TAREA: 1) Lunes 5 de mayo: mayo: Resumen, cuadro sinóptico, mapa mental del capitulo capitulo 9 y 10 del Tipler: Capitulo 9: a) Cinemática de la rotación: velocidad y aceleración angular b) Ene Energía rgía cin cinétic ética a de rot rotaci ación ón c) Momento de inercia d) 2da le ley y de new newton ton en en la rota rotació ción n Capitulo 10: a) Momento angular b) Con Conserv servaci ación ón mome momento nto ang angula ularr
2) miércoles 7 mayo para resolver el ejercicio
Una bola uniforme, cuyo cuyo momento de inercia es I=12MR2, baja rodando sin resbalar por el trayecto de la figura, partiendo del reposo. La primera altura vale h1= 40 m, la segunda altura vale h2= 22 m y la anchura del foso vale x = 30 m. Calcula la altura mínima h que evita que la canica caiga en el foso.
CINEMATICA Y DINAMICA ROTACIONAL
MOVIMIENTO CIRCULAR
Que tienen en común los movimientos de:
: s : e e l e v i v n s o o s l o d s o o t e s. n a a n o o r e r r t e e c n t e e d a l e e s e e s a i a o s n l o x ó ó i a a e l c d a t a g a o o t o o s r n a a e e l L a e m i i m d v s o o o m n t e e i m m i m o v
Ninguno puede representarse adecuadamente como un PUNTO en movimiento; todos implican un cuerpo que GIRA sobre un eje que esta fijo
Consideraremos Consideraremos los cuerpos con tamaño y forma definidos que, en general, pueden tener movimiento rotacional además de traslacional
Utilizaremos el modelo de cuerpo rígido ! cuerpo tiene forma y tamaño perfectamente definidos e inmutables (no deformaciones)
!Describiremos
el movimiento rotacional !Energía cinética de la rotación
ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO CIRCULAR "Consideremos "Primero
el movimiento de un disco ! figura
se elije una línea de referencia fija horizontal
posición angular viene definida por el ángulo θ medido en sentido anti-horario a partir de la línea de referencia "La
posición angular θes positiva si es medido en sentido anti-horario y negativa si es horaria. "La
"Las
unidades usadas para medir los ángulos : GRADOS y RADIANES "
=
180
!
# ( radianes) # ( grados)
"
# ( grados) 180 180 # ( radianes)
=
La figura muestra la trayectoria de la circunferencia recorrida por la punta del vector r al ir desde un ángulo 0 hastaθ. Esta trayectoria se llama ! y se relaciona con el radio y el ángulo mediante:
s
=
r "
El ángulo tiene que medirse en radianes
Al igual que el desplazamiento lineal, se define como la diferencia entre dos posiciones " x x # x =
2
1
el se define como la diferencia entre 2 posiciones angulares correspondientes a dos instantes de tiempo
"#
=
# 2 $ # 1
El desplazamiento angular Δθ está relacionado con el desplazamiento lineal:
"s
=
r "#
VELOCIDAD ANGULAR Cambio de las coordenadas lineales de un objeto en el tiempo
VELOCIDAD ANGULAR
Cambio de la coordenada angular de un objeto en el tiempo
VELOCIDAD ANGULAR MEDIA
"
=
# 2 $ # 1 t 2
$ t 1
%# =
%t
VELOCIDAD ANGULAR INSTANTANEA
"
=
lim " #t $0
=
lim #t $0
d %
#% #t
=
# rad & [" ] % ( $ seg ' =
dt
La velocidad angular es un vector ! dirección es la de un eje que pasa por el eje de la trayectoria circular y perpendicular al plano del del circulo ! mano derecha
Diferentes puntos de un cuerpo rígido en rotación recorren diferentes distancias en un tiempo dado, dependiendo de la distancia con respecto al eje de rotación. No obstante, dado que el cuerpo es rígido, TODOS los puntos giran el mismo ángulo en el mismo tiempo !
En cualquier instante, todas las partes de un cuerpo rígido en rotación tienen la misma velocidad angular
FRECUENCIA Y PERIODO La mide la rapidez con la que el ángulo θcambia en el tiempo
!
