UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA
Física I
DINÁMICA ROTACIONAL
ESTUDIANTE: Josué Salguero Ortiz Paralelo: 03
PROFESOR: Ing. Jorque López
Fecha de entrega: miércoles 29/06/2016
INDICE 1. Objetivos………………………………..…………………………………………..………1 2. Fundamento teórico ….……………………………………………………………..……...1 2.1 Antecedentes……………………………………………….…….………………….….1 2.2 Análisis………………..…………………………………….….…………………...…..1 2.2.1 Momento de inercia………………………………………………………………..2 2.2.2 Radio de giro……………………………………………………………………....3 2.2.3 Rotación de un cuerpo rígido………………………………………………………4 2.2.4 Aplicación de la segunda ley de Newton………………………………………….5 2.2.5 Resolución de un problema de dinámica rotacional……………………………….5
3. Conclusiones ………………………………………….…………………………………….6 4. Bibliografía…………………………………………………………………………………7
1. OBJETIVOS 1.1 Investigar acerca de la dinámica rotacional mediante consultas en fuentes bibliográficas para así entender sus características y la manera de resolver problemas relacionados en movimientos rotacionales.
1.2 Analizar la relación entre la segunda ley de Newton y el movimiento de rotación de un cuerpo entorno a un eje fijo mediante investigación acerca de las fuerzas que actúan en la rotación.
1.3 Determinar las características de la dinámica relacional a través del estudio de las fuerzas que producen dicho movimiento.
1.4 Relacionar la dinámica traslacional con la dinámica rotacional mediante una comparación entre sus ecuaciones para así entender la manera de resolver problemas donde un cupo gire.
2. FUNDAMENTO TEÓRICO 2.1 ANTECEDENTES En el estudio de la segunda ley de Newton se establece que la aceleración es directamente proporcional a fuerza que se aplique para generar un movimiento e inversamente proporcional a la masa del mismo:
a ∝
O expresado de otra manera
Fm∗a
Ec. 2.2-1
Esta relación se estudió para movimientos rectilíneos. Tomando en cuenta que el torque o momento de fuerza produce un movimiento rotacional sobre un eje establecido, y que su ecuación se define como:
R∗F
Ec. 2.1-2
Se puede afirmar que para el análisis de un cuerpo que gira en torno a un eje se deben tomar en cuenta estos dos aspectos: la rotación del cuerpo y el torque que produce.
2.2 ANÁLISIS Se presenta la siguiente figura:
1
Figura 2.2-1 Sólido rígido en movimiento circular Fuente: Serway, Jewett. Física para ciencias e ingeniería I. 7ma Ed. Pag 282 “Una partícula de masa m que gira en un círculo de radio R en el extremo de una cuerda o varilla y suponemos que una sola fuerza F actúa sobre m tangente al círculo, como se muestra. La torca que origina la aceleración angular es
R ∗ F.” (Serway,
2012) Si usamos la segunda ley de Newton para cantidades lineales y la relación entre la aceleración angular y la aceleración tangencial tenemos que:
FmRα
Ec. 2.2-1
Si se reemplaza este valor en la ecuación del torque tenemos que:
mR2
Ec. 2.2-2
De esta última ecuación se establece la relación entre la aceleración angular y el torque aplicado.
2.2.1 Momento de inercia. “El momento de inercia mide la resistencia que opone un cuerpo a variar su estado de movimiento de rotación.” (Zambrano, 2015) El valor de la ecuación 2-3 representa la inercia rotacional de una partícula y se define como el momento de inercia, y se representa con la letra I: I = mR 2α
Ec. 2.2.1-1
“Si se considera que un cuerpo rígido está formado de varias partículas a las cuales se
les puede aplicar un torque , entonces se puede afirmar que para cada partícula existe una inercia diferente pues cada una se encuentra ubicada a una determinada distancia del eje de rotación. Dado que existen un número indefinido de partículas en un cuerpo rígido, el momento de inercia con respecto a un eje es:” (Young, 2015) Io =
∑ni= m r2 2
Ec. 2.2.1-2
Donde r i es la distancia desde la partícula hasta el eje de giro. Vemos que el momento de inercia I, una medida de la inercia rotacional de un objeto juega el mismo papel para el movimiento rotacional, que la masa para el movimiento traslacional. Se deduce además que la inercia depende no solo de la masa, sino de la distribución de la misma, por lo que cada cuerpo tendrá diferentes momentos de inercia. Aquí algunos de los más utilizados:
