1 S 1
S O C I T Á M E T A M
O T E R
Dirección de contenidos y servicios educativos
Elisa Bonilla Rius Publisher
Lauren Robbins Autoría
Apolo Castañeda Alonso Rosa Isela González Polo Coordinación editorial
Ernesto Manuel Espinosa Azuar Edición
Macbeth Baruch Rangel Orduña Coordinación de corrección
Abdel López Cruz Corrección
Mónica Nelly Terán Méndez Dirección de arte y diseño
Quetzal León Calixto Diseño de portada
José Manuel Calvillo Diseño de la serie
Claudia Adriana García Villaseñor Coordinación de diagramación
Jesús Arana y César Leyva Diagramación
Aldo Botello Báez Coordinación de iconografía e imagen
Ricardo Tapia Iconografía
Penélope Graciela Ubaldo Jurado Fotografía
© 2011, Carlos A. Vargas © 2011, Iván Meza © Thinkstock 2011 Archivo SM Digitalización e imagen
Carlos A. López, Uriel Flores Moreno Donovan Popoca Jiménez Eliana Castro Fernandez Revisión técnica de evaluaciónes
Instituto de Evaluación y Asesoramiento Educativo (IDEA) Producción
Carlos Olvera, Teresa Amaya
2
Retos matemáticos 1
Secundaria primer grado Primera edición, 2012 D. R. © U.D. Publishing, S. A. de C. V., 2012 Magdalena 211, Colonia del Valle, 03100, México, D. F. Tel.: (55) 1087 8400 www.udaytonpublishing.com La marca University of Dayton Publishing es propiedad de University of Dayton. Prohibida su reproducción total o parcial University of Dayton 300 College Park Dayton, OH 45469 ISBN XX X-XXX-XXX-XXX-X Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro número 2830 No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright . Impreso en México/Printed in Mexico
Presentación
Para el alumno
Las matemáticas han contribuido al desarrollo del conocimiento científico y al avance de la tecnología, pero también han influido en otros ámbitos de la actividad humana, como el arte, la arquitectura y la música. Sin embargo, otra de sus funciones es ayudar
a tomar buenas decisiones; por ejemplo, al comparar el precio de un producto en el supermercado, elegir el procedimiento para resolver un problema y opinar sobre los datos vertidos en una gráfica, entre otras situaciones. Esto significa que las matemáticas son útiles en la vida cotidiana; estudiarlas no solo consiste en memorizar, sino también en emplear nuestras habilidades de razonamiento para solucionar problemáticas en diversas situaciones. Pero, así como el ejercicio
físico frecuente nos sirve para mantener una buena salud, practicar con actividades de matemáticas nos ayuda a afianzar nuestro pensamiento. Por estas razones, en tu libro encontrarás problemas con diferente grado de complejidad en los que podrás aplicar conocimientos y repasar conceptos. Asimismo, hallarás actividades en las que necesitarás repensar lo ya aprendido y explorar procedimientos o métodos de solución nuevos. Además de profundizar en los temas,
de manera individual y grupal, indagarás otras rutas para resolver problemas en los retos matemáticos, formularás estrategias y desarrollarás habilidades matemáticas.
Tu libro está estructurado en lecciones que se inician con un planteamiento; este relaciona el conocimiento matemático que se explicará con situaciones de la vida cotidiana. Deberás poner en práctica tu experiencia y tus conocimientos para responder las preguntas. Conforme avances, te darás cuenta de que hay varias maneras de resolver los problemas. Al terminar cada lección, encontrarás referencias
en Internet para profundizar en los temas que estudiaste, así como para explorar y resolver otros retos matemáticos. En todas las lecciones, encontrarás actividades para trabajar en equipo o parejas, las cuales están diseñadas con la intención de que experimentes los beneficios del trabajo colectivo; por ejemplo, al compartir ideas, llegar a acuerdos, etc., pero también
con el fin de que desarrolles habilidades para comunicar información matemática. El libro fue creado para que fortalezcas tus habilidades de pensamiento matemático y tu autoconfianza al superar los retos matemáticos que se presentan y aprovechar
este amplio campo de saber. Esperamos que lo disfrutes.
Los autores
3
Guía de uso Retos matemáticos 1 consta de cinco bloques que contienen lecciones de cuatro páginas en que desarrollarás los conocimientos y
habilidades de esta asignatura. En tu libro encontrarás las siguientes secciones:
En el mundo hay objetos,situaci ones y eventos que,a menudo, debemos medir; para hacerlo , necesitamos los números. Al conocer la estatura o edad de una persona,compartir el número de celular a un amigo,determinar el consumo eléctrico en la casa, comprender la economía del país o desarrollar una investigación científica —por mencionar algunos casos— los utilizamos.Incluso en áreas como la música,es posible expresar el ritmo con números enteros o fracciones.Por eso, es importante reconocerlos y saber usarlos; si deseamos precisar cuándo un número es divisible entre otro,por ejemplo,r equerimos no solo dividir, sino también distinguir con cuáles se relaciona,es decir,obtener su familia de números primos para hallar la respuesta.
