TEMAS 1 Grandes Matematicos

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Sumario La creación matemática  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Leonardo de Pisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6  Ettore Picutti

René Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  A. C. Crombie

Pierre de Fermat  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  Harold M. Edwards

El teorema de Fermat, demostrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Gaspard Monge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  Bruno Belhoste

André Weil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Carl Friedrich Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  Ian Stewart 

Jean Baptiste Fourier  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60  Ronald L. Bracewell

Augustin-Louis Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70  Bruno Belhoste

Escher y Penrose  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Évariste Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Tony Rothman

Georg Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94  Joseph W. W. Dauben

Gottlob Frege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106  Javier de Lorenzo

Srinivasa Ramanujan  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120  Jonathan M. Borwein y Peter B. Borwein

La creación matemática Henri Poincaré

Ofrecemos aquí lo más sustancial de la conferencia pronunciada a principios de siglo por Henri Poincaré en la Sociedad Psicológica de París. Su testimonio es especialmente relevante porque Poincaré (1854-1912) unía a la condición de ser una de las mejores mentes matemáticas de todos los tiempos un claro interés por comprender la naturaleza del trabajo científico y por su divulgación, como lo demuestran las varias obras que publicó con esta finalidad.  Las ideas de Poincaré siguen resonando en algunas propuestas recientes para mecanizar los procesos mentales superiores, con etiquetas disciplinares tan ajenas a él como “ciencia cognitiva” o “inteligencia artificial”.

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ómo se geste la creación matemática es un problema que debería interesar mucho a los psicólogos. Se trata de aquella actividad en que la mente humana parece recurrir menos al mundo exterior, actuando, o pareciendo actuar, por sí y para sí, por lo que podríamos esperar que el estudio del modo de proceder del pensamiento geométrico nos adentrase en lo más esencial de la mente humana... El primer hecho que habría de sorprendernos, si no fuese por lo acostumbrados que estamos a aceptarlo, es el de cómo es posible que haya personas que no entiendan las matemáticas. Puesto que sólo recurren a las leyes de la lógica, que toda mente normal acepta, y dado que sus pruebas se basan en principios comunes a todos los seres humanos, que nadie en su sano juicio podría negar, ¿cómo es posible que haya tanta gente refractaria a ellas? Es comprensible que no todo el mundo tenga capacidad inventiva y puede pasar que se olvide una demostración tras haberla aprendido, pero, si pensamos en ello, sí que es muy raro que alguien no comprenda un razonamiento matemático que se le explique. Y, sin embargo, quienes no pueden seguir tal razonamiento más que con dificultad son mayoría, como atestigua la experiencia de los profesores de enseñanza secundaria. Aún diré más: ¿cómo es posible el error en matemáticas? Una mente sana no incurre en falacias lógicas ni se trabuca en las sencillas argumentaciones que se dan en la vida ordinaria y, sin embargo, son pocos quienes pueden repetir sin equivocarse las demostraciones matemáticas, sin duda más largas, pero que, en suma, se reducen a una acumulación de pequeños razonamientos en todo parecidos a los que realizamos sin dificultad. No creo necesario añadir que ni siquiera los matemáticos son infalibles... Por lo que a mí respecta, he de confesar que soy incapaz hasta de hacer una suma sin equivocarme... No tengo mala memoria, pero tampoco lo suficientemente buena como para ser un jugador de ajedrez destacado. ¿Por qué entonces no me falla en los momentos difíciles del razonamiento matemático, cuando la mayor parte de los ajedrecistas se perderían? Sin duda alguna porque la marcha general del razonamiento la guía. Una demostración matemática no es una simple yuxtaposición de silogismos, sino silogismos colocados en determinado orden, siendo este orden de colocación mucho más importante que los 2

elementos mismos. Si tengo la sensación, la intuición, como si dijéramos, de este orden, percibo sin más el razonamiento como un todo y no tengo ya que preocuparme de que se me olvide ninguno de sus elementos, pues cada uno de ellos ocupará su parte en el elenco, sin que mi memoria tenga que hacer esfuerzo alguno.

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abemos que esta sensación, esta intuición del orden matemático, la que nos hace adivinar armonías y relaciones ocultas, no puede ser poseída por todo el mundo. Hay quienes no tendrán esta delicada sensación, tan difícil de definir, o cuya memoria o capacidad de atención no superarán lo ordinario, lo que les incapacitará por completo para comprender las matemáticas superiores. Tal es el caso de la mayoría. No faltarán otros que, aun poseyendo la sensación en grado mínimo, estarán dotados de una memoria inusual y de una gran capacidad de atención. Estos se aprenderán de memoria los detalles, uno tras otro; podrán entender las matemáticas, y hasta aplicarlas, pero no podrán crear. Y hay quienes, en fin, poseerán en mayor o menor grado la intuición especial a la que me estoy refiriendo; éstos, no sólo entenderán las matemáticas, aunque su memoria no tenga nada de extraordinario, sino que podrán crearlas, esforzándose por inventar, empeño en el que tendrán más o menos éxito según esté de desarrollada su intuición. ¿Qué es realmente la creación matemática? No consiste en organizar nuevas combinaciones de entidades matemáticas ya conocidas. Esto es algo que cualquiera puede hacer, si bien tales combinaciones son innumerables y la mayor parte de ellas carece por completo de interés. Crear consiste precisamente en no hacer combinaciones inútiles y sí, en cambio, aquellas que son útiles, que son muy pocas. La invención es discernimiento, elección. Es hora de adentrarse en el alma del matemático y ver qué pasa allí. Creo que lo mejor que puedo hacer en este sentido es recordar mis propias experiencias. Me limitaré a contarles cómo escribí mi primer trabajo sobre las funciones fuchsianas. Pido perdón al lector, pues he de usar algunas expresiones técnicas, pero no tiene por qué asustarse, pues no se requiere que las entienda. Si digo, por ejemplo, que encontré la demostración de tal teorema en tales y tales circunstancias, el teorema tendrá indudablemente un nombre bárbaro, desconocido para la mayoría. Pero esto carece de importancia, porque lo verdaderamente importante para el psicólogo no es el teorema, sino las circunstancias. Durante quince días me esforcé por demostrar que no podían existir funciones como las que luego llamé fuchsianas. Entonces era muy ignorante. Me ponía cada día a trabajar en mi mesa, probaba un gran número de combinaciones durante un par de horas y no lograba nada. Una tarde bebí una taza de café, cosa que no solía hacer, y no pude dormir por la noche. Las ideas surgieron a borbotones. Las sentía chocar unas con otras, por así decirlo, hasta que se engarzaron entre sí formando una combinación estable. A la mañana siguiente ya había determinado la existencia de una clase de funciones fuchsianas, las derivadas de la serie hipergeométrica. Sólo me faltaba poner por escrito los resultados, lo que hice en pocas horas. Quise entonces representar estas funciones como el cociente de dos series. Tal idea era completamente consciente y delibeTEMAS 1

rada, habiéndome llevado a ella la analogía con las funciones elípticas. Me pregunté qué propiedades habrían de tener tales series, si existieran, y conseguí formarlas sin dificultad; a éstas les di el nombre de theta-fuchsianas. Por entonces salí de Caen, donde a la sazón vivía, para participar en una excursión geológica organizada por la escuela de minas. Las incidencias del viaje me hicieron olvidar mis trabajos matemáticos. En determinado momento, estábamos en Coutances y habíamos de subir a un ómnibus para desplazarnos a otro sitio. Justo al poner el pie en el estribo, sin que ninguno de mis pensamientos precedentes pareciese haberla propiciado, me vino la idea de que las transformaciones que había usado para definir las funciones fuchsianas eran idénticas a las de la geometría no euclídea. No proseguí el razonamiento, ni hubiese tenido ocasión de ello, pues me senté en mi asiento y continué una conversación previa, pero estaba completamente seguro. A mi retorno a Caen lo comprobé concienzudamente, por pundonor.

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i atención se dirigió luego al estudio de algunas cuestiones aritméticas que no parecían tener ninguna relación con mis investigaciones precedentes. No obtuve muchos resultados. Molesto por mi fracaso, me marché unos días a la costa para distraerme. Una mañana, mientras caminaba por los acantilados, se me ocurrió la idea de que las transformaciones aritméticas de fórmulas cuadráticas ternarias indeterminadas eran idénticas a las de la geometría no euclídea. El hecho volvió a tener los rasgos de la brevedad, lo inesperado y la sensación de certeza inmediata. De vuelta a Caen medité sobre este resultado y extraje las consecuencias. El ejemplo de las fórmulas cuadráticas me mostraba que había grupos fuchsianos distintos de los correspondientes a las series hipergeométricas. Me di cuenta de que podía aplicarles la teoría de las series theta-fuchsianas y de que, en consecuencia, existían funciones fuchsianas distintas de las de las series hipergeométricas, que eran las que yo conocía. Como es natural, me puse a formular todas estas funciones. Las sometí a un ataque sistemático y fui doblegándolas, una tras otra. Quedaba una, sin embargo, que se resistía y cuya dominación hubiese significado la victoria total. Pero el único resultado inicial de mis esfuerzos fue permitirme ver con claridad la dificultad de la empresa, que no era pequeña. Todo este trabajo fue completamente consciente. Llegó entonces el momento de que me fuese a Mont-Valérien, lugar donde había de realizar mi servicio militar. Durante un tiempo, pues, mis ocupaciones fueron bastante diferentes. Un buen día, conforme andaba por la calle, se me presentó de improviso la solución del problema que me había bloqueado. No le di más vueltas inmediatamente, pero retomé la cuestión al licenciarme. Disponía de todos los elementos y sólo me faltaba ordenarlos y encajarlos. La redacción de la memoria correspondiente la realicé de un tirón y sin dificultad. Sería inútil repetir más casos parecidos; baste con este ejemplo. Lo que resulta más sorprendente en principio es esta aparición de una súbita iluminación, signo inequívoco de una larga elaboración previa inconsciente. Me parece indiscutible el papel que desempeña esta elaboración inconsciente en la invención matemática, pudiendo rastreársela en otros casos menos evidentes. Suele pasar que, al trabajar en un tema difícil, los primeros intentos no den ningún resultado. Se toma entonces un descanso, más o menos largo, y se sienta uno de nuevo a trabajar. Como antes, durante la primera media hora sigue sin encontrarse nada y, de pronto, la idea decisiva se presenta por sí sola ante la mente... Hay que hacer otra observación sobre las condiciones de esta elaboración inconsciente, a saber, la de que sólo es posible, e GRANDES MATEMÁTICOS

indudablemente sólo es fecunda, si va 1) precedida y 2) seguida por un período de trabajo consciente. Estas inspiraciones súbitas nunca se producen (como lo prueban los ejemplos mencionados) más que tras algunos días de esfuerzo voluntario, de apariencia inútil, del que no se ha obtenido nada y cuyo enfoque parece totalmente erróneo. Pero tales esfuerzos no son tan estériles como uno piensa: han puesto en marcha la maquinaria inconsciente, que sin ellos no se movería y no produciría nada...

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stos son los hechos. Veamos ahora las reflexiones a que nos obligan. El inconsciente, o, como preferimos decir, el yo subliminal, desempeña un importante papel en la creación matemática, según se deduce de lo que hemos dicho. Pero suele considerarse que el yo subliminal es puramente automático. Ahora bien, hemos visto que la tarea matemática no es meramente mecánica, que ninguna máquina, por perfecta que fuera, podría realizarla. No se trata sólo de aplicar reglas, de hacer el mayor número de combinaciones posible según determinadas leyes fijas. Las combinaciones así obtenidas serían extraordinariamente numerosas, inútiles y enrevesadas. La verdadera tarea del inventor consiste en escoger entre estas combinaciones, eliminando las inútiles o, aún mejor, no molestándose en hacerlas. Pero las reglas que guían esta elección son sutiles y delicadas en extremo, siendo casi imposible enunciarlas con precisión; se las siente más que se las formula. ¿Cómo imaginar, pues, un cedazo que las aplique de modo mecánico? La primera hipótesis que se nos ocurre es que el yo subliminal no sea en modo alguno inferior al yo consciente; que no sea totalmente automático, sino capaz de discernimiento; que tenga tacto, delicadeza; que sepa elegir, que adivine. ¿Qué digo? Sabe adivinar mejor que el yo consciente, puesto que acierta donde el otro falla. En resumen, ¿no es el yo subliminal superior al consciente? Ya se dan cuenta de toda la importancia que tiene este asunto... He de confesar que, por lo que a mí respecta, si los hechos que he relatado nos forzasen a una respuesta afirmativa, me sentiría muy incómodo. Veamos, pues, si su reconsideración no nos permite alguna otra explicación. Es indudable que las combinaciones que se ofrecen a la mente en esa suerte de iluminación súbita, tras un periodo, a veces prolongado, de elaboración inconsciente, suelen ser útiles y fértiles, pareciendo ser el resultado de una primera impresión. ¿Se deduce de ello que el yo subliminal, tras haber adivinado con fina intuición la utilidad de estas combinaciones, no las haya elaborado más que a ellas? ¿O quizás elaboró muchas otras que, por su falta de interés, han permanecido inconscientes?

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i consideramos el asunto desde esta nueva perspectiva, el automatismo propio del yo subliminal haría que se elaborasen todas las combinaciones, pero sólo las interesantes lograrían penetrar en el dominio de la consciencia. Lo cual sigue siendo bastante misterioso. ¿Cómo se eligen, de entre los miles de productos de nuestra actividad inconsciente, los que pasarán la barrera? ¿Es la mera evidencia la que otorga este privilegio? Es claro que no; de entre todos los estímulos aportados por nuestros sentidos, sólo los más intensos logran nuestra atención, salvo que otras causas la dirijan hacia otros. En general, los fenómenos inconscientes privilegiados, los que pueden convertirse en conscientes, son aquellos que, directa o indirectamente, afectan más profundamente a nuestra sensibilidad emotiva. Quizá resulte sorprendente que se recurra a la sensibilidad emotiva a la hora de dar cuenta de las demostraciones matemáticas, que, se pensaría, sólo afectan al intelecto. Esta opinión olvida la sensación de belleza matemática, de la armonía de los números y las formas, de la elegancia geométrica, que es una verdadera sensación estética, conocida por todos los matemáticos 3

auténticos, y que, en consecuencia, pertenece a la sensibilidad emotiva. Ahora bien, ¿cuáles son las entidades matemáticas a las que les atribuimos este carácter de belleza y de elegancia, las que pueden producirnos tal emoción estética? Son las que tienen sus elementos armoniosamente dispuestos, de tal forma que la mente puede captar sin esfuerzo su totalidad, al tiempo que percibe sus detalles. Tal armonía no sólo es satisfactoria para nuestras necesidades estéticas, sino que presta ayuda a la mente, a la que sustenta y guía, al tiempo que, al poner ante nosotros un todo bien ordenado, nos permite intuir una ley matemática... Es, pues, esta sensibilidad estética especial la que funciona como el cedazo delicado del que antes hablaba, lo que también esclarece suficientemente por qué quien no la posea no podrá ser un verdadero creador. A pesar de todo, sigue habiendo dificultades. Tenemos que el yo consciente está gravemente limitado, mientras que no conocemos las limitaciones del yo subliminal. Esto es lo que nos permite suponer sin demasiada dificultad que haya podido elaborar en un corto espacio de tiempo muchas más combinaciones diferentes que las que podría hacer un ser consciente en toda una vida. Y, sin embargo, tales limitaciones existen. No resulta verosímil que pueda elaborar todas las combinaciones posibles, cuyo número supera lo imaginable; pero, por otro lado, tal cosa parece necesaria, puesto que, si sólo produjese una pequeña parte de las mismas y lo hiciese al azar, la probabilidad de que estuviese entre ellas la buena combinación, la que deberíamos elegir, sería reducida. Puede que la explicación a esto hayamos de buscarla en ese periodo de trabajo consciente que siempre precede a toda labor inconsciente fructífera. Permítaseme un símil tosco. Imaginémonos los elementos de nuestras futuras combinaciones como algo parecido a los átomos ganchudos de Epicuro. En los periodos de reposo mental, estos átomos están inmóviles, colgados de la pared, como si dijéramos... Por el contrario, durante un periodo de descanso aparente y de trabajo inconsciente, algunos de ellos se separan de la pared y se ponen en movimiento. Salen disparados en todas las direcciones del espacio (iba a decir de la habitación) que los contiene, como lo haría, por ejemplo, un enjambre de mosquitos o, si se prefiere una comparación más culta, como

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Press,  Managing Editor ; Marguerite Holloway,  News Editor ; Ricki L. Rusting,  Associate Editors ; Timothy M. Beardsley; W. Wayt Gibbs; John Horgan, Senior Writer ; Kristin Leutwyler; Madhusre Mukerjee; Sasha Nemecek; Corey S. Powell; David A. Schneider; Gary Stix; Paul Wallich;Philip M. Yam; Glenn Zorpette. PRODUCTION Richard Sasso CHAIRMAN AND CHIEF EXECUTIVE OFFICER John J. Hanley CO-CHAIRMAN Dr. Pierre Gerckens DIRECTOR, ELECTRONIC PUBLISHING  Martin Paul

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las moléculas de un gas en la teoría cinética de los gases. En tales circunstancias, sus impactos recíprocos podrían producir nuevas combinaciones. ¿Qué papel desempeña el trabajo inicial consciente? Claramente el de poner en danza algunos de estos átomos, tras haberlos separado de la pared. Nos parece que hemos perdido el tiempo porque los hemos movido de mil modos diferentes, tratando de juntarlos, y no hemos conseguido ningún agregado satisfactorio. Pero, tras esta agitación impuesta por nuestra voluntad, los átomos no se paran, sino que continúan la danza por su cuenta. Resulta, empero, que nuestra voluntad no los eligió al azar, sino con un claro propósito, por lo que los átomos puestos en danza no son átomos cualesquiera, sino aquellos de los que razonablemente puede esperarse la solución buscada. Los impactos entre ellos, o con otros átomos inmóviles, con los que chocan en sus desplazamientos, producen las combinaciones. Vuelvo a pedir disculpas por lo tosco de la comparación, pero no se me ha ocurrido otra forma mejor de expresar lo que pienso. Sea como fuere, las únicas combinaciones que tienen posibilidades de formarse son aquellas en las que participa como elemento uno al menos de los átomos que nuestra voluntad eligió libremente. Ahora bien, es claro que lo que he llamado la buena combinación se encuentra entre éstas. Quizás así se mitigue el aspecto paradójico de la hipótesis original... Quiero terminar con otra observación. Entre las anécdotas personales que conté al principio, hablé de una noche de excitación en la que trabajé contra mi deseo. Casos como éste son frecuentes y no es imprescindible que la actividad cerebral anormal venga causada por un excitante físico, como en la circunstancia mencionada. En tales situaciones parece como si uno presenciase su propio trabajo inconsciente, que conserva su naturaleza a pesar de haberse vuelto parcialmente perceptible por la consciencia sobreexcitada. Es entonces cuando captamos de modo impreciso lo que diferencia ambos mecanismos o, si se quiere, los métodos de trabajo de ambos egos. Las observaciones psicológicas así realizadas me parecen ratificar, en líneas generales, las opiniones aquí expuestas. Indudablemente es necesario que se las confirme, pues siguen siendo muy hipotéticas. Pero su interés es tanto que no me arrepiento de haberlas compartido con ustedes.

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Leonardo de Pisa Ettore Picutti  La lectura de su Libro dei quadrati  confirma la corrección y la originalidad del más grande de los matemáticos medievales, conocido también por el nombre de Fibonacci

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as relaciones comerciales con el Oriente, iniciadas ya antes del año 1000 por las repúblicas marítimas italianas, y, después de aquella fecha, la penetración en territorios de cultura árabe por los normandos de Sicilia, por la Reconquista española y por los cruzados, posibilitaron el renacimiento de la cultura europea del siglo  XII , cultura que resurgía con una impronta grecoárabe, filosófico-científica, y a la que se superpondría un siglo más tarde la impronta literaria latina. Primordial ingrediente de aquel renacimiento fue el entusiasmo con que los estudiosos laicos y eclesiásticos de todas las partes de Europa se dedicaron a buscar documentos de la antigüedad griega traducidos al árabe y también obras árabes originales, entusiasmo del que dan una idea las tradiciones sobre el viaje de Gerberto de Aurillac a la España musulmana y sobre la conversión de Adelardo de Bath al islamismo por amor al saber, y que atestigua la presencia de italianos, ingleses, franceses y alemanes

ETTORE PICUTTI estudió ingeniería en el Politécnico de Milán y ha trabajado en cargos directivos de empresas químicas. Como historiador de la ciencia y de la matemática ha impartido ciclos de conferencias y ha publicado una Storia del numero  (1976), así como diversos estudios sobre la matemática medieval. Basándose en dos manuscritos del siglo  XVI  compuestos por el Maestro Benedetto da Firenze, ha llevado a cabo la edición en lengua vulgar, interpretada y comentada, del Libro dei quadrati de Leonardo de Pisa y de medio centenar de problemas de análisis indeterminado, que han puesto de manifiesto la notable aportación de los maestros de la escuela toscana a tal disciplina. Además, ha establecido reglas de formación de las familias de l os números congruocongruentes.

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entre los traductores del árabe de la escuela de Toledo. La matemática inició un vigoroso desarrollo con la traducción al latín de los  Elementos de Euclides (Adelardo de Bath y Gerardo de Cremona), de las obras de aritmética y álgebra escritas a comienzos del s. IX   por el persa alKhuwariz (Adelardo de Bath, Roberto de Chester), del De mensura circuli de  Arquímedes (Gerardo de Cremona, Platón de Tívoli), del  Lib er trium  fratrum  de geometría greco-árabe del s. IX   (Gerardo de Cremona). Renacía con un aspecto nuevo, casi antigriega en su espíritu, no siendo ya fin en sí misma y disfrute espiritual para el otium  del filósofo, sino deliberadamente práctica, cual la exigían los nue vos tiempos. En este ambiente intelectual utilitario de finales del siglo  XII se formó matemáticamente Leonardo de Pisa, uno de los hijos de Bonaccio. Era la época de las hazañas de Saladino y de Ricardo Corazón de León; mientras resonaba aún el eco de aquellas gestas, los mercaderes pisanos, genoveses y venecianos expandían su comercio por los puertos del Mediterráneo y del Mar Negro. Leonardo nació en torno al 1170; era, pues, coetáneo de Santo Domingo y unos diez años mayor que San Francisco. En el prefacio de su primera obra, el  Liber abaci, escrita en 1202, nos informa un poco sobre los comienzos de su carrera como matemático. Cuando aún era un chiquillo, su padre, que estaba al frente de la oficina de aduanas establecida por la Ordo Mercatorum  de Pisa en Bugía,  Argelia, le llamó a su lado y le hizo seguir un breve curso sobre el cálculo posicional hindú, cuyas ventajas no podían ocultársele a un experto. Así empezó a aficionarse a la matemática; aprovechó luego sus frecuentes  viajes de trabajo, hechos siempre por

cuenta de los mercaderes de Pisa, para conocer a los matemáticos de los países que visitaba —Egipto, Siria, Provenza, Sicilia, Grecia— trabando con ellos discusiones y certámenes ( disputationis didici conflictum ), y para estudiar a fondo los  Elementos , que en adelante tu vo sie mpre por modelo de rigor lógico y de estilo.  Así nació, entre contrato s y revisiones de cuentas y entre el ir y  venir de las galeras pisanas, el  Liber abaci, primer e insuperado modelo de “summa” matemática medieval, en el que, según lo declara expresamente, quiso el autor poner todo cuanto sabía de aritmética y de álgebra “a disposición de la gens latina , de manera que fuese bien poco lo que de tal temática pudiese quedar fuera del libro”.

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l título es desacertado, según opina Carl Boyer en su  Hist oria de la matemática, acordándose quizá de que, para griegos y romanos y para los “maestros de ábaco” de los siglos anteriores al  XII, el ábaco, ya fuese de bolas o de fichas, era un instrumento de cálculo. Leonardo, en cambio, reserva la denominación de ábaco  para designar, en general, la aritmética-álgebra aplicada; éste era ciertamente el significado que en su tiempo se daba al término y el que se le siguió dando en Italia hasta bien entrado el s.  XVIII. Trátase de una obra colosal (459 páginas tiene la edición en 4.o hecha por Boncompagni), en la que se presentan las novem figuræ  de los hindúes y el signum 0 ( quod arabice  ze phirum appellatur), las operaciones con ellos en enteros y en fracciones, las pruebas por 7, 9, 11, 13 y el criterio de divisibilidad por 9, las aplicaciones para determinar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo; a continuación se dan, acompañadas de muchos problemas, reglas sobre

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compraventas, permutas, sociedades, leyes y cambios con las más diversas monedas entonces en curso, proporciones, regla de tres simple y compuesta, y otras cosas por el estilo. Se dedican capítulos indepedientes a la regla elchataym  (o regula falsi, de la doble posición para solucionar ecuaciones de primer grado) y a las cuestiones aliebre et almucabale, relativas a la solución, discusión y aplicación de las ecuaciones de segundo grado.  A base del  Liber abaci  se formaron los maestros y discípulos de la escuela toscana durante más de tres siglos, hasta Pacioli; en él se había procurado y conseguido el equilibrio entre la teoría y la práctica (“he demostrado con pruebas ciertas casi todo lo que he tratado”). No era, ni es, una obra fácil, y Leonardo de Pisa aconsejaba al lector que se ejercitase continuamente en las aplicaciones hasta que memoria y razonamiento, manos y números, actua sen de consuno espontáneamente (“quasi uno impulsu et anelitu in uno et eodem instanti circa idem per omnia naturaliter consonent”). Este anhelo de perfección hará de Leonardo un matemático excepcional entre los contemporáneos y sus sucesores, que conservarán un recuerdo reverente del maestro. En el siglo  XIV   comentaba Antonio de’ Mazzinghi: “O L.p. di quanta scientia fusti, quando desti principio all’Italia ad aver lume della praticha d’arismetricha!” [“¡Oh Leonardo pisano, cuán sabio fuiste introduciendo en Italia la luz de la práctica aritmética!”] (del Códice Ottoboniano 3307 de la Biblioteca Vaticana).

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mediados del siguiente siglo el Maestro Benedetto da Firenze le traducirá, citará repetidamente sus obras y recordará su figura: “Digo que L.p. fue hombre sutilísimo en todas las disputas y, según consta, fue el primero que en la Toscana supo aclarar esta práctica, que andaba perdida por muchos caminos extraños.” Y añade: “El tratado de los números cuadrados es la [sic] [¿parte?] más difícil... Y no he hallado a nadie que la trate con mayor profundidad que L.p.” (Del Códice L.IV.21 de la Biblioteca municipal de Siena). Boyer encontrará la lectura del  Liber abaci “no muy apasionante para el lector moderno”, reprochará a su autor el haber empleado la complicada forma de expresión algebraica que era usual en su época y les echará en cara, tanto a él como a los matemáticos de todo un milenio, el no haber

GRANDES MATEMÁTICOS

1. MINIATURA DEL PRIMER FOLIO del Cód. Urb. Lat. 292 de la Biblioteca Apostólica Vaticana. Basándose en este códice, editó Baldassarre Boncompagni en el siglo pasado la Pratica geometrie de Leonardo de Pisa. Bajo la miniada R capital se quiso representar al autor en el acto de presentar su obra.

aplicado las fracciones decimales. Consideremos que Leonardo dejó el asunto a Viète y a Stévin, que aparecerían unos cuatro siglos después, y procedió a su manera; así, teniendo que sacar una vez la raíz cuadrada de 7234, añadió quatuor zephira, calculó la raíz (aproximada) de 72340000, a saber, 8505, y luego volvió a pasar los decimales a la fracción normal, 1/20, obteniendo como resultado 85 1/20. De 1202 a 1220 Leonardo no escribió ninguna otra obra. Fue aquél un periodo lleno de acontecimientos históricos y culturales para la formación de la civilización europea. Los excomulgados de la Cuarta Cruzada fundaban el imperio latino de Oriente, y nuevos textos, esta vez griegos, iban pasando a Europa; otros cruzados no excomulgados destruían la Provenza, degollando a sus habitantes mientras pedían a Dios que se encargase de reconocer las almas de los no heréticos. En París se prohibía bajo pena de excomu-

nión la lectura pública o privada de las obras científicas de Aristóteles. El año 1212 se dio por fin al traste con el poder de los almohades en España; dos años después la corona inglesa perderá sus posesiones de Francia y se verá obligada a conceder la Carta Magna. San Francisco hablaba a las avecillas y al Sol, a la Luna y a las estrellas, astros que los filósofos estaban procurando encajar en el monstruoso mecanismo cósmico de Aristóteles.

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n el horizonte de la historia y de la cultura europeas se perfilaba por entonces la figura de Federico de Suabia, “stupor mundi”, con su Corte de notarios y protonotarios indígenas y de “magistri” y “philosophi” de todas las naciones. Leonardo de Pisa habría quizás iniciado y concluido con el Liber abaci su actividad de matemático, de no ser por la intervención de uno de los filósofos de la Corte de Federico, el Maestro

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como para los prácticos. Y no se puede decir que no lo haya conseguido. Se basa en los Elementos de Euclides (y en su hoy perdido libro  De la división de las figuras ), pero algunas partes están tomadas de Arquímedes, de Herón, de Ptolomeo, de Savasorda (el judío español bar Hiyyia, “sahib al surta”, o sea, capitán de la guardia, autor del  Liber Embadorum , traducido del hebreo al latín por Platón de Tívoli a comienzos del s.  XII), y otras de los “Tres hermanos”. Sus fuentes son, por tanto, esencialmente griegas (ni podía ser de otro modo tratándose de geometría); pero, por su enfoque práctico y por la búsqueda de soluciones alternativas, su espíritu no es ciertamente griego.

E

n cuanto al contenido, puede decirse, para abreviar, que en él se explica y se aplica la parte sustancial 2. CARACTERES EMPLEADOS por los “maestros de ábaco”. Leonardo de Pisa divulde los  Elementos , incluidos los libros gó las cifras indias y su uso, pero desde el siglo  X  los “maestros de ábaco” usaban, para calcular sobre sus tablillas, unas fichas en las que se había marcado signos  XIV  y  XV , una vez expuestas previamente las nociones algébricas neceanálogos a las cifras indias. Aquellos maestros indicaban tales signos con términos de probable origen árabe, pero les atribuían un origen pitagórico. sarias para resolver los problemas. Se encuentran allí demostrados de varios Domenico, al que nuestro autor lla- edición de Boncompagni. La  Pratica modos el teorema de Herón y el de maba amigo y que efectivamente se  geometrie es ciertamente menos origi- Ptolomeo, y expresado “con números comportó como tal, ya animándole a nal y variada que el  Liber abaci, pero pequeños” el valor de π. componer su segunda “summa”, la se presenta, no obstante, como un La extensa y preciosa  Dis tincti o  Pratica geometrie ( Practica geome- corpus de excepcional valor didáctico, quarta versa sobre la subdivisión de las triæ, en la edición de Boncompagni), inclusive para el grado superior de figuras. Para la valoración de las suya interesándose por presentarle, una moderna escuela media. Propósito perficies de los campos se exponen tamalgunos años después, al emperador. declarado del autor es ofrecer un  per- bién allí el uso de la arquipéndola y el En el año 1220 quedó completa la  fectum documentum , que valga tanto de un cuadrante graduado y con lanobra, que consta de 223 páginas en la para los apasionados por la subtilitates ceta móvil mediante el cual se pueden determinar funciones trigonométricas. La  Pratica geometrie  del 1220 era el homenaje indirecto del matemático pisano a Federico de Suabia, quien, al finalizar aquel año y con veintiséis de edad, ceñía la corona imperial y llegaría a revelarse como el más culto y organizado de los emperadores germánicos. Lo mismo que el Liber abaci, la Pratica geometrie  vino a ser documento básico para los maestros de la escuela toscana, desde Paolo dell’Abaco hasta Luca Pacioli, pasando por Cristofano di Gherardo y el Maestro Benedetto. Mientras se redactaba la Pratica geometrie   abatíase desde Oriente sobre el mundo árabe una calamidad tan enorme que, al decir de Ibn al-Athir,  jamás se había visto otra igual desde la creación del mundo: Gengis-Khan irrumpía en el Khowarezm y en Persia, y en dos años destruía para siempre siglos de cultura. Ninguna de las numerosas obras compuestas a lo largo de tres siglos 3. INCIPIT  del LIBER ABACI , siglo  XIII (Cód. I 72 Sup., de la Biblioteca Ambrosiana por los matemáticos toscanos tuvo el de Milán). Leonardo describe aquí sus comienzos como matemático y presenta las honor de ser impresa durante el periodo cifras indias. Comparado con el inicio del Cód. Magliabechiano CI 2616, de Florenrenacentista; el recuerdo de una activicia, del que Boncompagni sacó su edición, falta la dedicatoria a Miguel Escoto para dad excepcional y única en Europa se la segunda redacción de 1228.

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TEMAS 1

desvaneció o permaneció sepultado en cambio, fraccionario; c) presentaba del Maestro Benedetto en la época el fondo de las bibliotecas. Quedó todo una tabla de parejas (C, Y  2) enteras, medieval, los posteriores de Genocchi, confiado a lo que pudiera informar aconsejando que se buscase en ella el Woepcke, Collins, Lucas y la utilizala  Summa de  Arithmetica geometria. C  dado o un múltiplo cuadrático del ción de las computadoras de la época  Proportioni et proporcionalità  de fray mismo C N  2; en este segundo caso moderna, ni siquiera se ha explorado Luca Pacioli, impresa en Venecia en se habría obtenido la solución frac- por completo el limitado campo para  2/N   2. Ponía ejemplos 1494 y reimpresa en 1523 “in Tos- cionaria  y 2 = Y  C menor de mil. colano su la riva del Benacense et unico para C  = 6 y C  = 30; d) advertía la Durante tres siglos nadie dio especarpionista Laco”, por las prensas de insuficiencia de unas tablas seme- cial importancia a los citados pasajes Paganino de’ Paganini de Brescia.  jante s para muchos valores de C y de la  Summa ; los términos mismos Pacioli presentaba así su obra: “Y la necesidad de recurrir entonces a ‘congruo-congruente’ desaparecieron estas cosas, con todas las siguien- “reglas extraordinarias” para llegar del léxico matemático. tes, serán según los antiguos... y de a la solución. Daba un esbozo de tales Fue un parmesano de adopción, el nuestros modernos [según] Leonardo reglas para C = 7, obteniendo y 2 = 7 + ingeniero, matemático e historiador Pisano, Giordano, Biagio da Parma, 12769/14400. Daba sólo las soluciones de las matemáticas don Pietro Cossali Giovan Sacrobosco y Prosdocimo  y 2 = 11 + 97/144 para C = 5, e y 2 = 13 + quien, dándose cuenta de la imporPadoano, de los cuales mayormente 164568241/375584400 para C = 13. tancia del asunto, se puso a buscar el saco el presente volumen.” perdido manuscrito de Leonardo de uedaba así claro el significado de Pisa sobre los números cuadrados.  A la  Summa  quedaba confiado en particular el recuerdo de una obra, por aquella frase suya según la cual, Resultando vanas sus pesquisas, pese a todos los esfuerzos de Leonardo lo demás desconocida, de Leonardo de se atrevió a intentar la reconstrucPisa. Dando la solución del problema Pisano, las soluciones del problema ción de la obra, ateniéndose a los de descomponer un número en la del congruo “se conviene en que hay que datos de Pacioli, y publicó el fruto suma de dos cuadrados, escribía así buscarlas a tientas (o por tanteos)”. de su intento en una cincuentena fray Luca: “...jamás falla esta regla.  Añadamos que, a pesar de todos los de páginas de su libro Origini e De dónde proceda la cual lo demuestra esfuerzos de Leonardo, de Antonio de’ trasporto in Italia dell’ al ge br a. por medio de figuras geométricas Leo. Mazzinghi, de Giovanni di Bartolo y  Stor ia criti ca di nuo ve d isquisi zioni Pi. en el tratado que hace ace rca de los números cuadrados”.

Q

 A 

Pacioli parecía haberle interesado especialmente esta obra de Leonardo de Pisa, pues insistía sobre todo en un problema considerado en ella: “Hállame un número cuadrado que, sustraída de él cierta cantidad, siga siendo cuadrado, y añadiéndosele la misma cantidad aún sea cuadrado.  Y demandas semejantes a ésta. Las cuales son dificilísimas en cuanto a la demostración de la práctica, como lo sabe quien las haya escudriñado bien. Máxime Leonardo Pisano en un particular tratado suyo intitulado  De quadratis numeris. Donde con gran esfuerzo se ingenia en dar norma y regla a semejantes soluciones. Sin embargo, finalmente no sirven en general para todas, y así se conviene en dedicarse a buscarlas por tanteos... Hoc opus, hic labor est.” Tal problema se puede traducir algebraicamente en la doble ecuación:  2 – C = X   2 Y   2 + C = Z 2, Y 

siendo, según la terminología de Pacioli (retomada después por Galigai, Tartaglia y Cardano), C  el número congruente e Y  2 el cuadrado congruo. Pacioli dedicaba al problema una decena de páginas, y concretando: a) daba las resolventes C = 4ab (b – a)(b + a), Y = b 2+a 2, siendo (a, b) dos números enteros; b) indicaba que C era siempre el número dado y debía ser entero; el cuadrado congruo podía resultar, en

GRANDES MATEMÁTICOS

4. PROBABLE BUSTO DEL EMPERADOR FEDERICO II, conservado en el museo de Barletta. En realidad, su figura n o debía de tener líneas tan clásicas. Los árabes que le conocieron durante la cruzada de 1228-1229 apreciaron mucho sus cualidades, pero no quedaron tan bien impresionados por su aspecto. Sibt ibn al-Jawzi decía que, “como esclavo, no hubiesen dado por él doscientos dirham”.

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Beldomandis, que vivieron en el inter valo de más de dos siglos. El mayor acierto del libro de Cossali está, con todo, en su defensa a priori de Leonardo contra quien se atre vie se (era un presagio) a acu sarle de haber tomado de Diofanto —que en Alejandría, en el s. II, compuso la  Aritmética— la única obra de análisis indeterminado de la que partiría, con Fermat, la matemática moderna. La ocurrencia le vino de Xilander, primer traductor del griego de la  Aritmética , en 1575, el cual, enterado de “que un cierto Leonardo de Pisa había escrito un libro sobre los números cuadrados”, comentó: “non dubito quin ex nostro transtulerit Diophanto” [“no dudo que lo haya trasladado de nuestro Diofanto”]. Tras despachar brevemente al incauto Xilander, le asaltó a Cossali la duda de si Leonardo habría conocido la obra de Abul Wafa, matemático persa del que sabía que había escrito en el s.  X   unos comentarios y unas demostraciones (y a demostraciones geométricas de Leonardo había aludido Pacioli) de las proposiciones de Diofanto. Expresada la improbabilidad de que tal obra, poco conocida por los mismos árabes, fuese en cambio conocida por el matemático pisano, pasaba no obstante a hacer una confrontación directa de las soluciones dadas por Diofanto y las dadas por Leonardo a algunos problemas comunes, y concluía: “¿Cómo  vamos a creer que Leonardo, frecuentando la obra de Diofanto, no hubiese aprendido los artificios de Diofanto?... ¿Cómo se nos va a hacer creer que teniendo ante sus ojos la referida cuestión de Diofanto, ante la ilimitada amplitud de la misma, se hubiese limitado en la propuesta y en el desenlace? 5. FRONTISPICIO de la edición tusculana de la SUMMA de Luca Pacioli, indicando  Yo me resisto, por tanto, a pensar que el contenido de la obra. Salta ya a la vista lo estrambótico del autor, que en el curso del tratado matemático insertaba comentarios de diversa naturaleza, terminología y Leonardo haya conocido la obra de frases latinas, resultando así una obra sui generis, animada de un pintoresco desorden Diofanto y haya tomado cosas de él.” que, tal vez con demasiada severidad, le reprocharon al autor Tartaglia y Cossali.

analitiche e metafisiche arricchita , editado en Parma en 1793. Digamos ante todo que tal reconstrucción sólo puede ser considerada hoy como una curiosidad histórica, in cluido su intento de llegar, basándose en las teorías de Euler y de Lagrange, a la solución “directa” del problema congruo-congruente, o sea, sin tener que proceder por tanteos. Pero lo que impresiona de Cossali es su intuición, lo muy precisamente que enmarca la figura y el carácter de Leonardo de Pisa, la certeza que adquiere leyendo el Liber abaci de que su autor fue, indiscutiblemente, uno de los grandes de la matemática.

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En virtud de tal certeza acusaba de descuido, y no sin razón, a Montucla, que era en su tiempo el principal historiador de la matemática: “...no dice después ni una palabra acerca del libro de Leonardo sobre los números cuadrados... con lo que se le ha quitado un ramo a la guirnalda de gloria que se le debe, reclamando la verdad que se le reconozca como al primer maestro de estas regiones del análisis determinado y del indeterminado igualmente”. Montucla, recuérdese, distribuía el mérito de la introducción del álgebra en Europa entre Leonardo Pisano, Paolo dell’Abaco y Prosdocimo de

E

l binomio Diofanto-Leonardo aparecerá después a menudo entre los historiadores y entre los estudiosos que se pregunten por las “fuentes” de Fibonacci; pero la evidente diversidad de los procedimientos seguidos por los dos matemáticos para resolver problemas afines y la comparación entre la “ilimitada amplitud” de los procedimientos del matemático griego y la genial, si se quiere, pero limitada en sus planteamientos, del matemático toscano, confirman la originalidad y la plena independencia del de Pisa con respecto a Diofanto. Si el dar con el  Libro sui numeri quadrati  hubiese sido digno premio para Cossali, no fue ciertamente un

TEMAS 1

mal para la ciencia el que tal premio también a Leonardo algunos prole tocase después al príncipe Baldas- blemas, uno de los cuales requería la sarre Boncompagni, doctísimo e infa- solución de una ecuación de tercer tigable investigador y mecenas. En grado, y otro era sobre el congruo: el Códice E.75 P.sup. de la Biblioteca “Hallar un número cuadrado tal que,  Ambrosiana de Milán encontró él a ya añadiéndole ya quitándole 5, dé comienzos del año 1853 no sólo el siempre un cuadrado”. original latino del  Libe r quad ratorum, sino también los del  Flos  y de ales discusiones y desafíos eran la Lettera a Maestro Teodoro, escritos habituales en la época y comcuya existencia ni siquiera se sospe- placían a Federico II; por su parte, chaba. Los publicó al año siguiente, y Leonardo estaba acostumbrado a ellos entre 1857 y 1862 dio a la imprenta desde mozo. Y así, le dio a Maestro la edición completa de las obras de Giovanni (seguramente en seguida, Leonardo de Pisa. pues no es difícil de hallar) la solución Se hicieron entonces patentes la ori- de su problema sobre el congruo: el ginalidad del matemático pisano y el cuadrado buscado era 11 + 2/3 + 1/144, alto nivel de su aportación a la mate- o sea (41/12)2. mática, muy superior a cuanto se trasEn cuanto a la ecuación de tercer lucía de la Summa y a cuanto el propio grado tardaría más, a buen seguro, Cossali había podido imaginar. “He en dar respuesta, puesto que para tenido que ir, con fatiga ciertamente demostrar su insolubilidad mediante mayor que la que me hubiese causado magnitudes euclídeas racionales e el original, entresacando las doctri- irracionales hubo de estudiar a fondo nas de Leonardo de la colada —para y pasar a términos aritméticos el difídecirlo con Aníbal Caro— en que las cil y largo Libro X de los Elementos  de mezcló Luca”, había dicho el padre tea- Euclides. En la carta en que Leonardo tino. Pero se engañaba en esto, ya que comunicó a Federico II los resultados toda una serie de notables estudiosos, de estos estudios, le hacía saber tamcomo el mismo Boncompagni, Genoc- bién que se había vuelto a ocupar del chi, Woepcke, Terquem y Lebesgue, “problema del congruo” y había puesto tuvieron que trabajar mucho y a fondo a punto la teoría acerca del mismo en para entender bien los Opúsculos  (así un  Libretto dei quadrati   dedicado al los llamó Boncompagni), el contenido monarca. de los cuales es bastante más complejo  Au nq ue , se gú n la s cr ón ic as de que el de las dos obras mayores. Federico II, éste sólo pasó por Pisa en El mundo científico se llenó de sor-  julio de 1226, como el Liber quadratopresa y admiración: “No se imaginaba rum está datado en 1225, si se tiene en —escribía Terquem— que un geómetra cuenta esta fecha y el tiempo que debió del siglo  XIII hubiese superado hasta de durar la composición de la obra, tal punto a Diofanto y a los árabes puede concluirse que la entrevista se como para no ser superado más que produjo en torno al año 1223. en el  XVII con Fermat.” Umberto Forti cree que, dada la En el prefacio de sus Opúsculos, prontitud con que nuestro Leonardo Leonardo explicaba las vicisitudes supo hallar la solución aproximada de por las que llegó a aventurarse en el la ecuación de tercer grado, el “torneo” campo del análisis indeterminado. de Pisa estaría “algo trucado”. Pero En su ju ventud había visto a su ciu- Leonardo no dice que tuviese que dar dad expandirse al otro lado del Arno respuesta inmediata a ninguno de los y ceñirse de murallas, había visto problemas. completar el Duomo con las bronDebe más bien advertirse que unos cíneas puertas de Bonanno y cómo años antes, en la conclusión de la surgía inclinada la famosa torre y se  Pra tica geometrie, Leonardo había construía el baptisterio de Diotisalvi. in cluido un problema de análisis Cuando, allá por el año 1223, se esta- indeterminado que nada tenía que ban acabando las obras del Campo  ver con la geometría. Tratábase de dei Miracoli y a Leonardo la ciudad, resolver la ecuación y 2 + 5 = z 2. No se fortalecida con el apoyo imperial, le puede hablar de añadidura posterior parecía estar en el culmen de su poder, de un copista, pues el latín y la técnica Federico II pasó por Pisa y en el palacio imperial nuestro matemático le fue presentado al monarca por el Maestro 6. TABLA DE PAREJAS congruo-congruente que aparece al margen del folio Domenico. En presencia del emperador man- 46v de la segunda edición de la Summa de Luca Pacioli. Consta de 43 congruos tu vo discusiones matemáticas con el y 53 congruentes. Genocchi ha hecho noMaestro Giovanni da Palermo, otro tar que el decimotercer congruo es 1521. filósofo de la corte. Este le propuso Falta también la pareja (1389, 840).

T

GRANDES MATEMÁTICOS

11

de los  Elementos, llega a obtener el equivalente de la conocida igualdad algebraica  (b 2 – a 2 ) 2 + (2ab) 2 = (b 2+ a 2 ) 2.

Pero también se vale de un procedimiento original suyo (basado en la propiedad que tienen los cuadrados de ser suma de los nones sucesivos a partir del 1); como mejor podemos verlo es mediante un ejemplo puesto por él. Elíjase un número cuadrado cualquiera, por ejemplo el 81; es divisible por 3 y, por lo tanto, es la suma de tres nones o impares, 25, 27 y 29, dos de ellos situados en torno al 27 = 81/3. Los otros dos números cuadrados serán el 144, suma de los nones que  van del 1 al 23 (este último, el impar que precede al 25), y el 225, suma de los nones que van del 1 al 29 (este último, el mayor de los nones en que descompusimos el 81).  Análogamente ocurre si el cuadrado elegido es par. Leonardo sigue aquí el mismo procedimiento que había adoptado para el problema indeterminado en su Pratica geometrie.

P

7. PRIMER FOLIO del Cod. E-75 P. Sup. de la Biblioteca Ambrosiana de Milán. Le es presentado el Flos al cardenal Raniero Capocci en los siguientes términos: “Incipit flos Leonardi bigolli pisani...”. En la quinta línea inferior retoma Leonardo la carta con que había comunicado a Federico II las soluciones a los problemas que l e fueron propuestos durante su entrevista de Pisa.

resolutoria (la misma con que en el  Lib er qua dra torum   tratará ternas pitagóricas y congruo-congruentes) son inconfundiblemente suyas. Hay que pensar, por tanto, que, visto este problema, el Maestro Gio vanni quisiera probarle sometiéndolo a una segunda y más dificultosa condición, la de que fuese además y 2 – 5 = x 2. De todos modos, este problema —ya lo hemos dicho antes— no es de difícil solución. Basta, en efecto, con tabular las diferencias entre los cuadrados de

12

los números nones menores de 50 para encontrar en ese registro las soluciones relativas a seis congruos, y, entre ellas, la del problema propuesto ( véase la figura 9 ). Se tiene así: 412 – 720 = 312 ; (41/12)2 – 5 = (31/12)2 412 + 720 = 492 ; (41/12)2 + 5 = (49/12)2. Pasando al Liber quadratorum, Leonardo de Pisa resuelve en primer lugar el problema de las ternas pitagóricas (hallar dos cuadrados cuya suma sea un cuadrado). Aplicando un teorema

asa después Leonardo a demostrar que ab (b – a)(b + a), si (a, b) son ambos pares o ambos impares, es múltiplo de 24, y lo mismo  4ab (b – a) ( b + a), si (a, b ) son uno par y otro impar. Primero demuestra que son múltiplos de 8 y luego de 3. Esta segunda parte es muy interesante y original (el procedimiento lo re tomará y ampliará Euler en su  Al gebra). Los números (a, b) pueden ser de tres tipos: 3k, 3k + 1, 3k + 2. Si uno de los dos es del tipo 3k, la tesis está demostrada. Si ambos son del tipo 3k + 1 o del tipo 3k + 2, (b – a) es del tipo 3k y la tesis está demostrada. Si uno es del tipo 3k + 1 y el otro del tipo 3k + 2, (a + b) es del tipo  3k, y la tesis está demostrada. Leonardo de Pisa concluye: “He llamado ‘congruo’ al número así constituido y que siempre es múltiplo de 24.” (Nos atendremos a esta definición de Leonardo; Pacioli lo llama, en cambio, como hemos visto, “congruente” ). Llegado a este punto, pasa Leonardo a la solución general del problema del congruo. La característica que señala como fundamental y decisiva del congruo consiste en “ser de dos modos diversos la suma de impares sucesivos”. Vol viendo a la ejemplificación numérica, para ( X, Y, Z, C) = (31, 41, 49, 720), se tiene: 312 = 1 + 3 + ...+ 59 + 61 412 = 1 + 3 + ...+ 79 + 81 .492 = 1 + 3 + ...+ 95 + 97. De donde resulta el doble origen del congruo 720:

TEMAS 1

720 = 412 – 312 = 63 + 65 + ... + 79 + 81 Principal responsable de la iniciativa fue Guillaume Libri, quien en (diez términos) 2 2 720 = 49  – 41  = 83 + 85 + ... + 95 + 97 una nota a la página 19 del segundo  volumen de su  Histoire des sciences (ocho términos) mathématiques en Italie   (1838) la y, por ende, dos modos de expresarlo  justificaba así: “Fibonacci es una concomo producto de las cantidades de tracción de filius Bonacci, contracción impares que lo constituyen por el de la que se hallan numerosos ejem valor medio de los mismos: plos en la formación de los apellidos de las familias toscanas.” 720 = 10 × 72 = 8 × 90. Serán estos cuatro elementos, las dos cantidades de impares (10 y 8 en e l ejemplo) y los valores medios en torno a los cuales están distribuidos (72 y 90 en el ejemplo) los auténticos goznes operativos del tratado de Leonardo Pisano; en función de ellos expresará los lados de los cuadrados congruentes, como paso final de su investigación. Uniendo después esos goznes a los parámetros (a, b), se podrán expresar, en función de ellos, cuadrados congruentes y sus lados. Los sucesores medievales del Pisano utilizarán sólo las expresiones de ( C, Y ) en función de ( a, b) C = 4ab (b – a)(b + a)

Y = b 2 + a 2.

Esta es, en síntesis y referida a un ejemplo numérico (no tomado de su obra), la teoría de los congruos, que Leonardo de Pisa desarrolla mediante complejas y rigurosas demostraciones geométricas y con distinciones de casos y subcasos (a fin de distinguir las dos situaciones que podríamos representar como X  > 0, X < 0).

D

e hecho, en las crónicas pisanas de los siglos XII al XIV  se encuentran bastantes “de Bonaccis” y “de Bonagis”, pero ningún rastro de Fibonacci. Se le menciona, sí, en los Ricordi di ser Perizolo, del año 1510, como hizo saber Bonaini en una memoria de 1867: “Lionardo Fibonacci fue conciudadano nuestro y vivía por el año 1203; vio todo el mundo; regresado a Pisa, trajo los números árabes y la aritmética y compuso con ellos un libro...” El apellido Fibonacci le ahorró en todo caso el uso del de Bigollo [ “ holgazán trotamundos”], bastante menos respetable, aunque más legal, que el primero, ya que él mismo presenta así el  Flos: “Incipit flos Leonardi bigolli  pisani... ” También por iniciativa de Libri, fueron puestos en cuestión y acusados los conciudadanos de Leonardo de Pisa. El manuscrito del  Flos   estaba por aquel entonces sepultado en los anaqueles de la Ambrosiana, pero

Libri, remitiéndose al  Elogio di Leonardo Pisano  publicado por Guglielmini en 1813 y a un manuscrito encontrado en la Biblioteca Real de París, que contenía la  Pratica geometrie  “... composita a Leonardo Bigollosio fillio Bonaccij”, comentaba: “En premio a los inmensos servicios que había prestado a la ciencia se le puso el apodo [sobriquet] de Bigollone.” Recordando luego el epíteto de “Messer Millione” dado por los venecianos a Marco Polo, añadía: “Los pisanos han llegado a llamar gandul al padre del álgebra mo derna...”  Veinte años después (cuando Leonardo de Pisa era ya famoso en todo el mundo), Terquem recargaba la dosis en los “Annali di scienze matemátiche”: “Muchas veces a los hombres superiores los inferiores les tienen por tontos. Así los negociantes de Pisa, compatriotas de Leonardo, le han puesto el mote de Bighelone.” Contribuyó a librar de tal acusación a los pisanos Bonaini, que encontró en el Archivo Estatal de Florencia un documento del 1241 con el cual, siendo “Potestà del Comune Ugone Rossi da Parma”, se asignaba un estipendio anuo de 20 liras denarias al “discreto y sabio Maestro Leonardo Bigollo” por los servicios prestados a la ciudad como consultor. Deducíase de ello que Bigollo no era un mote y que los pisanos se habían sentido orgullosos de la capacidad de

N

ada parecido se halla en los tratamientos de Diofanto ni en los de los árabes para llegar a dar con las soluciones del problema. Por fortuna, los historiadores de la matemática han seguido llamando a nuestro autor Leonardo de Pisa, o sea, el mismo nombre con que le recuerdan todos los escritos medievales y renacentistas. En cambio, para los matemáticos es Leonardo Fibonacci y le conocen, quizá más que por su obra, por la serie recurrente (en la que cada término es la suma de los dos que lo preceden):

 i  Y  = C    2

 i A

 + a  b  2  =

d = b 2 –  a 2

X 

   b   a

Z 

        2     =

  p

C 

B  p 

(1) (2) (3)

d 

(b 2 – a 2) + (2 ab )2 = (b 2 + a 2)2

A

(h  – k )2 + 4hk = (h  + k )2

Y 2  – C  = X 2 (1)

GRANDES MATEMÁTICOS

i 2  – 4A = cuadrado (2)

Y 2  + C  = Z 2

(1), 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ..., puesta por Leonardo al margen del texto del conocido “problema de los conejos” del  Liber abaci, que es más un juego que un auténtico problema. Los matemáticos modernos han señalado importantes propiedades de esta serie, la han bautizado como “serie de Fibonacci” y llaman a sus elementos “números de Fibonacci”; pero lo cierto es que el apellido Fibonacci nunca lo tuvo en vida el matemático pisano.

B 

m (b 2 – a 2) 2 + m (2ab ) 2 = + m (b 2 + a 2) 2 i 2  + 4A = cuadrado

C  = 4ab (b 2 – a 2) X  = b 2 – a 2 – 2ab  (3) Y = b 2 + a 2

Z  = b 2 – a 2 + 2ab 

8. RELACIONES EN LOS TRIANGULOS NUMERICOS ( a la izquierda). La (1) con (a, b) uno par y el otro impar, primos entre sí, da todas y solas las ternas primitivas (d,  p, i); son generales la (2), de tres parámetros, y la (3), de dos parámetros pero con h × k = cuadrado, debida a Euclides. Disponiendo ocho triángulos numéricos iguales como se ve (a la derecha) e indicando con  A el área de cada triángulo (d, p, i), se patentiza la equivalencia entre la (1) medieval y la (2) de Diofanto. Las ecuaciones (3) de la derecha son las expresiones paramétricas de (C, X, Y, Z ).

13

2

Y

Z

2

C

1

25

49

24

6

5

1, 2

49

169

289

120

30

13

2, 3

49

289

529

240

15

17

1, 4

289

625

961

336

21

25

3, 4

1

841

1681

840

210

29

2, 5

529

1369

2209

840

210

37

1, 6

961

1681

2401

720

5

41

4, 5

X

2

c

Y

(a, b)

9. CALCULANDO LAS DIFERENCIAS entre los cuadrados de los impares menores de 50 se determinan siete ternas de cuadrados congruentes, o sea, que difieren entre sí por un mismo congruo C. Dividiendo luego C por los factores cuadráticos que lo constituyen, se obtienen los congruos c a cuadrados congruentes fraccionarios. En la última fila están los elementos necesarios para dar con las soluciones del problema que se le propuso a Leonardo de Pisa. El distinguió, entre otras, las siguientes características: Y es la suma de dos cuadrados a2 + b2; C  es siempre múltiplo de 24; 24 × k2 × Sx2, siendo Sx2 suma de cuadrados de enteros sucesivos o de impares sucesivos a partir de 1, es un número congruo (todos los C de la tabla cumplen esta condición).

su conciudadano, honrándole inclusive de la casa de Suabia. Aquel año las con el título de “Magister”, que enaltecía  vangu ard ias mongo las de Bat ú el a los doctos de la corte imperial. Espléndido habían pasado ya el Oder Ignorando el documento, algunos y se asomaban al Adriático; sólo de decenios después Moritz Cantor se milagro no fue aquello el comienzo del imaginaba románticas andanzas de fin de la civilización europea. Leonardo, que, convertido en filósofo Según resulta de dos manuscritos del cortesano, habría ido a Tierra Santa Maestro Benedetto da Firenze, dentro o, de permanecer en su patria, habría del campo de los congruos menores intervenido en la guerra civil de los de 100 fueron hallados en el Medievo años 1228-1229. En realidad, sabemos muchos cuadrados congruentes. La que, en 1229, Federico, vuelto ya de empresa era particularmente ardua, Palestina, inició con sus cruzados, ora porque intervenían con frecuencia sarracenos y excomulgados, la marcha grandes números (el cuadrado conhacia el norte, y que sus “philosophi gruente a 37 se determinó como  vag ant es” le siguie ron ; per o ent re  4079 + 2856442231804628641/ ellos no estaba ciertamente el sesen89777960534325799600, tón Leonardo, que, por otro lado, había hecho ya suficientes viajes. por ejemplo), ora porque, fijado un número, no se disponía de ningún crin 1228, mientras Federico partía terio para decidir si sería congruo, y, para la cruzada, Leonardo se por ende, en caso negativo, acabaría dedicó en cambio a redactar de nuevo siendo inútil el fatigoso trabajo de el  Liber abaci, inducido una vez más buscar su cuadrado congruente. El único criterio de exclusión conopor las insistencias de un filósofo cortesano, Miguel Escoto, el mago- cido hasta mediados del siglo pasado astrólogo traductor de Aristóteles, al debíase una vez más a Leonardo que Dante gratificará con el infierno, de Pisa: “Ningún número cuadrado poniéndole junto a Guido Bonatti y a puede ser un congruo.” su docto emperador. La última información, del año 1241, or lo tanto, si, como hemos visto, la expresión del congruo 4ab (b 2 – a 2 ) nos muestra al “matemático gandul” ya setentón, trabajando todavía como da también el cuádruplo del área de consultor técnico de su ciudad. Luego el un triángulo numérico, la proposición silencio cae definitivamente sobre él. equi valía a afirmar que el área de un 1241 es también el año de la última triángulo numérico no puede ser un  victoria de Federico II y de las galeras cuadrado; ésta era la proposición de la pisanas, y señala el comienzo del fin que Fermat había dado una conocida de la república marítima toscana y demostración, mediante un largo y

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complicado procedimiento “por descenso infinito”. Por otra parte, Leonardo, tras haber demostrado mediante largo y complicado tratamiento geométrico que la proposición (b + a) : (b – a) = b : a  no pueden cumplirse con valores racionales de (a, b) (resulta, en efecto, b/a = 1 ± √ 2), concluía en estos sencillos términos: “Por esto se mostrará después que ningún número cuadrado puede ser un congruo, ya que, si fuese posible, lo sería también la proposición: la suma de dos números es a su diferencia lo que el mayor de ellos es al menor.”  Así pues, para Leonardo, la impo sibilidad de “ab (b – a)(b + a)  = cuadrado” se seguía de la imposibilidad por él precedentemente demostrada de b(b  – a) = a (b + a). Los estudiosos del siglo pasado concluyeron, y era lógico, que esta demos tración no podía considerarse completa.

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omó entonces la defensa de Leo nardo el matemático piacentino Angelo Genocchi, preocupado ante todo por alejar del Magister subtilitatum  la sospecha de no haberse percatado de lo incompleto de su demostración. En apoyo de su tesis señalaba Genocchi que Leonardo con aquel “se mostrará” inicial ( ostendetur ) sin duda había querido dar a entender que la suya era solamente un bosquejo de demostración; aun cuando debe observarse que, para nosotros los modernos, ese bosquejo es flojo. Escribía Genocchi: “Dotado de ad mirable perspicacia, instruido por sus profundos estudios sobre la geometría de Euclides... avezado a indagar a fondo cada cuestión y a no aceptar sin pruebas proposición o regla alguna como verdadera, no pudo dejar de ad vertir que la demostración dependía de una proposición auxiliar y que ésta tenía que ser demostrada. No es, por ende, probable que creyese que equivalían a una plena demostración sus antecitadas palabras...” En cualquier caso, este juicio sobre el matemático pisano es importante por tener quien lo ha emitido e special competencia en análisis indeterminado y un profundo conocimiento de los Opúsculos , como lo demuestra en sus Note analitiche  y por sus ampliaciones de los resultados de Leonardo. “Causa sorpresa el que deje tal proposición auxiliar sin decir una palabra para probarla e ilustrarla”, seguía comentando Genocchi. Y es en verdad sorprendente, aun contando con el hecho de que el Pisano no podía dar al tema la importancia que le dio la posteridad.

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Con un procedimiento geométrico largo y complicado presentaba Leonardo en el Libro dei quadrati las relaciones  2  2 (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = (ac − + bd)  + (bc ± ad)

mostrando también cómo pueden ob tenerse una tercera y una cuarta descomposiciones en suma de dos cuadrados cuando, respectivamente, uno o los dos factores del primer miembro sean cuadrados. Comentaba Terquem en 1856: “Leonardo demuestra perfectamente esta proposición que, se gún obser va Woepcke, le pertenece. Puede que Diofanto conociese esta propiedad, pero no la ha enunciado, y la demostración, sobre todo por vía gráfica, no es fácil. El nombre de Fibonacci debe quedar ligado a este teorema.” Y Loria volvía a insistir en 1929: “... en memoria de

quien primero lo descubrió, merecería el nombre de Teorema de Fibonacci”. No era del mismo parecer Ver Eecke, quien en 1952 escribía: “Esta proposición suscita una cuestión de prioridad histórica, por cuanto enuncia en términos velados las identidades atribuidas a Lagrange.”

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obre este punto, teniendo en cuenta que el enunciado de Leonardo era en realidad clarísimo, y que en la época de Lagrange la proposición había pasado a ser de dominio público (la habían redescubierto Viète y Bachet de Méziriac más de un siglo antes y había sido luego difundida por Euler), parecía legítimo reivindicar la prioridad para Leonardo.  A lo sum o podía queda r alg una duda de si el matemático pisano ha-

10. ENCUENTRO DE FEDERICO II con su adversario Malik al-Kamil, durante la cruzada que le llevó a la ocupación pactada de Jerusalén. Miniatura del Cód. Chici L VIII 286 de la Biblioteca Apostólica Vaticana. El historiador árabe Ibn Wasil refiere que, durante la cruzada, el emperador envió a los doctos musulmanes difíciles cuestiones filosóficas y matemáticas. Un documento publicado por Amari nos informa también sobre cuestiones enviadas a los doctos musulmanes entre los años 1230 y 1240, acerca de la creación del

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bría dado por azar con su relación pero sin deducirla, siendo ella por lo demás bien difícil de deducir a base de ir generalizando casos numéricos.  Y así, en 1979, Roshdi Rashed ha publicado un estudio del que resulta que al-Khâzin, matemático árabe del siglo  X , estudiando la proposición III-19 de Diofanto, había dado con la resolvente (añadiendo y quitando  2abcd  al desarrollo del primer miembro) y después había pasado a analizar  varios casos y modos de descomposición de un número en suma de dos cuadrados. Aquél sería, por consiguiente, el inicio de un nuevo análisis de la naturaleza del número, a partir de un problema que sólo con Fermat y con Gauss alcanzaría plena solución. En 1860-1861 publicaba Woepcke la traducción con comentario de dos

mundo y la inmortalidad del alma. Federico II, que fundó en el año 1224 la Universidad de Nápoles, instauró en el mediodía de Italia un auténtico régimen de vanguardia cultural. El mismo escribió el De arte venandi cum avibus, obra de cariz netamente científico que alcanzó amplia difusión. También tuvo mentalidad científica su hijo Manfredo, que añadió algunas notas a la obra del padre y que, al decir de Jamal ad-Din, prisionero suyo en Barletta, se sabía de memoria los Elementos de Euclides.

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manuscritos árabes del siglo  X   (el autor de uno de ellos es anónimo, el del otro es al-Husein), de contenido casi idéntico. Recógese allí la fórmula de las ternas pitagóricas, para pasar luego a deducir de ellas las fórmulas resolventes del problema del congruo; son las ya dadas por Diofanto, pero los dos autores las deducen partiendo directamente de los  Ele men tos . El anónimo concluye con una tabla en la que se dan 34 valores de ( a, b), los correspondientes triángulos primitivos y las respectivas parejas de congruo-congruente: en definitiva, con una tabla del tipo de las que Pacioli aconsejaba usar.

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ino Loria, profundo analista de Leonardo de Pisa y de su obra, sostiene en concreto que, si el  Liber quadratorum   se hubiese conocido antes, la moderna teoría de los números habría recibido el impulso que luego le imprimió Fermat; tras examinar los dos escritos árabes y la primera parte del Liber quadratorum (las ternas pitagóricas), comenta: “Si parece difícil negar que a las búsquedas hasta aquí compendiadas le haya inducido al Pisano el ejemplo de Mohammed ibn Husein, su independencia respecto a éste se muestra aún menos dudosa en lo tocante a la siguiente sección del  Liber quadratorum, la que trata de los números congruos.” Pero aquí hay que decir, ante todo, que es muy chocante esa admisión

de que el maestro de las subtilitates “dependa” precisamente de al-Husein, el más modesto de los dos autores árabes, que comete errores hasta en cuestiones elementales, tanto que el mismo Woepcke le reprocha por sus “méprises et inadvertances”. Y además, aparte de que es improbable que Leonardo conociese esos dos textos (los únicos de procedencia árabe sobre el problema del congruo conocidos por nosotros hasta 1979), no se ve parecido alguno entre los tratamientos de los dos árabes y el del pisano, ni en lo que respecta a las ternas pitagóricas, ni en lo que respecta a los congruos. Más bien creemos digna de nota una investigación del anónimo árabe (que la declara propia) sobre la naturaleza de las hipotenusas de los triángulos rectángulos, y la conclusión a que llega de que todas ellas están incluidas entre los números del tipo 12m + 1  y los del tipo 12m + 5, aunque no todos los números de estos tipos son hipotenusas. En efecto, para ser suma de dos cuadrados, un número ha de incluir entre sus factores primos al menos uno del tipo 4n + 1 y, además, ninguno de aquéllos que sea del tipo 4n – 1 deberá estar elevado a una potencia impar; pero, para llegar a esta conclusión, también habría que esperar a Fermat. El  Liber quadr atorum   se tradujo por primera vez a una lengua moderna en 1952, año en que el belga Paul Ver Eecke lo publicó en francés con notas; en 1974 salió a la luz la versión (no

11. TRAS ERIGIR EL MONUMENTO A LEONARDO, los pisanos colocaron en el atrio del Gran Archivo la “memoria unica sincrona” descubierta por Francesco Bonaini, incisa en el mármol y precedida de una inscripción compuesta por Michele Ferrucci. “Calumnia obtrita”, la lápida se d escubrió el 6 de junio de 1867, con ocasión “del maravilloso espectáculo de la Luminaria trienal”, como consta en un opúsculo conmemorativo de la época.

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íntegra) al inglés, con notas, del estadounidense Edward Grant; en 1980, el autor de estas líneas se cuidó de editar y comentar la versión italiana del siglo  XV   contenida en el Códice Palatino 577, de la Biblioteca Nacional de Florencia.

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uenta Ver Eecke en su prefacio que, allá por los años veinte, recibió una copia del  Liber quadratorum que le enviaba Ettore Bortolotti, pidiéndole que lo tradujera. Hojeada la obra, Ver Eecke, que trabajaba entonces en la traducción de los matemáticos griegos, la dejó a un lado y sólo volvió a ella cuando se enteró de la muerte de su amigo. Recordemos —porque pudiera haber condicionado, al menos en parte, su toma de posición respecto al gran pisano— que Ver Eecke era ya en 1952 un traductor-comentarista de fama mundial, elogiado y premiado por la publicación en francés de las obras de los grandes matemáticos de la Grecia clásica (Arquímedes, Apolonio, Diofanto, Pappus, Proclo, Euclides y otros menores). Su programa de acción respecto a Leonardo se delinea en seguida en la introducción. Tras declarar que su latín le parece afectado de “arabismos” (el único arabismo que señalará luego será la expresión ‘ex ductu .e. in .z.’ , la cual ciertamente no es un arabismo), pasa a indicar dos comentaristas árabes de Diofanto (Abul Wafa y Kusta ben Lucas) cuyas obras habrían podido influir en Leonardo a través de escritos o lecciones de matemáticos árabes contemporáneos suyos. Sobre este fondo surge la sensacional declaración de que Leonardo ha tomado de Diofanto las soluciones del problema que le propuso el Maestro Giovanni: “La solución en números fraccionarios se da sin procedimiento algébrico, partiendo de los tres números, 31, 41 y 49, cuyos cuadrados están en progresión aritmética de razón 720, número congruo. El autor no da explicación sobre la elección de estos tres números, que no son ni arbitrarios ni intuitivos, pero está claro que los toma indirectamente de un problema que se halla en Diofanto.” En una larga nota de comentario a la Prop. XIV, tras repetir la acusación, resuelve el enigma del adónde haya ido Leonardo a hacerse con tales soluciones: “Ce n’est pourtant pas un énigme; car nous avons trouvé qu’il emprunte ces nombres...”; encontró la fuente, la Prop. III, 7 de la Aritmética de Diofanto, por intermedio de algún desconocido comentador árabe, ya

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que en el siglo  XIII no se conocían ni el original griego ni sus traducciones latinas. En realidad, Leonardo de Pisa no ha dejado a la posteridad ningún enigma por resolver; ni hacía falta confiar tanto en él como confiara Cossali para darse cuenta de que ciertamente no pudo haber intentado engañar a Federico y a su docta corte, o de que tan burda añagaza no habría pasado inadvertida a la competencia y diligencia de un Woepcke o de un Genocchi.

