Aqui teneis ejercicios resueltos y la teoría fundamental de limites, asíntotas y continuidad. Además de ejercicios propuestos con sus solucionesDescripción completa
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Análisis Matemático 1
este articulo presenta el procedimiento y calculo de como realizar los ensayos de granulometria y limites de atterberg
cxcvxc
limites
ejercicios y problemas resueltos de Limites y DerivadasDescripción completa
Clasificación de SuelosDescripción completa
LIMITES Y DERIVADASDescripción completa
exponencialesDescripción completa
Ejercicios de Limites LateralesDescripción completa
Descripción: Ejercicios para alumnos, limites infinitos y normales. Guia de ayuda
TAMIZADO
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derivadas y limitesDescripción completa
Límites de funciones. 1.limites por definición
El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo innitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinado o al innito.
Defnición de límite
ntes de establecer la denición formal del límite de una función en general vamos a observar qu! sucede con una función particular cuando la variable independiente tiende (se apro"ima) a un valor determinado.
Ejemplo:
#n la tab tabla ad$u ad$unt nta a escrib cribim imo os algun lguno os valor alore es para para la varia ariab ble inde indepe pend ndie ient nte e x % en el entorno de &% y calculamos los valores correspondientes correspondientes de la función f (")' (")'
x
f ( x x )
./
&.1
.//
&./10
.///
&.//100
.////
&.///1000
&.000
*.0002000
&.00
*.00200
&.0
*.020
&.
*.2
uando x se se apro"ima a &% tanto por la iquierda como por la derecha% tomando valores menores o mayores que &% f (") (") se apro"ima% tiende% cada ve más a *+ y cuanto más cerca está x de de &% o lo que es lo mismo% cuando la diferencia en valor absoluto entre x y y & es más más peque eque,a ,a asim simism ismo la dif difere erencia ncia%% en valo valorr x ) y * se hace cada ve más abso absolu luto to%% entr entre e f ( x peque,a. (#stas diferencias se muestran en la tabla inferior derecha). -sea% la función se acerca a un valor const constant ante% e% *% cuando cuando la variab variable le indep independ endien iente te se apro"ima apro"ima tambi!n a un valor constante.
x 4 3 x 4 &3
x ) 4 *3 3 f ( ( x
3./4&3 5 0.
3&.14*3 5 0.*/
3.//4&3 5 0.0
3&./104*3 5 0.0*//
3.///4&3 5 0.00
3&.//1004*3 5 0.00*///
3.////4&3 5 0.000
3&.///10004*3 0.000*////
5
3&.004&3 5 0.00
3*.00020004*3 0.0002000
5
3&.04&3 5 0.0
3*.002004*3 5 0.00200
3&.4&3 5 0.
3*.0204*3 5 0.020
3&.0004&3 5 0.000
3*.24*3 5 0.2
x ) 6e lo anteri anterior or se deduce deduce intuit intuitiva ivamen mente te que el límite límite de la funció función n f ( x cuando x tiende tiende a &% es *.
Defnición épsilon-delta épsilon-delta
7ea f una una función denida en algún intervalo abierto que contenga a a. #l límite de f (") cuando x tiende tiende a a es L% y se escribe
8ota' no es necesario que f este este denida en a para que el límite e"ista.
x 4 3 x 4 &3
x ) 4 *3 3 f ( ( x
3./4&3 5 0.
3&.14*3 5 0.*/
3.//4&3 5 0.0
3&./104*3 5 0.0*//
3.///4&3 5 0.00
3&.//1004*3 5 0.00*///
3.////4&3 5 0.000
3&.///10004*3 0.000*////
5
3&.004&3 5 0.00
3*.00020004*3 0.0002000
5
3&.04&3 5 0.0
3*.002004*3 5 0.00200
3&.4&3 5 0.
3*.0204*3 5 0.020
3&.0004&3 5 0.000
3*.24*3 5 0.2
x ) 6e lo anteri anterior or se deduce deduce intuit intuitiva ivamen mente te que el límite límite de la funció función n f ( x cuando x tiende tiende a &% es *.
Defnición épsilon-delta épsilon-delta
7ea f una una función denida en algún intervalo abierto que contenga a a. #l límite de f (") cuando x tiende tiende a a es L% y se escribe
8ota' no es necesario que f este este denida en a para que el límite e"ista.
Ejercicios resueltos (aplicando la defnición epsilón-delta)
#n los e$ercicios e$ercicios a 9% demuestr demuestre e que el límite límite es el número número indicado indicado aplicando la denición #psilón4delta #psilón4delta''
Soluciones 1. 7olución'
2. 7olución'
3. 7olución'
. 7olución'
!eoremas de límites
"ara facilitar la obtención del límite de una función sin tener que recurrir cada ve a la denición #psilón46elta se establecen los siguientes teoremas.
