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MATE MÁTI COS

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RETOS

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DIRECCIÓN DE CONTENIDOS Y SERVICIOS EDUCATIVOS Elisa Bonilla Rius AUTORÍA José Cruz García Zagal, Emilio Domínguez Bravo

Guía didáctica . Retos matemáticos 1. Secundaria. Primera edición, 2012 D.R. © U.D. Publishing, S.A. de C.V., 2012 Magdalena 211, Colonia del Valle, 03100, México, D. F. Tel.: (55) 1087 8400 www.udaytonpublishing.com

Jesús Rodríguez Viorato

La marca University of Dayton Publishing® es propiedad de University of Dayton

GERENCIA DE PUBLICACIONES ESCOLARES Felipe Ricardo Valdez González

Prohibida su reproducción total o parcial.

COORDINACIÓN EDITORIAL Ernesto Manuel Espinosa Asuar

300 College Park

EDICIÓN Cristóbal Bravo Marván

University of Dayton

Dayton, OH 45469 ISBN 978-607-493-239-3

CORRECCIÓN Mónica Terán Méndez

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana

Laura Martínez García

Registro número 2830

DIRECCIÓN DE ARTE Quetzatl León Calixto

No está permitida la reproducción total o parcial de este libro ni su tratamiento informático ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright.

COORDINACIÓN DE DIAGRAMACIÓN Jesús Arana Trejo DISEÑO Y DIAGRAMACIÓN Oscar Chávez Ponce DISEÑO DE PORTADA Brenda López Romero PRODUCCIÓN Carlos Olvera, Teresa Amaya

Impreso en México/Printed in Mexico Guía didáctica . Retos matemáticos 1. Secundaria. se terminó de imprimir se terminó de imprimir en Abril de 2012, en Reproducciones Fotomecánicas, S. A. de C. V., Democracias núm. 116, col. San Miguel Amantla, C. P. 02700, México, D. F.

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La Nueva Articulación de la Educación Básica está orientada, de manera prioritaria, al desarrollo de las competencias para la vida, a la par del desarrollo de las habilidades, conocimientos y actitudes propias del pensamiento matemático. El programa de articulación tiene el objetivo de unificar los enfoques de enseñanza y secuenciar la profundidad de los aprendizajes durante los cuatro periodos escolares (preescolar, primero a tercer grado de primaria, cuarto a sexto grado de primaria, y secundaria). Los elementos que articulan estos cuatro periodos son el perfil de egreso, los nuevos estándares curriculares y el enfoque de enseñanza de las matemáticas en la educación básica. Este programa de articulación ha generado los estándares curriculares y los vinculó con los aprendizajes esperados. Estos componentes son enunciados o indicadores que definen aquello que los estudiantes deben saber y saber hacer, así como las actitudes que demostrarán durante el proceso de aprendizaje y de exposición de lo aprendido. Los aprendizajes esperados y los estándares son útiles para dar seguimiento al desarrollo de las competencias. Los aprendizajes esperados se consiguen después del estudio de una secuencia de contenidos del programa, que están vinculados entre sí, y se demuestran a través de desempeños concretos de los alumnos en situaciones problemáticas. Por otra parte, los estándares curriculares enmarcan una secuencia de aprendizajes esperados y se definen al término de cada periodo escolar. Debido a su importancia, presentamos los aprendizajes esperados y los estándares curriculares en el avance programático de la guía didáctica, y que están relacionados con los contenidos de estudio del programa. De esta forma, usted podrá efectuar un seguimiento puntual sobre el avance que se espera tengan los estudiantes.

El programa de estudio de matemáticas

Los aprendizajes esperados y los estándares curriculares

Actitudes y valores

Uno de los propósitos del programa de matemáticas es que los alumnos muestren disposición positiva hacia el estudio de la matemática, así como al trabajo autónomo y colaborativo. Los estándares curriculares cubren cada uno de los ejes de contenido (Sentido numérico y pensamiento algebraico; Forma, espacio y medida; Manejo de la información) y abarcan un cuarto rubro que es de reciente incorporación: las actitudes y valores hacia el estudio de las matemáticas. El enfoque didáctico y las competencias matemáticas

El enfoque didáctico para el campo formativo Pensamiento Matemático se fundamenta en la resolución de problemas, pues se busca despertar el interés de los estudiantes mediante secuencias que impliquen situaciones problemáticas con las que reflexionen para desarrollar sus propias estrategias y formulen argumentos que validen sus resultados. Las competencias que se indican en el programa son: resolver problemas de manera autónoma; comunicar información matemática; validar procedimientos y resultados, y manejar técnicas eficientemente.

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¿Cómo usar esta guía?

El avance programático contiene lo siguiente.

• Conocimiento y habilidad que se trabajan en la lección

• Bloque, eje y tema al que pertenece el contenido desarrollado en la lección Avance programático Bloque 1 Eje. Sentido numérico y pensamie nto algebraico Tema. Números y sistemas de numeración 7.1.1 Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura

• Secuencia de

• Aprendizaje decimal y viceversa

Contenidos

contenidos del mismo grado y de otros que permiten obtener el aprendizaje esperado

• 6.2.1 Ubicación de fraccione s y decimales en la recta numérica en situaciones diversas. Por ejemplo, se quieren representar medios y la unidad está dividida en sextos, la unidad no está establecida, etcétera • 6.3.1 Identificación de una fracción o un decimal entre dos fracciones o decimale s dados. Acercamiento a la propiedad de densidad de los racionales, en contraste con los números naturales • 6.4.1 Conversión de fraccione s decimales a escritura decimal y viceversa. Aproxima ción de algunas fracciones no decimales usando la notación decimal • 7.1.1 Conversión de fraccione s decimales y no decimale s a su escritura decimal y viceversa

15 12 3 12 1 4

• Convierte números fraccionarios a decimales y viceversa.

Estándar

• Resuelve problemas que implican convertir números fraccionarios a decimales y viceversa.

• 7.1.2 Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizand o las convenciones de esta representación

9 4

• Sugerencias

Aprendizaje esperado

didácticas para trabajar la sección TIC que se indica en el libro del alumno e indicadores de logro

Lección 1

Números fraccionarios

• Nombre y

y decimales I

Estrategias de enseñanza y aprendizaje Situación inicial • El recurso en www.e-sm.com.mx/matret 1-021a permite comprob de operaciones con fraccione ar resultados s y puede serle útil durante todo el curso. Aproveche esta actividad para recordar el trabajo con porcentajes en quinto de primaria. Un paso adelante Solicite a los alumnos que respondan las preguntas del video en www.e-sm.com/ matret1-021c y que escriban en su cuaderno más ejemplos del uso de números fraccionarios en los deportes . Profundiza • Solicíteles que ingresen a www.e-sm.com/m atret1-02 1b y que efectúen las operaciones indicadas por medio del cálculo mental; se presenta operaciones sencillas de n diez conversión de fracciones a su escritura decimal. Para repetir la actividad es necesari o dar clic en el botón Reset. •

esperado y estándar curricular relacionados con el contenido

Indicadores de desempe

ño

número de lección

• Convierte fracciones a su escritura decimal. • Identifica números mixtos y los convierte a su escritura decimal.

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RETOS_guia_SM-B1-06-16.

indd 6

El libro del alumno con las respuestas la forma x + a = b de primer grado de Lección 27 Ecuaciones Profundiza lado de la s; a las expresiones de cada igualdad entre las expresione de operaciones matemáticas. En una ecuación, debe haber que se relacionan por medio la tabla. igualdad se les denomina miembros efectúa lo que se indica en a partir de un problema, se Para plantear una ecuación Se asigna una letra (x, y, z

• Respuesta de las actividades,

Definición de la incógnita Escritura de la ecuación

. o alguna otra) al número desconocido la que esté involucrada la incógnita.

Se escribe una igualdad en x por esta razón, se usa la letra de la figura representa la incógnita; resultado En el problema anterior, el número la ecuación así: “Un valor x más otra cantidad da como expresar para nombrarla. Es posible el número de palillos usados”.

cuarta, quinta las respuesta s de la y comparte con el grupo 5. Completa la tabla conclusiones en su cuaderno. y sexta filas. Anoten las Valor de la incógnita Lectura 2 __ Ecuación quinceavos. 5 once a igual es tercio un a 11 1 3 Un número sumado __ x + 3 = 15 cuarto. 4 medio y el resultado es un 1 1 1 A un número se le resta un 4 __ x– 2 = 4 o __2 y es igual a cero 8 se le restan cuatro octavos 4 __1 x – 8 = 0 A un número 2 es igual a 1. Un número sumado a sí mismo 1 =1

Oriéntate Una incógnita es un valor que no se conoce, pero que se necesita determinar.

x+x

R. P.

4 2 3

R. P.

6. Lee el planteamiento

1 5

1 5

cm

y contesta lo que se solicita

en tu cuaderno.

7 cm. Si se desea conocer la isósceles de la izquierda mide 10 El perímetro del triángulo como se indica. lado desigual, es posible expresarlo 7 2 x + 5 = 10

cm

x

Ecuación Situación El perímetro de un triángulo el lado desigual?

medida del

la operación. 7 2 obtener el valor de x? Plantea efectuar con 5 y 10 para 3 a) ¿Qué operación debes __ 2 __ 7 __ ¿Cuál es el valor de x? restar, 10 – 5 = ¿?, 10 os. Comenten sus s con las de tus compañer respuesta tus Compara 7. Completa la tabla. s. dificultades y cómo resolverla

isósceles es de 15 cm y los

lados iguales miden 7 cm.

¿Cuánto mide

12.4. Un número sumado a 8.3 es es 7. Un medio más un número es igual a 10. Un número sumado a sí mismo Luis? es 17, ¿cuántos años tiene años. Si la suma de sus edades El hermano de Luis tiene 5

x + 14 = 15

x + 8.3 = 12.4 __1 + x = 7 2

x + x = 10

5 + x = 17

Operación para hallar x

Valor para x

12.4 – 8.3 =

4.1

15 – 14 = __1 7– 2 =

10 ÷ 2 =

17 – 5 =

resaltadas en color magenta. En algunas respuestas se emplea la abreviatura R. P. cuando el alumno debe colocar una respuesta personal; aparece R. T. cuando es una respuesta tipo, debido a que el ejercicio se puede responder de varias formas.

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6__2 1

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140 Bloque 3 Lección 27

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Índice El programa de estudio de matemáticas ...................................... 3 ¿Cómo usar esta guía? ....................................................................... 4 Avance programático ......................................................................... 6 Bloque 1 .......................................................................................................................6 Bloque 2 .................................................................................................................... 18 Bloque 3 .................................................................................................................... 27 Bloque 4 .................................................................................................................... 39 Bloque 5 ....................................................................................................................49

Libro del alumno con respuestas .................................................. 57

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Avance programático Bloque 1 Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema. Números y sistemas de numeración 7.1.1 Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa

Contenidos


Estándar

• Convierte números fraccionarios a decimales y viceversa.


• 6.2.1 Ubicación de fracciones y decimales en la recta numérica en situaciones diversas. Por ejemplo, se quieren representar medios y la unidad está dividida en sextos, la unidad no está establecida, etcétera • 6.3.1 Identificación de una fracción o un decimal entre dos fracciones o decimales dados. Acercamiento a la propiedad de densidad de los racionales, en contraste con los números naturales • 6.4.1 Conversión de fracciones decimales a escritura decimal y viceversa. Aproximación de algunas fracciones no decimales usando la notación decimal • 7.1.1 Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa • 7.1.2 Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación

Lección 1

Números fraccionarios y decimales I

Estrategias de enseñanza y aprendizaje Situación inicial • El recurso en www.e-sm.com.mx/matret1-021a permite comprobar resultados de operaciones con fracciones y puede serle útil durante todo el curso. Aproveche esta actividad para recordar el trabajo con porcentajes en quinto de primaria. Un paso adelante • Solicite a los alumnos que respondan las preguntas del video en www.e-sm.com/ matret1-021c y que escriban en su cuaderno más ejemplos del uso de números fraccionarios en los deportes. Profundiza • Solicíteles que ingresen a www.e-sm.com/matret1-021b y que efectúen las operaciones indicadas por medio del cálculo mental; se presentan diez operaciones sencillas de conversión de fracciones a su escritura decimal. Para repetir la actividad es necesario dar clic en el botón Reset.

Indicadores de desempeño

• Convierte fracciones a su escritura decimal. • Identifica números mixtos y los convierte a su escritura decimal.

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Lección 2

Números fraccionarios y decimales II

Estrategias de enseñanza y aprendizaje


Situación inicial • Solicíteles que ingresen a www.e-sm.com.mx/matret1-025c; ahí observarán un video donde se contextualiza, mediante una receta, el uso de fracciones y números decimales. Pídales que elaboren las conversiones que se indican en el video. Un paso adelante • Utilice el recurso en www.e-sm.com.mx/matret1-025a para practicar y reforzar la transformación de fracciones a número decimal y viceversa. Profundiza • Solicíteles que ingresen a www.e-sm.com.mx/matret1-025b para que observen un video; en este se da una explicación detallada de las fracciones cuya expresión decimal es periódica. También se explica cómo convertir números decimales y mixtos a fracciones comunes. Al finalizar el video, pídales que 3 conviertan las fracciones _17 , __ y __2 a decimal y los números decimales 1.23, 0.09 23 9 y 0.1 a fracciones.

• Convierte fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa. • Comprende los algoritmos para convertir números decimales a fracciones y viceversa.

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema. Números y sistemas de numeración 7.1.2 Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación

Contenidos


Estándar

• Conoce y utiliza las convenciones para representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica.


• 6.2.1 Ubicación de fracciones y decimales en la recta numérica en situaciones diversas. Por ejemplo, se quieren representar medios y la unidad está dividida en sextos, la unidad no está establecida, etcétera • 6.3.1 Identificación de una fracción o un decimal entre dos fracciones o decimales dados. Acercamiento a la propiedad de densidad de los racionales, en contraste con los números naturales • 6.4.1 Conversión de fracciones decimales a escritura decimal y viceversa. Aproximación de algunas fracciones no decimales usando la notación decimal • 7.1.1 Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa • 7.1.2 Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación 7


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Lección 3

Números fraccionarios y decimales III

Estrategias de enseñanza y aprendizaje Situación inicial • Utilice, con los estudiantes, el recurso en www.e-sm.com.mx/matret1-029b para practicar y reforzar el orden de los números fraccionarios. Cuando no sea sencillo ordenar los números use el botón Ayuda para calcular el mínimo común múltiplo. Un paso adelante • Solicíteles que ingresen a www.e-sm.com.mx/matret1-029a para ubicar fracciones en la recta numérica. Es importante que hagan los ejercicios indicados para reforzar el orden de las fracciones. Pídales que, antes de colocar cada fracción, argumenten dónde debe colocarse y por qué. Profundiza • En el sitio www.e-sm.com.mx/matret1-029c hay un video que muestra un método para ubicar fracciones en la recta; sugiera que, con el método 23 __ 12 propuesto, ubiquen las fracciones __ , 11 y __ . 5 9 4

Lección 4


• Compara fracciones respecto al orden, es decir, determina cuándo una fracción es mayor o igual que otra. • Ubica fracciones en la recta numérica, usando el orden. • Aprende la propiedad de la densidad de los números racionales.

Números fraccionarios y decimales IV


Situación inicial • En el sitio www.e-sm.com.mx/matret1-033a podrán resolver ejercicios ordenando de mayor a menor una serie de números decimales. Pida que comparen estos ejercicios con los de la lección anterior; pregunte cuáles les parecieron más fáciles y por qué. Un paso adelante • El recurso en www.e-sm.com.mx/matret1-033b permite practicar y reforzar el orden de los números decimales en la recta numérica; pídales que efectúen los ejercicios que hay en el sitio y, al finalizar, pregúnteles qué es más fácil ubicar en la recta: números decimales o fracciones. Profundiza • El video en www.e-sm.com.mx/matret1-033c muestra un ejemplo, de la vida cotidiana, donde se comparan fracciones usando la recta numérica; proponga que, al finalizar el video, elaboren otros dos ejemplos en los que se comparen números decimales.


• Compara fracciones respecto al orden, es decir, determina cuándo una fracción es mayor o igual que otra. • Ubica fracciones en la recta numérica, usando el orden. • Aprende la propiedad de la densidad de los números racionales.

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Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema. Problemas aditivos 7.1.3 Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones

Contenidos


Estándar

• Resuelve problemas aditivos que implican el uso de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos.

• Resuelve problemas aditivos que impliquen efectuar cálculos con expresiones algebraicas.

• 7.1.3 Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones • 7.2.3 Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales • 7.4.1 Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos • 7.5.1 Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros

Lección 5

Problemas aditivos


Situación inicial • Pida a los alumnos que entren a www.e-sm.com.mx/matret1-037b para ejercitar la suma y resta de fracciones, sugiérales que resuelvan todos los ejercicios y ayúdelos a corregir posibles errores. Un paso adelante • El video en www.e-sm.com.mx/matret1-037c explica de diversas formas cómo se suman y restan las fracciones. Pídales que hagan la operación __21 + __23 - __53 con el método que les parezca más conveniente. Profundiza • En www.e-sm.com.mx/matret1-037a los alumnos efectuarán sumas y restas de tres fracciones combinadas; es importante leer las indicaciones antes de comenzar la actividad y, en caso necesario, repetir la actividad varias veces.


• Resuelve sumas y restas de fracciones con el mismo denominador.

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Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema. Patrones y ecuaciones 7.1.4 Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras

Contenidos


• 7.1.4 Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras

• Representa sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada y viceversa.

• 7.5.4 Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética

• Representa sucesiones de números enteros a partir de una regla dada y viceversa.

• 8.4.1 Construcción de sucesiones de números enteros a partir de las reglas algebraicas que las definen. Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética de números enteros • 9.4.1 Obtención de una expresión general cuadrática para definir el enésimo término de una sucesión

Lección 6

Estándar

• Utiliza en casos sencillos expresiones generales cuadráticas para definir el enésimo término de una sucesión.

• Resuelve problemas que implican expresar y utilizar la regla general lineal o cuadrática de una sucesión

Sucesiones numéricas y figurativas

Estrategias de enseñanza y aprendizaje Situación inicial • En el sitio www.e-sm.com.mx/matret1-041a los alumnos encontrarán un método para construir sucesiones de figuras. Es importante que identifiquen los patrones que se presentan en cada paso, pero sobre todo, que los comprendan para construcciones posteriores. Un paso adelante • En la dirección www.e-sm.com.mx/matret1-041b encontrará actividades para que identifiquen la regla o patrón de una sucesión de figuras; pídales, para cada sucesión, que anoten (o dibujen) las siguientes dos figuras y que establezcan de manera oral la regla que define la sucesión. Profundiza • El video en www.e-sm.com.mx/matret1-041c muestra ejemplos de la naturaleza donde aparecen sucesiones de figuras; pida a los estudiantes que, al término del video, elaboren más ejemplos de situaciones cotidianas donde haya sucesiones con algún patrón.


• Reconoce patrones en sucesiones de figuras. • Construye sucesiones de números o figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. • Formula en lenguaje común expresiones que definen sucesiones de números y de figuras.

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Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema. Patrones y ecuaciones 7.1.5 Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números generales con los que es posible operar

Contenidos • 7.1.5 Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números generales con los que es posible operar

• 7.3.3 Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios

Lección 7


Estándar

• Resuelve problemas que impliquen el uso de ecuaciones de las formas: x + a = b; ax = b y ax + b = c, donde a, b y c son números naturales y/o decimales.

• Resuelve problemas que involucran el uso de ecuaciones lineales o cuadráticas.

Significado de algunas fórmulas geométricas



Situación inicial • El recurso en www.e-sm.com.mx/matret1-045a permite trazar polígonos; solicite a los alumnos que formen dos rectángulos con la misma área pero diferente perímetro. Una de las finalidades de esta actividad es que automaticen las fórmulas de área y perímetro e identifiquen las diferencias entre ambas. Un paso adelante y profundiza • En la página www.e-sm.com.mx/matret1-045b se pide resolver diez problemas relacionados con el área y el perímetro de figuras. Enfatice que no se trata de contestar al azar; pídales que hagan un dibujo de cada figura y que verifiquen su resultado antes de elegir la respuesta.

• Usa literales para expresar cantidades. • Interpreta en lenguaje natural el significado de algunas fórmulas geométricas. • Interpreta literales como números generales con los que es posible operar. • Maneja expresiones algebraicas sencillas.

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Eje. Forma, espacio y medida Tema. Figuras y cuerpos 7.1.6 Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría

Contenidos


• 7.1.6 Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría • 7.3.4 Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, del ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella

• Construye círculos y polígonos regulares que cumplan con ciertas condiciones establecidas.

• 7.4.2 Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas

Lección 8

1 4 9 4

• Utiliza la regla y el compás para efectuar diversos trazos, como alturas de triángulos, mediatrices, rotaciones, simetrías, etcétera. • Resuelve problemas que implican construir círculos y polígonos regulares con base en información diversa y usa las relaciones entre sus puntos y rectas notables.

Trazo de triángulos


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Estándar

Situación inicial • En el video www.e-sm.com.mx/matret1-049c se construye un triángulo a partir de la medida de los lados; pida a los alumnos que, con un procedimiento similar, construyan dos triángulos cuyos lados midan 3, 5, 7 cm y 6, 7, 8 cm, respectivamente. Un paso adelante • El recurso en www.e-sm.com.mx/matret1-049a tiene una guía para construir triángulos a partir de diferentes datos; solicite que construyan un triángulo en su cuaderno reproduciendo cada paso, pero cambiando la medida de algunos. Profundiza • El recurso en www.e-sm.com.mx/matret1-049b permite trazar triángulos y verificar con un compás. Proponga que tracen triángulos con los datos del recurso y su juego de geometría.


• Traza triángulos mediante el uso del juego geométrico. • Construye triángulos que cumplen con ciertas condiciones establecidas.

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Lección 9

Trazo de cuadriláteros



Situación inicial • En el sitio www.e-sm.com.mx/matret1-053a los alumnos deben construir cuadrados a partir de diferentes datos; pídales que resuelvan algunos ejercicios con este recurso y que describan el procedimiento usado en su cuaderno. Un paso adelante • En la página www.e-sm.com.mx/matret1-053b se encuentra una actividad para trazar un cuadrado con regla y compás. Si observa dificultades, fomente el intercambio de ideas entre los estudiantes. Profundiza • El video en www.e-sm.com.mx/matret1-053c muestra cómo se traza un romboide con regla y compás solamente. Pida que redacten los pasos en el cuaderno.

• Traza cuadriláteros mediante el uso del juego geométrico. • Construye cuadriláteros que cumplen con ciertas condiciones establecidas.

Eje. Forma, espacio y medida Tema. Figuras y cuerpos 7.1.7 Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo

Contenidos

• 7.1.7 Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo

• 7.2.5 Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo


• Resuelve problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en triángulos y cuadriláteros.

Estándar


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Lección 10

Trazos y análisis I


Situación inicial • En el sitio www.e-sm.com.mx/matret1-057a se encuentran las definiciones de las alturas y las medianas de un triángulo así como algunas de sus propiedades. Es importante que los alumnos tracen las tres alturas de cada triángulo (en especial aquellas en las que su trazo requiere la prolongación de uno de los lados). Un paso adelante • En la página www.e-sm.com.mx/matret1-057b encontrarán actividades relativas al trazo de las medianas y el baricentro de un triángulo. Proponga que jueguen un rato con el software para que se familiaricen con él. Profundiza • El video en www.e-sm.com.mx/matret1-057c muestra las definiciones de las rectas significativas en un triángulo. Cuando termine, solicite que definan, con sus palabras, los conceptos de altura y mediana.

Lección 11


• Describe y construye las alturas de un triángulo. • Describe y construye el ortocentro de un triángulo. • Resuelve problemas que implican el trazo de bisectrices, con base en información diversa.

Trazos y análisis II


Situación inicial • En la página www.e-sm.com.mx/matret1-061a los estudiantes trazarán algunas rectas notables del triángulo. Indíqueles que antes de hacer los trazos recuerden la definición de la recta correspondiente. En caso de que se equivoquen en el trazo, pídales que revisen dónde estuvo el error y hagan las correcciones necesarias. Un paso adelante • En el sitio www.e-sm.com.mx/matret1-061b repasarán la definición de bisectriz y cómo trazarla. Al final de la actividad hay una construcción; solicite que expliquen en su cuaderno cómo se hizo. Profundiza • El recurso en www.e-sm.com.mx/matret1-061c muestra un método para trazar la mediatriz de un segmento de recta. Pídales que, con un método similar, tracen en su cuaderno la mediatriz de algunos segmentos cuya longitud no sea una cantidad entera de centímetros.


• Traza y analiza las propiedades de las bisectrices en un triángulo. • Describe y construye el baricentro de un triángulo. • Resuelve problemas que impliquen el trazo de medianas, bisectrices y mediatrices en un triángulo, con base en información diversa.

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Eje. Manejo de la información Tema. Proporcionalidad y funciones 7.1.8 Resolución de problemas de reparto proporcional

Contenidos


Estándar

• Resuelve problemas de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”, en los que la razón interna o externa es un número fraccionario

• Resuelve problemas vinculados con la proporcionalidad directa, inversa o múltiple, como porcentajes, escalas, interés simple o interés compuesto.

• 7.1.8 Resolución de problemas de reparto proporcional • 7.2.7 Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios • 7.3.6 Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas • 7.4.4 Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios • 7.4.5 Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala • 7.5.6 Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple

Lección 12

Reparto proporcional

Estrategias de enseñanza y aprendizaje Situación inicial • El video en www.e-sm.com.mx/matret1-065b muestra un problema típico de reparto proporcional, así como un método sencillo para resolverlo. Sugiera a los alumnos que planteen problemas similares y los resuelvan; recuérdeles que pueden usar el método propuesto, pero también algún otro que consideren conveniente. Un paso adelante • El video en www.e-sm.com.mx/matret1-065c explica una manera para resolver problemas de reparto proporcional. Pida que, de manera grupal, definan qué significa que un reparto sea proporcional. Profundiza • El recurso en http://www.e-sm.com.mx/matret1-065a permite generar problemas de reparto proporcional. Solicite que los resuelvan y verifiquen entre todos si sus resultados son correctos.


• Determina si dos conjuntos de datos son o no directamente proporcionales. • Obtiene la constante de proporcionalidad. • Resuelve problemas de reparto proporcional.

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Eje. Manejo de la información Tema. Nociones de probabilidad 7.1.9 Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles

Contenidos


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• Compara cualitativamente la probabilidad de eventos simples.

• Calcula la probabilidad de eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes.

• 7.1.9 Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles • 7.3.7 Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias • 7.4.6 Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los resultados

Lección 13

Nociones de probabilidad

Estrategias de enseñanza y aprendizaje Situación inicial • El recurso en www.e-sm.com.mx/matret1-069a permite simular una ruleta. Sugiera a los alumnos que, antes de hacerla girar 40 veces, digan qué colores saldrán más y menos veces, y por qué. Al finalizar, si sus predicciones no fueron correctas, pídales que analicen por qué. Un paso adelante • En la página www.e-sm.com.mx/matret1-069b simularán jugar a los volados. Sugiera que predigan cuántos soles (o águilas) saldrán al lanzar una moneda algunas veces , por ejemplo diez, y después de hacer los lanzamientos, discutan qué tan buena fue su estimación. Indíqueles que repitan la actividad, pero ahora con más lanzamientos, por ejemplo 30. Profundiza • En www.e-sm.com.mx/matret1-069c hay un video que explica la relación de las matemáticas con algunos juegos de azar como la lotería. Pida que, al finalizar el video, expliquen por qué en este tipo de juegos el monto que se reparte casi siempre es menor al dinero recaudado.


• Elige las estrategias en función del análisis de resultados posibles. • Identifica y practica juegos de azar sencillos y registra los resultados. • Compara cualitativamente la probabilidad de eventos simples.

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NOTAS

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Bloque 2 Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema. Números y sistemas de numeración 7.2.1 Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distinción entre números primos y compuestos

Contenidos


Estándar

• Resuelve problemas utilizando el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.

• Resuelve problemas que implican calcular el mínimo común múltiplo o el máximo común divisor.

• 7.2.1 Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distinción entre números primos y compuestos

• 7.2.2 Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo

Lección 14

Criterios de divisibilidad I

Estrategias de enseñanza y aprendizaje Situación inicial • El recurso en www.e-sm.com.mx/matret1-081b permite encontrar los números primos y los múltiplos de 2, 3, 5, 7 y 11 menores a 100. Pida a los alumnos que seleccionen las casillas correspondientes a los múltiplos de 2, 3, 5 y 7, y expliquen por qué los múltiplos de 11 también quedaron marcados. Un paso adelante • En el sitio www.e-sm.com.mx/matret1-081a encontrarán todos los divisores de los números que se indican. Antes de comenzar, mencione que si el número que desean poner es menor a 10, se debe colocar un 0 en el primer círculo amarillo; por ejemplo, si se quiere colocar el número 7 hay que poner 07. Profundiza • En la página www.e-sm.com.mx/matret1-081c hay un video que ejemplifica una aplicación muy útil de los números primos. Pida que resuelvan el problema que se plantea y comparen su solución con la propuesta en el recurso.


• Formula los criterios de divisibilidad entre 2 y 3. • Distingue entre números primos y compuestos.

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Lección 15

Criterios de divisibilidad II



Situación inicial • La actividad en www.e-sm.com.mx/matret1-085b introduce el concepto de primos gemelos (números primos que están a dos unidades de distancia). Pídales que encuentren algunos primos gemelos entre 100 y 200, y que verifiquen sus respuestas usando el recurso. Solicite que expliquen por qué, a excepción de los números 2 y 3, no hay más primos a una unidad de distancia (uno de los números debería ser par y por lo tanto no sería primo). Un paso adelante • El recurso en www.e-sm.com.mx/matret1-085a permite ejercitar la búsqueda de divisores. Sugiera que verifiquen sus respuestas antes de colocar los divisores y los no divisores en los cuadros indicados. Profundiza • Solicite que vean el video en www.e-sm.com.mx/matret1-085c. Al finalizar, pida que encuentren algunos divisores de 123 456, 234 567, 345 678 y 456 789.

• Formula los criterios de divisibilidad entre 5 y 7. • Distingue entre números primos y compuestos.

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema. Números y sistemas de numeración 7.2.2 Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo

Contenidos


Estándar

• Resuelve problemas utilizando el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.

• Resuelve problemas que implican calcular el mínimo común múltiplo o el máximo común divisor.

• 7.2.1 Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3, 5 y 7. Distinción entre números primos y compuestos

• 7.2.2 Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo

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Lección 16

MCD y mcm



Situación inicial • Se recomienda ir al sitio www.e-sm.com.mx/matret1-089a, pida a los alumnos que resuelvan la actividad, pero que antes de anotar los resultados, comprueben las respuestas en su cuaderno. Un paso adelante • Solicite que visiten la página www.e-sm.com.mx/matret1-089b para que practiquen el cálculo del máximo común divisor. Proponga que lo hagan para, al menos, 10 parejas de números y que registren la cantidad de aciertos. Profundiza • Los videos en www.e-sm.com.mx/matret1-089c y www.e-sm.com. mx/matret1-089d explican cómo calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor. Sugiera que resuelvan los ejercicios que se mencionan en cada video.

• Resuelve problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema. Problemas aditivos 7.2.3 Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales

Contenidos


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• Resuelve problemas aditivos que impliquen efectuar cálculos con expresiones algebraicas.


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Lección 17

Adición de números fraccionarios y números decimales



Situación inicial • La animación en www.e-sm.com.mx/matret1-093b ejemplifica cómo se suman números decimales; pida a los estudiantes que redacten, en su cuaderno y con sus palabras, un procedimiento similar para restar decimales. Un paso adelante • En la página www.e-sm.com.mx/matret1-093a pueden practicar sumas y restas con números. Mencione que la coma que aparece en los números (el recurso está hecho en España) tiene el mismo significado que nuestro punto decimal. Profundiza • El video en www.e-sm.com.mx/matret1-093c muestra el origen del sistema decimal y de los números decimales. Pida que elaboren un resumen de los conceptos matemáticos involucrados en el video.

• Representa cantidades de distintas maneras. • Resuelve problemas aditivos mediante fracciones. • Resuelve problemas aditivos con decimales.

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema. Problemas multiplicativos 7.2.4 Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales

Contenidos • 7.2.4 Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales • 7.3.1 Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional • 7.3.2 Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional • 7.5.3 Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales


• Resuelve problemas que implican efectuar multiplicaciones o divisiones con fracciones y números decimales. • Resuelve problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada y potencias de números naturales y decimales.

Estándar

• Resuelve problemas multiplicativos con expresiones algebraicas a excepción de la división entre polinomios.

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Lección 18

Multiplicación y división con números fraccionarios I


Situación inicial • El recurso en www.e-sm.com.mx/matret1-097a muestra un método para multiplicar fracciones. Pida a los alumnos que practiquen la multiplicación de fracciones con el recurso; sugiérales que, antes de pulsar botones, lean y comprendan las instrucciones. Un paso adelante • En la página www.e-sm.com.mx/matret1-097b se muestra un método gráfico para la multiplicación de fracciones. Pídales que varíen los parámetros a, b, c, d, y observen cómo cambia la cuadrícula. Pida que hagan varios ejercicios hasta dominar el tema. Profundiza • Solicite que vean el video en www.e-sm.com.mx/matret1-097c y elaboren un resumen de cómo se emplean las fracciones en la vida cotidiana (con otros ejemplos que no se mencionan en el video).

Lección 19


• Multiplica medidas fraccionarias por números naturales. • Multiplica números fraccionarios.

Multiplicación y división con números fraccionarios II

Estrategias de enseñanza y aprendizaje Situación inicial • En la página www.e-sm.com.mx/matret1-101a encontrarán ejercicios de multiplicación y división de fracciones. Si algún estudiante necesita más espacio para hacer las operaciones, pídale que las copie y resuelva en su cuaderno y que solamente anote el resultado en la casilla correspondiente del recurso. Un paso adelante • En el sitio www.e-sm.com.mx/matret1-101b hay una actividad que muestra que una división entre fracciones puede efectuarse como multiplicación. Pídales que, antes de resolver las operaciones, lean con cuidado las indicaciones. Al final, solicíteles que comparen sus resultados y den una explicación de por qué funciona este método. Profundiza • El video en www.e-sm.com.mx/matret1-101c muestra diferentes métodos para dividir fracciones. Sugiera que escojan el que les parezca más claro o fácil de recordar y lo escriban en su cuaderno.


• Resuelve divisiones de números fraccionarios. • Resuelve problemas que combinan multiplicación y división de medidas fraccionarias.

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Eje. Forma, espacio y medida Tema. Figuras y cuerpos 7.2.5 Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo

Contenidos


• 7.1.7 Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo

• 7.2.5 Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo

Lección 20

Estándar

• Resuelve problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en triángulos y cuadriláteros.


Mediatriz y bisectriz


Situación inicial • La actividad en www.e-sm.com.mx/matret1-105a muestra cómo trazar la mediatriz de un segmento de recta. Pídales que contesten las preguntas que se plantean y que redacten, en su cuaderno, el método usado en el trazo de la mediatriz. Un paso adelante • El recurso en www.e-sm.com.mx/matret1-105b permite reforzar el concepto de bisectriz de un ángulo y muestra un procedimiento para trazarla. Solicíteles que cada trazo que efectúen en el recurso interactivo lo hagan también en su cuaderno con el juego de geometría. Profundiza • El video en www.e-sm.com.mx/matret1-105c muestra un método para trazar la bisectriz de un ángulo. Solicite que expliquen por qué el trazo que se presenta en el video, efectivamente divide en dos partes iguales al ángulo original.


• Utiliza las propiedades de la mediatriz de un segmento para resolver problemas geométricos. • Utiliza las propiedades de la bisectriz de un ángulo para resolver problemas geométricos.

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Eje. Forma, espacio y medida Tema. Medida 7.2.6 Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras

Contenidos


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• 7.2.6 Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras

• Resuelve problemas que implican el cálculo de cualquiera de las variables de las fórmulas para calcular el perímetro y el área de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares. Explica la relación que existe entre el perímetro y el área de las figuras.

• Calcula cualquiera de las variables que intervienen en las fórmulas de perímetro, área y volumen.

• 7.3.5 Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares

Lección 21

Perímetro y área de polígonos regulares

Estrategias de enseñanza y aprendizaje Situación inicial • El recurso en www.e-sm.com.mx/matret1-109b tiene un tangram interactivo que permite construir varias figuras. Pida a los alumnos que armen los polígonos que se indican con el tangram. Aproveche esta actividad para que se familiaricen con las formas de los polígonos regulares. Un paso adelante • En la página www.e-sm.com.mx/matret1-109a podrán reforzar los conceptos importantes de la lección. Proponga que elaboren un resumen del método mostrado para calcular el área de un polígono regular. El recurso tiene también una sección de ejercicios; si lo considera conveniente, solicite que hagan algunos. Profundiza • El video en www.e-sm.com.mx/matret1-109c muestra figuras con formas diferentes, pero que ocupan la misma superficie; sugiera que elaboren, en su cuaderno, figuras con las características anteriores y que expliquen cómo se trazó cada una y por qué sus áreas son iguales.


• Traza polígonos regulares. • Justifica la fórmula del área de polígonos regulares.

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Eje. Manejo de la información Tema. Proporcionalidad y funciones 7.2.7 Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios

Contenidos


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• Resuelve problemas de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”, en los que la razón interna o externa es un número fraccionario.

• Resuelve problemas vinculados a la proporcionalidad directa, inversa o múltiple, como porcentajes, escalas, interés simple o compuesto.

• 7.1.8 Resolución de problemas de reparto proporcional • 7.2.7 Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios • 7.3.6 Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas • 7.4.4 Análisis de la regla de tres empleando valores enteros o fraccionarios • 7.4.5 Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala • 7.5.6 Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple

Lección 22

Proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”



Situación inicial • Solicite a los alumnos que visiten la página www.e-sm.com.mx/ matret1-113a y completen las tablas. Esta actividad permite consolidar estrategias para calcular el valor unitario o constante de proporcionalidad. Un paso adelante • En la página www.e-sm.com.mx/matret1-113b hay problemas que ejemplifican el concepto de proporcionalidad directa. Pida que planteen problemas similares en su cuaderno y los resuelvan. Profundiza • Sugiera que vean el video en www.e-sm.com.mx/matret1-113c y elaboren un resumen de las ideas más relevantes.

• Resuelve problemas de proporcionalidad del tipo “valor faltante”, con valor unitario, fraccionario y decimal. • Identifica una constante de proporcionalidad, ya sea entera o fraccionaria. • Usa las constantes de proporcionalidad para reproducir un dibujo a escala.

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NOTAS

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Bloque 3 Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema. Problemas multiplicativos 7.3.1 Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional

Contenidos


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• Resuelve problemas que implican efectuar multiplicaciones o divisiones con fracciones y números decimales.


• 7.2.4 Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales • 7.3.1 Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional • 7.3.2 Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional

Lección 23

Multiplicación de números decimales I

Estrategias de enseñanza y aprendizaje Situación inicial • Los recursos en la página www.e-sm.com.mx/matret1-125a permiten recordar el algoritmo y comprobar resultados de multiplicaciones con números decimales y naturales. Es importante que los alumnos practiquen el algoritmo, pues les servirá más adelante cuando haya operaciones más complejas. Haga notar que el recurso está hecho en otro país (España), donde se usa la coma en lugar del punto decimal. Un paso adelante • Si presentan dificultades para efectuar multiplicaciones de números decimales, solicíteles que vean la animación en www.e-sm.com.mx/matret1125b y que escriban, con sus palabras, los pasos que se muestran. Profundiza • En la página www.e-sm.com.mx/matret1-125c practicarán la multiplicación de números decimales. Pídales que hagan varios ejercicios, usando lo menos posible el botón de ayuda. El programa califica automáticamente en función de si se llegó o no al resultado correcto, así como de la ayuda utilizada durante el ejercicio.


• Multiplica números decimales. • Resuelve problemas con números decimales.

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Lección 24

Multiplicación de números decimales II



Situación inicial • Las actividades en www.e-sm.com.mx/matret1-129a presentan diferentes niveles de dificultad e interactividad. Según las dificultades que detecte en los alumnos, sugiérales qué actividades hacer y cuáles no. Un paso adelante • Solicite que revisen las tres primeras páginas del recurso en www.e-sm.com.mx/matret1-129b. Pida también que inventen multiplicaciones de números decimales por potencias de 10 y las intercambien para que algún compañero las resuelva. Profundiza • Sugiera que vean el video en www.e-sm.com.mx/matret1-129c y reflexionen acerca del contenido. Al finalizar, pídales que comenten cómo puede usarse el cálculo mental para estimar el resultado de una multiplicación con números decimales.

• Estima los resultados de multiplicaciones con números decimales. • Resuelve problemas con números decimales.

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema. Problemas multiplicativos 7.3.2 Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional

Contenidos


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• Resuelve problemas que implican efectuar multiplicaciones o divisiones con fracciones y números decimales.


• 7.2.4 Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales • 7.3.1 Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional

• 7.3.2 Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional

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Lección 25

División de números decimales I

Estrategias de enseñanza y aprendizaje Situación inicial • El recurso en www.e-sm.com.mx/matret1-133a servirá para que se familiaricen con la división de números decimales. Pida que expliquen por qué pusieron los cocientes iniciales y cómo obtuvieron el resultado correcto. Un paso adelante • El recurso en www.e-sm.com.mx/matret1-133b está en inglés, pero es fácil entender que sirve para hacer divisiones de números decimales. El botón Submit sirve para introducir la respuesta; el programa califica automáticamente y, en caso de que la respuesta sea incorrecta, muestra otro botón (Explanation), que indica el procedimiento correcto. Pida que expliquen, con sus palabras, el algoritmo para dividir números decimales. Profundiza • Solicite que vean el video en wtww.e-sm.com.mx/matret1-133c y redacten, en su cuaderno, un método para dividir números decimales; no es necesario que sea el algoritmo usual, puede ser un método propio inventado por el alumno (siempre y cuando funcione).

Lección 26


• Divide números decimales. • Estima resultados de divisiones con números decimales.

División de números decimales II

Estrategias de enseñanza y aprendizaje Situación inicial • Proponga que jueguen en www.e-sm.com.mx/matret1-137a; deben elegir la opción de trabajar con división. El recurso está en inglés, pero las opciones del menú son fáciles de entender. El nivel de complejidad (Level) es adaptable al estudiante. Es importante que las divisiones elegidas no sean del tipo algebraico (Algebra Style: No). El recurso permite también repasar suma, resta y multiplicación (Adittion, Substraction y Multiplication). Un paso adelante • La página www.e-sm.com.mx/matret1-137b ayudará a los estudiantes a definir mecanismos propios para efectuar divisiones entre potencias de 10 y números decimales. Profundiza • Solicite que vean el video en www.e-sm.com.mx/matret1-137c (dura 25 minutos) y resuman, en su cuaderno, los tipos de números que conocen (enteros, fracciones, decimales…), explicando las diferencias entre ellos. Fomente la reflexión acerca de la utilidad de los números decimales y qué dificultades surgen sin su uso.


• Estima resultados de divisiones con números decimales. • Divide números decimales. • Resuelve problemas con números decimales.

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Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema. Patrones y ecuaciones 7.3.3 Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios

Contenidos • 7.1.5 Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números generales con los que es posible operar

• 7.3.3 Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios

Lección 27


Estándar

• Resuelve problemas que impliquen el uso de ecuaciones de las formas: x + a = b; ax= b y ax+ b = c, donde a, b y c son números naturales y/o decimales.

• Resuelve problemas que involucran el uso de ecuaciones lineales o cuadráticas.

Ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b


Situación inicial • El recurso interactivo en www.e-sm.com.mx/matret1-141a permite comprender el proceso para efectuar despejes y encontrar las soluciones de una ecuación. Un paso adelante • Solicite que ingresen a www.e-sm.com.mx/matret1-141b y lean con cuidado la explicación para resolver ecuaciones con una incógnita. Después, pida que resuelvan los ejercicios que se encuentran en la página correspondiente (el botón → permite acceder a ella). Profundiza • Si presentan deficiencias para resolver ecuaciones, solicíteles que vean los primeros cinco minutos del video en www.e-sm.com.mx/ matret1-141c


• Plantea problemas que le den sentido al uso de las ecuaciones. • Resuelve problemas que le den sentido al uso de las ecuaciones. • Identifica las operaciones necesarias para llegar de una cantidad a otra en una adivinanza algebraica.

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Lección 28

Ecuaciones de primer grado de la forma ax = b


Situación inicial • El recurso interactivo en www.e-sm.com.mx/matret1-145a ayuda a resolver ecuaciones que involucren multiplicaciones y a comprender qué significa resolver una ecuación. Un paso adelante • Pida que reflexionen en torno a los ejemplos en www.e-sm.com.mx/ matret1-145b. Las flechas azules y rojas sirven para cambiar los parámetros de la ecuación y verificar paso a paso su resolución. Profundiza • Solicite que vean el video (dura 20 minutos) en www.e-sm.com.mx/ matret1-145c y reflexionen qué diferencia hay entre una ecuación y una fórmula. Comente cómo usamos las ecuaciones y las fórmulas en la vida cotidiana.

Lección 29


• Interpreta y plantea ecuaciones lineales para resolver problemas. • Determina cuándo dos ecuaciones son equivalentes. • Resuelve ecuaciones mediante las propiedades de la igualdad.

Ecuaciones de primer grado de la forma ax + b = c


Situación inicial • El recurso interactivo en www.e-sm.com.mx/matret1-149a les ayudará a reflexionar acerca de la resolución de ecuaciones de primer grado. Un paso adelante • Solicite que ingresen a www.e-sm.com.mx/matret1-149b y utilicen el recurso de la balanza para entender cómo se resuelven las ecuaciones. Dé tiempo para que se familiaricen con él y pídales que lo usen para resolver las dudas que se generen en el grupo. Profundiza • En caso de que presenten dudas para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, solicíteles que vean el video en www.e-sm. com.mx/matret1-149c.


• Comprende que al efectuar una operación en uno de los lados de la igualdad, debe hacerse lo mismo en el otro con el fin de preservar la igualdad. • Plantea problemas con ecuaciones de primer grado. • Resuelve problemas mediante ecuaciones de primer grado.

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Eje. Forma, espacio y medida Tema. Figuras y cuerpos 7.3.4 Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella

Contenidos


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• 7.1.6 Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría • 7.3.4 Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella


• 7.4.2 Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas

Lección 30

1 4 9 4

• Resuelve problemas que implican construir círculos y polígonos regulares con base en información diversa y usa las relaciones entre sus puntos y rectas notables.

Polígonos regulares I


15 12 3 12

• Utiliza la regla y el compás para efectuar diversos trazos, como alturas de triángulos, mediatrices, rotaciones, simetrías, etcétera.

Situación inicial • El recurso interactivo en www.e-sm.com.mx/matret1-153a muestra animaciones de cómo trazar polígonos regulares. Sugiera que, después de usarlo, reproduzcan en el cuaderno alguno de los polígonos con regla y compás. Un paso adelante • Solicite que ingresen a www.e-sm.com.mx/matret1-153b y utilicen el recurso para entender por qué el área de un hexágono se calcula (P × apotema) con la fórmula A = _________ . Formalmente, este tema se trabaja 2 en la siguiente lección; pero si lo considera conveniente, puede ir adelantando algunos conceptos para facilitar el trabajo con áreas de polígonos. Profundiza • Solicite que vean el video en www.e-sm.com.mx/matret1-153c y hagan la actividad que se propone; las tarjetas pueden tener distintos tamaños, pero todas deben incluir en su diseño un hexágono y un triángulo equilátero. Haga notar que lo que define la forma de un polígono regular es la medida de sus ángulos, no la de sus lados.


• Clasifica un polígono (regular o irregular). • Identifica el nombre de un polígono regular a partir de su número de lados. • Obtiene la medida de los ángulos centrales de un polígono regular. • Construye polígonos regulares a partir de distintas informaciones.

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Lección 31

Polígonos regulares II



Situación inicial • El recurso en www.e-sm.com.mx/matret1-157a muestra varios procedimientos para construir polígonos regulares. Algunos no son triviales; practique con ellos para que puedan trazarlos. Comente la relación entre un polígono regular y su circunferencia circunscrita. Un paso adelante • El recurso en www.e-sm.com.mx/matret1-157b muestra cómo se traza un pentágono regular. El recurso está en francés, pero el botón Etape permite ver la construcción paso a paso y entender cómo se hizo cada trazo. Pida que redacten, en su cuaderno, el procedimiento utilizado. Profundiza • Solicite que vean el video en www.e-sm.com.mx/matret1-157c y redacten, en su cuaderno, el método utilizado en el video. Pídales también que construyan otros polígonos regulares con dicho método.

• Mide ángulos con transportador. • Calcula ángulos con determinada información (un ángulo que es mitad de otro que mida 90°, medirá 45°; la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°; etcétera). • Traza figuras geométricas con el juego de geometría. • Construye polígonos regulares a partir de distintos datos conocidos.

Eje. Forma, espacio y medida Tema. Medida 7.3.5 Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares

Contenidos


Estándar

• 7.2.6 Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras

• Resuelve problemas que implican el cálculo de cualquiera de las variables de las fórmulas para calcular el perímetro y el área de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares.


• 7.3.5 Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares

• Explica la relación que existe entre el perímetro y el área de las figuras.

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Lección 32




Situación inicial • Solicite a los estudiantes que visiten el sitio www.e-sm.com.mx/ matret1-161a y resuelvan los ejercicios propuestos para practicar la obtención del área y perímetro de polígonos regulares. Si al momento de revisar el resultado detectan algún error, pídales que hagan las correcciones necesarias. Un paso adelante • Proponga que ingresen a la página www.e-sm.com.mx/matret1-161b y utilicen el recurso para entender cómo se calcula el área de un polígono regular. Sugiera que cambien la variable n, para que vean cómo el número de triángulos isósceles en que queda dividido el polígono, depende de su número de lados. Profundiza • Solicite que vean el video en www.e-sm.com.mx/matret1-161c donde se trabajan conceptos de perímetro, superficie, área y volumen. Resuelva las dudas que surjan al respecto.

• Calcula el perímetro de un polígono regular. • Calcula el área de un polígono regular.

Eje. Manejo de la información Tema. Proporcionalidad y funciones 7.3.6 Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas

Contenidos


Estándar

• 7.2.7 Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios • 7.3.6 Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas • 7.4.4 Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios

• Resuelve problemas de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”, en los que la razón interna o externa es un número fraccionario


• 7.4.5 Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala 34


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Lección 33

Proporcionalidad



Situación inicial • Solicite que resuelvan los ejercicios en www.e-sm.com.mx/matret1165a. Pídales que comenten las estrategias que utilizaron para resolverlos, y cómo ayudaron los diagramas y tablas para encontrar la constante asociada a la relación de proporcionalidad. Si lo requiere, puede modificar los valores del ejercicio para crear uno nuevo. Un paso adelante • El recurso en www.e-sm.com.mx/matret1-165b permite reforzar el concepto de proporcionalidad directa. El botón de ejercicios muestra más actividades y problemas que ayudan a la comprensión del tema. Profundiza • Sugiera que vean el video en www.e-sm.com/matret1-165c y contesten las preguntas. Mencione otras situaciones de la vida cotidiana en las que se encuentran dos o más constantes de proporcionalidad.

• Resuelve problemas de proporcionalidad entre dos cantidades de la misma naturaleza. • Identifica el operador multiplicativo, entero o fraccionario que, aplicado a uno de los conjuntos, da las cantidades del otro. • Aplica sucesivamente factores constantes de proporcionalidad.

Eje. Manejo de la información Tema. Nociones de probabilidad 7.3.7 Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias

Contenidos


Estándar



• 7.1.9 Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles • 7.3.7 Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias

• 7.4.6 Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los resultados

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Lección 34

Anticipación de resultados



Situación inicial • Solicíteles que visiten el recurso en http://www.e-sm.com.mx/ matret1-169a para que jueguen algunos juegos de azar sencillos. Al final de cada uno hay que contestar una serie de preguntas con las que el programa califica de manera automática el desempeño del alumno. Si observa dificultades para responder, organícelos en equipos y fomente el intercambio de ideas. Un paso adelante • Solicite que ingresen a www.e-sm.com.mx/matret1-169b y pida que, antes de utilizar la ruleta, anticipen cuántos de cada color caerán en n veces que opriman el botón Dar vuelta. Después, proponga que giren la ruleta n veces para llevar a cabo el experimento. No olvide indicar que deben registrar los resultados para poder contabilizarlos en una tabla de frecuencias. Si quiere que n sea muy grande, puede sumar los tiros de varios estudiantes. Profundiza • Solicite que vean el video en www.e-sm.com.mx/matret1-169c y contesten las preguntas que están al final.

• Estima los posibles resultados de un suceso aleatorio y con base en las frecuencias obtenidas identifica resultados más (o menos) probables que otros.

Eje. Manejo de la información Tema. Análisis y representación de datos 7.3.8 Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa

Contenidos • 7.3.8 Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa

• 7.4.7 Lectura de información representada en gráficas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfica más adecuada


Estándar

• Lee información presentada en gráficas de barras y circulares. Utiliza estos tipos de gráficas para comunicar información.

• Lee y representa información en diferentes tipos de gráficas; calcula y explica el significado del rango y la desviación media.

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Lección 35

Frecuencia absoluta y relativa I

Estrategias de enseñanza y aprendizaje Situación inicial • Proponga que efectúen las actividades que se encuentran en www.e-sm. com.mx/matret1-173a para reforzar el trabajo con el uso de las tablas de frecuencia y el concepto de frecuencia absoluta. Un paso adelante • Solicite que ingresen a www.e-sm.com.mx/matret1-173b, donde podrán jugar con una ruleta virtual. El recurso permite simular de manera instantánea hasta 1 000 giros de la ruleta y muestra las frecuencias obtenidas para cada color. Reflexione con ellos qué ocurriría con las frecuencias al aumentar (o disminuir) colores a la ruleta o cambiar el tamaño de la región asignada a cada color. Profundiza • Pídales que vean el video en www.e-sm.com.mx/matret1-173c y reflexionen acerca de los datos y la información que presenta. Promueva la elaboración de una encuesta que brinde información sobre un tema de interés del grupo.

Lección 35


• Reconoce cuándo una frecuencia es absoluta y cuándo es relativa. • Analiza información a partir de tablas y gráficos de frecuencia absoluta.

Frecuencia absoluta y relativa II

Estrategias de enseñanza y aprendizaje Situación inicial • El recurso en www.e-sm.com.mx/matret1-177a muestra un ejemplo típico donde se ve que la frecuencia absoluta brinda menos información que la frecuencia relativa. Pida más ejemplos de situaciones en las que lo importante no sea saber solo cuántos (frecuencia absoluta), sino cuántos de cada tantos (frecuencia relativa). Un paso adelante • El video en www.e-sm.com.mx/matret1-177c ejemplifica los conceptos de frecuencia absoluta y frecuencia relativa. Sugiera que, después de ver el video, redacten en su cuaderno definiciones para los dos conceptos anteriores; es importante que sean los propios alumnos quienes construyan la definición, pues así será más fácil que la recuerden. Profundiza • El recurso en www.e-sm.com.mx/matret1-177b permite practicar las frecuencias absoluta y relativa mediante una encuesta ficticia. Pídales que resuelvan algunos de los ejercicios que se plantean. Haga notar que el botón Inicio permite ver ejercicios resueltos, mientras que los botones Evaluar absoluta, Evaluar relativa y Evaluar probabilidad permiten verificar las respuestas.


• Reconoce cuándo una frecuencia es absoluta y cuándo es relativa. • Analiza información a partir de tablas de frecuencia absoluta y relativa.

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NOTAS

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Bloque 4 Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema. Números y sistemas de numeración 7.4.1 Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos

Contenidos


Estándar


• Resuelve problemas aditivos que implican efectuar cálculos con expresiones algebraicas.


Lección 37

Números con signo I



Un paso adelante • Pida a los alumnos que exploren la página www.e-sm.com.mx/ matret1-189a; tiene cuatro actividades donde podrán practicar la suma de números enteros. Utilice las flechas (←,→) para cambiar de actividad y el botón Inicio para generar nuevos valores numéricos. Las actividades no tienen retroalimentación ni verificación de resultados, así que es conveniente hacer una revisión conjunta al terminar. • Si tienen dificultades con este tipo de operaciones, sugiera que en www.e-sm.com.mx/matret1-189b hagan el ejercicio 1 de Operaciones con enteros (ii). El botón (=) del extremo derecho permite verificar los resultados. Profundiza • Solicite que vean el video en www.e-sm.com.mx/matret1-189c y reflexionen acerca de la utilidad de los números enteros. Comente usos de estos números en la vida cotidiana, así como el uso del 0 como punto de referencia.

• Resuelve problemas que implican el uso de números con signo.

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Lección 38

Números con signo II



Situación inicial • La actividad en www.e-sm.com.mx/matret1-193a permite continuar el trabajo con operaciones entre números negativos. Si tienen dudas sobre cómo funciona el recurso, recuérdeles pulsar el botón correspondiente para obtener ayuda. • En la página www.e-sm.com.mx/matret1-193b hay un ejercicio para trabajar con números enteros. Es importante que detecten que las preguntas hacen referencia al número que le corresponde a cada piso, no a la posición actual del elevador. En caso de detectar errores, identifique qué los genera y ayude al estudiante a resolverlos. Un paso adelante • Solicite que usen el recurso en www.e-sm.com.mx/matret1-193c para hacer actividades de orden de los números enteros y su posición relativa en la recta numérica. Profundiza • Sugiera que vean el video en www.e-sm.com.mx/matret1-193d y reflexionen acerca de la utilidad de los números enteros; además que comenten algunos usos cotidianos. Promueva un intercambio de ideas, no solo de lo visto en el video, sino a lo largo de las dos lecciones anteriores (37 y 38).

• Determina el valor absoluto de un número entero. • Sabe cuál es el número opuesto de un entero.

Eje. Forma, espacio y medida Tema. Figuras y cuerpos 7.4.2 Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas

Contenidos


• 7.1.6 Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría • 7.3.4 Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella • 7.4.2 Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas


Estándar • Utiliza la regla y el compás para realizar diversos trazos, como alturas de triángulos, mediatrices, rotaciones, simetrías, etcétera. • Resuelve problemas que implican construir círculos y polígonos regulares con base en información diversa.

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Lección 39

Construcción de círculos



Situación inicial • Solicite que exploren la página www.e-sm.com.mx/matret1-197a. Antes de empezar, pídales que hagan clic en el botón Instrucciones para entender cómo se usa el recurso y que pongan atención en lo que sucede cuando hay dos, tres o cuatro puntos. Promueva la comparación de respuestas y su justificación. Un paso adelante • El recurso en www.e-sm.com.mx/matret1-197b sirve para practicar el trazo de círculos. Sugiera que resuelvan las actividades propuestas; si tienen dificultades, organícelos en equipos y promueva el intercambio de ideas. Profundiza • Solicíteles que vean el video en www.e-sm.com.mx/matret1-197c y reflexionen acerca de las condiciones mínimas que se deben conocer para trazar una circunferencia; pregunte: “¿Cuándo las condiciones determinan una única circunferencia?, ¿cuándo se pueden construir varias?, ¿en qué condiciones no se puede construir ninguna?”.

• Construye círculos a partir de diferentes condiciones. • Resuelve problemas relacionados con el trazo de círculos.

Eje. Forma, espacio y medida Tema. Medida 7.4.3 Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfica y algebraicamente). Explicitación del número π (Pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro

Contenidos


Estándar

• Resuelve problemas que impliquen calcular el área y el perímetro del círculo.


• 6.4.5 Cálculo de la longitud de una circunferencia mediante diversos procedimientos • 7.4.3 Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfica y algebraicamente). Explicitación del número π (Pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro • 7.5.5 Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas • 8.1.5 Resolución de problemas que impliquen el cálculo de áreas de figuras compuestas, incluyendo áreas laterales y totales de prismas y pirámides 41


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Lección 40

Perímetro y área del círculo



Situación inicial • Pida que exploren la página www.e-sm.com.mx/matret1-201a. En el menú inicial se encuentran secciones que puede utilizar en los tres momentos de la lección. Como actividad inicial, use los ejercicios relacionados con los elementos del círculo. Un paso adelante • En este momento de la lección es recomendable que se trabaje con los tres apartados finales del vínculo www.e-sm.com.mx/matret1-201b: (a) Longitud de circunferencia, (b) Área del círculo y (c) Problemas y Autoevaluación Profundiza • Solicite que vean el video en www.e-sm.com.mx/matret1-201c y reflexionen en torno a las explicaciones que se presentan. Por ser el momento final, conviene despejar dudas que pudieran surgir durante el video.

• Conoce y comprende el significado del número irracional π. • Justifica la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia. • Calcula el perímetro de un círculo.

Lección 41

Área del círculo



Situación inicial • Como un repaso y a manera de recordatorio, sugiera visitar el sitio www.e-sm.com.mx/matret1-205b, donde se definen y exploran algunos elementos del círculo. Pídales que anoten, en su cuaderno, definiciones para los elementos que no las tengan. Un paso adelante • Solicite a los alumnos que exploren la página www.e-sm.com.mx/ matret1-205a para ver una justificación gráfica de cómo calcular la longitud de la circunferencia. Pídales que observen las animaciones y afirmaciones del primer apartado. Si lo considera conveniente, también pueden resolver los ejercicios de la sección “Pequeño taller”. Profundiza • Solicite que vean el video en www.e-sm.com.mx/matret1-205c y reflexionen acerca de los ejemplos que se emplean para calcular el número π (Pi). Es importante dejar claro que este número es la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro.

• Justifica la fórmula para calcular el área del círculo.

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Eje. Manejo de la información Tema. Proporcionalidad y funciones 7.4.4 Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios

Contenidos


Estándar


• Resuelve problemas vinculados con la proporcionalidad directa, inversa o múltiple, como porcentajes, escalas, interés simple o compuesto.

• 7.1.8 Resolución de problemas de reparto proporcional • 7.2.7 Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios • 7.3.6 Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas • 7.4.4 Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios. • 7.4.5 Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala • 7.5.6 Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple

Lección 42

La regla de tres

Estrategias de enseñanza y aprendizaje Situación inicial • Para retomar el trabajo previo con magnitudes directamente proporcionales, solicite que resuelvan los problemas y llenen las tablas que se encuentran en www.e-sm.com.mx/matret1-209a. Un paso adelante • El recurso en www.e-sm.com.mx/matret1-209b permite sistematizar estrategias al resolver problemas de proporcionalidad directa. Se recomienda, sobre todo, la sección “Practicar”. Profundiza • Solicite que vean el video en www.e-sm.com.mx/matret1-209c y comenten las diferentes estrategias que hay para resolver problemas de proporcionalidad directa. Proponga situaciones en que la regla de tres no sirve para encontrar el valor faltante y resolver el problema. Busque también ejemplos donde las magnitudes involucradas no sean proporcionales.


• Utiliza la regla de tres para resolver problemas de proporcionalidad con fracciones y decimales.

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Eje. Manejo de la información Tema. Proporcionalidad y funciones 7.4.5 Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala

Contenidos


Estándar



• 7.1.8 Resolución de problemas de reparto proporcional • 7.2.7 Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios • 7.3.6 Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas • 7.4.4 Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios • 7.4.5 Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala • 7.5.6 Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple

Lección 43

Factor inverso de proporcionalidad



Situación inicial • Solicite que resuelvan la actividad 1 del recurso en www.e-sm.com.mx/matret1213a para reactivar lo que los estudiantes saben de proporcionalidad. En el ejercicio 2 deberán encontrar el factor constante de proporcionalidad. Una vez que terminen la lección, fomente la reflexión sobre cómo usaron el factor y el factor inverso para resolver ambos ejercicios. Un paso adelante • El recurso en www.e-sm.com.mx/matret1-213b ayudará a los alumnos a interpretar gráficos y analizar su información para encontrar la variación proporcional que existe entre las magnitudes. Sugiérales que pongan especial atención en la sección “Practicar”. Profundiza • Solicíteles que vean la primera parte del video en www.e-sm.com.mx/matret1-213c. Al finalizar, pídales que construyan una maqueta de algún edificio local o escolar, o bien, de algún proyecto nuevo que ellos imaginen. Hábleles del uso de escalas en instrumentos como el pantógrafo o el microscopio.

• Comprende el significado de factor de escala fraccionario y el concepto de factor recíproco. • Interpreta los cambios que sufre una figura de acuerdo al factor de escala.

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Eje. Manejo de la información Tema. Nociones de probabilidad 7.4.6 Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los resultados

Contenidos


Estándar



• 7.1.9 Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles

• 7.3.7 Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias

• 7.4.6 Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los resultados

Lección 44

Conteo



Un paso adelante • Los recursos en www.e-sm.com.mx/matret1-217a, www.e-sm. com.mx/matret1-217b permiten formalizar las estrategias de conteo mediante diagramas de árbol. El primero puede ser una buena herramienta para generar diagramas de árbol en ejercicios complejos de conteo. Lea previamente las instrucciones y ayude a los estudiantes a ingresar los datos que generan el diagrama. Profundiza • Sugiérales que vean el video en www.e-sm.com.mx/matret1-217c. Al finalizar, comente algunas de las técnicas más usadas para contar y agrupar, y proporcione ejemplos de problemas que se pueden resolver mediante la combinatoria.

• Calcula permutaciones en conjuntos pequeños. • Calcula combinaciones en conjuntos pequeños. • Elabora diagramas de árbol. • Utiliza multiplicaciones y tablas de doble entrada en la resolución de problemas de conteo.

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Eje. Manejo de la información Tema. Análisis y representación de datos 7.4.7 Lectura de información representada en gráficas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfica más adecuada

Contenidos • 7.3.8 Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa

• 7.4.7 Lectura de información representada en gráficas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfica más adecuada

Lección 45


Estándar

• Lee información presentada en gráficas de barras y circulares. Utiliza estos tipos de gráficas para comunicar información.

• Lee y representa información en diferentes tipos de gráficas; calcula y explica el significado del rango y la desviación media.

Gráficas de barras y circulares I



Situación inicial • Solicite que observen las gráficas y hagan los ejercicios en www.e-sm. com.mx/matret1-221a. Coménteles qué información puede obtenerse de los gráficos. Formule preguntas complementarias que puedan contestarse a partir de los gráficos y sugiera a los estudiantes que generen algunas. Un paso adelante • El recurso en www.e-sm.com.mx/matret1-221b tiene actividades diversas donde se usan tablas y gráficas. Solicíteles trabajar el ejercicio 2, que presenta información en una gráfica de barras; pida que argumenten qué ventajas y desventajas tiene el uso de este tipo de gráficas. Profundiza • El video en www.e-sm.com.mx/matret1-221c complementará el uso de gráficos con un ejemplo muy usado por las empresas televisoras para vender sus productos. También muestra distintos tipos de gráficas que se pueden usar como introducción para la siguiente lección.

• Lee e interpreta gráficas de barras y circulares. • Construye gráficas de barras y circulares.

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Lección 46

Gráficas de barras y circulares II



Un paso adelante • Los recursos en www.e-sm.com.mx/matret1-225a y www.e-sm. com.mx/matret1-225b ayudarán a los alumnos a construir gráficas circulares. Se recomienda que el primer recurso lo usen cuando sepan construir gráficas circulares. El segundo recurso divide automáticamente los sectores circulares de acuerdo a las frecuencias preestablecidas. Profundiza • Pídales que vean el video en www.e-sm.com.mx/matret1-225c y comenten el problema que se plantea, así como las soluciones sugeridas. Al final, promueva la discusión en torno a la utilidad de las gráficas para presentar información de manera clara y concisa.

• Lee e interpreta gráficas de barras y circulares. • Construye gráficas de barras y circulares. • Establece el tipo de gráfica más conveniente para representar determinada información.

NOTAS

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NOTAS

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Bloque 5 Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema. Problemas aditivos 7.5.1 Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros

Contenidos


Estándar


• Resuelve problemas aditivos que implican efectuar cálculos con expresiones algebraicas.


Lección 47

Adición y sustracción de números con signo I



Situación inicial • En video en www.e-sm.com.mx/matret1-237c describe dos problemas; pida a los alumnos que apunten los datos necesarios y los resuelvan. Este recurso puede servir para introducir el tema de los números negativos. Un paso adelante • El recurso en www.e-sm.com.mx/matret1-237a sirve como ábaco para sumar un número negativo a un entero cualquiera y permite explicar cómo se efectúa dicha suma. Lea con cuidado las instrucciones antes de utilizarlo en clase. Profundiza • Al cargarse el recurso en www.e-sm.com.mx/matret1-237b, vaya a la sección “Recurso Educativo Interactivo” y, en la parte inferior, elija la pestaña Activar; ahí encontrará ejercicios que explican cómo resolver problemas con la recta numérica. Las pestañas Practicar y Sistematizar resultan útiles para que los estudiantes practiquen en casa.

• Resuelve problemas que implican la suma de números con signo. • Resuelve sumas de números con signo.

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Lección 48

Adición y sustracción de números con signo II



Situación inicial • Para ejercitar el cálculo de opuestos de un entero, pida a los alumnos que resuelvan la actividad en www.e-sm.com.mx/matret1-241a. En este recurso se encuentra la definición de opuesto, por lo que también se puede usar como introducción. El botón Inicio permite cambiar los valores de forma aleatoria. Un paso adelante • Una vez que se han trabajado todos los detalles sobre resta de números con signo, el recurso en www.e-sm.com.mx/matret1-241b será útil para que hagan ejercicios. Nuevamente, el botón Inicio sirve para cambiar los valores. Profundiza • El video en www.e-sm.com.mx/matret1-241c explica cómo hacer restas de números con signo y advierte sobre el error que se cometería al aplicar en este caso la regla del producto de números con signos.

• Calcula el opuesto de un número entero. • Resta números con signo.

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema. Problemas multiplicativos 7.5.2 Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales

Contenidos


Estándar

• 7.5.2 Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales

• Resuelve problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada y potencias de números naturales y decimales.


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Lección 49

Raíz cuadrada y potencias de exponente natural



Situación inicial • El recurso en www.e-sm.com.mx/matret1-245a cuenta con catorce actividades de exponenciación y radicación en las que se construyen las leyes de los exponentes. Un paso adelante • El video en www.e-sm.com.mx/matret1-245c muestra una explicación, paso a paso, del método babilónico para calcular raíces cuadradas. Presente el video al grupo y resuelva dudas en el pizarrón. Profundiza • El recurso en www.e-sm.com.mx/matret1-245b permite poner en práctica el método babilónico. El alumno no necesitará hacer cuentas, sino seleccionar el resultado de las operaciones y visualizar gráficamente sus respuestas.

• Resuelve problemas que implican cálcular la raíz cuadrada. • Resuelve problemas que implican elevar a un exponente natural.

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema. Problemas multiplicativos 7.5.3 Uso de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas

Contenidos


Estándar

• Resuelve problemas que implican el uso de las leyes de los exponentes y de la notación científica.


• 7.5.3 Uso de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas

• 8.1.2 Cálculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo

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Lección 50

Notación científica



Situación inicial • El video en www.e-sm.com.mx/matret1-249c presenta una introducción al tema de la notación científica y sus usos. Un paso adelante • El recurso en www.e-sm.com.mx/matret1-249a presenta multiplicaciones de números en notación científica. Las flechas amarillas sirven para ver, paso a paso, cómo se obtiene el resultado; pida a los estudiantes que describan lo que ocurre en cada paso. El botón Otros valores permite ver más ejemplos, mientras que el botón Modificar permite generar ejemplos propios. Profundiza • El recurso en www.e-sm.com.mx/matret1-249b permite practicar la notación científica y evaluar respuestas mediante el botón Check My Answer; con el botón Quiz: Conversion obtendrá una autoevaluación.

• Convierte números decimales a notación científica. • Opera con números en notación científica.

Eje. Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema. Patrones y ecuaciones 7.5.4 Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética

Contenidos • 7.1.4 Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras • 7.5.4 Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética • 8.4.1 Construcción de sucesiones de números enteros a partir de las reglas algebraicas que las definen. Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética de números enteros • 9.4.1 Obtención de una expresión general cuadrática para definir el enésimo término de una sucesión


Estándar

• Representa sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada y viceversa. • Representa sucesiones de números enteros a partir de una regla dada y viceversa. • Utiliza en casos sencillos expresiones generales cuadráticas para definir el enésimo término de una sucesión.

