Educação sem Fronteiras 7. Na figura, calcule a soma dos ângulos A, B, C, D, E e F. A
B E
D F C
8. No triângulo abaixo, Â = 38º, e
BD
e C D são bissetrizes internas. Calcule θ. A
8 9 9 1 e d o r i e r e v e f
e d 9 1 e d 0 1 6 . 9 i e L e l a n e P o g i d ó C o d 4 8 1 . t r A . a d i b i o r P o ã ç u d o r p e R
D θ
B
C
9. Observe a figura b
2b x
a
2a
Nela, a, 2a, b, 2b e x representam as medidas, em graus, dos ângulos assinalados. O valor de x, em graus, é (A) 100 (B) 110 (C) 115 (D) 120
10. Na figura, temos AD = D C = CB , e A B = A C . Calcule o valor de α. A
α D C
B
11. Na figura, temos AB = A C , e AE = AD . Calcule o valor de θ . A 50º
D θ
B
C
E
11
M A T E M Á T I C A
Educação
Educação sem Fronteiras 12. (UNIFICADO) Na figura abaixo, os pontos A, B e C representam as posições de três casas construídas numa área plana de um condomínio. Um posto policial estará localizado num ponto P situado à mesma distância das três casas. Em Geometria, o ponto P é conhecido com o nome de: (A) baricentro. A B (B) ortocentro. (C) circuncentro. (D) incentro. (E) ex-incentro. C 13. Em um triângulo ABC, temos  = 70º e ângulos de vértice H. Calcule-os.
B
= 60º. Ligando o ortocentro H aos vértices, obtemos três
14. No triângulo ABC, retângulo em A, temos interna relativas ao vértice A.
B
= 70º. Calcule o ângulo formado pela altura e pela bissetriz
8 9 9 1 e d o r i e r e v e f e d 9 1
15. (PUC) As dimensões do triângulo ABC são AB = 11, AC = 18 e BC = 20. Calcule o perímetro do triângulo AMN, sabendo-se que MN é paralelo a BC, que OB é a bissetriz do ângulo A B C e que OC é a bissetriz do ângulo A C B. A
M
N
B
C
A 16. No triângulo ABC, dado abaixo, os lados AB, AC e BC medem respectivamente 5 cm, 7cm e 9 cm. Se P C I ˆ e PQ//MB, PR//NC e MN//BC, calcule a razão é o ponto de encontro das bissetrizes dos ângulos Bˆ e C T Á entre os perímetros dos triângulos AMN e PQR. M E T A M
17. (UFRJ) Na figura a seguir, cada um dos sete quadros contém a medida de um ângulo expressa em graus. Em quaisquer três quadros consecutivos temos os três ângulos internos de um triângulo. 100º
x
65º
Determine o valor do ângulo X.
12
e d 0 1 6 . 9 i e L e l a n e P o g i d ó C o d 4 8 1 . t r A . a d i b i o r P o ã ç u d o r p e R
Educação sem Fronteiras ˆ = 80° e Pˆ = 60°. A medida do ângulo formado pela bissetriz do 18. 18 . (UFF) O triângulo MNP é tal que M ˆ com a bissetriz do ângulo externo Pˆ é: ângulo interno N (A) 20° (B) 30º (C) 40° (D) 50° (E) 60°
19. 19 . (PUC) No triângulo ABC, o ângulo CAB supera em 30 graus o ângulo ABC; D é um ponto sobre o lado BC tal que AC = CD. Então a medida (em graus) do ângulo BAD é: 1 (A) 30 (B) 20 (C) 22 (D) 10 (E) 15 2 20. 20 . Na figura, ABCD O ângulo α mede:
é
um
quadrado,
D
8 9 9 1 e d o r i e r e v e f
e d 9 1 e d 0 1 6 . 9 i e L e l a n e P o g i d ó C o d 4 8 1 . t r A . a d i b i o r P o ã ç u d o r p e R
e
ABE
é
um
triângulo
eqüilátero.
A
E α
C
(A) 10°
(B) 15°
21. 21 . Na figura, calcule
B
(C) 20°
(D) 25°
(E) 30°
A + B+ C + D+ E + F
A
D
C F
B
120º
E
G
22. 22 . (UERJ) Se um polígono tem todos os lados iguais, então todos os seus ângulos internos são iguais: Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se usar como exemplo a figura denominada: (A) Losando
(B) Trapézio
(C) Retângulo (D) Quadrado
23. 23 . Observe o cubo ABCDEFGH desenhado abaixo. Se M e N são os pontos médios das arestas AE e CG, demonstre que o quadrilátero é um losango.