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ese a la seguridad que ostenta Ver Eecke en sus comentarios, evidénciase por ellos que se ha visto más de una vez en apuros ante el latín y la matemática medievales; como ya desde el comienzo no se le alcanza la definición de número congruo (cree, repite en varias notas, y le hace decir a Leonardo Pisano, que cualquier múltiplo de 24 es un congruo), no puede en consecuencia extraer de la terrible y única Prop. XI sobre la teórica de los congruos el procedimiento mediante el cual enseña allí Leonardo a calcular el congruo y sus congruentes. Leonardo, por su parte, habiendo mostrado ya con cuatro ejemplos numéricos cómo se debe proceder, deja al lector el dar los pasos del quinto, consistentes en ir repitiendo servilmente para (a, b) = (4, 5) los pasos que él diera para deducir de ( a, b) = (1, 2) los  valores (C, X, Y, Z) = (24, 1, 5, 7). Y de ahí habrían salido, junto al congruo, los enigmáticos ( X, Y, Z) = (31, 41, 49). Llegados a este punto, no debe silenciarse que Grant, en la edición norteamericana del  Liber quadratorum de 1974, acoge de hecho la tesis de  Ver Eecke, al decir que: “su traducción ha sido utilísima para interpretar los pasajes difíciles y por sus provechosas notas, la mayoría de las cuales, vertidas al inglés, se han in cluido aquí”. En realidad, Grant, experto en el latín y en la matemática del Medievo, ha corregido casi todos los errores de la versión francesa y ha eliminado buena parte de los comentarios incongruentes. Pero es de lamentar que, o por confianza en Ver Eecke o por convicción propia, reproduzca íntegra y literalmente, en la Prop. XIV, la nota con que el estudioso belga acusa a Leonardo de Pisa, acusación que, al no haber incluido Grant la traducción de la pesada pero decisiva Prop. XI, se con vierte en indiscutible para el lector. Debe señalarse, en fin, que en treinta años no parece que se haya opuesto nadie a la interpretación acusatoria de Ver Eecke y Grant. Claro que, para oponerse a ella de un modo sensato,

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12. ANGELO GENOCCHI (Piacenza 1817 -Turín 1889), matemático de fama internacional, fue desde 1857 titular de la cátedra de análisis y geometría en la Universidad de Turín. Sus aportaciones más notables versan sobre el análisis indeterminado, los principios de la geometría, el estudio de las series y el cálculo integral. Sus  Note anali tiche   de 1855 son una completa versión algebraica de los Opúsculos de Leonardo de Pisa, enriquecida con comentarios, cotejos críticos y ampliaciones. La imagen aquí reproducida se conserva en la Biblioteca municipal de Piacenza.

era imprescindible disponer del texto latino, difícil de hallar. En efecto, la límpida frase latina “...144, in quo divide quadratos congruentes eidem 720, quorum primus est 961...”, con la que Leonardo de Pisa dice que se dividan por 144 los tres cuadrados congruentes enteros de 720 para obtener los fraccionarios de 5, aparece deformada en ambas versiones, de tal modo que en la Prop. XIV se le hace confesar que ha sacado, o apartado, del 720 (y, por tanto, que no ha calculado) los cuadrados. Por consiguiente, sin el texto latino, nadie podría objetar les nada con sensatez a dos grandes acusadores y a un gran reo confeso.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA LÉONARD DE PISE. LE LIVRE DES NOMBRES CARRÉS. P. Ver Eecke. Ed. Blanchard, París, 1952. A SOURCE  BOOK IN MEDIEVAL  SCIENCE . E. Grant. Harvard University Press, Cambridge, 1974. IL LIBRO DEI QUADRATI DI LEONARDO PISANO. E. Picutti, en Physis, Olschki, Florencia, 1979. L’ANALYSE DIOPHANTIENNE AU X e S IÈCLE: L’EXEMPLE D’AL-KHAZIN. R. Rashed, en  Revue d’Histoire des Sciences, XXXII/3, 1979. SUI N UMERI CONGRUO -C ONGRUENTI DI LEONARDO  PISANO. E. Picutti, en Physis, II, Olschki, Florencia, 1981. 17

René Descartes A. C. Crombie Se recuerda sobre todo a este francés extraordinario  por su invención de la geometría analítica,  pero hizo muchísimo más. Su logro más notable fue la reducción de la naturaleza a leyes matemáticas

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onsideraría que no sé nada de física si tan sólo fuese capaz de expresar cómo deben ser las cosas, pero fuese incapaz de demostrar que no pueden ser de otra manera. No obstante, habiendo logrado reducir la física a las matemáticas, la demostración es entonces posible, y pienso que puedo realizarla con el reducido alcance de mi conocimiento.” Con estas palabras, René Descartes expresa el punto de vista que lo situaría entre los principales artífices de la revolución científica del siglo  XVII. A las “formas” y las “cualidades” de la física aristotélica, que habían resultado ser un callejón sin salida, contraponía la “idea clara y fundamental” de que el mundo físico no es más que un puro mecanismo. Y, puesto que las leyes últimas de la naturaleza eran las leyes de la mecánica, todo en la naturaleza se podría reducir en última instancia a la reordenación de partículas moviéndose de acuerdo con estas leyes. En geometría analítica —quizás el logro más perdurable de Descartes—, creó una técnica que le permitía expresar estas leyes mediante ecuaciones algebraicas. Y entonces propuso el programa ideal de toda ciencia teórica: construir, con el mínimo número de principios, un sistema que diese razón de todos los hechos conocidos y que permitiese descubrir hechos nuevos.

 A. C. CROMBI E fue profesor de historia y filosofía de la ciencia en la Uni versidad de Oxford. Entre sus libros se cuentan  Medieval and Early Modern  Science y  Robert Grossetest e and the Origins of Experimental Science: 11001700 . Es autor de numerosos libros y artículos y fue el editor inicial de  British Journal for the Philosophy of  Science .

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Toda la física teórica subsiguiente se ha planteado como objetivo la consecución de este ideal: ser un sistema teórico singular en el cual los más mínimos detalles de las regularidades observables fuesen reducibles a un número mínimo de ecuaciones fundamentales que, a su vez, pudiesen ser descritas en una sola página. Podemos afirmar que, en el siglo  XVII, Blaise Pascal e Isaac Newton lograron llevar a cabo el programa cartesiano, que consiste en ofrecer la explicación del mundo físico en función de su mecanismo. En este siglo hemos sido testigos de intentos de teorías universales por parte, entre otros, de Albert Einstein y Werner Heisenberg. Sin embargo, en opinión de Descartes, sus indiscutibles primeros principios —casi todos tan evidentes que bastaba entenderlos para aceptarlos— no constituían el fin de la investigación, sino su principio. No podemos dudar del carácter revolucionario ni de la influencia de las ideas teóricas y del programa de Descartes. La paradoja es que ésta haya sido tan profunda en personas que consideraban su enfoque esencialmente inaceptable y que rechazaban algunos de sus presupuestos fundamentales y de sus conclusiones específicas. Christiaan Huygens, el gran matemático y astrónomo holandés, cuyo padre había sido amigo íntimo de Descartes, afirmó a finales de su vida que sólo podía aceptar una pequeña parte de la física cartesiana. Pero, al mismo tiempo, reconocía que había sido la obra  Los principios de  filosofía [ Principia Philosophiæ ] de Descartes lo que inicialmente había abierto sus ojos a la ciencia. Descartes, dijo, no sólo pone de manifiesto las limitaciones de la filosofía de los antiguos, sino que, “en su lugar, ofrece causas comprensibles de todo lo que existe en la naturaleza”. Como suele

ocurrir con frecuencia con las teorías revolucionarias, el legado de Descartes no fue sólo un logro, sino también además una profecía y una visión. El propio Descartes se vio obligado a reconocer que su ideal matemático de la ciencia, puramente deductivo, había fracasado ante las complejidades de la naturaleza y los enigmas de la materia. Este fracaso era especialmente evidente en fisiología, el campo en el que se había aventurado con mayor osadía. No obstante, de su fracaso y compromiso Descartes extrajo otra contribución para el pensamiento científico, en muchos aspectos tanto o más importante que el propio programa teórico. Forzado a recurrir a la experiencia y a las hipótesis, demostró ser el primer gran maestro del modelo hipotético. Este se ha con vertido en una herramienta esencial de cualquier investigación científica. En sus modelos teóricos de los procesos fisiológicos, Descartes desplegó los más ingeniosos ejercicios de su genio imaginativo y experimental.

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ené Descartes nació el 31 de marzo de 1596 en La Haya, una pequeña y atractiva ciudad de la Touraine, situada a orillas del río Creuse, en una familia de funcionarios de la  petite-no blesse ; su padre era conse jero del  Parlement de Bretaña. De su madre, que murió un mes después de su nacimiento, heredó “una tos seca y una fisonomía pálida”, que mantuvo hasta los veinte años. Y además una fortuna que le permitió vivir con indepedencia económica. Y, como era un niño delicado, se daba por supuesto que no viviría mucho tiempo. Sin embargo, él dedicó su forzosa inactividad a satisfacer una temprana pasión por el estudio. Cuando tuvo 10 años, su padre lo mandó a La Flèche, un colegio de los  jesuitas recientemente inaugurado, en

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donde permaneció ocho años y medio y en el que recibió una educación excelente que abarcaba la lógica, la filosofía moral, la física y la metafísica, la geometría clásica y el álgebra moderna, así como una cierta familiaridad con el recientemente descubierto telescopio de Galileo. En La Flèche surgen ya, de forma precoz, las características principales de su mente. Una vez introducido en el conocimiento de los clásicos, se enamoró de la poesía. Lejos de ser un “geómetra que sólo es un geómetra” (una descripción que, de él, haría Pascal), Descartes escribió un ensayo de juventud, la Olympica: “En los escritos de los poetas hay sentencias más serias que en los de los filósofos. La razón es que los poetas las escribieron movidos por el entusiasmo y el poder de la imaginación. En cada uno de nosotros existen, cual pedernales, chispas de conocimiento ocultas. Los filósofos las manifiestan a través de la razón; los poetas las exteriorizan por medio de la imaginación, y son mucho más brillantes.” Una de las cualidades más llamati vas de Descartes, y a la vez una de la s más peligrosas, fue su fluidez mental. Uno de sus compañeros de colegio describía así su habilidad en las discusiones. En primer lugar, trataba de ponerse de acuerdo con sus oponentes sobre las definiciones y acerca del significado de los principios que estaban dispuestos a aceptar, y después construía con ellos una argumentación deductiva singular que era muy difícil de rebatir. En La Flèche adquirió, además, un hábito que perduraría durante toda su vida. Se le eximió de ciertas obligaciones y se le permitía quedarse en cama hasta más tarde de lo que era habitual entre sus compañeros. Así encontró la posibilidad de dedicarse más plenamente a su inclinación natural, el pensamiento concentrado y solitario.

de Ciencias [de París], fundada más adelante en el mismo siglo. Mersenne, además, logró mantener una amplia correspondencia, de la que sólo se ha publicado una parte, y de esta forma fue el centro de información científica en una época en la que las revistas científicas todavía no existían. Tradujo además los Dialogi y los Discorsi de Galileo al francés, el primero en 1634, un año después de la condena de Galileo. Hasta el final de su vida, Mersenne fue el mejor amigo de Descartes, y cuando, en 1628, por decisión propia, Descartes dejó Francia para siempre, Mersenne, desde París, le mantuvo constantemente informado de las novedades científicas. En 1618, Descartes se alistó en el ejército del príncipe Maurice de Nassau (posteriormente príncipe de Orange) como caballero voluntario. Fue enviado a la guarnición de Breda, en Holanda, en donde en aquel momento había una tregua entre las fuerzas francoholandesas y las españolas, bajo cuyo dominio se

hallaban sometidos los Países Bajos. En ese período sus intereses fueron los que corresponden a un oficial del ejército: la balística, la acústica, la perspectiva, la ingeniería militar y la navegación. Un día —el 10 de noviembre de 1618— se encontró con un grupo de gente arremolinada ante un cartel que se hallaba expuesto en la calle. Estaba escrito en flamenco y Descartes, dirigiéndose a una de las personas del grupo, le pidió que se lo tradujera al latín o al francés. El cartel era un desafío que instaba a los que lo leían a resolver el problema matemático que en él se proponía. La persona a la que Descartes se dirigió para que se lo tradujera era Isaac Beeckman, uno de los matemáticos más eminentes del país. Descartes resolvió el problema y presentó su solución a Beeckman, quien reconoció al instante su genio matemático y se propuso reavivar el interés del joven por los problemas matemáticos. Durante aquel invierno Beeckman le propuso a Descartes que

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uando cumplió los veinte años, una vez graduado en leyes por la Universidad de Poitiers, Descartes fue a París. Allí se convirtió en un joven elegante y desocupado. No obstante, sus pensamientos pronto volvieron a preocuparse por las matemáticas y la filosofía. Se vio animado por sus amigos, entre los que cabe destacar el padre mínimo Marin Mersenne, al que había conocido en La Flèche. Mersenne era, a su vez, un matemático competente y un hábil experimentador. Su celda del convento sito en la Place Royale  servía de lugar de reunión de los savants, convirtiéndose así en un antecedente de la Academia

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1. RETRATO DE DESCARTES POR FRANS HALS que se halla en el Louvre. Entre los campos en los que trabajó se cuentan la fisiología, la psicología, la óptica y la astronomía. Muchos le consideran el padre de la filosofía moderna. Murió en 1650 siendo tutor de la reina de Suecia.

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encontrase la ley matemática que rige yectil, es claro que, con esta primera la aceleración de los cuerpos que caen. invención, Descartes facilitaba a los Ninguno de ellos sabía que Galileo físicos una poderosa herramienta. Sin había resuelto ya dicho problema. Su dicha herramienta incluso Newton se solución apareció en su obra  Dialogi habría visto severamente limitado. de 1632. Descartes estableció diversas Exactamente un año después de su soluciones, basadas en hipótesis dife- encuentro con Beeckman, Descartes rentes. El hecho de que ninguna de tuvo una famosa experiencia, quizá ellas fuese acorde con el modo como la más importante de su vida y, sin caen realmente los cuerpos no le preo- duda, la más dramática. Se había cupó en absoluto. Por aquel entonces alistado en el ejército del duque de Descartes aún no había aprendido a Baviera, otro de los aliados de Francia conjugar el análisis matemático con en la Guerra de los Treinta Años, y se la experimentación. hallaba en los cuarteles de invierno en Debemos al diario de Beeckman, un remoto lugar a orillas del Danubio. descubierto en 1905, el haber arrojado El día 10 de noviembre, abstraído luz sobre este período de la vida de en sus pensamientos, se encontró Descartes. Fue un período de auto- completamente solo en la famosa descubrimiento; la mente del joven  po èle (literalmente “estufa”, pero pasaba con gran celeridad de unas que, de hecho, significaba habitación cuestiones a otras. Fue precisamente caldeada). En el transcurso de aquel en esta época cuando Descartes dio día había tomado importantísimas con la pista del método con el que iba decisiones. En primer lugar, decidió a intentar unificar el conocimiento que debía dudar metódicamente de humano en base a un conjunto central todo lo que sabía acerca de la física y de premisas. de los restantes conocimientos organizados, y que debía encontrar ciertos l 26 de marzo de 1619 Descartes puntos de partida evidentes en sí misinformó a Beeckman “acerca de mos que le permitiesen reconstruir una ciencia, enteramente nueva, que todas las ciencias. En segundo lugar, le iba a permitir resolver todos los decidió que, de la misma forma que problemas que se pueden proponer una obra de arte o de arquitectura acerca de cualquier clase de cantida- perfecta es siempre el producto de una des, continuas o discontinuas, cada sola mano maestra, así él debía llevar una de acuerdo con su naturaleza..., a cabo, por sí solo, su programa.  Aquella noche, según su biógrafo de forma que, en geometría, casi nada quedaría ya por descubrir”. De esta del siglo  XVII Adrien Baillet, Descarmanera Descartes anunciaba el des- tes tuvo tres sueños. En el primero cubrimiento de la geometría analítica se hallaba en una calle barrida por o, como lo describiría Voltaire, “del un viento muy intenso. Se veía commétodo que permite asignar ecuacio- pletamente incapaz de mantener el nes algebraicas a las curvas”. En el equilibrio a causa de la debilidad de su siglo  XIV   Nicole Oresme, compatriota pierna derecha, pero los compañeros de Descartes, hizo una ligera con- que se hallaban junto a él lo sostetribución a esta idea. En el siglo  XVII, nían firmemente. Descartes despertó Pierre de Fermat, contemporáneo y se durmió de nuevo. Entonces le de Descartes, había hecho el mismo despertó el estruendo de un trueno descubrimiento de forma completa- que había llenado la habitación de mente independiente, pero no lo llevó chispas; era también un sueño. Se adelante. Sin embargo, Descartes no durmió de nuevo y soñó que enconpublicaría su descubrimiento hasta traba un diccionario, encima de su el año 1637 cuando, en su ensayo mesa. Entonces, en otro libro, su vista Géométrie  incluyó una exposición de “tropezó con las palabras Quid vitae los principios y de algunas de sus sectabor iter?  [Qué clase de vida debo aplicaciones. Este texto nos ofrece seguir?]. Y, a la vez, se presentó un la demostración que da Descartes de hombre, que le era desconocido, con que las secciones cónicas de Apolonio unos versos que empezaban con las se hallan todas contenidas en un palabras Est et non, que le recomendó único conjunto de ecuaciones cua- encarecidamente”. Descartes reconodráticas, y, con ello, Descartes pone ció en estas palabras la primera línea de manifiesto el carácter general de de dos poemas de Ausonius. Incluso su descubrimiento. Pero, dado que antes de despertarse definitivamente, las secciones cónicas incluyen a las Descartes había empezado ya a intercircunferencias de los antiguos astró- pretar el primer sueño como una nomos, las elipses de Johannes Kepler advertencia hacia los errores pasados, y la parábola utilizada por Galileo el segundo como el descenso del espípara describir la trayectoria de un pro- ritu de la verdad para tomar posesión

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de él, y el tercero como indicándole que se le abrían los tesoros de todas las ciencias y el camino del conocimiento verdadero. No obstante, este incidente puede haber sido elaborado por el propio Baillet como un elemento retórico que simbolizase la certeza que Descartes tenía en la validez de su forma de aproximarse al conocimiento  verdadero. Siguió como mercenario hasta 1622, hallándose presente en la batalla de Praga y en los asedios de Pressburg y Neuhäusel. Después, durante algunos años, se dedicó a viajar, recorriendo Europa desde Polonia a Italia. En 1625 regresó finalmente a París.  Aquí volvió a entrar en contacto con el círculo de Mersenne, trabajó en su “matemática universal” y se embarcó en especulaciones sobre gran cantidad de cuestiones diversas que iban de la psicología moral a la prolongación de la vida. Al igual que a sus ociosos contemporáneos, el torbellino de la  vida social, la música, las lecturas frívolas, y el juego le distraían de tales cometidos. Su padre llegó a expresar la opinión de que “no valía para nada, salvo para acicalarse”.

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ue entonces cuando ocurrió un suceso que cambió su misión en la  vida. Se hallaba presente, junto con un elegante e impresionante auditorio, incluidos su amigo Mersenne y el influyente cardenal De Bérulle, en una reunión en la mansión del nuncio papal, para escuchar cómo un tal Chandoux exponía su “nueva filosofía”. Descartes fue el único de los asistentes que no aplaudió. Instado a dar su opinión, habló extensamente, demostrando cómo era posible para un hombre inteligente establecer un razonamiento aparentemente con vincente de una proposición y también de su contraria, mostrando además que, utilizando lo que él llamaba su “método natural”, incluso los pensadores mediocres podían establecer principios cuyo fundamento se hallaba enraizado en la verdad. Sus oyentes quedaron atónitos. Cuando, unos días más tarde, Descartes visitó a Bérulle, el cardenal le encargó que dedicara su  vida a conseguir que su método fuese aplicable a la filosofía y a “la mecánica y la medicina”. En octubre de 1628, Descartes partió hacia Holanda, en donde permaneció el resto de su vida, salvo tres breves visitas a Francia y su viaje a Estocolmo en 1649, el último que realizaría. Evitó la compañía de todo el mundo salvo la de sus amigos y discípulos, y dedicó su tiempo a la

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aplicación de sus principios a la filosofía, la ciencia y las matemáticas y a la divulgación de sus conclusiones. Un año después de haber abandonado Holanda, aceptando la invitación de la reina Cristina de Suecia, murió en Estocolmo en febrero de 1650.

sables años de su vida militar, de sus  Reglas para la dirección del Espíritu ,  viajes y de disipación, elaboró su con- terminada en 1628, pero publicada cepción de la ciencia verdadera y de póstumamente, y en el   Discourse su método para conocerla —un método de la Méthode , que escribió después muy racionalista—. Estas ideas se de establecerse en Holanda. Antes hallan expuestas en su primera obra, de completar este último comenzó a

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odríamos describir a Descartes como a un científico centrífugo: su pensamiento emergió principalmente hacia afuera a partir de un punto teórico, central y firme, en contraste con pensadores como Francis Bacon e Isaac Newton. El escritor francés y científico amateur Bernard le Bovier Fontenelle, en su famoso  Eloge de Newton, escrito a raíz de la muerte de Newton, estableció un elocuente contraste entre los métodos de Newton y de Descartes: “Estos dos grandes hombres, cuyas opiniones tan a menudo se nos muestran opuestas, tenían mucho en común. Ambos fueron genios de primer orden, nacidos para dominar las mentes de otros y para fundar imperios intelectuales. Ambos, siendo como eran geómetras excepcionales, sintieron la necesidad de llevar la geometría a la física. Ambos fundamentaron su física en la geometría, la cual desarrollaron de forma casi totalmente autónoma. Sin embargo, uno de ellos [Descartes] intentó, por medio de un salto audaz, situarse en la fuente de todo a fin de hacerse con los primeros principios por medio de ciertas ideas claras y fundamentales, a partir de las cuales podría descender simplemente a los fenómenos de la naturaleza como meras consecuencias necesarias de tales principios. El otro [Newton], más tímido o modesto, inició su camino apoyándose en los fenómenos para poderse elevar hacia principios desconocidos, decidiendo aceptarlos sólo en cuanto le servían de eslabones en la cadena de consecuencias. Uno partía de lo que conocía claramente, para encontrar la causa de lo que veía. El otro partía de lo que  veía, para encontrarle la causa.” La dirección primaria y el movimiento que siguió la empresa filosófica y científica de Descartes se nos hace patente con toda claridad siguiendo el orden en que compuso sus principales obras. Desde 1618 a 1628, los incan-

2. LAS INVESTIGACIONES del ojo que hizo Descartes le llevaron a substituir la retina del ojo de un buey por un fino papel o una cáscara de huevo para poder estudiar la imagen. Esta ilustración es una reproducción del libro de Descartes Dioptrique, publicada por primera vez en 1637.

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empieza enunciando lo que intenta resolver: el problema de la construcción de un telescopio, basándose en principios científicos racionales. De acuerdo con esta premisa, emprende ante todo un análisis de la naturaleza de la luz; el espacio está lleno de pequeños corpúsculos de materia, contiguos entre sí, formando una especie de “éter”. La luz es un fenómeno mecánico, una presión instantánea que, procedente de una fuente luminosa, se transmite a través de este éter. Entonces Descartes nos ofrece una demostración geométrica muy elegante de las leyes de la reflexión y de la refracción. Algunos años antes el físico holandés Willebrord Snell había establecido ya la ley de los senos —es decir, la ley correcta de la refracción— , pero no la había publicado. La demostración de Descartes de lo que hoy se conoce como la ley de Snell, fue casi seguramente independiente. Además fue el primero en publicarla.

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3. EL SISTEMA DE LOS VORTICES con el que Descartes pretendió dar una explicación del movimiento de los cuerpos celestes consistía en torbellinos de “éter”. En el caso del sistema solar los vórtices se encargaban de transportar los planetas alrededor del Sol (S). La trayectoria irregular que vemos en la parte superior de la figura corresponde a un cometa cuyos movimientos, según Descartes, no podían reducirse a una ley uniforme.

elaborar sus obras los Météors, la Diop-  Le Monde, sin embargo se abstuvo de trique y la Géométrie, que presentaría publicarla a raíz de las noticias de la como tres ejemplos concretos, ilus- condena de Galileo. En 1644 Descartes trativos del poder del método cuando publicaría los  Principia Philosophiae, se aplica a líneas de investigación una versión revisada, con su coperespecíficas, y que publicaría, en 1637, nicanismo mitigado con la idea de que como apéndices del  Discourse. Entre todo movimiento es relativo. Al mismo tanto, en 1628, se había empezado a tiempo Descartes trabajaba en su conpreocupar del nuevo estadio de sus cepción de la relación existente entre investigaciones: el descubrimiento la mente y el mecanismo del cuerpo y establecimiento de los primeros y, en su última obra,  Pasio nes del principios. Estos se hallan expuestos  Alma (que completó en 1649), incluyó en sus  Meditaciones sobre Filosofía también la psicología en los dominios  Fundamental , publicado en 1641. A de su sistema. partir de estos principios estableció Quizás el ejemplo más ilustrativo rápidamente la elaboración de su del poder de su método sea la  Diopcosmología, que completó en 1633 en trique. Como era característico en él,

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puesto que la finalidad de un telescopio es aumentar el poder de la visión, Descartes nos ofrece a continuación un análisis detallado del ojo humano tanto en su estado normal como en su estado patológico. Para ello, como muestra su correspondencia, realizó extensos estudios así como disecciones. Repitiendo un experimento que ya había realizado Christoph Schneider, separó la parte posterior de un ojo de buey y la reemplazó por una fina película de papel blanco o por una cáscara de huevo, y examinó la imagen invertida producida por un objeto situado delante del ojo. Esta detallada investigación nos muestra un conocimiento anatómico considerable y una gran finura en la experimentación. Descartes describe el funcionamiento del iris, el músculo ciliar, la visión binocular, las ilusiones ópticas así como varias formas de coordinación y acomodación. Entonces se consideró en posición de demostrar científicamente cuáles deberían ser las curvaturas de las lentes que eran precisas para construir un telescopio, una situación que no habían logrado ni Kepler ni Galileo. Concluyó que las secciones deberían ser hipérbolas o elipses. Naturalmente no contó con la aberración cromática, un problema que, por aquel entonces, era desconocido. Finalmente nos ofrece la descripción de una máquina diseñada para cortar lentes basándose en estos principios científicos. Gracias a una extensa correspondencia mantenida entre Descartes y un constructor de lentes francés, lla-

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mado Ferrier, sabemos que este desafortunado constructor intentó llevar a la práctica las ideas de Descartes y fracasó. De hecho, nunca se ha logrado construir ningún telescopio siguiendo los principios teóricos de Descartes. La estructura esencial y el contenido de la física y de la cosmología cartesianas descansan en las conclusiones revolucionarias que estableció poco después de haberse retirado a Holanda, en el año 1628. Fundamentó la posibilidad y la certeza del conocimiento en el hecho mismo del pensamiento. Este hecho elemental, aprehendido con “claridad y distinción,” se convirtió en su criterio para saber si algo era cierto o falso. Afirmaba que las “cualidades” de la filosofía clásica, aprehendidas por la simple sensación, no eran ni claras ni distintas. Así pues eliminó del mundo exterior todo salvo la extensión —el único aspecto mensurable de las cosas y, por consiguiente, su propia naturaleza—. Esta división del mundo en dos ámbitos mutuamente excluyentes y conjuntamente exhaustivos, el del entendimiento y el de la extensión, permitió a Descartes ofrecer lo que para él constituía una ciencia verdadera de la naturaleza.  Así la tarea de la ciencia consistía e n deducir, a partir de estos primeros principios, las causas de todo lo que acontece, de la misma manera que las matemáticas se deducen de sus premisas.

lo que le permitía “el pequeño alcance de mi conocimiento”, con lo cual consiguió lo que realmente temía; que lo que había producido, utilizando sus propias palabras, no fuese más que un bello “romance de la naturaleza”. Su fracaso más desastroso tuvo lugar, de hecho, en el centro mismo de su programa, en las propias leyes del movimiento. Por medio de un proceso de análisis puramente racional, había llegado a la conclusión de que la propiedad esencial de la materia era su extensión espacial. Puesto que, a priori, se excluían otras posibilidades, no dejó ningún resquicio para la constatación empírica. Y entonces, a partir de esta base supuestamente sólida, procedió a construir un sistema de mecánica que dejaba fuera de todo análisis hechos importantes, especialmente aquellos que se halla-

ban involucrados en lo que llegaría a ser la noción newtoniana de “masa”. Su mecánica contiene ciertamente algunas conclusiones valiosas como, por ejemplo, la que se refiere a la conservación del movimiento y su enunciado de un principio equivalente al de inercia. Sin embargo, cuerpos geométricamente idénticos, si tienen masas diferentes, no se comportan de forma idéntica cuando colisionan o interactúan de otras formas. El tratamiento que Descartes dio a este tema resultó ser desastrosamente incorrecto a causa de que todo su análisis precedente de la materia como mera extensión era erróneo en sí mismo.  A fin de explicar cómo es que los planetas se mantienen en su órbita, Descartes propuso su famosa teoría de los vórtices, de acuerdo con la cual la fina materia del “éter” forma grandes

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ue la misma amplitud del programa —que de hecho declara que la naturaleza física entera se puede reducir y ser comprendida por las leyes del movimiento— lo que confirió a Descartes su importancia científica revolucionaria. El propio Descartes dio explicaciones, en términos de los movimientos de partículas de formas y tamaños diversos, de las propiedades químicas y sus combinaciones, gusto y sabor, calor, magnetismo, luz, del funcionamiento del corazón y del sistema nervioso como fuente de acción del mecanismo del cuerpo humano, y de muchos otros fenómenos que investigó por medio de experimentos algunas  veces realmente ingenuos. La amplitud del programa llevaba implícita su propia perdición. Descartes no dispuso de tiempo suficiente para poder abordar con suficiente rigor y de forma cuantitativa todas las cuestiones que se proponía. Procediendo, como proceden, de un programa que pretende matematizarlo todo, la física y cosmología de Descartes son casi totalmente cualitativas. Se vio forzado a recurrir a la especulación mucho más allá de

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4. EL PAPEL CENTRAL DE LA GLANDULA PINEAL en la psicología de Descartes se halla descrita en L’Homme. Las imágenes llegan a la retina (5, 3, 1) y son transportadas al ventrículo cerebral (6, 4, 2); éstas, a su vez, forman una imagen binocular única en la glándula pineal (H), la sede desde la cual el alma controla el cuerpo. El alma, estimulada por la imagen, inclina la glándula pineal, activando así el “sistema hidráulico” de los nervios (8) y ocasiona el movimiento de un músculo (en 7).

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torbellinos o vórtices alrededor del Sol y de las estrellas. Los planetas son transportados por el vórtice del Sol, al igual que una colección de barquichuelos de niños lo son en el estanque celestial, y la Luna se ve obligada a moverse alrededor de la Tierra por la misma razón. Lo más sorprendente es que Descartes no se preocupó en absoluto de comprobar si esta importante parte de su física se ajustaba o no a los hechos explicados por las leyes de Kepler del movimiento planetario. Sería Newton quien destrozaría la famosa teoría de los vórtices de Descartes. En realidad, pudo haber elegido el título  Principia Mathematica como contrapunto a su polémica con los Principia Pilosophiæ. Newton trató la teoría de los vórtices como un problema serio de la dinámica de fluidos y la desmoronó completamente. La reputación que Descartes ha conseguido como mero especulador se debe, en gran medida, a los historiadores de la mecánica que han escrito bajo la influencia de la polémica con Newton. Pero, si pasamos de la mecánica de Descartes a su fisiología, podemos observarle en un ámbito de estudio en el que las hipótesis cualitativas en las que se sustentó para tratar las demás cuestiones le permitieron obtener resultados más dignos de él.

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on razón podemos considerar a Descartes, junto a William Harvey, el fundador de la fisiología moderna. Harvey fue un maestro del análisis experimental, pero fue Descartes quien introdujo la hipótesis primordial sobre la que se ha basado toda la fisiología subsiguiente. Habiendo dividido el mundo en extensión y pensamiento, Descartes fue lo suficientemente hábil para considerar la biología como una rama de la mecánica y nada más. En términos más modernos, este punto de vista establece que los organismos vivos son, en última instancia, explicables en términos de la física y química de sus partes. En el hombre, según Descartes, el ámbito del pensamiento tiene su contacto con el cuerpo en un único punto: la glándula pineal del cerebro. La correspondencia de Descartes pone de manifiesto que durante su larga residencia en Holanda dedicó mucho tiempo a las disecciones anatómicas. Encontró la biología el más frustrante de todos los campos en los que intentó llegar a conclusiones por medio de principios mecánicos. Fue precisamente en este campo en el que

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5. LA GEOMETRIA DE DESCARTES es, en palabras de Voltaire, “un método para atribuir ecuaciones algebraicas a las curvas”. La ilustración corresponde a una página en la que se discute la ecuación de la parábola.

la experimentación era más necesaria, tanto para obtener información como para elegir entre diferentes explicaciones posibles de un mismo fenómeno. Si bien aceptó el descubrimiento de Harvey de la circulación de la sangre, se vio enzarzado con él, sin éxito alguno, en una controversia acerca del mecanismo de la acción del corazón, presentando cada uno de ellos un experimento crucial para sostener su argumentación. De hecho, Descartes estaba equivocado, pero puso en claro la cuestión esencial de que no era posible establecer una explicación completa a partir únicamente del hecho de que el corazón late, sino que era preciso explicarlo, además, en términos del mecanismo subyacente; en última instancia en términos de las leyes del movimiento comunes a toda la materia. Si bien la explicación mecanicista de Descartes de este fenómeno, aún hoy obscuro, actualmente podría parecernos ingenua, el método con el que la abordó, así como el del funcionamiento del cuerpo como un todo, introdujo una de las herramientas más poderosas de toda la investigación fisiológica moderna: precisamente el modelo hipotético. Los escritos fisiológicos de Descartes contienen muchas observaciones correctas y algunas explicaciones mecanicistas brillantes de dichos fenómenos, como las acciones automáticas, como son los guiños y la coordinación de distintos músculos en movimientos complicados como el andar. Descartes estaba predispuesto a sacrificar la anatomía real por la anatomía hipotética que su mecanicismo demandaba. Pero siempre afirmaba explícitamente que estaba describiendo un cuerpo hipotético, con el fin de imitar las

acciones del cuerpo real, al igual que un investigador moderno construye una máquina electrónica para poder imitar el proceso del cerebro. El propósito de Descartes era producir una verdadera ciencia de la naturaleza en la que todo se dedujese matemáticamente de unos principios evidentes. Los físicos modernos rechazan, por supuesto, que los principios físicos puedan ser evidentemente ciertos. Ya en el siglo  XVII, Pascal y Huygens hicieron la misma objeción. Señalaron que existe una diferencia esencial entre la física y las matemáticas abstractas en cuanto que los principios de la física —que explora lo desconocido en un mundo concreto— se hallan siempre expuestos a una refutación parcial o total por el descubrimiento de nuevos hechos.

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escartes, moviéndose centrífugamente desde sus principios centrales, logró apreciar la crítica de Pascal y Huygens y darse cuenta de que su ideal matemático de deducción rectilínea chocaba frontalmente con la dificultad de poner en contacto principios generales abstractos con hechos particulares. Con todo, en cuanto pensador científico positivo, quizá no fuese tan diferente de sus sucesores actuales. Su investigación abarca nada menos que las causas y el significado de todo lo que acontece.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA ŒUVRES DE DESCARTES . Charles Adam y Paul Tannery. París, Vrin, 1957-8. THE PHILOSOPHIC W ORKS OF DESCARTES. 2 vols. Elizabeth S. Haldane y G. R. T. Ross. Dover, Nueva York, 1955. CORRESPONDANCE: RENÉ DESCARTES . Dirigido por C. Adam y G. Milhaud. Presses Universitaires de France, 1936-56. NEW STUDIES IN THE PHILOSOHY OF DESCARTES. Norman Kemp Smith. The Macmillan Co., 1952. THE SCIENTIFIC WORK OF RENÉ DESCARTES (1596-1650). Joseph Frederick Scott. Taylor & Francis, 1952. DISCURSO DEL MÉTODO. René Descartes. Alianza Editorial. Madrid DISCURSO DEL MÉTODO, LA DIÓPTRICA, LOS METEOROS Y LA GEOMETRÍA. Ediciones Alfaguara, S.A. Madrid, 1981. LA FILOSOFÍA DE LA CIENCIA DE DESCARTES. Desmond M. Clarke. Alianza Universidad. Madrid, 1982. REGLAS PARA LA DIRECCIÓN DEL ESPÍRITU. Alianza Editorial. Madrid, 1984. EL MUNDO O EL TRATADO DE LA LUZ. Alianza Universidad (filosofía). Madrid, 1991. LA MAGIA DE LOS NÚMEROS Y EL MOVIMIENTO. L A C ARRERA C IENTÍFICA DE DESCARTES. William R. Shea. Alianza Universidad. Madrid, 1993.

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Pierre de Fermat Harold M. Edwards  Durante más de tres siglos los matemáticos se esforzaron en vano  por demostrar un teorema que Fermat afirmaba poder probar: ninguna potencia n-ésima puede resultar ser suma de otras dos potencias n-ésimas cuando n es mayor que 2

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ierre de Fermat, matemático francés del siglo  XVII, fue fundador de la moderna teoría de números, rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los números enteros. Lo mismo que tantos otros eruditos de su tiempo, estudió profundamente las obras clásicas de la antigüedad. En teoría de números, su fuente de inspiración fue Diofanto, matemático griego cuya  Ari tmé tic a  fue descubierta por los europeos a mediados del siglo  XVI . Fermat co mentó su ejemplar de esta obra con numerosas notas al margen, y tras su muerte, acaecida en 1665, su hijo publicó una nueva edición de la  Aritmética, esta vez, con las anotaciones de su padre. Una de estas notas ha llegado a ser uno de los más famosos enunciados de la historia de las matemáticas.  Al lado de un problema relativo a determinar cuadrados expresables como suma de otros dos cuadrados (por ejemplo, 25 igual a 9 más 16), Fermat escribió (traducimos del latín): “Por otra parte, es imposible que un cubo sea suma de otros dos cubos, una cuarta potencia, suma de dos cuartas

HAROLD M. EDWARDS enseña matemáticas en la Universidad de Nueva  York. Comenzó sus estudios en la Uni versidad de Wisconsin, licenciándose por la de Columbia en 1957. Se doctoró en Harvard en 1961. Tras cuatro años de docencia en Columbia, pasó en 1966 a la universidad neoyorquina. Los principales campos de investigación de Edwards son la teoría de números y la historia de las matemáticas. Es autor de  Advanced Calculus (1969),  Riemann’s  Zeta Function  (1974) y  Fermat’s Last Theorem (1977). Edwards desea agradecer a la Fundación Vaughn y a la National Science Foundation su ayuda económica para realizar la investigación sobre el tema de su artículo.

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potencias, o en general, que ningún número que sea potencia mayor que la segunda pueda ser suma de dos potencias semejantes. He descubierto una demostración verdaderamente maravillosa de esta proposición que este margen es demasiado estrecho para contener.” Tal proposición ha llegado a llamarse “último teorema” o “teorema magno” de Fermat. A pesar de que los más sagaces matemáticos lo intentaron en vano durante los tres siglos transcurridos, el último teorema de Fermat siguió siendo uno de los grandes problemas no resueltos de la matemática hasta nuestros días. ¿Tenía verdaderamente Fermat la “maravillosa demostración” que afirmaba? Era, sin duda, un prodigioso matemático, que contribuyó a establecer las disciplinas hoy llamadas geometría analítica (con Descartes), cálculo diferencial (con Leibniz y Newton) y teoría de probabilidad (con Pascal). Su profesión no era la de matemático, sino jurista, y vivía en Toulouse, en la Francia meridional. Su amplia participación en la vida intelectual de su época se produjo enteramente mediante correspondencia privada con otros sabios de los principales centros europeos del saber. Imaginar que un jurista provinciano del siglo XVII haya podido burlar con su teorema a los más capaces

matemáticos de tres siglos resulta ciertamente encantador; pero los hechos parecen indicar que Fermat no disponía de verdadera demostración. A excepción de la nota e scrita al margen del libro de Diofanto, ninguno de los escritos de Fermat que han sobrevi vi do ha ce me nció n algu na sobre la demostración del teorema. Sí se menciona en algún otro lugar que sabía cómo probar la imposibilidad de soluciones para las ecuaciones x3 + y3 = z3 y x4 + y4 = z4. Si Fermat hubiera descubierto una demostración válida del teorema general (a saber, que es imposible que xn + yn = zn siendo x, y, z y n enteros positivos, y n mayor que 2) sería sorprendente que no la hubiera mencionado también. Lo más verosímil parece ser que, en el momento de escribir la nota, Fermat tenía una idea de cómo demostrarla, que más tarde resultó insuficiente. Puede decirse con casi absoluta certeza que al escribir sus notas Fermat no tenía el propósito de publicarlas, y pudiera ser que no tuviera ocasión de volver atrás y borrar o enmendar la citada. Desde luego, resulta mucho más emocionante pensar que Fermat sí disponía de una demostración rigurosa del teorema, y hasta es posible que así sucediera. En cualquier caso, el teorema ha tenido gran influencia en el desarrollo de la teoría de núme-

1. PIERRE DE FERMAT, llamado “padre de la teoría de números”, rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los números enteros. Nacido en 1601, cerca de Toulouse, Fermat pasó toda su vida en el sur de Francia, lejos de los grandes centros europeos del saber. No era matemático profesional, sino jurista, y ninguno de sus trabajos de matemáticas vio la luz pública hasta después de su muerte. Su amplia participación en las matemáticas de su tiempo se realizó por completo a través de correspondencia particular con otros estudiosos. Fermat enunció muchos teoremas estimulantes, profundos y difíciles, que no fueron demostrados hasta mucho después de su muerte. Hacia 1840 solamente faltaba demostrar uno de ellos, que ha llegado a denominarse “último teorema de Fermat”: cuando n es un entero mayor que 2, no existe ninguna solución de la ecuación xn +  yn=  zn formada exclusivamente por números enteros. El retrato se halla en la  Académie des Sc iences, Inscriptio ns et Belles Lettres de Toul ouse; se repro duce con permiso de R. Gillis.

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descomponerse en suma de otros dos cubos. Por ejemplo, si 512 fuese suma de otros dos cubos, éstos serían menores que 512, y figurarían antes que él en la lista. Los cubos 216 y 343 son buenos candidatos, pero su suma es 559, demasiado grande. La suma inmediatamente menor, 216 más 216, es igual a 432, y no 512. Así pues, 512 no es suma de ningún par de cubos.

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2. UNA TABLETA BABILONICA de arcilla, grabad a con caracteres cuneiformes, que data aproximadam ente de 1500 a.C., y es uno de los más antiguos documentos sobre teoría de números. La tableta recopila (aunque de forma ligeramente encubierta) varios conjuntos de ternas pitagóricas, esto es, ternas de números enteros positivos,  x,  y,  z tales que  x2 +  y2 =  z2, como, por ejemplo, 4961, 6480 y 8161. Fermat enunció su último teorema mientras analizaba un problema referente a ternas pitagóricas (véase la ilustración de la  página si guiente ). Cualquiera de estas ternas prueba que su teorema es falso cuando el exponente n sea igual a 2. Las ternas pitagóricas reciben dicho nombre de su relación con el teorema de Pitágoras, que enuncia que en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. No es fácil encontrar ternas por simple tanteo, sobre todo cuando los números son grandes, por lo que seguramente los babilonios tenían algún método para hallarlas. Lo más probable parece ser que su interés por ellas proviniera de las aplicaciones geométricas de estos conjuntos de números y que, por tanto, conocieran ya el contenido del teorema de Pitágoras 1000 años antes que los griegos. La tableta forma parte de la colección Plimpton de la Biblioteca Butler, de la Universidad de Columbia, por cuya gentileza la reproducimos.

ros. Algunas de las máximas creaciones del pensamiento matemático han sido sugeridas por su estudio, y las técnicas desarrolladas en el esfuerzo de demostrarlo han contribuido a la solución de otros muchos problemas.

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inalmente, la historia del último teorema de Fermat proporciona una excelente ilustración de la verdadera naturaleza de la indagación matemática. Suele preguntarse a los matemáticos: “Pero, ¿cómo es posible investigar en matemáticas?” Dudo mucho que llegue a planteársele a un físico o biólogo semejante pregunta. Mucha gente está convencida de que las matemáticas son tema tan rutinario que en ellas el trabajo apenas puede ir más allá de la ordenada consignación de los datos. Evidentemente, nada más lejos de la realidad. En matemáticas, como en cualquier otro terreno, hay cuestiones no resueltas por doquier; para los matemáticos, la dificultad reside en dar con

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preguntas que puedan contestar, y no al contrario. No es fácil, sin embargo, darle al lego ejemplos claros que ilustren este punto, porque el enunciado de las cuestiones de interés matemático suele requerir terminología especializada y formación suficiente. El teorema magno de Fermat es rara excepción a esta regla. Parte de la fascinación del último teorema de Fermat procede del hecho de ser tan sencillo de enunciar y comprender: Es imposible hallar números enteros positi vos  x,  y,  z y n, donde n  sea mayor que 2 y se verifique la igualdad  xn +  yn =  zn. Los no iniciados en matemáticas suelen atacar el teorema por el método en apariencia más razonable: ensayando valores. Tomemos el caso de que n  sea igual a 3, a saber, el caso consistente en demostrar que la ecuación x3 + y3 = z3 no tiene ninguna solución. Los cubos de los 10 primeros números enteros positivos son 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729 y 1000. No es difícil ver que ninguno de estos números puede

s sencillo comprobar por este procedimiento que un cubo concreto dado no es suma de ningún par de cubos. Los cálculos requeridos podrían efectuarse a gran velocidad por un ordenador, siendo de esta forma fácil demostrar que ningún cubo de, pongamos por caso, menos de diez dígitos es suma de otros dos cubos. Sin embargo, hay una infinidad de cubos a comprobar, y, así pues, por este procedimiento ni aun con auxilio del más potente y rápido ordenador podrá resolverse la cuestión de saber si algún cubo podrá des componerse en suma de otros dos. Una vez que el lego en matemáticas se ha convencido de que los ensayos no bastan para demostrar la imposibilidad de  x3 +  y3 =  z3 suele irse al otro extremo y poner en tela de juicio que nadie pueda probar un enunciado semejante. La respuesta es que podría probarse por reducción al absurdo: se supone inicialmente que la ecuación sí tiene solución, y de esta hipótesis es necesario deducir un enunciado cuya falsedad sea ya conocida. De llegarse a un enunciado falso —contradicción o absurdo— estaría demostrada la falsedad de la suposición inicial, lo que significaría que no puede existir ninguna solución. Más concretamente, en el caso de enunciados referentes a enteros positivos, como es evidente que ocurre en el último teorema de Fermat, las demostraciones por reducción al absurdo suelen adoptar la forma de demostraciones por descenso infinito. Fermat mantuvo haber sido el creador del método, que decía que era base de todas sus demostraciones en teoría de números. En una demostración por descenso infinito hay que probar que, de existir una solución formada por enteros positivos para la ecuación que nos ocupa, a partir de ella puede construirse otra solución formada por enteros positivos más pequeños. El mismo razonamiento muestra entonces que la segunda solución permite construir una tercera todavía más pequeña; el proceso puede reiterarse indefinidamente. Estando todas las soluciones formadas por enteros posi-

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 z4 para ciertos enteros positivos x, y, z entonces han de existir enteros a y b y hagamos  y4 igual a a, 2 x2 z2 igual a tales que p sea igual a a3 – 9ab2 y que q b, z4 + x4 igual a c y, finalmente, y2 xz sea igual a 3ab2b – 3b2. Tal proposición igual a d. Entonces, la sencilla identi- es perfectamente correcta y puede dad algebraica (r + s)2 = r2 + 2rs + s2 demostrarse aplicando variantes senimplica que a2 + b2 sea igual a ( z4 – x4)2 cillas de métodos expuestos en diver+ 4 x4 z4, o lo que es igual, a  z8 – 2 x4 z4 sos lugares de la obra publicada de +  x8 + 4 x 4 z4, o sea, a ( z4 +  x4)2, que es Euler. En esta ocasión, sin embargo, igual a c2. Además, (1/2)ab es igual a Euler prefirió utilizar un nuevo tipo de (1/2) y42 x2 z2, o sea, igual a ( y2 xz)2, que razonamiento que requería introducir es igual a d2. Por consiguiente, a2 + b2 números de la forma a + b√ –3, siendo = c2 y (1/2)ab = d2, que Fermat demos- a y b dos enteros. tró ser imposible. Por consiguiente, la Para comprender por qué Euler hipótesis de partida, que  x4 +  y4 =  z4  vio útiles los números de la forma a + tenía al menos una solución, ha de ser b√ –3, desarrollaremos la expresión (a + incorrecta, con lo que el teorema de b√ –3)3. Resulta ser a3 + 3a2 b√ –3 – 9ab2 Fermat queda demostrado en el caso – 3b3√ –3, o sea (a3 – 9ab2) + (3a2b – de n igual a 4. Así pues, en esencia, el 3b3)√ –3, es decir,  p + q√ –3, donde  p propio Fermat demostró su teorema y q son números definidos como en la para el caso de cuartas potencias. conclusión de la proposición. Dicho de La demostración anterior establece otra forma, la tesis de la proposición también que el teorema de Fermat es afirma que (a + b√ –3)3 =  p + q√ –3.  verdadero siempre que n sea múltiplo  Ahora bien, la proposició n hace la de 4, porque si n es igual a 4k para hipótesis de que p2 + 3q2 es cubo peralgún entero positivo k, entonces  xn fecto. Vol viendo a escribir  p2 + 3q 2 +  yn =  zn, implica ( xk)4 + ( yk)4 = ( zk)4, en la forma ( p + q√ –3)( p – q√ –3), la lo que es imposible, ya que ninguna proposición puede ahora enunciarse cuarta potencia puede ser suma de así: Si ( p + q√ –3)( p – q√ –3) es cubo ara la demostración Fermat uti- otras dos cuartas potencias. Exac- perfecto, entonces  p + q √ –3   ha de lizó el método de descenso infi- tamente de la misma forma, si el teo- ser un cubo, es decir, ha de ser de la nito. Concretamente, dio un proce- rema puede ser demostrado para un forma (a + b√ –3)3, para ciertos enteros dimiento explícito mediante el cual, exponente determinado, m, entonces a y b. Por consiguiente, al introducir dados los enteros  x, y, z y u que cum- el teorema es verdadero para todos los números a + b√ –3 la proposición plan las condiciones x2 + y2 = z2 y (1/2) los múltiplos de m. Así pues, dado puede enunciarse de forma mucho  xy = u2, es posible construir otro con- que todo entero n que sea mayor que más sencilla y natural.  junto de números enteros  X , Y , Z y U  2 es divisible bien por 4, bien por un tales que X 2 + Y 2 = Z2, que (1/2) XY = U 2, número primo impar (es decir, por un os números de la forma a + b√ –3 y que el triángulo de lados X , Y , Z sea número primo distinto de 2), bastará constituyen un sistema numémás pequeño que el de lados x, y, z en demostrar el teorema de Fermat en rico que comparte muchas propiedael sentido de que la hipotenusa  Z sea todos los casos en que el exponente des de los enteros. En ambos casos, más pequeña que la hipotenusa z. El sea un número primo impar. al sumar, restar o multiplicar dos Fermat aseguró poder demostrar el números cualesquiera del sistema método utilizado por Fermat para  X , Y , Z y U  es francamente sutil y reque- teorema en el caso de ser n igual a 3; resulta otro número perteneciente riría prolija explicación. No obstante, pero no se publicó ninguna demostra- al sistema, aunque por lo general no la existencia de tal método muestra ción de la imposibilidad de que haya ocurre así al dividir. Por ejemplo, 5 que es imposible hallar soluciones soluciones de  x3 +  y3 =  z3 hasta cien no es divisible entre 4 en el sistema enteras para el sistema de ecuaciones años más tarde. Tal demostración, de los números enteros (es decir, no  x2 +  y2 =  z2; (1/2) xy = u2, pues una obra del matemático suizo Leonhard hay ningún entero que multiplicado tal solución conllevaría otra solución Euler, contenía, sin embargo, un por 4 dé 5), y dados dos números de más pequeña  X , Y ,  Z y U , que a su gra ve fallo. la forma a + b √ –3 , por lo general  vez daría una solución  X’ , Y’ ,  Z’  y U’  tampoco es posible hallar un tercer uler dio una demostración por des- número de esa misma forma que sea todavía menor, y así sucesi vamente. Se deduce entonces que existiría una censo infinito, consistente en un su cociente. Las semejanzas de ambos sucesión infinitamente decreciente de método para deducir de cada solución sistemas indujeron a Euler a dar un números enteros positivos  z >  Z >  Z’  x, y, z de la ecuación  x3 + y3 = z3 una paso inno vador —e incorrecto— en su >..., lo cual es imposible. (El signo “>” nueva solución  X, Y,  Z  donde  Z  sea demostración. Euler aplicó una prosignifica “mayor que”.) menor que z. Su método es demasiado piedad válida sólo para enteros a los Hecho notable, y probablemente largo para poder exponerlo aquí con números a + b√ –3. nada casual, es que la imposibilidad detalle, pero, a grandes rasgos, efecLa propiedad de los enteros que de ser cuadrado perfecto el área de un tuando cálculos relativos a las diversas Euler precisaba para su demostración triángulo pitagórico implique inme- características de  x, y, z Euler redujo es consecuencia de la unicidad de la diatamente que la x4 + y4 = z4 carezca el problema de deducir una solución descomposición de cada entero en un de solución, es decir, que el teorema más pequeña al de probar la siguiente producto de potencias de factores pride Fermat sea verdadero cuando n proposición: Si p y q son números ente- mos. Cada entero positivo solamente es igual a 4. Un sencillo e ingenioso ros primos entre sí (es decir, que no es expresable como producto de facartificio permite conectar ambas pro- tienen más divisores comunes que la tores primos de una sola forma. Por posiciones. Supongamos que x4 + y4 = unidad) y si p2 + 3q2 es cubo perfecto, ejemplo, 124 es igual a 2 × 2 × 31; nin-

tivos, es evidentemente imposible hallar soluciones cada vez más pequeñas ad infinitum. Por consiguiente, no puede existir solución alguna. No hay en todos los escritos de Fermat sobre la teoría de números, que hayan llegado hasta nuestros días, más que una sola demostración, descubierta en otra nota marginal a la  Aritmética   de Diofanto. Se refiere a triángulos pitagóricos, es decir, triángulos rectángulos cuyos lados tienen longitudes enteras. (El nombre procede de su relación con el teorema de Pitágoras, que establece que los catetos  x e  y, y la hipotenusa  z de un triángulo rectángulo están ligados por la relación  x2 +  y2 =  z2.) Fermat demostró que el área de un triángulo pitagórico no puede ser cuadrado perfecto de ningún número entero: si x, y y  z son enteros positivos tales que  x2 +  y2 =  z2, entonces (1/2) xy, no es cuadrado de ningún entero. No es difícil demostrar que alguno de los números  x o y, tiene que ser par, y que por consiguiente (1/2) xy es entero.

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gún número primo, salvo 2 y 31, puede dividir exactamente a 124. El teorema de factorización única implica en los enteros la siguiente propiedad: la única forma de que el producto de dos enteros primos entre sí sea un cubo perfecto es que cada factor sea cubo perfecto. Por ejemplo, supongamos que c y d sean números primos entre sí, y que cd sea igual a 1000, es decir, a 10 3. Expresado como producto de factores primos, 1000 es igual a 23 3 × 5 . Las distintas descompo siciones factoriales de 1000 se obtienen todas distribuyendo sus factores primos en dos subconjuntos; tal, por ejemplo, (2 × 2 × 5) (2 × 5 × 5), o sea, 20 × 50. Si el reparto debe efectuarse de manera que los dos conjuntos sean primos entre sí, todos los factores 2 deberán ir a uno de los dos subconjuntos, y todos los factores 5 deberán ir al otro. Por consiguiente, los únicos valores posibles de los factores c y d  son 23 3 3 3 × 5 , 2 , 5   y 1, que son todos ellos cubos perfectos. Análogamente, el producto de dos enteros primos entre sí solamente puede ser una potencia n-ésima cuando cada uno de ellos sea por sí mismo potencia n-ésima. Euler supuso que esta propiedad de los enteros era poseída también por los números a + b√ –3 y demostró su proposición razonando de la siguiente forma: La proposición afirma que si p  y q son primos entre sí y el producto ( p + q√ –3)  (p – q√ –3) es cubo perfecto, entonces  p + q√ –3  es cubo perfecto. Euler demostró en primer lugar que si p y q son primos entre sí, entonces p + q√ –3 y p – q√ –3 son también primos entre sí. Por extensión de la propiedad de los enteros, el producto de números primos entre sí de la forma a + b√ –3 solamente puede ser cubo perfecto si lo son los propios factores. Por tanto, la hipótesis de ser ( p + q√ –3)( p – q √ –3) cubo perfecto implica que  p + q√ –3 es cubo perfecto, lo que demuestra la proposición.

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ste razonamiento ciertamente lleva a Euler hasta la conclusión requerida; el problema está en que no basta razonar por analogía con los enteros para obtener una demostración valida. Los razonamientos por analogía son extraordinariamente sugestivos, y como demuestra la historia de las matemáticas, pueden ser origen de fecundas ideas, pero por sí solos no demuestran nada. Sorprende especialmente que Euler no mostrara mayor circunspección al usar este tipo de analogías, pues aunque los números a + b√ –3 comparten muchas propiedades con los enteros, hay también

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muchos puntos de divergencia entre demostración es modelo de claridad ambos sistemas. Por ejemplo, los y rigor. A pesar de todo, no deja de enteros tienen una ordenación natu- llamar la atención que la experiencia ral,... –2, –1, 0, 1, 2,... pero los números adquirida en esta demostración no le a + b√ –3 no pueden tenerla. Sólo hay previniera acerca de la escasa solidez una forma de estar seguros de que los de su segundo razona miento. El razonúmeros a + b√ –3  poseen, lo mismo namiento por analogía puede utilique los enteros, la propiedad de que zarse para demostrar que todo divisor el producto de números primos entre primo e impar de a2 + 3b2 es de forma sí solamente es cubo perfecto cuando c2 + 3 d2, pero también podría usarse lo sea cada uno de los factores, y es para probar que todo divisor primo e impar de a2 + 5 b2 es de la forma c2 + demostrar que así su cede. No obstante, incluso los mejores 5d2, lo que es falso. (Observemos que matemáticos sucumben de cuando 42 + 5 × 12 es igual a 21, y que ninguno en cuando a la tentación de hacer de los divisores de 21, a saber, ni 3 demostraciones por analogía, des- ni 7, pueden expresarse como suma cuidando criticar suficiente mente de un cuadrado más cinco veces un ciertos razonamientos porque saben cuadrado.) Estas consideraciones de antemano que la conclusión a que han debido inspirar el característico conducen es correcta. Esta tentación rigor de la primera demostración de alcanza especial intensidad cuando Euler. Sin duda, las había olvidado el razonamiento tiene la seductora cuando volvió sobre el tema muchos simplicidad que posee el de Euler. años más tarde. Es muy posible que Euler no tuviera mayor preocupación por el rigor de l lapsus de rigor de Euler está en su demostración porque sabía ya por estrecha relación con sus extraconsideraciones de otra especie que ordinarias dotes, su inventiva e imala conclusión final  p + q√ –3 = (a + ginación. Su capacidad para percibir b √ –3 ) 3   era correcta. Muchos años nuevas conexiones entre diversos antes de publicar su demostración del problemas, y para formularlos con caso n igual a 3 del último teorema de originalidad y perspicacia, hizo de su Fermat, Euler había trabajado ya en obra fuente de inspiración de varias otras proposiciones enunciadas, pero generaciones de matemáticos. La no demostradas, por Fermat referen- descomposición de los a + b√ –3 en protes a la representación de números ducto de factores primos era muestra en la forma  x2 + 3 y2. En particular, clara de su ingenio extraordinario. De demostró el aserto de Fermat de que hecho, aunque la aplicación de esta todo número primo p que sea uno más idea al caso n  igual a 3 del último que un múltiplo de tres ( p igual a 3n teorema de Fermat fuese prematura, + 1) tiene una única representación hechos posteriores mostraron que se en forma de cuadrado más triple de trata de una idea llena de inspiración. un cuadrado ( p igual a  x2 + 3 y2) por Efectivamente, el fallo del razonaejemplo, 7 es igual a 2 × 3 + 1 y a 22 + miento de Euler —a saber, que una 3 × 12. Las técnicas desarrolladas por propiedad deducida del teorema de Euler para demostrar este teorema se factorización única de los enteros no aplican sin dificultad para demostrar tiene por qué ser válida forzosamente la proposición del último teorema de en otros sistemas de números semeFermat en el caso n igual a 3. Es posi-  jantes a ellos— resultaría ser tema ble que Euler se diera cuenta de que central de otras investigaciones de podía demostrar la proposición con más altos vuelos sobre el teorema. técnicas debidamente establecidas  Aunque la demostración de Euler ya, y, por consiguiente, no sometiera precisaba de algunos remiendos, en la nueva y un tanto insólita demos- esencia sí establecía la validez del tración a escrutinio suficientemente último teorema de Fermat cuando n cuidadoso. es igual al primer número impar, o En la otra demostración, anterior, sea, 3. En la década de 1820, Gustav Euler fue extraordinariamente cauto Lejeune Dirichlet y Adrien- Marie a la hora de utilizar razonamientos Legendre demostraron el teorema cuestionables. Por ejemplo, uno de los para el caso de ser n igual a 5, que es pasos intermedios de tal demostración el número primo sucesivo. Su método requiere comprobar que si a y b  son de demostración es, básicamente, primos entre sí, entonces todo divisor generalización del utilizado por Euler primo e impar de a2 + 3 b2 puede ser para el caso n igual a 3; siendo en esta descompuesto en la forma c2 + 3d2. nueva situación numérica la ecuación En esta ocasión, Euler no tenía la  p + q√ 5 = (a + b√ 5)5  la análoga de peligrosa certidumbre de que el enun- la ecuación crucial  p + q√ –3 = (a + b ciado a demostrar fuera correcto, y su √ –3)3. (Cuando n crece las ecuaciones

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que aparecen al intentar demostraciones de este estilo se complican demasiado, y el método ya no funciona.) En el caso n igual a 5, para demostrar que p + q√ 5 es una quinta potencia no solamente hay que suponer que p y q sean primos entre sí, como en el caso de ser n igual a 3, sino que además han de tener paridad contraria (es decir, ser uno par y el otro impar) y además, q  tiene que ser divisible por 5. Para demostrar este hecho, Dirichlet hizo un estudio sumamente cuidadoso de los números de la forma  x2 – 5 y2. Su demostración, que tomaba por modelo otros trabajos de Euler, incluido su riguroso análisis de los números de la forma  x2 + 3 y2 así como otros trabajos de Joseph-Louis Lagrange y Carl Friedrich Gauss, no dependía de ninguna forma de analogías con las factorizaciones de los enteros.

impresión de que no se conseguirían progresos substanciales en tanto no se descubriera un nuevo enfoque del problema. El propio Lamé propuso un tal método en 1847, al intentar demostrar el teorema general introduciendo las raíces n-ésimas de la unidad: una raíz n-ésima de la unidad es un número complejo α tal que αn es igual a 1, y que αk  no es igual a 1 para ningún entero positivo k   menor que n. Tal idea no era nueva. Ya en el siglo anterior Lagrange había señalado que introduciendo α en el estudio del último teorema de Fermat es posible descomponer  xn +  yn =  zn en factores, cada uno de los cuales contiene  x e  y elevados a la primera potencia. (Por

lo general, las potencias son tanto más sencillas de manejar cuanto más bajas sean.) Para obtener tal descomposición basta notar que 1, a, a2 ...an – 1 son las raíces, o soluciones, de la ecuación  X n – 1; así en virtud del teorema fundamental del álgebra, X n – 1 = ( X – 1)( X – a) ( X – a2)...( X – an – 1). Pongamos ahora  X   igual a  –x /y , y multipliquemos ambos miembros de la ecuación por  yn. Como sólo se toman en cuenta los casos en que n sea impar, la ecuación resultante será xn + yn = ( x + y)( x + α y)... ( x + αn – 1 y). Cada uno de los factores de  xn +  yn es un número de la forma a0 + a1α + a 2α2+ ... + an – 1αn – 1 donde a0, a1, ... an – 1 , son números enteros. En la

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ubieron de transcurrir unos 15 años antes de que Gabriel Lamé de mostrase el último teorema de Fermat para el caso del número primo sucesivo: 7. Su demostración fue un gran logro, pero no buen presagio, porque era larga, difícil y estaba fuertemente ligada al número 7. Había pocas esperanzas de poder aplicar tal demostración al caso siguiente, n  igual a 11, o a cualquier otro caso del teorema. Se tenía entonces la

3. EL ULTIMO TEOREMA DE FERMAT fue consignado por primera vez en el margen de la  Ari tmé tic a , obra dedicada a teoría de números cuyo autor fue Diofanto, matemático de la Grecia clásica. Fermat estudio cuidadosamente el libro, e hizo numerosas anotaciones marginales en su ejemplar de esta obra, una traducción latina debida a C. G. Bachet. Tras la muerte de Fermat, en 1665, su hijo publicó una segunda edición de la traducción de Bachet de  Aritmét ica  que incluía en un apéndice las notas marginales de Fermat. En esta llustración se muestra la portada del libro. Traduciendo del latín, anuncia Seis libros de aritmética y un libro sobre números poligonales, por Diofanto de Alejandría, “con comentarios del distinguido caballero C. G. Bachet y observaciones del Señor P. de Fermat, Senador de Tolosa” y “un nuevo descubrimiento de Doctrina Analítica, recopilada de diversas cartas del mismo señor de Fermat”. La histórica nota de Fermat se refería a un problema relativo a ternas pitagóricas. He aquí sus palabras: “Por otra parte, es imposible... que ningún número que sea potencia mayor que la segunda pueda ser suma de dos potencias semejantes. He descubierto una demostración verdaderamente maravillosa de esta proposición, que este margen es demasiado estrecho para contener.”

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actualidad los números de este tipo caso, es notable que supiera detectar para decir que restituyeron a los —números pertenecientes al sistema instantáneamente el punto más débil enteros ciclotómicos y a otros sistemas formado por enteros y potencias de del razonamiento de Lamé. Había, de números, como los de la forma además, otros puntos vulnerables. a + b√ –3, algunas de las más imporα— se les llama enteros ciclotó micos, porque las raíces n-ésimas de la uni- Tan exuberante era el entusiasmo tantes consecuencias del teorema de dad están estrechamente emparenta- de Lamé que éste pasó por alto otras factorización única, necesarias para das con el problema de división de una  varias dificultades serias. De hecho, probar el último teorema de Fermat. circunferencia en n  partes iguales. su método resultó impracticable, ni La teoría de la factorización por idea(El número complejo α  puede inter- siquiera para los valores excepciona- les fue sin duda uno de los más altos pretarse como un punto situado sobre les de n donde se verifica su hipótesis logros de la matemática decimonóuna circunferencia de radio unidad principal, a saber, n igual a 3, 5, 7, 11, nica. La terminología ha evolucionado y cuyo centro sea el origen del plano 13, 17 y 19. de forma extravagante y caprichosa, y complejo; el arco de la circunferencia Como es natural, Lamé quedó aver- los números ideales de Kummer, así comprendido entre 1 y α es 1/ n-ésimo gonzado por sus simplezas, más aún como ciertos conjuntos de números de la circunferencia completa.) Lo por ser publicadas en las Actas de la asociados a ellos, han terminado por mismo que los números a + b√ –3, los  Academia Francesa, con lo que sus llamarse “ideales”. En la actualidad, enteros ciclotómicos constituyen un errores quedaban a la vista de todo la teoría de ideales es por sí sola una sistema semejante a los enteros, pues el mundo matemático. “Si hubieras rama de las matemáticas, nuevo tesal sumar, restar o multiplicar enteros estado en París, o yo en Berlín”, le timonio de la extraordinaria imporciclotómicos resulta otro entero ciclo- escribió Lamé a su amigo Dirichlet, tancia de la obra de Kummer. Su tómico, aunque al dividirlos, por lo en Berlín, “nada de esto hubiera suce- trabajo pone de manifiesto un hecho general, no es así. dido.” En realidad, habría bastado extraño de la investigación mateque Lamé hubiese leído las Actas de mática, a saber, que es imposible l tratamiento dado por Lamé a los la Academia de Ciencias de Berlín, predecir qué líneas de investigaenteros ciclotómicos recuerda al donde pocos meses antes había apa- ción conducirán a resultados útiles. de Euler para los números a + b√ –3, recido el anuncio de una nueva e Estudiando cuestiones subidamente aunque pudiera haber sido invención importante teoría sobre la aritmética teóricas, de la matemática más pura, llegó a formular conceptos de extraorindependiente. Dada la factorización de los enteros ciclotómicos. El creador de la nueva teoría era dinario valor y versatilidad en toda la de  xn +  yn  en enteros ciclotómicos, Lamé propuso que se aplicara el Ernst Eduard Kummer. Hacía varios matemática. En particular, la teoría de Kummer “hecho” de que el producto de números años que Kummer se había dado primos entre sí (aquí, al decir números cuenta de que en problemas de teoría ha permitido avanzar en el estudio se refería a los números enteros ciclo- de números, como el último teorema del teorema de Fermat más que nintómicos) solamente puede ser una de Fermat, la propiedad fundamental gún otro trabajo anterior o posterior. n-ésima potencia si cada uno de dichos de los enteros ordinarios es la unicidad Tan sólo unos cuantos años antes, las números es una n -ésima potencia. de la descomposición en producto de demostraciones de los casos n igual a Llegado a este punto, Lamé vio abrirse factores primos, y, por tanto, intentó 5 y n  igual a 7 habían sido consideante sí un camino directo para ter- demostrar esta propiedad para los radas logros fundamentales; pero en minar de probar que la igualdad  xn enteros ciclotómicos. Lo que demostró, 1847 Kummer pudo demostrar que +  yn =  zn  es imposible. El problema en cambio, es que en general tal pro- el teorema era cierto para todos los es que una propiedad deducida de la piedad no es válida para dichos núme- exponentes primos menores que 37; y, unicidad de los enteros ordinarios no ros. (Había comunicado este descu- por tanto, el teorema estaba probado es más aplicable a los enteros ciclo- brimiento en 1844, pero apareció en para todo exponente menor que 37. tómicos que a los números a + b√ –3. una publicación casi desconocida.)  Además, estuvo cerca de probar el  Aunque en realidad esta propiedad Conforme Kummer continuaba traba- teorema para todos los exponentes sí es válida para los números de la  jando sobre los enteros ciclotómicos, menores que 100. forma a + b√ –3 (si bien la razón no es fue viendo cada vez con mayor claridad evidente), no es en general verdadera que el teorema de factorización única, unque muchos historiadores de la para enteros ciclotómicos; con mayor no válido en general para los enteros ciencia matemática hayan declaciclotómicos, tampoco se necesitaba rado que la teoría de Kummer surgió precisión, sólo es verdadera para unos cuantos valores de n, donde n  es un en toda su fuerza. Su teoría de 1847 al estudiar éste el último teorema de número primo impar y α es una raíz ponía de manifiesto que el concepto de Fermat, una lectura cuidadosa de la factorización única podía modificarse obra de Kummer y de su corresponn-ésima de la unidad. El desafortunado Lamé se vio tan de manera que en su nueva versión dencia muestra que su interés por arrastrado por su propio optimismo pudiera aplicarse a la demostración el teorema de Fermat era bastante que anunció en una sesión de la Aca- de ciertas propiedades sutiles y útiles secundario. El principal objetivo de Kummer era encontrar solución a otro demia Francesa de Ciencias haber de los enteros ciclotómicos. La base de la teoría de Kummer problema de la aritmética superior, demostrado por su método el último teorema de Fermat. Sin embargo, consistía en introducir en la aritmé- llamada también teoría de números: apenas hubo presentado un esquema tica de enteros ciclotómicos lo que el problema de las leyes de reciprocide su demostración, Joseph Liouville llamó factores primeros ideales, de dad de grado superior, propuesto por se levantó para objetar la forma en forma en algunos aspectos análoga Gauss. (El problema de las leyes de que Lamé aplicaba propiedades de los a la introducción del número i, o sea, reciprocidad de grado superior conenteros ordinarios a la aritmética de √ –1, en la aritmética de los números siste en generalizar para potencias los enteros ciclotómicos. No se sabe enteros ordinarios. No examinaré mayores que dos la famosa ley de si Liouville tenía noticia del parecido el carácter ni las propiedades de los reciprocidad cuadrática, que Gauss error cometido por Euler. En cualquier números ideales de Kummer, salvo demostró para segundas potencias.

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Enunciada bre ve me nte, la le y de carece de solución. Con terminología reciprocidad cuadrática establece que moderna, los números primos que si p y q son enteros primos e impares,  verifican tal condición se llaman reguentonces las preguntas “¿Se dife- lares. (Concretamente, un número rencia p del cuadrado de un entero en primo  p  es regular si y solamente si un múltiplo de q?” y “¿Se diferencia q no divide con solución exacta al numedel cuadrado de un entero en un múl- rador de ninguno de los primeros p – 3 tiplo de p?” guardan entre sí relación números de la serie de fracciones hoy sencilla.) En 1847, los trabajos de denominadas números de Bernoulli.) Kummer sobre leyes de reciprocidad Si bien la condición de regularidad estaban todavía en sus primeras es suficiente para los exponentes del etapas; pero hacia 1859 consiguió un último teorema de Fermat, no es congran éxito, al demostrar un teorema dición necesaria. Hay otros números general que fue culminación de su primos p que no son regulares y para obra de teoría de números. El punto los cuales se ha demostrado ser impode vista tradicional, según el cual el sible que x p + y p = z p. Todos los númeinterés de Kummer se centraba en el ros primos menores que 100, excepto último teorema de Fermat, no anda, 37, 59 y 67, son regulares. sin embargo, completamente errado, ya que el teorema de Fermat está emparentado de cerca con las leyes de reciprocidad. El propio Gauss, aunque negó siempre estar intrínsecamente interesado en el último teorema de Fermat, manifestó la esperanza de que apoyándose en sus resultados sobre leyes de reciprocidad de grado superior pudiera algún día deducir fácilmente el teorema.

