Scanned by TapScanner
UU No 28 tahun 2014 tentang Hak Cipta Fungsi dan sifat hak cipta Pasal 4 Hak Cipta sebagaimana dimaksud dalam Pasal 3 huruf a merupakan hak eksklusif yang terdiri atas hak moral dan hak ekonomi. Pembatasan Pelindungan Pasal 26 Ketentuan sebagaimana dimaksud dalam Pasal 23, Pasal 24, dan Pasal 25 tidak berlaku terhadap: i. penggunaan kutipan singkat Ciptaan dan/atau produk Hak Terkait untuk pelaporan peristiwa aktual yang ditujukan hanya untuk keperluan penyediaan informasi aktual; ii. Penggandaan Ciptaan dan/atau produk Hak Terkait hanya untuk kepentingan penelitian ilmu pengetahuan; iii. Penggandaan Ciptaan dan/atau produk Hak Terkait hanya untuk keperluan pengajaran, kecuali pertunjukan dan Fonogram yang telah dilakukan Pengumuman sebagai bahan ajar; dan iv. penggunaan untuk kepentingan pendidikan dan pengembangan ilmu pengetahuan yang memungkinkan suatu Ciptaan dan/atau produk Hak Terkait dapat digunakan tanpa izin Pelaku Pertunjukan, Produser Fonogram, atau Lembaga Penyiaran. Sanksi Pelanggaran Pasal 113 1. Setiap Orang yang dengan tanpa hak melakukan pelanggaran hak ekonomi sebagaimana dimaksud dalam Pasal 9 ayat (1) huruf i untuk Penggunaan Secara Komersial dipidana dengan pidana penjara paling lama 1 (satu) tahun dan/atau pidana denda paling banyak Rp100.000.000 (seratus juta rupiah). 2. Setiap Orang yang dengan tanpa hak dan/atau tanpa izin Pencipta atau pemegang Hak Cipta melakukan pelanggaran hak ekonomi Pencipta sebagaimana dimaksud dalam Pasal 9 ayat (1) huruf c, huruf d, huruf f, dan/atau huruf h untuk Penggunaan Secara Komersial dipidana dengan pidana penjara paling lama 3 (tiga) tahun dan/atau pidana denda paling banyak Rp500.000.000,00 (lima ratus juta rupiah).
Sagita Charolina Sihombing, M.Si. Ety Septiati, S.Si., M.T.
Scanned by TapScanner
Puji syukur penulis ucapkan kepada Tuhan yang Maha Esa yang telah memberikan kesehatan dan berkat-Nya kepada penulis sehingga penulis bisa mengerjakan buku ini sampai pada saat ini. Penulis juga mengucapkan terimakasih kepada seluruh keluarga dan sahabat yang selalu mendukung dan banyak membantu dalam pengerjaan pembuatan buku ajar ini. Buku ajar ini penulis susun berdasarkan bahan perkuliahan dan beberapa referensi yang sesuai untuk mata kuliah analisis real I. Buku ini terdiri dari 5 bab. Bab I membahas tentang sistem bilangan real. Didalamnya dibicarakan tentang sifat aljbar binagan real, urutan, kelengkapan, nilai mutlak dan jarak pada bilangan real. Selanjutnya, bab II membahas tentang ruang metrik dan sifat-sifatnya. Kemudian bab III membahas tentang pemetaan multivalued pada ruang metrik. Bab IV dan bab V merupakan pengayaan pada mata kuliah analisis real I. Pembaca dapat mempelajari bab ini untuk menambah wawasan tentang ruang metrik parsial. Diharapkan buku ajar ini dapat digunakan dalam proses belajar mengajar di kelas ataupun sebagai bahan referensi dalam mata kuliah analisis real I. Penulis menyadari dalam penulisan buku ajar ini banyak terdapat kekurangan. Namun, penulis tetap berharap agar buku ajar ini dapat memberikan manfaat bagi pembaca. Kritik dan saran dalam penulisan buku ajar ini sangat penulis harapkan untuk perbaikan dan penyempurnaan pada buku ajar berikutnya. Untuk itu penulis ucapkan terima kasih.
Palembang, 28 – 10 – 2017,
Penulis
v
vi
PRAKATA ............................................................................................... v DAFTAR ISI .......................................................................................... vii BAB 1
SISTEM BILANGAN REAL................................................... 1 1.1 Sifat Aljabar Bilangan Real .............................................. 2 1.2 Sifat Urutan Bilangan Real ............................................... 5 1.3 Sifat Kelengkapan Bilangan Real ..................................... 6 1.4 Nilai Mutlak dan Jarak pada ....................................... 10
BAB 2
RUANG METRIK ................................................................. 13 2.1 Sifat-Sifat Ruang Metrik ................................................ 13 2.2 Himpunan Buka dan Himpunan Tutup pada Ruang Metrik ............................................................................ 15 2.3 Kekonvergenan Barisan di Ruang Metrik ....................... 17 2.4 Ruang Metrik Lengkap ................................................... 18 2.5 Sifat Pemetaan Kontraktif pada Ruang Metrik ................ 22 2.6 Sifat Pemetaan C-Kontraktif pada Ruang Metrik Lengkap ......................................................................... 25
BAB 3
PEMETAAN MULTIVALUED PADA RUANG METRIK ................................................................................ 32 3.1 Sifat Metrik Hausdorff ................................................... 32 3.2 Sifat Pemetaan Kontraktif pada Pemetaan Multivalued .................................................................... 44 3.3 Sifat Pemetaan C-Kontraktif pada Pemetaan Multivalued .................................................................... 46
BAB 4
RUANG METRIK PARSIAL................................................ 51 4.1 Sifat-Sifat Ruang Metrik Parsial ..................................... 51 4.2 Pemetaan Kontraktif Lemah pada Ruang Metrik Parsial................................................................. 58
vii
BAB 5
PEMETAAN MULTIVALUED PADA RUANG METRIK PARSIAL ............................................................... 67 5.1 Sifat-Sifat Metrik Parsial Hausdorff ................................ 67 5.2 Pemetaan Kontraktif Multivalued pada Ruang Metrik Parsial ................................................................. 73 5.3 Pemetaan Kontraktif Lemah Multivalued pada Ruang Metrik Parsial ...................................................... 77 DAFTAR PUSTAKA ............................................................................. 85
viii
BAB 1 SISTEM BILANGAN REAL Tujuan Umum Setelah menempuh mata kuliah ini mahasiswa dapat menjelaskan sifatsifat sistem bilangan real dan perbedaannya dari sistem bilangan lain. Selain itu, mahasiswa juga dapat menjelaskan beberapa konsep topologi di ruang metrik dan pemanfaatannya untuk menjelaskan konsep limit dan kekontinuan secara lebih abstrak. Deskripsi Bab ini menjelaskan hal-hal yang berkaitan dengan sistem bilangan real sebagai suatu sistem matematika yang memiliki sifat-sifat sebagai suatu lapangan yang terurut dan lengkap. Yang dimaksud dengan sistem bilangan real sebagai suatu lapangan adalah bahwa pada himpunan semua bilangan real yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian berlaku sifat-sifat aljabar dari lapangan. Sifat terurut dari berkaitan dengan konsep kepositifan dan ketidaksamaan antara dua bilangan real, sedangkan sifatnya yang lengkap berkaitan dengan konsep supremum atau batas atas terkecil dan konsep infimum atau batas bawah terbesar. Bab ini terdiri dari beberapa sub bab. Sub bab 1.1 membahas sifat lapangan dari , sub bab 1.2 membahas sifat terurut dari . Selanjutnya, sub bab 1.3 membahas tentang sifat kelengkapan dari . Pada sub bab ini juga dibahas mengenai supremum dan infimum dari suatu himpunan di . Yang terakhir, sub bab 1.4 membahas tentang nilai mutlak dan jarak pada .
1
1.1 Sifat Aljabar Bilangan Real Bilangan real dipandang sebagai suatu himpunan dilambangkan dengan . Selanjutnya, didefinisikan dua operasi biner “+” dan “ ” masing-masing disebut operasi penjumlahan dan operasi perkalian. Kedua operasi biner ini diterapkan pada dan memenuhi sifat-sifat sebagai berikut: A1. untuk setiap . (Komutatif terdapat penjumlahan) ) ( ) untuk setiap A2. ( . (Asosiatif terdapat penjumlahan) A3. Terdapat elemen sehingga untuk setiap . (Terdapat elemen nol) ( ) A4. Untuk setiap selalu terdapat ( ) sehingga ( ) . (Terdapat elemen negatif dari ) M1. untuk setiap . (Komutatif terdapat perkalian) ( ) ( ) M2. untuk setiap . (Asosiatif terhadap perkalian) M3. Terdapat elemen sehingga untuk setiap . (Terdapat elemen satuan) ) M4. Untuk setiap selalu terdapat ( sehingga . / D.
. /
( ) ( untuk setiap
. (Terdapat elemen kebalikan dari ) )
( ) dan ( ) ( ) ( ) (Distributif perkalian terhadap penjumlahan)
Berikut ini diberikan beberapa teorema sederhana yang diturunkan langsung dari sifat-sifat aljabar ini. Teorema 1.1. Jika adalah bilangan real sebarang, maka persamaan ( ) mempunyai penyelesaian tunggal, yaitu . Bukti. Pertama, akan ditunjukkan eksistensi penyelesaiannya: (diketahui) 2
( ) ( (( ) )
)
( ( ( (
) ) ) )
(A2) (A4) (A3)
Selanjutnya, ditunjukkan bahwa penyelesaian ini adalah tunggal. Misalkan adalah penyelesaian lainnya maka dipenuhi . Jadi diperoleh hubungan Berdasarkan langkah sebelumnya diperoleh ( ) ( ) Dengan menggunakan (A2) kemudian (A4) maka diperoleh sehingga disimpukan penyelesaiannya tunggal. Teorema 1.2. Bila merupakan elemen pada maka berlaku pernyataan berikut. a. Jika maka b. Jika dan maka c. untuk setiap Bukti. a. Berdasarkan sifat A3, A4, A2 dan hipotesis ( )) ( ) ( ( b. Berdasarkan sifat M1, M2, M3 dan hipotesis ( c. d.
( ))
(
) ( )
Berdasarkan sifat M3, D, dan A3, ( Berdasarkan bagian a, diperoleh
, )
( ,
) ,
( )
) .
Selain teorema di atas, kita juga memiliki teorema di bawah ini. Teorema 1.3. Misalkan elemen pada . Maka pernyataan berikut ini berlaku: 1. Jika dan maka . 2. Jika maka beraku salah satu: atau . 3
Bukti. 1. Berdasarkan sifat M3, M4, M2 dan hipotesis ( 2.
Andaikan ( ) ( ( .
( )) dan ))
(
) ( )
. Akibatnya, (
, dan
,
( ) ) (
(
. Dengan demikian, harusah
))
dan atau
Beberapa Himpunan Bagian Penting Pada 1. Bilangan asli. Himpunan bilangan asli dilambangkan dengan dipandang sebagai himpunan bagian dan didefinisikan sebagai (sebanyak suku)
Gambar 1.1. Struktur bilangan real 2.
3.
Bilangan bulat. Himpunan bilangan bulat dilambangkan dengan dan keanggotaannya dapat didefinisikan sebagai berikut: * + * + Bilangan rasional dan irrasional. Himpunan bilangan rasional dilambangkan dengan , adalah elemen bilangan real yang dapat ditulis dalam bentuk pecahan.
4
{
}
Bilangan real selain bilangan rasional disebut bilangan irrasional dan himpunan bilangan irrasional ini biasa dilambangkan dengan . 1.2 Sifat Urutan Bilangan Real Urutan pada bilangan real merujuk pada hubungan ketidaksamaan antara dua bilangan real. Sebelum didefinisikan urutan terlebih dahulu didefinisikan bilangan positif. Definisi 1.4. Pada terdapat himpunan bagian tak kosong 1. Jika maka 2. Jika maka
dengan sifat-sifat berikut:
Selanjutnya diturunkan sifat trikotomi pada bilangan real, yaitu bila sebarang maka tepat satu pernyataan berikut dipenuhi, yaitu atau atau Selanjutnya himpunan bilangan negatif didefinisikan sebagai himpunan * + Jadi himpunan bilangan real terbagi atas tiga himpunan saling asing yaitu bilangan positif, bilangan negatif dan nol. Selanjutnya urutan pada bilangan real didefinisikan sebagai berikut: Definisi 1.5. Berikut ini definisi ketidaksamaan antara elemen-elemen pada : 1. Bilangan disebut bilangan positif dan ditulis . Notasi * +, dan disebut bilangan tak negatif berarti 2. Bilangan sehingga disebut bilangan negatif, ditulis * +, dan disebut bilangan tak . Notasi berarti positif.
5
3.
