8.6 Integración por tablas y otras técnicas de integración ■ Evaluar una integral indefinida usando una tabla de integrales. ■ Evaluar una integral indefinida usando las fórmulas de reducción. ■ Evaluar una integral indefinida que involucra funciones racionales de seno y coseno.
Integración por tablas Ya se han estudiado en este capítulo algunas técnicas de integración utilizables con ayuda de las reglas básicas de integración. ero el saber cómo usar varias técnicas no es suficiente. !e necesita saber cuándo usarlas. "a integración es# por encima de todo# un problema de reconocimiento. Es decir# reconocer qué regla o técnica aplicar para obtener una antiderivada. $on frecuencia# una ligera alteración del integrando requerirá una técnica de integración diferente %o produce una función cuya antiderivada no es una función elemental&# como se muestra aba'o. x
2
x
2
Integración ón por partes partes . ∫ xln x dx = 2 ln x − 4 + C Integraci
∫
2
( ln x ) ln x dx = 2 x
+ C Regla Reglade de las pote potencia nciass .
∫ xln1 x dx = ln|ln x|+ C Regla log . Función n no elemen elemental. tal. ∫ ln1 x dx =? Funció
TECNOLOGÍA Un sistema algebraico por computadora consiste, en parte, en una base de dato datos s de fórmul fórmulas as de integ integrac ración ión.. La difer diferen encia cia princ princip ipal al entre entre usar usar un sistem sistema a alge algebr brai aico co y usar usar tabl tablas as de inte integr gral ales es es que que con con un sist sistem ema a alge algebr brai aico co por por comp comput utad ador ora a busc busca a en la base base de dato datos s una una regió egión n adec adecua uada da.. Con Con las las tabl tablas as de integración, uno debe hacer la búsqueda . (uchas personas encuentran las tablas de integrales como un valioso suplemento a las técnicas de integración discutidas en este capítulo. ueden encontrarse tablas de integrales comunes en el apéndice ). ero la integración por tablas no es una *solución total+ para todas las dificultades que pueden acompa,ar a la integración- usar tablas de integrales requiere razonamiento considerable y visión# y a menudo involucra sustitución. $ada fórmula de la integración en el apéndice ) puede desarrollarse usando una o más de las técnicas de este capítulo. ntentar verificar algunas de las fórmulas. or e'emplo# la fórmula /
∫ ( a +ubu )
du= 2
1
b
2
(
)
a + ln|a + bu| + C Fórmula 4. a + bu
puede verificarse usando el método de fracciones simples# y la fórmula 01
∫ √ au+bu du=2 √ a +bu+ a∫ u √ adu+bu Fórmula19. puede verificarse integrando por partes. 2otar que las integrales en el apéndice ) son clasificadas de acuerdo con formas que contienen lo siguiente. u ( a + bu ) n
( a + bu +c u ) √ a + bu 2
(a
2
2
±b
) √ a ± b 2
2
Funciones trigonometricas trigonometricas √ a −b Funciones 2
2
Funciones trigonometricas inversas función exponencial
Funciones Funciones tr igonometricas igonometricaslogaritmi logaritmicas cas
EJEMPLO 1 Integración por tablas Encontrar dx x √ x x −1
∫
uesto to que que la e3pr e3pres esió ión n dent dentro ro del del radi radica call es linea lineal# l# consi conside derar rar las las inte integra grale les s que que Solu So luci ción ón ues contienen √ a + bu .
