Semejanza
Razones a) Razón. Es el cuociente entre dos números (positivos). b) Razón de dos segmentos. Es el cuociente de los números que expresan las longitudes de dichos segmentos, ambos medidos con la misma unidad. Ejemplo: Los segmentos AB y CD están en la razón 4 : 3.
Razones y proporciones Teorema de Thales Triángulos semejantes Teoremas de semejanza Teoremas de Euclides Perímetro y Área
LMDE
1
LMDE
Proporciones
Teorema de Thales
a) Proporción. Es una igualdad entre dos razones. b) Segmentos proporcionales. Dos segmentos
Si tres o más rectas paralelas se cortan por dos rectas secantes, los segmentos de las rectas secantes, determinados por las rectas paralelas, son proporcionales.
son proporcionales a otros dos segmentos, si y sólo sí, la razón entre los dos primeros segmentos, es igual a la razón de los dos últimos.
Proporción:
2
a c = b d LMDE
3
LMDE
4
Corolario Teorema de Thales
Ejercicio 1 Sabiendo que las rectas a,b y c son paralelas. Calcular el segmento x, usando los valores de los otros tres segmentos que se dan en cada figura:
Toda recta paralela a un lado de un triángulo determina en los otros dos lados (o su prolongación) segmentos proporcionales.
MN | | AB ⇒ LMDE
BA BC = BM BN
5
o
BM BN = MA NC
LMDE
6
Semejanza de triángulos
Ejercicio 2: Una aplicación
Dos triángulos son semejantes si tienen • los ángulos homólogos iguales, y • sus lados homólogos proporcionales
1. División de un segmento en n partes iguales. Problema 1. Dividir un segmento dado en dos partes iguales. Problema 2. : Dividir un segmento en tres partes iguales.
2. División de un segmento en una razón dada Problema:
Dividir un segmento en la razón 2:3
k: LMDE
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razón de semejanza
o LMDE
factor de escala 8
Criterios de Semejanza de triángulos
Ejercicio 3 En la figura, AB || CD, los segmentos AE, EC y BD miden 8 unidades, 3 unidades y 5.5 unidades respectivamente. Determinar la longitud de cada lado del triángulo CDE.
Criterio 1. Dos triángulos son semejantes, cuando tienen dos ángulos homólogos iguales. Criterio 2. Dos triángulos son semejantes, cuando tienen los lados homólogos proporcionales. Criterio 3. Dos triángulos son semejantes, cuando tienen un ángulos igual y los lados homólogos que lo forman, proporcionales.
LMDE
9
Ejercicio 4
LMDE
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Ejercicio 6
Si los triángulos (T1) y (T2) de la figura son semejantes: a) Hallar la razón de semejanza de (T1) respecto de (T2). b) Hallar la longitud del lado PR.
En la figura, los triángulos rectángulos ABC y ADE tienen su ángulo recto en B y D respectivamente. Según los datos, ¿cuánto mide BC?
Ejercicio 7
Ejercicio 5 Según los datos en la figura, hallar x.
LMDE
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En un triángulo equilátero ABC se traza una recta MN paralela a AB tal que AM:AC=2:3. Hallar el área del triángulo MNC. LMDE
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Teorema de Euclides
Teoremas de Euclides (corolarios)
La altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo, determina dos nuevos triángulos semejantes entre sí, y a la vez son semejantes al triángulo rectángulo original.
h2 = p q
b2 = p c a2 = q c
Ejercicio 8.
Determinar h, p, q en el triángulo rectángulo ABC, recto en C, tal que la medida de sus catetos son AB=6 y BC=8. LMDE
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Ejercicio 9
Teorema de la bisectriz
ABCD es un rectángulo cuyos lados miden 3 y 4 unidades respectivamente. AD es una diagonal. Determinar la medida del segmento AH.
La bisectriz interior de un ángulo de un triángulo divide el lado opuesto en segmentos que son proporcionales a los otros dos lados del triángulo.
Ejercicio 10 En el triángulo ABC rectángulo en C, el segmento AH mide 4cm, y la altura CH mide 12cm. A) Probar que los triángulos AHC y CHB son semejantes. B) Hallar el perímetro del triángulo ABC. LMDE
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LMDE
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Perímetro y Área
Ejercicio 11 Sea ABC un triángulo rectángulo en C cuyos catetos miden 3 y 4 unidades respectivamente. a) CD es la bisectriz interior del ángulo C, el punto D en el lado AB. Determinar la medida de AD. b) CH es la altura relativa a la hipotenusa. Hallar: b1) la razón de semejanza entre los triángulos ACB y AHC. b2) la razón entre las áreas de los triángulos ACB y AHC
Sean ABC y A’B’C’ dos triángulos semejantes, tal que la razón de semejanza del primero respecto del segundo es k. Es decir:
AB BC AC = = =k A' B' B' C ' A' C ' Luego:
Perimetro( ABC ) =k Perimetro( A' B ' C ' ) Area ( ABC ) = k2 Area ( A' B ' C ' )
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LMDE
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Ejercicios
Ejercicio 12
1. a) ¿Todos los triángulos equiláteros son semejantes? b) ¿Todos los triángulos rectángulos son semejantes? c) ¿Todos los triángulos rectángulos isósceles son semejantes?
Considerar los triángulos de la figura. 1. Determinar si los triángulos son semejantes. 2. En caso de ser semejantes, hallar la razón de semejanza del primero respecto del segundo; y la razón entre sus áreas. 3. Sea T un tercer triángulo semejante a los dos triángulos dados, tal que la razón entre las áreas del primero respecto del tercero es 4/9. Hallar las medida de los lados del tercer triángulo. LMDE
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2. Sean T1 y T2 dos triángulos semejantes tal que la razón de semejanza de T1 y T2 es 2:3. (A) Si el perímetro de T1 es 18cm, hallar el perímetro de T2. (B) Si el área de T2 es 48, hallar el área de T1. 3. Dado un segmento p. Construir un triángulo equilátero tal que el segmento p, sea su perímetro. Explicar y justificar su construcción.
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4.
Sea ABDE un paralelogramo. Considerando los datos en la figura, ¿cuál es el perímetro de ABDE?.
6. Determinar x, en cada figura. Justificar.
5. En el trapecio del dibujo, MN es paralela a las bases. Si el punto M divide al lado AD de modo que DM:MA = 1:4, ¿cuánto mide MN si la base menor del trapecio mide 25 cm y la mayor 60 cm? LMDE
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7. En la siguiente red de puntos, construir un triángulo A’B’C’ semejante al triángulo ABC tal que la razón de semejanza sea 3:2
LMDE
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9. En la figura, DEFG es un cuadrado, y el ángulo ACB es recto. a) Probar que los triángulos ADG y GCF son semejantes. b) Probar que los triángulos ADG y FEB son semejantes c) ¿Es cierto que DE2=AD*EB?. Justificar.
8. Considerando los datos en la figura, hallar la medida de cada segmento que se encuentra en la figura:
LMDE
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LMDE
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