! rad $ ! rev $ [! ]= # & # &% " seg min " %
d " =
=
dt
!
mide ciclos por unidad de tiempo en lugar de radianes por unidad de tiempo -> velocidad angular
de rotación T ! mide el intervalo de tiempo entre dos instantes sucesivos en los que el ángulo tiene el mismo valor ! tiempo que tarda en pasar una vez alrededor del circulo PERIODO
f
! 1 $ [ f ] # & [ Hz ] " seg %
" =
T
=
2#
1
[ T]
=
f "
=
=
2# f
2# =
T
=
seg
El volante de un automóvil prototipo se somete a prueba. La posición angular del volante esta dada por: 3 3 "
=
(2 rad
)
seg t
El diámetro del volante es de 0.36m. a) Calcule la velocidad angular media en rad/seg y en rev/min entre t1=2 y t2=5 seg b) Calcule la velocidad angular instantánea el t=5 seg
RELACI N ENTRE LA VELOCIDAD ANGULAR Y LA VELOCIDAD LINEAL !
v
=
r "t
ˆ
ˆt " vector unitario tangencial El vector velocidad apunta en DIRECCION TANGENCIAL A LA TRAYECTORIA en cualquier tiempo dado, siempre es tangencial a la circunferencia, apuntando en la dirección del movimiento . !El
vector velocidad SIEMPRE es perpendicular al vector posición que señala en la posición radial ! !
!
r • v = 0
Magnitud de la velocidad lineal
Forma vectorial de la velocidad lineal !
v
=
r "
v
!
=
r
!
" #
ACELERACIÓN ANGULAR Si cambia la velocidad angular de un cuerpo rígido ! EJEMPLOS: Una persona pedalea una bicicleta con mas vigor o aplica los frenos para detener las ruedas ! hay aceleración angular En general cuando se altera la rapidez de rotación de una pieza giratoria
#
ACELERACION ANGULAR
"
2
=
MEDIA
t 2
$ # 1
%#
# rad & [" ] % ( $ seg '
=
$ t 1
=
%t "
ACELERACION ANGULAR INSTANTANEA
"
=
lim #t $0
"
=
lim #t $0
#t
d $ d # '
=
& ) dt % dt (
d %
#% =
2
dt
2
d # =
2
dt
"Si
la aceleración angular es + ! aumenta la velocidad angular "Si
la aceleración angular es - ! disminuye la velocidad angular
La rotación se esta aceleración angular y la velocidad angular tienen el MISMO SIGNO •
si la
La rotación se esta si la aceleración angular y la velocidad angular tienen SIGNOS OPUESTOS •
Una rueda en un eje fijo, gira de modo que la velocidad angular instantánea de una línea de referencia pintada sobre un radio está dada en función del tiempo 2 por: " = At + Bt Donde A=6.2 rad/s2, B=8.7 rad/s3 Si la línea de referencia esta inicialmente en θ=0 cuando t=0 a) localice su posición angular cuando t=2s b) Cuál es su aceleración angular instantánea de la línea de referencia en t=0.5s
ROTACIÓN CON ACELERACIÓN CONSTANTE En unidades anteriores vimos que el movimiento rectilíneo es muy sencillo cuando la aceleración es contante ! ECUACIONES
Lo mismo sucede con el movimiento rotacional sobre un eje fijo. Si la ! podemos
deducir las ecuaciones para la velocidad y la posición angular.
El lanzamiento de martillo consiste en lanzar el “martillo”, una bola de hierro de 12 cm de diámetro conectada a un mango mediante un cable de acero, a la distancia máxima. La longitud total del martillo es de 121.5 cm, y su masa total es de 7.26 kg. El atleta tiene que realizar el lanzamiento conservándose dentro de un circulo de 2.135 m de radio, y la mejor manera de lanzar el martillo es que el atleta lo haga girar, dejando que el martillo se mueva en circulo alrededor de ‘el, antes del soltarlo. En la olimpiada de 1988 en Seúl, el lanzador ruso Sergey Litvinov ganó la medalla de oro con una distancia, que es record olímpico, de 84.80m. Dio 7 vueltas al martillo antes de soltarlo, y el periodo para completar cada vuelta se obtuvo del examen de la grabación en video, cuadro por cuadro: 1.52s, 1.08s, 0.72s, 0.56s, 0.44s, 0.40s, 0.36s. a) Cual fue la aceleración angular promedio durante las siete vueltas? b) Suponiendo que el radio del circulo en que se mueve el martillo (brazo+brazo atleta). Cual es la rapidez lineal con la que se suelta el martillo? c) Cual es la fuerza centrípeta que el lanzador del martillo tiene que ejercer sobre el martillo inmediatamente antes de soltarlo?
