RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(Kelas Eksperimen)
Sekolah
: SMA BUPI Majalaya
Mata ata Pel Pelaj ajar aran an : Matematika Kelas/ as/Pro Program gram : XI eksperimen /IPA 1 Semester
: 1 (satu)
Tahun Pelajaran Pelajaran:: 2010 - 2011 Alokasi Waktu
: 18 jam pelajaran
(6 x pertemuan/ 3 minggu efektif).
Standar Kompetensi : Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan
sifat-sifat peluang dalam pemecahan pemecahan masalah Kompetensi Dasar
: Menentukan peluang suatu kejadian dan penafsirannya
Indikator
:
1. Menggunak Menggunakan an aturan aturan perkalian perkalian untuk untuk menyele menyelesaikan saikan soal cerita. cerita. 2. Menerapkan Menerapkan permutasi permutasi pada pada pengerj pengerjaan aan soal-so soal-soal al cerita. cerita. 3. Menger Mengerjak jakan an soal cerita cerita dengan dengan baik dan benar benar melalui melalui aturan aturan tempat tempat,, pada pada kaidah kaidah penjumlahan, perkalian, faktorial, permutasi, kombinasi dan Binom newton. 4. Menentukan Menentukan ruang sampel sampel suatu suatu percobaan percobaan pada soal cerita. 5. Menentukan Menentukan peluang peluang suatu suatu kejadian kejadian dari dari berbagai berbagai situasi dan dan penafsiranny penafsirannya. a. 6. Menggu Menggunak nakan an frekuensi frekuensi harapan harapan atau frekuen frekuensi si relatif relatif dalam dalam pemeca pemecahan han soal dan penafsirannya. 7. Merumuskan Merumuskan aturan aturan penjumla penjumlahan han dan perkalian perkalian dalam dalam peluang peluang kejadian kejadian majemuk majemuk dan penggunaanya. 8. Menentukan Menentukan peluan peluang g komplemen komplemen suatu suatu kejadian kejadian dan penafsiranny penafsirannya. a. 9. Menentukan Menentukan peluan peluang g dua kejadian kejadian yang yang saling saling lepas lepas penafsiran penafsirannya. nya. 10. Menentukan peluang dua kejadian yang saling bebas dan penafsirannya. 11. Menentukan peluang kejadian bersyarat. 12. Mengerjakan Mengerjakan soal dengan baik dan benar berkaitan berkaitan dengan materi percobaan, percobaan, ruang sampel dan kejadian, peluang kejadian, frekuensi harapan, kejadian majemuk. A. Tujuan Pembelajaran
a. b. c.
Peserta Peserta didik didik dapat dapat mengg mengguna unakan kan atura aturan n perkali perkalian an untuk untuk menyel menyelesai esaikan kan soal soal cerita. cerita. Peserta Peserta didi didik k dapat dapat menerap menerapkan kan perm permuta utasi si pada pada pengerja pengerjaan an soal-s soal-soal oal cerit cerita. a. Pese Pesert rtaa didi didik k dapat dapat mngerj mngerjak akan an soal soal cerita cerita denga dengan n baik dan dan benar benar melal melalui ui aturan aturan tempat, pada kaidah penjumlahan, perkalian, faktorial, permutasi, kombinasi dan binom newton.
d. e. f. g. h. i. j. j. k. l.
B.
Peserta Peserta didi didik k dapat dapat menent menentuka ukan n ruang ruang sampel sampel suatu suatu perco percobaa baan n pada pada soal ceri cerita. ta. Peserta Peserta didik menentukan menentukan peluang peluang suatu kejadian kejadian dari berbagai berbagai situasi situasi dan penafsirannya. Pese Pesert rtaa didi didik k dapat dapat Meng Menggu guna naka kan n frek frekue uens nsii hara harapa pan n atau frekue frekuens nsii relat relatif if dalam dalam pemecahan soal dan penafsirannya. Peserta Peserta didik didik dapat dapat merumu merumuskan skan aturan penjumlahan penjumlahan dan perkalian perkalian dalam dalam peluang kejadian majemuk dan penggunaanya. Pesert erta didik dapa apat Menent entukan pelu eluang kompleme emen suatu kejadian dan penafsirannya. Peserta Peserta didik didik dapat menentukan menentukan peluang peluang dua dua kejadia kejadian n yang yang saling saling lepas penafsirannya. Peser eserta ta didik idik dap dapat mene menen ntuk tukan pelua eluang ng dua keja kejad dian ian yang ang sali saling ng beb bebas dan dan penafsirannya. Peserta Peserta didik didik dapat Menentukan Menentukan peluang peluang kejadian kejadian bersyarat. bersyarat. Peserta Peserta didik didik dapat Mengerjakan Mengerjakan soal dengan dengan baik dan benar berkaitan berkaitan dengan materi percobaan, ruang sampel dan kejadian, peluang kejadian, frekuensi harapan, kejadian majemuk.
Materi Ajar
Peluang : -
Menggu Menggunak nakan an aturan aturan perka perkalia lian n permuta permutasi si dan komb kombina inasi si pada pada soal soal cerita cerita yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari. Menggu Menggunak nakan an dan mene menentu ntukan kan ruang ruang samp sampel el suatu suatu percob percobaan aan pada pada soal soal – soal soal cerita. Mene Menent ntuk ukan an peluan peluang g suat suatu u keja kejadi dian an dan dan pena penafs fsira iran n yang yang terdap terdapat at dala dalam m soal soal cerita.
-
C.
Metode Pembelajaran
D.