Introducción. Presenta un breve texto en que se mencionan situaciones cotidianas relacionadas con las ideas principales que se estudiarán con el fin de contextualizarlas y de activar tus conocimientos previos.
Número de bloque
Aprendizajesesperados 1. Resuelve problemas utilizando el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.
Aprendizajes esperados . Señalan los conocimientos y las habilidades que debes alcanzar como resultado del
estudio de los contenidos.
B l oq ue 2
2. Resuelve problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de las alturas,medianas,mediatrices y bisectrices en triángulos y cuadriláteros.
76
77
Lección 28 Ecuaciones de primer grado de la forma
Lección. Aquí se establece el número de la lección
y su título.
Contenido
Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: patrones y ecuaciones Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b ; ax = b ; ax + b = c , utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios.
ax = b
Para calcular el perímetro: ecuaciones de la forma ax = b Observa la secuencia de figuras. Figura 1
l
Figura 2 1 cm
2 cm
1 cm
l
.
l
Figura 4
Figura 3
l
l
3 cm
l
l
l l
2 cm
l . 3 cm
1. Completa la tabla a partir de la secuen cia anterior. Fi gu ra 1 2 3
Situación. Título de la primera situación problemática en que aparece un nombre lúdico y después la denominación
formal del tema que estudiarás.
Per ím et ro ( cm ) 4
l ll . 16
Glosario Coeficiente. Número que multiplica a la incógnita. Por ejemplo, en la ecuación 4 x = 30, el coeficiente de x es 4.
l
5
l
2. Responde las preguntas.
l
a) ¿Qué perímetro tendrá la figura 5 si se considera que la sucesión guarda un mismo comportamiento?
l
l
l
l l
l
b) ¿Qué perímetro tendrá la figura 18? c) ¿Qué operación efectuaste para responder la pregunta anterior?
l
l 3. Reúnete con un compañero y efectúen lo que se indica con base en la sucesión anterior. a) Construyan una expresión general o fórmula que permita determinar el valor del perímetro para
cualquier figura. Usen la x para representar el número de la figura. b) En la sucesión anterior, una figura tiene un perímetro de 120 cm; planteen una ecuación
en la que representen con x el número de la figura y resuélvanla para hallar dicha cantidad.
Oriéntate Un ecuación que tiene la forma ax = b expresa un producto entre el coeficiente a y la incógnita x , lo que da como resultado un número b .
142 Bloque 3 Lección 28
4
4. Observa el ejemplo y completa la tabla. a
b
a + b
a · b
a – b
3
5
13
40
3
2.4
1.3
5 6
4 7
l
l
.
Guía de uso
Un paso adelante
Glosario
Un paso adelante. La lección es una secuencia que inicia con una situación cotidiana relacionada con las matemáticas. Una vez que la resuelves,
Glosario. Su función es explicar algunos términos matemáticos.
das un paso adelante al aplicar nuevos conocimientos y habilidades para solucionar problemas matemáticos.
Oriéntate Oriéntate. Aquí encontrarás pistas o información de apoyo para recordar algunos datos importantes que pueden servirte para resolver problemas
Para la bitácora Para la bitácora. En este apartado, encontrarás ejercicios de autoevaluación
matemáticos.
de los temas vistos en el bloque.
Profundiza. Sección que contiene problemas matemáticos más complejos que puedes resolver
porque ya desarrollaste los conocimientos y las habilidades necesarias para ello.
Pareja
TIC TIC. En esta sección, se recomiendan actividades relacionadas con las TIC;
principalmente se te invita a profundizar en el contenido de las lecciones con algunos ejercicios en la web.
Equipo
Grupo
Lección 27 8. Observa el ejemplo y completa la tabla.
l
l
l
l
3 + x = 17
l .
Valor de x
= 17 – 3
= 14
x
x
– 1 = 7
x
.
6
Oriéntate
12
+ 3.5 – 2 = 14
x
.
l :
Operación que se debe efectuar para encontrar el valor de x
Ecuación
l .
+ 1 = 1
x
l l l
Un término semejante es aquel que tiene la misma incógnita, pero el coeficiente igual o diferente.
l
8
– 2 = 5
x
3
Lección. Te recuerda el número de la lección.
Para resolver una ecuación La ecuación se transforma en otras ecuaciones equivalentes más sencillas hasta encontrar el valor de la incógnita.
Resolver la ecuación
Al resolver una ecuación, es necesario simplificar términos semejantes; por ejemplo, 1 x + 1 x se simplifican porque son términos similares. 2 4 1 x + 1 x + 1 = 19
.
2
.
4
5
20
3 x + 1 = 19 4 5 20
Después, se debe despejar la incógnita, es decir, efectuar operaciones para encontrar su valor. Por ejemplo, en la ecuación 12 + x = 20, se despeja el valor de x como se indica en la tabla.