&. limite
de #unciones por propiedades
:os teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia. !eorema de límite1:
7i k es una constante y a un número cualquiera% entonces
!eorema de límite 2:
;ara cualquier número dado a%
!eorema de límite 3:
7i m y b son dos constantes cualesquiera% entonces
!eorema de límite :
!eorema de límite $:
!eorema de límite %:
7i f es un polinomio y a es un número real% entonces
!eorema de límite &:
7i q es una función racional y a pertenece al dominio de q% entonces
!eorema de límite ':
"rocedimiento para calcular límites
7i es posible aplicar directamente las propiedades anteriores% el límite se calcula directamente. on respecto a las propiedades% como la propiedad 1 se aplica a cualquier polinomio y las propiedades % &% *% y 2 implican funciones polinómicas es indistinto que nos reramos a cada una de las propiedades a 2 en particular que a la propiedad 1 cuando calculamos el límite de una función polinómica. :o mismo% la propiedad 9 se aplica a una función racional y la propiedad 2 (III) tambi!n. uando al sustituir la a por x en la función nos da la forma indetermidada 0<0 es posible calcular el límite pero% previamente% hay que transformar la fórmula de la función de tal modo que se pueda evitar la división por cero' para lograr esto disponemos de procedimientos algebraicos ecaces como la factoriación% la con$ugada% etc. Ejercicios resueltos Evalu! los siguientes límites indicando la propiedad o propiedades que se aplican en cada paso'
Soluciones 1. 7olución
2. 7olución'
3. 7olución'
. 7olución'
$. 7olución'
%. 7olución'
8o es posible aplicar directamente el =:9% pues se obtendría la forma indeterminada 0<0+ no obstante% luego de factoriar y simplicar la e"presión% se obtiene fácilmente el límite aplicando el =:'
&. 7olución'
8o es posible aplicar directamente el =:9% pues se obtendría la forma indeterminada 0<0+ no obstante% luego de factoriar y simplicar la e"presión se obtiene fácilmente el límite aplicando el =:9 o el =:2(III)'
'. 7olución'
7i pretendi!ramos aplicar el límite directamente a partir del =:9% nos daría la forma indeterminada 0<0+ por lo que% se debe factoriar y luego simplicar la e"presión antes de poder hacer uso del =:1'
. 7olución'
8o se puede aplicar el límite directamente% daría la forma indeterminada 0<0+ no obstante% luego de multiplicar tanto el numerador como el denominador por la con$ugada de la e"presión en el numerador y luego reduciendo y simplicando% se puede aplicar el =: para hallar el límite'
1. 7olución'
:uego de la transformación de la e"presión se aplican los =:9 y =:>'
11. 7olución'
#l límite no se puede aplicar directamente% resultaría la forma indeterminada 0<0+ no obstante% una ve factoriando y simplicando% la e"presión queda e"pedita para hallar el límite mediante los =:9 y =:1'
12. 7olución'
3 limite de #unciones tri*onometricas El llamado teorema de estricción% de intercalación% o del ?sánd@ich? es importante para la demostración de otros teoremas. =ambi!n se utilia el teorema de estricción para calcular cierta clase de límites. !eorema de estricción :
Demostración:
!eorema de límite1:
!eorema de límite11:
Ejercicios resueltos En los e$ercicios a 2 emplee el teorema de estricción para encontrar el límite. #n los e$ercicios A a 2% determine el límite% si es que e"iste.
Soluciones
1. 7olución'
2. 7olución'
3. 7olución'
. 7olución'
.+ímites unilaterales
,ay casos en que las funciones no están denidas (en los reales) a la iquierda o a la derecha de un número determinado% por lo que el límite de la función cuando x tiende a dicho número% que supone que e"iste un intervalo abierto que contiene al número% no tiene sentido.
Ejemplo:
+ímite unilateral por la dereca:
7ea f una función denida en todos los números del intervalo abierto ( a, c). #ntonces% el límite de f ( x )% cuando x se apro"ima a a por la derecha es L% y se escribe
+ímite unilateral por la i/uierda:
7ea f una función denida en todos los números de ( d, a). #ntonces% el límite de f ( x )% cuando x se apro"ima a a por la iquierda es L% y se escribe
+ímite
0ilateral:
!eorema de límite12:
Ejercicios resueltos En los e$ercicios a 2% trace la gráca y determine el límite indicado si e"iste+ si no e"iste% d! la raón'
Soluciones 1. 7olución'
2. 7olución'
3. 7olución'
. 7olución'
+ímites unilaterales
,ay casos en que las funciones no están denidas (en los reales) a la iquierda o a la derecha de un número determinado% por lo que el límite de la función cuando x tiende a dicho número% que supone que e"iste un intervalo abierto que contiene al número% no tiene sentido.
Ejemplo:
+ímite unilateral por la dereca:
7ea f una función denida en todos los números del intervalo abierto ( a, c). #ntonces% el límite de f ( x )% cuando x se apro"ima a a por la derecha es L% y se escribe
+ímite unilateral por la i/uierda:
7ea f una función denida en todos los números de ( d, a). #ntonces% el límite de f ( x )% cuando x se apro"ima a a por la iquierda es L% y se escribe
+ímite
!eorema de límite12:
0ilateral:
Ejercicios resueltos En los e$ercicios a 2% trace la gráca y determine el límite indicado si e"iste+ si no e"iste% d! la raón'
Soluciones 1. 7olución'
2. 7olución'
3. 7olución'
. 7olución'
5.Tipos de indeterminaciones Límites y operaciones
Tipos de indeterminaciones teniendo en cuenta a que tiende x
Límite de una función en un punto
Ejercicios de límites resueltos
Ejercicios con soluciones
Soluciones
5. Asíntotas 5.1 Asíntotas verticales
5. Asíntotas !ori"ontales
5.# Asíntotas o$licuas
%. &ontinuidad de una función en un punto &ontinuidad y tipos discontinuidad de una función en un punto
'iscontinuidad evita$le
'iscontinuidad de salto finito
Ejercicios de continuidad y discontinuidad Ejercicios resueltos
