DINÁMICA
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DINÁMICA Las Leyes de Newton son los pilares de la mecánica, son tres principios con relación al ¿porqué del movimiento de los cuerpos?. La formulación matemática de estas leyes fue publicada por Isaac Newton en 1687, en su obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Estas leyes constituyen, junto con las transformaciones de Galileo, la base de la mecánica clásica. En el tercer volumen de los Principia, Newton mostró que, combinando estas leyes con la Ley de gravitación universal, se pueden deducir y explicar las Leyes de Kepler sobre el movimiento de los planetas. Las leyes de Newton son validas para sistemas de referencia inerciales, es decir, sistemas de referencia en reposo o con MRU. En sistemas de referencia no–inerciales, es decir, acelerados junto con las fuerzas reales deben incluirse las llamadas fuerzas ficticias o fuerzas de inercia que añaden términos suplementarios capaces de explicar el movimiento de un sistema cerrado de partículas clásicas que interactúan entre sí.
Fuerza. Definimos fuerza como la interacción entre dos cuerpos, capaz de deformar o cambiar el estado de movimiento de los cuerpos. Tipos de fuerza. Las interacciones pueden ser a distancia, es decir, sin contacto, como: la fuerza gravitatoria, la fuerza eléctrica, la fuerza magnética, etc. y fuerzas de contacto, como la fricción, la normal, la tensión, etc. Fuerzas de contacto. ·
La normal. Es una componente del resultado de la interacción efectiva entre dos cuerpos en contacto (reacción). Su naturaleza es electromagnética y siempre es perpendicular a la superficie de contacto.
·
La fricción. Si dos cuerpos están en contacto y hay un desplazamiento tangencial entre ellos o un intento de desplazamiento, entonces aparece esta fuerza de rozamiento, que siempre es tangente a la trayectoria y en su mayoría de casos se opone al movimiento, pocas veces se encuentra a favor del movimiento.
·
La tensión. Generalmente es una fuerza que aparece en las cuerdas, como resultado del estiramiento de la cuerda por fuerzas en sus extremos.
|
Fuerzas de acción a distancia. ·
El peso. Es el resultado de la interacción entre la tierra y los cuerpos que la rodean. Su dirección es hacia el centro de la tierra (hacia abajo en una pequeña porción de tierra).
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·
Fuerza eléctrica. Es el resultado de la interacción entre cargas eléctricas. Es una fuerza conservativa y su dirección es en la línea que une las cargas y puede ser de atracción o repulsión, dependiendo del signo de las cargas.
·
Fuerza magnética . Es el resultado de la interacción de imanes y puede ser de atracción o repulsión, dependiendo de los polos en interacción.
Medición de una fuerza. Una fuerza se mide a través de un dinamómetro, que es un resorte calibrado que obedece a la ley l ey de Hooke. Cuyo modelo matemático, es: F = - kx
Donde F es la fuerza que ejerce el resorte, x es el estiramiento o deformación del resorte, k es la constante elástica del resorte y el signo menos obedece a que la fuerza del resorte siempre es opuesta a la deformación.
Primera Ley o Ley de Inercia. (ley del equilibrio) ·
Si la fuerza resultante sobre sobre un cuerpo es nula, el cuerpo se encuentra encuentra en equilibrio, en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme a menos que actúe sobre él una fuerza resultante que le obligue a cambiar dicho estado estacionario.
La Primera ley constituye una definición de la fuerza como causa de las variaciones de velocidad de los cuerpos e introduce en física el concepto de sistema de referencia inercial.
Segunda Ley ·
Si la fuerza resultante sobre un cuerpo es diferente de cero, entonces el cuerpo cue rpo presenta aceleración, esta aceleración es proporcional a la fuerza resultante aplicada e inversamente proporcional a la masa del cuerpo.
Existen otras maneras de formular la segunda ley de Newton, que relaciona las fuerzas actuantes y la variación de la cantidad de movimiento o momento lineal. La formulación siguiente es válida tanto en mecánica newtoniana como en mecánica relativista: ·
La variación de momento lineal de un cuerpo es proporcional a la resultante total de las fuerzas actuando sobre dicho cuerpo y se produce en la dirección en que actúan las fuerzas.
En esta parte de la mecánica, ya nos preocupamos del ¿Por qué? del movimiento, que origina el movimiento. La explicación, radica en las fuerzas, de todo esto se ocupo Isaac Newton, al enunciar las tres leyes de la mecánica, que son el pilar en el desarrollo y entendimiento de la mecánica. Matemáticamente: ®
F =
®
d p dt
®
®
, con p = m v
Efectuando la derivada ®
®
F =
d ( m v ) dt
®
=m
d v dt
®
+v
dm
si
dt
55
m = constante =
dm dt
=0
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La masa m, puede ser variable, como por ejemplo en el lanzamiento de un cohete al espacio, si m es constante, llegamos a la formulación de la segunda ley de Newton. ® ®
\
®
d v
F = m
= ma
dt
Donde si la analizamos desde la causalidad, debe ser expresada de la siguiente forma: ®
\
a=
®
F m
Tercera Ley de Newton o Ley de acción y reacción ·
Por cada fuerza que actúa sobre un cuerpo, éste realiza una fuerza igual pero de dirección opuesta al cuerpo que la produjo. Dicho de otra forma: Las fuerzas siempre se presentan en pares de igual magnitud y dirección opuesta.
