DINAMICA ROTACIONAL La dinámica rotacional de un cuerpo rígido no es diferente a la dinámica de translación de una partícula, de manera que puede entenderse en términos de las leyes de Newton. Sabemos que mientras varios puntos de un cuerpo en rotación experimentan distintas fuerzas, aceleraciones y velocidades lineales, en un instante dado, hay un solo valor de momento de rotación, aceleración angular y velocidad angular para todos los puntos del cuerpo. Por lo tanto la descripción del movimiento del cuerpo es más simple si se trabaja como un movimiento rotacional.
Segunda ley de Newton para la rotación: I. Consideremos una partícula de masa concentrada m que gira a una distancia r de un eje de rotación. Supongamos que sobre la partícula actúa una fuerza neta FT en dirección tangencial. Por la segunda ley de Newton FT m.aT , donde aT es la aceleración tangencial.
Sabemos que la relación entre la aceleración tangencial y la aceleración angular o rotacional es: aT r Como
FT r m aT r , entonces: mr 2
Como m y r son constantes, se concluye que la aceleración angular es proporcional al momento de rotación resultante que actúa sobre el cuerpo. La constante de proporcionalidad entre el momento de rotación y la aceleración angular es la cantidad mr
2
o momento de inercia de la partícula en rotación I
I
I mr 2
I g cm 2 ; kg.m 2 ; slug ft 2 Por lo tanto el análogo de la segunda ley de Newton del movimiento lineal, para el movimiento rotacional es: I El momento de inercia (símbolo L ) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo (la inercia es la propiedad que tienen los cuerpos de permanecer en su estado de reposo o movimiento, mientras no se aplique sobre ellos alguna fuerza, o la resistencia que opone la materia al modificar su estado de reposo o movimiento). Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de inercia. El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.
El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido. II. Para un sistema de n partículas localizadas a distancias constantes de un eje fijo de rotación y con una misma aceleración angular .
i mi ri . mi ri n
n
i 1
i 1
i 1
donde I m r n
n
2
2
2
i 1
i i
Entonces: I III. Para un cuerpo rígido irregular que gira alrededor de un eje fijo de rotación. Consideremos que todo el cuerpo esta formado por elementos de masa de magnitud infinitesimal dm . Sobre este elemento dm , actúa una pequeña fuerza tangencial de magnitud dFT que origina la a T , la cual puede ser diferente para distintos elementos de masa, pero que producirá una aceleración angular constante, igual para todo el cuerpo.
dFT aT .dm como aT r. entonces dFT r .dm
d r.dFT r 2 .dm
d r 2 .dm r 2 dm V
V
donde
I r 2 dm
V
Entonces:
V
I
Algunos momentos de Inercia I
Eje por su extremo
I MR 2
Cilindro hueco de paredes delgadas
Cilindro Hueco Grueso
1 ML2 12
I
Varilla delgada
I
1 2 2 M Rint Rext 2
Eje por su centro
Eje por su centro
Cilindro Macizo
I
1 MR 2 2
Eje por su centro
Esfera Maciza
I
2 MR 2 5
Eje por su centro
Esfera Hueca
I
2 MR 2 3
Eje por su centro
TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS Este Teorema nos proporciona una forma de determinar el momento de inercia de un cuerpo rígido con respecto a un eje paralelo a un eje dado que pasa por el centro de masa, cuando se conoce el momento de inercia respecto a este ultimo eje. Sean:
I 0 : El momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje que pasa por O su C.M. ,
I 0 : El momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje que pasa por un punto O’ y es paralelo al eje anterior.
I 0 I 0 mR2 ,
Donde m: masa del cuerpo. R: distancia entre los ejes.
Cantidad de movimiento angular o Momentum angular ( L )
L r P m2 cm 2 L kg. ; g. seg seg L rPSen L r P θ: ángulo menor entre r y P L r P r mv mr v mr r L mr 2 como I mr 2 entonces
L I
Derivando la segunda ley de Newton para la rotación, tenemos:
dL d r P dr dP dL Pr vPr F dt dt dt dt dt dL r F como v P 0 , entonces dt
dL dt
Donde L : Momento angular total y
: Momento de fuerza total
En un sistema, los momentos de fuerza se clasifican en internos (debidos a las fuerzas internas entre las partículas) y momentos externos (debidos a las fuerzas externas).
Como vimos anteriormente, para un sistema de n partículas las fuerzas internas entre ellas son de acción y reacción y estas se anulan, entonces los momentos de fuerza internos también se deben anular, lo cual implica que el momento de fuerza resultante es el producido por las fuerzas externas.
dL Ext dt
Conservación del momento angular d L 0 0 L cte Si Ext dt Energía Cinética de un cuerpo en rotación r
Expresemos la energía cinética para el movimiento de rotación como K . Consideremos un sistema de n partículas, cuyo movimiento es una rotación respecto a un eje fijo que tiene una velocidad angular constante w
1 n K mi vi2 2 i 1 Como
vi ri
1 n 2 2 K mi ri 2 i 1
1 n 2 2 K mi ri 2 i 1
n
Como
I mi ri 2 K 1 I 2 i 1
2
EJERCICIOS Ejemplo 1: Se hace un yoyo enrollando una cuerda varias veces alrededor de un cilindro solido de masa M y radio R. Se sostiene el extremo de la cuerda fijo mientras se suelta el cilindro desde el reposo. La cuerda se desenrolla sin resbalar al caer y girar el cilindro. a. Use condiciones de energía para calcular la rapidez del centro de masa del cilindro después de caer una distancia h. b. Calcule la aceleración del yoyo (cilindro) y la tensión de la cuerda.
a. K1 U1 K 2 U 2
1 1 2 0 Mgh MvCM I CM 2 0 2 2 v 1 1 1 2 Mgh MvCM I CM 2 como CM y I CM MR2 , entonces: 2 2 R 2 2 1 11 v 2 Mgh MvCM MR2 CM 2 2 2 R 1 11 v 2 Mgh MvCM MR2 CM 2 2 2 R 3 2 Mgh MvCM 4 4 vCM gh 3
2
b.
