BAB 1 TURUNAN (DIFFERENSIAL)
1.1 Pengertian Turunan
Kita telah melihat melihat bahwa kemiringan garis singgung dan kecepatan sesaat adalah manifestasi dari pemikiran dasar yang sama. Laju pertumbuhan organisme ( biologi), keuntungan marjinal (ekonomi), kepadatan kawat( fisika ), dan laju pemisahan ( kimia ) adalah versi-versi lain dari konsep yang sama. Pengertian matematis yang baik menyarankan agar kita menelaah konsep ini terlepas dari kosa kata yang khusus dan terapan yang beraneka ragam ini. Kita memilih nama netral turunan( derivatif ) ini merupakan kata kunci dalam kalkulus selain kata fungsi dan limit .
Definisi : Turunan fungsi f adalah fungsi lain f ' ( dibaca “ f aksen “ ) Yang nilainya pada sembarang bilangan c adalah f '(c) =
+− →
Asalkan limit ini ada.
Jika limit ini memang ada, maka dikatakan dikatak an bahwa f terdifferensialkan (terturunkan) di C. Pencarian turunan disebut pendiferensialan ; bagian kalkulus yang berhubungan dengan turunan disebut kalkulus differensial.
I - 1
Contoh :
1. Andaikan f(x) f(x) = 13x
6 , cari f ' (4)
Penyelesaian :
4 ℎ 4 4 = lim → ℎ 134 ℎ 6 13.46 ′4 = → lim 13 ℎ 13ℎ = lim → ℎ = lim → 13=13 ∴
f ' (4) = 13
′ = → lim ℎℎ 7 ℎ 7 ℎ =lim → ℎ ℎ 7 ℎ 7 ℎ =lim → ℎ 2ℎℎ ℎ 7 ℎ 7 =lim→ ℎ ℎ2ℎ2ℎ ℎ ℎ 77ℎ 7 =lim→ ℎ 3ℎ2ℎℎ ℎ 77ℎ 7 = lim→ ℎ ℎ3ℎ ℎ 7ℎ 3 =lim → ℎ 3ℎℎ 7ℎ 3 =lim → ℎ 2 . Jika f (x) =
7x , cari f ' (c)
Penyelesaian :
I - 2
Contoh :
1. Andaikan f(x) f(x) = 13x
6 , cari f ' (4)
Penyelesaian :
4 ℎ 4 4 = lim → ℎ 134 ℎ 6 13.46 ′4 = → lim 13 ℎ 13ℎ = lim → ℎ = lim → 13=13 ∴
f ' (4) = 13
′ = → lim ℎℎ 7 ℎ 7 ℎ =lim → ℎ ℎ 7 ℎ 7 ℎ =lim → ℎ 2ℎℎ ℎ 7 ℎ 7 =lim→ ℎ ℎ2ℎ2ℎ ℎ ℎ 77ℎ 7 =lim→ ℎ 3ℎ2ℎℎ ℎ 77ℎ 7 = lim→ ℎ ℎ3ℎ ℎ 7ℎ 3 =lim → ℎ 3ℎℎ 7ℎ 3 =lim → ℎ 2 . Jika f (x) =
7x , cari f ' (c)
Penyelesaian :
I - 2
′ = 33ℎℎ 7 7 ∴ = = , ′ = → lim ℎℎ + =lim → ℎ ℎ 1 ] =lim [ → ℎ ℎ =lim→ 1ℎ = 1 ∴ ′′ = = 3
3
3. Jika
cari f '(x)
Penyelesaian :
′ ′== − .
