ESCUELA SUPERIOR SU PERIOR POLITÉCNICA POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO CHIM BORAZO
MÉTODOS NUMÉRICOS DATOS INFORMATIVOS NOMBRE:
Ronny Sanchez
PROFESOR:
DR. MARI MARI O AUDELO
SEMESTRE:
QUINTO
PARALELO:
“A”
CÓDIGO:
1756
TEMA:
TAREA 5
RIOBAMBA – ECUADOR ECUADOR
Use las fórmulas de diferencia progresiva y de diferencia regresiva para determinar las aproximaciones con que se completar en las siguientes tablas.
1.
′ a)
0,5 0,4794 0,852 0,6 0,5646
0.824
0,7 0,6442 0,796
>0 + ℎℎ 0,0,5+0,0,11 0,5 0,0,5 0,0,60,0,1 5 0,0,5 0,56460,0,1 4794 0,852 Para
Punto intermedio
1 1+ℎ2ℎ 11 ℎ 0.6 0.70.20.5 4794 0.6 0.64424420.20.0.4794 .. . <0 ℎℎ Para
Use las fórmulas de diferencia progresiva y de diferencia regresiva para determinar las aproximaciones con que se completar en las siguientes tablas.
1.
′ a)
0,5 0,4794 0,852 0,6 0,5646
0.824
0,7 0,6442 0,796
>0 + ℎℎ 0,0,5+0,0,11 0,5 0,0,5 0,0,60,0,1 5 0,0,5 0,56460,0,1 4794 0,852 Para
Punto intermedio
1 1+ℎ2ℎ 11 ℎ 0.6 0.70.20.5 4794 0.6 0.64424420.20.0.4794 .. . <0 ℎℎ Para
0,0,7 0,0,70,0,11 0,0,7 0,0,7 0,0,60, 0,1 7 0,0,7 0,56460,0,1 6442 0,796 ′ b)
0,0
0,00000
0,2 0,74140 0,4 0,3718
3,707
3.4295 2 .8745
> 0 + ℎℎ 0,0,0 0,0,0+0,0,22 0,0,0 0,0,0 0,0,20,0,2 0 0,0,0 0,741400,0,2 00000 3,707 Para
Punto intermedio
1 1+ℎ2ℎ 11 ℎ 0.2 0.40. 4 0 370.184 0 0.2 1.3718 .. .
Para
<0
2 22ℎ 42ℎ2ℎ + 32 0.4 0 40.0.24 +30.4 0.4 0 40.74140.4 + 31.3718 . .8745
Los datos del ejercicio 1 se tomaron de las siguientes funciones. Calcule los errores reales del ejercicio1 y obtenga las cotas de error por medio de las fórmulas de error. 2.
sin ′ cos 01 0.0.56 2 0.7 ′′01 0.0.8877583 25336 ′2 0.764842 ′′01 0.0.8879524 ′2 0.768 0 ԑ |000| a)
Real
Aproximado
Para
0. 8 795| ԑ |0.877583 0.877583 ԑ . 1 ԑ |111| 0. 8 24| ԑ |0.825336 0.825336 ԑ . 2 ԑ |222| 0. 7 68| ԑ |0.764842 0.764842 ԑ . 2 + 3 1 ′ 4+ 3 01 0.0 2 2 0.4 ′′01 43.42140 ′2 2.891825 ′0 3.9845 Para
Para
b)
Real
Aproximado
′′12 3.2.48295745 0 ԑ |000| ԑ |4 3.49845| ԑ . 1 ԑ |111| 3. 4 295| ԑ |3.42140 3.42140 ԑ . 2 ԑ |222| 2. 8 745| ԑ |2.891825 2.891825 ԑ . Para
Para
Para
Use la fórmula de los tres puntos más conveniente para determinar las aproximaciones con que se completan las siguientes tablas. 3.