ENERG A EN EL MOVIMIENTO ROTACIONALL Un cuerpo rígido en rotación es una masa en movimiento, así que tiene energía cinética que podemos expresar en términos de la rapidez angular del cuerpo ( ) y una nueva cantidad llamada , que depende de la masa del cuerpo y de la forma en que se distribuye la masa. Consideramos que un cuerpo esta formado por un numero de partículas de masa m1,m2,m3…. A distancias r1,r2,r3… del eje de rotación. ! Para
K
1 =
2
una partícula tenemos que:
mv
2
1 =
2
( )
m r"
1
2 =
K
1
=
2
mr
2
"
2
para el movimiento de una partícula puntual sobre una circunferencia de radio r alrededor de un eje fijo.
2
mv
2
v
=
r "
PARA VARIAS PARTICULAS 1
K =
=
2
2
mv1
" 1
=
+
2
mv 2
2
1
K i
" 2
1
=
"2
mri
2
#
1 +
2
mv i
2
2
mv 3
1 =
+
ωi ! velocidad angular de la partícula i
…
mv " 2
2
ri ! distancia perpendicular a un eje fijo (eje de rotación)
i
2
i
Supondremos que todas las partículas conservan su distancia fija entre ellas y entre el eje de rotación ! todas las partículas experimentan un movimiento circular alrededor del eje común de rotación con la MISMA VELOCIDAD ANGULAR K
1 =
mr " 2
i
1 =
2
#
i
mr ) " ( 2 2
i
1 =
2
2
I # i
2
#
2
I
=
"
mri2
[I] [ kg][ m =
2
]
i
I ! momento de inercia ! “momento” implica que I depende de la distribución espacial de la masa de un
K
1 =
mr ) " ( 2 2
i
1 =
2
2
#
i
2
I # i
I
=
"
mri
2
Para un cuerpo con un eje de rotación dado y una masa total dada, cuanto mayor sea la distancia del eje a las partículas que constituyen el cuerpo, mayor será el momento de inercia
Cuanto mayor sea el momento de inercia, mayor será la energía cinética de un cuerpo rígido que gira con una rapidez angular ω Cuanto mayor sea el momento de inercia de un cuerpo, mas difícil será ponerlo a girar si está en reposo, y mas difícil será detener su rotación si ya esta girando.
3 partículas de masas m1=2.3 kg, m2=3.2 kg m3=1.5 kg están conectadas mediante varillas delgadas de masa despreciable de modo que se encuentran en los vértices de un triangulo en el plano xy. a) Determine momento de inercia alrededor de los 3 ejes que son perpendiculares al plano xy, y que pasan por una de las partículas
MOMENTO DE INERCIA PARA CUERPOS RÍGIDO I
=
"
mri
2
Si un cuerpo rígido es una distribución continua de masa – cilindro, esfera, una varilla- ! no puede representarse con unas cuantas partículas puntales ! la sumatoria de las masas y distancias se vuelve una integral: I
=
" r dm 2
Donde r es la distancia perpendicular de un elemento de masa al eje de rotación. Si ρ=dm/dV I =
# " # r dV
=
2
r " dV 2
Se muestra una varilla uniforme con masa M y longitud L. Calcule el momento de inercia alrededor de un eje que pasa por O, a una distancia arbitraria h de un extremo
En general: I=cMR2 donde c se puede calcular a partir de la configuración geométrica del objeto que gira.
TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS En el ejemplo de las 3 partículas vimos que estas no tienen un solo momento de inercia, de hecho tiene un numero infinito, porque el numero de ejes sobre los que podría girar es infinito. Sin embargo hay una relación simple entre el momento de inercia Icm de un cuerpo de masa M alrededor de un eje que pasa por el centro de masa y el momento de inercia Ip alrededor de cualquier otro EJE PARALELO al original pero desplazado una distancia d ! TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS
El momento de inercia de un cuerpo cualquiera alrededor de un eje arbitrario, es igual al momento de inercia alrededor de un eje paralelo que cruza el centro de masa + la masa total multiplicada por la distancia al cuadrado entre los 2 ejes
I = I cm
+
2
Md
Unimos 2 esferas sólidas idénticas de masa M y radio R, y giramos la combinación alrededor de un eje tangente a una esfera y perpendicular a la línea que las conecta. Cual es la inercia rotacional de la combinación?