Pendekatan : RME (Realistic Mathematic Education) Strategi : Kooperatif Tipe Jigsaw
Lang Langka kahh-la lang ngka kah h Ke Kegi giat atan an
Pertemuan Pertama dan Kedua Pendahuluan Fase Pengenalan:
a. Apers ersepsi : Mengingatkan ke kembali men mengena enai atu aturan per perk kali alian permutasi dan kombinasi. b. Motivasi : Memberikan st stimulus te terha rhadap si siswa me mengenai materi yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari yang akan diajarkan dengan tujuan proses pembelajaran lebih menarik untuk dipahami. Kegiatan Inti
Fase Eksplorasi
a. Peneliti Peneliti mengelomp mengelompokan okan siswa siswa menjadi menjadi kelompokkelompok- kelompok kelompok kecil kecil dengan dengan anggota anggota 5 6 sisw siswaa seca secara ra hete hetero roge gen n yang yang beke bekerj rjaa sali saling ng kete keterg rgan antu tung ngan an posi positi tiff dan dan bertanggungjawab secara mandiri. Peneliti membagikan materi ajar berbentuk LKS, dimana setiap anggota kelompok diberi materi yang berbeda. b. Peserta Peserta didik yang mempelajari mempelajari materi yang sama membentuk membentuk kelompok kelompok ahli untuk membahas konsep dalam LKS dan materi ajar mengenai penggunaan aturan perkalian permutasi dan kombinasi yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari. c. Peserta Peserta didik yang yang membentuk membentuk kelompo kelompok k ahli kembali kembali kekelompok kekelompok asalnya asalnya kemudian kemudian bertanggungjawab untuk menularkan pemahaman kepada anggota kelompok asalnya, sehingga sehingga kelompok tersebut memiliki memiliki pemahaman pemahaman yang sama mengenai mengenai penggunaan penggunaan aturan perkalian permutasi dan kombinasi yang digunakan pada soal-soal cerita yang berhubungan dengan lingkungan sekitar. d. Kontribus Kontribusii siswa serta serta interaktif interaktif dalam PBM memperm mempermudah udah untuk untuk memahami memahami konsep konsep aturan perkalian permutasi permutasi dan kombinasi kombinasi yang diimplement diimplementasikan asikan pada soal-soal soal-soal cerita. e. Peneli Peneliti ti member memberikan ikan kuis/te kuis/tess untuk untuk mengetah mengetahui ui pemaha pemahaman man siswa mengena mengenaii konsep konsep aturan perkalian permutasi dan kombinasi. Penutup Fase Ringkasan
a.
Pese Pesert rtaa didi didik k dan dan pene peneli liti ti mela melaku kuka kan n refl reflek eksi si deng dengan an meny menyim impu pulk lkan an mate materi ri,, mengenai penggunaan aturan perkalian permutasi dan kombinasi yang digunakan pada soal-soal cerita yang berhubungan dengan kegiatan sehari-hari.
Pertemuan Ketiga dan keempat Pendahuluan Fase Pengenalan
Aper Aperse seps psii
: Men Mengula gulang ng kemb kembal alii mater aterii yang ang tela telah h diaja iajark rkan an seba sebaga gaii jem jembata batan n untuk untuk menuju menuju kemate kemateri ri yang yang akan akan diajar diajarkan kan mengen mengenai ai menent menentuka ukan n ruang sampel suatu percobaan.
Moti Motiv vasi asi
: Memb Member erik ikan an stim stimu ulus lus ter terha had dap sisw siswaa men menge gen nai mat mater erii
yang akan diajarkan yang berhubungan erat dengan kehidupan sehari-hari dengan tujuan proses pembelajaran lebih menarik untuk dipahami. Kegiatan Inti Fase eksplorasi
a. Pene Peneli liti ti meng mengel elom ompo poka kan n sisw siswaa dala dalam m kelo kelomp mpok ok yang yang sama sama sepe seperti rti pert pertem emua uan n sebelumnya dan peneliti membagikan materi ajar yang berbeda tentang menentukan ruang sampel suatu percobaan.
b. Peserta didik yang memperoleh materi yang sama membentuk kelompok ahli untuk mendapatkan pemecahan suatu masalah. c. Peserta didik yang membentuk kelompok ahli kembali kekelompok asalnya untuk menerangkan, serta mengerjakan beberapa soal mengenai materi menentukan ruang sampel dan percobaan yang dikerjakan pada soal-soal cerita yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari baik secara individu maupun berkelompok. d. Peneliti memberikan kuis/tes untuk mengetahui pemahaman siswa mengenai ruang sampel dan percobaan. Setelah kuis selesai dikerjakan dilakukan penskoran baik individu atau kelompok untuk menentukan penghargaan. e. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas jawaban soal – soal pada LKS. Penutup Fase Ringkasan
a. Peserta didik dan guru melakukan refleksi dengan menyimpulkan materi mengenai materi menentukan ruang sampel suatu percobaan. Pertemuan kelima dan keenam Pendahuluan Fase Pengenalan
Apersepsi
: Mengulang kembali materi yang telah diajarkan sebagai jembatan untuk menuju kemateri yang akan diajarkan mengenai : menentukan peluang suatu kejadian dan penafsiran.
Motivasi
: Memberikan stimulus terhadap siswa mengenai materi
yang akan diajarkan yang berhubungan erat dengan kehidupan sehari-hari dengan tujuan proses pembelajaran lebih menarik untuk dipahami. Kegiatan Inti Fase eksplorasi
a. Peneliti mengelompokan siswa dalam kelompok yang sama seperti pertemuan sebelumnya dan peneliti membagikan materi ajar tentang menentukan peluang suatu kejadian dan penafsiran. b. Peserta didik yang memperoleh materi yang sama membentuk kelompok ahli untuk membahas konsep dan contoh soal mengenai : materi menentukan peluang suatu kejadian dan penafsiran. c. Peserta didik yang membentuk kelompok ahli kembali kekelompok asalnya untuk menerangkan, serta mengerjakan beberapa soal mengenai : materi menentukan peluang suatu kejadian dan penafsiran. d. Peserta didik mengerjakan beberapa soal mengenai : materi menentukan peluang suatu kejadian dan penafsiran yang dikerjakan pada soal-soal cerita yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari baik secara individu maupun berkelompok. e. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas jawaban soal – soal pada LKS. Penutup
Fase Ringkasan
a. E.
