Μ ⎟ Λ a m,n -m ⎠⎟ a 1,n - m

atau bentuk bakunya: Maksimumkan/minimumkan Z = CX Terhadap

(A I)X = b dan X≥ 0

Kita partisi vektor X menjadi XI dan XII, dimana XII adalah elemen X yang menjadi variabel basis awal, dengan demikian XI adalah elemen X lainnya. Kita partisi juga vektor C menjadi CIdan CII sesuai dengan cara membuat partisi X. Matriks A terdiri dari vektor kolom P1, P2, ..., Pn.

Iterasi simpleks umum dalam bentuk matriks adalah: Variabel

XI

XII

Nilai kanan

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.





basis z

CBB-1A - CI

CB-1 - CII

CBB-1b

XB

B-1A

B-1

B-1b

Selama iterasi, nilai-nilai vektor dan matriks di atas tidak berubah kecuali nilai matriks B-1. XB dan CB akan berubah pada setiap iterasi tergantung dari vektor masuk dan keluar.

Perhatikan kasus pemrograman linear di bawah ini:

1. Maksimumkan z = 2x1 + x2 + 2x3 Terhadap 4x1 + 3x2 + 8x3

≤ 12

4x1 + x2 + 12x3 ≤ 8 4x1 - x2 + 3x3 ≤ 8 x1, x2, x3 ≥ 0 bentuk baku: Maksimumkan z = 2x1 + x2 + 2x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 Terhadap 4x1 + 3x2 + 8x3 + x4 = 12 4x1 + x2 + 12x3 + x5 = 8 4x1 - x2 + 3x3 + x6 = 8 x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0 Matriks dan vektor dari formulasi PL tersebut adalah:





⎡ x1 ⎤ ⎢ x ⎥ ⎢ 2⎥ ⎡ x1 ⎤ ⎡ x4 ⎤ ⎢ x3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ X = ⎢ ⎥ X I = x 2 X II = x5 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x 4 ⎥ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣ x6 ⎥⎦ ⎢ x5 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ x6 ⎥⎦ ⎡2⎤ ⎢1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎡2⎤ ⎡0 ⎤ ⎡12⎤ ⎢2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ C=⎢ ⎥ CI = 1 C II = 0 b= 8 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢⎣2⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ ⎢⎣8 ⎥⎦ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢0⎦⎥ ⎛ 4 3 8 ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ 4 1 12 ⎟ I = ⎜ 0 1 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4 - 1 3 ⎠ ⎝ 0 0 1 ⎠ dalam solusi awal, XB = XII; CB = CII dan B-1 = I.

⎡ 4⎤ ⎢ ⎥ P1 = 4 ⎢ ⎥ ⎢⎣4⎥⎦

P2

⎡3 ⎤ = ⎢⎢1 ⎥⎥ ⎢⎣− 1⎥⎦

P3

⎡8 ⎤ = ⎢⎢12⎥⎥ ⎢⎣3 ⎥⎦

P4

⎡1 ⎤ = ⎢⎢0⎥⎥ ⎢⎣0⎥⎦

p5

⎡ 0⎤ = ⎢⎢1 ⎥⎥ ⎢⎣0⎥⎦

2. Minimumkan z = 2x1 + x2 Terhadap 3x1 + x2 = 3 4x1 + 3x2 2x1 + x2 x1, x2

≥6

≤3

≥0

Bentuk bakunya adalah: minimumkan z = 2x1 + x2 + 0x3 + Mx4 + Mx5 + 0x6

P6

⎡0⎤ = ⎢⎢0⎥⎥ ⎢⎣1 ⎥⎦





2x1 + x2 + x6 = 3 x1, x2, x3, x4, x5, x6

≥0

Matriks dan vektor dari formulasi PL tersebut adalah:

⎡ x1 ⎤ ⎢ x ⎥ ⎢ 2⎥ ⎡ x1 ⎤ ⎡ x4 ⎤ ⎢ x3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ X = ⎢ ⎥ X I = x 2 X II = x5 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x 4 ⎥ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣ x6 ⎥⎦ ⎢ x5 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ x6 ⎥⎦ ⎡2 ⎤ ⎢1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ 2⎤ ⎡M ⎤ ⎡3⎤ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ C=⎢ ⎥ CI = 1 C II = M b= 6 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢M ⎥ ⎢⎣0⎥⎦ ⎢⎣0 ⎥⎦ ⎢⎣3⎥⎦ ⎢M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 ⎥⎦ ⎛ 3 1 0 ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ 4 3 - 1 ⎟ I = ⎜ 0 1 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 1 0 ⎠ ⎝ 0 0 1 ⎠ pada solusi awal, CB = CII, XB = XII dan B-1 =I