· ·
No se equilibran por actuar en cuerpos diferentes. Son de la misma naturaleza, es decir, a un peso le corresponde un peso de reacción, a una normal le corresponde una normal, etc.
Dinámica Lineal. Sin la trayectoria de una partícula es una línea recta y las fuerzas que actúan tienen una resultante en la línea recta, entonces la aceleración lineal se puede calcular, por: ®
®
a=
åF
®
FAVOR
+ å F CONTRA m
ESTRATEGIA DE SOLUCION DE PROBLEMAS · · ·
Hacer el DCL del cuerpo o de los cuerpos en estudio. Definir una posible dirección del movimiento Aplicar la ecuación anterior. Si la aceleración tiene signo negativo, este signo nos esta indicando que el móvil se mueve en dirección opuesta al que hemos asumido.
Dinámica circular. Si la trayectoria descrita es una circunferencia, entonces existe fuerza resultante radial, es decir en la dirección del radio, esta fuerza es la fuerza centrípeta y es responsable del cambio en la dirección de su movimiento. ®
a=
mv R
2
®
= mRw 2 =
åF
®
ADENTRO
+ å F AFUERA
m
ESTRATEGIA DE SOLUCION DE PROBLEMAS · · · ·
Hacer el DCL del cuerpo o de los cuerpos en estudio. Definir la circunferencia donde se produce el movimiento. Trazar los ejes de referencia. Uno a partir del centro de la circunferencia hacia la masa en estudio y el otro eje perpendicular a este. Aplicar la ecuación anterior al eje radial.
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PROBLEMAS RESUELTOS – DINAMICA 1. N bloques idénticos (cada uno con una masa m o) están situados sobre una mesa sin rozamiento como se muestra en la figura. si se empuja a la primera masa con una fuerza horizontal P, responda: a. ¿Con qué aceleración se mueve el conjunto?. b. ¿Cuál es la fuerza con que actúa la masa de la posición [N–1] sobre la masa de la posición [N]?.
Solución:
a. ¿Con qué aceleración se mueve el conjunto? La segunda Ley de Newton indica que: F = ma
(1)
Aplicándola a todo el conjunto, la única fuerza externa es la fuerza “P”, y la masa del sistema es: mo + mo + mo+ ... = Nmo: P = Nmo a
(1a)
Despejando la aceleración “a” en la ec. (1a), se obtiene que: a = P/(Nmo)
(1b)
b. Aplicando la segunda Ley de Newton a solo el último bloque: f = mo a
(1c)
Donde “f” es la fuerza buscada y sería la única fuerza que actúa sobre el enésimo bloque. Como la aceleración no es dato, hay que reemplazarla la expresión (1b) en (1c), para encontrar que:
f = mo P/(Nmo) = P/N
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2. Si el sistema (m1 = 12 kg, m2 = 8 kg, tangq = 3/4) se deja en reposo, encuentre: a. La aceleración con que se mueve el bloque 2. b. La tensión de la cuerda.
Solución: Primero se hace el diagrama de cuerpo libre de cada bloque, es decir, se aísla cada cuerpo del resto y se le dibujan las fuerzas que actúan sobre cada bloque. Estos esquemas se muestran a lado derecho de la figura. En el caso del bloque que está sobre el plano inclinado, es conveniente descomponer todas las fuerzas en las direcciones paralela y perpendicular a dicho plano.
