RUANG METRIK Definisi 1 (Ruang Metrik) Misal X adalah himpunan tidak kosong. Suatu fungsi bernilai real d yang didefinisikan pada X x X yaitu pasangan berurutan dalam X, disebut metrik atau fungsi jarak pada X bila dan hanya bila fungsi tersebut memenuhi aksioma aksioma berikut, yaitu untuk setiap a, b, c ∈ X: (i) d(a,b) ≥ 0 dan d(a,a) = 0. Definit Positif (ii) d(a,b) = d(b,a) Simetris (iii) d(a,c) ≤ d(a,b) + d(b,c) Ketaksamaan Segitiga (iv) Bila a ≠ b maka d(a,b) > 0 Bilangan Real d(a,b) disebut jarak dari a ke b.
Himpunan X yang dilengkapi dengan suatu metrik d, dituliskan dengan (X, d) disebut Ruang Metrik (Metric Space). Anggota ruang metrik (X, d) disebut titik atau point dan untuk setiap a, b ∈ X ada bilangan non-negatif d(a,b) yaitu jarak titik a dengan b. Contoh : 1. Fungsi Fungsi d yang didefini didefinisikan sikan oleh d(a,b)= d(a,b)=|a-b|, |a-b|, dengan dengan a dan b bilangan-bi bilangan-bilangan langan Real, Real, adalah metrik dan disebut Metrik Biasa pada garis Real R . Bukti: (i) d(a,b) = |a-b| ≥ 0 dan d(a,b) = 0 jika dan hanya jika a = b. (ii) d(a,b) = |a-b| = |b-a| = d(b,a) (iii) |a-b| + |b-c| ≥ |a-b+b-c| = |a-c| atau d(a,c) ≤ d(a,b)+d(b,c) , a0 jika a ≠ b
2. Fung Fungsi si d yang yang didefi didefini nisi sika kan n oleh d ( p, q )
=
( a1 − b1 ) 2 + ( a 2 − b2 ) 2 , dengan p = ( a1 , a 2 )
dan q = ( b1 , b2 ) adalah titik dalam bidang R 2 adalah metrik dan disebut Metrik Biasa pada R 2 . Bukti: (i) d ( p, q )
=
( a1 − b1 ) 2 + ( a2
−
b2 )
2
≥
0 dan
d(p,q) = 0
( a1 − b1 ) 2 + ( a2 − b2 ) 2
=
0
( a1 − b1 ) 2 + ( a2 − b2 ) 2 = 0 ( a1 − b1 ) 2 = − ( a2 − b2 ) 2 ( a1 − b1 ) = −( a2 − b2 ) ( a1 − b1 ) = −a 2 + b2 a1 + a 2 = b1 + b2
Jadi d(p,q) = 0 jika dan hanya jika a1 = b1 dan a 2 = b2 . (ii) d ( p, q )
=
( a1 − b1 ) 2 + ( a2
Pengantar Topologi
−
b2 )
2
by: Siti Lailiyah, M.Si.