Kummer se precipitó al suponer que el conjunto de números primos regulares es infinito, pero pronto se dio cuenta de que no podía demostrar que así ocurre. De hecho, todos los esfuerzos posteriores para conseguir demostrarlo han fracasado, a pesar de que tanto la intuición como la evidencia experimental están a fav or de la proposición de que existan infinitos números primos regulares. (Bastante extrañamente, se ha demostrado que hay infinitos números primos irregulares. Alrededor del 60 por ciento de los números primos alcanzables mediante las actuales técnicas de cálculo son regulares, y hay buenos moti vos para creer que la mayoría de

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a teoría de Kummer, de 1847, era particularmente valiosa porque proporcio naba una condición suficiente para que un número primo impar fuese un exponente de validez del teorema de Fermat. Dicho de otra forma, si un número primo impar  p  cumple la condición de Kummer, entonces la ecuación  x p +  y p =  z p

4. ERNST EDUARD KUMMER realizó los máximos progresos que se hayan conseguido nunca respecto al teorema de Fermat. En 1847, este especialista alemán de teoría de números, traba jando sobre un sist ema de números llamados enteros ciclotómicos, descubrió una condición suficiente para que un entero primo p sea exponente de validez del teorema de Fermat, es decir, que si el número primo p verifica la condición de Kummer, entonces es imposible que  xp +  y p =  z p. Los números primos que satisfacen esta condición se llaman actualmente primos regulares. Cuando se descubrieron los primos regulares, el teorema de Fermat solamente estaba demostrado para los casos de n igual a 3, 4, 5 y 7; Kummer pudo demostrarlo para todos los números primos menores que 100, excepto tres (37, 59 y 67). Más recientemente se han descubierto otras condiciones suficientes mucho más generales que la de Kummer. Todos los números primos comprendidos en el margen de trabajo de las actuales técnicas de cálculo, incluso sobre los más grandes computadores, han resultado ser exponentes de validez del último teorema de Fermat.

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los números primos son regulares. Así Los cálculos anteriores muestran pues, los números primos pueden divi- que si hay un contraejemplo al teodirse en dos subconjuntos, los primos rema de Fermat, es decir, si exisregulares y los primos irregulares, tiesen enteros  x,  y,  z y  p  tales que de los cuales, el que se supone sea el  x p +  y p =  z p, dichos números serían mayor de ambos conjuntos no se sabe tan enormes que sobrepasarían con demostrar que es infinito, mientras mucho no solamente la capacidad que sí se ha probado que su comple- de cálculo manual, sino también la mentario es infinito.) de los mayores sistemas de proceso En años posteriores Kummer de datos que puedan concebirse en ob tuvo nuevas condiciones sufi- un futuro remoto. Si  p es un número cientes para el último teorema de primo situado más allá del límite de Fermat, que comprendían todavía Wagstaff, pongamos por caso, del más números primos, entre ellos, los orden de 300.000, entonces puede primos 37, 59 y 67, que son irregu- demostrarse que es imposible la lares. Desde los tiempos de Kummer ecuación  x p +  y p =  z p a menos que  x, hasta hoy se han encontrado con-  y, o z sea divisible por  p. Así pues,  z p diciones suficientes todavía menos debe ser mayor que 300.000300.000, restrictivas, siendo la descubierta número que consta, cuando menos, por el profesor H. S. Vandiver, de de un millón de dígitos. Otros resulla Universidad de Texas, una de tados muestran que un contraejemlas más generales. Sin embargo, ni plo requeriría números todavía más aun con las más amplias de tales descabelladamente grandes. condiciones ha podido demostrarse la validez del teorema para un consí que, en cierto sentido, el teo jun to inf ini to de núm ero s pri mos . rema de Fermat es empíri Así pu es, por improbable que pueda camente cierto. Si la ecuación  x n parecernos, resultaba todavía con- +  yn =  zn  tiene alguna solución, los cebible que el teorema de Fermat números que comporta son tan inconsólo fuese verdadero para un con- cebiblemente grandes que los seres  junt o finito de núme ros primos, y, humanos nunca podrán manejarlos. por consiguiente, que existiese un No obstante, desde el punto de vista número suficientemente grande  M  matemático y filosófico, el tamaño tal que el teorema fuese falso para de los números en nada afecta a la todos los números primos mayores  validez o falsedad del último teorema que M . de Fermat. Cuando un matemático afirma que un resultado es válido or otra parte, las condiciones su- para todos los números no se está ficientes actuales son ahora tan refiriendo a que el enunciado sea vergenerales que incluyen a todos los dadero para los números que hayan números primos que han podido ensa- podido encontrarse hasta entonces, yarse. Dicho de otra forma, todos los o que puedan encontrarse algún números primos alcanzables mediante día. Por el contrario, puesto que ni las actuales técnicas de cómputo han siquiera se había podido demostrar resultado ser exponentes de validez que el teorema de Fermat fuese verdel teorema de Fermat. Los algo- dadero para una colección infinita ritmos precisos para verificar si un de expo nentes primos, se podría número primo cumple estas condi- decir que todo el trabajo hasta ahora ciones son muy sencillos, y a lo largo realizado sobre el teorema no había de los últimos años se han realizado servido más que para comprobarlo comprobaciones sistemáticas en gran- en unos cuantos miles de casos pardes y modernos ordenadores, entre ticulares, y que no existía ningún las que destacan la efectuadas por indicio seguro de qu e el teore ma D. H. Lehmer, de la Universidad de fuese verdadero. California en Berkeley, R. G. Sel Aun siendo, sin duda alguna, uno fridge, de la Universidad de Florida, de los más famosos problemas de Wells Johnson, del Bowdoin College, la matemática contemporánea, el y Samuel S. Wagstaff, de la Univer- teorema de Fermat estuvo durante sidad de Illinois. A principios de 1970, un tiempo bastante al margen de los los cálculos de Johnson establecían intereses y de los esfuerzos prioritaque el teorema de Fermat es verda- rios de los matemáticos profesionales, dero para todos los exponentes primos principalmente, porque no se sabía menores que 30.000. Wagstaff, traba- por dónde atacarlo. Su enorme resis jando con técnicas muy refinadas en tencia a los persistentes y poderosos un gran ordenador de la Universidad ataques de que había sido objeto en de Illinois, lle vó el limite hasta más el pasado indicaba que la realización allá de 125.000. de cualquier progreso significativo

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dependía de que surgieran enfoques o conceptos radicalmente nuevos. Es, en cambio, desde hace mucho tiempo, uno de los temas favoritos de los matemáticos aficionados, juntamente con los problemas de la cuadratura del círculo y la trisección de un ángulo con regla y compás. La diferencia entre el teorema de Fermat y estos otros problemas era que los últimos se sabía ya que eran imposibles, por lo que toda presunta solución podía ser rechazada de antemano. No había, sin embargo, tal certeza en el teorema de Fermat. Por el contrario, existía una remota posibilidad de que Fermat descubriera una demostración elemental del teorema. Ello no obstante, raramente consiguen los aficionados demostrar el caso n igual a 3, como hizo Euler hace dos siglos, y mucho menos, los casos también conocidos de n igual a 5, 7 u 11, que son mucho más difíciles.

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uede que la pertinacia de los matemáticos aficionados —muchos de ellos con vencidos de que los resultados “están ahí”, esperando que alguien se dé cuenta— guarde relación con la general ignorancia sobre la naturaleza del trabajo matemático. En este artículo he pretendido poner de manifiesto que las matemáticas ni están agotadas ni son meras rutinas; que, por el contrario, los matemáticos suelen ir a la deriva en un océano de preguntas cuyas respuestas desconocen. De hecho, al investigar en matemáticas, el razonamiento da tan tortuosos giros que el in vestigador suele terminar hallando respuesta a cuestiones muy diferentes de aquellas que se propuso elucidar. Además, como bien muestra la historia del teorema de Fermat, hasta los más grandes matemáticos cometen errores.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA HISTORY OF THE THEORY OF NUMBERS. E. Dickson. Carnegie Institution o f Washington, 1919. THE FERMAT AND HESSIAN POINTS OF A TRIANGLE. H. E. Fettis en The American  Mathemat ical Monthly, vol. 53, n.o 2, págs. 74-78; febrero, 1946. A SUPPLEMENTARY NOTE TO A 1946 ARTICLE ON FERMAT’S LAST  THEOREM . H. S. Vandiver en The American Mathematical Monthly, vol. 60, n.o 3, págs. 164-166; marzo, 1953. MODULAR ELLIPTIC CURVES AND FERMAT’S L AST THEOREM. Andrew J. Wiles en  Annals of Mathematics, Vol. 141, n.o 3, págs. 443-551, mayo 1995.

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El teorema de Fermat, demostrado Un logro de 350 años de investigaciones matemáticas

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l comienzo del fin de tan larga historia se produjo del 21 al 23 de junio de 1993, cuando se congregaron en el Instituto Isaac Newton de Cambridge los más prestigiosos expertos mundiales en geometría aritmética. La geometría aritmética es una rama moderna de las matemáticas; en ella se establecen relaciones entre los números enteros y objetos geométricos como curvas, superficies, etc. En el transcurso de un seminario de estudios superiores, y ante un público formado por unos cincuenta especialistas, el matemático británico Andrew Wiles, profesor de la universidad de Princeton, presentó sus últimos resultados. En la comunidad matemática Wiles tiene fama por su discreción y la potencia de sus trabajos. Sus publicaciones no son muy numerosas, pero en ellas se han demostrado conjeturas importantes. Que anunciase tres conferencias seguidas era un buen augurio. El primer día expuso unas conjeturas de los años 50, y, lentamente, fue sentando las bases del contexto en que se mueven sus resultados. Al final de la sesión, sus colegas empezaron a preguntarse si no habría demostrado la conjetura de Taniyama, estrechamente asociada al teorema de Fermat, y, con ella, éste. Sin embargo, la discreción de Wiles conllevó que el público respetara su laconismo. La conjetura del matemático japonés Yutaka Taniyama fue enunciada en 1955 y precisada, en 1967, por el francés André Weil. El segundo día, Wiles expuso una serie de resultados sobre curvas elípticas, y demostró que la conjetura de Taniyama es cierta en determinados casos particulares. Su exposición concluyó con una frase lapidaria, acompañada de una sonrisa británica, extraña en él, lo que decía mucho. Así las cosas, el tercer día se triplicó la audiencia; las cámaras fotográficas empezaron a funcionar y, a lo largo de la sesión, Wiles mostró su resolución de otra parte de la conjetura de Taniyama, esta vez relativa al comportamiento de las curvas elípticas semiestables. En el transcurso de estas exposiciones, hizo un despliegue increíble de recursos, que culminan una serie de largas investigaciones. El seminario concluyó una vez que Wiles abandonó la tiza tras haber escrito en la pizarra que u p + v p + w p = 0 implica uvw = 0. Con un fino sentido del humor, alguien del público preguntó para qué valores de  p valía su afirmación; Wiles escribió, sin decir palabra, que para  p > 1. Esta es una de las formas en las que puede presentarse la conjetura de Fermat llamada, abusivamente hasta aquel momento, teorema de Fermat. El auditorio estalló en aplausos, y por medio del correo electrónico se mandaron mensajes al mundo entero, del tenor de éste: “Supongo que ya estaréis enterados de que Wiles ha anunciado que ha demostrado la conjetura de Taniyama para las curvas elípticas semiestables. Este caso particular de la conjetura, gracias a un teorema que demostré hace unos años, implica el Ultimo Teorema de Fermat. En aquella ocasión, probé que la curva elíptica de Frey, construida a partir de una hipotética solución de la ecuación de Fermat, no puede ser modular; es GRANDES MATEMÁTICOS

decir, no puede satisfacer la conjetura de Taniyama; por contra, como fácilmente se ve, es semiestable” (Kenneth Ribet, de la Universidad de Berkeley). O de este otro: “Sí, Andrew anunció una demostración del Ultimo Teorema de Fermat, y parece que los colegas la admiten. Hoy por hoy, el manuscrito ha circulado muy poco. Hay personas que están verificando que no haya ningún error; las eventuales correcciones pueden ser mínimas. Pienso que se espera dar una versión definitiva a finales de verano. Creo que Katz ha leído la demostración a fondo y otros tienen el manuscrito desde hace algunas semanas. Estuve presente cuando hizo su anuncio; mantuvo la audiencia en vilo hasta el último momento” (R. L. Taylor, alumno directo de Wiles). El entusiasmo mundial era comprensible. La conjetura de Fermat se considera una de las tres principales conjeturas de las matemáticas, juntamente con las de Poincaré y de Riemann. Su dilatada andadura comienza con el magistrado de Toulouse Pierre de Fermat (1601-1655), uno de los gigantes de las matemáticas. Un siglo antes de que Gottfried Wilhelm von Leibniz e Isaac Newton sentaran las bases del cálculo diferencial, dio con las ideas principales del cálculo diferencial y obtuvo muchos resultados notables de la teoría de números.

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l enunciado de la conjetura de Fermat se presenta generalmente como sigue: la ecuación  xn +  yn =  zn, en donde  x,  y,  z  son números enteros no nulos y n  es un entero mayor o igual que 3, carece de soluciones. Los griegos sabían que dicha ecuación posee soluciones (de hecho infinitas) cuando el exponente n es igual a 2; por ejemplo, 32 + 4 2 = 5 2. Fermat se preguntó si también las tenía cuando n es igual a 3, 4, etc., y acabó por convencerse de que ése no era el caso. En el margen de su ejemplar de la  Aritmética  de Diofanto dejó escrita la frase que ha motivado tres siglos y medio de investigaciones: “Por otra parte, un cubo no es nunca la suma de dos cubos, una potencia cuarta no es nunca la suma de dos potencias cuartas y, más generalmente, ninguna potencia superior a dos es suma de dos potencias análogas. De esta proposición he encontrado una demostración maravillosa, que no cabe en la estrechez de este margen.” Los numerosos intentos fallidos de la comunidad matemática por reencontrar tal demostración han llevado a pensar que Fermat, como tantos aficionados y algunos profesionales, debió de cometer un error. Las Academias de Ciencias siguen recibiendo año tras año múltiples demostraciones erróneas del teorema de Fermat; algún matemático conocido ha anunciado así mismo demostraciones que no han resistido el análisis de sus colegas (como ejemplo, véase lo que se dice al respecto en el artículo sobre Cauchy de este mismo volumen de Temas). Sin embargo, la vía de investigación que conduce a este teorema ha ido progresando desde principios de siglo. La versión geométrica del problema consiste en detectar los puntos de coordenadas enteras por los que pasa la curva cuya ecuación es la de Fermat. En 1923, el profesor de Cambridge Leo Mordell formuló una conjetura que implicaba que la ecuación de Fermat de exponente n mayor o igual que 3 posee a lo sumo un número finito de soluciones enteras sin divisores comunes. 35

n inferiores

Andrew Wiles en el seminario de 1993.

En 1983, el matemático alemán Gerd Faltings probó la conjetura de Mordell. Así, cuando el género de una curva es superior a uno (es decir, cuando la ecuación de la curva se corresponde con la superficie de una esfera dotada de al menos dos asas), la curva posee únicamente un número finito de soluciones enteras sin divisores comunes. Según Pilar Bayer, profesora de la Universidad de Barcelona, el factor decisivo que ha permitido llegar hoy a la solución del problema se encuentra en una idea de Gerhard Frey, director del Instituto de Matemática Experimental de Essen. Dicha idea, aparecida en 1986, consiste en asociar a cada hipotética solución  x, y, z de la ecuación de Fermat una curva elíptica de la forma Y 2 = X ( X – xn)( X + yn). Ribet demostró en 1990 que estas curvas no pueden ser parametrizadas por funciones de las llamadas modulares. Por el contrario, la conjetura de Taniyama predice que todas las curvas elípticas son modulares. Así, por reducción al absurdo, si la conjetura de Taniyama es cierta, la ecuación de Fermat no puede tener solución.

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ste rebrote de actividad sobre el problema recalcó su dificultad, pero volvió a convertirlo en tema adecuado de investigación matemática profesional y dio ímpetu a Wiles para emprender un ataque paciente y sistemático contra él. Wiles no ha probado la conjetura de Taniyama en toda su generalidad, pero sus resultados son suficientes para abarcar la clase de curvas consideradas por Frey. Puede por tanto concluirse que la ecuación de Fermat carece de soluciones para los exponentes n superiores a 2. En una sesión extraordinaria de la Academia de Ciencias de París, el 28 de junio de 1993, Jean-Pierre Serre recalcó que, tras el hallazgo de Wiles, el flujo de demostraciones falsas del teorema de Fermat que le son remitidas por la Academia para su examen no cesará, ya que quienes se crean precursores de Wiles no dejarán de reclamar su prioridad. En el transcurso de la misma sesión de la Academia, inusual por el gran número de jóvenes matemáticos presentes en el auditorio, Gustave Choquet recordaba la promesa que en 1854 la Academia hizo de otorgar una medalla de oro y 300.000 francos de oro a quien lograra demostrar el teorema de Fermat. Ernst Kummer, el artífice de los números algebraicos y creador de la teoría de ideales, probó, mediante sus notables métodos, que la conjetura de Fermat era cierta para los valores primos de 36

a 100 salvo, quizá, para 37, 59 y 67, y por ello recibió la medalla en 1858. Se comentaba que, si las verificaciones minuciosas del trabajo de Wiles confirmaban sus resultados, la Academia de Ciencias de París debería remitirle los 300.000 francos de oro. Que se preparase el tesorero, pues los matemáticos confiaban en que se confirmarían. Serge Lang, especialista en el tema, creía que la demostración de Wiles era correcta, y Enrico Bombieri, medalla Fields en 1974 y presente en el seminario del Instituto Isaac Newton, declaró que la prueba era muy sólida. De momento tenía varios centenares de páginas; ¡el margen del libro de Fermat, en efecto, habría sido insuficiente! Sotto voce se comentaba que la más alta distinción en matemáticas, la medalla Fields, tradicionalmente concedida a matemáticos de menos de cuarenta años, podría ser concedida a Wiles. Hace tres años la recibió M. Mori, que tenía ya más de cuarenta años, y Wiles sobrepasaba esta edad fatídica sólo en unos pocos meses...

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egún Stephen Smale, otro de los laureados con la medalla Fields, la importancia de las conjeturas es discutible. Cuando se trata de puntos aislados en las matemáticas, no suelen ser abordadas con éxito, y éste era, según él, el caso del teorema de Fermat hace diez años. Con posterioridad, notables avances han permitido conectar este teorema con dominios ya explorados. Esta integración armónica en un corpus matemático es la que ha transformado en realidad una quimera. Podríamos mitificar ahora el asunto diciendo que no era propio de desafío tan acreditado como el que nos ocupa dejarse eliminar “tan fácilmente”. La realidad es más prosaica, pero de parecidas consecuencias prácticas. Al poco de su anuncio, Wiles presentó un manuscrito de 200 páginas a Inventiones Mathematicae y el editor de esta revista, Barry Mazur, de la Universidad de Harvard, se lo envió a seis recensores, quienes detectaron diversas pegas. Wiles subsanó inmediatamente casi todos los problemas, de poca monta, que le plantearon, pero uno de ellos resultó ser menos tratable. En diciembre de 1993 Wiles tuvo que reconocer que estaba traba jando en un “cálculo” que no estaba “aún completo”, si bien manifestaba su confianza en “terminarlo en un futuro cercano”. Esto reavivó el escepticismo de muchos sobre la realidad de la prueba y les hizo pensar en un retorno victorioso del espectro de Fermat, aunque los pocos especialistas que tuvieron acceso al manuscrito apostaban por la victoria final de nuestro hombre. Por lo que a éste se refiere, se retiró de la circulación para preparar a fondo su segundo asalto, que no tenía fecha fijada, pero cuya celebración se fue demorando más de lo esperado, ante la impaciencia de los aficionados. Esta circunstancia y la falta de noticias respecto a su quehacer aumentaron la emoción del asunto todo, aunque, conforme iba pasando el tiempo, la natural tendencia al olvido actuaba también en sentido contrario. Por fin, en junio de 1995, algo menos de dos años después del anuncio inicial, y tras siete meses de exhaustiva comprobación de un manuscrito revisado, la comunidad matemática dio su beneplácito oficial a la validez de la prueba, que ocupa por sí sola un número entero de la revista Annals of Mathematics. Se incluyen en ella dos trabajos, uno que es básicamente el inicial de 1993 y otro, elaborado por Wiles junto con su antiguo discípulo TEMAS 1

Richard Taylor, dedicado a resolver, o por lo menos a obviar, la famosa dificultad detectada por los especialistas hacia el final de la demostración originaria. Ahora todo el mundo reconoce que, aparte del hito llamémosle deportivo, lo verdaderamente importante del trabajo de Wiles es la utilización de métodos matemáticos nuevos y poco conocidos, que hacen más difícil su comprensión y evaluación, pero que también han abierto nuevos caminos al quehacer matemático.

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as explicaciones dadas por Wiles sobre sus experiencias durante el proceso no dejan de sorprender por su concordancia con las reflejadas por Poincaré en el texto que abre este volumen. Wiles empezó a ocuparse del problema de Fermat en su juventud, partiendo de la suposición de que Fermat decía la verdad al manifestar que había conseguido una prueba. La actividad que se produjo en el mundillo matemático en 1986 le proporcionó “una maravillosa excusa” para retornar a él. A pesar de todo no sabía por dónde empezar. Era, según cuenta, como “entrar en una casa a oscuras. Se penetra a tientas en una habitación y, durante meses y hasta años, está uno dándose trompicones con los muebles. Poco a poco se va sabiendo dónde están y puede uno ocuparse de buscar el interruptor de la luz. Cuando se le encuentra y se da la luz, todo resulta claro. Entonces se pasa a la habitación siguiente y se vuelve a empezar”. Este peregrinar por los recovecos del teorema de Fermat le llevó a él siete años. La sensación de que iba progresando, aun sin haber encontrado todavía el interruptor principal, le iba dando ánimos para seguir. Un paso decisivo, logrado en 1991, le convenció de que “la prueba estaba a la vuelta de la esquina”. Y lo estaba, aunque, a su vez, “la esquina estaba un tanto más lejos de lo que yo creía”, confiesa con humor refiriéndose a las angustias finales. La dificultad estribaba en la utilización de un complejo y novedoso utensilio matemático, llamado sistema de Euler, al que Wiles había recurrido para solventar un punto muerto de su enfoque anterior. Tras una larga e infructuosa pelea con el sistema de Euler, “le eché un último vistazo e intenté formular con precisión en qué fallaba”, recordaba Wiles en mayo de 1995. “Y de pronto, el 19 de septiembre del año pasado, tuve una revelación maravillosa”, viendo, “como en un relámpago”, la clave del asunto. “Se habían acabado mis problemas. Esto me dejó tan sorprendido que durante varias horas me olvidé de ello y me dediqué a cierto papeleo administrativo, volviendo luego al tema para comprobar si todavía seguía allí. Era tan sencillo y tan elegante que, de entrada, parecía demasiado bonito para ser cierto.” La verdad era que “era demasiado bonito para ser falso”, permitiéndole a Wiles no sólo completar la demostraGRANDES MATEMÁTICOS

ción, sino simplificar buena parte del material elaborado con anterioridad. Uno de los aspectos interesantes del artículo “Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem”, la publicación en que Wiles expone sus resultados es que, al final de su Introducción, se incluye una detenida historia intelectual y personal del periplo seguido por el autor hacia su descubrimiento, que no dejará de proporcionar tema de trabajo a futuros matemáticos, historiadores de la ciencia y estudiosos de los procesos mentales y cognoscitivos. Wiles es de la opinión de que a Fermat le sorprendería conocer todo el tra jín producido por su nota marginal, al tiempo que le encantaría saber todo lo que ha contribuido a la historia de la matemática. Queda ahora a los matemáticos la tarea de encontrar un reemplazo. 37

Gaspard Monge Bruno Belhoste Gaspard Monge, a fines del siglo XVIII, racionalizó el arte de la delineación para convertirlo en geometría descriptiva.  Renovador de los métodos geométricos en matemáticas, es uno de las fundadores de la geometría diferencial

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on ocasión del bicentenario de la Revolución francesa, Francia rindió homenaje al matemático Gaspard Monge, “panteonizado” en compañía de Condorcet y de Grégoire. A buen seguro, por medio de Monge se quiso honrar la acción ej emplar de la comunidad científica durante la Revolución, y hacer olvidar la trágica suerte reservada a Lavoisier, el más eminente de sus representantes. Desde este punto de vista, Monge es

doblemente merecedor de reconocimiento oficial: para empezar, por su actuación en el año II, en el Comité de Salvación Pública, cuando fue uno de los principales organizadores de la movilización material y científica para salvar la República; en segundo lugar, por su papel esencial, tras Termidor, en la creación de la institución de enseñanza más prestigiosa que la Revolución legó a Francia, la Escuela Politécnica.

1. RETRATO DE MONGE, dibujado en 1803 por Atthalin, un alumno de la Politécnica, en su cuaderno de análisis. Su aspecto no era muy seductor, pero, según el matemático Charles Dupin, también alumno suyo, en cuanto hablaba “sus ojos adquirían un nuevo brillo, sus rasgos se animaban, su rostro, grande y chato como la faz del león, se inspiraba, y parecía ver ante sí los objetos creados por la imaginación del geómetra.”

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Monge no es solamente un administrador de la ciencia sino, con Laplace y Lagrange, uno de los mejores matemáticos de su tiempo. Funda la geometría descriptiva, crea los elementos de geometría analítica y enuncia, al BRUNO BELHOSTE  es historiador de las ciencias y de la educación, e in vestigador en el Servicio de Historia de la Educación del INRD.

2. EL FOLLETO  Developpemente sur l’Enseignement se publicó de forma anónima en septiembre de 1794 por orden del Comité de Salvación Pública, pero sabemos por Hachette que fue Monge su autor. Se le considera el texto fundador de la Escuela Politécnica y en él se define con todo detalle la organización didáctica, pedagógica y material de la enseñanza. Fijémonos en la palabra fetiche de Monge “Développements” (desarrollos).

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tiempo que Euler y Meusnier, los primeros teoremas de geometría diferencial. Por importantes que puedan ser, los resultados obtenidos cuentan, sin embargo, menos que la forma de o btenerlos. Toda la genialidad de Monge reside en su estilo: un agudo sentido de lo concreto aliado a una gran capacidad de abstracción; potencia de evocación geométrica; un don pedagógico nada corriente. Su obra y su enseñanza inspiraron a una generación de jóvenes matemáticos; su nombre permanece ligado a la renovación de los métodos geométricos en matemáticas, métodos que conocieron un inmenso desarrollo en el siglo  XIX .

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aspard Monge nació el 9 de mayo de 1746 en Beaune, donde su padre tenía una mercería. Realizó excelentes estudios con los oratorianos de Beaune y, más tarde, de Lyon. “Estaba dotado —rememoraría luego, evocando su juventud— de una inconcebible tenacidad de espíritu, y mis manos ejecutaban con facilidad asombrosa todo lo que concebía.” En 1764, el segundo comandante de la escuela del cuerpo de ingenieros militares de Mézières, que se hallaba de paso en Beaune, se fijó en un plano de la villa que Monge había delineado con un amigo durante el verano; le encontró mérito e invitó a su autor a ir a Mézières. Para reclutar a sus alumnos, la escuela de ingenieros realizaba un concurso entre los jóvenes de buena familia, nobles, por lo general. El origen del joven Monge —que contaba a la sazón 18 años— era demasiado modesto para ser admitido en ella como alumno. Se le empleó, pues, de dibujante en el taller de la escuela, la “gâchette”, completando así por la práctica una sólida formación clásica. Descubre entonces con entusiasmo la secreta belleza de la virtuosidad técnica, pero experimenta con no menos dolor la altivez de los jóvenes cadetesingenieros y su desprecio por los oficios manuales. Esta doble experiencia será decisiva para su porvenir como científico y como político. Monge, en el taller, da clases de matemáticas prácticas a los niños de los alrededores de Mézières, que se preparan para empleos subalternos en el servicio de fortificaciones. Al mismo tiempo, utiliza la biblioteca de la escuela para iniciarse en las matemáticas superiores. Sus jefes pudieron darse cuenta pronto de sus aptitudes.  Al poco de su llegada a la escuela, descubrió un método gráfico, rápido y elegante, para resolver un problema clásico del arte de las fortificaciones,

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el problema de la desenfilada, que Monge, que al igual que muchos otros señaló el punto de partida de su carrera científicos desea reformas de orden científica. A partir de 1766 da cursos social y político, acoge con entusiasmo a los alumnos de ingeniería, de ayu- los acontecimientos revolucionarios. dante (“répétiteur”) primero y de pro-  Arrastrado por su amigo Pache, adopta fesor al poco. Durante casi 20 años posiciones cada vez más radicales. Al Monge es el alma de Mézières, donde día siguiente de la caída del rey, el 10 enseña no sólo matemáticas, sino tam- de agosto de 1792, la Asamblea legislativa le elige ministro de Marina, a bién física y topografía. propuesta de Condorcet. Por su l propio tiempo, Monge presenta experiencia de examinador y su conoa la Academia de Ciencias inves- cimiento de los expedientes, Monge tigaciones matemáticas difíciles, con- parece ser el hombre de la situación. sagradas esencialmente a la geome- En realidad, como más tarde Laplace, tría diferencial. Es elegido corres - es un experto carente de las facultades pondiente en 1772 y geómetra aso- de hombre de Estado. Durante sus ciado en 1780. En 1783 consigue, ocho meses de permanencia en el merced a su amigo Pache, secretario ministerio, en una coyuntura política del nuevo ministro de Marina, la envi- que es en verdad muy difícil, Monge va diada plaza de “examinador de guar- a conocer más desengaños que éxitos. dias del pabellón, de guardias de la Muy a su pesar, se ve complicado en marina y aspirantes” debiendo renun- las luchas políticas entre girondinos y ciar, al año siguiente, a su labor montañeses, siguiendo la misma evodocente en Mézières. En París, Monge, lución política que su amigo Pache. que apenas si hace matemáticas, par- Bastante próximo a los girondinos al ticipa en los trabajos de los químicos principio, no tardará en aproximarse reunidos en torno a Lavoisier. Se une a los montañeses. Criticado severaa la nueva doctrina química y contri- mente en la Convención por su gestión, buye a su desarrollo y a su difusión. dimitirá el 8 de abril de 1793.

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3. EN GEOMETRIA DESCRIPTIVA, el objeto del espacio se proyecta sobre dos planos ortogonales  F  y  H , vertical y horizontal, y a continuación se abate el plano vertical,  F , sobre el horizontal,  H , haciéndolo girar un cuarto de vuelta alrededor de la línea de tierra XY . Las dos proyecciones forman la representación del objeto. La recta AB está representada por dos rectas, ab y a’b’ . El plano P está representado por sus trazas αa y αb, que cortan a la línea de tierra en un mismo punto, α.

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De vuelta a la vida privada, da algunas lecciones de matemáticas y reaparece en la Academia de Ciencias, que está viviendo sus últimos días. Cuando la Convención decreta la movilización general, durante el verano de 1793, participa inmediatamente en el esfuerzo bélico. Durante un año, con responsabilidades crecientes, será uno de los principales organizadores de la movilización material y de la política de armamento. Crea, con Hassenfratz, la fábrica de armas de París. A partir del mes de diciembre de 1793 trabaja en las oficinas del Comité de Salvación Pública, a las que han sido llamados dos oficiales del cuerpo de ingenieros militares, Lazare Carnot, que fue alumno suyo en Mézières, y Claude Prieur. Redacta allí numerosas disposiciones de carácter técnico, interesándose muy en especial por la fabricación de cañones. En marzo de 1794 es uno de los instructores de la Escuela de  Armas, creada para difundir rápidamente los métodos revolucionarios de refino del salitre y de la fabricación de pólvora y de armas. Supervisa, por último, la construcción en Grenelle de una gran fábrica de pólvora, que hizo

explosión el 31 de agosto de 1794, causando más de mil víctimas. Este desastre señala el final de su participación en el esfuerzo bélico.

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n esta época, Monge está acaparado ya por la creación de la Escuela Central de Trabajos Públicos, la futura Escuela Politécnica. Merced a la protección del Comité de Salvación Pública, logra imponer sus ideas en materia de educación científica y técnica: la nueva escuela será enciclopédica y sus profesores serán los mejores sabios e ingenieros del momento. En el programa, dos disciplinas se llevan la parte del león: la geometría descriptiva, invención de Monge, y la nueva química de Lavoisier. El material pedagógico y el personal técnico serán considerables. Monge prevé que los alumnos, además de recibir lecciones magistrales, efectúen trabajos dirigidos y realicen experiencias de laboratorio. Su proyecto, concebido antes de Termidor, es llevado a la práctica a finales del año 1794. Monge participa entonces en la vida del establecimiento. Al mismo tiempo, imparte durante tres meses un curso de geome-

tría descriptiva en la nueva Escuela Normal, abierta en el Museo. Inquieto tras los acontecimientos de Prairial, Monge se oculta algunos meses, reanudando después sus enseñanzas en la Escuela Politécnica. Pero, temeroso siempre de la reacción política, aprovecha la ocasión que le brinda una misión en Italia para alejarse algún tiempo de la capital. Es entonces cuando conoce a Bonaparte, al que otorgará una amistad indefectible. Tras una breve estancia en París, retorna a Italia, donde se une a la expedición que parte hacia Egipto, en mayo de 1798. Monge, en El Cairo, organiza el Instituto de Egipto. Es entonces uno de los confidentes de Bonaparte, a quien acompaña en su peligroso viaje de regreso. Tras Brumario, Monge es nombrado senador. Napoleón le colma de honores y le nombra conde de Péluse en 1808. Continúa, no obstante, enseñando análisis en la Escuela Poli técnica hasta 1809. En 1815, Monge cuenta 69 años. Disminuido ya física e intelectualmente, asiste con desesperación a la caída del Emperador. La segunda Restauración le expulsa sin contemplaciones del Instituto y cierra durante un tiempo la Escuela Politécnica. Monge no puede soportar la prueba. Sombra de sí mismo, amurallado en el silencio, fallece el 28 de julio de 1818, sin haber recuperado el ánimo.

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4. DESENFILAR UNA FORTIFICACION consiste en elevar su recinto de forma que su interior quede protegido de tiros directos del enemigo. Si la fortificación se construye sobre terreno llano, la desenfilada no presenta dificul tad, pero en terreno accidentado el problema es más delicado. El método de Monge para desenfilar un punto  A consiste en construir el plano de sitio, esto es, un plano tangente al cono cuyo vértice se encuentra en  A  y que se apoya sobre el contorno aparente  H   del terreno, visto desde tal punto. Monge determina gráficamente sobre el mapa la traza T  del cono sobre un plano horizontal π y dibuja la recta D tangente a T , la más próxima del punto A a desenfilar. Esta tangente en  B y el punto  A determinan el plano de sitio. Basta entonces construir el muro de la fortificación sobre el plano de sitio, como en terreno llano.

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on relación a sus grandes contemporáneos, Euler, Lagrange o Laplace, Monge desarrolla una concepción de las matemáticas completamente original. Dos rasgos característicos de su actividad científica merecen destacarse aquí. En primer lugar, Monge jamás separa por completo la creación matemática de la invención técnica. En la escuela de Mézières sus comienzos son de “artista”: dibuja, corta piedras y maderas y prepara en el taller modelos de escayola; su habilidad es notable. Conservará toda su vida este sentido de lo concreto, que le liga al mundo del buril y del taller del que proviene. Su obra se dirige inicialmente a los “artistas”, a los ingenieros y, en sentido más amplio, a los que él denomina, en sus lecciones de la Escuela Normal, “los hombres de genio”, entiéndase, a los que conciben, por contraposición a quienes meramente ejecutan. Su geometría descriptiva, por ejemplo, es en primer lugar un procedimiento de dibujo técnico, que sistematiza los métodos de talla de la piedra. Incluso sus trabajos de geometría diferencial, de carácter mucho más

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teórico, beben y se inspiran en las “artes”: forma y aparejo de las bóvedas, dibujo de las sombras, etc. A e ste respecto, el mejor ejemplo es probablemente su célebre memoria sobre desmontes y terraplenados, presentada a la Academia en 1776 y publicada en 1784. La fortificación exige enormes exca vaciones, y de aquí el importante lugar concedido al movimiento de tierras en las enseñanzas de Mézières. El problema de los desmontes y terraplenados consiste, en particular, en determinar por qué caminos se pueden transportar con trabajo mínimo las partes de una masa de tierra (desmonte) para depositarlas en otro lugar (terraplenado). El trabajo total invertido es la suma de todos los trabajos moleculares, proporcionales cada uno al producto del peso de una molécula de tierra por el espacio recorrido por ella. Monge trata sucesivamente el problema en el plano y en el espacio. A decir verdad, los resultados obtenidos no tienen mucha aplicación práctica; el problema en el espacio es un puro ejercicio escolástico, pero le da a Monge ocasión para exponer teorías de gran importancia, sobre las que vol veremos más adelante: congruencias de rectas, líneas de curvatura, podarias desarrollables y superficies focales.  Aparte de sus trabajos matemáticos, Monge tuvo gran interés por la técnica. Su matrimonio le convirtió, en 1777, en maestro de forja en Rocroi, donde se apasionó por la metalurgia del hierro, interesándose tanto por los problemas de fabricación como por los de teoría metalúrgica; visitó un sinfín de factorías. Junto con Berthollet y  Vandermonde, da en 1785 la primera teoría de la fundición y del acero conforme con la doctrina de Lavoisier. Su íntimo conocimiento de estas cuestiones le resultará precioso en el año II, cuando deberá ocuparse de producciones bélicas.

gógico. Cautivando al auditorio con su uno en la Escuela Politécnica y el otro entusiasmo, hizo así que varias gene- en la Escuela Normal; después, raciones de alumnos descubrieran las durante un año, enseña geometría bellezas de la geometría. analítica y geometría diferencial a la Su vida científica estuvo marcada flor y nata de los politécnicos. De estos por dos largos períodos de docencia: los cursos saldrán dos obras que se con20 años pasados en Mézières, de 1764  vertirán en clásicas de la literatura a 1784 (además de un curso impartido matemática del siglo XIX : su Géométrie en el Louvre hacia 1780), y los 15 años descriptive, resultado de las lecciones de la Escuela Politécnica, de 1794 a de la Escuela Normal, publicada como 1809 (con una interrupción de casi obra independiente en 1799, y su cuatro años, desde 1796 a 1799). El  Application de l’analyse a la géométrie , punto culminante en esta actividad impresa en un principio en forma de profesoral se alcanza entre enero de hojas sueltas, que se distribuían a los 1795 y mayo de 1796: en 1795 imparte alumnos, y reunida en un volumen, dos cursos de geometría descriptiva, con complementos, en 1807.

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parte de este interés por los problemas prácticos, Monge desempeñó un papel determinante en la enseñanza. Mientras que los matemáticos del siglo  XVII I  eran ante todo académicos, Monge fue sobre todo profesor. A pesar de ciertas dificultades de elocución, poseía, al decir de los alumnos, un admirable talento peda5. REPRESENTACION de dos planos tangentes a un elipsoide de revolución que pasan por una recta dada. El elipsoide está representado por sus proyecciones, a saber, un círculo en el plano horizontal y una elipse en el plano vertical.

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La preocupación pedagógica impone de dibujo geométrico utilizados en al estilo matemático de Monge una Mézières deberían enseñárseles a impronta peculiar. Lo dicho vale sobre todos y convertirse así en el lenguaje todo para la geometría descriptiva. Si universal de las artes mecánicas. Monge eleva esta técnica gráfica al Inventa entonces el término “geomerango de ciencia matemática es debido tría descriptiva”, que sale de su pluma a que se trata de una disciplina a ense- por primera vez en septiembre de ñar. En Mézières se la consideraba un 1793. secreto del oficio, concebida meraLa creación de la geometría analímente como método para tallar pie- tica elemental obedeció igualmente a dras, y estaba prohibido darla a cono- fines didácticos. Tras Descartes y cer fuera de allí. Durante la Re volución, Fermat, que fueron los primeros en al tiempo que alumbra la idea de una aplicar el álgebra a la geometría, los enseñanza técnica cuyos primeros matemáticos habían tratado analíticagrados estarían abiertos a obreros y mente numerosos problemas de geoartesanos, y cuyo grado superior sería metría en el espacio, pero sin intentar la formación profesional del ingeniero, generalizar los métodos. Euler, en la Monge se convence de que los métodos  Introductio in Analysis infinitorum, de

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1748, comienza el trabajo de ordenación, dando, en concreto, la primera clasificación general de las cuádricas. Pero es necesario esperar a Monge para encontrar la geometría de la recta y del plano expuesta analíticamente de forma sistemática. Es probable que fuese en sus cursos del Louvre donde enseñase por primera vez los elementos de geometría analítica, volviendo a ocuparse de ella en el curso de la Escuela Politécnica. Deseando mostrar a los alumnos que un problema de geometría puede tratarse igualmente por el análisis que por la descriptiva, ofrece una exposición que se ha convertido en clásica de la geometría analítica de la recta y del plano, que volvió a publicarse como introducción de su  App lic ati on de l’analyse à la géométrie , en 1807. Si la importancia concedida a las aplicaciones técnicas y el papel desempeñado por la docencia caracterizan la actividad matemática de Monge, es la omnipresencia de la geometría la que establece la unidad de su obra. Como escribe René Taton en su estudio sobre Monge, éste aparece como el primer espíritu innovador de tendencia verdaderamente geométrica desde Desargues. Sus métodos son diversos, ora descriptivos, ora analíticos, pero siempre destaca la voluntad de “hacer ver” los objetos estudiados y los razonamientos utilizados. Su estilo es visual, a costa a veces del rigor, lo que se acusa sobre todo cuando se trata 6. MONGE extrae de un problema de geometría descriptiva la demostración de un teorema de carácter proyectivo de la geometría plana. Considera los dos planos tangentes a una esfera que pasan por una recta dada, y después, cada uno de los conos cuyo vértice se encuentra sobre la recta y abarcan a la esfera. Cada cono toca a la esfera a lo largo de un círculo, y todos estos círculos pasan por los dos puntos de contacto de los planos tangentes con la esfera. Dicho de otro modo, los planos de estos círculos se cortan en una misma recta perpendicular al plano que pasa por la recta dada y el centro de la esfera. Si ahora consideramos la proyección sobre este plano de la figura formada por la recta, la esfera, y los conos envolventes, podemos enunciar el siguiente teorema de geometría plana: sea un círculo y una recta D exterior a él. Existe un punto A en el interior del círculo tal que, cualquiera que sea el punto de D por el que se tracen dos tangentes al círculo, la cuerda que une sus puntos de contacto pasa por  A. Recíprocamente, dado un punto cualquiera  A  en el interior del círculo, existe una recta  D  exterior al círculo tal que, cualquiera que sea la cuerda del círculo trazado por A, las dos tangentes trazadas por sus extremidades concurren en un punto de D.

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de geometría diferencial. Muchos jóvenes matemáticos de principios del siglo  XIX , hartos de la aridez del estilo analítico tan alabado a finales del siglo precedente, adoptaron con entusiasmo esta forma tan expresiva de hacer matemáticas.

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o creamos, sin embargo, que Monge utilizaba figuras en su geometría. Trabajaba sobre una representación mental de las formas de la extensión, entendidas en toda su generalidad. “Nadie ha concebido ni hecho más geometría sin figuras que Monge”, escribiría categórico Michael Chasles, añadiendo: “Monge sabía como nadie hacer concebir en el espacio las formas más complicadas de la extensión, y penetrar en sus relaciones generales y sus propiedades más ocultas, sin otro recurso que el de sus manos, cuyos movimientos secundaban admirablemente a su palabra, a veces difícil, pero siempre dotada de la verdadera elocuencia del tema: la pulcritud y la precisión, la riqueza y la profundidad de ideas.” Para conseguir esta capacidad de evocación abstracta, Monge se apoyaba en una concepción original de las figuras en el espacio, consideradas por la forma de generarse. Como siempre ocurre en este autor, la idea, que se desarrolla ampliamente en sus enseñanzas, se apoya sobre una experiencia obtenida de la práctica técnica, en este caso concreto la talla de la piedra. Pongamos un ejemplo muy sencillo: la talla de un fuste de columna. Para

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7. LA ENVOLVENTE en el plano de la familia de rectas Dt, que pasan por un punto  K   que se mueve a lo largo de una recta ∆, manteniéndose perpendiculares al segmento KF  (siendo F  un punto fijo), es una parábola (izquierda). El punto de contacto M  de cada recta Dt con su envolvente, llamado punto característico, es el límite del punto C  de intersección de una recta  Dt’   de la misma familia, cuando  Dt’  se aproxima a la recta  Dt. Cada una de las rectas de la familia uniparamétrica Dt es una involuta. Monge generalizó a las superficies la teoría de involutas y envolventes; así, la familia de planos Pt dependiente del parámetro t envuelve una superficie que Monge denomina “desarrollable” (derecha). La recta D es la característica del plano Pt, intersección de éste con un plano infinitamente próximo de la misma familia: esta recta Dt es una generatriz de la desarrollable. Monge demuestra que el plano tangente a la superficie S es el mismo plano  Pt en todos los puntos de una generatriz Dt. Todas las generatrices de la desarrollable son tangentes a una misma curva trazada sobre la envolvente, llamad a arista de retroceso o línea de estricción . Si la superficie S es cortada por un plano cualquiera que pase por M t, la curva de intersección tiene un punto de retroceso en ese punto.

obtener la superficie cilíndrica de una aparecen en la talla de piedras; algucolumna de un bloque vertical de pie- nas son alabeadas, como los conoides, dra, puede procederse del siguiente engendrados por el desplazamiento de modo: sobre la cara superior del blo- una recta a lo largo de otra recta y de que, obtenida con un corte a escuadra, una curva cualquiera que no estén se traza un círculo, a lo largo del cual contenidas en el mismo plano, recta se abate verticalmente la piedra. móvil que se mantiene siempre paraGeométricamente, esto equivale a lela a un plano dado; otras superficies considerar que el cilindro recto de base son desarrollables, es decir, aplicables circular está engendrado por el despla- sobre el plano sin desgarros ni duplizamiento de una recta, paralelamente caciones, como ocurre con las superfia sí misma, a lo largo de un círculo cies cónicas o cilíndricas. El propio situado en un plano perpendicular. Se plano es una superficie reglada, engendice que el cilindro está engendrado drada por el desplazamiento de una por dos generatrices, a saber, la recta recta paralelamente a sí misma a lo  vertical y el círculo. En la forma de largo de otra recta concurrente. En generación considerada, la circunfe- cuanto a las superficies de revolución, rencia constituye la curva directriz, que por lo general no son regladas, pues ella es la que dirige el movimiento están engendradas por la rotación de de la recta. Podríamos igualmente una curva cualquiera alrededor de un haber imaginado que el cilindro estaba eje o, si se prefiere, por el desplazaengendrado por el desplazamiento del miento de un círculo, de eje dado y círculo a lo largo de la recta, paralela- radio variable, a lo largo de una curva mente a sí mismo. Estos modos de dada. generación no pertenecen sólo al cilinOtra familia de superficies considedro recto de base circular, sino a toda rada por Monge es la de las envolvensuperficie engendrada por el desplaza- tes de familias de superficies depenmiento de una recta parelelamente a dientes de un parámetro. Estas sí misma, a lo largo de una curva cual- superficies están engendradas por las quiera. Tal familia de superficies, más características de las envueltas, es general, recibe el nombre de superfi- decir, las curvas de intersección de las cies cilíndricas. envueltas con una envuelta infinitaMonge generaliza este caso a toda mente próxima. Una desarrollable, suerte de familias de superficies, defi- por ejemplo, es la envolvente de una nida cada una por su forma de genera- familia uniparamétrica de planos. Se ción. Considera así la familia muy puede demostrar que las característigeneral de las superficies regladas, cas de una familia de superficies uniengendradas por el movimiento de una paramétricas son tangentes a una recta en el espacio, familia a la que misma curva trazada sobre la envolpertenecen todas las superficies que  ven te, que Mon ge lla ma ari sta de

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Permite obtener la curva de intersección de dos superficies (y desarrollarla sobre un plano, si una de estas superficies es desarrollable) así como los puntos de intersección de tres superficies. Las aplicaciones al dibujo, a la topografía, a la talla de la piedra, al trabajo de la madera y a la calderería son innumerables. Recíprocamente, la geometría descriptiva permite dar demostraciones elegantes en geometría plana.

8. LAS EVOLUTAS de una curva en el espacio: Huygens fue el primero en estudiar las evolventes y las evolutas de una curva plana. Si desarrollamos un hilo inextensible arrollado a lo largo de una curva manteniendo tenso su extremo libre, éste describe una segunda curva, que es una de las evolventes de la primera. Recíprocamente, ésta es la única evoluta de la curva descrita por el extremo del hilo. Geométricamente, la evoluta de una curva plana es el lugar de sus centros de curvatura. Las tangentes a la evoluta son siempre, por lo tanto, perpendiculares a la curva dada. En 1771, Monge generaliza la definición anterior a curvas en el espacio: el extremo de un hilo arrollado a lo largo de la evoluta ha de describir la curva dada, al desenrollarlo manteniéndolo tenso. Monge demuestra que todas las evolutas de un curva (existen infinitas) son geodésicas de la polar de la curva, superficie desarrollable engendrada por los planos normales a la curva. Si ésta se encuentra contenida en un plano, la superficie polar es un cilindro recto elevado sobre la evoluta en el plano de la curva. Hemos representado aquí tres evolutas de una evolvente del círculo: un círculo y dos hélices.

retroceso. El estudio de las envolventes y de sus aristas de retroceso llevó a Monge a resultados muy penetrantes en geometría diferencial y en teoría de ecuaciones en derivadas parciales. Me limitaré a mencionar aquí, muy brevemente, la importante contribución de Monge a la teoría de las ecuaciones en derivadas parciales. La idea básica, concebida ya en 1771 y ampliamente desarrollada en su  App lic ati on de l’analyse à la géométrie , consiste en asociar una ecuación en derivadas parciales con una familia de superficies. El estudio geométrico de estas superficies y de los modos en que se generan proporciona informaciones esenciales sobre la ecuación y sobre sus integrales. La geometría descriptiva constituye un método potente y cómodo de representar sobre una hoja de papel superficies de las que conocemos un modo de generación, así como de construir sus planos tangentes y normales.

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a idea fundamental de la geometría descriptiva no es nueva, pues la encontramos ya, por ejemplo, en el dibujo arquitectónico en planta, alzado y perfil. Consiste en representar un objeto espacial por sus proyecciones ortogonales sobre dos planos perpendiculares, horizontal el uno y vertical el otro. Para obtener una representación sobre una lámina de dibujo se abate el plano vertical sobre el horizontal, dándole un giro de un cuarto de vuelta alrededor de la intersección de los dos planos, intersección representada en la hoja de papel por una recta llamada línea de tierra. Se obtiene así una representación plana que proporciona una descripción completa del objeto. La representación de un punto del espacio está formada por dos puntos del papel, situados sobre una misma recta perpendicular a la línea de tierra. De igual forma, la representación de una recta del espacio en la hoja consiste en dos rectas, que son, respectivamente, su proyección vertical y su proyección horizontal. Con mayor generalidad, la representación de una curva está formada por sus dos proyecciones, vertical y horizontal. Para representar una superficie se trazan las curvas que definen su modo de generación: un plano, por ejemplo, está representado por los dibujos de dos de sus rectas concurrentes, o me jor todavía, por las trazas de las mismas (es decir, sus intersecciones con los planos de proyección); un cilindro, por su traza horizontal y por la representación de una de sus generatrices, etc. Dado que el plano tangente a una superficie en un punto está definido por las tangentes a dos curvas trazadas sobre la superficie que pasen por ese punto, para obtenerlo será suficiente determinar las proyecciones de estas dos tangentes. Por último, para construir la intersección de dos superficies se procede punto a punto, considerando cada vez la intersección de las dos superficies con una tercera, perteneciente a una familia de super-

ficies auxiliares, que generalmente lo es de planos paralelos. La geometría descriptiva no es sino una teorización del arte del dibujo lineal; pero al sistematizar procedimientos casi todos preexistentes, Monge simplificó mucho su empleo y extendió el dominio de su aplicación. Su solución al problema de la desenfilada, que equivale a construir sobre el mapa la representación de un plano tangente a una cierta superficie cónica, ilustra la potencia del método resultante. Sin embargo, para él, e l interés propiamente geométrico de la geometría descriptiva residía menos en los procedimientos de construcción del dibujo definitivo, que siempre podemos reducir a cambios de los planos de proyección, abatimientos y proyecciones, que en la representación subyacente: al efectuar dibujos aprendemos a poblar el espacio de figuras; formamos y aplicamos nuestra intuición geométrica.

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ijémonos, por ejemplo, en la construcción de dos planos tangentes a una superficie de revolución, que pasen por una recta dada. La representación subyacente a la construcción consiste en este caso en la familia de planos tangentes a la superficie de revolución y al hiperboloide de revolución engendrado por la recta que gira en torno al eje de revolución de la superficie dada. Supongamos que se trate de la construcción de dos planos tangentes a una esfera que pasen por una recta dada. La representación subyacente, según uno de los métodos explicados por Monge, es la familia de conos tangentes a la esfera cuyo vértice está situado sobre la recta. Considerando la traza de la esfera y de los conos tangentes sobre el plano definido por la recta y el centro de la esfera, se obtiene inmediatamente para el círculo una ley de reciprocidad entre polos (que se suponen exteriores al círculo) y polares, propiedad que Monge generaliza inmediatamente a las cónicas y a las cuádricas. La propiedad, por otra parte, está enunciada con toda generalidad, cualquiera que sea la posición del polo en la figura. Este pasaje de la Géométrie descriptive se encuentra en el origen de la teoría de la transformación por polares recíprocas, creada por Brianchon, Gergonne y Poncelet. Por grande que haya sido su influencia posterior, la geometría descriptiva ocupa en la obra matemática de Monge un lugar bastante modesto. Lo esencial de sus investigaciones geométricas concierne en realidad a la

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geometría diferencial y a la teoría de ficies se encuentran situadas, por lo superficies. que se refiere a la sombra, en la parte Su primera memoria, presentada a trasera del cuerpo opaco, y, en cuanto la Academia en 1771, pero no publi- a la penumbra, entre los cuerpos lumicada hasta 1785, trata de las curvas noso y opaco. Si los dos cuerpos son en el espacio. Clairaut había sido el esferas, como es el caso del Sol y de la primero en considerar las “curvas de Tierra, las aristas de retroceso degedoble curvatura” (curvas alabeadas), neran en dos puntos y las superficies en una célebre memoria, escrita límites son dos conos, llamados conos cuando contaba 16 años, que consti- de sombra y de penumbra. tuye el punto de partida del trabajo de En la memoria sobre desmontes y Monge. Para estudiar la curvatura de terraplenes, presentada a la Academia la curva, Monge comienza por definir en 1776 y publicada en 1784, Monge la recta polar de un punto de la curva  vuelve a encontrar un nuevo ejemplo como la intersección del plano normal de desarrollables en el estudio de las a la curva en ese punto con un plano líneas de curvatura de una superficie. normal infinitamente próximo a él (se El estudio de las curvaturas de las trata pues de la característica del superficies fue iniciado por Euler en plano normal). El centro de curvatura 1760. Euler considera las secciones es entonces el pie de la perpendicular normales en un punto (secciones protrazada desde el punto a su recta ducidas por los planos normales que polar. Construye a continuación la pasan por tal punto), demostrando envolvente de los planos normales a la que, en general, existen en cada punto curva, obteniendo una superficie desa- dos secciones normales ortogonales, rrollable a la que da el nombre de llamadas secciones principales, para superficie polar. Monge demuestra las cuales la curvatura es, respectivaque una curva en el espacio admite mente, máxima y mínima, y da la una infinidad de evolutas, que forman expresión de la curvatura de una secsobre la superficie polar una familia ción normal cualquiera en función de de líneas geodésicas. su azimut y de las curvaturas princiEn 1772, un año después de la pre- pales: es el teorema de Euler. En 1774, sentación de esta primera memoria de Monge orienta a su alumno y discípulo Monge, Euler trata de determinar Jean-Baptiste Meusnier hacia el estuanalíticamente las condiciones para dio de este teorema. Meusnier, en una que una superficie sea desarrollable. memoria de 1776, proporciona una Monge, que ha encontrado ya en la demostración mucho más elegante, y polar un ejemplo de superficie desarro- la completa relacionando la expresión llable, vuelve a tomar la cuestión de de la curvatura de una sección oblicua forma general en una memoria presen- cualquiera a la de una sección normal: tada a la Academia en 1775 y publicada es el teorema de Meusnier. en 1780. En ella da la ecuación en derivadas parciales de las desarroonge, durante este tiempo, elallables, determina la diferencia entre bora su teoría de las líneas de superficies alabeadas y superficies curvatura. Las secciones principales desarrollables (una desarrollable tiene definen, en cada punto, dos direcciones el mismo plano tangente en todos los principales, tangentes a la superficie. puntos de una generatriz dada) y Las líneas de curvatura son curvas demuestra que las desarrollables son sobre la superficie, tangentes en cada equivalentes a las superficies engen- uno de sus puntos a una de las direcdradas por el mo vimiento de una recta ciones principales. Estas curvas forconstantemente tangente a una curva man así sobre la superficie dos familias alabeada dada (la desarrollable tan- de curvas ortogonales, correspongencial). Esta curva, que define la dientes respectivamente a las curvasuperficie y la divide en dos hojas dis- turas máxima y mínina. Monge detintas, es la arista de retroceso de la muestra que las normales a la superdesarrollable. ficie, a lo largo de las líneas de curvaTambién resulta posible considerar tura, engendran dos familias de desaa una desarrollable como la superficie rrollables ortogonales. Las aristas de envolvente de planos tangentes a dos retroceso de estas dos familias engensuperficies dadas, lo que equivale a dran, a su vez, una superficie de dos definirla como envolvente de una hojas, llamada focal de la superficie familia de planos dependientes de un dada. La primera hoja es lugar de los parámetro. Se deduce de ahí que las centros de curvatura mínima de la superficies limitantes de las zonas de superficie; la segunda, el lugar de los sombra y de penumbra producidas por centros de cur vatura máxima. Monge un cuerpo opaco son desarrollables. utiliza esta teoría para determinar los Las aristas de retroceso de estas super- caminos que resuelven con valores

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9. LA SUPERFICIE DEFINIDA por el movimiento de una recta horizontal a lo largo de dos curvas, en este caso una hélice circular y el eje de la hélice, es una superficie reglada alabeada, denominada helicoide. En efecto, su plano tangente va girando a lo largo de sus rectas generatrices. Lo comprobamos al subir por una escalera de caracol: resulta más fácil subir la rampa por la parte externa, donde la pendiente es menor.

mínimos el problema de los desmontes y terraplenes, considerado en el espacio. La obra de Monge, de gran diversidad en sus métodos, posee, sin embargo, una unidad profunda, caracterizada por el punto de vista geométrico. Este enfoque, muy original en su época, ha sido inspiración de numerosos matemáticos del siglo XIX , antes de invadir, en forma muchísimo más abstracta, todas las matemáticas del siglo  XX . Es título más que suficiente para que Monge entre en el panteón de los grandes geómetras.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA L’ŒUVRE SCIENTIFIQUE DE MONGE. René Taton, París, 1951. MONGE LE SAVANT AMI DE NAPOLÉON. Paul Aubry, París, 1954. LA RÉPUBLIQUE AVAIT BESOIN DE SAVANTS. Tanis Langins, París, 1987. THÉORISATION D’UNE  PRATIQUE , PRATIQUE D’UNE THÉORIE : DES TRAITS DE COUPE DES PIERRES À LA GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. Joël Salnarovitch, Escuela de Arquitectura de París-La Villette, París, 1989. LES ORIGINES DE L’ÉCOLE POLYTECHNIQUE. D ES A NCIENNES É COLES D’INGÉNIEURS À L’ÉCOLE C ENTRALE DES TRAVAUX PUBLICS . Bruno Belhoste, en  Histoire de l’éducation, n.o 42, págs. 13-53, mayo de 1989.

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André Weil  El último matemático universal 

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n 1939, un matemático francés que a la sazón contaba 33 años demostró la corrección de una conjetura relativa al comportamiento de la tortuosa andadura de los números primos hacia el infinito, en cierto número de casos particulares de crucial importancia. Tal logro, a saber, la demostración de la hipótesis de Riemann para la función Z en el caso de funciones de un cuerpo, constituye una joya de la teoría de números moderna. La hazaña es tanto más notable cuanto que su autor la consiguió estando encarcelado en una prisión militar francesa. La anécdota anterior es sólo una de las muchas cosas extraordinarias acontecidas a André Weil a lo largo de su vida. Una vez recuperada la libertad, Weil llegaría a convertirse en uno de los más insignes matemáticos de este siglo. Pero tan aisladas están las matemáticas de las restantes formas de cultura que el hoy profesor emérito del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, Nueva Jersey, es casi completamente desconocido fuera del mundillo matemático. Cuando hace tres años se publicó su autobiografía, titulada The  Apprenticeship of a Mathematician , no hubo una sola publicación extramatemática que la reseñara. Los colegas de Weil están prestos a ensalzarle, llamándole “el último de los grandes matemáticos universales”. Destacan que fue uno de los fundadores de Bourbaki, el grupo legendario que, cobijado bajo el nombre de un sabio ficticio —Nicolas Bourbaki—, ha escrito una serie de monumentales tratados que han aportado unidad y orden a las matemáticas. El propio Weil ha navegado por todos los tributarios principales de las matemáticas, sobre todo la teoría de números, la geometría algebraica y la topología, erigiendo demostraciones y conjeturas que, a modo de diques, canalizaron el curso de ulteriores indagaciones.

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l estilo de Weil ha ejercido tanta influencia como sus aportaciones concretas. Un especialista en teoría de números le asimila a un monje medieval, que labora con “una sencillez y pureza tremendas, sin ornatos superfluos”. Weil siempre ha ido en pos de lo esencial, confirma otro. Se dice que se le temía tanto por lo acerado de su lengua como se le admiraba por su brillantez. Un compatriota, que le compara con un violín de cuerdas demasiado tensas, recuerda que “no soportaba a los tontos” y piensa que tal vez los años le hayan ablandado. Weil tiene casi noventa años; necesita audífono y tiene reconstruidas en plástico las articulaciones de las caderas. Durante la entrevista hay ocasiones en que casi parece apacible. Al preguntarle si le molestaba que fueran tan pocos quienes conocen su trabajo y menos todavía quienes pueden comprenderlo, responde, encogiéndose de hombros, “¿Por qué habría de molestarme? En cierto sentido, así resulta más apasionante todavía.” A diferencia de algunos puristas modernos, no le preocupa la creciente colaboración entre las matemáticas y la física

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(acicateada en parte por Edward Witten, físico teórico cuyo despacho está frente al suyo). “He vivido una época en la que la física no era importante en matemáticas”, comenta, “pero ahora volvemos a otra en la que creo que vuelve a serlo, lo cual es un fenómeno perfectamente saludable.” Hay, empero, destellos de acritud. Al pedirle su opinión sobre el asalto de Wiles al último teorema de Fermat (lo que hacíamos durante el período de dudas públicas acerca de la validez de la demostración), Weil empieza por decir, en broma, que dentro de algunos siglos los historiadores pensarán que Wiles y él son una misma persona (por la homofonía de sus nombres y apellidos). La sonrisa se le borra entonces de los labios, y añade: “Admito que [Wiles] ha tenido buenas ideas al tratar de construir la demostración, pero todavía no hay demostración. Hasta cierto punto, demostrar el teorema de Fermat es como escalar el Everest. Si alguien se propone escalar el Everest y se queda a cien metros de la cima, no ha escalado el Everest.” Al explicar por qué su autobiografía solamente se ocupa de su vida durante la segunda guerra mundial, Weil nos da otra respuesta acerada. “No había nada que contar de mi vida posterior”, declara. “Algunos de mis colegas han escrito lo que llaman autobiografías, muy aburridas a mi parecer. Todo lo que cuentan consiste en decir ‘en el año tal y tal fui nombrado en tal y tal institución, y en tal año demostré este o aquel teorema’.”

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uede decirse que la vida de Weil, al menos en su primera mitad, casi estuvo demasiado cargada de acontecimientos. Nació en París en 1906. Tanto su padre, médico, como su madre se consagraron a la cultura en todos sus aspectos. Hacia los trece o catorce años, Weil había adquirido una “apasionada adicción” por las matemáticas. Se graduó en la Universidad de París en 1928, tras haber resuelto en su tesis doctoral un problema sobre curvas elípticas propuesto por Henri Poincaré, que estaba pendiente desde hacía 25 años. Algunos años antes Weil había abjurado de la filosofía, tras haber recibido una elevada calificación en un examen a pesar de no haber leído ninguno de los textos necesarios. “Me pareció que una materia en la que uno podía defenderse tan bien sin apenas saber de qué hablaba mal podía merecer respeto”, dice en su autobiografía. No se crea que Weil carecía de otros intereses. Su fascinación por la cultura hindú y, en particular, por la literatura épica hindú y el Bhagavad Gita, contribuyó a decidirle a aceptar un puesto docente en la India en 1930. Dos años más tarde se había enredado en las complejidades de la política académica local y fue despedido, pero no antes de conocer a Gandhi. Weil tomaba té con el líder indio en la época en que éste planeaba la revuelta que habría de derrocar al Raj británico. De vuelta a Francia, fue profesor de la Universidad de Estrasburgo. Dos años después, a causa de la beligerancia de

TEMAS 1

Alemania, el gobierno francés ordenó a Weil que se presentara para cumplir el servicio militar. Lo que hizo Weil fue huir a Finlandia, que en aquel momento todavía no había sido invadida por la Unión Soviética. Weil confiesa que hubo cierta dubitativa ambivalencia en su decisión de escapar del servicio militar. “La idea fundamental, que considero correcta, era que como soldado yo sería completamente inútil, mientras que como matemático quizá pudiera hacer algo. Desde luego, eso ocurría en tiempos de Hitler, y yo estaba completamente de acuerdo en que el mundo no debería doblegarse ante él, pero era incapaz de imaginarme a mí mismo tomando parte en ese empeño.” Para su desgracia, aquel joven profesor que se pasaba horas y horas escribiendo símbolos abstractos levantó las sospechas de los finlandeses, temerosos de una ocupación por la Unión Soviética. La policía finesa le detuvo y, según alguien le contó posteriormente, estuvieron a punto de ejecutarle, sin saber que sólo era un matemático francés huido de la leva. No acabaron aquí sus problemas, pues los finlandeses le devolvieron a las autoridades francesas, que inmediatamente lo condenaron por deserción y volvieron a encarcelarle.

preocupados por lo que consideraban carencia de textos adecuados de matemáticas, se comprometieron a escribir los suyos propios. Decidieron que, en lugar de publicar con sus verdaderos nombres, inventarían un personaje pseudónimo, a modo de mascarón de proa: Nicolas Bourbaki, aclamado y eminente profesor venido del no menos ficticio estado de Poldavia.

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uy pocos, aparte de quienes formaban su círculo inmediato, adivinaron al principio la verdadera identidad de Bourbaki. No obstante, las dudas fueron creciendo conforme el grupo fue lanzando vastos tratados que tocaban prácticamente todos los campos de las matemáticas. En 1949, Ralph Boas proclamaba en un artículo del anuario de la Encyclopaedia Britannica que Bourbaki era un pseudónimo y no una persona física. Weil escribió una carta de tono indignado, negando la acusación. Los miembros de Bourbaki empezaron entonces a propalar el rumor de que Boas no existía. Aunque otros matemáticos más jóvenes han continuado perpetuando el legado de Bourbaki, su influencia se ha desvanecido. El propio Weil, que dejó el grupo a finales del decenio de 1950, opina que “en ciertos aspectos, eil pasó seis meses la influencia ha sido en prisión y allí beneficiosa, pero en otros creó su teorema sobre la no lo ha sido”. Tal vez la hipótesis de Riemann; contribución más imporacabó siendo puesto en tante de Bourbaki haya libertad a cambio de su consistido en hacer realiincorporación al ejército dad una famosa propuesta francés. Su capacidad formulada en 1900 por el André Weil: “Siempre en pos de lo esencial.” para aprovechar al mágran matemático alemán ximo su encarcelamiento David Hilbert, en el senfue ocasión de bromas por parte de sus colegas. En cierta tido de que las matemáticas fuesen asentadas sobre bases más ocasión en que Weil, cosa rara en él, dio un traspiés durante seguras. “Hilbert se limitó a enunciarla; Bourbaki la llevó a una exposición, el eminente matemático Herman Weyl procabo”, declara Weil. El hincapié de Bourbaki en la abstracpuso que se le devolviese a prisión para que pudiera resolver ción y la axiomatización fue en ocasiones demasiado lejos, debidamente el problema. pero Weil subraya que no ha sido el propio Bourbaki, sino Cuando los alemanes pusieron en desbandada al ejército sus seguidores, quienes perpetraron estos desmanes. francés, Weil huyó a Inglaterra. Pudo finalmente llegar hasta eil llegó al Instituto de Estudios Avanzados en 1958, los Estados Unidos, donde comenzó a buscar trabajo. La donde continuó sondeando las conexiones profundas autoestima de Weil se vio muy afectada cuando supo con entre la aritmética, el álgebra, la geometría y la topología. pesar que la única institución que le ofrecía un puesto remuEstos esfuerzos de unificación engendraron el campo de nerado era la Universidad Lehigh en Pennsylvania, lugar que indagación más vivo quizá de la matemática moderna. recuerda como una “mediocre escuela de ingeniería asociada Aunque oficialmente se jubiló en 1976, sigue acudiendo a su a la empresa Bethlehem Steel”. despacho casi todos los días. Cultiva allí una antigua pasión, En 1947, tras una breve estancia en Brasil, se trasladó a la la historia de las matemáticas. En la actualidad colabora en Universidad de Chicago, donde reanudó su trabajo en la edición de las obras de dos gigantes franceses del pasado, Bourbaki. El proyecto había comenzado a mediados del Jacques Bernoulli y Pierre de Fermat. decenio de 1930, cuando Weil y media docena de colegas,

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Carl Friedrich Gauss Ian Stewart  Niño prodigio, llegó a ser el principal matemático de su época. Se desenvolvió con igual soltura en las abstracciones de la teoría de números y los complejos cálculos astronómicos como en los aspectos más prácticos de la física aplicada

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a Matemática es la reina de las ciencias, dijo en cierta ocasión Carl Friedrich Gauss; su propia vida sirvió de ejemplo a este aforismo. Considerado por todos, al par de Arquímedes y Newton, como uno de los matemáticos más capaces de todos los tiempos, Gauss se interesó tanto por la teoría como por las aplicaciones, y sus contribuciones van desde la más pura teoría de números hasta los problemas prácticos de astronomía, magnetismo y topografía. Realizó profundos descubrimientos en todas las ramas de la matemática en las que trabajó, introdujo ideas y métodos nuevos y estableció los cimientos de investigaciones posteriores. Da medida de su talento el que todavía hoy, más de dos siglos después de su nacimiento, sigan siendo fecundas muchas de sus ideas. Gauss fue, en muchos aspectos, una personalidad contradictoria y enigmática. Hijo único de padres de clase obrera, ascendió hasta la cumbre de la matemática de su época;  vi vía, sin embargo, con modestia, y rehuía ser conocido públicamente. De suaves modales, era un hombre distante, políticamente reaccionario y frecuentemente testarudo, que tan sólo pedía poder continuar, sin per-

turbaciones, su trabajo de creador. Siempre dispuesto a reconocer el talento matemático allí donde estuviese, por encima de prejuicios de sus contemporáneos, dejó en el olvido a varios de los mejores jóvenes matemáticos de su tiempo, en especial, a János Bolyai, uno de los pioneros de la geometría no-euclídea, lo que tuvo consecuencias poco afortunadas. Un aspecto especialmente llamati vo del carácter de Gauss fue su rotunda negativa a presentar parte alguna de su trabajo que no creyera haber pulido hasta la perfección. Ningún resultado, por importante que fuese, se publicó hasta que él no lo consideró completo y terminado. Tan elaboradas son sus demostraciones matemáticas, que el camino que siguió para obtenerlas se esfuma completamente. Sus trabajos publicados tienen la calidad, austera e inabordable, la gracia y la elegancia clásicas. Muchas de sus ideas más fecundas no aparecen explícitamente en su obra impresa, y es preciso inferirlas reconstruyendo los pasos que debieron conducirle a su descubrimiento. De resultas, muchas nociones importantes no han visto la luz del día hasta ser independientemente descubiertas por otros.

1. LA CONSTRUCCION GEOMETRICA de un polígono regular de 17 lados, usando sólo regla y compás, fue el primer descubrimiento de este tipo desde los tiempos de Euclides; marcó, en 1796, el comienzo de la carrera matemática de Gauss, cuando contaba 18 años. En la página opuesta se ofrece una versión simplificada de su construcción, preparada por H. W. Richmond en 1893. Se procede del modo siguiente: (1) Se traza una circunferencia de centro O y radio OPo de longitud arbitraria. Se traza la recta OB, perpendicular a OPo. Se determina un punto J  a la cuarta parte del recorrido OB. Se halla un punto E tal que el ángulo OJE sea cuarta parte del ángulo OJPo (lo que puede hacerse mediante doble bisección de este ángulo). Se determina un punto F  tal que el ángulo FJE mida 45 grados. (Puede obtenerse por bisección de un ángulo recto.) (2) Se cons truye una circunferencia de diámet ro FPo. Esta circunferencia corta a OB en el punto  K . (3) Se traza otra circunferencia de centro  E y radio  EK . Esta circunferencia define los puntos N 5, y  N 3. (4) Se trazan las rectas N 3 P3 y N 5 P5, perpendiculares a OPo. (5) Se traza la bisectriz del arco P3 P5, a fin de obtener el punto  P4. (6) Se lleva sucesivamente la cuerda P4 P5  sobre la circunferencia, a partir de Po. Los puntos obtenidos se unen por segmentos rectilíneos para formar el polígono.