a. hay que aplicar la segunda Ley de Newton a cada cuerpo, en la dirección en que se mueven. S F = m a
T –1gmsenq = m1a
Bloque 1:
Bloque 2:
2g
– mT = m2a
(2a) (2b)
En donde se ha tenido en cuenta que las tensiones a ambos lados de la polea son iguales, y que los bloques se mueven a la misma velocidad. Además de que el sentido en que se mueven es con el bloque 2 descendiendo. Este sentido es tomado al inicio arbitrariamente. Si el resultado numérico de la aceleración sale positivo, el sentido se tomó como correcto, si sucede que el signo de la aceleración es negativo, el sentido se tomó equivocadamente. En cualquiera de los dos casos, el valor absoluto de la aceleración es el mismo. Sumando (2a) + (2b), se encuentra que: m2g – m1g senq = ( m1 + m2) a
(2c)
Despejando la aceleración y reemplazando los datos en la ec. (2c) se obtiene que: 2
a = 0,392 m/s
b. La tensión de la cuerda se puede hallar despejando de la ec. (2a) o ec. (2b), usando la aceleración como dato, calculando se halla que: T = 75,264 N
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3. Un auto viaja a 29,4 m/s, por una carretera horizontal. Los coeficientes de fricción entre la carretera y los neumáticos son 0,6 y 0,4. ¿cuánto tiempo tardará el auto en llegar al reposo si se frena: a. suavemente. b. con dureza. Solución:
a. La figura muestra a las fuerzas que actúan sobre el auto cuando éste se frena. Ya que no hay aceleración vertical, la primera Ley de Newton indica que: SFy = N – mg = 0
(3a)
Donde N es la fuerza normal. Para simplificar, se supuso que el peso del auto se distribuye por igual sobre las cuatro ruedas y que los frenos se aplican a las cuatro ruedas. Cuando se frena suavemente, las ruedas no deslizan, esto significa que la fuerza de fricción que ejerce la cartera es estática. Si se aplica la segunda Ley de Newton en la dirección horizontal se obtiene: SFx = f = –msN = m a
(3b)
En donde se ha considerado el sentido de la velocidad como positiva. ms es el coeficiente de rozamiento estático. Usando (3a) en (3b), despejando la aceleración se encuentra: a
= –msN/m = –msmg/m = –msg
(3c)
Y reemplazando los datos en la ec. (3c), se halla que: a = –5,88 m/s2. Para encontrar el tiempo que tarda en frenar se usa las ec. del MRU. v = vo + a t
(3d)
Donde v = 0, despejando t en (3d), y calculando con los datos se obtiene: t=5s
b. cuando el vehículo se frena con dureza, las ruedas se bloquean, es decir, se deslizarán por la carretera y la fuerza de frenado será de fricción cinética. El razonamiento usado en la parte (a) es el mismo que puede emplearse en esta pregunta. El único cambio que debe hacerse es emplear el coeficiente de rozamiento cinético: a=
–mkg
El tiempo también se halla con la ec. (3d): t = –vo / a Entonces los valores serán ahora: 2
a = –3,92 m/s
, t = 7,5 s
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4. Un coche de masa 1 200 kg viaja por una carretera horizontal describiendo una circunferencia de 27 m de radio. Si el coeficiente de fricción estática entre las llantas del coche y la pista es 0,6; ¿cuál es la máxima velocidad a la que puede ir el auto sin patinar?. Solución: La figura muestra el diagrama de fuerza correspondiente al auto. La fuerza normal se debe equilibrar con el peso: N – mg = 0
(4a)
La única fuerza horizontal que obliga al vehículo a seguir la trayectoria de una circunferencia es la fuerza de rozamiento estático y debe ser igual a la fuerza centrípeta: f = mv2
/R
(4b)
Entonces se deduce que la velocidad máxima a la que puede ir el auto, ocurre cuando la fuerza de rozamiento estático toma su máximo valor: v(máx) Þ f (máx) = mN
(4c)
Si se despeja “v” de la ec. (4b), se usa (4c) y luego (4a), se encuentra que: v(máx) =
f(máx) R/m
=
m NR / m =
mmgR / m =
(4d)
mgR
y se reemplaza los valores numéricos en la ec. (4d), se obtiene: v(máx) = 12,6 m/s
5. Una piedra atada a una cuerda gira uniformemente en un plano vertical. Si la diferencia entre la tensión máxima y la tensión mínima de la cuerda es de 9,8 N. ¿cuál es la masa de la piedra? Solución: La tensión máxima y la tensión mínima, ocurren en los puntos más bajo y más alto respectivamente. Como se trata de un movimiento circular, hay una fuerza resultante dirigida hacia el centro de la circunferencia, que es la fuerza centrípeta: SF = mv2
/R
(5)
Aplicando la definición de fuerza centrípeta, en cada uno de los puntos (1 y 2): Punto más alto (1):
T1 + mg = mv2
/R
(5a)
Punto más bajo (2):
T2 – mg = mv2
/R
(5b)
Donde se ha tomado en cuenta que la velocidad es la misma, ya que se menciona que gira uniformemente. Ya que el dato que se menciona es: T2 – T1 = 9,8 N, Lo adecuado sería restar las ecuaciones, (5b) – (5a): T2 – T1 – 2mg = 0
(5c)
Despejando “m” en (5c) y reemplazando los datos, se encuentra que: m=0,5 kg 60
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6. Un hombre de 700 N. se encuentra de pie sobre una báscula en el piso de un elevador. La báscula registra la fuerza de todo lo que se ponga sobre ella ¿Cuál es la lectura de la balanza si el elevador tiene una aceleración de: a. 2 m/s2 hacia arriba. b. g hacia abajo. Solución: a. Cuando el elevador sube, se tiene un peso aparente, que marca la báscula de : WA = m( g + a ) Þ si a = 2 m/s2. WA = 842,86 N b. Cuando el elevador baja, se tendrá un peso aparente de:
mg
WA= m(g –g) Þ si a = g WA = 0 N
7. Dos masas m1 y m2 unidas mediante una cuerda flexible se colocan sobre un par de planos inclinados, tal como se indica en la figura. No hay rozamiento. Halle la aceleración del sistema y la tensión en la cuerda.