• Resuelve problemas que implican expresar y utilizar la regla general lineal o cuadrática de una sucesión.

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Lección 51

Regla general de una progresión aritmética



Situación inicial • En www.e-sm.com.mx/matret1-253a hay actividades para formar el término general de las sucesiones aritméticas y geométricas. Use estas actividades para tratar el tema de sucesiones en varias sesiones. Un paso adelante • Escriba una o varias sucesiones aritméticas en el pizarrón y muestre el video en www.e-sm.com.mx/matret1-253c al grupo. Detenga el video al final de las secciones “Identificarlas”, “Término general”, y “Fórmulas y propiedades” para resolver dudas. Profundiza • Escriba sucesiones aritméticas y pídales que las reproduzcan con el recurso en www.e-sm.com.mx/matret1-253b; deberán indicar el valor inicial de la sucesión, así como la diferencia que hay entre dos términos consecutivos.

• Representa sucesiones de una progresión aritmética con números enteros a partir de una regla dada y viceversa.

Eje. Forma, espacio y medida Tema. Medida 7.5.5 Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas

Contenidos


Estándar

• Resuelve problemas que impliquen calcular el área y el perímetro del círculo.


• 6.4.5 Cálculo de la longitud de una circunferencia mediante diversos procedimientos • 7.4.3 Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfica y algebraicamente) Explicitación del número π (Pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro • 7.5.5 Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas • 8.1.5 Resolución de problemas que impliquen el cálculo de áreas de figuras compuestas, incluyendo áreas laterales y totales de prismas y pirámides 53


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Lección 52

Área y perímetro del círculo



Situación inicial • Visite la dirección www.e-sm.com.mx/matret1-257b: en la página 22 encontrará un par de explicaciones sobre el número π y el perímetro de la circunferencia y, a partir de la página 31, ejercicios para evaluar conocimientos previos sobre circunferencias. • Presénteles el video en www.e-sm.com.mx/matret1-257c para recordarles la definición de π. Solicite que midan el perímetro de algún objeto circular con una cinta métrica y que calculen el cociente (perímetro sobre diámetro). Un paso adelante • Acceda al recurso en www.e-sm.com.mx/matret1-257a y seleccione, en el lado izquierdo, los recuadros de área y perímetro del círculo. Este recurso permite ejercitar las fórmulas de área y perímetro de la circunferencia.

• Resuelve problemas que implican calcular el área de un círculo. • Resuelve problemas que implican calcular el perímetro de un círculo.

Eje. Manejo de la información Tema. Proporcionalidad y funciones 7.5.6 Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple

Contenidos


Estándar



• 7.1.8 Resolución de problemas de reparto proporcional • 7.2.7 Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios • 7.3.6 Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas • 7.4.4 Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios • 7.4.5 Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala • 7.5.6 Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple 54


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Lección 53

Proporcionalidad múltiple



Situación inicial • El recurso en www.e-sm.com.mx/matret1-261b muestra tres recuadros verdes. En la parte inferior derecha de cada uno aparece la leyenda “Actividad: Mostrar”; al presionarla, se muestra la actividad correspondiente. • Se recomienda, en especial, el segundo recuadro, pues contiene ejercicios interactivos para el tema de proporcionalidad y porcentajes. Un paso adelante • El video en www.e-sm.com.mx/matret1-261c presenta un repaso de proporcionalidad y una introducción a la proporcionalidad múltiple. Profundiza • El recurso en www.e-sm.com.mx/matret1-261a presenta ejercicios aleatorios de proporcionalidad múltiple. Con el botón Otros valores se generan más ejercicios y con el botón Verificar podrán evaluar sus respuestas.

• Distingue y resuelve problemas de proporcionalidad múltiple.

NOTAS

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Dirección de contenidos y servicios educativos Elisa Bonilla Rius Publisher Lauren Robbins Autores Apolo Castañeda Alonso Rosa Isela González Polo Coordinación editorial Ernesto Manuel Espinosa Asuar Edición Macbeth Baruch Rangel Orduña Revisión técnica José Cruz García Zagal Coordinación de corrección Abdel López Cruz Corrección Mónica Nelly Terán Méndez Laura Martínez García Eduardo Jiménez Zurita Dirección de arte y diseño Quetzatl León Calixto Diseño de portada José Manuel Calvillo Diseño de la serie Claudia Adriana García Villaseñor Coordinación de diagramación Jesús Arana y César Leyva Diagramación Maricarmen Martínez Muñoz Coordinación de iconografía e imagen Ricardo Tapia Iconografía Penélope Graciela Ubaldo Jurado Fotografía © 2011, Carlos A. Vargas © 2011, Iván Meza © Thinkstock 2011 Archivo SM Digitalización e imagen Carlos A. López, Uriel Flores Moreno Donovan Popoca Jiménez Eliana Castro Fernández

Retos matemáticos 1 Secundaria primer grado Primera edición, 2012 D. R. © U.D. Publishing, S. A. de C. V., 2012 Magdalena 211, Colonia del Valle, 03100, México, D. F. Tel.: (55) 1087 8400 www.udaytonpublishing.com La marca University of Dayton Publishing es propiedad de University of Dayton. Prohibida su reproducción total o parcial. University of Dayton 300 College Park Dayton, OH 45469 ISBN 978-607-493-236-2 Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro número 2830

Revisión técnica de evaluaciones Instituto de Evaluación y Asesoramiento Educativo (IDEA)

No está permitida la reproducción total o parcial de este libro ni su tratamiento informático ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright.

Producción Carlos Olvera, Teresa Amaya

Impreso en México/Printed in Mexico

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Presentación general

Retos Matemáticos 1 se creó para apoyar y acompañar al estudiante en su trabajo escolar mediante planteamientos didácticos cercanos a su vida cotidiana, en los que se relacionan de manera dosificada los conocimientos previos con los nuevos, conforme al grado de complejidad matemática. Su propósito es generar reflexiones y argumentos para que el alumno desarrolle competencias matemáticas, habilidades de comunicación y una actitud crítica ante su entorno. Para ello, el libro se organiza en cinco bloques y cada uno de ellos en varias lecciones. Estas, a su vez, se dividen en tres apartados: situación problemática, “Un paso adelante” y “Profundiza", que están diseñados para analizar, discutir, reflexionar y establecer de forma colectiva conclusiones relativas a los contenidos tratados. En algunos casos, las lecciones comprenden más de un tema, por lo que “Un paso adelante” aparece más de una vez. Al término de cada lección se encuentra un recuadro de tecnologías de la información y comunicación (TIC), donde se sugieren sitios de Internet para que el estudiante practique al interactuar con animaciones, juegos, videos y modelos matemáticos. Además, en la mayoría se presentan actividades fuera del salón de clase para que el alumno consolide los conocimientos y habilidades de la lección. Cada bloque concluye con cuatro anexos cuyo objetivo es sistematizar, resumir y ampliar los temas vistos. En la “Bitácora” hay planteamientos que permiten consolidar el conocimiento al resaltar las ideas relevantes de cada lección, así como verificar el nivel de adquisición de este y detectar dificultades. Por otra parte, en el “Laboratorio de matemáticas” se presentan retos, actividades y experimentos relacionados con el contenido de las lecciones; en ellos es necesario aplicar lo aprendido para resolver los diversos planteamientos. En cuanto al anexo “En el tintero”, incluye un problema que representa la posibilidad de explorar nuevos escenarios, técnicas y procedimientos con el fin de afianzar lo estudiado. Por otro lado, en la “Evaluación” se reúnen preguntas con el formato de opción múltiple de tipo ENLACE para determinar los avances del alumno y acercarlo al estilo de esta prueba. Al final se ofrece un glosario y bibliografía tanto para el estudiante como para el profesor: en el primero se definen ciertos términos que podrían generar confusión, mientras que en la segunda se recomiendan documentos impresos y digitales para ampliar los conocimientos. Por último, esta obra se diseñó como una guía para los profesores y padres de familia, pues el índice se adecuó para mostrar cada bloque con un color específico e identificar el eje, tema y contenido correspondientes, así como la lección y semana de estudio, además de una columna para indicar el avance del trabajo escolar.

Los autores

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Presentación Para el alumno Las matemáticas han contribuido al desarrollo del conocimiento científico y al avance de la tecnología, pero también han influido en otros ámbitos de la actividad humana, como el arte, la arquitectura y la música. Sin embargo, otra de sus funciones es ayudar a tomar buenas decisiones; por ejemplo, al comparar el precio de un producto en el supermercado, elegir el procedimiento para resolver un problema y opinar sobre los datos vertidos en una gráfica, entre otras situaciones. Esto significa que las matemáticas son útiles en la vida cotidiana; estudiarlas requiere emplear nuestras habilidades de razonamiento para solucionar problemáticas en diversas situaciones. Pero, así como el ejercicio físico frecuente nos sirve para mantener una buena salud, practicar y dedicarse a resolver actividades de matemáticas nos ayuda a afianzar nuestro pensamiento. Por estas razones, en tu libro encontrarás problemas con diferente grado de complejidad en los que podrás aplicar conocimientos y repasar conceptos. Asimismo, hallarás actividades en las que necesitarás reflexionar lo ya aprendido y explorar procedimientos o métodos de solución nuevos. Además de profundizar en los contenidos, de manera individual y grupal, indagarás otras rutas para resolver problemas en los retos matemáticos, formularás estrategias y desarrollarás habilidades. Tu libro está estructurado en lecciones que se inician con un planteamiento; este relaciona el conocimiento matemático que se explicará con situaciones de la vida cotidiana. Deberás poner en práctica tu experiencia y tus conocimientos para responder las preguntas. Conforme avances, te darás cuenta de que hay varias maneras de resolver los problemas. Al terminar cada lección, encontrarás referencias en Internet para profundizar en los contenidos que estudiaste, así como para explorar y resolver otros retos matemáticos. En las lecciones encontrarás actividades para trabajar en equipo o parejas; están diseñadas con la intención de que experimentes los beneficios del trabajo colectivo, por ejemplo, al compartir ideas, llegar a acuerdos, etc., pero también con el fin de que desarrolles habilidades para comunicar información matemática. El libro fue creado para que fortalezcas tus habilidades de pensamiento matemático y tu autoconfianza al superar los retos matemáticos que se presentan y aprovechar este amplio campo de saber. Esperamos que lo disfrutes.

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Presentación Para el profesor En este libro se asume que la construcción de conocimiento es un proceso en que la repetición y memorización son útiles mas no suficientes para desarrollar y fortalecer las competencias matemáticas de los alumnos. Por esta razón, el contenido se basa en situaciones que integran una secuencia para contextualizar el conocimiento y darle sentido, lo cual ocasiona que las matemáticas sean más cercanas a la realidad de los estudiantes y que se propicie un medio para facilitar el tránsito del lenguaje cotidiano al matemático. De este modo, no solo ampliarán sus conocimientos, sino que comprenderán y usarán con eficiencia los procedimientos y argumentos matemáticos al resolver problemas en diversas situaciones. El libro se escribió con la intención de apoyarlo en la construcción del conocimiento matemático de sus estudiantes. Su característica principal es presentar los contenidos mediante secuencias didácticas con las que se profundiza en el manejo de los conceptos a medida que se avanza en cada lección. Las situaciones propuestas también se han diseñado con esta perspectiva: involucran planteamientos que es posible usar en la vida cotidiana y refieren a actividades laborales y profesionales más cercanas a la realidad de los estudiantes. Además, el enfoque de las lecciones se basa, por un lado, en el carácter funcional del conocimiento matemático, en el desarrollo y perfeccionamiento de técnicas y procedimientos, así como en el manejo y comunicación de la información matemática. Y por el otro, se apoya en el fortalecimiento del pensamiento matemático que conduce a la buena toma de decisiones y al razonamiento a partir de la interpretación de datos. Las lecciones están conformadas por una actividad inicial con la que se introduce el contenido, se plantean cuestionamientos iniciales y se lleva a los estudiantes a reflexiones intuitivas; en el apartado Un paso adelante se aplican los conocimientos con mayor profundidad, enfatizando los conceptos clave; la sección Profundiza, en la que se plantean problemas más complejos, pero sin dejar de acompañar a los alumnos en el proceso resolutivo; la cápsula Oriéntate, en la que se agregan datos útiles para apoyar la solución de problemas; y finalmente, el recuadro de TIC, que integra enlaces a diversas páginas de Internet para que efectúen más ejercicios y obtengan información adicional sobre los conceptos abordados. Se agregó un recuadro de orientaciones relativas al contenido, al contexto del problema o sobre algún tecnicismo que pudieran representar un obstáculo para los estudiantes, con el propósito de que tengan los conocimientos necesarios para desarrollar las actividades y no se distraigan en buscar información. Algunas de ellas se diseñaron para trabajar en equipo con el fin de que los alumnos desarrollen y fortalezcan habilidades del pensamiento mediante el trabajo colaborativo. Por otra parte, el lenguaje que se maneja es simple y conciso; de esta manera, ellos pueden reconocer las variables involucradas en cada problema de forma directa. Esperamos que encuentre en el libro un apoyo para el óptimo desarrollo de sus clases.

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Guía de uso Retos matemáticos 1 consta de cinco bloques que contienen lecciones de cuatro páginas en que desarrollarás los contenidos de esta asignatura. En tu libro encontrarás las siguientes secciones.

En el mundo hay objetos, situaciones y eventos que, a menudo, debemos medir; para hacerlo, necesitamos los números. Al conocer la estatura o edad de una persona, compartir el número de celular a un amigo, determinar el consumo eléctrico en la casa, comprender la economía del país o desarrollar una investigación científica —por mencionar algunos casos— los utilizamos. Incluso en áreas como la música, es posible expresar el ritmo con números enteros o fracciones. Por eso, es importante reconocerlos y saber usarlos; si deseamos precisar cuándo un número es divisible entre otro, por ejemplo, requerimos no solo dividir, sino también distinguir con cuáles se relaciona, es decir, obtener su familia de números primos para hallar la respuesta. En el estudio de la naturaleza, los números y la geometría nos ayudan a interpretar las formas y figuras; por ejemplo en una estrella de mar de cinco picos observamos una forma pentagonal y los ángulos que se forman entre las líneas que unen los extremos de sus brazos y centro es de 72º aproximadamente.

Introducción. Breve texto en que se mencionan situaciones cotidianas relacionadas con las ideas principales que se estudiarán con el fin de contextualizarlas y de activar tus conocimientos previos. Número de bloque

Aprendizajes esperados

Aprendizajes esperados. Conocimientos y habilidades que debes alcanzar como resultado del estudio de los contenidos.

1. Resuelve problemas utilizando el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.

Bloque 2

2. Resuelve problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en triángulos y cuadriláteros.

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Lección 28 Ecuaciones de primer grado de la forma ax = b

Lección. Número y título de la lección estudiada.

Eje, tema y contenido.

Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: patrones y ecuaciones

Contenido Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios.

Para calcular el perímetro: ecuaciones de la forma ax = b Observa la secuencia de figuras. Figura 1

Figura 2

Figura 4

Figura 3

1 cm

2 cm

1 cm

3 cm

2 cm 3 cm 1. Completa la tabla a partir de la secuencia anterior.

Situación Situación. Título de la primera situación problemática en que aparece un nombre lúdico y después la denominación formal del tema que estudiarás.

Figura 1 2 3

Perímetro (cm) 4

16 5

Glosario Coeficiente. Número que multiplica a la incógnita. Por ejemplo, en la ecuación 4x = 30, el coeficiente de x es 4.

2. Responde las preguntas. a) ¿Qué perímetro tendrá la figura 5 si se considera que la sucesión guarda un mismo comportamiento?

b) ¿Qué perímetro tendrá la figura 18? c) ¿Qué operación efectuaste para responder la pregunta anterior? 3. Reúnete con un compañero y hagan, en su cuaderno, lo que se indica con base en la sucesión anterior. a) Construyan una expresión general o fórmula que permita determinar el valor del perímetro para cualquier figura. Usen la x para representar el número de la figura. b) En la sucesión anterior, una figura tiene un perímetro de 120 cm; planteen una ecuación en la que representen con x el número de la figura y resuélvanla para hallar dicha cantidad.

Oriéntate Un ecuación que tiene la forma ax = b expresa un producto entre el coeficiente a y la incógnita x, lo que da como resultado un número b.

4. Observa el ejemplo y completa la tabla. Comparen sus resultados con los de su grupo, registren dudas y comenten cómo resolverlas. b

a+b

a·b

a–b

8

5

13

40

3

2.4

a

1.3

5 6

4 7


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Guía de uso

Un paso adelante

Glosario

Un paso adelante. La lección es una secuencia que inicia con una situación cotidiana relacionada con las matemáticas. Una vez que la resuelves, das un paso adelante al aplicar nuevos conocimientos y habilidades para solucionar problemas matemáticos.

Glosario. Definición de algunos términos matemáticos.

Oriéntate Oriéntate. Pistas o información de apoyo para recordar algunos datos importantes que pueden servirte para resolver problemas matemáticos.

Para la bitácora Para la bitácora. Referencia a ejercicios de autoevaluación de los temas vistos en el bloque.

TIC

Profundiza

TIC. Recomendación de actividades relacionadas con las TIC; principalmente se te invita a profundizar en el contenido de las lecciones con algunos ejercicios en la web.

Profundiza. Sección que contiene problemas matemáticos más complejos que puedes resolver porque ya desarrollaste los conocimientos y las habilidades necesarias para ello.

Pareja

Equipo

Grupo

Lección 27 8. Observa el ejemplo y completa la tabla. Ecuación

Operación para encontrar el valor de x

Valor de x

3 + x = 17

x = 17 – 3

x = 14

x– 1 = 7 6

12

x + 3.5 – 2 = 14

Oriéntate Un término semejante es aquel que tiene la misma parte literal (incógnita y exponente), pero el coeficiente igual o diferente.

x+ 1 =1

Lección. Recordatorio del número de la lección.

8

Para resolver una ecuación La ecuación se transforma en otras ecuaciones equivalentes más sencillas hasta encontrar el valor de la incógnita.

Resolver la ecuación

Al resolver una ecuación, es necesario simplificar términos semejantes; por ejemplo, 1 x + 1 x se simplifican porque son términos similares. 2 4 1 x + 1 x + 1 = 19 2

4

5

3x+ 1 4 5

20

Oriéntate

= 19 20

Después, se debe despejar la incógnita, es decir, efectuar operaciones para encontrar su valor. Por ejemplo, en la ecuación 12 + x = 20, se despeja el valor de x como se indica en la tabla. Pasos Ecuación inicial Operación para despejar a x Valor de x

Caso 1 12 + x = 20 12 – 12 + x = 20 – 12 x=8

Caso 2 x – 8 = 10 x – 8 + 8 = 10 + 8 x = 18

Cuando incorporas una operación a un miembro de la igualdad debes hacerlo en ambos miembros para conservar la igualdad.

Para verificar la solución En la ecuación inicial se remplaza la incógnita por el valor encontrado. Si se cumple la igualdad, entonces es el correcto. 12 + x = 20 x = 20 – 12 x=8

Comprobar el valor hallado

Comprobación: 12 + x = 20 12 + 8 = 20 20 = 20

12 9. Organiza con tu grupo un debate acerca de la incógnita en problemas de una cantidad desconocida. Propongan dos casos y escriban en su cuaderno una breve conclusión.

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10 7

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TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-141a, donde se encuentran actividades de resolución de ecuaciones. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-141b, donde hay una guía para resolver ecuaciones. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-141c, donde se explica cómo solucionar ecuaciones.

Para la bitácora Resuelve las actividades correspondientes a la lección 27 en la bitácora de la página 178.

Para que un juego de mesa (serpientes y escaleras, Turista, etc.) sea más interesante, consigue unos dados y marca tres de los seis números con un signo negativo. Apunta tus tiradas en una hoja de papel y resuelve la operación. Lección 27 Bloque 3 141

Recuadro de información. Información relevante que te guiará para desarrollar los conocimientos y habilidades matemáticas necesarias.

Actividad integradora. Actividad que se puede llevar a cabo fuera del salón de clases. Su función es ayudarte a consolidar tus conocimientos, habilidades, actitudes y valores.

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Guía de uso

Bitácora. Sección de dos páginas en la que practicarás lo aprendido a lo largo del bloque y repasarás las ideas más importantes de las lecciones.

Bitácora

Bitácora Lecciones 14 y 15

Lección 18

a) Analiza la tabla y contesta las preguntas en tu cuaderno. 501 511 521 531 541

También funciona como una autoevaluación en la que aplicarás los aprendizajes desarrollados en el bloque.

502 512 522 532 542

503 513 523 533 543

504 514 524 534 544

505 515 525 535 545

506 516 526 536 546

507 517 527 537 547

508 518 528 538 548

509 519 529 539 549

510 520 530 540 550

16 Sandra ganó un premio de $50 000.00, pero debe pagar 100 de impuestos. Repartirá el resto entre sus hijos de esta manera: 12 para el que está estudiando Medicina, 13 para el que ya se casó y lo demás para el que acaba de ser padre.

a) ¿Qué cantidad pagó de impuestos? b) ¿Cuánto le dio a cada hijo?

i. Escribe los números primos que se encuentran entre 500 y 550.

Lección 19

ii. ¿Cuáles son los primeros diez números compuestos que se encuentran entre 500 y 550?

Ocho obreros construyen 17 35 m de una obra en 1 h.

iii. Anota cuatro divisores de 501.

a) ¿Cuántos metros construye cada uno en 1 h? b) A ese ritmo de trabajo, ¿cuánto construirá un obrero en 2 34 h?

b) Efectúa lo que se pide con base en los números de la tabla anterior. i. Escribe cinco números divisibles entre 2.

Lección 20

ii. Escribe cinco números divisibles entre 3.

a) Traza la mediatriz de cada segmento marcado en un círculo.

iii. Escribe cinco números divisibles entre 5. iv. Escribe cinco números divisibles entre 7.

i. ¿Dónde se unen las mediatrices?

Lección 16 Juan tiene tres sapitos de juguete. Al darles cuerda, los tres saltan al mismo tiempo, pero

recorren diferentes distancias en cada salto: el primero avanza 3 cm; el segundo, 5 cm; y el tercero, 4 cm.

b) Tres amigos cooperaron para comprar una pizza y se la dividieron en partes iguales. i. Traza una rebanada de pizza y divídela en dos pedazos iguales.

a) Si se colocan en el mismo lugar después del punto de salida, ¿a qué distancia coincidirán de

nuevo por un mismo punto? b) ¿Cuántos saltos da cada uno?

Lección 21 Sergio tiene 24 monedas de $10.00, treinta de $5.00 y cincuenta de $1.00, y desea acomodarlas en montones con igual cantidad de monedas de cada denominación. a) ¿Cuál es el máximo número de montones que puede formar con igual cantidad de monedas

Copia el pentágono en una hoja, recórtalo y pégalo como creas conveniente para justificar la fórmula de su área. pa A= 2

de cada denominación?

Lección 22

b) ¿Cuál es el mayor número de monedas que puede colocar en cada montón?

Marcela estudia Arquitectura; le han pedido de tarea una maqueta de un edificio cilíndrico que mide 30 m de diámetro y 60 m de altura. Cada metro real es igual a 1 cm en la maqueta.

Lección 17 María fue al mercado y compró 12 kg de jitomate, __14 kg de chile, 800 g de cebolla, 700 g de tomate, 3 34 kg de naranja y 1.250 kg de manzana. Si metió lo que

a) ¿Qué diámetro tendrá el edificio en la maqueta? b) ¿Cuál es la razón de proporcionalidad?

compró en su bolsa, ¿cuánto pesó?

114

Bloque 2

Bloque 2

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En el tintero. Aquí podrás conocer temas cuyo propósito es introducirte a la cultura de las matemáticas mediante la propuesta de nuevos retos matemáticos.

Laboratorio de matemáticas. Anexo de actividades propuestas para que lleves a cabo experimentos. Con los retos seguirás conociendo y disfrutando la naturaleza de las matemáticas.

En el tintero

Laboratorio de matemáticas Trazo de polígonos regulares con tiras de papel 1. Construye tres polígonos regulares mediante los procedimientos que se indican. Responde las preguntas en tu cuaderno.

Procedimiento

Consigue una hoja de tamaño carta y recorta una tira de 3 cm de ancho.

Toma los extremos de la tira y anúdalos.

Aprieta suavemente el nudo y aplánalo.

Recorta los pedazos sobrantes.

Cálculo de porcentajes Para transformar un número decimal en porcentaje, solo se multiplica la cantidad por 100 y se escribe al final el símbolo %. Por ejemplo: 0.3 × 100 = 30, así, 0.3 representa 30%. Para convertir una fracción en porcentaje, primero se transforma la fracción en decimal y, posteriormente, en porcentaje. Por ejemplo: __52 = 2 ÷ 5, __52 = 0.4 y 0.4 × 100 = 40, así __52 representa 40%. Para transformar porcentajes en decimales, se quita el símbolo % y se divide entre 100. Por ejemplo: 30% = 30 ÷ 100 = 0.3; así, 30% representado como decimal es 0.3.

Ilustración

Para transformar porcentajes en fracciones, se elimina el símbolo %, luego se escribe una fracción con el número del porcentaje como numerador y 100 como denominador, y, finalmente, se reduce 82 = 41 ; así, 82% equivale en fracción a 41 . la fracción obtenida. Por ejemplo: 82% = 100 50 50 1. Completa la tabla. a) ¿Qué polígono obtuviste?, ¿cuánto miden sus lados?, ¿cuánto mide cada ángulo interno? Fracción

b) Dobla el polígono y traza sus mediatrices; el punto donde estas se cortan es el centro.

Decimal

Porcentaje

__1 8

c) Traza una apotema y mídela. Calcula el área del polígono. Procedimiento

Recorta dos tiras de 3 cm de ancho.

Toma los extremos de las tiras y anúdalos.


0.32


67%

¿Cuánto es 20% de 120? Para calcularlo, solo se multiplica el porcentaje por la cantidad y se divide el resultado entre 100. Es decir, 20 × 120 = 2 400 y 2 400 ÷ 100 = 24; por lo tanto, 24 es 20% de 120.

Ilustración

¿Qué porcentaje de 70 es 28? Para determinarlo, se divide la parte entre el todo y se multiplica por 100. Es decir, 28 ÷ 70 = 0.4 y 0.4 × 100 = 40; por lo tanto, 28 es 40% de 70. ¿De qué número 15 representa 25%? Para saberlo, se divide la cantidad entre el porcentaje y el resultado se multiplica por 100. Esto es, 15 ÷ 25 = 0.6 y 0.6 × 100 = 60; por lo tanto, 15 es 25% de 60. d) ¿Qué polígono obtuviste?, ¿cuánto miden sus lados?, ¿cuál es su perímetro?, ¿cuánto mide cada

ángulo interno?

2. Completa la tabla.

e) Traza una apotema y mídela. Calcula el área del polígono.

Procedimiento

Utiliza el papel sobrante y dóblalo como se muestra en la ilustración.

Aplana la figura por el doblez.


Cantidad total

Porcentaje

80

30% 48%

300

Cantidad parcial

48 36

75%

90

Ilustración 256 1 154

f) ¿Qué polígono obtuviste?, ¿cuánto miden sus lados?, ¿cuánto miden los ángulos internos formados

128 49%

3. Discute grupalmente el uso de porcentajes en la vida cotidiana. Redacten dos ejemplos en su cuaderno. Discutan y acuerden de los beneficios de su uso.

por los lados?

180

Bloque 3

Bloque 3

181

8

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Guía de uso

Bloque 4 Evaluación

Bloque 4 Evaluación Lee los planteamientos, elige la respuesta correcta y márcala en la sección de respuestas.

9. ¿Con qué expresión se calcula el área de una parte del círculo? A) ␲d

B) ␲d

D) ␲r8

C) ␲r2

Evaluación. Serie de preguntas al final de cada bloque. Te servirá a ti y al profesor para evaluar tu desempeño en cuanto a los conocimientos y habilidades matemáticas adquiridas.

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Algunas de las fosas marinas más profundas son el abismo Emden (en Filipinas) de aproximadamente 10 793 m y el abismo Planet (en las islas Salomón) con alrededor de 9 148 m. En cambio, entre los puntos más altos del mundo se encuentran las montañas Cho Oyu, cuya altura mide 8 201 m sobre el nivel del mar, y Annapurna I de 8 091 m sobre el nivel del mar (ambas se sitúan en Nepal, China). 1. ¿Qué distancia hay entre el punto más bajo del abismo Emden y el punto más alto de la montaña Cho Oyu? A) 18 994 m

B) 2 592 m

C) –2 592 m

10. Una familia de cuatro personas gasta diariamente 1 000 L de agua para satisfacer sus necesidades. ¿Cuántos litros se requieren para satisfacer a una familia de cinco integrantes?

D) –18 994 m

A) 200 L

2. ¿Qué distancia hay entre el punto más alto de la montaña Annapurna I y el punto más bajo del abismo Planet? A) –1057 m

B) 17 239 m

C) 1 057 m

B) 250 L

C) 1 250 L

A) 12

A) Diámetro.

12. Analiza la tabla y contesta la pregunta.

B) Radio.

C) Cuerda.

D) 2 000 L

11. Una empresa tiene dos vacantes: recepcionista y edecán. Si cuatro personas se presentan a pedir empleo, ¿cuántas posibilidades hay de ocupar los puestos?

D) –17 239 m

3. ¿Cuál es el segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia?

D) Segmento.

B) 8

4. ¿A partir de qué elementos es posible construir una circunferencia? A) Medida del radio.B) Una cuerda.C) Medida del diámetro.D) Cualquiera de las anteriores. 5. La medida de ␲ se obtiene de la proporción entre A) el radio y el área.

B) el diámetro y la circunferencia.

C) el radio y la circunferencia.

D) el diámetro y el área.

C) 6

D) 4

Fruta

Frecuencia absoluta

Porcentaje

Plátano

6

30%

Manzana

4

20%

Pera

2

10%

Uva

3

15%

Kiwi

5

25%

¿Qué gráficas representan la información de la tabla? 6. ¿Cuál es la longitud del segmento rojo? A)

7 6 5 4 3 2 1 0 Plátano Manzana Pera

Kiwi 20%

8.18 cm

A) 8.18 cm

B) 4.09 cm

C) 2.045 cm

Uva 20%

D) 16.36 cm

7. El radio de la rueda de una bicicleta mide 8 pulgadas; después de haber dado seis vueltas, ¿qué distancia recorrió? A) 150.79 pulgadas.

B) 301.59 pulgadas.

C) 25.13 pulgadas.

B) 15.70 cm

C) 78.53 cm

Uva

Kiwi

C)

Plátano Manzana Pera Kiwi 25%

Plátano 20%

Manzana 20% Pera 20%

Uva

7 6 5 4 3 2 1 0

D)

Plátano Manzana Pera

Kiwi

Kiwi 20%

Plátano 30%

Uva 20%

Uva 15% Manzana Pera 20% 10%

7 6 5 4 3 2 1 0 Plátano Manzana Pera

Kiwi

Uva

Kiwi 25%

Plátano 20%


Kiwi

Uva

Plátano 30%


Respuestas de la evaluación correspondiente al bloque 4 1. A

B

C

D

4. A

B

C

D

7. A

B

C

D

9. A

2. A

B

C

D

5. A

B

C

D

8. A

B

C

D

10. A

3. A

B

C

D

6. A

B

C

D

B

C

D

11. A

B

C

D

12. A

B

C

D

D) 50.26 pulgadas.

8. ¿Cuál es la medida de la circunferencia inscrita en un pentágono de 5 cm de apotema? A) 31.41 cm

7 6 5 4 3 2 1 0

B)

D) 314.15 cm

230 Bloque 4 Evaluación

B

C

D

Utiliza los círculos para colocar tus respuestas.

Evaluación Bloque 4 231

Glosario. Definiciones de algunos términos matemáticos que se proporcionan con el fin de que te apoyes en ellos cuando necesites conocer su significado.

Glosario para el profesor

Bibliografía. Referencias de libros, revistas o páginas de Internet que se sugieren para apoyarte en caso de que desees o necesites profundizar en algunos temas del libro. Bibliografía Bibliografía para el alumno

Adición. Término asociado a varias ideas, entre ellas la de agrupar o reunir. Sin embargo, cuando se suman números negativos estas nociones son contradictorias, pues una adición puede implicar una sustracción.

Andradas, C. (2006). Póngame un kilo de matemáticas. Madrid: Ediciones SM. Ball. J. (2005). Piensa un número. Una mirada fascinante al mundo de los números (2a ed.). México: Ediciones SM.

Área. Medida de una superficie geométrica. El valor se puede asociar a comparar una superficie con una unidad de medida. También implica una tarea de medición, lo que conduce al manejo de técnicas y procedimientos correspondientes.

De la Peña, J. A. (2002). Geometría y el mundo. Biblioteca Juvenil Ilustrada. México: Santillana.

Conteo. Procedimiento y estrategias utilizadas para contar.

Enzensberger, H. (1997). El diablo de los números. Madrid: Siruela.

Blatner, D. (2003). El encanto de Pi. México: Aguilar.

Ecuación. Procedimiento o técnica de solución que se relaciona con los conceptos de igualdad e incógnita.

Juring, Y. (1985). ¿Qué son las matemáticas? México: Ediciones de Cultura Popular.

Multiplicación. Operación que se asocia a un resultado mayor que los factores; sin embargo, con cantidades menores que 1 no es así, por lo que el modelo no siempre funciona.

Paenza, A (2005). Matemática… ¿Estás ahí? Sobre números, personajes, problemas y curiosidades. Ciencia que ladra… Buenos Aires: Siglo XXI Editores.

Número fraccionario. Cifra que representa diversas situaciones: división, reparto, proporción o secciones de una unidad. Se define en función de las relaciones que se establezcan entres estos conceptos.

_________ (2007). Matemática… ¿Estás ahí? Episodio 2. Ciencia que ladra... Buenos Aires: Siglo XXI Editores. _________ (2008). Matemática… ¿Estás ahí? Episodio 100. Ciencia que ladra... Buenos Aires: Siglo XXI Editores. _________ (2010). Matemática… ¿Estás ahí? La vuelta al mundo en 34 problemas y 8 historias. Ciencia que ladra... Buenos Aires: Siglo XXI Editores.

Número con signo. Cifra que epresenta varias situaciones o se asocia a ellas. Estas tienen el riesgo de entrar en contradicción o de forzar su relación con los números negativos.

Tahan, M. (1994). El hombre que calculaba. México: Noriega Editores.

Potencia. Multiplicación simplificada; aunque, cuando los exponentes son negativos, no es así. Vorderman, C. (2011). Ayuda a tus hijos con las matemáticas. México: Altea.

Regla de tres. Relación entre dos cantidades cuyo comportamiento es lineal. Cuando se aplica a otras situaciones que no son lineales, hay muchos problemas, por lo que conviene acotar el tipo de planteamientos.

Wells, D. (2000). El curioso mundo de las matemáticas. Barcelona: Gedisa.

Solución. Respuesta a un planteamiento. Se necesita darle sentido en términos del cuestionamiento inicial para cerrar el ciclo entre ambos.

Bibliografía electrónica para el alumno (fecha de consulta: enero de 2012)

Sucesión numérica. Mediante el análisis de su comportamiento se permite establecer expresiones algebraicas e introducir la idea de variación como una característica de diversos fenómenos. Trazar. Actividad asociada con el uso de instrumentos para efectuar el trazo. Con el desarrollo de las tecnologías informáticas, esas herramientas pueden ser entendidas como comandos que ejecutan acciones específicas.

Abreu. J.L. Proyecto Arquímedes. Recursos educativos de Matemáticas y Física para todos los niveles arquimedes.matem.unam.mx Instituto de Tecnologías Educativas, Ministerio de Educación, España. Curso de Geometría. Recursos educativos de Matemáticas para pimero y segundo ciclos de la Educación Secundaria Obligatoria de España concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material098/geometria/geoweb/indice.htm Ministerio de Educación, España. Descartes. Materiales didácticos para el aprendizaje de las matemáticas de la enseñanza secundaria recursostic.educacion.es/descartes/web/index.html Proyecto Gauss. Recursos didácticos y applets de GeoGebra que cubren los contenidos de matemáticas de la Educación Secundaria Obligatoria de España recursostic.educacion.es/gauss/web/index.htm Matemáticas para la E.S.O. Enseñanza Digital a Distancia. Recursos de matemáticas para Educación Secundaria Obligatoria de España recursostic.educacion.es/secundaria/edad/index_mat.htm

269

270

9

6(;3B0B%BLQGG

$0

Dosificación Bloque

Eje

Tema

1

Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.

3y4

2

Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones.

5

3

Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras.

6

4

Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar a las literales como números generales con los que es posible operar.

7

5

Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría.

8y9

6

Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.

10 y 11

7

Proporcionalidad y funciones

Resolución de problemas de reparto proporcional.

12


Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles.

13

Problemas aditivos Sentido numérico y pensamiento algebraico

Patrones y ecuaciones

1

Manejo de la información

Lección Semana 1y2

Números y sistemas de numeración

Forma, espacio y medida

Contenido Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa.

Figuras y cuerpos

Fecha

8

Bitácora Laboratorio de matemáticas

9

En el tintero Evaluación

Bloque

Eje

Tema

2


Lección Semana 14 y 15

10

Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.

16

11

Problemas aditivos

Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales.

17

12

Problemas multiplicativos

Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales.

18 y 19

13

Figuras y cuerpos

Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo.

20

14

Números y sistemas de numeración Sentido numérico y pensamiento algebraico

Contenido Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3, 5 y 7. Distinción entre números primos y compuestos.

Fecha

10

6(;3B0B%BLQGG

$0

Dosificación


Medida

Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras.

21

15



Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios.

22

16


17


Bloque

Eje

Tema

18

Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.

25 y 26

19


Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios.

27, 28 y 29

20 y 21

Figuras y cuerpos

Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella.

30 y 31

22

Medida

Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares.

32

23


Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas.

33

24


Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias.

34

25

Análisis y representación de datos

Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa.

35 y 36

26

Sentido numérico y pensamiento algebraico

3





Contenido Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.

Fecha

Bitácora Laboratorio de matemáticas En el tintero

27

Evaluación

11

6(;3B0B%BLQGG

$0

Dosificación Bloque

Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico

Tema Números y sistemas de numeración Figuras y cuerpos

Medida




28

Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas.

39

29

Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfica y algebraicamente). Explicitación del número π (Pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro.

40 y 41

30

Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios.

42

Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala.

43


Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los resultados.

44

32

Análisis y representación de datos

Lectura de información representada en gráficas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfica más adecuada.

45 y 46

33


4

Contenido Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos.

Fecha

31


34


Bloque

Eje

Tema Problemas aditivos

Lección Semana 47 y 48 49

Uso de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.

50


Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética.

51

37


Medida

Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas.

52

38



Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple.

53

39


Fecha

35

Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales.

Sentido numérico y pensamiento algebraico

5

Contenido Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros.

36

Bitácora Laboratorio de matemáticas En el tintero

40

Evaluación

12

6(;3B0B%BLQGG

$0

Índice Bloque 1 Título

Lección Lección 1

Números fraccionarios y decimales I

Lección 2

Números fraccionarios y decimales II

Lección 3

Números fraccionarios y decimales III

Lección 4

Contenido

Página

Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa.

18

26

Números fraccionarios y decimales IV


Problemas aditivos

Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones

34

Lección 6

Sucesiones numéricas y figurativas

Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras.

38

Lección 7

Significado de algunas fórmulas geométricas

Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar a las literales como números generales con los que es posible operar.

Lección 8

Trazo de triángulos

Lección 9

Trazo de cuadriláteros

Lección 5

22

30

42


46 50

Lección 10

Trazos y análisis I Trazos y análisis II

Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.

54

Lección 11 Lección 12

Reparto proporcional

Resolución de problemas de reparto proporcional.

62

Lección 13


Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles.

66

58

Bitácora

70

Laboratorio de matemáticas

72

En el tintero

73

Evaluación

74

Bloque 2 Título

Lección

Contenido

Lección 14

Criterios de divisibilidad I

Lección 15

Criterios de divisibilidad II

Lección 16

MCD y mcm

Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.

Lección 17

Adición de números fraccionarios y decimales

Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales.

Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3, 5 y 7. Distinción entre números primos y compuestos.

Página 78 82 86

90

13

6(;3B0B%BLQGG

$0

Índice


Multiplicación y división con números fraccionarios I Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con Multiplicación y división con números números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales.

94

fraccionarios II

98

Lección 20

Mediatriz y bisectriz

Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo.

Lección 21


Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras.

Lección 22

Proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”

Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios.

102

106 110

Bitácora

114


116

En el tintero

117

Evaluación

118

Bloque 3 Lección

Título

Lección 23

Multiplicación de números decimales I

Contenido

Página

Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números Multiplicación de números decimales II decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.

122


División de números decimales I División de números decimales II

Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.

130


Ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b Ecuaciones de primer grado de la forma ax = b Ecuaciones de primer grado de la forma ax + b = c


138

Lección 28 Lección 29 Lección 30

Polígonos regulares I

Lección 31

Polígonos regulares II

Lección 32


Lección 33

Proporcionalidad

Lección 34

Anticipación de resultados

Lección 35

Frecuencia absoluta y relativa I

Lección 36

Frecuencia absoluta y relativa II

126

134

142 146

Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella. Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares. Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas. Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias. Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa.

150 154 158 162 166 170 174

Bitácora

178


180

En el tintero

181

Evaluación

182

14

6(;3B0B%BLQGG

$0

Índice Bloque 4 Lección

Título

Lección 37

Números con signo I

Lección 38

Números con signo II

Lección 39

Construcción de círculos

Contenido Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos. Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas. Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfica y algebraicamente). Explicitación del número π (Pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro. Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios.

Página 186 190 194

Lección 40

Perímetro y área del círculo

Lección 41

Área del círculo

Lección 42

La regla de tres

Lección 43

Factor inverso de proporcionalidad

Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala.

210

Lección 44

Conteo

Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los resultados.

214

Lección 45

Gráficas de barras y circulares I

Lección 46

Gráficas de barras y circulares II

Lectura de información representada en gráficas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfica más adecuada.

198 202 206

218 222

Bitácora

226


228

En el tintero

229

Evaluación

230

Bloque 5 Lección

Título

Lección 47


Lección 48



Página 234 238

Lección 49

Raíz cuadrada y potencia de exponente natural

Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales.

Lección 50

Notación científica

Uso de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.

246

Lección 51

Regla general de una progresión aritmética


250

Lección 52

Área y perímetro del círculo


254

Lección 53

Proporcionalidad múltiple

Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple.

258

242

Bitácora

262


264

En el tintero

265

Evaluación

266

Glosario alumno

268

Glosario profesor

269

Bibliografía

270

15

6(;3B0B%BLQGG

$0

La matemática es una ciencia con mucho dinamismo: todos los días se amplía gracias a descubrimientos y nuevas teorías que ayudan a resolver problemas en diversos ámbitos, como la medicina, la tecnología o la química, por mencionar algunos. Asimismo, las matemáticas permiten solucionar problemas muy concretos del lugar en que nos desenvolvemos. Por ejemplo, al pintar una pared, determinamos mediante operaciones cuánto mide, cuántos litros o fracciones de litro de pintura ocuparemos, qué proporción habrá entre esta y el sellador, cuánto medirán las cenefas, a qué distancia pintaremos, etcétera. En el mismo ejemplo, podemos precisar si seguiremos una sucesión de formas, lo haremos al azar o elegiremos motivos geométricos.

Bloque 1 16

6²(;3B0B%B²LQGG

30

Aprendizajes esperados 1. Convierte números fraccionarios a decimales y viceversa. 2. Conoce y utiliza las convenciones para representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica. 3. Representa sucesiones de números o figuras a partir de una regla dada y viceversa.

17

6²(;3B0B%B²LQGG

30

Lección 1 Números fraccionarios y decimales I Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: números y sistemas de numeración

Las calificaciones: conversión de fracciones a números decimales


A los estudiantes de la escuela secundaria “Benito Juárez” se les aplicó un examen diagnóstico en cada asignatura, el cual vale 1 punto en su escala de calificaciones. Orlando desea saber qué calificación obtuvo en cada asignatura. Para conocer esa información, debe completar la tabla. 1. Analiza la tabla y complétala.

Oriéntate Recuerda que una fracción es todo número escrito de la forma __ba donde a es el numerador y b (diferente a 0), el denominador. Toda fracción se puede interpretar como una división, donde __ba indica a ÷ b.

Asignatura

Aciertos Total de obtenidos reactivos

Español

86

Operación para obtener la calificación

Calificación obtenida en la escala

100

86 100 o 86 ÷ 100

0.86

32 ___

Matemáticas

32

65

Biología

25

30

Historia

65

100

Geografía

92

95

65 25 ___ 30 65 ___ 100 92 ___ 95

0.49 0.83 0.65 0.96

2. Reúnete con un compañero y efectúen, en sus cuadernos, lo que se pide. a) Describan el procedimiento que Orlando utilizó para obtener su calificación.

R. T. Dividir el número de aciertos entre reactivos del examen.

b) En el caso de las asignaturas Historia y Español, ¿con qué otro procedimiento se podría obtener

la calificación?

R. T. Recorrer el punto decimal dos lugares a la izquierda.

3. Lee el texto y haz en tu cuaderno lo que se indica.

Oriéntate

La profesora de Matemáticas comentó a sus alumnos lo siguiente: “Solo un décimo del grupo aprobó el examen diagnóstico”, mientras escribía la expresión en el pizarrón.

Los números decimales se denominan de acuerdo con su valor posicional. Parte decimal

6º Orden Centenas de millar 5º Orden Decenas de millar 4º Orden Unidades de millar 3er Orden Centenas Decenas 2º Orden Unidades 1er Orden Punto decimal Décimas 1er Orden Centésimas 2º Orden er Milésimas 3 Orden Diezmilésimas 4º Orden Cienmilésimas 5º Orden Millonésimas 6º Orden

Parte entera

Órdenes enteros

Órdenes decimales

a) Explica con tus palabras qué representa la expresión escrita por la profesora.

R. T. Uno de diez, un décimo, la décima parte.

1 b) Explica por qué __ = 0.1. 10

R. T. Cuando divides uno entre diez obtienes de resultado 0.1

3 __ c) Escribe, de acuerdo con la equivalencia anterior, las fracciones __ y 7 como números decimales. 10 10

0.3 y 0.7

d) Describe los pasos que seguiste para llegar a los resultados anteriores.

R. P.

e) Compara tus resultados con los de tus compañeros. Registren dudas y, con ayuda de su profesor,

comenten cómo resolverlas.

18

Bloque 1 Lección 1

6²(;3B0B%B²LQGG

R. P.

30

Lección 1 Un paso adelante 4. Escribe, en la tabla, la fracción correspondiente y conviértela en número decimal. Cantidad con letra

Fracción

Doce veinteavos

12 ___

Dieciocho centésimos

18 ___

20

100 __1 5 311 _____ 1 000

Un quinto Trescientos once milésimos

Decimal

0.6 0.18 0.2 0.311

Para transformar una fracción en su expresión equivalente como número decimal hay que dividir el numerador entre el denominador.

5. Reúnete con un compañero. Analicen la igualdad y contesten las preguntas.

16 1 =_ 3_ 5 5 a) ¿Cómo se lee la fracción que está a la izquierda de la igualdad? Tres enteros un quinto. b) ¿Cuántos quintos hay en tres enteros? Quince. 16 c) ¿Cuántos enteros se forman con __ ? Tres. Al dividir 16 entre 5, se obtiene como 5

Oriéntate Se denomina igualdad a la equivalencia de dos cantidades o expresiones.

cociente 3 y sobra 1.

16 d) ¿Por qué 3 __15 es equivalente a __ ? Por que en tres enteros hay quince quintos, más un quinto, en total se 5

16 tienen __ 5

Un número mixto se compone de un entero y una fracción. Por ejemplo: 6 __34 . En una fracción impropia, el numerador es mayor que el denominador, por consiguiente, es mayor que la unidad. Por ejemplo: __83 . e) Escriban, en sus cuadernos, cómo convertir un número mixto en una fracción impropia.

R. T. Transformar el entero a denominador común de la parte fraccionaria, sumar los numeradores y el

6. Reúnete con dos compañeros. Completen la tabla y efectúen lo que se pide. denominador es el común. Cantidad 3 __2 5

2 __14

6__ 5 3

Cantidad con letra

Tres enteros dos quintos Dos enteros un cuarto Seis enteros tres quintos

Número decimal

3.4 2.25 6.6

a) Escriban, en sus cuadernos, el procedimiento que siguieron para transformar un número mixto

en uno decimal. b) Compartan su procedimiento con sus compañeros. c) Elijan, de forma grupal, el procedimiento mejor descrito. Lección 1 Bloque 1

6²(;3B0B%B²LQGG

19

30

Lección 1 Números fraccionarios y decimales I Profundiza Los números fraccionarios también se representan como regiones que componen una figura. La de la izquierda está dividida en cinco partes iguales; cuatro de ellas están sombreadas, lo que representa __45 del total. La parte no sombreada representa __15 de la figura.

Oriéntate El denominador de una fracción indica en cuántas partes está dividido el entero; mientras que el numerador permite conocer las partes que se toman de la unidad.

7. Reúnete con un compañero. Lean el problema y contesten lo que se pide.

Hay treinta canicas dentro de una bolsa: de ellas, cinco son amarillas; diez, verdes; y el resto, azules. a) ¿Qué fracción representan las canicas verdes? b) ¿Qué fracción y decimal representan las canicas amarillas?

10 1 ___ = __3 30 5 1 ___ = __, 30

0.16

6

0.5

c) ¿Qué decimal representa las canicas azules?

8. Reúnete en equipo y resuelvan los planteamientos. 15 1 ___ = __4 60 30 ___ b) ¿Qué número decimal representa media hora? = 0.5 60

a) ¿Qué fracción representan 15 min de 1 h?

c) ¿Qué fracción y número decimal representan 6 h y 30 min de un día? d) ¿Qué fracción representa cuatro días de una semana?

390 13 ____ = ___ 1 440 48

0.27

4 __ 7

12 1 ___ = __2 = 0.5 24

e) ¿Qué número decimal representa 12 h de un día?

f) ¿Qué fracción y número decimal representan dos días con 6 h de una semana?

54 9 ___ = ___ = 0.32 28 168

9. Completa la tabla con base en las equivalencias.

1 m = 10 dm

1 m = 100 cm

1 m = 1 000 mm

Debido a que el metro es la unidad básica de longitud del Sistema Internacional, 3 mm se representan 30 63 como ____ m y 63 cm, como ___ m. 1 000 100 Cantidad con letra

Fracción (m)

87 mm

87 _____

73 dm

Oriéntate Una fracción decimal tiene por denominador un múltiplo 9 , de 10. Por ejemplo: __ 10 28 ____ 9 72 ___ y son fracciones 100 1 000 decimales.

20

137 cm 19 cm 9 dm

1 000 73 ___

Número decimal (m)

0.087

10

7.3

137 ___ 100

1.37

19 ___ 100 9 __ 10

0.19 0.9

Bloque 1 Lección 1

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Lección 1 10. Observa la imagen y contesta las preguntas.

a) ¿En cuántos triángulos pequeños se dividió el triángulo?

16 4 __

b) ¿Qué fracción del triángulo representan los triángulos color naranja? c) ¿Qué fracción y decimal representan los triángulos azules? d) ¿Qué número decimal representan los triángulos verdes?

16

5 __

y

16

0.3125

3 __ = 0.1875 16

11. Reúnete con tres compañeros. Lean el planteamiento y contesten las preguntas.

Una jarra contiene la misma cantidad que cuatro vasos grandes o cinco pequeños. a) ¿Qué fracción y decimal representan un vaso grande en relación con la jarra? b) ¿Qué fracción y decimal representan un vaso chico en relación con la jarra?

__1 4

y 0.25

__1 = 5

c) Si se llena un vaso grande y uno chico, ¿qué fracción de agua quedará en la jarra?

0.2 11 ___ 20

d) ¿El contenido total de la jarra alcanza para llenar dos vasos grandes y tres chicos? Argumenten

su respuesta y escriban conclusiones en sus cuadernos. R. T. No, porque para llenar 2 vasos grandes y 3 vasos 22 11 chicos se necesitan ___ o __ que es más que la unidad. 20 10 12. Analicen, en grupo, la importancia de la división en la conversión de fracciones en números decimales. Escriban, en sus cuadernos, una conclusión general.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-023a, donde se encuentran ejercicios interactivos para convertir números fraccionarios en decimales. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-023b, donde hay una actividad de conversión de fracciones en decimales. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-023c, donde se expone el uso de las fracciones en la vida cotidiana.

Para la bi†ácora

En las recetas de cocina se expresan las cantidades en números fraccionarios y decimales. Busca algunas recetas, identifica las porciones indicadas y escríbelas, en tu cuaderno, en números decimales.

Resuelve las actividades correspondientes a la lección 1 en la bitácora de la página 70. Lección 1 Bloque 1

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30

Lección 2 Números fraccionarios y decimales II Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: números y sistemas de numeración

De regreso: conversión de números decimales en fracciones


Teniendo en cuenta los malos resultados del examen diagnóstico, la profesora de Matemáticas aplicó otro examen de 40 reactivos. Si Orlando sacó 0.6 en su escala, ¿cuántos aciertos obtuvo? 1. Describe un procedimiento para responder la pregunta anterior y compáralo con el de tus compañeros. R. T. Ahora tenemos calificación y reactivos y la operación

inversa a la división es la multiplicación, entonces ahora solo basta multiplicar calificación por reactivos y obtenemos número de aciertos. 2. Reúnete con un compañero y completen la tabla. Calificación en fracción

Fracción reducida

Seis décimos

6 __

3 __

Siete décimos

7 __

7 __

0.45

Cuarenta y cinco centésimos

45 ___ 100

45 ÷ 5 9 _____ = __

Pedro

0.575

Quinientos setenta y cinco milésimos

575 _____

23 ___

Pablo

0.8

Ocho décimos

8 __

4 __

Alumno Orlando Nancy Edna

Calificación en decimal

Calificación con letra

0.6 0.7

5

10 10

10

100 ÷ 5

1 000

20

40 5

10

3. Reúnete con tres compañeros y efectúen lo que se indica. a) Comenten por qué es posible afirmar que 0.45 es igual a 9 .

Por que 0.45 es igual a

45 ___ 100

20 y al reducir la fracción se obtiene

b) Escriban la conclusión en su cuaderno y arguméntenla.

9 ___

20 .

c) Deduzcan, a partir de los datos de la tabla, el número de aciertos que obtuvo cada alumno.

Calificación por 40: Orlando 24, Nancy 28, Edna 18, Pedro 23 y Pablo 32.

d) Describan, en su cuaderno, el procedimiento que usaron.

4. Analiza, en grupo, los datos de la tabla de la actividad 2 y escribe en tu cuaderno un procedimiento para transformar un número decimal en fracción. 5. Analiza las situaciones y contesta en tu cuaderno. a) ¿Por qué 0.7 y 0.700 representan la misma cantidad? Explica tu respuesta. R. T. Porque 0.7 es 7 700 700 70 7 y 0.700 es igual a ____ al simplificar se obtiene _____ = ___ = __ = 0.7, llegando igual a __ 10 1 000 100 10 7 1000 b) ¿Por qué 0.700 equivale a 10 ? Explica tu respuesta. a la conclusión de que 0.7 = 0.700 7

700

c) ¿Cómo se determina si 10 es igual a 1 000 ? Explica tu respuesta. 6. Comparte, con ayuda del profesor, tus respuestas del ejercicio 5 con el grupo. Comuniquen sus dudas y comenten ideas para resolverlas.

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Bloque 1 Lección 2

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Lección 2 Un paso adelante 7. Observa que 2.25 tiene una parte entera y otra decimal. Explica en tu cuaderno un procedimiento para convertir esta cantidad en una fracción. 8. Reúnete con un compañero. Compartan sus procedimientos del punto anterior y úsenlos para transformar los siguientes números decimales en fracciones. Decimal Fracción

4.232

5.980

12 3___

3.12

232 4_____

980 5_____

= 3___ 25

= 4___ 125

= 5___ 50

100 3

1 000 29

1 000 49

10.1 1 10 __ 10

4.002 2 4_____ 1 000

1 = 4 ____ 500

9. Colorea la parte que representa 0.20 de cada figura considerando que cada una corresponde a una unidad de área.

10. Comparte con tus compañeros el procedimiento que seguiste para encontrar las respuestas del ejercicio 9. Formulen una conclusión sobre el procedimiento más eficaz para resolverlo y escríbanlo en su cuaderno.

Para transformar un decimal no periódico en fracción, se escribe el decimal sin punto en el numerador; el denominador estará formado por un 1, seguido de un 0 o más según las cifras decimales que tenga ; el número inicial. Por último, se reduce a su mínima expresión. Por ejemplo, 0.625 se escribiría 1625 000 = 125 = 25 = 58 al reducirlo. finalmente se obtiene 1625 000 200 40 Cuando el número decimal tiene parte entera diferente de cero, se escribe el entero, y la parte decimal se transforma en fracción y se coloca a su derecha. Por ejemplo, 7.12 es igual a 12 3 , pero equivale a 7 25 al reducir la parte fraccionaria. 7 100 De manera inversa, para convertir una fracción mixta en decimal, se escribe la parte entera seguida de un punto decimal; después, se suma el resultado de dividir el numerador entre el denominador. Por ejemplo,4 35 es igual a 4 + (3 ÷ 5), y se obtiene 4.6 donde el decimal es el resultado de la división.

Oriéntate Un número periódico es el decimal que tiene un periodo (cifras que se repiten indefinidamente) en su representación.

Profundiza 11. Analiza los planteamientos y contesta las preguntas.

1__2 1

a) Irene tiene 1.5 kg de azúcar. ¿Cómo se expresa la cantidad en fracción?

750 3 _____ = 2__4 1 000

b) Samanta necesita 2.750 m de tela. ¿Cómo se expresa la cantidad en fracción? 2 c) Gerardo tiene 0.45 h para comer. ¿Cómo se expresa la cantidad en fracción?

3 __ 4

4 800 8 _____ d) Beatriz debe tomar 0.800 L de agua. ¿Cómo se expresa la cantidad en fracción? = __ = __ 5 1 000 10 Lección 2 Bloque 1

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Lección 2 Números fraccionarios y decimales II 12. Reúnete con un compañero y resuelvan los problemas. a) La mamá de Carlos desea repartir 1 kg de chocolates entre sus tres hijos de manera equitativa. i. ¿Qué cantidad de chocolates le corresponderá a cada uno? Escriban la respuesta 1 0.3 y __3

en número decimal y en fracción.

ii. En la respuesta anterior, ¿cuántas cifras decimales se necesitan para que la cantidad sea pre-

cisa? Consideren que con un número decimal de expansión infinita nunca es posible escribir la última cifra. Expliquen su respuesta en su cuaderno y compártanla con el grupo. R. P. Es

mejor dejarla en fracción porque en decimal jamás se logrará terminar la división. b) Enrique tiene $200.00 y desea repartir el dinero equitativamente entre sus seis sobrinos. i. ¿Qué cantidad le corresponde a cada uno?

200 100 ____ = ___ 3 6

ii. Expliquen, en su cuaderno, el procedimiento que emplearon para resolver el problema. 3 13. Convierte las fracciones __13 y __ en número decimal y contesta. 10

a) ¿Se obtiene la misma cantidad en ambas? Explica la respuesta en tu cuaderno.

No, uno es infinito y el otro finito.

b) Comparte, con ayuda del profesor, tu respuesta con el grupo. Registren en su cuaderno sus dudas

y comenten alternativas para resolverlas. 14. Analiza la tabla. Fracción 1 4

Decimal

Tipo de decimal

Característica de la parte decimal

0.25

Exacto

1 3

0.3333…

Periódico puro

Las cifras decimales después del punto se repiten indefinidamente.

11 6

1.8333…

Periódico mixto

Las cifras decimales que se repiten de manera indefinida no empiezan inmediatamente después del punto decimal.

Tiene un número limitado de cifras decimales.

15. Reúnete con un compañero y analicen los siguientes procedimientos.

Para transformar un número decimal periódico puro en fracción

Para transformar un número decimal periódico mixto en fracción

1. Observar cuántas cifras decimales se repiten. En el ejemplo, el número 3 se repite indefinidamente después del punto decimal.

1. Multiplicar por 10×10×10×… etc., n veces, con n igual a las cifras decimales que anteceden a la cifra periódica más las cifras que componen el periodo (cifras que se repiten)

Fracción desconocida = 0.3333… Para simplificar la igualdad anterior, denominar la “fracción desconocida” con la letra x x = 0.3333…

24

2. Multiplicar por 10×10×10×… etc., n veces, donde n sea igual al número de cifras que conforman el periodo 3. Restar el resultado del punto 2 al resultado del punto 1

Bloque 1 Lección 2

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Lección 2 2. Multiplicar ambos lados de la igualdad por 10, ya que la cifra que se repite es de un dígito; si dos cifras se repitieran, se multiplicarían por 100, y así sucesivamente 10 × x = 3.3333… (multiplicar ambos lados de la igualdad por 10)

4. Dividir ambos lados de la igualdad entre el número que acompaña a la x. Ejemplo: a) En 1.833333 …, se repite una cifra, el 3, y la cifra decimal que le antecede es una, el 8, por tanto se multiplicará por 10 × 10 = 102 = 100. 100 × x = 183.333… b) El periodo se conforma por una cifra, por tanto se multiplica por 10 × 1 = 10. 10 × x = 18.333…

3. Restar las igualdades 10 × x = 3.3333… – x = 0.3333… 9×x=3

c) Restar 4. Dividir ambos lados de la igualdad entre el número que acompaña a x (en este caso se divide entre 9) 9 3 9 x= 9 1 × x = 39 x = 13

–

100 × x = 183.333… 10 × x = 18.333… 90 × x = 165

d) Dividir ambos lados entre 90 y reducir la fracción 11 x = __ 6

5. Con el procedimiento anterior, concluir que 0.3333… es igual a 13 16. Transforma, en tu cuaderno, los decimales en fracción.

2 _ a) 0.6666… 3

2 _ d) 0.2222… 9

1 _ b) 0.111… 9

2 _ e) 0.181818… 11

1 _ c) 0.090909… 11

Oriéntate Es usual que no se escriba el 1 junto a la x, ya que 1 × x = x.

17. Planteen en su cuaderno, de forma grupal, un caso donde se pueda convertir un número decimal en uno fraccionario mediante división. a) Analicen el uso de la división en la conversión de números decimales en fracciones. b) Escriban en su cuaderno una breve conclusión del inciso anterior.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-025a, donde hay una actividad de conversión de fracción en decimal y viceversa. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-025b, donde se explica un procedimiento para convertir fracciones en decimales y viceversa. Explora el video www.e-sm.com.mx/matret1-025c, donde se muestra la conversión de decimales en fracciones en un planteamiento de la vida cotidiana.


La agrimensura es una disciplina dedicada a la delimitación de superficies y usa instrumentos, como las cintas métricas. Mide las dimensiones de tu habitación y exprésalas en números decimales y fraccionarios. Lección 2 Bloque 1

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Lección 3 Números fraccionarios y decimales III Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: números y sistemas de numeración

Contenido Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.

Las pizzas: fracciones en la recta numérica Los alumnos de 1° A están organizando un convivio para el Día del Estudiante. Para ello, formaron cinco equipos: el primero con seis integrantes, el segundo con ocho, el tercero con diez, el cuarto con siete y el quinto con nueve. Cada equipo comprará una pizza del mismo tamaño y tipo, y deberá repartirla en porciones iguales según el número de integrantes. 1. Responde las preguntas y haz, en tu cuaderno, lo que se pide. a) Si las pizzas son iguales, ¿en la de qué equipo habrá rebanadas más grandes? En la del primer equipo, el de seis integrantes. b) Explica el procedimiento que seguiste para encontrar la respuesta. R. T. Entre menos partes tiene la pizza, cada parte tiene más masa. 2. Reúnete con un compañero. Comparen su procedimiento del ejercicio anterior y discutan las diferencias y semejanzas que encontraron. 3. Contesta y efectúa lo que se solicita con base en el dibujo que representa una pizza dividida en rebanadas.

a) ¿Entre cuántas personas se repartirá si se distribuye en partes iguales? 12, 6, 4, 3 o 2 personas.

Oriéntate b) Redacta, en tu cuaderno, cómo encontraste la respuesta anterior.

En la recta numérica, los números positivos se encuentran a la derecha del 0. − +

4. Dibuja, en tu cuaderno, las pizzas divididas en rebanadas iguales de cada equipo del grupo 1° A. Comparte tu procedimiento con el grupo. Con ayuda del profesor redacten uno en su cuaderno.

0

5. Contesta las preguntas y haz lo que se pide. Considera que en la recta numérica se representa la pizza como unidad. R. P.

1

0

a) Si cada división indica una rebanada, ¿en cuántas rebanadas se repartió la pizza? En siete partes. b) ¿Cómo son entre sí las rebanadas?

Iguales.

c) Redacta, en tu cuaderno, el razonamiento que seguiste para encontrar la respuesta. R. P. 6. Compara tus respuestas del ejercicio anterior con las de tus compañeros. Lleguen a un acuerdo sobre cómo interpretar las rectas numéricas.

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Bloque 1 Lección 3

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Lección 3 Un paso adelante 7. Relaciona cada recta numérica con el dibujo correspondiente. Considera el número de partes en que está dividida cada unidad.

0

1

0

1

0

1

0

1

8. Ubica, en la recta numérica, la parte sombreada de la figura y contesta en tu cuaderno.

3 _ 16 1

0

a) ¿Qué fracción representa la parte sombreada?

3 _ . 16

b) ¿En cuántas partes dividiste la recta? ¿Por qué? Se dividió la recta en 16 partes. R. T. Por

que el denominador de una fracción indica en cuántas partes se divide el entero.

9. Comenta con tu grupo las estrategias que seguiste en las actividades 5 y 6. 10. Reúnete con tres compañeros. Analicen el problema y contesten lo que se pide. En el grupo 1° B compraron pizzas divididas en ocho rebanadas iguales; cada una será para un equipo

y los integrantes deberán recibir una rebanada igual (del tamaño en que viene cortada). a) Si un equipo está conformado por once integrantes, ¿alcanzará una pizza para dar una rebanada

igual a cada uno? ¿Cuántas pizzas divididas en ocho rebanadas necesitan?

No. Once.

b) Expliquen las respuestas en sus cuadernos y representen, en una recta, las rebanadas que se

necesitan. c) Si todas las pizzas están divididas en ocho rebanadas iguales, ¿qué fracción representan las

rebanadas que se requieren para el equipo?

88 _ 11

Oriéntate Cuando una fracción es impropia se utiliza más de un entero para representarla.

d) Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y redacten, en sus cuadernos, una breve

conclusión respecto al tipo de fracciones obtenidas. Lección 3 Bloque 1

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Lección 3 Números fraccionarios y decimales III Profundiza 11. Reúnete con un compañero y hagan, en sus cuadernos, lo que se indica.

3 2 1 -1 - __4 - __4 - __4

0

1 __

2 __

4

4

3 __

1

4

0

Recta 1

1 __

2 __

3 __

4

4

4

1

Recta 2

a) Discutan y redacten las diferencias y similitudes entre las dos rectas numéricas. b) Si la fracción que se desea ubicar en ambas rectas es __34 , ¿qué diferencia hay entre ellas? c) Compartan sus respuestas con el grupo. 12. Lean la siguiente afirmación con su grupo, reflexionen sobre ella y redacten una conclusión.

Es posible colocar el cero en la recta numérica donde mejor convenga, sin olvidar que los números positivos están a su derecha de manera creciente y que el espacio entre cada división debe ser el mismo. 13. Algunas pizzas se han dividido de maneras diferentes. Contesta y haz lo que se pide.

Pizza 1

Pizza 2

Pizza 3

Pizza 4

Pizza 5

a) ¿Qué fracción representa una rebanada de cada pizza? Pizza 1

__1

Pizza 2

6

__1 8

Pizza 3

1 __

b) Ubica, en la recta, las fracciones anteriores.

__1

Pizza 4

10

__1 6

__1 7

Pizza 5

7

__1 8

0

__1 9

__1 9

1 __ 10

1

14. Contesta con tu grupo las preguntas siguiendo las respuestas del ejercicio anterior,y redacta las explicaciones en tu cuaderno. a) ¿Una recta numérica sirve para ordenar cantidades?

Sí.

b) ¿Qué fracción ubicaron en el extremo derecho de la recta numérica? __1 6

c) ¿Qué representa esa fracción en dicho lugar de la recta?

Es la mayor, es la que más se acerca al 1, es la que tiene mayor masa.

d) ¿De qué pizza las rebanadas son más grandes?

Pizza 1.

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Bloque 1 Lección 3

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Lección 3 15. Lee con tu grupo la siguiente afirmación, analícenla, den algunos ejemplos y redacten una conclusión.

Entre los diversos recursos que hay para comparar fracciones, se encuentra la recta numérica. En ella, las cantidades ubicadas a la izquierda siempre serán menores que las situadas a la derecha. 16. Ubica, en tu cuaderno, las fracciones __35 , __73 , __34 , __85 y __58 en una recta numérica y ordénalas de menor a mayor según su valor. 7 8 __ 5 __ 3 __ 3 __ __

, , , ,

5 8 4 5 3

17. Reúnete con un compañero y efectúen, en su cuaderno, lo que se indica.

1 4

3 5

a) Escriban dos fracciones ubicadas entre __14 y __35 , y expliquen el procedimiento que usaron para

encontrarlas.

R.T. __52 y __42

b) ¿Cuántas fracciones es posible localizar entre __14 y __35 ? Escriban algunas que hayan encontrado y

comparen sus respuestas con el grupo.

infinidad

c) ¿Quién encontró más fracciones? Es posible situar un número indeterminado de fracciones. ¿Pueden

explicar por qué? Básense en el ejercicio anterior.

R. P.

d) Expliquen qué pueden hacer para que las fracciones __14 y __35 tengan un común denominador.

Consideren que, si ambas comparten el mismo denominador, es más fácil compararlas en la recta y encontrar otras fracciones entre ellas.

Oriéntate Al multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número (excepto el cero), se obtiene una fracción equivalente.

R. P.

e) Conviertan __41 y __53 en fracciones equivalentes con denominador común y mencionen cinco fracciones

que se ubiquen entre ellas.

12 6 ___ 8 ___ 5 10 R. T. ___ y ___ . ___ , 7 , ___ , 9 , ___ 20 20 20 20 20 20 20

18. Compartan sus respuestas del ejercicio anterior con el grupo, lean la siguiente afirmación y discútanla. Luego analicen las características de la recta numérica y sus ventajas para ubicar números.

Entre dos números fraccionarios hay siempre otro situado en la recta numérica; a esta propiedad se le denomina densidad.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-029a, donde se encuentran actividades para ubicar fracciones en la recta numérica. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-029b, donde hay una actividad de comparación de fracciones Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-029c, donde se explica un procedimiento para situar fracciones en la recta numérica.

Para la bitácora Resuelve las actividades correspondientes a la lección 3 en la bitácora de la página 70. Lección 3 Bloque 1

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Lección 4 Números fraccionarios y decimales IV Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: números y sistemas de numeración

La receta: decimales en la recta numérica En la exposición final del taller de cocina, Angélica preparó una tarta de queso con estos ingredientes.

Contenido • 0.150 kg de azúcar • 0.250 kg de galletas • 0.200 kg de mantequilla • 0.050 kg de mermelada • 0.100 kg de nata • 0.300 kg de queso fresco


Oriéntate Recuerda que un 0 o más a la derecha de un número decimal no afecta su valor. Por ejemplo, 1.700 es igual a 1.7, aunque haya más de un 0 a la derecha.

1. Ordena las cantidades anteriores de menor a mayor valor.

0.050, 0.100, 0.150, 0.200, 0.250, 0.300 2. Explica el procedimiento que seguiste para ordenar los números decimales.

R. T. Observando el valor de los décimos y posteriormente de los centésimos. 3. Ubícalos en la recta numérica. 0.100 0.200 0.300

0 0.050 0.150 0.250 4. De acuerdo con la receta, ¿qué ingrediente fue el más usado?