GRANDES MATEMÁTICOS

Gauss publicó en vida unos 155 títulos, y dejó tras sí gran cantidad de trabajos inéditos. En esta breve exposición abordaré algunos de sus más importantes, y fecundos, descubrimientos, e intentaré, en pequeña medida, explicar cómo llegó a obtenerlos.

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auss nació el 30 de abril de 1777 en Brunswick (Alemania). Su padre pasó por diversos oficios: jardinero, guarda de canales y albañil. Su hijo lo describiría más tarde como “hombre totalmente honesto, y, en muchos aspectos, estimable y genuinamente respetable, pero en casa... dominante, grosero y rudo”. La madre de Gauss, hija de un cantero, era mujer inteligente y de recio carácter. Su hermano Friedrich tuvo importante papel en la vida del jo ven Gauss. Trabajaba de tejedor de damascos finos, pero su campo de interés era insólitamente amplio. Pasó mucho tiempo animando a Gauss y aguzando su espíritu crítico. Hay entre los grandes matemáticos tantos que hayan mostrado talento matemático en su infancia como quienes no mostraron ninguno hasta mucho más tarde. Gauss ha sido, incuestionablemente, el más precoz de todos ellos. Solía decir, IAN STEWART dirige el programa de investigación interdisciplinar del Instituto Matemático de Warwick. Tras graduarse por la Universidad de Cambridge, se doctoró en ciencias exactas en la de Warwick. En 1974 estuvo en Tübingen becado por la fundación Humboldt. Su principal campo de investigación son las álgebras infinito-dimensionales de Lie. Ha publicado más de 60 libros y es autor de la sección mensual de “Juegos matemáticos” de I NVESTIGACIÓN Y CIENCIA .

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bromeando, que había aprendido a contar antes de aprender a hablar; muchas anécdotas atestiguan sus extraordinarias dotes. Se cuenta que un día, antes de cumplir los tres años, su padre estaba preparando la paga semanal de los obreros a su cargo, sin darse cuenta de que su hijo observaba el proceso con gran interés. Al finalizar sus cálculos, Gauss padre quedó sorprendido al oír una vocecita que le decía: “Padre, la cuenta está mal hecha. Debería dar...”. Al repasar los cálculos comprobó que la cifra dada por el niño era la correcta. Lo notable de esta historia es que nadie le había enseñado aritmética.

Otras anécdotas refieren la continua precocidad que Gauss demostró en la escuela. A los 10 años fue admitido en la clase de aritmética. El maestro propuso un problema del tipo siguiente: hallar la suma de 1 + 2 + 3 + ... + 100, donde hay 100 números, y la diferencia entre cada sumando y su siguiente es siempre igual a uno. Hay un método sencillo para realizar tales sumas, que el maestro conocía, pero los escolares no. Se tenía la costumbre de que el primer muchacho que resolviese un problema dejase su pizarra con el resultado sobre la mesa del maestro, el siguiente en terminar dejase la suya sobre la primera, y así

sucesi vamente. Apenas el maestro había terminado de plantear el problema cuando Gauss puso su pizarra sobre la mesa. “Ahí lo tiene”, dijo Gauss. Durante toda la hora siguiente permaneció cruzado de brazos, recibiendo ocasionalmente alguna escéptica mirada del maestro, mientras los demás alumnos bregaban con tan larga suma. Al final de la hora, el maestro examinó las pizarras. En la de Gauss había tan sólo un número. Ya en su vejez, a Gauss le encantaba contar cómo, entre todas las respuestas, la suya fue la única correcta. Es preciso decir en honor del maestro que éste quedó tan impresionado que compró con su propio dinero un libro de aritmética y se lo regaló a Gauss, quien lo devoró rápidamente. Gauss tuvo también la suerte de que el ayudante de aritmética del maestro, un joven de 17 años llamado Johann Martin Bartels, fuera un apasionado de las matemáticas, con lo que ambos pasaron muchas horas estudiando juntos. Al llegar al teorema del binomio, que enuncia que, para todo número n, la expresión (1 +  x)n es una serie, y que cuando n no es entero positi vo esta serie es infinita, Gauss quedó descontento de la falta de rigor del libro que el maestro le había dado, y construyó una demostración. A pesar de no ser más que un escolar, fue el primer matemático que prestó seria atención a los problemas creados por los infinitos. Pocos niños prodigio en matemáticas van más allá de una gran facilidad de cálculo, pero el talento de Gauss alcanzaba, claramente, los más elevados dominios del pensamiento humano.

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2. RETRATOS de Gauss (en primer término) y del físico Wilhelm Weber (1804-91), con quien colaboró en muchos experimentos p rácticos sobre magnetismo y telegrafía. La inscripción griega de la orla dice: “Dios hace aritmética”; la inscripción latina del lado derecho significa: “El fin corona la obra”. La cita en griego de la parte inferior, que está tomada de La República, del filósofo ateniense Platón, se traduce por: “Los que tienen las antorchas se las pasarán a otros”.

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la edad de 14 años, Gauss fue presentado al Duque de Brunswick, quien había oído hablar de su reputación y se convirtió en protector suyo. Al año siguiente, Gauss entró en el Collegium Carolinum, de Brunswick, donde estudió, y pronto dominó, las obras de Newton, Leonhard Euler y Joseph Louis Lagrange.  A los 19 años, había descubierto por sí solo, y demostrado, un notable teorema de la teoría de números conocido como ley de reciprocidad cuadrática (del que hablaré más tarde). Para poder apreciar cuán importante fue esto, hay que darse cuenta de que anteriormente Euler había ya descubierto el teorema, y tanto él como Adrien Marie Legendre fracasaron en sus intentos de demostrarlo. TEMAS 1

Cuando Gauss abandonó el Collegium Carolinum, en octubre de 1795, para ir a estudiar a la Uni versidad de Göttingen, se vio en el dilema de decidirse entre las matemáticas y su otro gran amor: el estudio de las lenguas antiguas, donde no era menos brillante. Se decidió el 30 de marzo de 1796, tras realizar uno de los descubrimientos más sorprendentes de la historia de las matemáticas. Para poder contemplar este resultado con alguna perspectiva, retrocedamos dos milenios, hasta la Grecia clásica. La principal contribución griega a las matemáticas se halla en la floreciente escuela geométrica ligada a los nombres de Pitágoras, Eudoxo, Euclides y Arquímedes. Probablemente fueron los griegos los primeros en reconocer la importancia del rigor de las demostraciones matemáticas; y al perseguir este rigor impusieron cierto número de restricciones a los métodos de demostración. Una de ellas, que en las construcciones geométricas tan sólo podrían utilizarse regla y compás. En efecto, las únicas líneas geométricas permitidas eran la recta y la circunferencia. Euclides demostró que se pueden construir, con regla y compás, polígonos regulares de tres, cuatro, cinco y 15 lados, así como todos los deducidos de los anteriores por bisección reiterada de sus lados. Estos eran, sin embargo, todos los polígonos regulares que los griegos sabían construir; no conocían ningún método geométrico para construir polígonos de siete, nueve, 11, 13, 14 y 17 lados, por ejemplo. Durante los 2000 años siguientes parece que nadie llegó a sospechar que sería posible construir alguno de estos otros polígonos. El resultado de Gauss consistió en dar una construcción del polígono regular de 17 lados, que inscribió en una circunferencia usando tan sólo regla y compás. Además, caracterizó exactamente los polígonos que podrán construirse por este método: el número de sus lados ha de ser potencia de 2 (2n) o bien, potencia de 2 multiplicada por uno o más números primos impares distintos del tipo llamado “números primos de Fermat” (en honor de su descubridor, Pierre de Fermat). Un número primo es aquel que no puede dividirse exactamente por ningún número, excepto por sí mismo y por la unidad; un número primo de Fermat tiene la propiedad adicional de ser una unidad mayor que 2 elevado a una potencia de 2, o sea, 2 2n+1. Los únicos GRANDES MATEMÁTICOS

0 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120 136 153 171 190 210 231  …

3. LOS NUMEROS TRIANGULARES son números de la forma n(n + 1)/2, siendo n un entero positivo cualquiera. Puede también representarse mediante una disposición triangular de puntos. En sus Disquisitiones Arithmeticæ, publicada en el año 1801, cuando tenía 24 años, Gauss demostró que todo entero positivo es suma de tres números triangulares. El 10 de julio de 1796 anotó el descubrimiento en su diario, con una críptica inscripción: ¡Eureka! núm = ∆ + ∆ + ∆.

números primos de Fermat conocidos ción de coordenadas, debida a son 3, 5, 17, 257 y 65.537. Tenemos, Descartes) de una técnica que, a parpues, el notable resultado de que, a tir de entonces, se ha convertido en pesar de ser posible construir con una de las más fecundas de las materegla y compás polígonos regulares de máticas: trasladar un problema desde 17 lados, no es posible hacerlo así su dominio inicial (la geometría, en para polígonos de siete, nueve, 11, 13 este ejemplo) a otro (álgebra) y resoly 14 lados.  verlo en este último. Gauss escribió en cierta ocasión auss demostró este teorema que, a la edad de 20 años, estaba tan (cuando contaba 18 años) com- sobrecargado de ideas matemáticas binando un razonamiento algebraico que no tenía tiempo de consignar sino con otro geométrico. Demostró que una pequeña fracción de ellas. Muchas construir un polígono de 17 lados es de las que pudo desarrollar aparecieequivalente a resolver la ecuación  x16 ron después en sus  Disquisitiones +  x15 + ... +  x + 1 = 0. Como 17 es  Arithme ticæ , publicadas en 1801 primo y 16 es potencia de 2, resulta cuando contaba 24 años. Puede que esta ecuación puede reducirse a decirse que esta obra hizo por la una serie de ecuaciones de segundo teoría de números lo que Euclides por grado (ecuaciones de la forma ax2 + la geometría: organizó conocimientos bx + c = 0, siendo a, b y c  números dispersos sobre el sistema de los dados, y  x  el valor a determinar). números enteros, que Gauss compleComo se había ya demostrado que las mentó con algunas de sus más proecuaciones de segundo grado pueden fundas ideas propias. Gauss fundaresolverse mediante construcciones mentó su teoría sobre la noción de con regla y compás, la demostración números congruentes, que se definen está completa. Aparte de la importan- como dos números a y b  que tienen cia que esta demostración tuvo para el mismo resto al dividirlos por un inducir a Gauss a seguir la carrera número m dado. Dos números cualesde matemáticas, la demostración es quiera que satisfagan esta condición notable porque constituye el primer se llaman “congruentes módulo m”, ejemplo real (además de la introduc- siendo m  un número fijo dado, lla-

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(a , b ) = a  + bi 

b 

EJE REAL a     O    I    R    A    N    I    G    A    M    I    E    J    E

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(–b , a ) = –b  + ai 

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↓ MULTIPLICACION POR i 

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mado módulo. Por ejemplo, al dividir modo siguiente: Si a  es residuo cuapor 7 los números 16 y 23 ambos drático de m, se puede hallar al tienen el mismo resto, así pues, son menos un  x  cuyo cuadrado dividido congruentes módulo 7. Siete y 9 son por m  dé resto a. Así, 13 es residuo congruentes módulo 2, pues ambos cuadrático de 17, porque el enunciado tienen resto 1 al dividirlos por 2. Evi- “ x2  es congruente con 13 módulo 17” dentemente, dos números pares y dos es verdadero si  x  toma el valor 8 números impares cualesquiera serán (entre otros posibles). Gauss demostró siempre congruentes módulo 2. que si  p y q  son números primos Gauss señaló también la posibili- impares distintos, entonces  p es residad de realizar una aritmética de duo cuadrático de q si y solamente si números congruentes. Demostró que, q es residuo cuadrático de  p. Hay tan para cualesquiera enteros a, b, c y d, sólo una excepción a esta regla: si  p siendo módulo un número m, a es y q  son ambos de la forma 4n + 3, congruente con b y c  es congruente entonces uno es residuo cuadrático con d, entonces a + c  es congruente del otro, pero el segundo no lo es de con b + d y ac  es congruente con bd. éste. Este resultado es, a primera  Así pues, podemos sustituir enteros  vista, de gran especialización; pero por números congruentes en la arit- nos permite decir si un número primo mética sin incurrir en contradiccio- impar es residuo cuadrático de otro nes. Nos encontramos, sin embargo, número primo haciendo una pregunta con algunas sorpresas, como, por que, con frecuencia, es más sencillo ejemplo, que módulo 3, 1 + 1 + 1 es responder: ¿Es el segundo primo resicongruente con 0. duo cuadrático del primero? Este teorema ha inspirado algunas ideas sta aritmética de números con- nucleares del álgebra moderna y gruentes se enseña en muchos reviste gran importancia en toda la cursos de “matemática moderna”, con teoría de números y en otras ramas el nombre de aritmética modular o de de la matemática. Tal era el valor que cálculos de congruencias. Me pre- el propio Gauss le concedía que a lo gunto cuántos profesores saben dónde largo de su vida llegaría a demostrarlo se originó esta teoría y con qué objeto de ocho formas distintas. fue desarrollada por Gauss, quien la necesitaba como instrumento de as  Disquisitiones mostraron una demostración de profundos y difíciles tendencia que en Gauss se conteoremas. Quizás el más valioso de  vertiría en modo de vida. Las demostodos ellos, y con certeza, el favorito traciones se pulen hasta relucir, de Gauss, sea la ley de reciprocidad suprimiéndose, si ello es posible, toda cuadrática, que Gauss llamó teorema traza del proceso por el que han sido áureo. Se hace necesaria ahora alguna obtenidas, a fin de que tan sólo perterminología adicional. manezca la estructura terminada. Gauss definió en primer lugar los Gauss dijo en cierta ocasión: “Cuando “residuos cuadráticos”, diciendo que se finaliza un noble edificio no deben si m  es un entero positivo, y a es un quedar visibles los andamios.” Las entero que no tiene divisores en generaciones posteriores, que han común con m, entonces a  es residuo tenido que afrontar el problema de cuadrático de m  si es congruente, comprender los métodos de Gauss, y módulo m, con un cuadrado perfecto. no solamente sus resultados, pueden También podemos enunciarlo del muy bien ser disculpadas de acusarle no sólo de haber retirado los andamios, sino de haber destruido los 4. LOS NUMEROS COMPLEJOS son de planos. En la investigación matemála forma a + bi (donde a y b son números tica, frecuentemente revisten mayor reales, e i  es raíz cuadrada de –1). Pueimportancia las ideas y los métodos den representarse mediante pares ordeque los teoremas para los que fueron nados de números (a,b), esto es, como puntos de un plano, de la misma forma desarrollados. Una idea genuinaque los números reales pueden repremente buena puede ser generalizada sentarse mediante puntos de una recta. a nuevos campos y dar en ellos los Los números complejos pueden manefrutos que no pudieron preverse por  jarse así geométricamente. Por ejemplo, adelantado. Dos aspectos de la mategirar 90 grados una recta que una el mática se encuentran aquí en conorigen con el punto (a,b) equivale a multiplicar el complejo (a,b) por i. (Se muesflicto: las matemáticas como forma tran en la figura tres giros de este tipo.) del arte y las matemáticas como disGauss fue el primer matemático que ciplina viva. observó que esta interpretación geoméEste punto de vista no es enteratrica podía utilizarse para obtener defimente moderno. Karl Gustav Jacobi, niciones puramente algebraicas de la contemporáneo de Gauss, dijo de él: adición y la multiplicación.

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TEMAS 1

“Sus demostraciones son rígidas, heladas... lo primero que hay que hacer es descongelarlas.” Otro contemporáneo, Niels Henrik Abel, observó: “Es como el zorro, que borra con la cola sus huellas de la arena.” ¿Por qué quiso Gauss ocultar sus métodos, prefiriendo dar solamente una síntesis y suprimiendo el análisis? Asumió el lema Pauca sed matura (Pocos, pero maduros), reflejo de su insatisfacción con los incompletos teoremas de sus colegas. Es imposible

saberlo con certeza, pero quizá la penuria de su infancia le hizo circunspecto al ofrecer sus ideas. Tal vez pudo ocurrir también que no quisiera exponer trabajos incompletos por temor a verse ridiculizado en caso de error. Este temor es frecuente entre grandes matemáticos; a Newton, por ejemplo, hubo que persuadirle de que publicase sus  Principia. Puede que esta actitud esté justificada; véase el caso de Georg Cantor, cuya obra sobre teoría de conjuntos y números trans-

finitos abre una nueva era de las matemáticas. Ridiculizado por sus más eminentes contemporáneos, esta amarga experiencia fue, al parecer, causa de su locura. Gran parte de lo mejor de la obra de Gauss en teoría de números estuvo relacionado con el problema de los números complejos, que se definen como números de la forma a + bi, donde a y b  son números reales e i es raíz cuadrada de –1 (es decir, i2 = –1). Los números complejos fueron

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5. LOS NUMEROS PRIMOS GAUSSIANOS son números complejos de la forma a + bi que carecen de factores de este tip o; se encuentran irregularmente distri buidos en el plano complejo. Gauss descubrió tres clases de tales números: (1) ±1 ±i , que forman los vértices de un cuadrado; (2) ± p y ± pi

GRANDES MATEMÁTICOS

(donde  p  es un número primo real de la forma 4n + 3) que forman un diamante; (3) ±a  ±bi  y ±b  ±ai , que forman un cuadrado truncado. Ese tipo de números complejos que constituyen los primos gaussianos aparecen siempre en una de estas disposiciones.

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SOL

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   A    E    T    D    S    I   O    B    V    E    E    R    D    P    Y    A    I   E    L    C    N    A    L    A    T    R    S    I    O    D    P

   L    A    E    R    A    I    C    N    A    T    S    I    D

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introducidos por los algebristas del igual a (ac – bd, ad + bc). Es fácil Renacimiento, quienes les asignaron comprobar que el par (a,0) se comen generosa proporción propiedades porta exactamente igual que el místicas y descripciones caprichosas, número real a y que (0,1)2 es igual a como “real” e “imaginario”. Incluso un (–1,0). Así pues, el par (0,1) es el hombre tan inteligente como Leibniz misterioso número i, raíz cuadrada de estuvo terriblemente confundido en –1. No se comprendió el verdadero este tema. Leibniz produjo auténticas  valor de esta exposición hasta que fue antologías de disparates al tratar publicada por William Rowan estos números, que no son ni positivos Hamilton en 1837. Gauss fue el prini negativos. “El Divino Creador”, mer matemático que hizo amplio y escribió, “ha encontrado ocasión de libre uso de los números complejos y manifestar su sublime inteligencia en les dio aceptación plena como objetos esta maravilla del análisis, este por- matemáticos genuinos. tento del mundo ideal, este anfibio n su tesis doctoral, presentada entre el ser y el no-ser que llamamos en la Universidad de Heimstedt raíz imaginaria de la unidad negaen 1799, Gauss dio la primera demostiva.” Gauss fue mucho más prosaico, y tración del “teorema fundamental del prefirió representar geométricamente  Algebra” (que hoy es más lóg ico los números complejos mediante pun- demostrar como teorema topológico), tos de un plano. A pesar de que en a saber, que toda ecuación polinómica 1797 se publicó ya una exposición de tiene una raíz compleja. También en este tipo, debida a un agrimensor este caso creyó Gauss que el teo rema noruego llamado Capar Wessel, quien era muy importante, y, también, a lo preparó una representación analítica largo de su vida llegó a demostrarlo de la geometría plana esencialmente de hasta cuatro maneras distintas. equivalente a los números complejos, La tercera demostración es particueste descubrimiento no fue conocido larmente típica de su estilo impenehasta 1897. Un contable suizo, Jean trable y su original mentalidad. A Robert Argand, desarrolló una partir de una ecuación polinómica, descripción parecida en 1806, y toda- Gauss construye una complicada  vía hoy se le reconoce en los libros de expresión en forma de integral doble. texto la paternidad de la representa- Si el polinomio carece de raíces, la ción geométrica de los complejos. La integral doble dará el mismo valor contribución de Gauss consistió en ir calculándola por integración reitemás allá de la definición puramente rada respecto de una variable y luego geométrica de los números complejos. de la otra que al invertir el orden de En una carta escrita en 1837 dice que integración. Gauss demuestra que no en 1831 había comprendido que era es así, sino que los distintos órdenes posible evitar toda interpretación de integración dan a la integral valogeométrica usando pares ordenados res distintos. Por consiguiente, la de la forma (a,b) en lugar de a + bi, hipótesis de inexistencia de raíces dando definiciones puramente alge- tiene que ser falsa, esto es, existe braicas de la adición y la multiplica- una raíz. Para comprender de dónde vino la ción. Mediante pares ordenados mostró que las operaciones aritméticas demostración hay que tener presente con números complejos están defini- que Gauss poseía los teoremas fundas por las reglas: (a,b) + (c,d) es damentales del análisis de variable igual a (a + c, b + d) y (a,b) (c,d) es compleja, pero no los había publicado. Su demostración es traducción de un razonamiento de teoría de funciones 6. LAS DISTANCIAS de los planetas al de variable compleja a técnicas ordiSol quedan aproximadamente descritas narias de variable real. Los resultapor la ley de Bode, cuyo verdadero desdos de la traducción son rigurosos cubridor fue Johann Titius, en 1766. (Una unidad es igual a 14,9 millones de desde el punto de vista lógico, pero kilómetros.) La laguna de la serie que se hay una cierta perversidad en su conocía en 1800 precipitó la búsqueda formulación, que oscurece la idea del “planeta ausente”, que culminó con inicial. Al parecer, Gauss creía que el descubrimiento del asteroide Ceres sus teoremas de variable compleja no en 1801. Gauss realizó la difícil tarea de estaban todavía suficientemente tercalcular la órbita de Ceres a partir de los escasos datos disponibles. Ceres volminados como para publicarlos, y, por vió a ser observado donde él predijo. consiguiente, refundió conveniente(Los planetas descubiertos después de mente su razonamiento. 1800 se han representado en color. ObGauss hizo mucho más con los sérvese que la ley de Bode presenta números complejos. En 1811 descuaproximaciones mediocres para los plabrió el hoy llamado teorema de netas situados más allá de Urano.)

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PLUTON

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7. LA TEORIA INTRINSECA DE SUPERFICIES, desarrollada por Gauss, permite calcular la curvatura de una superficie midiendo solamente la longitud de las curvas contenidas en esa superficie. La curvatura de una superficie convexa se halla del modo siguiente: primero, usando un plano paralelo al plano tangente en el punto P, se rebana la superficie cercana a P a lo largo de una elipse (color oscuro). Se trazan los ejes mayor y menor de esta elipse, señalados AB y CD, y se proyectan sobre la superficie, obteniéndose las curvas  APB y CPD. Se hallan a

Cauchy: la integral de una función analítica compleja a lo largo de una curva cerrada que no rodee ninguna singularidad es igual a cero. Augustin Louis Cauchy convirtió este teorema en fundamento del análisis de variable compleja, y todavía hoy sigue siéndolo. No se le llama teorema de Gauss porque Gauss no llegó nunca a publicarlo. Parece verosímil que tuviera la intención de preparar una obra definitiva sobre análisis de  variable compleja, pero que no tuvo nunca tiempo suficiente para desarrollarla a su satisfacción.

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auss elaboró también un método para descomponer números primos en producto de números comple jos, obteniéndose algunos resultados dignos de mención. Por ejemplo, el número primo 2 puede descomponerse en la forma (1 + i) (1 – i). Así, 5 es expresable como (2 + i) (2 – i), 29 es (5 + 2 i) (5 – 2 i ), etc. Sin embargo, ciertos números primos no pueden descomponerse, y permanecen primos (entre ellos, 7, 11 y 19). Gauss descubrió que aparte de 2, que es caso especial, los únicos números primos así descomponibles con números complejos son los de la forma 4 n + 1, y que en tales casos la descomposición factorial es única. Más tarde se usaron métodos de este tipo para resolver problemas que en apariencia no GRANDES MATEMÁTICOS

continuación dos circunferencias (“osculatrices”) que tengan en el punto P el máximo grado de contacto con las curvas de proyección. Sean sus radios R y r . Entonces, conforme el plano secante se aproxima a P y la elipse se contrae a este mismo punto,  Rr . En b, la superficie prela curvatura tenderá hacia el valor 1/  senta una ensilladura, y el plano la corta a lo largo de dos hipérbolas. Se conviene en que uno de los radios (y, por tanto, la curvatura) es negativo. En el caso de un plano, uno y ot ro radio,  R y r , son de longitud infinita, y la curvatura es cero.

tenían relación alguna con los númeLa demostración de Gauss de la ley ros complejos. de reciprocidad cuadrática utiliza En particular, Gauss utilizó nú- enteros de Gauss, y constituye un meros complejos de la forma a + bi, modelo arquetípico de resolución de con a y b números enteros (llamados problemas de teoría de números. Prien la actualidad enteros de Gauss), mero, el problema se generaliza a un para enunciar y demostrar una ver- dominio de números complejos convesión de la ley de reciprocidad cua- nientemente elegido, llamado un drática para residuos bicuadráticos. cuerpo numérico, en el cual el proSe dice que el número k  es residuo blema admite un análisis más natubicuadrático de otro número m si k ral; a continuación, el problema se es congruente módulo m a la cuarta resuelve en este dominio, vol viéndose potencia de un entero. Así, los resi- a los enteros ordinarios al final de la duos bicuadráticos de 10 son 0, 1, 5 demostración. Este potente método y 6. La ley de reciprocidad bicuadrá- abrió las puertas de la hoy denomitica enuncia que para dos números nada teoría algebraica de números. primos  p y q existen ciertas relacion 1801, Gauss se interesó por la nes entre los enunciados “ p  es resiastronomía, con lo que su traduo bicuadrático de q” y “q  es residuo bicuadrático de  p ”, con un bajo matemático cambió bruscamente cúmulo de condiciones relativas a  p de dirección. A ello contribuyó, sin y a q. Este teorema es análogo al de duda, su gusto por el cálculo. En toda reciprocidad cuadrática, pero es su obra, incluso la más pura y erumucho más fatigoso de enunciar dita, hay largos cálculos; algunos de matemáticamente (y, por consi- sus teoremas más profundos de la guiente, es muy difícil conjeturarlo, teoría de números fueron inducidos y, no digamos ya, demostrarlo). Si del examen de largas series de cifras. el teorema se generaliza al caso de  Ade más, Gauss solía proseguir ser  p y q enteros de Gauss de la muchos de sus cálculos hasta 21 forma a + bi, pueden simplificarse cifras decimales, y esto, mucho antes notablemente tanto el enunciado del de aparecer ningún tipo de máquina teorema como su demostración. Así, de calcular. El interés de Gauss por la astronoel paso a números complejos hace el problema más sencillo, y, su resolu- mía puede hacerse arrancar de un ción, más natural que en el caso descubrimiento de Johann Titius, quien formuló, en 1776, una regla puramente real.

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empírica para las distancias entre el Sol y los planetas. Titius dio inicialmente la serie 0, 3, 6, 12, 24, 48 y 96, en la que cada término es doble de su antecesor; más tarde, sumó 4 a todos los términos, con lo que se obtienen 4, 7, 10, 16, 28, 52 y 100. Resultó que estos números eran muy aproximadamente proporcionales a las distancias desde el Sol a Mercurio,  Venus, la Tierra, Marte, Júpiter y Saturno, con la salvedad de que no había ningún planeta a la distancia 28. Esta regla, conocida hoy como ley de Bode (debido a que Johann Bode se la apropió sin mencionar su primitivo autor), no fue hasta 1781 sino una curiosidad, año en que William Herschel descubrió Urano, a distancia aproximada de 196 unidades. Como el siguiente término de la sucesión de Titius-Bode sería 2(96) + 4 = 196, los astrónomos centra ron su interés en la laguna correspondiente a 28. En la Nochevieja de 1800 a 1801, Giuseppe Piazzi descubrió lo que pensó sería el planeta que faltaba. Se trataba de Ceres, que ahora sabemos que es uno de los millares de pequeños cuerpos del cinturón de asteroides situado entre Marte y Júpiter. Una  vez divisado Ceres era importante calcular la órbita elíptica del nuevo cuerpo celeste antes de que los obser vadores lo perdieran de vista. La

dificultad de observar un cuerpo tan pequeño hacía que los datos disponibles fueran escasos y poco fiables, y tanto más difícil la exacta determinación de su órbita. El propio Newton había hecho notar cuán difícil era la determinación de órbitas a partir de escasos datos. Para Gauss era la oportunidad de seguir las huellas del hombre más admirado.

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on tan sólo tres observaciones, Gauss preparó una técnica de cálculo de componentes orbitales tan precisa que a finales de 1801 y comienzos de 1802 varios astrónomos pudieron localizar Ceres sin ninguna dificultad. Parte de su técnica consistió en mostrar cómo las variaciones inherentes a la información de origen experimental podían representarse mediante una curva acampanada (muy conocida hoy con el nombre de distribución de Gauss). También diseñó el método de mínimos cuadrados, mediante el cual el valor estimado óptimo se determina haciendo mínima una suma de cuadrados de diferencias con los valores particulares de una serie de observaciones. Sus métodos, expuestos en 1809 en un artículo titulado “Teoría del movimiento de los cuerpos celestes que giran alrededor del Sol según secciones cónicas”, son válidos todavía hoy.

Tan sólo han sido necesarias unas cuantas modificaciones para adaptarlos a los modernos computadores. Gauss tuvo parecido éxito en la determinación de la órbita del asteroide Pallas, para el que refinó sus cálculos con el fin de tomar en cuenta las perturbaciones de la órbita creadas por los otros planetas del sistema solar. En 1807 llegó a profesor de astronomía del nuevo obser vatorio de la Universidad de Göttingen, donde permaneció el resto de su vida. Su primera esposa murió en 1809, poco después del nacimiento de su tercer hijo. Se casó por segunda vez y tuvo otros dos varones y una hija. Hacia 1820, Gauss volvió su atención hacia la geodesia, que estudia la determinación de la forma y tamaño de la Tierra. Dedicó a esta cuestión gran parte de los ocho años siguientes, tanto en estudios teóricos como en trabajos de campo. En 1821 fue nombrado consejero científico de los gobiernos de Hannover y Dinamarca, que le encargaron un estudio geodésico de Hannover mediante técnicas de triangulación. A tal fin, Gauss puso a punto el heliotropo, instrumento que refleja la luz del sol en dirección exactamente especificada, haciendo así posible alinear a grandes distancias los instrumentos topográficos.

8. MAPA MAGNETICO de la Tierra, basado en un dibujo publicado en 1840 en el  Atlas des Erdmagn etismus , preparado conjuntamente por Gauss y Weber. Ambos obtuvieron las mediciones experimentales necesarias organizando una red de observadores por todo el mundo.

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Los esfuerzos de Gauss para determinar la forma de la Tierra a partir de mediciones geodésicas reales le condujeron a la teoría pura. Trabajando con datos obtenidos en sus observaciones, desarrolló una teoría de superficies curvas mediante la cual las características de una superficie pueden determinarse con tan sólo medir la longitud de las curvas contenidas en ella. Esta teoría intrínseca de superficies inspiró a uno de sus discípulos, Bernhard Riemann, a desarrollar una geometría intrínseca general de espacios de tres o más dimensiones. Unos 60 años más tarde, las ideas de Riemann constituyeron la base matemática de la teoría general de la relatividad de Albert Einstein.  A partir de 1831, año en que el físico Wilhelm Weber llegó a Göttingen, Gauss trabajó en estrecha colaboración con él en la investigación, tanto teórica como experimental, del magnetismo. Ambos inventaron un magnetómetro, y como resultado de su común interés por el magnetismo terrestre, organizaron a través de toda Europa una red de observadores a fin de medir las variaciones del campo magnético terrestre. Gauss pudo demostrar teóricamente que el campo surgía del interior de la Tierra, resultado de considerable importancia, porque delimitaba los posibles orígenes del campo, y hacía que la atención se concentrase en los mecanismos geofísicos que lo engendraban. Su contribución queda recogida en el “gauss”, unidad de densidad de flujo magnético.

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auss y Weber estuvieron también entre los primeros en señalar la posibilidad de transmitir mensajes por medio de la electricidad. Larga es la historia de la telegrafía, pero antes de 1800, o aledaños, tan sólo se usaban métodos no eléctricos. Hacia 1827 se transmitió un impulso eléctrico a más de 250 metros, lo que inmediatamente sugirió que la electricidad podría servir para la telegrafía. Se diseñaron diversos telégrafos eléctricos, pero ninguno llegó a ponerse a punto hasta 1832, año en que se conectaron los palacios de  verano y de invierno del Zar, en San Petersburgo. Un año más tarde, Gauss y Weber disponían de un telégrafo que corría sobre los tejados de Göttingen, con longitud de 2,3 kilómetros. Las señales transmitidas consistían en una sucesión de cinco deflexiones de una aguja, bien a la derecha, bien a la izquierda (32 posiGRANDES MATEMÁTICOS

X

P A

C

R

B Q

Z

Y

9. LA GEOMETRIA HIPERBOLICA es un sistema n o euclídeo construido por Gauss. En él se puede hallar el área de un triángulo conociendo sus ángulos, lo que es falso en geometría euclídea. El diagrama aquí mostrado es parte de la demostración dada por Gauss de que el área del triángulo es proporcional a la diferencia entre 180 grados y la suma de los ángulos A, B y C. Debido a que el triángulo está dibujado en un plano euclídeo sus lados aparecen curvos, pero en el espacio hiperbólico son rectos. Además, las líneas que aparecen agrupadas de t res en tres en los bordes del diagrama son todas ellas paralelas, con lo que la línea de apariencia curvada  XY   es paralela tanto a  XQ como a  PY , situación que resulta del todo imposible en geometría euclídea. Aunque todos los vértices del triángulo XYZ  se encuentran en el infinito, su área es finita.

bilidades en total); el dispositivo ƒ( z) es igual a ƒ( z + a), y también es funcionó tan bien que los dos hombres igual a ƒ( z + b ). La situación es análo utilizaban regularmente para loga a las de las funciones trigonomécomunicarse entre sí. El telégrafo de tricas, que tienen periodicidad simple. Gauss-Weber fue probablemente el  Así, por ejemplo, sen( z) = sen( z + 2π). primero que funcionó, en el sentido El descubrimiento de Gauss tuvo práctico del término, y se adelantó,  vigorosas implicaciones, debido a las en siete años, a la famosa patente de numerosas conexiones entre la teoría Morse. de funciones de variable compleja y La enorme fama de Gauss aumentó la teoría de números. También estuvo Gauss entre los todavía más después de su muerte, al descubrirse, inéditos, numerosos primeros que pusieron en tela de resultados que anticipaban muchos  juicio que la geometría euclídea fuese de los principales progresos del siglo la inherente a la naturaleza y al  XIX . Además del teorema de Cauchy, pensamiento humano. La geometría había descubierto la doble periodici- sintética de Euclides se basaba en dad de las funciones elípticas, que, en ciertos axiomas, o proposiciones funmanos de Abel y Jacobi, llegaron a damentales, consideradas verdaderas ser el núcleo de la teoría de funciones por su propia evidencia. Todo el sisdel siglo  XIX . Las funciones elípticas tema geométrico se construía mediante son funciones especiales ƒ( z) de una razonamiento lógico sobre estos  variable compleja z. Su doble periodi- cimientos no demostrados. El axioma cidad significa que hay dos constantes de las paralelas afirma que, por un complejas distintas, que llamaremos punto exterior a una recta, solamente a y b, tales que para todo valor de  z, puede trazarse una paralela a ella. 57

El axioma de las paralelas ha sido exhaustivamente estudiado a lo largo de toda la historia. No se impone al pensamiento con tanta fuerza como los restantes; además conlleva la noción de infinitud. Ya en la antigüedad, los matemáticos intentaron sustituirlo por axiomas más evidentes.

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ste problema, todavía no resuelto en el siglo  XVIII, recibió renovada atención, y muchos matemáticos y amateurs se esforzaron en demostrar que el axioma de las paralelas podía deducirse, lógicamente, de los restantes axiomas de Euclides. Todas las presuntas demostraciones que se obtuvieron resultaron contener falacias. Gauss tuvo noticia de la contro versia siendo aún estudiante en Göttingen. En 1804 escribió una carta al matemático húngaro Farkas Bolyai donde le indicaba que la demostración que había dado Bolyai del axioma de las paralelas era falaz, porque había sustituido un razonamiento infinito por otro finito. Gauss incluyó en su refutación un comentario, donde expresaba haber tropezado ya con la misma dificultad. En 1815, no obstante, las recensiones que hizo de ciertos libros dejaban ver que en su opinión podría existir una geometría en la que no se verificase el axioma de las paralelas, y, a pesar de eso, fuese internamente coherente y libre de contradicciones. Dada la habitual circunspección de Gauss a la hora de manifestar sus propias ideas, las anteriores afirmaciones inducen fuertemente a pensar que él ya disponía con qué respaldarlas. Quizá porque su pensamiento iba contra la corriente de sus contemporáneos prefirió reser varlas; quizá creyera, probablemente con razón, que habrían de ser mal entendidas. En 1820, el hijo de Bolyai, János, contagiado también de la fanática obsesión de su padre por demostrar el axioma de las paralelas, llegó a la conclusión de que tal demostración era imposible, y comenzó a desarrollar una nueva geometría que no utilizara el axioma de Euclides. Tres años más tarde había finalizado una memoria en la que proponía un sistema coherente de geometría no euclídea, que publicó como apéndice a un libro de su padre,  Ensayo sobre  elementos de matemáticas para jóvenes estudiosos. Gauss leyó esta memo-

ria en 1832, y escribió a Bolyai padre que no podría ser elogioso con ella, porque hacerlo sería lo mismo que elogiar trabajos que él mismo había

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realizado 30 años antes. El joven pertenecientes al mismo conjunto. Bolyai quedó muy decepcionado por  Así, por ejemplo, las clases de restos la displicente respuesta de Gauss, y de números enteros módulo uno murió sin que casi nadie reconociese primo  p, forman un cuerpo finito. Las conjeturas de Weil dan fórmuque había resuelto un problema enormemente importante, pendiente de las que permiten calcular el número solución durante muchísimo tiempo de soluciones de una ecuación alge(problema que fue resuelto indepen- braica en un cuerpo finito. Permiten, diente y casi simultáneamente, de en particular, deducir si una ecuación forma muy parecida, por Nikolai tiene soluciones o no; información Ivanovich Lobachevsky). La actitud que, con las modificaciones necesade Gauss fue muy injusta, en vista rias, puede utilizarse para ecuaciones de que él mismo nunca tuvo la sufi- análogas en números enteros o númeciente seguridad de su propio trabajo ros algebraicos. Como es obvio, las como para hacerlo público. Quizás conjeturas de Weil son de carácter estuviera algo celoso del éxito de especializado, y están formuladas en lenguaje muy técnico. Han sido Bolyai. En muchos aspectos, Gauss se recientemente demostradas por Pierre encontró en una encrucijada. Puede Deligne. ser igualmente considerado como el auss enunció en alguno de sus primero de los matemáticos modernos trabajos la conjetura de que que como el último de los grandes existe descomposición única en factoclásicos. La paradoja es fácil de resol ver ; sus método s son de espíritu res primos para números de la forma moderno, pero los problemas que  p + q√ – D, donde  D  es un entero positivo, tan sólo cuando  D  sea uno afrontó fueron clásicos. El marchamo de la obra de Gauss, de los números 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, muy especialmente en matemática 67 y 163. Este resultado, que él indujo pura, es su hábito de razonar con lo por observación directa de series particular como si fuera general. Para numéricas, ha sido demostrado recienusar con éxito esta técnica es necesa- temente por Harold M. Stark y Alan rio utilizar solamente aquellas pro- Baker, y conduce a nuevos e piedades del caso particular que importantes resultados en teoría de tengan contrapartida general. Al números. La importancia de Gauss es conseafrontar un problema, Gauss combina cuencia de su capacidad para combila amplitud de los métodos generales con la intensidad y simplicidad de los nar lo general y lo específico. Forma casos particulares. Así, por ejemplo, un puente entre lo nuevo y lo viejo; su trabajo sobre los números comple- sus ideas contienen la semilla de  jos contiene en sí la simiente de la amplias teorías e importantes resulteoría general de los números alge- tados. Es el más brillante caso de braicos. Sus escritos dejan siempre en matemático capaz de extraer todo el el lector la impresión de que Gauss  jugo posible de un ejemplo maduro sabía más de lo que decía, de que al mediante razonamiento inductivo explicar un resultado, estaba ya pen- (pasando de los casos particulares a sando en los problemas más generales teorías generales) con preferencia al que lo rodean, y que tenía ya idea de razonamiento deductivo (obtención de conclusiones específicas a partir de cómo empezar a resolverlos. Podemos hacernos idea de la pro- principios generales). En 1937, Eric fundidad y fecundidad del pensa- Temple Bell escribió acerca de la miento de Gauss observando algunas influencia ejercida por Gauss sobre investigaciones recientes inspiradas sus sucesores: “Vive en la totalidad por él. Por ejemplo, en 1947, André de la Matemática.” Afirmación que, Weil, partiendo de ciertos teoremas en todo caso, es hoy aún más cierta de Gauss relativos al número de que nunca. soluciones distintas y no congruentes módulo un número primo de las ecuaciones algebraicas, se vio conducido a formular tres conjeturas de gran BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA trascendencia acerca de las variedaMEN OF MATHEMATICS . Eric T. Bell. Simon des algebraicas sobre cuerpos finitos. & Shuster, Inc., 1937. Un cuerpo finito es un con junto de DISQUISITIONES A RITHMETICAE. Carl Frieelementos algebraicos, en número drich Gauss. Yale University Press, 1966. CARL FRIEDRICH GAUSS: A BIOGRAPHY. finito, que, además de reunir algunos Tord Hall. The MIT Press, 1970, otros requisitos, pueden sumarse, W ERKE. Carl Friedrich Gauss. G. Olms restarse, multiplicarse y dividirse Verlag, Hildesheim-Nueva York, 1973. entre sí, dando siempre resultados

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TEMAS 1

GRANDES MATEMÁTICOS

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Jean Baptiste Fourier Ronald L. Bracewell  La doble hélice del ADN, el ciclo de las manchas solares  y las señales aserradas que la electrónica utiliza se reducen matemáticamente a una serie de curvas ondulantes. Tal es la idea que subyace a una poderosa herramienta del análisis

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ara calcular una transformada, escuche. El oído efectúa automáticamente el cálculo, un cálculo que el intelecto sólo alcanza a realizar tras años de formación matemática. El oído ejecuta la transformación convirtiendo el sonido —ondas de presión que via ja n a través del tiempo y de la atmósfera— en un espectro, que es una descripción del sonido mediante una serie de volúmenes de diferentes tonos. El cerebro se encarga de convertir esa información en sonido percibido. Resulta posible efectuar por métodos matemáticos operaciones similares sobre las ondas sonoras y, con mayor generalidad, sobre casi todo fenómeno fluctuante, desde las ondas luminosas, pasando por las mareas oceánicas, hasta los ciclos solares. Dichas herramientas matemáticas permiten descomponer las funciones que representan las fluctuaciones en un conjunto de componentes sinusoidales, curvas ondulantes que oscilan de un máximo a un mínimo y vice versa, a modo de crestas y senos de las ondas del océano. La transformación de Fourier es una función que describe la amplitud y la fase de cada sinusoide, con una frecuencia específica. (La amplitud expresa la altura de la sinusoide; la fase, el punto de

RONALD L. BRACEWELL pertenece al claustro de la facultad de ingeniería eléctrica de la Universidad de Stanford desde 1955. Se formó en l a Universidad de Sydney y en el laboratorio Cavendish, en Cambridge, donde se doctoró. Entre las materias que ha investigado se cuentan el radar de microondas, la física ionosférica y la radioastronomía. En Stanford, es catedrático emérito de informática y numerario del laboratorio del espacio, telecomunicaciones y radiociencia.

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arranque dentro del ciclo de la sin- pergeñar una teoría sobre las raíces usoide.) de las ecuaciones algebraicas. La transformación de Fourier ha Poco antes de que los franceses llegado a ser un poderoso instru- fueran arrojados de Egipto, en 1801, mento en diversos campos de la Fourier y sus colegas se hicieron a la ciencia. En ciertos casos, proporciona mar para volver a Francia. El comanmétodos para la resolución de ecua- dante de la Flota Británica, almirante ciones difíciles de manejar, verbigra- Sir Sidney Smith, no tardó en apodecia, las ecuaciones que describen las rarse del navío y de su cargamento respuestas dinámicas de los sistemas de documentos y reliquias egipcias. eléctricos, térmicos o lumínicos. En Con el honorable espíritu propio de otros casos, permite identi ficar las la época, Smith desembarcó a los aportaciones de índole regular a una científicos sanos y salvos en Alejandría. señal fluctuante, contribuyendo así a El comandante inglés acabaría finaldar sentido a las observaciones de la mente viajando a París para devolver astronomía, la medicina y la quí- el material confiscado, a excepción de mica. la piedra Rosetta (la clave de los El mundo tuvo por vez primera  jeroglíficos egipcios), que se conserva noticia de esta técnica merced al todavía hoy en el Museo Británico, matemático de quien la transforma- como monumento a la derrota militar ción recibe su nombre, el barón Jean- de Napoleón y su contribución a la Baptiste-Joseph Fourier. No sentía egiptología. por el calor mero interés: le obsesionaba. Mantenía su casa de Grenoble ras retornar a Francia, relativacaldeada hasta el punto de resultar mente indemne, Fourier se incómoda, de lo cual solían quejarse centró en cuestiones matemáticas, en sus visitas. Y mientras, iba forrado su puesto de profesor de análisis de en gruesas capas y abrigos. Quizá la Escuela Politécnica, aunque en fuera el atractivo de climas más cáli- 1802 volvió a entrar al servicio de dos lo que, en 1798, indujo a Fourier Napo león. Fourier se convirtió en a unirse a la comitiva de 165 sabios prefecto del departamento de Isère. que acompañaron la expedición de Mientras se esforzaba por remediar los desgarros originados en la Napoleón a Egipto. Mientras Napoleón combatía a los Re vol ución de 178 9, con struyó el sirios en Palestina, expulsaba de tramo francés de la carretera a Turín Egipto a los turcos y perseguía a y desecó 80.000 kilómetros cuadraMurad Bey, jefe de los mamelucos, dos de ciénagas que provocaban los científicos franceses emprendieron malaria endémica. Durante aquel ambiciosos estudios de geografía, tiempo, dedujo una ecuación que arqueología, medicina, agricultura e describía la conducción del calor en historia natural. Fourier fue nom- los cuerpos sólidos. Y hacia 1807, brado secretario del organismo cientí- había inventado un método para fico conocido por Instituto de Egipto. resolver tal ecuación: la transformaTal era su competencia en despachar ción de Fourier. tareas administrativas, que le fueron Se sirvió de su técnica matemática encomendadas no pocas misiones para explicar muchos ejemplos de diplomáticas. Lo cual no le impidió conducción del calor. Tenemos uno llevar a cabo una exhaustiva investi- particularmente instructivo, que evita gación de las antigüedades egipcias y las complicaciones del cálculo, en el

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flujo de calor en torno a un anillo de del fuego y, antes de que haya podido ancla —un anillo de hierro que su jeta perder mucho calor en el aire, el el ancla de un barco a su cadena— anillo se entierra en arena refractaria introducido a medias en un fuego. fina y se mide la temperatura en Cuando parte de la circunferencia se torno a la curva exterior [véase la pone al rojo vivo, se retira el anillo  figura 2 ].

1. EN EL ESPECTRO de un haz de luz solar encontramos una analogía física de las transformaciones matemáticas (arriba ). La intensidad de la luz solar que penetra en el prisma varía de un instante a otro (abajo). La luz saliente del prisma se ha separado y descompuesto, y atraviesa el espacio en colores puros, esto es, en frecuencias simples. La intensidad de cada color equivale a la amplitud correspondiente a cada

GRANDES MATEMÁTICOS

La distribución de temperatura es, en un comienzo, irregular: parte del anillo se encuentra uniformemente frío y parte, uniformemente caliente; en la zona media, la temperatura cambia con brusquedad. Sin embargo,

frecuencia. Así, la amplitud, que era función del tiempo, se trasforma en una función que da la amplitud correspondiente a cada frecuencia. La transformada de Fourier permite representar una señal que varía en el tiempo como una función de la frecuencia y la amplitud; facilita, además, información sobre la fase. (Otras aplicaciones de interés se dan en biología.)

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debido a la transmisión de calor desde la parte caliente hacia la fría, la distribución de temperaturas comienza a suavizarse. La distribución de temperaturas en torno al anillo alcanza pronto una forma sinusoidal; al representar gráficamente la temperatura,  vemos una curva que sube y baja suavemente, a modo de una S, de forma exactamente igual a la de  variación de las funci ones seno y coseno. La sinusoide se va aplanando gradualmente, hasta que todo el anillo llega a una temperatura constante. Fourier propuso que la irregular distribución inicial podía descomponerse en multitud de sinusoides simples, provista cada una con su propia temperatura máxima y su propia fase, esto es, su posición relativa dentro del anillo. Además, cada componente sinusoidal variaba un número entero de veces de un máximo a un mínimo e inversamente en cada  vuelta completa en torno al anillo. La  variación que poseía un solo ciclo dio en llamarse armónico fundamental, mientras que las variaciones con dos, tres o más ciclos por giro en torno al anillo son el segundo armónico, el tercer armónico, etcétera. La función matemática que describe la temperatura máxima y la posición —la fase— de cada uno de los armónicos es la transformada de Fourier de la distribución de temperaturas. Fourier había cambiado una distribución única, cuya descripción matemática era difícil, por una serie más mane jable de funciones trigonométricas periódicas que, al sumarse, engendraban la distribución original.

 A 

l aplicar el análisis anterior a la conducción de calor en torno al anillo, razonó que, cuanto mayor fuera el número de períodos de una

2. TEMPERATURA de los distintos puntos de un anillo de hierro. Fue éste uno de los primeros fenómenos analizados mediante la técnica de Fourier. Vemos en (a) una distribución de calor en torno a un anillo; la temperatura es más elevada cuanto más intenso es el color. Para comenzar el análisis, el anillo se “desarrolla” (b) y se mide su temperatura en cada punto, lo cual nos proporciona una distribución de temperatura en torno a la circunferencia (c). La distribución de temperatura se descompone entonces en multitud de curvas sinusoidales con uno, dos, tres o más ciclos (d). Si luego nos limitamos a sumar dieciséis de estas curvas (línea continua en e), se obtiene una buena aproximación de la primitiva distribución de temperaturas (línea de trazos en e).

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TEMAS 1

3. CONDUCCION DE CALOR a través de un anillo de hierro. Provoca que la distribución de temperaturas cambie con el tiempo (izquierda). Al igual que la distribución de temperatura puede ser descrita mediante una serie de curvas sinusoidales, la evolución temporal de una distribución de temperatura puede quedar descrita mediante cambios en las sinusoides. Vemos aquí la distribución monocíclica, llamada

componente sinusoidal, tanto más deprisa decaería tal componente. Podemos seguir su razonamiento examinando la relación entre el armónico fundamental y el segundo armónico de la distribución de temperaturas. La temperatura del segundo armónico varía dos veces de caliente a fría al ir recorriendo la circunferencia del anillo, mientras que la del armónico fundamental lo hace solamente una vez. Así pues, la distancia que debe viajar el calor desde la cresta térmica hasta el valle frío es, para el segundo armónico, la mitad sólo de la correspondiente al fundamental. Además, el gradiente de temperatura es, en ese segundo armónico, el doble de abrupto que en la  variación fundamental. Dado que un flujo calorífico doble ocupa la mitad de la distancia, el segundo armónico se extinguirá cuatro veces antes que el fundamental.

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os armónicos de órdenes superiores se amortiguarán con mayor celeridad aún. Por tanto, al tender al equilibrio la temperatura en el anillo, tan sólo persistirá una  variación sinusoidal, la correspondiente al armónico fundamental. Fourier estaba convencido de que la evolución temporal de cualquier distribución calórica inicial podría calcularse merced a su técnica. El análisis de Fourier ponía en entredicho ciertas concepciones matemáticas por las que sus contemporáneos sentían inquebrantable adhesión. A principios del siglo  XIX , a muchos de los más distinguidos matemáticos parisienses —entre ellos Lagrange, Laplace, Legendre, Blot y

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primer armónico (centro), y la distribución de dos ciclos, o segundo armónico (derecha). Fourier estableció que el segundo armónico se amortigua cuatro veces más rápidamente que el primero, y que los armónicos de orden superior decaen antes aún. Dado que el primer armónico es el de más larga persistencia, la distribución general tiende hacia la forma sinusoidal del mismo.

Poisson— les resultaba imposible plenamente descrito hasta la publicaaceptar la tesis de Fourier, que sos- ción, en 1822, de su libro Théorie tenía que la distribución de tempera- analytique de la chaleur   (Teoría anaturas podía descomponerse en una lítica del calor). sencilla suma aritmética, compuesta Las objeciones al método de Fourier por una variación fundamental más se centraban en su proposición de que sus armónicas de frecuencias más una función en apariencia discontielevadas. También Leonhard Euler nua pudiera representarse mediante hubiera hallado incorrectas las ideas una suma de funciones sinusoidales, de Fourier, no obstante haber él todas ellas continuas. Las gráficas de mismo propuesto que ciertas funcio- las funciones discontinuas presentan nes eran representables mediante saltos o rupturas. Por ejemplo, la sumas de funciones sinusoidales. Y función llamada de Hea viside tiene el así, cuando Fourier defendió esa tesis  valor cero en toda su porción izquierda en una sesión de la Academia y salta bruscamente a 1 en su mitad Francesa de Ciencias, Lagrange, derecha. (Tal función puede describir puesto en pie, sostuvo que aquello era la intensidad en un circuito eléctrico imposible. antes y después del cierre de un Mas ni siquiera en esas circuns- interruptor.) Los coetáneos de Fourier tancias podía la Academia ignorar  jamás habían visto que una función la importancia de los resultados de discontinua estuviese descrita por Fourier; le concedió un premio por una combinación de funciones contisu teoría matemática de las leyes nuas ordinarias, como las funciones de propagación del calor y la con- lineales, cuadráticas, exponenciales o cordancia de los resultados de su sinusoidales. Sin embargo, de estar teoría con experimentos cuidadosa- Fourier en lo cierto, la suma de un mente realizados. A pesar de todo, número infinito de sinusoides podría la concesión del premio se anunció ser convergente y representar, con con la siguiente reserva: “La nove- exactitud, funciones cuyos valores dad del tema, sumada a su impor- saltasen bruscamente, y no sólo una, tancia, nos ha decidido a otorgarle sino muchas veces. En su época, tal el premio, haciendo notar, empero, i d e a p a r e c í a m a n i f i e s t a m e n t e que el modo en que el autor llega a absurda. sus ecuaciones no carece de dificultades, y que el análisis que efectúa pesar de las citadas objeciones, para integrarlas deja todavía algo muchos investigadores, entre que desear, tanto en lo tocante a ellos la matemática Sophie Germain generalidad como en lo concerniente y el ingeniero Claude Navier, comenal rigor.” zaron a generalizar el trabajo de La gran desconfianza con que los Fourier, extrapolándolo a campos discolegas de Fourier consideraban el tintos del análisis del calor. Pero los trabajo de éste fue la causa de que matemáticos seguían dándole vueltas su publicación se demorase hasta al problema de si una serie de fun1815. De hecho, el trabajo no quedó ciones sinusoidales podría converger

 A 

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y representar con exactitud una función discontinua dada. Siempre que es preciso sumar una serie infinita de números, se plantea la cuestión de la convergencia. Tomemos un ejemplo clásico: ¿podremos llegar a una pared si en cada paso avanzamos la mitad de la distancia que nos separa de ella? El primer paso llevará la punta de nuestro pie hasta la marca de mitad del camino; el segundo, hasta las tres cuartas partes; al final del quinto llevaremos andado casi el 97 por ciento del camino. Cierto es que estamos a punto de alcanzar el muro; pero también lo es que, sea cual fuere el número de pasos que demos, nunca llegaremos a alcanzarlo del todo. Podemos demostrar matemáticamente, eso sí, que podríamos acercamos a la pared hasta quedar de ella a menor distancia que cualquiera que se estipule de antemano. (La demostración equivale a demostrar

que la suma de un medio, más un cuarto, más un octavo, más un dieciseisavo, y así sucesivamente, tiende a uno.) La cuestión de la convergencia de las series de Fourier volvió a surgir en las postrimerías del siglo  XIX , en las tentativas de predecir el flujo y reflujo de las mareas. Lord Kelvin había inventado un ordenador analógico destinado a proporcionar informa ción sobre mareas a las tripulaciones de los navíos mercantes y de la armada. Los primeros conjuntos de amplitudes y fases fueron calculados manualmente, a partir de un registro de alturas de las mareas y de los tiempos correspondientes, cuidadosamente medidos a lo largo de un año en un puerto determinado.

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ada amplitud y fase representaba una componente sinusoidal de la función que daba la altura de

4. PREDICTOR DE MAREAS FERREL, un ordenador analógico construido a fines del siglo  XIX   que efectuaba una síntesis de Fourier para predecir el flujo y reflujo de las mareas. Los datos sobre alturas de la marea recogidos en un puerto podían reducirse, por cálculo manual, a una colección de números, cada uno

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la marea en función del tiempo y ponía de manifiesto una de las contribuciones periódicas a la marea. Los resultados se suministraban en tonces al ordenador de Lord Kelvin, y el ingenio sintetizaba una cur va que predecía las alturas de la marea correspondientes al año siguiente. Pronto se generaron curvas de mareas para puertos de todo el mundo. Parecía evidente que una máquina de predicción de mareas compuesta por mayor número de elementos podría calcular más amplitudes y más fases y proporcionar así mejores predicciones. Tal presunción resultó no ser completamente cierta cuando la función de alturas de mareas a sintetizar contenía un salto brusco, esto es, describía una función discontinua. Supongamos que tal función fuese reducida a un pequeño conjunto de amplitudes y fases, esto es, a unos

de los cuales representaba una contribución periódica a la marea. Los valores correspondientes a un puerto se introdu cían en el predictor ajustando unos mandos giratorios en el dorso de la máquina (izquierda). Al colocar una hora en el frente de la máquina (derecha), la altura de la marea se leía en un dial.

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pocos coeficientes de Fourier. La fun- matemáticos diferentes para deducir ción original puede reconstruirse la transformada, aplicable uno cuando entonces a partir de las componentes la función original es continua y el sinusoidales asociadas a esos coefi- otro cuando consiste en una multitud cientes, pudiéndose medir en cada de mediciones discretas. punto la discrepancia o error entre la Cuando la función se obtiene de función original y la reconstruida. Se una lista de valores tomados a interrepite el procedimiento de detección  valos discretos, es posible descompode errores, calculando cada vez un nerla en una serie de funciones sinnúmero mayor de coeficientes, incor- usoidales de frecuencias discretas, porándolos a la reconstrucción. En que parten de una frecuencia mínima, cada caso, el valor del error máximo la fundamental, y pasan por una serie no disminuye. Por otra parte, el error de frecuencias que son dos, tres o más llega a quedar confinado a la región  veces la fundamental. Esta suma de de la curva situada en las inmedia- sinusoides recibe el nombre de serie ciones de la discontinuidad, por lo que de Fourier. en cualquier punto dado el error acaSi la función original proporciona baba por tender a cero. En 1899, un valor para cada número real, se Josiah Willard Gibbs, de la Uni- la descompone en funciones sinusoi versidad de Yale, confirmó teórica- dales de todas las frecuencias, combimente dicho resultado. nadas mediante una operación conoEl análisis de Fourier no se puede cida por integral de Fourier. La aplicar todavía a funciones muy insó- transformada de Fourier de la función litas, como las que poseen, en un original no es ni la serie ni la integral. intervalo finito, un número infinito En el caso de la función discreta, es de discontinuidades con salto infinito. la lista de amplitudes y fases depenEmpero, en condiciones muy genera- dientes de la frecuencia que aparecen les, una serie de Fourier será conver- en la serie de Fourier; en el caso de gente cuando su función original la función definida de forma continua, provenga de la medición de una mag- la transformada es la función de la nitud física. frecuencia resultante de evaluar la integral de Fourier. e han desarrollado vastas áreas de nuevas matemáticas a partir on independencia del método por de la investigación de la convergencia el que vaya a deducirse la transde la serie de Fourier de funciones formada, es necesario especificar dos concretas. Tenemos un ejemplo en la números para cada frecuencia. Estos teoría de funciones generalizadas, que podrían ser la amplitud y la fase; no se asocia a los nombres del inglés obstante, la misma información podría George F. J. Temple, del polaco Jan estar codificada en otros pares de G. Mikusinski y del francés Laurent números. Tales valores podrían expreSchwartz. La teoría estableció en sarse mediante un solo número com1945 bases firmes para el tratamiento plejo. (Un número complejo es la de la función escalonada de Heaviside suma de un número real y de otro y para la función delta de Dirac; esta número real multiplicado por la raíz última describe una unidad de área cuadrada de –1.) Esta representación concentrada en un punto. La teoría es muy popular, porque invita a utipermitió aplicar la transformación de lizar el álgebra de los números comFourier a la resolución de ecuaciones plejos. Las funciones de variable basadas en nociones intuitivas acep- compleja y la transformación de tadas; verbigracia: masas puntuales, Fourier se han convertido en instrucargas puntuales, dipolos magnéticos mentos indispensables para los y la concentración de una carga sobre cálculos numéricos necesarios en el una viga. diseño de circuitos eléctricos, el anáDespués de casi dos siglos de de- lisis de las vibraciones mecánicas y sarrollo, la teoría subyacente a la el estudio de la propagación de transformación de Fourier ha que- ondas. dado sólidamente establecida y expliLa representación de una función cada. Como hemos visto, el análisis dada por medio de su transformada de Fourier descompone una función de Fourier compleja proporciona del espacio o del tiempo en compo- cierto número de ventajas para el nentes sinusoidales de frecuencias, cálculo. Un problema típico es conocer amplitudes y fases variables. La con seguridad qué intensidad de transformada de Fourier es una fun- corriente fluye cuando se le aplica a ción que representa la amplitud y un circuito una tensión eléctrica conofase correspondiente a cada frecuen- cida. El método directo requiere la cia. Disponemos de dos métodos resolución de una ecuación diferencial

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que relaciona entre sí las funciones que describen a la tensión y la intensidad. En cambio, las transformadas de Fourier de dichas funciones pueden relacionarse por una ecuación cuya solución es trivial. En nuestros días, el estudio de las transformadas de Fourier consiste, en gran medida, en la adquisición de técnicas que permitan moverse libremente entre las funciones y sus transformadas. Es posible aplicar métodos analíticos para evaluar la integral de Fourier y obtener la transformada. Aunque tales métodos pudieran resultar difíciles a los no especialistas, son muchas las integrales de Fourier que ya se han calculado y tabulado y pueden verse en obras de referencia. Estos métodos se enriquecen con un puñado de teoremas atinentes a las transformadas. Con ayuda de dichos teoremas, se nos faculta para manipular formas de onda más o menos complicadas por reducción a componentes más sencillas. Por fortuna, se dispone de métodos numéricos para calcular las transformadas de Fourier de funciones cuyas formas se basen en datos experimentales, o cuyas integrales de Fourier no sean fáciles de calcular analíticamente, o no figuren en las tablas.  Antes de los ordenadores electrónicos, la computación numérica de una transformada era bastante tediosa, porque exigía un ele vado número de operaciones aritméticas que era preciso realizar con lápiz y papel. Era posible reducir un poco el tiempo preciso mediante formularios y plantillas que orienta ban a los investigadores al efectuar sus cálculos; aun así, la tarea que suponía po día toda vía ser apabullante.

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l número exacto de operaciones aritméticas que era preciso efectuar dependía del número de datos necesarios para describir la onda. El número de adiciones era comparable al número de datos, y el número de multiplicaciones, igual al cuadrado del número de datos. Por ejemplo, el análisis de una onda especificada mediante mil datos tomados a inter valos regulares requería del orden de mil operaciones de adición y exactamente un millón de multiplicaciones. Tales cálculos resultaron progresi vamente más factibles conforme se fueron desarrollando ordenadores y programas capaces de llevar a la práctica nuevos métodos de análisis de Fourier. Uno de ellos fue el elabo-

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Transformaciones de Fourier y de Hartley Las transformaciones de Fourier y de Hartley convierten funciones cuya variable es el tiempo en funciones de la frecuencia, que codifican información relativa a amplitudes y fa ses. Las gráficas que damos seguidamente representan la función “continua” g( t ) y la función discreta g(τ), donde t   es el tiempo y τ  es un número designado en cada punto-dato.

Ambas funciones parten de cero, saltan a un valor positivo y decaen después exponencialmente. La definición de transformada de Fourier de la función continua es una integral impropia, F(t ), mientras que la definición para una función discreta es una suma finta, F( ν). ∞

F(f ) =

∫ 

 g(t ) (cos 2πft  – i  sen 2πft ) dt

 – ∞

1 n

F( ν) =  _ 

n–1

∑ g(t ) (cos 2πντ – i  sen 2πντ)

τ=0

En esta fórmula, f   es la frecuencia, ν  está relacionada con la frecuencia, n   es el número total de muestras e i   es la unidad imaginaria, cuyo cuadrado es –1. La representación integral resulta más adecuada para manipulaciones teóricas, mientras que la representación mediante sumas finitas se presta más a las aplicaciones de cómputo en ordenador. La transformada de Hartley y la transformada discreta de Hartley tienen definiciones similares. ∞

H(f ) =

∫ 

 g(t ) (cos 2πft  + sen 2πft )

 – ∞

dt

n–1

1 ∑ g(t ) (cos 2πντ + sen 2πντ) n τ=0

H( ν) =  _ 

A pesar de que la única diferencia notacional entre las definiciones de Fourier y de Hartley es el factor – i   antepuesto a la función seno, una y otra transformadas son totalmente diferentes, pues la de Fourier consta de parte real e imaginaria, mientras que la de Hartley es enteramente real. Las transformadas discretas de Fourier y de Hartley tienen esencialmente la misma forma que sus análogas continuas.

Aunque las gráficas parezcan muy diferentes, la información sobre amplitud y fase que puede extraerse de una y otra es la misma, como vemos al pie.

La amplitud de Fourier es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las partes real e imaginaria. La amplitud de Hartley es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de H(– ν) y H(ν). La fase de Fourier es el arco tangen te del cociente de la parte imaginaria entre la real, mientras que la fase de Hartley se obtiene sumando 45 o al arco tangente del cociente de H( ν) y H(ν).

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rado, en 1965, por James W. Cooley, del Centro de Investigación Thomas J. Watson de la empresa IBM, y por John W. Tukey, de los Laboratorios Bell. El trabajo de ambos dio lugar a un programa conocido por transformación rápida de Fourier. La transformación rápida logra economizar tiempo reduciendo el número de multiplicaciones necesarias para analizar una curva. La razón de que se hiciera hincapié en el número de multiplicaciones se debió a que, en esa época, la multiplicación constituía una operación lenta en comparación con otras de las operaciones del ordenador, como la adición o la búsqueda y almacenamiento de datos.

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a transformación rápida de Fourier divide una curva en un gran número de muestras equidistantes. El número de multiplicaciones necesarias para analizar una curva se reduce a la mitad cuando el número de muestras se divide por dos. Por ejemplo, si en una curva se hubieran tomado 16 muestras, harían falta normalmente 162 = 256 multiplicaciones. Supongamos ahora que la curva se dividiera en dos piezas de ocho puntos cada una. El número de multiplicaciones necesarias para analizar cada segmento sería de 8 al cuadrado, o sea, 64. El total correspondiente a los dos segmentos es 128, la mitad del número de multiplicaciones requerido antes. Si al dividir por dos la secuencia dada se logra una ganancia doble, ¿por qué no insistir en la estrategia? Por subdivisión reiterada obtenemos ocho piezas irreducibles de dos puntos cada una. Las transformadas de Fourier de estas piezas bipuntuales pueden computarse sin efectuar multiplicación alguna, pero sí hacen falta multiplicaciones en el proceso de combinación de las transformadas bipuntuales para construir la transformación completa. Se combinan primero ocho transformadas bipuntuales y se forman cuatro transformadas de cuatro puntos, dos transformadas octopuntuales después y, finalmente, la transformada de dieciséis puntos requerida. Las tres etapas de combinación de las piezas exigen 16 multiplicaciones cada una; por tal motivo, el número total de multiplicaciones será de 48, o sea, 3/16 de las 256 primitivas. Podemos seguir la pista de esta estrategia encaminada a reducir el número de cómputos necesarios hasta tiempos muy anteriores al trabajo de Cooley y Tukey, concretamente, hasta

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5. PERMITE EL ANALISIS DE FOURIER transformar pautas de difracción de rayos X en modelos moleculares. Los rayos X dispersados por los electrones de un virus, por ejemplo, generan configuraciones geométricas sobre una película fotográfica (izquierda). Tales configuraciones representan parte de la trans-

los trabajos astronómicos de Carl Friedrich Gauss. Quería éste calcular órbitas de asteroides y cometas a partir de un número pequeño de observaciones. Tras descubrir una solución, halló también una forma de reducir la complejidad del cálculo, basada en principios similares a los de la transformada rápida de Fourier. En un artículo de 1805, donde describía su trabajo, Gauss escribía: “La experiencia enseñará al usuario que este método reduce grandemente el tedio de los cálculos mecánicos”. Como vemos, el problema planteado por el movimiento de los cuerpos celestes no sólo nos proporcionó el cálculo diferencial y las tres leyes del movimiento, sino que estimuló también el descubrimiento de una moderna herramienta de cómputo.

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ísicos e ingenieros, indoctrinados con el álgebra de los números complejos desde los primeros años de su formación, encuentran de su gus to la representación de sinusoides. La comodidad que supone la representación de la transformada de Fourier mediante una función compleja nos permite olvidar que las componentes sinusoidales subyacentes a ella son reales, y no necesariamente comple jas. Este hábito mental ha oscurecido la importancia de una transformación similar a la de Fourier, concebida, en 1942, por Ralph V. L. Hartley, y ha retardado su adopción. Hartley, que trabajaba en los laboratorios de investigación de la compañía Western Electric, dirigió los primeros trabajos de desarrollo de receptores de radio destinados a un radioteléfono transatlántico. Inventó el circuito oscilante que lleva su nom-

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formada de Fourier de la estructura molecular del virus. Invirtiendo el proceso de transformación, se deduce la distribución de los electrones y, en consecuencia, la disposición de los átomos (centro). A partir de estas distribuciones se elaboran modelos del virus (derecha). Los colores representan proteínas.

bre. Durante la primera guerra mun-  velozmente que los de la transformadial, investigó la forma en que el ción rápida de Fourier. Aunque oyente, por medio de mecanismos ambos programas requieren el mismo auditivos y cerebrales, percibe la tiempo para recuperar los datos, prodirección de la que emana un sonido. porcionar las funciones trigonométriDespués de la guerra, trabajando en cas y llevar a cabo otras operaciones los Laboratorios Bell, Hartley formuló preliminares, el tiempo invertido en un importante principio de la tecno- la ejecución de las etapas corresponlogía de información, que enuncia que dientes a la transformación de Hartley la cantidad total de información que es la mitad del requerido por la de un sistema puede transmitir es pro- Fourier. porcional al producto de la banda de Sin embargo, no estaba claro al frecuencias que el sistema transmite principio que una transformada de por el tiempo durante el cual el sis- Hartley proporcionase la misma tema está disponible para transmitir. información que una de Fourier. En En 1929 renunció a la dirección de consecuencia, cuando se confeccionasu grupo, por enfermedad. Cuando su ron los primeros programas destinasalud mejoró, se consagró a los estu- dos al cálculo de la transformación dios teóricos que condujeron a la de Hartley, se introdujo una etapa transformación de Hartley. más, con el fin de convertirla a la Esta proporciona una posibilidad forma de Fourier, más conocida. alternativa para analizar mediante Empero, quienes trabajaban con ella sinusoides una función dada. Se dife- cayeron pronto en la cuenta de que rencia de la transformación de Fou- resultaba posible deducir directarier en algo bastante sencillo. Mien- mente, de la transformación de Hartras en la transformación de Fourier tley, las intensidades y las fases, sin intervienen números reales e imagi- necesidad del paso adicional. Un narios y una suma compleja de poco más de reflexión hizo ver que funciones sinusoidales, en la de cada uno de los dos tipos de transHartley aparecen solamente números formada proporciona, para cada frereales y una suma real de funciones cuencia, un par de números que sinusoidales. representan en amplitud y fase una En 1984, el autor de este artículo oscilación física. desarrolló un algoritmo destinado a efectuar la transformación rápida de o obstante, otra reserva que se Hartley. Medida en tiempo de cómoponía a la transformación de puto, la diferencia entre las transfor- Hartley era que la transformación de madas rápidas de Fourier y de Fourier describía los fenómenos físiHartley depende del ordenador, del cos de modo más natural. Son muchos lenguaje de programación utilizado y los fenómenos, como la respuesta de del estilo de programación. Si dichos un sistema simple a las vibraciones, factores se mantienen constantes y no que se describen comúnmente por se cometen deslices en la programa- medio de una suma compleja de función, los programas para la transfor- ciones senoidales, algo que viene a mada rápida de Hartley operan más ser el marchamo de la transformación

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de Fourier. Podría parecer, en consecuencia, que las transformadas de Fourier son más idóneas para describir el comportamiento de la naturaleza. En realidad, tal conclusión es más un reflejo de la formación matemática que hemos recibido que de su naturaleza. Después de todo, cuando se procede a medir objetos físicos, los datos que proporcionan son números reales, no complejos.