∫ a √ adu+bu = √ −2 a arctan !ea
√
a + bu + C Fórmula 17 ( a <0 ) −a
a =−1, b =1 y u = x . Entonces
du =dx
y puede escribirse
=2arctan √ x x −1 + C . ∫ x √ dx x x −1
EXPLORACIÓN Usar las tablas de integrales en el apéndice B y la sustitución u= √ x x −1 para evaluar la integral en el eemplo !. "i se hace esto, se obtendr#
∫ √ au+bu du=2 √ a +bu+ a∫ u √ adu+bu Fórmula19. puede verificarse integrando por partes. 2otar que las integrales en el apéndice ) son clasificadas de acuerdo con formas que contienen lo siguiente. u ( a + bu ) n
( a + bu +c u ) √ a + bu 2
(a
2
2
±b
) √ a ± b 2
2
Funciones trigonometricas trigonometricas √ a −b Funciones 2
2
Funciones trigonometricas inversas función exponencial
Funciones Funciones tr igonometricas igonometricaslogaritmi logaritmicas cas
EJEMPLO 1 Integración por tablas Encontrar dx x √ x x −1
∫
uesto to que que la e3pr e3pres esió ión n dent dentro ro del del radi radica call es linea lineal# l# consi conside derar rar las las inte integra grale les s que que Solu So luci ción ón ues contienen √ a + bu .
∫ a √ adu+bu = √ −2 a arctan !ea
√
a + bu + C Fórmula 17 ( a <0 ) −a
a =−1, b =1 y u = x . Entonces
du =dx
y puede escribirse
=2arctan √ x x −1 + C . ∫ x √ dx x x −1
EXPLORACIÓN Usar las tablas de integrales en el apéndice B y la sustitución u= √ x x −1 para evaluar la integral en el eemplo !. "i se hace esto, se obtendr#
2 du =∫ ∫ x √ dx x x −1 u +1 2
dx
$%acerlo produce el mismo resultado que en el eemplo !& EJEMPLO 2 Integración por tablas
'ncontrar
∫ x √ x x −9 dx . 4
√ u −a 2
Solución orque el radical tiene la forma
2
# debe considerarse la fórmula 45.
∫ √ u − a du= 12 (u √ u − a −a ln|u + √ u −a |) +C 2
!ea
2
u= x
2
2
y
a=3
2
2
. Entonces
2
2
du =2 x dx # y se tiene
∫ x √ x x −9 dx = 12 ∫ √ ( x x ) −3 ( 2 x ) dx 2 2
4
¿
2
1 2 4 2 4 x x x − 9− ln x + x x − 9 4
( √
|
|)+ C .
√
EJEMPLO 3 Integración por tablas Encontrar x dx . − x 1+ e
∫
2
Solución 6e las formas que contienen
e
u
# considerar la fórmula siguiente.
∫ 1+due =u −ln ( 1 +e ) +C Fórmula 84. u
u
!ea
u=− x
∫ 1+xe−
x
2
2
dx =
du =−2 xdx # y se tiene
. Entonces
−1
−2 xdx ∫ − 2 1 +e x
2
¿− [ − x 2− ln ( 1+ e− x ) ] + C 1 2
2
¿ [ x 2+ ln ( 1+ e− x ) ] + C 1 2
2
TECNOLOGÍA 'l eemplo ( muestra la importancia de tener varias técnicas de solución a disposición. 'sta integral no es dif)cil de resolver con una tabla, pero cuando se ha intentado resolverla con un programa de integración simbólica muy conocido, la herramienta de gra*cación ha sido incapa+ de encontrar la antiderivada.
Fórmulas de reducción 7lgunas integrales de las tablas tienen la forma
∫ f ( x ) dx= g ( x )+∫ h ( x ) dx
. 8ales fórmulas de
integración se llaman fórmulas de reducción porque reducen una integral dada a la suma de una función y una integral más simple.
EJEMPLO 4 Aplicación de una fórmula de reducción Encontrar 3 x sen xdx .
∫
Solución $onsiderar las tres fórmulas siguientes.