Jadi f ' adalah fungsi yang diberikan oleh
aerah asalnya adalah semua
bilangan rill kecuali x = 0
4. Cari turunan dari f , jika f(x) f(x) = Penyelesaian :
√
, x > 0
ℎ ′ = lim → ℎ ℎ √ √ ℎ =lim → ℎ I - 3
√ √ ℎ √ ′ = → lim √ ℎ ℎ √ ℎ √ ℎ =lim → ℎ(√ ℎ √ ) ℎ =lim → ℎ(√ ℎ √ ) 1 =lim → √ ℎ √ = [√ 1 √ ] = [2√ 1] ∴ ′ = √ Bentuk-Bentuk yang Setara Untuk Turunan
′ = → lim ℎℎ =lim → =lim→ ℎ
Jika x mengambil tempat
sehingga x
c menggantikan h, maka :
− − ′ lim =− → f'(c)=
I - 4
Artinya kita boleh menuliskan :
′ = lim → =lim →
5. Gunakan hasil dalam kotak di atas untuk mencari g'(c), jika g(x) Penyelesaian :
′ =lim → + + =lim → 2323 1 ] =lim [ → 3 3 2626 1 ] =lim [ → 3 3 2 1 ] =lim [ → 3 3 2 ] =lim [ → 3 3 2 = 33 2 = 3 ∴ ′ =
I - 5
1.2 Aturan Pencarian Turunan
Proses pencarian turunan suatu fungsi langsung dari definisi turunan, yakni dengan menyusun hasil bagi selisih .
1.2.1 Konstanta dan Aturan Pangkat TEOREMA A (Aturan Fungsi Konstanta) , jika f(x) = k dengan k suatu konstanta
maka untuk sebarang x , f '(x) = 0 →
( ) = 0.
Bukti :
ℎ = =lim 0 = 0 =lim → → ℎ → ℎ TEOREMA B (Aturan Fungsi Identitas) , jika f(x) = x, maka f '(x) = 1
→
D(x) = 1
Bukti :
ℎ = ℎ = lim ℎ = 1 =lim → → ℎ → ℎ ℎ TEOREMA C
→ = −
(Aturan Pangkat) , jika f(x) =
maka f '(x) =
−1
engan bilangan-bilangan bulat positif
D(
I - 6
Memangkatkan suatu Binomial
= 2 33 444 − − − ⋯ − (
=
=
=
Bukti :
ℎ ℎ =lim → → ℎ =lim ℎ − ℎ − − ℎ ⋯ ℎ− ℎ =lim → ℎ − − − ℎ … ℎ− ℎ− ℎ =lim → ℎ = −
∴ ′ = − Contoh :
D( 3)
=3
2
D( 9)
=9
8
D(
100
) = 100
99
D adalah sebuah operator linear.
TEOREMA D (Aturan Kelipatan Konstanta) , jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang
terdiferensial, maka (k f)' (x) = k. f (x) →
[
. f( ) ] = k D f(x)
I - 7
Bukti :
Andaikan f(x) = k . f(x), maka
. ℎ. ′ = → lim ℎ =lim → ℎ ℎ ℎ =lim → ℎ ℎ = lim → ℎ = . ′
Contoh:
1. 7 = 7 =7.3 =21 2. = = 9 = =12 TEOREMA E (Aturan jumlah) , jika f dan g fungsi - fungsi yang terdiferensial
maka (f + g)' (x) = f (x) + g(x)
D [ f (x) + g (x) ] = D f (x) + D g (x).