Peserta didik dan guru melakukan refleksi dengan menyimpulkan materi mengenai materi menentukan peluang suatu kejadian dan penafsira Alat dan Sumber Belajar
a.
Sumber : Buku paket, yaitu buku Matematika SMA dan MA karangan Nugroho Soedyarto dan Maryanto, hal. 57-86. Sumber referensi lain. Pengetahuan guru dan pengalaman siswa.
b.
Alat : Laptop LCD OHP
F. Penilaian
Teknik
:
tugas individu, tugas kelompok.
Bentuk Instrumen
:
essay (uraian).
Catatan : -
LKS Terlampir RPP Terlampir Skenario pembelajaran terlampir Silabus terlampir Soal Uji dan kunci jawaban terlampir
Majalaya,
Mengetahui, Kepala Sekolah
Peneliti
Enan Suryana, S.Pd
Tati
NIP.
NIP.
Kelas XI program IPA,
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(Kelas Kontrol)
Sekolah
: SMA BUPI Majalaya
Mata Pelajaran : Matematika Kelas/Program : XI eksperimen /IPA 1 Semester
: 1 (satu)
Tahun Pelajaran: 2010 - 2011 Alokasi Waktu
: 18 jam pelajaran
(6 x pertemuan/ 3 minggu efektif).
Standar Kompetensi : Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan
sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar
: Menentukan peluang suatu kejadian dan penafsirannya
Indikator
:
1. Menggunakan aturan perkalian untuk menyelesaikan soal cerita. 2. Menerapkan permutasi pada pengerjaan soal-soal cerita. 3. Mengerjakan soal cerita dengan baik dan benar melalui aturan tempat, pada kaidah penjumlahan, perkalian, faktorial, permutasi, kombinasi dan Binom newton. 4. Menentukan ruang sampel suatu percobaan pada soal cerita. 5. Menentukan peluang suatu kejadian dari berbagai situasi dan penafsirannya. 6. Menggunakan frekuensi harapan atau frekuensi relatif dalam pemecahan soal dan penafsirannya. 7. Merumuskan aturan penjumlahan dan perkalian dalam peluang kejadian majemuk dan penggunaanya. 8. Menentukan peluang komplemen suatu kejadian dan penafsirannya. 9. Menentukan peluang dua kejadian yang saling lepas penafsirannya. 10. Menentukan peluang dua kejadian yang saling bebas dan penafsirannya. 11. Menentukan peluang kejadian bersyarat. 12. Mengerjakan soal dengan baik dan benar berkaitan dengan materi percobaan, ruang sampel dan kejadian, peluang kejadian, frekuensi harapan, kejadian majemuk. A. Tujuan Pembelajaran
a. b. c.
Peserta didik dapat menggunakan aturan perkalian untuk menyelesaikan soal cerita. Peserta didik dapat menerapkan permutasi pada pengerjaan soal-soal cerita. Peserta didik dapat mngerjakan soal cerita dengan baik dan benar melalui aturan tempat, pada kaidah penjumlahan, perkalian, faktorial, permutasi, kombinasi dan binom newton.
d. e. f. g. h. i. j. k. l.
B.
Peserta didik dapat menentukan ruang sampel suatu percobaan pada soal cerita. Peserta didik menentukan peluang suatu kejadian dari berbagai situasi dan penafsirannya. Peserta didik dapat Menggunakan frekuensi harapan atau frekuensi relatif dalam pemecahan soal dan penafsirannya. Peserta didik dapat merumuskan aturan penjumlahan dan perkalian dalam peluang kejadian majemuk dan penggunaanya. Peserta didik dapat Menentukan peluang komplemen suatu kejadian dan penafsirannya. Peserta didik dapat menentukan peluang dua kejadian yang saling lepas penafsirannya. Peserta didik dapat menentukan peluang dua kejadian yang saling bebas dan penafsirannya. Peserta didik dapat Menentukan peluang kejadian bersyarat. Peserta didik dapat Mengerjakan soal dengan baik dan benar berkaitan dengan materi percobaan, ruang sampel dan kejadian, peluang kejadian, frekuensi harapan, kejadian majemuk.
Materi Ajar
Peluang : -
Menggunakan aturan perkalian permutasi dan kombinasi pada soal cerita yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari. Menggunakan dan menentukan ruang sampel suatu percobaan pada soal – soal cerita. Menentukan peluang suatu kejadian dan penafsiran yang terdapat dalam soal cerita.
-
C.
Metode Pembelajaran
D.
Pendekatan : Konvensional (biasa) Strategi : Kooperatif Tipe Jigsaw
Langkah-langkah Kegiatan
Pertemuan Pertama dan Kedua Pendahuluan Fase Pengenalan:
a. Apersepsi : Peneliti mengkondisikan siswa untuk siap menerima mata pelajaran b. Motivasi : Peneliti memotivasi siswa mengenai materi yang akan diajarkan dengan tujuan siswa menyimak materi yang akan diajarkan. Kegiatan Inti Fase Eksplorasi
a. Peneliti mengelompokan siswa menjadi kelompok- kelompok kecil dengan anggota 5 6 siswa secara heterogen. Peneliti membagikan materi ajar berbentuk LKS, dimana setiap anggota kelompok diberi materi yang berbeda. b. Peserta didik yang mempelajari materi yang sama membentuk kelompok ahli untuk membahas konsep dalam LKS dan materi ajar mengenai penggunaan aturan perkalian permutasi dan kombinasi. c. Peserta didik yang membentuk kelompok ahli kembali kekelompok asalnya kemudian bertanggungjawab untuk menularkan pemahaman kepada anggota kelompok asalnya, sehingga kelompok tersebut memiliki pemahaman yang sama mengenai penggunaan aturan perkalian permutasi dan kombinasi. d. Peneliti memberikan kuis/tes untuk mengetahui pemahaman siswa mengenai konsep aturan perkalian permutasi dan kombinasi. Penutup Fase Ringkasan
a.