′ 19,98167 22,193635 27,10735 a)
1,1 9,025013 1,2 11,02318 1,3 13,46374
1,4 16,44465
29,8091
>0 + ℎℎ 1,1 1,20,1,1 1 1,1 11,023180, 19,025013 19,98167 <0 ℎℎ 1,4 1,30, 1,1 4 1,4 13,463740, 116,44465 29,8091 Para
Para
Formula de los 3 puntos
+ ℎ2ℎ ℎ 1,2 1,32 01,,1 1 1,2 13,463742 0,19,025013 22,193635 1,3 1,42 01,,1 2 1,3 16,444652 0,111,02318 27,10735 ′ 3,1041 b)
8,1 16,94410
8,3 17,56492 8,5 18,19056 8,7 18,82091
3,11615 3,139975 3,15175
>0 + ℎℎ 8,1 8,30,8,2 1 8,1 17,564920, 216,94410 3,1041 <0 ℎℎ 8,7 8,50, 8,2 7 8,7 18,190560, 218,82091 3,15175 Para
Para
Formula de los 3 puntos
+ ℎ2ℎ ℎ 8,3 8,52 08,,2 1 8,3 18,190562 0,216,94410 3,11615 8,5 8,72 08,,2 3 8,5 18,820912 0,217,56492 3,139975
c)
′ 5,87808 6,654785 8,21633 9,00117 >0 + ℎℎ 2,9 3,00,2,1 9 2,9 4,2400580, 14,827866 5,87808 <0 ℎℎ 3,2 3,10, 3,1 2 3,2 3,4969090, 12,596792 9,00117 2,9 -4,827866 3,0 -4,240058 3,1 -3,496909 3,2 -2,596792
Para
Para
Formula de los 3 puntos
+ ℎ2ℎ ℎ 3,0 3,12 02,,1 9 3,0 3,4969092 0,14,827866 6,654785 3,1 3,22 03,,1 0 3,1 2,5967922 0,14,240058 8,21633
d)
′ 0,017718 0,0998955 0,329896 0,442283 >0 + ℎℎ 2,0 2,10,2,1 0 2,0 3,69057010, 13,6887983 0,017718 <0 ℎℎ 2,3 2,20, 2,1 3 2,3 3,66881920, 13,6245909 0,442283 + ℎ2ℎ ℎ 2,1 2,22 02,,1 0 2,1 3,66881922 0,13,6887983 0,0998955 2,2 2,32 02,,1 1 2,2 3,62459092 0,13,6905701 0,329896 2,0 3,6887983 2,1
3,6905701
-
2,2 3,6688192 2,3 3,6245909
Para
Para
Formula de los 3 puntos
Use los siguientes tiempos y posiciones para predecir la velocidad de un automóvil en cada momento incluido en la tabla. 4.
Tiempo
0 3
5
8
10
13
distancia 0 225 383 623 742 993
velocidad 0 79 80 59,5 83,666
105,66
` ≈ + ℎℎ ` ≈ + ℎℎ ` ≈ `0+ 33 0 3+ ≈20 3 ` ≈ 2 `` ≈ 3832 225 5+ ≈379 5 ` ≈ 3 `` ≈ 6233 383 8+ ≈280 8 ` ≈ 2 `` ≈ 7422 623 ≈ 59.5
5.
` ≈ 10+33 10 `` ≈ 9933 742 623 ≈483.742666 + 3993 ` ≈ 2 ∗ 3 ≈ 105.66
Aproxime las siguientes integrales aplicando la regla del trapecio.
Formula compuesta del trapecio
Se trabajara con n=4
a.
ℎ +2∑− + 2 = .
ℎ ℎ 1 40.5 ℎ 0.125 + ∗ℎ 0.0.55++1∗0.0∗0.1125250.0.6525 0.0.55++23∗0.∗0.112525 0.0.87755 0.5 + 4∗0.125 1
≈ 0.125 0.5 + 2∑ + 1 2 . = ≈ 0.125 [ 1 + 20.625 + 0.75 + 0.875 +1] 2 16 . ≈ 0.204 . b.