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l advenimiento de la transformación rápida de Hartley ha tornado obsoletas ciertas adaptaciones de la transformación rápida de Fourier, como las utilizadas para eliminar el ruido de la música registrada por medios digitales. Dichas adaptaciones requieren dos programas: uno de ellos transforma funciones reales para llevarlas al dominio complejo propio de la transformación de Fourier, mientras que el otro con vierte funciones complejas del dominio de Fourier en funciones reales. El ruido de alta frecuencia de los discos de grabación digital puede eliminarse por filtrado de ciertas porciones de la transformada producida por el primer programa. El segundo programa reconvierte la transformada así alterada en una señal musical mejorada.  Aunque individualmente estos ingeniosos programas funcionan a velocidades que rivalizan con la transformación rápida de Hartley, un único programa de Hartley basta tanto para transformar una función real en una transformada de Hartley como para reconvertir nuevamente la transformada en una función real, tras el filtrado deseado. Así pues, no hace falta memoria extra para almacenar dos programas. En sus términos más generales, las transformaciones de Fourier y de Hartley se han aplicado en campos que se ocupan de fenómenos fluctuantes. Por consiguiente, su campo de aplicación es verdaderamente amplio. Son muchas las aplicaciones existentes en biología. De hecho, la forma de la doble hélice fue descubierta, en 1962, gracias a las técnicas de difracción de rayos X y al análisis de Fourier. Se enfocaba un haz de rayos  X sobre un cristal de hebras de ADN; los rayos X eran difractados por las moléculas de ADN y su espectro de difracción se registraba en una película fotográfica. La pauta geométrica de los rayos difractados proporcionó la información referente a la amplitud de la transformada de Fourier de la estructura del cristal. La informa-

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ción sobre la fase, que las fotografías no proporcionaban directamente, se dedujo por comparación con las pautas de difracción producidas por compuestos químicos similares. A partir de la información sobre la intensidad y la fase de los rayos X, los biólogos lograron remontarse hasta la estructura cristalina, o sea, hasta la función original. En años recientes, los estudios de difracción de rayos X, combinados con las técnicas del análisis de Fourier “inverso”, han revelado la estructura de muchas otras biomoléculas y de estructuras más complejas, como los virus.

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a Administración Estadounidense de Aeronáutica y del Espacio (NASA ) se vale de la transformación de Fourier para mejorar la calidad y detalle de las imágenes de los objetos celestes tomadas en el espacio. Las sondas planetarias y los satélites en órbita terrestre transmiten imágenes a la Tierra en forma de series de impulsos de radio. Un ordenador transforma estos impulsos mediante técnicas de Fourier. Seguidamente, el ordenador ajusta di versas componentes de cada transformada para reforzar ciertas características y eliminar otras, de forma muy similar a como se elimina el ruido de las transformadas de Fourier de la música grabada. Finalmente, los datos alterados se reconvierten a fin de reconstruir la imagen. Este proceso puede aguzar el enfoque, eliminar niebla de fondo y modificar el contraste. La transformación de Fourier es también valiosa en física de plasmas, en física de semiconductores, en acústica de microondas, en sismografía, oceanografía, en cartografía por medio del radar y en confección de imágenes en medicina. Entre las muchas aplicaciones a la química, tenemos el espectrómetro de transformación de Fourier, utilizado en análisis químico. El análisis de Fourier ha demostrado su utilidad en el propio trabajo del autor sobre construcción de imágenes bidimensionales. En 1956, di con un teorema de “proyección por rebanadas” que proporcionó una vía para la reconstrucción de imágenes a partir de integrales extendidas a una banda, problema hoy ampliamente conocido con el nombre de reconstrucción tomográfica. Más tarde, acerté con el “algoritmo modificado de proyección retrógrada”, hoy universalmente utilizado en tomografía por rayos X computarizada, conocida por “escáner TAC”.

El autor estaba asimismo interesado por la reconstrucción de imágenes basadas en datos de radioastronomía. Deseaba localizar exactamente, sobre la superficie del Sol, las fuentes de emisión de ondas de radio, por lo que aplicó métodos de transformación al diseño de un radiotelescopio de exploración que pudiera confeccionar diariamente mapas de temperaturas de microondas de la superficie solar durante 11 años. Tales métodos condujeron a la primera antena con resolución más fina que el ojo humano; esos métodos se han difundido desde entonces a la tecnología general de antenas. La NASA  elogió la confección de los mapas solares por su contribución a la seguridad de los astronautas lunares. También he aplicado la transformación de Hartley a otros estudios. Mi colega John Villaseñor y yo hemos descrito un método óptico para hallar la transformada de Hartley, desarrollo que permite codificar la fase y amplitud de Fourier en una sola imagen real. Hemos creado un dispositivo que construye la transformada de Hartley usando microondas. Estoy preparando ahora artículos sobre física solar, cuyos métodos de análisis de datos procedentes del recuento de manchas solares y de los espesores de las capas sedimentarias de la Tierra se inspiran en técnicas de Fourier.

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an difundido está el empleo del método de Fourier y de las técnicas analíticas con él emparentadas, que las palabras de Lord Kelvin resultan tan válidas hoy como lo eran en 1867: “El teorema de Fourier no es solamente uno de los resultados más hermosos del análisis moderno, sino que puede decirse además que proporciona un instrumento indispensable en el tratamiento de casi todas las cuestiones de la física moderna, por recónditas que sean.”

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA JOSEPH FOURIER: THE MAN AND THE PHYSICIST . John Herviel. Clarendon Press, 1975. THE FOURIER TRANSFORMAND ITS APPLICATIONS, 2.a edición revisada. Ronald N. Bracewell. McGraw-Hill Book Company, 1986. T HE HARTLEY TRANSFORM . Ronald N. Bracewell. Oxford University Press, 1986. OPTICAL PHASE OBTAINED BY A NALOGUE HARTLEY T RANSFORMATION . John Villaseñor y R. N. Bracewell en Nature, volumen 330, n.o 6150, págs. 735-737; 24 de diciembre de 1987. TEMAS 1

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Augustin-Louis Cauchy Bruno Belhoste  La intransigencia de Cauchy en asuntos políticos y religiosos no fue menor que su exigencia de rigor matemático. Fundó la teoría de variable compleja, que abrió un nuevo dominio a las matemáticas

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 variste Galois es, sin duda, el Su forma de abordar las matemáti Augustin-Louis Cauchy nació el 21 más célebre de todos los mate- cas procede de la misma necesidad de de agosto de 1789 en una familia de máticos franceses de la lo absoluto. Considera que el trabajo la burguesía acomodada. Su padre, primera mitad del siglo  XIX . La del sabio es la búsqueda de la verdad. Louis-François, hijo de un maestro personalidad extraordinaria de este “La verdad —escribe Cauchy en cerrajero de Ruán, ocupaba el sabio excepcionalmente precoz, la 1842— constituye un tesoro inestima- importante cargo de primer secretario profundidad y la fecundidad de sus ble, cuya adquisición no va seguida de del teniente de policía Thiroux de descubrimientos en la teoría de ecua- remordimiento alguno y no perturba Crosne, quien le había tomado a su ciones y las dramáticas condiciones de  jamás la paz del alma. La contempla- servicio en 1783, cuando todavía era su prematura muerte en 1832, justifi- ción de estos celestes encantos, de su intendente en Ruán. Louis-François can su gloria póstuma. Existe, sin belleza divina, basta para compensar- se casó en 1787 con la hija de un ujier embargo, otro matemático francés de nos de los sacrificios que hacemos para del Consejo de Estado, Marie-Mala misma época, mucho menos cono- descubrirla, y la bondad misma del deleine Desestre, con cuya dote adquicido del gran público, cuyo recuerdo cielo no consiste sino en la posesión rió una casa de campo en Arcueil. Por merecería me jor fortuna, pues su obra completa y plena de la inmortal ver- una desdichada coincidencia, cuando ocupa, en la historia de las matemáti- dad.” Matemático meticuloso, Cauchy nació su hijo acababa de perder su cas, un lugar al menos igual de impor- construyó una obra inmensa, cuyos empleo, a resultas de los acontecitante. Este matemático es Augustin- cimientos echó, en lo esencial, ya en mientos revolucionarios de julio de Louis Cauchy. los primeros años de su vida cien tífica, 1789. Con vertido en jefe de la admiCierto es que este último nada pero que siguió erigiendo hasta su nisitración de hospicios, durante el tiene de héroe romántico. Su larga muerte, publicando con regularidad a Terror prefirió ocultarse en Arcueil  vida no refulge con ese relámpago lo largo de 45 años una miríada de con su esposa y sus dos hijos, Augusefímero y prodigioso que fascina en memorias diversas. La inmensidad de tin-Louis y otro recién nacido, Alexanel caso de Galois. Católico cercano a su obra, a menudo redundante, tiene dre. Después de Termidor regresó a los jesuitas, monárquico ultra, algo de sobrecogedora. En ella aborda París y ocupó, hasta el 18 Brumario, Cauchy llega pronto a ser un sabio casi todos los dominios de las matemá- el puesto de jefe de la división de artes reconocido que ocupa desde muy ticas, desde la aritmética a la física y manufacturas del ministerio del  joven cargos oficiales en las institu- matemática, pasando por el álgebra, interior. ciones científicas de su tiempo. Pero el análisis, la estadística, la geomeEl golpe de estado de Bonaparte le es también, a su modo, un ser apasio- tría, la mecánica, etc., siendo más resultó beneficioso a Louis-François: nado, al que ninguna consideración frecuente que publique sus resultados en 1800 se instaló en el Palais du de interés o de conveniencia puede dos veces que una. Entre ellos, algunos Luxembourg, donde acababa de ser detener cuando se trata de defender son de máxima importancia, como los nombrado secretario del recién creado e ilustrar lo que considera ser la ver- relativos a la teoría de sustituciones, Senado. Allí prestó sus servicios, jundad. En política, por ejemplo, su a la teoría de funciones imaginarias y tamente con sus dos hijos menores, fidelidad a los Borbones es absoluta, a la teoría de elasticidad, por aludir  Alexandre y Eugène, bajo tres regímetanto para lo bueno como para lo sólo a tres dominios muy diferentes. nes, hasta 1848. malo. Cómplice de las depuraciones de 1816, de las que se beneficia, preRETRATO DE CAUCHY, fotografiado por el autor; no está fechado, pero podemos fiere en 1830 el exilio al perjurio, 1. suponer que fue pintado hacia 1840. El matemático, que cuenta entonces unos cinnegándose a prestar juramento de cuenta años, acaba de regresar de su exilio en Praga. Para agradecerle sus buenos fidelidad a los regímenes que se suce- y leales servicios como preceptor del Duque de Burdeos, Carlos X le ha concedido dieron en Francia hasta la hora d e su el título de barón. El pintor, anónimo, ha sabido plasmar toda la nobleza de su muerte, a pesar de los graves incon- modelo: fijémonos en el hermoso porte de la cabeza y en la ancha corbata que con venientes de tal act itud. De igual tribuye a su prestancia. La elevada frente y la vivacidad de la mirada expresan la del sabio, mientras que la parte baja del rostro, cuya solidez está suaforma, su fe cristiana no pareció inteligencia vizada por un esbozo de sonrisa, proporciona al personaje la tranquila seguridad conocer la duda, fe que practicó toda del creyente. Este cuadro, conservado durante mu cho tiempo por la familia Cauchy, su vida con el celo de un neófito y el fue legado hace algunos años al Museo de la Île de France en Sceaux; antes de su ardor de un misionero. redescubrimiento, la fisonomía de Cauchy sólo era conocida por litografías. 70

TEMAS 1

GRANDES MATEMÁTICOS

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El joven Augustin-Louis recibió las primeras enseñanzas de su padre, quien escribía para sus niños trataditos didácticos en verso. Ya desde su edad más temprana sintióse atraído por el cálculo y la geometría, pero Louis-François, siguiendo los consejos del matemático Lagrange, que era senador, quiso que hiciese primero humanidades y le envió entre 1802 y 1804 a la escuela central del Panteón (en la actualidad el liceo Henri IV), del que salió con varios premios en los exámenes finales. Decidido a ingresar en la Escuela Politécnica, preparó las pruebas de ingreso en la clase de Dinet, futuro examinador de Galois en 1829, consiguiendo ingresar el segundo sobre 293 candidatos, de los que en octubre de 1805 fueron admitidos 125.

La Escuela Politécnica, creada bajos alumnos y el primero de entre quienes los auspicios de la Convención de optaron por la Escuela de Caminos y Termidor para proporcionar una for- Puentes para las prácticas. Confirmó mación científica bastante general y en ella su categoría, logrando varios de elevado nivel a los futuros ingenie- primeros premios en los concursos de ros de los servicios públicos, civiles y los alumnos de 1808 y 1809, y desenmilitares, y reformada por razones  volviéndose brillant eme nte en las políticas en 1804 por Bonaparte, dis- tareas que le fueron confiadas durante ponía de un claustro docente muy su campaña, o sea, durante sus prácnotorio. Cauchy asistió a las lecciones ticas en el canal de Ourcq. Al terminar, de análisis impartidas por Lacroix. en enero de 1810, fue destinado con el Este buen matemático, más dotado grado de ingeniero-aspirante a para la docencia que para la investiga- Cherburgo, donde se estaba construción, enseñaba el cálculo infinitesimal yendo el puerto militar y el arsenal. por el “método de límites”, que habría Cauchy, que no tardó en ser nombrado de convertirse, bajo una forma más ingeniero ordinario, participó muy rigurosa, en la base del curso de aná- activamente en las obras de Cherburgo, lisis de Cauchy. que se contaban entre las más importantes del Imperio.  A pesar de lo exigente que era este n octubre de 1807, AugustinLouis terminó sus estudios en la trabajo, a Cauchy le quedaron tiempo Escuela, siendo el tercero de todos los y energías para perfeccionar sus conocimientos de matemáticas y de mecánica y, sobre todo, para preparar sus primeras memorias, presentadas a la  Academia el 11 de febrero de 1811 y el 20 de enero de 1812. Consistían en in vestigaciones sobre los poliedros, emprendidas, según parece, por consejo de Lagrange. En la primera, Cauchy demostraba que tan sólo existen nueve poliedros regulares, generalizando a continuación la fórmula de Euler al caso de una red de poliedros. En la segunda de estas memorias, daba una demostración por reducción al absurdo de una proposición conocida desde tiempos de Euclides, pero no demostrada hasta entonces, a saber, que dos poliedros convexos, compuestos por caras iguales y dispuestas de forma similar son necesariamente, o idénticos, o simétricos. Este descubrimiento permitió al joven ingeniero de Cherburgo hacerse una reputación en París; dos meses después se convertía en miembro correspondiente de la  Academia, con la perspectiva de un pronto ingreso en ella.

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S

2. LOS POLIEDROS REGULARES: desde la antigüedad se conocían los cinco poliedros regulares convexos, a saber, el tetraedro (a), el cubo (b), el octaedro (c), el dodecaedro (d) y el icosaedro (e). Kepler fue el descubridor del dodecaedro estrellado de caras ordinarias ( f ). Poinsot añadió, en 1809, tres nuevos poliedros regulares no convexos ( g, h e i). Cauchy, respondiendo a un problema planteado por Poinsot, consiguió demostrar que solamente existían estos nueve poliedros regulares. En efecto, todo poliedro regular no convexo se obtiene prolongando los lados de un poliedro regular convexo que le sirve de núcleo, como puede verse en el dodecaedro estrellado de caras ordinarias de Kepler ( f ), que es prolongación del dodecaedro (d).

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in embargo, su salud, ya frágil, se resintió por el exceso de trabajo en Cherburgo. A finales del año 1812 tuvo que volver a París en estado calamitoso. Con baja de tres meses e instalado en casa de sus padres en el Palais du Luxembourg, prosiguió sus investigaciones, consiguiendo en marzo de 1813 que se le destinase al canal de Ourcq, en París. Los reiterados permisos y los dramáticos acontecimientos de 1814 y 1815 parecen sugerir que no fue mucho lo que allí trabajó. Los años comprendidos entre 1812 y 1815 constituyen un período extremadamente fecundo de la vida cientíTEMAS 1

fica de Cauchy. Al poco de su regreso de Cherburgo presentó a la Academia dos memorias preciosas sobre la teoría de grupos de permutaciones, teoría sobre la cual habría de volver una vez más en 1845. Estas memorias, que llevan igual título que las de Galois, han desempeñado un papel esencial en la génesis de la teoría de grupos. Dos años después, el 22 de agosto de 1814, presentó su primera memoria de análisis, Sur les intégrales définies, punto de partida de la teoría de funciones de una variable compleja, que sigue conociéndose como teoría de Cauchy.  Vo lver em os a oc up ar no s de el la . Señalemos, por último, las dos memorias de 1815, un poco olvidadas dentro de la obra inmensa del sabio, pero que en su época ayudaron mucho a confirmar su nombradía. La primera, Sur la théorie des ondes, remitida de forma anónima el 2 de octubre, acabó mereciendo el gran premio de matemáticas. En la segunda, sobre la cual ya traba jaba durante su estancia en Cherburgo, daba la demostración del teorema de Fermat concerniente a números poligonales. Los números poligonales son enteros del tipo n + n(n – 1)b/2. Un número triangular (b = 1) obedece a la fórmula n(n + 1 )/2, mientras que un número cuadrado (b = 2) se representa con n 2. Según Fermat, todo número entero puede expresarse mediante la suma de n  números n-gonales  como máximo. En sus  Disquisitiones arithmeticæ, Gauss había demostrado rigurosamente la conjetura para los números triangulares y los cuadrados. Cauchy, por un método completamente diferente, consiguió dar una demostración general. De todas las conjeturas de Fermat sólo quedaba por demostrar el “teorema magno”, tan fácil de enunciar como difícil de demostrar: la ecuación xn + yn = zn no admite soluciones con números enteros cuando n es mayor que 2. En el caso n = 2 existe una infinidad de soluciones, las ternas pitagóricas, como (3, 4, 5), que verifican la relación  x 2 + y 2 = z 2, y pueden ser, por consiguiente, las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo. Cauchy trató de resolver también este problema y en 1847 creyó durante un tiempo que lo había conseguido merced a una descomposi ción en factores complejos primos. El episodio es uno de los más curiosos de la historia de las matemáticas: la Academia estaba en ebullición, con muchos matemáticos lanzados tras la pista, cuando de pronto se supo, gracias a Liouville, que Kummer, un joven alemán desconocido en París, había demostrado tres GRANDES MATEMÁTICOS

años antes que tal factorización no era durante la primera Restauración, se única, lo que aniquilaba la pretendida llevó a cabo plenamente en los meses demostración. que siguieron. Se trataba de castigar Todas estas notables memorias a las personalidades comprometidas hacían ya de Cauchy el matemático con el régimen precedente y, al mismo más brillante de su generación. Pero tiempo, de recompensar a los fieles de su situación seguía siendo precaria, los tiempos difíciles. Entre los grupos porque no acababa de conseguir un de presión ocultos que desempeñaron cargo que le permitiera trocar su pro- un papel importante en los nuevos fesión de ingeniero por una carrera de nombramientos, uno de los más conomatemático profesional. Varias tenta- cidos es la Congregación, creada en tivas, en particular tres candidaturas 1804 y prohibida por Napoleón a resula la Academia de Ciencias en 1813, tas de sus conflictos con Pío VII. En 1814 y 1815, terminaron en fracasos, ella se reunían aristócratas ultras y a pesar del apoyo de Poisson y de  jóvenes intelectuales católicos. CauLaplace. chy había ingresado en la Congregación en 1808, por intermedio de Teysseyrre, odo iba a cambiar tras los Cien un profesor ayudante de la Escuela Días. Waterloo, que permitió al Politécnica. Iba a cosechar los benefirey volver a París el 18 de julio de 1815, cios en 1816. Por real orden de 21 de marzo de hizo sonar la hora de la revancha para los monárquicos ultras. La depuración 1816, él y Bréguet ocuparon en el Insadministrativa, apenas iniciada tituto las plazas de Monge y de Car not,

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     S       O       R      E      M      U       N

ORDEN 1

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     S       E      R      A      L      U       G       N      A      I      R      T      S       O       D      A      R      D      A      U       C 

     S       E      L      A      N      O       G       A      T      N      E      P      S       E      L      A      N      O       G       A      X      E      H      S       E      L      A      N      O       G       A      T      P      E      H

3. LOS NUMEROS POLIGONALES ejercieron siempre una gran fascinación sobre los matemáticos, pero fue Cauchy quien remató el problema de la descomposición de números enteros en números poligonales. Demostró que un número cualquiera es, a lo sumo, la suma de tres números triangulares, de cuatro números cuadrados, de cinco números pentagonales, etc. Matemáticos prestigiosos anteriores a él, entre quienes descollaban Lagrange y Gauss, habían descubierto casos particulares de esta descomposición.

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expulsados por razones políticas de la sección de mecánica de la Academia. En la Escuela Politécnica, donde había sustituido interinamente a Poinsot desde 1815 como profesor de análisis, fue nombrado, a comienzos del curso de 1816, profesor titular de análisis y de mecánica, tras una reorganización de la Escuela. Cauchy enseñó también como profesor sustituto en la Facultad de Ciencias a partir de 1821 e impartió física matemática en el Collège de France en 1817 y desde 1825 a 1830.  Aun que no se pueden neg ar los méritos científicos de Cauchy, quien, por otra parte, disponía de eficaces apoyos entre los sabios, en especial el de Lagrange, sí es preciso reconocer que las consideraciones políticas desempeñaron un papel esencial al comienzo de su carrera de matemático profesional.

que, en la realidad, la mayoría de ellas sólo son válidas bajo ciertas condiciones y para ciertos valores de las cantidades que contienen. Al determinar estas condiciones y estos valores, y al fijar de forma precisa el significado de las notaciones que utilizo, hago desaparecer toda incertidumbre.”

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CUBO V = 8, C = 5, A = 12 V+C=A+2

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onviene detenerse un momento en el curso enseñado por Cauchy en la Escuela Politécnica porque ejerció una influencia decisiva sobre el desarrollo ulterior del análisis en el siglo  XIX . A finales del siglo precedente, el análisis estaba atravesando una crisis de fundamentos. El cálculo infinitesimal se había ampliado extraordinariamente desde Newton y Leibniz, gracias a matemáticos como el genial Euler. Pero los conceptos de base, como el de infinito, de infinitamente grande o de infinitamente pequeño, seguían siendo oscuros, y los métodos, caso de los desarrollos en serie utilizados sin grandes precauciones, eran frecuentemente muy objetables desde el punto de vista del rigor. Los matemáticos percibían la necesidad de poner orden. Algunos lo habían intentado, como Lagrange con su célebre Théorie des fonctions analytiques, de 1797, sin conseguirlo por completo. Cauchy, en sus lecciones, emprendió una verdadera reforma del análisis, al que puso bajo el signo del rigor, como explicaba en su Cours d’analyse, de 1821: “En lo tocante a métodos, he buscado darles todo el rigor que se exige en geometría, de forma que no se recurra jamás a la generalidad del álgebra. Las razones de este tipo, aunque bastante aceptadas por lo común (...), no pueden considerarse, me parece, sino como inducciones adecuadas para hacer presentir la verdad en ocasiones, pero concuerdan poco con la exactitud de que tanto se jactan las ciencias matemáticas. Es preciso observar además que propenden a atribuir a las fórmulas algebraicas una amplitud indefinida, mientras 74

DESCOMPOSICION DEL CUBO EN 6 PIRAMIDES V = 9, C = 18, A = 20, P = 6 V+C=A+P+1

ANILLO CUBICO V = 16, C = 16, A = 32 V+C=A

4. LA FORMULA DE EULER y la fórmula de Cauchy: la fórmula de Euler para un poliedro se escribe V + C = A + 2, siendo V  el número de vértices, C el número de caras y  A  el de aristas. La fórmula de Cauchy generaliza la fórmula de Euler a redes de  P poliedros; su expresión es V + C = A + P  + 1. En realidad, la fórmul a de Euler (y, en consecuencia, la de Cauchy) vale solamente para una clase particular de poliedros, los poliedros eulerianos, homeomorfos a una esfera (esto es, que pueden ser deformados de man era continua hasta hacerlos coincidir con la esfera). Por ejemplo, para los poliedros anulares, homeomorfos al toro, se verifica V + C = A , como señaló en 1813 el matemático ginebrino Lhuillier.

stas preocupaciones eran compartidas por otros matemáticos de la época, como Gauss, Abel o Bolzano, pero Cauchy fue el único que, pensando en su enseñanza, construyó todo el edificio del análisis sobre bases más rigurosas y con los conceptos clave definidos con mayor precisión. Su curso se convirtió rápidamente en el modelo en el que se inspiraron todos los autores de tratados de análisis del siglo  XIX . La piedra angular del nuevo edificio era el concepto de límite, cuya importancia había sido ya subrayada con fuerza por d’Alembert en un artículo de la Enciclopedia, y que, como hemos  visto, era utilizado por Lacroix en sus cursos para presentar el cálculo infinitesimal. Antes de Cauchy, la noción de límite resultaba extraordinariamente desdibujada, en la medida en que, incluso aplicada a los números, obligaba a recurrir a la intuición geométrica, lo que a la sazón se denominaba “la metafísica del cálculo infinitesimal”. En su Cours d’analyse de 1821, Cauchy tuvo el mérito de apartar del análisis toda metafísica, como él mismo escribió, situando nuevamente el concepto de límite en el marco homogéneo de las funciones numéricas. Definió el límite de una cantidad variable, es decir, de una sucesión de números reales, en los siguientes términos: “Cuando los valores sucesivamente atribuidos a una misma variable se aproximan indefinidamente a un valor fijo, de modo que acaben por diferir de él tan poco como se quiera, a este último se le denomina límite de todos los demás.” En cuanto a las cantidades infinitamente pequeñas, se trata de cantidades variables cuyo límite es 0, definición que permitía traducir fácilmente el método de límites al lenguaje de los infinitamente pequeños. Los matemáticos del siglo  XVIII sólo utilizaban las funciones que Euler denominaba “continuas”. Estas funciones venían representadas en todo su dominio de definición por una misma “expresión analítica”, compuesta de funciones algebraicas, posiblemente iteradas un número infinito de veces, como en el caso de las series, y de funciones trascendentes, como los logaritmos y las exponenciales. Eran TEMAS 1

conocidas, claro está, funciones no  f(x)]/h, siendo h una cantidad infini“continuas”; por ejemplo, la función tamente pequeña. Cauchy creía  f(x) definida en [0, 1], igual a +1 entre —erróneamente— que toda función 0 y 1/2 y a –1 desde 1/2 a 1. Pero el continua es derivable. La definición de lugar que debían ocupar en el análisis derivada le permitía introducir de era motivo de controversias. Hasta modo esencialmente correcto la noción Cauchy se pensaba que todas las fun- de diferencial de una función de una ciones “continuas” admitían un de- sola variable como un incremento sarrollo en serie entera merced a la infinitamente pequeño de la función, fórmula de Taylor, salvo en ciertos cosa que hasta entonces se había prepuntos aislados, como por ejemplo, 0 sentado de forma muy oscura. Otra en el caso de √   z. En su Théorie de 1797, importante innovación del curso era la Lagrange se valió de esta propiedad definición de integral de una función para definir las funciones derivadas y fundar el análisis. Añadamos que sustituyó el término “función continua” por el de función analítica, que habría de imponerse después de él. Sin embargo, ni Euler ni Lagrange demostraban la convergencia de sus desarrollos en serie. Cauchy, por el contrario, valiéndose de la noción de límite que acababa de definir, en su Cours de 1821, estudiaba con cuidado los principales criterios de convergencia de las series, y en particular, su célebre“criteriodeCauchy”.Rechazaba el punto de vista de Lagrange, porque sabía que la serie de Taylor de una función indefinidamente derivable podía ser divergente y que, incluso siendo convergente, su suma podía tener diferente valor que la función.  Así ocurría, en efecto, en el caso de  exp(–1/  x2), que se anula en 0 junto con todas sus derivadas (y, por consiguiente, su serie de Taylor es nula en este punto); sin embargo, la función no es idénticamente nula en el entorno de 0.

continua como límite de “sumas de Riemann”. En lo tocante a la fórmula de Taylor con resto integral, hasta entonces tenida como base del cálculo diferencial, la demostración quedaba relegada al final del curso de cálculo integral.

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pesar de numerosas insuficiencias, como, por ejemplo, la ausencia de las nociones de continuidad uniforme y de convergencia uniforme, el curso de Cauchy en la Escuela

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ste fue el motivo de que Cauchy, en lugar de edificar el análisis basándose únicamente en el estudio de las series enteras, lo ampliara a una clase más general de funciones, la clase de las funciones continuas, pero entendiendo el término “continuidad” en un sentido muy diferente del de Euler. Una función es continua en un intervalo, en el sentido de Cauchy, si un incremento infinitamente pequeño de la variable en este intervalo produce un incremento infinitamente pequeño de la función. Esta es la definición moderna de continuidad, dada también por Bolzano en 1817, con independencia de Cauchy. El  Rés umé des leç ons donnée s à l’École Royale Polytechnique sur le calcul infinitésimal de 1823 aplicaba al cálculo infinitesimal las nociones de límite, de continuidad y de infinitamente pequeño. La noción clave era el concepto de derivada de una función continua de una sola variable  f(x): la derivada es el cociente [ f(x + h) – GRANDES MATEMÁTICOS

5. DEMOSTRACION DE LA FORMULA DE EULER POR CAUCHY. Supongamos que se trate de un cubo, es decir, de un poliedro regular de seis caras. Comencemos por suprimir la cara superior del cubo y proyectemos el cubo así amputado sobre un plano, de manera que el “mapa” obtenido constituya una red de cinco polígonos. De esta forma, la fórmula de Euler V + C = A  + 2 queda convertida en una fórmula relativa al mapa correspondiente, P + V = A + 1, donde P es el número de polígonos de la red, V  es el número de vértices, y A el número de lados. Para el mapa del cubo se ha de tener P = 5, V  = 8, A = 12, cosa fácil de verificar en el dibujo. Si esta fórmula estuviera demostrada para una red cualquiera de polígonos, habríamos demostrado al mismo tiempo la fórmula de Euler para todo poliedro que pueda ser cartografiado así. Para demostrarla, dividamos cada polígono de la red en triángulos, trazando n  diagonales. Obtenemos así  P + n  triángulos,  A + n  lados y V   vértices. A continuación, destruyamos sucesivamente todos los triángulos en los que al menos un lado pertenezca al contorno exterior de la red. Por ejemplo, para el mapa del cubo se obtienen por triangulación, diez triángulos. Tras la destrucción de los triángulos a, b, c, d  se pierden cuatro triángulos y cuatro lados. El número de vértices no cambia. Después de destruir los triángulos e, f, g, h   y también i, la red restante, reducida únicamente al triángulo j, ha perdido esta vez cinco triángulos, diez lados y cinco vértices. Le quedan tres vértices y tres lados. Tenemos pues un sistema de tres ecuaciones: V – 5 = 3, A + n – 14 = 3, P + n – 9 = 1, que podemos reducir a la fórmula P + V – A = 1. Resulta fácil generalizar este procedimiento de reducción a una red cualquiera y obtener la misma fórmula. Sin embargo, el razonamiento supone que siempre es posible reducir la red por destrucción sucesiva de los triángulos exteriores a un solo triángulo, lo cual no está demostrado. Y sobre todo, la demostración solamente es válida para poliedros cartografiables, es decir, para una clase reducida de poliedros.

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Politécnica definió durante mucho tiempo el territorio del nuevo análisis. Pero, ¿eran tales innovaciones propias de la enseñanza de una escuela de ingenieros? Sea como fuere, los alumnos solían pensar que las lecciones de Cauchy eran demasiado largas y demasiado difíciles. Varios de sus

colegas y la administración de la tiempo y con menos trabajo todo lo que escuela hicieron suyas tales críticas. aprendían anteriormente.” Pero no Cauchy se defendió como un gato consiguió que su causa triunfase. Tuvo panza arriba: “... la experiencia que interrumpir la publicación del demostrará pronto que los nuevos  Résumé des leçons de segundo curso en métodos [es decir, los suyos], lejos de 1824 y que respetar los nuevos prograentorpecer la instrucción de los alum- mas oficiales de análisis de la escuela, nos, les permiten aprender en menos que, en 1825, redujeron la parte teórica en beneficio de la aplicada. La preparación de las lecciones impartidas en la Escuela Politécnica entrañaba un trabajo considerable, al que Cauchy se consagró casi exclusi vamente hasta 1820. Pero en el transcurso de los años siguientes preparó un gran número de artículos y memorias sobre los temas más diversos. Las más importantes trataban, por una parte, de la teoría de la elasticidad, cuyo marco conceptual estableció en 1822 y que trató de aplicar, en su forma molecular, a la teoría de la luz de Fresnel, y, por otra, de la teoría de funciones de una variable compleja y del cálculo de residuos, cuyas aplicaciones multiplicó a partir de 1826. Estas memorias fueron redactadas, al parecer, con ocasión de sus cursos en la Facultad de Ciencias y en el Collège de France, nuevo ejemplo de relaciones fecundas entre la investigación y la docencia.

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6. LAME HABIA ANUNCIADO el 1 de marzo de 1847 haber encontrado una demostración del teorema de Fermat, basada en una descomposición completa de xn + yn en n factores lineales, primos entre sí, que contenían números imaginarios. Pero su demostración era incompleta, pues no había probado la unicidad de esta descomposición. Este fue el punto que Cauchy creyó poder demostrar. Se estableció entre Cauchy y Lamé una verdadera carrera de velocidad; el 17 de marzo de 1847, ambos depositaron pliegos sellados que contenían los principios de sus demostraciones. Las sesiones siguientes de la Academia estuvieron ocupadas por numerosas comunicaciones de ambos sabios. Pero el 17 de mayo, Kummer anunciaba, en una carta leída por Liouville, que él había demostrado ya que tal descomposición no era única. Los pliegos sellados del 17 de marzo permanecieron cerrado s hasta 1980; fueron abiertos a petición del autor de este artículo. El de Cauchy es muy curioso, porque está escrito en italiano y en caracteres griegos difíciles de descifrar (Cauchy poseía cierto sentido del humor). En el recuadro se ofrece la traducción del texto de Cauchy.

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auchy tenía 40 años cuando estalló la Revolución de 1830. La partida del rey legítimo, la participación de los politécnicos en la insurrección y los actos de violencia anticlerical le afectaron en lo más profundo. Fue como si le hubiera alcanzado un rayo. Durante la Restauración había combatido la opinión de los liberales y había defendido sin reservas a los jesuitas. Por iniciativa propia había participado con celo en las numerosas actividades de la Congregación, llegando a ser, en 1824, uno de los directores de la Sociedad Católica de buenos libros y, más tarde, en 1828, de la Asociación para la defensa de la religión católica. Todo eso desaparecería en la tormenta.  Agotado por el intenso trabajo de los años precedentes, con los nervios rotos por los últimos acontecimientos, abandonó París a comienzos del mes de septiembre para viajar a Suiza y a Italia. Dejó en casa de sus suegros —los Debure, editores instalados en el Barrio Latino— a su esposa, Aloïse, con quien se había casado en 1818, y a sus dos hijas. El viaje, que estaba previsto que durase varias semanas, se trocó rápidamente en un exilio  voluntario. En efecto, Cauchy se negó a prestar juramento de fidelidad al nuevo rey y prefirió organizar una universidad católica en Friburgo, proTEMAS 1

yecto que quedó abortado al cabo de dos meses. Retirado en Suiza, Cauchy, normalmente tan fecundo, permaneció callado, por así decirlo, durante casi un año. Su retorno a la escena matemática fue espectacular. El 11 de octubre de 1831 presentaba a la Academia de Turín una memoria en la que demostraba un teorema fundamental relativo al desarrollo en serie de funciones holomorfas. Volveremos sobre el tema. En Turín, las autoridades crearon especialmente para él una cátedra de física sublime en la Universidad. Pero Cauchy sólo enseñó en ella durante año y medio. En efecto, en julio de 1833 abandonó Turín para dirigirse a Praga, donde Carlos X, allí exilado, le confió la educación científica de su nieto, el Duque de Burdeos, pretendiente legitimista al trono de Francia. Cauchy hizo venir a su familia, que había permanecido en París desde su partida, y cumplió su función de preceptor con gran entrega, pero sin mucho éxito. Relati vamente aislado, acaparado por la preparación de sus lecciones, su producción científica se redujo. No regresó a Francia hasta 1838, al llegar el Duque de Burdeos a la mayoría de edad, reemprendiendo a ritmo sostenido la publicación de sus investigaciones, aprovechando la creación, en 1836, de las Comptes Rendus  de la  Academia. En esta época, Cauchy ya no desempeñaba puestos oficiales en las instituciones científicas, exceptuado su sillón de académico. A lo largo de

los años siguientes se esforzó en conseguir un nuevo puesto, primero, en 1839 en la Oficina de Longitudes, y más tarde, en 1842, en el Collège de France. Pero, en ambas ocasiones, consideraciones de orden político impidieron los nombramientos que su talento merecía holgadamente. En la Oficina de Longitudes, donde había sido elegido, fue su intransigente negativa a prestar juramento lo que obligó al ministerio a anular la elección. En el Collège de France, en plena polémica sobre los jesuitas, fueron los profesores quienes prefirieron al mediocre Libri, personaje de dudosa categoría, pero que exhibía el mérito de haberse pronunciado públicamente contra las formas de actuar de la Compañía de Jesús. El más grande matemático francés de su época fue objeto, pues, de diez años de ostracismo. Su comportamiento de emigrado del interior era, evidentemente, responsable en buena medida de tal situación.

L

a revolución de 1848, acogida por Cauchy con un cierto júbilo que contrastaba con su desasosiego de 1830, eliminó el problema del juramento, que fue abolido por la República. En 1849, Cauchy, nombrado profesor de astronomía matemática en la Sorbona, pudo por fin reanudar, a los 60 años, la docencia. Napoleón III le eximió del juramento por una medida excepcional, y de esta forma Cauchy pudo continuar ocupando su cátedra

EJE IMAGINARIO

en la universidad hasta su muerte, en 1857. La “teoría de Cauchy” de funciones de una variable compleja sigue siendo su mayor título de gloria. Se trata de una teoría difícil. Además, como suele ocurrir en la historia de las ciencias, Cauchy llegó a sus mejores descubrimientos por vías indirectas y las nociones básicas, que hoy nos parecen las más simples, no se desentrañaron, por lo general, sino después de muchos tanteos, tras una investigación que duró más de cuarenta años. Nos contentaremos aquí con dar una idea de los problemas tratados por Cauchy.  Veamos, para empezar, qué es para Cauchy un número complejo o imaginario. Los matemáticos del siglo  XVIII, y Euler en particular, manipulaban cada vez con mayor frecuencia este tipo de número, descubierto por los algebristas italianos en el siglo  XVI, sin preocuparse demasiado del rigor ni de las definiciones. ¿Qué significado dar, por ejemplo, a la raíz cuadrada de un número negativo? ¿Qué sentido deberíamos asignar al símbolo √ –1 ? Cauchy, incómodo, trató primero, en 1814, de reducir su empleo. Más tarde, en su Cours d’analyse de 1821, propuso una interpretación simbólica de los números imaginarios, a la que se mantuvo fiel hasta el final del decenio de 1840. El número complejo α + β√ –1 es para Cauchy una “expresión simbólica” que representa al par de números reales (α, β). Por lo que al símbolo √ –1 se refiere, no es más que “un útil, un instrumento de cálculo” que no signi-

EJE IMAGINARIO M = M'M'' = ρ'ρ''[COS(θ' + θ'') + i SEN( θ' + θ'')]

PLANO COMPLEJO

PLANO COMPLEJO

M = [A + iB] = ρ(COSθ + i SEN θ) B

θ' + θ''

ρ'ρ'' ρ M'' = ρ''(COSθ'' + i SEN θ'')

M' = ρ'(COSθ' + i SEN θ')

ρ'' i

i

θ

ρ' θ'

EJE REAL 0

1

A

7. LA REPRESENTACION GEOMETRICA adoptada por Cauchy en 1849, a resultas de los trabajos de su discípulo Barré de Saint-Venant (1797-1886), con el nombre de teoría de las cantidades geométricas, tardó bastante en imponerse. Las primeras tentativas se remontan en torno a 1800 y son obra de matemáticos poco célebres, como Wessel y Argand. Gauss, que conocía esta representación desde 1799, se declaró públicamente en su favor en 1831. Es fácil explicar las reservas de

GRANDES MATEMÁTICOS

θ''

0

EJE REAL

1

los matemáticos al respecto: para ellos, el álgebra no se funda en intuiciones, sino en convenios; una imagen geométrica no puede, por lo tanto, constituir una definición. Finalmente, fueron las necesidades del análisis las que convencieron a Gauss, como a Cauchy, para adoptar la representación geométrica. Tal representación permitía ver, por ejemplo, que existen infinitas maneras de pasar continuamente de un valor complejo a otro.

77

fica nada por sí mismo, pero que permite llegar más rápidamente a la solución de problemas que se plantean. Para definir, por ejemplo, el producto de dos expresiones imaginarias, basta operar como si de números reales se tratase, tenien te niendo do en cuenta 2 α β  γ  + que (√ –1  + δ√ –1 –1) ( γ  –1) –1)  = –1 : (  + √ –1 = αγ + (αδ + βγ ) √ –1 –1 + βδ (√ –1 –1)2 = ( αγ  )√ –1 – βδ) + (αδ + βγ )√  –1. Una “ecuación imaginaria” α + β√ –1  + δ√ –1 –1 = γ  + –1 es la representación simbólica de dos ecuaciones entre magnitudes reales, { α = γ , β = δ}. Esta concepción tan formalista de las expresiones imaginarias tenía el mérito de la claridad, pero no podía explicar el papel creciente que desempeñaban en análisis.

T

ampoco lograba hacerlo mejor la teoría de las equivalencias algébricas, desarrollada por Cauchy en 1847, a resultas de sus investigaciones sobre el último teorema de Fermat. Echemos Echemos un vistazo a esta teoría: cualesquiera que sean los polinomios  A(x) y B(x), se sabe que existe siempre un único polinomio Q(x), llamado cociente, cociente, y un único polinomio  R(x), llamado resto, de grado estrictamente menor que el de  B(x), de manera que  A(x) = B(x)Q(x)  + R(x). La división de  A(x) entre B(x) consiste precisamente

en buscar Q(x) y R(x). Dado un poli Al sustituir en las cantidades imanomio cualquiera A(x), Cauchy consi- ginarias el símbolo √ –1 símbolo –1 por el símbolo deraba el resto de su división por  x2 + i, utilizado ya por Euler, y al interinter 1, al que denotaba simbólicamente pretar según el convenio recién expli A(i). Tal resto es necesariamente un cado las expresiones obtenidas como polinomio de grado gra do 0 —o sea, un restos restos de la división entre  x 2  + 1, número número real— o de grado 1, es decir, Cauchy redujo las operaciones sobre de la forma ax + b, pues su grado ha las cantidades imaginarias, adición y de ser estrictamente menor que el de multiplicación, a operaciones con poli x2 + 1. Por ejemplo, si tomamos para nomios. Por ejemplo, para definir el  A( x  x) el polinomio x3 + x2 – 2 x + 3, dado producto de dos cantidades imagina x2 + 1) ( x  x + 1) + (–3 x + rias basta considerar (a + ib) (c + id) = que es igual a ( x 2), el resto es, en este caso, –3 x + 2. (ac – bd) + i(ad + bc) como una equivaCauchy se valió entonces de una idea lencia algébrica. Es fácil, en efecto, de Kummer, Kum mer, quien había genera-  verificar que la división d ivisión de ( a +  xb) ( c lizado a los polinomios la teoría de + xd) por x2 + 1 da un resto igual a ( ac congruencias, congruencias, creada por Gauss para – bd) + x(ad + bc). los números enteros. Recordemos que La teoría de las equivalencias algédos números enteros son congruentes bricas creada por Cauchy puede ser módulo n  si dan el mismo resto al generalizada utilizando en lugar del x2 dividirlos por n; por ejemplo, 7 y 3 son + 1 otros polinomios divisores. congruentes módulo 2. De igual forma, Constituye un potente instrumento puesto que  x3 +  x2 – 2 x + 3 y –3 x + 2 para crear tanto objetos matemáticos tienen el mismo resto al dividirlos nuevos como operaciones sobre estos entre  x2 + 1, podemos decir que son objetos deducidas de otras con los congruentes módulo ( x2  + 1) o, con polinomios. En el lenguaje del álgebra terminología de Cauchy, que son algé- moderna, se dice que se construyen bricamente equivalentes. Si dos poli- anillos cocientes del anillo de polino x) y B( x  x) son algébricamente mios. En general, sin embargo, miennomios A( x equivalentes, se tiene  A(i) =  B(i). Se tras que todo número complejo no tendrá, en particular, i2 = –1, puesto nulo,  z,  posee un inverso  z–1  tal que  (x2 + 1) –1 es algébricamente  zz–1 = 1, los objetos creados al reemque x2 =  x equivalente equivalente a –1. plazar  x2 + 1 por otros polinomios no

(1)

CIRCUITO C B

Z=A 0

0

(2)

A PLANO DE LA VARIABLE COMPLEJA Z

PLANO DE LA VARIABLE COMPLEJA Z

8. EL TEOREMA DE CAUCHY estipula que para las f unciones 9. EL TEOREMA DE LOS RESIDUOS, demostrado también por holomorfas f(z) de la variable compleja z, la integral a lo largo Cauchy, indica que si una función f(z) de la variable compleja de un camino que conecte los puntos A y  B  no depende del  z es holomorfa en un cierto dominio, salvo en un punto aislacamino que los conecta. De esta forma, el valor de la integral do a llamado polo, donde toma un valor infinito, pero en el es el mismo al calcularla a l o largo del camino (1) y del camino cual, para m suficientemente grande,  g(z) = (z – a) m f(z) es ( 2  2). Se deduce de aquí que la integral a lo largo de un camino holomorfa, entonces el valor de la integral de f(z) tomado a lo cerrado (en color ) (1) – ( 2 largo de un camino cerrado como el C, que rodea una sola vez  2) es nula. Este teorema solamente es aplicable si la función f(z) es derivable en el dominio del pla- a a, es igual a 2πi multiplicado por el residuo de la función en no complejo donde se toman los caminos; tales funciones se a. Si m = 1, es decir, si g(z) = (z (z – a)f(z) es holomorfa, se dice que llaman holomorfas. Este teorema fue demostrado en 1814, el polo a  es simple, y esta integral es igual a  2πi g(a) . Por enunciado en forma bastante burda, para caminos paralelos ejemplo, si f(z) = 1/ (z (z – a)  y si el camino cerrado C da n vueltas a los ejes de coordenadas; su generalización a caminos cuales- alrededor del polo simple a, la integral de 1/ (z (z – a)  sobre este quiera es de 1825. Cauchy consideró por vez primera caminos contorno es igual a 2πin; siendo n lo que Cauchy llamaba íncerrados en 1831. dice de a con respecto al camino C.

78

TEMAS 1

poseen esta propiedad. Para que exista exis ta este inverso, o sea, en el lenguaje del álgebra moderna, para que el anillo cociente sea un cuerpo, es necesario y suficiente que el polinomio divisor sea irreductible, esto es, que solamente sea divisible por 1 y por sí mismo, mis mo, salvo un coeficiente multiplicador constante. Tal es el caso de  x2 + 1, que es irreductible porque no posee raíces reales. Si establecemos un paralelismo entre la teoría de congruencias de números enteros y la teoría de congruencias de polinomios, se comprueba que los polinomios irreductibles desempeñan así el mismo papel que los números primos en aritmética. Por fin, en 1849, dos años después de la invención de su teoría de equivalencias algébricas, Cauchy se avino a la interpretación geométrica de los números propuesta por varios matemáticos a comienzos de siglo. El número complejo a + ib está representado por el punto  M  de  de abscisa a y de ordenada b en el plano complejo pro visto de ejes rectangulares. En coordenadas polares, está definido por la longitud del radio vector OM  que   que va del origen O al punto  M  (módulo  (módulo ρ) y por el ángulo (definido salvo 2 kπ que forma OM  con  con la semirrecta real positiva Ox (argumento θ). Las operaciones con números complejos se reducen a movimientos en el plano. Por ejemplo, multiplicar el número de módulo ρ  y argumento θ  por el número de módulo ρ’ y de argumento θ’ equivale a construir el número de módulo ρρ’ y argumento θ’. Este recurso a la intuición geométrica permite comprender mejor cómo se efectúa el paso de lo real a lo imaginario en el estudio de funciones, paliando hasta cierto punto pun to la carencia de nociones topológicas.

P

ara simplificar, vamos a presentar la teoría de funciones de Cauchy en el marco de esta interpretación geométrica, aunque el propio Cauchy la adoptase adoptase tardíamente. De forma muy general, ge neral, una función de una  variable compleja hace hace corresponder a cada valor de  z un valor determinado  Z, es decir, le asocia a cada punto del plano un punto y sólo otro punto del plano. Señalemos que de esta forma dejaba de lado las “funciones multiformes”, que pueden tomar muchos valores para un mismo valor de la variable: por ejemplo, Cauchy reducía los logaritmos imaginarios de Euler a su única determinación principal. De hecho, Cauchy trabajaba solamente sobre una clase particular de funciones de  variable compleja de comportamiento muy regular, a saber, las funciones GRANDES MATEMÁTICOS

10. CAUCHY PRESENTO, el 15 de febrero de 1825, una nota de cuatro páginas en la que anunciaba su descubrimiento de la integración en el plano complejo. El último párrafo (añadido, como muestra la tachadura de “Paris, le 7 février 1825, A.-L. Cauchy” en la página 3, entre el 7 y el 15 de febrero) constituye el primer borrador de la célebre memoria Sur les intégrales prises entre des limites imaginaires , presentada el 28 de febrero siguiente, en la cual Cauchy enunciaba los teoremas “de Cauchy” y de los residuos. El autor cita en este párrafo a dos matemáticos que le han inspirado: Brisson, un ingeniero jefe de Puentes y Caminos, y Ostrogradski,  joven ruso llegado a Francia en 1822.

que son derivables, u holomorfas, excepto en puntos aislados. En 1814, daba la condición de holomorfía de una función en forma de sistema diferencial (condición de Cauchy), Cau chy), pero sólo tras haber dado en 1851 la primera definición correcta de la derivada de una función de variable compleja pudo llegar al año siguiente si guiente a la noción de función holomorfa, que denominaba función sinéctica. Los puntos aislados considerados por Cauchy eran siempre polos, polos, esto es, puntos z0 en los que una función  f(z)   toma un valor infinito, pero en los cuales, para un entero positivo positivo m suficientemente  suficientemente grande, el  z – z0)m f(z) es función holoproducto ( z

morfa. Si m = 1,  z0 es un polo simple. Por ejemplo, a es un polo simple de f(z) (z – a), porque ( z  z – a)f(z) a)f(z) = 1 es holo= 1/ (z morfa. Mucho antes de definir las funciones holomorfas Cauchy sabía ya integrar las funciones de una variable compleja, y fue justamente la integración en el plano complejo la que constituyó, en 1814, el punto de partida de su teoría. En 1825 le consagró a esta cuestión una de sus mejores memorias, cuyo título era  Sur les intégrales définies prises entre des limites imaginaires. Resulta posible extender al campo complejo la definición de integral de una función de una variable real como 79

límite de “sumas de Riemann”, Rie mann”, pero compleja resultaba posible, con las hay que tener en cuenta que dos pun- funciones holomorfas, retornar al tos del plano complejo pueden ser punto de vista de las funciones analíunidos por una infinidad de caminos ticas, es decir, desarrollables en serie distintos. Las conclusiones de Cauchy entera en todo punto de su dominio, se concretan en dos teoremas funda- de las que se había servido Lagrange mentales. Por una parte, mientras la para fundar el análisis. función sea holomorfa, el valor de la La obra de Cauchy es inmensa. Sus integral es el mismo cualquiera que Œuvres complètes, cuya edición se ha sea el camino que se tome: éste es el prolongado durante casi un siglo, llamado “teorema de Cauchy”. Cauchy”. Por otra desde 1882 hasta 1975, consta de 27 parte, si existe un polo z0 en el interior  volúmenes en cuarto, y contiene, adede la porción de plano complejo com- más de cinco obras dedicadas a la prendida entre dos caminos que unen ense enseñanza, ñanza, cerca de 800 artículos y los dos puntos, los valores de las inte- m e morias. Cauchy, que no se grales tomadas a lo largo de estos dos encontraba encontra ba cómodo en su época, caminos son diferentes. La diferencia frecuentemente frecuentemente incomprendido por es igual a 2πi y multiplicada por una sus contemporáneos, encontró en la cantidad llamada residuo de la función producción matemática un refugio, en en el polo  z0; éste es el teore teo rema ma de los el cual, lejos del mundo real, su genio residuos. Si el polo  z0  es simple, el creador pudo dar toda su medida. Sin residuo es igual al valor de (z – z0 )f(z) embargo, su concepción de las mate(z máticas es expresión de preocupaen  z0. Por ejemplo, el residuo de 1/ (z  – a) en a es 1. A partir de 1826, Cauchy ciones de su época. Rechazando el desarrolló numerosas aplicaciones de racionalismo optimista del Siglo de las su “cálculo de residuos”. Luces, se obliga, como los mejores de sus contemporáneos, a encerrar en el ue por aplicación de una fórmula marco de una exposición rigurosa la obtenida gracias al teorema de extraordinaria expansión del análisis los residuos como Cauchy demostró en del siglo  XVIII. Esta exigencia de rigor 1831 el teorema de Turín, un teorema no tardó, por otra parte, en revelar fundamental y verdaderamente mila- pronto su extraordinaria fecundidad. groso. Este teorema muestra que las Hay que añadir que las necesidades funciones de una variable compleja se pedagógicas, en una época en que se comportan de manera muy diferente asiste en matemáticas a una aproxia las funciones de una variable real: mación entre investigación y enseuna función holomorfa en un disco ñanza, constituyeron para él, desde abierto centrado en O puede, en efecto, este punto de vista, un poderoso estiser siempre desarrollada en serie mulante. entera. Dicho de otra forma, las nociones de holomorfía y de analiticidad son egislador e inventor a un mismo equivalentes. Una función derivable tiempo, heredero de los grandes de una variable compleja es, automá- matemáticos del siglo  XVIII, Cauchy ticamente, infinitamente derivable, forma con Gauss la primera clase de mientras que una función derivable de matemáticos modernos. Por ello  variable real ¡ni siquiera tiene siem- merece sin duda ser mejor conocido pre derivada continua! por quienes se interesan por la histoEsta propiedad sorprendente de las ria de las ciencias. funciones holomorfas explica la potencia de los métodos de paso de lo real a lo imaginario utilizados por Cauchy a BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA partir de 1814. Por otra parte, fenómeŒUVRES C OMPLÈTES. A.-L. Cauchy. Gaunos que resultaban incomprensibles al thier-Villars, thier-Villars, París, 1882-1974. limitarse únicamente a valores reales LA VIE ET LES TRAVAUX DU BARON CAUde la variable encontraban ahora su CHY . C. A. Valson. Gauthier-Villars, explicación natural. Por ejemplo, la 1868, reeditado por A. Blanchard, París, función exp(–1/  x2) es indefinidamente 1970. derivable en el punto O  cuando la CAUCHY. H. Freudenthal, en Dictionary of Scribner’s Scientific Biography, Charles Scribner’s consideramos como función de variaSons, Nueva York, York, 1970-1980. ble real, pero no es derivable cuando ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. extendemos los valores de la variable A.-L. Cauchy. Curso inédito (fragmento), a todo el plano complejo, y no es, por Etudes vivantes, París, 1981. consiguiente, holomorfa en ningún CAUCHY ET LA PRATIQUE DES SCIENCES disco abierto de centro O. Esa es la E XACTES EN FRANCE AU XIX e SIÈCLE. B. Belhoste. Tesis de tercer ciclo, Universirazón de que difiera de su serie de dad de París I, 1982. Taylor en O. En resumen, en el nuevo marco de las funciones de una variable

F

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TEMAS 1

Escher y Penrose  Junto a la cascada

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oger Penrose, hoy profesor de la Universidad de Oxford, comunicarlas). Apelan para ello a propiedades indetectables. no era más que un posgraduado de 23 años cuando se Peres ofreció una nueva demostración, más breve y manejable topó con el geométrico arte de Maurits C. Escher. que la original, de un conocido teorema (llamado en honor a Aconteció con motivo de un congreso de matemáticas celebrado sus autores de Kochen-Specker) que demuestra la incoherencia en Amsterdam en 1954. Desde entonces, este físico y matemá- interna de toda una clase de teorías de variables ocultas. En la tico británico parece haber compartido con el artista holandés, versión de Peres, el teorema dice que hay treinta y tres vectores ya fallecido, lazos misteriosos que trascienden del espacio y el tridimensionales tales, que no puede asignarse sin contradicción el valor 1 a un vector de cada tríada ortogonal que se forme con tiempo. Lo mismo que tantos matemáticos, Penrose sintióse fasci- ellos y el valor 0 a los otros dos. Pues bien: las teorías de variables ocultas de cierta clase se basan nado por la lúdica exploración que en asignaciones de ese tipo; no son, Escher efectúa en nociones matepues, coherentes. máticas como la simetría y la regrePenrose, que acostumbra visuasión infinita, y por las manipulaciolizar conceptos dándoles expresión nes a que somete la geometría y la geométrica, le preguntó a Peres si perspectiva para construir objetos sus coordenadas se correspondían “imposibles” que infringen las con poliedros interesantes. “Se reglas de la realidad tridimensional. quedó mirándome inexpresivaLos dibujos de Escher inspiraron a mente”, rememora Penrose, “así Penrose el esbozo de un objeto que opté por trazar unas cuantas imposible de cosecha propia, una figuras, para ver si tenían sentido”. “tribarra” compuesta por tres listoY al ir Penrose representando las nes ensamblados. La tribarra no coordenadas de Peres, fue tomando tiene nada de especial a primera forma en el papel un poliedro comvista, pero al dibujar los listones que plejo, compuesto por tres cubos que la componen nos percatamos de que se interpenetran, girado cada uno éstos —¿o tal vez el espacio de ellos 90 grados con respecto a mismo?— han de estar retorcidos. los demás. “Lo estuve mirando”, Penrose le mostró la tribarra a su dice Penrose, “y pensé, ¡caramba, padre, Lionel, distinguido profesor esto ya lo he visto antes!” Se acordó de genética, de quien Roger ha de pronto: Escher había colocado heredado el gusto por paradojas y  justamente un poliedro así sobre la rompecabezas. Lionel respondió torre izquierda de su “cascada”. El dibujando una escalinata imposible, curioso hallazgo de Penrose quedará que parece ascender sin fin, pero recogido en un volumen de arque en realidad se muerde la cola, tículos que va a ser publicado en cerrándose sobre sí misma. Padre e memoria de John Bell, gran teórico hijo prepararon conjuntamente un de la mecánica cuántica. Desdichaartículo donde describían la tribarra damente, Penrose no puede esta vez y la escalinata, y se lo enviaron a enviarle el artículo a Escher, pues Escher. El artículo, publicado en el el artista murió hace tiempo.  Britis h Journal of Psychol ogy en Penrose sí llegó a conocer a 1958, espoleó a Escher para crear Escher, con quien se reunió en una dos de sus litografías más famosas: ocasión, en 1962. “Estaba yo via Ascending and Desc ending  (AsUn poliedro cuántico adorna una de las torres de  jando en automóvil por Holanda, “Cascada”, de Escher. censo y Descenso), en el que una y se me ocurrió telefonearle; procesión de monjes suben y bajan en fila por una escalinata sisífea, y Waterfall (Cascada), que Escher me invitó a tomar té en su casa”, recue rda Penrose. Le transforma la tribarra de Penrose en un circuito de agua que propuso a Escher un rompecabezas: un conjunto de pol ígonos idénticos que adecuadamente adosados pudieran teselar el corre sin cesar. La historia se reanudó tres decenios después, en mayo de plano infinito. Escher resolvió el problema más adelante; la 1991, cuando Penrose asistió en Copenhague a un congreso de clave consistía en darle la vuelta a ciertos polígonos, convirfísica cuántica. Allí acudió a la disertación del físico Asher tiéndolos así en sus imágenes especularmente simétricas. En Peres, de la Universidad Technion de Israel, que trataba sobre 1971 Escher dibujó una figura que se inspiraba en el rompeteorías de variables ocultas. Tales teorías quieren explicar desde cabezas. El encuentro resultó un poco decepcionante en un aspecto. la física clásica ciertos efectos cuánticos como la no-localización: las partículas que emite una fuente común están correla- “Me esperaba que su casa tuviera una escalera que saliese por cionadas sin que haya entre ellas transmisión alguna de infor- una ventana, o algo por el estilo”, señala Penrose. “Pero todo mación (ni la propia correlación puede ser empleada para era de una pulcritud y organización perfectas.” GRANDES MATEMÁTICOS

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Évariste Galois Tony Rothman Según la leyenda, este joven matemático redactó la teoría de grupos en la noche anterior al duelo en que recibió un tiro fatal. Una investigación más cuidadosa hace ver que las originales ideas de Galois tardaron algo más en madurar 

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 variste Galois, joven prodigio y matemático francés, contaba tan sólo 20 años de edad cuando en la madrugada del 30 de mayo de 1832 escribía a sus amigos Napoléon Lebon y V. Delauney: “He sido provocado por dos patriotas... Me es imposible rehusar. Os ruego vuestro perdón por no habéroslo dicho. Pero mis adversarios me han exigido palabra de honor de no informar a ningún patriota. Vuestra tarea es sencilla: demostrad que he de combatir contra mi voluntad, tras haber agotado todos los medios de reconciliación posibles; decid si soy capaz de mentir ni siquiera en lo más baladí. Por favor, recordadme, ya que el destino no me ha dado vida bastante para ser recordado por mi patria. Muero amigo vuestro, É. Galois” Esa misma noche, Galois escribía también a su amigo Auguste Che valier: “He hecho algunos descubrimientos nuevos en análisis. El primero concierne a la teoría de ecuaciones; los otros, a las funciones enteras. TONY ROTHMAN se licencio en 1975 por el Swarthmore College y se doctoró en física por la Universidad de Texas en  Austin, en 1981. Sus campos de investigación son, principalmente, el estudio de los agujeros negros, la formación de bariones en los comienzos de la historia del universo y la síntesis primordial de núcleos atómicos en las estrellas. “En realidad, mi interés por Galois es consecuencia de una obra teatral... que escribí hace algunos años, sobre el poeta ruso Pushkin y sobre Galois. Durante la preparación histórica descubrí que las narraciones habituales de la vida de Galois disponibles en inglés eran, cuando menos, inexactas.”

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“En teoría de ecuaciones he investi- ilación capaz de encajar y explicar el gado las condiciones de solubilidad de melodrama evidente en sus escritos. ecuaciones por medio de radicales; con ello he tenido ocasión de profundizar e sabe, por ejemplo, que a la edad en esta teoría y describir todas las de 17 años Galois contribuyó a transformaciones posibles en una crear una rama de la matemática que ecuación, aun cuando no sea posible hoy estructura y facilita la comprenresol verla por radicales. Todo ello sión de campos tan diversos como la puede verse aquí, en tres memorias... aritmética, la cristalografía, la física “Haz petición pública a [Carl Gustav de partículas elementales y las posiJacob] Jacobi o a [Carl Friedrich] Gauss ciones accesibles del cubo de Rubik. para que den su opinión, no acerca de la  Asimismo, existe prueba documental  veracidad, sino sobre la importancia de de que a igual edad Galois suspendió estos teoremas. Confío en que después por segunda vez el examen de matealgunos hombres encuentren de prove- máticas para ingresar en la École cho organizar todo este embrollo.” Polytechnique. Tu vo que estudiar, en cambio, en la École Normale de París. El desesperado estado de ánimo en Empero, a los 19 años ya había sido que se encontraba Galois al escribir expulsado de esta escuela, y por dos estas cartas estaba plenamente jus-  veces detenido y encarcelado a causa tificado, como tristemente habrían de de sus actividades políticas. Poco probar los acontecimientos inmediatos. antes del duelo se enredó en un desPoco después del amanecer de esa dichado asunto amoroso, que en una misma noche, Galois abandonó su habi- de sus cartas últimas parecía relaciotación de la pensión Sieur Faultrier, en nar con el duelo mismo. “Muero París, y se enfrentó en duelo de honor a —escribió— víctima de una coqueta un activista político llamado Pescheux infame y de sus dos encandilados.” d’Herbinville, a las orillas de un estanDesafortunadamente, algunos de que cercano. Allí Galois recibió un los biógrafos que Galois ha tenido en balazo en el abdomen, quedando aban- nuestro siglo no han resistido la tentadonado. Más tarde un transeúnte lo ción de aderezar, interpretar y embeencontró y llevó al Hôpital Cochin, llecer tales hechos. Lo que la mayoría donde murió al día siguiente. Catorce de la gente conoce acerca de la vida de años después, los manuscritos que dejó Galois se funda en relatos populares, para Chevalier fueron publicados por el como los del físico Leopold Infeld o el matemático francés Joseph Liou ville, astrónomo Fred Hoyle. La versión que naciendo de esta forma la rama, excepcio- mayor influencia ha tenido en la creanalmente fecunda, de la matemática ción del mito de Galois ha sido la de conocida hoy por teoría de grupos. Eric Temple Bell, matemático cuya En la historia de la ciencia pocos obra  Men of Mathematics  (versión relatos pueden igualar en contenido española, “Los grandes matemátino velesco y romántico los hechos cono- cos”), publicada en 1937, es seguracidos sobre la vida y muerte de Galois. mente la más famosa recopilación de Empero, justamente por la fuerza  vidas de grandes matemáticos. coercitiva de estos hechos, es fácil En las repeticiones populares de excederse en la lectura de las cartas esta historia, Galois es presentado de Galois, y tentador ir espigando en como genio incomprendido, sojuzgado los acontecimientos que tuvieron con- por la estupidez de sus maestros, olviclusión en el duelo, en búsqueda de una dado por la organización matemática

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TEMAS 1

institucional y espoleado y arrastrado por los acontecimientos de la época a un acti vismo político que habría de mermar sus energías y, finalmente, costarle la vida. Lo más notable de todo es que, según estas versiones, durante todo el período de agitación política, e incluso durante su estancia en la cárcel, Galois continuase desarrollando sus ideas matemáticas “de cabeza”, para acabar poniéndolas por escrito la noche anterior al duelo. Vale la pena reproducir aquí la descripción que da Bell de esta noche última, porque probablemente sea la que mayor impulso ha dado al mito de Galois: “Durante toda la noche estuvo febrilmente luchando contra las fugaces horas, garrapateando su testamento científico y su última voluntad, espigando, con el tiempo en contra, algunas de las grandes cosas que había elaborado su mente fecunda, antes de que la muerte, que ya veía, le diese alcance. Una y otra vez se detuvo para anotar al margen ‘No tengo tiempo, no tengo tiempo’, para continuar enseguida esbozando  velozmente otro tema. Lo que Galois escribió antes del amanecer, en aquellas horas desesperadas, mantendrá ocupadas a generaciones de matemáticos, durante cientos de años.” Recientemente, con ayuda de Marc Henneaux y Cecile DeWitt-Morrette, de la Universidad de Texas en Austin, he leído algunos de los trabajos de Galois, así como los últimos trabajos doctos acerca de su vida. Aunque de la lectura de estos materiales resulta evidente que todos los acontecimientos relevantes de la vida de Galois se conocen desde hace tiempo, la reconstrucción de Bell (y las de otros) revelan

más acerca de los estereotipos de genio científico que tanto atraen a la imaginación popular de lo que realmente revelan de Galois. La novela auténtica de Évariste Galois es fascinante por derecho propio, y merece ser

recordada en el 150 aniversario de su muerte.  Aparte de cartas, registros oficiales y otros documentos de la época, la fuente principal sobre la vida de Galois es una biografía, fechada en

1. ÉVARISTE GALOIS, por David A. Johnson. El matemático aparece ahí a los 17 años, cuando era alumno del Collège Royal de Louis-le-Grand. Aunque hasta esa fecha sólo había estudiado matemáticas durante dos años, ya había publicado un trabajo sobre fracciones continuas y emprendido los estudios de teoría de ecuaciones que habrían de llevarle a la teoría algebraica abstracta de sistemas de objetos, que él llamó grupos. Es preciso reconocer también a otros matemáticos de finales del siglo  XVIII y comienzos del XIX  el mérito de haber creado y desarrollado la teoría de grupos, particularmente, a Paulo Ruffini, Neils Henrik Abel y Joseph Louis Lagrange. Empero, suele otorgarse a Galois el título de fundador de la teoría de grupos. El dibujo de Johnson está basado en los dos retratos de Galois que se conocen. Uno, realizado cuando Galois contaba 15 años y el otro, terminado en 1848, a los 16 años de la muerte de Évariste.

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1896, escrita por Paul Dupuy, historiador y superintendente general de la École Normale, facultad a la que había asistido Galois 66 años antes. Según Dupuy, Galois nació el 25 de octubre de 1811, en Bourg-la-Reine, cerca de París. Su padre, Nicholas-Gabriel Galois, era partidario de Napoleón y cabeza del partido liberal en la localidad, llegando, durante los Cien Días, al retornar Napoleón de su exilio, a ser elegido alcalde de la villa. Durante los primeros 12 años de su  vida, Éva riste fue edu cad o por su ma dre, Adelaïde-Marie Demante Galois, quien proporcionó a su hijo una sólida formación básica en latín y griego, y al que traspasó su escepticismo por las formas institucionalizadas de religión. No obstante, es poco  verosímil que el jo ven Galois se viera expuesto en matemáticas a mucho más de las habituales lecciones de aritmética; en aquel entonces no se consideraba importante la formación matemática. Tampoco se tiene noticia de que se hayan dado casos de talento matemático especial en las ramas paterna o materna de la fa milia.

L

a educación regular de Galois comenzó en 1823, cuando ingresó en el Collège Royal de Louis-le-Grand, de París, escuela preparatoria que fue alma mater  de Robespierre y  Victor Hugo (abierta todavía hoy). En el Louis-le-Grand, Galois comenzó inmediatamente a sensibilizarse políticamente; sus simpatías liberales y antimonárquicas, adquiridas de sus padres, estaban en consonancia con las simpatías políticas de la mayoría de los alumnos. No obstante, durante el primer año de Galois en el Louis-le-Grand, las relaciones entre el alumnado y el pro visor recién nombrado fueron ásperas y tirantes. Los alumnos sospechaban que el nuevo provisor se proponía devolver el colegio a los jesuitas, vanguardia de la reacción derechista que siguió a la era napoleónica. Los alumnos hicieron un plante sin excesiva trascendencia: se negaron a cantar en

la capilla, a recitar en clase y a brindar por Luis XVIII en un banquete colegial. En represalia, el provisor expulsó sumariamente a 40 alumnos sospechosos de haber encabezado la rebelión. Aunque Galois no fue expulsado (y se ignora si participó o no en el plante), la arbitraria acción del provisor contribuyó sin duda a fomentar los recelos que Galois pudiera sentir hacia la autoridad. Pocas pruebas hay de que Galois fuese mal estudiante, o de que su desarrollo intelectual se resintiera a causa de un profesorado mediocre, como gustan referir las biografías más difundidas. En sus primeros años de liceo, Galois ganó varios premios de griego y latín, amén de media docena de menciones honoríficas. Un historiador de la ciencia, René Taton, califica sus progresos de brillantes. Empero, durante el tercer año, su trabajo en retórica fue considerado insuficiente, y Galois tuvo que repetir curso. Contrariamente a lo afirmado por Bell, los deficientes resultados en retórica no fueron consecuencia de su pasión por el álgebra, pues fue después de este tropezón cuando Galois recibió su primer curso de matemáticas. Tenía entonces 15 años. El curso, impartido por Hippolyte Jean Vernier, despertó el genio matemático de Galois. Tras engullir a toda  velocidad los manuales al uso, fue derecho hacia las obras maestras de la época, devorando los  Éléments de Géométrie de Adrien Marie Legendre, emprendiéndola inmediatamente con las memorias originales de Joseph Louis Lagrange:  La resolución de  ecuaciones algebraicas,  La teoría de  funciones analíticas  y las  Lecciones sobre el cálculo de funciones. Fue sin duda de Lagrange de quien aprendió por vez primera la teoría de ecuaciones, teoría a la que él mismo habría de realizar contribuciones fundamentales a lo largo de los cuatro años siguientes. Según parece, Vernier sí supo apreciar el talento de su discípulo: en los informes trimestrales, al hablar de Galois, se leen elogios tales

2. LA NOTA AL MARGEN de uno de los artículos que Galois dejó tras sí en la madrugada del duelo es el más famoso documento citado en respaldo de la leyenda de que Galois puso por escrito sus ideas sobre teoría de grupos en una sola noche. En la nota dice: “Hay cosas que terminar en esta demostración. No tengo tiempo. (Nota del autor.)” (“Il y a quelque chose à completer dans cette démostration. Je n’ai pas le temps. (Note de l’A.).”) Según el conocido relato de la vida de Galois escrito por Eric Temple Bell, la frase “No tengo tiempo” aparece frecuentemente en los manuscritos. En realidad, tal frase se encuentra únicamente en la página reproducida aquí. La escritura rápida de la nota contrasta nítidamente con la cuidada caligrafía del cuerpo del texto, lo que hace pensar que Galois no redactó la monografía durante la noche anterior al duelo, sino que tan sólo hizo en ella correcciones. En realidad, el trabajo había sido presentado a la Academia de Ciencias y devuelto a Galois por Siméon Denis Poisson, para que lo reelaborara.