m1
m2 q1
q2
Solución:
T
DCL de m1:
N m1 m1gsenq1
q1
m1gcosq1
Del DCL de m1 Asumiendo que el movimiento es hacia la dirección de m1gsenq1, entonces tenemos lo siguiente: m1gsenq1 – T = m1 a .....(1)
m 1g
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DINÁMICA
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DCL de m2:
Del DCL de m2 El movimiento es hacia la dirección de T, entonces tenemos lo siguiente:
T
m2 m2gcosq2
q2
m2gsenq2
T – m2gsenq2 = m2a ......(2) Sumando (1) y (2) se tiene:
m2g
g(m1senq1 – m2senq2) = (m1 + m2) a
a=
g ( m1senq1 - m2 senq2 ) m1 + m2
.....(3)
Hallamos la tensión reemplazando (3) en (1):
T =
m1m2 g ( senq1 + senq2 ) m1 + m2
8. Una masa de 15 kg desliza en un plano inclinado 30º con la horizontal, y está unida mediante una cuerda que pasa por una polea, a una masa suspendida libremente de 35 kg. como se muestra en la figura. Halle la tensión en la cuerda y la aceleración del sistema, suponiendo que el coeficiente mk = 0,2.
30º
Solución: DCL de la masa de m1 = 15 kg : con q = 30º y g = 10 m/s2.
T
N
Analizando las fuerzas en la dirección normal, sin movimiento, se tiene:
q
m1gcosq m1g
El movimiento es hacia la dirección de T, entonces tenemos lo siguiente: T – (m1gsenq + Fr) = m1 a .....(1)
m1 Fr m1gsenq
Del DCL de m1
N = m1gcosq .....(2) Además: Fr = mN Þ Fr = mm1gcosq.....(3) (3) en (1) : T – (m1gsenq + mm1gcosq ) = m1 a .....(4)
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DINÁMICA
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DCL de la masa de m2 = 35 kg : T
m2
m2g
Del DCL de m2 El movimiento es hacia la dirección de m 2g, entonces tenemos lo siguiente: m2g – T = m2 a .....(5) Sumando (4) y (5) se tiene: g[m2 – (m1senq + mm1cosq)] = (m1 + m2)a g[m 2 - ( m1 sen q + m m1 cos q )] a= .....(6) m1 + m 2 a = 4.88 m/s2 T = m2(g – a) = 172,17 N
9. En la figura los pesos de los objetos son 200 N y 300 N. Se considera que las poleas no tienen fricción y que sus masas son despreciables. La polea P1 tiene un eje estacionario, la polea P2 puede subir o bajar libremente. Calcule las tensiones T1 y T2 así como la aceleración del cuerpo A.
P1 T2 P2 T1
Solución: DCL de A:
A
B
200 N
300 N
DCL de P1:
El movimiento es hacia el peso de 200 N, entonces:
Considerando despreciable la masa de la polea, se tiene: T2 T2
200 – T2 = 20 a A .....(1)
2T2 = T1 .....(3)
T2 T1
a A
A
Además considerando que el desplazamiento de A es el doble del desplazamiento de B, se tiene:
200N
a A = 2a B .....(4)
T1 a B
DCL de B:
B
El movimiento es hacia la tensión T1 entonces:
300N
T1 – 300 = 30 a B .....(2)
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DINÁMICA
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Resolviendo el sistema de ecuaciones (1), (2), (3) y (4) obtenemos: a A = 1,78m / s
2
a B = 0,89m / s
2
T1 = 326,7 N T2 = 163,35 N
10. En el sistema mostrado. Halle “F”, en newton, con la finalidad de que los bloques de masas “2m” y “m” no se muevan respecto del carro de masa “M”. Considere que no hay fricción. Tome M = 90 kg y m = 10 kg. 2m
m
M
Solución: Considerando todas las masas como un único sistema, acelerado por la fuerza F.
DCL de m :
T
F = (M + 3m) a.....(1)
q
Teniendo en cuenta que las masas m y 2 m experimentan fuerzas inerciales proporcionales a la aceleración a se tiene lo siguiente: DCL de 2m :
mg De (4) y (2): cosq = ½ . Þ q = 60º Þ
T
Þ T = 2m a.....(2)
Tsenq = mg.....(3) Tcosq = m a...(4) (3)/(4) tanq = g/ a a = g ctg q
64
10 a
=
3
3
Þ F = 400
3N
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11. Halle la máxima velocidad a la que un automóvil puede tomar una curva de 25 m de radio sobre una carretera horizontal si el coeficiente de rozamiento entre las ruedas y la carretera es de 0,30. Solución: La fuerza que evita que el automóvil deje la pista debido a su velocidad es la fuerza de rozamiento, por lo tanto se tiene la siguiente relación: mv 2 R
= f R Þ
v 2 = R m g
v = R mg = 8.59 m / s
12. Un vehículo de una “montaña rusa” tiene una masa de 500 kg. está completamente cargado de pasajeros. a. Si el vehículo tiene una rapidez de 20 m/s en el punto A .¿ Cuál es la fuerza que ejerce la vía sobre el vehículo en ese punto? b. ¿Cuál es la rapidez máxima que puede tener el vehículo en ese punto B para que se mantenga sobre la vía. B 15 m 10 m
A
Solución:
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE A : (A)
Sea F V la fuerza que ejerce la vía sobre el vehículo en estudio.