Bukti :
Andaikan f(x) = f(x) + g(x) maka:
′= → lim ℎ ℎℎ ℎ lim ℎ =lim → → ℎ ℎ = ′ ′ +
TEOREMA F (Aturan Selisih) , jika f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan ,
maka (f
g)' (x) = f '(x)
(x)
→
D f(x)
D g(x)
I - 8
Bukti:
= 1 1 = 1 = =
Contoh:
1. Cari turunan dari 5
2
+ 7 – 6
4
6
− 3
5
− 10
2
+5
+ 16
Penyelesaian:
5 ∴ 3 10 516 4 3.5 10.2510 205 ∴
D (5
2
+ 7 − 6) =
+
= 5 D
= 10
D(4
(6)
+7 ( )−
= 5.2 x + 7.1
D (5
(7 ) −
(6)
0
7
2
+ 7 − 6) = 10
=D(
7
) – D (3
=6D(
– 3 D (
) – D (10X2) + D (5x) + D(16) ) – 10 D (
5 D(x) D(16)
= 6.6 = 36
D (4
15
= 36
15
1.2.2 Aturan Hasil Kali dan Hasil Bagi TEOREMA G (Aturan hasil kali) , Andaikan f dan g fungsi-fungsi yang dapat dideferensialkan
maka (f . g)' (x) = f (x) g' (x) + g (x) f '' (x)
→
D [ f(x) g (x)] = f(x) D g (x) + g (x) D f (x)
I - 9
Bukti :
Andaikan f (x) = f (x) g (x), maka
′ = → lim ℎ ℎ ℎ ℎ =lim → ℎ ℎ ℎℎ ℎ =lim → ℎ ℎ ℎ =lim ℎ → ℎ ℎ ℎ lim ℎ =lim ℎ l im → → → ℎ ℎ = ′ =lim → ℎ = Dimana
Contoh :
2. Cari turunan
)
Penyelesaian :
3 52 = 3 5 2 2 3 5 = 3 52 .4 1 2 3.20 = 3 58 12 6 ∴ = D[
D [
TEOREMA H (Aturan hasil bagi) , Andaikan f dan g fungsi - fungsi yang dapat didifferensialkan
dengan g(x) ≠ 0 maka
= ′ ′ f = g I - 10
Bukti :
Andaikan f(x) =
maka,
′ = → lim ℎℎ + + =lim → ℎ f xh gxf x gxh 1 =lim → ℎ ℎ ℎ 1 =lim→ ℎ ℎ ℎ
ℎ ℎ 1 =lim → ℎ ℎ
ℎ 1 = lim→ ℎ ℎ ℎ ℎ 1 = = ℎ Contoh :
3. Cari turunan dari
− +
Penyelesaian :
7 35 35 7 35 D[ 7 ] = 7 7 3 35 2 = 7
I - 11
21 6 10 35 3 D[ 7 ] = 7 = 9 1021 7
∴
− +
4. Cari Dy jika y =
−+ = (+)
Penyelesaian :
= D[ 21 3 ] = D[ 21 ] D [ 3 ] 1 22 1 33 = 1 1 02 4 1 = 1 03 08 = 1 [ 03 ] 3 8 = 1 ∴ = (−+)
5. Buktikan bahwa aturan pangkat berlaku untuk pangkat bulat negatif yaitu
−= −− 11 1 − = =
Penyelesaian :
I - 12
0 1 − 1 − = = − = = − − = −− = −−
∴ − = = −− 6. 3 = 3− = 3 − = 3 1 −− = 3 − = 3 ∴ = 1.3 Turunan Sinus dan Cosinus
Rumus-Rumus Turunan TEOREMA A
f(x) = sin x dan g(x) Keduanya dapat didiferensikan D (sin x) = cos x, D (cos x) = - sin x
I - 13
Contoh :
1. Cari
(3 sin − 2cos )
Penyelesaian :
D( 3 sin x
2cos = 3 sin 2cos = 3cos 2sin = 3cos 2sin ∴ =
2. Cari D (tan x) Penyelesaian :
sin tan = cos sin cos = cos sincos sin = cos cos sin = 1 = ∴ = 1.4 Aturan Rantai TEORAMA A (Aturan Rantai ) , Andaikan y = f(u) dan u = g(x) menentukan fungsi komposisi
y = f [g(x)] = (fog ) (x) jika g terdiferensial di x dan f terdiferensialkan di u = g(x), maka fog terdiferensialkan di x dan (fog ) (x) = f ' [g(x)] g'(x)
I - 14
yaitu ,
Dxy
= .
