10 Lista Exercicios EDO Trajetorias Ortogonais

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trajetorias_ortogonais

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UTFPR – Campus Toledo

LISTA 10 – Trajetórias Trajetórias Ortogo

Disciplina: Equações Diferenciais Ordinárias

1ª lista da Prova 2

Professora: Jocelaine Cargnelutti Trajetórias Ortogonais

Na discussão que segue, estamos interessados em encontrar uma família de

G ( x, y, c1 ) = 0 que interceptam, com ângulos retos, uma outra família de  H ( x, y, c2 ) = 0 dada.

G ( x, y, c1 ) = 0 são chamadas trajetórias ortogonais de  H ( x, y, c2 ) = 0 . (e viceDefinição: Curvas Ortogonais

Duas curvas c1 e c2 são ortogonais em um ponto se, e somente se, su tangentes T 1 e T 2

T 2

são perpendiculares no ponto de interseção. Exceto no caso em

são paralelas aos eixos coordenados, queremos dizer que os coeficientes angular

m2

das retas tangentes T 1 e T 2 são negativos inversos um do outro ( m1.m2 = -1).

Definição: Trajetórias ortogonais 

up to vote on this title Quando todas as curvas de uma família G ( x,Sign  y , C 1 ) = 0 interceptam ortogon

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todas as curvas de outra família  H ( x,  y , C 2 ) = 0 , então dizemos que as famílias são tra

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Método de Cálculo Documents

Para encontrar as trajetórias ortogonais de uma da família de curvas, p

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encontramos a equação diferencial

dy dx

=

 f  ( x, y ) que tem como solução geral essa

conhecida. A equação diferencial da família ortogonal é então

dy dx

= −

1

 f  ( x ,  y )

. Res

essa última equação obtemos as trajetórias ortogonais.

Exercícios propostos: 1) Encontre as trajetórias ortogonais de cada uma das famílias de curvas dadas: 1.1)

 x 2

1.2)

 y =

1.3)

 y

1.4)

 y = c1 x

2

2

3y

+

=

c1

c1

2

3

R: 3 y

2 ( x − c1 )

R:  y = c2e

 x

=

R:  y = c2 x −

1.5)

 x

1.6)

 y = ce

1.7)

 y =

1.8)

 y

3

−

2y

2

=

c1

 y =

R:

c1

+

2

2

2 y

2

3x y

 y 2

R: =

c1

c2

=

c2

 x

−

2

= −

2

=

c1

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=

( x − c1 )

e ln x

+

x2

+

c2

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 y − x = c2 x R:  Useful  Not useful

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