∫ u senu du= senu−u cos u +C Fórmula 52. ∫u
n
n
senudu=−u cos u + n
∫ u − cos u du Fórmula 54. n 1
∫ u cos u du =u senu −n ∫ u − sen u du Fórmula 55. n
n
n 1
9sando la fórmula :/# la :: y entonces la :4 produce
∫ x
3
3
∫
2
sen xdx =− x cos x + 3 x cos x dx
¿− x 3 cos x + 3 ( x 2 sen x −2∫ x sen xdx ) ¿− x 3 cos x + 3 x2 sen x + 6 xcos x −6 sen x + C
EJEMPLO 5 Aplicación de una fórmula de reducción Encontrar √ 3 − 5 x dx . 2 x
∫
Solución $onsiderar las dos fórmulas siguientes
|
|
= 1 ln √ a + bu − √ a + C Fórmula 17 ( a > 0 ) . ∫ u √ du a + bu √ a √ a + bu + √ a
∫ √ au+bu du=2 √ a +bu+ a∫ u √ adu+bu Fórmula19 . 9sando la fórmula 01# con 1 2
# se produce
∫ √ 3− x 5 x dx = 12 (2 √ 3−5 x+ 3∫ x √ 3dx−5 x )
¿ √ 3 −5 x +
3 2
∫ x √ 3dx−5 x
9sando la fórmula 0;# con 1 2
a =3,b =−5 y u = x
∫ √ 3− x 5 x dx =√ 3 −5 x + 32
|
a =3, b =−5 y u = x # se produce
( |
1 √ 3−5 x −√ 3 ln √ 3 √ 3−5 x + √ 3
|)
+ C
|
¿ √ 3 − 5 x + √ 3 ln √ 3 − 5 x − √ 3 + C 2 √ 3 − 5 x + √ 3 TEC!"!#$A 7 veces# cuando se usa integración simbólica# se obtienen resultados que parecen muy diferentes# pero son realmente equivalentes. 7quí se muestra cómo varios sistemas diferentes evaluaron la integral en el e'emplo :.
Maple √ 3−5 x −√ 3arctan
Mathematica
(
1 √ 3 −5 x √ 3 3
[
)
√ [ 3 −5 x ]−√ [ 3 ] Arctanh √ [ 3 −5 x ] √ [3 ]
]
2otar que estos programas no incluyen una constante de integración.
Funciones racionales e seno ! coseno EJEMPLO 6 Integración por tablas
'ncontrar 2 x dx . ∫ 2sen + cos x
Solución !ustituir
2 sen x cos x
para
sen 2 x
produce
2 x sen x cos x dx =2 ∫ dx . ∫ 2sen 2 + cos x + cos x
9na verificación de las formas que contienen el
senu
cos u
o
en el apéndice ) muestra que
ninguno de aquellos listados aplica. 7sí# considerar formas que contienen
a + bu . or e'emplo#
1 = (bu −a ln |a + bu|) + C Fórmula 3. ∫ audu + bu b 2
!ea
a = 2,b =1 y u = cos x .
Entonces
du =−sen x dx
# y se tiene
cos x (−senx dx ) x cos x dx =−2 ∫ ∫ sen 2+ cos x 2 + cos x
2
¿− 2 ( cos x −2 ln|2+ cos x|) + C ¿− 2cos x + 4 ln |2 +cos x|+ C . El e'emplo 5 contiene una e3presión racional de
senx
y
cos x . !i no se consigue encontrar una
integral de esta forma en la integración por tablas# intentarlo usando la sustitución especial siguiente para convertir la e3presión trigonométrica a una e3presión racional normal.
"#"TIT#CIÓN PARA F#NCIONE" RACIONALE" $E "ENO % CO"ENO ara integrales que contienen funciones racionales de seno y coseno, la sustitución u=
sen x x = tan 1 + cos x 2
hace que 2
cos x =
1− u
2
1 +u
,senx =
2u 2
1+ u
y dx =
2 du 1 +u
2
.
