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Dirección de contenidos y servicios educativos Elisa Bonilla Rius Publisher Lauren Robbins Autores Apolo Castañeda Alonso Rosa Isela González Polo Coordinación editorial Ernesto Manuel Espinosa Asuar Edición Macbeth Baruch Rangel Orduña Revisión técnica José Cruz García Zagal Coordinación de corrección Abdel López Cruz Corrección Mónica Nelly Terán Méndez Laura Martínez García Eduardo Jiménez Zurita Dirección de arte y diseño Quetzatl León Calixto Diseño de portada José Manuel Calvillo Diseño de la serie Claudia Adriana García Villaseñor Coordinación de diagramación Jesús Arana y César Leyva Diagramación Maricarmen Martínez Muñoz Coordinación de iconografía e imagen Ricardo Tapia Iconografía Penélope Graciela Ubaldo Jurado Fotografía © 2011, 2011, Carlos A. Vargas © 2011, 2011, Iván Meza © Thinkstock 2011 Archivo SM Digitalización e imagen Carlos A. López, Uriel Flores Moreno Donovan Popoca Jiménez Eliana Castro Fernández
Retos matemáticos 1
Secundaria primer grado Primera edición, 2012 D. R. © U.D. Publishing, Publis hing, S. A. de C. V., 2012 Magdalena 211, Colonia del Valle, 03100, México, D. F. Tel.: (55) 1087 8400 www.udaytonpublishing.com La marca University of Dayton Publishing es propiedad de University of Dayton. Prohibida su reproducción total o parcial. University of Dayton 300 College Park Dayton, OH 45469 ISBN 978-607-493-236-2 Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro número 2830
Revisión técnica de evaluaciones Instituto de Evaluación y Asesoramiento Educativo (IDEA)
No está permitida la reproducción total o parcial de este libro ni su tratamiento informático ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright .
Producción Carlos Olvera, Teresa Amaya
Impreso en México/ Printed in Mexico
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Dirección de contenidos y servicios educativos Elisa Bonilla Rius Publisher Lauren Robbins Autores Apolo Castañeda Alonso Rosa Isela González Polo Coordinación editorial Ernesto Manuel Espinosa Asuar Edición Macbeth Baruch Rangel Orduña Revisión técnica José Cruz García Zagal Coordinación de corrección Abdel López Cruz Corrección Mónica Nelly Terán Méndez Laura Martínez García Eduardo Jiménez Zurita Dirección de arte y diseño Quetzatl León Calixto Diseño de portada José Manuel Calvillo Diseño de la serie Claudia Adriana García Villaseñor Coordinación de diagramación Jesús Arana y César Leyva Diagramación Maricarmen Martínez Muñoz Coordinación de iconografía e imagen Ricardo Tapia Iconografía Penélope Graciela Ubaldo Jurado Fotografía © 2011, 2011, Carlos A. Vargas © 2011, 2011, Iván Meza © Thinkstock 2011 Archivo SM Digitalización e imagen Carlos A. López, Uriel Flores Moreno Donovan Popoca Jiménez Eliana Castro Fernández
Retos matemáticos 1
Secundaria primer grado Primera edición, 2012 D. R. © U.D. Publishing, Publis hing, S. A. de C. V., 2012 Magdalena 211, Colonia del Valle, 03100, México, D. F. Tel.: (55) 1087 8400 www.udaytonpublishing.com La marca University of Dayton Publishing es propiedad de University of Dayton. Prohibida su reproducción total o parcial. University of Dayton 300 College Park Dayton, OH 45469 ISBN 978-607-493-236-2 Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro número 2830
Revisión técnica de evaluaciones Instituto de Evaluación y Asesoramiento Educativo (IDEA)
No está permitida la reproducción total o parcial de este libro ni su tratamiento informático ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright .
Producción Carlos Olvera, Teresa Amaya
Impreso en México/ Printed in Mexico
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Presentación general
estudia nte en su trabajo Retos Matemáticos 1 se creó para apoyar y acompañar al estudiante escolar mediante planteamientos didácticos cercanos a su vida cotidiana, en los
que se relacionan de manera dosificada los conocimientos previos con los nuevos, conforme al grado de complejidad matemática. Su propósito es generar reflexiones y argumentos para que el alumno desarrolle competencias matemáticas, habilidades habilidades
de comunicación y una actitud crítica c rítica ante su entorno. Para ello, ello, el libro se organiza en cinco c inco bloques y cada uno de ellos en varias lecciones. Estas, Estas, a su vez, se dividen en tres apartados: situación problemática, “Un paso adelante” y “Profundiza", que están diseñados para analizar, discutir, reflexionar y establecer de forma colectiva conclusiones relativas a los contenidos tratados. En algunos casos, las lecciones comprenden más de un tema, por lo que “Un paso adelante” aparece más de una vez. Al término de cada lección se encuentra un
recuadro de tecnologías de la información y comunicación (TIC), donde se sugieren sitios de Internet para que el estudiante practique al interactuar con animaciones, juegos, videos y modelos matemáticos. Además, en la mayoría se presentan actividades fuera del salón de clase para que el alumno consolide los conocimientos y habilidades de la lección. Cada bloque concluye con cuatro anexos cuyo objetivo es sistematizar, resumir y ampliar los temas vistos. En la “Bitácora” hay planteamientos que permiten consolidar
el conocimiento al resaltar las ideas relevantes de cada lección, así como verificar el nivel de adquisición de este y detectar dificultades. Por Por otra parte, en el “Laboratorio de matemáticas” se presentan retos, actividades y experimentos relacionados con el
contenido de las lecciones; en ellos es necesario aplicar lo aprendido para resolver los diversos planteamientos planteamientos.. En cuanto al anexo “En el tintero”, incluye un problema que representa la posibilidad posibil idad
de explorar nuevos escenarios, técnicas y procedimientos con el fin de afianzar lo estudiado. Por Por otro lado, en la “Evaluación” se reúnen preguntas con c on el formato de opción múltiple de tipo ENLACE para determinar los avances del alumno y acercarlo al estilo de esta prueba. Al final se ofrece un glosario y bibliografía tanto para el estudiante como para el profesor: en el primero se definen ciertos términos que podrían generar confusión, mientras que en la segunda se recomiendan documentos
impresos y digitales para ampliar los conocimientos. Por último, esta obra se diseñó como una guía para los profesores pr ofesores y padres de familia, fam ilia, pues el índice se adecuó para mostrar cada bloque con un color c olor específico e identificar identifi car
el eje, tema y contenido correspondientes, así como la lección y semana de estudio, además de una columna para indicar el avance del trabajo escolar.
Los autores
3
Presentación Para el alumno Las matemáticas han contribuido al desarrollo del conocimiento científico y al avance de la tecnología, pero también han influido en otros ámbitos de la actividad humana, como el arte, la arquitectura y la música. Sin embargo, otra de sus funciones es ayudar
a tomar buenas decisiones; por ejemplo, al comparar el precio de un producto en el supermercado, elegir el procedimiento para resolver un problema y opinar sobre los datos vertidos en una gráfica, entre otras situaciones. Esto significa que las matemáticas son útiles en la vida cotidiana; estudiarlas requiere emplear nuestras habilidades de razonamiento para solucionar problemáticas en
diversas situaciones. Pero, así como el ejercicio físico frecuente nos sirve para mantener una buena salud, practicar y dedicarse a resolver actividades de matemáticas nos ayuda a afianzar nuestro pensamiento. Por estas razones, en tu libro encontrarás problemas con diferente grado de complejidad en los que podrás aplicar conocimientos y repasar conceptos. Asimismo, hallarás actividades en las que necesitarás reflexionar lo ya aprendido y explorar procedimientos o métodos de solución nuevos. Además de profundizar en los contenidos, de manera individual y grupal, indagarás otras rutas para resolver proble-
mas en los retos matemáticos, formularás estrategias y desarrollarás habilidades. Tu libro está estructurado en lecciones que se inician con un planteamiento; este relaciona el conocimiento matemático que se explicará con situaciones de la vida cotidiana. Deberás poner en práctica tu experiencia y tus conocimientos para responder las preguntas. Conforme avances, te darás cuenta de que hay varias maneras de resolver los problemas. Al terminar cada lección, encontrarás referencias en Internet para profundizar en los contenidos que estudiaste, así como para explorar
y resolver otros retos matemáticos. En las lecciones encontrarás actividades para trabajar en equipo o parejas; están diseñadas con la intención de que experimentes los beneficios del trabajo colectivo, por ejemplo, al compartir ideas, llegar a acuerdos, etc., pero también con el fin de que desarrolles habilidades para comunicar información matemática. El libro fue creado para que fortalezcas tus habilidades de pensamiento matemático y tu autoconfianza al superar los retos matemáticos que se presentan y aprovechar
este amplio campo de saber. Esperamos que lo disfrutes.
Los autores
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Presentación Para el profesor En este libro se asume que la construcción de conocimiento es un proceso en que la repetición y memorización son útiles mas no suficientes para desarrollar y fortalecer las competencias matemáticas de los alumnos. Por esta razón, el contenido se basa en situaciones que integran una secuencia para contextualizar el conocimiento y
darle sentido, lo cual ocasiona que las matemáticas sean más cercanas a la realidad de los estudiantes y que se propicie un medio para facilitar el tránsito del lenguaje cotidiano al matemático. De este modo, no solo ampliarán sus conocimientos, sino que comprenderán y usarán con eficiencia los procedimientos y argumentos matemáticos al resolver problemas en diversas situaciones. El libro se escribió con la intención de apoyarlo en la construcción del c onocimiento matemático de sus estudiantes. Su característica principal es presentar los contenidos mediante secuencias didácticas con las que se profundiza en el manejo de los conceptos a medida que se avanza en cada lección. Las situaciones propuestas también se han diseñado con esta perspectiva: involucran planteamientos que es posible usar en la vida cotidiana y refieren a actividades laborales y profesionales más cercanas a la realidad de los estudiantes. Además, el enfoque de las lecciones se basa, por un lado, en el carácter funcional del conocimiento matemático, en el desarrollo y perfeccionamiento de técnicas y procedimientos, así como en el manejo y comunicación de la información matemática. Y por el otro, se apoya en el fortalecimiento del pensamiento matemático que conduce a la
buena toma de decisiones y al razonamiento a partir de la interpretación de datos. Las lecciones están conformadas por una actividad inicial con la que se introduce el contenido, se plantean cuestionamientos iniciales y se lleva a los estudiantes a reflexiones intuitivas; en el apartado Un paso adelante se aplican los conocimientos
con mayor profundidad, enfatizando los conceptos clave; la sección Profundiza, en la que se plantean problemas más complejos, pero sin dejar de acompañar a los alumnos en el proceso resolutivo; la cápsula Oriéntate, en la que se agregan datos útiles para apoyar la solución de problemas; y finalmente, el recuadro de TIC, que integra enlaces a diversas páginas de Internet para que efectúen más ejercicios y obtengan información adicional sobre los conceptos abordados. Se agregó un recuadro de orientaciones relativas al contenido, al contexto del problema o sobre algún tecnicismo que pudieran representar un obstáculo para
los estudiantes, con el propósito de que tengan los conocimientos necesarios para desarrollar las actividades y no se distraigan en buscar información. Algunas de ellas
se diseñaron para trabajar en equipo con el fin de que los alumnos desarrollen y fortalezcan habilidades del pensamiento mediante el trabajo colaborativo. Por otra parte, el lenguaje que se maneja es simple y conciso; de esta manera, ellos pueden reconocer las variables involucradas en cada problema de forma directa. Esperamos que encuentre en el libro un apoyo para el óptimo desarrollo de sus clases.
Los autores
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Guía de uso Retos matemáticos 1 consta de cinco bloques que contienen lecciones de cuatro páginas en que desarrollarás los contenidos de esta
asignatura. En tu libro encontrarás las siguientes secciones.
En el mundo hay objetos, situaciones y eventos que, a menudo, debemos medir; para hacerlo, necesitamos los números. Al conocer la estatura o edad de una persona, compartir el número de celular a un amigo,determinar el consumo eléctrico en la casa, comprender la economía del país o desarrollar una investigación científica —por mencionar algunos casos— los utilizamos.Incluso en áreas como la música, es posible expresar el ritmo con números enteros o fracciones. Por eso, es importante reconocerlos y saber usarlos; si deseamos precisar cuándo un número es divisible entre otro,por ejemplo,requerimos no solo dividir, sino también distinguir con cuáles se relaciona, es decir, obtener su familia de números primos para hallar la respuesta. En el estudio de la naturaleza,los números y la geometría nos ayudan a interpretar las formas y figuras; por ejemplo en una estrella de mar de cinco picos observamos una forma pentagonal y los ángulos que se forman entre las líneas que unen los extremos de sus brazos y centro es de 72º aproximadamente.
Introducción. Breve texto en que se mencionan situaciones cotidianas relacionadas con las ideas principales que se estudiarán con el fin de contextualizarlas y de activar tus conocimientos previos.
Número de bloque
Aprendizajesesperados 1. Resuelve problemas utilizando el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.
B l oq ue 2
Aprendizajes esperados. Conocimientos y habilidades
que debes alcanzar como resultado del estudio de los contenidos.
2. Resuelve problemas geométricos que impliquen el uso de las
propiedades de las alturas,medianas,mediatrices y bisectrices en triángulos y cuadriláteros.
76
77
Lección 28 Ecuaciones de primer grado de la forma
Lección. Número y título de la lección estudiada.
Eje: sentido numérico y pensamiento
algebraico Tema: patrones y ecuaciones
Contenido
Para calcular el perímetro: ecuaciones de la forma ax = b
Resolución de problemas que impli-
Observa la secuencia de figuras.
de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b ; ax = b ; ax + b = c ,
Figura 1
quen el planteamiento y resolución utilizando las propiedades de la igual-
Eje, tema y contenido.
ax = b
dad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios.
Figura 2
Figura 4
Figura 3
1 cm
2 cm
1 cm
3 cm
2 cm 3 cm 1. Completa la tabla a partir de la secuencia anterior.
Situación Situación. Título de la primera situación problemática en que aparece un nombre lúdico y después la denominación
formal del tema que estudiarás.
F ig ur a 1 2 3
P er ím et ro ( cm ) 4 16
5
Glosario Coeficiente. Número que
multiplica a la incógnita. Por ejemplo, en la ecuación 4 x = 30, el coeficiente de x es 4.
2. Responde las preguntas. a) ¿Qué perímetro tendrá la figura 5 si se considera que la sucesión guarda un mismo comportamiento?
b) ¿Qué perímetro tendrá la figura 18? c) ¿Qué operación efectuaste para responder la pregunta anterior? 3. Reúnete con un compañero y hagan, en su cuaderno, lo que se indica con base en la
sucesiónanterior. a) Construyan una expresión general o fórmula que permita determinar el valor del perímetro para cualquier figura. Usen la x para representar el número de la figura. b) En la sucesión anterior, una figura tiene un perímetro de 120 cm; planteen una ecuación en la que representen con x el número de la figura y resuélvanla para hallar dicha cantidad.
Oriéntate Un ecuación que tiene la forma ax = b expresa un producto entre el coeficiente a y la incógnita x , lo que da como resultado un número b .
142 Bloque 3 Lección 28
6
4. Observa el ejemplo y completa la tabla. Comparen sus resultados con los de su grupo, registren dudas y comenten cómo resolverlas. a
b
a + b
a · b
a – b
8 2.4
5 1.3
13
40
3
5 6
4 7
Guía de uso
Un paso adelante
Glosario Glosario. Definición de algunos términos matemáticos.
Un paso adelante. La lección es una secuencia que inicia con una situación cotidiana relacionada con las matemáticas. Una vez que la resuelves,
das un paso adelante al aplicar nuevos conocimientos y habilidades para solucionar problemas matemáticos.
Oriéntate Oriéntate. Pistas o información de apoyo para recordar algunos datos
Para la bitácora
importantes que pueden servirte para resolver problemas matemáticos.
Para la bitácora. Referencia a ejercicios de autoevaluación de los temas vistos en el bloque.
TIC
Profundiza
TIC. Recomendación de actividades relacionadas con las TIC; principalmente se te invita a profundizar en el contenido de las lecciones con algunos
Profundiza. Sección que contiene problemas matemáticos más complejos
ejercicios en la web.
que puedes resolver porque ya desarrollaste los conocimientos y las habilidades necesarias para ello.
Pareja
Equipo
Grupo
Lección 27 8. Observa el ejemplo y completa la tabla. Ecuación 3 + x = 17 x –
Operación para encontrar el valor de x
Valor de x
x = 17 – 3
x = 14
1 = 7 6 12
x + 3.5 – 2 = 14 x +
Oriéntate Un término semejante es aquel que tiene la misma parte literal (incógnita y exponente), pero el coeficiente igual o diferente.
1 = 1 8
Lección. Recordatorio del número de la
lección.
Para resolver una ecuación La ecuación se transforma en otras ecuaciones equivalentes más sencillas hasta encontrar el valor de la incógnita.
Resolver la ecuación
Al resolver una ecuación, es necesario simplificar términos semejantes; por ejemplo, 1 x + 1 x se 2 4
simplifican porque son términos similares. 1 x + 1 x + 1 = 19 2 4 5 20
Oriéntate
3 x + 1 = 19 4 5 20
Después, se debe despejar la incógnita, es decir, efectuar operaciones para encontrar su valor.
Por ejemplo, en la ecuación 12 + x = 20, se despeja el valor de x como se indica en la tabla. Pasos Ecuación inicial Operación para despejar a x Valor de x
Caso 1 12 + x = 20 12 – 12 + x = 20 – 12 x=8
Caso 2 x – 8 = 10 x – 8 + 8 = 10 + 8 x = 18
Cuando incorporas una operación a un miembro de la igualdad debes hacerlo en ambos miembros para conservar la igualdad.
Para verificar la solución En la ecuación inicial se remplaza la incógnita por el valor encontrado. Si se cumple la igualdad, entonces es el correcto. 12 + x = 20 x = 20 – 12 x = 8
Comprobar el valor hallado
Comprobación: 12 + x = 20 12 + 8 = 20 20 = 20
Recuadro de información. Información relevante
12 9. Organiza con tu grupo un debate acerca de la incógnita en problemas de una cantidad desconocida. Propongan dos casos y escriban en su cuaderno una breve conclusión.
10
7 7
6
TIC Explorawww.e-sm.com.mx/matret1-141a , donde se encuentran actividades de resolución de ecuaciones. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-141b, donde hay una guía para resolver ecuaciones. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-141c, donde se explica cómo solucionar ecuaciones.
Para la bitácora Resuelve las actividades correspondientes a la lección 27 en la bitácora de la página 178.
Para que un juego de mesa (serpientes y escaleras, Turista, etc.) sea más interesante, consigue unos dados y marca tres de los seis números con un signo negativo. Apunta tus tiradas en una hoja de papel y resuelve la operación. Lección 27 Bloque 3 141
que te guiará para desarrollar los conocimientos y
habilidades matemáticas necesarias.
Actividad integradora. Actividad que se puede
llevar a cabo fuera del salón de clases. Su función es ayudarte a consolidar tus conocimientos, habilidades, actitudes y valores.
7
Guía de uso
Bitácora. Sección de dos páginas en la que practicarás lo aprendido
Bitácora
Bitácora
a lo largo del bloque y repasarás las ideas más importantes de las lecciones.
Lecciones 14 y 15
Lección 18
a) Analiza la tabla y contesta las preguntas en tu cuaderno. 501 511 521 531 541
También funciona como una autoevaluación en la que aplicarás los aprendizajes
502 512 522 532 542
503 513 523 533 543
504 514 524 534 544
505 515 525 535 545
506 516 526 536 546
507 517 527 537 547
508 518 528 538 548
509 519 529 539 549
510 520 530 540 550
a) ¿Qué cantidad pagó de impuestos? b) ¿Cuánto le dio a cada hijo?
i. Escribe los números primos que se encuentran entre 500 y 550.