10 m Fv
F C =
mg
mv 2 R
= F V - mg Þ F V = mg +
mv 2 R
500 x 20 2 = 25 x10 3 N F V = 500 x10 + 10 DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE B:
(B) mg
15m
La rapidez máxima en el punto B, la calculamos justo en el momento supuesto que el vehículo está apunto de despegar de la vía, es decir la fuerza que ejerce la vía sobre el vehículo es casí cero: mg =
mv R
2
Þ v = gR = 9,8 x15 = 12,12m / s
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DINÁMICA
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13. Un piloto de masa m, que vuela en un avión de reacción ejecuta una maniobra de “rizar el rizo”, como se muestra en la figura. En ese vuelo modelo, el avión se mueve en un circulo vertical de radio 2,7 km. a una rapidez constante de 225 m/s. Determine la fuerza que ejerce el asiento sobre el piloto en: a. La parte inferior del rizo. b. La cima del rizo. De las respuestas en términos del peso del piloto.
Solución:
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE LA PARTE INFERIOR DEL RIZO: FA
Sea F A la fuerza que ejerce el asiento del avión sobre el piloto.
F C = mg
FA mg
mv
2
= F A - mg Þ F A = mg +
R
F A = mg (1 +
v
mv
2
R
2
Rg
) = 2,91mg
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE LA CIMA DEL RIZO: En este caso el avión esta volteado, F A y mg tienen la misma dirección. Haciendo el diagrama de cuerpo libre se tiene: F C =
mv R
2
= F A + mg Þ F A = v
2
- 1) = 0,91mg F V = mg ( Rg 66
mv R
2
- mg
DINÁMICA
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A
14. Se hace girar una masa m en un plano vertical con velocidad angular constante w, al extremo de una barra delgada pero rígida, de longitud ro, la masa de la barra es despreciable en comparación de la masa m. Calcule: a. La tensión en la varilla cuando la masa está en el punto más alto de su trayectoria. b. La tensión de la varilla cuando la masa está en el punto más bajo de su trayectoria.
T
Solución:
B
A
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE A: T
mg
F C = T + mg
w
Þ T =
mv
2
2
- mg =
R
2
mR w
- mg
R
2
T = m(w R - g ) DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE B: F C = T – mg
T
w
Þ T =
mv
2
2
+ mg =
R
2
mR w R
+ mg
2
T = m(w R + g )
mg
O
15. Una bola B está unida al extremo de un hilo de 24 cm de longitud cuyo extremo es un punto fijo O. La bola describe una circunferencia horizontal de radio CB como indica la figura. Halle la velocidad de la bola sabiendo que el hilo forma un ángulo de 30º con la vertical.
30º
Solución: DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE :
B
12 cm
C
T B mg
60º
T cos 60 º =
mv
2
.....(1) R T sen 60 º = mg .......( 2 )
c tg 60 º =
v2
Þ v=
Rg Con R = 12 cm = 12x10–2 m Þ v = 0,824 m/s
67
Dividiendo (2) / (1) se obtiene:
gRc tg 60 º
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PROBLEMAS PROPUESTOS – DINAMICA 1. Haga un diagrama de cuerpo libre de los bloques A y B .Considere rozamiento en todas las superficies
5. Halle la aceleración y la tensión de la cuerda en el sistema mostrado. Considere bloques iguales de masa 10 kg y coeficiente de rozamiento cinético 0,2. Rpta. 1,18 m/s2 y 86,2 N
B A
B 2. El sistema mostrado se mueve con velocidad constante, en una superficie con rozamiento cinético 0,2, determine: a) La masa m, que hace posible este movimiento. b) Si del carro extraemos 20 g y le agregamos a m, la aceleración del sistema será: NOTA: Haga un cálculo teórico exacto, sin aproximaciones.
A 37º 6. De acuerdo al gráfico mostrado, si el sistema esta inicialmente en reposo. Indique verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones: a. La fuerza resultante sobre el sistema es de 19,6 N. b. La fuerza resultante sobre el sistema es de 29,4 N. c. El sistema se mueve hacia la derecha. d. El sistema se mueve hacia la izquierda.
20 g/ cada 1.2 kg Rpta. 0,26 kg y 0,15 m/s2
10 kg
m
mE = 0,5
3. En el sistema mostrado, las masas parten del reposo y se mueven 1,2 m en 4 segundos, en una superficie con rozamiento cinético m. Determine: a) La aceleración del sistema. b) La tensión de la cuerda. c) El coeficiente de rozamiento cinético m.
Todas son Falsas.
7. Dos masas m1 y m2 unidas mediante una cuerda flexible, se colocan sobre un par de planos inclinados, tal como se indica en la figura. No hay rozamiento. Halle la aceleración del sistema y la tensión en la cuerda. ®
1,2 kg
Rpta. 0,15 m/s2, 0,386 N y 0,02.
a
®
a
m1
40 g
m2 q1
4. Sobre un bloque de 4 kg de masa se aplica una única fuerza F, que varia según la ley F = 7t + 5, donde F esta en Newton y t en segundos. Al cabo de que tiempo la aceleración del bloque es de 10 m/s2 F 4 kg Rpta. 5 s.