%emostración 6e la sustitución para u# se sigue que
2
2
u= = − cos x = 1 − cos x ( 1 + cos x ) ( 1 + cos x ) 1+ cos x sen x
2
1
2
2
c os
-esolviendo para
x produce
2
cos x =( 1−u
)/(1 + u2 ). ara encontrar senx , escribir
usenx /( 1 + cos x ) como
(
sen x =u ( 1 + cos x ) =u 1 +
2
1− u
2
1 +u
)
=
2u 1 +u
or último, para encontrar u= x / 2 y
dx =( 2 du )/( 1 + u
2
2
.
dx , considerar
u= tan ( x / 2 ) . 'ntonces se tiene el arctan
) .
&'( E)ercicios En los e&ercicios ' y () usar una tabla de integrales con formas *ue contienen encontrar la integral. x
2
∫ 5 + x dx
1.
!olución<
=> 2 x −5 ¿
¿
2
3 x 2
2
¿
¿
2.
∫¿
!olución<
=>
a + bu
para
En los e&ercicios + y ,) usar una tabla de integrales con formas *ue contienen encontrar la integral.
∫ e √ 1 +e
3.
x
2 x
√ u ± a 2
2
para
dx
!olución<
=>
√ x −36 dx 4.∫ 2
6 x
!olución<
=>
En los e&ercicios - y 6) usar una tabla de integrales con formas *ue contienen encontrar la integral.
∫ x √ 11− x
5.
2
2
√ u −a 2
2
para
dx
!olución<
=>
∫
6.
x
√ 100− x
4
dx
!olución<
=>
En los e&ercicios a '/) usar una tabla de integrales con formas *ue contienen las funciones trigonométricas para encontrar la integral.
∫ cos 3 x dx 4
7.
!olución<
=> sen √ x 8. dx √ x
∫
3
!olución<
=>
∫ √ x (1−1cos √ x ) dx
9.
!olución<
=> 1 dx ∫ 1− tan5 x
10.
!olución<
=>
En los e&ercicios '' y '() usar una tabla de integrales con formas *ue contienen encontrar la integral.
∫ 1 +1e
11.
2 x
e
u
para
dx
!olución<
=>
∫ e− / sen 2 x dx x 2
12.
!olución<
=>
En los e&ercicios '+ y ',) usar una tabla de integrales con formas *ue contienen u encontrar la integral.
∫
7
13. x ln x dx
!olución<
para
=> x ln ¿
¿ ¿3 ¿ ¿
∫¿
14.
!olución<
=>
En los e)ercicios *+ a *&, encontrar la integral ine-nia a. usano las tablas e integración ! b. usano el /0too ao' Integral
Método
∫
2
3 x
15. x e dx Integración por partes
!olución<
=>
∫ x ln xdx Integración por partes
16.
6
!olución<
=> 17.
∫ x ( x1+1 ) dx Fracciones parciales 2
!olución<
=> x 1 dx Frac ciones parciales (¿¿ 2− 48 ) 18.
!olución<
∫¿
=>
En los e&ercicios '0 a ,() usar la integración por tablas para encontrar la integral.
∫
19. x arcsec ( x
2
+1 ) dx
!olución<
=> 20.
∫ arcsec 2 x dx
!olución<
=>
∫ x √ 1x −4 dx
21.
2
!olución<
=>
2
∫ x + 41 x +8 dx
22.
2
!olución<
=>
∫ ( 2−45 x x )
23.
2
dx
!olución<
=>
∫
24.
2
! dx 3 1− sen!
!olución<
=>
∫ e arccos e
25.
x
x
dx
!olución<
=>
∫
26.
x
e dx x 1− tan e
!olución<
=> x dx ∫ 1− secx
27.
2
!olución<
=>
∫ t [ 1 + 1( ln t ) ] dt
28.
2
!olución<
=> cos ! d! ∫ 3 +2 sen! + sen !
29.
2
!olución<
=>
∫ √ 2 + 9 x
30. x
2
!olución<
2
dx
=>
∫ x
31.