Figura 2.2.1-1 Momentos de inercia de diferentes sólidos Fuente: Serway, Jewett. Física para ciencias e ingeniería I. 7ma Ed. Pag 296 2.2.2 Radio de giro “El radio de giro de un cuerpo respecto a un eje es la distancia al eje a la que debería estar un punto material, de la misma masa que el cuerpo, para que se verifique que el momento de inercia del cuerpo y del punto material con respecto al eje sean iguales.” (Serway, 2012) I=M
R2G
Ec. 2.2.2-1
Donde R G es el radio de giro del cuerpo y M es la masa total del sistema; despejando esta variable se tiene: 3
R G =
√ M
Ec. 2.2.2-2
2.2.3 Rotación de un cuerpo rígido “Un cuerpo rígido es aquel que no cambia de forma ni de volumen mientras se mueve. Estos cuerpos se pueden considerar como un conglomerado de partículas ubicadas en posiciones fijas unas respecto a las otras.” (Zambrano, 2015)
Figura 2.2.3-1 Fuerzas aplicadas a un cuerpo sólido Fuente: Freedman Young. Fisica Universitaria. I. 12va Ed. Pag 299 Se considera un cuerpo sobre constituido de partículas sobre las cuales se ejercen fuerzas externas; cada partícula se encuentra a una determinada distancia del punto de giro del cuerpo, por lo que el torque producido por cada fuerza alrededor del eje es:
τ (mr2)
Ec. 2.2.3-1
Dado que el cuerpo es rígido todos los puntos tendrán en cada instante las mismas aceleraciones angulares, por lo que sumar la ecuación 2.2.3-1 con la de torque se tiene:
Σ τ Σ(mr2) I 4
Ec. 2.2.3-2
Ec. 2.2.3-3
2.2.4 Aplicación de la segunda ley de Newton en la rotación.
Στ podemos ver que es muy similar a la ecuación de la segunda ley de Newton Σ , por lo que se puede afirmar que el torque es el Si analizamos la ecuación
equivalente a la fuerza, la inercia a la masa y la aceleración angular a la aceleración, pero aplicada en un sistema de rotación. De esto se concluye que razón por que se produce un movimiento de traslación es porque se aplica una fuerza, y el movimiento de rotación lo produce el torque. “En un movimiento de traslación la oposición al movimiento viene dado en relación a la cantidad de masa, pues mientras exista, más difícil será mover un cuerpo. En un movimiento de rotación es la inercia la que cuantifica esta oposición. ” (Zambrano, 2015) Tomando en cuenta todos estos aspectos, se tiene el si guiente cuadro:
Tabla 2.2.4-1 Comparación entre movimiento de traslación y rotación. TRASLACIÓN
ROTACIÓN
Fuerza (F)
Torque (
Masa (m)
Momento de inercia (I)
Aceleración (a)
Aceleración angular (
Σ
Στ
τ) )
2.2.5 Resolución de un problema de dinámica rotacional Para resolver problemas donde se presente la rotación de un cuerpo en un plano fijo solo se debe proceder igual que si se resolviera un problema de dinámica traslacional. El problema plantea lo siguiente:
5
“Una fuerza de 15.0 N (representada por F t) se aplica a una cuerda enrollada alrededor de una polea de masa M = 4.00 kg y radio R= 0.33 m, como indica al figura. La polea acelera uniformemente desde el reposo hasta una rapidez angular de 30.0 rad/s en 3.00 s. Si se tiene una torca de fricción de tfr =1.10 m · N en el eje, determine el momento de inercia de la polea. La polea gira con respecto a su centro. ” (Serway, 2012)
Figura 2.2.5-1 Polea con cuerda Fuente: Serway, Jewett. Física para ciencias e ingeniería I. 7ma Ed. Pag 317
ΣRF − (0.33m)(15N)− 1.10N.m 3.85 N.m (30 rad⁄s)− 0 10.0 rad/s2 α Δω Δt 3.00 s m.N 0.385 kg.m2 I Σ 10.3.805rad/s 2 3. CONCLUSIONES 3.1 Se determinó las características de la dinámica rotacional y su relación con la segunda ley de Newton y el movimiento de traslación.
3.2 Se analizó las propiedades del momento de inercia de cuerpo, deduciendo que las diferentes maneras en las que se encuentra distribuida la masa de en cuerpo hace que la ecuación del momento de inercia varíe, aunque siempre parte de la misma.
3.3 Se estableció una relación entre el movimiento de rotación y de traslación, encontrando que para ambos casos se aplican los mismos principios, pero adaptados en cuanto movimientos circulares y rectilí neos. 6
4. BIBLIOGRAFÍA 4.1 Serway, R. (2012). Ingenieria, Fsicia Para Ciencias e. USA: CENGAGE Learnig. 4.2 Young, F. (2015). Fisica Universitaria. Mexico: Pearson Education. 4.3 Zambrano, V. (2015). Fisica vectorial 2. Quito: Polieditorial.
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