Lección 19
ii. ¿Cuáles son los primeros diez números compuestos que se encuentran entre 500 y 550?
Ocho obreros construyen 17 35 m de una obra en 1 h.
iii. Anota cuatro divisores de 501.
a) ¿Cuántos metros construye cada uno en 1 h? b) A ese ritmo de trabajo, ¿cuánto construirá un obrero en 2 34 h?
b) Efectúa lo que se pide con base en los números de la ta bla anterior.
desarrollados en el bloque.
16 Sandra ganó un premio de $50 000.00,pero debe pagar 100 de impuestos.Repartirá el resto entre sus hijos de esta manera: 12 para el que está estudiando Medicina, 13 para el que ya se casó y lo demás para el que acaba de ser padre.
i. Escribe cinco números divisibles entre 2.
Lección 20
ii. Escribe cinco números divisibles entre 3.
a) Traza la mediatriz de cada segmento marcado en un círculo.
iii. Escribe cinco números divisibles entre 5. iv. Escribe cinco números divisibles entre 7.
i. ¿Dónde se unen las mediatrices?
Lección 16 Juan tiene tres sapitos de juguete. Al darles cuerda, los tres saltan al mismo tiempo, pero
recorren diferentes distancias en cada salto: el primero avanza 3 cm; el segundo, 5 cm; y el tercero,4 cm.
b) Tres amigos cooperaron para comprar una pizza y se la dividieron en partes iguales. i. Traza una rebanada de pizza y divídela en dos pedazos iguales.
a) Si se colocan en el mismo lugar después del punto de salida, ¿a qué distancia coincidirán de
nuevo por un mismo punto? b) ¿Cuántos saltos da cada uno? Sergio tiene 24 monedas de $10.00, treinta de $5.00 y cincuenta de $1.00, y desea acomodarlas en montones con igual cantidad de monedas de cada denominación.
Lección 21
a) ¿Cuál es el máximo número de montones que puede formar con igual cantidad de monedas
Copia el pentágono en una hoja, recórtalo y pégalo como creas conveniente para justificar la fórmula de su área. pa A = 2
de cada denominación?
Lección 22
b) ¿Cuál es el mayor número de monedas que puede colocar en cada montón?
Marcela estudia Arquitectura; le han pedido de tarea una maqueta de un edificio cilíndrico que mide 30 m de diámetro y 60 m de altura. Cada metro real es igual a 1 cm en la maqueta.
Lección 17 María fue al mercado y compró 12 kg de jitomate, _14_ kg de chile, 800 g de cebolla, 700 g de tomate, 3 34 kg de naranja y 1.250 kg de manzana. Si metió lo que
a) ¿Qué diámetro tendrá el edificio en la maqueta? b) ¿Cuál es la razón de proporcionalidad?
compró en su bolsa, ¿cuánto pesó?
114
Bloque 2
Bloque 2
115
En el tintero. Aquí podrás conocer temas cuyo propósito es introducirte a la cultura de las matemáticas mediante la propuesta de nuevos
retos matemáticos.
Laboratorio de matemáticas. Anexo de actividades propuestas
Trazo de polígonos regulares con tiras de papel 1. Construye tres polígonos regulares mediante los procedimientos que se indican. Responde
para que lleves a cabo experimen-
tos. Con los retos seguirás cono-
Consigue una hoja de tamaño carta y recorta una tira de 3 cm de ancho.
Toma los extremos de la tira y anúdalos.
Cálculo de porcentajes Para transformar un número decimal en porcentaje , solo se multiplica la cantidad por 100
y se escribe al final el símbolo %. Por ejemplo: 0.3 × 100 = 30, así, 0.3 representa 30%.
las preguntas en tu cuaderno. Procedimiento
ciendo y disfrutando la naturaleza
de las matemáticas.
En el tintero
Laboratorio de matemáticas
Aprieta suavemente el nudo y aplánalo.
Recorta los pedazos sobrantes.
Para convertir una fracción en porcentaje , primero se transforma la fracción en decimal y, posteriormente,en porcentaje.Porejemplo: __25 = 2 ÷ 5, __25 = 0.4 y 0.4 × 100 = 40, así__52 representa40%. Paratransformar porcentajes en decimales , se quita el símbolo % y se divide entre 100. Por ejemplo:
30% = 30 ÷ 100 = 0.3; así, 30% representado como decimal es 0.3. Ilustración
Para transformar porcentajes en fracciones, se elimina el símbolo %, luego se escribe una fracción con el número del porcentaje como numerador y 100 como denominador, y, finalmente, se reduce 82 = 41 ; así, 82% equivale en fracción a 41 . la fracción obtenida. Por ejemplo: 82% = 100 50 50 1. Completa la tabla. a) ¿Qué polígono obtuviste?, ¿cuánto miden sus lados?, ¿cuánto mide cada ángulo interno? Fracción
b) Dobla el polígono y traza sus mediatrices; el punto donde estas se cortan es el centro.
Procedimiento
Recorta dos tiras de 3 cm de ancho.
Toma los extremos de las tiras y anúdalos.
Aprieta suavemente el nudo y aplánalo.
Decimal
Porcentaje
1 __ 8
c) Traza una apotema y mídela. Calcula el área del polígono.
0.32
Recorta los pedazos sobrantes.
67%
¿Cuánto es 20% de 120? Para calcularlo, solo se multiplica el porcentaje por la cantidad y se divide el resultado entre 100. Es decir, 20 × 120 = 2 400 y 2 400 ÷ 100 = 24; por lo tanto, 24 es 20% de 120.
Ilustración
¿Qué porcentaje de 70 es 28? Para determinarlo, se divide la parte entre el todo y se multiplica por 100. Es decir, 28 ÷ 70 = 0.4 y 0.4 × 100 = 40; por lo tanto, 28 es 40% de 70. ¿De qué número 15 representa 25%? Para saberlo, se divide la cantidad entre el porcentaje y el d) ¿Qué polígono obtuviste?, ¿cuánto miden sus lados?, ¿cuál es su perímetro?, ¿cuánto mide cada ángulo interno? e) Traza una apotema y mídela. Calcula el área del polígono. Procedimiento
Utiliza el papel sobrante y dóblalo como se muestra en la ilustración.
Apla na la figura por eldoblez.
Recortalos pedazos sobrantes.
resultado se multiplica por 100.Esto es,15 ÷ 25 = 0.6 y 0.6 × 100 = 60;por lo tanto, 15 es 25% de 60.
2. Completa la tabla. C ant id ad t ot al
P orc en taj e
80
30% 48%
48
75%
90
300 Ilustración
36
256 1 154
f) ¿Qué polígono obtuviste?,¿cuánto miden sus lados?,¿cuánto miden los ángulos internos formados
Ca nt id ad p arc ial
128 49%
3. Discute grupalmente el uso de porcentajes en la vida cotidiana. Redacten dos ejemplos en su cuaderno. Discutan y acuerden de los beneficios de su uso.
por los lados?
180
8
Bloque 3
Bloque 3
181
Guía de uso
Bloque 4 Evaluación
Bloque 4 Evaluación
Lee los planteamientos, elige la respuesta correcta y márcala en la sección de respuestas.
9. ¿Con qué expresión se calcula el área de una parte del círculo?
B)
A) d
C)
d
Evaluación. Serie de preguntas al final de cada bloque. Te servirá a ti y al profesor para evaluar
2
D) 8r
r2
Algunas de las fosas marinas más profundas son el abismo Emden (en Filipinas) de aproximadamente
10 793 m y el abismo Planet (en las islas Salomón) con alrededor de 9 148 m. En cambio, entre los puntos más altos del mundo se encuentran las montañas Cho Oyu, cuya altura mide 8 201 m sobre el nivel del mar, y Annapurna I de 8 091 m sobre el nivel del mar (ambas se sitúan en Nepal, China).
tu desempeño en cuanto a los conocimientos y habilidades
1. ¿Qué distancia hay entre el punto más bajo del abismo Emden y el punto más alto
de la montaña Cho Oyu? A) 18 994 m
B) 2 592 m
C) –2 592 m
10. Una familia de cuatro personas gasta diariamente 1 000 L de agua para satisfacer sus necesidades. ¿Cuántos litros se requieren para satisfacer a una familia de cinco integrantes?
D) –18 994 m
A) 200 L
2. ¿Qué distancia hay entre el punto más alto de la montaña Annapurna I y el punto
B) 250 L
C) 1 250 L
matemáticas adquiridas.
D) 2 000 L
más bajo del abismo Planet? 11. Una empresa tiene dos vacantes: recepcionista y edecán. Si cuatro personas se presentan
A) –1057 m
B) 17 239 m
C) 1 057 m
D) –17 239 m
a pedir empleo, ¿cuántas posibilidades hay de ocupar los puestos? A) 12
3. ¿Cuál es el segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia? A) Diámetro.
B) Radio.
C) Cuerda.
D) Segmento.
B) 8
C) 6
D) 4
12. Analiza la tabla y contesta la pregunta.
4. ¿A partir de qué elementos es posible construir una circunferencia?
Fruta Plátano Manzana Pera Uva Kiwi
A) Medida del radio.B) Una cuerda.C) Medida del diámetro.D) Cualquiera de las anteriores. 5. La medida de se obtiene de la proporción entre A) el radio y el área.
B) el diámetro y la circunferencia.
C) el radio y la circunferencia.
D) el diámetro y el área.
Frecuencia absoluta 6 4 2 3 5
Porcentaje 30% 20% 10% 15% 25%
¿Qué gráficas representan la información de la tabla? 6. ¿Cuál es la longitud del segmento rojo? A)
B) 4.09 cm
B)
Plátano Manzana Pera
Kiwi 20%
8.18 cm
A) 8.18 cm
7 6 5 4 3 2 1 0
C) 2.045 cm
Uva 20%
D) 16.36 cm
Uva
Kiwi
7 6 5 4 3 2 1 0
C)
Plátano Manzana Pera Kiwi 25%
Plátano 20% Manzana 20%
Uva 15%
Pera 20%
Pera 10%
Uva
Kiwi
7 6 5 4 3 2 1 0
D)
Plátano Manzana Pera Kiwi 20%
Plátano 30%
Uva 20%
Manzana 20%
Uva
Kiwi
7 6 5 4 3 2 1 0
Plátano Manzana Pera Uva Kiwi 25%
Plátano 20% Manzana 20%
Uva 15%
Pera 20%
Pera 10%
Kiwi
Plátano 30% Manzana 20%
Respuestas de la evaluación correspondiente al bloque 4
7. El radio de la rueda de una bicicleta mide 8 pulgadas; después de haber dado seis vueltas,
¿qué distancia recorrió? A) 150.79 pulgadas.
B) 301.59 pulgadas.
C) 25.13 pulgadas.
D) 50.26 pulgadas.
8. ¿Cuál es la medida de la circunferencia inscrita en un pentágono de 5 c m de apotema? A) 31.41 cm
B) 15.70 cm
C) 78.53 cm
D) 314.15 cm
1. A B C
D
4. A B C
D
7. A B C
D
9. A B C
2. A B C
D
5. A B C
D
8. A B C
D
10. A B C
3. A B C
D
6. A B C
D
230 Bloque 4 Evaluación
D D
11. A B C
D
12. A B C
D
Utiliza los círculos para
colocar tus respuestas.
Evaluación Bloque 4 231
Glosario. Definiciones de algunos términos matemáti-
cos que se proporcionan con el fin de que te apoyes en ellos cuando necesites conocer su significado.
Glosario para el profesor
Bibliografía. Referencias de libros, revistas o páginas de Internet que se sugieren para apoyarte en caso de que desees o necesites profundizar en algunos temas del libro. Bibliografía Bibliografía para el alumno
Adición. Término asociado a varias ideas, entre ellas la de a grupar o reunir. Sin embargo, cuando se suman Andradas, C. (2006). Póngame un kilo de matemáticas . Madrid: Ediciones SM.
números negativos estas nociones son contradictorias, pues una adición puede implicar una sustracción.
Ball. J. (2005). Piensa un número . Una mirada fascinante al mundo de los números (2a ed.). México: Ediciones SM.
Área. Medida de una superficie geométrica. El valor se puede asociar a comparar una superficie con una unidad de medida. También implica una tarea de medición, lo que conduce al manejo de técnicas y procedimientos correspondientes.
Blatner, D. (2003). El encanto de Pi. México: Aguilar. De la Peña, J. A. (2002). Geometría y el mundo . Biblioteca Juvenil Ilustrada. México: Santillana.
Conteo. Procedimiento y estrategias utilizadas para contar.
Enzensberger, H. (1997). El diablo de los números . Madrid: Siruela.
Ecuación. Procedimiento o técnica de solución que s e relaciona con los conceptos de igualdad e incógnita.
Juring, Y. (1985). ¿Qué son las matemáticas? México: Ediciones de Cultura Popular.
Multiplicación. Operación que se asocia a un resultado mayor que los factores; sin embargo, con cantida-
Paenza, A (2005). Matemática… ¿Estás ahí? Sobre números, personajes, problemas y curiosidades. Ciencia que ladra… Buenos Aires: Siglo XXI Editores.
des menores que 1 no es así, por lo que el modelo no siempre funciona.
Número fraccionario. Cifra que representa diversas s ituaciones: división, reparto, proporción o secciones de una unidad. Se define en función de las relaciones que se establezcan entres estos conceptos.
_________ (2007). Matemática… ¿Estás ahí? Episodio 2. Ciencia que ladra... Buenos Aires: Siglo XXI Editores. _________ (2008). Matemática… ¿Estás ahí? Episodio 100 . Ciencia que ladra... Buenos Aires: Siglo XXI Editores. _________ (2010). Matemática… ¿Estás ahí? La vuelta al mundo en 34 problemas y 8 historias . Ciencia que ladra... Buenos Aires: Siglo XXI Editores.
Número con signo. Cifra que epresenta varias situaciones o se asocia a ellas. Estas tienen el riesgo de entrar en contradicción o de forzar su relación con los números negativos.
Tahan, M. (1994). El hombre que calculaba. México: Noriega Editores.
Potencia. Multiplicación simplificada; aunque, cuando los exponentes son negativos, no es así.
Vorderman, C. (2011). Ayuda a tus hijos con las matemáticas . México: Altea.
Regla de tres. Relación entre dos cantidades cuyo comportamiento es lineal. Cuando se aplica a otras
Wells, D. (2000). El curioso mundo de las matemáticas . Barcelona: Gedisa.
situaciones que no son lineales, hay muchos problemas, por lo que conviene a cotar el tipo de planteamientos.
Solución. Respuesta a un planteamiento. Se necesita darle sentido en términos del cuestionamiento inicial para cerrar el ciclo entre ambos.
Sucesión numérica. Mediante el análisis de su comportamiento se permite establecer expresiones algebrai-
Bibliografía electrónica para el alumno (fecha de consulta: enero de 2012) Abreu. J.L. Proyecto Arquímedes. Recursos educativos de Matemáticas y Física para todos los niveles arquimedes.matem.unam.mx
cas e introducir la idea de variación como una característica de diversos fenómenos.
Trazar. Actividad asociada con el uso de instrumentos para efectuar el trazo. Con el desarrollo de las tecnologías informáticas, esas herramientas pueden ser entendidas como comandos que ejecutan acciones específicas.
Instituto de Tecnologías Educativas, Ministerio de Educación, España. Curso de Geometría. R ecursos educativos de Matemáticas para pimero y segundo ciclos de la Educación Secundaria Obligatoria de España concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material098/geometria/geoweb/indice.htm Ministerio de Educación, España. Descartes. M ateriales didácticos para el aprendizaje de las matemáticas de la enseñanza secundaria recursostic.educacion.es/descartes/web/index.html Proyecto Gauss. Recursos didácticos y applets de GeoGebra que cubren los contenidos de matemáticas de la Educación Secundaria Obligatoria de España recursostic.educacion.es/gauss/web/index.htm Matemáticas para la E.S.O. Enseñanza Digital a Distancia. Recursos de matemáticas para Educación Secundaria Obligatoria de España recursostic.educacion.es/secundaria/edad/index_mat.htm
269
270
9
Dosificación Bloque
Eje
Tema Números y sistemas de numeración
Problemas aditivos Sentido numérico y pensamiento algebraico
Patrones y ecuaciones
1 Forma, espacio y medida
Manejo de la información
Bloque
Eje
Figuras y cuerpos Proporcionalidad y funciones Nociones de probabilidad
Tema Números y sistemas de numeración
2
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Problemas aditivos
Problemas multiplicativos Forma, espacio y medida
10
Figuras y cuerpos
Contenido Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa. Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación. Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones. Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras. Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar a las literales como números generales con los que es posible operar. Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría. Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo. Resolución de problemas de reparto proporcional. Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles. Bitácora Laboratorio de matemáticas En el tintero Evaluación
Contenido Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3, 5 y 7. Distinción entre números primos y compuestos. Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales. Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales. Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo.
Lección Semana 1y2
1
3y4
2
5
3
6
4
7
5
8y9
6
10 y 11
7
Fecha
12 8 13
9
Lección Semana 14 y 15
10
16
11
17
12
18 y 19
13
20
14
Fecha
Dosificación
Bloque
Forma, espacio y medida
Medida
Manejo de la información
Proporcionalidad y funciones
Eje
Tema
Problemas multiplicativos Sentido numérico y pensamiento algebraico Patrones y ecuaciones
Forma, espacio y medida
3
Figuras y cuerpos
Medida Proporcionalidad y funciones Manejo de la información
Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras. Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios. Bitácora Laboratorio de matemáticas En el tintero Evaluación
Contenido
21
15
22
16
17
Lección Semana
Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos 23 y 24 contextos, utilizando el algoritmo convencional. Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando 25 y 26 el algoritmo convencional. Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer 27, 28 grado de la forma x + a = b ; ax = b ; ax + b = c , y 29 utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios. Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación 30 y 31 entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella. Resolución de problemas que impliquen calcular 32 el perímetro y el área de polígonos regulares. Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes 33 de proporcionalidad en situaciones dadas.
18
19
20 y 21
22
23 24
Nociones de probabilidad
Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias.
34
25
Análisis y representación de datos
Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa.
35 y 36
26
Bitácora Laboratorio de matemáticas En el tintero Evaluación
Fecha
27
11
Dosificación Bloque
Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico
Tema Números y sistemas de numeración Figuras y cuerpos
Forma, espacio y medida Medida
Proporcionalidad y funciones
4 Manejo de la información
Nociones de probabilidad Análisis y representación de datos
Bloque
Eje
Tema Problemas aditivos
Sentido numérico y pensamiento algebraico
5
12
Problemas multiplicativos
Patrones y ecuaciones Forma, espacio y medida Manejo de la información
Medida Proporcionalidad y funciones
Contenido Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos. Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas. Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfica y algebraicamente). Explicitación del número π (Pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro. Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios. Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala. Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los resultados. Lectura de información representada en gráficas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfica más adecuada. Bitácora Laboratorio de matemáticas En el tintero Evaluación
Contenido Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros. Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales. Uso de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas. Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética. Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas. Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple. Bitácora Laboratorio de matemáticas En el tintero Evaluación
Lección Semana 37 y 38
28
39
29
40 y 41
30
Fecha
42 31 43
44
32
45 y 46
33
34
Lección Semana 47 y 48
35
49 36 50 51
37
52
38
53
39
40
Fecha
Índice Bloque 1 Título
Lección Lección 1
Números fraccionarios y decimales I
Lección 2
Números fraccionarios y decimales II
Lección 3
Números fraccionarios y decimales III
Contenido Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa.
Página 18 22
Lección 4
Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta Números fraccionarios y decimales IV representación.
Lección 5
Problemas aditivos
Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones
34
Lección 6
Sucesiones numéricas y figurativas
Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras.