2 kg
q2
Rpta. a = g(m1senq1–m2senq2)/(m1+m2) 8. Una cuerda pasa sobre una polea sin fricción y con una masa despreciable. Un objeto de 4 kg se cuelga en un extremo y en el otro un objeto de 12 kg. Calcule la aceleración y la tensión en la cuerda. Rpta. 4,9 m/s2 y 58,8 N
Liso 68
DINÁMICA
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9. Determine la fuerza de reacción entre los bloques A y B, si las masas son de 3 kg y 2 kg respectivamente. Considere que no hay rozamiento. F1=60 N
A
14. Si el sistema (m1 = 18 kg, m2 = 5 kg, m = 0,14) se deja en reposo encuentre: a. La aceleración con que se mueve el bloque 2 y la tensión de la cuerda. b. La velocidad v con que se mueve el bloque 1, si se ha desplazado una distancia 0,3 m.
F2=40 N
B
Rpta. 48 N
1
10. Un auto de 900 kg viaja a 20 m/s en un camino plano. ¿Cuál es la magnitud de una fuerza retardadora constante necesaria para detener el auto a una distancia de 30 m. Rpta. 6000 N
2 15. Determine el ángulo mínimo "a " para que los bloques empiecen a moverse. b = 45°. El coeficiente de rozamiento entre los bloques y la superficie es 0,5.
11. Sobre una mesa se halla un bloque, m 1 = 20 kg, que está unido por una cuerda a otros dos, m2 = 5 kg y m 3 = 3 kg como se muestra. El coeficiente de rozamiento entre m1 y la mesa vale 0,2. Calcular: a. La aceleración con que se mueven. b. La tensión de los hilos.
m b
m
a
Rpta. 26,56º.
1
b
16. Una bala de 300 g de masa impacta contra un tablón fijo de 10 cm de espesor. Si ingresa con v1 = 300 m/s y sale con v2 = 200 m/s. ¿Cuál es la fuerza media de rozamiento, en N, que le imprimió el tablón, considerándola constante?
2 Rpta. 1,4 m/s2 , T1= 67,2 N y T 2= 25,2 N
12. Un hombre cuya masa es de 85 kg se encuentra en un ascensor. Determinar la fuerza que ejerce el piso sobre el hombre cuando: a. El ascensor asciende con velocidad uniforme. b. El ascensor desciende con aceleración de 4,9 m/s2. c. El ascensor asciende con aceleración de 6,3 m/s2.
17. Un péndulo de masa m = 3 kg cuelga de una cuerda, suspendida de un extremo del techo del móvil de masa M = 9 kg, cuando el sistema es jalado con una fuerza F = 36 N, permanente y según corno se indica en la figura, la cuerda del péndulo se separa de la vertical un ángulo q. Calcule: a. La aceleración del sistema. b. La medida del ángulo “q”. c. EI valor de la tensión en la cuerda. Rpta. 3m/s2, 17,02º y 30,74 N.
13. Calcule la aceleración del cuerpo de masa m2; Si, m1 = 10 kg y m2 = 20 kg. q = 30°
F
m
m1
M q
m= 0
m2 69
DINÁMICA
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18. Para el sistema de bloques mostrado, calcule: a. La aceleración del sistema. b. La tensión en la cuerda.
22. Determinar el valor de la fuerza F que impedirá que el bloque de masa m1 = 5 kg resbale, sobre el coche de masa M = 32 kg, sabiendo además que m2 = 3 kg, la masa de la cuerda, polea, y rozamiento entre los bloques es despreciable.
20 kg 80 kg 37º
Desprecie el rozamiento entre las superficies en contacto
F
19. Calcular la masa del bloque A, para que el bloque B, cuya masa es 24 kg, pueda descender aceleradamente a razón de 2 m/s2.
20. Tres bloques A, B y C, están colocados como se muestra en la figura, sus masas son mA = 12 kg, mB = 16 kg y m C = 24 kg. Sobre cada bloque se ejerce una fuerza horizontal FA = 30 N FB = 85 N y FC = 20 N. Los coeficientes de rozamiento estático y cinético entre los bloques A y B son respectivamente ms(AB) = 0,4 y mk(AB) = 0,2; y los coeficientes de rozamiento estático y cinético entre los bloques B y C son respectivamente ms(BC) = 0,15 y mk(BC) = 0,05. No hay fricción entre C y la mesa. Determine la aceleración de A con respecto a la mesa.
FB
mB
mA
mC
24. N bloques (con masas m, 2m ,3m, Nm) están situados sobre una mesa sin rozamiento como se muestra en la figura. Si se empuja a la primera masa (m) con una fuerza horizontal F, ¿cuál es la fuerza con que actúa la masa antepenúltima (de masa [n–2]m) sobre la masa penúltima (de masa [n–1]m)?.
