PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ CENTRO PREUNIVERSITARIO SEMINARIO DE GEOMETRÍA Y MEDIDA SEMANA 3 − CIENCIAS 2014.0
1.
Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que
∠
AOB = 30°y
∠
COD CO D = 72° 72 °.
Halla la medida del ángulo formado por las bisectrices de
2.
∠
AOC y
∠
BOD.
A. 51°
C. 42°
B. 61°
D. 72°
En un triángulo isósceles ABC (AB = BC), la altura AF intersecta a la altura BH en O. Si OB = 5 cm y OH = 1 cm. Calcula OA. A. 2 B.
3.
2 3
cm
C. 2
cm
D.
3 7
cm
cm
En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), se trazan la altura BH y las perpendiculares HM y HN ,
M
∈ AB
, N
∈ BC .
Si AM = 8 cm,
NC = 27 cm, calcula 2AB + 3BC.
4.
A. 169 cm
C. 160 cm
B. 148 cm
D. 174 cm
Calcula la secante del mayor ángulo agudo de un triángulo rectángulo. Sabiendo que sus lados están en progresión aritmética. A. 4/3
C. 3/4
B. 5/3 5/3
D.
3
5.
En la figura, calcula tan θ. A
M θ ≅ 37°
B
6.
A. 1/2
H C. 4/5
B. 2/3
D. 3/4
C
En la figura, AF = FE, M es punto de tangencia. Si CD = 3AB, calcula tan B
A
α.
C
α
M
≅ 53°
F
7.
D
E
A. 1/4
C. 2/5
B. 1/2
D. 1/3
En un triángulo ABC, se traza la mediana AM . En el triángulo ABM, se traza la mediana F es punto de AC, tal que
MF
//
BQ .
BQ .
Si
BQ = 12 cm, halla MF.
8.
A. 6 cm
C. 4 cm
B. 8 cm
D. 9 cm
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide L y un ángulo agudo mide
θ.
Calcula la
longitud de la bisectriz relativa a la hipotenusa. A. B.
L sen θ 1 + tan θ
L
2 cot θ
1 + cot θ
C. D.
L
2 cos θ
1
+ tan θ
L 1
2
sen θ
+ tan θ
9.
En la figura mostrada determina x en términos de r y θ. M es punto de tangencia.
M
x r
θ
O A. r tan θ (csc θ − 1) B. r tan θ (csc θ + 1) C. r cot θ (sec θ − 1) D. r cot θ (sec θ + 1)
10. En la figura, AB = BC, BI = CE y
BC ⊥ CE .
Si I
es el incentro del triángulo ABC, calcula α. B α
E I
2α
A
C
A. 30°
C. 15°
B. 18°
D. 24°
11. En un triángulo ABC, por el punto medio de la mediana AM se traza AB
A. B.
y S en 2 3 3 4
BC ).
RS paralelo
a
Halla RS; si AC = a.
a
C.
a
D.
a 2
a 3
AC (R
en
12. Dado un cuadrado ABCD, por el vértice B se traza una recta exterior; desde C y D se trazan las perpendiculares
CF y DE a
dicha recta. Si
EB = 1 cm y BF = 3 cm, calcula la longitud del lado del cuadrado (B está entre E y F). A. 5 cm
C. 7 cm
B. 6 cm
D. 6,5 cm
13. En la figura mostrada, calcula x, si AB = 1 cm y BC = 2 cm. B x C
A
D A. 15°
C. 18°30'
B. 30°
D. 26°30'
14. Si las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo se diferencian en 4 cm y la hipotenusa es 4 cm mayor que uno de ellos, halla la longitud de la hipotenusa. A. 16 cm
C. 15 cm
B. 20 cm
D.
4 cm
15. En un triángulo ABC, se sabe que BC = 10 m y AC 2 + AB 2 = 250 m 2 . Luego se trazan la mediana AM y la altura AH (M y H en BC ). Si HM = 4 m, halla AH. A. 5
5
m
B. 2
15
m
C. 2
21
D. 3 m
m
16. En un triángulo ABC, recto en B, las medianas AM y BN se cortan perpendicularmente. Si AM =
A.
BN, halla
2
AB BC
1
3
C.
2
B. 2
.
2
D.
2
2 /
2
17. En un triángulo ABC, se traza interior del ángulo B y MN //
BM
BC (N
bisectriz
en
AB
). Si
AB = 15 cm y BC = 10 cm, halla AN. A. 6 cm
C. 10 cm
B. 9 cm
D. 7,5 cm
18. En un triángulo ABC,
∠
BAC = 2
∠
BCA. Por
el vértice B, se traza una recta perpendicular a BC que
intersecta a la prolongación de
CA en
J. Si JA = 2 cm y AC = 6 cm, halla AB. A. 2 cm
C. 3 cm
B. 4 cm
D. 6 cm
19. Sobre los lados
BC
y
AC
de un triángulo
ABC, se ubican los puntos P y Q respectivamente tal que 2BP = 3PC, QC = 8 cm y AQ = 22 cm. Calcula
∠
PQC, si
∠
BAC = 40°y
PQ = 4 cm. A. 82°
C. 60°
B. 80°
D. 65°
20. En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa mide 24 m y la longitud de la hipotenusa es 5/4 de la longitud de un cateto. Calcula el perímetro del triángulo. A. 120 m
C. 98 m
B. 110 m
D. 90 m
