FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS DEPARTAMENTO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA Serie del Tema 3 Semestre: 2013 - 2 1.-
Para cada uno de los casos siguientes, definir una variable aleatoria adecuada y decir si es continua o discreta. a) Un ingeniero ambiental examina diez parcelas para ver si hay en ellas determinado tipo de insecto. b) Un técnico en control de calidad muestra una tela de producción continua, en secciones de metros cuadrados, y cuenta el número de defectos que observa en cada sección mostrada. c) Un metalurgista cuenta el número de granos que se ven en la sección transversal de una muestra de aluminio. d) El metalurgista de (c) mide la proporción de la superficie que cubren los granos de determinado tamaño, en lugar de tan sólo contarlos.
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Determinar el valor de c de tal forma que cada una de las siguientes funciones sirva como una distribución de probabilidad de la variable aleatoria X a) f X ( x ) = c ( x 2 + 4 )
⎛2⎞ ⎛ b) f X ( x ) = c ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ x⎠ ⎝3 1 , b) Respuesta: a) 30
3⎞ ⎟⎟ x⎠ 1 10
para x = 0 , 1 , 2 , 3. para x = 0 , 1 , 2 .
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Obtener la distribución de probabilidad para el número de discos de jazz cuando 4 discos se seleccionan al azar de una colección que consiste de 5 discos de jazz, 2 de música clásica y 3 de polka. Expresar el resultado por medio de una fórmula.
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Una fábrica produce diariamente diez recipientes de vidrio. Se puede suponer que hay una probabilidad constante p = 0.1 de producir uno defectuoso. Antes de que estos depósitos se almacenen son inspeccionados y a los defectuosos se les aparta. Supongamos que hay una probabilidad constante r = 0.1 de que un recipiente defectuoso sea mal clasificado. Sea X igual al número de recipientes clasificados como defectuosos al término de un día de producción. (Suponemos que todos los recipientes que se fabrican en un día se inspeccionan en un mismo día.) a) Calcular P ( X = 3 ) y P ( X > 3 ) . b) Obtener una expresión para P ( X = k ) Respuesta: a) 0.04 , 0.008
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Se sabe que, diariamente, el tiempo (en minutos) que una pareja de novios habla por teléfono, es una variable aleatoria con distribución
⎧c - x , x>0 ⎪⎪ e 40 f X (x) = ⎨ ⎪ 0 , en otro caso ⎪⎩ en donde c es una constante. a) Calcular el valor de c para el cual f X ( x ) es una función de densidad. b) Trazar la gráfica de la función de densidad. c) Calcular la probabilidad de que el tiempo que permanece al teléfono la pareja, en un día dado, sea mayor de 35 minutos. d) Calcular la probabilidad de que el tiempo que permanece al teléfono la pareja, en un día dado, no sea mayor de 15 minutos. e) Para cualquier real b , sea A ( b ) el evento de que la pareja habla durante más de b minutos. Determinar P [ A ( b ) ] . Demostrar que para a > 0 y b > 0, P [ A ( a + b ) | A ( a ) ] = P [ A ( b ) ] . Dicho con palabras: la probabilidad condicional de que una conversación telefónica dure más de a + b minutos, dado que ha durado por lo menos a minutos, es igual a la probabilidad incondicional de que dure más de b minutos. Respuesta: c) 0.417, d) 0.313 6.-
Si la densidad de probabilidad de una variable aleatoria está dada por 0 < x <1 ⎧ k x3 f X ( x )= ⎨ ⎩ 0 en otro caso Obtener: a) El valor de k 1 3 b) La probabilidad de que la v.a. tome valores entre y 4 4 2 c) La probabilidad de que la v.a. tome valores mayores que 3 d) Obtener la función de distribución. e) Con F X ( x ) calcular P ( X < 0.8 ) f) Con F X ( x ) calcular P ( 0.2 < X < 0.4 ) Respuesta: a) 4, c) 0.3125, e) 0.4096
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El período de funcionamiento hasta su primera falla (en cientos de horas) para cierto transistor, es una variable aleatoria Y con una función de distribución dada por 0 y <0 ⎧ ⎪ F Y ( y )= ⎨ 2 y ≥0 ⎪⎩ 1 - e - y a) Demostrar que F Y ( y ) tiene las propiedades de una función de distribución. b) Obtener f Y ( y ) c) Calcular la probabilidad de que el transistor trabaje por lo menos durante 200 horas hasta obtener su primera falla. 2 Respuesta: b) 2 y e - y , y ≥ 0
8.-
La proporción del tiempo, durante una semana de trabajo de 40 horas, durante la que estuvo en funcionamiento un robot industrial, se midió durante muchas semanas, las mediciones se pueden modelar con la siguiente función de densidad de probabilidad.
