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INGENIERIA CIVIL - II
FÍSICA I
SOLUCIONARIO SOLUCIONARIO REFORZAMIENTO REFORZAMIENTO 004 DINÁMICA DE ROTACIÓN 1. Determine el momento de inercia de una esfera de 10.8kg y 0.648 m de radio cuando el eje de rotación pasa por su centro.
2. Calcule el momento de inercia de una rueda de bicicleta de 66.7 cm de diámetro. La rueda y la llanta
tienen una masa combinada de 1.25 kg. La masa del cubo se puede ignorar. ¿Por qué?
3. Una pequeña bola de 650 gramos en el extremo de una delgada barra ligera, gira en un círculo horizontal
de 1.2 m de radio. Calcule a) el momento de inercia de la bola en torno al centro del círculo y b) la torca necesaria nece saria para mantener a la bola en e n rotación con c on velocidad angular constante si la resistencia del aire ejerce una fuerza de 0.020 N sobre la bola. Ignore el momento de inercia y la resistencia del aire de la barra. SOLUCION A) B) Para mantener una velocidad angular constante, el par neto debe ser cero, por lo que el par necesario es la misma magnitud que el par causado ca usado por la fricción.
4. Un alfarero modela un tazón sobre una rueda que gira con rapidez angular constante. La fuerza de
fricción entre sus manos y el barro es e s de 1.5 N en total. a) ¿Cuál es la magnitud de su torca sobre la rueda, si el diámetro del tazón es de 12 cm? b) ¿Cuánto tardaría en detenerse la rueda de alfarero si la única torca que actúa sobre ella se debe a las manos de la alfarera? La velocidad angular inicial de la rueda es de 1.6rev/s y el momento de inercia de la rueda y el tazón es de 0.11 kg.m 2.
SOLUCION A) El esfuerzo de torsión ejercido por la fuerza de fricción es la arcilla, por lo que el ángulo es Ɵ=90º
B) El tiempo de parada se encuentra de
Se supone que la fuerza de fricción es tangencial a
= o+t Con una velocidad angular final de 0. La aceleración angular se puede encontrar
a partir de t otal . El par neto (y la aceleración angular) es negativo ya que el objeto se está desacelerando. otal =I
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UPT INGENIERIA CIVIL - II FÍSICA I 5. Calcule el momento de inercia de los objetos dispuestos como se muestra en la figura en torno a a) el eje
vertical y b) el eje horizontal. Considere que m = 1.8 kg, M= 3.1 kg y que los objetos están unidos por rígidas piezas de alambre muy ligero. El arreglo de los objetos es rectangular y está dividido a la mitad por el eje horizontal. c) ¿En torno a cuál eje sería más difícil acelerar este sistema?
SOLUCION (A) Para calcular el momento de inercia alrededor del eje y (vertical), utilice
(B) Para calcular el momento de inercia alrededor del eje x (horizontal), utilice
(C) Debido al mayor valor I, es más difícil acelerar la matriz alrededor del eje vertical. 10-26 kg y cuyo momento de inercia en torno a un eje perpendicular a la línea de unión de los dos átomos, a la mitad entre ellos, es de 1.9 X10 46 kg m2. A partir de estos datos, estime la distancia efectiva entre los átomos. SOLUCION La molécula de oxígeno tiene una geometría de "mancuernas", girando alrededor de la línea discontinua, como se muestra en el diagrama. Si la masa total es M, entonces cada átomo tiene una masa de M/2. Si la distancia entre ellos es d, entonces la distancia desde el eje de rotación a cada átomo es d/2. Tratar cada átomo como una partícula para calcular el momento de inercia.
6. Una molécula de oxígeno está constituida por dos átomos de oxígeno cuya masa total es de 5.3
X
7. Para hacer que un satélite cilíndrico uniforme y liso dé vueltas a la tasa correcta, los ingenieros disparan
cuatro cohetes tangenciales como se muestra en la figura. Si el satélite tiene una masa de 3600 kg y un radio de 4.0 m, ¿cuál es la fuerza estable requerida de cada cohete, si el satélite alcanza 32 rpm en 5.0 min?
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SOLUCION La fuerza de disparo de los cohetes creará un par neto, pero ninguna fuerza neta. Puesto que cada cohete dispara tangencialmente, cada fuerza tiene un brazo de palanca igual al radio del satélite, y cada fuerza es perpendicular al brazo de palanca. Por lo tanto net =4FR. Este par provoca una aceleración angular de acuerdo a
8. Una bola de 1.00 kg es lanzada exclusivamente por la acción del antebrazo, que gira en torno a la
articulación del codo bajo la acción del tríceps. La bola se acelera uniformemente desde el reposo hasta 10.0 m/s en 0.350 s, punto en el que se le libera. Calcule : a) la aceleración angular del brazo y b) la fuerza que se requiere del tríceps. Considere que el antebrazo tiene una masa de 3.70 kg y que gira como una barra uniforme en torno a un eje en su extremo.