1

Queso

¿Por qué? porque es el que está ubicado más a la derecha de todos. 5. Reúnete con un compañero. Transformen las fracciones en números decimales, localícenlos en la recta numérica y contesten en su cuaderno. 8 10 ,

0.8 0.1

4 10 ,

1 10 ,

6 10 ,

3 10

0.4

0.1

0.6

0.3

0.3

0.4

0

0.6

0.8 1

a) ¿En cuántas partes se debe dividir la recta numérica para situar las fracciones si se considera

su denomidador común? Argumenten su respuesta. 10, por que el denominador indica en cuántas partes se divide el entero o la unidad

32 b) Si ubicaran la fracción ___ o su equivalente decimal (0.32), ¿en cuántas partes dividirían la 100

unidad en la recta numérica? Argumenten su respuesta. 100, por que el denominador indica en cuántas partes se divide el entero o la unidad

c) Comenten, en grupo y con ayuda de su profesor, sus respuestas de los incisos anteriores. Concluyan

cuáles son viables y lleguen a un acuerdo. R. P.

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Bloque 1 Lección 4

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Lección 4 Un paso adelante 6. Reúnete con tres compañeros. Analicen el planteamiento y efectúen lo que se pide. a) Para ubicar 0.3 y 0.7 en la recta numérica necesitamos dividir la unidad en diez partes iguales.

0.3

0

1

0.7

Ahora para localizar 0.32 (treinta y dos centésimos) no es necesario dividir la unidad en cien partes, basta partir en diez el espacio comprendido entre 0.3 y 0.4.

0.30

0.32

0.34

0.36

0.38

0.40

Observen que en la primera recta numérica dividimos la unidad en diez partes, y en la segunda tomamos una décima parte de la primera y la volvimos a segmentar en diez.

0.7

0.3

0

0.30

0.32

0.34

0.36

1

0.38

0.40

i. Tracen, en su cuaderno, otra recta numérica y dividan el segmento comprendido entre 0.32 y

0.33 en diez partes para ubicar el decimal 0.322. 0.32 0.322 ii. ¿Es posible repetir este proceso indefinidamente? Discutan su respuesta con el profesor y sus

0.33

compañeros.

R.P.

iii. Consideren marcar las divisiones que hay entre 0 y 1 en una sola recta. ¿Cuántos números

decimales podrían encontrar? infinidad iv. Ubiquen en la recta tres números decimales comprendidos entre 0.9 y 1. Recuerden que pueden

asignar el valor que les convenga en los extremos; no es necesario que la recta inicie en 0, aunque sí es importante que la distancia entre las divisiones sea la misma.

R. T. 0.95, 0.98, 0.99 0.9

0.95

0.98 0.99 1

b) Localicen en la recta los números decimales 0.132 y 0.139.

0.130

0.132

0.139 0.140

c) Compartan sus respuestas con el grupo y el profesor. Comenten las dificultades que tuvieron

para ubicar las cantidades anteriores en la recta numérica. Aporten posibles soluciones ante las dificultades presentadas. Lección 4 Bloque 1

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Lección 4 Números fraccionarios y decimales IV Profundiza Siempre hay más de un número decimal situado entre otros dos (como sucede también con los números fraccionarios). A esta propiedad se le denomina densidad. 7. Resuelve los problemas. a) Identifica cinco números decimales diferentes en la recta numérica.

R. P.

1.420

1.410

R. P.

b) Escribe un número decimal que sea mayor que 0.311, pero menor que 0.312. c) Ubica

4 5

, 0.9, 0.6, 1.1 y

0

11 6

en la recta numérica.

0.6

4 __ 0.9 5

1

1.1

d) Ordena los números del inciso anterior de mayor a menor valor.

11 __

0.6, __54 ,

6

0.9, 1, 1.1,

11 __

2

6

8. Reúnete con un compañero y efectúen lo que se indica. 3 __

3

a) ¿Qué número es mayor: 0.5 o 5 ?

5

b) Describan el procedimiento que emplearon para encontrar la respuesta anterior.

R. T. Dividiendo tres entre cinco para encontrar el decimal equivalente y comparar con 0.5 3

c) Ubiquen, en la recta numérica, 0.5 y 5 .

0 0.5 __ 1 5 d) Escriban tres decimales y tres fracciones que se encuentren entre 0.5 y __35 . 3

R. P. e) Ubiquen, en la recta numérica, los números que escribieron en el inciso anterior. R. P.

f) Elaboren en su cuaderno y de manera grupal una conclusión sobre cómo determinar qué numero

es mayor que otro utilizando la recta numérica.

32

Bloque 1 Lección 4

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Lección 4 9. Reúnete con tres compañeros. Analicen el planteamiento y contesten las preguntas basándose en la recta numérica. a) En la escuela secundaria "Horacio Zúñiga" se desea cercar el huerto escolar que tiene forma

rectangular. Se colocará un poste en cada esquina y otros a lo largo y ancho del terreno. i. El ancho del huerto es de 3 m y se desean colocar cinco postes (incluyendo los de las esqui-

nas) separados a la misma distancia entre ellos. ¿A cuántos metros se encontrarán entre sí? 3 __ y 0.6 m 5

Escriban la respuesta en fracción y número decimal. ii. Ubiquen los postes en la recta numérica.

iii. El largo del terreno es de 4 m, pero solo se desean colocar cuatro postes (contando los de las

esquinas). Si este lado se ha dividido en partes iguales, ¿qué distancia habrá entre ellos?

1m 10. Compara los números fraccionarios y decimales; utiliza los símbolos > (mayor que), < (menor que) o = (igual a), según corresponde.

a) 0.42

>

0.4

b) 0.56

>

1 2

c)

1 6

<

0.7

d) 1

e) 3.7 f) 4.7 4.710 > 0.3 < 3.701 = 3 11. Escribe con tu grupo los pasos necesarios para comparar dos números fraccionarios o decimales.

12. Registra en el cuaderno tus dudas y, con ayuda de su profesor, comenta cómo resolverlas.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-033a, donde hay actividades para ubicar decimales en la recta numérica. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-033b, donde se encuentran actividades para ordenar decimales de mayor a menor cantidad. Explora el video www.e-sm.com.mx/matret1-033c, donde se aplica el uso de la recta numérica en un planteamiento de la vida cotidiana.

Para la bitácora

La cinta métrica es un instrumento de medida graduado en centímetros. Consigue una cinta métrica y mide la estatura de diez compañeros. Escribe en tu cuaderno las medidas en decimales y fracciones.


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Lección 5 Problemas aditivos Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: problemas aditivos

Contenido Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones.

Las albercas: suma y resta de fracciones 4

En una alberca vacía se vertió agua hasta cubrir 7 de su capacidad y, posteriormente, se añadió el equivalente a 29 de su totalidad. 1. Contesta la pregunta y haz lo que se indica. 13 ___

a) ¿Qué fracción representa la parte de agua que falta para llenar la alberca?

63

b) Explica la estrategia que usaste para responder la pregunta. R. T. Sumar las fracciones

dadas y restar el resultado a la unidad

3

2. Otra alberca infantil estaba llena. Para evitar que se enfriara el agua se vació 5 del total y se vertió agua caliente hasta cubrir 9 de su capacidad. 10

a) ¿Qué fracción representa la cantidad de agua caliente que se vertió?

__1

b) ¿Qué fracción representa la cantidad que falta para llenar la alberca?

1 __

2

10

c) Expresa el planteamiento anterior en la recta numérica (el 0 representa que la alberca está vacía;

el 1, que está llena). 4 __

9 __

10

10

1

0

1

3. En esta semana le están dando mantenimiento al chapoteadero: ayer pintaron 2 1 de su superficie y hoy solo alcanzaron a cubrir 6 más, pero ya se terminó la pintura. 2 1 __ = __3 6 2 4 __ b) ¿Qué fracción representa la superficie pintada? = _3_ 6

a) ¿Qué superficie del chapoteadero falta pintar?

1

2

4. Una escalera tiene 9 de su longitud sumergida en el fondo de un estanque y 11 fuera del agua. a) ¿Qué fracción representa la parte cubierta de agua?

70 ___ 99

b) Para responder el inciso anterior, tal vez usaste dibujos, recta numérica o sumas y restas. ¿Qué

procedimiento empleaste? ¿Utilizaste uno diferente? Explica en tu cuaderno.

R. P.

c) Comparte con un compañero el procedimiento que empleaste. d) Anota en el cuaderno tus dudas. Con ayuda del profesor, coméntalas con el grupo y entre todos

encuentren maneras de resolverlas.

34

Bloque 1 Lección 5

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Lección 5 Un paso adelante 5. Reúnete con un compañero. Analicen el planteamiento y contesten. a) Un carpintero cubre un piso con madera en 6 h; en cambio, su ayudante lo hace en 10 h. 4 __

i. Si trabajaran juntos, ¿qué parte de la superficie del piso cubrirían en 1 h?

15

ii. Expliquen la estrategia que usaron para responder la pregunta.

R. P.

iii. ¿Qué fracción representa el área que cubre el carpintero en 1 h?

__1 6

1 __

iv. ¿Cuál representa la superficie que cubre el ayudante en 1 h?

10

v. ¿Qué fracción representa el área que les falta cubrir después de trabajar juntos

durante 1 h? 11 __

Oriéntate

15

6. Resuelve el problema. a) Federico es pescador; hoy vendió

1 6

1 3

del total que pescó, entregó en el mercado, guardó para su familia y donó el resto a un albergue. ¿Qué fracción de su pesca donó?

1 4

__1 4

7. Redacta, en tu cuaderno, dos problemas que se resuelvan con estas operaciones. a) 1 − 4 + 3 = 7

14

Recuerda que en la suma se aplica la propiedad conmutativa, según la cual el orden de los sumandos no altera el resultado. Por ejemplo: 5 + 3 = 3 + 5. Pero en la resta el orden sí afecta el resultado.

R. P.

b) 1 + 3 – 2 = 15

5

10

8. Observa los gráficos y escribe una expresión con fracciones (suma o resta) que exprese su comportamiento. Gráfico 1

16 8 8 __ + __ = __ =1 16 16 16

Gráfico 2

2 16 14 7 __ - __ = __ = __8 16 16 16

Gráfico 3

16 6 5 10 __ - __ = __ = __8 16 16 16

Gráfico 4

16 8 8 1 __ - __ = __ = __2 16 16 16

9. Reúnete con un compañero. Discutan sus respuestas y redacten una conclusión.

R. P.

Lección 5 Bloque 1

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Lección 5 Problemas aditivos Profundiza 10. Reúnete con un compañero y resuelvan mentalmente los problemas. 1

1

a) El lunes un jardinero podó 2 del césped de un campo de futbol; el martes, 4 ; el miércoles no

trabajó; y el jueves solo cortó 1 . ¿Qué fracción del césped le faltó podar? 8

__1 8

b) En la escuela de Carlos promocionaron la actividad “El kilómetro del libro”. El objetivo era formar

1 km de libros alineados sobre el piso. Durante tres días sus compañeros lo construyeron: el primer día avanzaron 23 km; el segundo, 16 km; y el tercero, 11 km. ¿Qué fracción representa la parte que 2 les faltó para completar el kilómetro? 1 __ 12

1

1

c) Enriqueta preparó una gelatina y la repartió de esta manera: dio 8 a su esposo, 16 a su bebé y 1

a su vecina. Si guardó el resto en el refrigerador, ¿cuánto sobró? 2 5 __ 16

11. Completa la tabla efectuando la operación que se indica. Fracción – 1

Fracción

5

1 4 3 7 2 9

Fracción + 2 3

1 ___

11 __

8 ___

23 ___

1 ___

8 __

20

12

35

21

45

9

12. Resuelve los problemas. 1

1

3

a) Jesús compró 3 2 kg de manzana, 1 4 kg de peras y 2 4 kg de carne.

Oriéntate Recuerda que, para sumar o restar fracciones mixtas, primero debes transformarlas en fracciones impropias y, posteriormente, aplicar el método que más te convenga.

i. Si mete todo en una bolsa, ¿cuánto pesará en total?

7__2 1

ii. Si le recomendaron cargar solo 6 kg en la bolsa porque esta se puede romper con más peso,

¿le convendrá meter todo lo que compró?

No

Argumenta tu respuesta.

porque todo junto pesa más de 6 kg 3

1

1

b) Pilar salió de su trabajo y caminó durante 4 h, comió en 2 h y regresó en un autobús que tardó 6 h. 1

i. Si en su trabajo le dan 1 2 h para comer, ¿le faltó tiempo o le sobró? Explica tu respuesta. 17 5 3 1 1 Sobró, sumar los tiempos __4 + __2 + __ = __ ó 1 __ 12 12 6

ii. ¿Cuánto tiempo le faltó o le sobró?

36

1 Sobra __ de hora o 5 minutos 12

Bloque 1 Lección 5

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Lección 5 13. Analiza los gráficos y contesta lo que se pide. a) El entero está representado por la figura

. Observa esta división:

¿Qué fracción representa cada triángulo?

1 __ 12

b) Expresa, con fracciones, la operación de los gráficos.

2

-( -(

+ +

2 __ 12

6 __ 12

)= )=

16 __ 12

c) Expresa los gráficos con fracciones.

42 7 ___ = __2 12

18 3 __ = __2 12

14. Completa la tabla de manera que al sumar cada fila o columna el resultado sea 1. 1 4 27 ___ 70 51 ___ 140

3 5 4 ___ 35 2 7

3 ___ 20

1 2 7 ___ 20

15. Construye, en tu cuaderno, dos modelos de gráficos donde utilices sumas y restas de fracciones. a) Compara tus modelos con los de tus compañeros y analicen las diferencias. b) Discute con tu grupo las diferencias entre la suma de enteros y la suma de fracciones.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-037a, donde hay actividades para sumar y restar fracciones. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-037b, donde se encuentra una actividad de suma y resta de fracciones. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-037c, donde se explica cómo sumar fracciones con diferente denominador.

Consigue una manzana y divídela en octavos (lo más exacto posible). Describe en tu cuaderno el procedimiento que seguiste.


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Lección 6 Sucesiones numéricas y figurativas Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: patrones y ecuaciones

Contenido Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras.

Las tarjetas: sucesiones numéricas El encargado de Recursos Humanos de la tienda departamental Todo Barato debe llevar el control de asistencia y puntualidad de los empleados: cada semana, recoge las tarjetas en que ellos registran sus horas de entrada y salida. En el departamento de Abarrotes, las tarjetas están foliadas como se indica en la tabla. Observa que el número de folio sigue una secuencia. Empleado

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Folio

418

421

424

427

430

433

436

439

442

445

448

451

1. Reúnete con un compañero y hagan lo que se pide. a) En este mes, tres personas entraron a trabajar en el departamento de Abarrotes. ¿Qué folio

les corresponderá si son los empleados 13, 14 y 15, respectivamente?

454

457

460

b) Describan, en su cuaderno, el procedimiento que siguieron para encontrar las respuestas

de la pregunta anterior. c) ¿Qué folio corresponderá al empleado 20?

475

d) Redacten, en su cuaderno, el procedimiento para encontrar el folio del empleado 100.

Un paso adelante En el departamento de Juguetería, se manejan los folios que se muestran en la tabla. Empleado

1

2

3

4

5

6

7

8

Folio

706

707

708

709

710

711

712

713

2. Describe, en tu cuaderno, el procedimiento para encontrar el folio de cada empleado.

705 + número de empleado

758

3. ¿Qué folio le corresponderá al empleado 53?

Glosario La sucesión es un conjunto ordenado de términos que cumplen una ley determinada. En este caso, la palabra término se refiere a cada número que la integra.

4. Observa la sucesión y responde las preguntas.

4, 7, 10, 13, 16… a) ¿Qué número ocupará la décima posición? b) ¿Cuál es la regla que sigue la sucesión?

31 sumar 3 al anterior

c) La sucesión tiene un orden dado por una regla. Inventa, en tu cuaderno, una sucesión de diez

términos y escribe la regla que sigue. Compártela con tus compañeros. d) Elige, grupalmente, una sucesión y verifiquen entre todos la regla propuesta.

38

Bloque 1 Lección 6

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Lección 6 Las formaciones: sucesiones figurativas Para fin de curso, los alumnos de primer grado de la escuela "Horacio Zúñiga" presentarán una tabla gimnástica. Ellos se irán incorporando a la presentación para formarse en “V”: en el primer momento solo estará un estudiante, pero en los siguientes se integrarán los demás de dos en dos. 5. Observa la tabla que representa la formación de los alumnos y contesta las preguntas. Momento

1

2

3

4

5

1

3

5

7

9

Formación

Número de alumnos

11,

a) ¿Cuántos alumnos se incorporarán en los momentos 6 y 7?

13 8

b) ¿En qué momento de la presentación se integrarán quince estudiantes?

19

c) ¿Cuántos alumnos se incorporarán en el momento 10?

d) Describe, en tu cuaderno, el procedimiento que seguiste para encontrar las respuestas anteriores. e) Comparte con el grupo tu procedimiento, comenten dudas y con apoyo de su profesor intercambien

ideas para aclararlas.

Un paso adelante 6. Reúnete con tres compañeros, observen la sucesión y respondan las preguntas en su cuaderno.

...

1

2

3

5

25, 36, 49

a) ¿Cuántos puntos habrá en las figuras de los lugares 5, 6 y 7?

400

b) ¿Cuántos puntos habrá en la figura que ocupe el lugar 20? c) ¿Cuántos puntos hay en la base de cada figura?

4

1, 2, 3, 4, 5, 6

d) ¿Qué operación deben efectuar para obtener el número de puntos de cada figura si consideran

como referencia la cantidad que hay en la base? Multiplicar por sí mismo, 1 x 1, 2 x 2, 3 x 3, 4 x 4, 5 x 5, 6 x 6 e) Compartan sus respuestas con el grupo y elaboren una conclusión. Lección 6 Bloque 1

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Lección 6 Sucesiones numéricas y figurativas Profundiza La sucesión o progresión aritmética es una secuencia de números donde cada uno se diferencia del anterior (excepto el primer término) por una cantidad constante denominada diferencia común. Por ejemplo: 7, 11, 15, 19… es una sucesión o progresión aritmética porque la constante entre un término y el anterior es 4.

7. Analiza el procedimiento para obtener la regla de la sucesión aritmética y completa la tabla. a) Obtener la diferencia común de la sucesión: restar a un término el anterior b) Restar al primer término de la secuencia dicha diferencia común. c) Regla: multiplicar el lugar del término por la diferencia común y sumarle el resultado anterior Sucesión

Diferencia Diferencia (b) común (a)

Regla (c)

Término en el lugar 15

6, 8, 10, 12, 14…

2

6–2=4

multiplicar el lugar del término por 2 y sumar al resultado 4

15 × 2 + 4 = 34

8, 13, 18, 23…

5

8-5=3

Lugar del término por 5 más 3

15 x 5 + 3 = 78

5, 6, 7, 8…

1

5-1=4


15 x 1 + 4 = 19

La sucesión o progresión geométrica es una secuencia de números donde cada término (excepto el primero) se obtiene al multiplicar el anterior por uno fijo. A esta relación constante se le denomina razón común. Por ejemplo: 6, 36, 216, 1 296… es una sucesión o progresión geométrica porque al multiplicar un término por una cantidad fija (6) se obtiene el siguiente.

8. Analiza el procedimiento para obtener la regla de la sucesión geométrica y completa la tabla. a) Obtener la razón común de la sucesión: dividir un término entre el anterior b) Regla: multiplicar la razón común por sí misma tantas veces como el lugar del término Sucesión

Razón común (a)

Regla (b)

Término en el lugar 6

4, 16, 64, 256…

4

multiplicar 4 por sí mismo tantas veces como lo indica el lugar del término 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 4 096

2, 4, 8, 16…

2

multiplicar 2 por sí mismo tantas veces como lo indica el lugar del término

2 × 2 × 2 × 2 × 2 2 = 64

3, 9, 27, 81…

3

3 elevado a la potencia del lugar donde se ubique el término

36 = 729

En una sucesión figurativa se debe analizar el acomodo de las figuras y obtener una secuencia numérica a partir de los elementos utilizados. c) Comenta con el grupo tu respuesta y las dificultades presentadas durante la actividad; compartan

ideas para superarlas.

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Bloque 1 Lección 6

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Lección 6 9. Reúnete con tres compañeros, observen la sucesión y respondan las preguntas en su cuaderno.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

a) ¿Qué sucesión se forma con el número de elementos de cada figura?

Figura 4

Figura 5

3, 6, 9, 12, 15, …

aritmética

b) ¿La sucesión formada es aritmética o geométrica?

3 por el lugar del término

c) Redacten la regla que sigue la sucesión anterior.

10. Completa las tablas (solo escribe los primeros tres términos de la sucesión). Sucesión

Diferencia o razón común

Regla

6, 14, 22,

…

Diferencia común = 8

multiplicar el lugar del término por 8 y restarle al resultado 2

5, 25, 125,

…

razón común: 5

5 elevado a la potencia del lugar donde se ubique el término.



11, 16, 21…

Sucesión figurativa

Sucesión numérica Diferencia o razón común

Regla

5, 9, 13,

…



2, 4, 8,

…

Razón común = 2

2 elevado a la potencia del lugar donde se ubique el término.

11. Organiza un debate de manera grupal relacionado con las características de una sucesión y los procedimientos para encontrar la regla que las define. Redacten, en su cuaderno, una breve conclusión.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-041a, donde se encuentra una actividad con geometría dinámica y sucesiones geométricas. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-041b, donde hay una actividad sobre sucesiones de figuras. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-041c, donde se muestran algunos ejemplos de sucesiones numéricas.


En la naturaleza es posible identificar sucesiones numéricas. Por ejemplo, la piña de los pinos tiene espirales que van en sentido de las manecillas del reloj y otras en sentido contrario. ¿En qué plantas del jardín puedes observar un caso similar? Lección 6 Bloque 1

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Lección 7 Significado de algunas fórmulas geométricas Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: patrones y ecuaciones

Contenido Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar a las literales como números generales con los que es posible operar.

La tarea: enunciado del procedimiento para calcular el perímetro de una figura Carmen se enfermó y no pudo asistir a la escuela durante una semana. Quería enterarse de qué habían visto en la clase de Matemáticas, así que llamó a su amiga Susana para preguntarle. Ella le explicó que el último tema fue cálculo de perímetros. 1. Ayuda a Susana a redactar una breve explicación de cómo se calcula el perímetro de un polígono regular y de uno irregular.

R. P.

Oriéntate Recuerda que un polígono regular tiene todos sus lados y ángulos iguales, mientras que los irregulares NO tienen todos sus lados y ángulos iguales.

2. El perímetro de la figura que se muestra es de 16 cm. Ayuda a Carmen a determinar el valor de los lados que no tienen medida. 6 __ cm = 3 cm 2

5 cm

Polígono: Figura plana cerrada de varios lados.

Polígono Regular: Figura que tienen todos sus lados y ángulos iguales.

Cuadrilátero: Figura de cuatro lados.

3. Reúnete con un compañero y expliquen el procedimiento que siguieron para responder la pregunta anterior.

R. P. Sumé las bases (5+5) y lo reste al perímetro (16 - 10) el resultado lo dividí entre 2 y obtubé que cada lado mide 3 cm. 4. Resuelve los problemas en tu cuaderno. a) Pedro quiere cercar un terreno rectangular. ¿Qué debe hacer para calcular la medida del contorno?

Sumar los cuatro lados.

b) Paco tiene una hortaliza cuadrangular de 12 m de lado y desea saber cuántos metros de alambre

debe comprar para cercarla. ¿Cómo puede determinar la cantidad de material que necesita?

Sumar los cuatro lados o multiplicar la medida de un lado por 4.

c) ¿Qué procedimiento seguirías para calcular el perímetro de un papalote en forma de rombo,

cuadrado o rectángulo? Compara tu respuesta con la de tus compañeros, registren sus dudas y coméntenlas para resolverlas con apoyo de su profesor.

Cuadrado, porque un rombo tiene los cuatro lados iguales. 5. Reúnete con tres compañeros, analicen la figura de la izquierda y contesten las preguntas. a) Si un cuadro mide 1 cm de lado, ¿qué perímetro tendrá?

22 cm

b) ¿Qué perímetro tiene la figura completa? c) ¿Cuántos cuadros tiene la figura?

42

4 cm

28

Bloque 1 Lección 7

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Lección 7 d) ¿Cómo calcularían el área de la figura? R. T. Sumando las áreas de los cuadritos.

28 cm2

e) Si cada cuadro mide 1 cm de lado, ¿cuál será el área de la figura?

Glosario El área es la superficie comprendida dentro de un perímetro. No tiene espesor ni grosor.

f) ¿Qué relación tiene el número de cuadros con el área de la figura? Argumenten su respuesta

en el cuaderno. El número de cuadritos corresponde a las unidades cuadradas dentro del rectángulo.

g) Compartan el argumento con sus compañeros. Compárenlos y elaboren una conclusión.

Un paso adelante 6. Reúnete con un compañero. Analicen la figura, completen la tabla y contesten las preguntas.

Oriéntate Recuerda que el cuadrilátero es un polígono de cuatro lados y su diagonal, un segmento de línea recta que une dos vértices no consecutivos.

Figura completa

Figura sombreada

Figura no sombreada

Nombre de la figura

Cuadrado

Triángulo

Triángulo

Procedimiento para obtener el perímetro

4 por lado

Lado mas lado mas lado

Lado mas lado mas lado

Número de cuadros

16

8

8

a) ¿Cuál es la fórmula para obtener el área del cuadrilátero?

Base por altura

b) ¿Cuántos triángulos se obtienen al trazar la diagonal del cuadrilátero? c) ¿Cuál es la fórmula para obtener el área del triángulo?

Dos

Base por altura entre 2.

d) Justifiquen la relación que hay entre la fórmula para obtener el área del cuadrilátero y la del triángulo.

En un cuadrilátero hay dos triángulos por eso hay que dividir entre dos el área de un cuadrilátero para obtener el área de un triángulo. e) ¿Cómo se calcula el perímetro de cualquier polígono, sea regular o irregular? Sumando la

medida de todos sus lados.

f) Analiza, de manera grupal, qué son el área y el perímetro; escriban sus conclusiones en el cuaderno.

Lección 7 Bloque 1

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Lección 7 Significado de algunas fórmulas geométricas Profundiza El profesor Lorenzo es el encargado del huerto escolar cuya superficie se modifica anualmente según el número de alumnos o las necesidades de la escuela. El año pasado, el huerto medía 10 m × 7 m y este año solo medirá 8 m × 6 m.

Glosario Una literal (a, b, c… x, y, z) es una letra que expresa cantidades desconocidas y puede ser sustituida por valores numéricos.

7. Contesta las preguntas en tu cuaderno. a) ¿Qué procedimiento usarías para obtener el perímetro del huerto?

Sumar la medida de los lados.

b) ¿Qué perímetro tenía el año pasado y cuál tiene este año?

34 m

28 m

c) Sin importar las medidas del huerto, explica el procedimiento para calcular su perímetro.

R. T. Dos veces el largo más dos veces el ancho.

d) Si el largo del huerto fuera b y el ancho, h, ¿cuál sería la fórmula para obtener su área?

2b + 2h

8. Reúnete con un compañero y completen las tablas. Polígono

¿Cómo calcular perímetro?

¿Cómo calcular área?

triángulo

Lado más lado más lado

Base por altura entre 2

cuadrado

Cuatro por la medida del lado 2 veces el ancho más dos veces el largo

Lado por lado

rectángulo

Polígono

x

Perímetro

Área

x+y+z

za _ 2

4m

m2

2a + 2b

ab

2a +2b

bh

y

a z

m

b

a

c

a b

44

Base por altura

Bloque 1 Lección 7

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Lección 7 9. Evalúa el perímetro de las figuras y redacta, en tu cuaderno, el procedimiento que desarrollaste para encontrarlo. 3 cm 2 cm

a

b)

1 cm

a)

11 cm

4 cm

1 cm

b

10 cm

f

c

12 cm

3 cm

5 cm

d 6 cm

e

11 cm

Perímetro =

69 cm

Perímetro =

c)

a+b+c+d+e+f

d)

3 cm

6 cm

4 cm

Perímetro =

3 cm

2 cm 5 cm

20 cm

19 cm

Perímetro =

e)

f)

3 cm

6 cm 4 cm 6 cm

6 cm

Perímetro =

18 cm

5 cm

Perímetro =

21 cm

10. Compara tus procedimientos con los de tus compañeros, registren dudas y soluciónenlas con ayuda de su profesor. 11. Organiza con tu grupo un debate para analizar las ventajas o desventajas del uso de literales en el cálculo de perímetros y áreas de algunas figuras geométricas.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-045a, donde se encuentra una actividad para calcular áreas con geometría dinámica. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-045b, donde hay una autoevaluación sobre cálculo de áreas.

Para la bitácora

Diversas construcciones tienen formas geométricas. En tu escuela elige alguna cancha o un jardín y calcula su perímetro y área. Presenta tus datos ante el grupo.


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45

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Lección 8 Trazo de triángulos Eje: forma, espacio y medida Tema: figuras y cuerpos

Contenido Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría.

La tarea: trazo de triángulos Como parte de su tarea, Teresa debe construir triángulos con las medidas indicadas por su profesora. En el primer ejercicio trazará un triángulo con tres lados de 2 cm cada uno. 2 cm 2 cm 2 cm

1. Responde y haz lo que se pide en tu cuaderno. a) ¿Cuántos triángulos diferentes se pueden formar con estas medidas? Explica tu respuesta.

Uno.

b) Construye un triángulo con las medidas anteriores. Usa tu juego de geometría. c) Describe el procedimiento que seguiste para trazar el triángulo solicitado. 2. Reúnete con un compañero, discutan sus procedimientos y redacten uno para construir triángulos con el juego de geometría.

En el segundo ejercicio Teresa deberá construir un triángulo con las siguientes medidas. 3 cm 4 cm 2 cm

3. ¿Cuántos triángulos diferentes es posible formar con estas medidas? Explica la respuesta en tu cuaderno. Uno. 4. Reúnete con tu compañero, sigan el procedimiento que redactaron en la actividad 2 y construyan un triángulo cuyos lados midan 2 cm, 3 cm y 4 cm.

En el último ejercicio le pidieron a Teresa que formara un triángulo con estas medidas. 2 cm 4 cm 6 cm

5. ¿Podrá trazar un triángulo con esas dimensiones? Explica la respuesta en tu cuaderno.

No. 6. Comparte las respuestas con el grupo, discutan las características de las tres construcciones anteriores y lleguen a una conclusión.

R. P.

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Bloque 1 Lección 8

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30

Lección 8 Un paso adelante 7. Analiza la construcción y reprodúcela en tu cuaderno. Luego, haz lo que se pide. 7 cm 5 cm

5 cm

5 cm 3 cm

3 cm

3 cm 7 cm 7 cm

a) Redacta los pasos para trazar un triángulo si se conocen los tres lados; indica los instrumentos del

juego de geometría que utilizaste. 8. Compara y comenta con tu grupo los procedimientos que redactaron en las actividades 2 y 7. 9. Reúnete con un compañero. Hagan y contesten lo que se indica en su cuaderno. Usen su juego de geometría. a) Construyan un triángulo cuyos lados midan 8 cm, 6 cm y 4 cm. b) Construyan un triángulo cuyos lados midan 10 cm, 4 cm y 2 cm. c) Construyan un triángulo cuyos lados midan 8 cm, 6 cm y 2 cm. d) ¿Pudieron formar los triángulos indicados? ¿En qué casos tuvieron dificultades para trazarlos? No. b) y c).

¿Cuál fue el problema?

R. P.

10. Comenta con el grupo las respuestas de la actividad anterior, registren dudas y, junto con el profesor, resuélvanlas. 11. Reúnete con dos compañeros. Hagan y contesten lo que se indica en su cuaderno. a) Sumen la medida de dos lados del triángulo del inciso 9 a). ¿Cómo es el resultado respecto al tercer

lado? Repitan el procedimiento con los demás lados para obtener las sumas posibles.

8 + 6 = 14 > 4, 6 + 4 = 10 > 8, 8 + 4 = 12 > 6.

b) Sumen la medida de dos lados del triángulo del inciso 9 b). ¿Cómo es el resultado respecto al tercer

lado? Repitan el procedimiento con los demás lados para obtener las sumas posibles.

10 + 4 = 14 < 2, 4 + 2 = 6 < 10, 10 + 2 = 12 > 4.

c) Sumen la medida de dos lados del triángulo del inciso 9 c). ¿Cómo es el resultado respecto al tercer

lado? Repitan con los demás lados para obtener las sumas posibles.

8 + 6 = 14 > 2, 6 + 2 = 8 = 8, 8 + 2 = 10 > 6. 12. Discute con el grupo las respuestas anteriores y redacten, en su cuaderno, una breve conclusión acerca del dato necesario para construir un triángulo si se conocen los tres lados. Compárenlo con el que se menciona en el siguiente recuadro.

Para construir cualquier triángulo, la medida de uno de sus lados siempre debe ser menor que la suma de los otros dos. Lección 8 Bloque 1

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30

Lección 8 Trazo de triángulos Profundiza 13. Analiza las construcciones, reprodúcelas con tu juego de geometría en el cuaderno y haz lo que se solicita. a) ¿Qué elementos se conocían antes de iniciar el trazo?

Dos lados y el ángulo entre ellos. b) Describe el procedimiento para la construcción del triángulo anterior; menciona que se conocen

dos lados y el ángulo comprendido entre ellos e indica los instrumentos del juego de geometría que usaste. 57°

4 cm 3 cm

57°

3 cm

3 cm

3 cm

4 cm

4 cm 57°

4 cm

c) ¿Qué elementos se conocían antes de iniciar el trazo? Dos ángulos y el lado común. d) Describe el procedimiento para la construcción del triángulo anterior; menciona que se conocen

dos ángulos y el lado comprendido entre ellos e indica los instrumentos del juego de geometría que usaste. 5 cm 60° 30°

60°

30°

30°

60°

5 cm

5 cm

e) Lee la información del recuadro y contesta: ¿Es verdadera o falsa? Argumenta tu respuesta.

verdadera.

Para construir un triángulo cuando se conoce un lado y dos ángulos contiguos, la suma de estos deberá ser menor de 180°. 14. Comparte con el grupo la respuesta del inciso 13 e), coméntenla y redacten una breve conclusión. 15. ¿Qué datos se necesitan para trazar un triángulo? Argumenta la respuesta en tu cuaderno.

Tres lados, dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, y dos ángulos y el lado común.

16. Reúnete con un compañero y respondan los planteamientos.

a) ¿Cuánto mide el tercer lado de un triángulo cuyos lados son de 3 cm y 5 cm, y su ángulo compren-

Oriéntate Los ángulos contiguos son aquellos que están en los extremos de un segmento.

48

dido es de 30°?

2.83 cm

i. Construyan, en su cuaderno, el triángulo indicado para comprobar la respuesta. b) ¿Es posible trazar un triángulo si se conoce la medida de sus tres ángulos?

No

Bloque 1 Lección 8

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Lección 8 c) ¿Se puede trazar un triángulo cuyos ángulos midan 40° 60° y 80°? Inténtenlo en su cuaderno. i. Comparen su triángulo con el de sus compañeros. ¿Es el mismo?

Sí

ii. ¿Esto se debe a que se conocían las medidas de los tres ángulos?

R. P. Expliquen la

respuesta en su cuaderno.

d) ¿Cuánto miden los ángulos de un triángulo cuyos lados son de 3 cm, 4 cm y 5 cm? Trácenlo en

su cuaderno. Sí. 36.87º, 53.13º y 90º. i. Comparen sus respuestas con las de sus compañeros. ¿Todos obtuvieron las mismas? Sí

Arguméntenlas en su cuaderno.

17. Reúnete con un compañero. Hagan lo que se indica en su cuaderno y contesten las preguntas. a) Tracen un triángulo isósceles que tenga un lado de 3 cm y otro de 5 cm. i. ¿Cuántos triángulos diferentes se pueden formar con estas medidas? Dos. ii. Justifiquen su respuesta. b) Tracen un triángulo rectángulo que mida 7 cm de un lado y 9 cm de otro. i. ¿Cuántos triángulos distintos es posible construir con estas medidas?

La medida de uno de los dos lados iguales y el ángulo 90º entre ellos. ii. Justifiquen su respuesta.

c) ¿Qué datos necesitan como mínimo para trazar el triángulo de la derecha? d) Compartan su respuesta con el grupo. e) Redacten una breve conclusión sobre los tipos de triángulos que se pueden

construir según el número de lados y ángulos conocidos.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-049a, donde se encuentra una guía para construir diversos triángulos. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-049b, donde se muestra una actividad para trazar triángulos con geometría dinámica. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-049c, donde se explica el procedimiento para construir triángulos.


La entrada al Museo del Louvre en París tiene una estructura piramidal con paredes triangulares de 35 m de base y 27 m de altura. Busca en la escuela o comunidad estructuras con partes triangulares y anota sus medidas en tu cuaderno. Lección 8 Bloque 1

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30

Lección 9 Trazo de cuadriláteros Eje: forma, espacio y medida Tema: figuras y cuerpos

Las figuras geométricas: trazo de cuadriláteros

Contenido

El papá de Erasmo es vidriero; le han pedido que construya un vitral con este modelo.


1. ¿Qué figuras geométricas conforman el vitral? Identifícalas y escribe sus nombres en tu cuaderno. Compara la respuesta con la de tus compañeros.

Cuadrado, rectángulo, rombo, romboide, trapecios y trapezoide. 2. Reúnete con un compañero. Relacionen cada descripción con la figura que le corresponde. No debe haber más de una figura por línea. Paralelogramo cuyos lados tienen la misma longitud y cuyos ángulos son iguales Cuadrilátero que tiene solo un par de lados opuestos paralelos y dos lados no paralelos de la misma longitud Paralelogramo que tiene dos pares de lados iguales y dos pares de ángulos semejantes Cuadrilátero cuyos lados no son paralelos Paralelogramo cuyos lados tienen la misma longitud y cuyos pares de ángulos son iguales Cuadrilátero que tiene solo dos lados opuestos paralelos y dos ángulos rectos (90°) Paralelogramo con dos pares de lados iguales y ángulos iguales Cuadrilátero que tiene solo dos lados opuestos paralelos y ángulos diferentes

Oriéntate El cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. El paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos.

3. Completa la tabla, compara y comenta las respuestas con tus compañeros de grupo. Nombre

Figura

Características (lados y ángulos) Lados iguales, ángulos iguales

Rectángulo

R.P.

Trapezoide

Oriéntate Dos líneas son paralelas cuando se mantienen siempre a la misma distancia una de la otra, y, por más que se prolonguen, nunca se encuentran.

Romboide Trapecio isósceles Trapecio escaleno Trapecio rectángulo Rombo

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Bloque 1 Lección 9

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Lección 9 Un paso adelante 4. Analiza las construcciones, contesta las preguntas y haz lo que se pide en tu cuaderno.

7 cm 4 cm

Paso 1

Paso 2

Paso 3

a) ¿ A qué figura conduce este proceso de construcción? ¿Cuáles son los elementos iniciales? Escribe

los instrumentos del juego de geometría que se utilizaron para efectuar el trazo.

Rectángulo. Dos lados. Escuadra

b) Redacta el procedimiento para trazar la figura anterior y el proceso de construcción de un cuadrado

si solo se conocen las medidas de sus lados. c) Redacta la similitud de características (lados y ángulos) y trazado entre un rectángulo y un cuadrado.

Ambos tienen 4 ángulos rectos, lados paralelos dos a dos. 45° 6 cm 2 cm

Paso 1

Paso 2

Paso 3

d) ¿A qué figura conduce este proceso de construcción? ¿Cuáles son los elementos de los que parte

Romboide. Dos lados y un ángulo comprendido entre ellos. Regla y transportador.

el proceso? Escribe los instrumentos del juego de geometría que se utilizaron para el trazo.

e) Redacta un procedimiento para trazar la figura anterior y otro para trazar un rombo si se conocen

las medidas de sus lados y un ángulo. f) Redacta la similitud de características (lados y ángulos) y trazado de un romboide y un rombo.

Lados paralelos dos a dos y ángulos opuestos iguales dos a dos. 5. Reúnete con dos compañeros y contesten las preguntas en su cuaderno. a) ¿Qué datos se necesitan como mínimo para trazar un trapecio isósceles?

Medida de dos lados y ángulos contiguos.

b) ¿Qué datos se requieren como mínimo para construir un trapecio rectángulo?

Medida de tres lados que formen los dos ángulos rectos.

c) ¿Qué datos se necesitan como mínimo para trazar un trapecio escaleno?

Tres lados y dos ángulos comprendidos entre ellos.

d) ¿Qué datos se requieren como mínimo para construir un trapezoide?

Cuatro lados y 3 ángulo * Puede variar de acuerdo al razonamiento del alumno.

e) Compartan sus respuestas con el grupo y elaboren una tabla que integre la información de los

incisos anteriores. Lección 9 Bloque 1

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30

Lección 9 Trazo de cuadriláteros Profundiza 6. Traza un cuadrilátero cuyos lados midan 3 cm, 5 cm, 2 cm y 4 cm.

Puede variar de acuerdo al orden de los lados y los ángulos que se decidan. 7. Compara tu trazo con el de tus compañeros y responde las preguntas.

Trapezoide.

a) ¿Qué tipo de cuadrilátero resultó? b) ¿Todos obtuvieron el mismo trazo?

No.

Explica la respuesta en tu cuaderno.

8. Continúa el trazo del cuadrilátero, cómparalo con los demás y contesta las preguntas.

a) ¿Qué tipo de cuadrilátero resultó?

R. P.

b) ¿Todos tus compañeros obtuvieron el mismo trazo?

No.

Explica la respuesta

en tu cuaderno. c) ¿Es posible construir cualquier cuadrilátero si solo se conoce la medida de dos lados?

No.

Explica la respuesta en tu cuaderno. 9. Analiza las construcciones y contesta las preguntas en tu cuaderno. 8 cm 3 cm 5 cm

a) ¿A qué figura conduce este proceso de construcción? Trapecio rectángulo. b) Redacta el procedimiento para trazar la figura anterior si se conocen tres lados y la medida de

dos de sus ángulos. Compártelo con tu grupo.

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Bloque 1 Lección 9

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Lección 9

6 cm 60°

3 cm

60°

60°

60°

60°

60°

60°

c) ¿A qué figura conduce este proceso de construcción? Trapecio isósceles. d) Redacta el procedimiento para trazar la figura anterior si se conocen dos de sus lados y el ángulo

comprendido entre ellos. 8 cm 5 cm 4 cm 80°

80°

80°

80°

e) ¿A qué figura conduce este proceso de construcción? Trapecio escaleno f) Con los elementos dados, ¿es el único trapecio que se puede construir? Explica tu respuesta.

No, porque puede variar el orden de los lados y el ángulo puede estar comprendido en lados diferentes.

g) Redacta los pasos para trazar un trapecio escaleno si se conocen tres lados y el ángulo comprendido

entre dos de ellos. 10. Reúnete con un compañero y tracen en su cuaderno los cuadriláteros que se indican. a) Un cuadrado de 3 cm de lado

b) Un rombo de 3 cm de lado y un ángulo de 40°

c) Un rectángulo de 6 cm y 4 cm de lado

d) Un romboide de 6 cm y 4 cm de lado,

e) Un trapezoide con medidas de 4 cm, 8 cm,

f) Un trapecio rectángulo con lados parale-

y un ángulo comprendido entre ellos de 35º

7 cm y 5 cm

los de 10 cm y 6 cm cada uno, y el lado comprendido entre ellos de 5 cm

11. Organiza con tu grupo un debate acerca de los procedimientos e informaciones que se necesitan para la construcción de los cuadriláteros trabajados en la lección. Registren sus conclusiones en su cuaderno.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-053a, donde se encuentran actividades para construir un cuadrado al conocer uno de sus lados. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-053b, donde hay una actividad para trazar un cuadrado con algunas herramientas del juego de geometría. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-053c, donde se muestra el proceso de construcción de un romboide.


El tempo de Kukulcán, en Chichén Itzá, tiene una base cuadrada de 55 m y, en su cúspide, una construcción con base cuadrada de 9 m. Traza dos cuadrados que compartan el mismo centro: uno debe medir 5.5 cm de base y el otro, 0.9 cm. Lección 9 Bloque 1

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Lección 10 Trazos y análisis I Eje: forma, espacio y medida Tema: figuras y cuerpos

Contenido Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.

Triángulos: rectas y puntos 1. ¿Cuál es la fórmula para calcular el área de cualquier triángulo?

bh __ 2

2. Reúnete con un compañero. Analicen las figuras, efectúen lo que se pide y contesten las preguntas. a) Remarquen con rojo las bases de los triángulos y con azul las alturas.

R. P.

Triángulo 1

Triángulo 2

Triángulo 3

b) Ahora midan la base y la altura de cada triángulo.

Triángulo 1

R. P.

Triángulo 2

Triángulo 3

c) Obtengan el área de los triángulos.

Triángulo 1

R. P.

Triángulo 2

Triángulo 3

d) Además del número de lados y ángulos, ¿qué característica comparten los triángulos anteriores?

Tienen áreas iguales. e) Definan, en su cuaderno, qué es la altura de un triángulo. Comparen su definición con la de sus

compañeros de grupo. f) ¿Cuántas alturas puede tener un triángulo?

Tres.

¿Podrías trazar una altura desde cada

Si. lado? ¿Por qué? Expliquen la respuesta en su cuaderno. Por que todos los lados pueden ser bases. g) ¿La altura de un triángulo siempre se indica o traza al interior de la figura? No, porque es perpendicular a la base y debe ir hasta el vértice opuesto. ¿Por qué? Explíquenlo en su cuaderno y comparen sus respuestas con las de sus compañeros.

Un paso adelante Un triángulo tiene tres alturas que son segmentos perpendiculares a cada lado y que pasan por el vértice opuesto. Al punto donde se cortan ellas o sus prolongaciones se le denomina ortocentro.

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Bloque 1 Lección 10

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Lección 10 3. Localiza el ortocentro del triángulo.

Oriéntate El vértice es el punto donde coinciden dos lados que conforman un ángulo.

Oriéntate

4. Completa con las palabras acutángulo, obtusángulo o rectángulo, según corresponde. a) El ortocentro de un triángulo

rectángulo

es el vértice correspondiente al ángulo recto.

b) El ortocentro de un triángulo

acutángulo

está en su interior.

c) El ortocentro de un triángulo

obtusángulo

está en su exterior.

5. Observa la secuencia de trazos y contesta las preguntas en tu cuaderno.

a

a

Etapa 1

Etapa 2

a

a

Etapa 3

El triángulo rectángulo tiene un ángulo recto; el triángulo acutángulo tiene todos sus ángulos agudos (menores de 90°); y el triángulo obtusángulo tiene un ángulo obtuso (mayor de 90°).

a

a

Etapa 4

a) ¿Cuál es el área de los triángulos de la etapa 4? Usa tu regla para tomar las medidas necesarias. b) Si los triángulos son diferentes, ¿por qué tienen la misma área? Explica tu respuesta. c) Observa el triángulo de la etapa 3. Al segmento de color anaranjado se le denomina mediana.

Define este termino. Luego, con ayuda de tu profesor, comparte tu definición con el grupo. Entre todos comenten y elaboren una definición de mediana. d) Organiza con tu grupo un debate relativo al siguiente cuestionamiento: ¿Las medianas de un

triángulo siempre aparecerán trazadas o indicadas dentro de la misma figura? Un triángulo tiene tres medianas que son segmentos que van del punto medio de un lado al vértice opuesto. Al punto donde se cortan las tres medianas se le denomina baricentro.

6. Localiza el baricentro del triángulo.

Lección 10 Bloque 1

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Lección 10 Trazos y análisis I Profundiza 7. Reúnete con un compañero y efectúen lo que se pide. a) Tracen un triángulo cuyos lados midan 3 cm, 4 cm y 6 cm.

3 cm

4 cm 6 cm

b) De acuerdo con las medidas de sus ángulos, ¿qué tipo de triángulo trazaron? obtusángulo c) ¿El ortocentro estará dentro del triángulo, fuera de él o encima?

fuera

d) ¿Cuántas alturas requieren trazar para encontrar el ortocentro?

2

e) Localiza el ortocentro en el triángulo trazado. 8. Reúnete con dos compañeros y hagan las actividades propuestas. a) Tracen en un trozo de cartón un triángulo cuyos lados midan 10 cm, 4 cm y 8 cm. b) Recorten el triángulo. c) Localicen su baricentro. d) Perforen el triángulo por el baricentro. e) Coloquen el extremo de un estambre de 20 cm en el baricentro del triángulo y tomen el estambre

por el otro extremo. ¿El triángulo guarda equilibrio? El baricentro es el centro de gravedad de un triángulo. 9. Traza el centro de gravedad y el ortocentro del triángulo.

a) Discute con tu grupo las diferencias y posibles semejanzas entre el ortocentro de un triángulo

y su centro de gravedad. Redacten, en su cuaderno, una breve conclusión.

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Lección 10 10. Resuelve los planteamientos y construye el triángulo correspondiente que te ayude a solucionarlos. a) San Juan, San Pedro y San Nicolás son tres pueblos ubicados en forma de triángulo equilátero.

El gobierno desea construir un hospital que se encuentre a la misma distancia de los tres lugares. i. Traza un triángulo que satisfaga las características del problema.

ii. ¿Qué punto debes trazar en el triángulo para localizar el lugar donde se construirá

el hospital?

baricentro

iii. Localiza con color rojo el lugar donde se debe construir el hospital. iv. Compara el trazo con el de tus compañeros. v. ¿Todos desarrollaron el mismo procedimiento?

R. P.

b) En la figura de la derecha, compara las áreas de los triángulos pequeños que integran el triángulo mayor.

8 cm

i. Reproduce el triángulo mayor en tu cuaderno. ii. Localiza los puntos medios de los lados del triángulo más grande y únelos. iii. Obtén el área de los triángulos que conforman al mayor. ¿Cómo son entre sí? Responde en

8 cm

tu cuaderno. 11. Registra las dudas que tuviste al resolver la actividad 10 y coméntalas con el grupo para darles solución. Luego, analicen el uso del baricentro y ortocentro, y escriban en su cuaderno las conclusiones.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-057a, donde se encuentran construcciones dinámicas que permiten visualizar las propiedades del triángulo y sus puntos. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-057b, donde hay actividades relativas al trazo de medianas y baricentro con geometría dinámica. Explora el video www.e-sm.com.mx/matret1-057c, donde se explican las propiedades del triángulo y su uso en la vida cotidiana.

Toma tus escuadras y localiza el centro de gravedad de cada una.


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Lección 11 Trazos y análisis II Eje: forma, espacio y medida Tema: figuras y cuerpos

Contenido Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.

Triángulos: rectas y puntos II Para anticiparse a la Navidad, Jesús le compró a su jefe un botellero triangular. En la tienda donde lo encontró también había cajas circulares para regalo. 1. Si cada lado del botellero mide 35 cm, ¿de qué medida deberá comprar la caja para

R. P.

que el regalo entre exactamente?

2. Reúnete con un compañero y escriban, en su cuaderno, una explicación para calcular el diámetro adecuado de la caja. 3. Analicen la construcción y contesten las preguntas en su cuaderno. Se ha trazado el segmento verde a partir de un lado del triángulo.

a

Oriéntate Alturas de un triángulo y su ortocentro

a

a) El segmento verde no corresponde a la definición de altura o mediana. ¿Por qué? Comparen su

respuesta con la de sus compañeros.

R. T. No es punto medio y no va al vértice opuesto.

b) El segmento verde es la mediatriz. Básense en el dibujo para explicar, en su cuaderno, el proceso

para construir la mediatriz con una escuadra. c) ¿Cuántas mediatrices tiene un triángulo?

Tres.

4. Analiza la construcción y contesta las preguntas en tu cuaderno.

Medianas de un triángulo y su baricentro

Se ha trazado el segmento rojo a partir de un ángulo del triángulo; este quedó dividido en dos partes iguales. a) El segmento rojo no corresponde a la definición de altura o mediana. ¿Por qué?

Compara tu respuesta con las de tus compañeros.

R. T. No parte de un lado.

b) El segmento rojo se denomina bisectriz. Con base en el dibujo explica, en tu cuaderno, el proceso

para construir la bisectriz con transportador. c) ¿Cuántas bisectrices puedes trazar en un triángulo? Tres. d) Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Elaboren una definición de bisectriz.

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Lección 11 Un paso adelante Recuerda que un triángulo tiene en cada uno de sus lados tres mediatrices o segmentos perpendiculares que parten del punto medio, y al punto donde se cortan estos o sus prolongaciones se le denomina circuncentro.

5. Localiza el circuncentro del triángulo rectángulo.

Oriéntate El punto medio de un segmento es el lugar que lo divide en dos partes iguales.

Oriéntate 6. Completa, con base en las imágenes anteriores, los enunciados con las palabras acutángulo, obtusángulo o rectángulo, según el tipo de triángulo y el lugar del circuncentro. a) El circuncentro de un triángulo

rectángulo

b) El circuncentro de un triángulo

acutángulo

está en su interior.

c) El circuncentro de un triángulo

obtusángulo

está en su exterior.

es el punto medio de la hipotenusa.

La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto y de mayor longitud de un triángulo rectángulo.

d) Comparte tus repuestas con tus compañeros y analicen por qué la medida de un ángulo influye

en la ubicación del circuncentro. Escriban una breve conclusión en su cuaderno. Un triángulo tiene tres bisectrices o segmentos que dividen por la mitad a cada uno de sus ángulos. Al punto donde estas se cortan se le denomina incentro.


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Lección 11 Trazos y análisis II Profundiza 7. Localiza el incentro del triángulo rectángulo.

8. Reúnete con un compañero. Efectúen lo que se pide y contesten las preguntas en su cuaderno. a) Tracen un triángulo cuyos lados midan 3 cm, 4 cm y 2 cm. b) Ubiquen su circuncentro mediante trazos. c) Tracen un segmento del circuncentro a cualquiera de los vértices del triángulo. d) Tracen una circunferencia cuyo radio sea el segmento anterior y cuyo centro sea el circuncentro

del triángulo. e) ¿Qué puntos del triángulo tocó la circunferencia trazada? 9. Haz lo que se pide y contesta en tu cuaderno. a) Traza un triángulo cuyos lados midan 6 cm, 8 cm y 5 cm.

Oriéntate El vértice es el punto donde se unen dos lados de un polígono.

b) Ubica el incentro mediante trazos. c) Traza un segmento perpendicular a la base que toque el incentro. d) Traza una circunferencia cuyo radio sea el segmento anterior y cuyo centro sea el incentro

del triángulo. e) ¿Qué puntos del triángulo tocó la circunferencia trazada?

La circunferencia circunscrita es aquella que toca los tres vértices del triángulo. La circunferencia inscrita es aquella que toca en un punto cada lado del triángulo. 10. Escribe qué tipo de circunferencia hay en cada figura.

Circunscrita

Inscrita

Circunscrita

a) Analiza, de manera grupal, el siguiente planteamiento: ¿es posible que el incentro de un triángulo

coincida con uno de sus lados? Escriban en su cuaderno las conclusiones a las que lleguen.

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Lección 11 11. Lee los planteamientos, efectúa lo que se pide y contesta las preguntas en tu cuaderno. a) El botellero que compró Jesús mide 35 cm de lado y tiene la forma de un triángulo equilátero. i. Traza un triángulo equilátero cuyos lados midan 3.5 cm.

ii. ¿El triángulo debe estar inscrito o circunscrito a una circunferencia para simular la caja redonda?

circunscrita

iii. Traza la circunferencia. iv. Mide su radio y multiplícalo por 10; esta operación ayudará a determinar el radio de la caja. v. ¿Qué radio debe tener la caja?

20.2 cm

b) En el centro de un fraccionamiento triangular, como el que muestra la imagen,

cuyos lados miden 60 m, 40 m y 70 m, se desea colocar una fuente. i. Reproduce, en tu cuaderno, la fuente a escala;

cada metro debe equivaler a 10 cm. ii. Localiza el centro de la plaza. iii. ¿Cómo se denomina el punto que corresponde al centro?

incentro 12. Elabora, grupalmente, una tabla donde se concentren nombres, definiciones y características de las rectas y los puntos notables de un triángulo.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-061a, donde se encuentran actividades interactivas acerca del trazo de rectas notables del triángulo. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-061b, donde se presenta una guía didáctica interactiva sobre la rectas notables del triángulo. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-061c, donde se muestra una aplicación de la mediatriz en el trazo de circunferencias.

Para la bitácora

En una fotografía satelital de una región cercana a Phoenix, Arizona, se muestra un triángulo dibujado sobre el desierto. Ubica el ortocentro de ambos triángulos (exterior e interior).


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Lección 12 Reparto proporcional Eje: manejo de la información Tema: proporcionalidad y funciones

Contenido Resolución de problemas de reparto proporcional.

Las ganancias: reparto proporcional o en partes iguales Luis, Toño y Julieta juntaron sus ahorros y abrieron una tienda de abarrotes. Cuando iniciaron el negocio acordaron que repartirían las ganancias en tres partes iguales, ya que todos cooperaron. 1. Lee los planteamientos y responde.

Oriéntate Repartir es distribuir algo dividiéndolo en partes.

a) El primer día obtuvieron una ganancia de $600.00. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?

Describe el procedimiento que usaste para responder.

$200.00.

b) Después de varios días los tres no decidían cómo repartirse las ganancias, pues no trabajaban el

mismo número de horas, así que se reunieron y acordaron distribuirse el dinero de acuerdo con la cantidad de horas que laboraran. Al día siguiente, solo Luis y Toño trabajaron 8 h cada uno. Ese día hubo una ganancia de $370.00. i. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?

0

Julieta:

Luis:

$185.00

Toño: $185.00

ii. ¿Por qué no sería justo repartir las ganancias como al principio?

R. T. Porque Julieta no trabajó. iii. Comparte las respuestas con tus compañeros y redacten una conclusión. c) Al otro día, el negocio permaneció abierto durante 12 h: Toño trabajó 5 h; Luis,3 h: y Julieta, 4 h.

La ganancia total que obtuvieron ese día fue de $720.00. i. De acuerdo con las horas trabajadas, ¿quién debe ganar más? ii. ¿Y quién menos?

Toño

Luis

d) El viernes Toño trabajó 4 h; Luis, 5 h: y Julieta, 6 h. La ganancia que obtuvieron fue de $900.00. i. En promedio, ¿cuál fue la ganancia obtenida por hora?

60 pesos.

ii. ¿Cuánto debe recibir cada uno para que el reparto sea proporcional al número de horas

trabajadas? Julieta:

$360.00

Luis: $300.00

Toño: $240.00

2. Reúnete con un compañero. Construyan un procedimiento basado en el número de horas trabajadas para repartir las ganancias y escríbanlo en su cuaderno.

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Lección 12 Un paso adelante 3. Lee el planteamiento y responde. a) El fin de semana, los tres asistieron al negocio: Luis trabajó 8 h; Toño, 5 h; y Julieta, 7 h.

20

¿Cuántas horas trabajaron entre los tres?

b) Las ganancias fueron de $2 400.00 ese fin de semana. Si reparten en cantidades iguales sin importar

$800.00

las horas de trabajo, ¿cuánto recibirá cada uno?

c) Si se dividieran las ganancias en proporción al tiempo trabajado, ¿cuánto le correspondería a cada

uno?

$840.00 Luis: $960.00

Julieta:

Toño:

$600.00

d) ¿Qué ganancia se obtuvo por cada hora de trabajo? e) Completa la tabla.

Horas de trabajo

1

2

6

7

10

14

15

17

18

19

20

$120 $240 $720 $840 $1200 $1680 $1800$2040 $2160 $2280 2 400

Ganancia

f) Compara tus resultados con los de tus compañeros. Escriban una conclusión.

La proporción es una comparación de cada parte de un objeto o cantidad respecto al total y entre las mismas partes, por tanto, indica cuántas veces una parte es mayor o menor que otra. El reparto proporcional consiste en distribuir una cantidad de manera que los resultados sean proporcionales a cantidades determinadas. 4. Lee los planteamientos y responde en tu cuaderno. a) Considera el ejemplo de la tienda de abarrotes de Julieta, Luis y Toño. i. ¿El reparto proporcional permite distribuir las ganancias según el tiempo trabajado?

Sí.

ii. ¿El dinero que debe recibir cada uno se obtiene al multiplicar la ganancia total por el número

de horas que trabajaron? ¿Por qué? Sí. b) En un fin de semana, ganaron $3 600.00. Luis trabajó 7 h; Julieta, 6 h; y Toño, 5 h. 7

i. Luis trabajó 7 h de 18 h, así que la proporción se representa como 18 que, en este contexto,

se lee “siete de dieciocho horas”. ¿Cuánto tiempo trabajaron los demás?

Julieta

6 __ 18

y Toño

5 __ 18

7

ii. De los $3 600.00, a Luis le corresponden $3 600.00 × 18 = 3 600 × 0.38 = 1 368.00

¿Cuánto recibirán los otros dos?

Julieta $1200.00 y Toño $1000.00

iii. Discute, con tu grupo, por qué la ganancia se ha repartido proporcionalmente al número de

horas trabajadas por Julieta, Luis y Toño. Escriban sus conclusiones. Lección 12 Bloque 1

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Lección 12 Reparto proporcional Profundiza 5. Contesta las preguntas conforme al planteamiento. a) La señora Gómez repartirá $720.00 entre sus tres empleadas de acuerdo con el número de blusas

confeccionadas en la semana. i. Si todas entregaran el mismo número de blusas, ¿qué pago recibiría cada una? $240.00 ii. Cecilia entregó tres blusas; Guadalupe, seis; y Azucena, tres. ¿Qué cantidad recibirá cada una?

Cecilia: $180.00

Guadalupe: $360.00

Azucena: $180.00

6. Completa la tabla con base en el planteamiento. a) Pedro y Alberto se propusieron reunir latas de aluminio para venderlas y obtener dinero. El primero

juntó 6 kg y el segundo, 4 kg. De acuerdo con estas cantidades, ¿cuánto dinero le corresponde a cada uno? En el centro de reciclaje les pagaron $820.00 por las latas que recolectaron ambos. Pedro: $492.00

Alberto: $328.00

b) ¿Cuánto recibió Pedro por cada kilogramo que aportó? Completa la tabla.

Botes (kg)

1

Costo ($)

$80

2

3

4

5

6

$164 246.00 $328 $410 $492

c) ¿Cuál es el costo por kilogramo de botes de aluminio?

$82.00

d) Compara tus resultados con el grupo. Registren sus dudas y comenten cómo resolverlas. 7. Resuelve los problemas. a) El señor Ramírez quiere distribuir las ganancias de su negocio de venta de animales domésticos.

Repartirá $16 200.00 entre sus tres nietos de acuerdo con el número de animales que le ayudaron a criar (9, 12 y 15, respectivamente). ¿Cuánto le corresponderá a cada uno? Al que crió 9, $4050.00. Al que crió 12,

$5400.00. Al que crió 15, $6750.00. b) La escuela "Francisco I. Madero" destinó un presupuesto de $13 776.00 para la limpieza del

pequeño bosque que está junto a sus instalaciones, la cual se efectuó por dos brigadas. En la primera trabajaron doce personas durante ocho días y en la segunda, quince en diez días. ¿Cuánto le corresponde a cada brigada? Brigada 1, $6122.67. Brigada 2, $7653.33.

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Lección 12 c) La cooperativa Dulces Maravilla logró una utilidad de $23 540.00, que se repartirá entre sus 22

trabajadores, según su antigüedad en la empresa. i. Si tuvieran el mismo tiempo trabajando, ¿cuánto le correspondería a cada uno?$1 070.00

Carlos, María, Enrique, Sebastian y Juan llevan catorce meses en la empresa; Ernesto y otros siete empleados, once meses; y los demás, seis. ii. ¿Cuánto le corresponderá a cada uno? Los de 14 meses, $1554.53. Los de 11

meses, $1221.41. Los de 6 meses $666.23 iii. ¿Qué cantidad le corresponderá a Ernesto?

$1 221.41

iv. ¿Cuánto les corresponderá a los empleados que tienen seis meses?

$5996.07

d) Una modista pagó $1 350.00 por 30 m de tela. Debe confeccionar los uniformes de doce alumnas,

pero no sabe cuánto cobrar por la tela de cada una. Calcula el costo conforme a la estatura de las jóvenes. Cinco alumnas miden 1.60 m; seis, 1.50 m; y una, 1.70 m.

$72.00

i. ¿Cuánto pagará por la tela cada alumna de 1.60 m? ii. ¿Cuánto pagará cada alumna de 1.50 m? iii. ¿Cuánto pagará la alumna de 1.70 m?

$67.50 $76.70

8. Discute con tu grupo las ventajas y desventajas del reparto equitativo y del reparto proporcional. Anoten sus conclusiones.

R. P.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-065a, donde hay problemas de reparto proporcional. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-065b, donde se muestra un ejemplo de reparto proporcional. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-065c, donde se explica un procedimiento para resolver problemas de reparto proporcional.

Para la bitácora

Usualmente un pastel se reparte en rebanadas del mismo tamaño de acuerdo con un criterio de reparto equitativo. ¿Qué podrías considerar para repartirlo proporcionalmente?


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Lección 13 Nociones de probabilidad Eje: manejo de la información Tema: nociones de probabilidad

Contenido

Piedra, papel o tijeras: juegos de azar Roberto juega con su amigo Tomás a piedra, papel o tijeras. ¿Conoces el juego?

Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles.

Cada jugador debe decir al mismo tiempo la frase “Piedra, papel o tijeras” e inmediatamente mostrar su mano con una de las tres opciones. La tabla indica quién gana y quién pierde.

Oriéntate Todo juego siempre recrea una situación conflictiva o de colaboración entre los participantes.

Vence a… tijeras piedra papel

Piedra Papel Tijeras

Es vencido por… papel tijeras piedra

1. ¿Cuántos resultados posibles se presentan en este juego? Completa la tabla sin olvidar que tijeras contra piedra es igual que piedra contra tijeras. Tijeras contra papel Tijeras contra tijeras Papel vs piedra Tijera vs piedra Papel vs papel Piedra vs piedra

¿Quién gana? tijeras Nadie Papel Piedra Nadie Nadie

2. Reúnete con un compañero y responde las preguntas. a) Francisco y Daniel jugarán tres veces a piedra, papel o tijeras. ¿Saben quién ganará?

¿Por qué?

No.

No se puede saber que opción elegirá el contrincante.

b) ¿El resultado del juego depende de la habilidad de los jugadores o de la suerte? Expliquen la

respuesta en su cuaderno. c) De acuerdo con la tabla anterior, si en varios juegos Daniel siempre elige tijeras, ¿ganará todas

No, ¿Por qué? porque no en todos los casos gana la tijera, gana con el papel pero pierde con la piedra.

las veces?

d) Con base en la misma tabla, ¿hay una estrategia para que Francisco gane sin hacer ningún tipo

No, ¿Por qué? Expliquen la respuesta en su cuaderno. porque no se puede saber quién va a ganar. Es cuestión de azar.

de trampa?

e) Comparen sus respuestas con las de sus compañeros.

Glosario Azar. Combinación de circunstancias que no se pueden prever.

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3. ¿Conoces juegos en que las posibilidades de ganar o perder no dependan de la habilidad del jugador sino del azar? Escribe en tu cuaderno tres de ellos. 4. Comparte tus respuestas de la actividad anterior con tus compañeros. Discutan por qué son juegos que dependen del azar y enlisten los juegos propuestos.


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Lección 13 Un paso adelante 5. Reúnete con un compañero. Lean la situación y efectúen lo que se pide. a) Antonio y su hermana Julieta juegan serpientes y escaleras con dos dados de seis caras. Al

lanzarlos, la cantidad que obtienen es el resultado de sumar los puntos que aparecen en la cara superior de ambos. i. Completen la tabla. + 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

Oriéntate En un juego, cada participante puede definir de antemano las opciones.

6 7 8 9 10 11 12

ii. ¿De cuántas formas puedes sumar los puntos de los dados? 1+1, 1+2, 1+3, 1+4, 1+5, 1+6, 2+2,2+3, 2+4,

2+5, 2+6, 3+3, 3+4, 3+5, 3+6, 4+4, 4+5, 4+6, 5+5, 5+6, 6+6.

iii. ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener al lanzar dos dados?

6

iv. Sabiendo las sumas posibles de los puntos de dos dados antes de lanzarlos, ¿pueden

predecir el resultado de su lanzamiento?

No. Expliquen su respuesta. El máximo

número en los dados es 6, y 6+6 = 12. b) Si se lanzan dos dados con forma de tetraedro (cuatro caras triangulares), donde cada

cara tiene en su base un valor de 1 a 4, ¿cuántos resultados pueden obtenerse? Elaboren una tabla en su cuaderno y compárenla con las de sus compañeros.

10

Un juego de azar es aquel donde las posibilidades de ganar o perder no dependen de la habilidad del jugador, sino del azar.

6. Lee los planteamientos y contesta las preguntas en tu cuaderno. a) Patricio e Irene juegan a los volados. Este juego es muy simple: mientras la moneda gira

en el aire, uno de los jugadores debe gritar “águila” o “sol”. i. ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener al lanzar una moneda?

2

ii. ¿Quién tiene ventaja para ganar? ¿Por qué?

Ninguno, los dos tienen la posibilidad de ganar o perder, solo hay dos opciones en el juego.

iii. ¿Es posible que haya empate? ¿Por qué?

No, porque solo uno de ellos puede elegir águila o sol, no pueden elegir lo mismo ambos.

b) ¿Cómo organizarías un juego de volados con tres participantes? Describe

el procedimiento del juego. c) Comparte tu procedimiento con tus compañeros y reúnete con otros dos para ponerlo en práctica.

Redacten en su cuaderno una breve conclusión. Lección 13 Bloque 1

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Lección 13 Nociones de probabilidad Profundiza 7. Reúnete con un compañero y resuelvan los problemas. a) Porfirio juega con su hermano Rodrigo a la perinola. Una perinola tiene seis caras con las leyendas

"Pon 1", "Pon 2", "Toma 1", "Toma 2", "Toma todo" y "Todos ponen". i. ¿Cuántos resultados son posibles?

6

ii. Los resultados de siete veces que se ha girado la perinola son "Todos ponen", "Todos ponen",

"Todos ponen", "Toma 1", "Toma 2", "Toma 2" y "Todos ponen". Porfirio dice que el resultado

R. P.

siguiente será "Todos ponen".¿Están de acuerdo con él? ¿Por qué?

b) Durante las vacaciones pasadas, Fátima fue a una feria en el pueblo de sus abuelos. Ahí jugó

en una ruleta donde todos los colores tenían premio. Ella sabía que siempre ganaría. i. Planteen una ruleta en que ella no pueda saber si ganará. Dibújenla en su cuaderno. ii. Expliquen, en su cuaderno, las reglas que debe tener el nuevo juego.

Un suceso seguro en un experimento o evento es aquel que siempre ocurre o se produce. Por ejemplo, al tirar un dado, es seguro que salga un número de 1 a 6. Un suceso es imposible cuando no hay posibilidad de que ocurra. Por ejemplo, al tirar un dado clásico, nunca sale el número 7.

8. Escribe si en cada situación hay un suceso seguro o uno imposible. a) Al tirar dos dados, el valor en una de las caras es 1.

seguro

b) Al meter la mano en una bolsa que contiene pelotas amarillas, azules y rojas, se saca una pelota verde.

imposible 9. Lee las situaciones y contesta. a) Gonzalo fue a la feria de su pueblo y jugó a las canicas. Le dieron seis canicas que debía lanzar

sobre el tablero para que cayeran en los hoyos numerados de 1 a 6 (había una hilera de seis hoyos por cada número). Los premios eran entregados de acuerdo con la puntuación; se obtenía el mejor regalo con la más alta. i. ¿Cuál es la puntuación más alta que podía alcanzar con las seis canicas? ii. ¿Cuál es la puntuación más baja que podía obtener?

68

36

6


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Lección 13 46

iii. ¿Cuál es la puntuación más alta que podía obtener con ocho canicas? iv. ¿Era posible que obtuviera 5 puntos con las seis canicas en una jugada?

No.

El valor mínimo de los hoyos es 1 y 6x1=6.