⎧2 x 0 ≤ x ≤ 1 f X ( x )= ⎨ ⎩ 0 en otro caso Si X representa la proporción del tiempo que este robot estará trabajando durante la semana venidera, calcular lo siguiente: a) P ( X > 21 ) b) P ( X >
1 | 2
X >
1 4
)
c) P ( X > X > ) d) Calcular F X ( x ) y trazar su gráfica, ¿eEs continua F X ( x ) ? 3 Respuesta: a) , c) 1 4 1 | 4
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1 2
Una gran empresa industrial compra varias máquinas nuevas de escribir cada año, cuya cantidad depende de la frecuencia de reparaciones en el año anterior. Suponga que el número de máquinas de escribir, X , que se compran cada año tiene la siguiente distribución de probabilidad:
x
0
1
2
3
fX ( x )
1 10
3 10
2 5
1 5
Si el costo del modelo que se desea adquirir permanece sin cambio en 1200 U.M. durante un año y se ofrece un descuento de 50 X 2 en cualquier compra, cuánto dinero espera esta firma invertir en máquinas de escribir para fin de año? Respuesta: 1855 10.-
La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria X es ; 0< x<3 ⎧ 4 x ( 9 - x2 ) ⎪ 81 f X ( x )= ⎨ ⎪ 0 ; en otro caso ⎩ Obtener: a) E ( 3 X - 4 ) b) E ( 2 X 2 - X - 3 ) 4 7 Respuesta: a) , b) 5 5
11.-
desviación La calificación promedio de un examen de probabilidad fue de 62.5 con una estándar de 10 . El profesor sospecha que el examen fue difícil. De acuerdo con lo anterior, desea ajustar las calificaciones de manera que el promedio sea de 70 y la desviación estándar de 8 . ¿Qué ajuste del tipo a X + b debe utilizar?
12.-
La demanda semanal de la revista amarillista "Buenos días México" tiene un comportamiento probabilístico que queda resumido en la función de distribución siguiente: Demanda semanal ( D s1 )
0
50
100
Probabilidad
0.1
0.7
0.2
a) Considerando que la demanda de una semana es independiente de otra, determinar la función de distribución del artículo a nivel catorcenal (i.e., cada dos semanas). b) Si la utilidad en función de la demanda catorcenal está dada por U = 10 D c - 200 , qué utilidad espera obtener catorcenalmente? c) Si otra revista amarillista "Hola DF" tiene la siguiente demanda:
Demanda semanal ( D s2 )
0
50
100
Probabilidad
0.2
0.5
0.3
Determinar cuál de las dos revistas es más conveniente tener en venta. Justificar la respuesta. Respuesta: b) 900 13.-
Supóngase que la variable aleatoria continua X tiene la siguiente función de densidad
f X ( x )=
1 -| e 2
x|
- ∞< x<∞
a) Obtener la función generadora de momentos de X b) Empleando la función generadora de momentos calcular E ( X ) y Var ( X ) Respuesta: b) 0 y 2 14.-
Un vendedor de automóviles usados encuentra que vende 0, 1, 2, 3, 4 o 5 autos a la semana con igual probabilidad. a) Obtener la función generadora de momentos para el número de automóviles vendidos. b) Mediante el uso de la función generadora calcular el valor esperado y la variancia del número de automóviles vendidos. 35 Respuesta: b) 12
15.-
La proporción de impurezas X de determinadas muestras de mineral de cobre es una variable aleatoria que tiene una función de densidad de probabilidad 2 0 ≤ x ≤ 1 ⎪⎧ 12 x ( 1 - x ) f X ( x )= ⎨ ⎪⎩ 0 en otro caso Si se seleccionan cuatro muestras de ellas en forma independiente, calcular la probabilidad de que: a) exactamente una de ellas tengan una proporción de impurezas mayor que 0.5; b) por lo menos una de ellas tenga una proporción de impurezas mayor que 0.5. Respuesta: a) 0.08392, b) 0.99046
16.-
Una variable aleatoria continua X tiene la función de densidad siguiente:
fX
⎧ 1 - 2x e ⎪ ( x )= ⎨ K ⎪ 0 ⎩
0 ≤ x≤1
, ,
en cualquier otro caso
Determinar: a) K . b) La expresión de la Función de Distribución Acumulada. c) P ( X ≥ 0.4 ) . d) La mediana. e) La moda. f) E ( X ) . g) La variancia. h) La desviación estándar. i) La función generadora de momentos. j) E ( X ) a partir de la función generadora de momentos. Respuesta: a) 0.4325, c) 0.3627, g) 0.0679, j) 0.3431