Peserta didik dan peneliti melakukan refleksi dengan menyimpulkan materi, mengenai penggunaan aturan perkalian permutasi dan kombinasi. Pertemuan Ketiga dan keempat Pendahuluan Fase Pengenalan
Apersepsi
: Mengulang kembali materi yang telah diajarkan sebagai jembatan untuk menuju kemateri yang akan diajarkan mengenai menentukan ruang sampel suatu percobaan.
Motivasi
: Peneliti memotivasi siswa, agar materi yang akan disampaikan dapat dipahami oleh siswa.
Kegiatan Inti Fase eksplorasi
a. Peneliti mengelompokan siswa dalam kelompok yang sama seperti pertemuan sebelumnya dan peneliti membagikan materi ajar yang berbeda tentang menentukan ruang sampel suatu percobaan. b. Peserta didik yang memperoleh materi yang sama membentuk kelompok ahli untuk mendapatkan pemecahan suatu masalah. c. Peserta didik yang membentuk kelompok ahli kembali kekelompok asalnya untuk menerangkan, serta mengerjakan beberapa soal mengenai materi menentukan ruang sampel dan percobaan. d. Peneliti memberikan kuis/tes untuk mengetahui pemahaman siswa mengenai ruang sampel dan percobaan. Setelah kuis selesai dikerjakan dilakukan penskoran baik individu atau kelompok untuk menentukan penghargaan. e. Peserta didik dan peneliti secara bersama-sama membahas jawaban soal – soal pada LKS. Penutup Fase Ringkasan
a. Peserta didik dan peneliti melakukan refleksi dengan menyimpulkan materi mengenai materi menentukan ruang sampel suatu percobaan. Pertemuan kelima dan keenam Pendahuluan Fase Pengenalan
Apersepsi
Motivasi dipahami.
: Mengulang kembali materi yang telah diajarkan sebagai jembatan untuk menuju kemateri yang akan diajarkan mengenai : menentukan peluang suatu kejadian dan penafsiran. : Peneliti memotivasi siswa agar materi yang akan disampaikan dapat
Kegiatan Inti Fase eksplorasi
a. Peneliti mengelompokan siswa dalam kelompok yang sama seperti pertemuan sebelumnya dan peneliti membagikan materi ajar tentang menentukan peluang suatu kejadian dan penafsiran. b. Peserta didik yang memperoleh materi yang sama membentuk kelompok ahli untuk membahas konsep dan contoh soal mengenai : materi menentukan peluang suatu kejadian dan penafsiran. c. Peserta didik yang membentuk kelompok ahli kembali kekelompok asalnya untuk menerangkan, serta mengerjakan beberapa soal mengenai : materi menentukan peluang suatu kejadian dan penafsiran. d. Peserta didik mengerjakan beberapa soal mengenai : materi menentukan peluang suatu kejadian dan penafsiran yang dikerjakan pada soal-soal cerita yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari baik secara individu maupun berkelompok. e. Peserta didik dan guru secara bersama-sama membahas jawaban soal – soal pada LKS. Penutup Fase Ringkasan
a. E.
Peserta didik dan guru melakukan refleksi dengan menyimpulkan materi mengenai materi menentukan peluang suatu kejadian dan penafsira Alat dan Sumber Belajar
a.
Sumber : Buku paket, yaitu buku Matematika SMA dan MA karangan Nugroho Soedyarto dan Maryanto, hal. 57-86. Sumber referensi lain. Pengetahuan guru dan pengalaman siswa. b. Alat : Papan tulis & Kapur tulis F. Penilaian Teknik
:
tugas individu, tugas kelompok.
Bentuk Instrumen
:
essay (uraian).
Kelas XI program IPA,
Catatan : -
LKS Terlampir RPP Terlampir Skenario pembelajaran terlampir Silabus terlampir Soal Uji dan kunci jawaban terlampir Majalaya,
Mengetahui, Kepala Sekolah
Peneliti
Enan Suryana, S.Pd
Tati
NIP.
NIP.
Soal
1.
Diva mempunyai 6 kaos, 4 celana pendek dan 4 topi berlainan warna. Ada
beberapa pasangan baju, celana panjang, dan topi dapat dipakai ? 2.
Seorang siswa disuruh menjawab 5 pertanyaan dari 8 pertanyaan dalam
suatu ujian. Berapa susunan yang mungkin dari pertanyaan-pertanyaan yang dipilih siswa tersebut ? 3.
Dalam suatu pertemuan ada 25 orang dan saling berjabat tangan. Banyak
jabat tangan yang terjadi ada berapa kali 4.
Sebuah kantong memuat 8 bola merah, 4 bola hijau, 3 bola diambil secara
acak. Berapa banyak cara pengambilan bola jika bola yang terambil adalah 2 merah dan 1 hijau ? 5.
Berapa banyak susunan huruf yang dapat disusun dari huruf-huruf berikut
MATEMATIKA ? 6.
Suatu pertemuan dihadiri 7 orang dengan posisi duduk mereka melingkar.
Berapa banyak susunan posisi duduk yang mungkin ? 7.
Dengan angka-angka 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 dibuat bilangan yang terdiri dari 3
angka yang berlainan, Berapa banyak bilangan genap berlainan yang dapat dibuat ? 8.
Dalam pelatihan tenis meja terdapat 8 pemain putri. Berapa pasangan
ganda yang dapat diperoleh ? 9.
Dalam s atu set k artu bridge, b erpakah p eluang t erambilnya k artu A S
berwarna hitam ? 10.
Dalam kantin sekolah terdapat 30 siswa, dimana 15 siswa sedang minum es
dan makan soto, 12 siswa sedang minum es dan makan bakso, sedangkan 3 siswa hanya duduk. Tentukanlah peluang yang minum es saja ? 11.
