FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS DEPARTAMENTO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA SERIE TEMA III Semestre: 2015-2 VARIABLES ALEATORIAS 1. El administrador de una empresa ha notado que la cantidad de inasistencias mensuales mensuales promedio de los trabajadores es una variable aleatoria con la siguiente distribución de probabilidad. x P(X=x)
0 0.2
1 0.4
2 0.3
3 0.1
Sea X la cantidad promedio de faltas de los trabajadores de la empresa. a) Obtenga la función de distribución distribución acumulada. acumulada. b) Si a la empresa empresa le cuesta cuesta 12 X
10
pesos cada vez que un trabajador falta, calcule calcule el
costo esperado. Respuesta b) $25.6 2. Sea
x
k
, p x k
la distribución de probabilidad de una variable aleatoria X tal que
X=x -1 p(x) 5 Obtener la función para la variable Y, si: a)
Y 3x 8
b)
Y
3x
2
0 8
1 11
2 14
2
3. Dada la función de distribución acumulada
0 0.1 F x 0.3 0.6 1
x 2
si
si 2 x si si si
0
x2 2 x 3
0
x
3
a) Calcule P(X > 1.5) b) Calcule P(X > 1.5 | X < 2.5) Respuesta a) 0.7, b) 0.5 4. La producción de artículos artículos domésticos por día día en una cierta fábrica es de 12 aparatos, de los cuales hay dos defectuosos. Se elige una muestra de 3 aparatos. Determine la función de probabilidad para la cantidad de aparatos defectuosos en la muestra.
5. Se sabe que un grupo de 5 componentes contiene dos defectuosos. Un inspector prueba los componentes uno por uno hasta encontrar los dos defectuosos. Una vez encontrado el segundo defectuoso se concluye la prueba, pero se prueba el segundo defectuoso como comprobación. Sea Y el número de pruebas necesarias hasta encontrar el segundo defectuoso. Obtener la distribución de probabilidad para Y. Respuesta 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 6. Considere un sistema de agua que fluye a través de las válvulas A y B mostradas en el diagrama. Las válvulas 1, 2, 3 y 4 funcionan independientemente y cada una se abre correctamente mediante una señal con una probabilidad de 0.8. Obtener: a) La distribución de probabilidad para el número de vías abiertas. b) La varianza de la distribución del inciso anterior. c) Calcule la probabilidad de que exactamente una vía esté abierta. d) La distribución de probabilidad para el número de válvulas abiertas. e) Calcule la probabilidad de que exactamente dos vías estén abiertas. 1
A
B
2
3
Respuestas a) 0.072, 0.416, 0.512, b) 0.3904, c) 0.416, e) 0.384
7. Suponga que X es una variable aleatoria que representa la vida en años de un cierto tipo de tubo que tiene una función de densidad f(x).
0 si f x a si 2 x
x 10 x 10
a) Obtenga el valor de la constante a para que f x sea una fdp. b) Obtener el valor de k tal que
P X k 0.75
c) Obtener sus medidas de tendencia central. d) Obtener sus medidas de dispersión. 8. Considere una variable aleatoria X continua, cuya función de probabilidad es:
k cos 2 x f ( x ) 0
0 x
4
otro caso
a) Calcule el valor de k para que f(x) sea una función densidad de probabilidad. b) Calcule la media y la varianza. c) Obtenga la función de distribución acumulada. d) Determine la mediana. e) Determine la moda. Respuestas: b) 0.2854, 0.0354, d) 0.2618
9. Suponga que el error en la lectura del consumo de energía eléctrica en Kw/hora, es una variable aleatoria continua X que tiene la función densidad de probabilidad:
x 2 f x 3 0
si
1 x
2
otro caso
a) Verificar que es una función densidad de probabilidad. b) Encuentre p(0≤x≤1) c) Encuentre de manera analítica y gráfica la función de distribución acumulativa y utilícela para evaluar P(0≤x≤1) d) Determine el valor esperado de h(x) = 4x + 3 e) Encuentre la variancia de h(x) = 4x + 3 10. Se sabe que la cantidad semanal de tiempo, en segundos, que un empleado llega tarde a trabajar es una variable aleatoria X con función de densidad:
a) Determine el tiempo promedio semanal de retardo del empleado. b) Determine la probabilidad de que el tiempo de retardo del empleado exceda su tiempo promedio de retardo semanal. Respuesta b) 0.5