38
Lección 7
Significado de algunas fórmulas geométricas
Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar a las literales como números generales con los que es posible operar.
Lección 8
Trazo de triángulos
46
Lección 9
Trazo de cuadriláteros
Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría.
Lección 10
Trazos y análisis I
54
Lección 11
Trazos y análisis II
Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.
Lección 12
Reparto proporcional
Resolución de problemas de reparto proporcional.
62
Lección 13
Nociones de probabilidad
Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles.
66
26 30
42
50
58
Bitácora
70
Laboratorio de matemáticas
72
En el tintero
73
Evaluación
74
Bloque 2 Título
Lección
Contenido
Lección 14
Criterios de divisibilidad I
Lección 15
Criterios de divisibilidad II
Lección 16
MCD y mcm
Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.
Lección 17
Adición de números fraccionarios y decimales
Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales.
Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3, 5 y 7. Distinción entre números primos y compuestos.
Página 78 82 86
90
13
Índice Lección 18 Lección 19
Multiplicación y división con números fraccionarios I Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con Multiplicación y división con números números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales. fraccionarios II
Lección 20
Mediatriz y bisectriz
Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo.
Lección 21
Perímetro y área de polígonos regulares
Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras.
Lección 22
Proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”
Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios.
Bitácora Laboratorio de matemáticas En el tintero Evaluación
94 98 102 106 110 114 116 117 118
Bloque 3 Lección
Título
Lección 23
Multiplicación de números decimales I
Contenido
Página 122
Lección 24
Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números Multiplicación de números decimales II decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.
Lección 25
División de números decimales I
130
Lección 26
División de números decimales II
Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.
Lección 27
Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b ; ax = b ; ax + b = c , utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios.
138
Lección 30
Ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b Ecuaciones de primer grado de la forma ax = b Ecuaciones de primer grado de la forma ax + b = c Polígonos regulares I
Lección 31
Polígonos regulares II
Lección 32
Perímetro y área de polígonos regulares
Lección 28 Lección 29
Lección 33
Proporcionalidad
Lección 34
Anticipación de resultados
Lección 35
Frecuencia absoluta y relativa I
Lección 36
Frecuencia absoluta y relativa II
Bitácora Laboratorio de matemáticas En el tintero Evaluación
14
Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella. Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares. Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas. Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias. Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa.
126
134
142 146 150 154 158 162 166 170 174 178 180 181 182
Índice Bloque 4 Lección
Título
Lección 37 Lección 38
Números con signo I Números con signo II
Lección 39
Construcción de círculos
Lección 40
Perímetro y área del círculo
Lección 41
Área del círculo
Lección 42
La regla de tres
Lección 43
Factor inverso de proporcionalidad
Lección 44
Conteo
Lección 45
Gráficas de barras y circulares I
Lección 46
Gráficas de barras y circulares II
Contenido Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos. Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan c ondiciones dadas. Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfica y algebraicamente). Explicitación del número π (Pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro. Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios. Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a esc ala. Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los resultados. Lectura de información representada en gráficas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfica más adecuada.
Página 186 190 194 198 202 206 210 214 218 222
Bitácora Laboratorio de matemáticas
226
En el tintero Evaluación
229 230
228
Bloque 5 Lección
Título
Contenido
Lección 47 Lección 48
Adición y sustracción de números con signo I Adición y sustracción de números con signo II
Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros.
234 238
Lección 49
Raíz cuadrada y potencia de exponente natural
Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia d e exponente natural de números naturales y decimales.
242
Lección 50
Notación científica
Uso de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.
246
Lección 51
Regla general de una progresión aritmética
Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética.
250
Lección 52
Área y perímetro del círculo
Lección 53
Proporcionalidad múltiple
Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas. Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple.
Página
254 258
Bitácora Laboratorio de matemáticas
262
En el tintero Evaluación
265 266
Glosario alumno Glosario profesor Bibliografía
268 269 270
264
15
La matemática es una ciencia con mucho dinamismo: todos los días se amplía gracias a descubrimientos y nuevas teorías que ayudan a resolver problemas en diversos ámbitos, como la medicina, la tecnología o la química, por mencionar algunos. Asimismo, las matemáticas permiten solucionar problemas muy concretos del lugar en que nos desenvolvemos. Por ejemplo, al pintar una pared, determinamos mediante operaciones cuánto mide, cuántos litros o fracciones de litro de pintura ocuparemos, qué proporción habrá entre esta y el sellador, cuánto medirán las cenefas, a qué distancia pintaremos, etcétera. En el mismo ejemplo, podemos precisar si seguiremos una sucesión de formas, lo haremos al azar o elegiremos motivos geométricos.
B l o que 1 16
Aprendizajes esperados 1. Convierte números fraccionarios a decimales y viceversa. 2.
Conoce y utiliza las convenciones para representar números
fraccionarios y decimales en la recta numérica. 3.
Representa sucesiones de números o figuras a partir de una
regla dada y viceversa.
17
Lección 1 Números fraccionarios y decimales I Eje: sentido numérico y pensamiento
algebraico Tema: números y sistemas de numeración
Las calificaciones: conversión de fracciones a números decimales
Contenido Conversión de fracciones decimales y
no decimales a su escritura decimal y viceversa.
A los estudiantes de la escuela secundaria “Benito Juárez” se les aplicó un examen diagnóstico en cada asignatura, el cual vale 1 punto en su escala de calificaciones. Orlando desea saber qué calificación obtuvo en cada asignatura. Para conocer esa información,
debe completar la tabla. 1. Analiza la tabla y complétala.
Oriéntate Recuerda que una fracción es todo número escrito de la forma __b a donde a es el numerador y b (diferente a 0), el denominador. Toda fracción se puede interpretar como una división, donde __a b indica a ÷ b.
Asignatura
Aciertos Total de obtenidos reactivos
Español
86
100
Matemáticas
32
65
Biología
25
30
Historia
65
100
Geografía
92
95
Operación para obtener la calificación 86 100 o 86 ÷ 100 32 ___ 65 25 ___ 30 65 ___ 100 92 ___ 95
Calificación obtenida en la escala
0.86 0.49 0.83 0.65 0.96
2. Reúnete con un compañero y efectúen, en sus cuadernos, lo que se pide. a) Describan el procedimiento que Orlando utilizó para obtener su calificación.
R. T. Dividir el número de aciertos entre reactivos del examen.
b) En el caso de las asignaturas Historia y Español, ¿con qué otro procedimiento se podría obtener la calificación? R. T. Recorrer el punto decimal dos lugares a la izquierda. 3. Lee el texto y haz en tu cuaderno lo que se indica.
Oriéntate
La profesora de Matemáticas comentó a sus alumnos lo siguiente: “Solo un décimo del grupo aprobó el examen diagnóstico”, mientras escribía la expresión en el pizarrón.
Los números decimales se denominan de acuerdo con su valor posicional. Parte entera
Parte decimal
r r r a a l a l l l s s l i l i i a a s s a m m m s s s s a s m m a m i e e e e a a d a i m m i s s i s n d d d n l i l é é m s s e a a i l é i i s s s t e é d c t é n i m é a a e n c m m l o i z n i n l n n d e e n l c i e e a C D U e D e M i e e t i M C d i d n c D C e e n o t C D U n u n n n n n n P n n n n n n e e e e e e e e e e e e d d d d d d d d r r r d r r r r r r d r d r d r O O O O O O O O O O O O r r r º º º e º e º r º º º e e 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6
Órdenes e nte ros
Órde nes de ci ma les
a) Explica con tus palabras qué representa la expresión escrita por la profesora.
R. T. Uno de diez, un décimo, la décima parte.
1 b) Explica por qué __ = 0.1. 10
R. T. Cuando divides uno entre diez obtienes de resultado 0.1
3 __ y 7 como números decimales. c) Escribe, de acuerdo con la equivalencia anterior, las fracciones __ 10 10
0.3 y 0.7
d) Describe los pasos que seguiste para llegar a los resultados anteriores.
R. P.
e) Compara tus resultados con los de tus compañeros. Registren dudas y, con ayuda de su profesor, comenten cómo resolverlas.
18
R. P.
Bloque 1 Lección 1
Lección 1
Un paso adelante 4. Escribe, en la tabla, la fracción correspondiente y conviértela en número decimal. Cantidad con letra
Fracción 12 ___ 20 18 ___ 100 1 __ 5 311 _____ 1 000
Doce veinteavos Dieciocho centésimos Un quinto Trescientos once milésimos
Decimal
0.6 0.18 0.2 0.311
Para transformar una fracción en su expresión equivalente como número decimal hay que dividir el numerador entre el denominador. 5. Reúnete con un compañero. Analicen la igualdad y contesten las preguntas.
_
1 = 16 3_ 5 5 a) ¿Cómo se lee la fracción que está a la izquierda de la igualdad? b) ¿Cuántos quintos hay en tres enteros? 16 ? c) ¿Cuántos enteros se forman con __ 5
cociente 3 y sobra 1.
16 ? d) ¿Por qué 3 _15_ es equivalente a __ 5
Tres enteros un quinto.
Quince.
Tres. Al dividir 16 entre 5, se obtiene como
Oriéntate Se denomina igualdad a la equivalencia de dos cantidades o expresiones.
Por que en tres enteros hay quince quintos, más un quinto, en total se 16 tienen __ 5 3
Un número mixto se compone de un entero y una fracción. Por ejemplo: 6 _4_.
En una fracción impropia, el numerador es mayor que el denominador, por consiguiente, es mayor que la unidad. Por ejemplo: _83_. e) Escriban, en sus cuadernos, cómo convertir un número mixto en una fracción impropia.
R. T. Transformar el entero a denominador común de la parte fraccionaria, sumar los numeradores y el 6. Reúnete con dos compañeros. Completen la tabla y efectúen lo que se pide. denominador es el común. Cantidad 3 _25_ 2 _14_ 6__53
Cantidad con letra
Tres enteros dos quintos Dos enteros un cuarto Seis enteros tres quintos
Número decimal
3.4 2.25 6.6
a) Escriban, en sus cuadernos, el procedimiento que siguieron para transformar un número mixto en uno decimal. b) Compartan su procedimiento con sus compañeros. c) Elijan, de forma grupal, el procedimiento mejor descrito. Lección 1 Bloque 1
19
Lección 1 Números fraccionarios y decimales I
Profundiza Los números fraccionarios también se representan como regiones que componen una figura. La de la izquierda está dividida en cinco partes iguales; cuatro de ellas están sombreadas, lo que representa _45_ del total. La parte no sombreada representa _15_ de la figura.
Oriéntate El denominador de una fracción indica en cuántas partes está dividido el entero; mientras que el numerador permite conocer las partes que se toman de la unidad.
7. Reúnete con un compañero. Lean el problema y contesten lo que se pide.
Hay treinta canicas dentro de una bolsa: de ellas, cinco son amarillas; diez, verdes; y el resto, azules. 10 __1 ___ = 3 30 5 1 ___ __ b) ¿Qué fracción y decimal representan las canicas amarillas? 30 = 6 ,
a) ¿Qué fracción representan las canicas verdes?
0.16
0.5
c) ¿Qué decimal representa las canicas azules?
8. Reúnete en equipo y resuelvan los planteamientos. 15 ___
a) ¿Qué fracción representan 15 min de 1 h?
=
60
30 ___
b) ¿Qué número decimal representa media hora?
60
__1 4
= 0.5
390 c) ¿Qué fracción y número decimal representan 6 h y 30 min de un día? ____ 1 440 4 __ d) ¿Qué fracción representa cuatro días de una semana? 7 12 __1 = 0.5 = e) ¿Qué número decimal representa 12 h de un día? ___ 24 2
=
f) ¿Qué fracción y número decimal representan dos días con 6 h de una semana?
13 ___ 48
0.27
54 9 ___ ___ 168 = 28 = 0.32
9. Completa la tabla con base en las equivalencias.
1 m = 10 dm
1 m = 100 cm
1 m = 1 000 mm
Debido a que el metro es la unidad básica de longitud del Sistema Internacional, 3 mm se representan 30 63 como ____ m y 63 cm, como ___ m. 1 000 100
Cantidad con letra 87 mm 73 dm
Oriéntate Una fracción decimal tiene por denominador un múltiplo 9 de 10. Por ejemplo: __ , 10 28 ____ 9 72 ___ y son fracciones 100 1 000 decimales.
20
Bloque 1 Lección 1
137 cm 19 cm 9 dm
Fracción (m) 87 _____
Número decimal (m)
1 000
0.087
73 ___ 10
7.3
137 ___ 100 19 ___ 100 9 __ 10
1.37 0.19 0.9
Lección 1 10. Observa la imagen y contesta las preguntas.
a) ¿En cuántos triángulos pequeños se dividió el triángulo?
16 4 __
b) ¿Qué fracción del triángulo representan los triángulos color naranja? c) ¿Qué fracción y decimal representan los triángulos azules? d) ¿Qué número decimal representan los triángulos verdes?
16
5 __ 16 3 __ 16 =
y 0.3125 0.1875
11. Reúnete con tres compañeros. Lean el planteamiento y contesten las preguntas.
Una jarra contiene la misma cantidad que cuatro vasos grandes o cinco pequeños. a) ¿Qué fracción y decimal representan un vaso grande en relación con la jarra? b) ¿Qué fracción y decimal representan un vaso chico en relación con la jarra?
__1 4 1 __ 5
c) Si se llena un vaso grande y uno chico, ¿qué fracción de agua quedará en la jarra?
y 0.25 = 0.2 11 ___ 20
d) ¿El contenido total de la jarra alcanza para llenar dos vasos grandes y tres chicos? Argumenten su respuesta y escriban conclusiones en sus cuadernos. R. T. No, porque para llenar 2 vasos 22 11 __ chicos se necesitan ___ o 20 10 que es más que la unidad. 12. Analicen, en grupo, la importancia de la división en la conversión de fracciones en números decimales. Escriban, en sus cuadernos, una conclusión general.
grandes y 3 vasos
TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-023a, donde se encuentran ejercicios interactivos para convertir números fraccionarios en decimales. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-023b, donde hay una actividad de conversión de fracciones en decimales. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-023c, donde se expone el uso de las fracciones en la vida cotidiana.
Para la bi†ácora
En las recetas de cocina se expresan las cantidades en números fraccionarios y decimales. Busca algunas recetas, identifica las porciones indicadas y escríbelas, en tu cuaderno, en números decimales.
Resuelve las actividades correspondientes a la lección 1 en la bitácora de la página 70. Lección 1 Bloque 1
21
Lección 2 Números fraccionarios y decimales II Eje: sentido numérico y pensamiento
algebraico Tema: números y sistemas de numeración
De regreso: conversión de números decimales en fracciones
Contenido Conversión de fracciones decimales y
no decimales a su escritura decimal y viceversa.
Teniendo en cuenta los malos resultados del examen diagnóstico, la profesora de Matemáticas aplicó otro examen de 40 reactivos. Si Orlando sacó 0.6 en su escala, ¿cuántos aciertos obtuvo? 1. Describe un procedimiento para responder la pregunta anterior y compáralo con el de tus compañeros. R. T. Ahora tenemos calificación y reactivos y la operación
inversa a la división es la multiplicación, entonces ahora solo basta multiplicar calificación por reactivos y obtenemos número de aciertos. 2. Reúnete con un compañero y completen la tabla. Alumno
Calificación en decimal
Calificación con letra
Calificación en fracción 6 __ 10 7 __ 10
Fracción reducida 3 __ 5 7 __ 10
Orlando
0.6
Seis décimos
Nancy
0.7
Siete décimos
Edna
0.45
Cuarenta y cinco centésimos
45 ___ 100
45 ÷ 5 9 _____ = __
Pedro
0.575
575 _____
Pablo
0.8
Quinientos setenta y cinco milésimos Ocho décimos
23 ___ 40 4 __ 5
100 ÷ 5
1 000 8 __ 10
20
3. Reúnete con tres compañeros y efectúen lo que se indica. a) Comenten por qué es posible afirmar que 0.45 es igual a 9 .
Por que 0.45 es igual a
45 ___ 100
20 y al reducir la fracción se obtiene
b) Escriban la conclusión en su cuaderno y arguméntenla.
9 ___ 20 .
c) Deduzcan, a partir de los datos de la tabla, el número de aciertos que obtuvo cada alumno.
Calificación por 40: Orlando 24, Nancy 28, Edna 18, Pedro 23 y Pablo 32.
d) Describan, en su cuaderno, el procedimiento que usaron.
4. Analiza, en grupo, los datos de la tabla de la actividad 2 y escribe en tu cuaderno
un procedimiento para transformar un número decimal en fracción. 5. Analiza las situaciones y contesta en tu cuaderno. a) ¿Por qué 0.7 y 0.700 representan la misma cantidad? Explica tu respuesta. R. T. Porque 0.7 es 7 700 700 70 7 _____ __ ____ ___ igual a __ 10 y 0.700 es igual7a 1000 al simplificar se obtiene 1 000 = 100 = 10 = 0.7, llegando b) ¿Por qué 0.700 equivale a 10 ? Explica tu respuesta. a la conclusión de que 0.7 = 0.700
7 es igual a 1700 c) ¿Cómo se determina si 10 000 ? Explica tu respuesta.
6. Comparte, con ayuda del profesor, tus respuestas del ejercicio 5 con el grupo. Comuniquen
sus dudas y comenten ideas para resolverlas.
22
Bloque 1 Lección 2
Lección 2
Un paso adelante 7. Observa que 2.25 tiene una parte entera y otra decimal. Explica en tu cuaderno
un procedimiento para convertir esta cantidad en una fracción. 8. Reúnete con un compañero compañero.. Compartan sus procedimientos procedimientos del punto anterior y úsenlos para transformar los siguientes números decimales en fracciones fracciones.. Decimal Fracción
3.12 12 3___
100 3 = 3___ 25
4.232
5.980
10.1
232 4_____ 1 000 29 = 4___ 125
980 5_____ 1 000 49 = 5___ 50
1 10 __ 10
4.002 2 4_____ 1 000 1 = 4 ____ 500
9. Colorea la parte que representa representa 0.20 de cada figura considerando que cada una corresponde a una unidad de área.
10. Comparte con tus compañeros el procedimiento que seguiste para encontrar las res-
puestas del ejercicio 9. Formulen una conclusión sobre el procedimiento más eficaz para resolverlo y escríbanlo en su cuaderno. Para transformar un decimal no periódico en fracción, se escribe el decimal sin punto en el numerador;
el denominador estará formado por un 1, seguido de un 0 o más según las cifras decimales que tenga el número inicial. Por último, se reduce a su mínima expresión. Por ejemplo, 0.625 se escribiría 1625 ; 000 625 125 25 5 finalmente se obtiene 1 000 = 200 = 40 = 8 al reducirlo. Cuando el número decimal tiene parte entera diferente de cero, se escribe el entero, y la parte decimal
Oriéntate Un número periódico es el decimal que tiene un periodo (cifras que se repiten indefinidamente) en su representación.
se transforma en fracción y se coloca a su derecha. Por ejemplo, ejemplo, 7.12 es igual a 12 3 7 100 , pero equivale a 7 25 al reducir la parte fraccionaria. De manera inversa, para convertir una fracción mixta en decimal, se escribe la parte entera seguida de un punto decimal; después, se suma el resultado de dividir el numerador entre el denominador. Por ejemplo,4 35 es igual a 4 + (3 ÷ 5), y se obtiene 4.6 donde el decimal es el resultado de la división.
Profundiza 11. Analiza los planteamientos y contesta las preguntas preguntas.. a) Irene tiene 1.5 kg de azúcar a zúcar.. ¿Cómo se expresa la cantidad en fracción?