Pada pelemparan 2 buah dadu satu kali, peluang munculnya mata dadu
berjumlah 7 orang atau berjumlah 4 adalah … 12.
Peluang siswa lulus ujian adalah 3/4 . Jika di suatu sekolah terdapat 100
siswa yang ikut ujian, berapa frekuensi harapan siswa-siswa di sekolah itu lulus ujian ?
Kunci jawaban 1.
6 x 4 x 4 = 96 pasangan
2.
8
P5 = 8! = 8.7.6.5.4.3 ! = 6720 pertanyaan yang dipilih siswa (8 – 5) 3!
3.
4.
C2 = 25! = 25! (25-2) !.2 ! 23!.2!
= 25.24.23! = 25.24 = 300 kali jabat tangan 23!.2! 2.1
25
Diketahui : 8 bola merah dan 4 bola hijau, 3 bola diambil secara acak Ditanyakan : Berapa banyak cara pengambilan bola 2 merah dan 1 hijau 8C2 x 4C1 ? Jawab
:
C2 x 4C1 =
8
8! x 4! (8-2)!.2! (4-1)!.1!
= 8.7.6! 6!.2! = 8.7 2.1
5.
x 4.3! 3!.1!
x 4 = 28 x 4 = 112 cara 1
Diketahui : Kata MATEMATIKA Ada 2 huruf M yang sama, maka p = 2 Ada 3 huruf A yang sama, maka q = 3 Ada 2 huruf T yang sama, maka r = 2 Ditanyakan : Susunan huruf yang sama p(n,p,q,r .....) =
n!
p!.q!. r ! Jawab
: p(10,2,3,2) = 10
!
= 10.9.8.7.6.5.4.3! = 151.200 cara
2!.3!.2! 6.
2.1.3!.2.1
Termasuk permutasi siklus : P (siklus) = (u-1) ! (7-1) ! = 6 ! = 6.5.4.3.2.1 = 720 cara
7.
Tiga angka berarti dibuat terlebih dahulu tiga kotak, yaitu : ratusan, puluhan dan satuan. Ratusan Puluhan Satuan 2 4 angka 5 angka 4 3 angka genap 6 Jadi, banyaknya bilangan genap yang terdiri atas 3 angka adalah (4 x 5 x 3) = 60 bilangan.
9.
= 8.7.6 ! = 8.7 = 28 pasang 6!.2! 2
C2 = 8! (8-2) !.2 !
8.
8
As merah ada 2 Banyak kartu 52 P(As Hitam) =
(As hitam) = 2 =5 M(Kartu) M
=
10. m (A B) = 30-3 = 27 m (A^B) = m (A) + m(B) – m(A B) = 12 + 18 – 27 (M^B) = 30 – 27 = 3 Peluang minum es saja 3 orang
11. M(S) = 36
Jumlah 7 = (1,6),(6,1),(5,2),(2,5),(3,4),(4,3) Jumlah 4 = (1,3),(3,1),(2,2)
m(7) = 6 P ( A atau B) = m(4) = 3
P (7 atau 4) = 6 + 3 = 9 = 1 36 12.
36
P (lulus ujian) = 3/4
4
F har (lulus ujian) = 100 x 3/4 =75
Jadi, dari 100 orang siswa yang ikut ujian diperkirakan lulus 75 orang.
Satuan Pendidikan
: SMA
Mata Pelajaran
: Matematika
Materi Pokok
: Peluang
Kelas/Semester
: XI/ganjil
Standar Kompetensi : Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan
sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar
: Menentukan peluang suatu kejadian dan penafsirannya
BAHAN AJAR 1
(Kelas Eksperimen)
Pertemuan 1 A.
Aturan Perkalian Permutasi dan Kombinasi 1. Aturan Perkalian
Misalkan kota A dan B dihubungkan dengan 3 jalan, sedangkan antara kota B dan C dihubungkan dengan 2 jalan. Maka banyak rute perjalanan dari kota A ke kota B dan dilanjutkan perjalanan B ke C adalah 3 x 2 = 6 rute.
Prinsip inilah yang disebut prinsip perkalian. Prinsip dasar dalam aturan pengisian tempat
Jika suatu kejadian dapat terjadi dengan n1 cara, kejadian kedua dapat terjadi dengan n2 cara, kejadian ketiga dapat terjadi dengan n3 cara, dan seterusnya maka kejadian – kejadian dengan urutan yang demikian dapat terjadi dengan ( n1 x n2 x n3 x .........) cara.
Catatan : Aturan Perkalian ditandai dengan kata ‘ dan’
Contoh : 1.
Sebuah dadu bermata enam dan uang logam dilempar secara bersamaan. Berapa banyak hasil yang mungkin terjadi ? Penyelesaian : Dadu dapat terjadi dengan 6 cara, yaitu dapat muncul angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Sedangkan uang logam dapat terjadi dengan 2 cara, yaitu dapat muncul angka (A) dan gambar (G). Berdasarkan prinsip di atas, banyaknya cara hasil yang mungkin adalah (6x2) = 12 cara yang berlainan yaitu : {1G, 1A, 2G, 2A, 3G, 3A, 4G, 4A, 5G, 5A, 6G, 6A }. Lihat Tabel. Dadu A
B
1
1A
1B
2
2A
2B
3
3A
3B
4
4A
4B
5
5A
5B
6
6A
6B
Koin
2.