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3. NOCION DE GRUPO, ilustrada por el grupo S(3), que es el grupo de permutaciones de tres objetos. Cada elemento de S(3) actúa sobre los objetos, reordenándolos. La permutación (123) traslada el objeto situado en el primer recuadro al segundo, el objeto del segundo cuadro al tercero, y el objeto colocado en el tercer cuadro, al primero. Dado que tres objetos pueden alinearse de seis formas distintas, el grupo S(3) contendrá pues seis elementos.

como “celo y éxito” y “celo con muy sobresalientes progresos”.

E

l descubrimiento de las matemáticas provocó un sorprendente cambio en la personalidad de Galois. Empezó a descuidar las otras materias, atrayendo hacia sí la hostilidad de los profesores de humanidades. Sus profesores de retórica lo tildaron de “disoluto” en las calificaciones trimestrales; en sus evaluaciones se leen palabras “introvertido y reservado”, “excéntrico” y “original”. Incluso Vernier, aunque sin pretender enfriar la pasión matemática de Galois, le insistió en la necesidad de trabajar más sistemáticamente. Galois no siguió sus consejos; decidió en cambio presentarse al examen de ingreso en la École Polytechnique con un año de anticipación y sin el curso de pre paración matemática habitual. Careciendo, como es obvio, de parte de la formación fundamental, fue rechazado. Galois consideró su fracaso como una injusticia, y ello endureció su rechazo de la autoridad. No obstante, continuó progresando rápidamente en matemáticas, matriculándose en el curso superior de esta ciencia en el Louis-le-Grand, impartido por un distinguido profesor, Louis-Paul-Émile Richard. Richard se percató inmediatamente de las dotes de Galois, solicitando que fuera admitido sin examen previo en la École Polytechnique. Aunque su recomendación no fue atendida, el estímulo de Richard produjo en Galois resultados espectaculares. En marzo de 1829, siendo todavía estudiante, Galois logró publicar su primer 85

trabajo. Se titulaba “Demostración de un teorema sobre fracciones continuas periódicas”, y apareció en Annales de mathématiques pures et appliquées, de Joseph Diaz Gergonne. Este artículo, sin embargo, no fue sino un pequeño aparte. Galois había ya dirigido su atención hacia la teoría de ecuaciones, tema que había explorado por primera vez en las obras de Lagrange. A sus 17 años estaba atacando uno de los más difíciles problemas de las matemáticas; un problema que había tenido en jaque a los matemáticos durante más de un siglo.

resolución de las ecuaciones de grado soluciones de una ecuación polinómica n no exigiera operaciones que trascen- podrán o no calcularse por radicales. dieran de la extracción de raíces n-ési- Sin embargo, más notables quizá que mas. La solución de la ecuación gene- los descubrimientos de Galois en ral de segundo grado, ax2 + bx + c = 0, teoría de ecuaciones fuesen los conocida ya por los babilonios, requiere métodos que ideó para estudiar el extraer la raíz cuadrada de una fun- problema. Sus investigaciones abrieción de los coeficientes, a saber, su ron las puertas de una teoría cuyas discriminante, b2 – 4ac. Por consi- aplicaciones desbordan con mucho los guiente, la ecuación general de límites de la teoría de ecuaciones, segundo grado es resoluble por radi- teoría hoy conocida con el nombre de cales. Análogamente, la solución gene- teoría de grupos. ral de la ecuación cúbica, conseguida por los matemáticos ita lianos Scialois presentó a la Academia de pione dal Ferro y Niccolò Fontana Ciencias Francesa sus primeros (conocido por Tartaglia), a principios artículos sobre la que llegaría a ser n 1829 el problema central de la del siglo  XVI, requiere calcular raíces teoría de grupos el 25 de mayo y el 1 de teoría de ecuaciones era: ¿bajo cúbicas de ciertas funciones de los  junio de 1829, casi al final de su último qué condiciones puede resolverse una coeficientes. La resolución de la ecua- año en el Louis-le-Grand. Le faltaban ecuación? Con mayor precisión, lo que ción general de cuarto grado, con- menos de dos meses para examinarse se buscaba era un método para resolver seguida aproximadamente en esa por segunda vez de las pruebas de ecuaciones polinómicas con una sola misma época por el matemático ita- acceso a la  École Polytechnique, pero incógnita  x, cuyos coeficientes fuesen liano Lodovico Ferrari, exige a su vez en el ínterin los acontecimientos de su todos números racionales y cuyo tér- la extracción de raíces cuartas.  vida habrían de tomar un desdichado Tal era la situación en los tiempos giro. El 2 de julio, apenas unas semamino principal, el de grado máximo, fuese xn. El método debía ser general, de Galois. Tras casi trescientos años nas antes del examen, el padre de aplicable a todas las ecuaciones de este de esfuerzos no se había alcanzado la Évariste puso fin a su vida, asfixiántipo, y debía apoyarse solamente en las resolución general de la ecuación de dose, en su apartamento de París. El cuatro operaciones elementales de la quinto grado –o superior– por medio párroco de Bourg-la-Reine, jesuita, aritmética (adición, sustracción, mul- de radicales, y cierto número de mate- había imitado el nombre de Galois tiplicación y división), así como en la máticos habían llegado a sospechar padre en cierto número de maliciosos extracción de raíces. Cuando las que sería imposible alcanzar seme- epigramas dirigidos contra los propios soluciones –también llamadas raíces–  jante objetivo, a pesar de que en cier- parientes de Galois; no tuvo fuerzas de la ecuación pueden deducirse de los tos casos particu lares, como la ecua- para arrostrar el escándalo. Las coeficientes valiéndose únicamente de ción x7 – 2 = 0, las soluciones sí pueden circunstancias en que se planteaba el estas operaciones, se dice que la ecua- calcularse por radicales. (En este examen de ingreso eran las peores ejemplo, una de las soluciones es 7 2 .) posibles. Además, al parecer, Évariste ción es resoluble por radicales. En vista del desarrollo histórico del Lo que Galois consiguió fue dar crite- declinó seguir en su exposición las problema, era natural esperar que la rios definitivos para determinar si las indicaciones del examinador y fue suspendido por segunda y definitiva vez. Estos dos desastres hicieron cristalizar 1 2 1 2 3 3 su odio por la jerarquía conser vadora, entonces gobernante en Francia.  Viéndose obligado a tomar en consideración la menos prestigiosa École Normale (a la sazón llamada École Préparatoire), Galois se presentó a los (12) exámenes de bachillerato, necesario para ser admitido, en noviembre de 1 3 2 1829. Esta vez fue aprobado en razón (13) de una excepcional calificación en matemáticas, recibiendo la categoría de uni versitario aproximadamente al mismo tiempo que sus trabajos sobre (123) teoría de grupos iban a ser presentados a la Academia de Ciencias. Sus 2 3 2 3 1 1 artículos, sin embargo, nunca llegarían a ver la luz del día. Cuando sus trabajos fueron recibidos por la Academia, fue designado para informarlos Augustin Louis (12) * (123) = (13) Cauchy, a la sazón el más eminente de 4. “MULTIPLICAR” un elemento de S(3) por otro consiste en determinar la colocación los matemáticos franceses y decidido de los objetos resultantes de ejecutar la primera permutación y aplicar a la disposición resultante la segunda permutación. La permutación que por sí sola produciría partidario de la restauración conservala reordenación final es el producto de las dos permutaciones. En general, en los grupos dora. Aunque según la leyenda Cauchy la multiplicación no es conmutativa: el producto de dos elementos depende del orden perdió, olvidó o desechó los manuscrien que se apliquen. Así, (12)*(123) es igual a (13), mientras que (123)*(12) es (23). tos de Galois, es mucho más verosímil

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TEMAS 1

que Cauchy se percatase de su importancia y que les prestase atención. En efecto, una carta descubierta por Taton en los archivos de la Academia, en 1971, prueba que Cauchy proyectaba someter al juicio de la Academia los resultados de Galois el 18 de enero de 1830. Cauchy escribía: “Estaba pre visto qu e yo pr esentase hoy a la  Academia... un informe sobre el trabajo del joven Galois. ... Me encuentro indispuesto, en casa. Lamentando no poder asistir a la sesión de hoy, me gustaría figurar en el orden del día de la próxima reunión... para (tratar) los temas indicados.” Empero, la siguiente semana, ocasión en que Cauchy leyó un trabajo propio ante la Academia, no hizo mención del trabajo de Galois. Por qué ocurrió así es materia de especulación. Taton conjetura que Cauchy debió insistirle a Galois para que desarrollase más su trabajo y lo presentara al concurso del Gran Premio de Matemáticas de la Academia. Aunque la conjetura de Taton todavía no ha podido tener confirmación documental, la  verdad es que Galois sí presentó en febrero –un mes antes del límite del plazo– una monografía, aspirando al premio. El trabajo fue enviado a Jean Baptiste Joseph Fourier, matemático inventor del hoy llamado análisis armónico o análisis de Fourier, en su calidad de secretario perpetuo de la Academia. Desgraciadamente, Fourier murió en mayo, y el manuscrito de Galois no pudo hallarse entre los efectos de Fourier. Más tarde, Galois atribuiría su mala suerte a un intento malicioso de la Academia, acusando al jurado del premio de rechazar su trabajo de antemano, por ser su autor de nombre Galois y, además, tan sólo un estudiante. La leyenda construida en torno a Galois ha dado pábulo a estas acusaciones, aceptándolas prima facie; pero pocas dudas caben hoy de que la actitud de Galois hacia las autoridades empezaba a mostrar rasgos paranoides.

 A

pesar de esos retrasos y desengaños, Galois continuó siendo matemático productivo y empezó a publicar en el  Bulletin des sciences mathématiques, astronomiques, physiques et chimiques  del Barón de Férussac, foro mucho menos llamativo, sin embargo, que las sesiones de la Academia. Sus artículos prueban claramente que en 1830 había ido más allá que ningún otro matemático en la búsqueda de las condiciones que determinan la solubilidad de las ecuaciones, si bien no disponía todavía de un análisis completo. No obstante, en GRANDES MATEMÁTICOS

SEGUNDO ELEMENTO

   O    T    N    E    M    E    L    E    R    E    M    I    R    P

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5. TABLA DE MULTIPLICAR de las seis permutaciones de tres objetos, que permite verificar que éstas satisfacen las condiciones de grupo. La tabla muestra que para cualesquiera dos permutaciones a y b, su producto a*b es también una permutación. Existe un elemento neutro, la permutación identidad (1), tal que a*(l) es siempre igual a a. Para cada elemento a existe un elemento llamado inverso de a y denotado a–1 tal que a*a–1 es igual a (1). El inverso de (123), por ejemplo, es (132). Finalmente, la ley asociativa, que establece que para cualesquiera permutaciones a, b y c los productos (a*b)*c y a* (b*c) son iguales, puede comprobarse con auxilio de la tabla. Las permutaciones en color forman un subconjunto de las seis permutaciones. Su tabla de multiplicar, enmarcada asimismo en color, muestra que también ellas forman grupo. Un grupo de este tipo, que forma parte de otro, se conoce como subgrupo propio del primero.

enero de 1831 sí había llegado a una conclusión, que sometió a la Academia en una nueva memoria, escrita a petición del matemático Siméon Denis Poisson. Esta memoria es la más importante de las obras de Galois, y su existencia, más de un año antes del duelo, muestra cuán absurda es la pretensión de que todo el trabajo de Galois sobre teoría de grupos fuese redactado en una sola noche. Para comprender el trabajo de Galois no resulta ventajoso el estudio de sus trabajos originales. Poisson hizo cuanto pudo para comprender el manuscrito en 1831, pero acabó recomendando a la Academia que lo rechazase, y animando a Galois a desarrollar y explicitar su exposición. Poisson criticó también una de las demostraciones de Galois, considerándola inadecuada, si bien la validez del enunciado en cues-

tión podía probarse gracias a un resultado de Lagrange. Según Peter Neumann, de la Universidad de Oxford, la crítica de Poisson es completamente atinada. Galois presentaba sus razonamientos en forma sumamente concisa, lo que hace muy difícil recomponerlos y, además, no carecían de errores. Con la ventaja que nos proporciona siglo y medio de clarificación, ya puede presentarse lo esencial de la teoría de Galois en forma accesible. A este fin he contado con la ayuda del astrónomo y físico Adrian C. Ottewill, de Oxford. ¿Qué es un grupo? En su nivel más profundo, la teoría de grupos se ocupa de las simetrías intrínsecas de un sistema cualquiera. Imaginemos un copo de nieve, cuyas puntas o vértices se encuentran uniformemente espaciadas según ángulos de 60 grados. Al girar el copo de nieve 60 grados, o 87

múltiplos enteros de esta magnitud, en torno a un eje que lo atraviese perpendicularmen te por su centro, el aspecto de la configuración permanece invariable, si bien cada uno de sus  vértices ha cambiado de posición. Las operaciones que dejan “invariante”, en el sentido anterior, a una configuración dada, se llaman operaciones de simetría de la configuración.  Al efectuar en sucesión dos rotaciones de amplitud múltiplo de 60 grados, el copo de nieve permanece in variante, pudiendo haberse alcanzado la posición final de los vértices con una sola operación. Por ejemplo, un giro de 60

grados en sentido antihorario, seguido propiedades. Ante todo, un giro de 0 de otro giro de 240 grados en sentido grados, denotado R(0), deja la confihorario equivale a un giro de 180 gra- guración invariante, pues nada le dos en sentido horario. En general, si hace. El producto de una rotación cualdenotamos  R(n) al giro de amplitud quiera R(n) y de R(0) es R(n), con lo que 60n grados, y si el resultado de efectuar  R(0) tiene respecto de las rotaciones primero una de estas operaciones y un papel muy semejante al del nú mero enseguida la otra se denota R(n)* R(m), 1 en la multiplicación ordinaria. Por resulta que R(n)* R(m) es igual a R(n + este motivo, R(0) se denomina giro o m). Desde el punto de vista matemá- rotación identidad. En segundo lugar, tico, esta equivalencia enuncia que el un giro  R(n) seguido de otro giro de “producto” de dos operaciones de sime- igual amplitud y sentido contrario, que tría es también una operación de podemos denotar  R( –n), devuelve la simetría. figura a su posición inicial. Por consiLos giros del copo de nieve gozan guiente, el producto  R(n)* R( –n) es también de otras tres importantes equivalente a R(0). Al giro R( –n) se le

(13)  ( 13  2 )    * 

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   )    1    (   =    )    2    1    (

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(  1 2   3    )  = 

(  1 3   2  ) 

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llama giro inverso del R(n). Tercero, la expresión R(m)* R(n)* R( p) no es ambigua, porque [ R(m)* R(n)]* R( p) equi vale a  R(m)*[ R(n)* R( p)]. Tenemos aquí una propiedad formal de la operación * de composición de giros, llamada propiedad asociativa.

L

as cuatro propiedades mencionadas de la composición de giros que dejan invariante al copo de nieve son características del conjunto de todas las operaciones de simetría de un sistema cualquiera: son las llamadas propiedades de grupo. No es preciso que el sistema sea una figura geométrica, como el cristal de nieve. También una ecuación es un sistema cuyas “simetrías algebraicas” pueden describirse por las propiedades de grupo. En general, y de forma abstracta, un grupo está formado por una colección de elementos (operaciones de simetría) a, b, c,... etcétera, juntamente con una regla, que denotaremos por *, para combinar o componer ordenadamente dos cualesquiera elementos a y b del grupo. Se supone que los elementos del grupo y la regla * satisfacen el criterio de grupo cerrado, según el cual, tomados dos elementos cualesquiera a y b  del grupo, a*b es también elemento del grupo. El grupo ha de contener también un elemento identidad, denotado 1, tal que cualquiera que sea el elemento a  que se tome en el grupo, el producto a*1 es igual a a. Además, para todo elemento a tiene que existir un elemento in verso a–1, que, verifique que a*a–1 = 1. Finalmente, los elementos del grupo y la operación han de verificar la propiedad asociativa, que exige que (a*b)*c sea igual que a*(b*c).

La teoría de grupos es uno de los más fructíferos campos de investigación matemática; Bell tiene razón cuando escri be que mantendrá ocupados a los matemáticos durante cientos de años. Uno de los logros recientes de más importancia en teoría de grupos ha sido una demostración, anunciada en una reunión de la American Mathematical Society en enero de 1981, debida a Daniel Gorenstein, de la Universidad Rutgers. Demostró Gorenstein que una lista de 26 grupos, los llamados grupos finitos esporádicos, es una lista exhaustiva. En cierto sentido este descubrimiento conlleva que los componentes, los bloques constructivos, de cualquier grupo con un número finito de elementos han quedado definitivamente clasificados. Otro sistema de elementos no numéricos que satisface las condiciones de grupo es el grupo de permutaciones de una colección dada de objetos. Los objetos a permutar pueden ser piezas de ajedrez, o letras del alfabeto, por ejemplo. Es indispensable darse cuenta, sin embargo, de que los elementos del grupo no son ni las piezas de ajedrez ni las letras, sino las funciones que generan las diversas reordenaciones. Para hallar el “producto” de dos elementos a y b de este grupo (es decir, para hallar a*b) se determina primero el resultado de la primera permutación sobre el conjunto de objetos y después se aplica la segunda permutación al resultado de la primera. Supongamos tres piezas de ajedrez dispuestas así: una torre en la casilla número 1, un caballo en la número 2 y un álfil en el escaque número 3. Entre los elementos del grupo de permutaciones de estos objetos tenemos

6. PERMUTACIONES DE S(3). Pueden sin excepción expresarse como producto de permutaciones particulares que sólo intercambian dos objetos. Cuando la permutación es descomponible en número par de tales trasposiciones, la permutación se llama par; en otro caso la permutación es impar. Cuando las permutaciones pares (círculos de color ) se multiplican por permutaciones pa res ( flechas de color ) los productos son permutaciones pares; si las permutaciones pares se multiplican por permutaciones impares ( flechas negras) los productos son impares. Análogamente, cuando las permutaciones impares (círculos negros) se multiplican por permutaciones pares, los productos son impares, mientras que al multiplicarlas por permutaciones impares, los productos son pares. Las permutaciones pares forman un subgrupo, a saber, el recuadro en color de la figura 5. Este subgrupo se llama grupo alternado, denotado A(3). Un subgrupo, como el A(3), se denomina subgrupo normal de S(3) si para todo elemento h de A(3) y todo elemento g de S(3) el elemento g*h*g–1 pertenece también a A(3). Para demostrar que A(3) es un subgrupo normal de S(3), supongamos que g sea permutación par. Entonces g*h*g–1 es producto de tres permutaciones pares, y por tanto, también permutación par, es decir, elemento de  A(3). Si g es una permutación impar, g*h*g –1 es producto de una permutación impar, por otra par, por otra impar, y resulta nuevamente permutación par. Un razonamiento parecido permite demostrar que para todo entero n, el subgrupo A(n) es normal en S(n). El número de elementos de un subgrupo ha de dividir exactamente, sin resto, al número de elementos del grupo paterno. Como A(n) tiene la mitad de elementos de S(n), ningún subgrupo propio de S(n) puede contener más elementos que  A(n); por ello, A(n) es el subgrupo normal maximal de S(n). Recordemos que los elementos del grupo son las funciones, no las piezas.

GRANDES MATEMÁTICOS

el denotado (12), que toma el objeto situado en la casilla 1 y lo lleva a la número 2, y recíprocamente, el objeto de la casilla 2 es llevado a la 1. El efecto de la permutación (12) sobre la disposición torre-caballo-álfil es intercambiar (trasponer) torre y caballo, generando la disposición caballotorre-álfil. Al ejecutar por segunda vez la permutación (12) vuelven a trasponerse las piezas de los cuadros primero y segundo, recreando la colocación torre-caballo-álfil. Por tanto, el elemento (12) del grupo de permutaciones es inverso de sí mismo. Otro de los elementos del grupo, designado (123), traslada el objeto del cuadro 1 al cuadro 2, el objeto del cuadro 2 al cuadro 3 y el emplazado en el 3 al cuadro número 1. Supongamos que la disposición inicial torre-caballo-álfil vuelva nuevamente a ser sometida a la acción de (12), dando la colocación caballo-torre-álfil. Ahora aplicamos el elemento (123), generándose la disposición álfil-caballo-torre. Esta colocación final podría haberse alcanzado en un solo paso a partir de la inicial, sin más que aplicar la permutación (13), que intercambia el objeto del cuadro 1 con el objeto del cuadro 3. Por tanto, el resultado de la permutación (12) segui da de la (123) genera la misma ordenación que (13). Simbólicamente, (12)*(123) = (13).

E

l número de permutaciones o reordenaciones de n objetos es “factorial de n”, denotado n! El factorial de un número n es el producto de todos los números enteros desde 1 hasta n inclusive. Así, 5! es igual a 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120. Por tanto, el número de elementos de S(n), grupo de permutaciones de n ob jetos, es n! El número de elementos de un grupo se llama “orden” del grupo. El grupo S(3) de permutaciones de 3 elementos contiene las seis permutaciones siguientes: (1), (12), (13), (23), (123), (132). Aquí (1) denota la permutación identidad, que no efectúa modificación alguna en la colocación de los objetos. Resulta que ciertos subconjuntos del conjunto de elementos de un grupo pueden en ciertos casos satisfacer por sí solos todas las condiciones exigidas al grupo; en tal caso se dice que dichos subconjuntos son subgrupos del grupo. Cuando el subgrupo no contiene to dos los elementos del grupo “paterno”, se dice que el subgrupo es “propio”. Por ejemplo, es fácil comprobar que [(1), (12)] es un grupo y, por tanto, subgrupo propio de S(3).  A cada subgrupo propio  H   de un grupo dado G se le puede asociar un 89

número, llamado índice o factor de composición de H  respecto de G, igual al orden del grupo paterno dividido por el orden del subgrupo, y comúnmente denotado [G/H ]. Así, el factor de composición del subgrupo [(1), (12)] con respecto al grupo S(3) es 6/2, o sea, 3. De acuerdo con un teorema elemental que no se demostrara aquí, el orden de cualquier subgrupo divide exactamente al orden del grupo paterno, por lo que el factor de composición es in variablemente un número entero.

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Galois introdujo tres nociones cruPara hacernos una idea de las prociales, cuyas relaciones mutuas le per- piedades del grupo de Galois, fijémomitieron demostrar que no existe un nos en cualquier ecuación de tercer método general para resolver ecuacio- grado cuyos coeficientes sean númenes de grado quinto o superior si se ros racionales. Es posible demostrar exige que todas las soluciones sean que tal ecuación tendrá tres raíces, calculables por radicales. En primer pero esta demostración no revela si las lugar, Galois observó que a cada ecua- raíces serán calculables mediante ción puede asociársele un grupo de radicales. Designando a estas raíces permutaciones. Tal grupo es una re pre- por u, v y w, podemos formar funciones sentación de las propiedades “de sime- polinómicas de ellas; por ejemplo: u tría” de la ecuación, que hoy se deno-  – v, o uv + w – 1. Cualquiera de estas mina grupo de Galois de la ecuación. funciones puede transformarse en

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otra semejante, sin más que permutar ción de las propiedades de simetría de las raíces u, v y w. Así, la permutación las ecuaciones. (12) intercambia u y v, convirtiendo la Por lo general el cálculo del grupo función u – v en la v – u. Semejantes de Galois de una ecuación dada es permutaciones cambian el valor de difícil, aunque en principio siempre muchas de las funciones de las raíces, cabe hacerlo sin conocer siquiera los pero no el de todas ellas. Por ejemplo,  valores de las raíces. Empero, para los la función u + v + w no cambia de valor propósitos de Galois, tal cálculo no era sea cual fuere la permutación de u, v necesario. Todo cuanto precisaba y w que se efectúe. Como el grupo S(3) demostrar era que invariablemente contiene todas las posibles permutacio- existen ecuaciones de grado n  cuyo nes de u, v y w, se dice que u+v+w es grupo de Galois es el máximo grupo invariante frente a S(3). posible de permutaciones de las raíces, a saber, S(n). La segunda de las nociones introduuede demostrarse que el valor de u + v + w es un número racional cidas por Galois es la de subgrupo en toda ecuación de tercer grado de normal. Se dice que un subgrupo H  de coeficientes racionales. Otras funcio- un grupo G es normal en G cuando y nes polinómicas de las raíces pueden solamente cuando se verifica la tomar valores racionales en ciertas siguiente condición: al “multiplicar” ecuaciones y valores irracionales en por la izquierda cualquier elemento h otras, según los coeficientes de la ecua- del subgrupo H  por un elemento cualción. Cuando el valor de tal función es quiera g del grupo paterno G y “multiracional, existe un grupo de permuta- plicar” después por la derecha el prociones de u, v y w que dejan invariable ducto anterior por g–1 (elemento inverso el valor de la función. El grupo de de g), el resultado es todavía elemento Galois de una ecuación es el máximo del subgrupo H . Simbólicamente, si H  grupo de permutaciones que verifican es normal en G, cualesquiera que sean el requisito anterior para toda función h perteneciente a H  y g perteneciente polinómica de las raíces cuyo valor sea a G existe un elemento h’  de H  tal que racional. Dicho de otra forma, cada h’ = g* h*g–1. Por ejemplo, puede comuna de las permutaciones del grupo de probarse que [(1), (123), (132)] es subGalois de una ecuación deja invariable grupo normal de S(3). Cuando un grupo finito G  tiene el valor de toda función polinómica de las raíces que tome valor racional. algún subgrupo normal propio, tiene Cuando una permutación de las raíces también alguno cuyo orden sea máximo deja inalterable el valor de todas las entre los subgrupos normales que confunciones polinómicas de valor racio- tiene; son los llamados subgrupos nornal construidas a partir de las raíces, males maximales de G. Análogamente, la permutación es incapaz de “distin- un subgrupo normal maximal H  puede guir” las raíces. Por consiguiente, a su vez contener un subgrupo normal cuanto mayor sea el número de ele- maximal I  (que quizá sea sólo normal mentos del grupo de Galois, tantas con respecto a  H ) ; la sucesión de más permutaciones habrá incapaces subgrupos normales maximales contide distinguir unas raíces de otras. Por nuará de esta forma hasta llegar al este motivo, el grupo de Galois es un mínimo subgrupo normal posible. poderoso instrumento de representa- Todo grupo genera así una sucesión de

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7. LA RESOLUCION DE ECUACIONES fue el problema para el que Galois desarrolló la teoría de grupos. Los métodos generales de resolución de ecuaciones considerados aceptables deberían basarse únicamente en las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división y extracción de raíces, y tendrían que ser aplicables a cualquier ecuación de grado n, siendo n  la máxima potencia a que viene elevada la incógnita. Galois demostró que no existe ningún método así a partir del caso n = 5. Cada ecuación de grado n tiene asociado el grupo S(n) o algún subgrupo de S(n); hoy, al grupo asociado a una ecuación se le llama grupo de Galois de la ecuación. Galois demostró que solamente serán resolubles por medios aritméticos y extracción de raíces aquellas ecuaciones cuyo grupo de Galois sea soluble, noción definida por él. Un grupo se llama soluble cuando genera una serie de subgrupos normales maximales cuyos factores de composición (que se determinan a partir de los números de elementos del grupo paterno y de los subgrupos) sean todos ellos primos. Los factores de composición generados por S (3) y su serie de subgrupos normales son todos números primos; por ello todas las ecuaciones de tercer grado son resolubles. Sin embargo, cuando n es mayor o igual que 5, puede demostrarse que el subgrupo normal maximal de  A(n) es el grupo identidad, que contiene únicamente la permutación identidad. Como A(n) es el subgrupo normal maximal de S(n) los factores de composición de S(n) no son todos primos cuando n es mayor o igual que 5. Hay pues ecuaciones de grado 5 o superior no resolubles por los métodos permisibles. Dibujo de Ilil Arbel.

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subgrupos, cada uno normal y maximal en el precedente. Denotando esta sucesión G, H , I , J ,... podemos definir una sucesión de factores de composición normales maximales: [G /  H ], [ H  /  I , [ I  /  J ], etcétera. La tercera noción fundamental ideada por Galois fue la noción de grupo soluble. Galois llama soluble a un grupo cuando cada factor de composición normal maximal generado por el grupo es número primo. El subgrupo normal maximal de S(3), por ejemplo, es [(1), (123), (132)]. A su vez, el subgrupo normal maximal de [(1), (123), (132)] es [(1)]. El factor de composición definido por S(3) y el subgrupo [(1), (123), (132)] es 6/3, es decir, 2, y el factor de composición correspondiente al grupo [(1), (123), (132)] y su subgrupo [(1)] es 3/1, o sea, 3. Como 2 y 3 son ambos números primos, el grupo S(3) es soluble.

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l término “grupo soluble” queda bien justificado por la teoría de Galois, quien pudo demostrar que una ecuación es soluble por radicales si y solamente si el grupo de Galois de la ecuación es grupo soluble. Para demostrar que las ecuaciones de grados quinto o superior no pueden resolverse por radicales en el caso general, Galois tu vo que demostrar que hay ecuaciones de estos grados para los cuales el grupo correspondiente no es soluble. Resulta que el grupo S(n) no es soluble cuando n  es igual o mayor que 5 [véanse las figuras 6 y 7 ]. Puesto que para todos estos valores de n existen ecuaciones cuyo grupo de Galois es  S(n), la ecuación general de grado quinto o superior no podrá resolverse por radicales. Por la época en que Galois había terminado casi su trabajo en teoría de grupos, los acontecimientos de su vida habían cobrado fuerte tinte político. En julio de 1830 la oposición republicana a la restaurada monarquía borbónica tomó las calles y obligó a exiliarse al rey Carlos X. Mientras los estudiantes izquierdistas de la École Polytechnique tuvieron en la lucha un papel activo, Galois y sus compañeros de la École Préparatoire fueron encerrados en la escuela por su director. Indignado, Galois intentó sin éxito escalar los muros; al no conseguirlo, no tomó parte en la breve revolución.  Aunque los republicanos consideraron una gran victoria la abdicación del Borbón, su triunfo fue efímero. Para frustración de Galois y de otros liberales de ideología afín, el trono fue nuevamente ocupado, esta vez por Luis Felipe de Orléans. En los meses 91

inmediatos a la revolución, Galois fiante fue detenido al día si guiente y sión, parece que Galois acusó al superentró en contacto con líderes republi- encarcelado durante más de un mes intendente de la cárcel de haber amacanos (particularmente con François en la prisión de Sainte-Pélagie. ñado el incidente. Galois fue entonces  Vincent Raspail), ingresó en sociedaencerrado en celda de castigo, quizás des republicanas y, verosímilmente, n el juicio subsiguiente, la defensa a consecuencia de la acusación. intervino en las algaradas y manifesPese a todas estas calamidades, quide Galois sostuvo que el brindis taciones que por entonces atormenta- había sido: “¡Por Luis Felipe, si trai- zás el peor golpe para Galois fuera ver ban París. En diciembre, la ruptura ciona!” pero que la frase “si traiciona” su trabajo de 1831 rechazado por la Acacon la École Préparatoire era ya ofi- había quedado ahogada por el clamor demia. En el acerado prefacio de sus cial. Galois había escrito una carta a de los comensales. No se sabe si los memorias, que escribió estando en prisu director, donde le llamaba traidor  jurados se creyeron este alegato o si sión, declaraba: “A nadie digo que cuanto por su actitud durante la revolución se conmo vieron por la juventud de en mi trabajo pueda haber de valioso se de julio. No sorprende, pues, que le Galois, quien contaba entonces 19 debe a su estímulo y consejo. Nada de expulsaran. años; lo cierto es que le absolvieron en esto digo, porque sería mentira.” La impresión que Galois nos produ ce pocos minutos. Sin embargo, en el Día Los imaginativos han encontrado en los sucesos de este período no es la de la Bastilla, el 14 de julio de 1831, siempre particularmente fas cinante el de una víctima de las circunstancias, menos de un mes después de su abso- final de la vida de Galois. Pero los biócomo gustan perfilarlo las leyendas. lución, Galois fue nuevamente dete- grafos se han resistido a aceptar sin Más bien nos parece un exaltado cuya nido, esta vez por vestir ilegalmente el más sus propias palabras, a saber, que fogosidad y extremismo le creaban uniforme de la Guardia de Artillería. el duelo era consecuencia de una desacontinuos problemas. Una carta de la Considerado amenaza para el trono,  venencia personal, y se han dedicado matemática Sophie Germain deja este cuerpo había sido disuelto; el a buscar la explicación en prostitutas, entender que Galois asistía regu- gesto de Galois fue, por consiguiente, agentes provocadores y rivales polítilarmente a las sesiones de la Aca- un acto de desafío. Esta vez, durmió cos. No existen pruebas que respalden demia de Ciencias, insultando ocho meses en Sainte-Pélagie. estas conjeturas. habitualmente a los oradores. Tras su  A mediados de marzo de 1832 se le La permanencia en prisión tuvo expulsión de la École Préparatoire se sobre Galois efectos devastadores, trasladó de Sainte-Pélagie a la casa de mudó al piso de su madre, en París; tan quien pasaba del más profundo des- salud Sieur Faultrier, a causa de la difícil resultaba convivir con él, que aliento a la ira ciega. Raspail, que epidemia de cólera que sufrió París. Al su propia madre le abandonó. estaba cumpliendo sentencia al mismo parecer fue allí donde conoció a la El suceso culminante de la tur- tiempo, recordó más tarde que en “infame coqueta”. La relación que bulenta primavera de 1831 ocurrió el cierta ocasión, estando Galois bebido, ambos sostuvieron tuvo que ser de poca 9 de mayo, durante un banquete repu- había pretendido suicidarse. Poste- duración, y es absurdo sugerir que la blicano donde se celebraba la absolu- riormente, según Raspail, Galois le muchacha fuese una prostituta o una ción de 19 oficiales de artillería que confió una deprimente visión del fin conspiradora, cómplice en el asesinato habían sido acusados de conspirar de sus días: “Moriré en duelo a causa de Galois. El epíteto “infame coqueta” contra el gobierno. Según las memo- de alguna coquetuela de baja estofa ha sido asociado con las palabras “quelrias de Alejandro Dumas (padre), (quelque coquette de bas étage). ¿Por que coquette de bas étage”, para presGalois se puso en pie para proponer qué? Porque ella me pedirá vengar su tar apoyo a la teoría de la prostituta. un brindis: “¡Por Luis Felipe!”, dijo, honor, que algún otro habrá puesto en Sin embargo, de acuerdo con el relato alzando al mismo tiempo su copa y un entredicho.” Con ocasión de la muerte, de Raspail, esta última frase fue puñal. A causa de esta acción desa- de un tiro, de un compañero de pri- pronunciada por Galois un año antes

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8. LA “INFAME COQUETA” a quien Galois culpa de sus desgracias en una carta escrita la noche anterior al duelo era seguramente la misma mujer cuyo nombre aparece con frecuencia en los márgenes de los papeles de Galois. En el manuscrito reproducido arriba, por cortesía de la Bibliothèque de l’Institut de France, puede leerse el nombre “Stéphanie” por debajo del nombre “Eva-

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riste”; Galois combinó también las iniciales “S” y “E” formando con ellas un anagrama. Por ciertas cartas y otros manuscritos resulta claro que el áspero epíteto de Galois fue provocado por un desdichado lance amoroso con una mujer que conoció uno o dos meses antes del duelo, y que ha sido identifi cada como Stéphanie-Félicie Poterin du Motel, hija de un médico de París.

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del duelo; puede incluso haber sido invención del propio Raspail. Además, el 25 de mayo, seis días antes de su muerte, Galois menciona en una carta a su amigo Auguste Che valier el triste fin de un episodio amoroso: “¿Cómo puedo consolarme, cuando, en un mes, he agotado la más rica fuente de felicidad que pueda tener el hombre, cuando la he agotado sin felicidad, sin esperanza, cuando estoy cierto de haberla secado de por vida?” ¿Quién era la mujer? Dos cartas fragmentarias le fueron escritas a Galois en las semanas anteriores al duelo, cartas que hacen pensar en una disputa de carácter personal en la que tomó mayor parte de lo que reconoce. La primera carta comienza: “Por fa vor, rompamos nuestras relaciones. No tengo ánimo para proseguir una correspondencia de esta naturaleza, aunque me esforzaré en reunir el suficiente para conversar contigo como lo hacía antes de que nada sucediera...” La segunda carta es de contenido semejante, y la primera de ellas lleva la firma “Stéphanie D.”. En los manuscritos de Galois, Carlos Alberto Infantozzi, de la Uni versidad de la República de Uruguay, ha conseguido leer un nombre que Galois había borrado: Stéphanie Dumotel. Un trabajo detectivesco más amplio realizado por Infantozzi ha mostrado que ella era Stéphanie-Félicie Poterin du Motel, hija de un médico residente en Sieur Faultrier. Stéphanie se casaría con un profesor de lengua. Tampoco es verosímil que el hombre que mató a Galois fuese un agente pagado por alguna conjura antirrepublicana, a pesar de que el hermano de Galois, Alfred, afirmase que Évariste fue asesinado. Según Dumas, el adversario de Galois era Pescheux d’Herbinville, no enemigo político de Galois, sino, como él, ardiente republicano. Más aún, d’Herbinville era uno de los 19 oficiales de la Guardia de Artillería cuya absolución fue ocasión del desafiante brindis que Galois ofreció al rey.  Además, cuando tras la revolución de 1848 quedaron al descubierto los agentes de la corona, d’Herbinville no se encontraba entre ellos. Un resumen de un artículo que me ha enviado Taton indica que el duelo fue entre amigos y que se desarrolló como una espe cie de ruleta rusa, estando cargada solamente una de las pistolas. Los escritos matemáticos de Galois en la noche anterior al duelo se redujeron en realidad a corregir la redacción de dos manuscritos y a resumir los contenidos de éstos y de otro artículo en una larga misiva dirigida a CheGRANDES MATEMÁTICOS

 valier. El primer trabajo era el rechazado por Poisson; el segundo, una  versión fragmentaria de un artículo ya publicado en el Bulletin de Férussac. El tercero no ha sido hallado, y su contenido se conoce únicamente por el resumen dado en la carta; al parecer trataba de las integrales de las funciones algebraicas generales. ¿Qué hay de las famosas palabras “No tengo tiempo” que, según se dice, Galois escribió repetidamente, desesperado al verse incapaz de concluir su obra? La frase aparece, en efecto, pero sólo una vez, en una nota marginal de la primera memoria. A ella se añade el comentario: “Nota del autor.” No considero que los hechos relativos a la vida de Galois, en la forma en que yo los he presentado aquí, rebajen en lo más mínimo su talla como matemático. Muchos fragmentos de manuscritos muestran que prosiguió con sus investigaciones matemáticas no sólo durante su encarcelamiento, sino hasta la hora de su muerte. Que fuera capaz de trabajar con provecho en medio de semejante agitación y turbulencia es testimonio de la fertilidad extraordinaria de su imaginación. Prescindiendo por completo de las circunstancias en que se desarrolló su trabajo, no cabe duda de que Galois hizo nacer una de las ideas más originales de la historia de las matemáticas.

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mpero, ningún servicio le presta a su reputación, ni a la historia de la ciencia, una leyenda que se empeña en sostener que el genio científi co ha de encontrarse por encima de todos los reproches que pueda merecer su vida personal, o que cualquiera de sus contemporáneos que no sepa reconocer su talento ha de ser un necio, un asesino o una prostituta. La idea de que el genio resulta intolerable a los mediocres está demasiado manida, es un lugar común demasiado trillado como para aceptarlo como verdad histórica a pies  juntillas. Desde semejante punto de  vista sería necesario reconocer a un genio como tal cuando, puesto en pie, blande un cuchillo en un banquete.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA EVARISTE GALOIS. René Taton en  Dictionary of Scientific Biography, dirigido por Charles Coulston Gillispie. Charles Scribner’s Sons, 1972. GENIUS AND BIOGRAPHERS : T HE FICTIONALIZATION OF EVARISTE GALOIS. Tony Rothman en The American Mathematical  Monthly, vol. 89, n.o 2, págs. 84-106; febrero, 1982. 93

Georg Cantor Joseph W. Dauben ¿Cuán grande es un conjunto infinito? Cantor hizo ver que hay una jerarquía de infinitos, cada uno “mayor” que su precedente. Su teoría es una de las piedras angulares de la matemática

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a naturaleza del infinito ha sido siempre objeto de controversia. Las famosas paradojas de Zenón de Elea, quien explicó con inquietante lucidez que el movimiento es imposible, porque exige que el móvil pase por una infinidad de puntos en un tiempo finito, suscitaron ya el problema en la antigüedad. El éxito de la física newtoniana es en gran parte consecuencia de haber introducido Newton el cálculo de tasas de  variación de lo infinitamente pequeño, y ello a pesar de que durante más de 200 años no pudo ofrecerse una formulación matemáticamente rigurosa de esta idea, cuya eficacia es tan grande cuan delicado su manejo. En tiempos modernos han aparecido nue vos problemas asociados con el infinito en la teoría de conjuntos abstractos,teoríaque proporcionafundamento y cimentación a prácticamente la totalidad de las matemáticas contemporáneas. Además, la idea de infinito ha estado siempre, a través de la historia, cargada de tintes y matices teológicos, que han pe sado en la aceptación o en el rechazo de este concepto y de las doctrinas matemáticas o filosóficas con él asociadas. Todas estas corrientes de pensamiento convergen

JOSEPH W. DAUBEN es profesor de historia y de historia de la ciencia en el Herbert H. Lehman College de la Uni versidad de la ciudad de Nueva York. Se licenció por el Clar emont College en 1966. Su doctorado, recibido en 1972, se lo otorgó la Universidad de Harvard. En 1973 y 1974 permaneció en la American Academy de Roma, donde estudió matemática, perspectiva y arte del Renacimiento italiano. En 1977 y 1978 estaba en el Instituto de Estudios Avanzados. En 1980 fue profesor visitante del Oberlin College. En 1981 lo fue en Harvard.

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en la vida y obra del matemático Georg Cantor. La obra a la que Cantor dedicó su  vida es, en substancia, bien conocida.  Al desarrollar la que él mismo bautizó “aritmética de los números transfinitos”, dotó de contenido matemático al concepto de infinito actual. Y al hacerlo así puso los cimientos de la teoría de conjuntos abstractos, contribuyendo además, de forma importante, a fundamentar el cálculo diferencial y el continuo de los números reales. El más notable logro de Cantor consistió en demostrar, con rigor matemático, que la de infinito no era una noción indiferenciada. No todos los conjuntos infinitos son de igual tamaño; por consiguiente, es posible establecer comparaciones entre ellos. El conjunto de todos los puntos de una recta, por ejemplo, y el conjunto de todos los números fraccionarios son, ambos, conjuntos infinitos. Demostró que, en un sentido bien definido, el primero de tales conjuntos es de tamaño mayor que el segundo. Resultaron tan chocantes a la intuición de sus contemporáneos las ideas de Cantor, que el eminente matemático francés Henri Poincaré condenó la teoría de números transfinitos como una “enfermedad”, de la que algún día llegarían las matemáticas a curarse. Leopold Kronecker, que fue uno de los maestros de Cantor, y miembro preeminente de la matemática institucional alemana, llegó incluso a atacarle directa y personalmente, calificándolo de “charlatán científico”, “renegado” y “corruptor de la juventud”. Es también sabido que Cantor padeció toda su vida de una serie de “colapsos nerviosos”, que conforme envejecía iban haciéndose más frecuentes y agotadores. Estos colapsos nerviosos eran, seguramente, síntoma de una enferme dad mental de carácter orgánico. Un estudio reciente lle-

 vado a cabo por Ivor Grattan-Guinness, especialista inglés en historia de la matemática, sugiere, fundándose en una evaluación del historial clínico de Cantor realizada por psicólogos de la Halle Nervenklinik (hospital para enfermedades mentales de la ciudad de Halle, en Alemania), que Cantor era víctima de psicosis manía co depresiva. Empero, nada más fácil para sus primeros biógrafos que presentarle como víctima desventurada de la persecución de sus contemporáneos, que, no obstante padecer colapsos nerviosos cada vez más frecuentes, se esforzaba en defender su compleja teoría.

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ales relatos deforman la verdad, pues trivializan las auténticas y profundas preocupaciones de carácter intelectual que motivaron parte de la oposición —sobre todo la más meditada— con que sus contemporáneos recibieron la teoría. Son igualmente insuficientes a la hora de hacer justicia al alcance y potencia de los argumentos que Cantor esgrimió en defensa de sus ideas. Al principio, él mismo se resistió a aceptar la existencia de números transfinitos, convencido como estaba de que era imposible formular coherentemente la noción de infinito actual, sin cabida por tanto en matemática rigurosa. No obstante, según refiere, pronto superó su “pre jui cio” al res pecto de los núm ero s transfinitos, por encontrarlos indispensables para el desarrollo ulterior de sus ideas matemáticas. Justamente a causa de sus dudas iniciales pudo Cantor pre ver la oposición que iba a encontrar en diversos campos, que intentó vencer aplicando no sólo razonamientos matemáticos sino también filosóficos y teológicos. Cuando fue convocado para responder a sus críticos, congregó sus ideas con fuerza considerable. Su enfermedad mental,

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lejos de desempeñar un papel enteramente negativo, pudo muy bien haber proporcionado, durante sus fases maníacas, la energía y la tenacidad obsesiva con que promovió su teoría. Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor nació el 3 de marzo de 1845 en San Petersburgo. Su madre, Maria  Anna Böhm, procedía de una familia que contaba entre sus miembros  varios músicos de talento; entre todos el más notable fue su tío Joseph Böhm, director en Viena de un conser vatorio y fundador de una escuela de vio linis-

tas donde se formaron muchos virtuosos de la época. El padre de Georg, Georg Woldemar Cantor, era un próspero comerciante y luterano devoto, que comunicó a su hijo profundas convicciones religiosas. Según el muy leído libro de Eric Temple Bell,  Men of Mathematics  (“Los grandes matemáticos”), cuya primera edición data de 1937, la inseguridad que más tardíamente experimentaría Cantor hijo emanaba de un conflicto freudiano con su padre; pero las cartas que han llegado hasta nosotros, así como otras

pruebas sobre la relación entre padre e hijo, más bien indican lo contrario. El padre parece haber sido un hombre de sentimientos, que prestó atención a sus hijos y que se tomó un interés especial, pero no coercitivo, por la educación y bienestar del mayor. Siendo todavía niño, la familia se mudó de Rusia a Alemania, y fue en este país donde Cantor comenzó a estudiar matemáticas. En 1868 recibió el título de doctor por la Univer sidad de Berlín, con una tesis sobre teoría de números; dos años más tarde, acep-

1. RETRATO DE CANTOR y su esposa, tomado hacia 1880, cuandemostró también ser posible definir cantidades infinitas, llamado se hallaba en el cenit de su carrera. Había comenzado ya a das números transfinitos, que describieran tales diferencias. crear malestar entre las instituciones matemáticas alemanas con  Algunos años después de hacerse esta fotografía, sufrió un grave una demostración de que el conjunto infinito de los números ataque de psicosis maníaco-depresiva que terminaría por dar al reales, representado por el continuo de los puntos de una recta, traste con su trabajo de creación matemática. La fotografía ories mayor que el conjunto infinito de todas las fracciones. Cantor ginal pertenece a la colección particular de Egbert Schneider.

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taba un puesto de Privatdozent de  Privatdozent en la Universidad Universidad de Halle, institución respetada, si bien no de tan gran prestigio en matemáticas como las universidades de Göttingen o Berlín. Uno de sus colegas en Halle, Heinrich Eduard Heine, estaba a la sazón trabajando en la teoría de series se ries trigonométricas; Heine animó a Cantor a atacar el difícil problema de la unicidad de tales series. En 1872, contando contando Cantor 27 años, publicó un artículo donde presentaba una solución muy general a tal problema, juntamente juntamente con el germen de lo que llegaría a convertirse en la teoría de conjuntos transfinitos. El problema que Heine sugirió a Cantor arrancaba del trabajo del matemático francés Jean Baptiste Joseph Fourier. En 1822 Fourier había mostra do que la gráfica de cual-

quier curva “razonablemente lisa” (es decir, una curva que presentase tan sólo un número finito de puntos de discontinuidad) podía representarse en todo un intervalo intervalo como suma de una serie trigonométrica infinita. Dicho de otro modo, superponiendo superponiendo unas sobre otras un número infinito de ondas sinusoidales y cosi nu soidales, en todos los puntos del intervalo, intervalo, exceptuados los correspondientes a discontinuidades, podía aproximarse la curva con la precisión que se quisiera (véase la figura 2). 2). Se dice que entonces la serie converge hacia la cur va  o hacia la función que la define   en  en casi todos los puntos, o también, que hay convergencia “casi por doquier”. El resultado de Fourier es de importancia importancia matemática capital, porque sugiere que ciertas funciones

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complicadas podrían representarse o descomponerse en sumas de senos y cosenos, matemáticamente mucho más fáciles de manipular manipular que ellas. A fin de justificar tal sustitución, hacía falta, sin embargo, alguna garantía de que hubiera sólo una de tales series trigonométricas que convergiera hacia hacia la función. Cantor come nzó a invesvestigar condiciones bajo las cuales una serie trigonométrica convergente hacia una función es única.

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n1870 logró su primer resultado: si una función es continua en todos los puntos de un intervalo, su representación trigonométrica está unívocamente determinada. Su paso siguiente consistió en relajar la exigencia de que la función fuese continua sobre la totalidad totalidad del intervalo. Supongamos, por ejemplo, que la función que debamos aproximar en serie sea como sigue: la gráfica de la función es una recta paralela paralela al eje x eje x   el el eje horizontal    de la representación gráfica, a excepción del punto del eje  x correspondiente  x correspondiente a 1/2. Para el punto de abscisa 1/2, la función toma el valor 0, en lugar del valor 1 que le corresponde en todo el resto del eje. Cantor

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2. UNA GRAFICA CONTINUA Y LISA, cuya altura en cada punto depende del valor del punto correspondiente correspondiente del eje  x, puede ser aproximada con la precisión que se desee mediante una serie trigonométrica, esto es, mediante una suma de senos y cosenos. Así, por ejemplo, una línea recta y horizontal trazada a la altura de una unidad por encima del eje x (línea de color ) puede ser aproximada superponiendo unas sobre otras ondas sinusoidales (curvas grises ); hemos representado en la ilustración las dos primeras etapas de la aproximación (curvas negras de las figuras superior y central ). La serie trigonométrica que converge hacia la gráfica es única. Empero, aunque la gráfica no sea continua, con frecuencia es posible aproximarla mediante una única serie trigonométrica. Por ejemplo, si la altura de la gráfica es en todo punto igual a una unidad, exceptuado el punto donde x es igual a 1/2, la serie trigonométrica que convergía hacia la línea continua converge también hacia esta otra fragmentada, excepto en el punto 1/2 ( punto  punto de de color, abajo ). Cantor demostró que una gráfica puede ser aproximada por una única serie trigonométrica incluso si el número de puntos donde la gráfica no es continua es un número infinito, con tal de que los puntos de discontinuidad se encuentren distribuidos sobre el eje  x de cierto modo específico. Ello le condujo a analizar las propiedades estructurales de los conjuntos infinitos abstractos y los infinitos modos en que los elementos de los con juntos infinitos infinit os pueden ser ordenados unos con relación a otros.

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pudo demostrar que, sacrificando sacrifican do el requisito de convergencia en el punto donde x donde x es  es igual a 1/2, sigue existiendo existiendo una única serie trigonométrica que converja a la función en todos los restantes puntos. No existe ninguna otra serie trigonométrica de forma similar que también sea aproximación de la función. Fue entonces cosa sencilla para Cantor generalizar generalizar su resultado anterior para dar cabida a todas las funciones que presenten presenten un número finito de puntos de discontinuidad, puntos que Cantor llamaba llamaba “puntos excepcionales”.

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n 1872, buscando Cantor un enunenunciado más general para su teorema de unicidad, publicó un notable descubrimiento: que en tanto los puntos excepcionales excepcionales se encuentren distribuidos sobre sobre el eje x eje  x en  en forma cuidadosamente especificada podría haber incluso un número infinito de ellos. El paso más importante de la demostración residía en la descripción precisa del conjunto infinito de puntos excepcionales, y Cantor comprendió que para tal propósito necesitaba proporcionar un método satisfactorio de analizar el continuo de puntos situado sobre el eje x eje  x.. De esta esta forma, el estudio que Cantor había efectuado para las series trigonométricas pro- 3. PARA COMPARAR LOS TAMAÑOS de dos conjuntos infinitos se van emparejando los elementos del primer conjunto con los del segundo. Por ejemplo, para determinar determinar  vocó en su pensamiento una notable notable si en un cubo hay más o menos bolas rojas que bolas negras, podemos irlas sacando sacando transición: prestar mayor atención a por pares de una roja y una negra. Cuando ya no puedan formarse nuevas parejas, las las relaciones entre los puntos del bolas restantes en el cubo, si las hubiere, servirían de base de comparación. Cantor se continuo que a los teoremas sobre valió de este principio elemental para comparar tamaños de conjuntos infinitos. series trigonométricas. Cantor consideraba axiomático que que ya había sugerido Karl Weierstrass, completos, habría tantos números a cada punto de una recta continua le uno de sus profesores de la Uni ver- enteros pares cuantos pares e impares correspondía un número, llamado sidad de Berlín. Cantor propuso que reunidos. Cada número entero en tero par “real” para distinguirlo de los núme- todo número irracional podía repre- puede ser emparejado biunívocavalor ros “imaginarios”, “imaginarios”, que eran los múlti- sentarse por una sucesión infinita de mente con el número entero de valor plos de √ –1 –1. Recíprocamente, a cada números racionales. Así, el número mitad, quedando así definida una correspondencia biunívoca entre los número real le correspondía un punto, √ 2, por ejemplo, puede representarse correspondencia y exactamente exactamente un punto, de una recta por una sucesión infinita de números elementos elementos de uno y otro conjuntos. continua. Por consiguiente, el pro- racionales: 1, 1,4, 1,41..., y así sucesi- Otras de las voces que manifestaban  vam ente. e. De esta est a forma, for ma, todo s los tradicionalmente blema de describir describir el continuo de  vament tradicio nalmente oposición a la idea de números irracionales irra cionales pueden ser imainfinidad infini dad completa eran las alzadas puntos de una recta recta era equivalente al problema de definir definir e investigar las ginados como puntos geométricos por teólogos como santo Tomás de  Aquino, por considerar que tal noción propiedades del sistema de números situados sobre una “recta numérica”,  Aquino, comportaba taba un desafío directo a la reales. Uno de los principales logros al igual que había podido hacerse con compor racionales. del artículo de 1872 fue la exposición los números racionales. naturaleza naturaleza única, infinita y absoluta No obstante sus ventajas, algunos de Dios. rigurosa de tales propiedades. Para evitar semejantes tropiezos, Las teorías de números reales matemáticos encontraron difícil ad mitir el método de Cantor, pues los matemáticos habían venido traencuentran encuentran sus máximas dificultades admitir en números que, como π y √ 2, no son presuponía la existencia de sucesio- zando una distinción taxativa entre racionales. (Números racionales son nes o conjuntos formados por infinitos lo infinito en tanto que cantidad cominfinito actual, y lo infinito en los expresables por cociente de dos elementos. Filósofos y matemáticos pleta, el infinito rechazando desde los p o t e n c i a , c o m o p o d r í a q u e d a r números enteros. Desde la antigüedad habían venido rechazando representado por una suma indefinida es conocido que √ 2, √ 3, √ 5  y otras tiempos de Aristóteles la noción de representado infinitud completa, a causa, sobre e ilimitada   lo lo que se llama serie   mu chas raíces son irracionales.) cierto límite. Puesto que nadie ponía en tela de todo, de las paradojas que parecía que convergiera hacia un cierto  juicio la legitimidad de los números plantear. Galileo, por ejemplo, había Tan sólo estaban los matemáticos infini tos potenracionales, Cantor enfocó el problema ya hecho notar que, si en matemáticas dispuestos a tolerar infinitos de los números reales desde un ángulo fueran admisibles conjuntos infinitos ciales. En 1831, Carl Friedrich Gauss

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4. PODEMOS EMPAREJAR, EMPAREJAR, uno por uno, los números enteros con los números pares, sin que ninguno de ambos conjuntos llegue a agotarse. Por consiguiente, aunque pueda parecer que hay más números enteros que números pares, ambos conjuntos tienen en realidad el mismo número de elementos. Muchos otros conjuntos, como el de los cuadrados perfectos multiplicados por mil millones, pueden también ser biunívocamente comparados con los números enteros. Tales conjuntos se llaman “numerables”. había ya expresado su oposición a que Hablando de límites era posible se utilizasen infinitos completos, eludir las paradojas que comportaban manifestándose en términos que Can- los infinitos actuales. Por ejemplo, tor calificó de “autoritarios”. En una añadiendo añadiendo nuevas cifras al desarrollo carta a Heinrich Schumacher, Gauss decimal decimal de π se puede aproximar el escribía: “Pero con respecto a su  verd adero valor de π con precisión demostración, demostración, yo protesto sobre todo creciente. Gauss insistía, sin embargo, del uso que se hace de una cantidad en que jamás jamás deberían suponerse infinita como cantidad completa, lo dados todos los términos del desarrollo que en matemáticas jamás está per- decimal, con lo que el valor de π quequemitido. El infinito infi nito es sólo una façon una façon de daría exactamente exac tamente determinado.  parler, en la que propiamente debería Hacerlo así equivaldría a tomar y comhablarse de límites.” prender en su totalidad un conjunto

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infinito de núme nú meros, ros, operación que Gauss rechazaba.

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o fue Cantor el único en estudiar las propiedades del continuo detallada y rigurosamente. En 1872, el mismo año en que fue publicado el artículo de Cantor, publicaba también el matemático alemán Richard DedeDe dekind un análisis del continuo basado en conjuntos infinitos. En su artículo, Dedekind exponía una idea a la que luego Cantor confería mayor precisión: “La recta es infinitamente más rica en puntos individuales indivi duales que lo es el dominio... de los números racionales en números individuales.” individuales.” Podemos dar a tal propiedad algo de perspectiva considerando la distribución distribución de los puntos que en un segmento rectilíneo corresponden a números racionales, o brevemente, los puntos racionales. Por muy pequeño que sea tal segmento, hay en él infinitos puntos racionales. Así pues, el quid  quid  de la observación de Dedekind se encontraba en que a pesar de que los números racionales forman un conjunto denso en todo segmento rectilíneo, queda en éste suficiente sitio para alojar todavía un número infinito de números irracionales. irra cionales. Los puntos irracionales como √ 2  caen entre los puntos racionales, y por ello el con junto de números racionales, racionales, aunque denso, se encuentra acribillado acri billado de poros, y no es continuo. Si bien la observación de Dedekind es coherente con una correcta comprensión del continuo, esconde una grave flaqueza. De haberle alguien preguntado preguntado a Dedekind cuánto más rico en puntos era el continuo que el conjunto infinito de los números racionales, Dedekind Dedekind hubiera quedado sin respuesta. La fundamental aportación de Cantor a este problema fue publicada en 1874, en el Journal el  Journal für die reine und angewandte angewandte Mathematik 5. CONJUNTO INFINITO de los números racionales: es decir, de los números expresables como cociente cociente de dos números enteros. Puede parecer mucho mayor que el conjunto de los números enteros. Por ejemplo, entre dos enteros consecutivos, así 0 y 1, hay una infinidad de números racionales. No obstante, Cantor mostró en el año 1874 de qué forma podían los números racionales ser empare jados biunívocamente con los números enteros. Cada número racional se halla encuadrado en la formación de la figura; a cada número racional puede entonces asociársele un número entero conforme se va recorriendo la trayectoria trayec toria señalada con flechas de color. Así pues, el con junto de los números racionales es numerable.

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de August Leopold Crelle, más conocido por el Journal de Crelle, seguramente la publicación matemática de carácter periódico de mayor prestigio en aquella época.

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les comprendidos entre 0 y 1. Si este conjunto de números ya fuera mayor que el conjunto de los números enteros, el conjunto de los números reales lo sería también. Supongamos, por consiguiente, que los números reales comprendidos entre 0 y 1 pudieran quedar uno por uno emparejados con números enteros. Esta blecer una tal correspondencia equivaldría a dar una lista de los números reales, cada uno representado por un número decimal infinito. Es entonces posible definir un nuevo número real comprendido entre 0 y 1 y no incluido en la lista. Fijémonos en la primera cifra del primer desarrollo decimal de la lista de números reales. Si esta cifra es un 1, como primera cifra decimal del número que estamos definiendo escribiremos un 9. Si la primera cifra del primero de los números de la lista no es un 1, en el número a definir tomaremos como primera cifra un 1. Continuamos construyendo el número a definir cambiando la segunda cifra del segundo desarrollo decimal de la lista por igual procedimiento, la tercera del tercero, etcétera. El número real así construido difiere al menos en una cifra de cada uno de los números que componen la lista, y representa un número comprendido entre 0 y 1. Se ha construido, pues, un número que no se encuentra en la lista de números reales y, por tanto, la hipótesis de que es posible confeccionar una lista donde figuren todos los números reales conduce a contradicción.

n efecto: Cantor tomó prestada la paradoja citada por Galileo y la 4 .6 0 2 0 5 … convirtió en un procedimiento de com5 .6 9 8 9 7 … paración del tamaño de conjuntos … infinitos. Cantor definió como equi …  valentes dos conjuntos cuando podía definirse entre los elementos de uno y .9 1 1 1 1 … otro conjuntos una correspondencia biunívoca. Una tal correspondencia 6. CONJUNTO de los números reales, proporciona un procedimiento natural representado por el continuo de los punde comparación de tamaños. Ima- tos de una recta; dicho conjunto no es ginemos, por ejemplo, un cubo lleno de numerable. Si lo fuera, los números reabolas de color rojo y color negro. La les entre 0 y 1, por ejemp lo, podrían ser forma más sencilla de averiguar si hay biunívocamente emparejados, uno a uno, con los números enteros. Cada núel mismo número de bolas rojas y mero real de la lista está representado negras es irlas sacando del cubo en por un número decimal ilimitado. (Los parejas de una bola roja y una negra. decimales infinitos como 0,5000... han de De ser posible emparejar cada bola con ser representados por otro decimal infiotra de distinto color los dos conjuntos nito, tal como 0,4999 ... ) Independientede bolas son equivalentes. Si no es así, mente de la ordenación que se dé a una tal lista de números decimales ilimitalas bolas sobrantes en el cubo permi- dos, siempre puede ser construido un ten decidir la cuestión. nuevo decimal que defina un número  Aplicando el mism o principio de real no contenido en ella: como primera correspondencia, demostró que la pro- cifra decimal del número a construir se piedad que Galileo había considerado escribe un 9 si es que el primer decimal paradójica era, en realidad, una pro- del número que encabeza la lista es un 1; de no ser así, se escribe un 1. A contipiedad natural de los conjuntos infini- nuación se cambia la segunda cifra detos. El conjunto de los números pares cimal del segundo número real; después, es equivalente al conjunto de todos los la tercera del tercero, y así sucesivanúmeros enteros positivos, pares e mente. El número decimal de esta forma construido representa un número real impares reunidos, porque los emparejamientos entre miembros de comprendido entre 0 y 1, y que habrá forzosamente de diferir al menos en una uno y otro conjunto pueden proseguir cifra decimal de cada uno de los númepor siempre, sin omitir a miembro ros de la lista. Por tanto, la hipótesis de alguno de ninguno de ambos conjun- que los números reales puedan ser biunín agosto de 1874, Cantor contrajo tos. Cantor pudo también exhibir un vocamente emparejados con los númematrimonio con Vally Guttmann; método, tan refinado como ingenioso, ros enteros conduce a contradicción. La idea clave de esta demostración es conola joven pareja pasó el verano en las gracias al cual el conjunto de los cida por “método de diagonalización”. números racionales podía quedar en montañas del Harz, donde se reunieron también con Dedekind. Este correspondencia con el de todos los números reales. Brevemente: los período fue extraordinariamente frucenteros (véase la fi gura 5). Cantor llamó numerables a aquellos conjun- números reales forman un conjunto tífero para el trabajo de Cantor. En tos cuyos elementos pueden ser pues- no numerable. La demostración que época anterior de ese mismo año, Cantos en correspondencia, uno con uno, de este aserto dio Cantor en 1874 es tor había propuesto a Dedekind el con los números del conjunto de ente- un tanto complicada; presentaré aquí, problema inmediatamente siguiente ros positivos, lo que equivale a poder- en cambio, la idea principal de una en importancia al recién explicado, a  versió n simplificada y mucho más saber: “¿Sería posible poner en correslos contar. pondencia una superficie (tal vez un En vista de la densidad de los núme- potente dada por él en 1891. Cantor comenzó su demostración cuadrado, incluido su contorno) con ros racionales sobre la recta, y la relati va rareza de los números enteros suponiendo que exista una corres- una línea recta (quizás un intervalo, al ser situados sobre ella, puede pare- pondencia biunívoca entre los conjun-  junta mente con sus ext rem os) , de cer burdamente contrario a la intui- tos de los números reales y de los manera que a cada punto de la super ción que ambos conjuntos resulten ser números enteros. Su razonamiento ficie le correspondiera un único punto de igual tamaño. El siguiente paso de consiste en ver que tal hipótesis lleva de la recta, y recíprocamente?” AunCantor fue, empero, todavía mucho a contradicción; se deduce entonces que Cantor opinaba que la respuesta más impresionante: demostró que no que la suposición inicial tiene que ser debiera ser negativa, no conseguía, ni puede existir ninguna correspon- falsa, o sea, que es imposible que tampoco Dedekind, dar razón para tal dencia biunívoca como las explicadas exista una correspondencia biunívoca creencia. Sin embargo, hacia 1877 Cantor entre el conjunto de los números ente- entre ambos conjuntos. Su razonaros y el conjunto de los puntos de una miento puede ser simplificado aten- pudo enviar a Dedekind la estupefarecta, es decir, el conjunto de los diendo solamente a los números rea- ciente noticia de que, contrariamente

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a la opinión matemática prevale- cubrimiento, y lo envió, como había quejándose del tratamiento dado a su ciente, no era imposible establecer hecho con su artículo de 1874, al artículo y mencionando la posibilidad una correspondencia biunívoca entre  Journal de Crelle. Aunque el artículo de retirarlo de la revista. Dedekind, recta y plano. La demostración con- de Cantor revestía una importancia recordando experiencias propias en siste en representar cada punto de un fundamental, fue también la primera tales asuntos, persuadió a Cantor cuadrado por un par ordenado de ocasión de abierta declaración de hos- para que esperase. Al cabo, Dedekind coordenadas en notación decimal. Las tilidades en tre Cantor y Kronecker, su resultó tener razón. El artículo aparerepresentaciones decimales de las maestro de antaño. Siendo uno de los ció en el volumen de 1878; pero Cantor coordenadas se entremezclan enton- editores del  Journal, Kronecker se quedó tan ofendido por el incidente ces conforme a un procedimiento encontraba en situación de bloquear que se negó a publicar nada más en el estrictamente especificado, a fin de la publicación de cualquier artículo, y  Journal. engendrar un único desarrollo deci- hacia 1877 quedó tan consternado por  Aun que la contr overs ia surgi da mal; este decimal es asociado luego la dirección que estaba tomando el entre Cantor y Kronecker estuviera con un punto del segmento rectilíneo. trabajo de Cantor, que eso fue preci- entenebrecida por animosidades perEl proceso completo es reversible samente lo que hizo. Aunque éste sonales, su causa más radical yacía en (véase la figura 8). Tal resultado cogió había presentado su escrito el 12 de las concepciones, tajantemente difedespre venido al propio Cantor; tanto  julio, no se hizo preparativo alguno rentes, que de la matemática tenían que le hizo exclamar “¡Lo veo, pero no para publicarlo, y no apareció en el ambos. Concepciones que todavía hoy lo creo!”  vo lu me n de 18 77 . Ca nt or , so spe- se reflejan en el debate entre matemáCantor preparó inmediatamente un chando la intervención de Kronecker, ticos formalistas y matemáticos manuscrito donde exponía su des- escribió a Dedekind una amarga carta constructi vistas. Kronecker, precursor de los constructivistas, es famoso por una irónica agudeza que capta muy bien la esencia de sus convicciones: “Dios creó los números enteros; todo lo demás es obra del hombre.” En este espíritu, Kronecker abogaba por la construcción de una matemática fun1 16 15 16 dada en los números enteros y en combinaciones finitas de ellos. En los 18 78 primeros años del decenio de 1870 comenzó a rechazar los procesos de paso al límite del cálculo infinitesimal tradicional, oponiéndose a que pudie3 16 13 16 ran definirse objetos matemáticos mediante límites. Así pues, in cluso los números irracionales, que durante siglos habían encontrado cobijo en las 34 14 matemáticas, habrían de ser ex pulsados de ellas, a menos que pudiese hallarse algún procedimiento para construirlos, como se construyen los 5 16 11 16 racionales, a partir de los enteros.

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7. LA PROBABILIDAD DE QUE AL ELEGIR AL AZAR UN PUNTO DEL CONTINUO de los números reales el punto seleccionado corresponda a un número racional nos da indicación de los tamaños relativos de los conjuntos de números racionales y números reales. La probabilidad es la razón del número de puntos de valor racional contenidos en un cierto intervalo al número total de puntos situados sobre él. El intervalo entre 0 y 1 ha sido representado en la ilustración por la circunferencia de una rueda de la fortuna. (Los valores 0 y 1 se consideran idénticos sobre la rueda.) Se supone que al hacer girar y luego dejar detenerse la rueda queda seleccionado aleatoriamente un solo punto. Los puntos representantes de números racionales forman un conjunto infinitamente denso, en el sentido de que a lo largo de cualquier arco comprendido entre dos puntos racionales de la circunferencia, por pequeño que sea, se encuentran un número infinito de puntos racionales en su interior. Vemos en la figura algunos puntos de ésos. Empero, el conjunto de los puntos situados sobre la circunferencia es infinitamente mayor que el conjunto de puntos racionales; la probabilidad de que la rueda de la fortuna se detenga en un punto racional es cero. Con mayor precisión, tal probabilidad es menor que cualquier número positivo dado de antemano.

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antor, que en sus tiempos de estudiante había redactado dos importantes artículos bajo la dirección de Kronec ker, tenía perfecta conciencia de la posición extrema que éste había adoptado, y no dejaba de percibir sus ven tajas, al garantizar el máximo de certidumbre y corrección en las demostraciones matemáticas y poder ser aplicada como correctivo a la especulación matemática más desbocada. Can tor aduj o, n o ob stante, que aceptar la postura de Kronecker conllevaría eliminar muchos de los más prometedores desarrollos matemáticos y, lo que es más, podría gravar la investigación matemática más novedosa con escrúpulos metodológicos demasiado estrictos y, en última instancia, caducos. La definición de número irracional dada en el artículo de Cantor de 1872 equivalía a aceptar la existencia de

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conjuntos infinitos completos. Cantor abrazó una postura formalista acerca de la existencia de los irracionales, arguyendo que la única razón y fundamento para poner en tela de juicio su existencia matemática habría de ser su coherencia formal e interna. “Al introducir nuevos números  escribió en una ocasión    la matemática tan sólo está obligada a dar definiciones de ellos, mediante las cuales... puedan ser definitivamente distinguidos unos de otros. En cuanto un número satisfaga todas estas condiciones puede y tiene que ser considerado en matemática como existente y real.” Este punto de vista, que alude a los irracionales, resultó crucial para la  justificación que dio para introducir los números transfinitos. En su artículo de 1872 había definido con juntos de puntos excepcionale s introduciendo la noción de punto límite (también llamados puntos de acumulación). El número irracional √ 2, por ejemplo, es punto de acumulación de la sucesión 1, 1,4, 1,41,... Con mayor generalidad, se dice que un punto es de acumulación de un conjunto si el conjunto contiene siempre una infinidad de puntos arbitraria mente próximos al punto.