1 2
√ 2 +9 x
2
dx
!olución<
=>
∫ √ x arctan x / dx 3 2
32.
!olución<
=>
∫ x (3 +ln2 xln x ) dx
33.
!olución<
=>
∫
34.
x
e
( 1− e x ) / 2
3 2
dx
!olución<
=>
∫
35.
x 2
( x −6 x + 10 ) 2
dx
!olución<
=>
∫ ( 2 x − 3 ) √ (2 x − 3 ) + 4 dx 2
36.
2
!olución<
=>
∫ √ x −6x x +5 dx
37.
!olución<
=>
4
2
cos x dx ∫ √ sen x + 1
38.
2
!olución<
=> x
3
∫ √ 4 − x
39.
2
dx
!olución<
=>
∫
40.
√
− x dx 5 + x
5
!olución<
=>
∫
41.
3 x
e
x 3
( 1+ e )
dx
!olución<
=>
∫ cot ! d! 4
42.
!olución< =>
En los e)ercicios 12 a +3, usar la integración por tablas para e4aluar la integral' 1
∫ x e
43.
x
dx
0
!olución< => 7
∫ √ 9 x+ x dx
44.
0
!olución< => 2
∫ x ln x dx 4
45.
1
!olución< => " / 2
46.
∫ x cos x dx 0
!olución<
=> " / 2
47.
cos x
∫
2
−" / 2 1 + sen x
dx
!olución< => 6
x
2
∫ ( 2 x −7 ) dx
48.
2
4
!olución< => " / 2
49.
∫ t cos t dt 3
0
!olución< => 1
∫ √ 3 + x
50.
2
dx
0
!olución< =>
En los e&ercicios -' a -6) 1erificar la fórmula de integración. 2
u
1
∫ ( a +bu ) du = b
51.
!olución<
=>
2
3
(
2
)
a bu− −2 a ln|a + bu| + C a +bu
∫
52.
(
n
2 u n du = u √ a + bu −na ( 2 n +1 ) b √ a + bu
∫
!olución<
=> 53.
∫(
1 2
u +a
!olución<
2
)
du= 3/ 2
±u a
2
√ u
2
±a
2
+ C
n− 1
u du √ a + bu
)
=> 54.
∫ u cos u du =u n
n
senu−n
∫ u − senudu n 1
!olución<
=> 55.
∫ arctan u du=uarctanu −ln √ 1+ u + C
!olución<
=>
2
u ln
¿
¿
¿ n du ¿ u
ln
¿
¿
u ln
¿ ¿
¿
∫¿
56.
!olución<
=>
En los e&ercicios - a 6() usar integración simbólica en el sistema algebraico por computadora para determinar la antideri1ada *ue atra1iesa el punto dado. 2sar el sistema para 3acer la gr4fica de la antideri1ada resultante.
∫ x / √ 11− x dx , ( 12 , 5 )
57.
3 2
!olución<
=>
∫ √
58. x x
!olución<
2
+ 2 x dx , ( 0,0 )
=>
∫
59.
1 2
( x −6 x + 10 ) 2
dx , ( 3,0 )
!olución<
=>
√ 2−2 x − x 60.∫ x + 1
2
dx , ( 0, √ 2 )
!olución<
=>
∫ sen!1tan ! d! , ( " 4 , 2)
61.
!olución<
=>
d! , (0,1 ) ∫ cos ! sen! (1+ sen! )
62.
!olución<
=>
En los e&ercicios 6+ a /) encontrar o e1aluar la integral.
∫ 2−31sen! d!
63.
!olución<
=>
d! ∫ 1 +sen! cos !
64.
2
!olución<
=> " / 2
65.
∫ 1 + sen!1+cos ! d! 0
!olución<
=> " / 2
66.
1 d! ∫ 3 −2cos ! 0
!olución<
=> d! ∫ 3 −sen! 2 cos!
67.
!olución<
=> ! d! ∫ 1 cos + cos!
68.