.
Pasos Ecuación inicial Operación para despejar a Valor para x
.
l
l
.
x
Caso 1 12 + x = 20 12 – 12 + x = 20 – 12 x=8
Para verificar la solución En la ecuación inicial se remplaza la incógnita por el valor encontrado. Si se cumple la igualdad, entonces es el correcto.
l
l
l
l
.
Caso 2 x – 8 = 10 – 8 + 8 = 10 + 8 x x = 18
12 + x = 20 x = 20 – 12 x = 8
Comprobar el valor hallado
Comprobación: 12 + x = 20 12 + 8 = 20 20 = 20
Recuadro de información. Después de resolver los
diferentes problemas de cada apartado, encontrarás información relevante que te guiará para desarrollar los
TIC
conocimientos y habilidades matemáticas necesarias.
Explora www.e-sm.com.mx/matret1-141a , donde se encuentran actividades de resolución de ecuaciones. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-141b, donde hay una guía para resolver ecuaciones. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-141c, donde se explica cómo solucionar ecuaciones.
Para la bitácora Resuelve las actividades correspondientes a la lección 27 en la bitácora de la página 178. Lección 27 Bloque 3 141
5
Guía de uso
Bitácora. Esta sección tiene
dos páginas; en ella, pondrás en
Bitácora
Bitácora
práctica lo aprendido a lo largo del bloque y repasarás las ideas
Lecciones 14 y 15
Lección 18
a) Analiza la tabla y contesta las preguntas en tu cuaderno. 501 511 521 531 541
más importantes de cada lección. También funciona como una autoevaluación en la que aplicarás los aprendizajes
502 512 522 532 542
503 513 523 533 543
504 514 524 534 544
505 515 525 535 545
506 516 526 536 546
507 517 527 537 547
508 518 528 538 548
509 519 529 539 549
510 520 530 540 550
a) ¿Qué cantidad pagó de impuestos? b) ¿Cuánto le dio a cada hijo?
i. Escribe los números primos que se encuentran entre 500 y 550.
Lección 19
ii. ¿Cuáles son los primeros diez números compuestos que se encuentran entre 500 y 550?
Ocho obreros construyen 17 35 m de una obra en 1 h.
iii. Escribe cuatro divisores de 501.
a) ¿Cuántos metros construye cada uno en 1 h? b) A ese ritmo de trabajo, ¿cuánto construirá un obrero en 2 34 h?
b) Efectúa lo que se pide con base en los números de la tabla anterior.
desarrollados en el bloque.
16 Sandra ganó un premio de $50 000, pero debe pagar 100 de impuestos. Repartirá el resto entre sus hijos de esta manera: 12 para el que está estudiando medicina, 13 para el que ya se casó y lo demás para el que acaba de ser padre.
i. Escribe cinco números divisibles entre 2.
Lección 20
ii. Escribe cinco números divisibles entre 3.
Traza la mediatriz de cada segmento marcado en el círculo.
iii. Escribe cinco números divisibles entre 5. iv. Escribe cinco números divisibles entre 7.
Lección 16
a) ¿Dónde se unen las mediatrices?
Juan tiene tres sapitos de juguete. Al darles cuerda, los tres saltan al mismo tiempo, pero
Tres amigos cooperaron para comprar una pizza y se la dividieron en partes iguales.
recorren diferentes distancias en cada salto: el primero avanza 3 cm; el segundo, 5 cm; y el tercero, 4 cm.
i. Traza una rebanada de pizza y divídela en dos pedazos iguales.
i. Si se colocan en el mismo lugar después del punto de salida, ¿a qué distancia coincidirán de
nuevo por un mismo punto? ii. ¿Cuántos saltos da cada uno? Sergio tiene 24 monedas de $10, treinta de $5 y cincuenta de $1, y desea acomodarlas en montones con igual cantidad de monedas de cada denominación. i. ¿Cuál es el máximo número de montones que puede formar con igual cantidad de monedas
de cada denominación?
Lección 21 Copia el pentágono en una hoja, recórtalo y pégalo como creas conveniente para justificar la fórmula de su área. A = pa 2 Lección 22
ii. ¿Cuál es el mayor número de monedas que puede colocar en cada montón?
Lección 17 María fue al mercado y compró 12 kg de jitomate, __14 kg de chile, 800 g de cebolla, 700 g de tomate, 3 34 kg de naranja y 1.250 kg de manzana. Si metió todo lo que compró en su bolsa, ¿cuánto pesó?
Marcela está estudiando arquitectura; le han pedido de tarea una maqueta de un edificio cilíndrico que mide 30 m de diámetro y 60 m de altura. Cada metro real es igual a 1 cm en la maqueta. a) ¿Qué diámetro tendrá el edificio en la maqueta? b) ¿Cuál es la razón de proporcionalidad? Bloque 2 115
114 Bloque 2
En el tintero. Aquí podrás conocer temas que tienen el propósito de introducirte a la cultura de las matemáticas proponiéndote nuevos retos matemáticos.