SOLUCION (A) La aceleración angular se puede encontrar a partir de
(B) La fuerza requerida se puede encontrar a partir del par, puesto que
=
Fr sinƟ. En esta situación, la fuerza es perpendicular al
brazo de palanca, por lo que Ɵ=90º. El par está dado también por = I, donde I es el momento de inercia de la combinación brazo-bola. Igualando las dos expresiones para el par y resuelva la fuerza.
9. (II) El aspa de un rotor de helicóptero se puede considerar como una larga barra delgada, como se ilustra
en la figura. a) Si cada una de las tres aspas del rotor del helicóptero mide 3.75 m de largo y tiene una masa de 160 kg, calcule el momento de inercia de las tres aspas del rotor en torno al eje de rotación. b) ¿Cuánta torca debe aplicar el motor para hacer que las aspas alcancen una rapidez de 5.0 rev/s en 8.0 s?
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SOLUCION (A) El momento de inercia de una barra delgada, girando alrededor de su extremo, se da en la figura 8-21 (g). Hay tres hojas para agregar.
(B) El par requerido es los tiempos inercia de rotación de la aceleración angular, suponen constantes.
ENERGÍA CINÉTICA DE ROTACIÓN -2
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10. Un rotor centrífugo tiene un momento de inercia de 3.75 x10 kg.m . ¿Cuánta energía se requiere para
llevarlo desde el reposo hasta 8250 rpm? SOLUCION La energía necesaria para llevar el rotor a la velocidad de reposo es igual a la K E rotacional final del rotor.
11. Un motor de automóvil desarrolla una torca de 280 mN a 3800 rpm. ¿Cuál es la potencia en watts y en
caballos? SOLUCION El trabajo puede expresarse en cantidades rotacionales
. Y así se puede expresar en cantidades
rotatorias como
12. Una bola de boliche de 7.3 kg de masa y 9.0 cm de radio rueda sin deslizar por un carril de la pista a 3.3
m/s. Calcule su energía cinética total. SOLUCION
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UPT INGENIERIA CIVIL - II 13. Estime la energía cinética de la Tierra con respecto al Sol como la suma de dos términos:
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a) la energía que se debe a su rotación diaria en torno a su eje y b) la que se debe a su revolución anual en torno al Sol. 24 6 [Considere que la Tierra es una esfera uniforme con masa = 6.0X10 kg y radio = 6.4 X10 m, y está a 1.5x10 8 km del Sol.] SOLUCION (A) Para la rotación diaria alrededor de su eje, tratar la Tierra como una esfera uniforme, con una frecuencia angular de una revolución por día.
B) Para la revolución anual sobre el Sol, trata la Tierra como una partícula, con una frecuencia angular de una revolución por año.
14. Una esfera de 20.0 cm de radio y 1.80 kg de masa parte desde el reposo y rueda sin deslizar por un plano
inclinado de 30.0°, que tiene 10.0 m de largo. a) Calcule su rapidez de traslación y de rotación cuando alcanza el fondo. b) ¿Cuál es la razón entre la EC de traslación y la de rotación en el fondo? c) ¿Sus respuestas en los incisos a) y b) dependen del radio de la esfera o de su masa? SOLUCION A) El símbolo d representa la distancia que la esfera rueda a lo largo del plano. La esfera está rodando sin deslizarse, por lo que
C) no depende del radio ni de la masa. 15. Dos masas, m1=18.0 kg y m2 =26.5 kg, están conectadas por una soga que cuelga sobre una polea (como
en la figura 8-47). La polea es un cilindro uniforme de 0.260 m de radio y 7.50 kg de masa. Inicialmente, m1 está en el suelo y m2 reposa a 3.00 m sobre el suelo. Si el sistema se libera, use la conservación de la 5
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energía para determinar la rapidez de m2 justo antes de que golpee el suelo. Considere que la polea no ejerce fricción.
SOLUCION La única fuerza que trabaja en este sistema es la gravedad, por lo que la energía mecánica se conservará. El estado inicial del sistema es la configuración con 1 m en el suelo y todos los objetos en reposo. El estado final del sistema tiene 2 m sólo llegar al suelo, y todos los objetos en movimiento. Llame al nivel cero de energía potencial gravitatoria para que sea el nivel del suelo. Ambas masas tendrán la misma velocidad ya que están conectadas por la cuerda. Suponiendo que el cable no se deslice sobre la polea, la velocidad angular de la polea está relacionada con la velocidad de las masas por velocidad inicial de 0.