1__21
750 _3_ __ b) Samanta necesita 2.750 m de tela. ¿Cómo se expresa la cantidad en fracción? 2_____ 1 000 = 2 4 3 __ c) Gerardo tiene 0.45 h para comer. ¿Cómo se expresa la cantidad en fracción? 4 4 800 8 __ __ d) Beatriz debe tomar 0.800 L de agua. ¿Cómo se expresa la cantidad en fracción? _____ 1 000 = 10 = 5 Lección 2 Bloque 1
23
Lección 2 Números fraccionarios y decimales II 12. Reúnete con un compañero y resuelvan los problemas. a) La mamá de Carlos desea repartir 1 kg de chocolates entre sus tres hijos de manera equitativa. i. ¿Qué cantidad de chocolates le corresponderá a cada uno? Escriban la respuesta
0.3 y
en número decimal y en fracción.
__1 3
ii. En la respuesta anterior, ¿cuántas cifras decimales se necesitan para que la cantidad sea precisa? Consideren que con un número decimal de expansión infinita nunca es posible escribir la última cifra. Expliquen su respuesta en su cuaderno y compártanla con el grupo. R. P. Es
mejor dejarla en fracción porque en decimal jamás se logrará terminar la división. b) Enrique tiene $200.00 y desea repartir el dinero equitativamente entre sus seis sobrinos. i. ¿Qué cantidad le corresponde a cada uno?
200 ____ 6
100 = ___ 3
ii. Expliquen, en su cuaderno, el procedimiento que emplearon para resolver el problema. 3 13. Convierte Convierte las fracciones ___13_ y __ en número decimal y contesta. 10
a) ¿Se obtiene la misma cantidad en ambas? Explica la respuesta en tu cuaderno. cuaderno.
No, uno es infinito y el otro finito.
profesor, tu respuesta con el grupo. Registren en su cuaderno sus dudas b) Comparte, con ayuda del profesor, y comenten alternativas para resolverlas. 14. Analiza la tabla. Fracción 1 4
Decimal
Tipo de decimal
0.25
Exacto
1 3
0.3333…
Periódico puro
11 6
1.8333…
Periódico mixto
Característica de la parte decimal Tiene un número limitado de cifras decimales. Las cifras decimales después del punto se repiten indefinidamente. Las cifras decimales que se repiten de manera indefinida no empiezan inmediatamente después del punto decimal.
15. Reúnete con un compañero y analicen los siguientes procedimientos. procedimientos. Para transformar un número decimal periódico
Para transformar un número decimal periódico
puro en fracción
mixto en fracción
1. Observar cuántas cifras decimales se repiten. En el ejemplo, el número 3 se repite indefinidamente después del punto decimal.
1. Multiplicar por 10×10×10×… etc., n veces, con n igual a las cifras decimales que anteceden a la cifra periódica más las cifras que componen el periodo (cifras que se repiten)
Fracción desconocida = 0.3333… Para simplificar la igualdad anterior, denominar la
“fracción desconocida” con la letra x x = = 0.3333…
2. Multiplicar por 10×10×10×… etc., n veces, donde n sea igual al número de cifras que conforman el periodo 3. Restar el resultado del punto 2 al resultado
del punto 1
24
Bloque 1 Lección 2
Lección 2 2. Multiplicar ambos lados de la igualdad por 10, ya que la cifra que se repite es de un dígito; si
4. Dividir ambos lados de la igualdad entre el número que acompaña a la x . Ejemplo:
dos cifras se repitieran, se multiplicarían por
100, y así sucesivamente
a) En 1.833333 1.833 333 …, se repite una cifra, el 3, y la cifra
10 � x = = 3.3333… (multiplicar ambos lados de la igualdad por 10) 3. Restar las igualdades 10 � x = = 3.3333… – = 0.3333… x = 9 � x = = 3
decimal que le antecede es una, el 8, por tanto se multiplicará por 10 × 10 = 102 = 100. 100 × x = = 183.333… b) El periodo se conforma por una cifra, por tanto
se multiplica por 10 × 1 = 10. 10 × x = = 18.333…
4. Dividir ambos lados de la igualdad entre el número que acompaña a x (en (en este caso se
c) Restar
divide entre 9) 9
= 39 9 x = 1 � x = = 39 x = = 13
100 � x = = 183.333… – 10 � x = = 18.333… 90 � x = = 165
d) Dividir ambos lados entre 90 y reducir la fracción 11 x = = __ 6
5. Con el procedimiento anterior, concluir que
0.3333… es igual a 13
16. Transforma, en tu cuaderno, los decimales en fracción. a) 0.6666… _
2 3
d) 0.2222…
c) 0.090909… _
b) 0.111… _
_2 9
1 9
1 11
e) 0.181818… _
2 11
Oriéntate Es usual que no se escriba el 1 junto a la x , ya que 1 � x = = x .
17. Planteen en su cuaderno, de de forma grupal, un caso donde se pueda convertir un número decimal en uno fraccionario mediante división. a) Analicen el uso de la división en la conversión de números decimales en fracciones fracciones..
anterior. b) Escriban en su cuaderno una breve conclusión del inciso anterior.
TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-025a www.e-sm.com.mx/matret1-025a,, donde hay una actividad de conversión de fracción en decimal y viceversa. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-025b , donde se explica un procedimiento para convertir fracciones en decimales y viceversa. Explora el video www.e-sm.com.mx/matret1-025c www.e-sm.com.mx/matret1-025c,, donde se muestra la conversión de decimales en fracciones en un planteamiento de la vida cotidiana.
Para la bitácora Resuelve las actividades correspondientes a la lección 2 en la bitácora de la página 70.
La agrimensura es una disciplina dedicada a la delimitación de superficies y usa instrumentos, como las cintas métricas. Mide las dimensiones de tu habitación y exprésalas en números decimales y fraccionarios. Lección 2 Bloque 1
25
Lección 3 Números fraccionarios y decimales III Eje: sentido numérico y pensamiento
algebraico Tema: números y sistemas de numeración
Contenido Representación de números fracciona-
rios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones,
analizando las convenciones de esta representación.
Las pizzas: fracciones en la recta numérica Los alumnos de 1° A están organizando un convivio para el Día del Estudiante. Para ello, formaron cinco equipos: el primero con seis integrantes, el segundo con ocho, el tercero con diez, el cuarto con siete y el quinto con nueve. Cada equipo comprará una pizza del mismo tamaño y tipo, y deberá repartirla en porciones iguales según el número de integrantes. 1. Responde las preguntas y haz, en tu cuaderno, lo que se pide. a) Si las pizzas son iguales, ¿en la de qué equipo habrá rebanadas más grandes?
En la del primer equipo, el de seis integrantes. b) Explica el procedimiento que seguiste para encontrar la respuesta. R. T. Entre menos partes tiene la pizza, cada parte tiene más masa. 2. Reúnete con un compañero. Comparen su procedimiento del ejercicio anterior y discutan
las diferencias y semejanzas que encontraron. 3. Contesta y efectúa lo que se solicita con base en el dibujo que representa una pizza dividida en rebanadas.
Oriéntate En la recta numérica, los números positivos se encuentran a la derecha del 0. − +
0
a) ¿Entre cuántas personas se repartirá si se distribuye en partes iguales?12, 6, 4, 3 o 2 personas. b) Redacta, en tu cuaderno, cómo encontraste la respuesta anterior. 4. Dibuja, en tu cuaderno, las pizzas divididas en rebanadas iguales de cada equipo del grupo 1° A. Comparte tu procedimiento con el grupo. Con ayuda del profesor redacten uno en su cuaderno. 5. Contesta las preguntas y haz lo que se pide. Considera que en la recta numérica se representa la pizza como unidad.
R. P.
1 0 a) Si cada división indica una rebanada, ¿en cuántas rebanadas se repartió la pizza? En siete partes. son entre sí las rebanadas? b) ¿Cómo
Iguales.
c) Redacta, en tu cuaderno, el razonamiento que seguiste para encontrar la respuesta.
R. P.
6. Compara tus respuestas del ejercicio anterior con las de tus compañeros. Lleguen a un acuerdo sobre cómo interpretar las rectas numéricas.
26
Bloque 1 Lección 3
Lección 3
Un paso adelante 7. Relaciona cada recta numérica con el dibujo correspondiente. Considera el número de partes en que está dividida cada unidad.
0
1
0
1
0
1
0
1
8. Ubica, en la recta numérica, la parte sombreada de la figura y contesta en tu cuaderno.
_3 16
1
0
a) ¿Qué fracción representa la parte sombreada?
_3 . 16
b) ¿En cuántas partes dividiste la recta? ¿Por qué? Se dividió la recta en 16 partes. R. T. Por
que el denominador de una fracción indica en cuántas partes se divide el entero.
9. Comenta con tu grupo las estrategias que seguiste en las actividades 5 y 6.
10. Reúnete con tres compañeros. Analicen el problema y contesten lo que se pide. En el grupo 1° B compraron pizzas divididas en ocho rebanadas iguales; cada una será para un equipo y los integrantes deberán recibir una rebanada igual (del tamaño en que viene cortada). a) Si un equipo está conformado por once integrantes, ¿alcanzará una pizza para dar una rebanada
igual a cada uno? ¿Cuántas pizzas divididas en ocho rebanadas necesitan?
No. Once.
b) Expliquen las respuestas en sus cuadernos y representen, en una recta, las rebanadas que se
necesitan. c) Si todas las pizzas están divididas en ocho rebanadas iguales, ¿qué fracción representan las
rebanadas que se requieren para el equipo?
88 _
Oriéntate Cuando una fracción es impropia se utiliza más de un entero para representarla.
11
d) Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y redacten, en sus cuadernos, una breve conclusión respecto al tipo de fracciones obtenidas. Lección 3 Bloque 1
27
Lección 3 Números fraccionarios y decimales III
Profundiza 11. Reúnete con un compañero y hagan, en sus cuadernos, lo que se indica. 3 2 1 -1 - _4_ - _4_ - _4_
0 _4_ Recta 1 1
_2_ 4
_3_ 4
1
_1_ 4
0
_2_ 4
_3_ 4
1
Recta 2
a) Discutan y redacten las diferencias y similitudes entre las dos rectas numéricas. b) Si la fracción que se desea ubicar en ambas rectas es _34_, ¿qué diferencia hay entre ellas? c) Compartan sus respuestas con el grupo. 12. Lean la siguiente afirmación con su grupo, reflexionen sobre ella y redacten una conclusión.
Es posible colocar el cero en la recta numérica donde mejor convenga, sin olvidar que los números positivos están a su derecha de manera creciente y que el espacio entre cada división debe ser el mismo.
13. Algunas pizzas se han dividido de maneras diferentes. Contesta y haz lo que se pide.
Pizza 1
Pizza 2
Pizza 3
Pizza 4
Pizza 5
a) ¿Qué fracción representa una rebanada de cada pizza? Pizza 1
1 __ 6
Pizza 2
__1 8
Pizza 3
__1 10
b) Ubica, en la recta, las fracciones anteriores.
1 __ 7
Pizza 4
1 __ 6
1 __ 7
__1 8
0
Pizza 5
__1 9
__1 9
__1 10
1
14. Contesta con tu grupo las preguntas siguiendo las respuestas del ejercicio anterior,y
redacta las explicaciones en tu cuaderno. a) ¿Una recta numérica sirve para ordenar cantidades?
Sí.
b) ¿Qué fracción ubicaron en el extremo derecho de la recta numérica? 1 __ 6
c) ¿Qué representa esa fracción en dicho lugar de la recta?
Es la mayor, es la que más se acerca al 1, es la que tiene mayor masa.
d) ¿De qué pizza las rebanadas son más grandes?
Pizza 1.
28
Bloque 1 Lección 3
Lección 3 15. Lee con tu grupo la siguiente afirmación, analícenla, den algunos ejemplos y redacten una conclusión.
Entre los diversos recursos que hay para comparar fracciones, se encuentra la recta numérica. En ella, las cantidades ubicadas a la izquierda siempre serán menores que las situadas a la derecha. 16. Ubica, en tu cuaderno, las fracciones _35_, _73_, _34_, _85_ y _58_ en una recta numérica y ordénalas de menor a mayor según su valor. 3 _5_ _3_ __ 8 _7_ __ , , , 5 8 4 5, 3 17. Reúnete con un compañero y efectúen, en su cuaderno, lo que se indica. 1 4
3 5
a) Escriban dos fracciones ubicadas entre _14_ y _35_, y expliquen el procedimiento que usaron para
encontrarlas.
R.T.
2 __ 5
y
_2_ 4
b) ¿Cuántas fracciones es posible localizar entre _14_ y _35_? Escriban algunas que hayan encontrado y comparen sus respuestas con el grupo.
infinidad
c) ¿Quién encontró más fracciones? Es posible situar un número indeterminado de fracciones. ¿Pueden
explicar por qué? Básense en el ejercicio anterior.
R. P.
d) Expliquen qué pueden hacer para que las fracciones _14_ y _35_ tengan un común denominador.
Consideren que, si ambas comparten el mismo denominador, es más fácil compararlas en la recta y encontrar otras fracciones entre ellas.
Oriéntate Al multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número (excepto el cero), se obtiene una fracción equivalente.
R. P.
e) Conviertan __41 y _53_ en fracciones equivalentes con denominador común y mencionen cinco fracciones
que se ubiquen entre ellas.
5 12 ___ 6 ___ 7 ___ 8 ___ 9 ___ 10 ___ ___ 20 y 20 . 20 , 20 , 20 , 20 , 20 18. Compartan sus respuestas del ejercicio anterior con el grupo, lean la siguiente afirmación
R. T.
y discútanla. Luego analicen las características de la recta numérica y sus ventajas para ubicar números.
Entre dos números fraccionarios hay siempre otro situado en la recta numérica; a esta propiedad se le denomina densidad.
TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-029a, donde se encuentran actividades para ubicar fracciones en la recta numérica. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-029b, donde hay una actividad de comparación de fracciones Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-029c, donde se explica un procedimiento para situar fracciones en la recta numérica.
Para la bitácora Resuelve las actividades correspondientes a la lección 3 en la bitácora de la página 70. Lección 3 Bloque 1
29
Lección 4 Números fraccionarios y decimales IV Eje: sentido numérico y pensamiento
algebraico
Tema: números
numeración
y sistemas de
La receta: decimales en la recta numérica En la exposición final del taller de cocina, Angélica preparó una tarta de queso con estos ingredientes.
Contenido • 0.150 kg de azúcar • 0.250 kg de galletas • 0.200 kg de mantequilla • 0.050 kg de mermelada • 0.100 kg de nata • 0.300 kg de queso fresco
Representación de números fracciona-
rios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones,
analizando las convenciones de esta representación.
Oriéntate Recuerda que un 0 o más a la derecha de un número decimal no afecta su valor. Por ejemplo, 1.700 es igual a 1.7, aunque haya más de un 0 a la derecha.
1. Ordena las cantidades anteriores de menor a mayor valor.
0.050, 0.100, 0.150, 0.200, 0.250, 0.300 2. Explica el procedimiento que seguiste para ordenar los números decimales.
R. T. Observando el valor de los décimos y posteriormente de los centésimos. 3. Ubícalos en la recta numérica.
0.100 0.200 0.300
1
0 0.050 0.150 0.250
acuerdo con la receta, ¿qué ingrediente fue el más usado? 4. De ¿Por qué?
Queso
porque es el que está ubicado más a la derecha de todos.
5. Reúnete con un compañero. Transformen las fracciones en números decimales, localícenlos
en la recta numérica y contesten en su cuaderno. 8 10 ,
0.8 0.1
4 10 ,
1 10 ,
6 10 ,
3 10
0.4
0.1
0.6
0.3
0.3 0.4
0.6
0.8
0
1
a) ¿En cuántas partes se debe dividir la recta numérica para situar las fracciones si se considera
su denomidador común? Argumenten su respuesta. 10, por que el denominador indica en cuántas partes se divide el entero o la unidad
32 o su equivalente decimal (0.32), ¿en cuántas partes dividirían la b) Si ubicaran la fracción ___ 100 unidad en la recta numérica? Argumenten su respuesta. 100, por que el denominador
indica en cuántas partes se divide el entero o la unidad cuáles son viables y lleguen a un acuerdo. R. P.
c) Comenten, en grupo y con ayuda de su profesor, sus respuestas de los incisos anteriores. Concluyan
30
Bloque 1 Lección 4
Lección 4
Un paso adelante 6. Reúnete con tres compañeros. Analicen el planteamiento y efectúen lo que se pide. a) Para ubicar 0.3 y 0.7 en la recta numérica necesitamos dividir la unidad en diez partes iguales.
0.3
0
1
0.7
Ahora para localizar 0.32 (treinta y dos centésimos) no es necesario dividir la unidad
en cien partes, basta partir en diez el espacio comprendido entre 0.3 y 0.4.
0.30
0.32
0.34
0.36
0.38
0.40
Observen que en la primera recta numérica dividimos la unidad en diez partes, y en la segunda
tomamos una décima parte de la primera y la volvimos a segmentar en diez.
0.7
0.3
0
0.30
0.32
0.34
0.36
1
0.38
0.40
i. Tracen, en su cuaderno, otra recta numérica y dividan el segmento comprendido entre 0.32 y 0.33 en diez partes para ubicar el decimal 0.322.
0.32 0.322
0.33
ii. ¿Es posible repetir este proceso indefinidamente? Discutan su respuesta con el profesor y sus compañeros.
R.P.
iii. Consideren marcar las divisiones que hay entre 0 y 1 en una sola recta. ¿Cuántos números
decimales podrían encontrar?
infinidad
iv. Ubiquen en la recta tres números decimales comprendidos entre 0.9 y 1. Recuerden que pueden
asignar el valor que les convenga en los extremos; no es necesario que la recta inicie en 0, aunque sí es importante que la distancia entre las divisiones sea la misma.
R. T. 0.95, 0.98, 0.99 0.9
0.95
0.98 0.99 1
b) Localicen en la recta los números decimales 0.132 y 0.139.
0.130
0.132
0.139 0.140
c) Compartan sus respuestas con el grupo y el profesor. Comenten las dificultades que tuvieron
para ubicar las cantidades anteriores en la recta numérica. Aporten posibles soluciones ante las dificultades presentadas. Lección 4 Bloque 1
31
Lección 4 Números fraccionarios y decimales IV
Profundiza Siempre hay más de un número decimal situado entre otros dos (como sucede también con los números
fraccionarios). A esta propiedad se le denomina densidad. 7. Resuelve los problemas. a) Identifica cinco números decimales diferentes en la recta numérica.
R. P.
1.420
1.410
b) Escribe un número decimal que sea mayor que 0.311, pero menor que 0.312. 4
R. P.
11
c) Ubica 5 , 0.9, 0.6, 1.1 y 6 en la recta numérica.
_4_ 0.9 1 0 0.6 1.1 5 d) Ordena los números del inciso anterior de mayor a menor valor.
_4_ 5
11 __ 6
0.6, , 0.9, 1, 1.1,
11 __ 6
2
8. Reúnete con un compañero y efectúen lo que se indica. 3 __ 5
3
a) ¿Qué número es mayor: 0.5 o 5 ?
b) Describan el procedimiento que emplearon para encontrar la respuesta anterior.
R. T. Dividiendo tres entre cinco para encontrar el decimal equivalente y comparar con 0.5 3
c) Ubiquen, en la recta numérica, 0.5 y 5 .
0 0.5 __53 1 3_ _ d) Escriban tres decimales y tres fracciones que se encuentren entre 0.5 y 5 . R. P. e) Ubiquen, en la recta numérica, los números que escribieron en el inciso anterior.
R. P.
f) Elaboren en su cuaderno y de manera grupal una conclusión sobre cómo determinar qué numero es mayor que otro utilizando la recta numérica.