La inercia rotacional de los objetos sólidos se suma como 2 escalares ! para las dos esferas tenemos I=I1+I2
MOVIMIENTO DE TRASLACIÓN Y ROTACIÓN COMBINADOS Cada posible movimiento de un cuerpo rígido puede representarse como una combinación de del centro de masa y alrededor de un eje que pasa por el centro de masa.
El movimiento de rodadura es un caso especial de movimiento rotacional que realizan objetos redondos de radio R, que se mueven por una superficie sin deslizarse. Para el movimiento de rodadura podemos conectar las cantidades lineales y angulares
RELACIONES DE ENERGÍA ENERGIA CINETICA DE UN CUERPO RIGIDO CON MOVIMIENTO TANTO TRASLACIONAL COMO ROTACIONAL. K=
+
La asociada a cualquier cuerpo extendido de masa M, rígido o no, es la misma que si sustituimos el cuerpo por una partícula de masa M situada en el centro de masa del cuerpo
U mgy cm =
K =
=
=
1 2 1 2 1 2
(
2
mv cm
2
mv cm
2
mv cm
K = 1 + c
)
+
+
+
1 2
1 2
2
I cm"
1
cR ( 2
1 2
2
#v & m )% ( $ R '
2
cmv cm 2
mv cm
cm
2
Una esfera maciza con una masa de 5.15 kg y un radio de 0.340m parte del reposo a una altura de 2.10m arriba de la base de un plano inclinado y rueda hacia abajo bajo la influencia de la gravedad. Cual es la rapidez lineal del centro de masa de la esfera inmediatamente después de salir del plano inclinado y comenzar a rodar en la superficie horizontal?
Se ponen a competir diversos cuerpos rígidos redondos, soltándolos del reposos desde arriba de un plano inclinado. Quien llegara primero?
El que tenga el valor va a tener la velocidad MAS grande
Esfera ! Esfera hueca ! Cilindro ! Cilindro hueco !
Se tiene un yoyo, enrollando un cordel varias veces alrededor de un cilindro sólido de masa M y radio R. Se sostiene el extremos de cordel fijo mientras se suelta el cilindro desde el reposos. El cordel se desenrolla sin resbalar ni estirarse conforme el cilindro cae y gira. Calcular la rapidez del centro de masa del cilindro después de caer una distancia h
MOMENTO TORSIÓN Hemos visto una fuerza puede causar el movimiento lineal de un objeto, que se puede describir en términos del movimiento del centro de masa del objeto.
Pero, donde se coloca en un DCL los vectores de fuerza que actúan sobre un objeto extenso? ! una fuerza puede actuar sobre un objeto extenso en un punto distante de su centro de masa ! hará que el objeto gire además de moverse linealmente.
Cual es la forma mas fácil de hacer girar el perno?
Se muestra que la fuerza NO es la única cantidad importante , el ángulo de aplicación también es importante, así como la distancia de aplicación. Las consideraciones anteriores se cuantifican mediante el TORSION τ (TORCA)
MOMENTO DE
El momento de torsión se define como la tendencia a producir un cambio en el movimiento rotacional.
Las aplicaciones se encuentran en muchas herramientas comunes en el hogar o la industria donde es necesario girar, apretar o aflojar dispositivos.
El momento de torsión se determina por tres factores:
• La magnitud de la fuerza aplicada. • La dirección de la fuerza aplicada. • La ubicación de la fuerza aplicada. Las Unafuerzas Cada fuerza fuerzamás de de40N 20N cercanas extremo produce tiene unaal en diferente doble dede la llave tienen torca que debido unaamayores fuerza la momentos de la torsión. de 20N de direccion fuerza
Magnitude Ubicación of fuerza force Direction of de Force 20 N
!
20 20 N20NN 20 N 40 N 20 N20 N !
MOMENTO DE TORSION τ (TORCA) ! !
"
!