¿Por qué?

v. Gonzalo se dio cuenta de que con 24 puntos podía conseguir un balón. ¿Puedes ayudarlo a

encontrar tres formas diferentes de obtenerlo? Escríbelas.

6+5+4+3+2+4

4+4+4+4+4+4

5+5+5+5+2+2, hay varias opciones

b) Emilio está en la feria y jugará a los dardos. Para llevarse un oso de peluche necesita 10 puntos.

Por cada juego solo dan tres dardos. i. ¿Qué estrategia deberá seguir para obtener ese puntaje?

R. P.

ii. Al tirar el primer dardo, rompió un globo de 2 puntos. ¿Puede ganar el premio todavía?

Si.

¿Cuál debería ser su nueva estrategia? Reventar 2 globos de 5, o un

globo de 5 y uno de 3. iii. Al tirar el segundo dardo, rompió un globo de 1 punto. ¿Puede ganar el premio todavía?

No.

¿Por qué? Le faltan 7 puntos y no hay globos con ese puntaje y

solo le queda un dardo. c) Mariana jugará en los pececitos; deberá pescar solamente un pez para obtener un regalo. i. ¿Este juego es de azar?

No.

¿Por qué? De cualquier manera Mariana va a ga-

nar puesto que solo debe pescar un pececito no hay más condiciones en el juego. 10. Analiza, en una discusión grupal, las características y diferencias de los juegos de azar y de estrategia. Propongan ejemplos de ambos tipos y escriban en su cuaderno una conclusión.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-069a, donde se encuentra una simulación de la ruleta. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-069b, donde hay una simulación de los volados. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-069c, donde se explica la relación entre los juegos de azar y las matemáticas.


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Bitácora Lecciones 1 y 2 Completa la tabla. Número decimal 1.3

Lectura

Número fraccionario 1__3 1

Un entero tres décimo periódico

5___ 125 4

Cinco enteros treinta y dos milésimos

5.032

Lecciones 3 y 4 1

1

1

a) Ubica en la recta los números 4 , 0.28, 5 , 0.3 y 3 .

1 0 __ 5

__1

0.28

4

__1

0.3

3

b) Escribe los números anteriores en orden ascendente.

__1 , __1 , 0.28, 0.3, __1 3 5 4

Lección 5 1

1

Inés compró 2 kg de queso canasto y 4 kg de crema para preparar unas enchiladas. Si en la receta solo se pedían 0.250 kg de crema y 0.200 kg de queso, ¿qué cantidad le sobró de cada ingrediente? Transforma las cantidades en fracciones y opera con ellas. Crema:

__1

Queso:

4

1 ___ 20

Lección 6 a) Un atleta principiante se ha sometido a un estricto entrenamiento para competir en una carrera.

Su entrenador le indicó que debía correr 3 000 m el primer día y aumentar 500 m cada día. i. Escribe los primeros cinco términos de la sucesión que se define en el problema.

3000, 3500, 4000, 4500, 5000, … ii. ¿Cuántos metros correrá el décimo día? iii. Escribe la regla de la sucesión.

7500 m

El lugar del término por 500 + 2500

b) Anselmo le dio empleo a su hijo y le dijo: “Si trabajas bien y respetas las reglas del taller, te daré

$2.00 el primer día y diario te duplicaré la cantidad anterior”. i. Escribe los primeros cinco términos de la sucesión que se define en el problema.

2, 4, 8, 16, 32, ii. ¿Cuánto ganará el décimo quinto día?

32768

iii. Escribe la regla de la sucesión. 2 elevado a la potencia del lugar que ocupa

el término. 70

Bloque 1

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Bitácora b

Lección 7

90°

(B + b) × h

La fórmula para calcular el área de cualquier trapecio es A = _______ . De acuerdo con las 2 características y la forma de la figura, explica por qué se suman las bases y se dividen Si pones un trapecio de cabeza haciendo coincidir los lados diagonales se obtiene un entre 2. rectángulo con base igual a B+b, la altura se conserva, al sacar el área del rectángulo Lección 8 se obtiene (B+b)h, pero como en un principio se utilizaron dos trapecios para formar el rectángulo, al final se divide entre 2. Construye un triángulo con los datos indicados.

h

90°

B

15 cm 5 cm 50º

5 cm 50° 15 cm

Lección 9 Dibuja, en tu cuaderno, los cuadriláteros que cumplan con las condiciones. a) Dos lados de 6 cm y dos de 10 cm

Rectángulo o romboide

b) Todos los lados de 7 cm

Rombo o cuadrado

c) Dos ángulos de 45°, un lado de 6 cm y otro de 3 cm

ortocentro

Romboide, trapecio o trapezoide

Lección 10

Retoma el triángulo trazado en la actividad correspondiente a la lección 8, traza el ortocentro y el baricentro, y escribe el nombre de cada uno.

baricentro

Lección 11 En el triángulo de la actividad correspondiente a la lección 8 traza el incentro, el circuncentro incentro y las circunferencias respectivas. Escribe el nombre de cada punto.

Lección 12

circuncentro

Felipe, Tomás, Héctor y Marco cooperaron con $7.00, $3.00, $4.00 y $6.00, respectivamente, para comprar un billete de lotería instantánea que costaba $20.00. Al raspar el boleto ganaron un premio de $3 000.00. ¿Cuánto le corresponde a Marco?

$900 Lección 13 ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se pueden formar con los dígitos 3, 6 y 8? Escríbelos en tu cuaderno. 6 Bloque 1

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30

Laboratorio de matemáticas Localización del baricentro a partir de dobleces de papel a) Traza un triángulo en una hoja de

papel y recórtalo.

c) Ahora dobla el triángulo desde el

vértice opuesto hasta la marca que hiciste.

b) Haz coincidir dos vértices para localizar la mitad

del lado comprendido entre ellos y márcalo.

d) Repite los pasos de los incisos b) y c) con los

otros dos lados del triángulo.

e) Remarca las tres líneas resultantes de los dobleces y localiza el punto donde se cortan; este

es el baricentro. Toma un lapicero y colócalo como se muestra en la ilustración.

f) Escribe las conclusiones al respecto en tu cuaderno.

72

Bloque 1

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En el tintero Más curiosidades de un triángulo Al unir los puntos medios de los lados de un triángulo se obtienen otros cuatro con la misma área. 1. Observa cómo el triángulo equilátero está dividido en otros cuatro de igual tamaño.

4.62 cm 4 cm

4.62 cm

4 cm

4.62 cm

4 cm

4.62 cm

4 cm

4.62 cm

4.62 cm

4.62 cm

a) Discute con tus compañeros a qué se debe esta propiedad de los triángulos. Redacten una breve

conclusión en su cuaderno. En el triángulo anterior, es fácil observar la igualdad entre los cuatro triángulos pequeños. 2. Comprueba si en el siguiente triángulo se cumple la propiedad mencionada.

Bloque 1

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30

Bloque 1 Evaluación Lee los planteamientos, elige la respuesta correcta y márcala en la sección de respuestas. 1

1. ¿Qué número decimal es equivalente a 18? A) 0.5

B) 0.05

C) 0.05

D) 0.5

2. ¿Qué debes hacer para transformar una fracción en un número decimal? A) Dividir el numerador entre el denominador. B) Dividir el denominador entre el numerador. C) Multiplicar el denominador por el numerador. D) Sumar el numerador al denominador. 3. ¿Qué fracción es equivalente a 0.5? A) 5

B) 12

10

C) 24

D) Todas las anteriores.

4. ¿Qué fracciones se encuentran entre 0.6 y 0.9? A) 6 y 7 10

10

7 9 B) 10 y 10

7 8 C) 10 y 10

8 9 D) 10 y 10 2

3

5. ¿Qué pareja de números decimales se encuentran entre 9 y 9 ? A) 0.23 y 0.32

B) 0.3 y 0.33

C) 0.22 y 0.33

D) 0.25 y 0.26

1 1 1 6. Andrés corrió 2 km el lunes, 1 4 km el martes y 2 2 km el miércoles. ¿Cuánto le falta

para completar 5 km?

A) 3 km 4

B) 14 km

C) 12 km

D) 1 km

7. ¿Cuál es la regla que define la sucesión: 8, 11, 14, 17, 20…? A) Multiplicar el lugar del término por 3. B) Multiplicar 3 por sí mismo tantas veces como el lugar donde se ubique el término. C) Multiplicar el lugar del término por 3 y sumarle al resultado 5. D) Multiplicar 8 por sí mismo tantas veces como el lugar donde se ubique el término. 8. Un terreno rectangular mide 6 m de largo y 5 m de ancho; si se desea cercar, ¿cuántos metros de material se necesitarán? A) 11 m

B) 30 m

C) 24 m

D) 22 m

9. ¿Qué elementos se necesitan para trazar un triángulo único? A) La medida de los tres lados. B) La medida de dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. C) La medida de un lado y sus dos ángulos contiguos. D) Cualquiera de las anteriores. 10. ¿Cuál es el paralelogramo cuyos lados tienen la misma longitud y cuyos ángulos son iguales? A) Rombo.

74

B) Rectángulo.

C) Cuadrado.

D) Romboide.


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30

Bloque 1 Evaluación 11. ¿Con qué datos NO es posible construir un cuadrilátero único? A) La medida de todos sus lados. B) Su nombre, la medida de dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos. C) Su nombre y la medida de tres de sus lados. D) Su nombre y la medida de un lado. 12. ¿Cómo se denomina el segmento perpendicular a la base que toca el vértice opuesto en un triángulo? A) Mediana.

B) Altura.

C) Bisectriz.

D) Mediatriz.

13. ¿Cuál es el nombre del punto donde se intersecan las medianas? A) Ortocentro.

B) Circuncentro. C) Baricentro.

D) Incentro.

14. ¿Cómo se denomina el segmento perpendicular a la base que no forzosamente pasa por el vértice opuesto en un triángulo? A) Mediana.

B) Altura.

B) Bisectriz.

D) Mediatriz.

15. ¿Cuál es el nombre del punto donde se intersecan las bisectrices? A) Ortocentro.

B) Circuncentro. C) Baricentro.

D) Incentro.

16. Arturo y Federico compraron un terreno en $120 000.00 y, posteriormente, lo vendieron en $180 000.00. Si Arturo cooperó con $90 000.00 cuando lo adquirieron, ¿qué cantidad de dinero le corresponderá después de venderlo? A) $100 000.00 B) $90 000.00

C) $120 000.00

D) $135 000.00

C) Volados.

D) Todos los anteriores.

17. ¿Cuál es un juego de azar? A) Dados.

B) Lotería.

18. ¿Qué se obtiene al unir los puntos medios de los lados de cualquier triángulo? A) Dos triángulos iguales.

B) Tres triángulos iguales.

C) Cuatro triángulos iguales.

D) Cinco triángulos iguales.

Respuestas de la evaluación correspondiente al bloque 1

B

C

D

5. A

B

C

D

9. A

B

C

D

13. A

B

C

D

17. A

B

C

D

2. A

B

C

D

6. A

B

C

D

10. A

B

C

D

14. A

B

C

D

18. A

B

C

D

3. A

B

C

D

7. A

B

C

D

11. A

B

C

D

15. A

B

C

D

4. A

B

C

D

8. A

B

C

D

12. A

B

C

D

16. A

B

C

D

1. A

Evaluación Bloque 1

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75

30

En el mundo hay objetos, situaciones y eventos que, a menudo, debemos medir; para hacerlo, necesitamos los números. Al conocer la estatura o edad de una persona, compartir el número de celular a un amigo, determinar el consumo eléctrico en la casa, comprender la economía del país o desarrollar una investigación científica —por mencionar algunos casos— los utilizamos. Incluso en áreas como la música, es posible expresar el ritmo con números enteros o fracciones. Por eso, es importante reconocerlos y saber usarlos; si deseamos precisar cuándo un número es divisible entre otro, por ejemplo, requerimos no solo dividir, sino también distinguir con cuáles se relaciona, es decir, obtener su familia de números primos para hallar la respuesta. En el estudio de la naturaleza, los números y la geometría nos ayudan a interpretar las formas y figuras; por ejemplo en una estrella de mar de cinco picos observamos una forma pentagonal y los ángulos que se forman entre las líneas que unen los extremos de sus brazos y centro es de 72º aproximadamente.

Bloque 2 76

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Aprendizajes esperados 1. Resuelve problemas utilizando el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. 2. Resuelve problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en triángulos y cuadriláteros.

77

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Lección 14 Criterios de divisibilidad I Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: números y sistemas de numeración

Contenido Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distinción entre números primos y compuestos.

Los chocolates: divisores de un número Cristina trabaja en una empresa empacadora de chocolates; hoy debe empaquetar 2 250 en cajas de 25 piezas. 1. ¿Cuántas cajas empacará hoy?

90 cajas.

2. Explica el procedimiento que usaste para responder la pregunta anterior.

R. P.

3. Si solo hubiera cien chocolates, ¿cuántas cajas podría empacar?

Cuatro.

4. Reúnete con un compañero. Lean el planteamiento y contesten las preguntas.

Más tarde, le pidieron a Cristina que empacara treinta chocolates de menta en bolsas; sin embargo, el supervisor olvidó indicarle cuántos deberían ir en cada una. a) Si las bolsas deben tener el mismo número de piezas, ¿cuántas necesitará y con qué cantidad

de chocolates? Escribe una posible respuesta.

15 bolsas con 2 chocolates.

b) ¿Cuántas posibilidades tiene para empaquetar los chocolates? Consideren cuántos son y recuerden

Oriéntate Recuerda las partes de la división. Cociente Divisor

Dividendo Residuo

que cada bolsa debe tener la misma cantidad. 30 bolsas con 1 chocolate, 15 de 2, 10

de 3, 6 de 5, 5 de 6, 3 de 10, 2 de 15 y 1 de 30. c) Redacten el procedimiento que siguieron para obtener las respuestas anteriores.

R. P.

d) Si hubiera diez chocolates, ¿de cuántas maneras podría empacarlos en bolsas con la misma

cantidad de piezas?

10 bolsas de un chocolate, 5 de 2, 2 de 5 y 1 de 10 e) Si solo hubiera cinco chocolates, ¿de cuántas maneras podría empacarlos en bolsas con el mismo

número de piezas?

5 bolsas de chocolate o una bolsa de 5 chocolates f) Analicen de manera grupal sus respuestas, comparen sus procedimientos e identifiquen dudas y

cómo resolverlas.

78


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Lección 14 Un paso adelante Con cincuenta chocolates se pueden empacar dos cajas de 25 piezas cada una porque 50 ÷ 25 = 2; pero también es posible empacar 25 cajas con dos chocolates cada una porque 50 ÷ 2 = 25. Como las divisiones anteriores no tienen residuo sabemos que 25 es divisor de 50, pero también 2 es divisor de 50. El divisor de un número es aquel con que, al efectuar la división, el residuo es cero. Se dice que a es divisor de b si existe un entero c tal que b = ac, donde a, b y c son enteros. Al buscar un divisor, se encuentra otro en el cociente; por ejemplo: 35 ÷ 7 = 5, entonces 5 y 7 son divisores de 35. 5. Encuentra dos divisores de los números y escríbelos en tu cuaderno.

720 2, 360

150 2, 75

No.

6. ¿El divisor de 199 es 7?

39 3, 13

27 3, 9

Explica cómo puedes comprobarlo.

La división 199 entre 7 no tien residuo cero. 7. ¿Hay algún número que sea divisor de todos los demás?

Sí.

¿Cuál es? El uno.

8. Reúnete con dos compañeros y contesten las preguntas. a) ¿Cuáles son los divisores de los números?

2:

1

1

3:

5:

1

7:

1

11:

1

b) Observen la cantidad de divisores que tienen los números anteriores.

¿Cuántos son para cada uno?

Oriéntate

Dos.

Los divisores de 8 son 1, 2, 4 y 8.

c) ¿Cuáles son los divisores de los números?

4:

1, 2, 4

6:

1, 2, 3, 6

15:

1, 3, 5, 15

20: 1, 2, 4, 5, 10, 20

Profundiza

Los números primos son aquellos que no tienen más divisores que ellos mismos y la unidad. Por ejemplo: 2, 3, 5 y 7. Los números compuestos son aquellos que tienen más de dos divisores. Por ejemplo: 10, pues sus divisores son 1, 2, 5 y 10.

9. Reúnete con un compañero. Escriban en su cuaderno los primeros quince números primos ubicados entre 1 y 100. Redacten qué procedimiento usaron para encontrarlos.

2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 10. Comparen las respuestas de los ejercicios 5 al 9 con las de sus compañeros. Comenten sus procedimientos y redacten una breve conclusión. Lección 14 Bloque 2

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Lección 14 Criterios de divisibilidad I 11. Reúnete con dos compañeros y contesten las preguntas. a) ¿Cuáles son los divisores de los números? Escríbanlos en sus cuadernos. i. 2 1, 2

4 1,2,4

16 1,2,4,8,16

28 1,2,4,7,14,28 40 1,2,45,8,10,20,40

ii. 501,2,5,10,25,50 32 1,2,4,8,16,32 14 1,2,7,14

76 1,2,38,76

38 1,2,19,38

2

b) Además del 1, ¿qué otro número es divisor común de los anteriores?

0,2,4,6,8.

c) ¿En qué dígitos terminan los números anteriores?

cifra par

Escriban una característica que compartan.

d) Redacten, con base en la información anterior, una regla para determinar cuándo un número

R. P.

es divisible entre 2.

e) Escriban en sus cuadernos todos los divisores de los números. i. 3

9

12

27

42

ii. 60

72

84

96

18

3

f) Además del 1, ¿qué otro número es divisor común de los anteriores?

g) Sumen los dígitos de cada número y escriban el resultado en la línea. Observen el ejemplo. i. 3:

27: ii. 60:

96:

3 6 6

9:

9

42:

9

72:

9

12:

3

84: 8 + 4 = 12, 1 + 2 = 3

18:

h) Observen los resultados anteriores; se darán cuenta de que esos números comparten una

característica, pues están relacionados con 3. ¿Cuál es?

múltiplos de 3 i. Redacten, en sus cuadernos, una regla para determinar cuándo un número es divisible entre 3. ii. Compartan la regla con sus compañeros. En grupo y con ayuda de su profesor comenten las

reglas que escribieron, verifiquen si funcionan y redacten, en sus cuadernos, una conclusión. iii. Comenten y registren las dificultades que tuvieron. Comenten, con ayuda de su profesor, cómo

resolverlas. Un criterio de divisibilidad es la característica que expresa cuándo un número es divisible entre otro.

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Lección 14 Todo número es divisible entre 2 si termina en 0 o cifra par (2, 4, 6, 8); por ejemplo, 2 876, porque termina en 6 (cifra par). Todo número es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3; por ejemplo, 3 192, porque 3 + 1 + 9 + 2 = 15, 1 + 5 = 6, y este resultado es múltiplo de 3.

12. Completa la tabla. Número

Divisores

¿Es primo o compuesto? ¿Es divisible entre 2? ¿Es divisible entre 3?

6

1,2,3,6

Compuesto

Si

Si

33

1,3,11,33

Compuesto

No

Si

23

1,23

Primo

No

No

88

1, 2, 4, 8, 11, 22, 44 y 88

Compuesto

Si

No

96

1, 97

Primo

No

No

13. Retoma el problema inicial de la lección y responde las preguntas en tu cuaderno. a) ¿Es posible que Cristina empaque los 2 250 chocolates en paquetes de dos chocolates sin que le

sobren? ¿Cómo podrías determinarlo? Redacta el procedimiento que te permita averiguar si es posible.

Sí, termina en cero.

b) ¿Podría empacarlos en bolsas de tres chocolates sin que sobren?

Sí.

c) ¿Cuántas bolsas de tres chocolates podría empacar?

750 bolsas.

d) ¿Cuántos paquetes de dos chocolates podría armar sin que sobren?

1125 bolsas.

e) Comparte tus respuestas con tus compañeros. Identifiquen dudas y comenten, con ayuda de su

profesor, cómo resolverlas. f) Sostengan un debate grupal sobre el uso de la multiplicación y la división al calcular los divisores

de un número.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-081a, donde se encuentra una actividad para calcular divisores. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-081b, donde se muestra la tabla de números primos entre 1 y 100. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-081c, donde se explica el uso de los divisores y los números primos en un problema.


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Lección 15 Criterios de divisibilidad II Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Te m a : números y sistemas de numeración

La tabla de multiplicar: divisores de un número A Julián le dejaron como tarea estudiar la tabla del 5.

Contenido Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distinción entre números primos y compuestos.

5×1=5

5 × 6 = 30

5 × 2 = 10

5 × 7 = 35

5 × 3 = 15

5 × 8 = 40

5 × 4 = 20

5 × 9 = 45

5 × 5 = 25

5 × 10 = 50

1. Observa el dígito con que termina cada resultado. ¿Qué regularidad hay en las cifras?

0y5 2. Reúnete con un compañero y contesten las preguntas. a) ¿Cuáles son los divisores de los siguientes números? Escríbanlos en su cuaderno. i. 5 1,5 ii. 35 1,5,7,35

20

15

1,2,4,5,10,20

1,3,5,15

70 1,2,5,7,10,14,35,70

65

90

1,5,13,65

25 1,2,4,5,8,10,20,40

40

1,2,3,5,6,9,10,15,18,30,45,90

100 1,2,4,5,10,20,25,50,100

b) Observen que hay varios divisores. ¿Cuál es el mayor divisor común de los números anteriores?

5 c) Redacten una regla para saber cuándo un número es divisible entre 5. Para ello, consideren

la tabla anterior.

R. P.

Un paso adelante 3. Al comenzar la clase de Matemáticas, Julián debía resolver el siguiente problema.

Beatriz compró 32 manzanas y desea repartirlas entre cinco niños en partes iguales. ¿Cuántas recibirá cada uno? a) ¿Le corresponde una cantidad entera a cada niño?

dimiento que seguiste para resolver el problema.

No.

Explica, en tu cuaderno, el proce-

b) ¿Cuál es el mínimo de manzanas que Beatriz puede quitar para repartir cantidades enteras

entre los niños?

2 c) Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Entre todos escriban una estrategia para

resolver el problema.

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Lección 15 La formación: divisores de un número 4. La profesora Lupita, de sexto grado, tiene 42 alumnos y desea formarlos en el patio de manera que haya el mismo número de personas en cada fila. a) Escribe, en tu cuaderno, una opción para formar a los estudiantes como se indica.

6 filas de 7 alumnos.

b) ¿Cuántas opciones para formar a sus alumnos tiene la profesora? Considera que las filas deben

ser iguales.

1 fila de 42 alumnos, 2 de 21, 3 de 14, 6 de 7, 7 de 6,14 de 3, 21 de 2 y 42 de 1. 5. Reúnete con dos compañeros y efectúen lo que se indica. a) Escriban todos los divisores de estos números.

1,2,7,14

35:

1,2,5,7,10,14,35,70

28:

i. 14:

70:

1,5,7,35 1,2,4,7,14,28

140:1,2,4,5,7,10,14,20,28,35,70,140

1,7,49

7:

1,7

84: 1,2,3,4,6,7,12,14,21,28,42,84

21:

1,3,7,21

ii. 49:

56:

1,2,4,7,8,14,28,56

b) Además del 1, ¿cuál es el divisor común de los números anteriores?

7

6. En conclusión, ¿cómo obtendrían el divisor común de un grupo de números?

R. T. Sacando sus divisores y observando cuáles se repiten en ambos números.

Un paso adelante 7. Reúnete con un compañero y hagan lo que se pide. a) Escriban diez números divisibles entre 7.

7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70

b) ¿Qué característica cumplen esas cantidades?

R. P. c) Comenten con sus compañeros sus respuestas y escriban una conclusión de manera grupal. Lección 15 Bloque 2

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Lección 15 Criterios de divisibilidad II Profundiza Todo número es divisible entre 5 si termina en 0 o 5. Por ejemplo, 1 425 es divisible entre 5 porque termina en 5. 8. Contesta las preguntas y haz lo que se pide. a) ¿El 325 es divisible entre 5?

Si.

Escribe todos sus divisores.

b) ¿El 100 es divisible entre 5?

Sí.


1, 5, 65, 365

1,2,4,5,10,20,25,50,100 c) ¿El 32 es divisible entre 5?

No,


1,2,4,8,16,32

Un número es divisible entre 7 cuando, al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 2 y restarla de las demás cifras, la diferencia es igual a 0 o a un múltiplo de 7. Por ejemplo: 8 918 es divisible entre 7 porque 891 – (8 × 2) = 875, 87 – (5 × 2) = 77, y el resultado es múltiplo de 7. 9. Comprueba, con el método anterior, que las cantidades sean divisibles entre 7. a) 2 205

2205 = 220 – 10 = 210 21 – 0 = 21 y 21 es múltiplo de 7 b) 4 928

4928 = 492 – 16 = 476 47 – 12 = 35 y 35 es múltiplo de 7

c) 16 478

16478 = 1647 – 16 = 1631 163 – 2= 161

16 – 2 = 14 y 14 es múltiplo de 7

10. Reúnete con un compañero y contesten las preguntas. a) ¿El 105 es divisible entre 7?

b) ¿El 84 es divisible entre 7?

Sí.

Sí.


1,3,5,7,15,21,35,105


1,2,3,4,6,7,12,14,21,28,42,84 c) ¿El 168 es divisible entre 5?

Sí.


1,2,3,4,6,7,12,14,21,28,42,84, 168 84


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Lección 15 11. Completa la tabla. Escribe SÍ o NO. Número

¿Es divisible entre 2?




15

No

Si

Si

No

210

Si

Si

Si

Si

70

Si

No

Si

Si

14

Si

no

no

Si

1 890

Si

Si

Si

Si

12. Reúnete con dos compañeros, lean la situación y contesten las preguntas.

Estefanía trabaja en una dulcería. Hoy recibió un pedido de 120 chocolates blancos y 300 amargos, y desea empacarlos en cajas con el mismo número de piezas. ¿Cuántos debe haber en cada una para que no sobren? a) ¿Pueden usar la divisibilidad para resolver el problema? Expliquen cómo lo harían.

Sí. R. P.

b) ¿De cuántas maneras puede empaquetar los chocolates para que las cajas tengan igual número de

piezas y no haya sobrantes?

De 2, 3, 5, 4, 12, 6, 60, 10, 8, 15 …

c) Redacten, en su cuaderno, un problema donde se requiera la divisibilidad para solucionarlo.

Compártanlo con sus compañeros. 13. Sostengan un debate grupal analizando el siguiente planteamiento: "Todo número entero tiene al menos dos divisores". Analicen casos y escriban sus conclusiones.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-085a, donde se encuentra una actividad de divisores. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-085b, donde se muestra una actividad de números primos y divisibilidad. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-085c, donde se explican los criterios de divisibilidad.

Consigue un calendario y ubica el mes actual. Marca con un círculo los divisores de 24 y con un cuadro los divisores de 28. ¿Qué regularidad observas?

Para la bi†ácora Resuelve las actividades correspondientes a la lección 15 en la bitácora de la página 114. Lección 15 Bloque 2

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Lección 16 MCD y mcm Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: números y sistemas de numeración

Contenido Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.

Los libros: Máximo Común Divisor Luis se está mudando de oficina; empacará 24 libros en español en cajas azules y 18 libros en inglés en cajas amarillas. Sin embargo, quiere guardar el mismo número de libros en cada una. 1. Reúnete con un compañero y efectúen lo que se indica. a) Luis dispone de las cajas necesarias, así que no hay problema si empaca un libro por caja. Escriban

otra opción que tiene para empacar sus libros. Consideren que las cajas deben tener la misma cantidad sin que sobre alguno.

4 cajas azules con 6 libros y 3 cajas amarillas con 6 libros i. ¿Cuál es el mayor número de libros que puede colocar en cada una?

Compartan su respuesta con el grupo.

6 libros

ii. ¿Cuántas cajas de cada color son suficientes para empacar los libros?

Azules:

4 azules

Amarillas:

3 amarillas

iii. Describan en su cuaderno el procedimiento que siguieron para encontrar las respuestas anteriores. b) Luis tiene en su oficina seis figuras de porcelana y ocho de madera. Desea envolver las primeras

en papel blanco y las segundas en papel de color café, pero quiere distribuir la misma cantidad de figuras en cada pliego. i. ¿Cuál es el mayor número de figuras que puede envolver con cada pliego de papel?

Consideren que cada envoltorio debe tener la misma cantidad sin que sobren.

Oriéntate Los divisores de un número son aquellos que lo dividen exactamente, es decir, con los que la división tiene residuo cero. Por ejemplo, los divisores de 16 son 1, 2, 4 y 8.

2

ii. ¿Cuántos pliegos de papel de cada color requiere para distribuir las figuras? 3 blanco y

4 café

Un paso adelante 2. Haz lo que se pide y contesta las preguntas en tu cuaderno. a) Escribe los divisores de 18. b) Escribe los divisores de 24.

1, 2, 3, 6, 9, 18 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

c) ¿Qué divisores tienen en común 18 y 24? 1, 2, 3, 6

Oriéntate Los divisores comunes a varios números son aquellos divisores que se repiten en todos ellos.

d) ¿Cuál de los divisores comunes de 18 y 24 es el mayor? 6 e) Explica qué entiendes por máximo común divisor.

R.P.

f) Comparte las respuestas con tus compañeros. Analicen los diferentes argumentos y

escriban en su cuaderno una conclusión. 3. Encuentra el máximo común divisor de 6 y 8, y escríbelo en tu cuaderno; apóyate en el procedimiento de la actividad 2. 2

86


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Lección 16 Los amigos: mínimo común múltiplo Tres pilotos se conocieron en la Ciudad de México y se hicieron amigos. Como desean reunirse de nuevo, han revisado sus itinerarios de vuelo para fijar la fecha: Juan vuela a la ciudad cada tres días; Pedro, cada cinco; y Jerónimo, cada dos. 4. Reúnete con un compañero y contesten las preguntas.

15 días

a) ¿En cuántos días Juan y Pedro coincidirán en la Ciudad de México? b) ¿En cuántos días Juan y Jerónimo coincidirán en la Ciudad de México?

6 días

c) ¿En cuántos días Pedro y Jerónimo coincidirán en la Ciudad de México?

10 días 30 días

d) ¿En cuántos días los tres amigos coincidirán en la Ciudad de México?

e) Copien la tabla en su cuaderno y agreguen las columnas necesarias hasta que encuentren

un múltiplo que sea común a los tres números de la primera columna. ×

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

3

3

6

18 30 12

27

30

10

15 25 10

24

5 2

12 20 8

21

5

9 15

14

16

18

20

2

4

6

11

…

Oriéntate

22

f) Describan en su cuaderno el procedimiento que desarrollaron para encontrar las respuestas

del inciso a) al e). Compártanlas con sus compañeros de grupo y analicen la utilidad de la tabla anterior para contestar las preguntas.

Un paso adelante

4 × 1 = 4, 4 × 2 = 8, 4 × 3 = 12, 4 × 4 = 16;

5. Efectúa lo que se pide y contesta las preguntas. a) Escribe los primeros diez múltiplos de 3: b) Escribe los primeros diez múltiplos de 5:

Se denomina múltiplo de un número a aquel que se obtiene al multiplicar ese número por otro. En general, se encuentra multiplicando por 1, después por 2 y así sucesivamente. Por ejemplo:

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30

por lo tanto, 4, 8, 12 y 16 son los primeros cuatro múltiplos de 4.

5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50

c) Escribe los primeros quince múltiplos de 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30 d) ¿Cuál es el primer múltiplo en que coinciden 3 y 5?

15

e) ¿Cuál es el primer múltiplo en que coinciden 3 y 2?

6

Oriéntate

f) ¿Cuál es el primer múltiplo en que coinciden 5 y 2?

10

Un múltiplo común es aquel compartido por dos o más números. Por ejemplo, 4 es múltiplo común de 2 y 4.

30

g) ¿Cuál es el primer múltiplo en que coinciden 3, 5 y 2? h) ¿Estos pasos son útiles para resolver el ejercicio 4?

Si.


R.P.


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Lección 16 MCD y mcm Profundiza 6. Contesta las preguntas mediante el uso de las tablas. a) Completa la tabla. Números

Divisores

Divisores comunes

Mayor divisor común

14 y 21

14 = 1, 2, 7, 14 21 =1, 3, 7, 21 21 = 1, 3, 7, 21 28 = 1, 2, 4, 7, 14, 28 14 = 1, 2, 7, 14 28 = 1, 2, 4, 7, 14, 28

1y7

7

1y7

7

1, 2, 7 y 14

14

21 y 28 14 y 28

7

b) ¿Cuál es el mayor divisor común de 14, 21 y 28?

El Máximo Común Divisor (MCD) de dos o más números es el mayor de los divisores comunes. c) Completa la tabla. ×

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

3

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

33

36

4

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

44

48

d) ¿Cuál es el primer múltiplo en que coinciden 2, 3 y 4?

12

El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números es el menor múltiplo común distinto de cero.

7. Reúnete con un compañero y resuelvan los problemas. Desarrollen los procedimientos en su cuaderno. a) Abigail atiende una mercería y organiza sus productos en bolsitas que almacena en cajas.

En una caja azul, hay bolsitas con doce seguritos; en una verde, bolsitas con 24 seguritos; y en una amarilla, bolsitas con diez seguritos. i. Si en las tres cajas guarda la misma cantidad de seguritos, ¿cuántos habrá como mínimo en cada una?

120 seguritos b) Elvira y Joel elaboran collares de cuentas. El día de hoy tienen 56 cuentas blancas, 35 azules y 21

rojas, y quieren producir el mayor número de collares iguales sin que sobre ninguna cuenta. i. ¿Cuántos pueden elaborar?

7 collares

ii. ¿Cuántas cuentas de cada color tendrá un collar? 8 blancas, 5 azules y 3 rojas

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Lección 16 c) En una ciudad, tres rutas de autobuses que salen de la misma terminal prestan servicio público:

la ruta 1 solo se detiene cada 3 km; la ruta 2, cada 2 km; y la ruta 3, cada 4 km. i. ¿En qué kilómetro más cercano a la terminal coinciden las tres?

12 kilómetros

ii. ¿Cuál es el kilómetro mínimo más cercano a la terminal en que se detienen las rutas 1 y 2?

Kilómetro 6 d) Sara y Leticia están decorando un mantel para Navidad: Sara cose una flor de Nochebuena cada

5 cm y Leticia coloca una estrella cada 7 cm. En el mantel bordaron campanas separadas a una distancia de 8 cm y en el centímetro 0 hay una flor, una campana y una estrella. i. ¿Cuál es el punto más próximo donde coinciden de nuevo los tres adornos?

280 cm

ii. ¿Cuál es el punto más próximo donde coinciden la campana y la flor de Nochebuena? 35 cm e) Mauricio es profesor y desea dar a sus alumnos bolsas de dulces. Compró 96 chocolates, 160

chicles, 128 paletas y 64 mazapanes. i. ¿Cuántas bolsas con la misma cantidad de dulces puede formar como máximo?

32

ii. ¿Qué cantidad de cada dulce puede colocar en las bolsas? 3 chocolates, 5 chicles, 4

paletas y 2 mazapanes

f) Las señoras de la Asociación de Padres de Familia desean cortar boletos rectangulares que no

tengan medidas decimales ni fraccionarias para la kermés. En ellos debe caber un sello que mide 1.5 cm × 1.8 cm. Han comprado 1 m de papel que mide 1.5 m de ancho y no quieren desperdiciarlo. i. ¿Cuál es la mayor cantidad de boletos que pueden cortar? ii. ¿Cuánto debe medir cada boleto?

2500 boletos

3 cm por 2 cm

8. Analiza con tu grupo qué otra estrategia se puede emplear para determinar el MCD y el mcm. Escriban en su cuaderno las conclusiones.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-089a, donde se encuentra una actividad en la que se usa el mínimo común múltiplo. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-089b, donde hay una actividad sobre el máximo común divisor. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-089c, donde se explica cómo calcular el mínimo común múltiplo. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-089d, donde se expone cómo calcular el máximo común divisor.


El MCD también nos ayuda a optimizar materiales. Mide las dimensiones de una cartulina. ¿Cuánto deben medir los cuadrados más grandes que es posible trazar sobre ella, de tal forma que no sobre espacio? Lección 16 Bloque 2

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Lección 17 Adición de números fraccionarios y decimales Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: problemas aditivos

Contenido Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales.

Los quesos: problemas de estimación de fracciones El chef Andrés hizo un inventario en la cocina. Al contar la cantidad de alimentos, encontró que había cuatro piezas de queso manchego cortadas como se muestra.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

1. Contesta las preguntas. a) Por su tamaño, ¿cuál de los quesos es casi una rueda entera? b) Por su tamaño, ¿cuál es casi __12 ?

3

4

c) Por su tamaño, ¿cuál es casi __14 ?

2

d) El formato del inventario que estaba usando el chef Andrés solo registraba estos números: 0, 1 4

, 1 , 3 , 1, 1 1 , 1 1 … Si utilizó cantidades aproximadas, ¿qué cantidad de queso registró en total? 2

4

4

2

4 e) Describe o explica el procedimiento que usaste para determinar el total.

R. P.

Un paso adelante 2. Resuelve el problema en tu cuaderno.

Ernesto trabaja como jefe de mantenimiento en una escuela y le encargaron perforar una pared para pasar un cable. Esta tiene un grosor de 10 1 cm de concreto, 3 1 cm de aislante y 4 4 cm de 2 4 5 cubierta de madera. a) Las brocas que venden en la ferretería son de diversa longitud en centímetros (10, 11, 12, 13, 14,

15, 16, 17, 18 y 19). ¿Cuánto debe medir la broca que utilizará para perforar la pared?

18 cm

b) En la ferretería, le dijeron que necesita una broca especial para perforar solo la parte de concreto.

¿Cuánto debe medir la que requiere?

11 cm

c) Una vez perforado el concreto, debe usar otra broca diferente para perforar únicamente el

aislante. ¿Cuánto debe medir la que necesita?

14 cm

d) Comparte las respuestas con tus compañeros. 3. Analiza con tu grupo las estrategias de solución que propusieron en los ejercicios 1 y 2. Escriban en su cuaderno las conclusiones a las que lleguen.

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Lección 17 La cerca: adición de números decimales 4. Lee los planteamientos y contesta las preguntas. a) Cristóbal es dueño de tres terrenos que quiere cercar para convertirlos en gallineros; sin embargo, 2.9 m 5.7 m

12.4 m

6.9 m

3.7 m

solo tiene un rollo de malla metálica de 25.5 m de largo y 1.25 m de alto.

10.3 m Terreno 2

7.8 m Terreno 1

8.1 m Terreno 3

i. ¿Qué terreno puede cercar con la malla metálica que tiene?

El terreno 1.

ii. Escribe el procedimiento que seguiste para responder la pregunta anterior. R. T. Sumar la

medida de los lados. b) Cristóbal necesita colocar un poste en cada vértice del terreno para que sostenga la malla metálica,

pero en la ferretería solo venden postes de 0.45 m y 0.9 m. i. Si une dos de 0.45 m, ¿qué altura alcanzará el nuevo poste?

0.90 m

ii. Si une dos de 0.9 m, ¿qué altura tendrá el nuevo poste?

1.8 m

iii. Si une un poste de 0.45 m y otro de 0.9 m, ¿cuánto medirá el nuevo poste?

1.35 m

iv. ¿Cuál de los postes nuevos tiene una longitud más cercana a la altura de la malla metálica?

El de 0.45 m + 0.90 m = 1.35 m 5. Comparte con tus compañeros las respuestas del ejercicio 4. Con ayuda de su profesor, comenten y analicen las diferentes estrategias de solución.

4.67 + 2.8 + 7.47

Un paso adelante

4.67

6. Resuelve el problema.

+ 2.80

Miriam lleva el registro de la estatura de su hija Mariana. En enero de 2004, la niña medía 1 m; al año siguiente, 1.08 m; y al otro año, 1.15 m.

c) ¿En qué año creció más?

7.47

0.15 m

a) ¿Cuánto creció Mariana de 2004 a 2006? b) ¿Cuánto creció de 2005 a 2006?

Oriéntate Para sumar números con una cantidad distinta de cifras decimales, deben alinearse de tal manera que coincidan tanto la posición de los puntos como cada una de las cifras. En las posiciones decimales con espacios a la derecha se puede añadir un cero. Por ejemplo:

0.07 m 2005

d) Si de 2006 a 2007 Mariana creció lo mismo que el año anterior, ¿cuánto medía en enero de 2007?

1.22 m Lección 17 Bloque 2

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Lección 17 Adición de números fraccionarios y decimales Profundiza 7. Reúnete con un compañero, lean los planteamientos y contesten. a) Estela pesa 43.38 kg y su amiga Andrea, 30.07 kg. Si ambas se suben al mismo tiempo a una

Oriéntate Al dividir o multiplicar el numerador y el denominador por un mismo número, obtienes una fracción equivalente. a ac c· b = b Observa que ac indica el producto del numerador y bc señala el producto del denominador.

73.45 kg

báscula, ¿qué peso se marcará?

b) Sandra fue a la tienda y compró un atún de $8.30, una mayonesa de $7.50, una lata

de verduras de $4.80 y un paquete de galletas saladas de $3.60. ¿Cuánto pagó?

$24.20 c) Elijan uno de los problemas anteriores y redacten el procedimiento que siguieron para resolverlo.

R. P.

8. Resuelve los problemas. a) Carmina compró 1 kg de crema y 1 kg de fresas; y Karla, 1.250 kg de fresas y 3 kg de crema. 4

Oriéntate La forma general para a expresar una fracción es b , donde a y b, son números enteros cualesquiera, con b diferente de cero. Cuando escribimos la expresión a c ad + bc b + d = bd

indicamos la forma general de una suma de fracciones. Observa que bd señala el producto de los dos denominadores.

2

4

i. ¿Cuántos kilogramos de fresas compraron entre las dos?

1.750 kg

ii. ¿Cuántos kilogramos de crema compraron entre las dos?

1 kg 2.750 kg

iii. Si colocaron todo en una bolsa, ¿cuánto pesó en total?

b) En la escuela “Miguel Hidalgo” se llevó a cabo la actividad “El kilómetro del libro”. Las donaciones

de los grupos se registraron en la tabla. Grupo

1° A

2° A

3° B

4° B

5° A

6° B

Donación (m)

1 3 2

2 1 3

4 4 5

1 2 2

6 3

1 5

¿Cuál fue la longitud total?

1

2 15 __3 = 16.6666...

c) Comparte tus respuestas con las de tus compañeros y formulen una estrategia para determinar

la longitud total. La suma de fracciones con igual denominador se lleva a cabo de esta forma: a + c = a + c . b a

b c

La suma de fracciones con diferente denominador se efectúa de este modo: b + d =

b ad + bc bd

.

Una fracción mixta se convierte en fracción común de la siguiente manera: a bc = ac c+ b . 9. Reúnete con un compañero y resuelvan los problemas. a) De cada 2.4 t de materiales reciclables que se producen en la Ciudad de México, solo se reciclan

0.528 t en los hogares, 0.95 t en los camiones de basura y 0.34 t en los depósitos.

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30

Lección 17 i. ¿Cuántas toneladas de basura se reciclan en total? 1.818 toneladas ii. ¿Cuántas se reciclan en los hogares y en los depósitos? 0.868 toneladas iii. ¿Cuántas toneladas de materiales reciclables se tiran a la basura? 0.582 toneladas iv. ¿Qué cantidad de materiales no se reciclan en casa? 1.872 toneladas b) La asociación Vamos de la Mano recolecta donativos destinados a los afectados de desastres naturales.

Este año se propuso construir un albergue y, gracias a diversas aportaciones, logró reunir un millón de pesos: la familia Sánchez donó $10 000.00; el gobierno, 14 de millón; los centros comerciales $300 000.00; las escuelas, $120 000.00; las empresas, 15 parte del total recaudado; y un banco aportó la diferencia para completar el millón. i. ¿Cuánto dinero aportaron las empresas?

$136000.00 $816000.00

ii. ¿Qué cantidad se juntó sin tomar en cuenta la aportación del banco?

$184000.00

iii. ¿Cuánto donó el banco?

10. Reúnete con tres compañeros. Lean el planteamiento, analícenlo y contesten las preguntas en su cuaderno.

Nicolás trabaja en un expendio donde se vende café en grano al menudeo. Al terminar la semana, sobran varios costales vacíos y otros con diferente peso. Todos tienen una capacidad máxima de 50 kg. 9 17

1 25

17 18

12 23

Costal 1

Costal 2

Costal 3

Costal 4

a) Nicolás desea empacar el café sobrante en bolsas de 1 kg. ¿Cuántas obtendrá? 101 b) Si empacara el café en bolsas de 5 kg, ¿cuántas obtendría? 20 c) Compara las respuestas con tus compañeros, analicen las diferentes estrategias utilizadas y

elaboren una conclusión. 11. Organiza con tu grupo un debate acerca de la diferencia entre suma de enteros y suma de fracciones. Escriban en el cuaderno sus conclusiones.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-093a, donde hay actividades para sumar y restar decimales. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-093b, donde se encuentran actividades de suma y resta de decimales. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-093c, donde se explica el origen del sistema decimal y su uso en la vida cotidiana.


Los números decimales se usan en diversas situaciones de la vida cotidiana. Consigue una nota de compra del supermercado. Suma los productos y comprueba el total que se indica. Pégala en tu cuaderno. Lección 17 Bloque 2

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Lección 18 Multiplicación y división con números fraccionarios I Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: problemas multiplicativos

Contenido Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales.

Los gastos: multiplicación de fracciones 1

1

El papá de Eusebio tiene una hortaliza rectangular que mide 1 2 m de largo y 2 3 m de ancho, en la que sembró cebollas y lechugas. Como se avecina el temporal de lluvias con posibilidad de granizo quiere proteger su hortaliza, así que le colocará una cubierta de plástico. 1. Contesta las preguntas.

3__2 m2 1

a) ¿Cuánto mide el área de la hortaliza?

b) ¿Cuánto plástico necesita para cubrir la superficie de la hortaliza? Escribe el procedimiento que

3__2 m2 1

seguiste para responder la pregunta.

Oriéntate Recuerda que una fracción mixta se puede convertir en una fracción impropia. Cuando escribimos la expresión

a b = (ac) + b , c c a, b y c son números diferentes de cero. Por ejemplo, en (5 ∙ 7) + 2 37 2 5 7 = _= 7 . 7 observa que 2

2

5 7 ≠ 5∙ 7 2 porque 5 7 es una fracción 2 mixta, mientras que 5∙ 7 indica una multiplicación de 5 por __27 .

2. Resuelve los problemas. a) Raúl repara automóviles. Para ajustar una pieza del sistema eléctrico, estaba usando una llave

de __18 de pulgada. Sin embargo, su jefe le dijo que debería usar una tres veces más grande.

¿Cuánto debe medir esa llave?

3 __ 8

b) En un supermercado, una bolsa de manzanas empacadas pesa 2 __12 kg.

¿Cuánto pesarán 4 1 bolsas? 2

11__4 kg 1

c) Antonia compró dos trozos de tela para confeccionar almohadas. El primer

trozo que midió 1 m costaba $10.00 por metro, y el segundo de 1 1 m tenía un costo de $5.00 por 3

4

$29

metro. ¿Cuánto gastó y qué cantidad de tela compró?

7 __ 12

d) Un reloj no funciona adecuadamente, pues se adelanta __1 min cada hora. 3

¿Cuánto se adelantará en

1 2

h?

__1 de minuto 6

3. Reúnete con un compañero. Elijan uno de los problemas anteriores y redacten, en su cuaderno, el procedimiento que siguieron para solucionar el problema anterior, así como una conclusión al respecto.

Para multiplicar dos fracciones, se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. a c ac Para las fracciones b y d , donde b y d ≠ 0, ba ∙ dc = bd . b ab Para un entero y una fracción, a y b respectivamente, donde c ≠ 0, a ∙ c = c . c

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Lección 18 Un paso adelante 4. Calcula el área de las figuras geométricas.

b)

a)

2 7

8 30

Área =

9 11

16 ___ 225

18 ___ 77

Área = 7 5

c)

5 7

Área =

__1 2

d) Compara tus respuestas con las de tus compañeros, registra tus dudas y comenten de manera

grupal cómo resolverlas. 5. Resuelve los problemas en tu cuaderno. a) Los martes en la pastelería Dulce Alianza se venden paquetes con rebanadas de diferentes 1

1

pasteles. Esta semana, un paquete está formado por 2 kg de pastel de chocolate, 4 kg de pastel 1 1 de zanahoria, 4 kg de pastel de queso y zarzamora y 4 kg de pastel de durazno. Si el kilogramo cuesta $60.00, ¿cuál será su precio?

$75 6

b) Óscar desea comprar una mochila. Contó sus ahorros y solo tiene $200.00. La mochila cuesta 5

de lo que tiene ahorrado. ¿Cuál es su precio? Si su hermano le presta el resto del dinero para que la compre, ¿cuánto le dará?

El precio es de $240, su hermano le presta $40 1

c) El abuelo de Juan le heredó la mitad de un terreno, pero Juan decidió vender 3 de

su herencia. ¿Qué parte del terreno vendió?

__1 6

¿Y qué parte sobró?

__1 3

6. Elige con tu grupo y el profesor uno de los problemas del ejercicio anterior, compartan sus respuestas, analicen dudas y dificultades. Escriban en su cuaderno las conclusiones sobre la forma de resolver el planteamiento. Lección 18 Bloque 2

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Lección 18 Multiplicación y división con números fraccionarios I Profundiza 7. Reúnete con dos compañeros, lean los planteamientos y respondan las preguntas correspondientes. 3

3 ___

1

a) Una lámpara consume 4 L de aceite al día. ¿Cuánto consumirá en 8 de día?

32

b) El gobierno de un país debate en el Congreso el cambio de billetes por monedas con la finalidad

de ahorrar en su producción. 4

i. Producir una moneda cuesta 80 ¢ y un billete, 5 de lo que cuesta hacer una moneda. ¿Cuánto

cuesta producir un billete?

64 centavos. 1

1

ii. Un billete dura en promedio 1 3 años y una moneda, 21 2 veces más que este. ¿Cuántos

años en promedio dura una moneda? 2 28 __3 años.

Monedas

iii. ¿Qué es más económico producir, monedas o billetes?

Costo de producción y duración.

iv. ¿Por qué?

c) Escriban una multiplicación que represente cada enunciado y calculen el producto correspondiente. i. Dos quintos de tres séptimos: ii. Cuatro quintos de tres cuartos: iii. Un tercio de dos sextos: iv. Dos sextos de un tercio:

2 6 3 __ × __7 = ___ 5 35 12 4 3 __ × __4 = ___ 5 20 2 2 __1 × __ = __ 3

6

18

2 2 1 __ × __3 = __ 18 6

d) El oro de ley es una aleación de oro puro y otros metales como la plata y el cobre. Para que

sea considerado como tal debe tener al menos 18 quilates. Cada quilate significa 1 de la aleación. 24

i. Expresa en fracción la cantidad mínima de oro puro que debe existir en el oro de ley. 3 __ 4

ii. ¿Cuál es el peso de oro puro en 36 g de oro de 18 quilates?

27 g

iii. Una moneda es de 14 quilates y pesa 20 g. ¿Cuánto oro puro tiene?

11__3 g 2

iv. Un collar de 18 quilates tiene 45 g de oro puro. ¿Cuál es su peso?

60 g 8. Analiza con tu grupo y el profesor los procedimientos usados en el ejercicio anterior, y escriban una conclusión.

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Lección 18 9. Resuelve los problemas en tu cuaderno. a) En una caja hay varios lapiceros. Iván tomó la mitad de los 34 y Valentina, la tercera parte 2

de los

3

.

i. ¿Qué fracción de lapiceros tomó Iván?

3 __ 8

ii. ¿Qué fracción de lapiceros tomó Valentina?

2 __ 9

iii. ¿Quién tomó más lapiceros? Iván iv. En la caja sobraron 29 lapiceros. ¿Cuántos había en total? 72 v. ¿Cuántos lapiceros tomó Iván? 27 vi. ¿Y cuántos Valentina? 16 b) El esquema de la derecha representa un

jardín con un triángulo de cemento en el centro. Si solo se requiere pasto para la parte sombreada, ¿cuántos metros cuadrados de pasto se deberán comprar?

A

2 m 3

1__8 metros cuadrados 1

9 m 3

c) En la escuela secundaria "Héroes de la Independencia" se construirán un laboratorio y una

nueva área verde. Para este proyecto se usará la mitad de la superficie del estacionamiento que actualmente ocupa 16 del área total. Si de esa mitad usada, solo 14 será área verde, 3 ¿qué fracción de la superficie total se destinará al laboratorio? ___ 48

10. Compara tus respuestas del ejercicio anterior con las de tus compañeros. Registren las dificultades que tuvieron, analicen los procedimientos y escriban en su cuaderno una conclusión al respecto. 11. Organiza con tu grupo un debate acerca de las diferencias y similitudes entre la multiplicación de enteros y la de fracciones. Redacten las conclusiones en su cuaderno.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-097a, donde se encuentra una actividad de multiplicación de fracciones. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-097b, donde hay una actividad de multiplicación de fracciones. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-097c, donde se explica el uso de las fracciones en la vida cotidiana.

Para la bitácora

Acude a un mercado e investiga cuánto pesa una caja de jitomates, cuántos kilogramos hay en siete cajas y cuántos en la mitad de una. Registra los datos en tu cuaderno y compártelos con el grupo.


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Lección 19 Multiplicación y división con números fraccionarios II Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: problemas multiplicativos

Contenido Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales.

Las reparticiones: división de números fraccionarios La señora Josefina horneó un pastel que pesaba 4 __21 kg y lo repartió entre sus vecinos como se muestra en la ilustración. Familia García

Familia Garza Familia Mendoza

Familia Sánchez

Familia Jiménez

1. Contesta las preguntas; utiliza fracciones en las respuestas.

__1

a) ¿Qué parte del pastel le dio a la familia Jiménez? b) ¿Qué porción le repartió a la familia Mendoza?

4

__1 8

c) ¿Cuánto pesaba el pedazo de pastel que le dio a la familia Sánchez?

1__8 kg 1

9 __ kg 16

d) ¿Cuánto pesaba la rebanada que le repartió a la familia García?

e) La familia García está integrada por cuatro personas y repartieron la rebanada de manera

Oriéntate Uno de los significados de la división es distribuir o repartir.

1 ___

equitativa. ¿Qué fracción del total de pastel le correspondió a cada una? f) ¿Cuánto pesa la porción que recibió cada integrante de la familia García?

32

9 ___ kg 64

g) La familia Sánchez tiene tres integrantes; si reparten de forma equitativa su pedazo,

¿qué fracción del total le corresponde a cada uno?

1 __ 12

9 ___ kg 24

h) ¿Cuánto pesa la porción de un integrante de la familia Sánchez?

__1 kg cada una o 2__1 8 4

i) ¿Cuánto pesan las rebanadas de las familias Sánchez y Jiménez? 1 2. Reúnete con un compañero y hagan lo que se indica.

a) Elijan una de las preguntas anteriores y expliquen el procedimiento que siguieron para encontrar

la respuesta.

R. P.

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30

Lección 19 Un paso adelante 3. Resuelve el problema. 1

1

El papá de Julián desea sembrar en 4 de su hortaliza dos variedades de jitomate: en 3 de esa fracción cultivará jitomate saladet y, en el resto, jitomate bola. a) ¿Qué parte de la superficie total de la hortaliza destinará al jitomate saladet?

1 __ 12

b) ¿En qué parte de la superficie total de la parcela cultivará jitomate bola? Para responder esta

pregunta, usamos las siguientes expresiones. 1 4

2

2

1

· 3 = 12 ó 6

1

i. ¿Qué representa la fracción 4 ? La parte de la parcela destinada a sembrar jitomate. ii. ¿Qué representa 3 en el denominador? Los tercios del cuarto de parcela. iii. ¿Qué representa 2 en el numerador? Las dos partes del cuarto de la parcela destinadas

a sembrar jiotomate bola.

4. Reúnete con dos compañeros. Lean los planteamientos, resuélvanlos y efectúen lo que se indica.

La división.

a) ¿Cuál es la operación inversa de la multiplicación? 2

b) Para el caso de la fracción 5 , ¿qué indica 5 en el denominador?Indica las partes en que se

divide el entero

¿Qué indica 2 en el numerador? indica las partes que se toman. c) Si se escribe la fracción inversa a

2 5

se obtiene

5 2

. ¿Qué indica el 2 del denominador?

Indica las-

partes en que se divide el entero ¿Y el 5 del numerador? indica las partes que se toman.

d) Si multiplican la fracción propuesta en el inciso b) por la obtenida en el inciso c),

¿cuál será el resultado?

1

e) Redacten sus conclusiones sobre la multiplicación de una fracción por su inverso;

consideren los aspectos de los incisos anteriores.

Oriéntate Una fracción inversa de otra es aquella que tiene los mismos términos que la primera fracción, pero invertidos. Es decir, el numerador de una es el denominador de la otra y viceversa. Por ejemplo, la fracción inversa de 3 es 5 . 5

3

R. P.

5. Resuelve el planteamiento. 3

Si tres albañiles que trabajan juntos al mismo ritmo construyen 42 4 m de una obra durante una jornada de 8 h, ¿cuánto construye cada uno en ese tiempo? 14__1 4

a) Redacta en tu cuaderno el procedimiento con el cual se puede responder lo anterior. b) Compara tu procedimiento con el de tus compañeros. c) Registra dificultades, y con ayuda del profesor, resuélvelas. d) Registra en tu cuaderno una conclusión grupal.


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99

30

Lección 19 Multiplicación y división con números fraccionarios II Profundiza Para dividir dos fracciones a y c , donde b y d son diferentes de cero, se efectúa una multiplicación b d cruzada.

a ÷ c = ad d bc b Puesto que la división es la operación inversa de la multiplicación, se cumple que a b

÷ c = a · d d

b

c

por tanto, para dividir entre una fracción basta multiplicarla por su inverso.

6. Responde las preguntas. 7 __

2

a) ¿Cuál es el inverso multiplicativo de 7 ? b) Si multiplicas

2 7

2

por su inverso, ¿qué resultado obtienes?

1

__1 6

c) ¿Cuál es el inverso multiplicativo de 6?

d) Toda fracción multiplicada por su inverso da como resultado e) Explica por qué se obtiene la respuesta anterior.

1

R. P.

7. Reúnete con un compañero. Analicen el uso de la fracción inversa en la división de fracciones. Escriban en su cuaderno una conclusión de su utilidad. 8. Resuelve los problemas. 1

a) Pagué $240.00 por 2 2 kg de queso manchego. ¿Cuánto costaba el kilogramo?

$96.00 b) Sergio González heredó una hacienda a sus hijos Bernardo y Javier en partes iguales. El primero

dejó su porción a sus hijos Abraham, Jesús y José; y el segundo, a su hija Beatriz. Después, ella distribuyó su herencia a sus hijas Camila y Hortensia en partes iguales. i. ¿Quién tiene mayor parte de la hacienda, Jesús o Camila?

__1

ii. ¿Qué parte de la hacienda tiene José? iii. ¿Y qué parte tiene Hortensia?

Camila

6

__1 4

c) En la empresa El Formal se confeccionan uniformes escolares; si para una falda talla 10 se utiliza

1 15 m de tela, ¿cuántas faldas de la misma talla se confeccionarán con 48 m?

40 faldas 100 Bloque 2 Lección 19

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30

Lección 19 d) Para evaluar el patrón de consumo de refrescos embotellados en la Ciudad de México se

entrevistó a personas mayores de 10 años de edad durante septiembre a octubre de 1993. El promedio de consumo de cada persona era de 1 7 L de refresco al día. Con esta proporción, 10 ¿cuántos días durarían 51 L de refresco?

30 días 9. Responde las preguntas. a) Al dividir cinco naranjas, cada una en tres partes iguales, ¿cuántos tercios se obtienen?

15 b) Al dividir cinco naranjas, cada una en cinco partes iguales, ¿cuántos quintos se consiguen?

25 c) Al dividir siete naranjas, cada una en cuatro partes iguales, ¿cuántos cuartos resultan?

28

d) Al dividir tres naranjas y media en cuatro partes iguales, ¿cuántos cuartos se obtienen?

14

e) Al dividir dos naranjas, cada una en siete partes iguales, ¿cuántos séptimos se consiguen?

14 f) Si se dividen las naranjas en partes iguales, ¿cuántas se necesitarán para obtener 18 cuartos?

4__2 1

g) Si se dividen las naranjas en partes iguales, ¿cuántas se necesitarán para conseguir 19 cuartos?

4__4 3

10. Sostén un debate grupal en que analicen el significado de la división de números fraccionarios. Escriban las conclusiones en su cuaderno.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-101a, donde hay varias actividades para dividir y multiplicar fracciones en el sistema Wiris. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-101b, donde se encuentra una actividad de división de fracciones. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-101c, donde se explica el procedimiento para dividir fracciones.

Si en un costal hay 45 naranjas y para obtener un vaso de jugo se necesitan 5 __12 naranjas, ¿cuántos vasos se conseguirán con las naranjas del costal?

Para la bitácora Resuelve las actividades correspondientes a la lección 19 en la bitácora de la página 115. Lección 19 Bloque 2 101

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Lección 20 Mediatriz y bisectriz Eje: forma, espacio y medida Tema: figuras y cuerpos

Contenido Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo.

La gasolinera: mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo En el poblado San Pedro desean construir una gasolinera. Los vecinos han pedido que, por seguridad, se sitúe a 500 m del hospital y a 500 m de la escuela. Entre ambos lugares hay una distancia de 600 m.

E

H

G

1. ¿Dónde se debe ubicar la gasolinera para que cumpla con las restricciones de los vecinos? Dibuja un esquema que represente la ubicación de la gasolinera (G), el hospital (H) y la escuela (E). Compara tu trazo con el de tus compañeros.

R. P.

2. Reúnete con un compañero y resuelvan el problema. a) El plano de la gasolinera tiene la forma que se muestra en la imagen. Se desea colocar la bomba principal

a la misma distancia de los puntos A, B y C, ya que la distancia AB es igual a la BC.

R. P.

A

D

B

C i. Indiquen con un punto el lugar donde debe colocarse la bomba. ii. Describan, en su cuaderno, el procedimiento para localizar el punto indicado. Compártanlo con

sus compañeros. Comenten dificultades y trabajen juntos para resolverlas.


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30

Lección 20 Un paso adelante 3. Resuelve los problemas. a) En la casa de Ana hay un espacio triangular cuyas medidas son 140 cm, 80 cm y 110 cm de lado.

Ella desea colocar ahí un tinaco cilíndrico del mayor diámetro posible. 1

i. Reproduce, en tu cuaderno, el triángulo correspondiente a la escala 1 cm: 10 cm o 10 . ii. ¿Qué debes trazar dentro del triángulo, mediatrices o bisectrices?

Oriéntate

Bisectrices.

iii. Argumenta tu respuesta. Donde se cortan las bisectrices de un triángulo se de-

fine el incentro que es el centro de una circunferencia inscrita al triángulo. iv. Efectúa los trazos correspondientes y dibuja el círculo que representará el tinaco cilíndrico. v. ¿Cuál es el diámetro del tinaco?

Punto de concurrencia Incentro

R. P.

b) Verónica elaboró un vitral triangular que mide 120 cm, 60 cm y 90 cm de lado, y se lo regaló a su

mamá, quien desea colocarlo encima de una mesa circular. Para que el vitral se sujete bien, sus vértices deben coincidir con la circunferencia de la mesa. 1

i. Reproduce, en tu cuaderno, el triángulo correspondiente a la escala 1 cm: 10 cm o 10 . ii. Traza una circunferencia que represente la mesa de jardín. iii. ¿Cuál es el radio de la circunferencia?

6.2 cm = medida real 62 cm.

c) Patricia desea colocar un mantel redondo encima de una mesa cuadrada. i. Si la mesa mide 2 m de lado, ¿cuál es la mayor medida posible que debe tener el mantel

para que toque los bordes de la mesa?

Punto de concurrencia Circuncentro

1 m de radio ii. ¿Cuánto debe medir el mantel para que toque los cuatro vértices de la mesa?

1.41 m

iii. Traza los manteles en el cuadrado.

1.41 cm

1 cm

4. Comenta tus respuestas y procedimientos con el grupo. Confronten sus argumentos e ideas, y escriban una conclusión en su cuaderno. Lección 20 Bloque 2 103

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30

Lección 20 Mediatriz y bisectriz Profundiza 5. Analiza la información y contesta las preguntas. a) Los puntos que conforman la mediatriz están a la misma distancia de los extremos del segmento.

Por ejemplo, la distancia AM es igual a la MB. M

6.01 cm

A

6.01 cm M A

A

B

4.24 cm

4.24 cm

B 4.60 cm

M

4.60 cm

B

En el problema inicial de la lección era posible seguir este procedimiento y situar la gasolinera de dos maneras. Gasolinera 500 m

E

600 m

Escuela

H

500 m Hospital

600 m

500 m

500 m

Gasolinera

400 m

i. ¿A qué distancia del punto medio de EH se encuentra la gasolinera?

b) Los puntos que conforman la bisectriz están a la misma distancia de ambos lados del ángulo.

Por ejemplo, la distancia AB es igual a la BC, y la distancia AO es igual a la OC. 8 cm A

A

B

A 2.89 cm

3.99 cm B B

8 cm

2.89 cm

3.99 cm O

O

C

C

O C

Es posible aplicar la propiedad de la bisectriz para ubicar la bomba de la gasolinera en el problema inicial. Explica cómo se hace.

A

R. P.

D Bomba B

C

6. Comparte la explicación anterior con tus compañeros. Escriban en su cuaderno una conclusión al respecto.


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Lección 20 7. Reúnete con un compañero. Resuelvan, en su cuaderno, los problemas aplicando las propiedades expuestas. Lleven a cabo las actividades y respondan las preguntas. A

a) Localicen el punto C si m es la bisectriz del ángulo ABC. m

i. Escriban el procedimiento que siguieron. b) Construyan, a partir de los siguientes datos un rombo: el segmento AB mide 4 cm; la bisectriz C AC = 6.9 cm; y el ángulo CAB = 30°. i. Describan el procedimiento desarrollado.

A

m 1c 6.9 30.2° B 4 cm

B

c) En la costa se anclaron dos barcos a una distancia de 1 200 m entre sí. Un tercer barco se encuentra

a 1 000 m de cada uno. i. Tracen un diagrama que represente la ubicación de los barcos.

10.01 cm

8.01 cm

ii. ¿Qué distancia deberá recorrer el tercer barco para situarse exactamente a la mitad de los otros

dos? 800 m

12.00 cm

d) Tracen las mediatrices y las bisectrices de los polígonos.

i. ¿Qué diferencias o similitudes observan entre polígonos regulares e irregulares?

En los polígonos regulares las mediatrices y bisectrices se cortan en el mismo punto.

e) Compartan su respuesta con el grupo y redacten una conclusión en su cuaderno.

8. Sostén un debate con tu grupo sobre el siguiente planteamiento: "El circuncentro de un triángulo es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo". Planteen y verifiquen varios casos para comprobarlo. Analicen términos utilizados y aclaren dudas. Escriban las conclusiones a las que lleguen en su cuaderno.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-105a, donde se encuentra una actividad para trazar la mediatriz de segmentos. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-105b, donde hay una actividad para el trazo de la bisectriz de un ángulo. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-105c, donde se explica cómo trazar la bisectriz de un ángulo.


Hay una relación estrecha entre la geometría y el arte. Para comprobarlo, construye 20 círculos de 5 cm de radio, recórtalos, traza un triángulo equilátero dentro de ellos y pega cinco piezas con los dobleces hacia afuera. Lección 20 Bloque 2 105

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Lección 21 Perímetro y área de polígonos regulares Eje: forma, espacio y medida Tema: medida

Contenido Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras.

Las sombrillas: perímetro de polígonos regulares Marina confecciona sombrillas decorativas de diversos materiales. Hoy debe entregar un modelo como el que se observa en la imagen. 30 cm

30 cm

Sin embargo, el cliente le pidió que agregara un listón rojo en el contorno. El tejido tiene la forma y las medidas que se indican a continuación. 30 cm 30 cm

1. ¿Cuánto mide la orilla de la sombrilla?

240 cm R. P.

2. Explica la estrategia que usaste para responder la pregunta.

3. Analiza las figuras y contesta las preguntas. 4 cm

4 cm

3.5 cm

4.4 cm

Figura 1

Figura 2 4.0 cm

4 cm

4 cm

4.4 cm 4 cm

a) ¿Cuántos lados tiene la figura 1?

3.7 cm

Cinco.

b) ¿Cuántos lados tiene la figura 2?

Cinco.

Oriéntate

c) ¿Cuál es el perímetro de la figura 1?

20 cm

El perímetro es la medida del contorno de una figura.

d) ¿Cuál es el perímetro de la figura 2?

20 cm

e) ¿Qué diferencias, en cuanto a la forma, observas entre la figura 1 y la 2?

R. P.

f) De acuerdo con su forma, ¿qué nombre recibe la figura 1?

Pentágono regular.

g) De acuerdo con su forma, ¿qué nombre recibe la figura 2?

Pentágono irregular.

h) Explica el procedimiento para calcular el perímetro de cada figura.

R. P.

i) Comenta tus procedimientos con tus compañeros y, entre todos, redacten uno en sus cuadernos.


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30

Lección 21 Más sombrillas: área de polígonos regulares Marina debe elaborar una sombrilla de material plastificado de colores.

30 cm 30 cm

30 cm

36.2 cm 30 cm

Un cliente le ha pedido un presupuesto para una sombrilla con las dimensiones indicadas.

30 cm 30 cm 30 cm

Al desbaratar la sombrilla, se obtienen las figuras que se ilustran.

Figura 1

Figura 2

30 cm

Figura 3

Figura 4

4. La sombrilla está formada por ocho triángulos iguales. ¿Cuál es el área de cada uno?

543 cm2 5. Describe el procedimiento que usaste para calcular el área de cada triángulo.

R. T. Base por altura entre dos. 6. ¿Cuál es el área de la sombrilla?

4344 cm2

7. ¿Qué procedimiento utilizaste para calcular el área?

R. T. Sumar ás áreas de

los triángulos. 8. Si el material plastificado cuesta $0.02 por 1 cm2, ¿cuál será el precio de la sombrilla?

$86.88 9. Lean y analicen grupalmente los procedimientos de cada compañero, discutan diferencias y semejanzas y por último redacten, en su cuaderno, una conclusión sobre el procedimiento más adecuado.

Un paso adelante 10. Reúnete con un compañero. Analicen las figuras y contesten las preguntas en su cuaderno.

Oriéntate

apotema

Figura 1

Figura 2

lado Lección 21 Bloque 2 107

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Lección 21 Perímetro y área de polígonos regulares Oriéntate La apotema es el segmento perpendicular que va del punto medio de un lado del polígono a su centro.

a) ¿Qué nombre recibe la figura 1? ¿Qué nombre recibe cada una de las piezas de la figura 2?

Octágono regular. Triángulo isósceles.

b) ¿Cómo se denomina el segmento azul de la figura 1? ¿Cómo se denomina el segmento azul

de la figura 2? Apotema. c) ¿Tienen la misma medida el segmento azul de la figura 1 y el de la figura 2? Sí. d) De acuerdo con la respuesta anterior, expliquen por qué los segmentos son similares. e) ¿Qué nombre recibe el segmento verde de la figura 1? ¿Qué nombre recibe el segmento verde

de la figura 2? Lado. f) ¿Por qué el segmento verde tiene la misma medida en ambas figuras?

Profundiza 11. Reúnete con un compañero. Analicen las figuras y contesten las preguntas.

Figura 1

Figura 2

a) Al desarmar el octágono e insertar otro de manera que se encuentren los triángulos (figura 1),

. recortar por la altura uno de los extremos y colocarlo en el otro (figura 2), ¿qué figura se forma? Rectángulo. b) Si cada lado del octágono mide 30 cm, ¿cuál será la medida de la base en la nueva figura?

240 cm c) Si la apotema del octágono mide 36.2 cm, ¿cuál será la medida de la altura en la nueva figura?

36.2 cm d) ¿Cuál es el área de la nueva figura?

868.8 cm2

e) Compartan sus procedimientos con sus demás compañeros y escriban, en su cuaderno, una conclusión.