. 2 4
ℎ ℎ 0.540 ℎ 0.125 + ∗ℎ 0+10+∗0.0∗0.125125 0.1025 0+0 +2∗3∗0.0.1125250.0.32755 0+ 4∗0.125 0.5 . 2 ≈ 0.125 0 +2∑ 4 2 = + 0.5 . 2 ≈ 0.125 [ 1 + 2 2 + 2 + 2 4] 4 2 2 0.1254 0.25 4 0.375 4 7
. 2 ≈ 0.267 4 c.
. ln
ℎ ℎ 1.541 ℎ 0.125 + ∗ℎ 1+11+∗0.0∗0.125125 1.1125 1+1 +2∗3∗0.0.1125251.1.32755 1+ 4∗0.125 1.5 . ln ≈ 0.125 0 +2∑ 2 = + 0.5 . ln ≈+0. 0.612125 21.125ln1.125+ 1.25ln1.25+1.375ln1.375 . ln ≈ 0.1529
d.
−
ℎ ℎ 1 4 0 ℎ 0.25 + ∗ℎ 0 0+1+0∗∗0.0.25250.025 0+0+3∗0.2∗ 0.22550.0.755 0 +4∗ 0.25 1 − ≈ 0.125 0 + 2∑ + 0. 5 2 = − ≈ 0.25 20.25−. + 0.5−. + 0.75−. + 0.37 2 − ≈ 0.1627 e.
ℎ
ℎ 4 0 4 ℎ 161 + 1∗ℎ 0+ 0∗1 16 0 0+ 1∗ 161 0.196 0+ 2∗ 161 0.392 0+ 3∗ 161 0.588 0+ 4∗ 16 0.784 0 . 1 25 ≈ 2 0 +2∑= +0.5 ≈+0. 0.2255520.1960.196+0.3920.392+0.5880.588 ≈ 0.197
6. Repita el ejercicio 5 usando la regla de Simpson
a)
n=4
∫. ℎ ℎ 1 0.4 5 0.125
00.+5 +0∗ ℎ∗ℎ 0.5 12 0.0.55 +1+2 ∗0.∗0.112525 0.0.67255 34 0.0.55 +3+4 ∗0.∗0.112525 10.875 ℎ ∗ +4∑− + 2∑ − + 3 = = 0.125 ∗0.5 + 40.625 + 0.875 + 20.75 +1 3 . ∫. ∫. − 42 ℎ ℎ 0.540 0.125 00++0∗∗ℎℎ 0 12 00 +1+2 ∗0.∗0.112525 0.0.12525 34 00 +3+4 ∗0.∗0.112525 0.0.3575 − ℎ ∗ +4∑ + 2∑ + − 3 = = 0.19377
b)
n=4
. 2 0.125 ∗ 2 + 4 2 + 2 +2 2 4 32 0 4 0.125 4 0.375 4 0.254
+ 0.5 4 ∫. ∗
=-0.267 c)
n=4
∗ ℎ ℎ 1.541 0.125
01++0∗∗ℎℎ 1 12 11 +1+2 ∗0.∗0.112525 1.1.12525 34 11 +3+4 ∗0.∗0.112525 1.1 375 ℎ ∗ +4∑− + 2∑ − + 3 = = . 0.125 ∗1 ∗ 1 +41.125 ∗ 1.125+ 1.375 ∗1.375 3+ 21.25 ∗ 1.25 + 1.5 ∗ 1.5 .5
555
=0.1921 d)
n=4
∫ ∗−
∗− ℎ ℎ 1 4 0 0.25
00++0∗∗ℎℎ 0 12 00 +1+2 ∗0.∗0.2255 0.0.2550 34 00 +4+3 ∗0.∗0.2255 10.75 ℎ ∗ +4∑− + 2∑ − + 3 = = ∗ 0.125 ∗0 ∗ − +40.25 ∗ −. + 0.75 ∗ −. 3 + 20.50 ∗ −. +1 ∗ − =0.080
e)
n=4
∫/ ∗
∗ ℎ ℎ /44 0 0.1936 00++0∗∗ℎℎ 0 12 00 +1+2 ∗0.∗0193619360.0.31872936
34 00 +3+4 ∗0.∗0.11936936 0.0.57808744 ℎ ∗ +4∑− + 2∑ − + 3 = = / 25 ∗ 40.1936∗0.1936+0.5808∗0.5808 ∗+ 20. 03.13872∗0. 3872 +0.7744∗ 0.7744 =0.9333
7. Repita el ejercicio 5 usando la regla del punto medio a)
∫.
