Seminar Ski Rad - PDJ

UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA – NOVI SAD Građevinarstvo / Konstrukcije

PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE U TEORIJI PLOČA – seminarski rad –

Mentor rada:

Kandidat:

prof. dr Nebojša Ralević

Igor Džolev

Novi Sad, avgust 2010.

Parcijalne diferencijalne jednačine u teoriji ploča

Sadržaj

Uvod ...................................... ................................................................. .............................................. .............................................. ............................................... ................................. ............. 3 Površinski elementi opterećeni na n a savijanje........................................ .................................................................. ........................................... ................. 5 Zavisnost između napadnih momenata i ugiba pri čistom savijanju ploča .................................... 7 Parcijalna diferencijalna jednačina elastične površine ............................................................. ................................................................. .... 13 Konturni uslovi .............................................. .................................................................. ............................................... ............................................... ................................. ............. 16 Slobodno oslonjene pravougaone ploče opterećene po sinusnoj površini .................................. .................................. 18 Navier -ovo -ovo rešenje za slobodno oslonjenu pravougaonu ploču........................................... ploču................................................... ........ 21

-evo rešenje za slobodno oslonjenu pravougaonu ploču opterećenu Maurice Lévy -evo j ednakopodeljenim opterećenjem......................................... ............................................................. ............................................... ................................... ........ 24 Osnovni principi metode konačnih elemenata u teoriji konstrukcija ........................................... ........................................... 27 Analiza analitičkog (Navier i M. Lévy ) i numeričkog (MKE ) rešenja zadatka........................... zadatka................................. ...... 29 Literatura....................................... ................................................................ ............................................. ............................................... ............................................... ........................ .... 35

2


Uvod

Osnovni elementi površinskih nosača su ploče i ljuske, koji se mogu definisati kao tela kod kojih je jedna dimenzija (debljina) znatno manja u odnosu na preostale dve. Površ, koja polovi debljine tog tela, naziva se srednja površ, i ako je ona ravna reč je o pločama, a ako je to prostorna površ, onda je reč o ljuskama. U ravne površinske nosače spadaju ploče opterećene u svojoj ravni – pločasti nosači. i ploče opterećene upravno na svoju ravan, tj. opterećene na savijanje – ploče. U ovom seminarskom radu obrađeni su slobodno oslonjeni, ravni površinski nosači pravougaonog oblika opterećeni na savijanje (ploče). Prikazane su neke analitičke metode za analizu i proračun ploča, kao i jedna numerička metoda za rešavanje problema. Dato je izvođenje parcijalne diferencijalne jednačine ploče i pokazana su dva analitička rešenja za specijalne slučajeve oslanjanja i opterećenja. Opšte rešenje ove parcijalne diferencijalne jednačine ne postoji, te se partikularni integrali traže zavisno od graničnih uslova po konturi ploče. Samo se mali broj rešenja može dobiti u konačnom (zatvorenom) obliku koji bi bio prihvatljiv za primenu. Algoritam primene analitičkih metoda može da se prikaže sledećim koracima: definisanje zavisnosti između geometrijskih i fizičkih veličina na elementu diferencijalno malih dimenzija, proširenje zavisnosti prosečnih vrednosti tih veličina na ceo domen, čime se dobijaju obične ili parcijalne diferencijalne jednačine, integralne ili integro-diferencijalne jednačine, definisanje konturnih i/ili graničnih uslova, rešavanje ovako definisane jednačine - dobijanje rešenja u obliku neprekidne funkcije koja zadovoljava navedene uslove. [4] Osnovna prednost takvog koncepta je dobijanje rešenja u obliku funkcije koja važi za čitavu klasu problema. Tačnost rešenja zavisi samo od tačnosti polaznih pretpostavki, odnosno od nivoa idealizacije. Takve metode značajne su zbog činjenice da rešenja dobijena njihovom primenom mogu da budu dobra polazna osnova za formulisanje odgovarajućih numeričkih modela. Međutim, osnovni nedostatak tog koncepta su teškoće u obezbeđenju rešenja u tzv. “zatvorenom obliku”. Naime, samo za mali broj najjednostavnijih problema može da se nađe •

•

• •

3


rešenje u obliku funkcije koja eksplicitno definiše vezu između geometrijskih i fizičkih veličina problema. Drugi bitan nedostatak je “konzervativnost” rešenja. Male promene u topologiji problema, konturnim uslovima ili konfiguraciji dejstva, zahtevaju ponavljanje svih navedenih koraka postupka rešavanja analitičkom metodom. Iz tog razloga razvila se potreba za pojavom i razvojem numeričkih metoda, kao što je metoda konačnih elemenata (MKE). MKE je metoda numeričke analize zasnovana na fizičkoj diskretizaciji, umesto na matematičkoj aproksimaciji jednačina problema. Umesto elemenata diferencijalno malih dimenzija, osnova svih razmatranja je element konačnih dimenzija. Jendačine za definisanje stanja neke statičke ili kinematičke veličine u okviru konačnog elementa, a time i problema u celini, nisu diferencijalne ili integralne, već algebarske, čije se rešavanje može lako sprovesti od strane elektronskih računara.