32
Bloque 1 Lección 4
Lección 4 9. Reúnete con tres compañeros. Analicen el planteamiento y contesten las preguntas
basándose en la recta numérica. a) En la escuela secundaria "Horacio Zúñiga" se desea cercar el huerto escolar que tiene forma
rectangular. Se colocará un poste en cada esquina y otros a lo largo y ancho del terreno. i. El ancho del huerto es de 3 m y se desean colocar cinco postes (incluyendo los de las esquinas) separados a la misma distancia entre ellos. ¿A cuántos metros se encontrarán entre sí? 3 __ 5
Escriban la respuesta en fracción y número decimal.
y 0.6 m
ii. Ubiquen los postes en la recta numérica.
iii. El largo del terreno es de 4 m, pero solo se desean colocar cuatro postes (contando los de l as esquinas). Si este lado se ha dividido en partes iguales, ¿qué distancia habrá entre ellos?
1m 10. Compara los números fraccionarios y decimales; utiliza los símbolos > (mayor que), < (menor que) o = (igual a), según corresponde. a) 0.42
>
0.4
b) 0.56
>
1 2
1 c) 6
<
0.7
d) 1 e) 3.7 f) 4.7 > 0.3 < 3.701 = 4.710 3 11. Escribe con tu grupo los pasos necesarios para comparar dos números fraccionarios o decimales. 12. Registra en el cuaderno tus dudas y, con ayuda de su profesor, comenta cómo resolverlas.
TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-033a, donde hay actividades para ubicar decimales en la recta numérica. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-033b, donde se encuentran actividades para ordenar decimales de mayor a menor cantidad.
Explora el video www.e-sm.com.mx/matret1-033c, donde se aplica el uso de la recta numérica en un planteamiento de la vida cotidiana.
Para la bitácora
La cinta métrica es un instrumento de medida graduado en centímetros. Consigue una cinta métrica y mide la estatura de diez compañeros. Escribe en tu cuaderno las medidas en decimales y fracciones.
Resuelve las actividades correspondientes a la lección 4 en la bitácora de la página 70. Lección 4 Bloque 1
33
Lección 5 Problemas aditivos Eje: sentido numérico y pensamiento
algebraico Tema: problemas aditivos
Contenido Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una ope-
ración de suma y resta de fracciones.
Las albercas: suma y resta de fracciones 4
En una alberca vacía se vertió agua hasta cubrir 7 de su capacidad y, posteriormente, se añadió el equivalente a 29 de su totalidad. 1. Contesta la pregunta y haz lo que se indica. 13 ___ 63
a) ¿Qué fracción representa la parte de agua que falta para llenar la alberca? b) Explica la estrategia que usaste para responder la pregunta.
R. T. Sumar las fracciones
dadas y restar el resultado a la unidad
2. Otra alberca infantil estaba llena. Para evitar que se enfriara el agua se vació 35 del total y se vertió agua caliente hasta cubrir 9 de su capacidad. 10
__1 2 __1 10
a) ¿Qué fracción representa la cantidad de agua caliente que se vertió? b) ¿Qué fracción representa la cantidad que falta para llenar la alberca?
c) Expresa el planteamiento anterior en la recta numérica (el 0 representa que la alberca está vacía; el 1, que está llena). 4 __
9 __
10
10
1
0
1
3. En esta semana le están dando mantenimiento al chapoteadero: ayer pintaron 2 1
de su superficie y hoy solo alcanzaron a cubrir 6 más, pero ya se terminó la pintura.
a) ¿Qué superficie del chapoteadero falta pintar?
2 __ 6
=
4 b) ¿Qué fracción representa la superficie pintada? __ 6
=
_2_ 3
__1 3
2 4. Una escalera tiene 19 de su longitud sumergida en el fondo de un estanque y 11 fuera del agua.
a) ¿Qué fracción representa la parte cubierta de agua?
70 ___ 99
b) Para responder el inciso anterior, tal vez usaste dibujos, recta numérica o sumas y restas. ¿Qué procedimiento empleaste? ¿Utilizaste uno diferente? Explica en tu cuaderno. R. P. c) Comparte con un compañero el procedimiento que empleaste. d) Anota en el cuaderno tus dudas. Con ayuda del profesor, coméntalas con el grupo y entre todos encuentren maneras de resolverlas.
34
Bloque 1 Lección 5
Lección 5
Un paso adelante 5. Reúnete con un compañero. Analicen el planteamiento y contesten. a) Un carpintero cubre un piso con madera en 6 h; en cambio, su ayudante lo hace en 10 h. 4 __
i. Si trabajaran juntos, ¿qué parte de la superficie del piso cubrirían en 1 h?
15
ii. Expliquen la estrategia que usaron para responder la pregunta.
R. P.
iii. ¿Qué fracción representa el área que cubre el carpintero en 1 h?
1 __ 6
iv. ¿Cuál representa la superficie que cubre el ayudante en 1 h?
__1 10
v. ¿Qué fracción representa el área que les falta cubrir después de trabajar juntos durante 1 h? 11 __
Oriéntate
15
6. Resuelve el problema. a) Federico es pescador; hoy vendió 16 del total que pescó, entregó 13 en el mercado, guardó 14 para su familia y donó el resto a un albergue. ¿Qué fracción de su pesca donó? __1 4
7. Redacta, en tu cuaderno, dos problemas que se resuelvan con estas operaciones. 3 = a) 1 − 47 + 14
Recuerda que en la suma se aplica la propiedad conmutativa, según la cual el orden de los sumandos no altera el resultado. Por ejemplo: 5 + 3 = 3 + 5. Pero en la resta el orden sí afecta el resultado.
R. P.
1 + 3 – 2 = b) 15 5 10
8. Observa los gráficos y escribe una expresión con fracciones (suma o resta) que exprese su comportamiento. Gráfico 1
8 8 16 __ __ __ 16 + 16 = 16 = 1
Gráfico 2
16 __ 2 14 __ __ _7_ 16 - 16 = 16 = 8
Gráfico 3
16 __ 6 10 __ __ _5_ 16 - 16 = 16 = 8
Gráfico 4
16 __ 8 8 __ __ __1 16 - 16 = 16 = 2
9. Reúnete con un compañero. Discutan sus respuestas y redacten una conclusión.
R. P.
Lección 5 Bloque 1
35
Lección 5 Problemas aditivos
Profundiza 10. Reúnete con un compañero y resuelvan mentalmente los problemas. 1
1
a) El lunes un jardinero podó 2 del césped de un campo de futbol; el martes, 4 ; el miércoles no trabajó; y el jueves solo cortó 1 . ¿Qué fracción del césped le faltó podar? 8
__1 8
b) En la escuela de Carlos promocionaron la actividad “El kilómetro del libro”. El objetivo era formar 1 km de libros alineados sobre el piso. Durante tres días sus compañeros lo construyeron: el primer día avanzaron 23 km; el segundo, 16 km; y el tercero, 11 km. ¿Qué fracción representa la parte que 2 les faltó para completar el kilómetro? 1 __ 12 1
1
c) Enriqueta preparó una gelatina y la repartió de esta manera: dio 8 a su esposo, 16 a su bebé y 1 a su vecina. Si guardó el resto en el refrigerador, ¿cuánto sobró? 2 5 __ 16
11. Completa la tabla efectuando la operación que se indica. Fracción – 15
Fracción
Fracción + 23
1 ___ 20 8 ___ 35 1 ___ 45
1 4 3 7 2 9
11 __ 12 23 ___ 21 _8_ 9
12. Resuelve los problemas. 1
1
Oriéntate Recuerda que, para sumar o restar fracciones mixtas, primero debes transformarlas en fracciones impropias y, posteriormente, aplicar el método que más te convenga.
3
a) Jesús compró 3 2 kg de manzana, 1 4 kg de peras y 2 4 kg de carne. 7__21 i. Si mete todo en una bolsa, ¿cuánto pesará en total? ii. Si le recomendaron cargar solo 6 kg en la bolsa porque esta se puede romper con más peso,
¿le convendrá meter todo lo que compró?
No
Argumenta tu respuesta.
porque todo junto pesa más de 6 kg 3
1
1
b) Pilar salió de su trabajo y caminó durante 4 h, comió en 2 h y regresó en un autobús que tardó 6 h. 1
i. Si en su trabajo le dan 1 2 h para comer, ¿le faltó tiempo o le sobró? Explica tu respuesta. 17 5 __ Sobró, sumar los tiempos _34_ + __21 + __61 = __ ó 1 12 12
ii. ¿Cuánto tiempo le faltó o le sobró?
36
Bloque 1 Lección 5
1 Sobra __ 12 de hora o 5 minutos
Lección 5 13. Analiza los gráficos y contesta lo que se pide. a) El entero está representado por la figura
¿Qué fracción representa cada triángulo? b) Expresa, con fracciones, la operación de los gráficos.
2
-( -(
+ +
2 __ 12
6 __ 12
. Observa esta división: 1 __ 12
)= )=
16 __ 12
c) Expresa los gráficos con fracciones.
42 ___ 12
=
18 __
_7_ 2
12
=
_3_ 2
14. Completa la tabla de manera que al sumar cada fila o columna el resultado sea 1. 1 4
3 5
27 ___ 4 ___ 70 51 ___ 140
3 ___ 20
35
1 2
2 7
7 ___ 20
15. Construye, en tu cuaderno, dos modelos de gráficos donde utilices sumas y restas de fracciones.
a) Compara tus modelos con los de tus compañeros y analicen las diferencias. b) Discute con tu grupo las diferencias entre la suma de enteros y la suma de fracciones.
TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-037a, donde hay actividades para sumar y restar fracciones.
Explora www.e-sm.com.mx/matret1-037b, donde se encuentra una actividad de suma y resta de fracciones. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-037c, donde se explica cómo sumar fracciones con diferente denominador.
Consigue una manzana y divídela en octavos (lo más exacto posible). Describe en tu cuaderno el procedimiento que seguiste.
Para la bitácora Resuelve las actividades correspondientes a la lección 5 en la bitácora de la página 70. Lección 5 Bloque 1
37
Lección 6 Sucesiones numéricas y figurativas Eje: sentido numérico y pensamiento
algebraico Tema: patrones y ecuaciones
Contenido Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de
una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las
reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras.
Las tarjetas: sucesiones numéricas El encargado de Recursos Humanos de la tienda departamental Todo Barato debe llevar el control de asistencia y puntualidad de los empleados: cada semana, recoge las tarjetas en que ellos registran sus horas de entrada y salida. En el departamento de Abarrotes, las tarjetas están foliadas como se indica en la tabla. Observa
que el número de folio sigue una secuencia. Empleado
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Folio
418
421
424
427
430
433
436
439
442
445
448
451
1. Reúnete con un compañero y hagan lo que se pide. a) En este mes, tres personas entraron a trabajar en el departamento de Abarrotes. ¿Qué folio
les corresponderá si son los empleados 13, 14 y 15, respectivamente?
454
457
460
b) Describan, en su cuaderno, el procedimiento que siguieron para encontrar las respuestas
de la pregunta anterior. c) ¿Qué folio corresponderá al empleado 20?
475
d) Redacten, en su cuaderno, el procedimiento para encontrar el folio del empleado 100.
Un paso adelante En el departamento de Juguetería, se manejan los folios que se muestran en la tabla. Empleado
1
2
3
4
5
6
7
8
Folio
706
707
708
709
710
711
712
713
2. Describe, en tu cuaderno, el procedimiento para encontrar el folio de cada empleado.
705 + número de empleado
758
3. ¿Qué folio le corresponderá al empleado 53?
Glosario La sucesión es un conjunto ordenado de términos que cumplen una ley determinada. En este caso, la palabra término se refiere a cada número que la integra.
4. Observa la sucesión y responde las preguntas .
4, 7, 10, 13, 16… a) ¿Qué número ocupará la décima posición? b) ¿Cuál es la regla que sigue la sucesión?
31 sumar 3 al anterior
c) La sucesión tiene un orden dado por una regla. Inventa, en tu cuaderno, una sucesión de diez términos y escribe la regla que sigue. Compártela con tus compañeros. d) Elige, grupalmente, una sucesión y verifiquen entre todos la regla propuesta.
38
Bloque 1 Lección 6
Lección 6
Las formaciones: sucesiones figurativas Para fin de curso, los alumnos de primer grado de la escuela "Horacio Zúñiga" presentarán una tabla gimnástica. Ellos se irán incorporando a la presentación para formarse en “V”: en el primer momento solo estará un estudiante, pero en los siguientes se integrarán los demás de dos en dos. 5. Observa la tabla que representa la formación de los alumnos y contesta las preguntas. Momento
1
2
3
4
5
1
3
5
7
9
Formación
Número de alumnos
11,
a) ¿Cuántos alumnos se incorporarán en los momentos 6 y 7?
13 8
b) ¿En qué momento de la presentación se integrarán quince estudiantes?
19
c) ¿Cuántos alumnos se incorporarán en el momento 10?
d) Describe, en tu cuaderno, el procedimiento que seguiste para encontrar las respuestas anteriores. e) Comparte con el grupo tu procedimiento, comenten dudas y con apoyo de su profesor intercambien
ideas para aclararlas.
Un paso adelante 6. Reúnete con tres compañeros, observen la sucesión y respondan las preguntas
en su cuaderno.
...
1
2
3
4
a) ¿Cuántos puntos habrá en las figuras de los lugares 5, 6 y 7?
25, 36, 49
b) ¿Cuántos puntos habrá en la figura que ocupe el lugar 20?
400
c) ¿Cuántos puntos hay en la base de cada figura?
5
1, 2, 3, 4, 5, 6
d) ¿Qué operación deben efectuar para obtener el número de puntos de cada figura si consideran como referencia la cantidad que hay en la base? Multiplicar por sí mismo, 1 x 1, 2 x 2, 3
x 3, 4 x 4, 5 x 5, 6 x 6
e) Compartan sus respuestas con el grupo y elaboren una conclusión. Lección 6 Bloque 1
39
Lección 6 Sucesiones numéricas y figurativas
Profundiza La sucesión o progresión aritmética es una secuencia de números donde cada uno se diferencia del anterior (excepto el primer término) por una cantidad constante denominada diferencia común. Por ejemplo: 7, 11, 15, 19… es una sucesión o progresión aritmética porque la constante entre
un término y el anterior es 4. 7. Analiza el procedimiento para obtener la regla de la sucesión aritmética y completa la tabla.
a) Obtener la diferencia común de la sucesión: restar a un término el anterior b) Restar al primer término de la secuencia dicha diferencia común. c) Regla: multiplicar el lugar del término por la diferencia común y sumarle el resultado anterior Sucesión
Diferencia Diferencia (b) común (a)
6, 8, 10, 12, 14…
2
8, 13, 18, 23…
5 1
5, 6, 7, 8…
6–2=4
Regla (c)
Término en el lugar 15
multiplicar el lugar del término por 2 y sumar al resultado 4
15 × 2 + 4 = 34
8 - 5 = 3 Lugar del término por 5 más 3 15 x 5 + 3 = 78 5 - 1 = 4 Lugar del término por 1 más 4 15 x 1 + 4 = 19
La sucesión o progresión geométrica es una secuencia de números donde cada término (excepto
el primero) se obtiene al multiplicar el anterior por uno fijo. A esta relación constante se le denomina razón común. Por ejemplo: 6, 36, 216, 1 296… es una sucesión o progresión geométrica porque al multiplicar
un término por una cantidad fija (6) se obtiene el siguiente. 8. Analiza el procedimiento para obtener la regla de la sucesión geométrica y completa la tabla.
a) Obtener la razón común de la sucesión: dividir un término entre el anterior b) Regla: multiplicar la razón común por sí misma tantas veces como el lugar del término Sucesión
Razón común (a)
Regla (b)
Término en el lugar 6
4, 16, 64, 256…
4
multiplicar 4 por sí mismo tantas veces como lo indica el lugar del término 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 4 096
2, 4, 8, 16…
2
multiplicar 2 por sí mismo tantas veces como lo indica el lugar del término
2 × 2 × 2 × 2 × 2 2 = 64
3, 9, 27, 81…
3
3 elevado a la potencia del lugar donde se ubique el término
36 = 729
En una sucesión figurativa se debe analizar el acomodo de las figuras y obtener una secuencia numérica a partir de los elementos utilizados. c) Comenta con el grupo tu respuesta y las dificultades presentadas durante la actividad; compartan ideas para superarlas.
40
Bloque 1 Lección 6
Lección 6 9. Reúnete con tres compañeros, observen la sucesión y respondan las preguntas en su cuaderno.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
a) ¿Qué sucesión se forma con el número de elementos de cada figura?
Figura 4
3, 6, 9, 12, 15,
b) ¿La sucesión formada es aritmética o geométrica?
aritmética
c) Redacten la regla que sigue la sucesión anterior.
3 por el lugar del término
Figura 5
…
10. Completa las tablas (solo escribe los primeros tres términos de la sucesión). Sucesión
Diferencia o razón común
Regla
Diferencia común = 8
multiplicar el lugar del término por 8 y restarle al resultado 2
5, 25, 125, …
razón común: 5
5 elevado a la potencia del lugar donde se ubique el término.
11, 16, 21…
Diferencia común = 5
Lugar del término por 5 más 6
6, 14, 22,
…
Sucesión figurativa
Sucesión numérica Diferencia o razón común
5, 9, 13, …
2, 4, 8,
…
Regla
Diferencia común = 4
Lugar del término por 4 más 1
Razón común = 2
2 elevado a la potencia del lugar donde se ubique el término.
11. Organiza un debate de manera grupal relacionado con las características de una sucesión y los procedimientos para encontrar la regla que las define. Redacten, en su cuaderno, una breve conclusión.
TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-041a, donde se encuentra una actividad con geometría dinámica y sucesiones geométricas. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-041b, donde hay una actividad sobre sucesiones de figuras. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-041c, donde se muestran algunos ejemplos de sucesiones numéricas.
Para la bitácora Resuelve las actividades correspondientes a la lección 6 en la bitácora de la página 70.
En la naturaleza es posible identificar sucesiones numéricas. Por ejemplo, la piña de los pinos tiene espirales que van en sentido de las manecillas del reloj y otras en sentido contrario. ¿En qué plantas del jardín puedes observar un caso similar? Lección 6 Bloque 1
41
Lección 7 Significado de algunas fórmulas geométricas Eje: sentido numérico y pensamiento
algebraico Tema: patrones y ecuaciones
Contenido Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar a las literales como números generales
con los que es posible operar.
La tarea: enunciado del procedimiento para calcular el perímetro de una figura Carmen se enfermó y no pudo asistir a la escuela durante una semana. Quería enterarse de qué habían
visto en la clase de Matemáticas, así que llamó a su amiga Susana para preguntarle. Ella le explicó que el último tema fue cálculo de perímetros. 1. Ayuda a Susana a redactar una breve explicación de cómo se calcula el perímetro
de un polígono regular y de uno irregular.
R. P.
Oriéntate Recuerda que un polígono regular tiene todos sus lados y ángulos iguales, mientras que los irregulares NO tienen todos sus lados y ángulos iguales.
2. El perímetro de la figura que se muestra es de 16 cm. Ayuda a Carmen a determinar
el valor de los lados que no tienen medida. _6_ cm = 3 cm 2
5 cm
3. Reúnete con un compañero y expliquen el procedimiento que siguieron para responder la pregunta anterior.
R. P. 4. Resuelve los problemas en tu cuaderno. a) Pedro quiere cercar un terreno rectangular. ¿Qué debe hacer para calcular la medida del contorno?
Sumar los cuatro lados.
b) Paco tiene una hortaliza cuadrangular de 12 m de lado y desea saber cuántos metros de alambre debe comprar para cercarla. ¿Cómo puede determinar la cantidad de material que necesita?
Sumar los cuatro lados o multiplicar la medida de un lado por 4.
c) ¿Qué procedimiento seguirías para calcular el perímetro de un papalote en forma de rombo,
cuadrado o rectángulo? Compara tu respuesta con la de tus compañeros, registren sus dudas y coméntenlas para resolverlas con apoyo de su profesor.
Cuadrado, porque un rombo tiene los cuatro lados iguales.