Todos los objetos tienen una
16. Una pértiga de 2.30m de largo se equilibra verticalmente sobre su punta. Comienza a caer y su extremo
inferior no se desliza. ¿Cuál será la rapidez del extremo superior de la pértiga justo antes de que golpee el suelo? [Sugerencia: Use la conservación de la energía.] SOLUCION
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CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR 17. ¿Cuál es la cantidad de movimiento angular de una bola de 0.210 kg que gira sobre el extremo de una delgada cuerda en un círculo de 1.10 m de radio y una rapidez angular de 10.4 rad/s? SOLUCION
18. Hacer los siguientes cálculos
a) ¿Cuál es la cantidad de movimiento angular de una rueda de alfarero cilíndrica uniforme de 2.8 kg y 18 cm de radio cuando gira a 1500 rpm? b) ¿Cuánta torca se requiere para detenerla en 6.0 s? SOLUCION (A)El momento angular viene dado por
(B) El par requerido es el cambio en el momento angular por unidad de tiempo. El momento angular final es cero.
El signo negativo indica que el par se utiliza para oponerse al momento angular inicial. 19. Una persona está de pie, con las manos a sus costados, sobre una plataforma que gira a una tasa de
1.30rev/s. Si la persona eleva sus brazos a una posición horizontal, la rapidez de rotación disminuye a 0.80 rev/s. a) ¿Por qué? b) ¿En qué factor cambió su momento de inercia?
SOLUCION (A) Considere la persona y la plataforma un sistema para el análisis del momento angular. Dado que la fuerza y el par de torsión para elevar y / o bajar los brazos son internos al sistema, la elevación o descenso de los brazos no provocará ningún cambio en el momento angular total del sistema. Sin embargo, la inercia rotacional aumenta cuando se levantan los brazos. Dado que el momento angular se conserva, un aumento de la inercia rotacional debe ir acompañado de una disminución de la velocidad angular.
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UPT INGENIERIA CIVIL - II FÍSICA I 20. Una clavadista puede reducir su momento de inercia en un factor cercano a 3.5 cuando cambia de la
posición recta a la posición plegada. Si realiza 2.0 rotaciones en 1.5 s cuando está en la posición plegada, ¿cuál es su rapidez angular (rev/s) cuando está en la posición recta?
SOLUCION No existe un par neto en el buzo porque la única fuerza externa (gravedad) pasa a través del centro de masa del buceador. Así se conserva el momento angular del buceador. El subíndice 1 se refiere a la posición de inclinación, y el subíndice 2 se refiere a la posición recta.
21. Una patinadora puede aumentar su tasa de rotación desde una tasa inicial de 1.0 rev cada 2.0 s hasta una
tasa final de 3.0 rev/s. Si su momento de inercia inicial es de 4.6 kg.m 2, ¿cuál es su momento de inercia final? ¿Cómo logra físicamente este cambio?
SOLUCION El momento angular del patinador es constante, ya que no se le aplican pares externos.
Ella logra esto comenzando con los brazos extendidos (velocidad angular inicial) y luego tirando de sus brazos hacia el centro de su cuerpo (velocidad angular final). 22. a) ¿Cuál es la cantidad de movimiento angular de una patinadora que gira a 3.5 rev/s con los brazos muy
cerca del tronco, si se le considera como un cilindro uniforme con una altura de 1.5 m, un radio de 15 cm y una masa de 55 kg? b) ¿Cuánta torca se requiere para frenarla hasta el alto en 5.0 s, suponiendo que ella no mueve los brazos? SOLUCION
b) Si la inercia rotacional no cambia, entonces el cambio en el momento angular se debe estrictamente a un cambio en la velocidad angular.
El signo negativo indica que el par está en la dirección opuesta al momento angular inicial. 8
UPT INGENIERIA CIVIL - II FÍSICA I 23. Un disco cilíndrico que no gira y cuyo momento de inercia es I, se suelta sobre un disco idéntico que gira
con rapidez angular v. Si se supone que no hay torcas externas, ¿cuál es la rapidez angular común final de los dos discos? SOLUCIÓN Dado que no hay pares externos en el sistema, el momento angular del sistema de 2 discos se conserva. Los dos discos tienen la misma velocidad angular final.