4


Površinski elementi opterećeni na savijanje

Ako su ploče opterećene samo transverzalnim opterećenjem, tj. opterećenjem upravnim na ravan ploče, u presecima postoje sledeće unutrašnje sile: transverzalne sile (upravne na ravan ploče) - Q x i Q y momenti savijanja - M x i M y momenti torzije - M xy = M yx Srednja ravan se deformiše i prelazi u elastičnu površ ploče. Za ovako opterećene ploče, kao što je napomenuto, kaže se da su izložene transverzalnom opterećenju ili da su izložene savijanju, i za njih je uobičajen naziv (samo) ploče. Ugibi i naponi u ploči opterećenoj na savijanje zavise uglavnom od odnosa njene debljine prema ostalim dimenzijama. Na taj način, razlikujemo tri vrste ploča: 1. Tanke ploče sa malim ugibima 2. Tanke ploče sa velikim ugibima 3. Debele ploče Tanke ploče sa malim ugibima. Ako su ugibi w ploče mali u odnosu na njenu debljinu h , može se izvesti zadovoljavajuća približna teorija savijanja ploče poprečnim opterećenjem polazeći od sledećih pretpostavki: U srednjoj ravni ploče nema deformacija. Ta ravan ostaje neutralna pri savijanju. Tačke ploče koje su prvobitno bile na normali na tu srednju ravan, ostaju i nakon deformacije na normali na srednju površinu savijene ploče. Normalni naponi u presecima paralelnim srednjoj ravni plo;e su mali u odnosu na ostale komponentalne napone i mogu da se zanemare. Uz ove pretpostavke svi komponentalni naponi mogu da se izraze pomoću ugiba w ploče, koji je funkcija dveju koordinata u ravni ploče. Ova funkcija mora da zadovolji izvesnu parcijalnu diferencijalnu jednačinu, koja uz konturne uslove potpuno određuje w , čime se dobijaju svi potrebni podaci za izračunavanje napona u nekoj tački ploče. Druga pretpostavka znači zanemarivanje uticaja smičućih sila na ugib ploče. Ova pretpostavka je obično opravdana, ali u nekim slučajevima (npr. u slučaju otvora u ploči) uticaj smicanja postaje značajan, pa se u teoriju tankih ploča moraju uvesti izvesne ispravke. Ako sem poprečnog opterećenja deluju i spoljašnje sile u srednjoj ravni ploče, prva od pretpostavki ne važi, pa se mora uzeti u obzir uticaj napona u srednjoj ravni ploče na njeno • • •

• •

•

5


savijanje. Ovo se može postići uvođenjem izvesnih naknadnih članova u gore spomenutu diferencijalnu jednačinu ploča. Tanke ploče sa velikim ugibima. Prva od pretpostavki je potpuno zadovoljena samo u slučaju kad se ploča savija u razvojnu površinu. U drugim slučajevima, savijanje ploče je praćeno naponima u srednjoj ravni, ali račun potvrđuje da se ti naponi mogu zanemariti dok ugibi ploče ostaju mali u poređenju sa njenom debljinom. Ako ugibi nisu mali, pri izvođenju diferencijalne jednačine naknadni naponi moraju da se uzmu u obzir. Tada se dobijaju nelinearne jednačine i rešenje problema postaje znatno složenije. U slučaju velikih ugiba takođe moramo razlikovati nepokretnu konturu od konture pomerljive u ravni ploče, što može znatno uticati na veličinu ugiba i napona u ploči. Zbog krivine deformisane srednje ravni ploče, uticaj naknadnih napona zatezanja suprotan je uticaju zadatog poprečnog opterećenja. Tada se uticaji prenose delom otpornošću ploče na savijanje, a delom naprezanjem ploče kao membrane. Debele ploče. Gorepomenute približne teorije tankih ploča postaju nesigurne u slučaju ploča znatne debljine, naročito kod jako koncentrisanih tereta. U tom slučaju, mora da se koristi teorija debelih ploča. Ova teorija posmatra problem ploča kao trodimenzionalni problem elastičnosti. Samim tim, analiza napona postaje složenija. U daljem tekstu razmatraće se tanke ploče sa malim ugibima.

6


Zavisnost između napadnih momenata i ugiba pri čistom savijanju ploča

Pri proučavanju čistog savijanja prizmatičnih štapova dobija se tačno rešenje za raspodelu napona iz pretpostavke da poprečni preseci štapa pri savijanju ostaju ravni i upravni na elastičnu liniju. Kombinacija takvih savijanja za dva uzajamno upravna pravca dovodi do čistog savijanja ploča. Pretpostavimo da je My pravougaona ploča opterećena jednakopodeljenim momentima duž strana te x ploče, kao što je prikazano na slici 1. Usvojimo Mx za xy -ravan srednju ravan ploče pre njenog savijanja, a x i y -ose duž njenih strana. Pozitivan smer z -ose, koja je u tom slučaju upravna na srednju ravan, neka bude usmeren na dole. Sa M x označimo napadni moment po jedinici y z Slika 1 dužine na stranama paralelnim y -osi, a sa M y moment po jedinici dužine na stranama paralelnim x -osi. Momenti su pozitivni ukoliko zatežu donju ivicu ploče. Debljinu ploče obeležavamo sa h i smatramo je malom u poređenju sa ostalim dimenzijama. dx

Posmatrajmo element isečen iz ploče sa dy dva para ravni paralelnih xz i yz -ravnima, kao što h/2 je prikazano na slici 2. Kako je slučaj prikazan na slici 1 kombinacija dvaju čistih savijanja, naponsko n stanje je isto u svakom elementu, kao što je n n prikazano na slici 2, i imamo čisto savijanje ploče. h/2 z Pretpostavimo da prilikom savijanja ploče poprečne strane elementa ostaju ravne i okreću dz se oko neutralnih osa nn tako da ostanu upravne na srednju površinu savijene ploče. Na taj način Slika 2 može se zaključiti da u srednjoj ravni ploče nema dilatacija pri savijanju. Označimo sa 1/ r x i 1/r y krivine neutralne površine u presecima paralelnim xz odnosno yz -ravni. Tada se dilatacija

7


elementarnog sloja abcd (slika 2) u x i y -pravcima na odstojanju z od neutralne površine, određuje slično kao kod grede

   ;   .

(1)

Prema Hooke-ovom zakonu, između dilatacija ε x i ε y i normalnih napona σ x i σ y postoji zavisnost

     ;     

(2)

gde je E modul elastičnosti materijala, a ν Poisson-ov koeficijent. Rešavanjem sistema jednačina (2) po σ x i σ y

, dobijamo

  1   ;   1   .

(3)

Uvrštavanjem (1) u (3), odgovarajući naponi u sloju abcd su

   1  1 ,   1      1  1 .   1  

(4)

Ovi naponi su proporcionalni odstojanju z sloja abcd od neutralne površine i zavise od veličina krivina savijene ploče. Pri proučavanju malih ugiba ploče, njena srednja ravan uzima se za xy -ravan. Usled savijanja ploče, tačke te ravni dobijaju mala pomeranja w upravna na nju i stvaraju srednju površinu ploče. U daljem izlaganju ova pomeranja ploče zovemo ugibima ploče. Uzimajući normalan presek ploče paralelan xz -ravni, vidimo da je nagib srenje površine u x -pravcu . Na isti način, nagib u y -pravcu je . Uzimajući neki pravac an u xy -ravni koji formira ugao α sa x -osom, nalazimo da je razlika ugiba dveju susednih tačaka a i a1 na pravcu an

  /

  /

      

(5)

         cos   sin.       