5. Reúnete con tres compañeros, analicen la figura de la izquierda y contesten las preguntas.
a) Si un cuadro mide 1 cm de lado, ¿qué perímetro tendrá?
22 cm
b) ¿Qué perímetro tiene la figura completa? c) ¿Cuántos cuadros tiene la figura?
42
Bloque 1 Lección 7
28
4 cm
Lección 7 d) ¿Cómo calcularían el área de la figura?
R. T. Sumando las áreas de los cuadritos. 28 cm2
e) Si cada cuadro mide 1 cm de lado, ¿cuál será el área de la figura?
f) ¿Qué relación tiene el número de cuadros con el área de la figura? Argumenten su respuesta en el cuaderno. El número de cuadritos corresponde a las unidades cuadradas
dentro del rectángulo.
g) Compartan el argumento con sus compañeros. Compárenlos y elaboren una conclusión.
Un paso adelante 6. Reúnete con un compañero. Analicen la figura, completen la tabla y contesten las preguntas.
Glosario El área es la superficie comprendida dentro de un perímetro. No tiene espesor ni grosor.
Oriéntate Recuerda que el cuadrilátero es un polígono de cuatro lados y su diagonal, un segmento de línea recta que une dos vértices no consecutivos.
Figura completa
Figura sombreada
Figura no sombreada
Nombre de la figura
Cuadrado
Triángulo
Triángulo
Procedimiento para obtener el perímetro
4 por lado
Lado mas lado mas lado
Lado mas lado mas lado
Número de cuadros
16
8
8
a) ¿Cuál es la fórmula para obtener el área del cuadrilátero?
Base por altura
b) ¿Cuántos triángulos se obtienen al trazar la diagonal del cuadrilátero? c) ¿Cuál es la fórmula para obtener el área del triángulo?
Dos
Base por altura entre 2.
d) Justifiquen la relación que hay entre la fórmula para obtener el área del cuadrilátero y la del triángulo.
En un cuadrilátero hay dos triángulos por eso hay que dividir entre dos el área de un cuadrilátero para obtener el área de un triángulo. e) ¿Cómo se calcula el perímetro de cualquier polígono, sea regular o irregular?
Sumando la
medida de todos sus lados.
f) Analiza, de manera grupal, qué son el área y el perímetro; escriban sus conclusiones en el cuaderno.
Lección 7 Bloque 1
43
Lección 7 Significado de algunas fórmulas geométricas
Profundiza El profesor Lorenzo es el encargado del huerto escolar cuya superficie se modifica anualmente según el número de alumnos o las necesidades de la escuela. El año pasado, el huerto medía 10 m × 7 m y este año solo medirá 8 m × 6 m.
Glosario Una literal (a, b, c… x, y, z ) es una letra que expresa cantidades desconocidas y puede ser sustituida por valores numéricos.
7. Contesta las preguntas en tu cuaderno. a) ¿Qué procedimiento usarías para obtener el perímetro del huerto?
Sumar la medida de los lados.
b) ¿Qué perímetro tenía el año pasado y cuál tiene este año?
34 m 28 m
c) Sin importar las medidas del huerto, explica el procedimiento para calcular su perímetro.
R. T. Dos veces el largo más dos veces el ancho.
d) Si el largo del huerto fuera b y el ancho, h, ¿cuál sería la fórmula para obtener su área?
2b + 2h
8. Reúnete con un compañero y completen las tablas. Polígono
¿Cómo calcular perímetro?
¿Cómo calcular área?
triángulo
Lado más lado más lado
Base por altura entre 2
cuadrado
Cuatro por la medida del lado 2 veces el ancho más dos veces el largo
Lado por lado
rectángulo
Polígono
x
Perímetro
y
a z
m
b
a
c
a b
44
Bloque 1 Lección 7
Base por altura Área
x+y+z
za _
4m
m2
2a + 2b
ab
2a +2b
bh
2
Lección 7 9. Evalúa el perímetro de las figuras y redacta, en tu cuaderno, el procedimiento que desarrollaste para encontrarlo. 3 cm
a) m c 2
a
b)
m c 1
4 cm
b
m c 1 1
1 cm m c 0 1
f c
12 cm d
6 cm
Perímetro =
m c 5
m c 3
e
11 cm
69 cm
Perímetro =
c)
a + b + c + d + e + f
d) 3 cm
6 cm
4 cm
Perímetro =
3 cm
2 cm 5 cm
20 cm
19 cm
Perímetro =
e)
f)
3 cm
6 cm 4 cm 6 cm
6 cm
Perímetro =
18 cm
5 cm
Perímetro =
21 cm
10. Compara tus procedimientos con los de tus compañeros, registren dudas y
soluciónenlas con ayuda de su profesor. 11. Organiza con tu grupo un debate para analizar las venta jas o desventajas del uso
de literales en el cálculo de perímetros y áreas de algunas figuras geométricas.
TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-045a, donde se encuentra una actividad para calcular áreas con geometría dinámica. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-045b, donde hay una autoevaluación sobre cálculo de áreas.
Para la bitácora
Diversas construcciones tienen formas geométricas. En tu escuela elige alguna cancha o un jardín y calcula su perímetro y área. Presenta tus datos ante el grupo.
Resuelve las actividades correspondientes a la lección 7 en la bitácora de la página 71. Lección 7 Bloque 1
45
Lección 8 Trazo de triángulos Eje: forma, espacio y medida Tema: figuras y cuerpos
Contenido Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría.
La tarea: trazo de triángulos Como parte de su tarea, Teresa debe construir triángulos con las medidas indicadas por su profesora. En el primer ejercicio trazará un triángulo con tres lados de 2 cm cada uno. 2 cm 2 cm 2 cm
1. Responde y haz lo que se pide en tu cuaderno. a) ¿Cuántos triángulos diferentes se pueden formar con estas medidas? Explica tu respuesta.
Uno.
b) Construye un triángulo con las medidas anteriores. Usa tu juego de geometría. c) Describe el procedimiento que seguiste para trazar el triángulo solicitado. 2. Reúnete con un compañero, discutan sus procedimientos y redacten uno para construir triángulos con el juego de geometría.
En el segundo ejercicio Teresa deberá construir un triángulo con las siguientes medidas. 3 cm 4 cm 2 cm
3. ¿Cuántos triángulos diferentes es posible formar con estas medidas? Explica la respuesta
tu cuaderno. en
Uno.
4. Reúnete con tu compañero, sigan el procedimiento que redactaron en la actividad 2 y construyan un triángulo cuyos lados midan 2 cm, 3 cm y 4 cm.
En el último ejercicio le pidieron a Teresa que formara un triángulo con estas medidas. 2 cm 4 cm 6 cm
5. ¿Podrá trazar un triángulo con esas dimensiones? Explica la respuesta en tu cuaderno.
No.
6. Comparte las respuestas con el grupo, discutan las características de las tres construcciones
anteriores y lleguen a una conclusión.
R. P.
46
Bloque 1 Lección 8
Lección 8
Un paso adelante 7. Analiza la construcción y reprodúcela en tu cuaderno. Luego, haz lo que se pide. 7 cm 5 cm
5 cm 3 cm
3 cm
5 cm
3 cm
7 cm 7 cm
a) Redacta los pasos para trazar un triángulo si se conocen los tres lados; indica los instrumentos del juego de geometría que utilizaste. 8. Compara y comenta con tu grupo los procedimientos que redactaron en las actividades 2 y 7.
9. Reúnete con un compañero. Hagan y contesten lo que se indica en su cuaderno. Usen su juego de geometría. a) Construyan un triángulo cuyos lados midan 8 cm, 6 cm y 4 cm. b) Construyan un triángulo cuyos lados midan 10 cm, 4 cm y 2 cm. c) Construyan un triángulo cuyos lados midan 8 cm, 6 cm y 2 cm. d) ¿Pudieron formar los triángulos indicados? ¿En qué casos tuvieron dificultades para trazarlos?
¿Cuál fue el problema?
R. P.
No. b) y c).
10. Comenta con el grupo las respuestas de la actividad anterior, registren dudas y, junto con
el profesor, resuélvanlas. 11. Reúnete con dos compañeros. Hagan y contesten lo que se indica en su cuaderno. a) Sumen la medida de dos lados del triángulo del inciso 9 a). ¿Cómo es el resultado respecto al tercer
lado? Repitan el procedimiento con los demás lados para obtener las sumas posibles.
8 + 6 = 14 > 4, 6 + 4 = 10 > 8, 8 + 4 = 12 > 6.
b) Sumen la medida de dos lados del triángulo del inciso 9 b). ¿Cómo es el resultado respecto al tercer
lado? Repitan el procedimiento con los demás lados para obtener las sumas posibles.
10 + 4 = 14 < 2, 4 + 2 = 6 < 10, 10 + 2 = 12 > 4.
c) Sumen la medida de dos lados del triángulo del inciso 9 c). ¿Cómo es el resultado respecto al tercer
lado? Repitan con los demás lados para obtener las sumas posibles.
8 + 6 = 14 > 2, 6 + 2 = 8 = 8, 8 + 2 = 10 > 6.
12. Discute con el grupo las respuestas anteriores y redacten, en su cuaderno, una breve conclusión acerca del dato necesario para construir un triángulo si se conocen los tres lados. Compárenlo con el que se menciona en el siguiente recuadro. Para construir cualquier triángulo, la medida de uno de sus lados siempre debe ser menor que la
suma de los otros dos. Lección 8 Bloque 1
47
Lección 8 Trazo de triángulos
Profundiza 13. Analiza las construcciones, reprodúcelas con tu juego de geometría en el cuaderno y haz lo que se solicita. a) ¿Qué elementos se conocían antes de iniciar el trazo?
Dos lados y el ángulo entre ellos.
b) Describe el procedimiento para la construcción del triángulo anterior; menciona que se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos e indica los instrumentos del juego de geometría que usaste. 57°
4 cm 3 cm
3 cm
3 cm
3 cm
4 cm
4 cm
57°
57°
4 cm
c) ¿Qué elementos se conocían antes de iniciar el trazo? Dos
ángulos y el lado común.
d) Describe el procedimiento para la construcción del triángulo anterior; menciona que se conocen dos ángulos y el lado comprendido entre ellos e indica los instrumentos del juego de geometría que usaste. 5 cm 60° 30°
60°
30°
30°
60°
5 cm
5 cm
e) Lee la información del recuadro y contesta: ¿Es verdadera o falsa? Argumenta tu respuesta.
verdadera.
Para construir un triángulo cuando se conoce un lado y dos ángulos contiguos, la suma de estos
deberá ser menor de 180°. 14. Comparte con el grupo la respuesta del inciso 13 e), coméntenla y redacten una breve conclusión. 15. ¿Qué datos se necesitan para trazar un triángulo? Argumenta la respuesta en tu cuaderno.
Tres lados, dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, y dos ángulos y el 16. Reúnete con un compañero y respondan los planteamientos. lado común.
a) ¿Cuánto mide el tercer lado de un triángulo cuyos lados son de 3 cm y 5 cm, y su ángulo compren-
Oriéntate Los ángulos contiguos son aquellos que están en los extremos de un segmento.
48
Bloque 1 Lección 8
dido es de 30°?
2.83 cm
i. Construyan, en su cuaderno, el triángulo indicado para comprobar la respuesta. b) ¿Es posible trazar un triángulo si se conoce la medida de sus tres ángulos?
No
Lección 8 c) ¿Se puede trazar un triángulo cuyos ángulos midan 40° 60° y 80°? Inténtenlo en su cuaderno. i. Comparen su triángulo con el de sus compañeros. ¿Es el mismo?
Sí
ii. ¿Esto se debe a que se conocían las medidas de los tres ángulos?
R. P.
respuesta en su cuaderno.
Expliquen la
d) ¿Cuánto miden los ángulos de un triángulo cuyos lados son de 3 cm, 4 cm y 5 cm? Trácenlo en
su cuaderno.
Sí. 36.87º, 53.13º y 90º.
i. Comparen sus respuestas con las de sus compañeros. ¿Todos obtuvieron las mismas? Arguméntenlas en su cuaderno.
Sí
17. Reúnete con un compañero. Hagan lo que se indica en su cuaderno y contesten las preguntas.
a) Tracen un triángulo isósceles que tenga un lado de 3 cm y otro de 5 cm.
i. ¿Cuántos triángulos diferentes se pueden formar con estas medidas? Dos. ii. Justifiquen su respuesta. b) Tracen un triángulo rectángulo que mida 7 cm de un lado y 9 cm de otro. i. ¿Cuántos triángulos distintos es posible construir con estas medidas?
La medida de uno de los dos lados iguales y el ángulo 90º entre ellos. ii. Justifiquen su respuesta.
c) ¿Qué datos necesitan como mínimo para trazar el triángulo de la derecha? d) Compartan su respuesta con el grupo. e) Redacten una breve conclusión sobre los tipos de triángulos que se pueden construir según el número de lados y ángulos conocidos.
TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-049a, donde se encuentra una guía para construir diversos triángulos. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-049b , donde se muestra una actividad para trazar triángulos con geometría dinámica. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-049c, donde se explica el procedimiento para construir triángulos.
Para la bitácora Resuelve las actividades correspondientes a la lección 8 en la bitácora de la página 71.
La entrada al Museo del Louvre en París tiene una estructura piramidal con paredes triangulares de 35 m de base y 27 m de altura. Busca en la escuela o comunidad estructuras con partes triangulares y anota sus medidas en tu cuaderno. Lección 8 Bloque 1
49
Lección 9 Trazo de cuadriláteros Eje: forma, espacio y medida Tema: figuras y cuerpos
Las figuras geométricas: trazo de cuadriláteros
Contenido
El papá de Erasmo es vidriero; le han pedido que construya
un vitral con este modelo.
Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de
geometría.
1. ¿Qué figuras geométricas conforman el vitral? Identifícalas y escribe sus nombres
en tu cuaderno. Compara la respuesta con la de tus compañeros.
Cuadrado, rectángulo, rombo, romboide, trapecios y trapezoide.
2. Reúnete con un compañero. Relacionen cada descripción con la figura que le corresponde.
No debe haber más de una figura por línea. Paralelogramo cuyos lados tienen la misma longitud y cuyos ángulos son iguales Cuadrilátero que tiene solo un par de lados opuestos paralelos y dos lados no paralelos de la misma longitud Paralelogramo que tiene dos pares de lados iguales y dos pares de ángulos semejantes Cuadrilátero cuyos lados no son paralelos Paralelogramo cuyos lados tienen la misma longitud y cuyos pares de ángulos son iguales Cuadrilátero que tiene solo dos lados opuestos paralelos y dos ángulos rectos (90°) Paralelogramo con dos pares de lados iguales y ángulos iguales Cuadrilátero que tiene solo dos lados opuestos paralelos y ángulos diferentes
Oriéntate El cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. El paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos.
3. Completa la tabla, compara y comenta las respuestas con tus compañeros de grupo. Nombre
Dos líneas son paralelas cuando se mantienen siempre a la misma distancia una de la otra, y, por más que se prolonguen, nunca se encuentran.
Rectángulo
Romboide Trapecio isósceles Trapecio escaleno Trapecio rectángulo Rombo
50
Bloque 1 Lección 9
Características (lados y ángulos) Lados iguales, ángulos iguales
Trapezoide
Oriéntate
Figura
R.P.
Lección 9
Un paso adelante 4. Analiza las construcciones, contesta las preguntas y haz lo que se pide en tu cuaderno. 7 cm 4 cm
Paso 1
Paso 2
Paso 3
a) ¿ A qué figura conduce este proceso de construcción? ¿Cuáles son los elementos iniciales? Escribe
los instrumentos del juego de geometría que se utilizaron para efectuar el trazo.
Rectángulo. Dos lados. Escuadra
b) Redacta el procedimiento para trazar la figura anterior y el proceso de construcción de un cuadrado
si solo se conocen las medidas de sus lados. c) Redacta la similitud de características (lados y ángulos) y trazado entre un rectángulo y un cuadrado.
Ambos tienen 4 ángulos rectos, lados paralelos dos a dos. 45° 6 cm 2 cm
Paso 1
Paso 2
Paso 3
d) ¿A qué figura conduce este proceso de construcción? ¿Cuáles son los elementos de los que parte
Romboide. Dos lados y un ángulo comprendido entre ellos. Regla y transportador.
el proceso? Escribe los instrumentos del juego de geometría que se utilizaron para el trazo.
e) Redacta un procedimiento para trazar la figura anterior y otro para trazar un rombo si se conocen las medidas de sus lados y un ángulo. f) Redacta la similitud de características (lados y ángulos) y trazado de un romboide y un rombo.
Lados paralelos dos a dos y ángulos opuestos iguales dos a dos.
5. Reúnete con dos compañeros y contesten las preguntas en su cuaderno. a) ¿Qué datos se necesitan como mínimo para trazar un trapecio isósceles?
Medida de dos lados y ángulos contiguos.
b) ¿Qué datos se requieren como mínimo para construir un trapecio rectángulo?
Medida de tres lados que formen los dos ángulos rectos.
c) ¿Qué datos se necesitan como mínimo para trazar un trapecio escaleno?
Tres lados y dos ángulos comprendidos entre ellos.
d) ¿Qué datos se requieren como mínimo para construir un trapezoide?
Cuatro lados y 3 ángulo * Puede variar de acuerdo al razonamiento del alumno.
e) Compartan sus respuestas con el grupo y elaboren una tabla que integre la información de los incisos anteriores.
Lección 9 Bloque 1
51
Lección 9 Trazo de cuadriláteros
Profundiza 6. Traza un cuadrilátero cuyos lados midan 3 cm, 5 cm, 2 cm y 4 cm.
Puede variar de acuerdo al orden de los lados y los ángulos que se decidan. 7. Compara tu trazo con el de tus compañeros y responde las preguntas. a) ¿Qué tipo de cuadrilátero resultó? b) ¿Todos obtuvieron el mismo trazo?
Trapezoide. No.
Explica la respuesta en tu cuaderno.
8. Continúa el trazo del cuadrilátero, cómparalo con los demás y contesta las preguntas.
a) ¿Qué tipo de cuadrilátero resultó?
R. P.
b) ¿Todos tus compañeros obtuvieron el mismo trazo?
No.
Explica la respuesta
en tu cuaderno. c) ¿Es posible construir cualquier cuadrilátero si solo se conoce la medida de dos lados?
No.
Explica la respuesta en tu cuaderno. 9. Analiza las construcciones y contesta las preguntas en tu cuaderno. 8 cm 3 cm 5 cm
a) ¿A qué figura conduce este proceso de construcción?
Trapecio rectángulo.
b) Redacta el procedimiento para trazar la figura anterior si se conocen tres lados y la medida de dos de sus ángulos. Compártelo con tu grupo.
52
Bloque 1 Lección 9
Lección 9 6 cm 60°
3 cm
60°
60°
60°
60°
60°
60°
c) ¿A qué figura conduce este proceso de construcción? Trapecio
isósceles.
d) Redacta el procedimiento para trazar la figura anterior si se conocen dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos. 8 cm 5 cm 4 cm 80°
80°
80°
80°
e) ¿A qué figura conduce este proceso de construcción?
Trapecio escaleno
f) Con los elementos dados, ¿es el único trapecio que se puede construir? Explica tu respuesta.
No, porque puede variar el orden de los lados y el ángulo puede estar comprendido en lados diferentes.
g) Redacta los pasos para trazar un trapecio escaleno si se conocen tres lados y el ángulo comprendido
entre dos de ellos. 10. Reúnete con un compañero y tracen en su cuaderno los cuadriláteros que se indican. a) Un cuadrado de 3 cm de lado
b) Un rombo de 3 cm de lado y un ángulo de 40°
c) Un rectángulo de 6 cm y 4 cm de lado
d) Un romboide de 6 cm y 4 cm de lado, e) Un trapezoide con medidas de 4 cm, 8 cm, y un ángulo comprendido entre ellos 7 cm y 5 cm de 35º
f) Un trapecio rectángulo con lados parale-
los de 10 cm y 6 cm cada uno, y el lado
comprendido entre ellos de 5 cm
11. Organiza con tu grupo un debate acerca de los procedimientos e informaciones que se necesitan para la construcción de los cuadriláteros trabajados en la lección.