n=4
ℎ +2 ℎ 14+ 0.25 0.0833 00.+5 + +0+1∗ℎ1 ∗0.0833 0.5833 12 0.0.55 ++ 1+2+ 11 ∗0.∗0.883333 0.0.67666499 34 0.0.55 ++ 3+4+ 11 ∗0.∗0.883333 0.0.89332165 5 0.5 + 5+ 1 ∗0.833 0.998
2ℎ ∗∑ =
2 ∗0.0833∗0.5833 +0.7499 + 0.9165 . ∫. − =0.2234 b)
n=4
42 ℎ +2 ℎ 04+.5 20 0.0833 00++ 0++1∗ℎ1 ∗0.0833 0.0833 12 00 ++ 12 ++ 11 ∗0.∗0.00833833 0.0.12666499 34 00 ++ 34 ++ 11 ∗0.∗0.00833833 0.0.34332165 5 0 + 5 + 1 ∗0.0833 . 2 2∗0.0833∗ 2 + 2 + 2 0.08334 0.24494 0.41654 4 0.4998
=-0.2667 c)
n=4
∫. ∗ ∗ ℎ +2
ℎ 14+.5 21 0.0833 01++ 0++1∗ℎ1 ∗0.0833 1.0833 12 11 ++ 12 ++ 11 ∗0.∗0.00833833 1.1.12666499 34 11 ++ 34 ++ 11 ∗0.∗0.00833833 1.1.34332165 5 1 + 5 + 1 ∗0.0833 1.4998
. ∗ + 1.2 4∗0.1650833∗ 1 . 0 833 ∗ 1. 0 833 +1. 2 499 ∗ 1.2499 ∗ 1.4165 =0.19002 d)
∫ ∗ −
n=4
∗− ℎ +2 00++ 0++1∗ℎ1 ∗0.1667 1.1667 12 00 ++ 12 ++ 11 ∗0.∗0.11667667 1.1.35334001 34 00 ++ 34 ++ 11 ∗0.∗0.11667667 1.1.68668335 5 0 + 5 + 1 ∗0.1667 2.002
∗ − ∗ −. +1.5001 ∗ −. + 1.1835 ∗2−.∗0.0833∗ 1 . 1 667 =0.0812
e)
∫/ ∗
n=4
∗ ℎ +2 ℎ 4/40 0.130 +2 0 0++0 ++1∗ℎ 1 ∗0. 1 30 1. 1 3 12 00 ++ 12 ++ 11 ∗0.∗0.113030 1.1.2369 34 00 ++ 34 ++ 11 ∗0.∗00.1130301.1.5625 5 0 + 5 + 1 ∗0.130 1.78
/ ∗ 2 ∗0.130∗ 1.13∗1.13+ 1.39∗1.39+ 1.65∗1.65 =0.929
8. Aplique la regla compuesta del trapecio con los valores indicados de n para aproximar las siguientes integrales Regla compuesta del trapecio:
ℎ − 2 +2∑= +
a)
n=4
i 0 1 2 3 4
x 1 1.25 1.5 1.75 2
F(x) 0 0.2789 0.6081 0.9793 1.3862
ℎ 2 4 1 0.25
0.25 2 0 +21.87 +1.386 0.641 −
b)
n=4
i 0 1 2 3 4
x -2 -1 0 1 2
F(x) -1.082 -0.367 0 2.7182 59.112
ℎ 2 42 1
1 2 1.082+ 22.351 +59.112
31.366 c)
2 − + 4 n=6
i 0 1 2 3 4 5 6
x -2 -1.33 -0.66 0.01 0.668 1.335 2.002
F(x) 0.25 0.3466 0.4508 0.4999 0.4498 0.3458 0.2497
ℎ 2 62 0.667
0.667 2 0.25+22.543 +0.2497 1.86 d)
1 √ 4 N=8
i 0
x 3
F(x) 0.4472
ℎ 5 8 3 0.25
1 2 3 4 5 6 7 8
3.25 3.5 3.75 4 4.25 4.5 4.75 5
0.3903 0.3481 0.3152 0.2886 0.2666 0.248 0.2321 0.2182
0.25 2 0.4472+22.0889 + 0.2182 0.5854
e)
N=8
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8
x 0 0.147 0.294 0.441 0.588 0.735 0.882 1.029 1.176
F(x) 0 0.148 0.3027 0.472 0.6666 0.9039 1.214 1.6614 2.3999
ℎ 1.1780 8 0.147
0.147 2 0 +25.22 +2.3999 0.944
