Serie 4: Dinámica 1. Un auto de una tonelada de masa se desplaza a 72 km/h. ¿Qué fuerza hace falta para detenerlo en 10 s? Datos: v a 72
km hr
20
m s
t 10s
Fd
=
ma a
ma 1000kg a
=
a
∆v ∆t 0 va t
2
m 2
s
3
Fd ma a 2 10 N
3
Fd 2 10 N
2. Considérese Considérese un bloque de masa m = 4 kg, jalado de una superficie horizontal lisa por una fuerza horizontal F, F, c omo lo muestra la figura. a)¿Cuál a)¿Cuál es la fuerza normal? b)¿Qué b)¿Qué fuerza F se requiere para dar al bloque una velocidad horizontal de 4 m/s en 2 s a partir del reposo? Datos: m b 4kg m v 4 s t 2s P m b g 39.227 39.227 N
a)
Fy
=
Nm P
0
=
0
Nm P 39.227 N
b)
Fx a
=
m b a
∆v
=
∆t v 0
a
t
m
2
2
s
F1 m b a
F1 8 N
3. Un niño arrastra un camión de 4 kg con una fuerza constante de 20 N que forma un ángulo d 37º con la horizontal. ¿Cuál es la fuerza normal? ¿Cuál es la aceleración del camión? (se supone despreciable el rozamiento y que el camión no se levanta del suelo) Datos: mc 4kg
P mc g 39.227 N
θ 37deg
Fa 20N Fax Fa cos( θ) 15.973 N Fay Fa sin( θ) 12.036 N
Fiy
=
m ay
i
Fy
=
Nm P Fay
=
i
Nm P Fay 27.19 N
Fix
=
m a
i
Fax a
Fax mc
=
m a
3.993
m 2
s
0
el cuerpo no se mueve en y
4. Un electrón avanza en línea recta del c átodo de un tubo a baja presión, a s u ánodo, que está exactamente a 2 cm de distancia. Parte con velocidad inicial cero y llega con una velocidad de 8,0 x 106 m/s. Suponga constante la aceleración y calcule la fuerza sobre el electrón. Tome como masa del electrón 9,1 x 10-31 kg. Datos: x 2cm v 0 0 6m
v f 8 10
s
31 me 9.1 10 kg
2
vf v 0
2
=
2
a
2 a x x0
v f v 0
2
2 x
15 m
1.6 10
2
s
15 Fe me a 1.456 10 N
5. Una persona de peso 750 N está subida a una balanza en un ascensor que sube con aceleración igual a 1,5 m/s2.a) ¿Qué peso indica la balanza? b) ¿Cuál sería la indicación si la aceleración está dirigida hacia abajo? .c) ¿Cuándo la balanza indicaría el verdadero peso de la persona? Datos: P 750N a 1.5
m
P 76.479 kg m p g
2
s
Cuando el ascensor s ube: el peso que indica la balanza será igual en magnitud a la fuerza normal que la persona ejerce sobre ella
Fiy
=
N P
=
m p a
i
N P m p a 864.718 N
Cuando la aceleración está dirigida hacia abajo: Tomando sentido positivo el la de la aceleración (hacia abajo)
Fiy
=
N P
=
m p a
i
N P m p a 635.282 N
La balanza indica el verdadero peso de la persona cuando está detenida o se mueve con MRU.
6. Un cuerpo de masa 50 g se encuentra en reposo en el origen, x = 0, sobre una superficie horizontal lisa. En el instante t = 0 se aplica sobre el cuerpo una fuerza de 10 dinas paralela al eje x, fuerza que es suprimida 5 s más tarde. a) ¿Cuáles son la posición y la velocidad del cuerpo en el instante t = 5 s? b) ¿Si la misma fuerza (10 dinas) se aplica de nuevo en el instante t = 15 s, ¿cuáles son la posición y la velocidad del cuerpo para t = 20 s? Datos: mc 50gm
F
F1 10dyne
F
F
X1 X2
t 1 5s
X3
t 2 15s t 3 20s
a) Posición y velocidad a los 5 s a
F1
0.2
mc
x 1
1 2
cm 2
s a t 1
2
x1 2.5 cm
b) Posición y velocidad a los 20 s De los 5s a los 15s el cuerpo se mueve con MRU, con velocidad de t 12 t2 t 1 10 s v a t1 1
cm s
La distancia recorrida con MRU será: x2 v t12 10 cm
De los 15s a los 20s el cuerpo se mueve con MRUA t 23 t3 t 2 5 s
x3 v t23
1 2
2
a t23 7.5 cm
Distancia total recorrida xt x 1 x2 x 3 20 cm
7. Un bloque que pesa 20 kgf s e encuentra en reposo sobre una superficie horizontal. El coeficiente estático de rozamiento entre el bloque y la superficie es de 0,4, y el dinámico es de 0,2. a) ¿Cuál es la fuerza de rozamiento ejercida sobre el bloque? b) ¿Cuál es la fuerza de rozamiento si se ejerce una fuerza horizontal de 5 kgf sobre el bloque? c) ¿Cuál es la fuerza mínima que pondrá al bloque en movimiento? d) ¿Cuál es la fuerza mínima que mantendrá el movimiento del bloque una vez iniciado? e) ¿Si la f uerza horizontal es de 10 k gf, c uánto valdrá l fuerza de rozamiento? Datos: P 20kgf