Registren sus conclusiones en su cuaderno.
TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-053a, donde se encuentran actividades para construir un cuadrado al conocer uno de sus lados. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-053b, donde hay una actividad para trazar un cuadrado con algunas herramientas del juego de geometría. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-053c, donde se muestra el proceso de construcción de un romboide.
Para la bitácora Resuelve las actividades correspondientes a la lección 9 en la bitácora de la página 71.
El tempo de Kukulcán, en Chichén Itzá, tiene una base cuadrada de 55 m y, en su cúspide, una construcción con base cuadrada de 9 m. Traza dos cuadrados que compartan el mismo centro: uno debe medir 5.5 cm de base y el otro, 0.9 cm. Lección 9 Bloque 1
53
Lección 10 Trazos y análisis I Eje: forma, espacio y medida Tema: figuras y cuerpos
Contenido
Triángulos: rectas y puntos 1. ¿Cuál es la fórmula para calcular el área de cualquier triángulo?
Trazo y análisis de las propiedades
de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.
bh __ 2
2. Reúnete con un compañero. Analicen las figuras, efectúen lo que se pide y contesten
las preguntas. a) Remarquen con rojo las bases de los triángulos y con azul las alturas.
R. P.
Triángulo 1
Triángulo 2
Triángulo 3
b) Ahora midan la base y la altura de cada triángulo.
Triángulo 1
R. P.
Triángulo 2
Triángulo 3
c) Obtengan el área de los triángulos.
Triángulo 1
R. P.
Triángulo 2
Triángulo 3
d) Además del número de lados y ángulos, ¿qué característica comparten los triángulos anteriores?
Tienen áreas iguales. e) Definan, en su cuaderno, qué es la altura de un triángulo. Comparen su definición con la de sus
compañeros de grupo. f) ¿Cuántas alturas puede tener un triángulo?
Tres.
¿Podrías trazar una altura desde cada
Si. ¿Por qué? Expliquen la respuesta en su cuaderno. Por que todos los lados pueden ser bases. g) ¿La altura de un triángulo siempre se indica o traza al interior de la figura? No, porque es perpendicular a la base y debe ir hasta el vértice opuesto. lado?
¿Por qué? Explíquenlo en su cuaderno y comparen sus respuestas con la s de sus compañeros.
Un paso adelante Un triángulo tiene tres alturas que son segmentos perpendiculares a cada lado y que pasan por el vértice opuesto. Al punto donde se cortan ellas o sus prolongaciones se le denomina ortocentro.
54
Bloque 1 Lección 10
Lección 10 3. Localiza el ortocentro del triángulo.
Oriéntate El vértice es el punto donde coinciden dos lados que conforman un ángulo.
Oriéntate
4. Completa con las palabras acutángulo , obtusángulo o rectángulo , según corresponde. a) El ortocentro de un triángulo
rectángulo
es el vértice correspondiente al ángulo recto.
b) El ortocentro de un triángulo
acutángulo
está en su interior.
c) El ortocentro de un triángulo
obtusángulo está en su exterior.
5. Observa la secuencia de trazos y contesta las preguntas en tu cuaderno.
a
Etapa 1
a
Etapa 2
a
a
Etapa 3
El triángulo rectángulo tiene un ángulo recto; el triángulo acutángulo tiene todos sus ángulos agudos (menores de 90°); y el triángulo obtusángulo tiene un ángulo obtuso (mayor de 90°).
a
a
Etapa 4
a) ¿Cuál es el área de los triángulos de la etapa 4? Usa tu regla para tomar las medidas necesarias. b) Si los triángulos son diferentes, ¿por qué tienen la misma área? Explica tu respuesta. c) Observa el triángulo de la etapa 3. Al segmento de color anaranjado se le denomina mediana. Define este termino. Luego, con ayuda de tu profesor, comparte tu definición con el grupo. Entre todos comenten y elaboren una definición de mediana. d) Organiza con tu grupo un debate relativo al siguiente cuestionamiento: ¿Las medianas de un
triángulo siempre aparecerán trazadas o indicadas dentro de la misma figura? Un triángulo tiene tres medianas que son segmentos que van del punto medio de un lado al vértice opuesto. Al punto donde se cortan las tres medianas se le denomina baricentro.
6. Localiza el baricentro del triángulo.
Lección 10 Bloque 1
55
Lección 10 Trazos y análisis I
Profundiza 7. Reúnete con un compañero y efectúen lo que se pide. a) Tracen un triángulo cuyos lados midan 3 cm, 4 cm y 6 cm.
3 cm
4 cm 6 cm
trazaron? b) De acuerdo con las medidas de sus ángulos, ¿qué tipo de triángulo c) ¿El ortocentro estará dentro del triángulo, fuera de él o encima?
obtusángulo
fuera
d) ¿Cuántas alturas requieren trazar para encontrar el ortocentro?
2
e) Localiza el ortocentro en el triángulo trazado. 8. Reúnete con dos compañeros y hagan las actividades propuestas. a) Tracen en un trozo de cartón un triángulo cuyos lados midan 10 cm, 4 cm y 8 cm. b) Recorten el triángulo. c) Localicen su baricentro. d) Perforen el triángulo por el baricentro. e) Coloquen el extremo de un estambre de 20 cm en el baricentro del triángulo y tomen el estambre por el otro extremo. ¿El triángulo guarda equilibrio?
El baricentro es el centro de gravedad de un triángulo. 9. Traza el centro de gravedad y el ortocentro del triángulo.
a) Discute con tu grupo las diferencias y posibles semejanzas entre el ortocentro de un triángulo y su centro de gravedad. Redacten, en su cuaderno, una breve conclusión.
56
Bloque 1 Lección 10
Lección 10 10. Resuelve los planteamientos y construye el triángulo correspondiente que te ayude
a solucionarlos. a) San Juan, San Pedro y San Nicolás son tres pueblos ubicados en forma de triángulo equilátero. El gobierno desea construir un hospital que se encuentre a la misma distancia de los tres lugares. i. Traza un triángulo que satisfaga las características del problema.
ii. ¿Qué punto debes trazar en el triángulo para localizar el lugar donde se construirá
el hospital?
baricentro
iii. Localiza con color rojo el lugar donde se debe construir el hospital. iv. Compara el trazo con el de tus compañeros. v. ¿Todos desarrollaron el mismo procedimiento?
R. P.
b) En la figura de la derecha, compara las áreas de los triángulos pequeños que integran el triángulo mayor.
8 cm
i. Reproduce el triángulo mayor en tu cuaderno. ii. Localiza los puntos medios de los lados del triángulo más grande y únelos. iii. Obtén el área de los triángulos que conforman al mayor. ¿Cómo son entre sí? Responde en tu cuaderno.
8 cm
11. Registra las dudas que tuviste al resolver la activ idad 10 y coméntalas con el grupo para darles solución. Luego, analicen el uso del baricentro y ortocentro, y escriban
en su cuaderno las conclusiones.
TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-057a , donde se encuentran construcciones dinámicas que permiten visualizar las propiedades del triángulo y sus puntos. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-057b, donde hay actividades relativas al trazo de medianas y baricentro con geometría dinámica. Explora el video www.e-sm.com.mx/matret1-057c, donde se explican las propiedades del triángulo y su uso en la vida cotidiana.
Toma tus escuadras y localiza el centro de gravedad de cada una.
Para la bitácora Resuelve las actividades correspondientes a la lección 10 en la bitácora de la página 71. Lección 10 Bloque 1
57
Lección 11 Trazos y análisis II Eje: forma, espacio y medida Tema: figuras y cuerpos
Contenido Trazo y análisis de las propiedades de
Triángulos: rectas y puntos II Para anticiparse a la Navidad, Jesús le compró a su jefe un botellero triangular. En la tienda donde lo encontró también había cajas circulares para regalo.
las alturas, medianas, mediatrices y
bisectrices en un triángulo.
1. Si cada lado del botellero mide 35 cm, ¿de qué medida deberá comprar la caja para
R. P.
que el regalo entre exactamente?
2. Reúnete con un compañero y escriban, en su cuaderno, una explicación para calcular el diámetro adecuado de la caja. 3. Analicen la construcción y contesten las preguntas en su cuaderno. Se ha trazado el segmento verde
a partir de un lado del triángulo.
a
Oriéntate Alturas de un triángulo y su ortocentro
a
a) El segmento verde no corresponde a la definición de altura o mediana. ¿Por qué? Comparen su respuesta con la de sus compañeros.
R. T. No es punto medio y no va al vértice opuesto.
b) El segmento verde es la mediatriz. Básense en el dibujo para explicar, en su cuaderno, el proceso para construir la mediatriz con una escuadra. c) ¿Cuántas mediatrices tiene un triángulo?
Tres.
4. Analiza la construcción y contesta las preguntas en tu cuaderno.
Medianas de un triángulo y su baricentro
Se ha trazado el segmento rojo a partir de un ángulo del triángulo; este quedó dividido en dos partes iguales. a) El segmento rojo no corresponde a la definición de altura o mediana. ¿Por qué?
Compara tu respuesta con las de tus compañeros.
R. T. No parte de un lado.
b) El segmento rojo se denomina bisectriz . Con base en el dibujo explica, en tu cuaderno, el proceso para construir la bisectriz con transportador. c) ¿Cuántas bisectrices puedes trazar en un triángulo?
Tres.
d) Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Elaboren una definición de bisectriz.
58
Bloque 1 Lección 11
Lección 11
Un paso adelante Recuerda que un triángulo tiene en cada uno de sus lados tres mediatrices o segmentos perpendiculares que parten del punto medio, y al punto donde se cortan estos o sus prolongaciones se le denomina circuncentro .
5. Localiza el circuncentro del triángulo rectángulo.
Oriéntate El punto medio de un segmento es el lugar que lo divide en dos partes iguales.
Oriéntate 6. Completa, con base en las imágenes anteriores, los enunciados con las palabras acutángulo , obtusángulo o rectángulo , según el tipo de triángulo y el lugar del circuncentro.
a) El circuncentro de un triángulo
rectángulo
b) El circuncentro de un triángulo
acutángulo
está en su interior.
c) El circuncentro de un triángulo
obtusángulo
está en su exterior.
es el punto medio de la hipotenusa.
La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto y de mayor longitud de un triángulo rectángulo.
d) Comparte tus repuestas con tus compañeros y analicen por qué la medida de un ángulo influye en la ubicación del circuncentro. Escriban una breve conclusión en su cuaderno. Un triángulo tiene tres bisectrices o segmentos que dividen por la mitad a cada uno de sus ángulos.
Al punto donde estas se cortan se le denomina incentro .
Lección 11 Bloque 1
59
Lección 11 Trazos y análisis II
Profundiza 7. Localiza el incentro del triángulo rectángulo.
8. Reúnete con un compañero. Efectúen lo que se pide y contesten las preguntas
en su cuaderno. a) Tracen un triángulo cuyos lados midan 3 cm, 4 cm y 2 cm. b) Ubiquen su circuncentro mediante trazos. c) Tracen un segmento del circuncentro a cualquiera de los vértices del triángulo. d) Tracen una circunferencia cuyo radio sea el segmento anterior y cuyo centro sea el circuncentro del triángulo. e) ¿Qué puntos del triángulo tocó la circunferencia trazada? 9. Haz lo que se pide y contesta en tu cuaderno. a) Traza un triángulo cuyos lados midan 6 cm, 8 cm y 5 cm.
Oriéntate El vértice es el punto donde se unen dos lados de un polígono.
b) Ubica el incentro mediante trazos. c) Traza un segmento perpendicular a la base que toque el incentro. d) Traza una circunferencia cuyo radio sea el segmento anterior y cuyo centro sea el incentro
del triángulo. e) ¿Qué puntos del triángulo tocó la circunferencia trazada?
La circunferencia circunscrita es aquella que toca los tres vértices del triángulo. La circunferencia inscrita es aquella que toca en un punto cada lado del triángulo. 10. Escribe qué tipo de circunferencia hay en cada figura.
Circunscrita
Inscrita
Circunscrita
a) Analiza, de manera grupal, el siguiente planteamiento: ¿es posible que el incentro de un triángulo
coincida con uno de sus lados? Escriban en su cuaderno las conclusiones a las que lleguen.
60
Bloque 1 Lección 11
Lección 11 11. Lee los planteamientos, efectúa lo que se pide y contesta las preguntas en tu cuaderno. a) El botellero que compró Jesús mide 35 cm de lado y tiene la forma de un triángulo equilátero. i. Traza un triángulo equilátero cuyos lados midan 3.5 cm.
ii. ¿El triángulo debe estar inscrito o circunscrito a una circunferencia para simular la caja redonda?
circunscrita
iii. Traza la circunferencia. iv. Mide su radio y multiplícalo por 10; esta operación ayudará a determinar el radio de la caja. v. ¿Qué radio debe tener la caja?
20.2 cm
b) En el centro de un fraccionamiento triangular, como el que muestra la imagen, cuyos lados miden 60 m, 40 m y 70 m, se desea colocar una fuente. i. Reproduce, en tu cuaderno, la fuente a escala; cada metro debe equivaler a 10 cm. ii. Localiza el centro de la plaza. iii. ¿Cómo se denomina el punto que corresponde al centro?
incentro
12. Elabora, grupalmente, una tabla donde se concentren nombres, definiciones y
características de las rectas y los puntos notables de un triángulo.
TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-061a, donde se encuentran actividades interactivas acerca del trazo de rectas notables del triángulo. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-061b, donde se presenta una guía didáctica interactiva sobre la rectas notables del triángulo. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-061c, donde se muestra una aplicación de la mediatriz en el trazo de circunferencias.
Para la bitácora
En una fotografía satelital de una región cercana a Phoenix, Arizona, se muestra un triángulo dibujado sobre el desierto. Ubica el ortocentro de ambos triángulos (exterior e interior).
Resuelve las actividades correspondientes a la lección 11 en la bitácora de la página 71. Lección 11 Bloque 1
61
Lección 12 Reparto proporcional Eje: manejo de la información
Tema: proporcionalidad y funciones
Contenido Resolución de problemas de reparto proporcional.
Las ganancias: reparto proporcional o en partes iguales Luis, Toño y Julieta juntaron sus ahorros y abrieron una tienda de abarrotes. Cuando iniciaron el negocio
acordaron que repartirían las ganancias en tres partes iguales, ya que todos cooperaron. 1. Lee los planteamientos y responde.
Oriéntate Repartir es distribuir algo dividiéndolo en partes.
a) El primer día obtuvieron una ganancia de $600.00. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?
el procedimiento que usaste para responder. Describe
$200.00.
b) Después de varios días los tres no decidían cómo repartirse las ganancias, pues no trabajaban el mismo número de horas, así que se reunieron y acordaron distribuirse el dinero de acuerdo con la cantidad de horas que laboraran. Al día siguiente, solo Luis y Toño trabajaron 8 h cada uno. Ese día hubo una ganancia de $370.00. i. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?
Julieta:
0
Luis:
$185.00
Toño:
$185.00
ii. ¿Por qué no sería justo repartir las ganancias como al principio?
R. T. Porque Julieta no trabajó. iii. Comparte las respuestas con tus compañeros y redacten una conclusión. c) Al otro día, el negocio permaneció abierto durante 12 h: Toño trabajó 5 h; Luis,3 h: y Julieta, 4 h. La ganancia total que obtuvieron ese día fue de $720.00. i. De acuerdo con las horas trabajadas, ¿quién debe ganar más? ii. ¿Y quién menos?
Toño
Luis
d) El viernes Toño trabajó 4 h; Luis, 5 h: y Julieta, 6 h. La ganancia que obtuvieron fue de $900.00. i. En promedio, ¿cuál fue la ganancia obtenida por hora?
60 pesos.
ii. ¿Cuánto debe recibir cada uno para que el reparto sea proporcional al número de horas
trabajadas? Julieta:
$360.00 Luis: $300.00 Toño: $240.00
2. Reúnete con un compañero. Construyan un procedimiento basado en el número de horas trabajadas para repartir las ganancias y escríbanlo en su cuaderno.
62
Bloque 1 Lección 12
Lección 12
Un paso adelante 3. Lee el planteamiento y responde. a) El fin de semana, los tres asistieron al negocio: Luis trabajó 8 h; Toño, 5 h; y Julieta, 7 h.
20
¿Cuántas horas trabajaron entre los tres?
b) Las ganancias fueron de $2 400.00 ese fin de semana. Si reparten en cantidades iguales sin importar
las horas de trabajo, ¿cuánto recibirá cada uno?
$800.00
c) Si se dividieran las ganancias en proporción al tiempo trabajado, ¿cuánto le correspondería a cada
uno?
$840.00 Luis: $960.00 Toño: $600.00
Julieta:
d) ¿Qué ganancia se obtuvo por cada hora de trabajo? e) Completa la tabla.
Horas de trabajo
1
2
6
7
10
14
15
17
18
19
20
$120 $240 $720 $840 $1200 $1680 $1800$2040 $2160 $2280 2 400
Ganancia
f) Compara tus resultados con los de tus compañeros. Escriban una conclusión.
La proporción es una comparación de cada parte de un objeto o cantidad respecto al total y entre las mismas partes, por tanto, indica cuántas veces una parte es mayor o menor que otra. El reparto proporcional consiste en distribuir una cantidad de manera que los resultados sean
proporcionales a cantidades determinadas. 4. Lee los planteamientos y responde en tu cuaderno. a) Considera el ejemplo de la tienda de abarrotes de Julieta, Luis y Toño. i. ¿El reparto proporcional permite distribuir las ganancias según el tiempo trabajado?
Sí.
ii. ¿El dinero que debe recibir cada uno se obtiene al multiplicar la ganancia total por el número de horas que trabajaron? ¿Por qué? Sí. b) En un fin de semana, ganaron $3 600.00. Luis trabajó 7 h; Julieta, 6 h; y Toño, 5 h. 7
i. Luis trabajó 7 h de 18 h, así que la proporción se representa como 18 que, en este contexto, se lee “siete de dieciocho horas”. ¿Cuánto tiempo trabajaron los demás?
Julieta
6 __ 18
y Toño
5 __ 18
7
ii. De los $3 600.00, a Luis le corresponden $3 600.00 × 18 = 3 600 × 0.38 = 1 368.00 ¿Cuánto recibirán los otros dos?
Julieta $1200.00 y Toño $1000.00
iii. Discute, con tu grupo, por qué la ganancia se ha repartido proporcionalmente al número de horas trabajadas por Julieta, Luis y Toño. Escriban sus conclusiones. Lección 12 Bloque 1
63
Lección 12 Reparto proporcional
Profundiza 5. Contesta las preguntas conforme al planteamiento. a) La señora Gómez repartirá $720.00 entre sus tres empleadas de acuerdo con el número de blusas confeccionadas en la semana. i. Si todas entregaran el mismo número de blusas, ¿qué pago recibiría cada una?
$240.00
ii. Cecilia entregó tres blusas; Guadalupe, seis; y Azucena, tres. ¿Qué cantidad recibirá cada una?