F : Mg T Ma (1) 1 : TR I 2 MR (2) y
CM
2
CM
Como aCM R De (2)
1 1 TR MaCM R T MaCM 2 2
Remplazando T en (1)
1 2 Mg MaCM MaCM aCM g 2 3 1 2 1 T M g T Mg 2 3 3
Ejemplo 2: Un cilindro macizo (disco) de masa m homogénea y radio R está colocado entre dos cojines sin fricción. Una persona desenrolla una cuerda sin masa envuelta en el cilindro, halando con un fuerza F cte. Cuál es la velocidad angular ω después de t segundos, si estaba inicialmente en reposo.
El momento de fuerza respecto a O es:
r F rFk
El torque solo tiene una componente, z, es decir que el disco gira respecto a dicho eje.
I RF I RF RF I
1 RF 2F I MR2 1 2 MR MR2 2 2F t 0 t como 0 0 t MR Ejemplo 3: De un disco homogéneo de radio R y masa M se cuelgan dos masas m1 y m2. Si m2>m1 y el sistema inicialmente está en reposo, calcular el tiempo que tarda m2 en caer h metros y la energía cinética total del sistema en ese instante t.
T1 m1 g m1aT T1 m1aT m1 g T2 m2 g m2 aT T2 m2 g m2 aT El torque del disco respecto al centro es:
T2 R T1 R RT2 T1 TR T2 T1 I I RT2 T1 1 2 Como: I MR (cilindro) 2 RT2 T1 T2 T1 a R a T como 1 1 MR2 M 2 2 m2 m1 g m g m2 a m1a m1 g a 2 a 1 1 M M m2 m1 2 2 Como:
Como h
1 2 2h at v0 t t 2 a
1 M m2 m1 t 2 h 2 m2 m1 g Las velocidades de m1 y m2 en un instante de tiempo t son iguales en módulo, pero en sentido contrario.
v at v
2hm2 m1 g 1 M m2 m1 2
2hm2 m1 g 1 M m2 m1 2 K T K1 K 2 K r 1 1 1 KT m1v12 m2 v22 I CM 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 v K T m1 m2 v MR 2 2 2 2 R 1M K T m1 m2 v 2 2 2
v 1 R R
Remplazando el valor de v en la ecuación de energía cinética total y tenemos:
KT m2 m1 gh Como las fuerzas son conservativas, entonces la energía cinética adquirida debe ser igual al cambio de energía potencial.
MOVIMIENTO DE ROTACION Y TRANSLACION SIMULTANEOS Para describir este movimiento de rotación y translación simultáneo de un cuerpo se puede hacer de dos formas, las cuales son equivalentes: Primera forma: a) Como un movimiento de translación del centro de masa, es decir:
F Ma CM NOTA: Esto implica que cualquier punto del cuerpo tiene la misma aceleración del centro de masa (lo mismo sucede con la velocidad) b) Como una rotación con respecto a un eje que pasa por su centro de masa.
d L CM dt
Segunda forma: Como una rotación con respecto a un eje que pasa por un punto P, también conocida como rotación pura.
Ejemplo 4: Calcular la aceleración de una esfera homogénea y rígida que rueda por un plano inclinado y que parte del reposo, como muestra la figura:
Solución: Primera forma: Como un translación del centro de masa más una rotación alrededor de un eje que pasa por su centro de masa.
a)
b)
F MaCM MgSen f r MaCM
(1)
CM I CM I f r .R CM f r .R CM
(2)
La N y el peso mg no producen torque ya que pasan por el centro de masa.
fr
I CM R
como
aCM .R
aCM I I a f r CM CM CM R R R R
Remplazamos f r en (1)
MgSen
I CM aCM MaCM R2
I MgSen CM2 M aCM R
Como I CM
2 2 MR 2 MgSen M M aCM 5 5
aCM
5 gSen 7
Segunda forma: Como una rotación pura respecto al punto P.
P I P I MgSen .R P MgSen .R P 2 Como I P I CM d M I P
2 7 MR2 MR2 MR2 5 5
7 MR2 MgSen .R como aP R 5 7 5 aP gSen aP gSen 5 7 La aceleración del centro de masa, es la misma en cualquier punto del cuerpo.
Ejemplo 5: Un rodillo de masa M y radio R se quiere halar mediante la aplicación de una fuerza F en la dirección horizontal usando una cuerda previamente enrollada en el rodillo, como muestra la figura. Entre la superficie y el rodillo hay una fuerza de rozamiento fr. Describa el movimiento y analice la acción de la fuerza de rozamiento, suponiendo que el cilindro no desliza sobre la superficie.
Se debe tener en cuenta que a diferencia del movimiento de traslación puro no sabemos con certeza en que dirección actúa la fuerza de rozamiento. La base del cilindro esta sobre el plano x-y, y el largo del cilindro esta en el eje z
i)
Translación del centro de masa:
F :F f Ma (1) F :N Mg 0 x
r
CM
y
CM I CM
I RF f r .R CM RF f r .R CM 1 1 2 2 Como I CM MR MR RF f r .R 2 2
(2)
Como aCM .R
1 MaCM R RF f r .R MaCM 2 F 2 f r (3) 2 De (1) tenemos que: F f r Ma CM (4) Igualando (3) y (4) tenemos que: F f r 2 F 2 f r 1 4F f r F ; aCM 3 3M El signo (-) indica que la dirección de la f r es contraria a la que habíamos supuesto.