⎡3 ⎤ ⎢ ⎥ P1 = 4 ⎢ ⎥ ⎢⎣2⎥⎦

P2

⎡1 ⎤ = ⎢⎢3⎥⎥ ⎢⎣1 ⎥⎦

P3

⎡ 0⎤ = ⎢⎢− 1⎥⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦

LANGKAH-LANGKAH

P4

⎡1 ⎤ = ⎢⎢0⎥⎥ ⎢⎣0⎥⎦

p5

⎡0⎤ = ⎢⎢1 ⎥⎥ ⎢⎣0⎥⎦

PENYELESAIAN

P6

⎡ 0⎤ = ⎢⎢0⎥⎥ ⎢⎣1 ⎥⎦

MENGGUNAKAN

SIMPLEKS YANG DIPERBAIKI 1. Penentuan vektor masuk (P j) sekaligus pemeriksaan optimalitas.





Solusi optimal sudah diperoleh jika (z j – c j) maksimisasi, atau (z j – c j)

≥ 0 untuk fungsi tujuan

≤ 0 untuk minimisasi.

Solusi optimalnya adalah: XB = B-1b dan z = CBXB Jika belum optimal, maka vektor keluar adalah vektor dengan nilai (z j – c j) negatif terbesar untuk fungsi tujuan maksimisasi atau positif terbesar untuk minimisasi.

2. Penentuan vektor keluar, Pr. Untuk vektor masuk yang sudah ditentukan pada langkah 1, hitung: 

Nilai variabel basis saat itu : XB = B-1b

 koefisien  vektor

pembatas variabel masuk : α j = B-1P j.

keluar baik untuk maksimisasi maupun minimisasi diberikan

oleh:

⎧ ( B −1b)k j ⎫ > θ = min ⎨ α , 0 ⎬ k j k ⎩ α k ⎭ dimana (B-1b)k dan semua

α jk adalah elemen ke-k dari B-1b dan α j. jika

α jk ≤ 0, maka permasalahan itu mempunyai solusi tidak

terbatas. 3. Penentuan basis berikutnya.

Diberikan basis saat ini adalah

B-1,

hitung: B-1next = EB-1 E adalah matriks identitas (B-1awal) dengan elemen kolom Pr diganti oleh nilai ξ.





⎛ - α 1 j ⎞ ⎜ j ⎟ α r ⎟ ⎜ ⎜ - α j2 ⎟ ⎜ ⎟ α jr ⎜ ⎟ ⎜ Μ ⎟ ξ = ⎜ ⎟ ⎜ + 1α j ⎟ r ⎜ ⎟ ⎜ Μ ⎟ ⎜ j ⎟ ⎜ - α m j ⎟ ⎜ α r ⎠⎟ ⎝ 4. kembali ke langkah 1 Contoh 2: Maksimumkan z = 3x1+2x2 Terhadap x1+2x2 ≤ 6 2 x1+x2 ≤ 8 - x1+x2 ≤ 1 x2 ≤ 2 x1,x2 ≥ 0 Penyelesaian Solusi awal : XB = (x3, x4, x5, x6) T , CB = (0, 0, 0, 0), B = (P3, P4, P5, P6) = I, B-1 = I

⎛ 1 2 1 0 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 2 1 0 1 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ - 1 1 0 0 1 0 ⎠ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓↓ P1 P2 P3 P4 P5 P6 Iterasi 1: •

Penentuan vektor masuk, untuk P 1 dan P 2 2 hit: z j – c j = Yp j - c j







=(-3, -2), maka vektor masuk adalah P 1 : XB = B-1b=Ib=b = (6 8 1 2) T  penentuan vektor keluar : X α1 = B-1P1=IP1= P1  θ = min {6/1, 8/2, _, _), berhub dgn x4, maka vektor keluar adalah P4  Penentuan Inverse basis berikutnya:  Karena P1 menggantikan P4 dan α1=(1, 2, -1, 0) T , maka:

Penentuan Inverse basis berikutnya: Karena P1 menggantikan P4 dan α1=(1, 2, -1, 0) T , maka:

⎛ −1 2 ⎞ ⎛ −1 2 ⎞ 1 2 ⎟ =⎜1 2 ⎟ ξ =⎜+ ⎜0−(2−1 2)⎟ ⎜102 ⎟ ⎝ ⎝ ⎠

− B next 1

dan

= E

= EB − 1 = EI

⎛ 1 ⎜ = ⎜ 00 ⎜ ⎝ 0

- 1/2 1/2 1/2 0

0 0 ⎞ 0 0⎟ 1 0⎟ 0 1 ⎟

Basis berikutnya adalah XB = (x3, x1, x5, x6) dan CB=(0, 3, 0, 0) Iterasi-2 •

Penentuan vektor masuk, untuk vektor non basic P2 dan p4.

⎛ 1 −1 = (0,3,0,0 )⎜ 0 C B B ⎜0 ⎜ ⎝ 0

- 1/2 1/2 1/2 0

0 0 ⎞ 0 0⎟ = (0,3 / 2,0,0) 1 0⎟ ⎟ 0 1





⎛ 1 - 1/2 0 0 ⎞⎛ 2 ⎞ ⎛ 3 / 2 ⎞ ⎜ 0 1/2 0 0 ⎟⎜1 ⎟ ⎜1 / 2 ⎟ α 2 = B −1P2 = ⎜ = 0 1/2 1 0 ⎟⎜1 ⎟ ⎜ 3 / 2 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 0 1 ⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎧ 2 4 5 2⎫ θ = min ⎨ , , , ⎬=4 3 ⎩3 2 1 2 3 2 1 ⎭ bersesuaian dengan x3, maka vektor keluar adalah P3. •

Penentuan basis berikutnya.

Karena P2 menggantikan P4 dan

α2=(3/2,1/2,3/2,1)T, maka:

⎛ + 1 (3 / 2 ) ⎞ ⎛ 2 3 ⎞ ⎜ − (1 / 2 ) (3 / 2 ) ⎟ ⎜ − 1 3 ⎟ ξ = ⎜ − (3 / 2 ) (3 / 2 ) ⎟ = ⎜ − 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − 2 3⎟ ⎝ − 1 (3 / 2 ) ⎝ −1

B next

⎛ 2/3 ⎜ = ⎜ -- 1/3 ⎜ - 12/3 ⎝

0 1 0 0

0 0 ⎞ ⎛ 1 - 1/2 0 0 ⎟⎜ 0 1/2 1 0 ⎟⎜ 0 1/2 ⎜0 0 0 1 ⎟⎝

0 0 1 0

0 ⎞ 0⎟ 0⎟ 1⎟

⎛ 2/3 ⎜ = ⎜ -- 1/3 ⎜ - 12/3 ⎝

- 1/3 2/3 1 1/3

0 0 ⎞ 0 0⎟ 1 0⎟ 0 1 ⎠⎟

Basis baru berhubungan dengan XB = (x2,x1,x5,x6) dan CB=(2,3,0,0) Iterasi-3 •

Penentuan vektor masuk





⎛ x2 ⎞ ⎛ 2/3 ⎜ x1 ⎟ ⎜ - 1/3 − 1 ⎜ x5 ⎟ = B b = ⎜ - 1 ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ - 2/3 ⎝ x6 ⎠ z

= C B X B

- 1/3 2/3 1 1/3

0 0 ⎞⎛ 6 ⎞ ⎛ 4 / 3 ⎞ 0 0 ⎟⎜ 8 ⎟ ⎜ 10 / 3 ⎟ = ⎟ 1 0 ⎟⎜ 1 ⎟ ⎜ 3 ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 / 3 ⎟ 0 1 ⎠⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ 4 / 3 ⎞ ⎜ / 3 ⎟ = (2,3,0,0 )⎜ 10 ⎟ = 38 / 3 3 ⎜ ⎟ ⎝ 2 / 3

Simpleks Yang Direvisi

Recommend Documents