(6)

a odgovarajući nagib

Pri određivanju krivine srednje površine ploče uzimamo u obzir da su njeni ugibi vrlo mali. Tada se nagib površine u nekom pravcu može smatrati jednakim uglu koji tangenta na površinu u tom pravcu zaklapa sa xy -ravni, a kvadrat nagiba može da se zanemari prema jedinici. Krivina površine u ravni paralelnoj xz -ravni je brojno jednaka

8


1        .    

(7)

Krivinu smatramo pozitivnom ako je konveksna strana usmerena nadole. Negativan predznak u jednačini (7) uzet je zato što je drugi izvod negativan kad je konveksna strana ugiba usmerena nadole.

⁄ 

Na isti način nalazimo krivinu u ravni paralelnoj yz -ravni

1        .    

(8)

Ovi izrazi su slični onima koji se koriste pri proučavanju krivine savijene grede. Normalni naponi raspoređeni po poprečnim stranama elementa na slici 2 svode se na spregove čiji momenti za jedinicu dužine moraju biti jednaki spoljnim momentima M x i M y . Na taj način dobijamo jednačine

 ⁄

   ,

⁄  ⁄

(9)

   .

⁄

Kad uvrstimo izraze (7) i (8) u izraz (4), a zatim sve to u (9), dobijamo

 ⁄

           1               , ⁄  ⁄             1              , ⁄

(10)

    121

(11)

gde je

krutost ploče na savijanje , a w ugib ploče u pravcu z -ose. Posmatrajmo napone u preseku sloja abcd paralelnom z -osi, a nagnutom prema x i y osama. Ako je acd deo tog sloja, kao na slici 3, onda napon na strani ac možemo naći iz jednačina ravnoteže. Razložimo li ovaj napon na normalni napon σ n i smičući τ nt , veličine tih komponenata nalazimo projektujući sile koje napadaju element acd , na pravce n odnosno t ,

odakle dobijamo jednačine

9


   cos   sin ,   12  sin2,

(12)

gde je α ugao normale n sa x -osom, odnosno pravca t sa y -osom. Ugao se smatra pozitivnim u smeru kazaljke na satu.

Slika 3

Ako uzmemo sve slojeve, kao što su acd na slici 3, po debljini ploče, normalni naponi σ n u njima daće napadni moment u preseku ac ploče, čija je veličina po jedinici dužine

 ⁄

      cos  sin .

(13)

⁄

Smičući napon τ nt stvara u preseku ac ploče torzioni moment, čija je veličina po jedinici dužine

 ⁄

      12 sin2 .

(14)

⁄

Znaci kod M n i M nt uzeti su tako da su pozitivne vrednosti tih momenata predstavljene vektorima u pozitivnim pravcima n odnosno t, ako se uzme desni sistem. Za ili , jednačina (13) daje . Za ili , imamo . Za ove vrednosti α momenti postaju nula. Kad u jednačinu (13) uvrstimo izraze iz (10), nakon sređivanja, dobijamo

     ⁄2   3 ⁄2

gde je

⁄

  0      

          

(13)

dato izrazom (6), a analogno tome je

         sin  cos.        10

(14)


Za određivanje izraza za torzioni moment M nt , posmatramo deformaciju sloja abcd sa stranama ab i ad paralelnim pravcima n i t na odstojanju z od sredine ravni, slika 4.

Slika 4

Prilikom savijanja ploče, tačke a, b, c i d dobijaju mala pomeranja. Obeležimo pomeranja tačke a u pravcima n i t sa u , odnosno v . Tada je pomeranje susedne tačke d u pravcu n, , a pomeranje b u pravcu t je . Pomoću ovih pomeranja nalazimo klizanje

  ⁄

  ⁄

    

(15)

     .

(16)

i odgovarajući smičući napon

Iz slike 4 desno, koja prikazuje presek srednje površine i normalne ravni kroz n-osu, vidi se da je ugao skretanja u smislu suprotnom od kazaljke na satu elementa pq , koji je u početku bio upravan na xy -ravan, oko ose upravne na nz-ravan jednak . Usled tog skretanja, tačka elementa na odstojanju z od neutralne površine dobiće pomeranje u n-pravcu

⁄

   .

(17)

Posmatrajući normalni presek kroz t osu, može se pokazati da ista tačka dobija pomeranje u t -pravcu

   .

(18)

Kad ove vrednosti uvrstimo u (16), biće

    2 , a jednačina (14) za torzioni moment postaje

11

(19)


⁄

           6   1  , ⁄

(20)

 .   21

(21)

s obzirom da je

12


Parcijalna diferencijalna jednačina elastične površine

Pretpostavimo da je opterećenje upravno na površinu ploče i da su ugibi mali u poređenju sa njenom debljinom. Pretpostavimo, takođe, da kontura ploče može slobodno da se pomera u svojoj ravni. Tada su sile otpora na konturi upravne na ploču. Čineći ove pretpostavke možemo zanemariti komponentne deformacije u srednjoj ravni ploče pri savijanju. Uzmimo koordinatne ose x i y u srednjoj ravni ploče, a z -osu upravno na nju, i posmatrajmo element isečen iz ploče sa dva para ravni paralelnih xz i yz -ravnima, kao što je prikazano na slici 5.

Slika 5

Sem napadnih momenata M x i M y i torzionih momenata M xy , ovde se javljaju još i vertikalne transverzalne sile na stranama tog elementa. Veličina ovih transverzalnih sila po jedinici dužine paralelno y odnosno x -osi beležimo sa Q x i Q y , tako da je

 ⁄

 ⁄

    ,    . ⁄

(22)

⁄

Kako su momenti i transverzalne sile funkcije koordinata x i y , moramo, posmatrajući uslove ravnoteže elementa, uzeti male promene njihovih veličina kada koordinate x i y dobiju male priraštaje dx i dy . 13


Takođe moramo uzeti u obzir opterećenje raspoređeno na gornjoj površini ploče. Intenzitet ovog opterećenja beležimo sa q , tako da je ukupno opterećenje koje deluje na element jednako . Ako na z -osu projektujemo sve sile koje deluju na element, dobijamo sledeću jednačinu ravnoteže



       0,  

(23)

     0.  

(24)

iz koje je

Kada uzmemo momente svih sila koje napadaju element u pravcu x -ose, dobijamo jednačinu ravnoteže

       0.  