Laboratorio de matemáticas. En esta sección, podrás llevar a cabo experimentos matemáticos. Con estos retos m a t e m á t i c o s s e g u i r á s conociendo y disfrutando su
En el tintero
Laboratorio de matemáticas
Trazo de polígonos regulares con tiras de papel 1. Construye tres polígonos regulares mediante los procedimientos que se indican. Responde las preguntas en tu c uaderno.
Procedimiento
Consigue una hoja de tamaño carta y recorta una tira de 3 cm de ancho.
Toma los extremos de la tira y anúdalos.
Aprieta suavemente el nudo y aplánalo.
Recorta los pedazos sobrantes.
Cálculo de porcentajes Para transformar un número decimal en porcentaje , solo se multiplica la cantidad por 100 y se escribe al final el símbolo %. Por ejemplo: 0.3 × 100 = 30, así, 0.3 representa 30%.
Para convertir una fracción en porcentaje, primero se transforma la fracción en decimal y, posteriormente,enporcentaje.Porejemplo:__52 = 2 ÷ 5, __25 = 0.4 y 0.4 × 100 = 40, así __25 representa40%. Para transformar de porcentaje en decimal , se quita el símbolo % y se divide entre 100. Por ejemplo: 30% = 30 ÷ 100 = 0.3; así, 30% representado como decimal es 0.3.
Ilustración
Para transformar de porcentaje en fracción , se elimina el símbolo %, luego se escribe una fracción con el número del porcentaje como numerador y 100 como denominador, y, finalmente, se reduce 82 la fracción obtenida. Por ejemplo: 82% =100 = 41 ; así, 82% equivale en fracción a 41 . 50 50
naturaleza.
1. Completa la tabla. a) ¿Qué polígono obtuviste?, ¿cuánto miden sus lados?, ¿cuánto mide cada ángulo interno? Fracción
b) Dobla el polígono y traza sus mediatrices; el punto donde estas se cortan es el centro.
Decimal
Porcentaje
1 __ 8
c) Traza una apotema y mídela. Calcula el área del polígono. Procedimiento
Recorta dos tiras de 3 cm de ancho.
Toma los extremos de las tiras y anúdalos.
Aprieta suavemente el nudo y aplánalo.
0.32
Recorta los pedazos sobrantes.
67%
¿Cuánto es 20% de 120? Para calcularlo, solo se multiplica el porcentaje por la cantidad y se divide el resultado entre 100. Es decir, 20 × 120 = 2 400 y 2 400 ÷ 100 = 24; por lo tanto, 24 es 20% de 120.
Ilustración
¿Qué porcentaje de 70 es 28? Para determinarlo, se divide la parte entre el todo y se multiplica por 100. Es decir, 28 ÷ 70 = 0.4 y 0.4 × 100 = 40; por lo tanto, 28 es 40% de 70. ¿De qué número 15 representa 25%? Para saberlo, se divide la cantidad entre el porcentaje y el resultado se multiplica por 100.Esto es,15 ÷ 25 = 0.6 y 0.6 × 100 = 60; por lo tanto,15 es 25% de 60. d) ¿Qué polígono obtuviste?, ¿cuánto miden sus lados?, ¿cuál es su perímetro?, ¿cuánto mide cada
ángulo interno?
2. Completa la tabla.
e) Traza una apotema y mídela. Calcula el área del polígono.
Procedimiento
Utiliza el papel sobrante y dóblalo como se muestra en la ilustración.
Apla nala figura por eldoblez.
Recorta los pedazos sobra ntes.
C an tid ad t ot al
P orc en ta je
80
30% 48%
48
75%
90
300 Ilustración
36
256 1 154
C an tid ad p ar cia l
128 49%
f) ¿Qué polígono obtuviste?,¿cuánto miden sus lados?,¿cuánto miden los ángulos internos formados
por los lados?
180
6
Bloque 3
Bloque 3
181
Guía de uso
Bloque 4 Evaluación
Bloque 4 Evaluación
Lee los planteamientos, elige la respuesta correcta y márcala en la sección de respuestas.
9. ¿Con qué expresión se calcula el área de una parte del círculo?
B)
A) d
C)
d
D)
r2
Evaluación. Con esta sección concluye el bloque. Te servirá a ti y al profesor para evaluar tu desempeño en cuanto a los conocimientos y habilidades
2
r
8
Algunas de las fosas marinas más profundas son el abismo Emden (en Filipinas) de aproximadamente 10 793 m y el abismo Planet (en las islas Salomón) con alrededor de 9 148 m. En cambio, entre los puntos más altos del mundo se encuentran las montañas Cho Oyu, cuya altura mide 8 201 m sobre el nivel del mar, y Annapurna I de 8 091 m sobre el nivel del mar (ambas se sitúan en Nepal, China). 1. ¿Qué distancia hay entre el punto más bajo del abismo Emden y el punto más alto de la montaña Cho Oyu? A) 18 994 m
B) 2 592 m
C) –2 592 m
10. Una familia de cuatro personas gasta diariamente 1 000 L de agua para satisfacer sus necesidades. ¿Cuántos litros se requieren para satisfacer a una familia de cinco integrantes?