Permutasi
a. Definisi dan Notasi Faktorial
Perkalian bilangan asli dari n sampai dengan 1 atau sebaliknya disebut faktorial yang dinotasikan dengan n!. Dalam notasi matematika, nilai n faktorial dapat didefinisikan sebagai berikut : Untuk setiap bilangan asli n > 2, nilai n faktorial didefinisikan
n! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x ......x 3 x 2 x 1 0! = 1 dan 1! = 1 Contoh :
Hitunglah nilai dari 3! x 2! dan n! = 6n(n-3)! Penyelesaian : 3! x 2! = (3 x 2 x 1) x (2 x1) = 12 n! = 6n(n - 3)! n(n - 1)(n - 2)(n - 3)! = 6n(n - 3)! (n - 1)(n - 2) = 6 n2 - 3n + 2 = 6 n2 - 3n - 4 = 0 (n - 4)(n + 1) = 0 n = 4 atau n = 1 b. Definisi dan Notasi Permutasi dan Unsur-unsur yang Berbeda
Susunan k unsur dan n unsur yang berlainan dengan k < n disebut permutasi k unsur dan n unsur, yaitu urutan berlainan k unsur yang diambil dari n unsur. Banyak permutasi k
unsur dari unsur n unsur dilambangkan dengan notasi n P k atau P(n,k) atau P nk yang didefinisikan
P(n,k) =
n!
(n-k) ! Bukti : Jika P(n,k) adalah banyaknya cara pengisian n tempat yang berbeda, maka cara pengisiannya dapat dilihat pada diagram berikut :
Banyaknya cara
Tempat ke - 1
Tempat ke - 2
..........
Tempat ke - k
n
( n – 1)
........
(n – k + 1)
Ada n cara untuk mengisi tempat pertama, (n - 1) cara untuk mengisi tempat ke dua,(n 2) cara untuk mengisi tempat ketiga, dan seterusnya(n – k + 1) cara untuk mengisi tempat ke k. Ingat kembali penggunaan kaidah pencacahan k unsur dari n unsur adalah : P(n,k) = n(n - 1)(n - 2)(n - 3).........(n – k + 1) = n(n - 1)(n - 2)(n - 3).........(n – k + 1) x (n – k)(n – k – 1).....x 2 x 1 (n – k)(n – k – 1).....x 2 x 1 = n(n - 1)(n - 2)(n - 3).........3 x 2 x 1 = (n – k)(n – k – 1).....x 3 x 2 x 1 P(n,k) =
n! (n-k) !
n! (n-k) !
Jadi permutasi adalah susunan objek – objek yang berbeda dengan memperhatikan urutannya. Contoh : 1. 2.
Dengan menggunakan rumus permutasi tentukan nilai dari P(6,3) Pihak pengelola perusahaan memerlukan 3 staf untuk menduduki posisi ketua, sekretaris, dan bendahara. Jika tersedia 8 calon, berapa banyaknya susunan staf pengurus yang mungkin ?
Penyelesaian : 1.
P(6,3) =
6!
(6 – 3) ! 2.
= 6 ! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 3!
3x2x1
Susunsn seperti ketua, sekertaris dan bendahara, perlu diperhatikan urutannya. Oleh karena itu, masalah tersebut merupakan masalah permutasi 3 unsur (ketua, sekertaris, bendahara) dari 8 unsur yang tesedia(banyaknya calon). Banyak kemungkinan susunan staf pengurus : P(8,3) =
8!
= 8 ! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 336
(8 – 3) !
5!
5x4x3x2x1
Jadi banyaknya staf pengurus yang dapat dibentuk adalah 336 susunan.
BAHAN AJAR 2
(Kelas Eksperimen)
Pertemuan 2 2. Permutasi c. Permutasi dengan Beberapa Unsur yang Sama
Jika dari n unsur terdapat p unsur yang sama dari satu jenis, q unsur yang sama dari satu jenis, r unsur yang sama dari satu jenis, dan seterusnya, maka :
P(n,p,q,r......) =
n!
p !.q !.r !... Contok ; Ada berapa carakah dapat disusun kata-kata : K A T A K Penyelesaian : KATAK : Jumlah hurufnya ada 5, maka n = 5 Ada 2 huruf K yang sama, maka p = 2 Ada 2 huruf A yang sama, maka p = 2 Jadi, P(5,2,2) =
5!
2 !.2 !
= 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 30 2x1x2x1
d. Permutasi Siklis (Melingkar)
Misalkan tersedia n unsur yang berbeda. Permutasi siklis dari n unsur dilambangkan dengan notasi P siklis (n) dan banyaknya permutasi dapat ditentukan dengan rumus : Psiklis (n) = n! = (n – 1)! n
Contoh : Suatu pertemuan dihadiri 7 orang dengan posisi duduk mereka melingkar. Berapa banyak susunan posisi duduk yang mungkin ? Penyelesaian : Psiklis (n) = (n-1) !
Psiklis (7) = (7-1) ! = 6 ! = 6.5.4.3.2.1 = 720 cara 3.
Kombinasi
Kombinasi adalah suatu kumpulan unsur (objek-objek) tanpa memperhatikan urutannya. Dari suatu himpunan dengan n anggota dapat dibentuk himpunan bagian dari k unsur (untuk k
< n). Setiap himpunan bagian yang terbentuk merupakan kombinasi k unsur dari n unsur. Banyak kombinasi k unsur dari n unsur sering dinotasikan dengan lambang nC k , C(n,k) atau C nk .
Untuk menghitung banyak kombinasi k unsur dari n unsur yang tersedia dapat digunakan rumus : C(n,k) =
n!
k!(n-k)! Contoh : 1, Hitunglah nilai dari C(6,2) 2.Dalam kantong ada 6 kelereng merah dan 3 kelereng putih. Jika diambil 4 kelereng sekaligus secara acak, tentukanlah peluang terambil kelereng 2 merah 2 putih ? Penyelesaian : 1. C(6,2) =
2
2.
6! !(6 – 2) !
(S)= 9C4 =
M
(merah) = 6C2 =
M
= 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 15 2x1x4x3x2x1
=
=
=
= 126
= 15
(putih) = 3C2 =
M
=
=3
Peluang terambil 2 merah dan putih adalah
BAHAN AJAR 3
=
(Kelas Eksperimen)
Pertemuan 3 & 4 B.