24. (II) Una rueda de alfarero gira alrededor de un eje vertical que pasa por su centro con una frecuencia de
1.5rev/s. Se puede considerar que la rueda es un disco uniforme de 5.0 kg de masa y 0.40 m de diámetro. Entonces el alfarero lanza un trozo de arcilla de 3.1 kg, aproximadamente con la forma de un disco plano de 8.0cm de radio, sobre el centro de la rueda en rotación. ¿Cuál es la frecuencia de la rueda después de que la arcilla se adhiere a ella? SOLUCION Debido a que no hay par de torsión externo aplicado al sistema de la rueda-arcilla, el momento angular se conservará. Suponemos que la arcilla se lanza sin momento angular, de modo que su momento angular inicial es 0. Esta situación es una colisión totalmente inelástica, en la que la velocidad angular final es la misma tanto para la arcilla como para la rueda. El subíndice 1 representa antes de que la arcilla se lance, y el subíndice 2 representa después de que la arcilla es lanzada
25. Un disco uniforme da vueltas a 2.4 rev/s alrededor de un perno sin fricción. Una barra no rotatoria, de la
misma masa que el disco y longitud igual al diámetro del disco, se suelta sobre el disco que gira libremente. Entonces ambos dan vueltas alrededor del perno con sus centros superpuestos. ¿Cuál es la frecuencia angular en rev/s de la combinación?
SOLUCION El momento angular de la combinación disco - varilla se conserva porque no hay pares externos en la combinación. Esta situación es una colisión totalmente inelástica, en la que la velocidad angular final es la misma para el disco y la varilla. El subíndice 1 representa antes de la colisión, y el subíndice 2 representa después de la colisión. La barra no tiene momento angular inicial
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UPT INGENIERIA CIVIL - II FÍSICA I 26. Una persona de 75 kg de masa está de pie en el centro de una plataforma giratoria en rotación, de 3.0 m
de radio y momento de inercia 920 kg.m 2. La plataforma gira sin fricción con velocidad angular de 2.0 rad/s. La persona camina radialmente hacia el extremo de la plataforma. a) Calcule la velocidad angular cuando la persona alcanza el extremo. b) Calcule la energía cinética de rotación del sistema constituido por la plataforma y la persona antes y después de que ésta camine. SOLUCION Puesto que la persona está caminando radialmente, no se ejercerán pares en el sistema persona plataforma, y así se mantendrá el momento angular. La persona será tratada como una masa puntual. Puesto que la persona está inicialmente en el centro, no tienen inercia rotatoria inicial.
27. Un tiovivo de 4.2 m de diámetro gira libremente con una velocidad angular de 0.80 rad/s. Su momento de 2
inercial total es de 1760 kg.m . Cuatro personas que están de pie sobre el suelo, cada una con 65 kg de masa, súbitamente saltan sobre el borde del tiovivo. ¿Ahora cuál es la velocidad angular del tiovivo? ¿Qué ocurre si las personas inicialmente están en el tiovivo y luego saltan de él en dirección radial (relativa al tiovivo)?
SOLUCION El momento angular del tiovivo e y la combinación de personas se conservarán porque no hay pares externos en la combinación. Esta situación es una colisión totalmente inelástica, en la que la velocidad angular final es la misma tanto para el tiovivo como para el pueblo. El subíndice 1 representa antes de la colisión, y el subíndice 2 representa después de la colisión. La gente no tiene un momento angular inicial.
Si la gente salta del carrusel radialmente, entonces no ejerce ningún par en el carrusel, y por lo tanto no puede cambiar el momento angular del tiovivo. El tiovivo continuaría girando a 0.80 rad/s. 10
UPT INGENIERIA CIVIL - II FÍSICA I 28. Suponga que el Sol se colapsa para formar una enana blanca, pierde casi la mitad de su masa en el
proceso, y termina con un radio que es el 1.0% de su radio actual. Si se supone que la masa perdida no se lleva cantidad de movimiento angular, ¿cuál sería la nueva tasa de rotación del Sol? (Considere que el actual periodo del Sol es de 30 días.) ¿Cuál sería su EC final en términos de su EC inicial de hoy? SOLUCION Puesto que la masa perdida no lleva ningún momento angular, el momento angular de la masa restante será el mismo que el momento angular inicial.
El período sería un factor de 20.000 más pequeño, lo que haría alrededor de 130 segundos. La relación de las energías cinéticas angulares de la masa de hilatura sería
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29. Un asteroide de 1.0 x10 kg de masa, que viaja con una rapidez de 30km/s en relación con la Tierra,
golpea tangencialmente a ésta en el ecuador y en la dirección de la rotación de la Tierra. Utilice la cantidad de movimiento angular para estimar el cambio porcentual en la rapidez angular de la Tierra como resultado de la colisión. SOLUCION El momento angular se conservará en el sistema de asteroides de la Tierra, ya que todas las fuerzas y torques son internas al sistema. La velocidad angular inicial del satélite, justo antes de la colisión, puede Asumiendo que el asteroide se incrusta en la Tierra en la superficie, la Tierra y el asteroide tendrán la misma velocidad angular después de la colisión. Modelamos la Tierra como una esfera uniforme, y el asteroide como una masa puntual.
El momento de inercia del satélite puede ser ignorado con respecto al de la Tierra en el lado derecho de la ecuación anterior, y así el cambio porcentual en la velocidad angular de la Tierra se encuentra de la siguiente manera.
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