=
(a (b
+
a1
=
( b1 − a1 ) 2 + ( b2
−
=
2
1
=
d ( p, q )
2
1
−
2a1b1
+
b1
2
−
2a1b1
2
) + (a ) + (b
2
2
2
a2 )
−
2a 2 b2
+ b2
2
−
2a 2 b2
+
a2
2
2
) )
2
d ( q, p )
( q, p ) (iii) d ( p, q ) + d ( q, r ) = d
= ( a1 − b1 ) 2 ≥
+
( a 2 − b2 ) 2
( a1 − b1 ) 2 + ( a2 − b2 ) 2 + ( b1 − c1 ) 2 + ( b2 − c2 ) 2
≥
(a (a
=
( a1 − c1 ) 2 + ( a2 − c2 ) 2
=
( b1 − c1 ) 2 + ( b2 − c2 ) 2
+
2
1 2
1
Jadi
−
2a1b1
+ b1
−
2a1c1
+
c1
) + (a ) + (a
2
2
2 2 2
2
( a1 − b1 ) 2 + ( a 2 − b2 ) 2
− −
2a 2 b2
2a 2 c 2
+
+ b2
+
c2
2
2
) + (b
=
−
2b1c1
+
c1
2
) + (b
2
2
−
2b2 c 2
+
c2
2
)
)
( b1 − c1 ) 2 + ( b2 − c 2 ) 2
atau d ( p, r ) ≤ d ( p, q ) + d ( q, r ) dengan p (iv) d ( p, q)
2
1
=
≥
( a1 , a 2 ) ,
( a1 − c1 ) 2 + ( a 2 − c 2 ) 2 q = ( b1 , b2 ) dan r = ( c1 , c 2 )
( a1 − b1 ) 2 + ( a 2 − b2 ) 2 >0 jika p ≠ q , dimana p
3. Misa Misall X adal adalah ah suat suatu u himp himpun unan an yang yang tida tidak k koso kosong ng dan dan d adal adalah ah fung fungsi si yang yang didefinisikan oleh 0, a = b d ( a, b ) = 1, a ≠ b Maka d adalah metrik pada X. Fungsi jarak d biasanya disebut metrik trivial pada X atau metrik diskrit pada X. Bukti: (i) d(a,b) = 1 ≥ 0, jika a ≠ b dan d(a,b) = 0 jika dan hanya jika a = b. 0, a = b, b = a (ii) d ( a, b) = 1, a ≠ b, b ≠ a d(a,b) = d(b,a) 0 + 0 = 0 (iii) d ( a, b ) + d ( b, c ) = 1 +1 = 2 0, a = c d ( a, b ) + d ( b, c ) ≥ d ( a, c ) = 1, a ≠ c Jadi d(a,c) ≤ d(a,b)+d(b,c) , a0 jika a ≠ b . 4. Misal p = ( a1 , a 2 ) dan q = (b1 , b2 ) adalah titik-titik sebarang pada bidang R 2 yaitu pasangan terurut dari bilangan-bilangan real. Fungsi d 1 dan d 2 yang didefinisikan oleh d 1 ( p, q)
= maks
( a1 − b1 , a 2
− b2
) dan
d 2 ( p, q )
=
a1
−
b1
+
a2
b2
−
adalah metrik-metrik yang berbeda pada R 2 . Pengantar Topologi
by: Siti Lailiyah, M.Si.
Maka d adalah metrik pada X. Fungsi jarak d biasanya disebut pseudometrik pada X. Bukti: (i) d 1 ( p, q) = maks ( a1 − b1 , a 2 − b2 ) ≥ 0, d 2 ( p, q) = a1 −b1 + a 2 −b2 ≥ 0 karena harga mutlak nilainya selalu positif, dan d 1 ( p, q) = 0 maks a1
( a1 −b1 , a2 −b2 ) = 0 b
− 1
=
0
a2
atau
a1 − b1 = 0
b2
−
a2
b2
−
a1 = b1
=
=
0
0
a 2 = b2
(ii) d 1 ( p, q) = maks ( a1 − b1 , a 2 − b2
( b1 − a1 , b2
= maks
= d 1 ( q ,
d 2 ( p, q )
a1
=
=
b1
p)
b1
+
a1
+
−
−
= d 2 ( q ,
) −a2 )
a2
−
b2
−
b2
a2
p)
(iii) Misalkan r = (c1 , c2 ) d 1 ( p, q) + d 1 (q, r ) = maks ( a1 − b1 , a 2 − b2 ) + maks ( b1 − c1 , b2 − c 2 =
a1
− b1 +
≥
a1
− b1 + b1 − c1 ∨
=
a1
− c1 ∨
b1
a1
− c1 ∨
a1
a1
− c2 ∨
− b1 +
b2
−c2 ∨
− b1 + b2 − c 2 ∨
a2
− c1 ∨
a2
a2
a2
− b2 +
b1
− c1 ∨
− b2 + b1 − c1 ∨
a2
a2
)
− b2 +
b2
−c 2
− b2 + b2 − c 2
−c2
= maks ( a1 − c1 , a1 − c 2 , a 2 − c1 , a 2 − c2 ) ≥ maks ( a1 − c1 , a2 − c2 ) = d 1 ( p , r )
d 1 ( p, q) + d 1 (q, r ) ≥ d 1 ( p, r )
Jadi
atau
dapat
ditulis
dapat
ditulis
d 1 ( p, r ) ≤ d 1 ( p, q) + d 1 (q, r ) .