(25)

Moment opterećenja q i moment koji stvara promena sile Q y zanemareni su u ovoj jednačini kao male veličine višeg reda. Posle skraćenja, jednačina (25) daje

     0.  

(26)

Na isti način, uzimajući momente koji deluju u pravcu y -ose, dobijamo

     0.  

(27)

Kako nema sila u pravcu x i y -ose i momenata u pravcu z -ose, tri jednačine (24), (26) i (27) daju sve uslove ravnoteže elementa. Iz jednačina (26) i (27) eliminišemo transverzalne sile i stavimo ih u jednačinu (24). Onda nalazimo

        .    

Kako je obliku

  

(jer je

  

(28)

), jednačinu ravnoteže dobijamo u sledećem

   2   .   

(29)

U dobijenu diferencijalnu jednačinu, veličine momenata savijanja i torzionih momenata, predstavićemo preko ugiba w ploče iz prethodnog poglavlja. Uzimajući M x i M y iz (10) i pravce x i y umesto n i t koji ulaze u jednačinu (20), i uvrštavajući ih u (29), dobijamo

14


 2       .     

(30)

Poslednja jednačina se može napisati u simboličkom obliku

∆∆   ,

(31)

   ∆       .

(32)

gde je uvedena oznaka

Problem savijanja ploča poprečnim teretom svodi se na integraljenje jednačine (30). Kada je za neki dati slučaj nađeno ono rešenje jednačine koje zadovoljava konturne uslove, momenti savijanja i torzije mogu da se izračunaju iz jednačina (10) i (20). Transverzalne sile Q x i Q y mogu se dalje odrediti iz jednačina (26) i (27)

                      ,                      .

15

(33)


Konturni uslovi

Posmatraćemo konturne uslove u slučaju pravougaonih ploča opterećenuh upravno na srednju ravan i pretpostavićemo da su x i y -osa paralelne sa stranama ploče. Uklještena ivica. Ako je ploča uklještena duž svoje ivice, onda je u tim tačkama ugib jednak nuli, a tangencijalna ravan na elastičnu površinu u tim tačkama poklapa se sa prvobitnim položajem srednje ravni ploče. Ako je, na primer, uklještena strana , onda su konturni uslovi na toj strani

 

  0,   0. Slobodno oslonjena ivica. Ako je ivica ploče

(34)



slobodno oslonjena, ugib w u tačkama te ivice mora biti jednak nuli. Sa druge strane, kontura može slobodno da se rotira oko te ivice, tj. nema napadnih momenata M x u tačkama konture. Analitički izrazi za konturne uslove u ovom slučaju su

     0,        0.

⁄ 

(35)

 

Uzimajući u obzir da mora biti nula u tačkama prave , viidmo da se drugi od uslova (35) može napisati u kraćem obliku u kojem ne učestvuje Poisson -ov koeficijent , pri čemu se konačno dobija

    0,     0. Slobodna ivica. Ako je ivica ploče, recimo,



(36)

 

, potpuno slobodna, duž te ivice prirodno je pretpostaviti da se neće javiti ni napadni ni torzioni momenti, kao ni vertikalne sličuće sile, tj. da je

  0,   0,   0. 16

(37)


U ovom obliku je konturne uslove za slobodnu ivicu izrazio Poisson. Kasnije je, međutim, Kirchhoff dokazao da nisu potrebna tri konturna uslova, već da su dva uslova dovoljna za potpuno određivanje ugiba w koji bi zadovoljio jednačinu (30). Pokazao je da se dva Poissonova uslova koji se odnose na torzioni moment M xy i na transverzalnu silu Q x moraju zameniti jednim konturnim uslovom. Fizički smisao ovog smanjenja konturnih uslova objasnili su Kelvin i Tait . Ovi autori su ukazali da se savijanje ploče neće promeniti ako horizontalne sile koje stvaraju torzioni momenti M xy na elementu dužine dy ivice zamenimo sa dve vertikalne sile veličine M xy na razmaku dy . Ovakva zamena ne menja veličinu torzionih momenata i stvara samo lokalne promene u raspodeli napona u neposrednoj blizini ivice ploče, dok u ostalom delu ploče naponi ostaju nepromenjeni. Zamenjujući torzione spregove duž ivice ploče i posmatrajući dva susedna elementa ivice, vidimo da je raspodela torzionih momenata statički ekvivalentna raspodeli transverzalnih sila intenziteta

 

  .

(38)

Na taj način, uslovi koji se odnose na torzioni moment M xy i transverzalnu silu Q x duž slobodne ivice se svode na uslov



      0.

(39)

Posle zamene Q x i M xy, konačno dobijamo uslovna slobodnoj ivici

  2   0.   

(40)

Uslov da na slobodnoj ivici nema napadnih momanata glasi

      0.    Jednačine (40) i (41) su dva neophodna konturna uslova duž slobodne ivice ploče.

17

(41)


Slobodno oslonjene pravougaone ploče opterećene po sinusnoj površini

Usvajajući koordinatne ose kao što je prikazano na slici 6, pretpostavimo da se opterećenje koje deluje na ploči menja po zakonu

   sin  sin ,

(42)

a

x b

gde je q o intenzitet opterećenja u središtu ploče. U tom slučaju diferencijalna jednačina (30) elastične površine ploče glasi

 2       sin  sin .       

y Slika 6

(43)

Konturni uslovi za slobodno oslonjene ivice glase

0,   0    0 i   ; 0,   0    0 i   .

(44)

0

Koristeći izraz (10) za napadne momente i uzimajući u obzir da je duž svih ivica, a i duž ivica paralelnih x odnosno -osi, možemo napisati konturne uslove u sledećem obliku

⁄   0 ⁄   0

y

  1   0, 2   0    0 i   ;   3   0, 4    0    0 i   . Konturni uslovi biće očigledno zadovoljeni ako za ugib uzmemo izraz 18

(45)


  sin  sin ,

(46)

gde konstantu C treba izabrati tako da bude zadovoljena jednačina (43). Kada izraz (46) uvrstimo u jednačinu (43), nalazimo

  1 1         .