μe 0.4 μc 0.2 a) Fuerza de rozamiento sobre el bloque = 0 b) Fuerza de rozamiento s i se ejerce una fuerza horizontal de: F1 5kgf
Hay que comprobar si no se supera la fuerza de rozamientos est ática máxima La fuerza normal es igual a: Nm P Fr e.máx μe Nm 8 kgf
Cómo no se supera la fuerza de rozamiento estática máxima, en este caso la fuerza de rozamiento será igual a la fuerz F1 = 5 kgf
c) La fuerza mínima que pondrá el bloque en movimiento será una fuerza de 8 kgf, la de rozamiento estático máximo. d) La fuerza mínima para mantener el movimiento una vez iniciado
Fr c μc Nm 4 kgf
e) Si la fuerza es de 10 kgf supera la fuerza de rozamiento estático máximo, la fuerza de rozamiento será igual la fuerza de rozamiento cinétic o
8. Un auto pesa 104 N y se mueve por una cuesta que tiene un µc = 0,4. Hallar la fuerza de tracción que desarrolla el motor cuando el auto va con velocidad constante: a) por una cuesta arriba cuya pendiente es de 1 m por cada 25 m; b) por una cuesta abajo de la misma inclinación que la anterior. Datos: Pa 104N
μc 0.4 Puesto que la pendiente sube 1 m cada 25 m, l ángulo de inclinación de la pendiente es 1 α atan 2.291 deg 25
El diagrama del cuerpo libre del auto es el siguiente
y
N F
x
Fr P
0 3 1 2 , °
Py
Px Las fuerzas que actúan sobre el auto son: la fuerza de tracción F, la fuerza normal N, la fuerza de rozamiento Fr y el peso P. Elegimos un par de ejes coordanados cartesianos, que cuando un cuerpo se encuentra sobre un plano inclinado se suelen colocar inc linados, con el eje x paralelo al plano y el eje y perpendicular a este. Luego se descompone la fuerza peso en sus componentes x e y. Para ello utilizamos el ángulo α. El ángulo α de inclinación del plano es igual al ángulo que hay entre P y el eje y por perpendicularidad de los lados. Para hallar la fuerza de tracción hacemos sumatoria de fuerzas en la dirección x e igualamos a cero, ya que la aceleración del auto es c ero
Fix
=
F Fr Px
=
F Fr Pa sin( α)
i
F
=
Fr Pa sin( α)
La fuerza de rozamiento es:
=
m a
=
0
Fr
μc Nm
=
La fuerza normal es: Nm Pa cos( α) 103.917 N Fr μc Nm 41.567 N
Por lo que la fuerza de tracc ión será: F Fr Pa sin( α) 45.723 N
Si el automóvil se desplaza cuesta abajo el diagrama del cuerpo libre es:
y
N x F
Fr
P
° 0 3 1 2 ,
Py Px
F Fr Pa sin( α) 37.41 N
9. Por un plano inclinado de 35º, una persona arrastra un paquete de 60 kg con una soga que forma un ángulo de 20º con la superficie del plano. Si el coeficiente de rozamiento dinámico de 0,35, calcular la fuerza que hace si logra acelerar la caja a 2 m/s 2 Datos: θ 35deg m p 60kg
α 20deg μc 0.35 a 2
m 2
s
P m p g 588.399 N
El diagrama del cuerpo libre del paquete es:
F ° 0 5 2 ,2
20°
N Fr 8 , 5 3 ° 3
35°
P ° 0 , 5 3
35°
Descomponemos las fuerzas inclinadas respecto de los ejes
Fx
=
m ax
i
F cos( α) Px Fr
=
m p a
Px m p g sin( θ) 337.492 N
(1)
La fuerza de rozamiento será Fr
μc N
=
Para hallar la fuerza normal hacemos sumatoria de fuerzas en la dirección y:
Fy
0
=
i
N Fy Py
=
0
N
=
Py Fy
N
=
m p g cos( θ) F sin( 20)
Por lo que la fuerza de rozamiento será: Fr
=
μc m p g cos( θ) F sin( 20)
Y la ecuación (1) queda:
F cos( α) Px μc m p g cos( θ) F sin( α) F
m p a μc m p g cos( θ) Px cos( α) μc sin( α)
=
m p a
763.657 N
10. Si en el siguiente gráfico tenemos m 1 = 4 kg. apoyado sobre una superficie horizontal lisa, tirado por una cuerda que se encuentra fija al bloque de masa m2 = 3 kg. que cuelga de una polea. Suponemos que la polea no tiene mas a ni fricción y que simplemente s irve para cambiar de dirección la tensión de la cuerda en ese punto. Encuentre: a. la aceleración del sistema b. la tensión de la cuerda. c. expresar el resultado de la tensión de la cuerda en los tres sistemas de unidades Datos: m1 4kg m2 3kg N T
Diagrama del cuerpo libre del bloque 1 P1 m1 g
P1 39.227 N
P
Aplicando la segunda ley de Newton, suponiendo sentido de movimiento del sistema hacia la derecha (elegimos como sentido postivo para el sis tema el indicado en la f igura).