Peluang Suatu Kejadian 1. Pengertian Percobaan, Ruang Sampel, dan Kejadian Percobaan adalah suatu tindakan atau kegiatan yang dapat diulang dengan keadaan
yang sama untuk memperoleh hasil tertentu. Ruang sampel atau dinotasikan dengan S adalah himpunan dari semua hasil percobaan. Kejadian pada ruang sampel atau sering disebut dengan kejadian adalah himpunan bagian
dari ruang sampel. Titik sampel adalah anggota-anggota dalam ruang sampel.
Contoh : 1. Pada suatu percobaan melempar sebuah dadu, A adalah kejadian muncul bilangan ganjil dan B adalah kejadian muncul bilangan kelipatan 3. Nyatakan berikut ini dalam sebuah himpunan a. Ruang Sampel b. Kejadian A c. Kejadian B 2.
Pada pelemparan 2 buah dadu satu kali, peluang munculnya mata dadu berjumlah 8 orang atau berjumlah 5 adalah …
Penyelesaian : 1. Sebuah dadu mempunyai enam sisi permukaan yang masing-masing bernomor 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Jadi permukaan yang muncul nanti adalah satu dari sisi yang bernomor 1 sampai dengan 6 tersebut. Pada percobaan ini : a. Ruang Sampel S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } b. Kejadian A = {1, 3, 5} c. Kejadian B = {3, 6}
2.
M(S) =
36
Jumlah 8 = (2,6),(6,2),(5,3),(3,5),(4,4) Jumlah 5 = (1,4),(4,1),(2,3),(3,2)
m(8) = 5 P ( A atau B) = m(5) = 4
P (8 atau 4) =
=
=
BAHAN AJAR 5
(Kelas Eksperimen)
Pertemuan 5 2.
Pengertian Peluang Suatu Kejadian
Jika kejadian A dapat terjadi dengan k cara dari n cara, maka nilai kemungkinan (probabilitas) terjadinya kejadian A yang dinotasikan P(A) adalah : P(A) = k n Jika dikaitkan dengan ruang sampel, maka peluang kejadian A dapat dinyatakan sebagai P(A) = n(A) , dengan : n(S) P(A) adalah peluang kejadian A n(A) adalah banyak anggota dalam kejadian A n(S) adalah banyak anggota ruang sampel Contoh : Dua buah mata uang dilempar bersamaan. Dalam sekali lemparan, tentukan : a. Peluang kejadian muncul satu angka b. Peluang kejadian munculnya kedua gambar Penyelesaian :
Pada percobaan ini ruang sampelnya S = {AA,AG, GA, GG }, jadi n(S) = 4 a. Peluang kejadian muncul satu angka : A = { AG, GA}, n(A) = 2 P(A) = n(A) = 2 = 1 n(S)
4
2
b. Peluang kejadian muncul kedua gambar : A = {GG}, n(B) = 1 P(A) = n(B) = 1 n(S)
4
BAHAN AJAR 6
(Kelas Eksperimen)
Pertemuan 6 3.
Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Frekuensi harapan suatu kejadian dari sebuah percobaan yang dilakukan sebanyak n kali didefinisikan sebagai berikut : Misalkan A adalah suatu kejadian pada ruang sampel S dengan peluang P(A). Frekuensi harapan munculnya kejadian A yang dinotasikan F har (A) dalam n kali percobaan dirumuskan dengan Fhar (A) = n x P(A). Contoh : Jika peluang kejadian hujan dalam kurun waktu 30 hari adalah 17/30 maka peluang kejadian tidak hujan dalam kurung waktu 30 hari adalah … Penyelesaian : Peluang hujan = maka peluang tidak hujan 1-
=
Satuan Pendidikan : SMA Mata Pelajaran
: Matematika
Materi Pokok
: Peluang
Kelas/Semester
: XI/ganjil
Standar Kompetensi : Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan
sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar
: Menentukan peluang suatu kejadian dan penafsirannya
BAHAN AJAR 1
(Kelas Kontrol)
Pertemuan 1 A. 1.
Aturan Perkalian Permutasi dan Kombinasi Aturan Perkalian
Misalkan kota A dan B dihubungkan dengan 3 jalan, sedangkan antara kota B dan C dihubungkan dengan 2 jalan. Maka banyak rute perjalanan dari kota A ke kota B dan dilanjutkan perjalanan B ke C adalah 3 x 2 = 6 rute.
Prinsip inilah yang disebut prinsip perkalian. Prinsip dasar dalam aturan pengisian tempat
Jika suatu kejadian dapat terjadi dengan n1 cara, kejadian kedua dapat terjadi dengan n2 cara, kejadian ketiga dapat terjadi dengan n3 cara, dan seterusnya maka kejadian – kejadian dengan urutan yang demikian dapat terjadi dengan ( n1 x n2 x n3 x .........) cara.
Catatan : Aturan Perkalian ditandai dengan kata ‘ dan’ Contoh : Dengan angka-angka 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 dibuat bilangan yang terdiri dari 3 angka yang berlainan, Berapa banyak bilangan genap berlainan yang dapat dibuat ? Penyelesaian : Tiga angka berarti dibuat terlebih dahulu tiga kotak, yaitu : ratusan, puluhan dan satuan. Ratusan
Puluhan
Satuan 2
4 angka
5 angka
4
3 angka genap
6 Jadi, banyaknya bilangan genap yang terdiri atas 3 angka adalah (4 x 5 x 3) = 60 bilangan
2. Permutasi a.
Definisi dan Notasi Faktorial
Perkalian bilangan asli dari n sampai dengan 1 atau sebaliknya disebut faktorial yang dinotasikan dengan n!. Dalam notasi matematika, nilai n faktorial dapat didefinisikan sebagai berikut : Untuk setiap bilangan asli n > 2, nilai n faktorial didefinisikan
n! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x ......x 3 x 2 x 1 0! = 1 dan 1! = 1 Contoh : Hitunglah nilai dari 5 ! dan 3 !