9. Aplique la regla compuesta de Simpson para aproximar las integrales del ejercicio a)
n=4
i 0 1 2 3 4
x 1 1.25 1.5 1.75 2
F(x) 0 0.2789 0.6081 0.9793 1.3862
ℎ 2 4 1 0.25
0.25 3 0 + 41.2582 + 20.6081+1.386 0.636 −
b)
n=4
i 0 1 2 3 4
x -2 -1 0 1 2
F(x) -1.082 -0.367 0 2.7182 59.112
ℎ 2 42 1
1 3 1.082+ 42.351 +20 + 59.112
22.478 c)
2 − + 4 n=6
i 0 1 2 3 4 5 6
x -2 -1.33 -0.66 0.01 0.668 1.335 2.002
F(x) 0.25 0.3466 0.4508 0.4999 0.4498 0.3458 0.2497
ℎ 2 62 0.667
0.667 3 0.25+41.1923 +20.9006 + 0.2497
1.57
d)
1 √ 4 N=8
i 0 1 2
x 3 3.25 3.5
F(x) 0.4472 0.3903 0.3481
ℎ 5 8 3 0.25
3 4 5 6 7 8
e)
3.75 4 4.25 4.5 4.75 5
0.3152 0.2886 0.2666 0.248 0.2321 0.2182
0.25 3 0.4472+ 41.20 + 20.8847 +0.2182 0.51 N=8
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8
x 0 0.147 0.294 0.441 0.588 0.735 0.882 1.029 1.176
F(x) 0 0.148 0.3027 0.472 0.6666 0.9039 1.214 1.6614 2.3999
ℎ 1.1780 8 0.147
0.147 3 0 + 43.1849 + 22.1833 +2.3999 0.955
10. Aplique la regla compuesta del punto medio con n + 2 subintervalos para aproximar las integrales del ejercicio 1. a) Ingrese la función = 'sin(x)' Ingrese el valor de a = 0.5 Ingrese el valor de b = 0.7 Ingrese el valor de n = 2 h = 0.0500 x = 0.5500 x = 0.6500 Resultado 0.1128 b) Ingrese la función = 'exp(x)-2*x^2+3*x-1' Ingrese el valor de a = 0 Ingrese el valor de b = 0.4 Ingrese el valor de n = 2 h = 0.1000 x = 0.1000 x = 0.3000 Resultado 0.2910
∫ − . ℎ +2∑− + 2 =
11. Aproxime por medio de h = 0.25: a) Aplique la regla compuesta del trapecio
n=8
h=0.25
i
x 0 0.25
0 0.0587
− ∑= 1.6495 0.25 ( + 21.6495 +0.0732) 0.421525 2 ℎ +4∑ 1 + 2∑ − + 3 = − 0.50 0.75 1 1.25 1.50 1.75 2
0.1947 0.3205 0.3678 0.3275 0.2371 0.1432 0.0732
b) Aplique la regla compuesta de Simpson
h=0.25
n=8
∑= 1 0.0587+0.3205+0.3275+ 0.1432 =0.8499
∑= 0.1947+ 0.3678+0.2371 − 0.25 0+40.8499 +20.7996 + 0.0732 0.422666 2 =0.7996
c) Aplique la regla compuesta del punto medio
2ℎ∑ =
∑= 0.0587+ 0.3205+0.3275+ 0.1432 − 20.250.8499 0.4249 =0.8499
−
12. Un automóvil recorre una pista de carreras en 84 s. Su velocidad en cada intervalo de 6 s se determina mediante una pistola de radar y está dada, en , desde el principio del recorrido, por los datos de la tabla siguiente: Tiempo
