ESTADIGRAFOS DE DISPERSION
1. Supongamos Supongamos que un un grupo de profesio profesionales nales en un un país A tienen tienen un salario salario promedio de US $26.888 y varianza US $14.400.En un país B otro grupo de profesionales con iguales características reciben un salario promedio de US$8.570 con desviación estándar de US$80. ¿Cuál grupo de salarios presenta una menor variabilidad? Aquel grupo de salarios que posea mayor varianza será el que posea mayor dispersión o variabilidad de sus datos: País A
varianza
= 14.400
País B
varianza, debo calcularla con la desviación estándar sabiendo que la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza.
Entonces en este caso la desviación estándar S= la desvi desviaci ación ón está estánd ndar ar
como sabemos cuánto vale
S =80 =80 ento entonce nces s despe despeja jando ndo
apli aplica cando ndo pote potenc ncia ia
cuadrada a ambos lados de la ecuación: = = sabiendo que la desviación estándar S =80 me vale Entonces el país B tiene varianza
así entonces la varianza =
= 6400
= 6400.
RTA. El país A tiene mayor variabilidad en los salarios, debido a que su varianza es mayor que la del país B, porque es de 14.400 y la del país B es de 6400.
2. En un interva intervalo lo realiza realizado do en la bodega bodega de un almacé almacén n se encontraro encontraron n 200 artículos que fueron importados a diferentes precios (en dólares).
a) Calcular la desviación estándar.
Según esta tabla vemos que la desviación estándar que obedece a la fórmula matemática:
y la desviación estándar que estamos calculando es la raíz cuadrada de la anterior, que es la varianza.
Y hemos obtenido desviación estándar de
= 11,9323342 Respuesta.
b) Calcule la desviación media. Esta desviación media la calculo con la misma tabla dada en Excel, pero ahora
con la formula : Es una fórmula igual a la de la varianza pero en este caso se toma el valor absoluto de la resta de cada dato Xi – u(media), y se suma el total según la cantidad de datos, multiplicando por la frecuencia, y dividiendo por la cantidad total de datos.
Calculo de la DM (desviación media) en excel:
La DM es 9,34 Respuesta.
c) Calcular el coeficiente de variación: El coeficiente de variación está dado como : C =
C=
=
= 0,25 coeficiente de variación.
=
3. En el primer semestre de este año 30 empresas tuvieron en promedio $374 millones en gastos con una varianza de $80 millones. Por un error cada una de las empresas no contabilizó $7 millones en los gastos. Corregir el promedio y la varianza. u= 374
varianza: v=80
Utilizo el coeficiente de dispersión, que lo calculo con la desviación estándar y promedio iniciales: C=
=
la desviación estándar es la raíz cuadrada de la
varianza dada en el problema, S=
=
S=
desviación estándar.
Y el promedio inicial: u= 374.
El coeficiente de dispersión aquí es: C = Entonces como hubo un error de 7 millones de cada una de las 30 empresas, entonces, el promedio de estas es:
= 7 millones, así el nuevo promedio
queda de u= 374 + 7 = 381 millones, u=381 millones. Y con la ecuación del coeficiente de dispersión C =
=
de aquí despejo el
valor de la nueva desviación estándar S, con la nueva media u, y el C coeficiente de dispersion C: S=
xu =
x (381) = 9,11 millones
Y la varianza es la anterior desviación estándar elevada al cuadrado v= 83 millones. RTA: Nueva media u = 381 millones Nueva varianza v= 83 millones.
4. 80 empleados de una compañía tiene un salario promedio de $125.000 y una varianza $12.000. Si reciben un reajuste del 20%. Calcular el nuevo promedio y varianza. O sea quiere decir que les suben el sueldo en un 20%, entonces el nuevo salario promedio quedará en :
+ 125.000 = 150.000.
Con la media y la desviación estándar iniciales: u= 125.000 y S = coeficiente de dispersión es C =
=
el
.
Ahora con la nueva media u, calculada arriba como u=150.000, calcula nueva S =desviación estándar y con esta la nueva varianza v =
Despejando la desviación S = C x u =
Y ahora la nueva varianza será: v =
:
x (150.000) =131.453138
= 17.280
RTA. Nuevo promedio = 150.000 Nueva varianza = 17.280
5. Se administra un antibiótico al ganado para combatir cierta enfermedad, el peso (en gramos) del antibiótico depende del peso del animal, el cual debe ser medido con mucha precisión, puesto que una sobredosis puede ser perjudicial para el animal. A continuación se muestra la distribución de frecuencia del peso de las dosis.
a) Calcular los estadígrafos de posición y dispersión que le parezcan adecuados (no todos), explique su decisión. Voy a calcular de los estadígrafos de posición: los deciles, para saber a cuanto a que intervalos de peso de los animales, se han sido administrados la decima parte de todas las dosis. Además calcularé la media y la moda, para saber el intervalo promedio para el cual han sido administradas la mayoría de las dosis, y además calcular la moda, para saber en qué intervalo de peso de los animales se han administrado la mayoría de las dosis. Y la desviación estándar así como la varianza para saber cuán dispersas están las cantidades de dosis administradas a los diferentes intervalos de peso de los animales. Calculo de decíles:
Primer decil: la ecuación del decil es: N=
x n
Donde n toma valores de n: 1,2,3,4,5,6…. según sea el decil que se está sacando sea el primero n=1, el segundo n=2, etc…. Calculo el valor de N para el primer decil según la tabla dada arriba en Excel:
N=
x1
N= 9,4
Dentro de la tabla de arriba dentro de las frecuencias acumuladas vemos cual está por encima de 9.4, y en la tabla vemos que es 32, entonces para la fórmula del decil, tomamos así: D1=
el
límite
inferior
del
intervalo
Esto me queda según la tabla: D1 = 20 +(
al
que
pertenece
el
32
+
) x 10 = 20.96 (primer decil).
