Pertemuan Ke-6
02 Mei 2013
1
Ruan Ruang g Metr Metrik ik Le Leng ngk kap
Definisi
Suatu ruang metrik (X, ρ) dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy di dalam X konvergen ke suatu titik dalam X . Proposisi Jika [a, b] selang selang tertut tertutup up dan terbat terbatas, as, maka maka C[a, b] dengan metrik yang dihasilkan oleh norma maksimum (f max = max{|f (x)| |x ∈ [a, b] }), meru-
pakan ruang metrik lengkap. Bukti
Ambil {f n } barisan Cauchy dalam Ditunjukkan {f n } konvergen.
C[a, b].
∞
Misalkan ada deret konvergen
ak sehingga
k=1
f k+1 − f k max ≤ ak ,
∀k ∈ N
n+k−1
Karena f k+n − f n =
(f j +1 − f j ) ,
∀n, k, maka
j =n
n+k−1
f n+k − f n max ≤
∞
f j +1 − f j max ≤
j =1
a j , ∀n, k
j =n
∞
mengingat
ak konvergen, maka barisan {f n (x)} merupakan barisan Cauchy
k=1
bilangan-bilangan real. Karena R (himpunan semua bilangan real) lengkap, maka barisan {f n (x)} konvergen, katakan : f n (x) → f (x), sehingga untuk
∞
k → ∞ diperoleh: f (x) − f n (x) ≤
j =n
1
a j , untuk semua n dan x ∈ [a, b]. Ini
berarti {f n} konvergen seragam ke f pada [a, b]. Karena f n kontinu pada [a, b] maka f kontinu pada [a, b] yang berarti f ∈ C[a, b]. Karena sembarang barisan Cauchy {f n } di C[a, b] konvergen ke f ∈ C[a, b] maka C[a, b] lengkap. Proposisi
Diketahui (X, ρ) ruang metrik lengkap. Jika E ⊂ X , maka (E, ρ) subruang lengkap ⇔ E tertutup. Bukti
⇒ Diketahui (E, ρ) lengkap. Dibuktikan E tertutup. Ambil {xn } barisan dalam E yang konvergen ke x ∈ X . Ditunjukkan x ∈ E . Karena {xn } konvergen, maka {xn } barisan Cauchy dalam E . Karena E lengkap, maka {xn } konvergen ke suatu titik y ∈ X . Karena limit barisan itu tunggal maka x = y yang berarti barisan {xn} dalam E konvergen ke suatu titik x ∈ E . Jadi E tertutup. ⇐ Diketahui E tertutup. Dibuktikan bahwa E lengkap. Ambil {xn } barisan Cauchy dalam E . Ditunjukkan {xn} konvergen ke x ∈ E . Karena {xn} barisan Cauchy dalam E , maka {xn} barisan Cauchy dalam X . Mengingat X lengkap maka {xn } konvergen ke x ∈ X . Karena E tertutup maka x ∈ E . Jadi setiap barisan Cauchy dalam E konvergen ke x ∈ E yang berarti E lengkap. Definisi
Diketahui (X, d) ruang metrik, E ⊂ X, E = ∅. Diameter E ditulis diam E , yang didefinisikan sebagai berikut: diam E = sup {d(x, y )|x, y ∈ E } Himpunan E dikatakan terbatas jika diam E < ∞. Suatu barisan turun {E n } dengan E n ⊂ X, E n = ∅ disebut ”Contracting sequence”, bila lim diam E n = 0. n→∞
2