En el ejemplo, el área del rectángulo está formada por el área de dos octágonos. Este comportamiento se da en todo polígono regular. La fórmula para calcular el área de un rectángulo es A = bh (base por altura). Como se ha analizado, la base del rectángulo es igual al perímetro del polígono; al sustituirla, se obtiene A = ph (perímetro del polígono regular por altura). La altura del rectángulo es igual a la apotema del polígono regular, por lo tanto, A = pa (perímetro del polígono regular por apotema). Para formar un rectángulo, se necesitan dos polígonos regulares; por consiguiente, para obtener el área del polígono regular, se debe dividir el área del rectángulo entre dos. Así, la fórmula para calcular el área de cualquier polígono regular es A = pa 2


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30

Lección 21 12. Calcula el perímetro y el área de los polígonos regulares.

5.19 cm

3.19 cm

Perímetro =

4.64 cm

Área =

Perímetro =

23.2 cm

37.004 cm2

Área =

5 cm

35 cm

90.825 cm2

2.43 cm

Perímetro = 3.50 cm

Área =

42 cm 51.03 cm2

Perímetro =

3.46 cm

Área =

12 cm

36 cm 62.28 cm2

13. Calcula el área de la zona sombreada. 60 cm 60 cm

5 cm

3.5 cm 37.3 cm

m

6.53 c

Área sombreada = 6399 cm2

10 cm

m

5.41 c

Área sombreada = 41.3092 cm2

14. Retoma, de manera grupal, una figura de la actividad 12; registren dudas y coméntenlas para resolverlas con apoyo de su profesor. 15. Hagan un debate grupal sobre qué es el área. Escriban, en su cuaderno, sus conclusiones.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-109a, donde se encuentran actividades para calcular áreas de figuras. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-109b, donde hay una actividad para formar polígonos con el tangram. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-109c, donde se analizan las figuras geométricas y sus superficies.


Al doblar sucesivamente un cuadrado y hacer un corte recto, se forman simetrías. Consigue un cuadrado de papel que mida 12 cm de lado, dóblalo las veces que sea necesario para obtener un octágono, recórtalo y obtén su superficie. Lección 21 Bloque 2 109

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Lección 22 Proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” Eje: manejo de la información Tema: proporcionalidad y funciones

Las fotografías de la boda: proporcionalidad

Contenido Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios.

Fabiola llevó a imprimir una fotografía que tomó con su cámara digital en la boda de su prima Jessica. En el estudio al que acudió, le explicaron que era posible imprimirla en diferentes tamaños. Tamaños disponibles para las impresiones de fotografías (en pulgadas) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3

f1 f2

f1

f3

f4

f5

f6

f7

f2

4 6

Oriéntate

7

f6

f4

5

f3

8

La pulgada es una medida antropométrica, es decir, proviene de la medición de una parte del cuerpo humano: el pulgar. Equivale a 2.54 cm.

9

f5

10 11 12 13

f7

14 15 16

Figura 1

1. Reúnete con un compañero. Efectúen lo que se indica y contesten las preguntas. a) Tracen los rectángulos de la figura 1 en papel periódico, recórtenlos y escriban un nombre

A

B

en cada uno para identificarlos: f1 para el más pequeño, f2 para el que le sigue, etcétera. Los rectángulos tienen cuatro vértices A, B, C y D como se muestra a la izquierda. b) Acomódenlos como se muestra en la figura 1 y sujétenlos con un clip. Observen que todos coinciden

en el vértice A.

D

C

i. Tracen una recta desde el vértice A del rectángulo f1 hasta el vértice C del rectángulo f7. ii. Observen que la recta pasa por el vértice C de los rectángulos f3, f5 y f7, los cuales agruparán

en una familia de rectángulos. iii. Completen la tabla: determinen las medidas de otros dos rectángulos que pertenezcan a esta

familia. Rectángulo

f3

f5

f7

f8

f9

Base (pulgadas)

10

Altura (pulgadas)

8

15 12

20 16

25 20

30 24

iv. ¿Cómo determinaron las medidas de los rectángulos f8 y f9? Explíquenlo en su cuaderno

y compártanlo con el grupo. v. Calculen la altura sobre la base para cada rectángulo y completen la tabla. Rectángulo

f3

f5

f7

f8

f9

altura base

8 10

4 8 __ o __ 5 10

4 8 __ o __ 5 10

4 8 __ o __ 5 10

4 8 __ o __ 5 10


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Lección 22 Un paso adelante 2. Reúnete con un compañero. Desarrollen los trabajos indicados y contesten las preguntas en su cuaderno. a) Tracen una recta del vértice A del rectángulo f1 al vértice C del rectángulo f6. i. La diagonal toca tres vértices C, ¿de qué rectángulos son? b) Completen la tabla con las medidas correspondientes de los rectángulos mencionados. Rectángulo

F1

F6

Base (pulgadas)

6

18

Altura (pulgadas)

4

12

base altura

2 __

2 __

3

3

base

c) ¿Qué característica comparten los valores que obtuvieron en la última fila ( altura ) de la tabla? d) ¿Por qué hay ese comportamiento en la última fila? e) ¿Cómo es la altura respecto a la base, más pequeña o más grande? En grupo, analicen el porqué de la respuesta anterior. altura

Cuando se escribe base se indica que la base está relacionada con la altura. En los rectángulos trabajados, la base es más grande que la altura. 8

En el caso del rectángulo f3, basta multiplicar la medida de la base por 10 para obtener su altura. En los rectángulos f1, f4 y f6, la última fila de la tabla muestra cómo la altura se relaciona con la base: la primera es más pequeña que la segunda, por lo tanto, se debe multiplicar la altura del rectángulo f1 por 6 para conseguir la medida de su base. 4

3. Determina los valores faltantes en esta familia de rectángulos. Rectángulo

r1

r2

r3

r4

r5

r6

r7

r8

Base (pulgadas)

10

20

30

40

70

100

150

200

Altura (pulgadas)

7

14

21

28

49

70

105

140

altura base

7 __

14 ___

21 ___

28 ___

49 ___

70 ___

105 ___

140 ____

base altura

10 __

20 14

30 ___

40 ___

70 ___

100 ___

150 ___

200 ____

10 7

20

30 21

40 28

70 49

100 70

150 105

200 140

Lección 22 Bloque 2 111

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Lección 22 Proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” Profundiza Una razón es la comparación de dos magnitudes. Por ejemplo, la base de un rectángulo está a razón de 10 = 420 respecto a su altura. Si la altura midiera 42 cm, entonces la base mediría 60 cm (42 · 10 ). 7 7 7 Es posible representar la razón por medio de una fracción: si esta es propia, significa que el valor buscado será menor que el conocido; en cambio, si es impropia, el valor será mayor que el conocido. En el ejemplo anterior, la razón era una fracción impropia, por lo tanto, el valor buscado (base) fue mayor que el conocido (altura). En la actividad 2, la familia de rectángulos estaba dada, es decir, estos cumplían con la misma razón de la altura respecto a la base o viceversa.

4. Reúnete con un compañero. Analicen el planteamiento, contesten las preguntas y completen la tabla.

En una tienda de autoservicio, se ha propuesto crear un fondo de ayuda humanitaria, así que por cada $10.00 de consumo de los clientes, la tienda donará $1.00. a) ¿Cuál es la razón del consumo respecto a la donación? Recuerda que debe ser una fracción

propia porque el consumo es mayor que el donativo. 1 __ 10

b) Completa la tabla de acuerdo con la razón anterior (multiplica el consumo por la razón). Consumo

10

12

15

20

32

50

75

80

100

Donativo

1

1.2

1.5

2

3.2

5

7.5

8

1

La proporción es la igualdad de dos razones. Para que haya una relación proporcional, se necesitan 1 2 razones equivalentes; por ejemplo, 10 = 20 . Según el contexto del problema, esta proporción significa que por cada $10.00 de consumo se donará $1.00 y por cada $20.00 se donarán $2.00.

Al resolver problemas de proporcionalidad, una razón se denomina factor constante de proporcionalidad.

Para obtener un valor faltante, se multiplica la cantidad dada por la constante de proporcionalidad. 1 Por ejemplo, en un consumo de $30.00 se donarán $3.00 porque 30 · 10 = 30 = 3. 10 c) ¿Qué cantidad se donará por un consumo de $5.00?

$0.50


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Lección 22 5. Resuelve las actividades y contesta las preguntas en tu cuaderno. a) En la colonia donde vive Juan están promoviendo el reciclaje. i. Esta semana han estado entregando a los habitantes dos cuadernos por cada 5 kg de periódico

que recolecten y entreguen en el módulo. ¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad? Si Juan juntó 15 kg de periódico, ¿cuántos cuadernos obtendrá?

0.4

6 cuadernos.

ii. Aproximadamente 73 latas pesan 1 kg de aluminio. ¿Cuál es el factor constante

de proporcionalidad? Si juntaras 34 latas, ¿qué peso tendrían?

0.46 kg

iii. En el modulo de reciclaje, pagan $70.00 por 73 latas, ¿cuánto te darían por las 34 latas?

$32.60

iv. ¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad de las latas respecto al precio? 70 ___ 73

v. Se necesitan 3.3 kg de madera para fabricar 1 kg de papel de calidad superior. ¿Cuál es

el factor constante de proporcionalidad? ¿Qué cantidad de papel se producirá con 100 kg de madera?

0.3030…

30.30 kg

vi. Describe el procedimiento que seguiste para encontrar la respuesta anterior. b) Para preparar un pastel para seis personas se requieren 450 g de harina, 150 g de mantequilla,

seis huevos y cuatro tazas de leche. i. Si se desea preparar un pastel para ocho personas, ¿cuál será el factor constante

de proporcionalidad respecto al número de ellas? 6 __ 8

ii. ¿Qué cantidad de cada ingrediente se requiere?

Harina

Mantequilla

8 = 600 450 × __ 6

8 = 200 150 × __ 6

Huevos 6×

8 __ =8 6

Leche 3×

8 __ =4 6

iii) Compara tus respuestas con las de tus compañeros, confronten y lleguen a un consenso.

Escriban una conclusión sobre el procedimiento utilizado. 6. Describe con tu grupo una situación de vida diaria cuyos valores estén en proporción directa.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-113a, donde se encuentran actividades de proporcionalidad. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-113b, donde hay problemas de proporcionalidad.

Para una tarta se necesitan 4 __12 manzanas frescas.

Consulta el video htwww.e-sm.com.mx/matret1-113c, donde se explica el uso de la proporcionalidad en la vida cotidiana.

¿Cuántas tartas se pueden preparar con 48 manzanas?


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30

Bitácora Lecciones 14 y 15 a) Analiza la tabla y contesta las preguntas en tu cuaderno. 501 511 521 531 541

502 512 522 532 542

503 513 523 533 543

504 514 524 534 544

505 515 525 535 545

506 516 526 536 546

507 517 527 537 547

508 518 528 538 548

509 519 529 539 549

510 520 530 540 550

i. Escribe los números primos que se encuentran entre 500 y 550.

503, 509, 521, 523, 541 y 547

ii. ¿Cuáles son los primeros diez números compuestos que se encuentran entre 500 y 550?

501, 502, 504, 505, 506, 507, 508, 510, 511 y 512

iii. Anota cuatro divisores de 501.

1, 3, 167, 501

b) Efectúa lo que se pide con base en los números de la tabla anterior.

R. T 502, 504, 506, 508 y 510

i. Escribe cinco números divisibles entre 2.

R. T. 501, 504, 507, 510 y 513

ii. Escribe cinco números divisibles entre 3.

R. T. 505, 510, 515, 520, 525, 530, 535, 540, 545 y 550

iii. Escribe cinco números divisibles entre 5.

R. T. 504, 511, 518, 525, 532, 539, 546, 553, 560 y 567

iv. Escribe cinco números divisibles entre 7.

Lección 16 Juan tiene tres sapitos de juguete. Al darles cuerda, los tres saltan al mismo tiempo, pero

recorren diferentes distancias en cada salto: el primero avanza 3 cm; el segundo, 5 cm; y el tercero, 4 cm. a) Si se colocan en el mismo lugar después del punto de salida, ¿a qué distancia coincidirán de

60 cm

nuevo por un mismo punto? b) ¿Cuántos saltos da cada uno?

20 saltos, 12 saltos y 15 saltos.

Sergio tiene 24 monedas de $10.00, treinta de $5.00 y cincuenta de $1.00, y desea acomodarlas en montones con igual cantidad de monedas de cada denominación. a) ¿Cuál es el máximo número de montones que puede formar con igual cantidad de monedas

de cada denominación?

2 montones

b) ¿Cuál es el mayor número de monedas que puede colocar en cada montón? 12 monedas de

$10, 15 monedas de $15 y 25 monedas de $1

Lección 17

María fue al mercado y compró 12 kg de jitomate, __14 kg de chile, 800 g de cebolla, 700 g de tomate, 3 34 kg de naranja y 1.250 kg de manzana. Si metió lo que compró en su bolsa, ¿cuánto pesó?

114

7__4 0 7.25 kg 1

Bloque 2

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Bitácora Lección 18 16 Sandra ganó un premio de $50 000.00, pero debe pagar 100 de impuestos. Repartirá el resto entre sus hijos de esta manera: 12 para el que está estudiando Medicina, 13 para el que ya se casó y lo demás para el que acaba de ser padre.

$8000

a) ¿Qué cantidad pagó de impuestos?

b) ¿Cuánto le dio a cada hijo? $21000 (estudia medicina), $14 000 (casado) y

$7000 (padre).

Lección 19

Ocho obreros construyen 17 35 m de una obra en 1 h.

2.2 m

a) ¿Cuántos metros construye cada uno en 1 h?

b) A ese ritmo de trabajo, ¿cuánto construirá un obrero en 2 34 h?

6.05 m

Lección 20 a) Traza la mediatriz de cada segmento marcado en un círculo.

i. ¿Dónde se unen las mediatrices? En el centro del círculo

b) Tres amigos cooperaron para comprar una pizza y se la dividieron en partes iguales. i. Traza una rebanada de pizza y divídela en dos pedazos iguales.

Lección 21 Copia el pentágono en una hoja, recórtalo y pégalo como creas conveniente para justificar la fórmula de su área. pa A= 2

Lección 22 Marcela estudia Arquitectura; le pidieron de tarea una maqueta de un edificio cilíndrico que

mide 30 m de diámetro y 60 m de altura. Cada metro real es igual a 1 cm en la maqueta.

30 cm

a) ¿Qué diámetro tendrá el edificio en la maqueta? b) ¿Cuál es la razón de proporcionalidad?

1 ___ 100

Bloque 2

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115

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Laboratorio de matemáticas ¿Tienes amigos? Los números amigos son parejas de números naturales que cumplen una condición: la suma de los divisores (excepto ellos mismos) de uno debe dar como resultado el otro y viceversa.

Por ejemplo, los números 1 184 y 1 210 son amigos porque • los divisores de 1 184 son 1, 2, 4, 8, 16, 32, 37, 74, 148, 296 y 592; (además de 1 184) • los divisores de 1 210 son 1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110, 121, 242 y 605; (y 1 210) • la suma de los divisores de 1 184 es 1 210, y • la suma de los divisores de 1 210 es 1 184. 1. Reúnete con un compañero y efectúen lo que se pide. a) Comprueben si 220 y 284 son números amigos. i. Divisores de 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 40, 55, 110, (y 284)

ii. Divisores de 284: 1, 2, 4, 71, 142 (y 184)

iii. Suma de los divisores de 220: 284 iv. Suma de los divisores de 284: 220 v. ¿220 y 284 son números amigos?

Sí

b) ¿Por qué consideran que se les denomina números amigos? R. P.

c) Investiguen quién descubrió los números amigos. d) Compartan sus conclusiones con el grupo.

116

Bloque 2

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En el tintero Las ramas de un árbol: números expresados como producto de primos Es posible expresar cualquier número como producto de sus divisores o factores primos.

1, 3, 5, 15

1. ¿Cuáles son los divisores de 15?

2. De los divisores de 15, ¿cuáles son primos?

3, 5

3. Observa cómo se construye en forma de árbol la descomposición de factores primos del número 15. 3 15 5 a) ¿Qué resultado obtienes al multiplicar los números primos de los extremos finales de cada rama?

15 4. Completa los árboles de factores como en el ejemplo. 2 2

Ejemplo

a)

4

6

2

2 24

48 2

2

8

6

2 4

3

2

3 b)

c)

9

5

3 108

30

3 12

2

2

6

4 2

3 Bloque 2

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Bloque 2 Evaluación Lee los planteamientos, elige la respuesta correcta y márcala en la sección de respuestas. 1. Un número es divisible entre 2 si A) la suma de sus cifras es múltiplo de 3. B) su último dígito es 0 o 5. C) su último dígito es par. D) su último dígito es 0, 2, 4, 5, 6 u 8. 2. Un número es divisible entre 3 si A) la suma de sus cifras es múltiplo de 3. B) su último dígito es 0 o 5. C) su último dígito es par. D) su último dígito es 0, 2, 4, 5, 6 u 8. 3. ¿Qué número es divisor de 5 880? A) 2

B) 3

C) 7

D) Todos los anteriores.

4. El número 58 123 es A) número primo. B) divisible entre 3. C) múltiplo de 7. D) ninguna de las anteriores. 5. Adriana tiene 24 collares y 18 pulseras; si desea acomodar el mayor número de los primeros en pequeñas cajas y la mayor cantidad de las segundas en bolsas (con el mismo número de productos en cada caja o bolsa). ¿Cuántas pulseras o collares debe haber en cada una? A) 6

B) 4

C) 3

D) 2

C) 3

D) 2

C) 3

D) 2

6. ¿Cuántas cajas utilizará? A) 6

B) 4

7. ¿Cuántas bolsas empleará? A) 6

B) 4

8. Tres amigas acuden al mismo dermatólogo y hoy coincidieron en el consultorio. Si la primera va cada cinco días; la segunda, cada siete; y la tercera, cada nueve, ¿en cuántos días se verán de nuevo? A) 35

B) 63

C) 45

D) 315

1 1 9. Gabriel compró 2 m de listón, 0.90 m de estambre, 0.60 m de espiguilla y 4 m de encaje.

Si usó el material para pegarlo en el marco de un cuadro, ¿qué perímetro cubrió?

A) 2.25 m

B) 94 m

C) 2 14 m

D) Cualquiera de los anteriores.


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1

1

10. Simón compró en el centro comercial 1 5 kg de plátanos. Si el kilogramo cuesta $13 2 , ¿cuánto pagó? A) $14 7

B) $16 15

10

2 C) $14 10

D) $13 15

1

1

11. Andrés compró 6 2 kg de cacahuates y desea empacarlos en bolsas de 5 o 200 g. ¿Cuántas podrá formar y cuánto le sobrará? A) 13 bolsas; no sobra. C) 32 bolsa; sobra

1 2

B) 32 bolsas; no sobra.

kg.

D) 32 bolsas; sobran 100 g.

12. En un museo hay tres pinturas representadas con los puntos X, Y y Z. Si la distancia XY es igual a la YZ, ¿en qué punto se podrá colocar una lámpara para que se encuentre a la misma distancia de las tres?

x

A) Punto A.

A B) Punto B.

B C

Y

C) Punto C. D) En cualquiera de los anteriores.

Z

13. ¿En qué polígono las bisectrices de sus ángulos son sus diagonales? A) Rectángulo.

B) Romboide.

C) Cuadrado.

D) Trapecio.

14. ¿Cómo son los seis triángulos que conforman un hexágono? A) Rectángulos.

B) Isósceles.

C) Equiláteros.

D) Escalenos.

15. Un kilogramo de limón cuesta $6.65; tres, $19.95; cinco, $33.25; y nueve, $59.85. ¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad de su peso-costo? A) 0.95

B) 6.65

C) 0.96

D) 6.64


B

C

D

5. A

B

C

D

9. A

B

13. A

B

C

D

2. A

B

C

D

6. A

B

C

D

10. A

B

C

D

14. A

B

C

D

3. A

B

C

D

7. A

B

C

D

11. A

B

C

D

15. A

B

C

D

4. A

B

C

D

8. A

B

C

D

12. A

B

C

D

C

D


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El uso de las matemáticas ayuda a tomar mejores decisiones, pues a partir del análisis de ciertos datos es posible elegir entre varias alternativas y emplear una estrategia eficaz o un procedimiento adecuado para resolver un problema. Por esta razón, las matemáticas se utilizan en ámbitos como la industria, el comercio o la investigación científica. Por supuesto, en la vida cotidiana también son indispensables; por ejemplo, al elegir la marca de pan blanco que ofrece más piezas por menos dinero (división de decimales), determinar cuánto se ahorrará si se compra un producto por mayoreo (multiplicación de decimales), calcular qué precio unitario tiene un paquete (ecuaciones), estimar si el costo del producto es proporcional a su tamaño, saber qué tanto se vende o se compra (registro y análisis de datos), etc. En este bloque, se presentan los conceptos matemáticos relacionados con dichos aspectos y con la geometría.

Bloque 3 120

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Aprendizajes esperados 1. Resuelve problemas que implican efectuar multiplicaciones o divisiones con fracciones y números decimales. 2. Resuelve problemas que impliquen el uso de ecuaciones de las formas x + a = b; ax = b y ax + b = c, donde a, b y c son números naturales o decimales. 3. Resuelve problemas que implican el cálculo de cualquiera de las variables de las fórmulas para calcular el perímetro y el área de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares. Explica la relación que existe entre el perímetro y el área de las figuras.

121

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Lección 23 Multiplicación de números decimales I Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: problemas multiplicativos


Los precios: multiplicación de decimales en problemas de proporcionalidad directa Gisela administra una tienda de autoservicio donde también vende postres. Para facilitar el cobro, elaboró dos tablas: en una registra el precio de rebanadas de gelatina y en otra, el de rebanadas de pastel. 1. Completa las tablas de acuerdo con la información que se proporciona y contesta las preguntas. a) Gisela divide los pasteles en nueve rebanadas cuyo precio es de $12.50 cada una; sin embargo,

también puede vender media rebanada. Rebanadas

0.5

Precio

6.25

1

1.5

12.50 18.75

2

2.5

25

31.25

3

3.5

37.5 43.75

4

4.5

50

56.25

$112.50

i. ¿Qué precio tiene el pastel completo?

ii. Escribe el procedimiento que seguiste para completar la tabla.

R. T. Sumar 6.25 cada vez

$168.75

iii. Si se comprara 1.5 rebanadas de pastel, ¿cuánto se pagaría?

b) También ella divide las gelatinas en once partes iguales que cuestan $11.20 cada una. Al igual

que los pasteles, puede vender la mitad de una rebanada. Rebanadas

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Precio

5.6

11.2

16.8

22.40

28

33.6

39.2

44.8

50.4

i. ¿Qué precio tiene una gelatina completa?

$123.20

c) ¿Cuánto se pagará por dos gelatinas completas y 1.5 rebanada de pastel?

$258.90

d) ¿Cuánto se pagará por 3.5 rebanadas de pastel y por media rebanada de gelatina?

$49.35 e) Azucena compró 1.5 rebanadas de pastel y su amiga, Carolina, desea comprar gelatina, pero

no quiere gastar más que Azucena. ¿Cuál es la máxima cantidad de rebanadas que puede comprar? 1 1 R. T. __2 , 1 o 1__2 rebanada

2. Comparte con tus compañeros tu procedimiento o estrategia para completar las tablas del ejercicio anterior. Registren dudas y comenten de manera grupal cómo resolverlas.


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Lección 23 Un paso adelante 3. Reúnete con un compañero y contesten los planteamientos. a) Las medidas de una cancha de basquetbol varían de acuerdo con los países donde se lleven a cabo

los partidos y las distintas asociaciones o confederaciones que participen, pero los estándares son de 12.8 m a 15.2 m en el lado más corto y de 22.5 m a 28.6 m en el largo.

Oriéntate i. Calcula el área de una cancha con 12.8 m de ancho y 22.5 m de largo.

Tres cifras decimales Multiplicar 3.14 × 4.5

2

288 m

ii. Calcula el área de una cancha que mida 13.15 m de ancho y 26.35 m de largo.

355.725 m2 iii. ¿Cuál es el área de la cancha más grande según los estándares?

314 × 45 1 570 1 256 14.130

Multiplicando Multiplicador Resultados parciales Suma final

2

434.72 m

Tres cifras decimales

Multiplicación de dos números decimales 1. Se efectúa la operación sin que se considere el punto decimal de cada factor. 2. En el resultado, se cuenta de derecha a izquierda el número de cifras equivalente a los decimales de los factores, y se coloca el punto a la izquierda de la última cifra contada. b) Calcula la longitud del segmento mediante una multiplicación.

1.92 m

c) El túnel ferroviario más largo del mundo es el de Seikan, en Japón; mide 33.42 millas. ¿Cuál es

su longitud en kilómetros si cada milla equivale a 1.609 km?

53.78 km d) Juan Carlos gana $36.60 por hora, ¿cuánto deberá cobrar por 8.25 h?

$301.95

e) Si Ernesto caminó 3.2 km en media hora a una velocidad constante, i. ¿qué distancia recorrerá en 1.5 h? ii. ¿qué distancia recorrerá en 2.25 h?

9.6 km 13.6 km

f) Si Carmen hornea 1.5 kg de galletas en 1 h, ¿cuántos kilogramos horneará en 2.5 h?

3.75 kg 4. Comparte con tu grupo las dudas que hayan surgido de los problemas anteriores y comenten cómo resolverlas Lección 23 Bloque 3 123

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Lección 23 Multiplicación de números decimales I Profundiza 5. Completa las tablas de acuerdo con la información proporcionada. a) En una empresa familiar mazahua se bordan bellos tapetes. Por cada metro de tapete elaborado

obtienen $150.50. Metros

1

1.25

1.50

1.75

2

2.25

2.50

2.75

3

3.25

150.5 188.12 225.75 263.37 301 338.62 376.25 413.87 451.5 489.12

Precio

b) En la fábrica El Muro se elaboran diez ladrillos cada 20 min. Una vez que salen del horno, se dejan

reposar sobre el piso (sin encimarlos) para que se enfríen a la temperatura ambiente. Anota qué superficie cubren considerando que un ladrillo mide 32.4 cm de largo y 12.5 cm de ancho.

Superficie en cm2 Ladrillos

10

20

30

Superficie 4 050 8 100

40

50

60

70

80

90

100

12 150 16 200 20 250 24 300 28 350 32 400 36 450 40 500

6. Reúnete con un compañero y resuelvan los problemas.

$156.00

a) Si el kilogramo de uvas cuesta $32.50, ¿cuánto se pagará por 4.8 kg?

b) Angélica compró en el mercado. Al llegar a casa, su mamá le preguntó cuánto había gastado.

Completen la tabla donde están registradas sus compras para conocer la respuesta que le dio.

Producto

Cantidad comprada (kg)

Precio por kilogramo ($)

Monto pagado

manzanas

0.30

23.50

7.05

guayabas

1.250

12.75

15.93

jitomates

2.125

23.50

49.93

jícamas

0.750

6.50

4.875

peras

0.600

32.80

19.68

chiles habaneros

0.100

99.99

9.999

Total

107.464

i. ¿Qué productos tienen el mismo precio por kilogramo?

Manzanas y jitomates

ii. ¿Qué producto es el más barato de acuerdo con su precio por kilogramo?

Jícamas

iii. Comenten sobre el procedimiento para completar la tabla anterior. Corrijan si es necesario.

124 Bloque3 Lección 23

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Lección 23 c) Patricia está decorando su habitación, pero se le terminó el papel tapiz. Solo le falta cubrir una

pared que mide 8.5 m de largo y 2.85 m de alto, y en cuyo centro hay una ventana de 2.5 m de ancho por 1.35 m de alto. 8.5 m 2.5 m 1.35 m

2.85 m

24.225 m2

i. ¿Qué superficie tiene la pared? ii. ¿Qué superficie tiene la ventana?

3.375 m2

iii. ¿Cuántos metros cuadrados de papel tapiz debe comprar?

20.85 m2

iv. Si cada metro cuadrado de papel tapiz cuesta $95.80, ¿cuánto pagará por el que le falta?

$1997.43 d) Una caja contiene 45 bolsas de paletas. Si el peso de cada bolsa es de 0.85 kg, ¿cuánto pesarán todas?

38.25 kg e) Juan tiene 7 años y mide 50.5 pulgadas. ¿Cuál será su altura en metros si cada pulgada

equivale a 0.0254 m?

1.28 m

f) Andrés leyó en Internet una receta en que se requieren 1.50 libras de carne de cerdo. Si cada

libra equivale a 0.454 kg, ¿cuántos kilogramos de carne necesitará?

0.681 kg

7. Escribe en tu cuaderno un comentario sobre la multiplicación vista como una síntesis de sumas sucesivas de una misma cantidad. 8. Comparte tu comentario con el grupo y discutan sus puntos de vista. Lleguen a un acuerdo común y redacten en su cuaderno una breve conclusión.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-125a, donde se encuentran actividades interactivas de multiplicación de decimales. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-125b, donde se explica cómo se multiplican los números decimales. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-125c para practicar la multiplicación de números decimales.

Para la bitácora

En una autopista de cuota recorrer un tramo cuesta $18.97 más $3.03 de IVA, lo que da un total de $22.00. Si se utiliza cinco veces a la semana, ¿cuánto se pagará de IVA?

Resuelve las actividades correspondientes a la lección 23 en la bitácora de la página 178. Lección 23 Bloque 3 125

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Lección 24 Multiplicación de números decimales II Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: problemas multiplicativos

Aumenta o disminuye: reflexionar sobre la multiplicación de decimales


1.2 m

1. Observa los diseños geométricos y contesta las preguntas.

1.2 m

0.6 m

0.3 m

Figura 1

Figura 2

a) ¿Qué área tiene la figura 1?

1.44 m2

b) ¿Cuál es el área de la pieza azul en la figura 1?

0.36 m2 La mitad

c) ¿Qué parte de la superficie de la figura 1 representan las piezas azul y morada? d) ¿Qué área tienen las piezas azul y morada? e) ¿Cuál es la medida del área de cada pieza azul en la figura 2? f) ¿Qué área tienen las piezas azules en la figura 2?

0.72 m2 0.18 m2 1.44 m2

g) En la figura 2, ¿qué piezas ocupan mayor superficie, las azules o las amarillas? h) ¿Cuál es el área de todas las piezas blancas en la figura 2?

Las azules

0.72 m2

2. Comparte con el grupo los procedimientos que usaste para responder las preguntas anteriores; comenten dudas y concluyan con la redacción de un procedimiento.

Un paso adelante 3. Resuelve los problemas. a) Azucena compró medio metro de resorte. Si el metro costaba $10.80, ¿cuánto pagó?

$5.4

b) Para preparar la comida, Yolanda necesita 750 g de carne de res. Si el kilogramo cuesta $69.90,

$52.425

¿cuánto pagará?

c) Iván trabaja en una dulcería; hoy un cliente le solicitó 2.5 kg de chocolates. Si el kilogramo

cuesta $35.20, ¿cuánto deberá cobrarle?

$88.00 d) Si el litro de leche cuesta $13.50, ¿cuánto costarán 3.5 L?

$47.25


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30

Lección 24 4. Lee los planteamientos y resuélvelos. a) La profesora Judith tiene dos mesas en el salón de clases y desea cubrir la de menor área

con un cristal protector. 0.98 m × 0.90 m

1.1 m × 0.3 m

Figura 1

Figura 2

figura 2

i. ¿Cuál es la mesa de menor área?

b) En la hortaliza de la escuela se quiere sembrar una hilera de calabacitas. Por ello, se colocará cada

planta a una distancia de 0.95 m.

7.6 m

i. ¿Cuánto medirá la hilera de calabacitas si se quieren sembrar ocho plantas?

ii. Efectúa la operación que expresa el planteamiento anterior y escribe el resultado.

7.6 m

0.95 + 0.95 + 0.95 + 0.95 + 0.95 + 0.95 + 0.95 =

8(0.95) = 7.6 m

iii. ¿Cómo lo expresas mediante una multiplicación?

c) En la Central de Abasto, el kilogramo de calabacita se vende en $6.50 al mayoreo. i. ¿Cuánto se pagará por 10 kg?

$65.00

ii. ¿Cuánto se pagará por 100 kg?

$650.00

iii. Observa el comportamiento del punto decimal en los resultados anteriores. ¿Qué ocurre

cuando un número decimal se multiplica por 10, 100, 1 000, etc.? Responde en tu cuaderno y comenta con tus compañeros. Se recorre el punto a la derecha 1

3

d) Antonio fue al mercado y compró 2 kg de plátano (el kilogramo costaba $8.60), 4 kg de fresas

(el kilogramo costaba $12.00) y 1 kg de manzana (el kilogramo costaba $32.00). Para saber 4 1 cuánto pagó por el plátano, usamos la expresión 2 × 8.6, pero lo cambiamos a 0.5 × 8.6 si queremos facilitar el cálculo. i. ¿Cuánto pagó Antonio por toda la fruta?

$21.3

ii. ¿Qué cantidad de fruta compró? Exprésala con un número decimal.

1.5 kg

5. Haz, de forma grupal, un análisis sobre diferencias y similitudes que se observan en las siguientes operaciones: __12 + __12 y 0.5 + 0.5.

En la multiplicación con decimales se pueden usar varias técnicas: a) la suma iterativa, es decir, cuando se simplifica una suma (0.5 + 0.5 + 0.5 = 3 × 0.5); b) el ajuste decimal, esto es, cuando se multiplica un decimal por potencias

de 10 (0.005 × 10 = 0.05; 0.005 × 100 = 0.5; 0.005 × 1 000 = 5); 1

c) la conversión de fracciones en decimales ( 2 × 3 = 0.5 × 3), y d) el algoritmo tradicional. Lección 24 Bloque 3 127

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30

Lección 24 Multiplicación de números decimales II Profundiza 6. Reúnete con dos compañeros. Contesten las preguntas, pero sin que efectúen las operaciones. a) Al multiplicar 0.034 por 0.2, ¿cuántas cifras decimales tendrá el resultado?

4

b) Al multiplicar 0.89 por 0.1, ¿el resultado será mayor o menor que la unidad?

menor

c) Al multiplicar 1 por 0.8, ¿el resultado será mayor o menor que la unidad?

menor

d) Al multiplicar 0.1 por 1.1, ¿el resultado será mayor o menor que la unidad?

mayor

Al multiplicar dos números naturales, el producto es mayor que los factores, pero al multiplicar dos números decimales, el resultado puede ser a) menor que ambos factores, si estos son menores que 1, b) mayor que ambos factores, si estos son mayores que 1, c) o ubicarse entre ambos factores, si uno de ellos es mayor que 1 y el otro, menor que 1.

7. Escribe el número que falta en cada caso. a) 0.2 ×

5

=1

b) 1.2 ×

0.5

= 0.60

c) 0.5 ×

2

=1

d) 2.7 ×

3

= 8.1

e) 0.1 ×

10

=1

f) 3.4 ×

3

= 10.2

8. Resuelve el problema.

Supón que un dólar se vende en $10.39 y se compra en $10.10. a) Si Fabiola cambió 38.50 dólares a pesos, ¿cuánto le dieron? b) ¿Cuántos pesos recibirá por 90 ¢ de dólar?

$388.85

$9.09

c) Completa la tabla; convierte el precio de cada prenda en pesos. Compara tus resultados con los

de tus compañeros. Registren sus dudas y comenten cómo resolverlas. Prenda

Dólares estadounidenses

Pesos mexicanos

pantalón

35.50

$358.55

vestido

48.10

$485.81

blusa

28.90

$291.89

falda

33.70

$340.37


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30

Lección 24 9. Calcula mentalmente las operaciones y escribe dentro del paréntesis V si la frase es verdadera o F si es falsa. a) El producto de 3.2 por 0.9 es menor que 3.2. ( V ) b) El producto de 1.3 por 1.3 es menor que 1.3. ( F ) c) El producto de 0.8 por 0.8 es mayor que 0.8. ( F ) d) El producto de 0.9 por 1.2 es igual a una cantidad mayor que 0.9 y menor que 1.2. ( V ) e) El producto de 1.9 por 0.99 es mayor que 0.99. ( V ) 10. Resuelve los problemas. a) Una moneda de $5.00 tiene una masa de 7.5 g. Si tengo $200.00 en monedas de $5.00,

300 g

¿cuánto pesarán en total?

b) El valor nutricional de 100 g de huevo se indica a continuación.

Carbohidratos Grasas Proteínas Agua Otros

1.12 10.6 12.6 75 0.68

g g g g g

11.2 g

i. ¿Cuántos carbohidratos hay en 1 kg de huevo? ii. ¿Cuánta grasa hay en __12 kg de huevo?

53 g

iii. Si cada huevo pesa 50 g, ¿cuánta proteína tendrá?

6.3 g

11. Organiza con tu grupo un debate sobre el siguiente planteamiento: "Cuando multiplicas dos números enteros, el resultado es igual o mayor que los factores, pero, ¿qué sucede cuando los factores son menores que la unidad y mayores que 0?". Escriban, en su cuaderno, una breve conclusión.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-129a, donde se encuentran actividades de multiplicación de decimales. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-129b, donde se explica cómo multiplicar números decimales por potencias de 10. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-129c, donde se muestra un uso de los números decimales en la astronomía.

Para la bitácora

En el futbol americano el avance de un equipo se mide en yardas; cada unidad equivale a 0.9144 m. Si un campo tiene 120 yardas de largo, ¿cuántos metros medirá?


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Lección 25 División de números decimales I Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: problemas multiplicativos

Contenido Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.

Consumo de gasolina: división de números decimales Cada vehículo consume diferente cantidad de combustible, según el tamaño de su motor y la tecnología que usa.

Tipo de vehículo

Eficiencia de combustible en la ciudad (km/L)

Eficiencia de combustible en carretera (km/L)

Promedio de eficiencia de combustible (se suman las dos eficiencias y el resultado se divide entre 2)

Híbrido

21.80

25.40

23.6

Subcompacto

17.40

21.70

19.55

Deportivo

9.95

17.81

13.88

Camioneta

11.35

16.11

13.73

EcoVehículos. Recuperado de http://www.ecovehiculos.gob.mx/

1. Completa la tabla anterior y responde las preguntas. a) ¿Cuántos litros de gasolina consume el vehículo híbrido al recorrer 65.4 km en la ciudad? 3 L b) ¿Cuántos litros de gasolina consume aproximadamente el vehículo híbrido al recorrer 100 km en

la ciudad?

Oriéntate Para funcionar un vehículo híbrido combina un motor de gasolina y un motor eléctrico.

4.58 L

c) Con 10 L de gasolina, ¿qué vehículo llegaría más lejos en carretera?

¿Cuántos kilómetros recorrería?

híbrido,

254 km

d) Si la camioneta tiene un tanque de gasolina con capacidad de 80 L, ¿cuántos kilómetros reco-

rrerá considerando su promedio de eficiencia de combustible?

Oriéntate El consumo de combustible se mide en kilómetros por litro. Esto significa que un automóvil recorre ciertos kilómetros con 1 L de gasolina, lo cual se simplifica con los símbolos km/L.

1098.4 km

e) El vehículo deportivo tiene un tanque de gasolina con capacidad de 100 L. Calcula la distancia

que puede recorrer con esta cantidad en la ciudad, en carretera y su promedio de consumo. Kilómetros recorridos en ciudad

Kilómetros recorridos en carretera

Kilómetros recorridos en promedio de consumo

995

1 781

1 388

f) Con 250 mL de combustible, ¿cuántos kilómetros recorrería un vehículo subcompacto

en la ciudad?

4.35 km

g) Compara con tus compañeros tus respuestas de los incisos e) y f). Identifiquen dudas y dificultades

y comenten cómo resolverlas.


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30

Lección 25 Un paso adelante 2. Resuelve los planteamientos. a) El diámetro de una moneda de $10.00 es de 2.8 cm. Si Julián formó con monedas una fila que mide

4

11.2 cm, ¿cuántas hay en ella?

i. Una forma de expresar el problema anterior es mediante el uso de restas sucesivas.

11.2 – 2.8 = 8.4 8.4 – 2.8 =5.6 5.6 – 2.8 = 2.8 2.8 – 2.8 = 0 ii. ¿Cuántas veces se restó 2.8? 4 iii. ¿Cómo se expresa esta resta reiterada mediante una división?

11.2 _ =4 2.8

b) En una bolsa que pesa 480.74 g hay varias monedas de $10.00. Si cada una tiene un peso de 11.18 g,

¿cuántas monedas habrá en la bolsa?

43

c) ¿Cuántos aleteos da un colibrí en 1 min si aletea cada 0.0125 s?

4800

d) Laura tiene un listón que mide 17.75 cm. Si lo divide en cinco partes, ¿cuánto medirá cada trozo?

3.55 cm e) Felipe es atleta y entrena en una pista de carreras. Si le da ocho vueltas y media a la pista durante 17 min,

¿cuánto tardará en dar una vuelta?

2 minutos

3. Calcula la medida de cada lado de los polígonos regulares.

Perímetro = 21.29 cm Lado =

4.258


5.105


3.52


2.005

4. Analiza, de forma grupal, tus procedimientos para solucionar la actividad anterior. Escriban, en su cuaderno, una conclusión. Lección 25 Bloque 3 131

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30

Lección 25 División de números decimales I Profundiza Para dividir un número decimal entre otro que no lo es, se lleva a cabo lo siguiente. a) Se efectúa la división sin considerar el punto decimal. b) Al cociente se le agrega el punto decimal a tantas cifras (contándolas de derecha a izquierda)

como tenga el dividendo. Divisor

3. 0 5 1 5. 3 0 3

Cociente Dividendo Residuo

c) Se pueden agregar más ceros en el dividendo y el resultado será más exacto.

3. 0 6 5 1 5. 3 0 0 30 0

5. Efectúa los cálculos correspondientes en cada problema. a) El papá de Toño tiene un terreno y quiere cercar únicamente un lado cuya longitud mide 19.65 m.

Además desea colocar siete postes separados a la misma distancia para sujetar un alambrado. ¿A qué distancia debe poner cada uno?

2.8 m

b) Patricia participó en las jornadas de reforestación en el parque de la colonia. Le pidieron sembrar

doce árboles en un extremo del parque, el cual mide 33.6 m. Si deben quedar separados a la misma distancia uno del otro, ¿cuánto medirá la separación entre ellos?

2.8 m

c) Charo compró una serie de luces navideñas para adornar la fachada de su casa. Si la serie mide

8.5 m y tiene 75 luces que están separadas a la misma distancia, ¿a cuántos centímetros estará una luz de otra?

0.11 m


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Lección 25 6. Resuelve los problemas en tu cuaderno. a) Andrea tiene una cinta bordada que mide 6.5 m y quiere dividirla en ocho trozos. ¿Cuánto

medirá cada pedazo?

0.825 m

b) Julio es albañil y tiene diez trozos y medio de varilla que pesan 36.75 kg. ¿Cuál es el peso

de cada trozo?

3.5 m

c) Rodolfo preparó 7 L de agua de horchata. Si la sirve en vasos de 355 mL, ¿cuántos llenará?

19 vasos

d) La hortaliza escolar tiene una superficie de 45.3 m2. Si se han formado seis equipos para

sembrar vegetales, ¿cuánto terreno corresponderá sembrar a cada uno? 7.55 m2 por equipo e) Ana tiene un reproductor MP3 que guarda 23.5 h de música. Si cada canción dura en promedio

2.5 min, ¿cuántas canciones guardará aproximadamente? 564 canciones f) Enrique cambió en el banco 28 dólares y le dieron $288.96. ¿Cuál fue el valor del dólar

en pesos? $10.32 g) Juan Carlos tiene 2.25 h para leer un libro de 90 páginas. ¿Cuántas leerá durante 1 min?

1.5 páginas por minuto

h) Marisela compró un bulto de azúcar que pesa 48.7 kg. Si desea llenar bolsas de 0.9 kg, ¿cuál

es la cantidad máxima de bolsas que utilizará? ¿Qué cantidad de azúcar le sobrará?

54, 100 g

i) Una barra metálica mide 12.75 m y se desea dividir en pequeñas barras de 0.50 m. i. ¿Cuál es el número máximo de piezas de 0.50 m que es posible obtener?

25

ii. ¿Qué longitud de la barra original sobrará?

0.25 m 7. Busca con tu grupo diferentes estrategias de solución para la división de 0.5 entre 5. Escribe una conclusión.

R. P.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-133a, donde se encuentra una actividad para dividir decimales. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-133b, donde hay un juego de división de decimales. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-133c, donde se explica cómo dividir decimales.

Para la bitácora

Usualmente las frutas y verduras se venden por kilogramos. Investiga el precio de tus tres frutas favoritas y calcula cuánto se pagará por 125 g de cada una.


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Lección 26 División de números decimales II Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: problemas multiplicativos

Contenido Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.

Los precios: división de números decimales Esther se ha propuesto ser más cuidadosa al comprar en el supermercado. Para ello, comparará marcas, precios y cantidad de productos. 1. Completa la tabla y elige el producto más económico. Producto

Contenido (kg) Precio ($)

Precio unitario ($/kg)

¿Qué marca es la más económica?

32

Cereal azucarado (marca 1)

0.850

27.20


0.5

18.50

37


0.9

31.50

35

Chocolate en polvo (marca 1)

0.6

48.90

81.5

Chocolate en polvo (marca 2)

0.980

78.89

80.5

Leche en polvo (marca 1)

3.550

113.60

32

Leche en polvo (marca 2)

1.2

37.50

31.25

1

2 2

2. Reúnete con un compañero. Efectúen lo que se pide y respondan, en su cuaderno, los planteamientos derivados de la tabla anterior. a) Redacten el procedimiento que siguieron para determinar qué cereal es el más económico.

R. P.

b) Si se mezclaran los tres cereales azucarados en partes iguales y se promediaran sus precios,

¿cuánto costaría el kilogramo de cereal compuesto?

$34.6

c) Para obtener 1 kg de leche con chocolate en polvo, se mezclan 750 g de leche en polvo de la marca

2 y 250 g de chocolate en polvo de la marca 1. ¿Cuánto costarán 250 g del producto mezclado?

$10.95 3. Resuelve los planteamientos y anota los resultados. a) Jacinto desea colocar losetas adheribles en la sala de su casa (quiere pegarlas una junto

a otra). Cada pieza es cuadrada y mide 33.5 cm de lado. Si la longitud de la sala es 5.36 m, ¿cuántas losetas necesitará?

16 losetas

b) En el piso de la cocina, Jacinto pegará otro tipo de loseta adherible. Si la longitud de la cocina

es de 3.96 m y coloca exactamente doce losetas y media, ¿cuánto medirá cada una? 31.68 cm c) Un atleta profesional recorre una pista de 412.5 m a una velocidad constante de 2.75 m/s.

¿En cuántos segundos completará una vuelta si mantiene esa velocidad?

150 s

d) La medida que tiene el área de un rectángulo es de 23.68 m2. Si uno de los lados mide 3.7 m,

¿cuánto medirá el otro?

6.4 m

4. Reúnete con un compañero y comparen sus respuestas de la actividad 3. Escriban una conclusión sobre el procedimiento usado para resolver los problemas.


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Lección 26 Un paso adelante 5. Reúnete con dos compañeros y resuelvan los problemas. a) Al reciclar una lata de aluminio, se ahorra energía suficiente para hacer que funcione un televisor

durante 3.5 h. ¿Cuántas latas se necesitarán para generar energía suficiente que haga funcionar un televisor durante 73.5 h?

21 latas

b) Para producir 1 t de aluminio se necesitan 4 385.63 kg de bauxita (óxido de aluminio hidratado).

¿Cuántos kilogramos de este elemento se requieren para obtener 0.25 t de aluminio? 1096.4075 kg c) En el depósito municipal, se paga el kilogramo de lata de aluminio a $70.00. Si este incluye cerca de 73 latas,

¿cuál será el costo aproximado de cada una?

$0.95

d) Las pilas se fabrican con elementos químicos considerados tóxicos. En promedio, 14.5 pilas

alcalinas contaminan 6.5 millones de litros de agua. ¿Qué cantidad de agua se contamina

448 275.86 litros

con una sola?

e) Se requieren 18.7 t de petróleo para fabricar 3.74 t de plástico. ¿Qué cantidad de petróleo

se necesita para producir 1 t de plástico?

5t

f) Para fabricar 1 t de vidrio se requieren 665.40 kg de arena sílica (bióxido de silicio).

¿Qué cantidad de arena se necesita para producir 0.4 t de vidrio?

266.16 kg

g) Con cada tonelada de vidrio que se recicla, se ahorra energía equivalente a la que se produce

con 136 L de petróleo y se sustituyen 1.2 t de materia prima. Si se reciclan 1.30 t de vidrio, ¿qué cantidad de materia prima se sustituirá?

1.56 t

h) Cada persona genera diariamente alrededor de 1.4 kg de basura. Si, en promedio, un individuo

duerme 8.5 h al día, ¿cuánta basura produce en promedio por cada hora que se mantiene despierto?

21.7 kg i) En un laboratorio se fabrica un medicamento; a cada pastilla se le incorporan 0.27 g de sustancia

activa. Si se dispone de 37.53 g de esta sustancia, ¿cuántas pastillas será posible producir?

139 j) En una campaña de reciclaje llevada a cabo en una colonia, durante 6:20 h se recuperaron 49.72 kg

de latas de aluminio. Si la aportación fue constante, ¿cuántas latas se reunieron por hora?

7.85 latas 6. Elige, de manera grupal, un problema del punto 4 y compartan sus resultados. Analicen las diferentes estrategias o procedimientos de solución. Escriban, en su cuaderno, una conclusión. Lección 26 Bloque 3 135

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Lección 26 División de números decimales II Profundiza 7. Resuelve los problemas. a) Tres amigos se reúnen para comer la mitad de una pizza. Si la dividen en partes iguales,

__1 de pizza 6

¿qué parte del total de la pizza corresponderá a cada uno?

i. El planteamiento anterior se puede indicar con la siguiente expresión. __1 ÷ 3 2

1

Al convertir la fracción 2 en decimal, es posible reescribir la división como sigue. 0.5 ÷ 3

__1

ii. ¿Cuál es el resultado de la división?

6

b) En el taller de danza folclórica, la profesora Irene repartirá un listón que mide 74.75 m entre diez

bailarinas. i. ¿Cuánto medirá cada trozo de listón?

7.475

ii. Si fueran 100 bailarinas, ¿cuánto mediría el trozo de listón que correspondería a cada una? 0.7475 iii. Observa el comportamiento del punto decimal en tus resultados anteriores. ¿Qué ocurre cuando

una cantidad decimal se divide entre 10, 100, 1 000, etcétera?

R. T. El punto decimal se recorre a la izquierda tantos lugares como ceros tenga el divisor. Para dividir decimales, pueden usarse varias técnicas: a) la resta iterativa, Se restó 2.4 tres veces, por lo que 7.2 ÷ 2.4 = 3.

7.2 – 2.4 = 4.8 4.8 – 2.4 = 2.4 2.4 – 2.4 = 0

b) el ajuste decimal (cuando se divide un decimal entre potencias de 10),

0.5 ÷ 10 = 0.05 0.5 ÷ 100 = 0.005 0.5 ÷ 1 000 = 0.0005

El punto decimal del dividendo se recorre a la izquierda tantos lugares como ceros tenga el divisor. 1

c) la conversión de fracciones en decimales, por ejemplo 2 ÷ 3 = 0.5 ÷ 3, d) el algoritmo tradicional (procedimiento descrito en la lección anterior).

8. Reúnete con un compañero y resuelvan los problemas. a) En una página de Internet se venden latas de galletas de 2.3 kg a $299.90. En la tienda se venden

las mismas galletas a granel y el kilogramo cuesta $130.00. ¿Dónde conviene más comprarlas?

En la tienda. 136 Bloque 3 Lección 26

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Lección 26 b) Lucía compró una estufa en abonos a un precio de $3 564.80. El vendedor le indicó que sus abonos

mensuales serían de $111.40. ¿En cuánto tiempo terminará de pagarla?

32 meses c) Si Francisco caminó 5.4 km en 1.2 h, ¿qué distancia recorrió en 60 min?

4.5 km d) Un herrero cortó una barra de metal que medía 14.80 m en trozos de 0.25 m.

59

i. ¿Cuántas barras pequeñas obtuvo?

0.05 m

ii. ¿Qué cantidad de material sobró? 9. Resuelve los problemas con polígonos.

a) Calcula la medida de uno de los lados iguales del triángulo isósceles, cuyo lado desigual mide

la mitad de uno de los lados iguales. Perímetro 15.26 cm

6.104 cm, lado diferente mide 3.052 cm

b) Calcula cuánto mide la base de los rectángulos; considera que su altura es 0.75 veces la medida

de la base. P = 31.5 cm

9

i. Base =

P = 63 cm

ii. Base =

18

P = 20.3cm

iii. Base =

5.8

c) Comparte con tus compañeros tus procedimientos para resolver la actividad del inciso anterior. 10. Analiza con tu grupo el comportamiento de una cantidad decimal cuando se divide entre múltiplos de 10. Consideren un caso como ejemplo. Escriban, en su cuaderno, las conclusiones a las que lleguen.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-137a, donde se encuentran actividades para efectuar diversas operaciones, entre ellas la división de decimales. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-137b, donde hay divisiones de decimales. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-137c, donde se explica el origen de los números.

De medio limón se extrae 0.002 L de jugo. Si en una tienda se vende __12 L en $40.00, ¿cuánto costará el jugo de un limón?


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Lección 27 Ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: patrones y ecuaciones

Compras: formulación de primeras ecuaciones

Contenido

1. Lee el planteamiento y responde lo que se pide en tu cuaderno.


a) Juan Carlos llevaba $1 200.00 cuando fue al supermercado. Después de comprar varios artículos,

le sobraron $405.00. ¿Cuánto gastó? $795.00 b) En el problema del inciso anterior, hay dos cantidades conocidas: la que tenía al principio y la que le sobró,

¿qué cantidad se desconoce? Lo que gastó c) ¿Qué tipo de cálculo efectuaste para resolver el problema? Escribe el procedimiento.

Una resta: 1 200 – 405 = 795 Para resolver una ecuación, se debe encontrar un número con el que se cumpla la igualdad. En el caso anterior, si se nombra con la letra x la cantidad de dinero que gastó Juan Carlos y se expresa el problema en lenguaje algebraico, se obtiene la siguiente ecuación. x + 405 = 1 200 Dinero que gastó Dinero que le sobró Total de dinero que tenía

Oriéntate Las igualdades también son usadas para representar una equivalencia de dos cantidades o expresiones.

2. Lee el planteamiento y contesta las preguntas.

José Luis es dueño de una tienda de abarrotes en la que vende productos a granel. Para pesar pequeñas porciones, usa una balanza. 3

a) Un cliente le pidió 750 g de azúcar para repostería. Entonces José Luis colocó una pesa de 4 kg

en uno de los platos de la balanza y una bolsa empacada de 350 g de azúcar en el otro. ¿Cuánta azúcar falta para que los platos de la balanza se equilibren?

400 g

b) La balanza es un buen ejemplo para comprender mejor el concepto de igualdad, pues se debe

mantener el equilibrio. Lo mismo sucede en esta operación. (

)+ (

) =9

Es posible colocar diferentes números que cumplen o preservan la igualdad, pero ¿cómo señalarlos cuando son diferentes? Al usar la letra x para indicar un número y la letra y para otro. Así, se escribe la expresión anterior. x+y=9 i. ¿Cómo se expresa con letras que el número colocado en ambos espacios es el mismo?

( x

)+ ( x ) =9

ii. Completa la tabla. Comparte las respuestas con tus compañeros. Expresión algebraica

x+y=9 x + 405 = 1 200

x+x=9

Expresión verbal La suma de dos números diferentes es igual a nueve.

La suma de un número y cuatrocientos cinco es igual a mil doscientos La suma de dos números iguales equivale a nueve.


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Lección 27

Una ecuación es una igualdad en la que, por lo menos, hay un número desconocido denominado incógnita. En la ecuación de primer grado hay incógnitas con exponente 1. Por ejemplo, x, y o z, pero no x 2, y 3 o z 4.

Un paso adelante Coeficiente Es usual que un coeficiente 1 (igual que un exponente 1) no se escriba; así que la ecuación 1x1 + 2 = 10 se expresa como x + 2 = 10. El esquema en la derecha muestra los nombres de los componentes de una ecuación.

Exponente Constantes

3 x4 + 5 = 30 Operador Variable o incógnita

3. Efectúa, en tu cuaderno, lo que se pide a partir de la expresión dada.

13 + x = 20 a) Escribe cómo se expresa verbalmente la ecuación anterior.

Trece más un número es igual a veinte

b) Redacta un problema cuyo planteamiento conduzca a dicha ecuación.

R. P.

c) Resuelve la ecuación (encuentra el valor de la incógnita).

x = 20 – 13, x = 7 4. Reúnete con un compañero. Analicen el planteamiento, completen la tabla y respondan las preguntas en su cuaderno.

Enrique construyó las figuras que se muestran con palillos.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Figura

1

2

3

4

5

6

7

Número de palillos

4

5

6

7

8

9

10

Figura 5

a) Observen que la secuencia de palillos sigue una regla determinada. Escriban cuál es.

El lugar que ocupa la figura más tres/ El número de la figura más tres

b) ¿Cómo se determina el número de palillos necesarios para construir cualquier figura sin contarlos?

Número de figura más tres

c) Escriban una fórmula que les permita obtener la cantidad de palillos necesarios para formar

cualquier figura. Utilicen la letra x para representar el número de figura.

x+3

d) ¿En qué número de figura se necesitan 68 palillos?

x + 3 = 68, x = 65

e) Anoten el procedimiento que usaron para responder la pregunta anterior. Confróntenlo con el de

sus compañeros y escriban una conclusión.

68 – 3 = 65 Lección 27 Bloque 3 139

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$0

Lección 27 Ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b Profundiza En una ecuación, debe haber igualdad entre las expresiones; a las expresiones de cada lado de la igualdad se les denomina miembros que se relacionan por medio de operaciones matemáticas. Para plantear una ecuación a partir de un problema, se efectúa lo que se indica en la tabla. Se asigna una letra (x, y, z o alguna otra) al número desconocido.

Definición de la incógnita

Se escribe una igualdad en la que esté involucrada la incógnita.

Escritura de la ecuación

En el problema anterior, el número de la figura representa la incógnita; por esta razón, se usa la letra x para nombrarla. Es posible expresar la ecuación así: “Un valor x más otra cantidad da como resultado el número de palillos usados”.

5. Completa la tabla y comparte con el grupo las respuestas de la cuarta, quinta y sexta filas. Anoten las conclusiones en su cuaderno. Ecuación x + 1 = 11

Oriéntate Una incógnita es un valor que no se conoce, pero que se necesita determinar.

Lectura

Valor de la incógnita

Un número sumado a un tercio es igual a once quinceavos.

2 __

3 15 x– 1 = 1 A un número se le resta un medio y el resultado es un cuarto. 2 4 4 x – = 0 A un número se le restan cuatro octavos y es igual a cero 8

x+x=1

5

3 __ 4

4 1 __ o __2 8 __1

Un número sumado a sí mismo es igual a 1.

2

1 4 2 3

R. P. R. P. 6. Lee el planteamiento y contesta lo que se solicita en tu cuaderno.

1 5

1 5

cm

7 El perímetro del triángulo isósceles de la izquierda mide 10 cm. Si se desea conocer la medida del lado desigual, es posible expresarlo como se indica.

cm

x

x+

2 5

7 = 10

7 a) ¿Qué operación debes efectuar con 25 y 10 para obtener el valor de x? Plantea la operación.

2 7 3 ¿Cuál es el valor de x? restar, __ – __ = ¿?, __ 5 10 10 7. Completa la tabla. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Comenten sus dificultades y cómo resolverlas.

Situación

Ecuación

Operación para hallar x

Valor para x

El perímetro de un triángulo isósceles es de 15 cm y los lados iguales miden 7 cm. ¿Cuánto mide el lado desigual?

x + 14 = 15

15 – 14 =

1

x + 8.3 = 12.4

12.4 – 8.3 =

4.1

Un medio más un número es 7.

__1 + x = 7 2

1 7 – __2 =

6__2

Un número sumado a sí mismo es igual a 10.

x + x = 10

10 ÷ 2 =

5

El hermano de Luis tiene 5 años. Si la suma de sus edades es 17, ¿cuántos años tiene Luis?

5 + x = 17

17 – 5 =

12

Un número sumado a 8.3 es 12.4.

1


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$0

Lección 27 8. Observa el ejemplo y completa la tabla. Ecuación

Operación para encontrar el valor de x

Valor de x

3 + x = 17

x = 17 – 3

x = 14

x– 1 = 7

7 1 x = __ + __ 12 6

3 x = __4

x + 3.5 – 2 = 14

x = 14 – 1.5

x = 12.5

x+ 1 =1 8

1 x = 1 – __8

7 x = __8

6

12

Oriéntate Un término semejante es aquel que tiene la misma parte literal (incógnita y exponente), pero el coeficiente igual o diferente.

Para resolver una ecuación La ecuación se transforma en otras ecuaciones equivalentes más sencillas hasta encontrar el valor de la incógnita.

Resolver la ecuación

Al resolver una ecuación, es necesario simplificar términos semejantes; por ejemplo, 1 x + 1 x se simplifican porque son términos similares. 2 4 1 x + 1 x + 1 = 19 2

4

5

3x+ 1 4 5

20

Oriéntate

= 19 20

Después, se debe despejar la incógnita, es decir, efectuar operaciones para encontrar su valor. Por ejemplo, en la ecuación 12 + x = 20, se despeja el valor de x como se indica en la tabla. Pasos Ecuación inicial Operación para despejar a x Valor de x

Caso 1 12 + x = 20 12 – 12 + x = 20 – 12 x=8

Caso 2 x – 8 = 10 x – 8 + 8 = 10 + 8 x = 18

Cuando incorporas una operación a un miembro de la igualdad debes hacerlo en ambos miembros para conservar la igualdad.

Para verificar la solución En la ecuación inicial se reemplaza la incógnita por el valor encontrado. Si se cumple la igualdad, entonces es el correcto. 12 + x = 20 x = 20 – 12 x=8

Comprobar el valor hallado

Comprobación: 12 + x = 20 12 + 8 = 20 20 = 20

12 9. Organiza con tu grupo un debate acerca de la incógnita en problemas de una cantidad desconocida. Propongan dos casos y escriban en su cuaderno una breve conclusión.

7

10 7

6

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-141a, donde se encuentran actividades de resolución de ecuaciones. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-141b, donde hay una guía para resolver ecuaciones. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-141c, donde se explica cómo solucionar ecuaciones.


Para que un juego de mesa (serpientes y escaleras, turista, etc.) sea más interesante, consigue unos dados y marca tres de los seis números con un signo negativo. Apunta tus tiradas en una hoja de papel y resuelve la operación. Lección 27 Bloque 3 141

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Lección 28 Ecuaciones de primer grado de la forma ax = b Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: patrones y ecuaciones


Para calcular el perímetro: ecuaciones de la forma ax = b Observa la secuencia de figuras. Figura 1

Figura 2

Figura 4

Figura 3

1 cm

2 cm

1 cm

3 cm

2 cm 3 cm 1. Completa la tabla a partir de la secuencia anterior. Figura 1 2 3

Perímetro (cm) 4

8 12

4

16

5

20

Glosario Coeficiente. Número que multiplica a la incógnita. Por ejemplo, en la ecuación 4x = 30, el coeficiente de x es 4.

2. Responde las preguntas. a) ¿Qué perímetro tendrá la figura 5 si se considera que la sucesión guarda un mismo comportamiento?

20 cm b) ¿Qué perímetro tendrá la figura 18?

72 cm 18 x 4

c) ¿Qué operación efectuaste para responder la pregunta anterior?

3. Reúnete con un compañero y hagan, en su cuaderno, lo que se indica con base en la sucesión anterior. a) Construyan una expresión general o fórmula que permita determinar el valor del perímetro para

cualquier figura. Usen la x para representar el número de la figura. b) En la sucesión anterior, una figura tiene un perímetro de 120 cm; planteen una ecuación

en la que representen con x el número de la figura y resuélvanla para hallar dicha cantidad.

Oriéntate Un ecuación que tiene la forma ax = b expresa un producto entre el coeficiente a y la incógnita x, lo que da como resultado un número b.

4. Observa el ejemplo y completa la tabla. Comparen sus resultados con los de su grupo, registren dudas y comenten cómo resolverlas. a

b

a+b

a·b

8

5

13

40

3

2.4

1.3

3.7

3.12

1.1

5 6

4 7

59 ___

10 __

11 ___

42

21

a–b

42


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Lección 28 Un paso adelante 5. Lee el planteamiento y contesta lo que se pide.

El perímetro del cuadrado mide 16 cm. Es posible expresar la información anterior de esta manera. 2x + 2x + 2x + 2x = 16

o bien

2x

8x = 16

x=2

a) ¿Cuál es el valor de x en la ecuación?

b) De acuerdo con la misma ecuación, indica qué operaciones son necesarias para despejar x y

obtener su valor.

Oriéntate

Sumar las equis y dividir dieciséis entre ocho. 6. Lee el planteamiento y efectúa, en tu cuaderno, lo que se indica.

La mamá de Antonio fue al mercado a comprar fruta y vio que el kilogramo de sandía costaba $12.00, así que compró una y pagó $75.00 por ella. a) En esta situación, ¿cuál es la cantidad desconocida?

El peso de la sandía

b) Expresa el problema mediante una ecuación.

12x = 75

Por lo general, se utiliza la letra x para referir una cantidad desconocida; sin embargo, no es obligatorio usarla. En las ecuaciones, es posible emplear cualquier otra, aunque es común utilizar las últimas letras del alfabeto.

c) Resuelve la ecuación que formulaste y encuentra el valor de la incógnita. 1 x = 6__4

d) Comprueba que, con el valor encontrado para la incógnita, se mantiene la igualdad de la ecuación.

12 (6.25) = 75 7. Compara las respuestas anteriores con tu grupo; analicen la siguiente tabla y escriban, en su cuaderno, una breve conclusión.

Para despejar la incógnita x en la ecuación ax = b, se divide cada lado de la igualdad entre el coeficiente de la incógnita x. ax = b b __a · x = __ a a

x = __ba Pasos Ecuación inicial

Aplicando una operación para despejar x

Valor para x

Caso 1

Caso 2

4x = 54

2 x = 16 3

4 x = 54 4 4

2 ÷ 2 x = 16 ÷ 2 3 3 3 6 48 x= 6 2

x = 13.5

x = 24


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Lección 28 Ecuaciones de primer grado de la forma ax = b Profundiza 8. Lee el planteamiento y efectúa lo que se pide.

La figura se forma por dos cuadrados sobrepuestos; cada lado de un cuadrado mide 4x y el perímetro total es de 72 unidades. 2x 2x 4x

a) Determina el valor de x.

24x = 72, x = 3

b) Si el valor del perímetro aumenta a 144 unidades, ¿cuál será el valor de x? 24x = 144, x = 6 9. Lee la situación y responde las preguntas. La mamá de Antonio compró 3.5 kg de piña y pagó $42.00. a) ¿Cuánto le costó el kilogramo de piña?

42 ___ = 12 3.5

b) Plantea la ecuación que permite resolver el problema.

3.5x = 42

c) De acuerdo con la ecuación, escribe las operaciones necesarias para despejar la incógnita y obtén

su valor. x = 12

10. Completa la tabla. Compara los planteamientos con tus compañeros y redacten, en su cuaderno, una breve conclusión. Expresión verbal

Ecuación planteada

Solución a la ecuación (valor de la incógnita)

El doble de un número es 12.

2x = 12

x=6

El triple de un número es tres

3x = 3

x=1 x=5

R. P. El doble de un número más su triple es 35.

2x + 3x = 35

x = 20

R. P. Cinco veces y medio un número es igual a 50

7

5.5x = 50

x = 9.09


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Lección 28 11. Reúnete con un compañero. Para cada caso planteado, escriban la ecuación en su cuaderno y resuélvanla. a) La mitad de un número es igual a 14. ¿Cuál es ese número?

x = 28

b) El doble de un número más su triple es 35. ¿Cuál es ese número?

x=7

c) Karla compró cinco rebanadas de pizza, pagó con un billete de $100.00 y le devolvieron $25.00.

$15.00

¿Cuánto costó cada pedazo?

d) El perímetro de una hortaliza rectangular es de 48 m; para hallar sus medidas, solo se sabe

que el largo es el doble del ancho.

Largo = 16 m, ancho = 8 m e) La mitad de un número menos 3 es igual a 32. ¿Cuál ese número?

x = 70 Litros (L) 1


Precio ($) 12.00

Don Pascual vende el litro de leche a $12.00. Para agilizar sus cálculos, registró en una tabla los litros y el precio que debe cobrar.

2

24.00

3

36.00

a) Redacta una regla o fórmula que te permita determinar el precio de cualquier cantidad de litros.

4 5

48.00

6

72.00

12 L = precio, L = cantidad de litros b) Si en la tarde ganó en total $624.00, ¿cuántos litros de leche vendió?

60.00

52 L

13. Resuelve las ecuaciones en tu cuaderno. a) 8x = 2

1 x = __4

d) 0.5x = 10 x = 20

b) 12 x + x = 4 – 2

4 x = __3

e) 2x + 2x = 16

x=4

c) 3x – 2x = 8 + 12 x = 20

14. Reúnete con un compañero y expliquen, en su cuaderno, qué error cometió Juan Carlos cuando resolvió su tarea. 15. Discute con tu grupo la diferencia de las siguientes expresiones: 2x, 2 + x, x + x. Escriban, en el cuaderno, sus conclusiones.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-145a, donde se encuentran actividades de resolución de ecuaciones. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-145b, donde se muestra una guía para resolver ecuaciones. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-145c, donde se explican las ecuaciones y su uso en problemas de la vida cotidiana.


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Lección 29 Ecuaciones de primer grado de la forma ax + b = c Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: patrones y ecuaciones


Compra de boletos: una explicación de las ecuaciones de la forma ax = b El grupo musical Los Chicos Verdes presentará un concierto el próximo mes. Andrea, quien es su seguidora, fue a comprar boletos para ella y sus amigos. En la taquilla le dijeron que el precio del boleto era de $120.00 más una comisión de $20.00 por cada compra. 1. Reúnete con un compañero y contesten las preguntas. a) Si Andrea decide comprar dos boletos, ¿cuánto dinero pagará?

260

b) Construyan una expresión que les permita determinar el dinero que necesita Andrea para

cualquier cantidad de boletos que compre. Representen con x el número de boletos.

120x + 20 c) Al comprar boletos, Andrea gastó $620.00. ¿Cuántos recibió?

Oriéntate Recuerda que si se suma la misma cantidad varias veces, es posible simplificar la operación escribiéndola como un producto. Por ejemplo, x + x + x se escribe 3x.

5 boletos

d) Desarrollen, en su cuaderno, las operaciones necesarias para despejar x y determinar su valor. e) Redacten un problema que se resuelva con la ecuación 10x + 10 = 1 210.

R. T. En un estacionamiento cobran $10.00 por hora más una comisión de 10 por fracción, Heriberto pagó $1210.00, ¿cuántas horas permaneció estacionado? 2. Analiza el planteamiento y contesta en tu cuaderno.

El boleto que compró Andrea para el concierto tiene dos secciones: la izquierda, que se recoge a la entrada de la sala de conciertos, y la derecha, que es el comprobante personal.

a) La sección derecha tiene el doble de largo que la izquierda; esta última es un rectángulo cuyo alto

mide 4 cm. Si el perímetro total del boleto es de 26 cm, ¿cuánto medirá la base del rectángulo derecho? 6 cm b) Comparte las respuestas con tu grupo y construyan una expresión que represente el planteamiento.


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Lección 29 Un paso adelante c

3. Lee la situación y efectúa lo que se pide.

b

e

a) Azucena recibió como regalo de cumpleaños un perro, pero es muy inquieto y se escapa

de su casa a cada rato. Por ello, decidió colocarle una cadena y atarlo en una esquina del jardín. El siguiente esquema representa el jardín donde ató su perro. Obsérvalo y contesta las preguntas. Ella ató su perro en el punto a. El largo de la cadena le permite a su mascota llegar hasta el punto c, (como lo indican las flechas). La distancia del punto b al c es de 20 cm y la del punto a al b no se conoce, por lo que se denominará x.

a

i. Escribe una ecuación que exprese la medida de la cadena (en términos de x).

x + 20 = l, con l largo de la cadena.

ii. Cuatro veces la longitud de la cadena es igual al perímetro de la casa; este mide 360 cm.