24. Considere a asserção (A) e a razão (R) A : "Todo retângulo retângulo é um paralelogramo", porque p orque R : "As diagonais do retângulo são congruentes" pode-se dizer que: A) (A) e (R) são verdadeiras e (R) justifica (A) B) (A) e (R) são verdadeiras e (R) não justifica (A) C) (A) e (R) são falsas D) (A) é verdadeira e (R) falsa E) (A) é falsa e (R) é verdadeira
13
M A T E M Á T I C A
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Educação sem Fronteiras 25. (FUVEST) (FUVEST) No retângulo ao lado, o valor, v alor, em graus, graus, de α + β é (A) 50 (B) 90 40º β (C) 120 (D)130 α (E) 220 26. (UNIFICADO) A
B A
B
E
B A
C F
D
C
D
fig. 1
C fig. 2
D f ig. 3
Origami é a arte art e japonesa das dobraduras de papel. Observe as figuras fi guras acima, onde estão descritos os passos iniciais para se fazer um passarinho: comece marcando uma das diagonais de uma folha de papel quadrada. Em seguida, faça coincidir os lados AD e CD sobre a diagonal marcada, de modo que os vértices A e C se encontrem. Considerando-se o quadrilátero BEDF da fig. 3, pode-se concluir que o ângulo BED BE D mede: (A) 100º (B) 112º 30’ (C) 115º (D) 125º 30’ (E) 135º
27. 27. (UNIFICADO)
No quadrilátero ABCD da figura acima, são traçadas as bissetrizes CM e BN, que formam entre si o ângulo
A α. A soma dos ângulos internos A e D desse quadrilátero corresponde a: C α α I T (A) 3α (B) 2α (C) α (D) (E) (E) 2 4 Á M E 28. 28. (UNICAMP) Um trapézio retângulo é um quadrilátero convexo plano que possui dois ângulos retos, um T ângulo agudo α e um ângulo obtuso β. Suponha que, em um tal trapézio, a medida de β seja igual a A cinco vezes a medida de α. M
A) Calcule a medida de α, em graus. B) Mostre que o ângulo formado pelas bissetrizes de α e β é reto.
29. PUC) Considere o triângulo ABC em que AB = BC = l. Seja D o ponto médio de AC, e E o ponto médio de AB. O comprimento de DE vale: 2 2 1 1 1 (A) (A) (B) (C) (C) (D) (E) 3 4 2 2 4
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8 9 9 1 e d o r i e r e v e f e d 9 1
e d 0 1 6 . 9 i e L e l a n e P o g i d ó C o d 4 8 1 . t r A . a d i b i o r P o ã ç u d o r p e R
Educação sem Fronteiras 30. Cada triângulo da figura é construído unindo-se os pontos médios dos lados do triângulo anterior. Determine x, sabendo que o perímetro do triângulo ABC é 16. B
0, 8
x 1,5
A
C
31. ABCD é um quadrilátero cujas diagonais medem 10cm 1 0cm e 14cm. Calcular o perímetro do paralelogramo cujos vértices são os pontos médios dos lados desse quadrilátero. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f
e d 9 1 e d 0 1 6 . 9 i e L e l a n e P o g i d ó C o d 4 8 1 . t r A . a d i b i o r P o ã ç u d o r p e R
32. (UNIFICADO) (UNIFICADO) Em relação à fig f igura ura abaixo, considere: co nsidere: (I) AB é um diâmetro da circunferência de centro O; (II) a reta "t", paralela à corda AR , é tangente à circunferência no ponto T; (III) o ângulo BÂR mede 20°. t T
x A
O
R B
Então, a medida do ângulo x formado pela reta t e pela corda AT é: (A) 25° (B) 35° (C) 40° (D) 45° (E) 60° 33. Na figura, Â = 56º, EDC EDC = 107º e BCD = 93º. Então, o arco CMD mede: (A) 37º (B) 14º 0 E B (C) 100º A (D) 56º C D (E) 44º M 34. Na figura dada abaixo, os segmentos de reta AP e DP são tangentes à circunferência, o arco ABC mede ˆ mede 45º. Calcule a medida do ângulo APD ˆ . 110º e o ângulo CAD
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Educação sem Fronteiras 35. Na figura abaixo, x = 42º 22’ e y = 22º 10’. Calcular CD. P
C
y
A x
D
B
36. Na figura, A L é o lado de um quadrado inscrito e BM , o lado do decágono regular inscrito. Calcule a medida do ângulo x. L M
A
x B
0
37. A corda BC do círculo maior é tangente ao menor em D e o arco CÂE. E
B
D
BE
= 60º. Calcule a medida do ângulo
C
A
Q Q’
38. (UFRJ) Na figura a seguir, A não pertence ao plano determinado pelos pontos B, C e D. Os pontos E, F, G e H são os pontos médios dos segmentos AB, BC, CD e DA, respectivamente. A C I T Á M E T A M
A
E B
H
F
C
G
D
Prove que EFGH é um paralelogramo.
GABARITO 1)
E
2)
A
3)
3
4)
D
5)
A
6)
C
7)
3600
8)
1090
9)
D
10)
360
14)
250
15)
29
19)
E
2 0)
E
0
AHB = 130
11)
250
12)
C
1 3)
0
AHC = 120
BHC = 110 16) 21) 26) B
4 3 3000
31) 24 36)
270
0
17)
150
1 8)
22) 2 7)
A B
2 3) DEMO 28) A) 300 B) DEMO
24) 29)
B D
2 5) 30)
D 1,7
32)
B
3 3)
34)
20°
3 5)
200 12`
37)
300
C
E
16
8 9 9 1 e d o r i e r e v e f e d 9 1
e d 0 1 6 . 9 i e L e l a n e P o g i d ó C o d 4 8 1 . t r A . a d i b i o r P o ã ç u d o r p e R
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