FA
B C
m2
23. Para el sistema de bloques conectados mostrado en la figura, determine: a. La tensión en las cuerdas. b. La aceleración de cada bloque. Considere que el coeficiente de rozamiento cinético entre B y el piso es 0,25; mA = 100 kg; mB = 50 kg; mC=150 kg.
24 kg
A
M
m= 0
A 37º
m1
m
2m
3m
Nm
1
2
3
N
FC
25. Calcular la aceleración del bloque B, si mA = 3 kg, mB = 4 kg y F = 210 N. No F considere rozamiento.
21. Un elevador parte del reposo y sube con una aceleración constante, se mueve 2 m en los primeros 0,6 s. Un pasajero en el elevador sostiene un paquete de 3 kg con una cuerda. ¿Cuál es la tensión en la cuerda durante la aceleración?. Rpta. 64,8 N.
B
A 30º
70
DINÁMICA
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26. Las masas de los bloques A, B y C de la figura son 15, 25 y 10 kg respectivamente. Si el coeficiente de rozamiento entre B y la superficie horizontal es 0,10, calcule: a. La tensión en cada cuerda. b. La aceleración del cuerpo B.
30. Las masas de los bloques A y B del sistema mostrado en la figura son: 5 kg y 12 kg respectivamente. El sistema se mueve debido a la fuerza horizontal F = 150N y el bloque “A” adquiere una aceleración hacia arriba de 2 m/s2. Halle el coeficiente de rozamiento entre el bloque B y la superficie horizontal.
B
F
B
C
A
27. Para el sistema mostrado el coeficiente de rozamiento cinético en todas las superficies es 0,2; calcular: a. La aceleración de los bloques. b. La tensión en las cuerdas. 3kg 2kg A B
Rpta. 0,61.
A
31. Sí el sistema con m1 = 21 kg, m2 = 14 kg, mk = 0,3; se deja en reposo; encuentre la aceleración del punto P, cuando el bloque 1 se ha desplazado una distancia de 0,7 m. Radio de la Polea, R = 2,1 cm.
C 7kg 28. Los bloques mostrados tienen masas m1 = 1 kg y m2 = 2 kg. si la fuerza F = 16 N, halle la aceleración de los bloques. No hay rozamiento.
32. Determine la aceleración del sistema y las masas de A y C, si T A = 30 N y TC = 60 N. Considere rozamiento con m=0,2 y la masa de B es de 5 kg. B
m1 m2
A
C
F 29. En la figura mostrada el bloque de masa “M” tiene una aceleración doble que el bloque de “2M”. El coeficiente de rozamiento entre los bloques es mK y entre bloque 2M y el piso es mK /6. Halle el coeficiente mK. mK
M
mK /6
2M
33. En la figura, se muestran los bloques A y B de masas 2 kg y 4 kg respectivamente. Los coeficientes de rozamiento son mA = 0,70 entre los cuerpos A y B; y mB = 0,20 entre B y la superficie horizontal. Calcule las aceleraciones en los cuerpos al aplicar al cuerpo A una fuerza de 20N. A
M
B
Rpta. 0,5. 71
20 N
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34. En el sistema que muestra la figura, encuentre el peso del bloque A, si partiendo del reposo y descendiendo recorre la distancia de 27 m en 3 segundos. No considere rozamiento ni el peso de las poleas.
38. La aceleración del bloque de 2 kg, que desliza por el plano lizo de la figura, es:
37º 39. El sistema se mueve con velocidad constante cuando la masa colgante es de 100 g, como se muestra en la figura, determine la aceleración del sistema cuando de la masa 9,9 kg se le quite 1,9 kg y se le agregue a la masa colgante de 100 g.
A 100 N
27 m
Rpta. 17,2 kg. 35. Haga el diagrama de cuerpo libre de los bloques A y B, Si el peso de A es 200N y el de B es de 150 N. Determine la fuerza de contacto entre los bloques.
9,9 kg
A B
100g
40. Halle el coeficiente de rozamiento entre la masa “m” y el carrito M, de tal modo que el bloque de masa “m” se mantenga en reposo con respecto al carrito M.
F=700 N 36. La cuña B tiene una aceleración horizontal de 5 m/s2 según se muestra en la figura. Un bloque de masa “m” se encuentra encima de la cuña, sin considerar rozamientos, halle la aceleración relativa del bloque respecto a la cuña. Indica hacia donde se mueve el bloque.
a = 8 m/s
2
m
A
M
37º
Rpta. 0,56.
a
B
41. Se quiere subir con movimiento uniformemente acelerado un cuerpo de 2 kg por una rampa del 10 por 100 de pendiente y 5m de longitud en un tiempo de 10 s. El coeficiente de rozamiento vale 0.4. Calcule la fuerza paralela a la rampa que se debe aplicar.
30º
37. El móvil de masa “m” se desliza hacia abajo con velocidad constante y apoyada sobre la pared vertical mostrada. Haga el diagrama de cuerpo libre de la masa “m”. Explique cada una de las fuerzas que identifique.