Contoh :
= 2 41, = → = 2 41 = . → = =60 =60 44 = 2 41 =60 2 41 44 =44 ∴ = = − = 1 = − → = 2 7 = . = 3− 10 = 3 2 7− 10 =30 2 7− 30 = 2 7 ∴ = 1 . Jika
cari Dxy
Penyelesaian :
Dxy
2. Jika
, cari Dxy
Penyelesaian :
I - 15
=sin 3, = → = 3 = . =cos 3 3 = cos 3 3 3 = 3 3 cos 3 ∴
3. Jika
cari Dxy
Penyelesaian :
Dxy
Dxy =
4. Cari
Dt
−+ +
Penyelesaian :
21 = →=
3 = . 3 21 21 3 =13 3 21 3 3 2 214 =13 3 3 −+ (+) (−)−(−+)() ∴ D y = + [ ] (+) t
Andaikan y = f(u) dan u = g(x)
= . I - 16
5. Cari
,
jika y = (x3 2x)12
Penyelesaian :
= 2 → = 3 2 = → =12 =12 2 = . = 12 2 3 2 (
∴ = (
6. Cari
, jika y =
cos3(x2+1)
Penyelesaian:
= → = 3 = 3 1 =cos → =sin=sin 1 = → 1→ = 2 = . . = 3 1.sin 1 . 2 = 6 1 .sin 1 ∴ = .
I - 17
7. Cari Dx [ sin3 (4x ) ] Penyelesaian :
= ,
= sin ,
D u y = D(u3)
= 4
Dyu = D(sin y) ,
Dxv = D(4x)
= cos y
=4
= 3u2 Dxy = Duy . Dyu . Dxv = 3 u 2 . cos y .4
= 3 sin 2 y . cos y . 4 = 12 sin2 (4x) cos (4x)
∴
Dxy = 12 sin 2 (4x) cos (4x)
8. Cari Dx [sin (cos (x 2) ] Penyelesaian :
Dx [ sin (cos(x2) ] = cos [cos (x2 )] Dx [cos (x2)] = cos [cos (x2) ] [- sin x2 Dx(x2)] = cos [cos x2] [- sin x 2 ] (2x)
∴ =
cos [cos x2] [- sin x2 ] (2x)
1.5 Turunan ingkat Tinggi
Operasi pendiferensialan mengambil sebuah fungsi f dan menghasilkan sebuah fungsi baru f ', Jika f ' diferensialkan masih menghasilkan fungsi lain, dinyatakan oleh f '' (f dua aksen ) dan disebut turunan kedua dari f . Jika f '' diturunkan lagi menghasilkan f ''' disebut turunan ketiga dst. Jika f(x) Maka :
= 2 4 78
f ' (x)
=6
8x +7
f ''(x)
= 12x – 8
I - 18
f ''' (x ) = 12 f''''(x) = 0 Karena turunan dari fungsi nol adalah nol ,maka semua turunan tingkat yg lebih tinggi akan nol Turunan pertama dari y = f(x) adalah f '(x), Dxy ,
, masing-masing disebut
notasi aksen, notasi d dan notasi Leibniz.
= Cara Penulisan (notasi) untuk turunan dari y = f (x)
Turunan
Notasi
′
Notasi
Notasi
Notasi Leibniz
f
y'
D
Pertama
f '(x)
y'
Dx y
Kedua
f (x)
y''
D
Ketiga
f '''x)
y'''
D
Keempat
f''''(x)
y''''
D
Kelima
f'''''(x)
y'''''
D
Keenam
f''''''(x)
y''''''
D
Ke-n
f(x)
D
′′
⋮
I - 19
Contoh:
1. Jika y = sin 2x, cari
, ,
Penyelesaian:
=2cos2 = 2 sin2 = 2 cos2 = 2 2
= 2 cos2 ⋮ = 2 2
1.6 Pendifferensialan Implisit
Contoh:
1. Cari
, 43= 1
Penyelesaian:
Metode 1 (diselesaikan secara gamblang untuk y) sbb:
4
3= 3= 1 1
y(4
y =
− −
→ = 1 ′=3 u
=4 3 v' = 8x
Jadi
= ′′ 18 = 4 343 3 I - 20
= 12 9 8 8 4 3 9 8 4 = 4 3 ∴ = Metode 2 ( Pendifferensialan Implisit )
3 1 4 .8 3 = 3 4 3 = 3 8 = − − → 3= 1 3= 1 1 = 4 3 = 3 8 = 3 8 1 4 3 4 3 4 3 1 3 = 4 3 84 3 9 8 8 12 = 4 3 9 8 4 = 4 3 ∴ = 4
=
4
y(4
I - 21
, 5 =9
2. Cari
Penyelesaian:
5 = 9 = 12 = 12 15 ∴ = = 0 10=0 D t y D t y 40=3 2 − = − 2x + 15
3. Cari D t y , Jika Penyelesaian:
Dt ( 3
(2t)
40
=0
Dty (
Dty
− ∴ = − Dty
2⁄ ⁄
4. Cari Dxy , jika y =
+ 4
Penyelesaian:
Dxy
⁄4 Dx (⁄)6 −⁄ 2 ⁄− 4 ⁄− 6−−⁄−
= 2 Dx ( =
.