 



(47)

Prema tome, elastična površina koja zadovoljava jednačinu (43) i konturne uslove (45) data je jednačinom



  sin  sin . 1  1  

(48)

Iz ovog izraza i jednačina (10) i (20) (umesto n i t su ose x i y ), imamo

   1 1  1  sin  sin ,           1 1    1sin  sin ,             11 cos cos .    1     

(49)

Najveći ugibi i najveći napadni momenti javljaju se u središtu ploče. Kad stavimo , , u jednačine (48) i (49), dobijamo

  ⁄2   ⁄2

 , 1  1    1 1  1  ,           1 1    1.        U specijanom slučaju kvadratne ploče    , ovi obrasci postaju   1        4 ,     4 .  

Preko jednačine (33) određujemo transverzalne sile

19

(50)

(51)

(52)


   1 1  cos  sin ,       1 1  sin  cos .   

(53)

Ako je opterećenje raspoređeno po zakonu

   sin  sin ,

(54)

gde su m i n celi brojevi, postupamo kao i ranije i dobijamo za elastičnu površinu sledeći izraz



  sin  sin . 1  1  

odakle se diferenciranjem lako mogu dobiti izrazi za napadne i torzione momente.

20

(55)


1

Navier -ovo rešenje za slobodno oslonjenu pravougaonu ploču

Problem rešenja ploče napregnute na savijanje svodi se na rešavanje parcijalne diferencijalne jednačine četvrtog reda uz zadovoljavanje odgovarajućih graničnih uslova. Rešenje prethodnog člana može se koristiti za izračunavanje ugiba u slobodno oslonjenoj pravougaonoj ploči opterećenoj proizvoljnim opterećenjem

  ,.

,

U tom cilju, razvijemo funkciju

(56)

u dvostruki trigonometrijski red

  ,    sin  sin .  

(57)

Radi određivanja pojedinih koeficijenata am’n’ ovog reda, množimo obe strane jednačine (57) sa i integralimo od 0 do b. Uzimajući u obzir da je

sin⁄ 



sin  sin    0, kada je     

sin  sin    2 , kada je   ,

(58)

 dobijamo



   ,sin    2   sin .   1

http://en.wikipedia.org/wiki/Claude-Louis_Navier

21

(59)


sin⁄

i integralimo od 0 do a,

    , ,sin  sin   4

(60)

 4  .    ,sin  sin   

(61)

Ako pomnožimo obe strane jednačine (59) sa dobićemo



 odakle je

,

Kada izvršimo integralenje za zadato opterećenje, za zadato dobićemo iz izraza (61) koeficijente reda (57) i na taj način zadato opterećenje kao zbir tereta raspoređenih po sinusnoj površini. Ukupan ugib se dobija sabiranjem članova datih jednačinom (55), odnosno

   1         sin  sin .      

(62)

Primer. Uzmimo, kao primer primene opšteg rešenja (62), slučaj jednakopodeljenog

opterećenja po ukupnoj površini ploče. U tom slučaju je

,  ,

(63)

gde je q o intenzitet jednakopodeljenog opterećenja. Iz obrasca (61) imamo

    4    sin  sin    16 , 

(64)

gde su m i n neparni celi brojevi. Ako su m ili n ili oba ova broja parni, onda je uvrstimo ovaj izraz u jednačinu (62), dobićemo

  0

  sin  sin  16         ,      

gde je

1,3,5,… 1,3,5,…

. Kad

(65)

i

Najveći ugib je u središtu ploče i dobija se za

  ⁄2   ⁄2 ,

     1 16         .       22

u obrascu (65)

(66)


Ovaj red konvergira vrlo brzo i zadovoljavajuća aproksimacija se dobija i ako zadržimo samo prvi član reda. Iz izraza (65) vidi se da ugibi dveju ploča iste debljine i odnosa a/b rastu proporcionalno četvrtom stepenu dužine strana. Izraze za napadne i torzione momente možemo dobiti iz opšteg rešenja (65). Redovi koje dobijamo na taj način ne konvergiraju tako brzo kao red (65). Kako se momenti izražavaju pomoću drugih izvoda reda (65), njihove najveće vrednosti pri istim vrednostima q 0 i D proporcionalne su kvadratu linearnih dimenzija.

23


2

Maurice Lévy -evo rešenje za slobodno oslonjenu pravougaonu ploču

opterećenu jednakopodeljenim opterećenjem

Navier-ovo rešenje, i pored svoje jednostavnosti, ima nedostataka koji ograničavaju njegovu primenu. Kao prvo, ovo rešenje se može koristiti samo za pravougaone ploče koje su slobodno oslonjene po celoj konturi. Osim toga, rešenje je dato redovima koji nemaju uvek dobru (brzu) konvergenciju. Oba navedena nedostatka ublažena su rešenjem koje je dao M. Lévy i koje se može primeniti kod svih pravougaonih ploča koje su duž dve paralelne strane slobodno oslonjene, dok na drugim dvema stranama granični uslovi mogu biti proizvoljni. Predloženo rešenje za proučavanje savijanja pravougaonih ploča sa parom paralelnih slobodno oslonjenih ivica, u obliku beskonačnog reda dato je u obliku

     sin , 

  0 i    slobodno oslonjene.   ⁄  0 duž tih ivica. Y određujemo

gde je Y m funkcija samo od y . Pretpostavimo da su ivice Svaki član reda (67) odgovara uslovu da su i iz uslova da se zadovolje konturni uslovi na preostale dve ivice površine

 0

(67)

 2       .     

  ⁄2

m

i jednačina elastične

(68)

Prilikom primene ove metode na slobodno oslonjenu pravougaonu ploču opterećenu jednakopodeljenim opterećenjem, rešenje se može pojednostaviti ukoliko se pretpostavi kao kombinacija homogenog i partikularnog dela

   , 2

http://en.wikipedia.org/wiki/Maurice_L%C3%A9vy

24

(69)


gde je

  24  2 ,

(70)

tj. w p je ugib trake ploče opterećene jednakopodeljenim opterećenjem, paralelne sa x -osom. Ovo zadovoljava jednačinu (68) i konturne uslove na stranama i . Izraz w h očigledno mora da zadovolji jednačinu

0 

 2      0    

(71)

i mora se izabrati tako da zbir (69) zadovolji sve konturne uslove ploče. Uzimajući w h u obliku reda (67), gde je zbog simetrije uvrstimo ga u jednačinu (71) i dobijamo

  1,3,5,…

        2    sin  0.          

(72)

Ova jednačine biće zadovoljena za svako x samo onda ako je izraz u zagradi jednak nula, odnosno

      2       0.

(73)

Opšti integral ove jednačine može se uzeti u obliku

   sinh    sinh      cosh         

   cosh  .