Bilangan real hanya jika
dikatakan lebih besar dari , ditulis .
jika dan
1.3 Sifat Kelengkapan Bilangan Real Sifat aljabar dan sifat urutan bilangan real telah dibahas sebelumnya. Selanjutnya, akan dijelaskan sifat kelengkapan biangan real. Bilangan rasional juga memenuhi sifat aljabar dan terurut. Sebelum membahas tentang kelengkapan bilangan real, terlebih dahulu diberikan pengantar tentang himpunan terbatas. Definisi 1.6. Misalkan himpunan bagian dari dan tak kosong. a. Himpunan disebut terbatas di atas jika terdapat suatu bulangan dengan sedemikian sehingga untuk semua . Seluruh bilangan real tersebut selanjutnya disebut dengan batas atas dari himpunan . b. Himpunan terbatas di bawah jika terdapat suatu bilangan dengan sedemikian sehingga untuk semua . Seluruh bilangan real tersebut selanjutnya disebut dengan batas bawah dari himpunan . c. Suatu himpunan, misalkan himpunan , dikatakan terbatas jika terbatas di atas dan terbatas di bawah suatu himpunan dikatakan tidak terbatas jika tidak terbatas di atas atau tidak terbatas di bawah. Contoh 1.1. * + terbatas di atas karena terdapat 2,3 dan a. Himpunan bilangan real lainnya yang lebih besar dari 2 yang merupakan batas atas dari himpunan S. Namun demikian jelas tidak terbatas di bawah. Karena terbatas di atas tetapi tidak terbatas di bawah, maka adalah suatu himpunan yang tidak terbatas. * + merupakan himpunan terbatas. Karena b. Himpunan terbatas di atas dan terbatas di bawah. terbatas di atas karena terapat 4,5 dan bilangan real lainnya yang merupakan batas atas dari himpu6
nan . Demikian pula tebatas di bawah kaena terpdat 0,-1 dan bilangan real lainnya yang merupakan batas bawah dari himpunan . Apabila suatu himpunan memiliki suatu batas atas maka himpunan tersebut memiiki tak berhingga batas atas. Misalkan adalah batas atas dari maka bilangan juga merupakan batas atas dari . Sama halnya dengan batas bawah.
Gambar 1.2. Batas atas dan Batas bawah dari himpunan S Definisi 1.7. Misalkan himpunan bagian dari , dan tak kosong. a. Misalkan terbatas di atas maka suatu batas atas dari disebut Supremum (batas atas terkecil) dari , jika ia memenuhi kondisi berikut: 1. adalah suatu batas atas dari , dan 2. Jika sebarang batas atas dari , maka b. Misalkan terbatas di bawah maka suatu batas bawah dari disebut infimum (batas bawah terbesar) dari , jika ia memenuhi kondisi berikut: 1. adalah suatu batas bawah dari , dan 2. Jika sebarang batas bawah dari , maka Berdasarkan Definisi 1.7, secara sederhana dapat dikatakan bahwa adalah supremum (batas bawah terkeci) dari apabila lebih kecil dari setiap batas atas yang lain dari . Demikian pula, infimum (batas bwah
7
terbesar) dari dari .
apabila
lebih besar dari setiap batas bawah yang lain
Apabila suatu subhimpunan dari memiliki supremum, maka supremumnya tunggal. Misalkan dan adalah supremum dari . Jika maka himporesisi yang menyatakan bahwa adalah supremum mengakibatkan tidak mungkin merupakan batas atas dari . Dengan cara yang sama dapat dilihat juga bahwa kondisi juga tidak mungkin. Dengan demikian haruslah . Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan pula bahwa infimum dari juga adalah tunggal. Apabila supremum atau infimum dari himpunan ada, maka supremum dari ditulis dengan dan infimum dari ditulis . Selanjutnya, apabila adalah sebarang batas atas dari S, maka . Hal ini karena merupakan batas atas terkecil dari . Tidak semua himpuan bagian dari memiliki supremum, demikian pula tidak semua himpunan bagian dari memiliki infimum. Secara umum, ada empat kemungkinan yang dapat dikatakan dari suatu himpunan , dengan adalah himpunan bagian dari , yaitu: 1. mempunyai supremum dan infimum 2. mempunyai supremum tetapi tidak mempunyai infimum 3. mempunyai infimum tetapi tidak mempunyai supremum 4. tidak mempunyai supremum maupun infimum Lemma 1.8. Suatu bilangan adalah supremum dari suatu himpunan bagian tak kosong dari jika dan hanya jika memenuhi kondisi berikut: 1. untuk setiap 2. Jika , maka terdapat sedemikian sehingga
8
Lemma 1.9. Suatu batas atas dari himpunan bagian tak kosong di adalah supremum dari jika dan hanya jika untuk setiap , terdapat sedemikian sehingga . Jika u adalah batas atas dari S yang memenuhi kondisi yang diberikan dan jika , maka dapat diambil Untuk maka terdapat sedemikian sehingga . Akibatnya, bukanlah batas atas dari . Sehingga dapat disimpulkan bahwa . Sebaliknya, misalkan dan . Karena maka bukanlah batas atas dari . Oleh karena itu, beberapa elemen dari haruslah lebih besar dari dalam hal ini . Berikut diberikan sketsa penjelasannya.
Gambar 1.3. Supremum dari suatu himpunan bisa saja merpuakan elemen dari himpunan tersebut atau bisa juga bukan merupakan elemen dari himpunan yang dimaksud. Contoh 1.2. a. Jika himpunan tak kosong mempunyai elemen hingga, maka dapat ditunjukkan bahwa memiliki suatu elemen terbesari dan elemen terkecil . Maka dan , keduanya merupakan elemen dari . * +, jelas mempunyai 1 sebagai batas b. Himpunan atas. Akan dibuktikan bahwa 1 adalah supremum. Jika maka dapat disimpulkan bahwa sup Dengan cara yang sama dapat 9
c.
ditunjukkan bahwa inf Perhatikan bahwa sup dan inf , keduanya adalah elemen dari . * +, jelas memiiki 1 sebagai batas Himpunan atasnya. Dengan menggunakan argumentasi yang sama seperti bagian (b), dapat ditunjukkan bahwa sup Dalam kasus ini, sup bukanlah merupakan elemen dari . Dengan cara yang sama, inf juga tidak termuat dalam .
Definisi 1.10. (Sifat Kelengkapan Bilangan Real ). Setiap himpunan bagian tak kosong dari bilangan real yang terbatas di atas juga akan memiliki sebuah supremum di . Setiap himpunan bagian tak kosong dari bilangan real yang terbatas di bawah juga akan memiliki sebuah infimum di . Dengan sifat kelengkapan sebagaimana yang terihat dalam Definisi 1.10, himpunan bilangan real dapat dinyatakan sebagai sebuah garis yang selanjutnya dikenal dengan garis bilangan real. Sifat kelengkapan menjamin bahwa setiap titik pada garis bilangan yang dimaksud menyatakan sebuah bilangan real. Demikian pula sebaliknya, setiap bilangan real menempati sebuah titik pada garis yang dimaksud. Perhatikan bahwa meskipun bilangan rasional memenuhi sifat aljabar dan sifat terurut, akan tetapi himpunan bilangan rasional secara umum tidak memenuhi sifat kelengkapan. Dalam hal ini, himpunan bilangan rasional tidak dapat dinyatakan dalam sebuah garis. Apabila dipaksakan, garis yang dimaksud akan terputus-putus di beberapa bagian. 1.4 Nilai Mutlak dan Jarak pada Pada sifat urutan bilangan real barus diketahui urutan lebih besar antara dua bilangan real, tetapi belum diketahui pengertian jarak antara dua bilangan real. Jarak atau secara umum disebut metrik pada bilangan real ini ditentukan melalui nilai mutlak.
10
Definisi 1.11. Nilai mutlah suatu bilangan real sebagai:
, ditulis dengan
didefinisikan
{
Sebagai contoh, , , dan . Dengan kata lain, nila mutlak bilangan real bersifat dikotomi, yaitu nol atau positif. Diperhatikan tiga cabang pada definisi nilai multak dapat disederhanakan menjadi { Teorema berikut menyajikan sifat-sifat dasar nilai mutlak. Teorema 1.12. Misalkan a,b,c bilangan-bilangan real. Maka berlaku pernyataan berikut 1. bila dan hanya bila 2. 3. 4. Untuk , bila dan hanya bila 5. Definisi 1.13. Jarak (Metrik) antara dua bilangan real ( )
dan
didefinisikan sebagai
Interpretasi sederhana bilangan real dapat disajikan dalam garis bilangan. Gambar berikut adalah garis bilangan dan ilustrasi jarak antara -3 dan 2.
Gambar 1.4. Garis bilangan dan jarak antara dua bilangan real 11
Teorema berikut berkaitan dengan sifat dasar nilai mutlak dan sangat sering digunakan dalam analisis. Teorema 1.14 (Ketidaksamaan segitiga) Untuk sebarang hilangan real a dan b berlaku
Bukti. Dari Teorema 1.12 bagian (5) kita mempunyai dan . Dengan menjumlahkan dua ketidaksamaan ini diperoleh ( ) ( ) Kemudian, dari bagian (4) dengan menganggap terbukti bahwa
12
(
) maka
BAB 2 RUANG METRIK Tujuan Umum Setelah menempuh mata kuliah ini mahasiswa dapat menjelaskan sifatsifat ruang metrik dan kelengkapannya. Selain itu, mahasiswa juga dapat menjelaskan titik tetap dan sifat pemetaan yang menjamin titik tetap di ruang metrik. Deskripsi Bab ini menjelaskan hal-hal yang berkaitan dengan ruang metrik dan ruang metrik lengkap. Pada bab ini juga dibahas tentang sifat-sifat barisan di ruang metrik, yaitu barisan cauchy dan barisan konvergen. Selanjutnya dibahas tentang titik tetap dan sifat pemetaan yang menjamin eksistensi titik tetap di ruang metrik lengkap. 2.1 Sifat-Sifat Ruang Metrik Sebelum membahas ruang metrik, berikut ini diberikan definisi metrik pada bilangan real. Metrik pada bilangan real, didefinisikan sebagai berikut: ( ) dengan ( ) dan Jika dengan koordinat metrik dapat didefinisikan sebagai: ( ) a) atau b) c)
( (
) )
√(
d)
(
)
(
)
(
(
) maka suatu
) atau + atau
*
) untuk
13
,
Definisi 2.1 Misalkan adalah sebuah himpunan yang tak kosong. Suatu fungsi disebut metrik pada jika memenuhi sifat-sifat sebagai berikut: 1. ( ) untuk setiap ( ) 2. jika dan hanya jika ( ) ( ) untuk setiap 3. ( ) ( ) 4. ( ) untuk setiap Himpunan ( ).
bersama dengan metrik
disebut ruang metrik dan ditulis
Contoh 2.1 : Himpunan bilangan rasional. ) Fungsi yang didefinisikan oleh ( ) adalah ruang metrik. metrik pada , sehingga ( Bukti. 1. Akan ditunjukkan ( ) untuk setiap . ) Ambil , maka ( Jadi, ( ) untuk setiap . ) 2. Akan ditunjukkan ( jika dan hanya jika ( ) Jika ( ) maka Ambil , ( ) maka ( ) Jika maka ( ) Ambil , dengan , maka ( ) ) Jadi, ( jika dan hanya jika ) ( ) untuk setiap 3. Akan ditunjukkan ( Ambil , maka: ( ) ( ) ) ( ) untuk setiap Jadi, ( ) ( ) 4. Akan ditunjukkan ( ( ) untuk setiap 14
adalah
Ambil ( )
, maka: ( (
) )
( (
) )
) ( ) Jadi, ( ( ) untuk setiap ) adalah ruang metrik. Dari 1, 2, 3, dan 4 terbukti bahwa ( 2.2 Himpunan Buka dan Himpunan Tutup pada Ruang Metrik Berikut ini akan diberikan definisi dari himpunan buka dan himpunan tutup di suatu ruang metrik ( ). Definisi 2.2 Misalkan ( ) adalah ruang metrik. Suatu bola buka ( ) dengan pusat dan jari-jari di adalah sebuah himpunan yang didefinisikan sebagai ( ) * ( ) + dimana
dan
dengan
.
Definisi 2.3 Misalkan , . Suatu titik dikatakan titik dalam (interior point) dari jika terdapat sedemikian sehingga ( ) . Definisi 2.4 Suatu himpunan bagian dikatakan buka di himpunan titik di adalah titik dalam di .
15
jika setiap
X E
c
Gambar 2.1 Ilustrasi titik dalam dari E Definisi 2.5 Misalkan bahwa 1. Suatu titik jika
2.
3.
, . dikatakan titik akumulasi (accumulation point) dari
( ( ) * +) Himpunan semua titik akumulasi dari dinotasikan dengan . beserta semua titik akumulasinya, dinotasikan dengan didefinisikan sebagai ( ) Suatu titik dikatakan titik terisolasi (isolated point) dari bukan merupakan titik akumulasi dari .