I - 22
⁄ 3−⁄ + 6−⁄ = ⁄ 3 −⁄ 4 −⁄
Dxy =
∴ = ⁄ −⁄ −⁄ Dxy
5. Jika y =
√ 317,
Penyelesaian:
= ⁄ = 317 = . = 1 −⁄ = 1 317−⁄ 2 2 = 4 3 = . = 12 317−⁄.4 3 3 4 = 2 317⁄ − ⁄ ∴ = −+ 1.7 Rangkuman
A. Pengertian Turunan
Kita telah melihat bahwa kemiringan garis singgung dan kecepatan sesaat adalah manifestasi dari pemikiran dasar yang sama. Laju pertumbuhan organisme ( biologi), keuntungan marjinal (ekonomi), kepadatan kawat( fisika ), dan laju pemisahan ( kimia ) adalah versi-versi lain dari konsep yang sama. Pengertian matematis yang
I - 23
baik menyarankan agar kita menelaah konsep ini terlepas dari kosa kata yang khusus dan terapan yang beraneka ragam ini. Kita memilih nama fungsi dan limit .
Definisi : Turunan fungsi f adalah fungsi lain f ' ( dibaca “ f aksen “ ) Yang nilainya pada sembarang bilangan c adalah f '(c) =
+− →
Asalkan limit ini ada.
Jika limit ini memang ada, maka dikatakan bahwa f terdifferensialkan (terturunkan) di C. Pencarian turunan disebut pendiferensialan ; bagian kalkulus yang berhubungan dengan turunan disebut kalkulus differensial.
Bentuk-Bentuk yang Setara Untuk Turunan
′ = → lim ℎℎ =lim → =lim→ ℎ
Jika x mengambil tempat
sehingga x
c menggantikan h, maka :
− ′ lim =− − → f'(c)=
I - 24
Artinya kita boleh menuliskan :
′ = lim → =lim → B. Aturan Pencarian Turunan
Proses pencarian turunan suatu fungsi langsung dari definisi turunan, yakni dengan menyusun hasil bagi selisih .
1. Konstanta dan Aturan Pangkat TEOREMA A (Aturan Fungsi Konstanta) , jika f(x) = k dengan k suatu konstanta
maka untuk sebarang x , f '(x) = 0 →
( ) = 0.
Bukti :
ℎ = =lim 0 = 0 =lim → → ℎ → ℎ TEOREMA B (Aturan Fungsi Identitas) , jika f(x) = x, maka f '(x) = 1
→
D(x) = 1
Bukti :
ℎ = ℎ = lim ℎ = 1 =lim → → ℎ → ℎ ℎ I - 25
TEOREMA C
→ = −
(Aturan Pangkat) , jika f(x) =
maka f '(x) =
−1
engan bilangan-bilangan bulat positif
D(
Memangkatkan suatu Binomial
= 2 33 444 − − − ⋯ − (
= =
=
Bukti :
ℎ ℎ =lim → → ℎ =lim ℎ − ℎ ⋯ ℎ− ℎ − ℎ − =lim → ℎ − ℎ … ℎ− ℎ− − − ℎ =lim → ℎ = −
∴ ′ = − TEOREMA D (Aturan Kelipatan Konstanta) , jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang
terdiferensial, maka (k f)' (x) = k. f (x) →
[
. f( ) ] = k D f(x)
Bukti :
Andaikan f(x) = k . f(x), maka
. ℎ. ′ = → lim ℎ =lim → ℎ ℎ I - 26
′ = → lim ℎℎ ℎ = lim → ℎ = . ′ TEOREMA E (Aturan jumlah) , jika f dan g fungsi - fungsi yang terdiferensial
maka (f + g)' (x) = f(x) + g(x)
D [ f(x) + g(x) ] = D f(x) + D g(x).