Expresa y resuelve una ecuación que permita determinar la distancia del punto a al b.

4(x+20) = 360, x = 70 cm iii. ¿Cuál es la longitud del punto a al b?

70 cm

4. Completa la tabla.

Operaciones necesarias para despejar la incógnita

Expresión verbal

Expresión algebraica

El doble de un número más 3 es igual a 9.

2x +3 = 9

x= 9–3

x=3

El doble de un número menos uno es tres

2x – 1 = 3

(3+1) x = ____ 2

x=2

El triple de un número más 3 es igual a 18.

3x + 3 = 18

(18-3) x = _____ 3

x=5

Un número más el número siguiente es igual a 61.

x + x + 1 = 61

2x + 1 = 61 (61-1) x = ____ 2

x = 30

Un número es el cuádruplo del otro 4x + x = 125 y la suma de ambos es 125.

5x = 125 125 x = ___ 5

x = 25

La mitad de un número menos 1 x – 1 = 10 2 2 un medio es igual a diez

21 1 x = __ entre __2 2

42 x = ___ = 21 2

La tercera parte de un número más ese mismo número es igual a 12.

__1 x + x = 12 3

2

4 __ x = 12 3

4 x = 12 entre __3

Valor de la incógnita

36 x = ___ =9 4

5. Compara las respuestas con tus compañeros y escriban, en el cuaderno, una conclusión sobre el procedimiento para resolver una ecuación. Lección 29 Bloque 3 147

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Lección 29 Ecuaciones de primer grado de la forma ax + b = c

Para resolver la ecuación 5x + 3x – 2 = 4x – 1, se lleva a cabo el siguiente procedimiento. Paso

Operación

Ecuación

Se reducen términos semejantes.

Simplificar 5x + 3x = 8x

Se eliminan constantes del miembro de la izquierda de la igualdad.

Sumar 2 en ambos miembros

2 + 8x – 2 = 4x – 1 +2 8x = 4x + 1

Se eliminan incógnitas del lado derecho de la igualdad.

Restar 4x en ambos miembros

8x – 4x = 4x + 1 – 4x

Se reducen términos semejantes.

Simplificar 8x – 4x = 4x 4x – 4x = 0

8x – 4x = 4x + 1 – 4x 4x = 1

Se despeja x (se deja x sola en el miembro de la izquierda).

Dividir ambos miembros entre 4

4 x= 1 4 4

5x + 3x – 2 = 4x – 1 8x – 2 = 4x – 1

4x = 1

x= 1 4

6. Reúnete con un compañero y resuelvan, en su cuaderno, los planteamientos. a) Luis tiene dos años más que Juan y la suma de sus edades es 18. ¿Cuántos años tiene Luis?

En este caso, la incógnita es la edad de Juan. 2 + j + j = 18, 2j = 16,

Juan = 8, Luis = 10

b) En un rectángulo la base mide 18 cm más que su altura y la medida del perímetro es de 76 cm.

Determinen cuánto mide la figura. altura = 10 y base = 28 c) ¿Es 6 el valor de la incógnita en la ecuación 3x – 1 = 2x + 5?

Argumenten su respuesta. 3(6) – 1 = 2(6) + 5

17 = 17

Sí 18 – 1 = 12 + 5

7. Resuelve las ecuaciones en tu cuaderno y escribe el valor de la incógnita. a) 2x – 2 = 16

x= 9

b) 3x + 2 = 16

14 x = __ 3

c) x – 2 = 10 2

x= 7

d) 3x + 1 = 2x + 3

x= 2

e) 18x – 4 = 32

x= 2


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Lección 29 8. Observa la sucesión de figuras y haz lo que se indica.

4x

3x 2x

x

Figura 2

Figura 1

Figura 3

a) Obtén el perímetro de la figura 1.

6x

b) Obtén el perímetro de la figura 2.

10x

Figura 4

c) El perímetro de la figura 3 es 242; plantea una ecuación que permita calcular el valor de x. 242 x = ___ 14

d) Si x es igual a 0.04, ¿cuál será el perímetro de la figura 4?

el procedimiento que seguiste en tu cuaderno.

x = 0.72

Escribe

9. Comparte las respuestas al ejercicio anterior con tus compañeros. Redacten, en su cuaderno, un procedimiento general para encontrar la solución. 10. Escribe, en tu cuaderno, un problema que se asocie a cada ecuación. a) 2x + 1 = 10

R. P.

b) 5x – 12 = 14.5

R. P.

11. Observa el cuadrado mágico y efectúa lo que se pide.

En un cuadrado mágico, la suma de las diagonales, horizontales y verticales siempre da el mismo resultado. Para determinar los números que corresponden a cada casilla, se debe hallar el valor de x. a) Suma las expresiones de cada renglón, columna y diagonal (en total son ocho sumas). b) Iguala los resultados anteriores a 15. c) Resuelve cada ecuación que formulaste y determina los números de cada casilla.

2x – 2

4x –19

5x – 19

8

1

6

6x – 27

5x – 20

7x – 28

3

5

7

3x – 11

10x – 41

7x – 33

4

9

2

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-149a, donde se encuentra una guía para la solución de ecuaciones. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-149b, donde hay actividades para resolver ecuaciones con una balanza interactiva. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-149c, donde se explica el proceso de solución de ecuaciones.


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Lección 30 Polígonos regulares I Eje: forma, espacio y medida Tema: figuras y cuerpos

El Pentágono: construcción de polígonos regulares

Contenido

El 15 de enero de 1943, se inauguró el edificio de oficinas más grande del mundo: el Pentágono, ubicado en Washington D. C., EUA. Tiene forma pentagonal (de ahí su nombre) y se conforma por cinco anillos, cinco pisos y un patio central denominado zona cero.

Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella.

1. Contesta las preguntas. a) Si reprodujeras a escala el Pentágono, ¿qué medidas necesitarías conocer?

R. T. 1) La medida de un lado. 2) La medida de un lado y el apotema. R. T. Una regla o un compás.

b) ¿Qué instrumentos de geometría requerirías?

2. Escribe, en el siguiente pentágono, los nombres de sus elementos: lado, vértice, centro, perímetro y apotema.

Perímetro: toda la línea verde. Apotema

Vértice

Centro

Lado 3. Relaciona, con una línea, cada elemento con su definición correcta. Compara con tus compañeros.

Lado

Suma de los lados de cualquier polígono

Vértice

Segmento perpendicular cuyos extremos son el punto medio de cualquier lado de un polígono regular y su centro

Centro

Cada uno de los segmentos que forman el polígono. Por el número de estos, se determina su nombre

Perímetro

Punto donde se unen dos lados consecutivos

Apotema

Segmento de recta que une dos vértices no consecutivos de un polígono

Diagonal

Lugar geométrico que se encuentra a la misma distancia de todos los vértices


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30

Lección 30 Un paso adelante 4. Reúnete con un compañero. Analicen las construcciones, contesten las preguntas y efectúen, en su cuaderno, lo que se pide. a) Observen los pasos de la construcción geométrica. C

C B

A

B

A

A

B

B

A Paso 1

Paso 2

Paso 3

A

B

Paso 4

Paso 5

i. ¿Con qué elemento geométrico se inició la construcción? ¿Qué instrumentos de geometría

se utilizaron? Describan el procedimiento y expliquen por qué se obtiene un triángulo equilátero si solo se conoce la medida de un lado. b) Observen los pasos de la construcción geométrica. D

C

B

A

B

A

B

A

B

A Paso 1

D

C

B

A

Paso 2

Paso 3

Paso 4

Paso 5


se usaron? Describan el procedimiento y expliquen por qué se obtiene un cuadrado si se conoce la medida de uno de sus lados. c) Observen los pasos de la construcción geométrica. E

D

O

B

A

C

B B

A

Paso 1

F

O

O A

Paso 2

Paso 3

A

B

Paso 4

A

B

Paso 5


se utilizaron? Describan el procedimiento y expliquen por qué se obtiene un hexágono regular si solo se conoce la medida de uno de sus lados. ii. Comparen las descripciones y explicaciones con sus compañeros.


6²(;3B0B%BLQGG

30

Lección 30 Polígonos regulares I 5. Reúnete con un compañero y hagan lo que se indica en su cuaderno. a) Construyan algún otro polígono regular utilizando solo regla y compás. b) Escriban el procedimiento que siguieron.

Profundiza 6. Analiza los ángulos de un polígono regular y contesta las preguntas en tu cuaderno.

Ángulo central

Ángulo interno

Ángulo externo

o

o

o

A

B

A

Figura 1

A

B

Figura 2

B

Figura 3

a) ¿Cómo defines ángulo central?R. T. Se forma con vértice en el centro del polígono

regular y lados que parten del centro a dos vértices consecutivos del polígono.

b) ¿Cómo defines ángulo interno?

R. T. Se forma con dos lados consecutivos del polígono.

c) ¿Cómo defines ángulo externo? R. T. Se forma con un lado del polígono y la prolon-

gación de un lado adyacente.

Por construcción, los ángulos de un polígono regular se calculan con las siguientes fórmulas. 360° Ángulo central = ___________ número de lados 360° Ángulo interno = 180° – ___________ número de lados 360° Ángulo externo = ___________ número de lados

7. Completa la tabla. Compara tus respuestas con las de tus compañeros, comenten procedimientos y escriban, en su cuaderno, una conclusión referente a las estrategias para calcular medidas de los ángulos de un polígono. Medida del ángulo central

Medida del ángulo interno

Medida del ángulo externo

3 4

120º 90º

60º 90º

120º 90º

5 6 7 8 9

72º 60º 51.4º 45º 40º

108º 120º 128.6º 135º 140º

72º 60º 51.4º 45º 40º

Polígono regular Número de lados triángulo equilátero cuadrado pentágono hexágono heptágono octágono eneágono


6²(;3B0B%BLQGG

30

Lección 30 8. Reúnete con dos compañeros. Analicen las construcciones, contesten las preguntas en su cuaderno y efectúen lo que se pide. C

a) Tracen un pentágono de 10 cm de lado.

A

10 cm

A

B

Paso 1

10 cm

B

A

B

A

B

10 cm

Paso 2 Paso 3

Paso 4

D

D D

C

C C

A

m 10 c

B

Paso 5

E

Paso 6 A

m

D

B

m

10 c

B

Paso 7

10 c

Polígono regular

b) ¿Con qué elemento geométrico se inició la construcción?

R. T. Segmento AB = 10 cm

c) ¿Qué instrumentos de geometría se utilizaron?

R. T. Regla y transportador.

d) ¿Cuánto mide el ángulo que sirve de referencia para trazar el polígono?

108º

e) Describan el procedimiento para construir un pentágono regular cuando solo se conoce la medida

Medida de un lado (cm)

triángulo

6

cuadrado

5

pentágono

3

hexágono

4

Polígono regular

Medida de un lado (cm)

de su ángulo interno y de uno de sus lados. f) Construyan los polígonos regulares que se indican en la tablas de la derecha. g) Comparen los procedimientos que siguieron para trazar los polígonos regulares. 9. Organiza con tu grupo un debate sobre los pasos básicos necesarios para el trazado de cualquier polígono y los instrumentos geométricos que se emplean.

heptágono

3

octágono

4

eneágono

5

decágono

2

dodecágono

3

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-153a, donde se describe el procedimiento para la construcción de polígonos. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-153b, donde se encuentra una actividad para obtener el área de un polígono. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-153c, donde se muestra cómo construir un hexágono a partir de la medida de un lado.


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30

Lección 31 Polígonos regulares II Eje: forma, espacio y medida Tema: figuras y cuerpos

Contenido Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella.

Figuras inscritas: construcción de polígonos inscritos en una circunferencia Liliana está estudiando repostería; para la próxima clase, llevará una cacerola y un molde cuadrado para preparar flan a baño María, así que decidió investigar al respecto. Ahora sabe que este es un método de calentamiento o cocimiento indirecto que consiste en colocar agua en un recipiente y sumergir dentro de él otro más pequeño con el contenido que se desea calentar o cocer de manera suave y constante; para ello, el agua se calienta primero y transmite calor al recipiente menor. 1. Liliana tiene una cacerola de 20 cm de radio. ¿Cuánto debe medir un recipiente cuadrado

28 cm por lado.

para que encaje exactamente en su cacerola?

2. Explica, en tu cuaderno, qué estrategia usaste para responder la pregunta. 3. Observa que en la figura se representa la cacerola (circunferencia) y el molde (cuadrado). Efectúa lo que se pide y contesta las preguntas.

a) Traza dos bisectrices del cuadrado. b) ¿En qué punto se cortan?

En el centro de la circunferencia. Cuatro ángulos.

c) ¿Cuántos ángulos centrales se forman al cortarse las bisectrices? d) ¿Cuánto miden los ángulos formados?

90º

e) La fórmula para calcular los ángulos centrales de un polígono regular 360° . De acuerdo con ella, es Ángulo central = __________ número de lados

¿cuánto miden los ángulos centrales de un cuadrado?

90º

4. Analiza con el grupo la validez de la fórmula del inciso e) y propongan algunos casos. Escriban las conclusiones a las que lleguen en su cuaderno.


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Lección 31 Un paso adelante 5. Observa un procedimiento para trazar un cuadrado a partir de una circunferencia dada. B

A

Paso 1

B

C

A

C

D Paso 4

D Paso 3

Paso 2

6. Reproduce la construcción anterior en la circunferencia.

90º

a) ¿Cuánto miden sus ángulos centrales? b) Traza las bisectrices de sus ángulos centrales.

c) Ubica los puntos de intersección de las bisectrices y la circunferencia. d) Une los puntos que se encuentran en la circunferencia de manera consecutiva.

¿Qué polígono obtuviste?

Un octágono.

e) ¿Cuántos lados tiene el nuevo polígono?

Ocho.

f) Si trazas de nuevo las bisectrices de los ángulos centrales, ¿qué polígono obtendrás? Uno de 16 lados. 7. Reúnete con un compañero y comenten si es posible hacer una generalización si se repite el procedimiento descrito anteriormente. Escriban, en el cuaderno, su conclusión y compártanla con el grupo. Lección 31 Bloque 3 155

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Lección 31 Polígonos regulares II Profundiza No todos los polígonos regulares se construyen usando solo regla y compás; por ejemplo, el heptágono.

8. Reúnete con un compañero. Analicen la construcción del pentágono y contesten las preguntas en su cuaderno.

72 5 360 10 0

Paso 1

Paso 2

B

72° 72° 72° 72° 72°

Paso 3

72° 72° 72° 72° 72°

Paso 4

a) ¿Qué datos o elementos se conocen al inicio de la construcción?

Radio de la circunferencia.

C

b) Redacten los pasos para efectuar el trazo anterior. A

O

c) ¿El polígono está inscrito o circunscrito?

Inscrito

d) ¿Qué elemento comparten la circunferencia y el polígono?

D

La longitud de los lados del ángulo central y el radio de la circunferencia.

E

e) ¿Qué puntos del polígono pertenecen a la circunferencia?

Los vértices. 9. Construye un eneágono inscrito en la circunferencia. Compara tu trazo con el de tus compañeros y comenten qué procedimiento usaron para trazarlo.


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Lección 31 10. Reúnete con dos compañeros, analicen la construcción y efectúen, en su cuaderno, lo que se pide.

60 6 360

Paso 1

60° 60° 60° 60° 60° 60°

60° 60° 60° 60° 60° 60°

Paso 3

Paso 4

Paso 2

a) Redacten el procedimiento para construir un hexágono a partir de una circunferencia dada. b) Tracen un hexágono inscrito en una circunferencia de 5 cm de radio. c) A partir del hexágono trazado, construyan un triángulo equilátero y un dodecágono. d) Redacten el procedimiento que siguieron para desarrollar los polígonos del inciso c). e) A partir de un hexágono, ¿qué polígonos regulares es posible construir? 11. Traza, en tu cuaderno, los siguientes polígonos inscritos en una circunferencia. Registra las dudas y dificultades que surgieron y, con ayuda del profesor, comenta con tus compañeros cómo resolverlas.

Polígono inscrito

Radio de circunferencia (cm)

triángulo

5

decágono

8

dodecágono (12 lados)

6

octadecágono (18 lados)

10

icoságono (20 lados)

5

12. Haz, con tus compañeros y con ayuda del profesor, un debate acerca del siguiente planteamiento: "Dentro de una circunferencia se puede trazar cualquier polígono regular, pero si el número de lados del polígono aumenta indefinidamente, ¿el polígono podrá coincidir con la circunferencia?". Registren las conclusiones en su cuaderno.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-157a donde se encuentran diversos procedimientos para trazar polígonos regulares. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-157b, donde hay un procedimiento para construir un pentágono. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-157c, donde se muestra cómo construir polígonos regulares.

Con las técnicas que aprendiste en la lección, reproduce los trazos en tu cuaderno. La apotema debe medir 2.5 cm.


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Lección 32 Perímetro y área de polígonos regulares Eje: forma, espacio y medida Tema: medida

Contenido Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares.

El reloj: cálculo de perímetros y áreas de polígonos regulares En el salón de Manuel hay un reloj hexagonal. Hoy la profesora les pidió como tarea obtener el área comprendida entre las manecillas del reloj cuando marca las 3:00 h. 11

12

1 2

10 9

3 4

8 7

Oriéntate Un polígono regular es aquel cuyos lados tienen la misma longitud y sus ángulos interiores son iguales.

6

5

1. ¿Qué información requiere Manuel para calcular el área deseada?

R. T. Medidas de un lado del hexágono y apotema. 2. Explica el procedimiento que seguirías para determinar la medida del área.

R. T. Obtener el área del hexágono y dividirla entre cuatro. Recuerda que la fórmula para calcular el área de cualquier polígono regular es la que se muestra. perímetro por apotema

A = _____________ 2

Oriéntate La apotema es la distancia del centro de un polígono regular al punto medio de cualquiera de sus lados.

3. Contesta con base en los datos: cada lado del reloj mide 8 cm y la apotema, 7 cm. a) ¿Cuál es el perímetro del hexágono? b) ¿Cuál es su área?

48 cm

168 cm2

c) ¿Cuál es el área de la zona que indicó la profesora?

42 cm2

Recuerda que el perímetro de todo polígono regular se obtiene al multiplicar el número de lados por la medida de uno de ellos.

4. Reúnete con un compañero, analicen los planteamientos y contesten las preguntas en su cuaderno. a) En la fórmula que se usa para obtener el área de un polígono regular, ¿qué ocurrirá con el área

si se reduce el perímetro?

R. T. Disminuye.

b) ¿Qué sucede con la apotema al reducir el perímetro de un polígono regular?

R. T. Disminuye. El polígono reduce en tamaño.

c) Compartan sus respuestas con el grupo y escriban, en su cuaderno, una conclusión.


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Lección 32 Un paso adelante 5. Responde las preguntas con base en la figura.

5 cm

10 cm

a) ¿Cuál es la medida de cada lado del cuadrado?

b) ¿Qué relación hay entre el radio de la circunferencia y la medida de cada lado del cuadrado?

El radio de la circunferencia es la mitad de la medida del lado. El radio de una circunferencia es la medida del apotema de todo polígono regular 40 cm c) ¿Cuál es el perímetro del cuadrado? d) ¿Cuál es su área?

100 cm2

6. El ángulo central de un polígono regular mide 60°; la apotema, 4 cm; y su área,12 cm2. a) ¿Qué polígono es?

Hexágono

b) ¿Cuántos lados tiene?

Seis.

c) ¿Cuál es su perímetro?

6 cm

d) Redacta cómo obtuviste el perímetro.

4 R. T. P x __2 = 12 y despejar P.

1 cm

e) ¿Cuál es la medida de cada lado?

7. El radio de una circunferencia inscrita en un decágono mide 18 m y el área del decágono, 1 053 m2.

117 m

a) ¿Cuál es el perímetro del decágono?

10

b) ¿Cuántos lados tiene?

11.7 m

c) ¿Cuál es la medida de cada lado?

8. El área de un polígono regular mide 130.5 cm2; el ángulo central, 120°; y la apotema, 5 cm.

52.2 cm

a) ¿Cuál es el perímetro del polígono? b) ¿Cuánto mide cada lado? c) ¿Qué polígono es?

17.4 cm triángulo Lección 32 Bloque 3 159

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Lección 32 Perímetro y área de polígonos regulares Profundiza 9. Reúnete con un compañero y resuelvan los planteamientos. a) Calculen el área y perímetro de un polígono regular cuyo ángulo central mide 72°; cada uno

de sus lados, 9 cm; y el radio de la circunferencia inscrita en él, 6 cm.

pentágono

i. ¿Qué polígono es?

45 cm

ii. ¿Cuál es su perímetro?

135 cm2

iii. ¿Cuál es su área?

b) En el parque central de San Pablo, hay un monumento de Benito Juárez que se encuentra rodeado

de pasto. Observen el polígono que representa este planteamiento y contesten las preguntas.

3m

4m

3.46 m

6.9

8m

i. ¿Cuál es el área cubierta de pasto?

124.8 m2

ii. Si se desea rodear el área cubierta de pasto, ¿qué longitud tendrá la cerca?

48 m

c) El área sombreada del siguiente polígono es de 15 cm2.

i. Si la altura del triángulo mide 6 cm, ¿cuánto medirá su base? ii. ¿Cuánto mide el perímetro del hexágono? iii. ¿Cuál es su área?

5 cm

30 cm

90 cm2


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Lección 32 10. Reúnete con dos compañeros y contesten lo que se pide en cada planteamiento. a) Un polígono regular con un ángulo central de 90° puede circunscribir a un círculo de 40 m

de radio. i. ¿Qué polígono es?

cuadrado

iii. ¿Cuál es su área?

Oriéntate

320 cm

ii. ¿Cuál es su perímetro?

Circunscribir significa que una figura envuelve a otra. Los vértices de la figura interna forman parte del perímetro de la externa.

6 400 cm2

b) La diagonal menor del rombo sombreado

mide 5 cm y la diagonal mayor, 8.7 cm.

i. ¿Cuál es el área del rombo? ii. ¿Cuál es el área del hexágono?

21.75 cm2 65.25 cm2

iii. Describan cómo obtuvieron la respuesta anterior.

R. T. Multiplicar por tres el

área del rombo. 30 cm

iv. ¿Cuál es el perímetro del hexágono?

c) Redacten, en su cuaderno, un problema que se solucione con el uso del siguiente polígono.

Compartan su planteamiento con el grupo. 4 cm

11. Confronten con el grupo las respuestas del inciso b) y acuerden procedimientos de solución para cada inciso.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-161a, donde se encuentra una actividad para calcular áreas de polígonos. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-161b, donde hay una guía para calcular el área de polígonos. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-161c, donde se explica qué son el área y el perímetro, y cuál es su uso en la vida cotidiana.

Para la bitácora

Una estrategia para calcular el área de figuras irregulares consiste en cuadricular y obtener el área de cada parte o sección. Si el cuadriculado es de 2 cm, ¿qué área tendrá la figura?


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Lección 33 Proporcionalidad Eje: manejo de la información Tema: proporcionalidad y funciones

Contenido

Las fotocopias: aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad

Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas.

Francisco acudió a un centro de fotocopiado y pidió que le redujeran un folleto a la mitad, es decir, que lo fotocopiaran a __12 de su tamaño.

Oriéntate

1. Si el folleto original mide 28 cm × 20 cm, ¿cuáles serán las medidas de la reducción?

Recuerda que, cuando hay una reducción, el factor constante de proporcionalidad es una fracción propia y, cuando hay una ampliación, el mismo factor es una fracción impropia.

14 x 10 cm 560 cm2

2. ¿Qué superficie tiene el folleto original? ¿Y cuál tiene la reducción?

140 cm2

3. ¿Cuántos folletos reducidos caben en el original?

Cuatro.

Francisco mostró el folleto reducido a su jefe; sin embargo, a él le pareció pequeño, por lo que pidió ampliarlo de manera que el nuevo midiera 21 cm × 15 cm. 4. ¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad de la ampliación?

3 __ 2

5. ¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad del nuevo folleto respecto al original? 3 __ 4

6. Contesta con base en la imagen que muestra los cambios de tamaño del folleto. a) ¿Cuál es el perímetro de folleto original (rojo)?

96 cm

b) ¿Cuál es el perímetro del folleto reducido (verde)? 48 cm c) ¿Cuál es el perímetro del folleto ampliado (azul)?

72 cm

d) Comparte tus respuestas con tus compañeros. Redacta en tu

cuaderno una conclusión sobre el procedimiento para responder cada planteamiento.


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Lección 33 Un paso adelante 7. Reúnete con un compañero, observen las imágenes y efectúen lo que se solicita. a) Marquen con un tache (X) la imagen que es una ampliación de la original. Original

b) Marquen con un tache (X) la imagen que es una reducción de la original.

Original

Cuando se aplica un factor constante de proporcionalidad a un objeto y se le aplica de nuevo otro, entonces hay una aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad. Para obtener el factor final, se multiplican los factores que se han utilizado. En el caso mostrado al inicio de lección, primero se aplicó un factor de __12 (reducción) al folleto y después uno de __32 (ampliación); por lo tanto, el final es __12 ∙ __32 = __34 . 8. Haz lo que se pide y contesta las preguntas. a) Traza en tu cuaderno un triángulo equilátero de 3 cm de lado y nómbralo con la letra A. b) Reproduce el triángulo A aplicando un factor constante de proporcionalidad de __12 y nómbralo

con la letra B.

c) ¿Cuáles son las medidas del triángulo B? 1.5 cm por cada lado d) Reproduce el triángulo B aplicando un factor constante de proporcionalidad de __62 y nómbralo

con la letra C.

e) ¿Cuánto mide el triángulo C?

4.5 cm de lado

f) ¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad del triángulo A al C?

6 3 __ o __2 4

g) Identifica con tu grupo dudas y dificultades para obtener el factor de proporcionalidad. Lección 33 Bloque 3 163

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Lección 33 Proporcionalidad Profundiza 9. Reúnete con un compañero. Analicen las figuras y contesten las preguntas.

7.5 cm 6 cm 5 cm

4 cm 2.5 cm

3 cm

4.5 cm Triángulo 2

Triángulo 1

2 cm

1.5 cm Triángulo 3

a) El triángulo 2 se construyó a partir del triángulo 1. ¿Hubo una reducción o una ampliación?

ampliación 3 __

b) ¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad del triángulo 2 respecto al 1? c) Del triángulo 2 al 3, ¿hubo una reducción o una ampliación? d) ¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad del triángulo 2 al 3? e) Del triángulo 1 al 3, ¿hubo una reducción o una ampliación? f) ¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad del triángulo 1 al 3?

2

reducción __1 3

reducción 3 1 __ o __2 6

10. Reúnete con dos compañeros y resuelvan los problemas. a) Para llevar a cabo ciertos trámites, a Mario le pidieron una fotocopia de su credencial aumentada al triple

del tamaño original. Luego le dijeron que necesitaban otra fotocopia, pero a la mitad de tamaño que la primera. i. ¿Cuál es el efecto final (ampliación o reducción) respecto a la credencial original? 3 ampliación, __2

ii. Si la credencial es un rectángulo de 8.6 cm × 5.4 cm, ¿qué área tendrá en la primera fotocopia?

¿Y en la segunda?

411.48 cm2, 104.49 cm2

Si una figura se reduce o amplía con un factor de escala o proporcionalidad k, entonces su área disminuye o aumenta con un factor de proporcionalidad igual a k × k. b) El primer segmento mide 10 cm y el segundo, 6 cm. A partir de este último, se aplicó un factor

constante de proporcionalidad de __13 para obtener el tercero.


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Lección 33 i. ¿Cuál es la medida del tercer segmento?

2 cm

ii. ¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad del primer segmento al tercero? 3 1 __ o __ 15 5

c) En 2009, el kilogramo de tortilla costaba $7.00; en 2010, cambió su precio con un factor

de proporcionalidad de __65 respecto al año anterior; y en 2011, tenía un costo de $10.50. i. ¿Cuánto costaba el kilogramo de tortilla en 2010?

$8.4

ii. ¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad del precio del kilogramo de tortilla

de 2009 a 2011?

3 __ 2

11. Observa la imagen y contesta las preguntas. Comparte las respuestas con tu compañeros y, si es necesario, acuerden procedimientos.

__1

a) ¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad del triángulo rojo a uno amarillo? b) ¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad del triángulo verde al rojo?

4

2 __ 1

12. Organiza con tu grupo un debate acerca del uso de la proporcionalidad en la ampliación y reducción.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-165a, donde se encuentra una actividad de proporcionalidad. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-165b, donde hay una guía para calcular el factor de proporcionalidad. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-165c, donde se explica el uso de la proporcionalidad en situaciones de la vida cotidiana.


Las copiadoras permiten ampliar y reducir de manera proporcional una imagen. Dibuja un objeto, solicita en una papelería que lo amplíen y analiza cómo cambió. Establece la relación de proporcionalidad entre la ampliación y tu dibujo. Lección 33 Bloque 3 165

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Lección 34 Anticipación de resultados Eje: manejo de la información Tema: nociones de probabilidad

Los volados: anticipación, verificación y registro de resultados

Contenido Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias.

Julieta e Ismael están jugando a los volados; ganará el que acierte dos de tres lanzamientos. 1. ¿Quién consideras que ganará? 2. Argumenta tu respuesta.

R. P.

R. P.

3. Completa la tabla con un resultado del juego entre Julieta e Ismael. Primer lanzamiento

Jugador

Segundo lanzamiento

Tercer lanzamiento

Ganador

R. P.

Julieta Ismael

4. Reúnete con un compañero. Jueguen a los volados y hagan lo que se indica. a) ¿Quién de los dos tiene más posibilidades de ganar?

R. P.

R. P.

¿Por qué?

b) Completen la tabla con los resultados del juego. Primer lanzamiento

Jugador

Segundo lanzamiento

Tercer lanzamiento

Ganador

c) ¿Coincidieron sus resultados con los propuestos en la tabla de Julieta e Ismael?

¿Por qué?

No necesariamente.

Porque es un juego de azar.

d) Discutan con su grupo si es posible saber con anticipación quién ganará. Escriban en su cuaderno

el porqué de su respuesta anterior.

Un paso adelante 5. Un dado de seis caras tiene un número de 1 a 6 en cada una. Imagina que lo lanzas quince veces. a) ¿Cuáles son los resultados que obtendrás? R. P.

Lanzamiento

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Valor obtenido


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Lección 34 b) Ordena tus resultados en la tabla.

Oriéntate

Valor de la cara del dado 1

Frecuencia

La frecuencia es el número de veces que se repite un dato.

2 3 4 5 6

c) ¿Cuántas veces consideraste obtener el número 2?

R. P.

¿Y el 6?

d) Si lanzas más veces el dado, ¿obtendrás con mayor frecuencia un solo número?

¿Cuál?

R. P.

6. Consigue un dado de seis caras y efectúa lo que se pide. a) Lanza quince veces el dado y registra tus resultados en la tabla. Lanzamiento

1

Valor obtenido

R. P.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

b) Ordena tus resultados en la tabla. Valor de la cara del dado 1 2 3 4 5 6

Frecuencia

c) ¿Obtuviste los mismos resultados en las tablas de las actividades 5 y 6?

R. P.

.

Explica tu respuesta. d) ¿Consideras que un número se obtendrá con más frecuencia sin importar la cantidad de lanzamientos?


R. P.

e) Confronta tus respuestas del inciso d) con tus compañeros. Identifiquen dudas y dificultades, y

comenten cómo resolverlas. Un experimento aleatorio es una situación en que se conocen los resultados posibles, pero no se puede predecir exactamente el resultado final. Este no depende de la habilidad o destreza al ejecutar el experimento; por ejemplo, en un volado se sabe que la moneda cae en sol o águila, mas no cuál será el resultado. Lección 34 Bloque 3 167

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Lección 34 Anticipación de resultados Profundiza 7. Lee los planteamientos y efectúa lo que se pide. a) Lanza una moneda al aire tres veces. i. Marca en la tabla con un tache (x) el resultado que esperas obtener en cada lanzamiento. Resultado Águila

Lanzamiento 1 Lanzamiento 2 Lanzamiento 3

Frecuencia

R. P.

Sol

ii. Elabora en tu cuaderno una tabla como la anterior; lleva a cabo el experimento, anota los

resultados y compáralos con los que anticipaste. +

1

2

1

2

3

2

3

3

4

5

b) Lanza dos dados de seis caras y suma los números que obtuviste.

6

i. Completa la tabla de los resultados posibles al sumar los números que se obtienen

en el lanzamiento de dos dados.

3

ii. De acuerdo con la tabla, ¿qué valor se repite más?

R. P.

¿Qué valor se repite menos?

4

R. P.

5 6

iii. Haz quince lanzamientos y registra tus resultados en la tabla. Resultado

Lanzamientos 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Frecuencia

R. P.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

iv. Conforme a los resultados, ¿qué valor se repitio más?

¿Qué valor se repitió menos? v. Si lanzaras los dados una vez más, ¿qué número elegirías para predecir el resultado?


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Lección 34 8. Reúnete con un compañero. Lean los planteamientos, hagan lo que se indica y respondan en su cuaderno. a) Consideren que tienen cinco tarjetas

numeradas de 1 a 5 dentro de una bolsa; por turnos, sacan una tarjeta sin mirar, anotan su número y la regresan a la bolsa. La tabla muestra los resultados de los diez primeros turnos.

Valor de la tarjeta 1 2 3 4 5

1

2

3

4

Turnos 5 6 x

7

8

9

x x

x x x

x x

x

10 x

Frecuencia 2 1 3 2 2

i. Con base en los datos de la tabla, ¿pueden anticipar el resultado de la tarjeta que saldrá

en el turno 11? R. P.

¿Por qué? R. P.

ii. Construyan las tarjetas y desarrollen el experimento. Concentren la información obtenida en

la tabla. Turnos Valor de la tarjeta 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5

Frecuencia

R. P.

b) Completen la tabla de frecuencias con los resultados de todas las parejas del grupo. i. Con base en los resultados, comenten si es posible anticipar el resultado al sacar una tarjeta

de la bolsa. ii. Redacten sus conclusiones acerca de los resultados anticipados de un experimento aleatorio

y los que se obtienen al desarrollarlo, y compártanlas en grupo.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-169a, donde se encuentra una actividad interactiva de probabilidad. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-169b, donde hay una ruleta virtual para practicar el cálculo de resultados. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-169c donde se explica en qué consisten los juegos de azar y se ofrecen algunos ejemplos.

¿Podrías anticipar el resultado de los dados? Consigue dos y haz varios tiros hasta que obtengas 12 puntos. ¿Cuántas veces te tomó obtener esa cantidad?


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Lección 35 Frecuencia absoluta y relativa I Eje: manejo de la información Tema: análisis y representación de datos

Contenido Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa.

Las encuestas: frecuencia absoluta 1. Lee la situación y contesta las preguntas en tu cuaderno.

La profesora Katia imparte la asignatura Matemáticas en la escuela secundaria “General Ignacio Zaragoza” y aplicó un examen diagnóstico para conocer el nivel de conocimientos de 45 alumnos de 1º B. Posteriormente, concentró los resultados en la tabla. Reactivo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Tema Suma de enteros Resta de enteros Multiplicación de enteros División de enteros Suma de fracciones Resta de fracciones Multiplicación de fracciones División de fracciones Suma de decimales Resta de decimales Multiplicación de decimales División de decimales

Aciertos 43 38 20 21 36 32 24 20 41 35 29 18

Errores 2 7 25 24 9 13 21 25 4 10 16 27

a) ¿A qué es igual la suma de aciertos y errores de cada reactivo? 45 b) ¿Cuántos alumnos resolvieron bien la suma de decimales? 41 c) ¿Cuántos se equivocaron en la multiplicación de fracciones? 21 d) ¿Cuántos acertaron en la suma de enteros? 43 e) ¿Cuántos tuvieron errores en la división de decimales? 27 2. Lee los planteamientos y haz lo que se pide. Tema global

Acierto

Error

Total

a) Ahora la profesora desea saber qué temas

Enteros

122

58

180

globales debe repasar con ellos antes de iniciar el curso.

Fracciones

112

68

180

Decimales

123

57

180

357

183

Total

b) Considera el acierto y el error como valores

posibles de un reactivo relacionado con un tema global y contesta las preguntas en tu cuaderno.

i. ¿Cuál es la frecuencia de error del tema global “Enteros”? ¿Y el de “Fracciones”? ¿Y el de

“Decimales”? 58, 68 y 57 respectivamente. ii. Si la maestra solo pudiera repasar un tema global, ¿cuál sería? ¿Por qué?

Fracciones porque tiene mayor fecuencia.

iii. ¿Cuál sería el orden de repaso de los temas antes de iniciar el curso?

Fracciones, enteros y decimales. 3. Comparte con el grupo las respuestas del último subinciso; reflexionen por qué se deben repasar los temas en ese orden.


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Lección 35 Un paso adelante La frecuencia absoluta de un resultado posible en una situación es el número de veces que el mismo resultado aparece en un conjunto de datos.

4. Reúnete con un compañero. Lean la situación, completen la tabla y contesten las preguntas.

La profesora Katia levantó una encuesta entre sus estudiantes acerca de los colores que les gustan. Obtuvo los siguientes datos: blanco, rojo, blanco, azul, blanco, blanco, rojo, azul, azul, verde, blanco, blanco, negro, azul, azul, verde, blanco, verde, rojo y blanco. Color

Frecuencia

Blanco

8

Rojo

3

d) ¿A cuántos alumnos les gusta el blanco? A ocho.

Azul

5

e) ¿A cuántos alumnos les gusta el azul? A cinco.

Verde

3

Negro

1

a) ¿A cuántos alumnos les gusta el verde? A tres. b) ¿A cuántos alumnos les gusta el negro? A uno. c) ¿A cuántos alumnos les gusta el rojo?

A tres.

5. Lee los planteamientos y efectúa lo que se solicita. a) Se preguntó a treinta personas cuántas veces comen al día. Sus respuestas fueron las siguientes.

3, 5, 4, 3, 3, 2, 3, 2, 4, 5, 3, 3, 3, 5, 5, 3, 3, 4, 3, 3, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 4, 6, 3, 4 i. Ordena los datos de menor a mayor valor.

6, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 4, 4, 4, 4, 4, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2

ii. Elabora en tu cuaderno una tabla con la frecuencia absoluta de cada dato. iii. ¿Qué número de veces tiene mayor frecuencia? 15

¿Y cuál tiene menor frecuencia? 6

b) Se encuestó a 43 personas respecto al número de horas que duermen al día. La información

recopilada fue la siguiente. 8, 8, 9, 4, 5, 8, 8, 8, 7, 9, 6, 5, 8, 9, 10, 5, 7, 8, 8, 8, 9, 8, 7, 9, 8, 8, 8, 7, 7, 9, 5, 8, 8, 10, 6, 9, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 7 i. Ordena los datos de menor a mayor valor. ii. Elabora en tu cuaderno una tabla de frecuencia absoluta con estos datos. iii. ¿Qué número de horas tiene mayor frecuencia absoluta?

El 8

c) Comenta con el grupo qué ventajas tiene ordenar los datos de mayor a menor valor o viceversa.

Registren en su cuaderno sus conclusiones. Lección 35 Bloque 3 171

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Lección 35 Frecuencia absoluta y relativa I Profundiza 6. Redacta tres planteamientos o situaciones que incluyan los datos recogidos en las tablas. Materia

Frecuencia

Español

17

Matemáticas

8

Inglés

14

Ciencias

9

Historia

15

a)

R. P.

b) R. P.

Deporte

Frecuencia

futbol

4

béisbol

2

basquetbol

1

voleibol

3

tenis

2

c)

Número de hijos

Frecuencia

2

9

3

7

4

5

5

2

6

1

R. P.

7. Comparte tus planteamientos con el grupo y comenten qué otros son posibles para cada tabla. 8. Construye en tu cuaderno una tabla de frecuencia absoluta que represente cada uno de los planteamientos. a) Se lanzó una moneda setenta veces: se obtuvo sol en 42 ocasiones y águila en 28. b) Se tiró un dado 20 veces y se consiguieron los siguientes resultados. 5, 6, 2, 4, 3, 1, 5, 3, 4, 2, 6, 1, 4, 5, 1, 2, 6, 2, 5, 1 c) Las temperaturas máximas (en grados Celsius) que se registraron durante quince días en Monterrey

fueron las siguientes. 32 º, 28 º, 40 º, 32 º, 37 º, 36 º, 29 º, 35 º, 41 º, 32 º, 37 º, 39 º, 37 º, 39 º, 38 º


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Lección 35 d) Se encuestó a diez amas de casa sobre el número de días a la semana que llevan a sus hijos al

parque. Sus respuestas fueron las siguientes. 1, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0

Oriéntate 9. Encuesta a tus compañeros de grupo sobre los temas que se proponen a continuación. Registra en el cuaderno la información que obtengas y construye las tablas de frecuencia absoluta correspondientes. a) Edad

Es recomendable ordenar los datos de menor a mayor valor o viceversa, según se requiera, en las tablas.

b) Comida preferida c) Fruta favorita d) Mes de nacimiento e) Número de hermanos f) Deporte favorito 10. Reúnete con un compañero. Efectúen lo que se pide y obtengan una tabla de frecuencia absoluta para cada planteamiento. a) Lancen un dado veinte veces y registren los resultados. b) Lancen una moneda diez veces y registren los resultados. c) Cada alumno elija un número de 0 a 6 y una cara de la moneda: águila o sol. Con base

en los datos obtenidos en los incisos a) y b), contesten las preguntas individualmente. i. ¿Cuál es la frecuencia absoluta del número que elegiste?

R. P.

ii. ¿Cuál es la frecuencia absoluta de la cara de la moneda que elegiste?

R. P.

11. Discute con el grupo y el profesor el procedimiento para encontrar la frecuencia absoluta de un conjunto de datos, así como el significado de la misma.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-173a, donde se encuentra una actividad interactiva para obtener la frecuencia absoluta en una situación dada. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-173b, donde hay una actividad de frecuencia absoluta. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-173c, donde se ejemplifica un caso sobre manejo de datos.

Para la bitácora

Pregunta a cada miembro de tu familia cuál es su platillo favorito. Reúne la información y determina la frecuencia absoluta. Presenta los resultados ante el grupo.


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Lección 36 Frecuencia absoluta y relativa II Eje: manejo de la información Tema: análisis y representación de datos

Contenido Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa.

Más encuestas: frecuencia relativa El profesor Arcadio les preguntó a sus alumnos cuáles eran sus materias preferidas. La tabla muestra las respuestas que obtuvo. Materia

Frecuencia

Español

9

Matemáticas

2

Inglés

7

Tecnología

18

Ciencias

4

1. Analiza la tabla anterior y contesta las preguntas.

2

a) ¿Cuál es la frecuencia absoluta de Matemáticas?

Oriéntate Para convertir una fracción en número decimal, se divide el numerador entre el denominador. Para transformar un número decimal en porcentaje, se multiplica por 100 y se escribe el símbolo %. Por ejemplo: __34 , 3 ÷ 4 = 0.75, 0.75 × 100 = 75%.

b) ¿A cuántos alumnos les preguntó?

40

c) ¿Cuál es la razón del número de alumnos que les gusta Matemáticas y la cantidad total

de ellos?

2 de 40 2 1 ___ = ___ 20 40

d) Expresa, con una fracción, la relación anterior.

0.05

e) Expresa, con un decimal, la relación del inciso c).

5%

f) Transforma el decimal anterior en porcentaje. g) ¿Qué porcentaje de los alumnos prefieren Matemáticas?

5%

2. Comparte con el grupo tus respuestas. Coméntenlas y escriban una conclusión acerca de su trabajo. 3. Reúnete con un compañero y resuelvan el problema en su cuaderno. a) En el bimestre anterior, muchos alumnos reprobaron Física. El grupo está integrado por 52

estudiantes, de los cuales 29 no la acreditaron. i. Representen, con una fracción, la razón del número de alumnos reprobados y la cantidad 29 total de estudiantes. ___ 52

ii. Expresen la respuesta anterior con un decimal. 0.55 iii. ¿Qué porcentaje de alumnos reprobaron Física?

55%

b) Comenten con el grupo si con el resultado de la actividad anterior se podría decir que en el ámbito

nacional muchos alumnos reprobaron Física. Registren, en su cuaderno, sus conclusiones.


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Lección 36 Un paso adelante La frecuencia relativa de un dato es el cociente de la frecuencia absoluta de este entre el número total fa de elementos. Es decir, fr = ________ , donde fr es la frecuencia relativa y fa, la frecuencia absoluta. total de datos 4. Lee el planteamiento, completa la tabla y contesta las preguntas. a) El primer bimestre del ciclo escolar pasado, 50 alumnos de tercer grado de la escuela secundaria

“Vicente Guerrero” reprobaron una materia. En la tabla se muestran las materias reprobadas. Materia

Frecuencia

Frecuencia relativa

Porcentaje

Matemáticas

18

Química

12

Historia

9

Español

7

0.36 0.24 0.18 0.14 0.08 1

36% 24% 18% 14% 8% 100%

Tecnologías

4

Total

50

i. ¿Qué materia tuvo la mayor frecuencia absoluta?

Matemáticas 50

ii. ¿Cuánto suman las frecuencias absolutas? iii. ¿Qué materia tuvo la mayor frecuencia relativa?

Matemáticas

iv. ¿Qué porcentaje de alumnos reprobó Historia?

18%

v. ¿Cuánto suman las frecuencias relativas?

1

vi. ¿Qué significa la respuesta anterior?

R. T. Forman un todo.

vii. ¿Cuál es la suma de los porcentajes?

100

5. Analiza la tabla y responde las preguntas en tu cuaderno. a) ¿Cuánto suma la frecuencia absoluta? ¿Cuál es el error?

Deben ser 49 los entrevistados.

b) ¿Es correcto que la suma de frecuencias relativas sea 0.98?

Escribe los valores correctos. c) ¿Los porcentajes suman 100? Escribe los valores correctos. d) ¿La suma de las frecuencias relativas y la de los porcentajes

siempre darán el mismo resultado? si

Preferencia en frutas Fruta

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Porcentaje

Plátano

16

0.33

32%

Naranja

7

0.14

14%

Fresa

11

0.22

22%

Papaya

6

0.12

12%

Mango

9

0.18

18%

Total

50

0.98

100%


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Lección 36 Frecuencia absoluta y relativa II Profundiza 6. Lee los planteamientos y construye, en tu cuaderno, la tabla correspondiente de frecuencia absoluta, relativa y porcentaje.

Oriéntate En estadística una muestra es un subconjunto de casos o individuos de una población. La muestra sirve para hacer un estudio más rápido y menos costoso.

a) Las preguntas que contestaron los 46 alumnos de 3° B en el examen de Matemáticas fueron las

siguientes. 32, 45, 49, 21, 19, 32, 50, 32, 21, 43, 18, 26, 25, 26, 32, 49, 50, 49, 32, 43, 45, 50, 32 18, 50, 43, 32, 32, 32, 45, 21, 18, 49, 18, 50, 50, 32, 45, 48, 32, 50, 43, 32, 19, 21, 32 b) Se les pidió a veinte trabajadores que indicaran el tiempo (en minutos) aproximado que se tardan

en llegar de su casa al trabajo. Sus respuestas fueron las que se muestran a continuación. 60, 30, 45, 20, 45, 90, 35, 20, 40, 60 90, 70, 105, 50, 60, 80, 90, 20, 45, 60 c) Se preguntó a 374 estudiantes: “¿Qué es lo mejor de regresar a clases?”, a lo que 227 contesta-

ron: “Ver a mis amigos”; 49, “Jugar a la hora del receso”; 48, “No estar aburrido en casa”; 37, “Recibir dinero para el almuerzo”; y 13, “Estudiar”. d) Completa la tabla. Matemáticas Grado

Núm. de alumnos

Alumnos reprobados

1°

60

10%

6

2°

40

10%

3°

55

20%

4 11

4°

50 40

10% 20%

5

5° 6°

24

25%

6

i. ¿En qué grado hubo más alumnos reprobados?

8

En 3°

ii. Si se comparan los grados primero y segundo, ¿en cuál hubo menos reprobados?

En 2°

7. Reúnete con un compañero. Lean el siguiente planteamiento y hagan, en su cuaderno, lo que se pide.

En una escuela secundaria se preguntó a 30 alumnos cuántos lápices tienen, las respuestas obtenidas fueron las siguientes: 8, 23, 14, 7, 12, 29, 1, 17, 21, 9, 2, 6, 11, 3, 15, 27, 5, 30, 26, 20, 4, 28, 19, 25, 18, 24, 16, 22, 13, 10. i. Ordenen de menor a mayor los datos anteriores. ii. Elaboren una tabla en la que indiquen la frecuencia absoluta y la relativa. iii. Comenten las características de la tabla obtenida. iv. Compartan con su grupo la respuesta anterior y obtengan conclusiones.


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Lección 36 8. Reúnete en equipo; analicen la tabla y hagan lo que se pide. El planteamiento de la actividad 7 se puede representar con la siguiente tabla. Cantidad de lápices

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

1–5

5

0.16

6–10

5

0.16

11–15

5

0.16

16–20

5

0.16

21–25

5

0.16

26–30

5

0.16

Total

30

1

i. Comenten las diferencias y semejanzas con las tablas anteriores. ii. Comenten en qué casos será conveniente trabajar este tipo de tabla. iii. Escriban, en su cuaderno, una conclusión.

Cuando hay grandes cantidades de datos recopilados se agrupan para dar un mejor manejo. Cuando los datos son agrupados se les denomina intervalos de frecuencia; estos deben tener la misma amplitud y a cada intervalo se le asigna su frecuencia correspondiente. 9. Reúnete con tres compañeros y elaboren una tabla con frecuencia absoluta, relativa y el porcentaje con los datos proporcionados. a) 14, 23, 12, 6, 9, 13, 8, 4, 9, 7, 11, 25, 29, 13, 2, 5, 4, 3, 19, 24. b) 3, 5, 9, 8, 6, 7, 9, 2, 5, 4, 9, 4, 8, 7, 6, 3, 4, 9, 6, 2, 1, 9, 7, 5, 9, 4, 3, 1, 5, 2, 9, 8, 4, 7, 6, 5, 2, 1,

3, 6, 4, 9, 5, 8, 7, 2, 6, 1, 2, 8. c) 108, 54, 76, 23, 47, 11, 43, 5, 39, 61, 85, 93. 10. Compartan sus tablas con sus compañeros de grupo y debatan las ventajas y desventajas del uso de tablas para ordenar y presentar información.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-177a, donde se encuentra una actividad de frecuencia relativa. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-177b, donde hay una guía para calcular la frecuencia relativa y la absoluta. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-177c, donde se explica cómo calcular la frecuencia relativa.

Para la bi†ácora

Pregunta a cada uno de tus amigos cuál es su grupo musical favorito. Recopila la información y determina la frecuencia absoluta y relativa. Presenta los resultados en el grupo.


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Bitácora Lecciones 23 y 24 a) Una cancha de futbol mide 45.9 m de ancho por 90.12 m de largo.

4 136.508 m2

¿Cuál es su área?

b) Roberto compró un espejo cuadrado de 0.85 m de lado.

¿Cuántos metros de material necesita para enmarcarlo?

3.4 m

Lecciones 25 y 26 a) Marco atiende una dulcería. El dueño le dio 2.125 kg de gomitas y ordenó repartirlas

en cinco bolsas con la misma cantidad de piezas. ¿Cuántas deben ir en cada bolsa?

0.425 kg

b) Un automóvil ha recorrido 138.75 km con 18.5 L de gasolina. En promedio,

7.5

¿cuántos kilómetros recorre con cada litro de combustible?

c) Juan José compró 6.5 kg de mandarinas y pagó $78.00, ¿cuánto costaba el kilogramo? $12.00

Lecciones 27, 28 y 29 a) Lee los problemas, plantea la ecuación correspondiente y resuelve las ecuaciones. i. Hasta ahora, Humberto ha ahorrado $134.00. Si el pasado viernes su abuelita le dio $49.00,

¿cuánto tenía antes de ese día? Ecuación

x + 49 = 134

Solución

x = 85

ii. Miguel compró 24 libretas iguales y pagó $573.60. ¿Cuánto costó cada una?

Ecuación

Solución

24x = 573.6

x = 23.9

iii. Jesús compró __34 kg de queso y __12 kg de crema (el precio del kilogramo era de $60.00).

Si en total pagó $112.50, ¿cuánto costaba el kilogramo de queso? Ecuación 3 __ 4

178

x+

__1 2

(60) = 112.5

Solución

x = 110

Bloque 3

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30

Bitácora Lecciones 30 y 31 a) Construye, en tu cuaderno, un hexágono que mida 4 cm de lado. b) Traza un pentágono regular inscrito en la circunferencia de la derecha.

Lección 32 a) La apotema del Pentágono (incluso con el jardín) es de 196 m y cada lado mide 283 m.

138 670 m2

¿Cuál es el área total que ocupa el edificio con el jardín incluido? b) Si la apotema del jardín interior mide 75 m y cada lado mide 108 m,

118 420 m2

¿qué superficie tendrá solo el edificio? c) ¿Cuál es el perímetro del jardín?

540 m

Lección 33 Sara fue a la papelería y pidió que ampliaran al doble su Cédula de Identificación Fiscal.

Al ver que había quedado demasiado grande, solicitó que la redujeran a __15 de su tamaño actual.

a) Si las medidas originales de su cédula eran 5 cm × 10 cm, ¿cuánto midió la última copia? 2 cm x 4 cm 2 __

b) ¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad final?

5

Lección 34 Pilar lanzó una moneda tres veces. a) ¿Cuántos resultados puede obtener y cuáles son? 8, sss, ssa, sas, saa, ass, asa, aas, aaa b) Efectúa lo mismo que Pilar y verifica tu respuesta anterior. ¿El resultado que obtuviste es una

de las opciones anteriores?

si,

¿Por qué? porque se anticiparon

todos los posibles resultados Lecciones 35 y 36 Se preguntó a un grupo de personas qué objeto era vital para ellas. La información

obtenida se registró en la tabla. Completa los datos que faltan. Objeto Lentes Llaves Reloj Dentadura Cepillo dental Total

Frecuencia absoluta 13 4 5 1 2 25

Frecuencia relativa

Porcentaje

0.52 0.16 0.2 0.04 0.08 1

52% 16% 20% 4% 8% 100% Bloque 3

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179

30

Laboratorio de matemáticas Trazo de polígonos regulares con tiras de papel 1. Construye tres polígonos regulares mediante los procedimientos que se indican. Responde las preguntas en tu cuaderno.

Procedimiento

Consigue una hoja de tamaño carta y recorta una tira de 3 cm de ancho.

Toma los extremos de la tira y anúdalos.



Ilustración

a) ¿Qué polígono obtuviste?, ¿cuánto miden sus lados?, ¿cuánto mide cada ángulo interno? b) Dobla el polígono y traza sus mediatrices; el punto donde estas se cortan es el centro. c) Traza una apotema y mídela. Calcula el área del polígono. Procedimiento

Recorta dos tiras de 3 cm de ancho.

Toma los extremos de las tiras y anúdalos.



Ilustración

d) ¿Qué polígono obtuviste?, ¿cuánto miden sus lados?, ¿cuál es su perímetro?, ¿cuánto mide cada

ángulo interno? e) Traza una apotema y mídela. Calcula el área del polígono.

Procedimiento

Utiliza el papel sobrante y dóblalo como se muestra en la ilustración.

Aplana la figura por el doblez.


Ilustración

f) ¿Qué polígono obtuviste?, ¿cuánto miden sus lados?, ¿cuánto miden los ángulos internos formados

por los lados?

180

Bloque 3

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30

En el tintero Cálculo de porcentajes Para transformar un número decimal en porcentaje, solo se multiplica la cantidad por 100 y se escribe al final el símbolo %. Por ejemplo: 0.3 × 100 = 30, así, 0.3 representa 30%. Para convertir una fracción en porcentaje, primero se transforma la fracción en decimal y, posteriormente, en porcentaje. Por ejemplo: __52 = 2 ÷ 5, __52 = 0.4 y 0.4 × 100 = 40, así __52 representa 40%. Para transformar porcentajes en decimales, se quita el símbolo % y se divide entre 100. Por ejemplo: 30% = 30 ÷ 100 = 0.3; así, 30% representado como decimal es 0.3. Para transformar porcentajes en fracciones, se elimina el símbolo %, luego se escribe una fracción con el número del porcentaje como numerador y 100 como denominador, y, finalmente, se reduce 82 = 41 ; así, 82% equivale en fracción a 41 . la fracción obtenida. Por ejemplo: 82% = 100 50 50 1. Completa la tabla. Fracción

Decimal

Porcentaje

__1

0.125

12.5%

0.32

32%

0.67

67%

8

32 8 ___ = ___ 25 100 67 ___ 100

¿Cuánto es 20% de 120? Para calcularlo, solo se multiplica el porcentaje por la cantidad y se divide el resultado entre 100. Es decir, 20 × 120 = 2 400 y 2 400 ÷ 100 = 24; por lo tanto, 24 es 20% de 120. ¿Qué porcentaje de 70 es 28? Para determinarlo, se divide la parte entre el todo y se multiplica por 100. Es decir, 28 ÷ 70 = 0.4 y 0.4 × 100 = 40; por lo tanto, 28 es 40% de 70. ¿De qué número 15 representa 25%? Para saberlo, se divide la cantidad entre el porcentaje y el resultado se multiplica por 100. Esto es, 15 ÷ 25 = 0.6 y 0.6 × 100 = 60; por lo tanto, 15 es 25% de 60. 2. Completa la tabla.

Cantidad total

Porcentaje

Cantidad parcial

80

30%

24

100

48%

48

300

12%

36

120

75%

90

256

50%

128

1 154

49%

565.46

3. Discute grupalmente el uso de porcentajes en la vida cotidiana. Redacten dos ejemplos en su cuaderno. Discutan y acuerden sobre los beneficios de su uso.

Bloque 3

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181

30

Bloque 3 Evaluación Lee los planteamientos, elige la respuesta correcta y márcala en la sección de respuestas. 1. ¿Cuál es el resultado de multiplicar 1.5 por 0.05? A) 7.5

B) 0.75

C) 0.075

D) 75

2. Irma requiere 0.125 kg de azúcar para preparar un pastel, ¿qué cantidad de azúcar necesitará para preparar siete pasteles? A) 0.875 kg

B) 875 kg

C) 8.75 kg

D) 0.0875 kg

3. Paco desea distribuir 1.2 kg de chocolates en partes iguales a sus cuatro sobrinos. ¿Cuánto le debe dar a cada uno? A) 3 kg

B) 0.3 kg

C) 0.03 kg

D) 0.4 kg

4. Anselmo cosechó 24.5 kg de manzanas en su pequeña huerta. Si las vendió a $465.50, ¿cuál era el precio del kilogramo? A) $441.00

B) $20.00

C) )$19.00

D) $18.00

5. Isabel se compró un pantalón de $219.90 y le sobraron $183.10. ¿Cuánto dinero tenía antes de pagarlo? Elige la ecuación que representa el problema. A) x + 183.1 = 219.9

B) x – 183.1 = 219.9

C) x + 183.1 = 219.9

D) x – 219.9 = 183.1

6. María le dio a su sobrina ocho dulces para que completara dos docenas. ¿Cuántos dulces tenía su sobrina antes? Identifica la ecuación que define el problema. A) x + 8 = 24

B) x + 2 = 8

C) x – 2 = 8

D) x – 8 = 24

7. Cuatro bultos de grano de café pesan 128 kg. Si todos contienen la misma cantidad, ¿cuál será el peso de cada uno? Selecciona la ecuación con la que se soluciona el problema. 128 A) ___ x =4

B) 4x = 128

C) x= 128 – 4

D) 128(4) = x

8. Ricardo compró seis plumas iguales. Si pagó con un billete de $200.00 y le regresaron $68.00 de cambio, ¿cuánto le costó cada una? Identifica la ecuación que se plantea. A) x – 200 = 68

B) 6x = 68

C) 6x + 68 = 200

D) 200 – 68 = x

9. ¿Cuál es la fórmula para calcular la medida del ángulo central de cualquier polígono regular? 360° A) __________

Número de lados

180° B) __________ Número de lados

C) Número de lados por 360°

Número de lados D) __________ 360°

10. ¿Cuál es la medida del ángulo central de un pentágono regular? A) 60°

B) 72°

C) 50°

D) 36°


6²(;3B0B%BLQGG

30

Bloque 3 Evaluación 11. Un círculo de 51.96 cm de radio se encuentra inscrito dentro de un hexágono regular que mide 60 cm de lado. ¿Cuál es el perímetro y el área del polígono? A) 9 352.8 cm y 360 cm2

B) 3 600 cm y 7 200 cm2

C) 360 cm y 14 400 cm2

D) 360 cm y 9 352.8 cm2 A

D

12. Si el precio de un bote de leche en polvo se incrementó 10% a mediados de año y se pronostica que aumentará 5% a finales, ¿cuál será el incremento total que tendrá? A) 15.5%

B) 15%

C) 50%

Figura A B

D) 5%

13. ¿Cuáles son las constantes de proporcionalidad aplicadas consecutivamente a la figura A para obtener la B y luego la C? A) 32 y 12

B) 12 y 32

C) 12 y 23

D) 32 y 2

C A‘

D‘

B‘

C‘

Figura B

A“

D“

14. Un proyector muestra en una pared un recuadro blanco de 4 cm × 3 cm. Después de un primer ajuste, se aumentó el tamaño del recuadro por un factor de 43 . Luego de otro ajuste, de nuevo se amplió por un factor de 32 . ¿Cuál es su área final?

Figura C

B“

A) 18 cm2

B) 16 cm2

C) 48 cm2

C“

D) 24 cm2

Analiza la tabla y contesta de la pregunta 15 a la 18.

A) 40

B) 15

C) 25

D) 20

16. ¿Cuál es la frecuencia absoluta de 6 de calificación? A) 6

B) 5

10 9 8 7 6

Frecuencia Frecuencia Porcentaje absoluta relativa 2 0.1 10% 6 30% 4 0.2 3 0.15 15% 0.25 25%

13. A

B

C

D

17. A

B

C

D

18. A

B

C

D

Calificación

15. ¿Cuál es la suma de las frecuencias absolutas?

C) 20

D) 25

17. ¿Cuál es la frecuencia relativa de 9 de calificación? A) 0.3

B) 0.6

C) 0.9

D) 0.15

18. ¿Cuál es el porcentaje de 8 de calificación? A) 80%

B) 40%

C) 20%

D) 2%


B

C

D

5. A

B

C

D

9. A

B

2. A

B

C

D

6. A

B

C

D

10. A

B

C

D

14. A

B

C

D

3. A

B

C

D

7. A

B

C

D

11. A

B

C

D

15. A

B

C

D

4. A

B

8. A

B

C

D

12. A

B

C

D

16. A

B

C

D

C

D

C

D


6²(;3B0B%BLQGG

30

Los desarrollos tecnológicos y científicos que amplían el conocimiento humano provienen casi siempre de ideas creadas por personas con un incesante espíritu explorador. Cuestionarse cuál es la causa de un fenómeno, cómo funciona un aparato o de qué otra manera se soluciona un problema son ejemplos de preguntas que han contribuido al desarrollo de la ciencia y, por consiguiente, a mejorar la calidad de vida. En este bloque se necesita tu actitud exploradora para resolver problemáticas relacionadas con el manejo de números enteros (positivos y negativos) y la proporcionalidad directa e inversa, así como el análisis de datos numéricos y su expresión por medio de gráficas. En cuanto a la geometría, se presentan situaciones referentes a la construcción del círculo y las fórmulas para calcular su longitud y área. Estos aprendizajes te servirán en tu camino como explorador de la vida.

Bloque 4 184

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30

Aprendizajes esperados 1. Construye círculos y polígonos regulares que cumplan con ciertas condiciones establecidas. 2. Lee información presentada en gráficas de barras y circulares. Utiliza estos tipos de gráficas para comunicar información.

185

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30

Lección 37 Números con signo I Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: números y sistemas de numeración

La línea del tiempo Pitágoras fue un matemático griego que nació en la isla de Samos, en el año 587 a.n.e., y murió

Contenido Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos.

80 años

en el 507 a.n.e. ¿Cuántos años vivió?

1. Observa la línea del tiempo y contesta las preguntas. 2000-0

0-1596

0 En Mesopotamia resuelven ecuaciones (2000)

Nace Pitágoras (587)

Euclides escribe Los Elementos (300)

Inventan y usan el cero en India (876)

Nace Descartes, creador del plano cartesiano (1596)

a) ¿Cuántos años de diferencia hay entre el nacimiento de Pitágoras y el de Descartes? 2 183

En la línea del tiempo, el año 0 es el punto de referencia: los números que están a la derecha representan los años de nuestra era (n.e.) y los que se encuentran a la izquierda indican los años antes de nuestra era (a.n.e.).

Oriéntate En Occidente, el sistema para medir el tiempo establece que nuestra era se inicia con el nacimiento de Jesucristo.

b) El emperador romano César Augusto nació en el año 63 a.n.e. y murió en el 14 n.e.

77

¿Cuántos años vivió?

c) El primer periodo de la civilización egipcia comenzó en el año 5500 a.n.e. y duró 3 200 años.

¿En qué año terminó?

2 300 a.n.e

En la recta numérica, para cada número ubicado a la derecha del cero existe uno contrario que se localiza a la misma distancia, pero a la izquierda. Para distinguirlos, se denomina positivos a los números que están a la derecha del cero y negativos a los que se encuentran a su izquierda (a estos últimos se les coloca el signo de menos).

–72

–10

0

10

72

Un paso adelante 2. Analiza el planteamiento y contesta las preguntas.

El termómetro es un instrumento con el que se mide la temperatura. En nuestro país, se usa la escala Celsius (ºC) cuya referencia es el punto de congelación del agua (0 ºC). a) Un día de invierno, la estación meteorológica del Nevado de Toluca registró 3 ºC a las

6:00 h . y –12 ºC a las 11:00 h. ¿Cuántos grados disminuyó la temperatura entre esas horas?

15 grados 186 Bloque 4 Lección 37

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30

Lección 37 b) Otro día se registraron 2 ºC a las 18:00 h, pero a las 23:00 h la temperatura descendió 14 ºC.

¿A qué grados se llegó a las 23:00 h?

2 grados

El elevador El papá de Luis trabaja en un edificio donde hay una recepción que se encuentra en la planta baja (o piso 0), algunas oficinas repartidas en varios pisos y cuatro niveles subterráneos de estacionamiento. 3. Haz lo que se solicita. a) Si su papá tomó el elevador en el piso 10 y después bajó doce pisos, ¿en cuál bajó? Utiliza una

operación que represente el problema, resuélvela y escribe el resultado.

10 - 12 = -2 b) Víctor llegó en su coche y se estacionó en el tercer nivel subterráneo; luego, subió a su oficina

que está ocho pisos más arriba. Expresa una operación que te permita determinar en qué piso se encuentra su oficina.

-3 + 8 = 5

Existen elevadores que utilizan números negativos para indicar los pisos subterráneos.

4. Reúnete con un compañero, lean el planteamiento y efectúen lo que se pide.

Una persona entró al elevador en la planta baja, subió al piso 9, después bajó trece pisos, luego ascendió cuatro y finalmente descendió uno. ¿En qué piso terminó su recorrido? En su cuaderno, escriban una operación que les permita encontrar la respuesta. Comenten con sus 9 - 13 + 4 - 1 = -1 compañeros el procedimiento que usaron.

Un paso adelante 5. Lee el planteamiento y contesta las preguntas.

Un cormorán volaba a 25 m sobre el nivel del mar, observó su presa y se zambulló 5 m. a) Si el nivel del mar se considera el punto de referencia (0 m), ¿cuántos metros descendió el ave

de la altura a la que volaba para obtener su presa?

30 metros

b) Después de atrapar un pez, el cormorán ascendió 3.5 m para atrapar otro más peque-

ño; posteriormente, ascendió 1.5 m, luego subió 18 m y, finalmente, descendió 20.3 m. ¿A cuántos metros sobre el nivel del mar o bajo él terminó su trayectoria? a 2.7 metros

sobre el nivel del mar

c) Es posible expresar los metros bajo el nivel del mar en cantidades negativas y los metros sobre

el nivel del mar, en positivas. Si un cormorán está a –8 m y asciende 4.5 m, ¿a cuántos metros se encontrará? Escribe una operación que te permita obtener la respuesta.

a -3.5 m , pues -8 + 4.5 = -3.5

El cormorán es un ave acuática que obtiene su alimento zambulléndose en el agua hasta 10 m de profundidad.


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30

Lección 37 Números con signo I Profundiza Antonio trabaja en una estación meteorológica y registra diariamente la variación de la temperatura. En la tabla que se muestra anotó la temperatura en diferentes momentos del día. 4:00 h

5:00 h

6:00 h

7:00 h

8:00 h

–5 ºC

–3 ºC

–2.5 ºC

2.5 ºC

3.5 ºC

6. Responde las preguntas. a) ¿Cuántos grados aumentó la temperatura de las 4:00 h a las 6:00 h?

2.5

b) ¿Cuál es el promedio de temperatura entre las 4:00 h y las 5:00 h?

-4° C

c) La temperatura registrada a las 6:00 h se parece a la de las 7:00 h. ¿Qué diferencia observas entre

ellas?

Los signos; una temperatura es bajo cero y la otra no 0°C

¿A cuántos grados es el punto de congelación del agua?

0°

d) ¿Cuál es el promedio de temperatura entre las 6:00 h y las 7:00 h?

7. Traza una recta numérica en tu cuaderno y localiza los números –4, – 3 , –5.5, 3.5, 0, 1 y 2 1 . 4

2

8. Analiza la situación y contesta las preguntas en tu cuaderno.

Víctor y Vicente juegan con una perinola cuyas caras tienen las siguientes leyendas: +1 (Toma 1), +2 (Toma 2), –1 (Pon 1), –2 (Pon 2), /–1 (Todos ponen 1), - (Toma todo: fin del juego). Para iniciar el juego, cada uno colocó dos fichas; Víctor tiró primero.

Jugadores

Rondas del juego

Víctor

–2

+1

/ –1

+2

–2

Vicente

–1

–2

–2

+2

–1

-

a) Escribe una operación con las rondas de juego de Víctor y obtén el resultado.

-2 + 1 - 1 + 2 - 2 = -2

b) Escribe una operación con las rondas de juego de Vicente y obtén el resultado.

-1 - 2 - 2 + 2 - 1 = -4

c) Comparte tus respuestas con tus compañeros. Registren dudas y comenten cómo resolverlas.

Los números positivos y negativos permiten representar y resolver problemas en diversas situaciones, por ejemplo: indicar los años antes de nuestra era y en nuestra era, las temperaturas bajo cero, los pisos en un edificio al nivel del suelo y bajo el nivel del suelo, los metros sobre el nivel del mar o bajo él, la ganancia o pérdida, o la ubicación de cantidades en la recta numérica.


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30

Lección 37 9. Analiza la situación y haz lo que se pide. a) Un submarino utilizado para investigación científica estaba en un barco a 18 m

sobre el nivel del mar. Al llegar al punto indicado en el océano, descendió 450 m.

-432 m

¿Qué profundidad alcanzó?

b) Francisco recolecta información en varias estaciones meteorológicas. El lunes pasado le enviaron

los siguientes datos de la estación “Nevado de Colima”. –5 ºC, 5.5 ºC, 3.2 ºC, 4.5 ºC, –6 ºC, –3.3 ºC, 0.5 ºC, –6 ºC, –0.5 ºC, 1.2 ºC, 0 ºC i. Ubica en la recta numérica las temperaturas. –5 °C, –0.5 °C, 0.5 °C, –9

–8

–7 –6

–5 –4

–6 °C,

–3 –2

–3.3 °C,

–1

0

1

3.2 °C, 5.5 °C, 2

0 °C 1.2 °C,

3

4

5

6

7

8

9

4.5 °C

ii. Con base en la recta, ordena las temperaturas de mayor a menor valor.