T
=
m1 a
(1)
T
Diagrama del cuerpo libre del bloque 2 P2 m2 g
P2 29.42 N
Aplicando la segunda ley de Newton, teniendo en cuenta el sentido postivo elegido: P2 T
m2 a
=
(2)
Con las ecuaciones (1) y (2) formo un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: T
=
4kg a
29.42N T
=
3 kg a
Sumando las ecuaciones y despejando a: a
29.42N 4kg 3kg
3m
2.67 10
2
s
Reemplazando en la ecuación 1 resulta: 4
T 4kg a 1.068 10 N
11. El bloque A de la figura pesa 1,5 kgf y el bloque B 15 kgf. El coeficiente de roce entre el bloque B y la superficie horizontal es de 0,1. a) ¿Cuál es el peso del bloque C si la aceleración de B es de 1,80 m/seg2 hacia la derecha? b) ¿Cuál es la tensión en cada cuerda cuando B tiene la aceleración indicada? Datos: PA 1.5kgf PB 15kgf
μ 0.1 a 1.8
m 2
s
PA 14.71 N PB 147.1 N
PA mA 1.5kg g PB
mB 15kg g
Todo el sistema se mueve hacia la derecha así que esa dirección es la que se toma como positiva
Diagrama del cuerpo libre del cuerpo A:
T1
Aplicando la segunda ley de Newton a este cuerpo (sentido positivo hacia arriba):
T1 PA
=
mA a
P A
De aquí obtenemos que: T1 PA mA a 17.41 N
N Diagrama del cuerpo libre del cuerpo B:
T1
El planteamiento de la ecuación de la segunda ley de Newton en el eje x resulta (sentido posit ivo hacia la derecha) T2 T1 Fr
T2
PB
Fr
mB a
=
La fuerza de rozamiento es: N PB Fr μ N 14.71 N
Por lo tanto, despejando de la ecuación anterior: T2 mB a T1 Fr 59.12 N
T2
Diagrama del cuerpo libre del cuerpo C La segunda ley de Newton resulta (sentido positivo hacia abajo): PC T2
=
PC T2
=
PC
PC a g
mC a PC g =
PC
a
T2
PC
T2 1
a g
72.411 N
El peso del cuerpo C también se puede hallar aplicando la segunda ley de Newton a todo el sistema considerando las fuerzas que actúan en la dirección del m ovimiento. Con el sentido positivo de la figura, resulta
PA Fr PC
=
PA Fr PC
=
a PC PC g PC
=
mA mB mC a m mB A
PC g
a
PA Fr mA a mB a
PA Fr mA a mB a 1
a
72.411 N
g
12. Los cuerpos de la figura tienen masas m1 = 200 kg y m2 = 180 kg. Los ángulos de inclinación de los planos son α = 30º y β = 60º Despreciando las masas de la polea y la soga y el rozamiento de los cuerpos con el plano y de la soga en la polea a. ¿Cuál es la aceleración del sistema y la tensión en la soga? b. ¿Qué ocurre con los ítems anteriores si el coeficiente de roce entre el cuerpo de masa m1 y la superficie de apoyo es de 0,1? Datos: m1 200kg m2 180kg
α 30deg β 60deg μ 0.1 a) Realizamos los diagramas de cuerpo libre de cada cuerpo y planteamos las ecuaciones de la segunda ley de Newton Los ejes x e y se toman inclinados, se supone que el sistema se mueve hacia la derecha (ese es el sentido que se toma positivo). Cuerpo 1: T P1 sin( α)
=
m1 a
(1)
Cuerpo 2:
T P2 sin( β)
=
m2 a
(2)
Con (1) y (2) formo un sistema de ecuaciones. Si sumamos 1 y 2 resulta
P1 sin( α) P2 sin( β)
=
m1 a m2 a
De donde: a
P2 sin( β) P1 sin( α) m1 m2
0.015
m 2
s
Lo mismo que en el caso anterior, s e podría haber considerado todo el sis tema como uno sólo y plantear la segunda ley de Newton con las fuerzas que actúan en la dirección del movimiento
P1 sin( α) P2 sin( β)
a
=
m1 m2 a
P2 sin( β) P1 sin( α) m1 m2
0.015
m 2
s
b) Si hay rozamiento entre el bloque 1 y el plano, las ecuaciones quedarán N P1 cos( α) 33.971 N Fr μ N 3.397 N
P1 sin( α) Fr P2 sin( β)
=
m1 m2 a
De donde:
a
P2 sin( β) P1 sin( α) Fr m1 m2
3m
6.495 10
2
s