Bukti :
Andaikan f(x) = f(x) + g(x) maka:
′= → lim ℎℎ ℎ ℎ lim ℎ =lim → → ℎ ℎ = ′ ′ +
TEOREMA F (Aturan Selisih) , jika f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan ,
maka (f
g)' (x) = f '(x)
(x)
→
D f(x)
D g(x)
Bukti:
= 1 1 = 1 = =
I - 27
2. Aturan Hasil Kali dan Hasil Bagi TEOREMA G (Aturan hasil kali) , Andaikan f dan g fungsi-fungsi yang dapat dideferensialkan
maka (f . g)' (x) = f (x) g' (x) + g (x) f '' (x)
→
D [ f(x) g (x)] = f(x) D g (x) + g (x) D f (x)
Bukti :
Andaikan f (x) = f (x) g (x), maka
′ = → lim ℎ ℎ ℎ ℎ =lim → ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ =lim → ℎ ℎ ℎ =lim ℎ → ℎ ℎ ℎ lim ℎ =lim ℎ l im → → → ℎ ℎ = ′ =lim → ℎ = Dimana
TEOREMA H (Aturan hasil bagi) , Andaikan f dan g fungsi - fungsi yang dapat didifferensialkan
dengan g(x) ≠ 0 maka
′ = ′ f = g
I - 28
Bukti :
Andaikan f(x) =
maka,
′ = → lim ℎℎ + + =lim → ℎ f xh gxf x gxh 1 =lim → ℎ ℎ ℎ 1 =lim→ ℎ ℎ ℎ
ℎ ℎ 1 =lim → ℎ ℎ
ℎ 1 = lim→ ℎ ℎ ℎ ℎ 1 = = ℎ C. Turunan Sinus dan Cosinus
Rumus-Rumus Turunan TEOREMA A
f(x) = sin x dan g(x) Keduanya dapat didiferensikan D (sin x) = cos x, D (cos x) = - sin x
I - 29
D. Aturan Rantai TEORAMA A (Aturan Rantai) , Andaikan y = f(u) dan u = g(x) menentukan fungsi komposisi
y = f [g(x)] = (fog ) (x) jika g terdiferensial di x dan f terdiferensialkan di u = g(x), maka fog terdiferensialkan di x dan (fog ) (x) = f ' [g(x)] g'(x) yaitu,
Dxy
= .
Andaikan y = f(u) dan u = g(x)
= .
E. Turunan ingkat Tinggi
Operasi pendiferensialan mengambil sebuah fungsi f dan menghasilkan sebuah fungsi baru f ', Jika f ' diferensialkan masih menghasilkan fungsi lain, dinyatakan oleh f '' (f dua aksen ) dan disebut turunan kedua dari f . Jika f '' diturunkan lagi menghasilkan f ''' disebut turunan ketiga dst. Jika f(x) Maka :
= 2 4 78
f ' (x)
=6
8x +7
f ''(x)
= 12x – 8
f ''' (x ) = 12 f''''(x) = 0 Karena turunan dari fungsi nol adalah nol ,maka semua turunan tingkat yg lebih tinggi akan nol
I - 30
Turunan pertama dari y = f(x) adalah f '(x), Dxy ,
, masing-masing disebut
notasi aksen, notasi d dan notasi Leibniz.