D) –18 994 m
A) 200 L
2. ¿Qué distancia hay entre el punto más alto de la montaña Annapurna I y el punto más bajo del abismo Planet? A) –1057 m
B) 17 239 m
C) 1 057 m
D) –17 239 m
A) 12
3. ¿Cuál es el segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia? A) Diámetro.
B) Radio.
C) Cuerda.
B) 250 L
D) Segmento.
B) Una cuerda.
C) Medida del diámetro.
matemáticas adquiridas.
D) 2 000 L
B) 8
C) 6
D) Cualquiera de las anteriores.
Fruta
Frecuenciaabsoluta
Porcentaje
Plátano
6
30%
Manzana
4
20%
Pera
2
Uva
3
15%
Kiwi
5
25%
5. La medida de se obtiene de la proporción entre A) el radio y el área.
B) el diámetro y la circunferencia.
C) el radio y la circunferencia.
D) el diámetro y el área.
D) 4
12. Analiza la tabla y contesta la pregunta.
4. ¿A partir de qué elementos es posible construir una circunferencia? A) Medida del radio.
C) 1 250 L
11. Una empresa tiene dos vacantes: recepcionista y edecán. Si cuatro personas se presentan a pedir empleo, ¿cuántas posibilidades hay de ocupar los puestos?
10%
¿Qué gráficas representan la información de la tabla? 6. ¿Cuál es la longitud del segmento rojo?
7
A)
5
2
Plátano
Manzana
Kiwi 20%
8.18 cm
B) 4.09 cm
B) 301.59 pulgadas
C) 25.13 pulgadas
B) 15.70 cm
C) 78.53 cm
Kiwi
2 1
1
0
0 Plátano
Manzana
Pera
Kiwi 25%
Uva
Plátano
Kiwi
Manzana
Pera
Kiwi 20%
Plátano 30%
Pera 10%
Manzana 20%
Plátano
Kiwi
Uva
Manzana
Kiwi 25%
Plátano 20%
Uva 20%
Uva 15%
Pera 20%
Manzana 20%
Kiwi
Uva
Plátano 30%
Uva 15%
Pera 20%
Pera
Pera 10%
Manzana 20%
Respuestas de la evaluación correspondiente al bloque 4
D) 50.26 pulgadas
8. ¿Cuál es la medida de la circunferencia inscrita en un pentágono de 5 cm de apotema? A) 31.41 cm
3
2
Manzana 20%
D) 16.36 cm
7. El radio de la rueda de una bicicleta mide 8 pulgadas; después de haber dado seis vueltas, ¿qué distancia recorrió? A) 150.79 pulgadas
Uva
5 4
3
Plátano 20%
Uva 20%
C) 2.045 cm
Pera
6
5 4
3
1 0
0
D)
6
5 4
2
1
A) 8.18 cm
C)
6
3
7
7
7
B)
6
4
D) 314.15 cm
1. A
B
C
D
4. A
B
C
D
7. A
B
C
D
9. A
2. A
B
C
D
5. A
B
C
D
8. A
B
C
D
10. A
3. A
B
C
D
6. A
B
C
D
B B
230 Bloque 4 Evaluación
C C
D D
11. A
B
C
D
12. A
B
C
D
Evaluación Bloque 4
Glosario. En este apartado, se encuentran las definiciones de algunos términos matemáticos con el fin de que te apoyes en ellos cuando requieras conocer
su significado. Glosario para el profesor
231
Bibliografía. En estas páginas, se reúnen las referencias de libros, revistas o páginas de Internet que se sugieren
para apoyarte en caso de que desees o necesites profundizar en algunos temas del libro. Bibliografía Bibliografía para el alumno
Adición. Se asocia a varias ideas, entre ellas la de agrupar o reunir. Sin embargo, cuando se suman
Andradas, C. (2006). Póngame un kilo de matemáticas . Madrid: Ediciones SM.
números negativos estas nociones son contradictorias, pues una adición puede implicar una sustracción.
.
.
.
.
.
Ball. J. (2005). Piensa un número . Una mirada fascinante al mundo de los números (2a ed.). México: Ediciones SM.
Área. Es la medida de una superficie geométrica. El valor se puede asociar a comparar una superficie con una unidad de medida. También implica una tarea de medición, lo que conduce al manejo de técnicas y procedimientos correspondientes.
.
Blatner, D. (2003). El encanto de Pi. México: Aguilar.
.