Proposisi 2.6 Misalkan adalah himpunan bagian dari suatu ruang metrik ( ( ) i. ( ) adalah himpunan bagian tertutup ii. iii. adalah himpunan bagian tertutup jika dan hanya jika
16
( )
jika
). Maka
( )
Definisi 2.7 ) adalah suatu ruang metrik dan Misalkan ( . Himpunan bagian dikatakan tertutup jika dan hanya jika adalah terbuka. Teorema 2.8 ) adalah suatu ruang metrik dan Misalkan ( berhingga tak kosong dari . Maka setiap titik di .
adalah suatu himpunan adalah titik terisolasi di
2.3 Kekonvergenan Barisan di Ruang Metrik Di sini akan diberikan definisi barisan dan konvergensi barisan di suatu ). ruang metrik ( Definisi 2.9 ) adalah ruang metrik. Suatu barisan dari titik-titik di Misalkan ( adalah suatu fungsi sehingga untuk setiap , ( ) . Suku-suku di merupakan barisan titik di dan dinotasikan dengan ( ). Definisi 2.10 Barisan ( ) dalam ruang metrik ( jika
) dikatakan konvergen ke (
ditulis . Contoh 2.2 Misalkan ( (
dan
,
)
disebut sebagai limit dari barisan (
- dengan metrik
) yang didefinisikan oleh
(
untuk
) konvergen ke .
17
)
),
. Maka barisan di dalam ruang metrik
Bukti. Ambil sebarang
, maka menurut archimedian property terdapat
sedemikian sehingga maka
. Oleh karena itu, jika
. Sehingga untuk setiap |
berlaku
|
Ini menunjukkan bahwa barisan (
) konvergen di .
Lemma 2.11 ) adalah ruang metrik dan misalkan Misalkan ( bagiantertutup dari . Jika ( ) konvergen ke dan , maka .
adalah himpunan untuk semua
2.4 Ruang Metrik Lengkap Sebelum membahas tentang ruang metrik lengkap, berikut ini akan dijelaskan terlebih dahulu tentang barisan cauchy dan barisan konvergen di suatu ruang metrik. Definisi 2.12 Barisan ( ) dalam ruang metrik (
) dikatakan barisan Cauchy jika ( )
Barisan Cauchy dan barisan konvergen memiliki hubungan yang diberikan oleh teorema berikut ini. Teorema 2.13 Setiap barisan yang konvergen dalam ruang metrik ( barisan Cauchy.
18
) merupakan
Bukti. ), dan misalkan Misalkan ( ) adalah barisan dalam ruang metrik ( sedemikian sehingga . Maka untuk setiap terdapat ) sedemikian sehingga berlaku ( untuk setiap . , maka juga berlaku (
Ambil
)
. Sehingga untuk
berlaku pertidaksamaan segitiga (
)
Dengan demikian, (
(
)
(
)
) adalah barisan Cauchy.
Pada Teorema 2.13 dijelaskan bahwa di suatu ruang metrik, barisan konvergen merupakan barisan Cauchy. Secara umum, sifat sebaliknya tidak berlaku yaitu setiap barisan Cauchy belum tentu konvergen. Berikut ini adalah salah satu contoh dari barisan Cauchy yang tidak konvergen. Contoh 2.3 Himpunan dengan (
(
- dengan metrik
untuk
(
)
dan barisan (
di dalam ruang metrik (
)
). Barisan
) adalah barisan Cauchy tapi tidak konvergen di .
Bukti. Ambil sebarang
, maka terdapat
Oleh karena itu, jika
sedemikian sehingga
maka
dan
.
. Sehingga jika
maka (
)
|
|
Jadi barisan ( ) adalah barisan Cauchy. Akan tetapi yang merupakan limit dari barisan tersebut bukan anggota Jadi barisan ( ) di dalam ( - bukan merupakan barisan konvergen di .
19
Definisi 2.14 ) dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy Suatu ruang metrik ( ( ) di dalam adalah konvergen. Berikut ini akan dibahas tentang himpunan bagian dari suatu himpunan ) adalah ruang metrik lengkap. dengan ( Proposisi 2.15 ) adalah suatu ruang metrik lengkap dan Misalkan ( . Maka: ) adalah subruang i. Jika himpunan bagian tertutup di , maka ( metrik lengkap dari ) adalah subruang metrik lengkap, maka adalah tertutup di ii. Jika ( . Bukti. i. Diketahui bahwa , dengan adalah himpunan bagian tertutup di . Ambil suatu barisan Cauchy ( ) di , sedemikian sehingga ( ) ) Karena , maka barisan ( ) juga ada di . Dan karena ( adalah ruang metrik lengkap, maka barisan Cauchy ( ) konvergen ke suatu titik di , ditulis ( ) Dari Lemma 2.12, karena ( ) konvergen ke dan , maka ) adalah subruang metrik lengkap. . Ini menunjukkan ( ( ) ii. Diketahui adalah subruang metrik lengkap. Misalkan ( ). Ambil barisan ( ) di . Maka terdapat barisan ( ) yang konvergen ke ( ). Ditulis ) Oleh karena itu, ( ) adalah barisan Cauchy di . Karena ( adalah ruang metrik lengkap, barisan ( ) konvergen ke suatu titik, sebut di . Ditulis (2.2)
20
Dari (2.1) dan (2.2), didapat . Oleh karena itu, ( ) . Ini menunjukkan
tertutup.
Selanjutnya, akan dibahas kekontinuan suatu fungsi di suatu ruang metrik. Definisi 2.16 ) ke ruang Misalkan adalah suatu pemetaan dari suatu ruang metrik ( ), ditulis metrik ( . Maka i. Fungsi dikatakan kontinu di titik , jika untuk setiap terdapat sedemikian sehingga ( ) ( )) ) ( untuk setiap dengan ( ii. Fungsi dikatakan fungsi kontinu jika kontinu pada setiap titik di . Teorema 2.17 ) ke ruang metrik Suatu pemetaan dari ruang metrik ( ( ) adalah kontinu di titik jika dan hanya jika maka ( ) ( ) Bukti. ( )Asumsikan sehingga
Misalkan
kontinu di
. Untuk
terdapat
( ) maka ( ( ) ( )) , maka terdapat , untuk semua ( )
Karena itu untuk semua
, ( (
) ( ))
Berdasarkan definisi konvergensi ini menunjukkan ( ) ( )
21
sedemikian
didapat
( ) Asumsikan bahwa maka ( )
( )
Akan dibuktikan bahwa kontinu di . Andaikan maka ada sedemikian sehingga untuk setiap ) memenuhi ( tetapi ( ( ) ( )) Khusus untuk (
)
ada tetapi
( (
untuk
tidak kontinu di ada yang
, yang memenuhi
) ( ))
Sehingga diperoleh tetapi ( ( )) tidak konvergen ke ( ). Hal ini kontradiksi dengan asumsi bahwa ( ) ( ). Jadi haruslah kontinu di . Definisi 2.18 Diberikan ruang metrik ( pemetaan jika ( )
). Suatu titik
disebut titik tetap dari (2.3)
Contoh 2.4 Fungsi dengan ( ) , untuk setiap mempunyai dua titik tetap yaitu dan .
. Maka
2.5 Sifat Pemetaan Kontraktif pada Ruang Metrik Berikut ini diberikan definisi pemetaan kontraktif di ruang metrik (
)
Definisi 2.19 ). Pemetaan Diberikan ruang metrik ( dikatakan bersifat kontraktif pada jika terdapat bilangan riil ( ), sedemikian ( ) ( )) ( ) sehingga berlaku ( (2.4) untuk setiap . 22
Lemma 2.20 Suatu pemetaan kontraktif pemetaan kontinu. Bukti. Misalkan
. Ambil sebarang
) setiap ( berlaku: ( ( ) ( )) ( Karena
di suatu ruang metrik (
, pilih
) adalah
sehingga untuk
)
(2.5)
sebarang anggota di , maka pemetaan
kontinu di .
Teorema yang memenuhi kondisi pemetaan kontraktif disebut juga sebagai teorema titik tetap Banach. Teorema titik tetap Banach memberikan suatu syarat cukup untuk eksistensi titik tetap dari suatu pemetaan yang didefinisikan pada ruang metrik. Persisnya, teorema tersebut berbunyi sebagai berikut. Teorema 2.21 ) adalah sebuah ruang metrik lengkap dan misalkan Misalkan ( adalah sebuah pemetaan yang memenuhi kondisi kontraktif. Maka mempunyai titik tetap. Bukti. Diketahui bahwa kontinu (secara seragam): untuk setiap terdapat sedemikian sehingga jika ( ) , maka ( ( ) ( )) . Selanjutnya, ambil titik sembarang, lalu definisikan xn = (xn–1), n = 1, 2, 3, … .
23
Gambar 2.2. Grafik Pendekatan Titik Tetap Berdasarkan hipotesis, kita mempunyai d(x2, x1) = d( (x1), (x0)) ≤ Kd(x1, x0); d(x3, x2) = d( (x2), (x1)) ≤ Kd(x2, x1) ≤ K2d(x1, x0) dan secara umum d(xn+1, xn) ≤ Kn d(x1, x0) untuk setiap n = 1, 2, 3, … . Berikut ini akan ditunjukkan untuk m>n, d(xm, xn) ≤ d(xm, xm–1) + … + d(xn+1, xn) ≤ [Km–1 + … + Kn] d(x1, x0). Di sini Km–1 + … + Kn ≤ Kn(1 + K + K2 + K3 + …) = Kn/(1 – K) → 0 bila n → ∞ dan d(x1, x0) merupakan suatu konstanta. Jadi, barisan x0, x1, x2, x3, … merupakan barisan Cauchy di X. Karena (X, d) merupakan ruang metrik lengkap, barisan ini konvergen, katakanlah ke suatu titik c ϵ X. Mengingat kontinu, kita mempunyai ( ) ( ) Tetapi, pada saat yang sama, kita juga mempunyai lim (xn) = lim xn+1 = c. Jadi kita peroleh (c) = c. Dalam perkataan lain, c merupakan titik tetap . Selanjutnya jika b juga merupakan titik tetap , maka d(b, c) = d( (b), (c)) ≤ Kd(b, c). Karena , kita simpulkan bahwa d(b, c) = 0, yang berarti b = c. Jadi titik tetap mestilah tunggal.
24
Contoh 2.4 Misalkan
{
dengan ( )
} Pemetaan
adalah pemetaan kontraktif dengan metrik yang didefinisikan oleh ( ) . Bukti. Dengan menggunakan kondisi kontraktif seperti pada (2.4), maka: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( (
Ini menunjukkan bawah
) )
adalah pemetaan kontraktif.
2.6 Sifat Pemetaan C-Kontraktif pada Ruang Metrik Lengkap Sifat pemetaan kontraktif dapat dipergunakan untuk fungsi yang selalu kontinu (B̆etislav & Zden ̆k, 2010). Pada 1972, Chatterjea memperkenalkan sifat pemetaan lain yang dapat dipergunakan untuk fungsi yang tidak selalu kontinu. Berikut ini diberikan definisi pemetaan yang ). memenuhi kondisi C-kontraktif dari suatu fungsi di ruang metrik ( Definisi 2.22 Diberikan ruang metrik ( pada
). Pemetaan
dikatakan C-kontraktif
.
/, sedemikian sehingga untuk
jika terdapat bilangan riil
setiap ( ( ) ( ))
berlaku . (
( ))
(
25
( ))/
(2.6)
Contoh 2.5 {
Misalkan
dengan ( )
}. Pemetaan
adalah pemetaan C-kontraktif dengan metrik yang didefinisikan oleh ( ) . Bukti. Dengan menggunakan sifat pemetaan C-kontraktif seperti pada (2.6), maka: ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ) ( )) ( )}( )| |{(( ) ( ))}( ) ( )( )| |{(( (
)(
(
( )(
(
)
(
)
Karena
) ) )
)
|{((
( ( ( ( (
)
maka
Ilustrasi daerah
(
(
)
(
)
}.
diberikan sebagai berikut:
26
)|
(
) ))
(
)+
)) )
sehingga
Berikut ini akan dicari nilai : {(
))}( ) )
)* (
(
(
Misalkan daerah
(
(
) )
y
1 4 S
x
1 4 Gambar 2.3 Ilustrasi daerah Misalkan ( 1)
)
}
, maka:
Titik stasioner: (
) ( (
)
)(
)
) (
)( )
(
2)
)
{(
) ( (
)
( ) ) yang menyebabkan Karena tidak ada ( tidak ada titik stasioner. Titik Batas Batas Karena Pilih
( )
, ( )
(
)
(
dan
, maka
)
maka ( ) tidak mempunyai titik stasioner
. / 27
( )
Pilih Batas
( )
, ( )
Karena
(
.
( ) tidak mempunyai titik
maka
)
/
stasioner Pilih
. /
Pilih
( )
Batas Karena
( )
, ( )
(
)
Pilih
. /
Pilih
( )
Batas Karena
(
maka ( ) tidak mempunyai titik stasioner
( )
, ( )
(
)
( )
maka
)
.
/ tidak
mempunyai
titik
stasioner Pilih
. /
Pilih
( )
Karena titik .
/ dan .
}, maka 3)
.
/ bukan di daerah
(
) (
)
{(
)
{(
)
/
.
/
Titik singular: Didapat bahwa garis
bukan di daerah
} Dari ketiga hal di atas diketahui bahwa Karena
.
(
)
/
.
(
)
ini menunjukkan bahwa
pemetaan yang C-kontraktif.
28
Teorema 2.23 ) adalah sebuah ruang metrik lengkap dan misalkan Misalkan ( adalah sebuah pemetaan yang memenuhi kondisi C-kontraktif. Maka mempunyai titik tetap. Bukti. Ambil dan sebagai berikut: ( )
( ) sehingga dapat dibentuk barisan ( ( )
( )
( )
) di (2.7)
Barisan pada (2.7) merupakan peta (image) dari atas pemakaian berulang . Akan ditunjukkan ( ) adalah barisan Cauchy. Berdasarkan (2.6), ( ) ) ( )) ( ( (
( .