(74)

Kako je elastična površina simetrična u odnosu na x-osu (slika 62), zadržavamo u izrazu (74) samo parne funkcije od y i zaključujemo da su integracione konstante   .

  0

Tada je elastična površina (69) predstavljena izrazom

  2    24          cosh   sinh  sin    ,

(75)



0

 

koji zadovoljava i jednačinu (68) i konturne uslove duž ivica i . Ostaje još da se odrede i integracione konstante i tako da se zadovolje konturni uslovi

 

na ivicama

  ⁄2

    0,    0, . Izraz (70) razvijamo u trigonometrijski red 25

(76)


  2   4   1 sin , 24      gde je

(70)

  1,3,5,… Jednačina elastične površine tada ima oblik   4   sinh  sin ,         cosh        

gde je oznaku

1,3,5,…

(75)

Kad uvrstimo ovaj izraz u konturne uslove i radi kraćeg zapisa koristimo

  , 2

dobićemo za određivanje konstanti

  i

(76)

sledeće jednačine

4   cosh  sinh  0,    2cosh  sinh  0,

(77)

iz kojih je

  2 ,    2tanh  cosh

2 .    cosh 

(78)

Kada ove vrednosti konstanata vratimo u izraz (75), nalazimo jednačinu elastične površine koja zadovoljava jednačinu (68) i konturne uslove u sledećem obliku

  1 4 tanh  2 cosh 2       1  2cosh   ,,,…  2 sinh 2sin ,  2cosh   

(79)

iz koje se može izračunati ugib u nekoj tački. Najveći ugib je u sredini ploče

  ⁄2 ,  0 i iznosi

  1⁄ 4  tanh  2.      1   2cosh ,,,… 

(80)

Beskonačni red konvergira vrlo brzo i dovoljno tačan rezultat dobija se i ako zadržimo samo prvi član.

26


Osnovni principi metode konačnih elemenata u teoriji konstrukcija

Metod konačnih elemenata (MKE) nastao je kao potreba za analizu složenih konstruktivnih sistema, za koje ne može da se nađe jednostavno rešenje. Kod primene ovog metoda, konstruktivni sistem se deli na elemente konačnih dimenzija, tj. konačne elemente. Za takav jedan mali element nalazi se približno rešenje, a zatim se sabiranjem svih elemenata u celom sistemu dolazi do sistema običnih, algebarskih jednačina. Rešenje tih jednačina dovodi do približnog rešenja celog sistema. [3] Fizička diskretizacija u cilju pronalaženja približnog rešenja nekih problema odavno se primenjuje. Međutim, tek sa razvojem računarske tehnologije i mogućnostima brzog rešavanja velikog broja jednačina počinje njena sveobuhvatna upotreba. Greške diskretizacije nastaju zbog razlike između topologije i geometrije konstrukcije i topologije i geometrije sistema konačnih elemenata (KE), najčešće zbog primene KE neodgovarajućeg oblika i/ili zbog nedovoljnog broja KE u diskretizaciji domena. Oblik KE zavisi od broja, rasporeda i povezanosti čvorova i od geometrijskih karakteristika, a tip od izabranih stepena slobode (nezavisnih generalisanih pomeranja čvorova) i fizičko-mehaničkih karakteristika. Čvorne tačke ili čvorovi KE imaju trostruku ulogu - u određivanju geometrije KE, povezivanju KE u sistem KE i definisanju stepeni slobode KE. [4] Stepeni slobode čvorova KE su veličine koje određuju stanje KE. Ako se MKE formuliše preko krutosti, reč je o kinematičkim veličinama, tj. vrednostima polja pomeranja i/ili, u mnogim slučajevima, izvoda pomeranja. Izbor stepena slobode KE zavisi od više parametara, ali je dominantna potreba da se numerički modeliraju veličine relevantne za opisivanje stanja realnog sistema ili matematičkog modela. Prilikom modeliranja površinskih nosača, trebalo bi da se u diskretizaciji koriste površinski KE. Preporuke su da to budu elementi sa odnosom najveće i najmanje strane manjim od 3, a da se izbegavaju KE kod kojih je taj odnos od 3 do 10. Primena KE van ovih okvira ne mora nužno da bude uzrok grešaka aproksimacije, ali može da bude uzrok problema sa MKE rešenjem. Isto tako, ako postoji mogućnost, povoljnije rešenje je primena četvorougaonih površinskih KE u odnosu na trougaone, iako su trougaoni pogodniji za opisivanje geometrije domena. [4]