5.5 °C, 4.5 °C, 3.2 °C, 1.2 °C, 0.5 °C, 0 °C, -0.5°C, -3.3 °C, -5 °C, -6 °C iii. ¿Qué temperatura fue la menor?

-6 °C

10. Copia la tabla en tu cuaderno y describe, en la tercera columna, una situación que represente cada operación. Elige un ejercicio y muestra a tus compañeros el procedimiento que usaste. Operación

Resultado

Descripción

(–6) + ( 3 )

-5__3

(–6) + 2

-4

–9 + 1

-8.5

R. P.

-1

R. P.

2

1

2

– 1 + (– 1 ) 2

2

R. P. La posición inicial de un pez es de –6 m, luego nada hacia la superficie y asciende 2 m.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-189a, donde se encuentran ejercicios para sumar números enteros. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-189b, donde hay ejercicios de suma y resta de números enteros. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-189c, donde se explica el uso de los números enteros en la vida cotidiana.


La ciudad de Calipatria, Estados Unidos de América, se encuentra a –54 m del nivel del mar. Sus habitantes deseaban que la bandera ondeara al nivel del mar y construyeron el asta más grande del mundo. ¿Podrías determinar cuánto mide? Lección 37 Bloque 4 189

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30

Lección 38 Números con signo II Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Te m a : números y sistemas de numeración

Contenido

Raúl obtuvo esta gráfica de la estación meteorológica automática ubicada en el Nevado de Toluca. En ella, se registraron las temperaturas cada 10 min, de las 00:00 h a las 16:00 h del 20 de noviembre de 2008. Estación: MX04 – NEVADO TOLUCA, ultimo dato: 20/11/2008 03:00 TUC Temperatura en las ultimas 24 horas (cada 10 minutos) 6

Temperatura (Centigrados)

Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos.

Los cambios de temperatura: valor absoluto

5 4 3 2 1 0

–1 –2 00

02

04

06

08

10

12

14

Servicio Meteorológico Nacional en http://smn.cna.gob.mx/emas/

16

FECHA/HORA (TUC)

1. Responde en tu cuaderno las preguntas con base en la información de la gráfica. a) A las 00:00 h, la temperatura fue de –2 ºC y a las 08:00 h, de 0 ºC. ¿En cuántos grados cambió?

Subió 2 °C

b) Entre las 8:00 h y las 10:00 h, ¿en cuántos grados cambió la temperatura?

Descendio -1 °C

c) ¿Cuál fue la temperatura a las 02:00 h? ¿Y cuál fue a las 16:00 h?

-1.5 °C y 1.5 °C

d) ¿Por qué son diferentes las temperaturas que se registraron a las 02:00 h y a las 16:00 h?

Por el signo, una es positiva y otra negativa

e) La temperatura a las 07:00 h fue de –0.5 ºC; a las 8:00 h, de 0 ºC; y a las 9:00 h, de 0.5 ºC.

Una estación meteorológica es una instalación destinada a medir y registrar regularmente diversas variables meteorológicas.

07:00 h –0.5

–1

8:00 h 0

9:00 h 0.5

1

¿Cuánto cambió la temperatura de las 7:00 h a las 8:00 h? ¿Cuánto se modificó la temperatura

0.5 °C

de las 8:00 h a las 9:00 h?

El valor absoluto de un número se interpreta como la distancia que tiene respecto al cero. Dado que las distancias siempre son positivas, este valor también es positivo. Para indicarlo, se coloca el número entre dos barras verticales; por ejemplo, |5| = 5 y |–5| = 5.

Un paso adelante 2. Traza una recta numérica en tu cuaderno y ubica los números –4, –5, –2.5, – 1 , 0.5, 2.5, 2

3.5, –1, 1 y 2. 3. Determina el valor absoluto de cada uno. |–4| =

4

1| = |_ 2

__1 ,

|–2.5| =

2.5,

|3.5| =

3.5,

|–1| =

1,

1| = |1_ 2

1__2 ,

2

1

1 | = __1 |– _ , 2 2 |2| =

|0.5| =

0.5,

|2.5| = 2.5,

2


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30

Lección 38 La cristalería: el simétrico u opuesto de un número 4. Reúnete con un compañero, lean el planteamiento y contesten las preguntas en su cuaderno.

Diana es dueña de una cristalería. Ayer recibió un pedido de floreros, pero desafortunadamente en el traslado se rompieron algunos, lo que ocasionó que tuviera una pérdida de $400.00. Hoy vendió una gran cantidad de vasos y tuvo una ganancia de $400.00. a) ¿Qué fue mayor, la ganancia o la pérdida? Expliquen su respuesta.

Son del mismo tamaño; la pérdida de ayer se compensa con la ganancia de hoy

b) Si con la ganancia paga la pérdida, ¿con qué cantidad de dinero se quedará? Expliquen su respuesta.

Con $0.00; al final salió “tablas”, es decir, ni ganó ni perdió dinero.

c) Si las ganancias se representan con números positivos y las pérdidas con negativos, representa

Oriéntate El opuesto de un número es otro con el que, al sumarse, el resultado da cero. Por ejemplo, el opuesto de –5 es 5. –5+5=0

en una recta numérica el planteamiento anterior.

-$400

$400 0

d) Muestren las rectas numéricas a sus compañeros y contesten las preguntas. i. A partir del cero, ¿cuál es la distancia mayor, del cero a las ganancias o del cero a las pérdidas?

Expliquen su respuesta. R. T. Ambas distancias son iguales, pues se ganó y

se perdió la misma cantidad de dinero.

ii. Discutan y acuerden qué significa opuesto o simétrico.

Oriéntate

Un paso adelante 5. Lee el planteamiento y contesta, en tu cuaderno, lo que se pide.

La fosa de Java, ubicada en el océano Índico, tiene una profundidad aproximada de 7 700 m bajo el nivel del mar. La montaña Jannu, situada en la cordillera del Himalaya, tiene una altura cercana a 7 700 m sobre el nivel del mar.

En una recta numérica, se puede ubicar cualquier número; sin embargo, debes tener mucho cuidado al elegir la escala correcta. Si quieres situar 2 500 y tu recta numérica va de 1 en 1, la labor no será práctica.

a) Elabora un dibujo en que se muestre el nivel del mar, la fosa de Java y la montaña Jannu. b) Explica, para este caso, el sentido del valor opuesto de ambos números. c) Traza una recta numérica en que consideres el nivel del mar como punto de referencia (0 m);

después, ubica la fosa de Java y la montaña Jannu. Señala también los siguiente lugares: el cerro Aconcagua (6 960 m) en Argentina; la cuenca de Eurasia (–5 450 m) en el lugar más profundo del océano Ártico; y el volcán Kilimanjaro (5 895 m) en Tanzania, África. d) Muestra al grupo tu recta numérica. Comenten qué dificultades tuvieron y cómo las resolvieron. Lección 38 Bloque 4 191

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Lección 38 Números con signo II Profundiza 6. Ubica las temperaturas sobre la imagen del termómetro.

0.3 ºC, – 25 ºC, 2.1 ºC, –4.5 ºC, –3.3 ºC, 1.5 ºC, – 49 ºC, –3.5 ºC 2 __

a) Ordena los números anteriores de mayor a menor valor.2.1 °C, 1.5 °C, 0.3 °C, - 5 °C,

- __9 °C, -3.3 °C, -3.5 °C, -4.5 °C 4

7. Completa la tabla. Número

Valor absoluto

Número opuesto

Valor absoluto + 1

Número opuesto + 1

–1 1

1 1_ 3

1 1_ 3

1 2_ 3

1 2_ 3

0.75

0.75

-0.75

1.75

0.25

–5.5

5.5

5.5

6.5

6.5

–0.75

0.75

0.75

1.75

1.75

6.75

6.75

-6.75

7.75

–5.75

–3

3 _ 4

3 _ 4

3 1_ 4

3 1_ 4

–5.75

5.75

5.75

6.75

6.75

–4

4 _ 5

4 _ 5

4 1_ 5

4 1_ 5

3

4

5

8. Escribe una situación para cada número. Observa el ejemplo. a) 18 La temperatura de hoy fue de 18 ºC. b) –3

R.P.

c) – 1

R.P.

2

d) – 6.5 R.P.


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Lección 38 9. Lee las oraciones, determina la cantidad a la que se refieren y ubícala en la recta numérica de abajo. Aunque sean cantidades que miden diferentes magnitudes, todas se pueden situar en la recta. a) Luisa comió una rebanada de pastel que equivale a la quinta parte. b) Pablo fue a visitar en Navidad a sus abuelos que viven en Durango. El promedio de temperatura

que había durante la noche era de –5.4 ºC. c) Andrea asistió al espectáculo de clavados en La Quebrada, Acapulco. La altura de este acantilado

es de 35 m sobre el nivel del mar. d) Juan Luis vive en Toluca, donde una mañana de invierno había una temperatura de –2 ºC.

-5.4

-2

__1

35

5


La profesora Susana está montando una coreografía para sus alumnas de ballet. Hoy le dio ciertas indicaciones a una de ellas: “Del punto de origen (0) muévete cuatro pasos a la derecha, deslízate nueve a la izquierda, salta doce a la derecha y, finalmente, camina ocho a la izquierda”. Representa en la recta numérica los desplazamientos.

4 - 9 + 12 - 8 = -1

11. Organiza con tu grupo un debate sobre algunas situaciones cotidianas que pueden ser expresadas con números negativos. Escriban en su cuaderno una breve conclusión acerca de su empleo.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-193a, donde se encuentran ejercicios de números positivos y negativos. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-193b, donde hay un juego con números enteros. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-193c, donde se describen las características de los números enteros y su localización en la recta numérica. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-193d, donde se explica el origen de los números enteros y, en particular, el uso de los números negativos.

Para la bitácora

En Verkhoyamsk, Rusia, se registró una temperatura miníma de –52 ºC en diciembre de 2009 y durante el verano de ese mismo año se alcanzó una máxima de 30 ºC. ¿Cuál es la diferencia entre ambas?


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Lección 39 Construcción de círculos Eje: forma, espacio y medida Tema: figuras y cuerpos

Contenido Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas.

Construcciones con regla y compás: Circunferencia el círculo y sus elementos

Círculo

1. Analiza los trazos en la figura. Diámetro

Radio Centro

Cuerda

2. Relaciona con una línea el nombre de cada elemento con su definición. Circunferencia

Segmento de recta que toca dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro.

Círculo

Segmento de recta que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia y cuya medida es la mitad de la longitud del diámetro.

Diámetro

Segmento que une dos puntos cuales quiera de la circunferencia.

Radio

Línea curva cerrada donde todos los puntos que la conforman están a la misma distancia del centro.

Cuerda

Región interior delimitada por la circunferencia.

3. Analiza el trazo de una circunferencia cuyo radio está dado, contesta las preguntas y haz lo que se pide.

r

0

a) ¿Qué instrumentos geométricos se requerirán para trazar una circunferencia si se conoce la medida

del radio?

Compás y regla graduada

b) ¿A qué medida se abrirá el compás? A la medida del radio c) Describe el procedimiento para construir la circunferencia.

R. P.

d) Si conocieras la longitud del diámetro, ¿qué procedimiento seguirías para trazar

la circunferencia?

Abrir el compas a la mitad de la medida del diámetro

e) Comparte con tus compañeros las respuestas y comparen procedimientos. 4. Efectúa los que se indica en tu cuaderno. a) Traza una circunferencia de 5 cm de diámetro.

b) Traza una circunferencia de 3 cm de radio.

Es posible trazar una circunferencia cuando se conoce su radio, diámetro o una cuerda, o se han dado tres puntos de ella.


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Lección 39 Un paso adelante 5. Reúnete con un compañero. Analicen el procedimiento para trazar una circunferencia con una cuerda dada y contesten las preguntas. a) Se conoce una cuerda cuya longitud es el segmento AB. B A b) Se traza otro segmento de tamaño similar a la cuerda, pero que no sea paralelo ni perpendicular

a ella. D

B A

C c) Se trazan las mediatrices de la cuerda y del segmento, y se extienden hasta cortarse como se

muestra en el dibujo.

B

D

A C d) Se designa con la letra O el punto donde se cortan las mediatrices; este será el centro

de la circunferencia. e) Se traza la circunferencia; su radio debe ir del centro a uno de los extremos de la cuerda inicial.

O

B

D

A C f) Tracen, en su cuaderno, un segmento que mida 3 cm y, a partir de él, construyan una circunferencia.

Sigan el procedimiento descrito. g) ¿Cuántas cuerdas tiene una circunferencia?

Argumenten su respuesta en su cuaderno.

La cuerda de mayor longitud en una circunferencia es el diámetro.

Una infinidad

h) ¿Cuántas circunferencias es posible trazar si se conoce una cuerda?

Oriéntate

Una infinidad

i) Compartan el argumento con sus compañeros, propongan algunos casos para verificarlo y escriban

en su cuaderno una breve conclusión. Lección 39 Bloque 4 195

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30

Lección 39 Construcción de círculos Profundiza Cuando tres puntos no colineales o alineados se conocen, es posible trazar una circunferencia que pase por ellos.

6. Reúnete con dos compañeros. Analicen la construcción de una circunferencia a partir de tres puntos no alineados y hagan lo que se pide. B

a) Se designan tres puntos no alineados con las letras A, B y C.

A

C

B

A

C

b) Se une el punto A con el punto B y este último con el punto C.

B

A

C

c) Se traza la mediatriz de los segmentos AB y BC.

B

A

O

C

d) Se designa con la letra O el punto donde se cortan las mediatrices.

B

e) Se traza una circunferencia cuyo centro sea el punto O y cuyo radio sea el segmento OA.

A

O

C

f) Tracen, en su cuaderno, tres puntos no colineales y una circunferencia que pase por ellos. g) ¿Por qué solo se puede trazar una circunferencia que pase por tres puntos dados? Contesten

en su cuaderno.


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30

Lección 39 7. Traza una circunferencia cuyo radio sea el segmento AB y otra cuyo diámetro sea el mismo segmento. A

B

8. Traza tres circunferencias diferentes cuya cuerda sea el segmento AB.

A

B

9. Construye una circunferencia que pase por los tres puntos indicados.

10. Organiza con tu grupo un debate acerca de si es cierto que solo se puede trazar una circunferencia que pase por tres puntos dados. Propongan dos casos y redacten en su cuaderno una conclusión.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-197a, donde se encuentra una actividad para construir circunferencias. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-197b, donde hay una actividad para practicar el trazo de círculos. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-197c, donde se explica cómo trazar una circunferencia que pase por dos puntos dados.

Busca en la naturaleza diez objetos que tengan forma circular. Haz, en tu cuaderno, una lista de ellos y compártelos con el grupo.


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Lección 40 Perímetro y área del círculo Eje: forma, espacio y medida Tema: medida

Contenido Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfica y algebraicamente). Explicitación del número π (Pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro.

La rueda: π, la razón de longitud circunferencia-diámetro Federico trabaja en un pequeño taller donde se fabrican ruedas para las calandrias (carretas típicas de Guadalajara). Un cliente le ha pedido que ponga un revestimiento de hierro alrededor de una rueda para evitar que se desgaste. Federico no sabe cuánto material utilizará para revestir la rueda, así que se le ocurrió colocarla en el piso, hacerle una marca en la parte que toca el suelo y girarla hasta que esta coincidiera de nuevo en el piso. Por último, midió la huella que dejó la rueda, como se observa en el dibujo.

1. Contesta las preguntas. a) ¿Es adecuado el procedimiento de Federico para obtener el perímetro de la rueda?,

¿por qué? Sí, pues la medida de la circunferencia es justamente la distancia

que recorre un punto de la rueda al dar esta una vuelta completa. El cliente le ha pedido que elabore otra rueda con las medidas de la anterior. b) ¿Cuál es el nombre que recibe el perímetro del círculo?

Circunferencia

c) La marca que ha dejado la rueda mide 2.99 m de longitud.

¿Cómo obtendrías la medida de su diámetro?

Dividiendo 2.99 entre pi

d) El diámetro de la rueda mide alrededor de 0.95 m. ¿Cuál es la razón entre este elemento

y la circunferencia?R. T. El diámetro es aproximadamente 3 veces más pequeño

que la circunferencia.

e) ¿Si el diámetro fuera de 0.5 m, la medida de la circunferencia sería de 3 m?

Explica tu respuesta. No, no puede ser 6 veces mayor la circunferencia que el

diámetro f) Desarrolla el procedimiento descrito con una moneda o tapadera; obtén la medida de su diámetro

y circunferencia.

R. P.

g) Comparte con el grupo tus respuestas, comuniquen sus dificultades y comenten cómo resolverlas.


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Lección 40 Un paso adelante 2. Efectúa lo que se indica. a) Traza en tu cuaderno cinco circunferencias cuyos radios midan 4 cm, 6 cm, 7 cm, 9 cm y 10 cm,

y denomínalos con las letras A, B, C, D, y E, respectivamente. b) Rodea las circunferencias con un pedazo de estambre y córtalo a la medida de cada una. c) Mide los trozos de estambre que obtuviste y completa la tabla. Circunferencia A B C D E

Radio (cm) 4 6 7 9 10

Diámetro (cm)

Longitud del estambre (cm)

8 12 14 18 20

25 37.5 44 56.5 63

d) Toma el pedazo de estambre de la circunferencia A y recorta un trozo a la medida de su diámetro.

Repite este proceso hasta donde alcance el estambre.

3 trozos

i. ¿Cuántos trozos obtuviste?

1 cm

ii. ¿Cuánto mide el estambre sobrante?

e) Reproduce el procedimiento del inciso d) con los estambres de las demás circunferencias y completa

las tablas con las medidas que se piden. Circunferencia

Trozos obtenidos a la medida del diámetro

A B C D E

3 3 3 3 3

Circunferencia A B C D E

Radio (cm) 4 6 7 9 10

Estambre sobrante (cm)

Oriéntate

1 1.5 2 2.5 3

El perímetro de un círculo es la medida de su circunferencia.

Diámetro (cm)

Longitud del estambre (cm)

8 12 14 18 20

25 37.5 44 56.5 63

3. Comparte tus respuestas con el grupo. Discutan la relación entre la medida de la circunferencia y la del diámetro; anoten sus conclusiones.

R. P.


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Lección 40 Perímetro y área del círculo Profundiza 4. Reúnete con un compañero. Analicen la tabla y contesten las preguntas. Círculos

Diámetro (cm)

Circunferencia (cm)

A B C

8 12 14

25.12 37.68 43.96

a) ¿Cómo se obtiene la medida de la circunferencia si se conoce el diámetro?

Multiplicando por pi b) ¿Cómo se obtiene la medida de la circunferencia si se conoce el radio?

Dividiendo entre pi 5. Completa la tabla y contesta las preguntas. Diámetro (cm)

Perímetro (cm)

5

15.708

10

31.41 21.98 12.56 47.1

Círculo

Radio (cm)

1

3

2.5 5 3.5

4

2

7 4

5

7.5

15

2

a) En una calculadora científica, presiona la tecla

Perímetro entre diámetro 15.71 ____ 5

31.41 ____ 10

21.99 ____ 7

12.56 ____ 4 47.1 ___ 15

Resultado de la división

3.14 3.14 3.14 3.14 3.14

. Observa la cifra que aparece e indica en qué columna de la tabla los números se asemejan a esta cantidad.

En la columna “Resultado de la división” 6. Traza el diámetro de los círculos y calcula la medida de su circunferencia. Comenta con tu grupo cómo trazar un diámetro de un círculo dado; redacten un procedimiento para calcular el perímetro.

Circunferencia = Circunferencia =

R. P

Circunferencia =


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Lección 40

La circunferencia (perímetro de un círculo) se calcula mediante las siguientes fórmulas. C = π d o C = 2π r

7. Resuelve los problemas. a) Las llantas de un camión miden 90 cm de radio. ¿Qué distancia recorrerá el vehículo si estas dan

cincuenta vueltas?

R.T. 282 metros

b) ¿Cuál es la diferencia entre una circunferencia cuyo radio mide 7 cm y otra con un diámetro

que tiene la misma medida? Una circunferencia mide el doble que la otra

7 cm

c) ¿Cuánto mide el radio de una circunferencia de 56.52 m?

9m

d) ¿Cuál es la medida de la circunferencia circunscrita del siguiente triángulo?

18.15 m

2.89 cm

10 cm

8. Organiza con tu grupo un debate acerca de la afirmación: "La magnitud de Pi proviene de la relación que tiene el diámetro con la circunferencia". Demuestren lo anterior en su cuaderno, con un trozo de estambre y una circunferencia trazada.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-201a, donde se encuentran actividades relacionadas con los elementos del círculo. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-201b, donde hay actividades sobre círculos y circunferencia. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-201c, donde se explica cómo obtener el área y el perímetro del círculo.

Reproduce la figura anterior en tu cuaderno; considera que el cuadrado mide 10 cm de lado. Recorta las figuras sobre las líneas amarillas y calcula su perímetro.


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Lección 41 Área del círculo Eje: forma, espacio y medida Tema: medida

Contenido Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfica y algebraicamente). Explicitación del número π (Pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro.

El mantel: áreas circulares Alicia recibió como regalo de bodas un mantel circular. Aunque no tiene una mesa con esta forma, desea quedarse con el obsequio, por lo que ha decidido aprovechar la tela y confeccionar un mantel para una mesa rectangular. Alicia piensa cortar el mantel como se indica en el dibujo.

1. Haz lo que se pide y contesta las preguntas. a) ¿Cómo hacer que un objeto circular se parezca a uno rectangular?

¿Es correcto el razonamiento de Alicia?

R. P.

¿Por qué?

b) Traza un círculo de 10 cm de radio, marca líneas como en el dibujo anterior, córtalo y coloca

los pedazos de la siguiente manera.

i. ¿A qué polígono se asemeja?

A un rectángulo

ii. ¿Cuánto mide de base aproximadamente? iii. ¿Y cuánto de altura?

3 veces la medida del radio

La medida del radio

iv. ¿Cuál es su área aproximada? 3 veces la medida del radio al cuadrado v. ¿Qué relación hay entre el radio del círculo y la altura del paralelogramo?

Miden lo mismo vi. ¿Qué relación guarda la circunferencia del círculo con la base del paralelogramo?

La base del paralelogramo es la mitad de la circunferencia vii. Discute con tus compañeros tu respuesta del inciso vi. Redacten, en su cuaderno, una conclusión.


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Lección 41 Un paso adelante 2. Reúnete con un compañero y contesten lo que se pide en su cuaderno. a) Si el mantel de Alicia mide 1.20 m de diámetro, i. ¿cuánto medirá el radio? 0.6 m ii. ¿cuánto medirá la circunferencia? 3.77 m b) Si se cortara el mantel en ocho trozos pequeños para formar uno rectangular, i. ¿cuánto mediría aproximadamente la base? La mitad de la circunferencia ii. ¿cuánto mediría la altura aproximada? La medida del radio iii. ¿cuál sería su área? El radio al cuadrado multiplicado por 3 iv. ¿Qué relación guarda el radio del primer mantel con la altura del segundo?

Son muy parecidas

v. ¿Qué relación hay entre la circunferencia del primer mantel y la base del segundo?

La base mide aproximadamente la mitad de la circunferencia 3. Reúnete con dos compañeros y analicen la deducción.

Al fragmentar el círculo y ordenar sus partes, es posible aproximar su área mediante el área de un rectángulo.

=

La altura (h) del rectángulo es aproximadamente la medida del radio (r) del círculo, y la de su base (b) es cerca de la mitad de la circunferencia (C).

r

r

Oriéntate

= 1 C 2

h=r

El área del rectángulo es A = bh. Al sustituir los valores anteriores, se obtienen las siguientes fórmulas.

b = 2 C, donde C = 2πr al sustituir C en b.

A = (πr) (r) se reduce a A = πr2.

Se obtiene b = 1 (2πr) y se reduce a b =πr.

Así, el área del rectángulo que se aproxima al del círculo es A = πr2, donde π ≈ 3.1416.

1

2

El símbolo ≈ significa “aproximadamente”.

Discutan con sus compañeros la deducción anterior y escriban, en su cuaderno, una breve conclusión. Lección 41 Bloque 4 203

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Lección 41 Área del círculo Profundiza 4. Reúnete con un compañero y resuelvan los problemas. a) Reyna compró un pastel redondo cuyo diámetro mide 30 cm y lo cortó en cuatro rebanadas porque

lo acomodará en una caja rectangular, como se muestra en la figura.

5 cm

i. ¿Cuál es el largo aproximado de la caja?

2 cm

ii. ¿Cuál es el ancho?

iii. ¿Cuál es el área aproximada del pastel?

6 cm2

iv. ¿Cuál es el área aproximada de la caja?

10 cm

v. ¿Ambas áreas son iguales?

Expliquen por qué sucede lo anterior.

R. T. No son iguales las áreas, pero se parecen.

Otra opción era cortar un cuarto del pastel por la mitad y acomodarlo de la siguiente manera.

3 cm

vi. ¿Cuál es aproximadamente el largo de la caja? vii. ¿Cuál es su área aproximada?

6 cm2

viii. ¿Qué área se acerca más a la del pastel, la de la caja del inciso iv o la del inciso vii?

Expliquen por qué se da ese comportamiento. R. T. La segunda

pues al partir el pastel en más pedazos, la aproximación es mejor b) Si hay un rectángulo de 3 m de base y 2 m de altura,

¿qué diámetro deberá tener un círculo para aproximarse al área del paralelogramo? 2.76 m


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Lección 41

a) ¿Qué área aproximada tiene un círculo inscrito en un cuadrado de 4 cm de lado? 12.56 cm2 b) ¿Qué área aproximada tendrá el círculo inscrito en el rectángulo que se muestra a la derecha?

44.15 cm2

7.5 cm

5. Responde las preguntas.

10 cm

6. Reúnete con dos compañeros, lean el planteamiento y contesten las preguntas.

Enrique es herrero y le han encargado hacer una puerta con un vitral en la parte superior, como se muestra en la imagen. 20 cm

2m

Como él no elabora vitrales, buscó a una persona que los hiciera y le pidió el presupuesto del vitral. Un experto en ese trabajo le comentó que cobra $600.00 por metro cuadrado. a) ¿Cuánto mide de diámetro la sección del vitral? b) ¿Cuál es el área del vitral?

20 cm

314 cm2

c) ¿Cuánto le cobrarían a Enrique por el vitral?

$75.36

7. Discute con tus compañeros el siguiente planteamiento: "Entre mayor número de lados tenga un polígono regular inscrito a una circunferencia, su área se asemeja al área del círculo". Redacten sus conclusiones. en el cuaderno.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-205a, donde se encuentran actividades relacionadas con la circunferencia. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-205b, donde hay una guía sobre el círculo y la circunferencia. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-205c, donde se explica la relación entre la circunferencia y su diámetro.

El radio de los círculos mide 2 cm. Reproduce la construcción en tu cuaderno y calcula el área de la zona sombreada.


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Lección 42 La regla de tres Eje: manejo de la información Tema: proporcionalidad y funciones

Contenido Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios.

En la tienda de autoservicio: la regla de tres Raquel acostumbra comprar su fruta y verdura en la tienda de autoservicio, pero una vecina le dijo que hay productos más económicos en el mercado de la colonia. 1. Lee los planteamientos y haz lo que se indica.

Raquel quiso cerciorarse de lo que le dijo su vecina, así que fue a comprar un melón a la tienda de autoservicio y otro al mercado para comparar su precio. Tienda de autoservicio

Mercado

Peso (kg)

Costo ($)

Peso (kg)

Costo ($)

2

16.00

2.5

$15.00

$8

a) ¿Cuánto cuesta el kilogramo de melón en la tienda de autoservicio?

$6

b) ¿Cuánto cuesta el kilogramo de melón en el mercado?

c) Redacta el procedimiento que seguiste para calcular el precio del kilogramo de melón.

R. P. $36

d) Determina el precio de 4.5 kg de melón en la tienda de autoservicio.

Doña Ana vende frutas en el mercado y usa una tabla de precios para saber cuánto debe cobrar. e) Completa la tabla. Peso (kg)

1

2

3

Precio ($)

12.50

25.00

37.50

4

5

6

7

8

Jitomate

50.00 62.5 75.00 87.5 100.00 de $12.50 en $12.50

f) ¿Cuánto van aumentando los números de la segunda fila?

g) Elige dos números cualquiera de la primera fila y obtén su cociente. Escoge los valores correspondientes

a esos números en la segunda fila y también calcula su cociente. Compara los resultados. ¿Cómo son?

Iguales h) Copia la tabla anterior en tu cuaderno y agrega una fila más en la que calcules el cociente del

peso entre el precio. Haz lo mismo en los demás casos; usa tu calculadora. Peso (kg)

1

Precio ($)

12.50

Peso Precio

1 = 12.50

2

3

4

5

6

7

8

25.00 37.50 50.00 62.5 75.00 87.5 100.00 2 _____ 25.00

4 3 _____ _____ 37.50

50.00

i. ¿Qué regularidad encuentras en los resultados?

5 ____ 62.5

6 _____ 75.00

7 ____ 87.5

8 ______ 100.00

Siempre es 0.08

ii. Comparte tu hallazgo con tus compañeros, lleguen a un acuerdo sobre el comportamiento

o regularidad observada y escriban una conclusión al respecto.


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Lección 42 Un paso adelante Raquel compró 1 kg de manzana en el mercado, ya que era más barato ahí. 2. Efectúa lo que se indica. a) ¿Cuánto pagaría Raquel si comprara más de 3 kg? Completa la tabla. Manzana Peso (kg)

Precio ($)

1

28.00

2

56.00

3

84.00

4

112 140 168 196 224

5 6 7 8

b) Toma un valor de la primera columna y su correspondiente en la segunda; calcula el cociente. Haz

lo mismo con otro valor diferente y, cuando obtengas los dos cocientes, compáralos. Número de la primera columna Número de la segunda columna

a b

c d

Iguales

i. ¿Cómo son los resultados que obtuviste?

ii. Elige otro par de números y sigue con ellos el procedimiento descrito. ¿Qué resultado obtuviste?

Iguales Una razón es la relación que hay entre una cantidad y otra. En el planteamiento inicial, el kilogramo de manzana costaba $28.00, así que la razón entre ambos se expresa como “1 es a 28”, 1:28 o 1 . 28

Una proporción es la igualdad de dos razones; por ejemplo, 1 kg de manzana por $28.00 es igual a decir 2 kg de manzana por $56.00; se expresa: “1 kg es a $28.00 como 2 kg es a $56.00”, 1:28::2:56 o 1 = 2 . 28

En toda proporción se cumple que si

a b

=

56

c , entonces los productos cruzados son iguales: a·d = b·c. d

Regla de tres o cuarta proporcional De acuerdo con la información anterior, para encontrar un valor desconocido o despejar cualquiera de los términos, es posible seguir cuatro procedimientos que se indican enseguida.

Valor desconocido a Procedimiento

a= b·c d

Valor desconocido b

b= a·d c

Valor desconocido c

Valor desconocido d

c= a·d

d= b·c

b

a


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Lección 42 La regla de tres Profundiza 3. Raquel comprará los mismos productos en ambos lugares. La información de la tabla le será útil para saber en qué lugar son más baratos.

10

a) Determina en qué lugar cada producto es más económico. Lugares Productos

Tienda de autoservicio

Mercado

Lugar donde el producto es más económico

Costo ($) Peso (kg) Costo ($) Peso (kg)

papaya

23.00

2.300

19.80

1.800

sandía

26.10

5.800

13.50

4.500

aguacate

31.92

0.800

24.00

0.600

plátano

3.84

1.200

9.00

2.500

mango

19.71

0.900

28.50

1.500

jitomate

37.20

2.400

23.40

1.800

Tienda Mercado Tienda Tienda Mercado Mercado $2.16

b) Raquel compró 600 g de plátano en el mercado. ¿Cuánto pagó?

$137.655

c) En la tienda de autoservicio, compró 3.450 kg de aguacate. ¿Cuánto pagó?

Oriéntate Se le conoce como regla de tres porque se necesitan tres valores para calcular el término desconocido.

d) Si en el mercado compró una papaya de 2.5 kg y una sandía de 4.3 kg,

¿cuánto pagó por cada fruta?

$27.5

$12.9

4. Encuentra el valor de x. a) 9 = 18 10

b) x = 12 3

c) 8 = 40 9

d) 32 = x 8

5

x

4

x

45

8

16

2

5. Reúnete con un compañero y resuelvan los problemas. a) Analiza el siguiente triángulo y calcula el valor de x.

x=

x 2.5 cm

8.12 cm

x = 6.73 Observa que 2.5 2.07

6.73 cm 2.07 cm


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Lección 42

4 cm

escuela. La figura 1 muestra la credencial original y la figura 2, la ampliación. Si la primera mide 7.5 cm de largo ¿cuánto mide la ampliación? 24 cm

7.5 cm Figura 1

12.8 cm

b) Carolina amplió una credencial de la

Figura 2

c) Observa el triángulo de la derecha. Escribe una proporción

x

. 40 m y calcula el valor de x. Ten en cuenta que 8x = 30 6 8m

6. Responde las preguntas. a) Si 250 g de jamón de pavo cuestan $28.75, ¿cuál será el precio de 1 250 g?

$143.75

6m 30 m

b) En una autopista recta, un automóvil tarda 45 min en recorrer 120 km.

¿Cuántos minutos tardará en recorrer 145 km?

54.375 min

c) Rodrigo trabaja en una gasolinera; por cada diez vehículos que atiende le dan una comisión

adicional a su salario de $20.75. Si hoy atendió setenta, ¿cuánto ganó de comisión?

$145.75

d) Si en 355 ml de refresco hay 70 mg de sodio, ¿cuántos miligramos habrá en 2 L? 394.36 mg e) En una familia, 625 g de cereal alcanzan para cinco días.

¿Cuánto cereal se necesita para tres semanas?

2625 g

f) Si un tinaco de 1 200 L se llena en 174 min, ¿cuánto tardará en llenarse un depósito de 50 000 L?

7250 min g) Una persona pinta 10 m2 en 60 min. ¿Cuánto se tardará si debe pintar 65.4 m2? 392.4 min 7. Organiza un debate con el grupo para analizar la similitud que tiene la regla de tres con ecuaciones. Escriban, en su cuaderno, sus conclusiones.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-209a, donde se encuentran problemas en que se aplica la proporcionalidad y la regla de tres. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-209b, donde hay una actividad interactiva de proporcionalidad. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-209c, donde se explica el uso de la regla de tres en un problema.


En mucha situaciones hay relaciones proporcionales que se resuelven con la regla de tres. Por ejemplo, si se vende el kilogramo de tortilla a $11.00, ¿cuánto costarán 13.5 kg? Resuelve el planteamiento en tu cuaderno. Lección 42 Bloque 4 209

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Lección 43 Factor inverso de proporcionalidad Eje: manejo de la información Tema: proporcionalidad y funciones

Contenido Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala.

Figuras con piezas geométricas Daniel estudia en la escuela secundaria el tema “Construcción de figuras geométricas”. Hoy trazó figuras en cartón y las recortó; luego, armó con ellas una casita (figura 2) en su cuaderno.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

También dibujó dos casas más aprovechando el cuadriculado de su cuaderno. 1. Lee los planteamientos y efectúa lo que se pide. a) El rectángulo verde de la figura 2 mide seis unidades en su base y tres en su altura. Obtén

las medidas de los rectángulos de las figuras 1 y 3, y escríbelas en la tabla. Rectángulo verde

Base (unidades)

Altura (unidades)

figura 1

12

6

figura 2

6

3

3

3 __

figura 3

2

b) En otra tabla se registra cuánto mide el lado de los cuadros azules. Cuadro azul

Lado (unidades)

figura 1

4

figura 2

2

figura 3

1

i. ¿Por qué número se debe multiplicar la medida del lado del cuadrado trazado en la figura 2

para obtener la del cuadrado de la figura 1?

Por 2

ii. ¿Por qué número fraccionario hay que multiplicar la medida del lado del cuadrado trazado en

la figura 2 para calcular la del cuadrado de la figura 3?

1 Por __2


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Lección 43 c) En la figura 2 la base del triángulo anaranjado mide seis unidades y la altura, tres. Determina el

número (factor) por el que deben multiplicarse estas medidas para obtener las del triángulo trazado en la figura 1. Asimismo, indica el número fraccionario (factor) por el cual dichas dimensiones se multiplicarán para calcular las del triángulo correspondiente en la figura 3.

Triángulo anaranjado

Base (unidades)

Altura (unidades)

figura 1

12

6

figura 2

6

3

3

3 __

figura 3

Factor aplicado a las medidas del triángulo trazado en la figura 2 2 __ 1 1 1 __1 2

2

d) La base de los triángulos morados de la figura 2 mide dos unidades y la altura, dos. ¿Qué

factor se aplica para obtener las medidas de los triángulos correspondientes en la figura 1?

Oriéntate Todo número multiplicado por 1 da como resultado el mismo número. Esto aplica también al multiplicar cualquier número por 1 . 1

1 1

=1

Un factor de 2 e) ¿Cuál es el factor (número fraccionario) que se aplica para calcular las medidas de los triángulos

__1

morados de la figura 3?

2

Oriéntate

f) ¿El número fraccionario que se usa para reducir las dimensiones de los triángulos es una fracción

Una fracción propia

propia o impropia?

g) Discute, en grupo, la siguiente afirmación y propongan dos casos que la cumplan.

Factor fraccionario de proporcionalidad Es un valor que define la relación entre magnitudes proporcionales; en este caso, una fracción.

Un paso adelante 2. Haz lo que se indica y contesta las preguntas. a) Aplica, con base en el planteamiento inicial, el factor de proporcionalidad indicado a las

medidas del triángulo anaranjado que se trazó en la figura 2 para obtener las dimensiones de otros triángulos, y determina si estos aumentaron de tamaño o disminuyeron. Triángulo anaranjado

Base (unidades)

Altura (unidades)

figura original

6

3

figura 4

3 __

3 __

figura 5

6 __

3 __

9

9 __

15

15 __

figura 6 figura 7

2

5

4

5 2

2

Factor aplicado a las medidas del triángulo original 1 1 1 4 1 5 3 2 5 2

La fracción propia es aquella diferente de 0 en la que el numerador es menor que el denominador. Por ejemplo: 3 5

La fracción impropia es aquella diferente de 0, en la que el numerador es mayor o igual que el denominador. Por ejemplo: 5 3

¿Aumentó o disminuyó de tamaño?

Se quedó igual Disminuyó Disminuyó Aumentó Aumentó Lección 43 Bloque 4 211

6²(;3B0B%B²LQGG

30

Lección 43 Factor inverso de proporcionalidad b) En la tabla se muestran las dimensiones de otros triángulos, pero se desconoce el factor

de proporcionalidad (número fraccionario) que se les aplicó. Determínalo e indica si los polígonos aumentaron o disminuyeron de tamaño.

Oriéntate Para obtener el recíproco de una fracción, solo se intercambia de lugar el numerador y el denominador; por ejemplo, el recíproco de 37 es 73 . El producto de dos fracciones recíprocas es 1; por ejemplo, 3 7

∙ 73 = 1.

¿Aumentó o disminuyó de tamaño?

Triángulo anaranjado

Base (unidades)

Altura (unidades)

figura original

6

3

1 1

1

1 2

__1

Disminuyó Disminuyó

figura 8

Factor aplicado a las medidas del triángulo original

Se quedó igual

6

figura 9

3

1

__1

figura 10

8

4

4 __

figura 11

10

5

5 __

2 3

Aumentó

3

Aumentó

i. ¿Qué factor se usa para regresar de las medidas obtenidas en la figura 9 a las de la original?

Un factor de 2 ii. ¿Qué factor se aplica a las medidas del triángulo dibujado en la figura original para obtener

las del trazado en la figura 9?

1 Un factor de __2

iii. Si multiplicas los dos factores anteriores, ¿qué resultado obtendrás?

1

c) Discute, en grupo, la siguiente afirmación y propongan dos casos que la cumplan.

Factor inverso de proporcionalidad Es un valor que permite calcular la magnitud inicial en una relación proporcional.

Profundiza 3. Determina el factor de proporcionalidad aplicado en la copia de la fotografía y contesta la pregunta.

8 cm 6 cm

20 cm Original

15 cm Copia

a) Si aplicas un factor de proporcionalidad de 18 a la fotografía original,

¿qué dimensiones tendrá la copia?

20 ___ cm y 1 cm 8

4. Traza otra figura similar a la que se muestra a la izquierda, pero aplica un factor de proporcionalidad de 1 a las medidas de la original. 2


6²(;3B0B%B²LQGG

30

Lección 43 5. Responde, en tu cuaderno, las preguntas y efectúa lo que se solicita. a) Antonio trazó un cuadrado que medía 7 cm de lado; después, Luisa dibujó otro cuya medida era

de 14 cm. ¿Cuál es el factor fraccionario de proporcionalidad que ella aplicó a las dimensiones 2 __ del primero para trazar el suyo? 1

b) Determina el factor inverso de las fracciones indicadas. 1

i. 4

4 __

5 __ ii. 45

1

4

iii. 43

3 __ 4

__1

c) Si una imagen se reduce a 50% de su tamaño, ¿qué factor de proporcionalidad se usará? 2

d) Una fotografía se redujo a 60% de su tamaño. ¿Cuál es el factor inverso que permite calcular 5 10 __ o __3 6 e) Copia el dibujo que se muestra y aplica un factor de proporcionalidad de rectángulo es una pieza.

sus medidas originales?

1 4

. Considera que el

f) Copia el dibujo y usa un factor de proporcionalidad de 43 . Considera el triángulo como una sola

pieza.

6. Organiza un debate grupal sobre la diferencia o similitud de factor de proporcionalidad y factor inverso de proporcionalidad.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-213a, donde se encuentra una actividad sobre el factor inverso de proporcionalidad. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-213b, donde hay una actividad interactiva de proporcionalidad. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-213c, donde se explica el uso de las escalas y la proporcionalidad en situaciones cotidianas.


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30

Lección 44 Conteo Eje: manejo de la información Tema: nociones de probabilidad

Contenido Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los resultados.

Combinaciones: situaciones de conteo 1. Lee las situaciones y responde. a) Eric vive en Veracruz; como viajará las próximas vacaciones a Cancún, no sabe si tomar avión,

autobús o barco, ya sea en primera clase o en segunda. ¿Cuántas opciones tiene para viajar?

6 opciones

b) Paty, Ana y Sara habían acordado reunirse por la tarde en un parque, pero ninguna de ellas llegó

al mismo tiempo. Escribe las posibles opciones del orden en que llegaron las amigas. Por ejemplo, si primero llegó Paty, luego Ana y finalmente Sara, puedes escribir "P, A, S".

6 posibilidades

c) Teresa tiene tres blusas y cuatro faldas. Escribe las combinaciones que puede hacer para vestirse.

12 opciones

d) Juan, Tere, Luis y Bere fueron a comer al mercado y se sentaron en una banca. Indica las posibles

opciones de orden en que pudieron haberse sentado.

24 formas

i. Si los hombres se sentaron en los extremos, ¿cuántas opciones de orden hubo?

4 formas e) El pasado fin de semana, Lulú, Tere y Luis se encontraron en el parque. ¿Cuántos saludos de mano

se dieron en ese encuentro?

3 saludos

f) Un cocinero prepara arroz blanco o rojo, pero a cada uno le puede agregar un tipo de vegetal:

chícharos, zanahorias o elotes. ¿Cuántos diversos platillos de arroz puede preparar?

6 platillos

g) Elige con el grupo uno de los planteamientos anteriores. Comparen sus respuestas y escriban un

procedimiento para responder.


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30

Lección 44 Un paso adelante 2. Reúnete con un compañero. Lean los planteamientos y respondan las preguntas. a) Si se encuentran dos personas, ¿cuántos saludos de mano se darán?

1 saludo

b) Si se encuentran tres personas, ¿cuántos saludos de mano se darán?

3 saludos

c) Si se encuentran cuatro personas, ¿cuántos saludos de mano se darán?

6 saludos

d) Dos parejas de esposos se reunieron en un café.

4 saludos

i. ¿Cuántos saludos de mano se dieron si llegaron en pareja?

ii. ¿Cuántos saludos de mano se darían si los cuatro llegaran por separado?

6 saludos iii. ¿Cuántos saludos de mano se darían si una pareja llegara junta y la otra, por separado?

5 saludos 3. Resuelve los problemas. a) La orquesta juvenil fue invitada a tocar tres melodías en la apertura de un concierto, pero

preparó cuatro. ¿Cuántos programas musicales de tres melodías puede presentar?

24 programas (dos programas que tengan las mismas melodías en distinto orden se consideran distintos)

b) En un equipo de basquetbol, hay siete jugadores.¿Cuántos equipos es posible

formar con ellos si oficialmente se admiten seis integrantes? 7 equipos (cada equipo está

determinado por el jugador que quedó fuera)

c) Juan tiene dos juegos de tres tarjetas (cada una con el número 2, 4 o 6). i. ¿Cuántos números con dos cifras se pueden formar sin que se repitan los dígitos? 6 números ii. ¿Cuántos números con dos cifras es posible formar aunque se repitan los dígitos? 9 números d) Alicia tiene una falda amarilla, un pantalón negro, una blusa azul y otra blanca. i. ¿Cuántas combinaciones puede hacer con la falda y las dos blusas? ii. ¿De cuántas maneras puede combinar su ropa? iii. Si tuviera otra blusa, ¿cuántas combinaciones haría?

2 combinaciones

4 combinaciones 6 combinaciones

e) ¿Cuántos números es posible formar con cuatro dígitos sin repetirlos?

5 040 números

f) Elige con el grupo uno de los planteamientos anteriores. Comparen sus respuestas y escriban un

procedimiento para responder. Lección 44 Bloque 4 215

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30

Lección 44 Conteo Profundiza 4. Lee el planteamiento y contesta las preguntas.

En la fonda La Adelita, el cliente puede elegir la combinación que más le agrade entre sopa, guisado y postre. El menú de hoy se muestra a la izquierda. a) ¿Cuántas combinaciones de comida hay si solo se puede elegir una sopa, un guisado y un postre?

27 combinaciones b) Si solo hubiera un tipo de sopa, ¿cuántas combinaciones habría?

9 combinaciones

c) Si solo hubiera un tipo de postre, ¿cuántas combinaciones habría?

9 combinaciones

5. Observa el diagrama y responde las preguntas.

Galleta

Chocolate Helados

Chispas de sabores Galleta

Vainilla

Chispas de sabores Galleta

Fresa

Chispas de sabores

3 sabores

a) ¿Cuántos sabores de helados hay?

2 decoraciones

b) ¿Cuántas opciones de decoración se ofrecen? c) ¿Cuántas combinaciones de sabor y decorado hay?

6 combinaciones

La persona que atiende la heladería llena un formato cuando toma la orden. Heladería La Gustosa Sabor Decoración

Chocolate Galleta

Chispas

Vainilla Galleta

Fresa Chispas

d) ¿Qué diferencia o similitud hay entre la tabla y el diagrama anterior? e) ¿La tabla permite conocer el número de combinaciones posibles?

Explica tu respuesta.

Galleta

Chispas

Ninguna Sí,

pues contempla todas las posibles combinaciones.

El diagrama de árbol se usa para mostrar el número total de posibles resultados al combinar dos o más elementos. La tabla permite organizar la información con el fin de leer más rápido los datos y efectuar cálculos fácilmente.


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Lección 44 6. Reúnete con un compañero. Resuelvan los siguientes planteamientos. a) Erick, Saúl y Pedro trabajan en un supermercado en el área de la bodega. Debido a la temporada

navideña, el gerente quiere ubicar a dos de ellos en el departamento de regalos; uno atenderá la caja y otro envolverá regalos. Completa el diagrama de árbol. Caja

Regalos

Opciones

Saúl (S)

ES

Pedro (P)

EP

Erick (E)

Oriéntate Cuando en una situación el orden de ubicación es importante se le denomina permutación.

Saúl (S) Pedro (P) b) En una tintorería se utilizan etiquetas foliadas para identificar y clasificar las prendas. Si el folio

se compone de una letra del abecedario y un dígito, ¿cuántos folios se obtendrán? i. ¿Cuántas letras tiene el abecedario? ii. ¿Cuántos dígitos hay?

27

10

iii. Por lo tanto, ¿cuántos folios es posible obtener?

270

7. A partir del diagrama de árbol que se encuentra a la derecha, plantea una situación real. a) Comparte con tus compañeros de grupo tu planteamiento. Escriban, en su cuaderno,

una conclusión sobre el diagrama de árbol. 8. Debate con el grupo sobre el significado de casos posibles respecto a los problemas de conteo. Propongan un ejemplo y escriban sus conclusiones.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-217a, donde se encuentra una actividad para construir diagramas de árbol. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-217b, donde hay una actividad de conteo. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-217c, donde se explica el uso de las combinaciones en la vida cotidiana.


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Lección 45 Gráficas de barras y circulares I Eje: manejo de la información Tema: análisis y representación de datos

Contenido Lectura de información representada en gráficas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfica más adecuada.

Las estadísticas: gráficas de barras Azucena trabaja en un videoclub. Su jefe le ha pedido un informe sobre el número de días que rentan los clientes una película. Opciones de renta (días)

Número de rentas (personas)

1

18

2

25

3

20

4

13

5

5

6

3

7

2

Azucena pensó que sería útil presentar la información en una gráfica, ya que permite comparar los datos y visualizarlos. 1. Azucena trazó las barras que corresponden a las dos primeras opciones para rentar. Completa la gráfica con los datos de la tabla anterior.

Número de rentas (personas)

25

25

20 18 15 10 5 0

1

2

3

4

5

6

7

Opciones de renta (días) 2. Reúnete con un compañero y completen la tabla con la información anterior. Días de renta

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

1

18 25 20 13 5 3 2 86

0.21 0.29 0.23 0.15 0.06 0.03 0.03 1

2 3 4 5 6 7 Total


6²(;3B0B%B²LQGG

30

Lección 45 3. Reúnete con dos compañeros, analicen la gráfica y contesten las preguntas. Preferencias en desayunos

25 20 15 10 5 0

21 13 10 6

Fruta

Huevos

Café con pan

Cereal

a) ¿A qué se refieren las palabras escritas debajo de cada barra? La preferencia del desayuno b) ¿Qué indican los números situados a la izquierda de la gráfica? El número de personas que

lo prefieren c) ¿Qué información proporcionan las barras? La cantidad de personas que prefiere cada alimento d) ¿La altura de las barras representa una frecuencia absoluta o relativa?

Absoluta

e) Compartan sus respuestas con sus compañeros. Identifiquen dudas o dificultades y comenten

de qué manera pueden resolverlas.

Un paso adelante 4. Analiza la gráfica de barras y haz lo que se indica. Migrantes internacionales (2003-2008)

Miles de personas

Niños

Niñas

Adultos

70 000 60 000 50 000 40 000 30 000 20 000 10 000 0

2003

2004

2005

2006

2007

2008

Años

a) Redacta dos conclusiones sobre los datos que aparecen en la gráfica.

R. P.

b) Redacta, en tu cuaderno, el procedimiento para construir una gráfica de barras. R. P. Lección 45 Bloque 4 219

6²(;3B0B%B²LQGG

30

Lección 45 Gráficas de barras y circulares I Profundiza

Jordania

Indonesia

Nigeria

República Dominicana

Brasil

Polonia

2.6 2.5 2.5 2.3 2.3 2.2 2.1 1.7 El Salvador

3 Portugal

Egipto

Colombia

Pakistán

Bangladesh

China

Líbano

Marruecos

5.2 5.2 4.6 4.2 3.9 3.6 3.3 3.2 España

Filipinas

India

9

Guatemala

Envío y recibo de remesas (2004) 30 25 23 20 16.6 15 10 5 0 México

Miles de millones de dólares

5. Analiza, junto con el grupo, la información y efectúa, en tu cuaderno, lo que se indica.

International Monetary Fund. (2005). “Balance of payements statistic yearbook”, Washington, D. C.

a) ¿Qué información aporta la gráfica? Descríbela.

R. P.

b) Construye, con los datos de la gráfica, una tabla de frecuencia absoluta y relativa. c) Redacta el procedimiento para construir una gráfica de barras a partir de los datos proporcionados

en una tabla. d) ¿Qué datos están en la parte horizontal de la gráfica? e) ¿Qué datos se encuentran en la parte vertical?

Países

Remesas

Con las gráficas de barras se representa información mediante el uso de columnas rectangulares cuya altura señala la frecuencia de los datos manejados.

6. Reúnete con un compañero. Analicen la tabla, construyan la gráfica y respondan las preguntas. Edad (años)

10

11

12

13

14

15

16

Alumnos

5

5

15

25

20

10

5

a) Construyan una gráfica de barras a partir de los datos proporcionados.

R. P.

b) La información anterior indica la edad de los estudiantes que asisten al taller de carpintería.

¿Cuál es el total de alumnos que hay?

85

c) Expliquen, en su cuaderno, cómo encontraron la respuesta.


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30

Lección 45 7. Analiza las gráficas y contesta las preguntas en tu cuaderno. 16 14 12 10 8 6 4 2 0

Capas

15

2 6

Lacio Corto

9 6 3 Rizado

Corto

Lacio

3

Rizado

2

Largo

15

Largo

Capas

9 0

2

4

6

8

10

12

14 16

a) ¿Qué diferencias o semejanzas encuentras en ambas gráficas?

La disposición de los ejes y las barras

b) ¿Qué datos faltan en ellas?

Título, nombre de los ejes

c) Analiza la información de las gráficas y descríbela. d) Comparte tus descripciones con tus compañeros. Escribe una conclusión sobre la interpretación

de gráficas. 8. Elabora, en tu cuaderno, una gráfica de barras con la información de la tabla. Población total y tasa de crecimiento medio anual de las zonas metropolitanas Zonas metropolitanas

Población 2005

Tasa de crecimiento 2000-2005

Valle de México

19 231 829

0.8

Guadalajara

4 095 853

1.8

Monterrey

3 664 331

1.9

Puebla-Tlaxcala

2 109 049

2.0

Toluca

1 610 786

1.8

Tijuana

1 848 005

2.7

León

1 425 210

2.9

INEGI. “XII

Censo General de Población y Vivienda 2000” y “II Conteo de Población y Vivienda 2005”.

9. Haz un debate grupal sobre las ventajas de presentar información en gráficas. Escriban, en su cuaderno, sus conclusiones.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-221a, donde se encuentra una actividad interactiva de gráficas de barras. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-221b, donde hay una guía para el tratamiento de información. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-221c, donde se explica el uso de la estadística y las gráficas en la vida cotidiana.

Para la bitácora

Las gráficas de barras se usan a menudo en los medios de comunicación para presentar datos. Busca en un periódico una gráfica de este tipo, interpreta la información que contiene y preséntala al grupo.


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Lección 46 Gráficas de barras y circulares II Eje: manejo de la información Tema: análisis y representación de datos

Las preferencias: gráficas circulares En una plaza comercial se preguntó a 50 jóvenes: “¿Cuántas veces a la semana acudes a este lugar?”. Los resultados se registraron en la tabla.

Contenido Lectura de información representada en gráficas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfica más adecuada.

Número de días que asisten 1 2 3 5 6 7

Número de jóvenes 20 7 11 5 2 5

1. Reúnete con un compañero, analicen la gráfica circular de la izquierda y hagan lo que se pide. a) Elaboren, en su cuaderno, una gráfica de barras con los datos de la tabla.

Número de jóvenes Un día Cinco días

4%

Dos días Seis días

Tres días Siete días

b) ¿Qué diferencias hay entre una gráfica de barras y una circular? Como referencia, observen

la gráfica circular que se encuentra a la izquierda.

En la circular casi siempre se manejan porcentajes o frecuencias relativas, en la de barras casi siempre se manejan frecuencias absolutas.

10%

10%

40%

c) Si se considera que el total de jóvenes entrevistados es 100%, ¿qué porcentaje representarán

40%

20 de ellos? 22% 14%

d) Completen la tabla.

Total

Jóvenes 20 7 11 5 2 5 50

Porcentaje

40% 14% 22% 10%

4% 10% 100%

Oriéntate e) Completen, en su cuaderno, la tabla; escriban los porcentajes obtenidos en la tabla anterior. Si

El ángulo central del círculo mide 360°.

360º del círculo representan 100%, entonces 1% es igual a 3.6º. Porcentaje 1% 10%

R. R. R. R. R.

P. P. P. P. P.

Grados del círculo 3.6°

3.6° R.…P. R. P. R. P. R. P. R. P.

f) ¿Cuántos grados del círculo corresponden a los jóvenes que asisten a la plaza un día a la semana?

144° g) ¿Cuántos grados del círculo representan a los 50 jóvenes entrevistados?

360°


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30

Lección 46 h) ¿Qué instrumentos de geometría son necesarios para trazar una gráfica circular de la página

Compás, regla y transportador

anterios?

i) Completen la tabla de acuerdo con la información dada en la gráfica circular. Días que asisten

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Porcentaje

1

20 7 11 5 2 5 50

0.40 0.14 0.22 0.10 0.04 0.10 1

40% 14% 22% 10% 4% 10% 100%

2 3 5 6 7

Total

j) Describan, en su cuaderno, el procedimiento para construir una gráfica circular. k) Compartan con sus compañeros sus descripciones. Identifiquen dudas o dificultades y comenten

de qué manera pueden resolverlas.

Un paso adelante 2. Interpreta las gráficas. Escribe, en tu cuaderno, un planteamiento para cada una y elabora una tabla con los datos correspondientes. Compáralos con los de tus compañeros. Ciencias Español Matemáticas Inglés

Sopes Burritos

Quesadillas Tostadas

20% 25%

20%

25% 20%

25%

Tacos

20% 20%

25%

Mujeres Hombres

40% 60%


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30

Lección 46 Gráficas de barras y circulares II Profundiza 3. Completa, en grupo, la tabla y construye una gráfica circular en tu cuaderno. Calificación

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Porcentaje

Ángulo

10

4

9

2

0.133 0.066 0.2 0.4 0.133 0.066 1

13.3% 6.7% 20% 40% 13.3% 6.7% 100%

48° 24° 72° 144° 48° 24° 360°

8

6

7

12

6

4

5

2

Total

30

En la gráfica circular, los datos se muestran en sectores (como las rebanadas de un pastel), cuyo tamaño representa las magnitudes relativas de los datos.

4. Reúnete con dos compañeros, lean la situación y desarrollen lo que se indica. a) En el periódico mural de la escuela secundaria “Niños Héroes” aparece una gráfica sobre qué

deporte prefieren los alumnos de 2° A. 7 6

6

6

5

5

4 3 2

3

3 2

1 0 Futbol

Atletismo

Natación

Tenis

Voleibol

Karate

b) Completen la tabla con la información anterior. Deporte futbol atletismo tenis natación voleibol karate Total

Frecuencia absoluta

3 6 2 5 6 3 25

Frecuencia relativa

Porcentaje

Ángulo

0.12 0.24 0.08 0.20 0.24 0.12

12 24 8 20 24 12

43.2° 86.4° 28.8° 72° 86.4° 43.2°

1

100%

360º


6²(;3B0B%B²LQGG

30

Lección 46 c) Construyan la gráfica circular correspondiente a los datos anteriores. Presenten su gráfica ante el

grupo, comenten las dificultades que tuvieron y cómo las solucionaron.

Oriéntate Para dividir los segmentos de la circunferencia, puedes utilizar una regla de tres. Recuerda que 360° corresponden a 100%.

5. Construye la gráfica circular con la información de la gráfica de barras. 25 20 Estudiantes

21

15 13

10 10

5

6

0 Gatos

Perros

Conejos

Hámsters

6. ¿Qué información se visualiza mejor en cada gráfica? Comparte tu respuesta con el grupo.

R. P. 7. Comenta, en grupo y con ayuda del profesor, las diferencias y semejanzas entre una gráfica de barras y una circular. Redacten, en su cuaderno, las conclusiones.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-225a, donde se encuentra una herramienta para formar gráficas circulares. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-225b, donde se presenta una guía para la construcción de gráficas circulares o de sectores. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-225c, donde se explica la aplicación de las gráficas circulares en problemas de la vida cotidiana.

Para la bitácora

Las gráficas circulares se usan a menudo en los medios de comunicación para presentar datos. Busca en un periódico una gráfica de este tipo, interpreta la información que contiene y preséntala ante el grupo.


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Bitácora Lecciones 37 y 38 La fosa de las Marianas es la más conocida y el lugar más profundo de la corteza terrestre. Se localiza en el fondo del océano Pacífico noroccidental, al sureste de las islas Marianas y cerca de la isla Guam. Esta fosa tiene una profundidad aproximada de 11 012 m. En contraste, el monte Everest es la montaña más alta del mundo, ya que tiene una altura aproximada de 8 848 m sobre el nivel del mar. a) Con el uso de números enteros, ¿cómo representarías la medida que tiene la profundidad

de la fosa?

-11 012.

8 848.

¿Y la altura de la montaña?

b) ¿Qué distancia hay entre el punto más bajo de la fosa y el más alto de la montaña?

19 860 m Lecciones 39, 40 y 41 a) Construye una circunferencia que toque los tres puntos.

A

C

B

i. Redacta cómo obtener la medida de la circunferencia anterior. Multiplicando la medida

del diámetro por π ii. ¿Cuál es la medida de la circunferencia?

4.4π cm2

iii. ¿Cuál es el área del círculo construido?

4.84π cm2

b) Traza, en tu cuaderno, una circunferencia de 5 cm de radio y nómbrala con la letra A; luego, dibuja

otra de 10 cm de radio y nómbrala con la letra B. i. ¿Cuál es la medida de la circunferencia A y su área?

10π cm

y

25π cm2

ii. ¿Cuál es la medida de la circunferencia B y su área?

20π cm

y

100π cm2

iii. Si el radio de la circunferencia B mide el doble del radio de la circunferencia A, ¿el área de B será

el doble de A?

No.

Explica tu respuesta. Para calcular el área de un

círculo hay que elevar al cuadrado la medida del radio; como 22 = 4, el área resultante es 4 veces mayor. 226

Bloque 4

6²(;3B0B%B²LQGG

30

Bitácora Lección 42 Diana compró un cereal de 950 g que costaba $23.90 en una tienda de autoservicio. Hoy encontró el mismo producto en una presentación de 1.5 kg a $37.50 en el mercado. ¿En qué lugar se vende más barato el cereal?

En el mercado

Lección 43 Federico imprimió una imagen de 10 cm × 12 cm. Al intentar colocarla en un marco, se dio cuenta de que no cabía, por lo tanto, la redujo a 1.5 cm × 1.8 cm. 3 ___

a) ¿Cuál es el factor de proporcionalidad aplicado?

20

b) Si aplicaras el factor inverso de la proporcionalidad anterior,

¿qué medidas tendría la imagen?

medidas originales (10 cm × 12 cm)

Lección 44 a) ¿Cuántos números de dos cifras se forman con los dígitos 3, 5 y 9 sin que se repitan,

y cuáles son?

Seis números: 359, 395, 539, 593, 935, 953.

Lecciones 45 y 46 a) Completa la tabla y construye las gráficas de barras y circular correspondientes. Color

Frecuencia absoluta

azul

4

rojo

2

verde

6

amarillo

5

blanco

3

Total

20

Frecuencia relativa

Porcentaje

Grados

4 ___ = 0.2 20 2 ___ = 0.1

20% 10% 30% 25% 15% 100%

72° 36° 108° 90° 54° 360°

20 6 ___ = 0.3 20 5 ___ = 0.25 20 3 ___ = 0.15 20 20 ___ = 1 20

30 25 20 15 10 5

Bloque 4

6²(;3B0B%B²LQGG

227

30

Laboratorio de matemáticas Investigación estadística 1. La estadística no solo es un medio para condensar datos y graficarlos, sino también una forma de generar conocimiento.

El tema que estudiarás es “Hábitos alimentarios”. Organízate con tus compañeros en equipo para llevar a cabo las actividades. En cada inciso deberán redactar un breve reporte del procedimiento que siguieron y, al final, entregar un informe al profesor. a) Universo de estudio: ¿a quién le preguntarán? Entrevisten a 20 personas que no sean sus familiares;

pueden ser niños o adultos que encuentren en la escuela, el parque, el mercado u otro lugar. b) Diseño de la pregunta: formulen una interrogante relacionada con el tema, por ejemplo, “¿Qué

desayunaste hoy?”, “¿Qué tipo de comida consumes con más frecuencia?” o “¿Con qué bebida acompañas tus alimentos?”. c) Recolección de datos: planteen la pregunta a las personas elegidas y registren las respuestas.

Es importante aclarar que solo se permite una por persona. d) Análisis de la información: clasifiquen las respuestas en una tabla. Escriban en una columna

el tipo de alimento que consumen las personas y en otra, la frecuencia con que lo hacen. e) Disposición de los datos: consigan una cartulina y divídanla en dos partes. En una mitad elaboren

una tabla como la del inciso anterior y en la otra, una gráfica de barras o circular. f) Discusión de los resultados: redacten un escrito en que describan el procedimiento general

que siguieron para la investigación, interpreten los datos de la tabla y la gráfica, y obtengan una conclusión final. g) Recomendaciones: con base en los datos que obtuvieron, ¿qué sugerirían a las personas para

que tengan un buen hábito alimentario? Integren en su informe una propuesta en que mencionen los beneficios de una alimentación sana. Pueden basarse en El Plato del Bien Comer.

h) Expongan ante sus compañeros el procedimiento que siguieron para llevar a cabo la investigación.

Presenten sus conclusiones y recomendaciones. i) ¿Qué otra investigación estadística harían? Propongan un tema e investiguen al respecto; sigan

el procedimiento descrito.

228

Bloque 4

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30

En el tintero Las gráficas Existen diversas gráficas que se usan para organizar, manejar y presentar la información. Colección de libros en cada biblioteca

Por ejemplo, el pictograma utiliza imágenes para representar datos y se caracteriza por mostrar la relación entre ambos elementos de manera proporcional.

Bliblioteca

Libros

A B C D representa 1 000 libros

1. Construye una gráfica tipo pictograma con los datos de la tabla.

Año 1990 1995 2000 2005 2010

República Mexicana Población a mitad de año Millones de habitantes 83 971 014 91 724 528 98 438 557 103 946 866 108 396 211

Conapo. Indicadores demográficos básicos 1990-2050

Hombres

Otro tipo de gráfica es la pirámide de información que, además de presentar datos, permite compararlos.

Edades

Mujeres

25-29 20-24 15-19

Observa que los valores de edad son comunes tanto para hombres (rectángulos azules) como para mujeres (amarillos), y que el tamaño de cada rectángulo está asociado al número de individuos.

10-14 5-9 0-4 500

300

100 100 300 Número de individuos

500

2. Construye una gráfica tipo pirámide con los datos de la tabla.

Año 1990 1995 2000 2005 2010

República Mexicana Población total Hombres 41 839 942 45 622 243 48 722 412 51 238 427 53 229 849

Mujeres 42 131 072 46 102 285 49 716 145 52 708 439 55 166 362

Conapo. Indicadores demográficos básicos 1990-2050 Bloque 4

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229

30

Bloque 4 Evaluación Lee los planteamientos, elige la respuesta correcta y márcala en la sección de respuestas. Algunas de las fosas marinas más profundas son el abismo Emden (en Filipinas) de aproximadamente 10 793 m y el abismo Planet (en las islas Salomón) con alrededor de 9 148 m. En cambio, entre los puntos más altos del mundo se encuentran las montañas Cho Oyu, cuya altura mide 8 201 m sobre el nivel del mar, y Annapurna I de 8 091 m sobre el nivel del mar (ambas se sitúan en Nepal, China). 1. ¿Qué distancia hay entre el punto más bajo del abismo Emden y el punto más alto de la montaña Cho Oyu? A) 18 994 m

B) 2 592 m

C) –2 592 m

D) –18 994 m

2. ¿Qué distancia hay entre el punto más alto de la montaña Annapurna I y el punto más bajo del abismo Planet? A) –1057 m

B) 17 239 m

C) 1 057 m

D) –17 239 m

3. ¿Cuál es el segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia? A) Diámetro.

B) Radio.

C) Cuerda.

D) Segmento.

4. ¿A partir de qué elementos es posible construir una circunferencia? A) Medida del radio. B) Una cuerda. C) Medida del diámetro. D) Cualquiera de las anteriores. 5. La medida de se obtiene de la proporción entre A) el radio y el área.

B) el diámetro y la circunferencia.

C) el radio y la circunferencia.

D) el diámetro y el área.

6. ¿Cuál es la longitud del segmento rojo?

8.15 cm

A) 8.15 cm

B) 12.8 cm

C) 16.3 cm

D) 25.6 cm

7. El radio de la rueda de una bicicleta mide 8 pulgadas; después de haber dado seis vueltas, ¿qué distancia recorrió? A) 150.79 pulgadas.

B) 301.59 pulgadas.

C) 25.13 pulgadas.

D) 50.26 pulgadas.

8. ¿Cuál es la medida de la circunferencia inscrita en un pentágono de 5 cm de apotema? A) 31.41 cm

B) 15.70 cm

C) 78.53 cm

D) 314.15 cm


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30

Bloque 4 Evaluación 9. ¿Con qué expresión se calcula el área de una parte del círculo? A) d

B) d

2 D) r8

C) r2

10. Una familia de cuatro personas gasta diariamente 1 000 L de agua para satisfacer sus necesidades. ¿Cuántos litros se requieren para satisfacer a una familia de cinco integrantes? A) 200 L

B) 250 L

C) 1 250 L

D) 2 000 L

11. Una empresa tiene dos vacantes: recepcionista y edecán. Si cuatro personas se presentan a pedir empleo, ¿cuántas posibilidades hay de ocupar los puestos? A) 12

B) 8

C) 6

D) 4

12. Analiza la tabla y contesta la pregunta. Fruta

Frecuencia absoluta

Porcentaje

plátano

6

30%

manzana

4

20%

pera

2

10%

uva

3

15%

kiwi

5

25%

¿Qué gráficas representan la información de la tabla? A)

7 6 5 4 3 2 1 0

7 6 5 4 3 2 1 0

B)


Kiwi 20% Uva 20%

Uva

Kiwi

C)

Plátano Manzana Pera Kiwi 25%

Plátano 20%


D)


Kiwi

Uva

7 6 5 4 3 2 1 0

Kiwi 20%

Plátano 30%

Uva 20%



Kiwi

Uva

7 6 5 4 3 2 1 0

Kiwi 25%

Plátano 20%


Kiwi

Uva

Plátano 30%



B

C

D

4. A

B

C

D

7. A

B

C

D

9. A

2. A

B

C

D

5. A

B

C

D

8. A

B

C

D

10. A

3. A

B

C

D

6. A

B

C

D

B B

C

C

D D

11. A

B

C

D

12. A

B

C

D


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30

¿Has pensado en qué profesión elegirás dentro de algunos años? Es seguro que las matemáticas aparecerán en cualquiera que elijas, pues están relacionadas con la actividad humana desde hace miles de años, cuando el hombre empezó a tomar conciencia de que podía numerar los objetos y distinguir formas y figuras. Desde entonces, las matemáticas han estado asociadas a la vida cultural y social de los pueblos. En la actualidad, se usan en cualquier actividad o profesión, por ejemplo: en la contabilidad, se necesita dominar operaciones como sumas y restas de números con signo; en arquitectura, utilizar exponentes y raíz cuadrada; en astronomía, emplear correctamente la notación científica; en economía, manejar ecuaciones y fórmulas; en ingeniería industrial, aplicar conceptos y construcciones de la geometría; en biología, desarrollar funciones y proporcionalidad. Por ello, aprenderás a manejar los conceptos de estos temas en el último bloque.

Bloque 5 232

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30

Aprendizajes esperados 1. Resuelve problemas aditivos que implican el uso de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos. 2. Resuelve problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada y potencias de números naturales y decimales. 3. Resuelve problemas de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”, en los que la razón interna o externa es un número fraccionario.

233

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30

Lección 47


Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: problemas aditivos


El torneo de basquetbol: suma de números con signo En la escuela secundaria “Niños Héroes”, se lleva a cabo un torneo de basquetbol. A continuación se muestra la tabla de posiciones. 1. Completa la tabla. Diferencia (puntos a favor menos En contra (–) puntos en contra)

Anotaciones Equipo

Juegos jugados

Juegos ganados

Juegos perdidos

A favor (+)

Los gallos

5

5

0

266

138

128

Ultra

5

0

5

98

123

-25

Jalisco

5

2

3

108

150

-42

Gatos negros

5

3

2

184

210

-26

Juventus

5

1

4

114

267

-153

Alacranes

5

4

1

145

27

118

2. Analiza la tabla anterior y responde las preguntas. a) ¿Qué equipos tienen una diferencia negativa? Ultra, Jalisco, Gatos Negros, Juventus b) ¿Qué equipos tienen una diferencia positiva?