= Cara Penulisan (notasi) untuk turunan dari y = f (x)
Turunan
Notasi
′
Notasi
Notasi
Notasi Leibniz
f
y'
D
Pertama
f '(x)
y'
Dx y
Kedua
f (x)
y''
D
Ketiga
f '''x)
y'''
D
Keempat
f''''(x)
y''''
D
Kelima
f'''''(x)
y'''''
D
Keenam
f''''''(x)
y''''''
D
Ke-n
f(x)
D
′′
⋮
I - 31
F. Pendifferensialan Implisit Contoh:
1. Cari
, 43= 1
Penyelesaian : Metode 1 (diselesaikan secara gamblang untuk y) sbb:
4
3= 3= 1 1
y(4
y =
− −
→ = 1 ′=3 u
=4 3 v' = 8x
Jadi
= ′′ 18 = 4 343 3 9 8 8 4 9 8 12 = 4 3 = 4 3 ∴ = Metode 2 ( Pendifferensialan Implisit )
3 1 4 .8 3 = 3 4 3 = 3 8 = − − → 3= 1 3= 1 1 = 4 3 4
=
4
y(4
I - 32
= 3 8 = 3 8 1 4 3 4 3 4 3 1 3 = 4 3 84 3 9 8 8 12 = 4 3 9 8 4 = 4 3 ∴ = 1.8 Soal Turunan
A. Pengertian Turunan
′ = → lim ℎℎ Soal 1 4 gunakan definisi
untuk mencari turunan 1. f ' (3) , Jika f(x) =
2 x
2. f ' (-2) , Jika f(x) = 3. f ' (-1), Jika f(x) = 4. f ' (-4), Jika f(x) =
+
′ = → lim ℎ ℎ Soal 5 13 gunakan
untuk mencari turunan di x (lihat contoh 3 dan 4)
8 1
5. f(x) = 5x
4.
6. f(x) = ax+b 7. f(x) =
I - 33
8. f(x) =
34
10. g(x) = + − 11. f(x) = + 9. g(x) =
√ 3
12. g(x) =
13. H(x) =
√ −
14 15 ′ = lim → = 5 = +
Dalam
untuk mencari f '(x) (lihat contoh 5) 14. 15.
B. Aturan Pencarian Turunan
Cari Dy dari :
−
1. y = 2 2. y = 3 3. y = 4 4. y =
−
3 61 1 = 3 2 31 = +− = −+ +−
5. y = 6. y =
7. y = x( 8. 9.
10.
I - 34
C. Turunan Sinus Dan Cosinus
Cari Dy dari :
5cos cos 3. y = cos = cos sin 4. y = = sin1 = sin 6. y= sincos = = 9. y= cos 1 10. y= sin 1. y = 3 sin x 2. y = sin x
5.
7. 8.
D. Aturan Rantai
Cari Dxy dari:
= 29 = 5 28 = 212 119 3 4.y= 3 8 = cos 4 11 = 31 7.=25 8. =31 25 3 5 . 11 1. 2. 3.
5.y
.
6.
9. y =
1
I - 35
2 3 10. y= 2 5 − + − + Cari turunan dari: 11. Dt 12. Ds
13. D (
)
14. Dx
15. Dt [sin t tan ( +1)] Gunakan aturan rantai untuk turunan dibawah ini
16. Dx [ 17. Dx [
+ 3x)]
(cos t )]
18. Dx [x
(2x)]
19. Dx [sin (cos (sin 2x))]
20. Dt {
[cos t)]}
Gunakan aturan rantai untuk mencari
21. =
dan u =
d d
+ 3x
1
22. y = sin (
)
23. y = [(
sin x
24. y = cos 25. y =
2sin [
(
I - 36
E. Turunan Tingkat Tinggi
Cari d3y / d3x
3 8
1. y = x3+
2. y = 2x5 – x4 3. y = (2x+5)4 4. y = sin(3x) 5. y =
+
6. f(x) = 2x3 – 7
→ f(t) t = t 8 . f (u) = −
-1
7. f (t) =
9. f (x) = sin2 ( x)
10. f (x) = x cos ( x)
F. Pendifferensialan Implisit
Cari Dxy yang memakai pendiferensialan implisit 1. x2 – y2 = 9 2. x y = 4 3. xy2 – x + 16 = 0 4. 4 x3 + 11xy2 – 2y3 = 0 5. xy + sin y = x2
I - 37