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 … .6  7   0 0 5  0 0 6  0 3  0 6  0 0 1  0 0 1

…

…

D

ado un conjunto infinito cualquiera  P, Cantor definía el con junto derivado de P, P1 , como conjunto de todos los puntos de acumulación de  P. Análogamente, si P1 fuese también 0 1 un conjunto infinito su conjunto deri- 8. PUEDEN PONERSE LOS PUNTOS DEL PLANO en correspondencia biunívoca  vado  P2  está definido como conjunto con los puntos de la recta. Cada punto del plano está representado por un par de de todos los puntos de acumulación de decimales infinitos; éstos son fragmentados en grupos: cada cifra, excepto si es 0,  P1. Demostró que la relación de ser da motivo a un nuevo grupo. Los grupos son refundidos en un nuevo número decimal subconjunto establece una ordenación único por el procedimiento de ir tomándolos alternativamente; este número decimal natural de los conjuntos: resulta que representa un punto de la recta. El proceso es reversible. Una demostración parecida prueba que el número de puntos de un espacio de dimensión finita es equivacada elemento de P2  es también ele- lente al número de puntos de una recta. mento de P1, es decir, que P2 es subconjunto de P1. Análogamente, P3 lo de puntos comunes a todos los conjun- ... eran meras etiquetas de identificaes de P2 , y así sucesi vamente. Puede suceder que, para algún tos derivados; a partir de 1880 comenzó ción de conjuntos. Sin embargo, en número entero finito n, el conjunto Pn a referirse al superíndice ∞ con el 1883 dejó de lado sus reticencias y los sea un conjunto finito; cuando tal carácter de símbolo transfini to. presentó como números transfinitos, condición se verifique, el conjunto  Además, si  P∞  constase de infinitos a modo de extensión autónoma y sisinfinito P de puntos que dará lugar al puntos, podría formarse el conjunto temática de los números naturales.  Pn será el conjunto de puntos excep- derivado P∞ + 1, el cual, a su vez, abria razón inmediata para introcionales requeridos para demostrar la ría las puertas de toda una sucesión ducirlos, mantenía Cantor, es versión general del teorema de Cantor de conjuntos derivados:  P ∞ + 2 y taba en que eran necesarios para sobre unicidad de las representacio- siguientes. Cantor pudo haber añadido que los seguir avanzando en la teoría de connes en serie trigonométrica de las funciones. Por otra parte, puede suce- superíndices ∞, ∞ + 1, ∞ + 2 y sucesi-  juntos y en el estudio de los números der que ninguno de los conjuntos  vos constituyen en realidad números reales. No obstante, para poder resderivados que integran la sucesión P1, de un tipo nuevo, pero al principio no ponder a críticos como Kronecker,  P2 , P3,... sea un conjunto finito. Cantor lo hizo así. En 1872 había tenido el Cantor argumentó desde una postura argumentó que también en este caso cuidado de analizar los números irra- filosófica formalista: una vez reconotenía sentido considerar el conjunto cionales tan sólo en términos de cida la consistencia interna de los de los puntos que sean comunes a sucesiones de números racionales; números transfinitos no podía negártodos los conjuntos derivados P1, P2 , análogamente, al principio conside- seles un puesto junto a otros miem P3,..., Pn,... Designó por P al conjunto raba que los símbolos ∞, ∞ + 1, ∞ + 2, bros otrora controvertidos y hoy admi-

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1 → {1} 2 → {1, 2} 3 → {1, 2, 3}  …

 {1, 2, 3, …}

ω →

{2, 4, 6, …}  + 1 → {2, 3, 4, …, 1}

ω 

{1, 3, 4, …, 2}  + 2 → {3, 4, 5, …, 1, 2}

ω 

{1, 4, 5, …, 2, 3}  …

 + ω  = 2ω → {1, 3, 5, 7, …, 2, 4, 6, 8, …}

ω 

{1, 2, 5, 6, …, 3, 4, 7, 8, …} 2ω  + 1 2ω  + 2  …

2ω  + ω  = 3ω   …

ω × ω  ω 2

 =

ω 2 +

1

 … ω 2

 + ω 

ω 2 + ω  +

1

 … ω 2

 + ω  + ω  = ω 2 + 2ω 

 … ω 2

 + ω × ω  = 2ω 2

2ω 2 + 1  …

ω × ω 2 ω 3 +

 = ω 3

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aω n  × bω n – 1 + … + z  … ω ω 

 + 1

ω ω 

 …

 + ω 

ω ω 

tidos en matemáticas, como por finito solamente si su número cardinal ejemplo los números irracionales. y su número ordinal son iguales. Habiendo formulado una teoría de lo Cantor hizo notar que el número infinito capaz de sortear las conocidas ordinal de una sucesión de conjuntos paradojas matemáticas, Cantor estaba finitos de tamaños crecientes 1, 2, 3, ... convencido de haber eliminado la etc., está basado en la adición repetiúnica objeción que los matemáticos tiva de unidades. No hay un ordinal podían oponer para negarse a consi- máximo asociado con la sucesión de derar en sus trabajos conjuntos infi- conjuntos finitos, pero al igual que es nitos completos. posible definir π como límite de una Los números transfinitos que final- sucesión de números racionales sin que mente Cantor introdujo son hoy cono- por ello haya de ser π un número raciocidos por una notación que para ellos nal, así, creía Cantor, es lícito definir adoptaría en años posteriores, a saber, un número ordinal, transfinito y nuevo, la primera letra del alfabeto hebreo, ω, como primero de los números situaℵ aleph. Los alephs designan la cardos a continuación de la sucesión comdinalidad, o número de elementos, de pleta de números ordinales ordinarios, los conjuntos infinitos, y por ello las 1, 2, 3, ... etcétera. Una vez definido ω equivalencias entre conjuntos infini- es posible, por adición repetida de tos que Cantor puso de manifiesto en unidades, generar nuevos ordinales el decenio de 1870 son frecuentemente transfini tos sucesivos, ω + 1, ω + 2, ω expresadas con auxilio de los números + 3, etcétera. Puesto que esta sucesión transfinitos, los alephs. Tiene, pues, carece igualmente de elemento máximo considerable interés histórico que los podríamos imaginar otro número ordiprimeros números transfinitos que nal ω + ω, que denotamos 2ω, definido Cantor introdujo no fueran cardinales por ser el primer ordinal posterior a la sino ordinales. sucesión ω + 1, ω + 2, ω + 3.... Por repeLos números ordinales quedan defi- tición alternada de estos dos principios nidos por el orden o posición que ocu- de generación, Cantor pudo definir una pan en una lista. El número ordinal  je ra rq uí a de nú me ro s ord in al es asociado con un conjunto finito se transfini tos progresivamente mayores corresponde con el número cardinal de (véase la fi gura 9). ese conjunto. Por ejemplo, cualquier ¿Y cómo podremos distinguir, por conjunto formado por cinco elementos ejemplo, el número ordinal ω del ω + 1? (esto es, cualquier conjunto cuyo La diferencia queda determinada por número cardinal sea cinco) puede en el orden de los elementos que forman un cierto sentido ser considerado como parte de los conjuntos representantes sucesor inmediato de cualquier con- de ω y de ω + 1. Por ejemplo, el con junto formado por cuatro elementos.  junto de los números naturales, disDicho de otra forma, el ordinal del puestos en la secuencia (1, 2, 3, ...) conjunto es también cinco; el conjunto tiene número ordinal ω, que denota la ocupa el quinto lugar dentro de una sucesión de números naturales ordelista de conjuntos. Sin embargo, para nada en la forma familiar. Sin conjuntos infinitos es preciso distin- embargo, el conjunto de los números guir su nú mero cardinal de su número naturales, escrito con un último eleordinal. En efecto, Cantor descubrió mento como en (2, 3, 4, ..., 1), o el más tarde que es posible convertir esta conjunto de números naturales de la propiedad de los conjuntos infinitos en sucesión (10, 30, 40, ..., 20) tiene ordiun criterio para distinguirlos de los nal ω + l. Con otras palabras, la disconjuntos finitos. Un conjunto es tinción se funda en el orden correla-

 …

 + ω ω  = 2ω ω 

ω ω 

 … + 1

 = ω ω

ω × ω ω 

 …

+ 2

ω ω

 … +

ω ω

ω 

=

ω 2 ω 

× ω 

=

ω ω 

 … ω ω

 …

ω 

ω ω 

 … … ω 

ω ω 

 …

102

2

9. LOS NUMEROS ORDINALES TRANSFINITOS quedan determinados por el lugar de orden, o posición, que ocupan en una lista. La lista está generada de conformidad con dos principios. Primero, cada número ordinal transfinito se deduce del inmediatamente precedente añadiéndole una unidad, como si estuviéramos “contando más allá del ordinal transfinito ω asociado con el conjunto de los números naturales dispuestos en un orden habitual. Segundo, cuando se tiene una sucesión de ordinales transfinitos que carece de último elemento, o elemento máximo, queda definido un nuevo ordinal transfinito, que es el primero mayor que todos los otros. Tales nuevos números figuran en la lista inmediatament e a continuación de puntos suspensivos verticales; así, por ejemplo, 2 ω es el primer ordinal transfinito mayor que todos los números ω, ω + 1, ω + 2 y sucesivos. Es el emplazamiento de las lagunas infinitas (los puntos suspensivos horizontales) situados en el seno de los conjuntos asociados con los números ordinales lo que distingue unos de otros a los ordin ales transfinitos. Así, en el diagrama se dan para cada uno de los ordinales ω, ω + 1, ω + 2 y 2ω dos ejemplos de conjuntos con ellos asociados. Cada conjunto infinito de los representados por los ordinales de la lista tiene, sin embargo, el mismo número cardinal, a saber, aleph subcero (ℵ0); es decir, que cada uno de estos conjuntos está formado por igual número de elementos.

TEMAS 1

tivo de los elementos de la sucesión y finitos de acuerdo con dos principios Kronecker, quien ase guraba estar en el emplazamiento de la laguna de generación. Al objeto de poder intro- preparando un artículo donde demosinfinitamente larga, que está deno- ducir en la sucesión divisiones natura- traría que “los resultados de la tada por los puntos suspensivos; si les, había añadido un tercer principio. moderna teoría de funciones y de la solamente es desplazado un número Tomemos el conjunto de todos los teoría de conjuntos carecían de al final de la sucesión, el nú mero ordi- números enteros finitos, conjunto al importancia en realidad”. nal de la nueva sucesión será ω + 1. que Cantor llamó primera clase numéPoco después, en mayo de 1884, La sucesión (2, 4, 6, ..., 1, 3, 5, ... ) tiene rica. Su potencia, o número cardinal, Cantor sufrió el primer colapso nerdos lagunas infinitas, y su número es mayor que cualquiera de los ele-  vioso verdaderamente grave. Aunque ordinal será entonces ω + ω, o sea, 2 mentos del conjunto. Análogamente, la frustración de no poder avanzar y ω. Observemos que todos los conjuntos observó, podríamos considerar el con- la tensión de ánimo que suponían los tienen igual número de elementos, es  junto de todos los ordinales transfini- duros ataques de Kronecker contribudecir, sus elementos pueden ponerse tos correspondientes a conjuntos yeran quizás a desencadenar la crisis, siempre en correspondencia biunívoca denumerablemente infinitos, o sea, parece hoy claro que tales acontecicon los elementos de los otros y con los conjuntos cuya potencia sea la misma mientos poco tuvieron que ver con la números enteros positi vos. Por tanto, que la potencia del conjunto de todos causa subyacente. La enfermedad se sus números cardinales son iguales, a los números enteros. Cantor llamó impuso con rapidez sorprendente, y pesar de que sus ordinales sean muy “segunda clase numérica” a este con- duró algo más de un mes. En la época diferentes.  junto de ordinales transfinitos. Resulta tan sólo se reconocía la fase maníaca que la potencia de la segunda clase de la psicosis maníaco-depresiva; na vez definidos los números numérica es estrictamente mayor que cuando Cantor se “recobró”, a finales transfinitos, Cantor procedió a la potencia asociada con cualesquiera de junio de 1884, entrando en la fase describir sus propiedades aritméticas. de los conjuntos ordinales transfinitos depresiva, se quejó de carecer de la Era preciso hacer al respecto de la pro- que la componen. En breve, la segunda energía e interés necesarios para piedad conmutativa de la suma y la clase numérica no es un conjunto retornar al pensamiento matemático multiplicación una importante distin- numerable. Y aunque Cantor jamás riguroso, contentándose con cuidar en ción entre números transfinitos y núme- lograse demostrarlo, estaba conven- la universidad de las más baladíes ros ordinarios. Para dos números ordi- cido de que la potencia de esta segunda cuestiones administrativas, incapaz narios, la propiedad conmutativa clase numérica era equi valente a la de acometer otras tareas. expresa que A + B es igual que B + A, y potencia del continuo de los números que A ×  B es igual que B ×  A, cuales- reales. i bien acabó retornando a las mateTal conjetura ha llegado a ser máticas, fue también interesánquiera que sean  A y  B.  Al definir la adición y multiplicación también para conocida por hipótesis del continuo de dose, de forma cada vez más absornúmeros transfinitos no puede quedar Cantor, y jamás ha sido demostrada. bente, por otros temas. Emprendió un garantizada en todos los casos la pro- En 1963, Paul J. Cohen, de la Uni- estudio de la historia y la literatura piedad conmutativa. Por ejemplo, ω + 2,  versidad de Stanford, construyendo inglesas, progresivamente más y más que representa la sucesión (1, 2, 3, ..., 1, sobre la obra de Kurt Gödel, del Ins- embebido en una cuestión académica, 2) no es igual que 2 + ω, que representa tituto de Estudios Avanzados, demos- que muchos de sus contemporáneos se tró que aunque la hipótesis del conti- tomaron con notable seriedad: la conla sucesión (1, 2, 1, 2, 3, ...).  Aunque para conjuntos finitos la nuo es coherente con los axiomas de  jetura de que la obra dramática de distinción entre sus números cardinal una versión estándar de la teoría de Shakespeare la compuso Francis y ordinal esté muy difuminada, ayuda conjuntos, es también independiente Bacon. Aunque sin éxito, Cantor probó a explicar cómo la aplicación del con- de ellos. De hecho, la hipótesis del suerte un tiempo como profesor de cepto de número a un conjunto infinito continuo desempeña en teoría de con- filosofía, y comenzó a mantener correspodía conducir a confusión y paradoja.  juntos un papel anál ogo al que en pondencia con teólogos interesados Puesto que para conjuntos infinitos geometría tiene el postulado euclídeo por las consecuencias filosóficas de los conceptos de número cardinal y de las paralelas. Es posible construir sus teorías acerca del infinito. Tal número ordinal son fundamen- diferentes versiones de la teoría de correspondencia revestía para él espetalmente distintos, todo razonamiento conjuntos según que la hipótesis del cial importancia, pues estaba convenque analice el número asociado a un continuo se suponga verdadera o falsa, cido de que los números transfinitos conjunto infinito sin plantear clara- lo mismo que pueden construirse geo- le habían llegado como mensaje divino, mente esta distinción está sujeto a metrías euclídeas o no-euclídeas según y ansiaba que sus opiniones fuesen ambigüedad. Por tanto, no es legítimo se admita que se cumple o no el postu- cuidadosamente examinadas por teóextender las propiedades en aparien- lado de las paralelas. logos, a fin de reconciliar su concepto Los infructuosos esfuerzos de Can- matemático del infinito con las doctricia bien definidas de los conjuntos finitos a los conjuntos infinitos, como tor para demostrar la hipótesis del nas de la Iglesia. continuo le provocaron no poca ansieGalileo y otros habían hecho. Lo que es más importante, Georg No obstante los logros alcanzados dad y fatiga mental. A comienzos de Cantor tuvo un papel esencial en la por Cantor en la década de 1880, que- 1884 creyó haber descubierto una creación de una sociedad profesional daba por llenar una grave laguna. La demostración, pero unos cuantos días para el desarrollo de las matemáticas cuestión del número cardinal (la poten- después mudó de opinión completa- en Alemania: la Deutsche Mathemacia, en la primitiva terminología de mente, seguro de poder refutar la tiker- Vereinigung. Convencido como Cantor) que debía asignarse al conti- hipótesis. Finalmente, se dio cuenta estaba de que su propia carrera había nuo de los números reales se encontraba de que no había progresado lo más padecido grave daño al haber sido su todavía sin respuesta. Recordemos mínimo. A lo largo de todo este período trabajo rechazado en forma premaque en su artículo de 1883 había tuvo que soportar las amenazas y la tura y cargada de prejuicios por el definido la sucesión de ordinales trans- oposición, cada vez más fuertes, de aparato matemático institucional,

U

S

GRANDES MATEMÁTICOS

103

M

N 

                     {∅ }

f 

f 

f 

{

}

{

}

{

}

{

}

{

}

{

}

{

}

SEA m   UN ELEMENTO CUALQUIERA DEL CONJUNTO M. POR EJEMPLO, SI m  =

f (m ) = f (

)={

SI m  =

f (m ) = f (

)={

SI m  =

f (m ) = f (

)= {

} } }

SEA S  = {ELEMENTOS m  DE M  QUE SON ELEMENTOS DE f (m )} POR EJEMPLO, ES ELEMENTO DE f  (

) PORQUE f  (

NO ES ELEMENTO DE f  ( ES ELEMENTO DE f  ( POR TANTO S  = {

) PORQUE f  ( ) PORQUE f  (

} )={

)={

} }

}; OBSERVESE QUE S  ES ELEMENTO DE N 

confiaba en que una organización independiente serviría para alentar y acicatear a los matemáticos jóvenes y para servir de foro de ideas nuevas, por radicales o extremas que fueran. Quedaba en la teoría de conjuntos transfinitos un último elemento al que Cantor debía plantar cara, a saber, la naturaleza y status de los números cardinales transfinitos. Es curiosa la evolución que experimentó su pensamiento. Los cardinales transfinitos fueron los últimos en ser definidos rigurosamente o recibir notación especial. Es, en efecto, difícil reconstruir desde la claridad de la retrospectiva las obscuridades entre las que a ciegas Cantor tuvo que tantear su camino; hasta aquí he venido comentando su obra como si Cantor hubiese comprendido ya que la potencia de un conjunto podía ser entendida como número cardinal. De hecho, si bien Cantor había comprendido que es la potencia de un conjunto la que establece su equivalencia (o su no equivalencia)

104

)={

con otro conjunto cualquiera, inicialmente eludió toda sugerencia de que la potencia de un con junto infinito pudiera ser considerada como un número.

C

antor comenzó a considerar como idénticos ambos conceptos allá por septiembre de 1883; empero, no propuso todavía ningún símbolo que sirviera pa ra distinguir unos de otros a los cardinales transfinitos. Puesto que había ya adoptado el símbolo ω para designar al mínimo de los ordinales transfinitos, es evidente que los ordinales fueron mucho más importantes que los cardinales en las primeras fases del desarrollo conceptual de la teoría de conjuntos cantoriana. Cuando, finalmente, Cantor introdujo un símbolo para denotar al primero de los cardinales transfinitos fue tomándolo prestado de la simbología ya en servicio para ordinales transfinitos, y así, el primer cardinal transfinito fue *. denotado ω

10. UNA SUCESION INFINITA de con juntos, donde cada uno es mayor que el precedente, puede construirse tomando para cada conjunto dado el conjunto de todos sus subconjuntos. Podemos utilizar aquí una ingeniosa variante del método de diagonalización de Cantor para mostrar que, de suponer existente una correspondencia biunívoca  ƒ  entre un conjunto cualquiera M   y el conjunto  N  de todos sus subconjuntos, siempre podemos construir un subconjunto S que carece de homólogo en la correspondencia, sea ƒ la que fuere. Para comprender su construcción, tomemos el conjunto finito  M   formado por un disco rojo, un disco azul y un disco verde. Este conjunto tiene ocho subconjuntos (contando entre ellos al conjunto vacío, Ø, que carece de elementos). Definamos S como conjunto de todos los elementos m de M  que no sean miembros del subconjunto  ƒ(m) que les corresponde. Para el ejemplo de la ilustración superior, S contiene únicamente al disco azul. Puesto que S es subconjunto de  M , y puesto que se supone que la correspondencia  ƒ es biunívoca, ha de existir algún elemento a  perteneciente a  M   que se encuentre asociado con S, esto es, un elemento a para el cual ƒ(a) sea idéntico a S. Ahora, o bien a es elemento de S, o bien no lo es. Si a es elemento de S, ha de serlo también de ƒ(a), pues ƒ(a) es igual a S; por otra parte, si a es elemento de S no puede serlo de ƒ(a), en vista de como ha sido definido S. Por tanto, a no es elemento de S. Pero, de nuevo, si a no es elemento de S, por la definición de S, a tiene que ser elemento de ƒ(a), y puesto que ƒ(a) es igual a S, a tiene también que ser elemento de S. Así pues, sea cual fuere la situación de a, al suponer que el conjunto  M   puede ser, elemento a elemento, biunívocamente emparejado con el conjunto de todos sus subconjuntos se produce una contradicción. Es por tanto forzoso desechar tal hipótesis. De igual forma se demuestra que incluso si un conjunto es infinito, el conjunto de todos sus subconjuntos es mayor que el conjunto original. Es posible construir una sucesión de conjuntos progresivamente mayores formando el conjunto N  de todos los subconjuntos de un conjunto infinito  M , luego, el conjunto  P de todos los subconjuntos de N, y así sucesivamente. La sucesión no contiene un conjunto máximo. Cantor no se resolvió por la notación de alephs hasta 1893. Por entonces, el matemático italiano Giulio Vivanti estaba preparando una exposición sistemática de la teoría de conjuntos, y Cantor comprendió que era hora de adoptar una notación bien tipificada. Decidió representar mediante alephs los cardinales transfinitos porque consideraba que los alfabetos griego y romano habituales estaban ya demasiado utilizados en matemáticas para otros fines. Sus nuevos números merecían algo único y distinto. Así, eligió la letra ℵ , de la que la tipografía ale-

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mana disponía de surtido suficiente.  Y como Cantor admitió complacido, tal elección fue particularmente perspicaz, porque en el alfabeto hebreo el aleph es también símbolo del número 1. Puesto que los números cardinales transfinitos eran a su vez unidades infinitas, con el aleph podía darse a entender un nuevo punto de partida de las matemáticas. Cantor designó por ℵ0 (aleph-subcero) al número cardinal de la primera clase numérica infinita, número al que hasta entonces * ; el número había venido llamando ω cardinal de la segunda clase infinita se designó ℵ1 (aleph-subuno).

bas que sugieran que Cantor llegase feliz y lleno de gozo expectante de lo nunca a tener conocimiento del resul- que he estado durante un par de años, tado de Russell. De hecho, la enferme- me ha tenido apartado de mi hogar, y dad le movió a solicitar licencia para puedo decir que también del mundo... abandonar la Universidad de Halle En mi largo aislamiento, ni las matedurante el otoño de 1899, permiso que máticas ni más en particular la teoría le fue concedido. En noviembre de ese de números transfinitos han dormido mismo año, Cantor notificaba al o estado en barbecho en mi interior.” Ministerio de Cultura que deseaba En otra ocasión, Cantor describió en renunciar por completo a la labor términos casi religiosos su convicción docente, contentándose con un en la veracidad de su teoría: “Mi teoría modesto puesto en la biblioteca, siem- se yergue firme como la roca; las flepre que no le fuese por ello reducido chas que contra ella se lancen, rápisu salario. Al reseñar sus méritos, damente se volverán contra su Cantor hacía hincapié en sus publica- arquero. ¿Cómo puedo yo saberlo? ciones sobre la cuestión shakes- Porque la he estudiado desde todos los peariana, y su petición concluía con la ángulos durante muchos años; porque as dos últimas contribuciones im- extraordinaria demanda de que el he examinado todas las objeciones que portantes que Cantor hizo a la Ministerio le diera respuesta en el hayan podido hacerse contra los teoría de conjuntos fueron un par de plazo de dos días. De no ofrecérsele números infinitos, y sobre todo porartículos publicados en 1895 y 1897. más alternativa que seguir ejerciendo que, por así decirlo, he seguido sus Había demostrado ya, en un artículo la docencia, escribió, entonces, como raíces hasta la causa primera e infapresentado antes de la primera reu- persona nacida en Rusia que era, lible de todas las cosas creadas.” nión de la Deutsche Mathematiker- buscaría entrar al servicio del cuerpo  Vereinigung, ocurrida en 1891, que el diplomático ruso. eneraciones posteriores podrán Ningún resultado parece haber número cardinal de cualquier contal vez prescindir de las conno junto es siempre menor que el número tenido la demanda de Cantor; tampoco taciones filosóficas de Cantor, mirar cardinal del conjunto formado por entró al servicio del zar Nicolás II. No desdeñosos sus abundantes referentodos sus subconjuntos. [Se da una obstante, todo el episodio es coherente cias a santo Tomás o a los Padres de  ve rs ió n de la demostración en la con su línea de conducta de 1884, la Iglesia, hacer caso omiso de sus figura 10.] Algunos años más tarde cuando consideró seriamente abando- pronunciamientos metafísicos y no dedujo de este resultado un corolario, nar las matemáticas y dedicarse a la comprender lo más mínimo de las a saber, que el número cardinal del filosofía, tras su primera crisis ner- profundas raíces religiosas de la fe continuo es igual a un número cardi-  viosa de importancia. Al igual que que finalmente tendría Cantor en la nal que designó 2ℵ0. Confiaba él en entonces fue hospitalizado por depre- absoluta veracidad de su teoría. Todos que este resultado conduciría pronto sión maníaca a finales de 1899, y de estos compromisos ayudaron a consoa una solución de la hipótesis del con- nuevo en los cursos de 1902 y 1903, y lidar su decisión de no abandonar los tinuo, porque tal hipótesis podía ahora a partir de entonces, por períodos cada números transfinitos. Parece como si enunciarse en forma algebraica muy  vez más frecuentes y largos. Cantor la oposición con que debió luchar confalleció el 6 de enero de 1918, en la tribuyese a reforzar su determinación. clara: 2ℵ0 = ℵ1. Empero, los razonamientos de la Halle Nervenklinik, a causa de un fallo Su paciencia, no menos que cualquier demostración de Cantor acerca del cardíaco. otra cosa que Cantor haya podido número cardinal del conjunto de subaportar, aseguró que la teoría de conconjuntos condujeron a muy diferenxisten entre la enfermedad men-  juntos sobreviviera a los años iniciales tes conclusiones. La más importante tal de Cantor y las matemáticas de duda y denuncia, floreciendo finalde ellas fue la obtenida por Bertrand que creó importantes conexiones. mente con fuerza vi gorosa y revolucioRussell en 1903. Russell mostró que Ciertos documentos sugieren que naria en el pensamiento científico del al considerar la colección de todos los ocasionalmente la enfermedad le pro- siglo  XX . conjuntos que no son elementos de sí porcionó periódicos respiros de los mismos se planteaba en teoría de asuntos cotidianos, durante los cuales conjuntos una paradoja. La paradoja pudo insistir con ahínco en sus ideas de Russell hacía pensar que la defini- matemáticas, ya fuera en la soledad BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA ción de conjunto dada por Cantor del hospital, ya en la tranquilidad de WHAT IS CANTOR'S COTINUUM PROBLEM? adolecía de algo esencialmente erró- su casa. La enfermedad pudo también Kurt Gödell en Philosophy of Mathemaneo, y las consecuencias que ha tenido alentar su convicción de que los númetics: Selected Readings, dirigido por Paul el comprenderlo así han llegado a ros transfinitos le habían sido comuBenacerraf y Hilary Putnam. PrenticeHall, Inc., 1964. constituir uno de los problemas fun- nicados por Dios. Tras un largo peP ROBLEME DES UNENDLICHEN: W ERK UND damentales de la lógica matemática ríodo de hospitalización, en 1908, EBEN GEORG CANTORS. Herbert MesL en nuestro siglo. Mas, ninguno de los Cantor le escribió a una amiga de chkowski. Vieweg, Brunswick, 1967. resultados importantes alcanzados Göttingen, la matemática inglesa TOWARDS A BIOGRAPHY OF GEORG CANTOR. por Cantor en matemática transfinita Grace Chisholm Young. Según él I. Grattan-Guinness en Annals of Science, ha quedado invalidado por estos desa- mismo la describía, su enfermedad vol. 27, n.o 4, págs. 345-391; diciembre, 1971. rrollos posteriores. maníaca tomó una sorprendente cuaEORG CANTOR: HIS MATHEMATICS AND G Desdichadamente, hacia 1903 Can- lidad generativa: “Un sino peculiar, HILOSOPHY OF THE I NFINITE. Joseph P tor estaba padeciendo cada vez con que gracias a Dios no me ha roto en Warren Dauben. Harvard University más frecuencia ataques de depresión forma alguna; antes bien, me ha Press, 1979. maníaca, y no se han encontrado prue-  vuelto interiormente más vigoroso,

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G

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Gottlob Frege Javier de Lorenzo  La publicación de Begriffsschrift en 1879 supone el nacimiento de la lógica matemática. Su objetivo central: fundamentar la aritmética en el pensamiento puro

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l año 1879 se viene conside- mismas fechas a Kummer, quien rando como una de las fechas  jamás llegó a profesor universitario; clave en la lógica matemática: a Cantor, que no pudo lograr su aspila de su na cimiento. Es el año en que se ración de llegar a Berlín; a Kronecker, publica Begriffsschrift, eine der arith- que si dio clases en la Universidad, las metischen nachgebildete Formels pra- dio no por catedrático o profesor ordiche des reinen Denkens , escrito por el nario, sino por académico; a Dedekind, matemático Gottlob Frege, y que tra- que se mantuvo en su Escuela Técnica duzco por “Ideografía, un lenguaje de de Brunswick, ale jado del “académico fórmulas para el pensamiento puro y universitario ruido”. modelado en el lenguaje de la aritméFrege estudió en Göttingen. Y tica” y que citaré, en adelante, por Bs. Göttingen ha sido el centro de la Frege nació en 1848 en Wismar y matemática durante el siglo  XIX  y murió en 1925 en Bad Klei nen. Estu- primeros años del  XX . Desde Gauss dió y se habilitó en Göttingen, en 1873, hasta Hilbert pasando por Riemann pasando a ser privat-dozent en la Uni- y Weierstrass. Naturalmente, el estu versidad de Jena desde 1874 hasta diante de Göttingen se encontraba en 1896 y profesor honorario desde ese el centro de los motivos y de los proaño hasta 1917. Trabajó en soledad y blemas vivos de la matemática. Y Frege no pudo sustraerse a ellos. sin muchos reconocimientos en vida. Según el secretario de la Uni- Especialmente a uno: fundamentar la  versidad de Jena “su actividad acadé- aritmética y aclarar de una vez para mica carecía de interés para la Uni- siempre la naturaleza de los números  versidad”, lo que vendría corroborado naturales. Es el objetivo de su vida, por la afirmación de Carnap al contar que se condensa en lo que viene estique, en 1913, sólo asistían al curso de mándose  prog rama logicista   en la Frege, con él, otros dos alumnos, uno fundamentación de la matemática: de ellos comandante retirado que reducir la aritmética a la lógica, es deseaba estar al tanto de las “últimas” decir, derivar los conceptos de la aritnovedades. Hecho bastante más nor- mética de conceptos lógicos y deducir mal de lo que parece, aunque algunos los principios aritméticos de los princomentaristas quieran descargar su cipios lógicos. La aritmética, el conciencia hablando del genio incom- número natural, como elementos del prendido, etc. Y si digo “normal”, pensamiento puro, sin intervención basta mencionar en el entorno de esa s de imágenes, percepción, objetos materiales. Frege creyó por un momento que JAVIER DE LORENZO es doctor en había conseguido su objetivo hacia filosofía y licenciado en matemática por 1902, pero las antinomias dejaron al la Universidad de Madrid. Catedrático descubierto que no había analizado de matemática del instituto de bachibastante, que la construcción en la llerato “Zorrilla” de Valladolid. Dedica que había empeñado su vida se venía su atención preferente a la lógica y fiabajo. En su diario escribirá un año losofía de la matemática, temas en los que ha publicado varios ensayos y liantes de su muerte: “Mis esfuerzos bros, entre los cuales cabe mencionar, por aclarar lo que sean los números por su enlace con el tema desarrollado han conducido a un complete fracaso.” en este número, “La filosofía de la ma Y posteriormente: “Me he visto oblitemática de Poincaré” y “La matemátigado a abandonar la opinión de que la ca y el problema de su historia”. aritmética sea una rama de la lógica

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y, por tanto, que todo en la aritmética puede ser probado lógicamente.”

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e dicho Göttingen, y no sólo en Göttingen se hacía matemática. En otros lugares he estudiado el proceso que sufre la matemática en los entornos de 1827. Nuevos temas —geometría pro yectiva, geometría diferencial, análisis...— y, fundamentalmente, nuevo enfoque en el hacer matemático. Enfoque que se centra en hallar la razón y no ir de lo particular a lo general, sino de lo general a lo particular (Abel). Un hallar la razón interna a la matemática y no supeditado a las ciencias de la naturaleza, al empirismo utilitario. Un hallar la razón que, por no poseer criterio extrínseco, sólo podrá realizarse apoyándose en criterios estrictamente racionales: realizar las demostraciones con todo rigor, para lo cual es preciso un previo análisis de los conceptos que entran en juego. A pesar de las nuevas geometrías, la representación geométrica se convierte, de ayuda, en constante peligro. Weierstrass construye una curva que, continua en todos sus puntos, carece de tangente en cada uno de ellos, y da paso a toda una familia de curvas teratológicas. Desde sus comienzos, el cálculo hace uso de la noción de número real, del continuo, que no está definido. El único campo aparentemente seguro es la aritmética. Y sobre él se pretenderá fundamentar el análisis. Es lo que  vi no a de no mi na rs e “p ro ce so de aritmetización del análisis”. Proceso que culmina en 1872 con la ca racterización de los números reales por Weierstrass, Cantor, Méray, Dedekind simultánea, independientemente y con procesos diferentes. Culminación que supone un cambio cualitativo, una ruptura epistemológica radical en el interior de la matemática y un inicio de un nuevo tipo de hacer mate-

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mático. Nuevo tipo que, en los terrenos de la geometría, tiene su paralelo con el programa de Erlangen enunciado por Klein el mismo año de 1872. Suponen, los años que entornan 1875, un cambio en el estatuto del hacer matemático. Ya no se trata de manejar elementos y correspondencias de elemento a elemento, o magnitudes que impliquen una medida y un contar, sino de manejar sistemas, clases o conjuntos dados en acto y establecer aplicaciones y relaciones entre ellos, así como entre los elementos y los sistemas a los cuales pertenecen. Conjuntos o sistemas que pueden poseer infinitos elementos. Para manejarlos, surgen, como conceptos básicos, los de función o aplicación con sus diversos tipos y la relación de equi valencia con su conjunto cociente asociado. Son los que permitirán probar teoremas fundamentales de la continuidad de funciones de variable real, tema que surge nuevo o, en manos de Dedekind, los que van a permitir la caracterización no sólo de los números reales mediante su proceso de cortaduras sino la creación del álgebra moderna tras la elaboración del concepto de ideal, con la convicción subyacente de que esos sistemas o conjuntos no pueden ser reuniones arbitrarias de ele mentos cuales quiera, sino de elementos con una determi nada estructura, que hay que caracte rizar mediante “leyes formales”, estrictamente lógicas, entendiendo por tales las que emanan del pensamiento puro, y no las procedentes de la experiencia sensible o psicológica.

material y los postulados que regulan tales signos. Convicción de mero inscripcionismo que confunde signo con lo representado por dicho signo y que, por ello, muestra una debilidad conceptual absoluta desde su inicio.  A pesar de esta convicción, más o menos difundida en el trabajador matemático, y ya desde la nueva ruptura conceptual, se pretende fundamentar la propia aritmética y no sólo tomarla como mero modelo. Fundamentación, por supuesto, no psicológica o imaginativa, sino lógica. Fundamentación que no sólo indique qué sea un número natural, sino que regule lógicamente el tipo de razonamiento

específico de la aritmética, el principio de inducción completa, si es que ello es posible. Y a esta labor se verán llevados, por unos u otros caminos, matemáticos como Cantor, Dedekind, Schröder, Peano, Peirce, Frege... Desde otro enfoque, también se ligará al tema Husserl, que prefiere abandonar en 1884 la ayudantía con Weierstrass y su tesis doctoral sobre el cálculo de variaciones para, desde el terreno fenomenológico, fundamentar la aritmética, realizar su Filosofía de la aritmética . Por supuesto, los nombres que he citado no son los únicos, ni el intento de fundamentar la aritmética el tema único de estos matemáticos, salvo en

C

omo objetos de la “matemática moderna” se estimarán los con juntos y las aplicaciones, como escribirá Clifford en 1872, y posteriormente recordará Frege en 1884. Y si éstos son los conceptos básicos de la matemática, surgidos tras los intentos de fundamentar en la aritmética el resto de las disciplinas matemáticas, se tiene que esa misma aritmética carece, a su vez, de fundamento. No parece bastar una convicción, como la que después enunciará Kronecker, de que los números naturales son obra de Dios y el resto, de los hombres. Tampoco que existen unas leyes formales aritméticas que deben mantenerse en toda ampliación de sistemas. Aunque es este tipo de convicción el que predomina en el ambiente matemático que rodea este período de creación y que plasmó Hankel en 1867 con su principio de permanencia de leyes formales. Convicción de que, a partir de la aritmética, lo único que importa es el signo

GRANDES MATEMÁTICOS

1. GOTTLOB FREGE nació en 1848 en Wismar y murió en 1925 en Bad Kleinen. Estudió y se habilitó en Göttingen, en 1873, pasando a ser privat-dozent en la Universidad de Jena desde 1874 hasta 1896 y profesor honorario desde ese año hasta 1917. Según el secretario de dicho centro “su actividad académica carecía de interés para la Universidad”. Actualmente se le estima como el lógico más grande de todos los tiempos, sólo equiparable a la figura de Aristóteles, quien fundó la lógica en sus Analíticos.

107

Frege. Precisamente no cabe olvidar que, a partir de Boole, De Morgan, Hamilton... se había producido en los terrenos lo que considerar lógica una cierta renovación. Especialmente, George Boole, desde 1847, y partiendo del hacer matemático, había realizado la construcción de un álgebra lógica. Iniciaba así un proceso de algebrización de la lógica, de aplicar el álge bra para fundamentar la lógica. Boole parte de las nociones de clase, elemento de clase y operaciones con cla-

ses. El enfoque estriba en que las le yes pretaciones: por un lado, un álgebra del pensamiento, las leyes de la lógica, de clases; por otro, un álgebra propodeben ser del mismo tipo que las que sicional. En el fondo, una misma gobiernan el álgebra; es decir, la vali- teoría formal con dos interpretaciones dez de los procesos del álgebra no diferentes; según el modo de lectura o depende de la interpretación de los la interpretación que se asigne a las signos, sino de las leyes de combina-  variables y a los operadores. ción de los mismos. Con estas ideas, En su construcción, Boole utiliza la Boole algebriza la lógica obteniendo aritmética no sólo como modelo, sino un sistema alge braico que es, en tér- que los mismos signos aritméticos son minos actuales, un retículo booleano. empleados en una nueva acepción; así, Dicho retículo, como álgebra lógica o la suma y el producto serán ahora álgebra simbólica, presenta dos inter- suma y producto lógicos; una ecuación como  x = 1 será ahora “‘ x’ es verdadero” en interpretación proposicional, la clase universal en interpretación de álgebra de clases...

 Y

en la misma orientación de Boole de fundamentar la lógica en la matemática, de construirla como una estructura simbólica formal con ulteriores interpretaciones, se encontrarán Jevons, Schröder... Este último publica en 1877 un breve folleto en el que, apoyándose en la línea booleana, trata de perfeccionarla. Posteriormente, consigue formular un sistema axiomático, hoy clásico, caracte rizador de la noción de retículo, con su principio de dualidad. Es línea de decisiva importancia en el ulterior desarrollo de la lógica matemática, por la influencia no sólo de Peano, sino porque fue retomada por Skolem, la escuela polaca y, fundamentalmente, por Tarski y quienes siguen la tendencia semántica, que acaba reflejándose en la teoría de modelos y en los intentos de algebrizar los sistemas lógicos de primer orden mediante las álgebras cilíndricas de Tarski, las poliádicas de Halmos. Igualmente, y con parecida tendencia, pero ahora muy condicionada por la aritmética, se manifiesta esta tendencia en la teoría de fun ciones recursivas, o en la construcción de modelos no canónicos del análisis a partir de ultrafiltros... Habría que agregar la figura del norteamericano Peirce. Pero sus tra-

2. GOTTLOB FREGE publicó, hace ahora cien años,  Begrif fsschri ft, eine der arithmetischen nachgebildete Formels prache des reinen Denkens (“Ideografía, un lenguaje de fórmulas para el pensamiento puro modelado en el lenguaje de la aritmética”), primer tratado sistemático de lógica matemática. No pretende ser un mero simbolismo del lenguaje ordinario, o un cálculo, sino una conceptografía que permita la traducción a signos que reflejen las relaciones entre los conceptos simbolizados mediante un manejo por reglas estrictamente especificadas. Es simbolismo apto para expresar el pensamiento puro.

108

TEMAS 1

bajos, bastante dispersos, en su aisla- ción?”, “Sobre la lógica en la matemá- aplicará su Ideografía para definir, miento propio, sólo cobrarán todo su tica”, “Investigaciones lógicas”, en por los medios estrictamente lógicos  va lo r de sde la pe rspe ctiv a de lo s  varias entregas... Ensayos que suelen creados en la misma, la noción de logros posteriores. reunirse bajo la etiqueta de  escritos “sucesión”, y la de orden li neal o  Admitido por los matemáticos, a  filosóficos o lógicos-semánticos. cadena, así como mostrar que el prinpartir de 1872, que todos los conceptos Se señala en el prefacio de Begriffs- cipio de inducción completa puede de la matemática pueden reducirse a schrift que existen dos tipos de juicios, describirse por medio de su Ideogralos de la aritmética y los de ésta a los los analíticos y los sintéticos. Frege fía. Deja para obra posterior la defininúmeros naturales, Frege adopta estima que los aritméticos son juicios ción del soporte matemático de dicha sobre sí la tarea de derivar estos últi- analíticos, contra el sentir kantiano, sucesión, el número natural. mos por medios estrictamente lógicos. pero entiende por juicio analítico aquel Con ello lograría establecer que toda que puede derivarse, en forma estricebo precisar los motivos que Frela matemática es reducible a la lógica. tamente lógica, de las definiciones. No ge aduce para la creación de su Para esta labor tiene que cumplir dos se tiene en cuenta, aquí, el contenido Ideografía. No mera búsqueda de un objetivos: (1) precisar qué entiende de dicho juicio sino su derivabilidad. simbolismo más o menos arbitrario y por lógica y enumerar los conceptos Es punto que Frege precisará en escri- que refleje el lenguaje ordinario. Este lógicos con los que poder definir los tos posteriores, sin entrar en más tipo de simbo lismo es, en el fondo, el aritméticos; (2) demostrar que los detalles. Explica, a continuación, que propio del lenguaje matemático no teoremas aritméticos son derivables la etapa inicial de su trabajo se centra formal, que por ello constituye una de los principios lógicos mediante el en reducir el concepto de orden en una  jerga especial formada por palabras y único proceso válido, la deducción. sucesión al de consecuencia lógica, frases del lenguaje usual y por signos Esto último obliga a especificar cuáles para proceder desde allí al concepto especiales. Jerga que no satisface a son los primeros principios lógicos y de número. Para realizar esta tarea Frege por no ser válida para la búscuáles son las reglas de inferencia. encuentra el lenguaje ordinario inade- queda de precisión conceptual, aun Y en vista de estos objetivos, Frege cuado. No sólo para esta labor. que sea útil en la práctica. La Ideodará un primer paso: construir una  Agregará que una de las tareas de la grafía o conceptografía que logra debe lógica que le sea válida para su obje- filosofía debe consistir en liberar el permitir, por un lado, el que sea un tivo, una lógica del pensamiento puro, espíritu humano de los errores que, en cálculo lógico al estilo de lo preconiale jada de la influencia de la gramá- cuanto al concepto, presenta el len- zado por Leibniz, pero también que tica y del lenguaje usual, para lo que guaje ordinario. En particular, debe refleje el pensamiento puro y ello en debe crear un simbolismo adecuado. eliminarse la confusa terminología el sentido de que, para Frege, el signo  Y este primer paso, construcción de un entre “sujeto” y “predicado” en bene- es inseparable pero consecuente al simbolismo en el que poder expresar ficio de “argumento” y “función”. Para contenido que representa. Y este una lógica pura, independiente de la conseguir estos fines, dedica su aten- último punto deseo remarcarlo porque gramática, del lenguaje ordinario, de ción a construir un lenguaje de fórmu- es convicción que se ligará siempre a la psicología, es el que se contiene en las, a semejanza del aritmético, pero Frege y a la que el matemático alemán el Be griffsschrift de 1879. que permita un análisis lógico del permanecerá fiel: lo primero es el razonamiento matemático, del pensa- concepto; lo segundo, el signo con el l paso siguiente se centra en la miento puro. Aplicado en particular a cual se represente este concepto. Y es definición de número cardinal, la aritmética en  Bs, es posible gene- la creencia condicionadora de todo el que plasma en 1884 en Fundamentos ralizarlo tanto a la geometría como a trabajo de Frege lo que se ha venido a de la aritmética, un ensayo lógico-ma- la física; en general, se le muestra denominar su platonismo: el hombre temático sobre el concepto de número . como herramienta útil para la filosofía no crea los conceptos, los aprehende; Es libro no menos fundamental de en general. Y ello porque el lenguaje el hombre no crea sistemas matemáFrege, por la exposición, sin empleo de de fórmulas es al habla ordinaria ticos, sino que éstos preexisten consimbolismo ideográfico, de sus ideas y como el ojo al microscopio. En este ceptualmente al mismo; los contenila crítica de las concepciones opues- punto, Frege se remonta al intento de d o s c o n c e p t u a l e s p u r o s s o n tas. Es libro del que Frege, quizá con Leibniz de un calculus ratiocinator, independientes a que el hombre los un punto de amargura por el nulo reconociendo que Leibniz sólo se quedó perciba, los imagine, los piense... Un éxito obtenido por  Bs, señalará que en el intento, sin llevarlo a la práctica, ejemplo que Frege expone en 1914 es para muchos no será otra cosa que un como él ha logrado. que el pensamiento que se tiene en el híbrido, ya que los filósofos lo estimaEstos objetivos conducen a escindir teorema de Pitágoras es el mismo para rán como matemático y los matemáti- en dos grandes apartados su opúsculo: todo ser humano, y su verdad es cos como filosófico, y ni unos ni otros en el primero dará, primer capítulo, una independiente de que sea o deje de ser descripción semántica de los símbolos pensado por algún individuo de terlo leerán.  Y por último, coronando su labor, los que emplea; en el segundo capitulo, minado. Y en lógica, en matemática, dos volúmenes, 1893 y 1903, de Las le yes realizará una representación sistemá- lo que importa es el pensamiento pu ro,  físicas de la aritmética, donde afirma, tica, deductiva, de algunos juicios del no la génesis del mismo. en el primer tomo: “Con este libro llevo pensamiento puro. En otras palabras, Es convicción que le lleva a opoa ejecución un proyecto que tenía plan- expone, en el primer apartado, por vez nerse a los métodos de Boole, radicalteado desde mi Begriffsschrift, de 1879, primera, lo que hoy viene considerán- mente, porque en el fondo Boole parte y que empecé en mis  Fundamentos de dose como lógica de primer orden —que en su labor de la construcción de un incluye, por supuesto, la lógica propo- cálculo formal que permite ulteriores la aritmética de 1884.”  Y, en medio, y al final, ensayos de sicional—. Y ésta es la clave del tópico interpretaciones, distintas; para precisión como “Función y concepto”, al estimar 1879 como el nacimiento de Frege ello equi vale a partir del signo “Sobre sentido y referencia”, “Sobre la lógica matemática. En el segundo material para alcanzar el concepto. Y concepto y objeto”, “¿Qué es una fun- apartado, o capítulo tercero, Frege Frege insistirá en que tales cálculos,

D

E

GRANDES MATEMÁTICOS

109

α

(1)

a  b 

A.1. 1 a → (b  → a )

a 

(2)

a  c  b  c 

A.2. 2 (c → (b  → a )) → → ((c → b ) → (c  → a ))

a  b  c 

(8)

a  d  b 

A.3. 8 (d → (b  → a )) → → (b  → (d  → a ))

a  b  d 

(28)

b 

a 

A.4. 28

(b  → a ) → ( – a → – b ) a  b 

(31)

a 

A.5. 31 – – a → a  a 

(41)

a 

A.6. 41 a → – – a 

por su punto de partida, se mostrarán impotentes para la expresión, precisamente, de los conceptos y relaciones estrictamente lógicos. Es punto que explica cómo posteriormente Frege polemizará con Hilbert negándose a admitir el método axiomático formal. Para Frege, así, lo primero es el contenido conceptual o de juicio; lo segundo, el signo con que pueden representarse tales contenidos o pensamientos. Y un contenido que no hace referencia, en momento alguno, a los aspectos psicológicos. De aquí su rechazo, incluso, de las concepciones de Husserl, porque la lógica hace referencia al pensamiento puro y no a función psíquica alguna. Como muy posteriormente precisará, una proposición lógica no es más que un signo compuesto con arreglo a una regla determinada; signo que posee un “sentido” que se mantendrá en cualquier lengua a la que se traduzca la proposición anterior. Y es este “sentido” el que Frege denomina  pensamiento , independiente, por tanto, de la representación sensorial del mismo, de la actividad psicológica o espiritual más o menos subjetiva. Lógica frente a gramática, psicología, teoría del conocimiento.

E

s por ello por lo que su Ideografía, aunque se inspire en la aritmética en cuanto al uso de letras como  variables y como constantes, letras para expresar la generalidad y letras para representar aquello que posea un significado completamente determinado, no pretenda ser un cálculo sino una conceptografía que permita la traducción a signos que reflejen las relaciones entre los con ceptos simbolizados mediante un manejo por reglas estrictamente especificadas. Y es punto que mantendrá frente a Schröder, quien en 1880 critica el empleo en el Bs de signos diferentes a

a 

β

(52)

f (d )

A.7. 52 (c = d ) → (f  (c ) → f  (d ))

f (c )

(c ≡ d )

γ 

A.8. 54 c = c 

A.9. 58 (x ) f  (x ) → f  (y )

(54)

(58)

(c ≡ c )

f (c ) f( )

110

3. PARA LA PRESENTACION de su sistema, Frege elige un total de nueve axio mas que, junto a las cuatro reglas, implican que dicho sistema de axiomas es completo, en el sentido de completitud de sistemas formales posterior (para la lógica de primer orden). La elección está presidida por el uso de cada una de las cuatro constantes lógicas primitivas. En α  se dan los axiomas que Frege establece, con su numeración en  Begriffsschrift (izquierda) simbolizados también con notación no fregeana (derecha). Junto a las reglas de separación o Modus ponens y la de sustitución, estos axiomas constituyen un sistema completo para el cálculo proposicional. En β se dan los axiomas de identidad y, en γ, el de cuantificación.

TEMAS 1

los aritméticos para expresar el pensamiento puro, la lógica. Frege replicará en 1882 indicando: “En realidad, yo no he querido hacer un simple calculus ratiocinator sino una lingua characterica [ sic] en el sentido de Leibniz.” Y ello hasta el extremo de que si se partiera de un cálculo al estilo del álgebra lógica se está condenando a mantenerse en una especie de álgebra abstracta, vacía, mientras que puede concebirse una lingua characterica que no aboque en un cálculo por el mero cálculo. El cálculo no debe considerarse como otra cosa que como un complemento de dicha lin gua. Y es lo que Frege mostrará en Bs. Tras indicar el manejo de letras, con su diferencia de constantes y variables, al modo de la aritmética, Frege pasa a determinar el elemento básico de su Ideografía: el juicio o la aserción. No el concepto, como venía siendo tradicional en lógica —salvo en la estoica—, o la clase como venía siéndolo en la línea booleana. Bien entendido que sin dar, en su Ideografía, una definición de lo que entender por juicio, ya que en la Ideografía se manejan fórmulas, es un lenguaje de fórmulas, por lo que sólo podrá establecer reglas o instrucciones para la manipulación de los signos que en ella se utilizan. Es advertencia válida para todos los restantes elementos lógicos que Frege introduce. Y es punto que no vio Russell, por ejemplo, en la crítica de las ideas de Frege que agrega como apéndice a Los principios de la matemática, 1903, donde señala que Frege no define qué sea el juicio, la negación. Sólo años después Frege indicará el concepto de proposición al que antes he aludido, pero apoyado ya no en el contenido de un juicio, sino en su distinción entre sentido y referencia. Frente a los formalistas que llegan a identificar numeral y número, Frege distingue tres planos: expresión, contenido judicativo de esa expresión y aserción o juicio del contenido o pensamiento. Lo único que importa en la Ideografía es el contenido judicativo. “Los griegos ven cieron a los persas en Platea” y “los persas fueron vencidos por los griegos en Platea” son dos expresiones diferentes, pero presentan el mismo pensamiento, el mismo contenido. Contenido que puede ser convertido en aserción, aunque sea independiente de tal aserción e incluso puedan existir contenidos que carezcan de la expresión asociada correspondiente. Ello conduce a rechazar la distinción entre sujeto y predicado, válida fundamentalmente para la expresión gramatical y no para el

GRANDES MATEMÁTICOS

Establecido el modo básico de reprecontenido judicativo ni para el conceptual. Es punto de partida que conduce sentación de la aserción de un contea que la única diferencia que importa nido judicativo, Frege pasa a describir entre contenidos judicativos sea la que las constantes lógicas primitivas. existe entre universales y particu- Serán, exclusivamente, las de generalares, porque dicha distinción lo es en lidad, identidad de contenido y aquecuanto a contenido conceptual y no llas mediante las cuales se establezsólo en cuanto a expresiones. De esta can las relaciones entre contenidos manera quedan fuera de la lógica las  judicativos elementales dadas por la  viejas distinciones entre juicios categó- condicionalidad y la negación. En ricos, hipotéticos, disjuntivos... Igual- otras palabras, los contenidos de penmente, conduce a ad mitir que la nega- samiento puro serán aquellos que ción se aplica a contenidos de juicios y pueden representarse con ayuda de la no a la sola expresión de los mismos, lógica proposicional y de la lógica de contenidos a los que harán referencia, predicados con identidad. La descrippor modo exclusivo, las restantes cons- ción semántica de estas constantes tantes lógicas que explicitará Frege. lógicas primitivas y de las que pueden Desde este enfoque que diferencia definirse en términos de las mismas, radicalmente lógica de gramática y de completará la primera parte, el priteoría del conocimiento, Frege se ve mer capitulo, de este apartado. La condicionalidad viene represenobligado a rechazar la posibilidad de distinciones modales como tema pro- tada por un trazo de condición vertical pio de la lógica. Así, “es posible que la que afecta al contenido de juicio y está Tierra cho que algún día co n o tro estudiada de manera veritativocuerpo celeste” es una expresión en la funcional, en paralelo al condicional cual quien la afirma no conoce las filónico, aunque probablemente Frege leyes de las cuales pueda seguirse la no conoció la construcción de Filón de negación; en otras palabras, una dis- Megara, por lo cual podría afirmarse tinción modal de posibilidades o de que redescubrió independientemente necesidad se refiere más al funda- lo que después se calificaría de “implimento cognoscitivo que se tiene en el cación material”. Es punto, en cuanto momento de enunciarla, que al conte- a posibles influencias históricas, nido del juicio. Desde esta posición,  válido para el empleo de letras como aliada con la negativa a comenzar por  variables ya utilizado por Aristóteles, el cálculo para alcanzar el concepto, en el que estimo que tales influe ncias se in valida cualqu ier construcción no existieron en Frege, a pesar de sus llamadas a Leibniz. lógico-modal. Lo que expresa el esquema ara poder reflejar los tres planos:  A expresión-contenido judicativo B aserción de ese contenido, Frege crea un simbolismo especial. La expresión es la exclusión del caso “ A es negado del contenido de juicio la representa y  B  afirmado”, mientras que tiene por una mera abreviatura, una letra lugar uno de los otros tres casos. Es gótica que aquí reemplazo por letra decir, el esquema sólo excluye el caso latina como A. El contenido del juicio en el que “ B” es verdadero y “ A” es que se abrevia en la expresión por  A, falso, ya que: “Si  A y  B se ponen por  ven drá repres ent ado por un tra zo contenidos que puedan hacerse juihorizontal o trazo de contenido: — A, cios, hay las cuatro posibilidades: que indica una simple conexión de 1. Se afirma A y se afirma  B ideas “sobre la cual el escritor no 2. Se afirma A y se niega B expresa si reconoce o no su verdad”. Y 3. Se niega A y se afirma B la aserción de ese contenido, cuando 4. Se niega A y se niega  B”. puede convertirse en juicio, vendrá dada por un trazo vertical antepuesto Frege precisa que la traducción, la a la línea de contenido: trazo de juicio.  Así, el pensamiento “los polos mag- lectura de esta representación del connéticos opuestos se atraen entre sí” es, dicional por “si... ”, no es totalmente como pensamiento, un contenido de adecuada, salvo en el caso en que  juicio y puede representarse por “— A”, exista una relación causal —lo que es donde A es la abreviatura, la expresión imposición excesivamente restricmaterial del contenido: la conversión ti va— entre los contenidos represende ese pensamiento en juicio vendrá tados por A y B. Lo cual viene a indicar represen tada por “|—  A ”. De esta que el condicional no tiene por qué forma Frege indicará: “El signo |— es darse precisamente con relaciones el predicado común para todos los causales entre los contenidos de los  juicios.  juicios.”

P

111

1.

| 1 | a  → ( b  → a ) A . 1 .

2.

| 2 | ( c  → ( b  → a ) )

3.

( c  → ( b  → a ) )

→

( ( c  → b )

→  ( ( c  →

→

( c  → a ) ) A . 2 .

→

( c  → a ) ) )

b )

P o r S u s t . e n A . 1 . a  / ( c  → ( b  → a ) ) 4. 5.

| 3 | ( b  → a )

→

( ( b  → a )

→

( ( c  → ( b  → a ) )

→  ( ( b  →

a )

→

7.

| 4 | ( ( b  → a )

→

( b  → a )

→

( c  → ( b

→

→

→E →

S u s t . e n A . 2 . a  / ( c  → b ) 6.

→  ( ( c  →E →

( ( c  → ( b  → a ) )

( ( c  → b )

→

( ( b  → a )

( ( c  → b )

b )

( ( c  → b )

→

→

→  ( ( c  →

→

( b  → a ) )

→

( ( c  → b )

→

( c  → a ) ) )

( c  → a ) ) ; b  / b  → a 

( c  → a ) ) ) M . P . 2 . 3 .

( c  → a ) ) )

→

( ( ( b  → a )

→

( c  → ( b  → a ) ) )

( c  → a ) ) ) )

→  ( c  →

a ) ) )

→

→

a ) ; b  / c  → ( b  → a ) ; c  / b  → a 

( ( b  → a )

→

( ( c  → b )

→

( c  → a ) ) ) M . P . 4 . 5 .

( c  → ( b  → a ) )

S u s t . e n A . 1 . a  / b  → a ; b  / c  8.

| 5 | ( b  → a )

→

( ( c  → b )

→

( c  → a ) ) M . P . 6 . 7 .

9.

( b  → a )

→

( ( d  → b )

→

( d  → a ) )

S u s t . e n 8 c  / d  10.

( ( b  → a )

→

( ( d  → b )

→

S u s t . e n 8 a  / ( d  → b ) 1 1 . | 6 | ( c  → ( b  → a ) ) 12.

( ( b  → a )

→

→

( d  → a ) ) )

→

a ) )

→

( c  → ( ( d  → b )

→

( d  → a ) ) ) )

( d  → a ) ; b  / b  → a 

( c  → ( ( d  → b )

( ( c  → b )

→  ( ( c  →  ( b  →

→  ( c  →

→

a ) ) )

( d  → a ) ) ) M . P . 9 . 1 0 .

→

( ( b  → a )

→

( ( d  → ( c  → b ) )

→

( d  → ( c  → a ) ) ) )

S u s t . e n 1 1 . a  / c  → a ; b  / c  → b ; c  / b  → a  1 3 . | 7 | ( b  → a )

→

( ( d  → ( c  → b ) )

→  ( d  →

( c  → a ) ) ) M . P . 8 . 1 2

4. PRIMERAS SIETE FORMULAS que Frege demuestra en su Ideografía. Se las ha “traducido” a una notación más actual, señalando entre corchetes la equivalencia con las originales. Se indican las sustituciones simultáneas que deben hacerse en cada una de las líneas indicadas. Estas fórmulas sólo utili-

zan los dos primeros axiomas del cálculo proposicional y, además de la regla de sustitución, a unque Frege no la en uncia de modo explícito en parte alguna, se emplea la regla de derivación  Modus ponens (que dice que, dada una fórmula condicional, probado el antecedente, se sigue el consiguiente).

La escritura del condicional obliga Esquema de inferencia que Frege geanos. Otro problema se centra en si a que el antecedente se escriba deba jo propone como único afirmando que Frege, de hecho, maneja con exclusiy el consecuente arriba. La aparente toda inferencia puede reducirse a  vidad este modo de inferencia que no arbitrariedad de esta colocación se este modo, al menos en la lógica pro- es otro que el modus ponens o regla de  justi fic a en el modo de inf erenc ia posicional: “empleo únicamente éste derivación o separación. Y, de hecho, fregeano. Las dos aserciones juntas, (modo de inferencia), al menos en y a pesar de las afirmaciones constanla dada por el condicional y la dada todos aquellos casos en los que un tes de que es su único modo de infepor el antecedente, aseguran la aser- nuevo juicio se deriva de más de uno” rencia, se manejan otras tres reglas, ción “|— A”. Basta borrar el antece- (parágrafo 6). Ello implica, sin aunque se regule su uso en cuanto al dente. Que la afirmación de las dos embargo, un problema: la posibilidad manejo de las letras; en particular, aserciones indicadas dé paso a la y la conveniencia de que existan otros para el cálculo proposicional, una aserción del consecuente, constitu- modos de inferencia. Un modo único regla de sustitución para variables yendo así un modo de inferencia, quizá sea poco en el sentido de que las proposicionales.  viene asegurado porque de los cuatro deducciones se hacen muy largas y casos posibles antes reseñados, el exige un número mayor de premisas omo segunda constante lógica pritercero queda eliminado por el condi- de las que partir, por lo que en ocasiomitiva para la lógica proposiciocional, mientras que la aserción del nes conviene introducir abreviaturas nal Frege caracteriza la negación con antecedente elimina el segundo y el y nuevas reglas de inferencia; pero un las palabras: “Si un pequeño trazo cuarto, por lo que sólo queda la pri- único modo permite un rigor absoluto.  vertical se liga por debajo a la línea de mera posibilidad.  Y éste es uno de los obj etivos fre- contenido, se expresará la circunstan-

C

112

TEMAS 1

cia de que el contenido no tiene lugar ” (parágrafo 7). Así  A

significará “ A no tiene lugar”. La combinación del condicional y de la negación permite definir los restantes conectivos proposicionales: así, la con junción y la disjunción de la que Frege empleará únicamente su sentido no excluyente (frente a Boole, por ejemplo, quien manejaba la disjunción excluyente). Se reconoce, igualmente, el hecho de que el condicional podía tomarse como una constante lógica no primitiva, definido en términos, por ejemplo, de conjunción y negación. Sin embargo, la facilidad para el manejo de la inferencia es la que ha conducido a la elección de dicho condicional como constante lógica primitiva. En la elección puramente convencional, por adecuada al simbolismo y a la inferencia, difiere Frege de la posición de McColl, quien desde 1877 sostenía el punto de vista de que la lógica tenía como objetivo fundamental el cálculo proposicional en el que el principal conectivo debía ser algún tipo de implicación. Implicación con vertida en elemento base de la lógica matemática a partir de Peano en el sentido de estimar que en la matemática todos los teoremas vienen establecidos bajo una estructura implicacional. Tesis de Peano retomada por Russell al sostener que la matemática no es otra cosa que el conjunto de proposiciones de la forma “si H  entonces T” . Argumento que esbozará, nuevamente, para hacer aceptable axiomas como el de existencia del infinito, existencia no lógica, pero no asegurada sino puesta como antecedente de las proposiciones que constituyen la clase. Descritos los elementos básicos para la lógica proposicional, se pasa a una introducción semántica de la teoría de la cuantificación (término que no es fregeano) con identidad. Es paso que  va a dar origen a una continua revisión conceptual por parte de Frege y a una copiosa y amplia literatura en la filosofía de la lógica posterior. Por lo pronto, comienza con la introducción de un predicado de dos argumentos: la identidad. Introducción que pretende ser, y es, la primera definición de carácter estrictamente lógico de esta relación, dado que la definición aportada por Leibniz, por ejemplo, se apoyaba en el principio ontológico de los indiscernibles. Frege comienza su parágrafo 8 afirmando: “La identidad de contenido se diferencia de la condicionalidad

GRANDES MATEMÁTICOS

y de la negación en que se aplica a nombres y no a contenidos.” No es, por tanto, identidad de objetos; de aquí que la definición fregeana se presente en metalenguaje. La expresión es |—— ( A ≡ B) que significa “el signo  A y el signo  B tienen el mismo contenido conceptual, de forma que en lugar de  A se puede poner siempre B y viceversa”. El juicio de identidad no es otra cosa que la aserción de que, en ocasiones, puede representarse el mismo contenido mediante dos maneras diferentes de determinación y Frege aclara este hecho con un ejemplo tomado de la

geometría —de donde obtiene, realmente, este tipo de identidad— en el que uno y el mismo punto queda “determinado” de dos maneras distintas. Aunque no sea el ejemplo fregeano, puede estimarse que A se pone por “el centro de la circunferencia circunscrita a un triángulo rectángulo” y  B  por “el punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo”. La identidad fregeana indica que las dos expresiones, diferentes, poseen el mismo sentido, el mismo contenido. Pero es juicio de identidad que no puede hacerse por la mera observación de dichas expresiones ni por la observación del contenido de cada una de ellas, sino que se obtiene

f ( c ) f ( )

f ( x )

58

g ( x ) f ( A )

f ( A )

g ( A ) c

f ( )

x  g ( )

f ( x )

( 8) a 

f ( x )

b 

g ( x )

f ( )

d 

f ( )

g ( )

g ( )

1 . ( d  → ( b  → a ) ) 2 . ( a ) f ( a )

→

3.

( a ) ( g ( a )

4.

( ( a ) ( g ( a )

→

( b  → ( d  → a ) ) A . 3 .

f ( c ) A . 9 .

→ →

( ( ( a ) ( g ( a ) 5 . g ( x )

→

g ( x )

f ( a ) ) f ( a ) )

→

→ →

f ( a ) ) )

( ( a ) ( g ( a )

( g ( x )

→

→

( g ( x )

→

→

f ( x ) ) S u s t . e n 2 . f ( A ) / g ( A ) ; c  / x  f ( x ) )

→

( g ( x )

→

( x ) ) )

f ( a ) )

→

f ( x ) ) M . P . 3 . 4 .

5. FORMA EN QUE FREGE demuestra el modo de inferencia Bárbara cuando la premisa menor, g( x), posee un contenido particular (arriba). En la parte inferior se indica, en símbolos actuales, ese mismo modo de inferencia indicando los axiomas que se utilizan y dónde realizar las sustituciones debidas.

113

F ( y )

F 

F ( y ) e 

F ( e ) F ( x , e )

c

d 

F ( d ) F ( c , d )

F ( c ) b

a 

F ( a ) F ( b ,a ) F ( b ) F ( x )

6. PRINCIPIO DE INDUCCION completa, que, en Frege, adopta la siguiente formulación: “Si  x tiene la propiedad F  que es hereditaria en la ƒ-sucesión, e y sigue a  x  en la ƒ-sucesión, entonces  y tiene la propiedad  F. ” La ilustración reproduce, sin utilizar ninguna abreviatura, la forma que adquiere el principio en la Ideografía. Indica, a la vez, las dificultades del simbolismo fregeano.

después de realizar unas previas determinaciones o construcciones. El  juicio, la aserción que tras estas construcciones se logra, es que ambos puntos son el mismo. Y esta aserción es lo que expresa el juicio de identidad. Aserción que Frege califica como  juicio sintético en terminología kantiana e incluso afirma que el mecanismo para alcanzar juicios de este tipo es un mecanismo válido para la creación de tales juicios.

L

o que pretende hacer ver Frege es que el signo “ ≡ ” simboliza la identidad de los contenidos de las expresiones entre las cuales se intercala. Pero ello supone una dificultad, ya que si el juicio se refiere a los nombres, a las expresiones entre las cuales se intercala, entonces la formulación de dicha identidad no sería un problema lógico ni geométrico, sino estrictamente gramatical. Es dificultad  vista por Frege posteriormente al Bs: ya que si en “ A ≡ B” se hablara sólo de los signos “A” y “B” entonces “no interesarían ya las cosas mismas, sino tan sólo nuestra manera de referirlas”. Es dificultad que pretenderá superar mediante el abandono del “contenido” que jamás ha definido, creando la distinción entre “sentido” y “referencia”. Distinción que le conduce a la posterior supresión de este tipo de identidad en beneficio de la igualdad matemática. El problema de la iden-

114

tidad en lógica vuelve a renacer como problema, aunque en general se vuelva a la concepción de identidad no entre nombres sino entre objetos. Por otro lado, la distinción fregeana entre “sentido” y “referencia” va a constituir el punto de apoyo de gran parte de la semántica filosófica de este siglo, aunque es distinción ausente del Bs. Para poder establecer la nueva constante lógica de generalidad, la cuantificación, Frege pasa a elaborar lo que considera uno de sus hallazgos fundamentales: el de función. Concepto que adopta del hacer matemático, así como la nota ción empleada, pero que estima de un carácter más general, al igual que adoptara de la aritmética la distinción de letras para  variables y letras para constantes; y adopción, pero ampliada, porque estima que ambos casos poseen un carácter más general que el que les sirve de modelo (parágrafo 10).

indeterminadas, mientras que la propia f un ción s e re presentará, igualmente, por una letra. Representación que Frege hace por “ Ø ( A)” para la función de un argumento y “Ø ( A, B)” para la de dos argumentos. Si al reemplazar “convenientemente” la letra entre paréntesis resulta que el contenido obtenido es capaz de ser convertido en juicio, en aserción, entonces es que el argumento satisface la función, es decir, posee la propiedad determinada por la misma. Y ello es lo que expresa la aserción correspondiente que vendrá representadapor “|— Ø( A)” que indica “ A  tiene la propiedad Ø”; mientras que la aserción “|— Ø ( A, B)” puede leerse como “ B está en la relación Ø con A”. Si se intercambian los argumentos  A y  B  entre sí en una función de dos argumentos, puede no tenerse una aserción y, de tenerse, puede no coincidir con la original.

E

n la Ideografía, Frege no da defipara hacer más claro, o aceptable, niciones, sino meramente reglas e s t a i n t r o d u c c i ó n , F r e g e de manejo de fórmulas. De aquí que comienza por unos ejemplos químicos Frege no establezca definición alguna con los cuales muestra cómo analiza de lo que sea una función. Tema al que una proposición no en sujeto y predi-  vo lv er á po st er io rmente en varios cado sino en argumento y función. Sea ensayos como los que he mencionado una expresión como “Juancito come antes. Tampoco indica cómo establehierba” (el ejemplo no es de Frege, cer la “conveniencia” en el reemplazo claramente). Si en lugar de “Juancito” de una indeterminada en el espacio se pone “Jaimito”, la expresión seguirá  vacío para obtener la aserción de una siendo válida. Se puede reemplazar el función. Igualmente, se mantiene término “Juancito” por otros términos alejado de los conceptos matemáticos o, con generalidad, por un lugar vacío: de dominio y contradominio o re“(m) come hierba”, y ello de manera corrido que podrían entrañar un tal que, al cubrir ese espacio vacío por aspecto extensional al interpretarse un término conveniente se tenga la como conjuntos o clases, aunque expresión completa que podrá o no ser ambos estén prácticamente explicita judicable. Y lo será cuando el término dos, dado que aquellos indeterminasea conveniente, en cuyo caso dicho dos que reemplacen el lugar vacío término poseerá la propiedad indi- constituirán el dominio de la función, cada por la otra parte de la expresión; mientras que los que sirvan para dar en este ejemplo, “Juancito” poseerá la la aserción constituirán el recorrido propiedad de comer hierba. Todos de la misma. Será posteriormente aquellos términos que permitan cubrir cuando introduzca la noción de “recoel espacio vacío constituirán los argu- rrido de valores”, obligado para la mentos , mientras que la propiedad caracterización del número natural que los mismos poseen, la de “comer como cardinal. Y así, en el parágrafo hierba”, constituye la   función  para 9 de Las leyes básicas de la aritmética , tales argumentos. Si ahora se toma la de 1893, afirmará: “La introducción de expresión “Juancito ama a Juancita”, la forma de simbolización de extensión en lugar de “Juancito” y “Juancita” de conceptos (recorrido de valores) me pueden colocarse otros términos por parece que es una de las más fructífeargumentos, por lo que la expresión ras extensiones de mi ideografía que general tendría dos espacios vacíos he hecho desde mi primera publica“(m) ama a (m)” y la función “ama a” ción sobre esta materia”. Introducción será una función de dos argumentos; que, sin embargo, le alejará, como como “(m) es menor que (m)”. El pro- reconoce en 1910, del carácter estricceso puede continuar generalizándose tamente formal explicitado en  Bs . para obtener funciones pluriargumen-  Alejamiento en el que ve una posible tales. causa de la aparición de las antinoLos espacios vacíos se representa- mias, ligadas, precisamente, a la rán por letras entre paréntesis, como noción de “extensión de concepto”.