Cecilia:
$180.00
Guadalupe:
$360.00
Azucena:
$180.00
6. Completa la tabla con base en el planteamiento. a) Pedro y Alberto se propusieron reunir latas de aluminio para venderlas y obtener dinero. El primero
juntó 6 kg y el segundo, 4 kg. De acuerdo con estas cantidades, ¿cuánto dinero le corresponde a cada uno? En el centro de reciclaje les pagaron $820.00 por las latas que recolectaron ambos. Pedro:
$492.00
Alberto:
$328.00
b) ¿Cuánto recibió Pedro por cada kilogramo que aportó? Completa la tabla. Botes (kg) Costo ($)
1
2
3
4
5
6
$80 $164 246.00 $328 $410 $492
es el costo por kilogramo de botes de aluminio? c) ¿Cuál
$82.00
d) Compara tus resultados con el grupo. Registren sus dudas y comenten cómo resolverlas. 7. Resuelve los problemas. a) El señor Ramírez quiere distribuir las ganancias de su negocio de venta de animales domésticos. Repartirá $16 200.00 entre sus tres nietos de acuerdo con el número de animales que le ayudaron a criar (9, 12 y 15, respectivamente). ¿Cuánto le corresponderá a cada uno?
Al que crió 9, $4050.00. Al que crió 12,
$5400.00. Al que crió 15, $6750.00. b) La escuela "Francisco I. Madero" destinó un presupuesto de $13 776.00 para la limpieza del
pequeño bosque que está junto a sus instalaciones, la cual se efectuó por dos brigadas. En la primera trabajaron doce personas durante ocho días y en la segunda, quince en diez días. ¿Cuánto le corresponde a cada brigada?
64
Bloque 1 Lección 12
Brigada 1, $6122.67. Brigada 2, $7653.33.
Lección 12 c) La cooperativa Dulces Maravilla logró una utilidad de $23 540.00, que se repartirá entre sus 22 trabajadores, según su antigüedad en la empresa. i. Si tuvieran el mismo tiempo trabajando, ¿cuánto le correspondería a cada uno?$1 070.00
Carlos, María, Enrique, Sebastian y Juan llevan catorce meses en la empresa; Ernesto y otros siete empleados, once meses; y los demás, seis. ii. ¿Cuánto le corresponderá a cada uno?
Los de 14 meses, $1554.53. Los de 11
meses, $1221.41. Los de 6 meses $666.23 iii. ¿Qué cantidad le corresponderá a Ernesto?
$1 221.41
iv. ¿Cuánto les corresponderá a los empleados que tienen seis meses?
$5996.07
d) Una modista pagó $1 350.00 por 30 m de tela. Debe confeccionar los uniformes de doce alumnas,
pero no sabe cuánto cobrar por la tela de cada una. Calcula el costo conforme a la estatura de las jóvenes. Cinco alumnas miden 1.60 m; seis, 1.50 m; y una, 1.70 m.
pagará por la tela cada alumna de 1.60 m? i. ¿Cuánto pagará cada alumna de 1.50 m? ii. ¿Cuánto iii. ¿Cuánto pagará la alumna de 1.70 m?
$72.00
$67.50 $76.70
8. Discute con tu grupo las ventajas y desventajas del reparto equitativo y del reparto
proporcional. Anoten sus conclusiones.
R. P.
TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-065a, donde hay problemas de reparto proporcional.
Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-065b, donde se muestra un ejemplo de reparto proporcional. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-065c, donde se explica un procedimiento para resolver problemas de reparto proporcional.
Para la bitácora
Usualmente un pastel se reparte en rebanadas del mismo tamaño de acuerdo con un criterio de reparto equitativo. ¿Qué podrías considerar para repartirlo proporcionalmente?
Resuelve las actividades correspondientes a la lección 12 en la bitácora de la página 71. Lección 12 Bloque 1
65
Lección 13 Nociones de probabilidad Eje: manejo de la información Tema: nociones de probabilidad
Contenido
Piedra, papel o tijeras: juegos de azar Roberto juega con su amigo Tomás a piedra, papel o tijeras. ¿Conoces el juego?
Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados.
Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles.
Cada jugador debe decir al mismo tiempo la frase “Piedra, papel o tijeras” e inmediatamente mostrar su mano con una de las tres opciones. La tabla indica quién gana y quién pierde.
Oriéntate Todo juego siempre recrea una situación conflictiva o de colaboración entre los participantes.
Vence a… tijeras piedra papel
Piedra Papel Tijeras
Es vencido por… papel tijeras piedra
1. ¿Cuántos resultados posibles se presentan en este juego? Completa la tabla sin olvidar que tijeras contra piedra es igual que piedra contra tijeras. Tijeras contra papel Tijeras contra tijeras
Papel vs piedra Tijera vs piedra Papel vs papel Piedra vs piedra
¿Quién gana? tijeras
Nadie Papel Piedra Nadie Nadie
2. Reúnete con un compañero y responde las preguntas.
y Daniel jugarán tres veces a piedra, papel o tijeras. ¿Saben quién ganará? a) Francisco ¿Por qué?
No.
No se puede saber que opción elegirá el contrincante.
b) ¿El resultado del juego depende de la habilidad de los jugadores o de la suerte? Expliquen la respuesta en su cuaderno. c) De acuerdo con la tabla anterior, si en varios juegos Daniel siempre elige tijeras, ¿ganará todas
No, ¿Por qué?porque no en todos los casos gana la tijera, gana con el papel pero pierde con la piedra.
las veces?
d) Con base en la misma tabla, ¿hay una estrategia para que Francisco gane sin hacer ningún tipo
No, ¿Por qué? Expliquen la respuesta en su cuaderno. porque no se puede saber quién va a ganar. Es cuestión de azar.
de trampa?
e) Comparen sus respuestas con las de sus compañeros.
Glosario Azar. Combinación de
circunstancias que no se pueden prever.
66
Bloque 1 Lección 13
3. ¿Conoces juegos en que las posibilidades de ganar o perder no dependan de la
habilidad del jugador sino del azar? Escribe en tu cuaderno tres de ellos. 4. Comparte tus respuestas de la actividad anterior con tus compañeros. Discutan por qué son juegos que dependen del azar y enlisten los juegos propuestos.
Lección 13
Un paso adelante 5. Reúnete con un compañero. Lean la situación y efectúen lo que se pide. a) Antonio y su hermana Julieta juegan serpientes y escaleras con dos dados de seis caras. Al
lanzarlos, la cantidad que obtienen es el resultado de sumar los puntos que aparecen
en la cara superior de ambos. i. Completen la tabla.
+ 1 2 3 4 5 6
Oriéntate 1 2 3
4 5 6 7
2 3
4 5 6 7 8
3
4
5
6
4 5 6 7 8 9
5 6 7 8 9 10
6 7 8 9 10 11
7 8 9 10 11 12
En un juego, cada participante puede definir de antemano las opciones.
ii. ¿De cuántas formas puedes sumar los puntos de los dados? 1+1,
1+2, 1+3, 1+4, 1+5, 1+6, 2+2,2+3, 2+4, 2+5, 2+6, 3+3, 3+4, 3+5, 3+6, 4+4, 4+5, 4+6, 5+5, 5+6, 6+6. 6 iii. ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener al lanzar dos dados? iv. Sabiendo las sumas posibles de los puntos de dos dados antes de lanzarlos, ¿pueden
predecir el resultado de su lanzamiento?
No. Expliquen su respuesta. El máximo
número en los dados es 6, y 6+6 = 12. b) Si se lanzan dos dados con forma de tetraedro (cuatro caras triangulares), donde cada cara tiene en su base un valor de 1 a 4, ¿cuántos resultados pueden obtenerse? 10 Elaboren una tabla en su cuaderno y compárenla con las de sus compañeros.
Un juego de azar es aquel donde las posibilidades de ganar o perder no dependen de la habilidad del jugador, sino del azar. 6. Lee los planteamientos y contesta las preguntas en tu cuaderno. a) Patricio e Irene juegan a los volados. Este juego es muy simple: mientras la moneda gira
en el aire, uno de los jugadores debe gritar “águila” o “sol”. i. ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener al lanzar una moneda?
2
ii. ¿Quién tiene ventaja para ganar? ¿Por qué?
Ninguno, los dos tienen la posibilidad de ganar o perder, solo hay dos opciones en el juego.
iii. ¿Es posible que haya empate? ¿Por qué?
No, porque solo uno de ellos puede elegir águila o sol, no pueden elegir lo mismo ambos.
b) ¿Cómo organizarías un juego de volados con tres participantes? Describe
el procedimiento del juego. c) Comparte tu procedimiento con tus compañeros y reúnete con otros dos para ponerlo en práctica.
Redacten en su cuaderno una breve conclusión. Lección 13 Bloque 1
67
Lección 13 Nociones de probabilidad
Profundiza 7. Reúnete con un compañero y resuelvan los problemas. a) Porfirio juega con su hermano Rodrigo a la perinola. Una perinola tiene seis caras con las leyendas
"Pon 1", "Pon 2", "Toma 1", "Toma 2", "Toma todo" y "Todos ponen". i. ¿Cuántos resultados son posibles?
6
ii. Los resultados de siete veces que se ha girado la perinola son "Todos ponen", "Todos ponen",
"Todos ponen", "Toma 1", "Toma 2", "Toma 2" y "Todos ponen". Porfirio dice que el resultado
R. P.
siguiente será "Todos ponen".¿Están de acuerdo con él? ¿Por qué?
b) Durante las vacaciones pasadas, Fátima fue a una feria en el pueblo de sus abuelos. Ahí jugó en una ruleta donde todos los colores tenían premio. Ella sabía que siempre ganaría. i. Planteen una ruleta en que ella no pueda saber si ganará. Dibújenla en su cuaderno. ii. Expliquen, en su cuaderno, las reglas que debe tener el nuevo juego. Un suceso seguro en un experimento o evento es aquel que siempre ocurre o se produce.
Por ejemplo, al tirar un dado, es seguro que salga un número de 1 a 6. Un suceso es imposible cuando no hay posibilidad de que ocurra. Por ejemplo, al tirar un dado clásico, nunca sale el número 7. 8. Escribe si en cada situación hay un suceso seguro o uno imposible.
dos dados, el valor en una de las caras es 1. a) Al tirar
seguro
b) Al meter la mano en una bolsa que contiene pelotas amarillas, azules y rojas, se saca una pelota verde.
imposible
9. Lee las situaciones y contesta. a) Gonzalo fue a la feria de su pueblo y jugó a las canicas. Le dieron seis canicas que debía lanzar sobre el tablero para que cayeran en los hoyos numerados de 1 a 6 (había una hilera de seis hoyos por cada número). Los premios eran entregados de acuerdo con la puntuación; se obtenía el mejor regalo con la más alta. i. ¿Cuál es la puntuación más alta que podía alcanzar con las seis canicas? ii. ¿Cuál es la puntuación más baja que podía obtener?
68
Bloque 1 Lección 13
6
36
Lección 13 46
iii. ¿Cuál es la puntuación más alta que podía obtener con ocho canicas? iv. ¿Era posible que obtuviera 5 puntos con las seis canicas en una jugada?
No.
El valor mínimo de los hoyos es 1 y 6x1=6.
¿Por qué?
v. Gonzalo se dio cuenta de que con 24 puntos podía conseguir un balón. ¿Puedes ayudarlo a
encontrar tres formas diferentes de obtenerlo? Escríbelas. 6+5+4+3+2+4
4+4+4+4+4+4
5+5+5+5+2+2, hay varias opciones
b) Emilio está en la feria y jugará a los dardos. Para llevarse un oso de peluche necesita 10 puntos. Por cada juego solo dan tres dardos. i. ¿Qué estrategia deberá seguir para obtener ese puntaje?
R. P.
ii. Al tirar el primer dardo, rompió un globo de 2 puntos. ¿Puede ganar el premio todavía?
Si.
¿Cuál debería ser su nueva estrategia? Reventar
2 globos de 5, o un
globo de 5 y uno de 3. iii. Al tirar el segundo dardo, rompió un globo de 1 punto. ¿Puede ganar el premio todavía?
No.
¿Por qué?
Le faltan 7 puntos y no hay globos con ese puntaje y
solo le queda un dardo. c) Mariana jugará en los pececitos; deberá pescar solamente un pez para obtener un regalo.
juego es de azar? i. ¿Este
No.
¿Por qué? De cualquier manera Mariana va a ga-
nar puesto que solo debe pescar un pececito no hay más condiciones en el juego. 10. Analiza, en una discusión grupal, las características y diferencias de los juegos de azar y de estrategia. Propongan ejemplos de ambos tipos y escriban en su cuaderno una
conclusión.
TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-069a, donde se encuentra una simulación de la ruleta. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-069b, donde hay una simulación de los volados. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-069c, donde se explica la relación entre los juegos de azar y las matemáticas.
Para la bitácora Resuelve las actividades correspondientes a la lección 13 en la bitácora de la página 71. Lección 13 Bloque 1
69
Bitácora Lecciones 1 y 2 Completa la tabla. Número decimal 1.3
Lectura
Número fraccionario 1__31 4 5___ 125
Un entero tres décimo periódico
Cinco enteros treinta y dos milésimos
5.032
Lecciones 3 y 4 a) Ubica en la recta los números 14 , 0.28, 15 , 0.3 y 13 .
0
1 __ 5
__1 4
0.28
__1 3
0.3
b) Escribe los números anteriores en orden ascendente. 1 __1 __ 5, 4,
0.28, 0.3,
__1 3
Lección 5 1
1
Inés compró 2 kg de queso canasto y 4 kg de crema para preparar unas enchiladas. Si en la receta solo se pedían 0.250 kg de crema y 0.200 kg de queso, ¿qué cantidad le sobró de cada ingrediente? Transforma las cantidades en fracciones y opera con ellas. Crema:
__1 4
Queso:
1 ___ 20
Lección 6 a) Un atleta principiante se ha sometido a un estricto entrenamiento para competir en una carrera. Su entrenador le indicó que debía correr 3 000 m el primer día y aumentar 500 m cada día. i. Escribe los primeros cinco términos de la sucesión que se define en el problema.
3000, 3500, 4000, 4500, 5000, … ii. ¿Cuántos metros correrá el décimo día? iii. Escribe la regla de la sucesión.
7500 m
El lugar del término por 500 + 2500
b) Anselmo le dio empleo a su hijo y le dijo: “Si trabajas bien y respetas las reglas del taller, te daré $2.00 el primer día y diario te duplicaré la cantidad anterior”. i. Escribe los primeros cinco términos de la sucesión que se define en el problema.
2, 4, 8, 16, 32, ii. ¿Cuánto ganará el décimo quinto día? iii. Escribe la regla de la sucesión.
70
Bloque 1
32768
2 elevado a la potencia del lugar que ocupa el término.
Bitácora b
Lección 7
90°
(B + b ) h La fórmula para calcular el área de cualquier trapecio es A = _______ . De acuerdo con las 2 características y la forma de la figura, explica por qué se suman las bases y se dividen Si pones un trapecio de cabeza haciendo coincidir los lados diagonales se obtiene un entre 2. �
h 90°
rectángulo con base igual a B+b, la altura se conserva, al sacar el área del rectángulo Lección 8 se obtiene (B+b)h, pero como en un principio se utilizaron dos trapecios para formar el rectángulo, al final se divide entre 2. Construye un triángulo con los datos indicados.
B
15 cm 5 cm 50º
5 cm 50° 15 cm
Lección 9 Dibuja, en tu cuaderno, los cuadriláteros que cumplan con las condiciones. a) Dos lados de 6 cm y dos de 10 cm
Rectángulo o romboide
b) Todos los lados de 7 cm
Rombo o cuadrado
c) Dos ángulos de 45°, un lado de 6 cm y otro de 3 cm
ortocentro
Romboide, trapecio o trapezoide
Lección 10
Retoma el triángulo trazado en la actividad correspondiente a la lección 8, traza el ortocentro
y el baricentro, y escribe el nombre de cada uno.
baricentro
Lección 11 En el triángulo de la actividad correspondiente a la lección 8 traza el incentro, el circuncentro y las circunferencias respectivas. Escribe el nombre de cada punto.
Lección 12
incentro circuncentro
Felipe, Tomás, Héctor y Marco cooperaron con $7.00, $3.00, $4.00 y $6.00, respectivamente, para comprar un billete de lotería instantánea que costaba $20.00. Al raspar el boleto ganaron un premio de $3 000.00. ¿Cuánto le corresponde a Marco?
$900 Lección 13 ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se pueden formar con los dígitos 3, 6 y 8? Escríbelos en tu cuaderno. 6 Bloque 1
71
Laboratorio de matemáticas
Localización del baricentro a partir de dobleces de papel a) Traza un triángulo en una hoja de papel y recórtalo.
b) Haz coincidir dos vértices para localizar la mitad
c) Ahora dobla el triángulo desde el vértice opuesto hasta la marca que hiciste.
d) Repite los pasos de los incisos b) y c) con los otros dos lados del triángulo.
del lado comprendido entre ellos y márcalo.
e) Remarca las tres líneas resultantes de los dobleces y localiza el punto donde se cortan; este
es el baricentro. Toma un lapicero y colócalo como se muestra en la ilustración.
f) Escribe las conclusiones al respecto en tu cuaderno.
72
Bloque 1
En el tintero
Más curiosidades de un triángulo Al unir los puntos medios de los lados de un triángulo se obtienen otros cuatro con la misma área. 1. Observa cómo el triángulo equilátero está dividido en otros cuatro de igual tamaño.
4.62 cm
4.62 cm m c 4
4.62 cm
4.62 cm
m c 4
4.62 cm
m c 4
m c 4
4.62 cm
4.62 cm
a) Discute con tus compañeros a qué se debe esta propiedad de los triángulos. Redacten una breve conclusión en su cuaderno.
En el triángulo anterior, es fácil observar la igualdad entre los cuatro triángulos pequeños. 2. Comprueba si en el siguiente triángulo se cumple la propiedad mencionada.
Bloque 1
73
Bloque 1 Evaluación
Lee los planteamientos, elige la respuesta correcta y márcala en la sección de respuestas. 1 1. ¿Qué número decimal es equivalente a 18 ?
A) 0.5
B) 0.05
C) 0.05
D) 0.5
2. ¿Qué debes hacer para transformar una fracción en un número decimal? A) Dividir el numerador entre el denominador. B) Dividir el denominador entre el numerador. C) Multiplicar el denominador por el numerador. D) Sumar el numerador al denominador. 3. ¿Qué fracción es equivalente a 0.5? 5 A) 10
B) 12
C) 24
D) Todas las anteriores.
4. ¿Qué fracciones se encuentran entre 0.6 y 0.9? 6 y 7 A) 10 10
7 y 9 B) 10 10
7 y 8 C) 10 10
8 y 9 D) 10 10
5. ¿Qué pareja de números decimales se encuentran entre 29 y 39 ? A) 0.23 y 0.32
B) 0.3 y 0.33
C) 0.22 y 0.33
D) 0.25 y 0.26
6. Andrés corrió 12 km el lunes, 1 14 km el martes y 2 12 km el miércoles. ¿Cuánto le falta para completar 5 km? A) 34 km
B) 14 km
C) 12 km
D) 1 km
7. ¿Cuál es la regla que define la sucesión: 8, 11, 14, 17, 20…? A) Multiplicar el lugar del término por 3. B) Multiplicar 3 por sí mismo tantas veces como el lugar donde se ubique el término. C) Multiplicar el lugar del término por 3 y sumarle al resultado 5. D) Multiplicar 8 por sí mismo tantas veces como el lugar donde se ubique el término. 8. Un terreno rectangular mide 6 m de largo y 5 m de ancho; si se desea cercar, ¿cuántos metros de material se necesitarán? A) 11 m
B) 30 m
C) 24 m
D) 22 m
9. ¿Qué elementos se necesitan para trazar un triángulo único? A) La medida de los tres lados.
B) La medida de dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
C) La medida de un lado y sus dos ángulos contiguos.
D) Cualquiera de las anteriores.
10. ¿Cuál es el paral elogramo cuyos l ados tienen la mism a longitud y cuyos ángulos
son iguales? A) Rombo.
74
Bloque 1 Evaluación
B) Rectángulo.
C) Cuadrado.
D) Romboide.