)
( (
. ( * ( (
Diketahui bahwa
)
))/)
))/
(
(
)
(
)+
)
(2.8)
adalah suatu bilangan riil, (2.9)
maka (2.10) Karena
.
/, (2.11)
Dengan mengambil (2.8) menjadi ( untuk semua
)
(
(
)
maka )
(
) sehingga pertidaksamaan (2.12)
29
Ambil ( (
, berdasarkan pertidaksamaan (2.12) didapat: ) ( ) ) ( ) ( )
( ) Oleh karena itu, ( ) (
(
)
) )
(
(
(
) ) ) (
(
( ( untuk semua
)
dengan
)
(2.13) (
) (
)
)
(
)
(2.14)
,
( ) dan ( ) adalah suatu Dari pertidaksamaan (2.14), karena bilangan positif tertentu, maka ruas kanan pertidaksamaan (2.14) konvergen ke nol ketika dan sangat besar. Sehingga ) mengakibatkan ( ketika dan . Hal ini menunjukkan ( ) adalah barisan Cauchy. Karena lengkap maka barisan ( ) konvergen di yaitu . Berdasarkan sifat ketaksamaan segitiga, ( )) ( ) ( )) ( ( (
)
( (
(
)
{ .
( (
) )
{ ( * (
) ( (
)) ) (
)
(
(
(
))} )+
Sehingga untuk didapat: ( )) ( ) ( Karena adalah fungsi jarak yang kontinu, maka untuk ( )) ( )) ( ( Sehingga (
( ))
.
30
))/} (2.15)
(2.16) didapat: (2.17)
Hal ini menunjukkan pemetaan C-kontraktif .
( ). Jadi,
merupakan titik tetap dari
RANGKUMAN Pada suatu ruang metrik, eksistensi titik tetap dapat ditunjukkan dengan beberapa sifat pemetaan, diantaranya pemetaan kontraktif dan pemetaan Ckontraktif Pemetaan kontraktif dikatakan bersifat kontraktif pada jika terdapat bilangan riil ( ), sedemikian sehingga berlaku ( ) ( ( ) ( )) Pemetaan dikatakan bersifat C-kontraktif pada jika terdapat bilangan riil
.
/, sedemikian sehingga untuk setiap
berlaku ( ( ) ( ))
. (
( ))
( ))/
(
SOAL LATIHAN Jika terdapat
{
} dan metrik (
)
. Ujilah
apakah suatu pemetaan yang didefinisikan dengan ( ) memiliki titik tetap? Tunjukkan dengan sifat pemetaan C-kontraktif!
31
BAB 3 PEMETAAN MULTIVALUED PADA RUANG METRIK Tujuan Umum Setelah menempuh mata kuliah ini mahasiswa dapat menjelaskan sifat pemetaan multivalued di ruang metrik dan menentukan jarak untuk dua himpunan dan jaraka antara dua sub himpunan dengan metrik Hausdorff. Deskripsi Bahasan utama pada bab ini adalah mengkaji titik tetap dari pemetaan multivalued pada suatu ruang metrik yang memenuhi kondisi pemetaan Kontraktif dan pemetaan Chaterjea Kontraktif (C-kontraktif). Pembahasan dimulai dengan metrik Hausdorff untuk menentukan jarak antara dua himpunan pada pemetaan mutivalued. 3.1 Sifat Metrik Hausdorff Sebelum membahas tentang metrik Hausdorff akan dijelaskan terlebih dahulu tentang pemetaan multivalued. Definisi 3.1 Misalkan ( ) adalah suatu ruang metrik. Set-valued function didefinisikan sebagai pemetaan dari ke ( ), ditulis: ( ) (3.1) +. dengan ( ) * Untuk mendapatkan sebuah hasil yang analog dari suatu pemetaan single valued menjadi pemetaan mutivalued, ( ) harus dilengkapi dengan sebuah metrik dalam menentukan jarak antar himpunan bagian di ( ).
32
Berikut ini diberikan definisi jarak Hausdorff untuk menentukan jarak antar himpunan bagiandi ( ). Definisi 3.2 ) adalah sebuah ruang metrik. Untuk Misalkan ( dan , jarak Hausdorff untuk setiap dua himpunan bagian didefinisikan sebagai berikut: Jika , jarak dari ke adalah ( ) ( ) Jarak dari ke adalah ( ) ( ) Jarak Hausdorff antar himpunan bagian ke adalah ( ) ) ( )+ * ( ( ) ( )+ * Proposisi 3.3 ) adalah suatu ruang metrik, Misalkan( ( ) 1. ) 2. Jika maka ( ( ) ( ) 3. Jika , maka
dan
( ) dan
(3.2) (3.3)
(3.4)
( ). Maka:
Bukti. ) 1. Diketahui dan ( ). Akan ditunjukkan ( . Dari (3.2) diketahui ( ) ( ) (3.5) ( ) Karena adalah sebuah metrik, maka . Sehingga (3.5) menjadi ( ) ( ) (3.6) ( ) Hal ini menunjukkan bahwa . ) 2. Diketahui . Akan ditunjukkan bahwa ( . Dari (3.2) diketahui ( ) ( ) (3.7)
33
) Karena dan maka ( terpenuhi ketika . Sehingga (3.7) menjadi ( ) ( ) (3.8) ) Hal ini menunjukkan bahwa ( . ) ( ) 3. Diketahui ( . Akan ditunjukkan bahwa ( ) akan ditunjukkan: Untuk menunjukkan (i) (ii) sebagai titik akumulasi dari Berikut buktinya: ) (ii) Karena ( , maka pastilah . ) ( ) (iii) Diketahui ( maka ) * ( + (3.9) ) ( ). * ( + maka terdapat Karena Dengan demikian untuk sebarang , ( ) * ( ) +* + Jadi, merupakan titik akumulasi dari ( ). Dari (i) dan (ii) didapat bahwa
(3.10)
Contoh 3.1 ) adalah ruang metrik dengan himpunan Misalkan ( dan metrik didefinisikan oleh ( ) . Terdapat himpunan bagian dan ( ) ( ) dengan dan . ): Berikut akan dihitung ( Karena dimana , maka: ( ) sehingga ( ) ( ) *
+
): Berikut akan dihitung ( Karena dimana , maka: ( ) sehingga ( ) ( )
34
*
+
) ( ). Ini menunjukkan Dari contoh di atas diketahui bahwa: ( bahwa tidak bersifat simetri, sehingga jelas bahwa bukanlah sebuah metrik. Lemma 3.4 ) adalah suatu ruang metrik dan Misalkan( ( ) ( ). (Gelutu, 2006) , maka Bukti. Berdasarkan Definisi 3.2, ( ) ( ) Karena adalah sebuah metrik, maka ( ) Dari (3.11) dan (3.12) didapat ( Proposisi 3.3 sifat (3) didapat bahwa ( ). didapat
(
)
( ). Jika
(3.11) (3.12)
)
. Sehingga berdasarkan ( ). Jadi untuk setiap
Jarak Hausdorff memenuhi sifat-sifat metrik jika himpunan bagian di ( ) adalah himpunan bagian yang tertutup dan terbatas. (Butt, 2010). Hal ini dapat dijelaskan sebagai berikut: ( ) ) ( )+, agar ( ) * ( , maka ) ) haruslah ( dan ( . Berdasarkan Lemma 3.4, jika ( ) ( ), begitu juga jika ( ) maka ( ). Oleh karena itu, agar ( ) maka , ( ) harus berupa himpunan bagian tertutup. ( ) ) ( )+. Agar ( ) berhingga, * ( ( ) dan ( ) juga harus berhingga, sehingga ( ) haruslah terbatas.
35
Selanjutnya, himpunan dari semua himpunan bagian tertutup dan terbatas ( ). di ( ) akan dinotasikan dengan Proposisi 3.5 ) adalah suatu ruang metrik dan Misalkan ( ( ) dengan , berlaku: ) (1) ( jika dan hanya jika ) (2) ( jika dan hanya jika ( ) ( ) ( ) (3)
. Untuk sebarang
Bukti. ) (1) ( ) Akan ditunjukkan jika maka ( . ) Misalkan . Maka jarak infimumnya adalah ( dengan . ( ) Akan ditunjukkan jika ( ) maka . ) Diketahui ( . Karena tertutup, maka untuk setiap terdapat
sedemikian sehingga (
)
yaitu barisan (
)
konvergen ke . Dapat ditulis, ( ) Karena himpunan bagiantertutup, maka berdasarkan Lemma 2.11 mengakibatkan . ) (2) ( ) Akan ditunjukkan jika maka ( . Ambil . Karena maka . Sehingga oleh sifat (1), ( ) Oleh karena itu, ( ) ( ) ( ) Akan ditunjukkan jika ( ) maka . ) Diketahui ( . Misalkan . Berdasarkan definisi jarak Hausdorff, ( ) ( ) ) Sehingga ( . Oleh sifat (1), dapat ditemukan . Hal ini menunjukkan . 36
(3) Dari ketidaksamaan segitiga didapat, ( ) ( ) ( ) untuk semua dan . Hal ini mengakibatkan ( ) ( ) ( ) untuk semua ( )
. Lebih jauh hal ini mengakibatkan ( ) ( ) ( )
dan karena berlaku untuk semua ( ) ( ) ( ) Karena (
, maka didapat
adalah sebarang, dengan mengambil supremumnya didapat: ) ( ) ( )
Teorema berikut ini menjelaskan bahwa ( ).
adalah metrik pada himpunan
Teorema 3.6 Misalkan ( ) adalah suatu ruang metrik. Jarak ( ( ) ). Bukti. ) (1) Akan ditunjukkan ( untuk setiap ( ), maka: Ambil ( ) ) ( )+ * ( ) ) Karena ( (tak negatif) dan ( ( ) (tak negatif). ) ( ). Jadi, ( untuk setiap ) (2) Akan ditunjukkan ( ( ) Ambil , maka: ( ) ) ( )+ * ( ( ) ) dan ( dan 37
adalah metrik pada
( ).
(tak negatif) maka
) Jadi, ( ) ( ) untuk setiap (3) Akan ditunjukkan ( ( ), maka: Ambil ( ) ) ( )+ * ( ) ( )+ * ( ( ) ) ( ) untuk setiap ( ) Jadi, ( (4) Akan ) ( ) ( ) untuk setiap ditunjukkan ( ( ) ( ), maka: Ambil Berdasarkan Proposisi 3.5 sifat (3), didapat ( ) ( ) ( ) ) ( )+ ) ( * ( * ( ( ) ( ) Secara similar, ( ) (
)
* ( * ( ( )
( ) )
) ( ( (
)+ )+
* ( * (
( (
)+
)+ )+
)
Oleh karena itu, ) ( )+ ( ) ( ) * ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) untuk setiap Jadi, ( Dari (1), (2), (3) dan (4) terbukti bahwa
Lemma 3.7 Misalkan anggota
) )
( )
( ) dengan . Jika ) sedemikian sehingga (
38
( )
adalah metrik pada
(
( ).
maka terdapat suatu ) .
Bukti. ( ), berdasarkan definisi: Diketahui ( ) ) ( )+ * ( Sehingga dapat ditulis ( ) ( ) ) ( )+ * ( atau ( ) ( ) ) ( )+ * ( Dari (3.14) untuk setiap didapat ( ) ( ) ( ) ) adalah supremum dari * ( ) + maka Karena ( ( ) ( ) ( ) Maka untuk , ( ) ( ) ( ) Berdasarkan definisi metrik Hausdorff: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Jadi, untuk sebarang , ( ) ( ) ( ) .
(3.13) (3.14) (3.15) (3.16) (3.17)
(3.18)
Pada Teorema 2.22 telah dijelaskan bahwa fungsi jarak adalah kontinu. Untuk suatu himpunan bagian , fungsi jarak ( ) juga merupakan suatu fungsi kontinu (Gelutu, 2006). Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut: Ambil , maka dapat dihitung jarak dari titik ke himpunan dengan menggunakan fungsi jarak . Dengan menggunakan ketaksamaan segitiga: ( ) ( ̅) ( ̅ ) ( ) ( ̅ ) ( ̅ ) (3.19) untuk sebarang ̅ . Oleh karena itu, ( ) ( ̅ ) ( ̅) (3.20) Akibatnya, jika ( ) adalah barisan di sedemikian sehingga ̅, maka ( ) ( ̅ ) (3.21) Jadi, fungsi jarak ( ) adalah kontinu. 39
Jika pada Definisi 2.10 telah diberikan definisi kekonvergenan barisan titik, berikut ini diberikan definisi kekonvergenan barisan himpunan bagian menggunakan konsep metrik Hausdorff. Definisi 3.8 Misalkan ( ) adalah suatu barisan himpunan bagian tertutup dari dan adalah juga himpunan bagiantertutup. Maka konvergen ke jika ( ) (3.22) Dinotasikan dengan
.