 Y

TEMAS 1

 Además, Frege, en la explicación aserciones particulares. La concavique hace de la noción de función viene dad con la negación permite la exprea indicar la posibilidad de la cuan- sión de aserciones existenciales, en el tificación de predicado. Sus palabras: sentido de la lógica clásica. “también podemos considerar a Ø ( A) El manejo del cuantificador exige como una función del argumento Ø” algunas condiciones. Por lo pronto, (parágrafo 10). Una exposición siste- debe estar sometido a que cualquier mática de la lógica como cálculo puede sustitución que pueda hacerse en una no hacer uso de este tipo de cuantifi- función tiene que dar un contenido cación. Frege la emplea en varias que pueda convertirse en juicio: “Si ocasiones, fundamentalmente en su una combinación de signos que siguen último capítulo, al tratar de definir, a un trazo de contenido puede converpor medios estrictamente lógicos, la tirse en juicio, entonces esa posibilinoción de sucesión y el principio de dad permanece inalterada por una inducción completa. sustitución” (parágrafo 11). Además, Es el análisis de una proposición en la letra gótica situada en la concaviletra funcional y argumento el que per- dad del trazo de contenido aparece mite superar a Frege la clásica distin- como una variable ligada y, por ello, ción, de origen gramatical, entre sujeto es diferente a una variable libre (téry predicado. Análisis por el cual puede minos que no son de Frege, sí su establecer uno de los logros más definiti- concepto). La concavidad “delimita el  vos de la lógica matemática: la teoría alcance que cubre la generalidad inde la cuantificación. Siguiendo con la dicada por la letra. La letra gótica función, puede ocurrir que todo término retiene un significado fijo sólo dentro que se reemplace en el argumento de de su alcance propio; dentro de un una función posea esta propiedad; y la  juicio, la misma letra gótica puede expresión de este hecho viene simboli- ocurrir en alcances diferentes, sin que zada por Frege dotando al trazo de el significado atribuido a ella en un contenido de una concavidad en la cual alcance se extienda a ningún otro”. se coloque una letra gótica minúscula, Igualmente, el alcance de una letra la misma que debe situarse en el argu- gótica puede incluir otras, pero en este mento de la función. Es la aserción de caso debe tomarse la precaución de que todo cumple la propiedad Ø, y viene que las letras deban ser elegidas representada por diferentes, sin confundirlas. Ø( )

 Y según se vayan reemplazando las letras góticas pueden irse obteniendo

F

rege reconoce que hay casos en los cuales la sustitución no es posible, como cuando el contenido del juicio está bajo el alcance de la letra gótica,

7. MAQUINA CALCULADORA diseñada por Gottfried Wilhelm Leibniz, para multiplicar y dividir mediante la adición y la sustracción iterada. Quizá no llegó a construirse en su tiempo. Este modelo es una versión aplicada siguiendo sus indicaciones, construido en 1923. Frege pretende que su Ideografía sea

GRANDES MATEMÁTICOS

es decir, cuando esta letra tiene por alcance a la totalidad de la expresión en la cual inter viene. En este caso, sobra expresar la cuantificación. Y con deseo de distinguir estas dos posibilidades introduce otra notación para expresar la generalidad: emplear una letra itálica no precedida de cuantificación; así, “|— X  (a)”. Pero, condición que Frege impone, debe quedar abierta la posibilidad del paso de una a otra expresión. “Por ejemplo, en lugar de |—— X  (a) podemos escribir  X ( )

si a ocurre únicamente en los lugares de argumento de X (a).” No voy a detenerme más en lo que no es otra cosa que una descripción de las reglas básicas de la lógica cuantificacional o de predicados. Reglas con las que cualquier tratado comienza hoy día. Me bastaba indicar que ellas están expuestas con nitidez y rigor en este libro de 1879, cuando todavía en 1894 Peano estimaba que la teoría de la cuantificación era complicada, por lo que se limitaba a dar, no la teoría, sino ejemplos de la misma, aunque posteriormente, en 1897, la restableciera e incluso diera nombres a los distintos tipos de variables bajo los términos de real y aparente o libres y ligadas. Cuantificación que fue redescubierta no sólo por Peano, sino por Mitchell y

un cálculo lógico, pero también que refleje el pensamiento puro y ello en el sentido de que, para él, el signo es inseparable pero consecuente al contenido que representa. Los elementos fundamentales de la máquina eran ocho cilindros que portaban dientes de distinta longitud.

115

ALGEBRA DE BOOLE

CALCULO DE PROPOSICIONES

U (CONJUNTO UNIVERSO)

V (VERDADERO)

Ø (CONJUNTO VACIO)

F (FALSO)

a ,b ,c ,... (CONJUNTOS, SUBCONJUNTOS, ELEMENTOS)

p ,q ,r ,... (PROPOSICIONES)

a ∪ b  (REUNION: TODO a  Y TODO b )

p  v q   (DISYUNCION: O BIEN p  SOLO O q  SOLO, O AMBOS, SON VERDADEROS)

a ∩ b  (INTERSECCION: LO QUE a  Y b  TIENEN EN COMUN)

p  q  (CONJUNCION: AMBOS, p  Y q , SON VERDADEROS)

a = b  (IDENTIDAD: a  Y b  SON EL MISMO CONJUNTO)

p ≡ q  (EQUIVALENCIA, SI Y SOLO SI p  ES VERDADERO, q  ES VERDADERO)

a ' (COMPLEMENTARIO: RESTO DEL CONJUNTO UNIVERSO QUE NO ES a )

~ p  (NEGACION: p  ES FALSO)

a ∈ b  (INCLUSION: a  ES ELEMENTO DE b )

p ⊃ q  (IMPLICACION: SI p  ES VERDADERO, q  ES VERDADERO)

•

8. GEORGE BOOLE, desde 1847, y partiendo del hacer matemático, había realizado la construcción de una álgebra lógica, esto es, aplicar el álgebra para fund amentar la lógica. Boole parte de las nociones de clase, elemento de cl ase y operaciones con clases. El enfoque estriba en que las leyes del pensamiento, las leyes de la lógica, deben ser del mismo tipo que las que gobiernan el álgebra; es decir, la validez de los procesos del álgebra no depende de la interpretación de los signos, sino de las leyes de combinación de los mismos. Con estas ideas, Boole algebriza la lógica obteniendo un sistema algebraico que es, en términos actuales, un retículo booleano. Dicho retículo, como álgebra lógica o álgebra simbólica, presenta dos interpretaciones: por un lado, una álgebra de clases; por otro, una álgebra proposicional.

P

por Peirce independientemente de odría indicarse que las cuatro Frege y entre sí. reglas no están establecidas El hecho es que Frege agrega a las como modos de inferencia salvo el dos reglas del cálculo proposicional (la modus ponens, porque las mismas se explícita del modus ponens y la implí-  ju st if ic an po r mo do ex cl usivo en cita de sustitución simultánea de cuanto al uso simbólico. Y ello quizás  variables proposicionales) otras dos aparezca más claro en el capítulo 2, para el cálculo de predicados. La ter- en la exposición sistemática de la cera regla no es otra que la señalada lógica, ahora como cálculo, presentamás arriba: el paso de la expresión de ción que no es la de una teoría formal la generalidad sin cuantificador a la axiomática, sino más bien presentaexpresión con cuantificador; es la que ción sistemática de la lógica con ayuda hoy se denomina “regla de generaliza- de la Ideografía, de un simbolismo ción”. La cuarta regla la enuncia Frege adecuado. inmediatamente tras la anterior: Realizada la descripción del simbo“Es claro también que de lismo y, con él, una serie de prin cipios del pensamiento puro, Frege pasa a Ø (a) dar un tratamiento sistemático en su  A capítulo dos. Es la exposición del podemos derivar cálculo proposicional y del cálculo de predicados con identidad que, según Ø( ) acabo de indicar, aparece como expo A sición sistemática y no como una mera si  A es una expresión en la que a no construcción formal axiomática, como ocurre y si a ocupa únicamente posi- mero cálculo. Sin embargo, tal consciones en los lugares de argumento de trucción puede enfocarse de esta Ø (a)”. última manera tras la exposición de

116

la morfología correspondiente y entonces queda englobada como una exposición más formal axiomática. Es el enfoque muy posterior a Frege, pero que ha prevalecido en la exposición de las teorías formales, especialmente desde los entornos de 1930, tras los teoremas de incompletitud de sistemas formales; concepto de sistema formal inexistente en Frege e incluso opuesto a su concepción de la lógica, como he venido indicando. El objetivo de Frege es: “Parece natural derivar los juicios más complejos de los más simples, no para hacerlos más ciertos, lo que sería innecesario en muchos casos, sino en función de hacer manifiestas las relaciones de unos juicios con otros. Conocer meramente las leyes no es evidentemente lo mismo que conocerlas junto con las conexiones que tienen con otras” (parágrafo 13). De aquí que pueda llegarse a un pequeño número de leyes que, junto a las contenidas en las reglas, posean el contenido de todas las demás, aunque en estado no explicitado, no desarrollado. Y Frege señala cómo, para hacer ese desarrollo y esas conexiones visibles, es el modo deductivo de presentación el más adecuado. Bien entendido que no para hacer valer la certeza del pensamiento puro, o para construir juicios u obtener conceptos a partir de otros conceptos componiéndolos entre sí, sino para manifestar las relaciones de los juicios de ese pensamiento puro entre sí. El método deductivo como meramente organizativo, no como método de construcción de sistemas ni de obtención de nue vas proposiciones. Es una concepción, nuevamente, encontrada respecto al enfoque estrictamente formal axiomático del hacer matemático. El problema se centrará, entonces, en la elección de aquellas leyes que se adoptan como punto de partida; leyes que posean en sí todo el contenido de las restantes, junto a las reglas, y que por ello mismo permitan obtenerlas. Frege reconoce que pueden adoptarse distintos conjuntos de leyes de partida. Pero con esta breve presentación, perfila con relativa claridad lo que constituye un sistema lógico deductivo a la vez que establece, esta vez con radical precisión, la distinción entre ley y regla. En este punto Frege se aparta mucho más de la tendencia booleana, por ejemplo. Como indicará posteriormente, las expresiones “por lo tanto”, “por consiguiente”... indican inferencias, pero nunca explicitan las leyes por las cuales se realizan dichas infe-

TEMAS 1

rencias. Y lo que importa en el pensamiento puro no es sólo asegurarse de la certeza de la proposición inferida, sino poner de relieve la justificación justificación de dicha inferencia. De lo contrario, incluso pueden emplearse palabras pa labras como las anteriores sin que, de hecho, se tenga inferencia alguna. De aquí que en el Bs se expongan unos cuantos pensamientos puros en forma de cálculo, pero no en el aspecto booleano, boolea no, no como mero algoritmo manipulador al estilo del álgebra lógica o de la suma y el producto, sino al estilo de un algoritmo como conjunto de reglas que regulen el paso de una o dos proposiciones posiciones a una tercera. Con ello lo que se asegura es la exactitud del proceso demostrativo demostrativo y no la certeza de la proposición proposi ción obtenida. De aquí su permanente afirmación de que sólo hace uso de un único modo de inferencia, como regla, punto que fue descuidado, por ejemplo, por los constructores del álgebra lógica (y no sólo por Euclides, quien no explicita expli cita las reglas reglas de derivación de las que hace uso).

P

ara la presentación de su sistema Frege elige un total de nueve axiomas que, junto a las cuatro reglas ya mencio mencionadas, nadas, implican que el sistema fregeano es completo —en el sentido de completitud completitud de sistemas formales posterior—. La elección está presidida por el uso de cada una de las cuatro constantes lógicas primitivas.  Y de tal manera man era que Freg e no las explicita en bloque, sino que va deri va nd o de ca da gr up o de ax iomas io mas algunas algunas de sus consecuencias. Así, las fórmulas que enumera por (1), (2) y (8) constituyen los axiomas de condicionalidad; a ésta se agrega la negación y los axiomas que regulan ambos am bos conectivos vienen dados da dos por las fórmulas (28), (31) y (41). Son los seis axiomas que regulan el cálculo proposicional. Dos leyes más para la identidad de contenido (52) y (54). Esta última no es otra que la ley reflexiva de identidad, mientras que la primera expresa la ley de sustitución de la identidad. Es una expresión que manifiesta manifiesta el carácter ex tensional de la ley de identidad en el sentido sentido de que se pueden reemplazar dos variables de individuo entre sí en cualquier contexto sin  variar el valor veritativo veritativo de las expresiones en que se inter intercam cambian. bian. Axioma Axioma que puede interpretarse extensionale xtensionalmente en el sentido de que todo lo que se predique de un símbolo, de un argumento, tiene que predicarse carse del símbolo, del argumento al que sea idéntico. Ya apunté los problemas que el

GRANDES MATEMÁTICOS

concepto de identidad entre nom bres, no entre objetos, im plicaba y los posteriores cambios que el mismo Frege tuvo que realizar en este campo. Por último, Frege agrega una fórmula fórmula para regular la cuantificación, y que constituye su fórmula (58). De esta forma, Frege se permite escin escindir dir su sistema en varias zonas que van superponiéndose: cálculo impli im plica cacional cional y afirmativo; cálculo proposicio proposi cional nal completo; completo; cálculo de predicados; predica dos; lógica lógica de primer orden. Incluso al final de  Bs, como apéndice, incorpora un cuadro en el que va señalando qué fórmulas fórmulas se han ido utilizando para obtener cada una de las establecidas en Bs. La independencia o no de unas respecto a otras leyes tomadas como axiomas axio mas no parece plantearse ni siquiera como problema. Menos aún, los proble problemas mas de completitud o consistencia. Ello exigiría un cambio epistemológico y admitir como punto de partida no el concepto, con cepto, sino el sistema formal. Y ya he indicado varias veces que ello supondría una posición opuesta a la sostenida por Frege. En cuanto a la independencia, como demostró Luka Lukasiewicz siewicz en 1930, la tercera ley de condicionalidad es consecuencia consecuencia de las dos primeras y el sistema proposicional puede reducirse a sólo tres axiomas, siendo los dos primeros los de Frege y reemplazando los otros tres por el axioma |— (a → b) → (–b → –a), escrito en notación, por supuesto, no fregeana.

Construida la Ideografía, Frege se cree en condiciones de pasar a su obj etivo central: fundamentar la aritmética. Y, para ello, en  Bs, en su tercer y último capítulo, muestra la posibilidad de este lenguaje de fórmulas para el pensamiento pensamiento puro, para la construcción de la aritmética con independencia a cualquier cualquier contenido de los sentidos o de cualquier intuición a priori . Especialmente, Especialmente, se limita a una de las claves en dicha aritmética: aritméti ca: la noción de sucesión que entraña una teoría de ordinales finitos. finitos. En particular introduce las nociones de antecesor, antecesor propio, correspon corresponden dencia cia unívoca y orden lineal (fórmulas, respectivamente, 76, 99, 115 y 133, con la que termina  Bs). Y trata de mostrar que la inducción completa puede ser incluida, con estas nociones, bajo el proceso de deducción, bajo el único úni co modo de inferencia deductivo válido.

N

o voy a tratar, aquí, de este aspecto final de Bs, que sólo constituye un inicio de la fundamentación de la aritmética por parte de Frege y que, por ello, éste modifica en obras posteriores. Voy a mencionar, por modo modo exclusivo, no ya algunas proposiciones, ciones, con sus demostraciones, demostraciones, sino algunas de las definiciones definicio nes que indiquen tanto la potencia de la Ideografía como el peligro de dicha po tencia, especialmente las nociones de “propiedad hereditaria” y “antecesor de”, por su influencia en la obra de Carnap, Carnap, Quine y, por supuesto, Russell. La noción de antecesor la trata de caracterizar caracterizar Frege en términos, siempre, de una relación binaria ƒ, dada,

TEOREMA 1

ALFABETO

TEOREMA 2

GRAMATICA

TEOREMA 3

AXIOMAS

TEOREMA 5

REGLAS INFERENCIA

TEOREMA 4  …

9. SISTEMAS FORMALES ideados por David Hilbert. Contienen un algoritmo que verifica de un modo mecánico la validez de todas las pruebas que puedan construirse a partir de un sistema. El sistema formal consta de: un alfabeto de símbolos con ayuda de los cuales puedan escribirse todas las proposiciones; proposiciones; una gramática que determina cuál es la forma como deben combinarse los símbolos; un conjunto de axiomas, o principios adoptados sin demostra r, y reglas de inferencia para reducir los teoremas a partir de los axiomas. Se obtienen los teoremas al escribir todas las proposiciones gramaticales posibles en el sistema y verificarlas para determinar determinar cuáles son los concordes con las reglas de inferencia y, por tanto, válidas. Por ser esta operación realizable a través de un algoritmo puede llevarla a cabo un ordenador. En 1931 Kurt Gödel demostró que todos los sistemas formales venían a ser incompletos.

117

aunque indeterminada. Para hacer claro su pensamiento, pensamiento, aunque estima que el lenguaje ordinario, aquí, muestra aún más clara mente su impotencia para la auténtica expresión de estas nociones, Frege pone un ejemplo. Sea ƒ( x indi ca  x, y,) la relación que indica que y es hijo de x, y sea Fa la circunstancia, la propiedad de que a es un ser humano. Entonces cabe indicar que la propiedad F  es  es hereditaria res pecto a la relación ƒ ya que si y es hijo de x, y  x es un ser humano, entonces  y también es un ser humano. La propiedad propie dad de “ser humano” es hereditaria respecto a la relación “ser hijo de”, ya que el hijo de un ser humano es un ser humano. humano. Es la clave de la afirmación de que una propiedad F  sea  sea hereditaria respecto respecto a una ƒ-sucesión. Que en formali formalización zación no fregeana sería:  Her F = (b) ( Fb  Fb → (a)(ƒ(b, a) → Fa))

Inmediatamente pasa a caracterizar la relación “ x es antecesor de  y en la ƒ-sucesión” o “ y   sigue a  x   en la ƒ-sucesión”, en términos de la noción de pro piedad hereditaria F . Si se tiene la rela relación ción ƒ( x  x,  y) y si se verifica que cualquier elemento que esté ƒ-relacionado con x posee la propiedad  también posee la propie F , entonces y también dad  F , cabe decir que  y es sucesor de  x. Es lo que constituye la Def. 76 en Frege y que voy a representar en la forma  xAy = ( F   F ))(( HerF   HerF → [(a) ( f   f ( x  x, a) → Fa) → Fy)]

Ello no significa que la ƒ-sucesión comience comience por un x determinado. Es lo que precisará Frege en su Def. 99, donde establece: establece: “Si  z es idéntico con  x o sigue a x en la ƒ-sucesión, entonces digo:  z  pertenece a la ƒ-sucesión que  ‘z pertenece comienza con  x’ o  x  ‘x  pertenece a la ƒ-sucesión que termina con z’.”

L

o que quiero destacar es que en la definición de antecesor tiene que utilizar utilizar la cuantificación de predicado. Inter viene ya el “para toda propiedad  F ”. ”. Le es inevitable para poder caracterizar la inducción completa que enuncia en los términos: “Si   que es heredi x tiene la propiedad  F  que taria en la ƒ-sucesión, y si  y sigue  sigue a x en la ƒ-sucesión, entonces  y  tiene la propiedad F.”  Fx → [( HerF  HerF → ( xAy  xAy → Fy)]

Como el punto de partida, la aritmética, es el mismo, Frege ha de coincidir aquí, anticipándose, con Dedekind y Peano. La diferencia estriba en que estos dos últimos tratan de escribir las propie dades aritméticas fun da-

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mentales, la estructura que subyace a afirmación de encontrarse en sólo la lasmismas,limitándoseaestablecerlas establecerlas extensión de un concepto. Potencia Potencia de modo axiomático, encubierto en que sólo posteriormente precisará Dedekind, explícito en Peano. Frege Frege al distinguir entre “función” y quiere ir más allá y tratará de definir “concepto” de forma tal que impida el soporte del razonamiento razonamiento inductivo que un predicado pueda ser predicado matemático, el número natural, natural, ya de sí mismo, al admitir como arguque el concepto de sucesión introdu- mentos sólo objetos. cido en  Bs  se le muestra como más general que el de cadena (de hecho, el e reiterado que el Begriffsschrift ejemplo aducido permite la ordenación or denación constituye el primer tratado no lineal, sino arbórea), siendo esta sistemático de lógica matemática. Al última propiedad la caracterizadora paso que otros autores (fundamentalde los naturales. Para ello debe mente los seguidores de la línea algeintroducir introducir la extensión del concepto, brizadora de la lógica, opuesta a la adoptando como paradigma la defini- fregeana, iniciada iniciada por Boole y seguida ción por abstracción abs tracción mediante la por Peano y su escuela) fueron avanrelación de equivalencia. equivalencia. Y en esta zando en líneas parecidas, redesculínea coincide también con Cantor, briendo y reelaborando elementos de quien la inicia hacia 1874 en corres- esta lógica, lógica, como por ejemplo la clave pondencia con Dedekind. Este ir más de la misma, la cuantificación. allá respecto a Dedekind y Peano lo Elementos que plasmará Russell en la manifestará Frege en 1884, en los Fun- obra de propósitos de 1903, Los prindamentos de la aritmética, ya que el cipios de la matemática  y culminarán  Bs no contiene las nociones de clase o Russell y Whitehead en  Pri nci pia de extensión de conceptos, mantenién-  Mathema primer tra Mathematica tica. Pero, como primer dose en un plano de carácter estricta- bajo que condensa en sí todas las mente formal como comentará Frege innovaciones de la lógica matemática, en 1910. Plano formal en el que cree el  Bs constituye un libro modelo. En  ver la posibilidad posib ilidad de evitar antino - él, y en los dos primeros capítulos, se mias. exponen expo nen con total precisión y nitidez, como he intentado indicar, no sólo la rrepentimiento tardío, pero que cuantificación cuantificación y las reglas de su uso, tampoco hubiera impedido dicha sino la previa distinción del concepto aparición, porque la misma se encuen- de función función lógica de uno o varios argutra lar vada en  Bs, en la afirmación mentos, la distinción y uso sistemático que he citado citado de que una función Ø( A  A) de letras para variables y constantes, puede servir como argumento para Ø, qué sea un sistema lógico deductivo y  junto al uso sin limitaciones del cuan- una exposición exposición de dicho sistema donde tificador funcional. Es lo que aparece las derivaciones deriva ciones se realizan atenen la defini ción de antecesor, en algu- diendo exclusivamente exclusivamente a la forma de nas demostraciones demostraciones de propiedades de las expresiones, se distingue entre ley las sucesiones, donde roza la antino- y regla (distinción que sólo desde 1931 mia, como en la fórmula (91), que puede volver a suprimirse suprimirse gracias a explicita: los teoremas de completitud y de “De la proposición ( a), ‘todo resul- Herbrand, aunque a costa de sacrifitado de una aplicación del proceso ƒ a car el concepto estricto de sistema sis tema  x  tiene la propiedad  F ’,’, puede infe- lógico deductivo). Desde este punto de rirse, para toda F , que todo resultado  vista, como libro de centenario de la de una aplicación aplicación del proceso ƒ a  x lógica matemática, y a pesar de que tiene la propiedad F . De aquí también contiene muchos otros puntos de induse puede inferir de la proposición ( a) dable valor, el tópico puede admitirse y la proposición de que la propiedad  F  respecto al “nacimiento” de la lógica es hereditaria en la ƒ-sucesión, ƒ -sucesión, para matemática. Quizá también la afirtodo  F , que todo resultado resultado de una mación ma ción de Bochenski Bo chenski de que sólo aplicación del proceso ƒ a  x  tiene la puede puede compararse con otra obra: con propiedad F .” .” Aris tó Los ana analít lít icos ico s primer pri meros os   de AristóOrigen larvado de las antinomias, teles. de la impredicatividad o círculo Una obra de este valor debería ha ber comportado una indudable e  vicioso,  vicioso, es el “todas las propiedades” haber  junto a la admisión admisión de que una propie- inmediata repercusión. Sin embar go, dad pueda ser propiedad de ella a lo largo del breve recorrido, he ido misma. En otras palabras, palabras, se centra indicando que muchas innovaciones en la potencia de la Ideografía Ideo grafía para de Frege fueron redescubiertas postedespués de 1879. Lo poder expresar cualquier tipo de cuan- riormente al Bs, después tificación, sin limitación alguna al guna y no, cual implica la afirmación afirma ción de que tal so bre como por otro lado es correcto, correcto, en la influencia directa e inmediata sobre

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la lógica matemática no existió. existió. Hubo mental de palabras como asidero de la cantoriana y la de Frege, con elogio influencia, pero posterior, aunque construcción construcción y el razonamiento. En el del mismo tipo que el russelliano para ciertamente no en el centenario; sí a caso matemático, requiere una jerga este último. partir de la obra de Russell, funda- que permite permite una mezcla entre signos La consecuencia me parece muy mentalmente. Ello obliga a unas con- especiales y palabras del lenguaje clara: no se tenía necesidad de leer a sideraciones, especialmente referidas ordinario para vehicular el pensa- Frege, de hacer el esfuerzo de romper al simbolismo creado por Frege. miento. Si éste carece de dicho sopor so porte, te, con hábitos muy arraigados de lectura Es simbolismo que muestra una tendrá que recurrir al proporcionado para alcanzar lo ya alcanzado y puesto serie de ventajas indudables para el por algún tipo de imagen sígnica. Es en notación más clara y legible, más manejo estrictamente formal. La com- lo que viene a ofrecer Frege. Pero una apta para el pensamiento dirigido, binación del condicional con la nega- imagen despo jada de su condición de conceptual. conceptual. Incluso hoy, la vuelta a la ción y la concavidad concavidad permiten obtener imagen y, por tanto, inútil para el lectura lectura de Frege se realiza no en funcualquier tipo de expresiones, porque pensamiento dirigido, dirigido, conceptual; que ción de su Ideografía o de su sistema la flexibilidad de este simbolismo es dejaría de ser pensamiento pensamiento dirigido, lógico (que no constituyen en el muy superior a cualquier cualquier otro. Logra pensamiento puro en cuanto se dejara momento mo mento actual más que un mero tanto la supresión de paréntesis como arrastrar estrictamente por la imagen primer curso inicial de lógica matemámostrar cuál es la estructura es tructura de la sígnica, ya que alcanzaría, en todo tica) sino en función de sus ensayos expresión total; cosa que no consigue caso, no el estado intelectual, sino el lógico-semánticos, en función función de la la notación polaca, por ejemplo. Sin de ensoñación. profundidad de sus análisis respecto embargo, también presenta algunas Por otro lado, fue el propio hecho de a puntos clave de lo que estimar filodesventajas. Por lo pronto, la ocupa- que Peano y sobre todo Russell hubie- sofía de la lógica. ción de mucho espacio para las deriva- ran llegado a las mismas consecuenciones, a pesar de todos los procesos procesos cias de construcción lógica de Frege, sto último no implica, en modo abreviadores que se pueden ir creando. crean do. y Russell Russell lo hiciera saber así, incluso alguno, que su influencia no haya  Además, no es fácil para la imprenta. imprenta. publicando publicando un elogioso resumen de las sido extraordinaria, pero a través, por Razones, ambas, a las que el mismo mismo ideas del matemático alemán para, a una parte, de Russell y Russell-WhiteFrege replicó en 1896, comparando su la vez, señalar la aparición de la anti- head en Principia  Principia Matemathica Matemathica, y por Ideografía con la obra de Peano, al nomia que invalidaba el sistema fre- otra, de Carnap y Wittgenstein, quieindicar indicar que no es ante las dificultades geano. Y si esto ocurría en la co nstruc- nes aceptaron, entre otras cuestiones, del impresor ante las que el lógico ción lógica, se debe tener presente otro la distinción distinción fregeana de la existencia matemático matemático debe rendirse, porque “la punto. Frege había creado la Ideo- de sólo dos tipos de juicios, analíticos analítico s y comodidad comodidad del impresor no es cierta- grafía con un objetivo: objetivo: fundamentar sintéticos, distinción base para el mente el summum summum bonum”. Igual- la aritmética y no con el puro y exclu- neopositi vismo  vismo lógico, así como el crimente, mente, el hecho de que no siga la sivo deseo de crear un sistema lógico terio de aplicar la lógica matemática escritura tradicional tradi cional de izquierda a en sí. Sistema lógico que no era para para un análisis profundo del lengua je, derecha y de arriba arriba abajo, sino que Frege más que una pura herramienta. herramienta. tanto del filosófico como del científico. invierta este orden, puede suponer suponer un  Y en esta labor se había opuesto, por Bien entendido entendido que como aplicación, no primer punto de falta de hábito. un lado, a la tradición booleana boo leana y no como campo de estudio propio. sólo en cuanto al simbolismo aritmé- Influencia determinante determinante para lo que o son, sin embargo, objeciones tico (lo cual sería secundario, como  vino en estimarse estimarse problema filosófico que puedan estimarse suficien- mostró Peano con su simbolismo), sino central del siglo si glo  XX : la semántica, temente fuertes, fuertes, aunque las esgri- fundamentalmente al punto de par- inconcebible sin la obra de Frege en la miera el propio Russell. Rus sell. No constitu- tida, a la creencia base de Boole y de forma que adoptó. Influencia que no ha yen, desde mi punto de vista, y contra prácticamente todos los matemáticos: tenido paralelo en el hacer intrínseco lo que ha venido sosteniéndose, los la axiomatización como elemento matemático, ya que éste siguió la línea constitu tivo central del hacer mate- cantoriana —línea paralela motivos únicos por los cuales la Ideo- constitutivo paralela a la de grafía contenida en  Bs, y continua- mático. Por otro lado, Frege, al funda- Frege si se identifica con junt o con mente modificada por Frege hasta hasta mentar la aritmética, tiene que intro- extensión de concepto— a la vez que alcanzar lo que estima su per fección ducir la noción de clase, aunque dicho hacer se orienta por la axiomatien Las leyes leyes básicas básicas de la aritmétic aritmética a , no pretenda realizarlo con un enfoque zación formal, orientación opuesta y fuera asumida por el hacer lógico intensional y no extensional. Y en este contraria a las creencias de partida matemático. matemático. Hacer Hace r que llegó a prefe- aspecto, Dedekind y Cantor habían fregeanas. Frege, en este punto, quedó alcanza dos fuera de cauce. rir la notación de Peano y su escuela, logrado no sólo los puntos alcanzados aceptada por Russell y Whitehead con por Frege, sino que habían permi tido algunas modi modificaciones, ficaciones, o la de Hilbert ir más allá en el hacer estrictamente y su escuela. Veo dos motivos, cuando matemático creando nuevos campos BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA menos, por los cuales el simbolismo de investigación. Punto en el que fuefregeano fre geano no fue admitido ni en su ron ayudados por Peano, quien no se ESTUDIO DE LOS FUNDAMENTOS DE LA ARITMÉTICA DE FREGE. (Apéndice de Frege. época, ni posteriormente, y con el limitó limitó a formular un simbolismo adeFundamentos de la Aritmética.) Cl. Imcuado para realizar una crítica del rechazo de su simbolismo se recha- cuado bert. Ed. Laia, 1972. Versión de Ulises zaba el contenido que comportaba. pensamiento pensamiento puro, sino que ideó un Moulines. simbolismo apto y flexible para reprePor un lado, existe un factor psico- simbolismo EL DESARROLLO DE LA LÓGICA. W. y M. lógico que enlaza pensamiento y len- sentar cualquier tipo de expresión Kneale. Ed. Tecnos, 1972. Tradn. de Jaguaje y que q ue Frege no tuvo en cuen ta. matemática, aunque el rigor rigor concepvier Muguerza. SENTIDO Y REFERENCIA EN LA LÓGICA DE Antes  Y si lo tuvo fue, precisamente, para tual fuera menor que el de Frege. Antes GOTTLOB FREGE. Christian Thiel. Ed. Teccombatirlo. combatirlo. El pensamiento dirigido, de Russell, Dedekind había indicado nos, 1972. Tradn. de José Sanmartín. construc ción, la conceptual, concep tual, exige la manipulación los paralelos entre su construcción,

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Srinivasa Ramanujan Jonathan M. Borwein y Peter B. Borwein  Este genio matemático indio ideó un método de extraordinaria eficacia para calcular el valor de π. Su procedimiento forma parte de algoritmos que lo calculan con millones de cifras decimales

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l número π, que es la razón de la circunferencia de un círculo cualquiera al diámetro del mismo, se calculó en 1987 con una precisión sin precedentes: más de 100 millones de cifras decimales. Ese mismo año se cumplió también el centenario del nacimiento de Srini vasa Ramanujan, genio matemático indio, bastante enigmático, que pasó gran parte de su bre ve vida solo y enfermo. La verdad es que ambos acontecimientos estaban estrechamente emparentados, porque el método básico que subyace a los cálculos más recientes de π lo ideó Ramanujan, por mucho que su puesta en práctica hu biera de esperar a la formulación de los correspondientes algoritmos (lo que han conseguido diversos investigadores, entre ellos, los autores), al advenimiento de los moder nos superordenadores y a la invención de nuevos procedimientos para la multiplicación de números.  Ap ar te de co ns ti tu ir un ca mp o donde establecer marcas exóticas, el empeño puesto en determinar millones de cifras decimales del número π parece, a primera vista, bastante fútil. Bastarían 39 cifras decimales de π para calcular con error menor que el radio de un átomo de hidrógeno el perímetro de una circunferencia capaz de abarcar la totalidad del universo conocido. Cuesta imaginar situaciones físicas que re quieran mayor número de cifras decimales. ¿Por qué razón no se dan por satisfechos los matemáticos con los 50 primeros decimales de π, por poner una cifra? Son varias las respuestas que pueden darse. Una, que el cálculo de π se ha convertido en una especie de banco

JONATHAN M. BORWEIN y PETER B. BORWEIN son hermanos y profesores universitarios de matemáticas.

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de pruebas computacional: proporciona una medida del refinamiento y fiabilidad de los ordenadores que lo efectúan. Por otra parte, la búsqueda de valores de π cada vez más precisos lle va a los matemáticos a desconcertantes e inesperados reductos de la teoría de números. Otro motivo, más ingenuo, es sencillamente que el problema “está ahí”. Y en efecto, desde hace más de dos milenios y medio, el número π  viene constituyendo un elemento permanente de la cultura matemática.  Además, siempre cabe la posibilidad de que tales cálculos arrojen luz sobre algunos de los misterios que rodean a π, una constante universal que, a pesar de lo relativamente elemental de su naturaleza, no acaba de comprenderse. Por ejemplo, aunque se ha demostrado que jamás podrá evaluarse π con exac titud sometiendo enteros positivos a una combinación de operaciones de adición, sustracción, multiplicación , división y extracción de raíces, hasta la fecha no se ha probado que las cifras de π sigan una distribución aleatoria (y, por tanto, que todas las cifras, de 0 a 9, aparezcan con la misma frecuencia). Cabe en lo posible, aunque es sumamente improbable que, a partir de un momento dado, todos los dígitos de π sean exclusivamente 0 o 1, o que presenten alguna otra regularidad. Además, π aparece en toda clase de lugares inesperados, que nada tienen que  ver con las circunferencias. Por ejemplo, tomando un número al azar en el conjunto de todos los enteros, la probabilidad de que tal número carezca de factores primos repetidos es seis dividido por el cuadrado de π. Igual que otros eminentes matemáticos, Ramanujan quedó cautivado por la fascinación que ejerce el número π. Los ingredientes de las modernas técnicas de cálculo de π se cuentan entre los tesoros matemáticos que han

ido aflorando a causa del renovado interés por la obra de Ramanujan. No obstante, gran parte de su obra sigue inaccesible a los investigadores. El cuerpo principal de los trabajos de Ramanujan está recogido en sus “Cuadernos”, conjuntos de anotaciones personales que Ramanujan redactó con una nomenclatura propia y particular. Por si los matemáticos que han estudiado los “Cuadernos” no tuvieran suficientes dificultades, se da la circunstancia de que Ramanu jan no solía consignar demostraciones formales de sus teoremas. Parece próxima a concluir la tarea de desciframiento y preparación de esos “Cuadernos” que está realizando Bruce C. Berndt, de la Universidad de Illinois en Urbana-Champaign.

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ue sepamos, jamás se ha realizado una recopilación matemática de alcance y dificultad semejantes. El empeño ciertamente valdrá la pena. La herencia que Ramanujan dejó en sus “Cuadernos” no sólo promete enriquecer a la matemática pura, sino que hallará aplicaciones en diversos campos de la física matemática. Por ejemplo, Rodney J. Baxter, de la Universidad Nacional Australiana, reconoce que los descubrimientos de Ramanujan le ayudaron a resolver problemas de mecánica estadística, como el llamado modelo del hexágono duro, que estudia el comportamiento de un sistema de partículas que interactúan entre sí y se hallan repartidas sobre una rejilla similar a un panal.  Análogamente, Carlos J. Moreno, de la Universidad de la Ciudad de Nueva  York, y Freeman J. Dyson, del Instituto de Estudios Avanzados, han señalado que los físicos están comenzando a aplicar trabajos de Ramanujan en la teoría de supercuerdas. La talla matemática de Ramanujan nos deja todavía más asombrados

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habida cuenta de lo reducida que fue su educación formal. Nació el 22 de diciembre de 1887 en Erode (India meridional) en el seno de una familia  venida a menos de la casta de los brahmanes. Se crió en Kumbakonam, donde su padre ejercía de contable de un pañero. Pronto se reconoció su precocidad matemática, concediéndosele, a la edad de siete años, una beca para asistir a la escuela pública del lugar. Según parece, les recitaba fórmulas matemáticas a sus compañeros de clase, entre otras, muchas cifras decimales del número π.  A los doce años, Ramanujan dominaba el contenido del tratado de trigonometría de S. L. Loney,  Plane Tri gonometry , obra bastante completa sobre el tema, en la que figuraba un análisis de las sumas y productos de sucesiones infinitas que más adelante desempeñarían en sus trabajos tan prominente papel. (Una sucesión infinita es una ristra de términos que no tiene fin, a menudo generados mediante un sencilla formula. En el contexto que nos ocupa, las sucesiones de interés son aquellas cuyos términos producen, al sumarlos o multiplicarlos, un valor finito y perfectamente identificable. En el caso de que se proceda a sumar los sucesivos términos de una sucesión, la expresión resultante se denomina serie; y si a multiplicarlos, producto.) Tres años después le prestaron la  Synopsis of  Elementary Results in Pure Mathematics, una relación de unos 6000 teoremas (la mayoría de los cuales venían sin demostración) recopilada por G. S. Carr, un profesor de la Uni versidad de Cambridge. Esos dos libros constituyeron la formación matemática básica de Ramanujan.

presidida por un ingeniero británico,  Algunas horas más tarde habían lleSir Francis Spring, y cuyo director gado a un veredicto: tenían ante sí la gerente era V. Ramaswami Aiyar, obra de un genio, no la de un chiflado. fundador de la Sociedad Matemática (Según su propia “escala de talento India. Ambos animaron a Ramanujan puro” con la que graduaba a los matepara que comunicase sus resultados a máticos, más tarde Hardy concedería tres distinguidos matemáticos britá- un 100 a Ramanujan, un 30 a Littlewood nicos. Según parece, dos de ellos no le y un 25 a sí mismo. El matemático respondieron; sí le contestó G. H. alemán Da vid Hilbert, el más influHardy, de Cambridge, tenido en nues- yente de su época, sólo merecería un tros días por el más eminente de los 80.) Hardy describió la revelación y sus matemáticos británicos de la época. consecuencias como el incidente más Hardy, habituado como estaba a romántico de su vida. Escribió que recibir cartas de excéntricos convenci- algunas de las fórmulas de Ramanujan dos de ser grandes matemáticos, estuvo le desbordaron por completo y que, ello a punto de desechar a primera vista la no obstante, “forzoso era que fueran carta de Ramanujan el día mismo que  verdaderas, porque de no serlo, nadie la recibió, el 16 de enero de 1913. Pero habría tenido la imaginación necesaria aquella noche, después de la cena, para inventarlas”. Hardy y un colega amigo suyo, John E. Hardy invitó inmediatamente a Littlewood, se sentaron a descifrar una Ramanujan a Cambridge. Pese a las lista de 120 fórmulas y teoremas que fuertes objeciones de su madre, por no Ramanujan había añadido a la carta. hablar de sus propias reservas, Rama-

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n 1903 Ramanujan fue admitido en un colegio universitario de la localidad. Sin embargo, la absoluta dedicación a sus diversiones matemáticas le hizo fracasar en los exámenes, situación que se repitió cuatro años después en otro centro universitario de Madrás. Ramanujan dejó a un lado su vocación —al menos temporalmente— para buscar un empleo tras contraer matrimonio, en 1909. R. Ra machandra Rao, un adinerado mecenas matemático, le concedió un estipendio mensual basándose en las favorables recomendaciones de varios matemáticos indios y en los hallazgos que Ramanujan había anotado ya en sus “Cuadernos”. En 1912, deseando un trabajo más normal, ocupó una plaza en las oficinas de la Junta del Puerto de Madrás,

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1. SRINIVASA RAMANUJAN nació en la India en 1887. Pese a la escasa educación formal que recibió, reconstruyó casi por sí solo gran parte del edificio de la teoría de números y lo llevó a nuevas alturas, aportándole numerosas fórmulas y teoremas originales. Como tantos otros ilustres matemáticos antes que él, Ramanujan sucumbió a la fascinación del número π, que es la razón entre la circunferencia de un circulo cualquiera y su diámetro. Basándose en su investigación de las funciones modulares [véase el recuadro de la página 124], Ramanujan dio expresiones exactas de π y dedujo para ellas valores aproximados.

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nu jan partió para Inglaterra en marzo de 1914. Durante los cinco años si guientes, Hardy y Ramanujan trabajaron codo con codo en el Trinity College. La destreza técnica de Hardy, unida a la brillantez “en rama” de Ramanujan, fructificaron en una colaboración sin

par. Publicaron conjuntamente una serie de artículos seminales sobre las propiedades de diversas funciones aritméticas y prepararon el terreno para afrontar problemas como: ¿cuántos di visores primos es probable que tenga un número dado? ¿De cuántas

2. METODO DE ARQUIMEDES para el cálculo del número π; consistía en inscribir y circunscribir polígonos regulares (polígonos cuyos lados tienen todos la misma longitud) en un círculo de diámetro unidad. Los perímetros de los polígonos inscritos y circunscritos servían de cota inferior y superior para el valor de π. Para calcular los perímetros de los polígonos pueden utilizarse hoy las funciones seno y tangente, como se muestra aquí, pero Arquímedes tuvo que desarrollar relaciones equivalentes basadas en construcciones geométricas. Valiéndose de polígonos de 96 lados determinó que π es mayor que 310 / 71, y menor que 31 / 7.

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maneras distintas puede expresarse un número en forma de suma de enteros positivos menores que él? En 1917 Ramanujan fue admitido como miembro numerario de la Royal Society de Londres y también del Trinity College, siendo el primer indio al que se concedía tal honor. Empero, conforme crecía su importancia, su salud se deterioraba gravemente, en un declive acelerado tal vez por la dificultad de mantener una dieta estrictamente vegetariana en una Inglaterra sometida a racionamiento a causa de la guerra. Sus reiteradas  visitas a sanato rios no impidieron que Ramanujan mantuviera la producción de nuevos resultados. En 1919, cuando la paz devolvió la seguridad a los via jes, Ramanujan regresó a la India. Convertido en ídolo de los jóvenes intelectuales indios, Ramanujan murió el 26 de abril de 1920, de una enfermedad diagnosticada a la sazón como tuberculosis, pero que, según parece hoy, debió estar causada por una grave deficiencia vitamínica. Fiel hasta el fin a las matemáticas, Ramanujan no aflojó el paso a pesar de los sufrimientos de los últimos meses de su vida, y produjo una no table obra recogida en el llamado “Cuaderno perdido”. El trabajo de Ramanujan sobre el número π fue fruto, en buena medida, de sus investigaciones sobre las ecuaciones modulares, posiblemente el tema que más a conciencia abordan sus “Cuadernos”. A grandes rasgos, una ecuación modular es una relación algebraica entre una función expresada mediante una variable  x  —en notación matemática  ƒ ( x )— y esa misma función dada a partir de potencias enteras de  x; por ejemplo  ƒ ( x2),  ƒ ( x3) o ƒ ( x4). El “orden” de la ecuación modular está determinado por el exponente de la potencia entera. La ecuación modular más sencilla es la de segundo orden: ƒ( x) = 2√ (ƒ x2)  / [1 + ƒ( x2)]. Evidentemente, no todas las funciones satisfarán una ecuación modular, pero existe una clase de funciones, las llamadas modulares, que sí la verifican. Estas funciones tienen diversas y sorprendentes propiedades de simetría que les reservan un lugar especial en las matemáticas. Ramanujan no tuvo par en su capacidad para encontrar soluciones de ecuaciones modulares que verificasen además otras condiciones. Tales soluciones reciben el nombre de valores singulares. Resulta que, en ciertos casos, al resolver la ecuación en busca de valores singulares surgen números cuyos logaritmos naturales coinciden

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con π (multiplicado por una constante) hasta un número sorprendente de cifras decimales [véase el recuadro de la página 124 ]. Aplicando con extraordinario virtuosismo esa técnica general, Ramanujan produjo multitud de notables series infinitas, amén de expresiones explícitas, que son aproximaciones de π. Algunas de ellas se dan en el único artículo formal que Ramanujan dedicó al tema,  Modular  Equations and Ap proximations to π, publicado en 1914.

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os esfuerzos de Ramanujan por obtener aproximaciones de π forman parte de una tradición venerable. Las primeras civilizaciones indoeuropeas ya tenían conciencia de que el área del círculo es proporcional al cuadrado de su radio, y de que su circunferencia es directamente proporcional al diámetro. Sin embargo, resulta mucho menos claro cuándo se comprendió por vez primera que la razón de la circunferencia de un círculo cualquiera a su diámetro y la razón del área de cualquier circulo al cuadrado de su radio eran la misma constante, simbolizada en nuestros días 3. POR SUMAS O PRODUCTOS de términos de sucesiones infinitas apropiadas se por la letra griega π. (El símbolo, del que obtienen valores de π (dividido por una constante) o de su recíproco. Las dos pritoma nombre la constante, se incorporó meras sucesiones, descubiertas por los matemáticos John Wallis y James Gregory, tardíamente a las matemáticas; lo se cuentan seguramente entre las más conocidas, pero resultan inútiles para realiintrodujo en 1706 el escritor y matemá- zar el cómputo. Cien años de cálculo ininterrumpido en un superordenador programado para sumar o multiplicar los términos de una cualquiera de esas sucesiones tico inglés William Jones y lo popularizó ni siquiera proporcionarían 100 cifras exactas de π. La fórmula descubierta por el matemático suizo Leonhard Euler en John Machin facilitó la evaluación de la constante, pues el cálculo diferencial perel siglo  XVIII.) mite expresar el arco tangente de un número, x , mediante la suma de los términos  Arquímedes de Siracusa, el mayor de una serie, cuya convergencia hacia el verdadero valor del arco tangente es t anto matemático de la antigüedad, estable- más rápida cuanto menor es x. Los cálculos del valor de π realizados desde principios ció rigurosamente la equivalencia de del siglo  XVIII hasta principios de la década de 1970 se fundaron en variantes de la fórmula de Machin. La suma de la serie de Ramanujan converge hacia el verdadero ambas razones en su tratado Medición valor de 1/π mucho más rápidamente: cada uno de los sucesivas términos aporta de un círculo . Calculó asimismo un alrededor de 8 dígitos exactos más. La últ ima serie, formulada por los autores, aña valor de π basándose en principios de unas 25 cifras por término; el primer término (para el que n  es igual a cero) matemáticos y no en la medición proporciona un número que coincide con π hasta 24 cifras decimales. directa de la circunferencia, área y diámetro del círculo. En efecto,  Arquímedes inscribió y circunscribió determinación que Arquímedes rea- cutivas el número de lados, hasta 96, a un círculo (cuyo diámetro se suponía lizó. De ello extrajo un procedimiento estrechó la gama de valores limitantes igual a la unidad) polígonos regulares que, iterándolo suficiente número de de π hasta 3 10 / 71 y 31 / 7, obteniendo la (polígonos cuyos lados y ángulos son  veces, permite en principio calcular π estimación π ≈ 3,14. Parece haber ciertodos iguales) y consideró que los res- con cualquier número de cifras. (Es tas pruebas de que el texto de Medición pectivos perímetros de tales polígonos preciso que pueda calcularse fácil- de un círculo   que nos ha llegado eran cotas inferiores y superiores de mente el perímetro de un polígono constituye sólo un fragmento de otra los posibles valores de la circunferen- cualquiera con el auxilio de funciones o b r a m á s e x t e n s a , e n l a c u a l cia del círculo, que es numéricamente trigonométricas sencillas, como seno,  Arquímedes describía cómo, partiendo coseno y tangente. Pero en tiempos de de decágonos y duplicándolos seis igual a π [ véase la figura 2 ]. Tal método de aproximación del  Arquímedes, en el siglo III a. de C., se  veces, se obtenía una aproximación de  valor de π no era nuevo. La idea de poseía un conocimiento parcial de esas cinco cifras: π ≈ 3,1416. El método de Arquímedes resulta inscribir polígonos de número de lados funciones. Arquímedes tuvo, por consiprogresivamente mayor había sido guiente, que fundarse casi exclusiva- conceptualmente sencillo. Ahora bien, propuesta ya por Antífono, y un con- mente en construcciones geométricas, si se carece de un método rápido para temporáneo de éste, Brisón de Hera- por lo que los cálculos resultaban bas- calcular los valores de las funciones clea, había añadido al procedimiento tante más duros de lo que hoy pueda trigonométricas, resulta obligada la extracción de raíces, operación muy los polígonos circunscritos. La novedad parecer.)  Arquímedes empezó inscribiendo y lenta y penosa cuando se realiza a de Arquímedes radicaba en la correcta determinación del efecto de duplicar el circunscribiendo hexágonos, lo que le mano. Además, las estimaciones así número de lados tanto en los polígonos proporcionó la desigualdad 3 < π < obtenidas convergen lentamente a π; inscritos como en los circunscritos, 2√ 3. Al duplicar cuatro veces conse- su error decrece en un factor de alre-

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dedor de cuatro en cada iteración. A pesar de ello, todos los intentos de calcular el número π realizados en Europa hasta mediados del siglo  XVII se fundaron de un modo u otro en ese método. Ludolph van Ceulen, matemático holandés del siglo  XVI, dedicó gran parte de su carrera al cálculo de π. Casi al final de su vida obtuvo una aproximación de 32 cifras calculando el perímetro de polígonos inscritos y circunscritos de 262 (unos 1018) lados. Se dice que el valor de π que obtuvo así, denominado número ludolfiano en ciertas regiones de Europa, fue su epitafio.

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l desarrollo del cálculo diferencial, obra en gran parte de Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz, permitió calcular π de forma mucho más expedita. El cálculo proporciona métodos eficaces de obtener la derivada de una función (la tasa de cambio del valor de la función al cambiar los valores de su variable) y su integral (la suma de los infinitos valores de la función correspondientes a un determinado intervalo de su variable). Aplicando

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esas técnicas se demuestra que las funciones trigonométricas inversas están dadas mediante integrales de funciones cuadráticas que describen la cur va de un círculo. (La inversa de una función trigonométrica da el ángulo correspondiente a cada valor particular de la función. Por ejemplo, el valor de la inversa de la tangente —llamada “arco tangente”— cuando x vale 1 es 45 grados o, lo que es igual, π/4 radianes.) (Se aprecia la conexión subyacente entre las funciones trigonométricas y las expresiones algebraicas considerando un círculo de radio 1 y centro el origen de un plano cartesiano x – y. La ecuación de la circunferencia correspondiente, que encierra un área de  valor numérico igual a π, es  x2 +  y2 = 1, fórmula que no es más que una reformulación del teorema de Pitágoras correspondiente a un triángulo rectángulo de catetos  x e  y cuya hipotenusa mida 1. Además, el seno y el coseno del ángulo comprendido entre el semieje x positivo y cualquier punto de la circunferencia son, respectivamente, iguales a la ordenada,  y, y a la abscisa,  x, de

dicho punto; la tangente del ángulo es, sencillamente,  y /   x.) No obstante, a los efectos del cálculo de π, más importancia reviste el hecho de que una función trigonométrica in ver sa adm ita un “de sar rollo” en serie, cuyos términos son calculables a partir de las derivadas sucesivas de la función. El propio Newton calculó π con 15 cifras decimales sumando unos cuantos de los primeros términos de una serie que se puede deducir como expresión de la inversa de la función seno. Posteriormente confesó a un colega: “Me da vergüenza confesar a cuántas cifras llevé estos cálculos, que realicé por no tener otra cosa que hacer en aquel momento.” En 1674 Leibniz dedujo la formula 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 ... = π/4, que es el arco tangente de 1. (La serie general del arco tangente la había descubierto el matemático escocés James Gregory.  Al pare ce r, va rios sig los antes se desarrollaron en la India expresiones similares.) El error de aproximación, que se define como la diferencia entre la suma de n términos y el valor exacto de π /4, es sensiblemente igual al ( n + l)-ésimo término de la serie. Dado que el denominador de cada uno de los sucesivos términos tan sólo aumenta en 2, es preciso sumar alrededor de 50 términos para lograr una precisión de 2 cifras, 500 términos para disponer de 3, y así sucesivamente. Como es obvio, resulta inabordable dedicarse a sumar los términos de la serie si aspiramos a calcular un valor de π que supere las pocas cifras.

S

in embargo, una observación realizada por John Machin hizo practicable el cálculo de π mediante un desarrollo en serie asociado a la función arco tangente. Machin señaló que π /4 es igual a 4 veces el arco tangente de 1/5 menos el arco tangente de 1/239. Dado que la serie asociada al arco tangente converge tanto más rápidamente cuanto menor es el valor del argumento, la fórmula de Machin simplificó los cálculos. Combinando su fórmula con el desa rrollo en serie del arco tangente, Machin calculó en 1706 las cien primeras cifras de π. En efecto, su técnica se demostró tan potente que t odas las e va luaciones posteriores del numero π, desde comienzos del siglo  XVIII hasta tiempos recientes, se fundaron en variantes de su método. Dos son los cálculos realizados en el siglo  XIX   dignos de especial mención. En 1844, Johann Dase computó en cosa de meses 205 cifras del numero π por el procedimiento de calcular los

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4. ALGORITMOS ITERATIVOS (que toman como entrada de cada ciclo la salida del precedente) preparados por los autores. Proporcionan valores muy exactos de π. (Un algoritmo iterativo consta de una serie finita de operaciones sucesivas que se repiten cíclicamente de tal modo que la salida de cada ciclo constituye la entrada del siguiente.) El algoritmo a converge cuadráticamente en 1/π; es decir, el número de cifras correctas proporcionadas por αn  se duplica y más cada vez que n crece en una unidad. El algoritmo b converge cuárticamente, y el c lo hace quínticamente, con lo cual el número de cifras correctas obtenidas tras cada iteración se multiplica, respectivamente, por un factor mayor que cuatro o que cinco. Posiblemente el algoritmo b sea el más eficiente de los conocidos para el cálculo de π. Durante su análisis de los algoritmos, los autores advirtieron claramente que Ramanujan había seguido métodos similares para obtener sus aproximaciones de π. De hecho, en el algoritmo c el cálculo de sn se funda en una ecuación modular de quinto orden descubierta por Ramanujan.

 valores de tres arcos tangentes valiéndose de una fórmula similar a la de Ma chin. Dase era un calculador prodigioso, capaz de multiplicar de memoria dos números de 100 cifras, proeza que le llevó aproximadamente ocho horas. (Se diría que fue el precursor inmedia to de los modernos superordenadores, al menos en lo que a capacidad de memorización se refiere.) En 1853, William Shanks rebasó de largo a Dase con la publicación del cálculo de π hasta las 607 cifras, si bien las posteriores a la 527 resultaron ser erróneas. El trabajo de Shanks le llevó muchos años y fue fruto de una aplicación bastante rutinaria, aunque laboriosa, de la fórmula de Machin. (Sí parece constituir una plusmarca que se tardara 92 años en detectar el error de Shanks, que salió a la luz al comparar su valor con una aproximación de 530 cifras obtenida por D. F. Ferguson ayudándose de una calculadora mecánica.) El advenimiento del ordenador digital trajo consigo un renacer de los esfuerzos por calcular todavía más cifras de π, pues esas máquinas se avienen de forma ideal a “masticar números” de modo repetitivo. En junio de 1949, John von Neumann y sus colegas aplicaron a la tarea uno de los primeros ordenadores electrónicos, el ENIAC, que generó 2037 dígitos en 70 horas. En 1957, G. E. Felton trató de calcular 10.000 dígitos de π; mas, por un error de la máquina, sólo resultaron ser correctos los 7480 primeros. La meta de las 10.000 cifras la alca nzó el año siguiente F. Genuys, con un

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ordenador IBM  704. En 1961, Daniel Guilloud y Bouyer se realizaron dos Shanks y John W. Wrench, Jr., calcu-  veces, usando, para obtener π, difelaron 100.000 cifras de π en menos de rentes identidades del arco tangente. 9 horas con un ordenador IBM 7090. El En vista del historial de errores en que millón de cifras se rebasó en 1973; han incurrido tanto humanos como Jean Guilloud y M. Bouyer realizaron máquinas, los modernos “cazadores de la proeza, que llevó un poco menos de cifras” no le dan validez oficial a ninun día a un CDC 7600. (En realidad, gún récord hasta que no se realiza tal los cálculos de Shanks y Wrench y de  verificación.)

100.000.000

10.000.000

1.000.000    I    P    E    D 100.000    S    O    T    I    G    I    D 10.000    E    D    O    R    E 1000    M    U    N

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5. NUMERO DE DIGITOS conocidos de π, se ha incrementado en dos órdenes de magnitud (productos por diez) durante el decenio pasado gracias al desarrollo de algoritmos iterativos capaces de operar en superordenadores equipados con métodos de multiplicación nuevos y eficaces, de velocidad muy superior.

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La causa principal de que se calculara un número cada vez mayor de cifras exactas de π fue el aumento de la velocidad de las máquinas, pero pronto quedó clara la existencia de límites insuperables. Si se utilizan los métodos tradicionales de realizar operaciones aritméticas en los ordenadores, la duplicación del número de cifras a calcular multiplica como mínimo por un factor 4 el tiempo de cómputo. Por consiguiente, incluso admitiendo que la velocidad de cómputo se multiplicase por 100, el programa de Guilloud y Bouyer hubiera exigido al menos un cuarto de siglo para dar un valor de π de mil millones de cifras. Desde la perspectiva de los primeros años de la década de 1970, tal computación no parecía abordable. Sin embargo, hoy resulta factible esa tarea, merced no sólo a que los ordenadores son más rápidos, sino, sobre todo, a métodos nuevos y más eficaces

de multiplicar mediante ordenador dos Una de las lecciones más interesannúmeros grandes. Tuvo igual impor- tes de la informática teórica es que tancia un tercer acontecimiento: el muchos de los algoritmos que nos son ad venimiento de algoritmos iterativos familiares, como la regla de multiplique convergen rápidamente hacia π. cación que se les enseña a los niños en (Los algoritmos iterativos vienen a ser la escuela, distan mucho de ser óptiprogramas de ordenador que efectúan mos. Los teóricos calibran la eficiencia reiteradamente unas mismas ope- de un algoritmo determinando su raciones aritméticas, tomando como complejidad en bits, esto es, el número entrada de cada ciclo la salida del pre- de veces que se suma o multiplica cada cedente.) Tales algoritmos, algunos de dígito al aplicar el algoritmo. De los cuales son obra de los autores, fue- acuerdo con esta medición, la compleron anticipados en muchos aspectos por  jidad de la suma de dos números de n Ramanujan, a pesar de que nada podía dígitos por el método habitual aumenta saber de programación de ordenado- en proporción a n y, la multiplicación res. En realidad, los ordenadores no de dos números de n dígitos, en prosólo han posibilitado la aplicación de los porción a n2. Al aplicar métodos traditraba jos de Ramanujan, sino que tam- cionales, la multiplicación resulta bién han ayudado a descifrarlos. mucho más “penosa” que la adición, Mediante programas muy refinados de en el sentido de que consume un manipulación algebraica ha podido tiempo mucho mayor. proseguirse la exploración de las sendas que Ramanujan hubo de recorrer en o obstante, como demostraron en solitario y sin ayuda en su época. 1971 A. Schönhage y V. Strassen, en teoría, la complejidad de la multiplicación de dos números puede ser sólo ligeramente superior a la de la adición. Se logra, por ejemplo, esa reducción potencial de la complejidad aplicando las llamadas “transformadas rápidas de Fourier”, o FFT (por fast  Fourier trans forms). La multiplicación de dos números grandes por medio de las transformadas rápidas permite orquestar cuidadosamente los cómputos intermedios entre dígitos y, de ese modo, evitar las redundancias. Dado que la división y la extracción de raíces pueden reducirse a una secuencia de multiplicaciones, también la comple jidad , en bits, de estas operaciones puede ser sólo ligeramente mayor que la de la adición. Se logra así un tremendo ahorro de complejidad y, por consiguiente, de tiempo de computación. Por este motivo, todos los esfuerzos recientes en el cálculo de π se fundan en alguna variante de la técnica de multiplicación mediante la transformada rápida de Fourier. Empero, para el cálculo real de centenares de millones de dígitos de π fue preciso redescubrir una preciosa fórmula que ya conocía Carl Friedrich Gauss hace siglo y medio. A mediados del decenio pasado, Richard P. Brent y Eugene Salamin observaron, independientemente, que la fórmula producía un algoritmo para el círculo de π cuya convergencia era cuadrática, esto es, era tal que el número de dígitos se duplicaba en cada iteración. A partir 6. INSTRUCCIONES EXPLICITAS para ejecutar el algoritmo b de la figura 4. Permiten, de 1983, Yasumasa Kanada y sus en teoría, calcular en pocos minutos los dos mil primeros millones de cifras del numero colegas, de la Universidad de Tokyo, se π. Todo cuanto se precisa es una calculadora que disponga de dos registros de memoria han valido de ese algoritmo en el y que sea capaz de efectuar las operaciones habituales de suma, resta, multiplicación, establecimiento de varios récords mundivisión y extracción de raíces. Desafortunadamente, las pantallas de la mayoría de las diales en el número de cifras de π. calculadoras tan sólo muestran ocho cifras, lo cual convierte tal cálculo en pura ficción.

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Por nuestra parte, nos preguntamos cuál era la razón de la notable convergencia en π del algoritmo GaussBrent-Salamin. Al analizarlo, pusimos a punto técnicas generales para la redacción de similares algorit mos de con vergencia rápida, en π o en otras cantidades. Al trabajar en una teoría esbozada en 1829 por el matemático alemán Karl Gustav Jacobi, advertimos que, en principio, cabía llegar a  valores próximos a π efectuando la evaluación de integrales de una clase llamada “integrales elípticas”, que permiten calcular el perímetro de una elipse. (El círculo, fun damento geométrico de los anteriores esfuerzos por calcular aproximadamente el nú mero π, no es más que una elipse cuyos ejes tienen la misma longitud.) En general, aunque las integrales elípticas no pueden calcularse directamente por los métodos de integración explícita, sus valores sí se evalúan fácilmente por medio de procedimientos iterativos fundados en las ecuaciones modulares. Hemos hallado que el algoritmo Gauss-BrentSalamin constituye un caso particular de una técnica nuestra más general, basada en una ecuación modular de segundo orden. Se alcanzaría una convergencia todavía más rápida hacia el valor de la integral y, en consecuencia, un algoritmo más rápido para el cálculo de π, utilizando ecuaciones modulares de orden superior; por ese motivo, hemos redactado diversos algoritmos basados en ecuaciones modulares de grados tercero, cuarto y superiores.

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n enero de 1986, David H. Bailey, del Centro de Investigación  Ames, de la NASA , generó 29.360.000 cifras decimales de π por iteración de uno de nuestros algoritmos en un superordenador Cray-2. Dado que el algoritmo se basa en una ecuación modular de cuarto orden, converge hacia π cuárticamente, con lo que, en cada iteración, el número de cifras determinadas se multiplica por más de cuatro. Un año más tarde, Kanada y sus colegas realizaron una iteración más, alcanzando 134.217.000 cifras decimales en un superordenador NEC SX-2, lo cual les permitió asimismo  ve ri fi ca r un cá lc ul o an te ri or qu e habían realizado utilizando el algoritmoGauss-Brent-Salamin.(Iterando nuestro algoritmo un par de veces más —hazaña perfectamente realizable si se nos permitiera monopolizar un superordenador durante unas pocas semanas— se obtendrían más de dos mil millones de cifras del número π.)

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7. “CUADERNOS” DE RAMANUJAN, archivos personales en los que anotaba muchas de sus fórmulas. La página aquí mostrada contiene diversas ecuaciones modulares de tercer orden, todas ellas expresadas en la notación particular que usaba Ramanujan.

Los métodos iterativos resultan radamente simple hasta que tropezaespecialmente idóneos para el cálculo mos con las ecuaciones modulares de de π mediante ordenadores, pero no a Ramanujan del mismo orden. mano; por ello, mal puede sorprender Recíprocamente, hemos logrado que Ramanujan no se tomase jamás deducir la totalidad de las series de la molestia de efectuarlos. Sí se Ramanujan a partir de las fórmulas encuentran en la obra de Ramanujan generales desarrolladas por nosotros. los ingredientes básicos de los algorit- La deducción de una de ellas, cuya conmos iterativos para el cálculo de π, en  vergencia hacia π era más rápida que particular las ecuaciones modulares. ninguna de las series que entonces conoCiertas partes de su deducción de cíamos, se logró por la ayuda que nos series y aproximaciones infinitas del brindó una fuente insospechada. número π tuvieron que correr paralelas Habíamos justificado la totalidad de las a nuestros esfuerzos por obtener algo- cantidades que figuran en la expresión ritmos para π. En efecto, las fór mulas de la serie, a excepción de una: el coeque menciona en sus “Cuadernos” nos ficiente 1103, que aparece en el resultaron de gran ayuda en la cons- numerador de la expresión [véase la trucción de algunos de nuestros algo-  figur a 3 ]. Estábamos convencidos ritmos. Por ejemplo, si bien logramos —como tuvo que estarlo Ramanujan— demos trar la existencia de un de que el valor 1103 era correcto. Para algoritmo de orden 11, y aunque cono- demostrar que así era teníamos dos cíamos su formulación general, no opciones: simplificar una ecuación capaz logramos descubrir su forma inespe- de amilanar a cualquiera, donde apare-

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COLABORADORES DE ESTE NUMERO Traducción:

Luis Bou: La creación matemática, Pierre de Fermat , Gaspard Monge, Carl Friedrich Gauss, Jean Baptiste Fourier ,  Augustin-Louis Cauchy, Evariste Galois, Georg Cantor , Srinivasa Ramanujan; J. M. García de la Mora: Leonardo de Pisa; Josep Pla: René Descartes. Página

Fuente

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Biblioteca Apostólica Vaticana, Roma E. Picutti (arriba), Biblioteca Ambrosiana, Milán (abajo) Museo de Barletta Sociedad Histórica Lombarda, Milán Biblioteca Ambrosiana, Milán E. Picutti Biblioteca Apostólica Vaticana, Roma Archivo del Estado, Pisa Biblioteca Comunale de Piacenza Por cortesía del Museo de Louvre, París. © Photo R.M.N. Scientific American Dominique Berretty, Black Star Biblioteca Butter Biblioteca Pública de New York Springer Verlag Documentos Pour la Science Gabor Kiss Biblioteca Burndy Gabor Kiss Dan Todd Gabor Kiss Quesada/Burke (arriba), Thomas C. Moore ( abajo) Thomas C. Moore Quesada/Burke Thomas C. Moore Michael G. Rossmann y Sharon S. Wilder, Universidad de Purdue Documentos Pour la Science David A. Johnson Jean Dubout, cortesía de la Bibliothèque de l’Institud de France Ilil Arbel Jean Dubout, cortesía de la Bibliothèque de l’Institud de France Egbert Schneider Jerome Kuhl Universidad de Jena Javier de Lorenzo Museo de Munich Scientific American John Moss, cortesía de The Royal Society de Londres Michael Goodman Edward Bell Edward Bell (arriba), Laurie Grace (abajo) Edward Bell John Moss, cortesía de The Royal Society de Londres

8 9 10-11 12 13-14 15 16 17 19 21-24 27 28 31 33 38-45 48 50 51-54 55 56-57 61 62-63 64 66 67 71-79 83 84 87-90 92 95 96-104 107 110-114 115 116-117 121 122 123-124 125 126 127

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cían variables elevadas a potencias de  varios millares, o sumergirnos a profundidades considerablemente mayores en los arcanos de la teoría de números.

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or coincidencia, R. William Gosper, Jr., de Symbolics, Inc., había decidido en 1985 sacar partido de esa misma serie de Ramanujan para calcular un valor más preciso de π que los cono ci dos. Cuando efectuó el cálculo, llevándolo a más de 17 millones de cifras, no existía, que él su piera, ninguna demostración de que la serie realmente convergiera hacia π. Por supuesto, Gosper sabía que millones de cifras del valor que había calculado coincidían con las de un cálculo anteriormente realizado por Kanada mediante el algoritmo Gauss-BrentSalamin; la posibilidad de error era, pues, infinitesimalmente pequeña. Sin embargo, en cuanto Gosper completó su cálculo y lo cotejó con el de Kanada, dispusimos de lo necesario para demostrar que el número requerido para hacer que la serie diera  valores de π con error menor que uno entre 10 10.000.000   era 1103. Por un razonamiento muy similar al de que si dos enteros se diferencian en menos de una unidad tienen que ser iguales, su resultado fue suficiente para especificar el número en cuestión: tiene que ser exactamente 1103. De hecho, el cómputo realizado por Gosper pasó a formar parte de nuestra demostración. Sabíamos que la serie (y su algoritmo asociado) era tan sensible a las más leves inexactitudes que, si Gosper hubiera utilizado para el coeficiente cualquier otro valor, o, por otra parte, si el ordenador hubiera introducido una sola cifra errónea en el proceso de cálculo, el resultado hubiera sido un galimatías numérico, en lugar de un valor de π. Se demuestra que los algoritmos de tipo Ramanujan para la determinación de valores aproximados de π se hallan muy cerca de los óptimos posibles. Teniendo en cuenta todas las operaciones que intervienen en la ejecución de los algoritmos (dando por supuesto que para efectuar la adición, la multiplicación y la extracción de raíces se aplican las mejores técnicas conocidas), la complejidad, en bits, del cálculo de n cifras de π sólo resulta marginalmente mayor que la de multiplicar dos números de n cifras. Pero la multiplicación de dos números de n cifras mediante la transformada rápida de Fourier es sólo marginalmente más complicada que la adición de dos números de n cifras, que es la más sencilla de las operaciones aritméticas posibles en un ordenador.

Es probable que las matemáticas no hayan acusado en toda su plenitud el impacto del genio de Ramanujan. Hay en los “Cuadernos” otras muchas fórmulas maravillosas, que giran en tomo a integrales, series infinitas y fracciones continuas (en las que aparece un número más una fracción, cuyo denominador es a su vez expresable como un número más una fracción, y así sucesivamente). Por desdicha, las fórmulas de Ramanujan están da das sin apenas indicación —si alguna— del método de que se valió para demostrarlas. Littlewood escribió al respecto: “Si en un lugar cualquiera se presentaba un razonamiento importante, y la conjunción total de pruebas e intuición le proporcionaba certeza, no seguía examinándolo.”

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a hercúlea labor de preparar para publicación los “Cuadernos”, iniciada hace 60 años por los analistas británicos G. N. Watson y B. N. Wilson, y que hoy está rematando Bruce Berndt, exige una demostración, una fuente y alguna que otra corrección ocasional a cada uno de los muchos miles de teoremas e identidades en ellos enunciados. Una sola línea de los “Cuadernos” puede fácilmente suscitar muchas páginas de comentarios. Dificulta aún más la tarea la notación, no habitual, en que están escritas las fórmulas, por cuyo motivo gran parte de la obra de Ramanujan no accederá a la comunidad matemática hasta que concluya el proyecto de Berndt. La capacidad excepcional y única de Ramanujan para trabajar intuitivamente con fórmulas complicadas le permitió plantar semillas en un jardín matemático que (tomando prestada de Freeman Dyson la metáfora) sólo ahora está comenzando a florecer. Juntamente con otros muchos matemáticos, esperamos ansiosos cuáles serán las semillas que germinen los años venideros y embellezcan aún más el jardín.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA M ODULAR EQUATIONS AND APPROXIMATIONS TO π. S. Ramanujan en The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, vol. 45, págs. 350-372; 1914.

COMPUTATION OF π USING ARITHMETICGEOMETRIC MEAN. E. Salamin en Mathematics of Computation, vol. 30, n.o 135, págs. 565-570; julio, 1976. A HISTORY OF π. Petr Beckmann. The Golem Press, 1977. PI AND THE AGM: A STUDY IN ANALYTIC NUMBER THEORY AND COMPUTATIONAL COMPLEXITY. Jonathan M. Borwein y Peter B. Borwein. John Wiley & Sons, Inc., 1986.

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