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De la Peña, J. A. (2002). Geometría y el mundo . Biblioteca Juvenil Ilustrada. México: Santillana.
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Enzensberger, H. (1997). El diablo de los números . Madrid: Siruela.
Ecuación. Se relaciona con los conceptos de igualdad e incógnita; involucra un procedimiento o una técnica
Juring, Y. (1985). ¿Qué son las matemáticas? México: Ediciones de Cultura Popular.
.
Paenza, A. (2005). Matemática… ¿Estás ahí? Sobre números, personajes, problemas y curiosidades.Ciencia que ladra... Buenos Aires: Siglo XXI Editores.
. .
Multiplicación. Se asocia a un resultado mayor que los factores; sin embargo, con cantidades menores que 1 no es así, por lo que el modelo no siempre funciona.
.
unidad. Se define en función de las relaciones que se establezcan entres estos conceptos.
Números con signo. Representan varias situaciones o se asocian a ellas. Estas tienen el riesgo de entrar
. .
_________ (2009). Matemática… ¿Estás ahí? Sobre números personajes problemas y curiosidades . Ciencia que ladra... Buenos Aires: Siglo XXI Editores.
. .
Potencia. Se refiere a la multiplicación simplificada; aunque, cuando los exponentes son negativos, no es así.
Tahan, M. (1994). El hombre que calculaba. México: Noriega Editores.
Regla de tres. Es la relación entre dos cantidades cuyo comportamiento es lineal. Cuando se aplica a otras
Vorderman, C. (2011). Ayuda a tus hijos con las matemáticas . México: Altea.
situaciones que no son lineales, hay muchos problemas, por lo que conviene acotar el tipo de planteamientos.
.
.
.
.
.
.
Trazar. Se refiere a una actividad asociada con el uso de instrumentos para realizarlo. Con el desarrollo de las tecnologías informáticas, esas herramientas pueden ser entendidas como comandos que ejecutan accionesespecíficas.
:
.
.
.
.
.
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:
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Mentrard, D. Mathematiques et Sciences Physiques. Recuperado de http://dmentrard.free.fr/GEOGE BRA/index.htm
Proyecto Gauss. Recuperado de http://recursostic.educacion.es/gauss/web/index.htm
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Instituto de Tecnologías Educativas, Ministerio de Educación, España. Curso de Geometría. Recuperado de http://concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material098/geometria/geoweb/indice.htm
Ministerio de Educación, España. Descartes. Recuperado de http://recursostic.educacion.es/descartes/web/index.html
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Abreu. J.L. Proyecto Arquímedes. Recuperado dehttp://arquimedes.matem.unam.mx/
introducir la idea de variación como una característica de diversos fenómenos.
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Wells, D. (2000). El curioso mundo de las matemáticas . Barcelona: Gedisa.
Bibliografía electrónica para el alumno
Sucesión numérica. El análisis de su comportamiento permite establecer expresiones algebraicas e
. .
Solución. Es la respuesta a un planteamiento. Se necesita darle sentido en términos del cuestionamiento inicial para cerrar el ciclo entre ambos.
.
.
.
_________ (2008). Matemática… ¿Estás ahí? Episodio 100 . Ciencia que ladra... Buenos Aires: Siglo XXI Editores.
_________ (2010). Matemática… ¿Estás ahí? La vuelta al mundo en 34 problemas y 8 historias . Ciencia que ladra... Buenos Aires: Siglo XXI Editores.
en contradicción o de forzar su relación con los números negativos.
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_________ (2007). Matemática… ¿Estás ahí? Episodio 2. Ciencia que ladra... Buenos Aires: Siglo XXI Editores.
Número fraccionario. Representa diversas situaciones: división, reparto, proporción o secciones de una
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Conteo. Implica tanto el procedimiento como las estrategias utilizadas para contar. de solución.