F
F ß
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42. Un auto viaja por una carretera horizontal describiendo una circunferencia de 30 m de radio. Si el coeficiente de fricción estática es 0,6; calcule: a. ¿cuál es la máxima velocidad a la que puede ir el auto sin patinar?. b. Repetir la pregunta anterior para un peralte de 5º. Rpta. 13,28 m/s y 14,22 m/s.
46. Una piedra gira en un plano vertical describiendo una circunferencia. Si la cuerda que la mantiene en movimiento tiene una tensión 6 veces el peso de la piedra, calcular la velocidad de la piedra para la posición mostrada en la figura (Longitud de la cuerda 5 m)
43. En la figura se muestra tres bloques A, B y C de pesos W A = 100 N, WB = 200 N y WC = 500 N respectivamente. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre A y B es 0,2 y entre B y la superficie horizontal 0,3; halle la aceleración relativa del bloque A con respecto a B.
47. Una carretera tiene una curva de radio r = 54 m y un peralte de q = 37º, se sabe que el coeficiente de fricción entre los neumáticos y el pavimento es m=2/3 ¿Cuál es la máxima velocidad que puede mantener el automóvil sin salir resbalando por la carretera? (Peralte, es la inclinación de la carretera). Rpta. 38,72 m/s.
A B
48. Un automóvil arranca, y aumentando la velocidad uniformemente avanza por un tramo de carretera horizontal en forma de arco de circunferencia con ángulo q, el radio de la circunferencia es r = 180 m ¿Con que velocidad máxima “v” puede salir el automóvil a la parte recta de la carretera?. El coeficiente de rozamiento entre los neumáticos y el pavimento es m= 0,25.
C
44. Se tiene un péndulo que oscila en un plano vertical. La masa es m, la longitud de la cuerda es L y la aceleración de la gravedad es g , responda: a. ¿ Cuál es la tensión de la cuerda cuando la masa llega a su punto mas alto?. Inicialmente la masa se separo de su posición de equilibrio de modo que la cuerda formaba un ángulo q con la vertical. b. ¿Dónde es mayor la tensión de la cuerda, si la masa esta en el punto mas bajo o en el punto mas alto?.
q
Rpta. 21 m/s. O
v
49. Una masa de 20 g colgada de un hilo de 1 m de longitud describe una circunferencia de 0,5 m de radio con rapidez constante, como se indica en el gráfico. Calcule: a. La tensión del hilo. b. La velocidad con que gira.
L m Rpta. mgcosq y en el punto más bajo. 45. Halle la máxima velocidad a la que un automóvil puede tomar una curva de 25 m de radio sobre una carretera horizontal si el coeficiente de rozamiento entre las ruedas y la carretera es de 0,30. 73
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50. Una piedra atada a una cuerda gira uniformemente en un plano vertical. Si la diferencia entre la tensión máxima y la tensión mínima de la cuerda es 9,8 N. ¿Cuál es la masa de la piedra?
54. La masa A esta moviéndose en un plano horizontal según se muestra en la figura. La longitud de la cuerda es 5 m. La rapidez de la masa de 1 kg en todo instante es:
51. Un niño ata una pita de 0,5 m de longitud a una pelota de 1 kg de masa y lo hace girar en un círculo vertical. La velocidad de la pelota en el punto mas alto es de 4 m/s y en el punto mas bajo 6 m/s. Haga el DCL de la pelota en el punto mas alto y en el punto más bajo y halle el valor de la aceleración centrípeta en dichos puntos.
37º
A
52. El sistema de la figura gira con velocidad angular constante alrededor del eje vertical. Si la rapidez del bloque A es de 3 m/s, halle la tensión de la cuerda. mA = 0,5 kg (longitud de la cuerda 5 m)
Rpta. 4,7 m/s. 55. Se tiene una barra doblada en “L” (b = 0,57 m) en su extremo hay una cuerda de longitud “l ” = 0,83 m, y está unida a una masita m = 4,74 kg y q = 50°. Calcular: a. La velocidad angular con que debe girar el eje de la barra; y la tensión de la cuerda. b. Si la tensión máxima que puede soportar la cuerda es 98 N; encontrar el ángulo “a ” que se inclinaría la cuerda.
w
A 53°
53. Dos bloques tienen el peso y la posición indicados en la figura. Descansan sobre una plataforma que gira alrededor de un eje vertical con velocidad angular constante. El coeficiente de rozamiento estático entre los bloques y la plataforma es 0,2. Despreciando el peso de la pequeña polea, determinar: a. A cuantas revoluciones por minuto empiezan a deslizarse los bloques. b. La tensión en la cuerda.
Rpta. 3,12 rad/s y 61,7 º 56. Una bolita de masa "m" descansa inicialmente en la parte baja de un casquete semiesférico cuyo interior es liso, tiene 2 m de radio. ¿Qué ángulo " " habrá subido "m" cuando el casquete gire a razón constante de p rad/s.
15 cm
45 cm
B 16N
m = 1 kg
A 24N
w
R w
Rpta. 60,23º.
Rpta. 31,5 rev/min y 11,2 N. 74
q