Gallos y Alacranes Juventus

c) ¿Qué equipo tiene más anotaciones en contra? d) ¿Cuál es el total de anotaciones en contra de todos los equipos?

e) ¿Cuál es la diferencia entre todas las anotaciones a favor y en contra?

915 0

3. Completa la tabla para determinar cuántos años vivió cada personaje. El signo de menos (–) en los números indica que nació en una fecha antes de nuestra era. Personaje

Actividad

Año en que nació Año en que murió

Años que vivió

Pitágoras

Matemático

–582

–507

75

Cleopatra

Reina egipcia

–69

–30

39

Ovidio

Poeta romano

–43

17

60

Dionisio

Historiador griego

–60

7

67

Estrabón

Geógrafo e historiador griego

–64

19

83


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30

Lección 47 Un paso adelante 4. Lee la situación y responde las preguntas.

Para llegar al volcán submarino, Martín, biólogo marino, abordó un batiscafo que estaba suspendido a una altura de 14 m sobre el nivel del mar. Al sumergirse por primera vez, el batiscafo llegó a 50 m bajo el nivel del mar. Si se comienza a contar desde la altura a la que estaba suspendido el batiscafo, es posible plantear la ecuación 14 + x = –50. Al despejar el valor de x, se obtiene que x = –50 – 14; así, x = –64. Por consiguiente, el batiscafo ha descendido 64 m desde donde estaba suspendido. a) Luego, el batiscafo, que se encontraba a 50 m bajo el nivel del mar, descendió hasta llegar a 770 m.

Construye una ecuación que permita determinar cuántos metros descendió; sigue el ejemplo x – 64 = -770; así, x = -706. del planteamiento.

Descendió 706 metros más.

Un batiscafo es un pequeño vehículo sumergible a grandes profundidades.

b) Después, el batiscafo partió de 770 m bajo el nivel del mar, bajó 59 m, se detuvo y después des-

cendió otros 124 m; luego, no se registraron cuántos metros más bajó, pero llegó a 1 600 m bajo el nivel del mar. Reúnete con un compañero y formulen una ecuación que les permita determinar cuánto descendió el batiscafo en la última etapa para llegar a 1 600 m de profundidad.

-770 -59 -124 + x = -1600; así, x = -647. Descendió otros 647 metros. 5. Lee el planteamiento y contesta las preguntas.

Iván tiene una granja de pollos; para llevar un control de sus finanzas, registra en una tabla los ingresos (venta de huevo y pollo) y gastos (pago de luz, de agua y de empleados, compra de vacunas, alimento e impuestos). a) Obtén el balance semanal. Observa el ejemplo.

Semana

Balance semanal

Ingresos (+) y gastos (–)

1

+500, –150, –1 200, –45, +75

–820

2

+40, –30, +450, +700, –200, –15, +450, +500

1 895

3

+500, –400, –200, +1 403, –403, –234, –212, +700

1 154

4

–340, +280, –450, –340, –650, +1 200, +1 400, +2 300

3 400

5

–300, –500, –245, –349, +500, –650, –730

-2 274

b) ¿Qué significa que el balance semanal sea una cantidad negativa?

Que esa semana se gastó más dinero del que ingresó. c) ¿En qué semana se obtuvieron las mayores ganancias? d) ¿En qué semana hubo mayores pérdidas?

En la semana 4 En la semana 5 Lección 47 Bloque 5 235

6²(;3B0B%BLQGG

30

Lección 47

Adición y sustracción de números con signo I Profundiza 6. Observa la secuencia de números en cada recta; todos inician en el 0. Completa los números que faltan en la columna derecha y los saltos en la recta. a) 0+6–3–8= –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4 5

6

7

8

9

0

1

2

3

4 5

6

7

8

9

0

1

2

3

4 5

6

7

8

9

0

1

2

3

4 5

6

7

8

9

0

1

2

3

4 5

6

7

8

9

0

1

2

3

4 5

6

7

8

9

0

1

2

3

4 5

6

7

8

9

0

1

2

3

4 5

6

7

8

9

b) 0 – 9 + 15 – 3 = –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

c) –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0 + 8 – 11 – 7 = –10

d) –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0 – 7 + 13 – 6 = 0

e) –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0 – 3 – 5 + 6 – 5 + 12 – 2 =

3

0+7 –1+3–0–9+6=

6

0 + 9 – 11 – 3 + 9 + 5 – 9 =

9

0+2+7–0–4–8–6=

-9

f) –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

g) –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

h) –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

La operación (–3) + (–2) = –5 es lo mismo que –3 – 2 = –5 La operación (+3) + (+2) = +5 es lo mismo que 3 + 2 = 5

Oriéntate En la recta numérica, los desplazamientos a la derecha son positivos y los que van a la izquierda, negativos.

7. Sigue el ejemplo y resuelve las operaciones. a) (–3) + (–6) = –3 – 6 = –9

b) 0 + (+6) + (–3) +(–8) = -5

c) (+4) + (–2) = 2

d) (–1) + (+3) + (–3) + (+1) = 0

e) (–3) + (+3) = 0

f) (+5) + (–7) + (+1) + (–2) + (+5) = 2

g) (–5) + (–2) + (–1) = -8,

h) –4 + (–1) + (0) = -5

i)(–3) + (+3) + (–1) = -1

j) (–1) + (+1) + (–1) + (+1) + (–1) + (+1) = 0


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30

Lección 47 8. Completa la tabla; escribe las expresiones que hacen falta y encuentra el resultado. Sin paréntesis

Con paréntesis

Resultado

–10 + 5 = –2 – 3 + 4 =

(–10) + (+5) =

–5

(-2) + (-3) + (+4) =

–1 –7 –15 6 –5

-4 – 2 – 1 =

(–4) + (–2) + (–1) =

(-2) + (+3) + (+4) + (–20) =

–2 + 3 + 4 – 20 =

-1 – 1 + 8 = 1–4–2=

(–1) + (–1) + (+8) = (+1) + (–4) + (–2) =

Estos son los cuatro casos que puedes encontrar para la suma de dos números con signo. (+5) + (+8) = +13

(+5) + (–8) = –3

(–5) + (–8) = –13

(–5) + (+8) = +3

9. Completa la tabla. p –1 –2 4

q 2 –3 –3

r 2 10 –1

–10

0

__1

–40

–2

–17

2

p+q –1 + 2 = 1

p+q+r –1 + 2 + 2 = 3

–2 – 3 = –5 –2 – 3 + 10 = 5 4–3=1 4–3–1=0 19 –10 + 0 = –10 –10 + 0 + __21 = – __ 2 –40 – 2 = –42 –40 – 2 + 10 = –32

10. Responde las preguntas en tu cuaderno. a) Un avión vuela sobre el océano a una altura de 10 000 m, mientras que un submarino se en-

cuentra sumergido a –900 m de profundidad. ¿Qué distancia los separa?

10 900 m b) Judith vive en Baja California y David, en Oaxaca. La diferencia de horario del primer estado

respecto al segundo es de –2 h. Si en Oaxaca son las 18:00 h, ¿qué hora será en Baja California?

16:00 h

11. Hagan un debate grupal para analizar el uso del signo menos ( – ) como signo de un número negativo y como símbolo de operación (resta).

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-237a, donde se encuentran ejercicios interactivos de suma de números con signo. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-237b, donde hay una guía para sumar números con signo. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-237c, donde se explica el uso de los números enteros en la vida cotidiana.


Para que un juego de mesa (serpientes y escaleras, turista, etc.) sea más interesante, consigue unos dados y marca tres de los seis números con un signo negativo. Apunta tus tiradas en una hoja de papel y resuelve la operación. Lección 47 Bloque 5 237

6²(;3B0B%BLQGG

30

Lección 48


Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: problemas aditivos


El clima: resta de números con signo En diciembre pasado, Julio visitó a sus primos que viven en la ciudad de Chihuahua. Una tarde, estaba jugando en la calle cuando, de pronto, comenzó a nevar. 1. Contesta las preguntas. a) A las 16:30 h el termómetro marcaba 4 ºC, pero 5 h después la temperatura descendió 6 ºC.

–2 °C

¿Cuántos grados Celsius había a las 21:30 h?

b) Esa noche fue muy fría: a la 1:30 h el termómetro marcaba –12 ºC. ¿Cuántos grados disminuyó

–10 °C

la temperatura entre las 21:30 h y las 1:30 h?

c) Para las 8:00 h del día siguiente, la temperatura aumentó 14 ºC. ¿A cuántos grados estaban a esa

2 °C

hora?

d) Al otro día, Julio estuvo muy atento al reporte del clima en la radio y anotó en una hoja las

temperaturas del día. Hora 10:00 13:00 16:00 19:00 22:00 1:00

Temperatura (ºC) 3 6 3 –1 –5 –6

e) ¿Cuál es la diferencia de temperatura entre las 10:00 h y las 13:00 h?

–3 °C

f) Se escribe la diferencia de temperatura entre las 10:00 h y las 19:00 h de esta manera: 3 – (–1). i. Determina el resultado de la operación.

4

ii. ¿Cuál es la diferencia de temperatura entre las 13:00 h y las 22:00 h?

11 °C

iii. Escribe una operación que indique la diferencia de temperatura entre las 13:00 h y las 22:00 h.

6 – (–5)

g) ¿Cuál es la diferencia de temperatura entre las 13:00 h y las 16:00 h? h) Escribe una operación que indique la diferencia de temperatura anterior.

3 °C 6–3

i) Obtén el resultado de las operaciones que se indican. i. –1 – (–5) = 4

ii. 3 – (–5) = 8

iii. 3 – 3 = 0

iv. 3 – (–1) = 4

v. –5 – (–6) = 1

vi. 5 – 8 = -3


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30

Lección 48 Un paso adelante 2. Obtén los opuestos de cada número y completa la operación como se muestra en el ejemplo. a) Opuesto de (–5) = _________, +5 porque – 5 + 5 = 0 b) Opuesto de (+7) = –7, _________ porque (+7) + (–7) = 7 – 7 = 0 c) Opuesto de (+4) = –4, _________ porque (+4) + (–4) = 4 – 4 = 0 d) Opuesto de (+5) = –5, _________ porque (+5) + (–5) = 5 – 5 = 0 e) Opuesto de (+9) = –9, _________ porque (+9) + (–9) = 9 – 9 = 0 3. Ubica cada número y su opuesto en la recta numérica. Sigue el ejemplo. a) (–3) + (3) = __ 0

–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4 5

6

7

8

9 10

b) (–4) +(4) __ = __ 0

–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4 5

6

7

8

9 10

c)(7) __ + (–7) = __ 0

–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4 5

6

7

8

9 10

d) (1) __ + (–1) = __ 0

–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4 5

6

7

8

9 10

e) (9) + (__) –9 = __ 0

–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4 5

6

7

8

9 10

Una forma de interpretar la operación a – (–b) es considerar – (–b) como el opuesto de –b. Por ejemplo, – (–3) = 3 sería lo mismo que el opuesto de (–3), que es 3.

Con paréntesis – (–34) =

Sin paréntesis +34

R. P.

R. P.

– (+2) =

–(–2) =

–2 +2

– (+3) =

–3 Lección 48 Bloque 5 239

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30

Lección 48 Adición y sustracción de números con signo II Profundiza 4. Resuelve las operaciones. Con paréntesis

Sin paréntesis

Resultado

(–3) + (–6) – (–2) =

–3 – 6 + 2 =

–7

(–3) + (–2) – ( –1) =

–3 – 2 + 4 =

–1

(–6) + (–3) – (–2) – (–2) =

–6 – 3 + 2 + 2 =

–5

(–3) + (–5) – (–6) =

–3 – 5 + 6 =

–2


Bernardo y Laura estudian para el examen de Matemáticas planteándose preguntas entre sí. Para que fuera más entretenido, por cada respuesta correcta obtenían una ficha y por cada incorrecta la perdían. El reto de su juego era conseguir 20 fichas. a) Bernardo tenía seis fichas, pero respondió mal una pregunta. ¿Cuántas le sobraron? Plantea la

6–1=5

operación correspondiente.

b) Laura tenía cuatro fichas, pero en el siguiente turno respondió mal una pregunta.

La operación que se utiliza para saber el número de fichas que le sobraron es la siguiente. 4–1=3 Sin embargo, Laura se dio cuenta de que la pregunta de Bernardo estaba mal formulada, así que él le regresó su ficha. 3 – (–1) = i. ¿Cuál es el resultado de la operación anterior?

4

6. Resuelve las operaciones. a) 3 – (–3) = 6

b) 3 + 3 =

6

c) 3 + (–3) = 0

d) 3 – 3 =

0

e) –3 – (–3) =

0

f) –3 + 3 = 0

g) –3 – 3 = –6

h) –3 + (–3) = –6

i) 4 + (–4) = 0

j) –8 + 8 = 0

k) 16 + (–16) = 0

El opuesto de un número a o inverso aditivo (escrito como –a) es aquel que sumado a él da como resultado 0. a + (–a ) = 0


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30

Lección 48 7. Resuelve las operaciones y completa la tabla. Con paréntesis

Sin paréntesis

Resultado

(–4) + (–2) – (–3) = (–3) – (–2) – (–3) =

–4 – 2 + 3 = –3 + 2 + 3 =

–3 2

(+8) – (–3) – (–3) – (–2) =

8+3+3+2=

16

(+4) – (–12) + (–2) =

4 + 12 – 2 =

14

(–4) – (–5) + (–4) =

–4 + 5 – 4 =

–3

8. Reúnete con un compañero, lean el planteamiento y expliquen en su cuaderno el error que cometió Lorenzo. Comparen sus conclusiones con las de sus compañeros y corrijan si es necesario.

Lorenzo cursa el primer grado de secundaria y, en un ejercicio de su examen, escribió el siguiente resultado: (–4) – (–2 ) = –6. 9. Reúnete en equipo. Analicen el enunciado, resuelvan la operación e indiquen si la frase es verdadera o falsa y por qué. Háganlo en su cuaderno.

Restar (+3) – (–5) es lo mismo que sumar 3 con el inverso aditivo de –5. 10. Resuelve las operaciones con la calculadora. Reta a un compañero para hacerlo en el menor tiempo posible. a) (–3) – (–25) + (–54) – (–84) = b) (–3) – (–8) – (–3) – (–5) = c) (–3) + (–16) – (–3) + (–35) + (–3) = d) (–3) – (–2) – (–48) – (–5) + (–8) =

52 13 –54 44

11. Participa en un debate grupal para analizar por qué la resta de un número negativo se convierte en una suma de un positivo: 3 – (–6) = 3 + 6.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-241a, donde se encuentra una guía para obtener el opuesto de un número. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-241b, donde hay ejercicios para restar números enteros. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-241c, donde se explica un error típico al sumar o restar números enteros.


En ciertas temporadas las tiendas comerciales ofrecen descuentos a sus clientes. Consigue una publicidad y escribe, en tu cuaderno, una operación para calcular el precio menos el descuento de los productos que se promocionan. Lección 48 Bloque 5 241

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Lección 49 Raíz cuadrada y potencia de exponente natural Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: problemas multiplicativos

Contenido Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales.

Datos en un diagrama de árbol: elevar a una potencia 1. Emilio juega a los volados con Joaquín. Usa el diagrama para determinar el número de resultados posibles después de cuatro volados. Volado 4 Volado 3 Volado 2 Volado 1

a) ¿Cuántos resultados posibles hay en el volado 1?

Dos

b) ¿Cuántos resultados posibles hay en el volado 2?

Cuatro

2. Completa la tabla y responde la pregunta. Número de resultados posibles

Número de volados

Multiplicación 2

1 2 3 4 5 6 7

Resultado

2×2

2 4

2x2x2 2x2x2x2 2x2x2x2x2 2x2x2x2x2x2 2x2x2x2x2x2x2

16 32 64 128

8

a) ¿Qué relación encuentras entre el número de volados y las veces que se debe multiplicar 2 para

Son el mismo número

obtener la cantidad de resultados posibles?

b) Comparte tu respuesta con tus compañeros de grupo. Escriban una conclusión relacionada al

comportamiento de la tabla.

Un paso adelante 3. Observa la secuencia de figuras y completa la tabla.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Para calcular cuánto mide la superficie de un cuadrado se utiliza la siguiente fórmula. A=l×l

o

A = l2

El número 2 indica las veces que se multiplica el lado por sí mismo.


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30

Lección 49 Número de figura 1 2 3 4 5 6 7

Fórmula A=l×l 1×1 2×2

3 4 5 6 7

x x x x x

Número de resultados posibles Fórmula A = l2 12

Resultado

22 32 42 52 62 72

4 9 16 25 36 49

3 4 5 6 7

1

4. Reúnete con un compañero y hagan lo que se pide.

20

a) ¿Cuál es el resultado de 42 + 4?

b) Anoten, en su cuaderno, el procedimiento para resolver la operación. c) Resuelvan las operaciones. Primero se efectúa el exponente y luego la suma o la resta. i. 32 – 1 = 8

ii. 22 + 4 =

12

iii. 42 + 42 = 32

5. Compartan sus respuesta con sus compañeros. Registren sus dudas y comenten de manera grupal cómo resolverlas.

Profundiza Exponente Una suma se simplifica con la multiplicación, por ejemplo: 5 + 5 = 5 × 2. A su vez, una multiplicación se simplifica con la potenciación, por ejemplo: 5 × 5 = 52. En la potenciación de números enteros, el exponente indica la cantidad de veces que se multiplica la base por sí misma. Por ejemplo: 23 = 8 23 = 2 × 2 × 2

52 = 25

Potencia

Base

6. Completa la tabla. Suma 4+4+4+4

3+3+3 6+6+6+6+6+6

Multiplicación 4×4 3×3

6 2 5 7

2+2 5+5+5+5+5

7+7+7+7+7+7+7

x x x x

Potenciación 42

Resultado 16

32

9 36 4 25 49

62

6 2 5 7

22 52 72

7. Observa el ejemplo y completa la tabla. Potencia 42

Base 4

Exponente 2

Resultado 16

56

5

6

34 41

3

4

15 625 81

4

1

4 Lección 49 Bloque 5 243

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Lección 49 Raíz cuadrada y potencia de exponente natural a) Si sabes que el resultado de una potencia es 4, ¿puedes determinar cuáles son la base y el exponente?

¿Cómo completaste la última fila de la tabla? Explica, en tu cuaderno, el procedimiento que usaste.

Oriéntate Tanto el número del índice como el del exponente puede ser cualquiera; sin embargo, solo trabajarás con números naturales.

8. Lee los planteamientos y contesta las preguntas. a) El área de un cuadrado es de 16 cm2, ¿cuánto medirá uno de sus lados?

4 cm

b) Una hortaliza cuadrangular tiene una superficie de 9 m2,

3m

¿cuánto medirá uno de sus lados?

La radicación consiste en encontrar un número (raíz) tal que, al multiplicarlo las veces que indique el índice, se obtenga el radicando. La radicación es inversa a la potenciación. En particular, Signo de radical la raíz cuadrada es inversa de la potencia de 2. Por ejemplo: 32 = 9 Índice n Al aplicar raíz cuadrada al resultado, se obtiene √a =b Raíz lo siguiente. 2

√9=3

Radicando

9. Resuelve las operaciones; guíate con el ejemplo. a) 2√25 = 5, porque 52 es igual a 5 × 5 = 25.

3 porque __ 3 3 es igual a 3_________ x 3 x 3 = ___ 27 b) 3√27 = ___, c) 2√144 = ___, 12 porque ___ 12 2 es igual a _________ 12 x 12 = ___ 144 10. Observa cómo se completó la primera fila de la tabla y completa las demás. Radicación

√64 2 √49 3

Oriéntate La expresión “el cuadrado de un número” significa que ese número se multiplica por sí mismo.

Raíz 4

7 8 10 2

72 = 49 82 = 64 102 = 100

0.6

0.62 = 0.36

2

49

2

64

√100

2 4 2

100 16 0.36

4

316

2

Radicando 64

364

2 2

Índice 3

√0.36

Potenciación 43 = 64

24 = 16

11. Reúnete con un compañero y resuelvan las operaciones. Contesten en su cuaderno. a) 42 + 2√9 = 19

b) 103 + 2√81 = 109

c) (0.4)3 + 2√0.25 = 0.564

2

d)

√100 2 √25

= 2

e) 82 + 2√36 + 30 = 73

12. La suma de los cuadrados de dos números enteros es 25. ¿Cuáles son dichos números?

0.064 13. Reúnete con un compañero, analicen el texto y contesten.

Glosario Iteración. Significa repetir un proceso varias veces.

Herón de Alejandría escribió un tratado denominado La Métrica, en el que estudió las áreas y volúmenes de distintas superficies y cuerpos. Desarrolló técnicas de cálculo, tomadas de los babilonios y egipcios, como el cálculo de raíces cuadradas mediante iteraciones. Pero, sin duda, su mayor logro en la geometría es la conocida fórmula de Herón que relaciona el área de un triángulo con la longitud de sus lados, esto es, que si las medidas de los lados son a, b y c, el área (A) es


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Lección 49 A = √s(s – a)(s – b)(s – c)

4.29 cm

donde s es la mitad del perímetro. 5.63 cm i. Calcula el área del triángulo con la fórmula de Herón.

6.16 cm Algoritmo para obtener la raíz cuadrada de un número o la raíz cuadrada entera que más se le aproxime Etapas

Lo que hacemos

1 Separar el número en cifras de dos en dos; empezar de derecha a izquierda

55 691

5, 56, 91

2

Considerar el primer grupo de cifras (izquierda) y obtener su raíz cuadrada: buscar un √ 5, 56, 91 2 número cuyo cuadrado entero sea cercano a 5 (o menor que se le aproxime), anotar 1 su raíz a la izquierda y su residuo abajo del 5

3

Bajar las siguientes dos cifras, separar la última cifra de la derecha (en este caso el 6) y duplicar la raíz obtenida en el paso anterior (en este caso se obtiene 4)

√ 5, 56, 91 2 15,6

4

Obtener el cociente entero de la división 15 ÷ 4, en este caso es 3; escribir este número junto al 4 (de la derecha) y multiplicar esa cantidad nuevamente por 3

√ 5, 56, 91 2 15,6 43 × 3 = 129

5

Restar 156 – 129 y escribir el resultado debajo de 15.6 (en este caso 27); subir el 3 (obtenido en el paso anterior) junto al 2 y repetir lo expuesto en el paso 3

√ 5, 56, 91 2 15,6 43 × 3 = 129 27

Bajar las siguientes dos cifras; separar la última cifra de la derecha (en este caso el

6 1), duplicar la raíz obtenida en el paso anterior y escribirla abajo (en este caso se obtiene 46)

7

Obtener el cociente entero de la división 279 ÷ 46, en este caso es 6; escribir este número junto al 46 (de la derecha) y multiplicar esa cantidad nuevamente por 6, pero hay un problema: 466 × 6 = 2 796 no se puede restar con 2 791, entonces se debe corregir y elegir 5; se obtiene 2 325, entonces se resta 2 791 – 2 325 y el resultado se anota abajo. Se sube el 5 junto al 2 y se forma la cantidad 325.

√ 5, 56, 91 2 15,6 43 × 3 = 129 279,1 46 √ 5, 56, 91 2 15,6 43 × 3 = 129 279,1 465 × 5 = 2325 466

14. Obtén, con el método anterior, las raíces cuadradas de las siguientes cantidades; compara tus resultados con los de tus compañeros. a) 197 136 444

b) 180 625 425

c) 284 089 533

15. Hagan un debate grupal sobre el siguiente planteamiento. ¿Por qué se dice que la potenciación es la operación inversa a la radicación? Escriban sus conclusiones.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-245a, donde se encuentra una guía para multiplicar potencias y calcular raíces. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-245b, donde se muestra el método babilónico para obtener una raíz cuadrada. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-245c, donde se explica cómo calcular la raíz cuadrada mediante el método babilónico.


Los cuadrados y la raíz cuadrada se relacionan; para mostrarlo, consigue un cartón, hazle pequeñas incisiones, consigue canicas y forma cuadrados. Analiza el número de canicas que hay por cuadrado y escribe su relación con la raíz cuadrada. Lección 49 Bloque 5 245

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Lección 50 Notación científica Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: números y sistemas de numeración

Contenido Uso de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.

Números grandes y pequeños: notación científica Rodrigo quiere cercar su jardín rectangular, por lo que necesita medir el largo y ancho, pero solo encontró una regla de 10 cm. Aun así, la usó y luego contó las veces que cupo la regla en el largo y ancho. Para obtener la medida, efectuó las siguientes operaciones. Largo: 60 × 10

Ancho: 80 × 10

Ambas se leen como “sesenta veces una regla de 10 cm” y “ochenta veces una regla de 10 cm”, respectivamente. 1. Contesta lo que se pide. a) Después, Pedro llegó a casa de Rodrigo y le prestó una cinta métrica de 1 m.

¿Cuántas veces cabe la cinta en el largo y ancho del jardín? 6 veces en el largo y 8

veces en el ancho

b) Escribe las veces que cabe la cinta en el largo y ancho del jardín, así como su medida.

Largo:

6

×

1m

8

Ancho:

1m

×

c) ¿Cuáles son las dimensiones del jardín? 6 metros de largo y 8 metros de ancho

Un paso adelante 2. Completa la tabla; guíate por el ejemplo.

Oriéntate Un byte es una unidad de almacenamiento de información. Es usado en el ámbito de la computación e informática.

Nombre

Cantidad de bytes

Producto

Kilobyte (KB)

1 000

10 × 10 × 10

103

Megabyte (MB)

1 000 000

10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10

106

Gigabyte (GB)

1 000 000 000

10x10x10x10x10x10x10x10x10

109

Terabyte (TB)

1 000 000 000 000

Petabyte (PB) Exabyte (EB)

Potencia

10x10x10x10x10x10x10x10x10x10x10x10 10x10x10x10x10x10x10x10x10x10x10x10x10x 1 000 000 000 000 000 10x10 1 000 000 000 10x10x10x10x10x10x10x10x10x10x10x10x10x10 000 000 000 x10x10x10x10

1 012 1 015 1018

De acuerdo con la tabla, si en una computadora hay 8 MB de información, es posible expresar esta cantidad como se indica. 8 × 1 000 000 8 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 8 × 106 a) ¿Cuál de las tres formas te resulta más fácil de escribir?

R. P.

¿Por qué?

b) Elige una de las unidades de información de la tabla anterior. Enseguida, cuenta el número de ceros

en la segunda columna y la cantidad de multiplicaciones de la tercera; luego, observa el exponente en la cuarta columna. ¿Encuentras alguna relación? Escribe las conclusiones en tu cuaderno.


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Lección 50 c) Completa la tabla; guíate por el ejemplo. Comparte tus resultados con tus compañeros, comenta

las dificultades que tuviste y cómo las resolviste. Datos

Cantidad

Producto

Potencia

8 MB

8 × 1 000 000

8 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10

8 × 106

5 TB

5 000 000 000 000

5x10x10x10x10x10x10x10x10x10 x10x10x10

5 × 1012

19 KB

19 000

19 × 10 × 10 × 10

12 MB

12 000 000 1 000 000 000 000 000 000

12x10x10x10x10x10x10 4x10x10x10x10x10x10x10x10 x10x10x10x10x10x10x10

19 x 103 12 x 106

4 PB

4 × 1015

3. Reúnete con un compañero. A partir de la tabla anterior, resuelvan las operaciones. Utilicen una expresión equivalente a los sumandos. a) (8 × 106) + ( 5 × 106) = 13 x 106

b) (4.3 × 1012) + ( 8.2 × 1012) = 12.5 x 1012

3

c) (3 × 10 ) + ( 2 × 10 ) = 5 x 10 3

3

Al multiplicar un decimal por potencias de 10, el punto se recorre a la derecha. Por ejemplo: 4.6872 × 10 = 46.872 4.6872 × 100 = 468.72 4.6872 × 1 000 = 4 687.2 4.6872 × 10 000 = 46 872 Observa que las potencias de 10 se pueden escribir simplificadas, es decir, con un exponente. Así, las cantidades anteriores se reescribirían como se indica. 4.6872 × 101 = 46.872 4.6872 × 102 = 468.72 4.6872 × 103 = 4 687.2 4.6872 × 104 = 46 872

b) 34.0458658 × 106 =

459.5

c) 843.9459 × 104 =

34045865.8

Al multiplicar un decimal por potencias negativas de 10, el punto se recorre a la izquierda. Por ejemplo: 1 = 4 68.72 4 687.2 × 10 1 4 687.2 × 100 = 46.872 1 = 4.6872 4 687.2 × 1 000 1 4 687.2 × 10 000 = 0.46872

Las potencias de 10 son números del tipo 10n, donde n es un número. Para el caso de n ≥ 1 (n igual o mayor que 1), la n indica las veces que debe multiplicarse 10 por sí mismo. 101 = 10 102 = 10 × 10 = 100 103 = 10 × 10 × 10 = 1 000

Oriéntate

4. Calcula el resultado de las expresiones. a) 0.4595 × 103 =

Oriéntate

8439459

Observa que las potencias de 10 se pueden escribir simplificadas, esto es, con un exponente. Así, las cantidades anteriores se reescribirían como se indica. 4 6872 × 10–1 = 468.72

Las potencias negativas de 10 son números del tipo 10–n, donde n es un número diferente de 0. 1 10–1 = __ = 0.1 10 1 10–2 = ___ = 0.01 100 1 10–3 = ____ = 0.001 1 000

4 6872 × 10–2 = 46.872 4 6872 × 10–3 = 4.6872 4 6872 × 10–4 = 0.46872

5. Calcula el resultado de las expresiones. a) 23344.45 × 10–4 =

2.334445

6²(;3B0B%BLQGG

b) 745.3294 × 10–6 =

0.0007453294

c) 345.453 × 10–2 =

3.45453


30

Lección 50 Notación científica Profundiza 6. Reúnete con un compañero. Resuelvan las operaciones; respondan con una expresión equivalente a los sumandos. a) (0.00004 × 10–4) + (3455.34 × 103) = 3455340.000000004 b) (0.3430304 × 10–6) + (3095697 × 105) = 309569700000.0000003430304

La notación científica es una forma simplificada de escribir un número utilizando potencias de 10; resulta útil para trabajar con números grandes o pequeños. Cuando el exponente es positivo, el punto decimal se recorre a la derecha tantos lugares como indique el exponente de la potencia de 10. Cuando el exponente es negativo, el punto decimal se recorre a la izquierda tantos lugares como indique el exponente de la potencia de 10.

7. Reúnete con otro compañero y completen la tabla. Número Notación científica

16 394 1.6394 × 104

0.00023

180 000

0.02324

2.3 × 10-4

1.8 × 105

2.324 × 10-2

3 445 340 000 3.44534 × 109

8. Expresa en notación científica las cantidades. Número

Notación científica

0.0000000034

3.4 x 109

48 474 500 000 000 0.00000002

4.84745 x 1013 2 x 10-8

12 200 000 000 000 000

1.22 x 1016

0.000000000000000453

4.53 x 10-16

9. Lee los planteamientos y efectúa lo que se pide en tu cuaderno. a) La profesora pidió a los alumnos que escribieran en notación científica el decimal 0.00000234,

pero Irene anotó 234 × 10–8 y Vicente, 2.34 × 10–6. ¿Quién tiene la respuesta correcta? Explica tu respuesta. b) Redacta el procedimiento para escribir un número en notación científica. c) Rodrigo leyó en el periódico que unos científicos descubrieron un planeta muy parecido

a la Tierra, el cual orbita la estrella Gliese 581. Dicho planeta está a casi 20.3 años luz de nuestro planeta, es decir, a 192 185 784 000 000 km de distancia. Escribe esta cantidad en notación científica con dos enteros y los demás números en decimales. d) Anota tres ventajas de usar la notación científica.


6²(;3B0B%BLQGG

30

Lección 50

10. Escribe las cantidades de cada enunciado en notación científica. a) Una empresa esta valuada en $38 000 000.

$ 3.8 x 107 1 x 10-6 m

b) Una célula mide aproximadamente 0.000001 m.

1.5 x 108 km

c) La distancia aproximada de la Tierra al Sol es de 150 000 000 km. d) El radio de Mercurio mide aproximadamente 2 440 000 m.

2.44 x 106 m

e) La distancia aproximada de la Tierra a Neptuno es de 4 308 000 000 km.

4.308 x 109

11. Convierte las cantidades de notación científica en números decimales. a) Radio medio del Sol: 6.96 × 108 m

696 000 000 m

b) Masa de la Luna: 7.36 × 1022 kg 73 600 000 000 000 000 000 000 kg c) Distancia promedio de Urano al Sol: 2.87 × 1012 m 2 870 000 000 000 m d) Masa de Júpiter: 1.9 × 1027 kg 1 900 000 000 000 000 000 000 000 000 e) Masa de Venus: 4.87 × 1024 kg 4 870 000 000 000 000 000 000 000 12. Obtén el resultado de las operaciones. a) (4.87 × 106) + (3.3 × 106) = 8.17 x 106 c) (3 × 102) – (2 × 102) = e) (2.1 × 104) – (2 × 104) =

1 x 102

b) (3.6 × 105) + (6.3 × 105) =

9.9 x 105

d) (1.11 × 107) – (0.15 × 106)= 1.095 x 10-7

1 x 105

13. Hagan un debate grupal para analizar el comportamiento de un número decimal cuando se multiplica sucesivamente por múltiplos de 10.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-249a, donde hay una guía de notación científica. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-249b, donde se encuentra una actividad interactiva para obtener la notación científica de un número. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-249c, donde se explica el uso de la notación científica en la vida cotidiana.

Para resolver el cubo de Rubik, se pueden hacer 43 252 003 274 489 856 000 movimientos. ¿Cómo expresarías esta cantidad en notación científica?

Para la bi†ácora Resuelve las actividades correspondientes a la lección 50 en la bitácora de la página 263. Lección 50 Bloque 5 249

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30

Lección 51 Regla general de una progresión aritmética Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: patrones y ecuaciones

Contenido

Una figura tras otra: progresiones aritméticas Alfonso juega con piezas armables y ha construido una sucesión de figuras.


Figura 1

Figura 2

Figura 3

1. Responde las preguntas. a) De acuerdo con el número de piezas de cada figura, determina la cantidad que tendrá la figura 4.

8 piezas b) Explica, en tu cuaderno, cómo determinaste el número de piezas de la figura 4. 2. Completa la tabla. Figura

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Número de piezas

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

3. Contesta las preguntas. a) ¿Cuál es la diferencia entre el número de piezas de la figura 7 y el de la 6? 2 piezas b) ¿Cuál es la diferencia entre el número de piezas de la figura 9 y el de la 8? 2 piezas c) Elige dos figuras consecutivas y determina cuál es la diferencia en su número de piezas. 2 piezas

Puedes hacer dos lecturas diferentes de la tabla anterior: determinar la cantidad de piezas que tiene a partir del número de la figura o indicar qué figura es con el número de piezas. d) A partir de una figura, ¿qué operación se efectúa para calcular el número de piezas que le

corresponden? Una multiplicación (por 2)

Oriéntate El término n o el enésimo de una sucesión se refiere al lugar que ocupa en ella.

e) Expresa una fórmula que te permita encontrar la cantidad de piezas para la figura n.

Número de piezas de la figura n = 2n f) Escribe los cinco primeros términos de la regla 2n + 1.

3, 5, 7, 9, 11 g) Comparen respuestas de manera grupal y redacten, en su cuaderno, un procedimiento general.


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30

Lección 51 Un paso adelante 4. Reúnete con un compañero. Escriban los términos que faltan y determinen la regla general para cualquier número n. a) Término

1

2

3

4

5

6

7

8

n

Sucesión

1

2

3

4

5

6

7

8

n

Término

1

2

3

4

5

6

7

8

n

Sucesión

5

7

9

11

13

15

17

19

2n + 3

Término

1

2

3

4

5

6

7

8

n

Sucesión

7

13

19

25

31

37

43

49

6n + 1

Término

1

2

3

4

5

6

7

8

n

Sucesión

12

10

8

6

4

2

0

-2

-2n + 14

Término

1

2

3

4

5

6

7

8

n

Sucesión

11

21

31

41

51

61

71

81

10n + 1

b)

c)

d)

e)

Oriéntate

5. Escribe los primeros diez términos de cada regla de sucesión. a) 4n + 1 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41

La progresión aritmética es la secuencia de números en que cada uno se diferencia del anterior (excepto el primero) por una cantidad constante denominada diferencia común.

b) 2n + 1 2.5, 4.5, 6.5, 8.5, 10.5, 12.5, 14.5, 16.5, 18.5, 20.5 2

c) 0.75n + 1 1, 1.75, 2.5, 3.25, 4, 4.75, 5.5, 6.25, 7, 7.75 4

d) 10n – n + 4 13, 22, 31, 40, 49, 58, 67, 76, 85, 94 6. Elige con el grupo uno de los cuatro planteamientos anteriores y comparen sus respuestas. Identifiquen dudas y dificultades; comenten cómo resolverlas Lección 51 Bloque 5 251

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Lección 51 Regla general de una progresión aritmética Profundiza 7. Reúnete con un compañero. Determinen la diferencia de términos en las sucesiones y completen los que faltan en cada una. Sucesión

a)

2

Diferencia Sucesión

b)

0 2

Diferencia Sucesión

c)

Sucesión

Sucesión

e)

Diferencia

3

8

12

7 64

48

256

192

7 1 024

768

55

38

36

89 34

43 5

43 7

68

26

21

5

29

7

34

33 5

42

16

13

28

22

7

21 8

5

26

10

13 5

5

16

6

23

15

16

4

3

5

7

10

8

18

8

4

2 5

13

1

6

2

5

Diferencia

4 2

1

Diferencia

d)

2

48 5

50 7

57 7

4 096 16 384 65 536 262 144

3 072

12 288 49 152 196 608

f) De las sucesiones anteriores, ¿cuáles son progresiones aritméticas?

La c y la d

g) Determinen la regla para las progresiones aritméticas que indicaron en el inciso anterior. Escríbanlas

en su cuaderno. 8. Efectúa, en tu cuaderno, lo que se pide.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

a) Dibuja las siguientes cinco figuras de la sucesión.

Oriéntate La progresión geométrica es la secuencia de números en que cada término (excepto el primero) se obtiene al multiplicar el anterior por uno fijo. A esta relación constante se le denomina razón común.

b) Escribe la sucesión numérica de las figuras anteriores. c) Determina las diferencias en cada término. d) ¿Esta sucesión es una progresión geométrica? e) Discute grupalmente las respuestas. Confronten sus ideas y acuerden un procedimiento

para determinar si es o no una progresión geométrica.

R. P.


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Lección 51 9. Efectúa, en tu cuaderno, lo que se pide. a) Dibuja las cinco figuras que siguen en la sucesión.

b) Escribe la sucesión numérica que indica el número de cerillos de cada figura. 3, 6, 9, 12, 15… c) Determina las diferencias en cada término. 3 d) ¿Esta secuencia es una progresión geométrica? No e) Determina su regla. 3n 10. Escribe, en tu cuaderno, la sucesión de números indicada; determina si es una progresión aritmética o geométrica y anota su regla general. a) Secuencia de múltiplos de 2

2, 4, 6, 8,…; 2n; aritmética

b) Secuencia de números impares 1, 3, 5, 7,…; 2n – 1; aritmética c) Secuencia de números pares

2, 4, 6, 8,…; 2n; aritmética

11. Encuentra el término que se indica. a) El término 9 de la sucesión: 6, 8, 10, 12…

22

b) El término 16 de la sucesión: 19, 12, 5…

-86

c) El término 128 de la sucesión: 9, 12, 15…

390

d) El término 45 de la sucesión: 3, 10, 17…

311

12. Hagan un debate grupal para analizar similitudes y diferencias entre fórmulas de áreas y una regla de sucesión.

1 2 13

2 3 4 6 2

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-253a, donde se encuentra una guía de trabajo con progresiones aritméticas. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-253b, donde hay actividades de progresiones aritméticas. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-253c, donde se introduce el tema de las progresiones aritméticas.

Para la bitácora

3

3 4 5

9

x

Antes de empezar a trabajar en un lugar, es usual presentar varias pruebas de habilidades del pensamiento, como sucesiones de figuras y números. En la imagen, ¿qué valor tiene x?


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Lección 52 Área y perímetro del círculo Eje: forma, espacio y medida Tema: medida

Contenido

Los diseños: área del círculo Araceli es modista y desea confeccionar una blusa con base en el dibujo.


42 cm 1. Reúnete con un compañero y contesten las preguntas.

R. P.

a) Si la blusa mide 73 cm de largo, ¿podrán calcular su área?

R. P.

b) Expliquen el procedimiento que seguirían para hacerlo.

c) ¿Qué medidas se necesitan para conocer el área sombreada de la blusa?

Los radios de los círculos d) Si tuvieran las medidas necesarias, ¿qué procedimiento seguirían para calcular el área de la parte

sombreada? Responde en tu cuaderno. e) Discutan con el grupo su procedimiento y, con ayuda del profesor, redacten uno que sea general

para todos.

Un paso adelante Perímetro del cuadrado 32 cm

2. Efectúa lo que se pide. a) Calcula el área del círculo de la izquierda.

R. T. 48 cm2

b) Describe el procedimiento que desarrollaste para encontrar la respuesta anterior.

R. P. c) ¿Cuánto mide cada lado del cuadrado? d) ¿Cuánto mide el diámetro de la circunferencia?

8 cm 8 cm


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Lección 52 El jardín: perímetro del círculo Carlos es jardinero; este fin de semana trabajará en casa de la familia Hurtado. Ellos le pidieron que cerque de forma circular una orquídea en el centro del jardín. Él enterró seis postes alrededor de la orquídea, pero el material no le alcanzó; lo estiró demasiado y se formó un hexágono cuyo perímetro mide 25.17 m. Sin embargo, la familia aún quiere una circunferencia. 3. Reúnete con un compañero y contesten lo que se pide. a) ¿Qué cantidad de material le falta a Carlos para transformar la cerca hexagonal en circular?

1.19 m b) ¿Cuánto mide cada lado del hexágono?

4.195 m

c) ¿Qué relación tienen el lado del hexágono y el radio de la circunferencia? Miden lo mismo d) Describan el procedimiento que desarrollaron para hallar el perímetro de la circunferencia.

R. P. Perímetro 25.17 m2

Un paso adelante 4. Reúnete con dos compañeros, observen las figuras y contesten las preguntas en su cuaderno.

Área del heptágono 28.79 cm2 Perímetro del pentágono 25.92 cm

Área del pentágono 29.80 cm2 Perímetro del heptágono 19.70 cm

a) ¿De qué figuras pueden obtener la medida de la circunferencia y de cuáles no? b) Expliquen sus respuestas. c) Compartan con el grupo sus respuestas y obtengan una conclusión. Lección 52 Bloque 5 255

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Lección 52 Área y perímetro del círculo Profundiza 5. Resuelve los problemas. a) Un punto se encuentra a 5 cm del centro de un círculo cuyo diámetro es de 12 cm.

A 1 cm

¿A qué distancia está de la circunferencia?

112 cm2

b) ¿Qué área tiene el círculo anterior?

Oriéntate

c) La figura representa el círculo, ¿qué área tendrá el sector sombreado?

El área de un sector circular depende de dos parámetros: el radio y el ángulo central, y está dada por la siguiente fórmula. πr2nº A=_ 360º

37 cm2

120°

d) La llanta de una bicicleta mide 27 cm de radio.

23.75 m

¿Qué distancia recorrerá después de catorce vueltas?

e) Una pizza toluqueña cuyo diámetro mide 30 cm cuesta $55.00 y otra con los mismos ingredientes pero

de 60 cm de diámetro, $110.00. ¿Qué conviene más, dos pizzas de 30 cm de diámetro o la de 60 cm?

La de 60 cm¿Por qué? Pues tiene el cuádruple de área que la pequeña, pero cuesta solo el doble. 6. Calcula, en tu cuaderno, las áreas sombreadas.

3 cm 2 cm

3.8 cm

56.52 cm2

0.86 cm2

3.1046 cm2

7. Reúnete con dos compañeros y expliquen por qué se da la relación 3 a 1. Circunferencia 30 cm Medida del arco 10 cm


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Lección 52 8. Observa los círculos concéntricos y contesta lo que se pide.

Circunferencia mayor 37.70 cm

a) Si el radio del círculo mayor es el doble del menor, ¿cuánto medirá el radio de cada círculo?

6 cm, b) ¿Cuál es el área del círculo mayor?

3 cm

d) ¿Cuál es el área del círculo menor?

Los círculos concéntricos se denominan así porque tienen el mismo centro.

2

113 cm

c) ¿Cuánto mide la circunferencia del círculo menor?

Oriéntate

28.25 cm2

Sí, R. P.

e) ¿La circunferencia del círculo mayor mide el doble que la del círculo menor?

No, R. P.


f) ¿El área del círculo mayor es el doble que el del círculo menor?


9. Comenta con tu grupo la relación entre la longitud de una circunferencia y el área de un círculo. Luego, contesten las preguntas. a) ¿Qué factores intervienen en las fórmulas del perímetro y área de un círculo?El radio y el número π b) El radio de un círculo mide 4 cm y su circunferencia, 25.1327 cm.

Calculen su área sin utilizar el valor π:

50.25 cm2

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-257a, donde se encuentra un ejercicio para calcular el área y la circunferencia del círculo. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-257b, donde hay una guía para el estudio del círculo y la circunferencia. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-257c, donde se explica cómo calcular el valor de π.


La figura “Flor de la vida” es una circunferencia con círculos superpuestos, del mismo diámetro, inscritos en ella. Traza una circunferencia de 10 cm de diámetro y círculos inscritos para formar la figura. Calcula el área de estos últimos. Lección 52 Bloque 5 257

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Lección 53 Proporcionalidad múltiple Eje: manejo de la información Tema: proporcionalidad y funciones

Contenido Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple.

Los regalos: la proporcionalidad múltiple Ana trabaja en una tienda donde se venden utensilios de cocina. Hoy un cliente compró una caja con cuatro vasos y pidió que la envolvieran para regalo. Entonces, ella la forró con papel decorado. 1. Responde las preguntas.

Figura 1 a) La caja mide 20 cm de largo, 20 cm de ancho y 20 cm de alto. ¿Cuál es su superficie total?

2 400 cm2

¿Cuál es su volumen?

8 000 cm3

b) Pedro compró dos cajas y las envolvieron como se muestra en la figura 2, Pablo ad-

quirió tres que fueron envueltas como se ve en la figura 3 y, por último, Javier pagó cuatro y pidió que las envolvieran tal como se indica en la figura 4. Si no consideras la tapa y base donde se unen las cajas,

Oriéntate La superficie de un cubo es la suma de la superficie de sus caras.

Figura 2

Figura 3

i. ¿cuánto medirá la superficie total de la figura 2? ii. ¿cuál será el volumen de la figura 2?

Para calcular el volumen de un paralelepípedo, se multiplica el largo por el ancho por el alto. Esto es,

V = L1L2L3 donde V es el volumen y L1, L2 y L3, la medida de sus aristas.

iv. ¿cuál será el volumen de la figura 3?

5 600 cm2

24 000 cm3

v. ¿cuánto medirá la superficie total de la figura 4? vi. ¿cuál será el volumen de la figura 4?

4 000 cm2

16 000 cm3

iii. ¿cuánto medirá la superficie total de la figura 3?

Oriéntate

Figura 4

7 200 cm2

32 000 cm3

2. Completa la tabla. Medida

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Superficie (cm2)

2 400 cm2

4 000 cm2

5 600 cm2

7 200 cm2

Volumen (cm3)

8 000 cm3

16 000 cm3

24 000 cm3

32 000 cm3


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Lección 53 Un paso adelante 3. Resuelve los planteamientos con base en los datos de la tabla anterior.

Códigos

a) Al multiplicar el volumen de la figura 2 por un factor proporcional, se obtiene el de la figura 1.

Área de la figura 1: A1

Esta operación se escribe como sigue.

Área de la figura 2: A2 V2 · (


) = V1 2

ii. ¿Cuál es el factor de proporcionalidad que relaciona el V3 con el V2?

V3 · (


__1

i. ¿Cuál es ese factor de proporcionalidad?

2 __

Volumen de la figura 1: V1

3

Volumen de la figura 2: V2

) = V2

iii. ¿Cuál es el factor de proporcionalidad que relaciona el V4 con el V3?

V4 · (

3 __ 4

Volumen de la figura 3: V3 Volumen de la figura 4: V4

) = V3

b) Al multiplicar el área de la figura 2 por un factor proporcional, se obtiene el área de la figura 1.

Esta operación se escribe como sigue. A2 · (

) = A1 3 __

i. ¿Cuál es ese factor de proporcionalidad?

5

ii. ¿Cuál es el factor de proporcionalidad que relaciona el A3 con el A2?

A3 · (

3

) = A3

iii. ¿Cuál es el factor de proporcionalidad que relaciona el A4 con el A3?

A4 · (

2 __

3 __ 4

) = A3

4. Coloca la información anterior en la tabla y contesta las preguntas en tu cuaderno. a) ¿El factor de proporcionalidad de volumen

y área de las figuras 1 y 2 es el mismo?

Relación

Factor de proporcionalidad que relaciona volumen

Factor de proporcionalidad que relaciona área

figura 2 y figura 1

__1

3 __

b) ¿En qué casos el factor de proporcionalidad

de volumen es el mismo? c) ¿El aumento de las dimensiones en un

hexaedro implica que su volumen y área se incrementarán con la misma proporción? Justifica tu respuesta.

figura 3 y figura 2 figura 4 y figura 3

2 2 __ 3 3 __ 4

5

2 __ 3

3 __ 4

La proporcionalidad múltiple se refiere al comportamiento de ciertos fenómenos o situaciones en que aparecen dos factores de proporcionalidad de manera simultánea. Lección 53 Bloque 5 259

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Lección 53 Proporcionalidad múltiple Un paso adelante 5. Reúnete con un compañero. Analicen la situación, hagan lo que se pide y contesten.

Mauricio fue a un supermercado a comprar cereal y lo encontró en tres presentaciones: el clásico paquete individual, el paquete doble y el paquete de cuatro cajas.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

a) Completa la tabla. Cereal figura 1 figura 2 figura 3

Largo (cm) 20

Ancho (cm)

Altura (cm)

Volumen (cm3)

20 20

7 7(2) = 14

30 30

4 200 8 400 16 800

7(4) = 28

b) ¿Qué magnitud se incrementó al doble en la figura 2?

30

El ancho

c) Al duplicarse la magnitud en la figura 2, ¿cómo cambió el volumen?, ¿en cuánto aumentó?

Se duplicó, aumentó en 4 200 cm3 d) ¿Qué magnitud se incrementó al doble en la figura 3?

El ancho

e) Al duplicarse la magnitud en la figura 3 , ¿cómo cambió el volumen?, ¿en cuánto aumentó?

Se duplicó, aumentó en 8 400 cm3 f) ¿Cuántas veces cabe el volumen de la figura 1 en la figura 3?

4 veces

g) ¿Cuál es el factor de proporcionalidad con que cambia el volumen de las figuras?

2 h) ¿Cuál es el factor de proporcionalidad con que cambia el ancho de las figuras?

2

Profundiza Gabriel es granjero y ha observado que diez pollos consumen 20 kg de alimento en diez días. 6. Responde las preguntas en tu cuaderno. a) ¿Cuánto come un pollo en ocho días? 1.6 kg b) ¿Cuánto comen dos pollos en cuatro días? 1.6 kg


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Lección 53 c) ¿Cuál es el factor de proporcionalidad que relaciona la cantidad de alimento con el número

de días? Depende del número de pollos d) ¿Qué cantidad de alimento come un pollo en un día? 0.2 kg e) ¿Cuánto alimento comen diez pollos en un día? 2 kg f) ¿Cuál es el factor de proporcionalidad que relaciona el número de pollos con la cantidad de

alimento? Depende del número de días g) Si compra 60 kg de alimento, ¿para cuántos días le alcanzará? Depende del número de pollos h) ¿Cuál es el factor de proporcionalidad que relaciona los kilogramos de alimento con el número

de días? Depende del número de pollos i) Si con 50 kg debe alimentar a 20 pollos, ¿para cuántos días le alcanzará? 12.5 días 7. Resuelve los problemas. a) Diez costureras confeccionan quince pantalones en 8 h.

¿Cuántos pantalones elaborarán quince costureras en 4 h?

20 pantalones

b) Tres albañiles levantan 3 m de castillos de varilla en 1 h.

¿Cuántos de ellos se requieren para armar 9 m de castillos en __12 h?

18 albañiles

c) Un auto recorre 100 km con 10 L de gasolina en 1 h; si mantiene un consumo constante,

¿cuántos kilómetros recorrerá con 55 L?

550 km

i. ¿Y cuántos litros necesitará para recorrer 400 km? ii. Con el mismo consumo, ¿qué distancia recorrerá en 10 h?

40 L 1 000 km

8. Elige con el grupo y el profesor uno de los tres incisos del ejercicio 7. Compartan sus respuestas y describan de manera detallada un procedimiento.

TIC Explora www.e-sm.com.mx/matret1-261a, donde se encuentran actividades interactivas de proporcionalidad múltiple. Explora www.e-sm.com.mx/matret1-261b, donde hay problemas de proporcionalidad. Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-261c, se explica el uso de la proporcionalidad múltiple en situaciones de la vida cotidiana.

Para la bitácora

El diámetro de Júpiter mide aproximadamente 142.984 km. Consigue una imagen lo suficientemente grande de este planeta para que puedas medir y estima la superficie que tiene la Gran Mancha Roja.


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Bitácora Lección 47 Completa la tabla. +

+ 49

– 73

+ 37

– 51

+ 23

72

– 50

60

-28

– 18

31

-89

19

-69

+ 98

147

25

135

47

– 65

– 16

-138

-28

-116

Lección 48 Confucio nació en el año 551 a. n. e.; Aristóteles, en el 384 a. n. e.; Santo Tomás de Aquino, en 1225; y René Descartes, en 1596. a) ¿Cuántos años de diferencia hay entre el nacimiento de Santo Tomás de Aquino y el de René

371 años

Descartes?

b) ¿Cuántos años antes del nacimiento de Aristóteles nació Confucio?

167 años

c) ¿Cuántos años de diferencia hay entre el nacimiento de Confucio y el de René Descartes?

2 147 años d) ¿Cuántos años después del nacimiento de Aristóteles nació René Descartes?

1 980 años Lección 49 a) Escribe como potencia la cantidad de posibles resultados al lanzar una moneda cuatro veces.

24 b) Si el volumen de un cubo es de 27 cm3, ¿cuánto medirá el volumen de un cubo cuyos lados

son el triple del anterior?

729 cm3

c) ¿El cuadrado de un número siempre es mayor que él?

tu respuesta.

R. T. No,

Explica

Solo cuando el número es mayor que 1 sucede esto

262

Bloque 5

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Bitácora Lección 50 Escribe en notación científica los segundos indicados.

3.6 × 103

a) En una hora =

8.64 × 104

b) En un día =

3.1536 × 107

c) En un año =

Lección 51 Completa los términos de las progresiones aritméticas y deduce su regla general. a) –5, –1, 3, 7, 11,

15

b) 5, 0, –5, –10, –15, -20

19

, ,

,

23

-25 , -30

… …

Regla:

4n -9

Regla:

-5n +10

Lección 52

10.5 cm2

¿Cuál es el área de la zona de color gris?

3.5 cm2

Lección 53 Observa el cuerpo geométrico: si su ancho cambia con un factor de proporcionalidad de 12 , su altura varía con un factor de proporcionalidad de 35 y su largo se conserva, ¿cuál será el volumen del cuerpo geométrico resultante?

1 000 cm2

15 cm

8 cm 10 cm

Bloque 5

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Laboratorio de matemáticas Cálculos a escala 1. La fotografía muestra la parte superior de un edificio. Lee el procedimiento que se siguió para trazar su forma y contesta las preguntas.

Se construye un círculo central cuyo diámetro mide 16.80 m.

Se traza un cuadrado cuyo lado mide 26.50 m.

Se traza otro cuadrado cuyo lado mide 26.50 m.

Con los dos cuadrados, se traza un octágono.

Los segmentos que forman el arco miden 14 m.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Figura 5

a) ¿Cuánto mide el perímetro del octágono? b) ¿Cuánto mide la superficie del octágono?

70.66 m 376.75 m2 702.25

c) ¿Cuánto mide la superficie de un cuadrado?

37.47 m

d) ¿Cuánto mide la diagonal de uno de los cuadrados? e) ¿Qué medida tiene la circunferencia?

52.752 m

f) Al área del octágono, réstale el área del círculo, ¿qué medida obtienes? g) ¿Cuánto mide el ángulo comprendido entre los segmentos azules (figura 5)?

155.1916 m2 45°

h) Reproduce el trazo en tu cuaderno hasta la figura 5, pero aplica un factor de proporción de 1 . 800

i) ¿Cuánto mide el área del octágono que trazaste?

5.89 cm2

j) ¿Cuánto mide el área del cuadrado que dibujaste con las indicaciones dadas en la figura 2?

10.97 cm2 264

Bloque 5

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En el tintero b

El teorema de Pitágoras

a

1. Construye un cuadrado como el que se muestra a continuación (no importa el tamaño). Enseguida, recorta cada pieza y los dos rectángulos por la línea punteada. Luego, acomódalas como se indica en la figura 2.

R. P.

a) El área total de la figura 1 es b) El área total de la figura 2 es

c Figura 1

El área de la figura 1 está formada por las áreas del cuadrado azul, el cuadrado verde, el rectángulo amarillo (dos triángulos) y el rectángulo rojo (dos triángulos), lo que se escribe de la siguiente manera. A = a 2 + b 2 + ba + ba A = a 2 + b 2 + 2ba

b

a

El área de la figura 2 está formada por cuatro triángulos (o dos rectángulos) cuyas medidas ya se conocen, así como por un cuadrado blanco cuya área se desconoce. A = 2ba + ? Sin embargo, como ya se obtuvo el área total de la figura anterior, es posible plantear el problema con la expresión que se indica a continuación.

c Figura 2

[área del cuadrado blanco] = [área total de la figura 1] – [área de rectángulos de la figura 2] Entonces, se sustituyen los valores. Área del cuadrado blanco = [ a 2 + b 2 + 2ba ] – [ 2ba ] Área del cuadrado blanco = a 2 + b 2 Dado que, en la figura 2, se observa que el lado c = b + a, entonces su área se expresa con la siguiente fórmula. c2 = a2 + b2 Esta expresión es conocida como el teorema de Pitágoras. Hipotenusa

Calcula el valor de la hipotenusa en el triángulo rectángulo de la derecha; para ello, sigue el procedimiento.

a

7.2 cm

2. Haz lo que se indica.

90°

a) Toma la relación c 2 = a 2 + b 2.

3.5 cm b

b) Sustituye los valores: c = (7.2) + (3.5) . 2

c) Calcula los cuadrados: c 2 = d) Suma los resultados: c 2 = e) Obtén la raíz cuadrada: c =

c

2

2

51.84

+

12.25

64.09

√ 64.09

f) Determina el valor de la hipotenusa:

Circunferencia: 20.11 cm

8.0056

3. Observa la figura de la derecha y calcula el perímetro y área del cuadrado. Perímetro 18.1145 cm

Área 20.5085 cm2

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Bloque 5

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Bloque 5 Evaluación Lee los planteamientos, elige la respuesta correcta y márcala en la sección de respuestas. Las ruedas más antiguas se construyeron en la civilización mesopotámica alrededor del año 3000 a. n. e. El arado apareció aproximadamente en el 3500 a. n. e., en las civilizaciones de Oriente Medio. En cambio, el papel se inventó en China, a partir de desperdicios de tela, en el año 105 n. e. 1. ¿Cuántos años pasaron entre la invención del arado y la del papel? A) 3 350

B) 3 605

C) 3 395

D) 3 650

2. ¿Cuántos años después de la invención de la rueda se creó el papel? A) 3 105

B) 2 895

C) 2 850

C) 3 395

María lleva el control de sus ingresos y gastos diarios: el día de hoy cobró $135.00 y pagó $485.00 de luz y $12.00 de transporte. Luego, al llegar a su trabajo, le pagaron $5 200.00. 3. ¿Qué operaciones permiten conocer la cantidad de dinero que le sobró? A) 135 + 485 + 12 + 5 200

B) 135 – 485 – 12 + 5 200

C) –135 + 485 + 12 – 5 200

D) 135 – 485 – 12 – 5 200

4. ¿Qué operación establece los ingresos y gastos por separado? A) (135 – 485) + (12 + 5 200)

B) (135 + 485) + (12 – 5 200)

C) (135 + 5 200) + (12 + 485)

D) (135 + 5 200) – (12 + 485)

5. ¿Qué igualdad es correcta? A) 53 = 3√5

B) 53 = 3√3

C) 52 = 2√125

D) 5 = 3√125

C) 7 × 7 = 49

D) 7 + 2 = 9

6. ¿Cuál es el resultado de 72? A) 7 × 2 = 14

B) 7 + 7 = 14

7. La distancia media entre el centro de la Tierra y la Luna es de aproximadamente 4 × 105 km y la que hay del centro de nuestro planeta al Sol es de casi 1.5 × 108 km. ¿Cuál es la diferencia entre ambas? A) 5.5 × 1013

B) 2.5 × 103

C) 1 496 × 108

D) 1.496 × 108

8. La masa de la Tierra es de aproximadamente 5.98 × 1024 kg y la de la Luna, de 7.349 × 1022 kg. ¿Cuál es la diferencia de ambas masas? A) 1.369 × 1022

B) 1.369 × 1024

C) 5.90651 × 1022

D) 5.90651 × 1024


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Bloque 5 Evaluación 9. ¿Cuál es la regla de la progresión aritmética: 7, 11, 15, 19, 23…? A) 4n + 3

B) 4n

C) 4n – 3

D) 7n

10. ¿Cuál es el primer número de la progresión aritmética que cumple con la regla –5n + 2? A) –5

B) 2

C) –3

D) 3

11. ¿Cuál es el área aproximada de la región sombreada si π = 3.14?

4.72 cm

A) 14.8208 cm2

B) 69.954176 cm2

C) 29.6416 cm2

D) 47.675776 cm2

12. ¿Cuánto mide la circunferencia de la pregunta 11? A) 14.8208 cm

B) 69.954176 cm

C) 29.6416 cm

D) 47.675776 cm

13. Juan rentó tres videojuegos durante tres días por $270.00. ¿Cuánto deberá pagar por dos si los renta cinco días? A) $300.00

B) $450.00

C) $90.00

D) $150.00

14. Si Pedro tiene cinco gatos que alimenta quince días con 10 kg de croquetas, ¿a cuántos alimentará con 20 kg durante diez días? A) 5

B) 10

C) 15

D) 20


B

C

D

5. A

B

C

D

9. A

B

C

D

13. A

B

C

D

2. A

B

C

D

6. A

B

C

D

10. A

B

C

D

14. A

B

C

D

3. A

B

C

D

7. A

B

C

D

11. A

B

C

D

4. A

B

C

D

8. A

B

C

D

12. A

B

C

D


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Glosario para el alumno

Ángulo. Amplitud entre dos líneas que coinciden en un punto común denominado vértice. Se mide en grados. Área. Medida de la superficie comprendida dentro de un perímetro. No tiene espesor ni grosor. Azar. Combinación de circunstancias que no se pueden prever. Bisectriz. Recta que divide a un ángulo en dos partes iguales. Cuadrilátero. Polígono de cuatro lados. Divisor. Todo número entero que divide un número sin arrojar residuo. Ecuación. Igualdad matemática entre dos miembros en la que hay valores conocidos e incógnitas relacionados entre sí. Fracción. Número de la forma __ba , donde a y b son enteros y b ≠ 0. El numerador a indica las partes que se toman de la unidad o el entero y el denominador b, el número de fragmentos en los que se divide. Frecuencia. Cantidad de veces que se repite un valor determinado. Máximo común divisor (MCD). Mayor número que divide a un grupo de números sin dejar residuo. Mediatriz. Segmento de recta que es perpendicular a otro y que pasa por su punto medio. Mínimo común múltiplo (mcm). Menor número natural que es múltiplo de un grupo de números. Número negativo. Cualquier número cuyo valor es menor que cero. Polígono. Figura geométrica cerrada que está formada por segmentos de recta denominados lados. Probabilidad. Medida de la frecuencia con la que ocurre un resultado posible. Progresión aritmética. Secuencia de números en la que cada término se obtiene al sumar una cantidad constante al anterior (excepto el primero). Proporcionalidad. Relación establecida entre cantidades o magnitudes. Reparto proporcional. Operación o procedimiento que consiste en repartir una cantidad equitativamente, de manera que los resultados sean proporcionales a cantidades determinadas. Sucesión. Conjunto de elementos o términos que aparecen de forma consecutiva.

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Glosario para el profesor

Adición. Término asociado a varias ideas, entre ellas la de agrupar o reunir. Sin embargo, cuando se suman números negativos estas nociones son contradictorias, pues una adición puede implicar una sustracción. Área. Combinación de circunstancias que no se pueden prever y que pueden tener consecuencias inesperadas o difíciles de medir. El azar se relaciona normalmente con juegos y diferentes actividades lúdicas, pero puede estar presente en un sinfín de situaciones o circunstancias de la vida cotidiana, cuando algo sucede de manera inesperada o por casualidad. Azar. Medida de una superficie geométrica. El valor se puede asociar a comparar una superficie con una unidad de medida. También implica una tarea de medición, lo que conduce al manejo de técnicas y procedimientos correspondientes. Conteo. Procedimiento y estrategias utilizadas para contar. Ecuación. Procedimiento o técnica de solución que se relaciona con los conceptos de igualdad e incógnita. Multiplicación. Operación que se asocia a un resultado mayor que los factores; sin embargo, con cantidades menores que 1 no es así, por lo que el modelo no siempre funciona. Número fraccionario. Cifra que representa diversas situaciones: división, reparto, proporción o secciones de una unidad. Se define en función de las relaciones que se establezcan entres estos conceptos. Número con signo. Cifra que representa varias situaciones o se asocia a ellas. Estas tienen el riesgo de entrar en contradicción o de forzar su relación con los números negativos. Potencia. Multiplicación simplificada; aunque, cuando los exponentes son negativos, no es así. Regla de tres. Relación entre dos cantidades cuyo comportamiento es lineal. Cuando se aplica a otras situaciones que no son lineales, hay muchos problemas, por lo que conviene acotar el tipo de planteamientos. Solución. Respuesta a un planteamiento. Se necesita darle sentido en términos del cuestionamiento inicial para cerrar el ciclo entre ambos. Sucesión numérica. Mediante el análisis de su comportamiento se permite establecer expresiones algebraicas e introducir la idea de variación como una característica de diversos fenómenos. Trazar. Actividad asociada con el uso de instrumentos para efectuar el trazo. Con el desarrollo de las tecnologías informáticas, esas herramientas pueden ser entendidas como comandos que ejecutan acciones específicas.

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Bibliografía Bibliografía para el alumno Andradas, C. (2006). Póngame un kilo de matemáticas. Madrid: Ediciones SM. Ball. J. (2005). Piensa un número. Una mirada fascinante al mundo de los números (2a ed.). México: Ediciones SM. Blatner, D. (2003). El encanto de Pi. México: Aguilar. De la Peña, J. A. (2002). Geometría y el mundo. Biblioteca Juvenil Ilustrada. México: Santillana. Enzensberger, H. (1997). El diablo de los números. Madrid: Siruela. Juring, Y. (1985). ¿Qué son las matemáticas? México: Ediciones de Cultura Popular. Paenza, A (2005). Matemática… ¿Estás ahí? Sobre números, personajes, problemas y curiosidades. Ciencia que ladra… Buenos Aires: Siglo XXI Editores. _________ (2007). Matemática… ¿Estás ahí? Episodio 2. Ciencia que ladra... Buenos Aires: Siglo XXI Editores. _________ (2008). Matemática… ¿Estás ahí? Episodio 100. Ciencia que ladra... Buenos Aires: Siglo XXI Editores. _________ (2010). Matemática… ¿Estás ahí? La vuelta al mundo en 34 problemas y 8 historias. Ciencia que ladra... Buenos Aires: Siglo XXI Editores. Tahan, M. (1994). El hombre que calculaba. México: Noriega Editores. Vorderman, C. (2011). Ayuda a tus hijos con las matemáticas. México: Altea. Wells, D. (2000). El curioso mundo de las matemáticas. Barcelona: Gedisa.

Bibliografía electrónica para el alumno (fecha de consulta: enero de 2012) Abreu. J.L. Proyecto Arquímedes. Recursos educativos de Matemáticas y Física para todos los niveles arquimedes.matem.unam.mx Instituto de Tecnologías Educativas, Ministerio de Educación, España. Curso de Geometría. Recursos educativos de Matemáticas para primero y segundo ciclos de la Educación Secundaria Obligatoria de España concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material098/geometria/geoweb/indice.htm Ministerio de Educación, España. Descartes. Materiales didácticos para el aprendizaje de las matemáticas de la enseñanza secundaria recursostic.educacion.es/descartes/web/index.html Proyecto Gauss. Recursos didácticos y applets de GeoGebra que cubren los contenidos de Matemáticas de la Educación Secundaria Obligatoria de España recursostic.educacion.es/gauss/web/index.htm Matemáticas para la E.S.O. Enseñanza Digital a Distancia. Recursos de matemáticas para Educación Secundaria Obligatoria de España recursostic.educacion.es/secundaria/edad/index_mat.htm

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Bibliografía Bibliografía para el profesor Alagia, H., Bressan, A. y Sadovsky, P. (2005). Reflexiones teóricas para la educación matemática. Buenos Aires: Libros del Zorzal. Alsina C., Burgués F. y Fortuny J. (1997). Invitación a la didáctica de la geometría. Madrid: Síntesis. Ávila, A. (2008). Los profesores y los decimales. Conocimientos y creencias de un contenido de saber cuasi invisible. Educación Matemática, 20(2), 5-33. Brousseau, G. (2007). Iniciación al estudio de la teoría de las situaciones didácticas. Buenos Aires: Libros del Zorzal. Chevallard, Y., Bosh, M. y Gascón, J. (1998). Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje. Biblioteca del normalista. México: Secretaría de Educación Pública. De la Peña, J. A., (1999). Álgebra en todas partes. La ciencia para todos. México: Fondo de Cultura Económica. Parra, C. y Saiz, I. (1994). Didáctica de matemáticas. Aportes y reflexiones. Madrid: Paidós. Sadovsky, P. (2005). Enseñar matemáticas hoy. Buenos Aires: Libros del Zorzal. Santos, L.M., (2007). La resolución de problemas matemáticos. Fundamentos cognitivos. México: Trillas. Sessa, C. (2005). Iniciación a estudio didáctico del álgebra. Orígenes y perspectivas. Buenos Aires: Libros del Zorzal.

Bibliografía electrónica para el profesor (fecha de consulta: enero de 2012) Geogebra. Geometría dinámica. Software de matemática libre para enseñar y aprender geogebra.org/webstart/geogebra.html Ministerio de Educación, España. Instituto de Tecnologías Educativas. Colección de ligas a páginas con recursos de matemáticas para la enseñanza secundaria (Educación Secundaria Obligatoria de España) ntic.educacion.es/v5/web/profesores/secundaria/matematicas Planeta matemático. Apuntes, ejercicios, exámenes, formularios, programas, historia, artículos de divulgación, foros de discusión y otros recursos planetamatematico.com Real Sociedad Matemática Española. Divulgamat. Centro virtual de divulgación de las matemáticas divulgamat.net Red de Revistas Científicas de América Latina y el Caribe, España y Portugal redalyc.uaemex.mx Red Escolar SEP-Ilce. Recursos educativos redescolar.ilce.edu.mx/educontinua/matematicas.html Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas Isaac Newton. (Ed.). Números. Revista de Didáctica de las Matemáticas sinewton.org/numeros

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B0_Retos Matematicos 1

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