Penyelesaian : 5 ! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 3 ! = 3 x2 x 1= 6
b. Definisi dan Notasi Permutasi dan Unsur-unsur yang Berbeda
Susunan k unsur dan n unsur yang berlainan dengan k < n disebut permutasi k unsur dan n unsur, yaitu urutan berlainan k unsur yang diambil dari n unsur. Banyak permutasi k
unsur dari unsur n unsur dilambangkan dengan notasi n P k atau P(n,k) atau P nk yang didefinisikan
P(n,k) =
n!
(n-k) ! Jadi permutasi adalah susunan objek – objek yang berbeda dengan memperhatikan urutannya. Contoh : Dengan menggunakan rumus permutasi tentukan nilai dari : P(6,3) P(4,2)
Penyelesaian : P(6,3) =
6!
(6 – 3) ! P(4,2) =
4!
(4 – 2) !
= 6 ! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 3!
3x2x1
= 4 ! = 4 x 3 x 2 x 1 = 12 2!
2x1
BAHAN AJAR 2
(Kelas Kontrol)
Pertemuan 2 2. Permutasi c.
Permutasi dengan Beberapa Unsur yang Sama
Jika dari n unsur terdapat p unsur yang sama dari satu jenis, q unsur yang sama dari satu jenis, r unsur yang sama dari satu jenis, dan seterusnya, maka :
P(n,p,q,r......) =
n!
p !.q !.r !... Contok ; Ada berapa carakah dapat disusun kata-kata : K A T A K Penyelesaian : KATAK : Jumlah hurufnya ada 5, maka n = 5 Ada 2 huruf K yang sama, maka p = 2 Ada 2 huruf A yang sama, maka p = 2 Jadi, P(5,2,2) =
5!
2 !.2 !
= 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 30 2x1x2x1
d. Permutasi Siklis (Melingkar)
Misalkan tersedia n unsur yang berbeda. Permutasi siklis dari n unsur dilambangkan dengan notasi P siklis (n) dan banyaknya permutasi dapat ditentukan dengan rumus :
Psiklis (n) = n! = (n – 1)! n Contoh : Suatu pertemuan dihadiri 7 orang dengan posisi duduk mereka melingkar. Berapa banyak susunan posisi duduk yang mungkin ? Penyelesaian : Psiklis (n) = (n-1) !
Psiklis (7) = (7-1) ! = 6 ! = 6.5.4.3.2.1 = 720 cara 3. Kombinasi
Kombinasi adalah suatu kumpulan unsur (objek-objek) tanpa memperhatikan urutannya. Dari suatu himpunan dengan n anggota dapat dibentuk himpunan bagian dari k unsur (untuk k < n). Setiap himpunan bagian yang terbentuk merupakan kombinasi k unsur dari n unsur. Banyak kombinasi k unsur dari n unsur sering dinotasikan dengan lambang nC k , C(n,k) atau C nk .
Untuk menghitung banyak kombinasi k unsur dari n unsur yang tersedia dapat digunakan rumus : C(n,k) =
n!
k!(n-k)! Contoh : Hitunglah nilai dari C(6,2) C(5,3) Penyelesaian : C(6,2) =
6!
2!(6 – 2) ! C(5,3) =
5!
3!(5 – 3) !
= 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 15 2x1x4x3x2x1 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 10 3x2x1x2x1
BAHAN AJAR 3 (Kelas Kontrol) Pertemuan 3 & 4 A.
Peluang Suatu Kejadian 1. Pengertian Percobaan, Ruang Sampel, dan Kejadian Percobaan adalah suatu tindakan atau kegiatan yang dapat diulang dengan keadaan yang
sama untuk memperoleh hasil tertentu. Ruang sampel atau dinotasikan dengan S adalah himpunan dari semua hasil percobaan. Kejadian pada ruang sampel atau sering disebut dengan kejadian adalah himpunan bagian
dari ruang sampel. Titik sampel adalah anggota-anggota dalam ruang sampel.
Contoh : 1. Pada suatu percobaan melempar sebuah dadu, A adalah kejadian muncul bilangan ganjil dan B adalah kejadian muncul bilangan kelipatan 3. Nyatakan berikut ini dalam sebuah himpunan a. Ruang Sampel b. Kejadian A c. Kejadian B Penyelesaian :
Sebuah dadu mempunyai enam sisi permukaan yang masing-masing bernomor 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Jadi permukaan yang muncul nanti adalah satu dari sisi yang bernomor 1 sampai dengan 6 tersebut. Pada percobaan ini : a. Ruang Sampel S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } b. Kejadian A = {1, 3, 5} c. Kejadian B = {3, 6}
BAHAN AJAR 5
(Kelas Kontrol)
Pertemuan 5 4. Pengertian Peluang Suatu Kejadian
Jika kejadian A dapat terjadi dengan k cara dari n cara, maka nilai kemungkinan (probabilitas) terjadinya kejadian A yang dinotasikan P(A) adalah : P(A) = k n Jika dikaitkan dengan ruang sampel, maka peluang kejadian A dapat dinyatakan sebagai P(A) = n(A) , dengan : n(S) P(A) adalah peluang kejadian A n(A) adalah banyak anggota dalam kejadian A n(S) adalah banyak anggota ruang sampel Contoh : Dua buah mata uang dilempar bersamaan. Dalam sekali lemparan, tentukan : c. Peluang kejadian muncul satu angka d. Peluang kejadian munculnya kedua gambar
Penyelesaian : Pada percobaan ini ruang sampelnya S = {AA,AG, GA, GG }, jadi n(S) = 4 c. Peluang kejadian muncul satu angka : A = { AG, GA}, n(A) = 2 P(A) = n(A) = 2 = 1 n(S)
4
2
d. Peluang kejadian muncul kedua gambar : A = {GG}, n(B) = 1 P(A) = n(B) = 1 n(S)
4