Definisi 3.9. Suatu barisan himpunan bagian tertutup yang tak kosong ( barisan Cauchy di ( ( ) ) jika ( )
) dikatakan (3.23)
Teorema 3.10 ) adalah ruang metrik lengkap, maka ( ( ) ) adalah ruang Jika ( metrik lengkap, dimana adalah metrik Hausdorff yang diinduksi oleh . Bukti. ( ) dan Misalkan ( ) adalah sebarang barisan Cauchy di didefinisikan sebagai himpunan bagiandari semua titik-titik sedemikian sehingga terdapat barisan ( ) yang konvergen ke dan memenuhi untuk semua , ditulis ⋂
(⋃
)
Akan dibuktikan bahwa ( ) Untuk membuktikan (3.24), harus ditunjukkan: (i)
adalah tertutup
(ii)
tidak kosong
40
(3.24) (iii)
Bukti. ( ), maka adalah himpunan bagian tertutup. (i). Karena (ii). Akan ditunjukkan bahwa tidak kosong. Karena ( ) adalah barisan Cauchy, diberikan (dengan ) untuk setiap
dan (
, terdapat
,
sedemikian sehingga
)
(3.25)
Untuk
, (
)
(3.26)
Maka untuk sebarang (
(
)
)
Oleh karena itu, untuk sebarang (
(3.27)
,
)
Untuk
(3.28) , terdapat
(
sedemikian sehingga
)
(3.29) *
Maka untuk sebarang (
+ didapat
)
(3.30)
Pilih (
, maka )
(
)
(
),
dan (3.31)
* Dengan melanjutkan proses ini, untuk dapat dipilih sedemikian sehingga (
)
+ (3.32)
Ini menunjukkan bahwa barisan ( Karena lengkap, maka terdapat ̅. Lebih jauh, untuk setiap sehingga ⋃
) adalah barisan Cauchy. ̅ sedemikian sehingga
, terdapat ̅
41
(⋃
sedemikian )
(3.33)
Hal ini berlaku untuk semua (⋃ ) ̅ Dari (3.34), didapat bahwa
. ̅
⋂
(⋃
)
(3.34)
.
(iii) Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa . Dari (i) diketahui adalah tertutup. Hal ini berarti untuk setiap ), maka , oleh kekontinuan dari ( ( ̅
)
(
∑ (
) )
∑
Didapat: ( ̅)
( )
(3.35)
Maka: ( ) Sebaliknya, misalkan (⋃
(3.36) adalah sebarang, maka (
)
)
Berdasarkan ketaksamaan segitiga diketahui bahwa ( ) ( ) ( ) Karena ( ) adalah barisan Cauchy, maka sedemikian sehingga ( )
(3.37) terdapat (3.38)
Oleh karena itu, (3.37) menjadi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * Hal ini berarti, ( ) Karena adalah sebarang, maka ( ) ( )
42
+ (3.39) (3.40)
Dari (3.36) dan (3.40) didapat ( ) ) ( * (
)+
(3.41)
Ini menunjukkan bahwa Jadi, ( ( ) ) adalah ruang metrik lengkap. Berikut ini diberikan definisi titik tetap untuk pemetaan multivalued pada ruang metrik. Definisi 3.11 Diberikan ruang metrik ( pemetaan multivalued ( )
). Suatu titik ( ) jika
disebut titik tetap dari (3.42)
Contoh 3.2 , - dan pemetaan multivalued , - , Misalkan didefinisikan sebagai berikut ⁄ + ⁄ * ⁄ ( ) { , (3.43) ⁄ + ⁄ * Dari pemetaan multivalued yang didefinisikan seperti pada (3.43):
Ambil
, ( )
{
Ambil
, ( )
,
Ambil
, ( )
{
} didapat - didapat } didapat
{ ,
} jadi - jadi
{
( ) ( )
} jadi
( )
Sehingga pemetaan multivalueddi atas memiliki titik tetap yaitu Contoh 3.3 , - dan Misalkan didefinisikan sebagai berikut ⁄ + * ( ) { * + ⁄ + *
pemetaan
multivalued
,
.
-
,
-
⁄ ⁄
(3.44) ⁄ 43
Dari pemetaan multivalued yang didefinisikan seperti pada (3.44):
Ambil
, ( )
{
Ambil
, ( )
*
Ambil
, ( )
{
} didapat + didapat } didapat
{ *
} jadi + jadi
{
( ) ( )
} jadi
( )
Sehingga pemetaan multivalued di atas tidak memiliki titik tetap. 3.2 Sifat Pemetaan Kontraktif pada Pemetaan Multivalued Pemetaan kontraktif untuk pemetaan multivalued diberikan dengan definisi sebagai berikut: Definisi 3.12 ) adalah sebuah ruang metrik. Suatu pemetaan Misalkan ( ( ) dikatakan pemetaan multivalued yang kontraktif jika terdapat ( ), sedemikian sehingga berlaku bilangan riil ( ) ( ) (3.45) untuk setiap . Berikut ini diberikan teorema titik tetap untuk pemetaan multivalued dengan sifat pemetaan kontraktif. Teorema 3.2. ) adalah sebuah ruang metrik lengkap dan misalkan Misalkan ( ( ) adalah sebuah pemetaan multivalued yang memenuhi kondisi kontraktif. Maka mempunyai titik tetap. Bukti. Misalkan dan Maka juga terdapat sehingga didapat ( ) ( ( ) ( )) Secara similar terdapat sedemikian sehingga ( ) ( ( ) ( ))
44
sedemikian (3.46) (3.47)
Oleh karena itu, terdaat dan ( ) ( ( Karena untuk setiap ( ) ( ( ( ( ( ( ( (
barisan (
) di
) ( )) , berlaku ) ( )) ) ) ( )
sedemikian sehingga
untuk semua maka
))
(3.48)
)
)
Oleh karena itu, untuk semua ( ) ( ) ( ( ) ( ∑ (
dengan , ) ( ( ) ( ) ( ) ) ∑
) ) (3.49)
) adalah suatu Dari pertidaksamaan (3.49), karena ( ) dan ( bilangan positif tertentu, maka ruas kanan dari pertidaksamaan (3.49) konvergen ke nol ketika sangat besar. Sehingga mengakibatkan ( ) ketika . Hal ini menunjukkan ( ) adalah barisan Cauchy. Karena lengkap maka barisan ( ) konvergen di yaitu ( ) . Karena adalah kontinu maka: ( ) ( ( ) ( )) (3.50) Karena , ( )) ( ( ( ) ( )) (3.51) ( )) ( ), hal ini Yang mengakibatkan ( . Karena ( ) ( ) mengakibatkan
45
3.3 Sifat Pemetaan C-Kontraktif pada Pemetaan Multivalued Berikut ini diberikan sifat pemetaan C-Kontaktif untuk pemetaan multivalued di ruang metrik. Definisi 3.12 ) adalah sebuah ruang metrik. Suatu pemetaan Misalkan ( ( ) dikatakan pemetaan multivalued yang C-kontraktif jika terdapat .
bilangan riil ( ( )
( ))
/, sedemikian sehingga berlaku . (
untuk setiap
( ))
(
( ))/
(3.45)
.
Teorema berikut ini menyatakan bahwa pemetaan multivalued yang memenuhi kondisi C-kontraktif mempunyai titik tetap. Teorema 3.13 ) adalah sebuah ruang metrik lengkap dan misalkan Misalkan ( ( ) adalah sebuah pemetaan multivalued yang memenuhi kondisi C-kontraktif. Maka mempunyai titik tetap. Bukti. Akan ditunjukkan adanya titik tetap pada pemetaan mutivalued sebagai titik limit dari barisan ( ) yang dikonstruksi dari sebarang . Berikut ini akan dibangun suatu barisan ( ). Ambil sebarang titik dan untuk sebarang titik dari ( ). Maka dapat ditemukan suatu titik ( ) sedemikian sehingga ( ) ( ( ) ( )) (3.46) .
dengan
/.
Secara similar, terdapat (
)
( ) sedemikian sehingga
( ( ) ( ))
(3.47) 46
Oleh karena itu, terdapat barisan ( ) di sedemikian sehingga ( ) dan ( ) ) ( )) ( ) ( ( (3.48) Dari (3.48), dapat ditulis: ( ) ) ( )) ( ( . ( ( ( ( (
(
))
)
( )
)
(
)
(
)
(
)
(
(
(
(
)
)
)
(
)
(
)
{(
) (
)
(
)
(
)
/
(
(
(
)
)
. Maka:
}
)
(
.
(3.49)
) untuk semua
(
{
))
))
(
dan
))/
)) (
( ( Ambil
(
(
)
)
(
(
)
(
Oleh karena itu, untuk semua
(
dengan 47
}
)
( ∑
)
)
(
) (3.50)
)
,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)
)
∑
(
(
(
)
)
( )
∑
(
)
(
)
)
(
) ∑
(
)
Sehingga didapat: (
)
∑ (
)
{
∑
(
∑
)
∑
(
)
(
)
}
Diketahui bahwa: ∑ (
{(
)
)
.
/
. .
untuk
(
)
(
/
)
} (3.51)
/
, (3.51) menjadi: ∑
.
/
(3.52)
Diketahui bahwa: ∑
(
)
(
) (
)
( .(
) )
( /
48
) (3.53)
∑
(
(
)
Untuk
(
)
)
( (
)
)
, ∑
(
(3.54)
)
demikian juga dengan ∑
(
( (
)
Untuk
)
)
, ∑
(
(3.55)
)
Dan berlaku sampai: ∑
(
Sehingga, untuk ∑
{
(
(3.56)
)
, ∑
)
(
∑
)
Dari (3.52) dan (3.57) untuk (
)
∑ ( {
∑ ∑
(
)
}
(3.57)
, didapat:
)
(
)
(
)
(
)
∑
(
}
)
(3.58)
Ruas kanan dari pertidaksamaan (3.58) konvergen ke nol ketika sangat ) besar. Sehingga mengakibatkan ( ketika . Hal ini menunjukkan ( ) adalah barisan Cauchy. Karena lengkap maka barisan ( ) konvergen di yaitu . Akan ditunjukkan bahwa adalah titik tetap dari pemetaan . Berdasarkan sifat ketaksamaan segitiga, ( )) ( ) ( )) ( ( (
)
( (
) ( 49
))
( (
) )
( )) ( { ( ( ) ( )+ * ( Sehingga untuk didapat: ( )) ( ) ( Karena adalah fungsi jarak yang kontinu, maka untuk ( )) ( )) ( (
))} (3.59) (3.60) didapat: (3.61)
( )) Sehingga ( . Karena ( ) ( ), maka berdasarkan Proposisi 3.5 sifat (1) didapat ( ) bahwa . Hal ini menunjukkan merupakan titik tetap dari pemetaan C-kontraktif . RANGKUMAN Eksistensi titik tetap pemetaan multivalued dengan sifat pemetaan kontraktif dan pemetaan C-kontraktif menggunakan konsep metrik Hausdorff dapat dipertahankan dalam ruang metrik lengkap. Suatu pemetaan ( ) dikatakan pemetaan multivalued yang ( ), sedemikian sehingga kontraktif jika terdapat bilangan riil berlaku ( ) ( ) untuk setiap . Suatu pemetaan ( ) dikatakan pemetaan multivalued yang C-kontraktif jika terdapat bilangan riil
.
/, sedemikian
sehingga berlaku ( ( ) ( )) untuk setiap
. (
( ))
(
( ))/
.
SOAL LATIHAN , - dan pemetaan multivalued , Misalkan didefinisikan sebagai berikut ⁄ + ⁄ * ( ) { ⁄ + ⁄ * Ujilah apakah pemetaan multivalued di atas memiliki titik tetap. 50
,
-
BAB 4 RUANG METRIK PARSIAL Tujuan Umum Setelah menempuh mata kuliah ini mahasiswa dapat menjelaskan sifatsifat ruang metrik parsial dan kelengkapannya. Selain itu, mahasiswa juga dapat memahami hubungan antara ruang metrik dengan ruang metrik parsial. Deskripsi Bab ini menjelaskan hal-hal yang berkaitan dengan ruang metrik metrik parsial dan kelengkapannya. Dibahas juga tentang sifat-sifat barisan Cauchy dan barisan konvergen di ruang metrik parsial. Sifat pemetaan kontraktif lemah dibahas untuk menunjukkan eksistensi titik tetap di ruang metrik parsial. 4.1 Sifat-Sifat Ruang Metrik Parsial Berikut ini akan dijabarkan sifat-sifat ruang metrik parsial. Definisi 4.1 Misalkan adalah sebuah himpunan yang tak kosong. Suatu fungsi disebut sebagai metrik parsial pada jika untuk sebarang , kondisi berikut terpenuhi: ( ) (p1). ( ) ( ) ( ) (p2). jika dan hanyajika ( ) ) ( ) (p3). ( ) ( ) ( ) (p4). ( ( ) Himpunan bersama dengan metrik parsial parsial dan ditulis ( ). 51
disebut ruang metrik
Contoh 4.1 : Himpunan bilangan riil positif. ) * Fungsi yang didefinisikan oleh ( ) adalah ruang metrik parsial. adalah metrik pada , sehingga ( Bukti. ( )untuk setiap 1. Akan ditunjukkan ( ) . Ambil , maka: ( ) * + ( ) * + ( ) untuk setiap Jadi, ( ) . ( ) ( ) maka 2. Akan ditunjukkan jika ( ) Ambil , ( ) ( ) * + ( ) ( ) * + Dari (1) dan (2) didapat bahwa ( ) untuk setiap 3. Akan ditunjukkan ( ) Ambil , maka: ( ) ( ) * + * + ) ( ) untuk setiap Jadi, ( 4. Akan ) ditunjukkan ( ( ) ( ) ( ) untuk setiap Ambil , maka: ( ) ( ) * + * + * + * + * + * + ( ) ( ) Sehingga dapat ditulis: ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) Jadi, ( ( ) untuk setiap
52
.