El segundo decil me queda: N2 =
x 2 = N= 18,8
D2 = 20 +(
) x 10 = 24,72 (segundo decil)
Cálculos en Excel:
Ahora calculare la media y la moda para la tabla dada: La moda para datos agrupados se halla mediante la siguiente formula:
Mo = Li + A D1 = fi – f i-1 (diferencia entre frec. Absoluta modal y frec. Premodal) D2= f i - f i+1 (diferencia entre frec. Absoluta modal y
frec. Postmodal)
Li= limite inferior de la clase modal A= ancho del intervalo que posee más frec. o intervalo modal.
Calculo ahora la media de esto datos agrupados: Es la división de la sumatoria de los productos Xi fi, entre la cantidad total de elementos:
La media es: u= 27,6595 RTA.
Ahora calculare los estadígrafos de dispersión varianza y desviación estándar para los datos de la tabla:
Construyo la tabla y calculo la varianza con la formula dada como:
En el siguiente calculo de Excel hallo la varianza:
Ahora calculamos la desviación estándar para estos datos agrupados, esta es la raíz cuadrada del anterior valor de la varianza, pero coloco su fórmula de todas formas:
Su valor será
= 148,40 RTA.
b) Investigadores afirman que una dosis con peso mayor o igual a 30gr, seria peligroso. Según la información de que dispone, ¿qué porcentaje de la dosis se clasifica como peligrosa? Debo calcular la tabla de frecuencias absolutas, absolutas acumuladas, relativas, y relativas acumuladas, y con esta tabla puedo responder con facilidad la pregunta anterior.
Según la tabla el porcentaje en la columna de las frecuencias relativas, sumo las frecuencias relativas dadas desde el intervalo donde se encuentra 30, es decir, en el intervalo 30 – 35 desde este hasta el último se suman los porcentaje: 21,27659574% + 11,70212766 = 32,978% es el porcentaje de la dosis que se clasifica como peligrosa.
c) Construya histograma y polígono de frecuencia asociado a los datos.
Ahora hago el polígono de frecuencias:
6. Use sus conocimientos para completa las siguientes frases coloco la respuesta a la pregunta:
a) Obtengo la desviación media. b) Obtengo la varianza. c) Debo utilizar dispersiones relativas que se obtienen dividiendo la dispersión absoluta por la media. d) Debo utilizar medidas de dispersión relativa. e) Una variable normalizada o estandarizada o simplemente calificación estándar indica a cuantas unidades de desviación estándar esta una puntuación promedio. f) Si media µ= 21 y s= 3, puntuación X= 18 esta a una unidad por debajo de la puntuación promedio. Hallo a cuantas unidades de desviación estándar o cuán dispersa está la puntuación del promedio, a través del cálculo de la fórmula de la variable normalizada o estándar: Z=
=
= -1
g) Jose obtuvo calificación Z=-0.82 y Luis -0.78, entonces el resultado obtenido por Luis es mejor que el obtenido por josé. Justificación: Esto es porque la calificación estándar o normalizada de luis estuvo menos alejada del promedio que la de josé, por que estuvo 0.78 por debajo del promedio, en cambio la calificación de jose, estuvo más por debajo que la de luis, debido a que estuvo 0,82 por debajo de la calificación promedio, por esto se dice que estuvo más alejada y más por debajo que la de luis.
7. Un postulante presentó examen en las universidades A y B:
En la universidad A
Obtuvo calificación X= 325 . El promedio es de U=305 La desviación es S=26
En la universidad B
Obtuvo calificación X= 210 . El promedio es de U=195 La desviación es S=18
Para calcular en que examen fue mejor el resultado de las calificación del postulante, debo calcular la Z o variable normalizada en cada universidad.
Para la universidad A Z=
= 0.77
Para la universidad B Z=
= 0.833
En la universidad B el valor de Z = 0.833 mayor que el 0.77 indica que la calificación en esta universidad estuvo más alejada del promedio pero estuvo 0.8333 por encima del promedio, por esto decimos que en la universidad B, la calificación estuvo mejor, en relación con la universidad A.
8. Prueba de varones:
La media es u= 140 Desviación estándar S=24 Ana obtuvo x= 171
Prueba de mujeres :
La media es u= 162 Desviación estándar S=22 Juan obtuvo x= 151
a) Quien obtuvo mejor resultado, hallo el resultado de la variable estandarizada para cada persona en cada prueba:
Z=
= 1.30 Ana
Z=
= -0,5 Juan
Ana tuvo mejor calificación por que estuvo 1.3 puntos desviada por encima de la calificación promedio de mujeres, mientras que Juan estuvo -0,5 desviado por debajo (por ser negativo) de la calificación promedio de su prueba.
b) El rango percentil es que Ana tuvo un 1.3 puntos por encima del promedio de su prueba, entonces es el 1.3 % de la media u=162, o sea el rango percentil de Ana fue: 2,10%.
Y así mismo el rango percentil de juan es el -0,5% u=162, entonces el rango percentil de juan fue : -81%.