0
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
66
72
78
84
Velocidad
124
134
148
156
147
133
121
109
99
85
78
89
104
116
123
0
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
66
72
78
84
124
134
148
156
147
133
121
109
99
85
78
89
104
116
123
− ℎ3 ∗ { + 4∑= −+2 ∗∑= + }
ℎ 84140 6 + ∗ ℎ + 2 ∗ 1 48 +147+ 121+ 99+78 +104 63 ∗ 0+ 4∗ 134 +156 +133 +109 +85+ 89+116 +123 63 ∗ 124+4822 + 2697 +123 13. Un estudio de ingeniería del transporte requiere que se calcule el número total de autos que cruzan por una intersección en un periodo de 24 horas. Un individuo la visita en diferentes momentos durante el curso de un día y cuenta durante un minuto los autos que pasan por la intersección. Utilice los datos que se resumen en la tabla para estimar el número total de autos que cruzan por día (tenga cuidado con las unidades).
Tiempo(h)
7:30
7:45
8:00
8:15
8:45
9:15
Tasa (autos por 4 min)
18
24
14
24
21
9
Tiempo(min)
0
15
30
45
75
105
24
14
24
21
9
Tasa (autos por 4 min) 18
− ℎ3 ∗ { + 4∑= −+2 ∗∑= + }
ℎ 10550 21 + ∗ ℎ 231 ∗ 18+ 4∗ 24 +24 + 2∗ 14+21 + 9 63 ∗ 0+4822 + 2697+ 123
14. Una barra sujeta a una carga axial (véase la figura a) se deformar· como se ilustra en la curva esfuerzo tensión que aparece en la figura b). El ·rea bajo la curva desde el esfuerzo cero hasta el punto de ruptura se denomina módulo de rigidez del material. Proporciona una medida de la energía por unidad de volumen que se requiere para hacer que el material se rompa. Por ello, es representativo de la capacidad del material para superar una carga de impacto. Use integración numérica para calcular el módulo de rigidez para la curva esfuerzotensión que se aprecia en la figura b).
DATOS a=0.02 b=0.25 E 0.02 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
S 40 37.5 43 52 60 55
ℎ − 0.05 − ℎ +2∑ + 2 = . 0.05 40+237,5 + 43+52 +60 + 55 2 ∫.
15. Durante un levantamiento, se le pide que calcule el área del terreno que se muestra en la figura. Emplee 3 reglas de Simpson para determinar el área.
Distancia f(ft) 200 400 600 800 900 1000 1100 1200 1400 1600 1800 2000
Distancia (ft) 4300 4100 4000 3900 3800 3500 3400 3350 3250 3200 3000 2850