(4.1) (4.2)
+
Dari 1, 2, 3, dan 4 terbukti bahwa (
) adalah ruang metrik parsial.
Remark 1. ) Berdasarkan Definisi 4.1.1 di atas, jelas bahwa jika ( maka dari ( ) akan sifat (p1) dan (p2), . Tetapi jika , tidak menjamin bernilai . Contoh 4.1 Misalkan adalah himpunan bilangan Riil dan fungsi jarak diberikan sebagai berikut: (
)
Maka
*
+,
adalah metrik parsial pada
.
Definisi 4.2 Diketahui ( ) ruang metrik parsial. Untuk suatu bilangan bola terbuka titik dengan jari-jari merupakan himpunan ( ) * ( ) ( ) + Definisi 4.3 Misalkan( ) adalah suatu ruang metrik parsial. (i) Suatu barisan * + pada ( ) konvergen ke jika dan hanya ( ). jika ( ) (ii) Suatu barisan * + pada ( ) disebut barisan Cauchy jika dan hanya ( ) ada (dan berhingga) jika (iii) Suatu ruang metrik parsial dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy * + di konvergen, terhadap pada suatu titik ( ) ( ). sedemikian sehingga Setiap himpunan bagian tertutup dari suatu ruang metrik parsial lengkap adalah lengkap. (iv) Setiap pemetaan disebut kontinu pada jika untuk setiap
terdapat
sedemikian sehingga
( ( ) ) 53
.
(
)/
(v) Suatu barisan * + pada ruang metrik parsial ( ) konvergen ke suatu titik untuk sebarang sedemikian sehingga ( ) terdapat ( ) untuk sedemikian sehingga, sebarang Teorema 4.4 Misal ( ) adalah ruang metrik parsial dan barisan * * + konvergen, maka * + adalah barisan Cauchy.
+ di dalam
Jika
Bukti. Misalkan barisan * + konvergen ke , maka untuk sebarang terdapat sedemikian sehingga setiap berlaku: ( ) ( ) ) ( ) dan ( Untuk juga berlaku persamaan yang sama. Dengan ketaksamaan segitiga diperoleh ( ) ( ) ( ) ( ) (
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( ) Jadi, terbukti bahwa suatu barisan yang konvergen dalam ruang metrik parsial adalah Cauchy. U. Kadak, et al, 2013, pada jurnalnya mengatakan bahwa suatu ruang metrik parsial adalah perluasan dari suatu ruang metrik. Berikut ini ) diberikan Lemma yang menjelaskan hubungan antara ruang metrik ( ( ) dengan ruang metrik parsial . Lemma 4.5 ) adalah suatu ruang metrik parsial, dan fungsi Misalkan ( , ) didefinisikan oleh ( ) ( ) ( ) ( ) 54
maka
adalah sebuah metrik.
Bukti: ) (i) Jelas, bahwa maka ( . (ii) Dari (p2) didapat ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) (iii) Jelas, bahwa untuk semua , ( (iv) Untuk semua dan dari (p4), didapat ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dari keempat bukti di atas didapat bahwa adalah sebuah metrik. Lemma berikut ini menjelaskan hubungan barisan di ruang metrik ( )dengan ruang metrik parsial ( ). Lemma 4.6 Misalkan ( ) adalah sebuah ruang metrik parsial. a. * + adalah barisan Cauchy di ( )jika dan hanya jika barisan tersebut adalah barisan Cauchy di ( ). b. ( )adalah lengkap jika dan hanya jika ( ) adalah lengkap. Bukti. a. Diketahui bahwa * + adalah barisan cauchy di ( ), akan ditunjukkan bahwa * + juga merupakan barisan cauchy di ( ) 55
Berdasarkan Definisi 2.10, barisan * ( ), ( ) ( ) *
(
)
+ dikatakan konvergen di
(
)
(
(
)+ )
. / (
b.
)
( )
* ( ( (
)
(
)
(
)+
) )
Akibat 4.7 (Penelitian) Jika * + adalah barisan konvergen di ruang metrik parsial ( ) maka barisan tersebut konvergen di ruang metrik ( ). Bukti. Diketahui bahwa * + adalah barisan konvergen di ( ), akan ditunjukkan bahwa * + juga merupakan barisan konvergen di ( ) * +dikatakan Berdasarkan Definisi 2.10, barisan konvergen di ( ), ( ) ( ) *
(
)
(
) (
(
)+
)
(
)
( (
)
(
)
(
56
) ( )
)
Berikut ini diberikan definisi dan lemma tentang kontinuitas fungsi di ) ruang metrik parsial ( Lemma 4.8 Misalkan ( ) adalah suatu ruang metrik parsial. adalah kontinu jika diberikan suatu barisan * + dan sedemikian ( ) ( ), sehingga maka ( ) ( ). (Hassen Aydi, Erdal Karapinar and Shahram Rezapour, 2012) Bukti. Pada penelitiannya, Hassen Aydi, et al memberikan definisi tentang kontinuitas suatu pemetaan di ruang metrik parsial ( ) sebagai berikut: Suatu pemetaan terhadap dirinya sendiri di suatu ruang metrik parsial ( ) adalah kontinu pada jika dan hanya jika untuk setiap terdapat
sedemikian sehingga
.
(
)/
(
)
Definisi 4.9 ) adalah suatu ruang metrik parsial. Suatu pemetaan Misalkan ( + konvergen ke adalah kontinu pada jika barisan * untuk setiap barisan * + di konvergen ke . Definisi 4.10 ) dan ( ) adalah ruang metrik parsial, Misalkan ( fungsi dan Fungsi kontinu pada jika untuk sebarang terdapat sedemikian sehingga jika ( ) ( ) dan ( ) ( ) maka: ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) dan 57
( ( ) ( ))
( ( ) ( ))
4.2 Pemetaan Kontraktif Lemah - pada Ruang Metrik Parsial Pada bagian ini dibahas tentangteorema pemetaan single valued pada Ruang Metrik Parsial dengan pemetaan kontraktif lemah - . Teorema 4.11 ) adalah suatu ruang metrik parsial lengkap dan andaikan Misalkan ( adalah suatu pemetaan sedemikian sehingga ) ( ) ( ) , ( ) ( ) . ( )-}/ (4.3) { ( Untuk semua dimana , ) tak menurun sedemikian sehingga ( ) mempunyai titik tetap tunggal. (Altun et al, 2010)
,
) adalah kontinu, fungsi untuk setiap Maka
Bukti. ( ) Dari kondisi pada , jelaslah bahwa untuk Misalkan adalah sebarang titik. Didefinisikan sebuah barisan * + di oleh untuk Andaikan untuk maka jelas bahwa adalah suatu titik tetap dari Sekarang asumsikan untuk semua Maka dari (4.3) didapat: ( ) ( ) (
{ (
) ( (
(
{ (
) (
(
{ ( * (
, (
)
)}) ) (
) (
( (
)
)
, (
)
)}) ) (
)
) (
)+)
58
, (
)
(
)})
(4.4)
karena ( ) ( ) ( ) ( adalah tak menurun. Sekarang jika ) ( )+ ( ) * ( Untuk beberapa maka dari (4.4) didapat: ( ) )) ( ) ( ( ( ) yang mana kontradiksi karena Sehingga ) ( )+ ( ) * ( Untuk semua Maka dari (4.4) didapat ( ) )) ( ( dan oleh karena itu ( ) )) ( ( Dengan kata lain, karena ) ( )+ ( ) * ( maka dari (4.5) didapat ) ( )+ )) * ( ( ( Oleh karena, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )) ( (
)
dan
(
Ini menunjukkan bahwa mempunyai : (
)
(
) ( (
) (
))
Sekarang
(4.5)
(4.6)
kita
) ( (
))
Ini menunjukkan bahwa * + adalah barisan Cauchy pada ruang ) Karena ( ) adalah lengkap maka berdasarkan Lemma metrik ( ) adalah lengkap dan juga barisan * + adalah konvergen pada 4.6,( ) dikatakan ( ) ruang metrik ( Juga dari Lemma 4.6, didapat (
)
(
)
( 59
)
(4.7)
) Lebih jauh karena * + adalah barisan Cauchy pada ruang metrik ( ( ) kita mempunyai dan dari (4.6) kita mempunyai ( ) sehingga dari definisi kita mempunyai ( ) Oleh karena itu dari (4.7) kita mempunyai ( ) ( ) ( ) Sekarang kita ) akan menunjukkan bahwa ( Asumsikan ini tidak benar, maka dari Definisi 4.1dan pertidaksamaan (4.3) diperoleh ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { (
( (
)})
(
) { (
( (
)
(
) (
)
, (
)
) (
) (
)
, (
)
)
, (
)
)
(
)})
) { (
( (
(
) (
)
) ( (
) (
)})
menggunakan kontinuitas dari dan misalkan didapat ( ) )) ( ( ) hal ini merupakan kontradiksi. Oleh karena itu ( dan juga Sekarang misalkan adalah titik tetap lain dari dengan ( ) maka dari pertidaksamaan (4.3), karena diperoleh ( ) ( ) (
{ (
) (
(
{ (
) (
) ( ) ( 60
) )
, (
, (
) )
(
( )-})
)-})
{ (
(
) (
) (
)
, (
)
(
)-})
( * ( ) ( )+) ( ( )) dimana hal ini merupakan kontradiksi. Sehingga Berikut ini diberikan contoh pemetaan kontraktif lemah – . Contoh 4.2 Misalkan
,
(
) dan
)
*
+ jelaslah bahwa (
adalah ruang metrik parsial lengkap. Misalkan semua
dan dengan
(
)
,
)
,
)
)
untuk
( )
Maka untuk semua
didapat {
}
( (
))
(
{ (
) ( (
) (
)
, (
)
)-})
Hal ini menunjukkan bahwa kondisi dari Teorema 4.11 terpenuhi dan juga mempunyai titik tetap di Selanjutnya dikaji teorema untuk dua pemetaan ( )
di ruang metrik parsial
Teorema 4.12 ) adalah suatu ruang metrik parsial lengkap, dan misal Misalkan ( terdapat dua pemetaan yang memenuhi syarat berikut: ( ) ) ( ) , ( ) . ( )-}/ (4.8) { ( ) (
61
Untuk semua dimana , ) , ) adalah kontinu, fungsi tak menurun sedemikian sehingga ( ) untuk setiap Maka pemetaan tersebut mempunyai titik tetap yang sama. Bukti. Misalkan
Didefinisikan barisan * , secara induksi dibentuk:
+ sehingga
dan
(4.9) Jika terdapat suatu bilangan bulat positif sedemikian sehingga maka adalah titik tetap dari dan mengakibatkan titik tetap juga dari Tentu saja, karena maka (4.10) Juga, dari (4.8) diperoleh ( ) (
)
(
{
(
{
(
) ( , (
)
(
( ( ( (
) ( (
) ( , (
) ))
( (
))
) )-
) ( (
}) (4.11)
) )-
})
))
(4.12)
Sehingga persamaan (4.12) menjadi: ( ) ( ) )) (4.13) ( ( ) ( ) Sehingga (4.13) mengakibatkan ( Karena ( ) ) maka ( yang mengakibatkan Perhatikan bahwa adalah titik tetap dari Sebagai hasilnya, adalah titik tetap bersama dari dan Kesimpulan yang sama terjamin jika untuk 62
beberapa bilangan bulat positif Oleh karena itu, kita dapat mengasumsikan untuk semua Jika ganjil, berdasarkan (4.8) diperoleh ( ) ( ) (
{
(
) ( , (
) ( )
dari Definisi 4.1 bagian (iv), diperoleh ( ) ( ) (
)
(
)
)-
(
})
(4.14)
)
(4.15)
(
) ]}) )
Sehingga (4.14) menjadi (
)
(
{ (
(
{
) (
( (
)
) (
)
[
}) )
(
(4.16)
) ( )+ ( ) * ( Jika maka karena ( ) ketidaksamaan (4.14) mengakibatkan kontradiksi. Oleh karena itu, ) ( )+ ( ) dan oleh (4.14) kita * ( mempunyai ( ) )) ( ( (4.17) Jika genap, ketidaksamaan (4.17) dapat diperoleh secara analog. )+ tak negatif, barisan bilangan riil tak Kita mendapat bahwa * ( menaik. Dengan memperhatikan (4.17), dapat diteliti bahwa ( ) ( ) (4.18) Perhatikan bahwa ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (4.19) Sehingga,
dengan (
)
memperhatikan Lebih jauh, 63
(4.19),
kita
mempunyai
(
)
(
) (
(
)
) )
(
(4.20)
Dengan perhitungan sederhana, didapat bahwa * + adalah barisan Cauchy ) yaitu ( ) ) di ( pada saat Karena ( ) adalah lengkap dan barisan * + adalah lengkap, oleh Lemma 4.6, ( ) terhadap, sebut konvergen di ( Juga, oleh Lemma 4.6, ( ) ( ) ( ) (4.21) Karena *
bahwa (
) kita mempunyai + adalah barisan Cauchy di ( ( ) Kita dapat menyatakan bahwa ( ) Tanpa mengurangi sifat keumuman, asumsikan Sekarang diperhatikan bahwa ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (4.22)
Secara analog, ( ) ( (
) )
( (
) )
(
) (4.23)
Dengan mengambil (4.22), pernyataan (4.23) menjadi ( ) ( ) ( ) ( Secara induktif, didapat ( ) ( )
(
Berdasarkan (4.18), pernyataan (4.25) menjadi ( ) ( ) ( ( ) (
)
(
) )
dengan perhitungan sederhana, dapat diteliti bahwa ( ) 64
)
(4.24)
)
(
(4.25)
) (4.26)
(4.27)
Oleh karena itu, dari (4.12), didapat ( ) ( ) (
)
(4.28)
Dapat dinyatakan bahwa . Secara kontradiksi, kita asumsikan ) Maka ( Misalkan { ( ) } adalah sub barisan dari * + yang merupakan sub barisan dari * + Berdasarkan (4.8), kita mendapat (
()
)
(
Misalkan mengakibatkan (
( )
Sehingga, ( )
)
( (
{
(
()
()
[ (
) ( ( ))
) ( (
()
()
)]
)
})
(4.29)
dan mengambil persamaan (4.28), pernyataan (4.29) {
(
)
(
)}
))
(4.30)
(4.31)
Berdasarkan sifat kita dapat ( analog, jika kita memilih barisan { Sehingga
) ( )
sehingga } dari *
Secara + kita dapat
RANGKUMAN 1. Berikut ini diberikan sifat metrik parsial: Suatu fungsi disebut sebagai metrik parsial pada jika untuk sebarang , kondisi berikut terpenuhi: ( ) (p1). ( ) ( ) ( ) (p2). jika dan hanyajika ( ) ) ( ) (p3). ( ) ( ) ( ) (p4). ( ( ) Himpunan bersama dengan metrik parsial disebut ruang metrik parsialdan ditulis ( ). 65
2.