=
"
r #F
=
[" ] [N =
rFsen#
•
m
]
r ! vector de posición, se mide con el eje de rotación F ! fuerza
Magnitud de la Torca
En la figura se muestra una fuerza F que se aplica en un punto P descrito por un vector de posición r con respecto al punto elegido O. Hay varias formas de calcular la torca de esa fuerza:
1.- Determine el BRAZO DE PALANCA y use: τ=Fl Distancia perpendicular entre el punto O y la línea de acción de la fuerza (la línea sobre el que esta el vector fuerza)
2.- Calcule el ángulo entre los vectores r y F : 3.- Represente F en términos de una componente radial Frad en la dirección de r y una componente tangencial Ftan perpendicular a r. La componente rad NO TIENE torca respecto a O.
SEGUNDA LEY DE NEWTON PARA LA ROTACIÓN Veremos una relación fundamental de la dinámica rotacional de un cuerpo rígido ! La aceleración angular de un cuerpo rígido en rotación es directamente
proporcional a la suma de las componentes de la torca sobre el eje rotación. El factor de proporcionalidad es el momento de inercia. La fuerza que actúa sobre la partícula
F 1,tan
La Aceleración
a1,tan
=
=
Multiplicando por r1
F 1,tan
=
F 1,tan r1
m1r1" z 2
=
m1r1 " z
Derecha! torca, izquierda ! momento de inercia "
=
I #
m1a1,tan r " 1 z
Si tomamos todas las partículas:
# #
"
=
"
=
1 z
1 z
# (m r ) 2
i i
I $ z
$
z
La torca total que actúa sobre un cuerpo rígido es igual al momento de inercia del cuerpo alrededor del eje de rotación multiplicado por su aceleración angular
DINÁMICA " F " #
z
=
=
Para resolver problemas !
Macm I cm$ z
Se pueden resolver problemas de dinámica donde intervengan cuerpos rígidos con movimiento y simultáneos, siempre que: "El
eje que pasa por el centro de masa debe ser un eje de simetría "El eje no debe de cambiar de dirección.
Si tiene
+ ! tiene 2 ecuaciones de movimiento independientes para el mismo cuerpo.
Una describe la traslación del centro de masa
Otra describe la rotación alrededor del eje que pasa por el centro de masa
Para el yoyo del ejemplo anterior, calcule la aceleración hacia abajo del cilindro y la tensión en el cordel
Un cilindro sólido de masa M y de radio R, parte del reposo y rueda sin deslizamiento por un plano inclinado de longitud L y de altura h. Calcule la rapidez de su centro de masa cuando el cilindro llega al fondo.
MOMENTO ANGULAR Equivalentes en la rotación:
Masa
I
Inercia
Velocidad
!
Aceleración
"
!
Fuerza
#
!
Momento
L
!
!
Velocidad angular
!
Aceleración angular
torca Momento angular
Momento angular de la partícula !
L L
!
=
=
=
!
r " p
!
=
r " mv
mvrsen" mvl
!
r ! posición P ! momento
l ! brazo de la palanca
Si una fuerza neta F actúa sobre una partícula, cambian su velocidad y su momento lineal y también puede cambiar su momento angular dL dt
# dr & # dv & " mv ( + % r " m ( =% $ dt ' $ dt ' =
(v " mv ) + (r " ma)
=
r " F
La rapidez de cambio del momento angular de una partícula es igual a la torca de la fuerza neta que actúa sobre ella.
!
r
!
"
=
!
#v 2
r
!
L
!
=
2
( mr )
"
Momento de inercia de una partícula puntual que gira en orbita alrededor del eje de rotación a una distancia r
!
L
" L " r # p " mr # v !
=
Para un sistema de partículas
i
!
=
!
i
i
!
=
PARA UN CUERPO RIGIDO !
L
!
I "
=
i
!
i
CONSERVACION DEL MOMENTO ANGULAR !
Si la que actúa sobre un sistema es cero, el
#
momento angular total
d L "
=
dt
=
0
!
L
del sistema es constante (se conserva)
=
cnte
" L !
" L !
inicial
=
final
!
Para un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo de rotación
I " i
=
I " f
L
!
I "
=
Juan se para en el centro de una mesita giratoria con los brazos extendidos horizontalmente y una mancuerna de 5kg en cada mano. Se lo pone a girar sobre un eje vertical, dando una revolución cada 2s. Calcule la nueva velocidad angular de Juan si el pega las mancuernas a su abdomen. Su momento de inercia (sin las mancuernas) es de 3 kg.m2 con los brazos estirados y baja a 2.2 kgm2 si pone las manos en el abdomen. Las mancuernas están a 1m del eje al principio y a 0.2m al final. (tratarlas como partículas)