27


Suština MKE sadržana je, ne samo u fizičkoj diskretizaciji konstrukcije mrežom KE, već i u numeričkoj interpolaciji polja (obično pomeranja) u okviru pojedinačnog KE, tj. aproksimaciji ponašanja KE. Interpolacija se sprovodi u odnosu na čvorove KE usvajanjem različitih funkcija (obično polinoma) koje definišu raspodelu, tj. polje pomeranja unutar jednog KE. KE su međusobno povezani samo u čvorovima, gde može da postoji kompatibilnost, tj. kontinuitet funkcije polja i odgovarajućih izvoda funkcije polja pomeranja. Taj, u osnovi, numerički prelaz sa jednog kontinualnog domena, na sistem diskretno, u čvorovima, povezanih poddomena - konačne elemente, bitno je obeležje MKE. Za modeliranje površinskih konstrukcijskih elemenata ploča koje su opterećene na savijanje normalno na sopstvenu ravan, koriste se trougaoni ili četvorougaoni KE. Algoritam rešavanja metodom konačnih elemenata sastoji se u sledećem: Prvo se vrši dekompozicija modela realnog sistema. To je zapravo “rastavljanje“ konstrukcijskog sistema na komponente (konstrukcijski elementi, veze, oslonci, itd.) koje se modeliraju na osnovu identifikacije oblika i tipa potencijalno primenjenog KE. Sledeća faza algoritma primene MKE u analizi konstrukcija je faza formiranja sistema KE. U toj fazi možda najviše dolazi do izražaja bitna osobenost MKE: primena matrične analize, tj. sprovođenje računskih operacija u matričnom obliku. Dimenzija matrice krutosti za ploča KE četvorougaonog oblika (koji će se koristiti), zavisi od broja stepeni slobode čvorova KE, i broja čvorova u KE. Za površinski KE opterećen na savijanje, svaki čvor ima 3 stepena slobode (1 translatorni i 2 rotaciona stepena slobode). Elementi matrica su generalisane sile koje odgovaraju generalisanim stepenima slobode u tzv. “lokalnom koordinatnom sistemu“ KE. Lokalni koordinatni sistem je pravougaoni koordinatni sistem čije su ose obično u pravcu neke od karakterističnih osa KE. Kod površinskih KE, “z-osa“ lokalnog sistema usmerena je u pravcu normale na srednju površ KE, a ostale ose su usmerene prema pravilu desne ruke. Veza generalisanih sila i generalisanih pomeranja u lokalnom sistemu data je preko odgovarajuće matrice. Ako je u pitanju statička analiza, reč je samo o matricama krutosti. Zatim sledi transformacija matrica prema položaju KE, odnosno njegovog lokalnog koordinatnog sistema u odnosu na tzv. “globalni koordinatni sistem“ sistema KE. Ta transformacija koordinata potrebna je da bi se razmatranja svela na zajedničku osnovu. Veza između generalisanih pomeranja i generalisanih sila u čvorovima KE u lokalnom koordinatnom sistemu i odgovarajućih veličina u globalnom koordinatnom sistemu uspostavlja se preko tzv. “matrice transformacije“. Nakon toga sledi kompozicija matrica sistema KE od matrica KE koje su prethodno transformisane u globalni koordinatni sistem. Sistem linearnih algebarskih jednačina MKE čine matrica krutosti sistema KE, vektor nepoznatih generalisanih pomeranja čvorova sistema KE i vektor opterećenja čvorova sistema KE. Elementi matrice krutosti i vektora opterećenja sistema su unutrašnje i spoljašnje generalisane sile koje odgovaraju stepenima slobode pomeranja sistema KE. Vrednost generalisanih pomeranja u čvorovima sistema KE, tj. vektor generalisanih pomeranja dobija se rešavanjem sistema linearnih algebarskih jednačina. Veze između pomeranja čvorova KE i pomeranja u okviru KE uspostavljaju se preko interpolacionih funkcija, koje su kod površinskih konačnih elemenata, polinomi četvrtog stepena. Osnovna prednost MKE je što sistem trigonometrijskih funkcija, svodi na rešavanje sistema algebarskih jednačina, koje su sa aspekta programiranja i rešavanja, mnogo jednostavnije za realizaciju od strane računara. •

•

•

•

28


Analiza analitičkog (Navier i M. Lévy ) i numeričkog (MKE ) rešenja zadatka

Primer. Odrediti vrednost ugiba kvadratne slobodno oslonjene ploče u sredini raspona

na svakih 1m i uporediti vrednosti rešenja dobijenih analitičkim i numeričkom postupkom.

  6   10    1/

Podaci:

  30.5   0.2

  1,3   2,3   3,3

Analitička rešenja Navier

Vrednost ugiba ploče opterećene jednakopodeljenim opterećenjem data je izrazom (65)

  sin  sin  16         ,          gde je

  1,3,5,… i   1,3,5,… Uzimajući u obzir da je       6, a da je prema (11)   ·0.1  30.5·10   121     12 ·1 0.2  2647.5694  

vrednost ugiba predstavićemo u Tabeli 1 Tabela 1

      gde su:

I 1.018330 1.763799 2.036659

II 1.029114 1.740281 1.985142

III 1.031824 1.740575 1.989153

  1i  1   1,3 i   1,3

I - vrednosti ugiba sa prvim članom reda, odnosno za II - vrednosti ugiba sa četiri člana reda, odnosno za 29


III - vrednosti ugiba sa devet članova reda, odnosno za

  1,3,5 i   1,3,5.

Dvostruki red kojim je dat izraz za ugib ploče vrlo brzo konvergira i zadovoljavajuća aproksimacija se dobija i ako zadržimo samo prvi član reda. Greška koja se pri tome javlja (u odnosu na rešenja koja uzimaju u obzir i više članove reda) je između 1% i 2,5%. Ukoliko želimo da izbegnemo i ovakvu grešku, uzimajući u obzir prva četiri člana reda, dobija se rešenje čija je greška ispod 3‰, što se sa inženjerske tačke gledišta, može smatrati apsolutno tačnim. M. Lévy

Prema izrazu (79), jednačina ugiba predstavljena je u sledećem obliku

  1 4 tanh  2 cosh 2       1  2cosh   ,,,…  2 sinh 2sin ,  2cosh    gde je

   2 . Za tačke koje se nalaze na sredini ploče, treći izraz u zagradi jednak je nuli (jer je pri čemu se dobija nešto jednostavnija jednačina u obliku

  0),

  1 4 tanh  2 cosh 2 sin .      1  2cosh    ,,,… Koristeći ovu jednačinu, odredićemo vrednosti ugiba i prikazati ih u Tabeli 2 Tabela 2

      gde su:

I 1.005774 1.742052 2.011548

II 1.030517 1.742052 1.986805

III 1.031537 1.740285 1.988845

1   1,3   1,3,5.

I - vrednosti ugiba sa prvim članom reda, odnosno za II - vrednosti ugiba sa dva člana reda, odnosno za III - vrednosti ugiba sa tri člana reda, odnosno za

Kao i kod Navier-ovog rešenja, red veoma brzo konvergira i inženjerski gledano, zadovoljavajuća rešenja se dobijaju i uzimanjem samo prvog člana reda. Uzimajući u obzir prva dva člana reda, rešenje koje dobijamo biće sa greškom ispod 1‰. Za razliku od Navier-ovog rešenja, prednost bi u ovom slučaju ipak bila na strani M. Lévy-ja, zbog korišćenja jednostrukog, umesto dvostrukog reda. Ovo naročito može biti izraženo ukoliko želimo tačnije rešenje, čije izračunavanje postaje složenije upotrebom viših članova reda. Ukoliko koristimo samo prvi član reda, za slobodno oslonjenu ploču opterećenu jednakopodeljenim opterećenjem, Navier-ova jednačina ugiba omogućava nam jednostavnije