!olución<
=>
∫ sen√ !√ ! d!
69.
!olución<
=>
∫ csc !−4 cot! d!
70.
!olución<
=>
Área En los e&ercicios ' y () encontrar el 4rea de la región acotada por las gr4ficas de las ecuaciones. 71. y =
x , y = 0, x = 6 3 x + √
!olución<
=> 72. y =
x
!olución<
2
x
1+ e
, y =0, x =2
=>
%esarrollo de conceptos +. a& Evaluar
∫ x ln x dx n
para
n =1,2 y 3 . 6escribir cualquier modelo que se pueda observar.
b& Escribir una regla general para evaluar la integral en el apartado a&# para un entero
n #1
.
!olución< =>
,. 6escribir lo que significa una fórmula de reducción. 6ar un e'emplo. !olución<
=>
¿Verdadero o falso? En los e&ercicios - y 6) determinar si la declaración es 1erdadera o falsa. Si es falsa) e5plicar por *ué o dar un e&emplo *ue demuestre su falsedad. -. ara usar una tabla de integrales# la integral que se está evaluando debe aparecer en la tabla. !olución< =>
6. 7l usar una tabla de integrales# puede que se tenga que hacer la sustitución para volver a escribir la integral en la forma en que aparece en la tabla. !olución< =>
. Volumen $onsiderar la región acotada por las gráficas de
y = x √ 16 − x , y = 0, x = 0 y x = 4 . 2
Encontrar el volumen del sólido generado al girar la región alrededor del e'e y . !olución< =>
Para iscusión 5&' ndicar /si es posible0 el método o la fórmula de integración que se utili+ar)a para encontrar la antiderivada. '1plicar por qué se eligió tal método o fórmula. 2o integrar a¿
x
∫e
e
∫
x
2 x
+1
dx b ¿
2
x
e
∫ e + 1 dx
∫
x
x
c ¿ x e dx d ¿ x e dx
e¿
∫
2
x
e dx f ¿
∫ e √ e 2 x
2 x
+ 1 dx
!olución< =>
0. Trabajo 9n cilindro hidráulico de una máquina industrial empu'a un bloque de hierro a una − x distancia de x pies ( 0 $ x $ 5 ) , donde la fuerza variable requerida es F ( x )=2000 x e libras. Encontrar el traba'o realizado al empu'ar el bloque : pies. !olución<
=>
8/. Trabajo =epetir el e'ercicio ;1# usando una fuerza
F ( x )=
500 x
√ 26 − x
2
libras.
!olución<
=>
8'. Diseo ar!ui"e#"$ni#o "a sección transversal de una viga de concreto para un edificio está acotada por las gráficas de las ecuaciones x =
2
√ 1 + y
donde
x
, x= 2
y
−2 , y =0 y y =3 2 √ 1+ y y
son medidos en pies. "a longitud de la viga es de 4? pies %ver la figura&. a&
Encontrar el volumen
%
y el peso
&
de la viga. 7sumir que el concreto pesa 0/@ libras por pie
cAbico. b& Entonces encontrar el centroide de una sección transversal de la viga
!olución<
=>
8(. Pobla#i$n 9na población está creciendo de acuerdo con el modelo logístico donde t es el tiempo en días. Encontrar la población media en el intervalo !olución<
[ 0,2 ] .
' =
5000 1 +e
4.8−1.9 t
=>
En los e&ercicios 8+ y 8,) usar una 3erramienta de graficación para a resol1er la ecuación integral para la constante %& y b 3acer la gr4fica de la región cuya 4rea est4 dada por la integral. 4
∫ 2 +( 3 x dx =10
83.
0
!olución<
=>
(
∫ 6 x
84.
2
0
!olución<
− x / 2
e
dx =50
=>
7reparación del e5amen 7utnam 8-. Evaluar " / 2
dx ∫ 1 +( tan x ) 0
!olución< =>
√ 2