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Matemáticas para la E.S.O. Enseñanza Digital a Distancia. Recuperado de http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/index_mat.htm 270
269
7
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Presentación Para el profesor
En este libro, se asume que la construcción de conocimiento es un proceso en que la repetición y memorización son útiles, mas no suficientes, para desarrollar y fortalecer
las competencias matemáticas de los alumnos. Por esta razón, el contenido se basa en situaciones que integran una secuencia para contextualizar el conocimiento y darle sentido, lo cual ocasiona que la matemática sea más cercana a la realidad
de los estudiantes y que se propicie un medio para facilitar el tránsito del lenguaje cotidiano al matemático. De este modo, no solo ampliarán sus conocimientos, sino que comprenderán y usarán con eficiencia los procedimientos y argumentos matemáticos al resolver problemas en diversas situaciones. El libro se escribió con la intención de apoyarlo en la construcción del conocimiento matemático de sus estudiantes. Su característica principal es presentar los contenidos mediante secuencias didácticas con las que se profundiza en el manejo de los conceptos a medida que se va avanzado en cada lección. Las situaciones propuestas también se han diseñado con este enfoque: involucran planteamientos que es posible
usar en la vida cotidiana y que refieren a actividades laborales y profesionales más cercanas a la realidad de los estudiantes. Además, el enfoque de las lecciones se basa, por un lado, en el carácter funcional del conocimiento matemático, en el desarrollo y perfeccionamiento de técnicas y procedimientos, así como en el manejo y comunicación de la información matemática. Y por el otro, se apoya en el fortalecimiento del pensamiento matemático que conduce a la
buena toma de decisiones y al razonamiento a partir de la interpretación de datos. Las lecciones están conformadas por una actividad inicial con la que se introduce el tema, se plantean cuestionamientos iniciales y se lleva a los estudiantes a reflexiones intuitivas; en el apartado Un paso adelante se aplican los conocimientos con mayor profundidad, enfatizando los conceptos clave; la sección Profundiza , en la que se
plantean problemas más complejos, pero sin dejar de acompañar a los alumnos en el proceso resolutivo; la sección Oriéntate, en la que se agregan datos útiles para apoyar la solución de problemas; y finalmente, la sección TIC, que integra enlaces a diversas páginas de Internet para que efectúen más ejercicios y obtengan información
extra sobre los conceptos abordados. Se agregó un recuadro de orientaciones relativas al contenido, al contexto del problema o sobre algún tecnicismo que pudieran representar un obstáculo para
los estudiantes, con el propósito de que tengan los conocimientos necesarios para desarrollar las actividades y no se distraigan en buscar información. Algunas de ellas
se diseñaron para trabajar en equipo con el fin de que los alumnos desarrollen y fortalezcan habilidades del pensamiento mediante el trabajo colaborativo. Por otra parte, el lenguaje que se maneja es simple y conciso; de esta manera, ellos puede reconocer las variables involucradas en cada problema de forma directa. Esperamos que encuentre en el libro un apoyo para el óptimo desarrollo de sus clases.
Los autores
8
Dosificación
Bloque
Eje
Tema
Números y sistemas de numeración
Problemas aditivos Sentido numérico y pensamiento algebraico
Patrones y ecuaciones
1 Forma, espacio y medida
Figuras y cuerpos Proporcionalidad y funciones
Manejo de la información
Nociones de probabilidad
Contenido
Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa. Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación. Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones. Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras. Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar a las literales como números generales con los que es posible operar. Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría. Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo. Resolución de problemas de reparto proporcional. Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles. Bitácora Laboratorio de matemáticas En el tintero Evaluación
Lección Semana
1y2
1
3y4
2
5
3
6
4
7
5
8y9
6
10 y 11
7
12 8 13
9
9
Dosificación
Bloque
Eje
Tema
Números y sistemas de numeración Sentido numérico y pensamiento algebraico
Problemas aditivos
Problemas multiplicativos
2
Figuras y cuerpos Forma, espacio y medida Medida
Manejo de la información
10
Proporcionalidad y funciones
Contenido
Lección Semana
Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3, 14 y 15 5 y 7. Distinción entre números primos y compuestos. Resolución de problemas que impliquen el cálculo del 16 máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en 17 distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales. Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en 18 y 19 distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales. Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un 20 segmento y la bisectriz de un ángulo. Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y 21 transformación de figuras. Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” 22 en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios. Bitácora Laboratorio de matemáticas En el tintero Evaluación
10 11
12
13
14
15
16
17
Dosificación
Bloque
Eje
Tema
Problemas multiplicativos Sentido numérico y pensamiento algebraico Patrones y ecuaciones
Forma, espacio y medida
3
Figuras y cuerpos
Medida Proporcionalidad y funciones Manejo de la información
Contenido
Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional. Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional. Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b ; ax = b ; ax + b = c , utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios. Construcción de polígonos regulares a partir d e distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella. Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares. Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas.
Lección Semana
23 y 24
18
25 y 26
19
27, 28 y 29
20 y 21
30 y 31
22
32
23
33
24
Nociones de probabilidad
Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias.
34
25
Análisis y representación de datos
Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa.