30


izračunavanje zbog jednostavnijih podfunkcija. Naravno, ovo važi u slučaju da se koristimo samo jednostavnim sredstvom za računanje, kao što je kalkulator. Međutim, u današnje vreme, upotreba računara postala je svakodnevna. Napredak u tehnologiji omogućava nam da probleme za koje nam je ranije bilo potrebno neuporedivo mnogo vremena, danas rešavamo u nekoliko koraka, za par sekundi. Analitička rešenja zamenjujemo numeričkim, približnim postupcima, koji će, uz optimalnu kompleksnost aproksimacija i zadovoljavajuću tačnost, omogućiti veliku uštedu u vremenu rešavanja zadataka. Koristeći softver za analizu konstrukcija koji koristi kao numerički metod koristi konačnih elemenata, prikazaćemo rešenje ovog zadatka. Numerička rešenja AxisVM

Slobodno oslonjenu pravougaonu ploču opterećenu jednakopodeljenim opterećenjem na savijanje modeliraćemo upotrebom trougaonih i četvorougaonih “ploča” konačnih elemenata. Za proračun ugiba u odgovarajućim čvorovima KE, koristićemo softver za analizu konstrukcija zasnovan na MKE, AxisVM. Softver koristi konačne elemente formulisane prema Mindlin-Reissnerovoj teoriji, koja za razliku od Kirchoffove teorije, uzima u obzir i uticaje smicanja.3 [6] Međutim, ploče su obično relativno tanke sa zanemarljivim smičućim deformacijama, tako da dobri Reissner-Mindlin “ploča” elementi teže da daju iste rezultate kao Kirchoffovi “ploča” elementi, sa mogućim izuzecima u graničnim zonama. 4 [5] AxisVM koristi trougaone elemente sa 6 čvorova, odnosno četvorougaone Heterosis konačne elemente sa osam/devet čvorova (4 čvora u uglovima, 4 čvora na sredinama strana i 1 čvor u težištu KE). Konačni elementi korišćeni u analizi postavljani su tako da se karakteristične tačke u kojima računamo ugib nalaze u čvorovima KE, čime se izbegava linearna interpolacija rešenja između dva čvora i eliminiše greška koja bi pritom nastala.

Slika 7. Raspored trougaonih KE (levo) i četvorougaonih KE (desno)

3 4

http://www.axisvm.co.uk/up-demo-docs/English/Documents/manual10.pdf, pp. 153 F. Hartmann, C. Katz: Structural Analysis with Finite Elements, Springer-Verlag, Berlin, 2007, pp. 415-416

31


Trougaoni elementi Dužina KE

6m

3m

2m

1m

0.5m

     

0.176 0.353 0.529

0.347 0.607 0.778

0.642 1.071 1.257

0.952 1.610 1.841

1.036 1.748 1.996

Numeričko rešenje 1.032 1.740 1.989

Tabela 3. Vrednosti ugiba ploče sastavljene od trougaonih konačnih elemenata u zavisnosti od veličine stranice KE

Dužina KE

  

6m 17.054 20.287 26.596

3m 33.624 34.885 39.115

2m 62.209 61.552 63.198

1m 92.248 92.529 92.559

0.5m 100.388 100.460 100.352

Tabela 4. Tačnost rešenja numeričkog modela u zavisnosti od veličine trougaonih konačnih elemenata u odnosu na analitičko rešenje, izražena u procentima (%)

Četvorougaoni elementi Dužina KE

3m

2m

1m

0.5m

0.33m

     

1.129 1.862 2.198

1.096 1.863 2.108

1.057 1.779 2.031

1.053 1.773 2.024

1.053 1.773 2.024

Numeričko rešenje 1.032 1.740 1.989

Tabela 5. Vrednosti ugiba ploče sastavljene od četvorougaonih konačnih elemenata u zavisnosti od veličine stranice KE

Dužina KE

  

3m 109.399 107.011 110.508

2m 106.202 107.069 105.983

1m 102.422 102.241 102.112

0.5m 102.035 101.897 101.760

0.33m 102.035 101.897 101.760

Tabela 6. Tačnost rešenja numeričkog modela u zavisnosti od veličine četvorougaonih konačnih elemenata u odnosu na analitičko rešenje, izražena u procentima (%)

Na sledećim dijagramima prikazana je konvergencija rešenja u zavisnosti od vrste i broja konačnih elemenata numeričkog rešenja, odnosto od broja članova reda analitičkih rešenja. Dijagrami su prikazani za svaku karakterističnu tačku u kojoj je računat ugib.

32


Slika 8. Konvergencija reš nja prema vrsti i broju KE i prema broju članova reda za tačku “1”

Slika 9. Konvergencija reš nja prema vrsti i broju KE i prema broju članova reda za tačku “2”

Slika 10. Konvergencija rešenja prema vrsti i broju KE i prema broju članov reda za tačku “3”

33


Sa povećanjem broja konačnih elemenata, tačnost rešenja raste. Kod trougaonih KE ta zavisnost je veoma izražena i broj KE, kao i njihova veličina, u velikoj meri mogu uticati na tačnost rešenja. Konvergencija se odvija sa strane “nesigurnosti”, pri čemu se dobijaju rezultati manji od stvarnih. Četvorougaoni KE daju rezultate koji (u zavisnosti od broja KE) brže konvergiraju tačnom rešenju, i to sa gornje strane, odnosno, sa strane “sigurnosti”. Ovo je, sa inženjerske tačke gledišta, sigurniji rezultat za dalju analizu, ukoliko nismo sigurni u kvalitet tačnosti rešenja. Analitička rešenja već sa jednim članom reda daju zadovoljavajuće rezultate, a sa uzimajući u obzir i više članove, redovi veoma brzo konvergiraju. Analiza sa još većim brojem konačnih elemenata (odnosno sa elementima manje veličine), nije mogla da se sprovede zbog ograničenja studentske verzije softvera na maksimalno 400 površinskih konačnih elemenata. Veći broj konačnih elemenata bolje aproksimira stvarne trigonometrijske funkcije elastične površine ploče (sa većim brojem čvorova), čime se javljaju manja odstupanja od tačnog rešenja. Greška numeričkog rešenja sa dovoljno velikim brojem KE u slučaju trougaonih KE manja je od 0,5%, a kod četvorougaonih KE je približno 2%. Sa inženjerske tačke gledišta, oba tipa KE daju zadovoljavajuće tačna rešenja i opravdavaju upotrebu MKE pri analizi konstrukcija, naročito ako se uzme u obzir da analitička rešenja postoje samo za mali broj specijalnih slučajeva oblika ploča, uslova oslanjanja i tipova opterećenja.

34

Seminar Ski Rad - PDJ

Recommend Documents