Dan d 2 ( p, q ) + d 2 (q, r )
a1
=
− b1 +
a2
b1
− b2 +
=
a1
− b1 +
− c1 +
≥
a1
− b1 + b1 − c1 +
=
a1
− c1 +
a2
b1
a2
a2
− c1 +
− b2 +
b2
b2
− c2 −c2
− b2 + b2 − c 2
− c2
= d 2 ( p, r )
d 2 ( p, q) + d 2 (q, r ) ≥ d 2 ( p, r )
Jadi
atau
d 2 ( p, r ) ≤ d 2 ( p, q) + d 2 (q, r )
(iv) Bila p ≠ q maka Jelas d 1 ( p, q) d 2 ( p, q )
=
a1
−
b1
+
a2
b2
−
= maks
( a1 − b1 , a2
− b2
) >0 dan
>0
Jarak dan Diameter Antara Himpunan-Himpunan Misa Misall d adala adalah h metr metrik ik pada pada Himp Himpun unan an X. Jara Jarak k antar antaraa titi titik k p ∈ X dan A ≠ 0/ ⊆ X d ( p, A) = inf inf {d ( p, a) : a ∈ A} didefinisikan oleh: yaitu batas bawah terbesar dari jarak-jarak p dengan titik-titik dari A.
Pengantar Topologi
by: Siti Lailiyah, M.Si.
Jarak antara dua subset tidak kosong A dan B dari X didefinisikan oleh: d ( A, B) = inf inf { d (a, b) : a ∈ A, b ∈ B} Yaitu batas bawah terbesar jarak-jarak dari titik-titik dari A dan B. Diameter dari subset tidak kosong A ⊂ X didefinisikan oleh d ( A) = inf inf {d (a, a' ) : a, a'∈ A}
Yaitu batas atas terkecil dari jarak titik-titik dalam A. Bila Bila diamet diameter er dari dari A terhin terhingga, gga, yaitu yaitu d ( A) < ∞ maka maka A dise disebut but terbatas, dan dan bila bila d ( A) = ∞ maka A disebut tak terbatas. Contoh: Misal X adalah suatu himpunan yang tidak kosong dan d adalah metrik trivial. Maka untuk p ∈ X dan A, B ⊂ X 1, p ∈ A 1, A ∩ B = 0/ d ( p, A) = d ( A, B ) = , 0, p ∉ A 0, A ∩ B ≠ 0/ Bola Buka dan Bola Tutup Definisi 2: Misal a ∈ X dan r > 0 . Bola buka dengan jari-jari r dan titik pusat a adalah Br ( a) = { x ∈ X | d ( x, a) < r } himpunan Bola Tutup utup dengan jari-jari r dan titik pusat a adalah himpunan Dan Bola Br (a) = { x ∈ X | d ( x, a) ≤ r } . Contoh: Pada R dengan jarak euclid, bola Br ( a ) merupakan interval terbuka (a - r, a + r). Pada R 2 dengan jarak euclid, bola Br (a ) merupakan sebuah piringan dengan titik pusat a dan jari2 r.
Pada R 3 denga dengan n jara jarak k eucl euclid id,, bola bola adal adalah ah bola bola yang yang kita kita kenal kenal sehar seharii –har –hari, i, sedangkan Pada R 2 dengan d * ( (a1 , a 2 ), (b1 , b2 )) = maks ( a1 − b1 , a 2 − b2 ) , bola B1 (0,0) berbentuk
Pengantar Topologi
by: Siti Lailiyah, M.Si.
Sedangkan pada R 2 dengan d * ( (a1 , a 2 ), (b1 , b2 ) ) = a1 − b1 + a 2 − b2 bola berbentuk
Pengantar Topologi
by: Siti Lailiyah, M.Si.