35 y 36
26
Bitácora Laboratorio de matemáticas En el tintero Evaluación
27
11
Dosificación Bloque
Eje
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Tema
Números y sistemas de numeración Figuras y cuerpos
Forma, espacio y medida Medida
Proporcionalidad y funciones
4 Manejo de la información
Nociones de probabilidad Análisis y representación de datos
Bloque
Eje
Tema
Problemas aditivos Sentido numérico y pensamiento algebraico
5
12
Problemas multiplicativos
Patrones y ecuaciones Forma, espacio y medida Manejo de la información
Medida Proporcionalidad y funciones
Contenido
Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos. Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas. Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfica y algebraicamente). Explicitación del número π (Pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro. Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios. Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala. Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los resultados. Lectura de información representada en gráficas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfica más adecuada. Bitácora Laboratorio de matemáticas En el tintero Evaluación
Contenido
Lección Semana
37 y 38
28
39
29
40 y 41
30
42 31 43
44
32
45 y 46
33
34
Lección Semana
Resolución de problemas que implican el uso 47 y 48 de sumas y restas de números enteros. Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de 49 exponente natural de números naturales y decimales. Uso de la notación científica para realizar cálculos en los 50 que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas. Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) 51 de una sucesión con progresión aritmética. Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el 52 área del círculo en la resolución de problemas. Resolución de problemas de proporcionalidad 53 múltiple. Bitácora Laboratorio de matemáticas En el tintero Evaluación
35 36 37 38 39 40
41
Índice
Bloque 1 Lección
Título
Lección 1
Números fraccionarios y decimales I
Lección 2
Números fraccionarios y decimales II
Lección 3
Números fraccionarios y decimales III
Contenido
Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa.
Página
18 22
Lección 4
Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta Números fraccionarios y decimales IV representación.
Lección 5
Problemas aditivos
Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más d e una operación de suma y resta de fracciones
34
Lección 6
Sucesiones numéricas y figurativas
Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras.
38
Lección 7
Significado de algunas fórmulas geométricas
Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar a las literales como números generales con los que es posible operar.
Lección 8
Trazo de triángulos
46
Lección 9
Trazo de cuadriláteros
Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el us o del juego de geometría.
Lección 10
Trazos y análisis
54
Lección 11
Trazos y análisis II
Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.
Lección 12
Reparto proporcional
Resolución de problemas de reparto proporcional.
62
Lección 13
Nociones de probabilidad
Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles.
66
26 30
42
50
58
Bitácora
70
Laboratorio de matemáticas
72
En el tintero
73
Evaluación
74
Bloque 2 Título
Lección
Contenido
Lección 14
Criterios de divisibilidad
Lección 15
Criterios de divisibilidad II
Lección 16
MCD y mcm
Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.
Lección 17
Adición de números fraccionarios y decimales
Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales.
Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3, 5 y 7. Distinción entre números primos y compuestos.
Página
78 82 86
90
13
Índice
Lección 18 Lección 19
Multiplicación y división con números fraccionarios I Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con Multiplicación y división con números números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales. fraccionarios II
Lección 20
Mediatriz y bisectriz
Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo.
Lección 21
Perímetro y área de polígonos regulares
Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras.
Lección 22
Proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”
Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios.
Bitácora Laboratorio de matemáticas En el tintero Evaluación
94 98 102 106 110 114 116 117 118
Bloque 3 Lección
Título
Lección 23
Multiplicación de números decimales I
Contenido
Página
122
Lección 24
Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números Multiplicación de números decimales II decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.
Lección 25
División de números decimales I
130
Lección 26
División de números decimales II
Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.
Lección 27
Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b ; ax = b ; ax + b = c , utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios.
138
Lección 30
Ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b Ecuaciones de primer grado de la forma ax = b Ecuaciones de primer grado de la forma ax + b = c Polígonos regulares I
Lección 31
Polígonos regulares II
Lección 32
Perímetro y área de polígonos regulares
Lección 28 Lección 29
Lección 33
Proporcionalidad
Lección 34
Anticipación de resultados
Lección 35
Frecuencia absoluta y relativa I
Lección 36
Frecuencia absoluta y relativa II
Bitácora Laboratorio de matemáticas En el tintero Evaluación
14
Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella. Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares. Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas. Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias. Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa.
126
134
142 146 150 154 158 162 166 170 174 178 180 181 182
Índice
Bloque 4 Lección
Título
Lección 37 Lección 38
Números con signo I Números con signo II
Lección 39
Construcción de círculos
Lección 40
Perímetro y área del círculo
Lección 41
Área del círculo
Lección 42
La regla de tres
Lección 43
Factor inverso de proporcionalidad
Lección 44
Conteo
Lección 45
Gráficas de barras y circulares I
Lección 46
Gráficas de barras y circulares II
Contenido
Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la u tilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos. Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas. Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfica y algebraicamente). Explicitación del número π (Pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro. Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios. Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala. Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los resultados. Lectura de información representada en gráficas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfica más adecuada.
Página
186 190 194 198 202 206 210 214 218 222
Bitácora Laboratorio de matemáticas
226
En el tintero Evaluación
229 230
228
Bloque 5 Lección
Título
Contenido
Página
Lección 47 Lección 48
Adición y sustracción de números con signo I Adición y sustracción de números con signo II
Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros.
234 238
Lección 49
Raíz cuadrada y potencia de exponente natural
Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales.
242
Lección 50
Notación científica
Uso de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.
246
Lección 51
Regla general de una progresión aritmética
Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética.
250
Lección 52
Área y perímetro del círculo
Lección 53
Proporcionalidad múltiple
Bitácora Laboratorio de matemáticas
Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas. Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple.
254 258 262 264
En el tintero Evaluación
265 266
Glosario Bibliografía
268 270
15