Syarat cukup agar pemetaan di ruang metrik parsial mempunyai titik tetap adalah terpenuhinya kondisi pemetaan kontraktif pada Ruang Metrik Parsial lengkap. Selain itu, diketahui juga sifat pemetaan kontraktif lemah yang menjamin eksistensi titik tetap jika syarat berikut terpenuhi: Untuk suatu pemetaan single valued sedemikian sehingga ( ) ( ) ( ) { }) ( ) ( ) , ( ( )-
a.
untuk semua dimana , ) fungsi tak menurun sedemikian sehingga ( Untuk dua pemetaan single valued ( ) ( ) ( { ( ) ( ) , ( (
b.
, ) adalah kontinu, ) untuk setiap sedemikian sehingga ) }) )-
Untuk semua dimana , ) , fungsi tak menurun sedemikian sehingga ( ) SOAL LATIHAN Diberikan ruang metrik parsial lengkap dengan * ,
+. Misalkan )
,
)
( )
) adalah kontinu, untuk setiap
,
) dan (
untuk semua Ujilah apakah pemetaan
tetap?
66
) dan
mempunyai titik
BAB 5 PEMETAAN MULTIVALUED PADA RUANG METRIK PARSIAL Tujuan Umum Setelah menempuh mata kuliah ini mahasiswa dapat menjelaskan sifatsifat metrik parsial Hausdorff. Selain itu, mahasiswa juga dapat memahami sifat pemetaan kontraktif lemah pada pemetaan multivalued yang menjamin eksistensi titik tetap di ruang metrik parsial. Deskripsi Bab ini menjelaskan hal-hal yang berkaitan dengan metrik metrik parsial Hausdorff. Pada bab ini diberikan contoh untuk menentukan jarak antara dua himpunan. Selanjutnya dibahas tentang pemetaan kontraktif lemah untuk pemetaan multivalued. 5.1 Sifat-Sifat Metrik Parsial Hausdorff Sebelum membahas tentang metrik Hausdorff akan dijelaskan terlebih ) dahulu tentang pemetaan multivalued pada suatu ruang metrik ( Definisi 5.1 Misalkan ( ) adalah suatu ruang metrik. Pemetaan multivalued didefinisikan sebagai pemetaan dari ke ( ), ditulis: ( ) (5.1) +. dengan ( ) * Untuk mendapatkan sebuah hasil yang analog dari pemetaan suatu fungsi menjadi pemetaan multivalued, ( ) harus dilengkapi dengan sebuah metrik dalam menentukan jarak antar himpunan bagian di ( ).
67
Definisi 5.2 Diberikan ruang metrik ( pemetaan multivalued ( )
). Suatu titik ( ) jika
disebut titik tetap dari (5.2)
Contoh 5.1 , - dan pemetaan Misalkan didefinisikan sebagai berikut ⁄ + ⁄ * ⁄ ( ) { , ⁄ + ⁄ *
multivalued
,
-
,
-
(5.3)
Dari pemetaan multivalued yang didefinisikan seperti pada (5.3):
Ambil
, ( )
{
Ambil
, ( )
,
Ambil
, ( )
{
} didapat - didapat
{ ,
} didapat
} jadi - jadi
{
( ) ( )
} jadi
( )
Sehingga pemetaan multivalued di atas memiliki titik tetap yaitu Contoh 5.2 , - dan pemetaan Misalkan didefinisikan sebagai berikut ⁄ + ⁄ * ⁄ ( ) { * + ⁄ + ⁄ *
multivalued
,
.
-
,
(5.4)
Dari pemetaan multivalued yang didefinisikan seperti pada (5.4):
Ambil
, ( )
{
Ambil
, ( )
*
Ambil
, ( )
{
} didapat + didapat } didapat
68
{ *
} jadi + jadi
{
} jadi
( ) ( ) ( )
-
Sehingga pemetaan multivalued di atas tidak memiliki titik tetap. Berikut ini diberikan definisi jarak Hausdorff untuk menentukan jarak antar himpunan bagiandi ( ). Definisi 5.3 ) adalah sebuah ruang metrik. Untuk Misalkan ( dan , jarak Hausdorff untuk setiap dua himpunan bagian didefinisikan sebagai berikut: Jika , jarak dari ke adalah ( ) ( ) Jarak dari ke adalah ( ) ( )
Jarak Hausdorff antar himpunan bagian ( ) ) ( )+ * ( ( ) *
ke (
)+
adalah sebarang
Berikut ini akan dijelaskan beberapa sifat dari pemetaan ( ) , )
( (
(5.6)
(5.7)
dimana ̅ menotasikan penutup dari terhadap metrik parsial ̅ ) jika dan hanya jika bahwa adalah tertutup di (
(i) (ii)
(5.5)
adalah
Remark 5.4 ) adalah sebuah ruang metrik parsial dan Misalkan ( ) maka himpunan tak kosong di ( ̅ jika dan hanya jika ( ) ( )
Proposisi 5.5 Misalkan (
( ) dan
(5.8) Catatan
( )
) adalah suatu ruang metrik parsial. Untuk sebarang ( ) berlaku sifat berikut ini: ) ) * ( + ) ( ) 69
(iii) (iv)
( (
) )
mengakibatkan ( ) ( )
(
)
Bukti. ( ) maka untuk semua (i) Dari (5.8), jika didapat ( ) ( ) pada saat ̅ ( ) Oleh karena itu, ) ) * ( + * ( + ) ( ) untuk semua (ii) Misalkan Karena ( maka ( ) ( ) ( ) didapat ( ) ) * ( + Dari (i), disimpulkan bahwa ( ) ) ) (iii) Andaikan bahwa ( Akibatnya ( untuk semua ) ( ) Dari (i) dan (ii) mengakibatkan bahwa ( ) untuk semua Yaitu, ( untuk semua dan oleh ) ( ) untuk semua karena itu ( Menggunakan (5.8), ̅ kita mempunyai pada saat sehingga (iv) Misalkan dan Karena ( ) ( ) ( ) ( ) Sehingga kita mempunyai ( ) ( ) ( ) ( ) dan ( ) ( ) ( ) ( ) Karena adalah sebarang anggota dari maka didapat ( ) ( ) ( ) ( ) Karena
adalah sebarang anggota dari (
)
(
)
Proposisi 5.6 Misalkan ( (h1)
(
(
sehingga )
(
)
) adalah suatu ruang metrik parsial. Untuk sebarang ( ) berlaku sifat berikut ini: ) ( )
70
(h2) (h3)
( (
) )
( (
) )
(
)
(
)
Bukti. ( ) ( ) ( ) Dari Proposisi 5.5 bagian (ii), didapat ( ) Berdasarkan definisi, (h2) telah terbukti. Berikut ini akan dibuktikan (h3) sebagai berikut. Menggunakan Proposisi 5.5 bagian (iv), didapat ( ) ) ( )} { ( {
(
)
( (
{
(
)
) )
(
( Akibat 5.7 Misalkan ( berlaku: (
)
Bukti. Misalkan ( ) dan
( )
)
( (
)
( )
( {
( (
)
)}
)
(
)
)}
)} ( )
)
(
(
{ (
)
(
)}
)
) adalah suatu ruang metrik parsial. Untuk
( )
mengakibatkan bahwa
(
)
( Berdasarkan definisi dari Menggunakan Proposisi 5.5 bagian (iii), kita dapat Oleh karena itu,
)
Remark 5.8 Kebalikan dariAkibat 5.7 tidak berlaku secara umum, hal ini dapat dijelaskan dengan contoh di bawah ini.
71
Contoh 5.3 Misalkan terdapat didefinisikan oleh (
, - dan diberikan metrik parsial ) * +
Dari Proposisi 5.6 bagian (i), didapat ( ) ( )
*
+
( ) Dari Proposisi 5.6 dan Akibat 5.7, kita menyebut pemetaan ( ) , ) sebagai metrik parsial Hausdorff yang diinduksi oleh
Remark 5.9 Dapat ditunjukkan bahwa sebarang metrik Hausdorff adalah sebuah metrik parsial Hausdorff. Kebalikannya tidak berlaku Lemma 5.10 Misalkan dan adalah himpunan bagian tak kosong, tertutup dan ) dan terbatas dari ruang metrik partial ( Maka untuk setiap ) ( ) terdapat sedemikian sehingga ( Bukti. Andaikan (
)
(
)
(
)
) * ( ) ( ( )
+
) ( ) Misalkan maka ( Oleh karena itu ketidaksamaan ( ) terpenuhi (secara trivial). ) Andaikan Misalkan sedemikian sehingga ( ( ) ) * ( + untuk semua Maka, ( ) ( ) ( ) Yaitu, Catatan bahwa ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Tetapi, dengan dan ketidaksamaan di atas ) menimbulkan kontradiksi. Hal ini menunjukkan bahwa ( ( ) 72
Lemma 5.11 ) adalah suatu ruang metrik parsial, ( ) dan Misalkan ( ( ) Untuk sebarang terdapat sedemikian sehingga ( ) ( ) (5.9) Bukti. Jika
maka dari Proposisi 5.6 bagian (i), didapat ( ) ( ) ( ) (
Misalkan
Karena ( )
maka didapat ( ) ( )
Akibatnya memenuhi (5.9). ) sedemikian sehingga ( ) * ( mengakibatkan ( ) Catatan bahwa ( ) ( )
(
) )
Jika andaikan terdapat ( ) untuk semua Hal ini ( ) ( ) + Yaitu, (
)
(
)
(
( ) Karena dari Akibat 5.7 kita mempunyai ketidaksamaan di atas memberikan sebuah kontradiksi.
) dan
5.2 Pemetaan Kontraktif Multivalued pada Ruang Metrik Parsial Berikut ini diberikan teorema kontraktif multivalued pada ruang metrik parsial. Teorema 5.12 ) adalah suatu ruang metrik parsial lengkap. Jika Misalkan ( ( ) adalah sebuah pemetaan multivalued sedemikian sehingga untuk semua kita mempunyai ( ) ( ) (5.10) dimana
(
) Maka
mempunyai sebuah titik tetap.
73
Bukti. Misalkan
dan
Dari Lemma 5.11dengan
sedemikian sehingga ( (
Sebagaimana, (
)
)
(
√
sehingga (
)
) (
)
) Untuk
)
sedemikian
terdapat
(
√
(
√
)
(
√
terdapat
√
sehingga sedemikian
).
Dengan melanjutkan proses ini, kita mendapatkan sebuah barisan * + di sedemikian sehingga ) √ ( ) untuk semua dan ( (5.11) Sekarang dari (5.11) dan menggunakan induksi matematika, didapat (
)
(
(√ )
) untuk semua
(5.12)
Dengan menggunakan (5.12) dan sifat (p4) dari metrik parsial, untuk sebarang didapat (
)
(
)
(
(
(√ )
)
)
(
(√ )
(√ ) .(√ ) (√ ) √
(√ ) (
Berdasarkan definisi dari ( ) (
)
)
(
)
(
)
(√ ) pada saat
untuk sebarang ) pada saat
/ ( (karena
) )
(5.13)
) Karena ( ) Ini mengakibatkan * + adalah barisan Cauchy di ( ) adalah suatu ruang metrik lengkap. lengkap, maka dari Lemma 4.6, ( Oleh karena itu, barisan * + konvergen ke beberapa terhadap
74
metrik sehingga diperoleh ( ) ( ) Karena ( ( ) Sekarang
( ) (
)
Selanjutnya, dari Lemma 2.10
( ) ) oleh karena itu
(5.14) (5.15)
memberikan ) (
( Dari (5.15), didapat ( ) Dengan kata lain, kita mendapat ( ) (
)
(
) (5.16)
)
(
)
Dengan mengambil limit untuk dan menggunakan (5.14) dan ) ) (5.16), diperoleh ( . Oleh karena itu, dari (5.16) ( ( ), kita dapat ( ) ( ) ̅̅̅̅̅ Yang mana mengakibatkan bahwa Contoh 5.4 * + dihubungkan oleh metrik parsial Misalkan yang didefinisikan oleh (
)
*
Catatan bahwa
(
)
+ untuk semua dan
(
)
) merupakan suatu metrik pada Pada saat ( adalah ruang metrik parsial lengkap. Catatan bahwa * + dan * + adalah himpunan terbatas di ( * + maka jika ̅̅̅̅ ( * +) ( ) * +
* + 75
juga
bukan
maka (
)
) Faktanya,
Oleh karena itu, * + adalah tertutup terhadap metrik parsial . Dan juga, ̅̅̅̅̅̅ ( * +) ( ) * + *
{ *
+}
+
Oleh karena itu, * + tertutup terhadap metrik parsial Sekarang didefinisikan pemetaan ( ) oleh ( ) ( ) * + dan ( ) * + Akan kita tunjukkan bahwa untuk semua kondisi kontraktif (5.10) terpenuhi dengan Perhatikan kasus berikut ini: * + Didapat (* + * +) ( ( ) ( )) dan (5.10) terpenuhi secara nyata. * + Didapat ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) (* + * +) { ( * +) (
Didapat ( ( ) ( ))
(*
+*
{ ( * (
)
+) ) * +} ) ( )+ (
Sehingga didapat
)
adalah titik tetap dari
76
* (
) ( (
)
)+}
5.3 Pemetaan Kontraktif Lemah Multivalued pada Ruang Metrik Parsial Berikut ini diberikan teorema pemetaan multivalueddengan sifat pemetaan kontraktif lemah – untuk satu pemetaan di ruang metrik parsial. ) adalah suatu ruang metrik parsial lengkap Teorema 5.13Misalkan ( dan andaikan ( ) adalah suatu pemetaan sedemikian sehingga ) ( ) ( ) , ( ) ( ) . ( )-}/ (5.17) { ( Untuk semua dimana , ) tak menurun sedemikian sehingga ( ) mempunyai titik tetap tunggal.
,
) adalah kontinu, fungsi untuk setiap Maka
Bukti. ( ) Dari kondisi pada , jelaslah bahwa untuk Misalkan adalah sebarang titik. Didefinisikan sebuah barisan * + di oleh untuk Andaikan untuk maka jelas bahwa adalah suatu titik tetap dari Sekarang asumsikan untuk semua ( ) Langkah 1. Maka dari (5.17) didapat: ( ) ( ) (
{ (
) ( (
(
{ (
) (
, (
)
)})
) (
) (
( ( * ( ( (
)
)
,
)}) ) (
)+)
))
(5.18)
77
) ( ) maka ( ) Karena jika seandainya ( )) mengakibatkan ( ) ( ( Oleh karena ( ) ( ), hal ini adalah kontradikasi. Sehingga ) ( )+ ( ) * ( Untuk semua Maka dari (5.18) didapat ( ) )) ( ( (5.19) Jika persamaan (5.19) diteruskan, maka di dapat ( ) )) ( ( (5.20) Dengan kata lain, karena ) ( )+ ( ) * ( maka dari (5.20) didapat ) ( )+ )) * ( ( ( (5.21) Oleh karena, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )) ( ( ( ) Ini menunjukkan bahwa Langkah 2 * + adalah barisan Cauchy Diketahui bahwa, ( ) ( ( (
)
( ))
) ( (
))
Ini menunjukkan bahwa * + adalah barisan Cauchy pada ruang ) Karena ( ) adalah lengkap maka Lemma 4.6,( ) metrik ( * + adalah lengkap dan juga barisan adalah konvergen pada ruang metrik ( ) dikatakan ( ) Juga dari Lemma 4.6, didapat ( ) ( ) ( ) (5.22)
78
) Lebih jauh karena * + adalah barisan Cauchy pada ruang metrik ( ( ) kita mempunyai dan dari (5.22) kita mempunyai ( ) sehingga dari definisi kita mempunyai ( ) Oleh karena itu dari (5.22) kita mempunyai ( ) ( ) ( ) Langkah 3. Pemetaan mempunyai titik tetap. Sekarang kita akan menunjukkan bahwa ( tidak benar, maka dari (5.17) kita dapat ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) { (
( (
)})
(
) { (
( (
)
(
Asumsikan ini )
) (
) (
)
, (
)
) (
) (
)
, (
)
)
, (
)
(
)
(
)})
) { (
( (
)
)
) ( (
menggunakan kontinuitas dari ( ) )) ( (
) (
)}) dan misalkan
didapat
) hal ini merupakan kontradiksi. Oleh karena itu ( Karena ( ) maka didapat Sehingga merupakan titik tetap dari ) pemetaan multivalued di Ruang metrik (
79
Untuk dua pemetan multivalued di ruang metrik parsial lengkap diberikan oleh teorema berikut ini. Teorema 5.14 ) adalah suatu ruang metrik parsial lengkap dan misal Misalkan ( terdapat pemetaan multivalued ( ) yang memenuhi syarat berikut: (
)
{ (
.
) (
) (
) , (
Untuk semua dimana , ) tak menurun sedemikian sehingga ( ) mempunyai titik tetap yang sama. Bukti. Misalkan
)
(
)-}/ (5.23)
, ) adalah kontinu, fungsi untuk setiap Maka
Didefinisikan barisan * , secara induksi dibentuk:
+ sehingga
dan (5.24)
Jika terdapat suatu bilangan bulat positif sedemikian sehingga maka adalah titik tetap dari dan mengakibatkan titik tetap juga dari Tentu saja, karena maka (5.25) Juga, dari (5.23) didapat (
)
(
) (
{
(
) ( , (
)
( ( ( (
( (
{
) ( (
) ( , (
) ))
))
80
( (
) )-
) ( (
})
) )-
})
))
(5.26)
( ) ( ) didapat Karena ) ) maka ( yang mengakibatkan Perhatikan bahwa adalah titik tetap dari Sebagai hasilnya, adalah titik tetap bersama dari dan Kesimpulan yang sama terjamin jika untuk beberapa bilangan bulat positif Oleh karena itu, kita dapat mengasumsikan untuk semua Dari (
Jika (
(5.26)
ganjil, berdasarkan (5.26) diperoleh ) ( ) (
{
(
) (
) (
, (
)
)
(
)-
})
(5.27)
dari sifat metrik parsial bagian (iv), didapat (
)
(
)
(
)
Sehingga (5.27) menjadi ( ) ( * (
(
) (
)
(5.28)
)+)
(5.29)
) ( )+ ( ) maka karena * ( Jika ( ) ketidaksamaan (5.27) mengakibatkan kontradiksi. ) ( )+ ( ) dan oleh * ( Oleh karena itu, (5.27) kita mempunyai ( ) )) ( ( (5.30) Jika genap, ketidaksamaan (5.30) dapat diperoleh secara analog. )+ tak negatif, barisan bilangan riil tak Kita mendapat bahwa * ( menaik. Dengan memperhatikan (5.30), dapat diteliti bahwa ( ) ( ) (5.31) Perhatikan bahwa ( )
(
) (
( )
) (
81
( )
) (
)
( Sehingga,
)
(5.32)
dengan (
(
)
memperhatikan ) Lebih jauh, ( ) ( )
(5.32), ( (
kita
mempunyai
) )
(5.33)
Dengan perhitungan sederhana, didapat bahwa * + adalah barisan Cauchy ) yaitu ( ) ) di ( pada saat Karena ( ) adalah lengkap dan barisan * + adalah lengkap, oleh Lemma 4.6, ( ) terhadap, sebut konvergen di ( Juga, oleh Lemma 4.6, ( ) (
)
(
)
(5.34)
) adalah barisan Cauchy di ( didapat ) Dapat dinyatakan bahwa ( ) Tanpa mengurangi sifat keumuman, asumsikan bahwa Sekarang diperhatikan bahwa ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (5.35) Secara analog, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (5.36) Karena
*
+
(
Dengan mengambil (5.35), pertidaksamaan (5.36) menjadi ( ) ( ) ( ) ( Secara induktif, didapat ( ) ( ) ( ) ( Berdasarkan (5.23), pertidaksamaan (5.38) menjadi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 82
)
(5.37) )
(
(5.38)
) (5.39)
dengan perhitungan sederhana, didapat bahwa ( ) Oleh karena itu, dari Lemma 4.6, didapat ( ) ( ) (
(5.40)
)
(5.41)
Selanjutnya akan diperiksa kesamaan titik untuk pemetaan dan pemetaan Dapat dinyatakan bahwa . Secara kontradiksi, kita asumsikan ) Maka ( Misalkan { ( ) } adalah sub barisan dari * + yang merupakan sub barisan dari * + Berdasarkan (5.23), kita peroleh (
()
)
(
Misalkan (
( )
Sehingga, ( )
{
(
()
()
[ (
) ( ( ))
) ( (
()
)]
()
)
})
(5.42)
, pertidaksamaan (5.36) mengakibatkan )
( (
(
{
)
(
)}
(5.43)
))
(5.44)
Berdasarkan sifat kita dapat ( analog, jika kita memilih barisan { Sehingga
) ( )
sehingga } dari *
RANGKUMAN a. Untuk suatu pemetaan multivalued pemetaan sedemikian sehingga ( ) ( (
{ (
) (
)-}) 83
Secara + kita dapat
( ) adalah suatu
) (
)
, (
)
b.
Untuk semua dimana , ) , ) adalah kontinu, fungsi tak menurun sedemikian sehingga ( ) untuk setiap Untukpemetaan multivalued ( ) yang memenuhi syarat berikut: ( ) { (
( (
) (
) (
SOAL LATIHAN Diberikan suatu ruang metrik parsial dengan adalah metrik parsial yang didefinisikan oleh )
,
(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)
Diberikan pemetaan * + * { * + dan ( )
,
) {
,
, (
)
)-})
Untuk semua dimana , ) , fungsi tak menurun sedemikian sehingga ( )
(
)
(
*
) adalah kontinu, untuk setiap
+ dan
)
( ) oleh +
) sebagai ,
)
Ujilah, apakah pemetaan T memiliki titik tetap? Jika ya, berikan nilai titik tetapnya!
84
Ahmad, J., Azam, A. and Arshad, M. 2013. Fixed Points of Multivalued Mappings in Partial Metric Spaces. Fixed Point Theory and Applications. 2013:316. Altun, I., Sola, F. and Simsek, H. 2010. Generalized Contraction on Partial Metric Space, Topology and its Applications.157(18), 27782785. Aydi, H., Abbas, M. and Vetro, C. 2012. Partial Hausdorff Metric and Nadler’s Fixed Point Theorem on Partial Metric Spaces, Topology and its Applications, Vol. 159, No. 14, pp. 3234-3242. Aydi, H., Karapinar, E. and Rezapour, S. 2012. A Generalized MeirKeeler-Type Contraction on Partial Metric Space, Hindawi Publishing Corporation, Volume 2012, 10 pages. Bukatin, M. and Matthews, S. 2009. Partial Metric Space. Publ. Int. Math, pp 708-718. Chen CM. 2011. Some New Fixed Point Theorems for Set-Valued Contraction in Complete Metric Space, Department of Applied Mathematics. National Hsinchu University of Education, Taiwan, 2011:72 Gangopadhyay, M., Saha, M. and Baisnab, A.P. 2013. Some Fixed Point Theorems in Partial Metric Spaces, TWMS Journal. App. Eng. Math, 3(2)206-213. Kir, M. dan Kiziltunc, H. 2016. Generalized Fixed Point Theorems in Partial Metric Spaces, European Journal of Pure and Applied Mathematics. 9(4), 443-451.
85
Masiha, H.P., Sabetghadam, F. dan Shahzad, N. 2013. Fixed Point Theorems in Partial Metric Spaces with an Application, Faculty of Science and Mathematics, University of Nis, Serbia. Shirali, S. and Vasudeva, H. L. 2006. Metric Space. Springer. Suzuki,T. 2008. A Generalized Banach Contraction Principle That Characteries Metric Completeness. Proceedings of The American Mathematical Society. V.136, N.5, pp. 1861-1869. Widder, A. 2009. Fixed Point Theorems For Set-Valued Maps. Institute for Analysis and Scientific of Technology
86
