UNIVERSIDAD DE COSTA RICA Facultad de Ciencias Escuela de Física FS – 0411 Laboratorio de Física General III Grupo 06
Respuesta a la frecuencia -primera y segunda parte-
Elaborado por: Douglas Pacheco Vargas (A74754) Ronny Obando Solano (A74643)
Profesor Jefferson Villaplana Sánchez
San José, 4 de noviembre de 2008
Respuesta a la frecuencia – primera parte Objetivos
En esta práctica se desea estudiar la influencia de la frecuencia suministrada por una fuente de voltaje senosoidal de amplitud constante sobre los circuitos RC serie y RL serie. Específicamente:
1. Es Estu tudi diar ar el comp compor orta tami mien ento to del del volt voltaj aje e a trav través és del del resi resist stor or con con la variación en la frecuencia de la señal de entrada. 2. Estudiar Estudiar el comport comportamien amiento to del ángulo ángulo de desfase desfase entre entre el voltaje voltaje de la fuente y la corriente del circuito con la variación en la frecuencia de la señal de entrada. 3. Obtener Obtener experime experimentalme ntalmente nte la frecuen frecuencia cia media media potencia potencial. l.
Equipo
1. Gene Genera rado dorr de señ señal ales es 2. Digitalizador de señales.
3. Dete Detect ctor or de de vol volta taje je.. 4. Caja Caja de sustitu sustitució ción n de resist resistenc encias ias.. 5. Caja Caja de sustitu sustitució ción n de capac capacita itanci ncias as 6. Bobina.
Respuesta a la frecuencia – primera parte Objetivos
En esta práctica se desea estudiar la influencia de la frecuencia suministrada por una fuente de voltaje senosoidal de amplitud constante sobre los circuitos RC serie y RL serie. Específicamente:
1. Es Estu tudi diar ar el comp compor orta tami mien ento to del del volt voltaj aje e a trav través és del del resi resist stor or con con la variación en la frecuencia de la señal de entrada. 2. Estudiar Estudiar el comport comportamien amiento to del ángulo ángulo de desfase desfase entre entre el voltaje voltaje de la fuente y la corriente del circuito con la variación en la frecuencia de la señal de entrada. 3. Obtener Obtener experime experimentalme ntalmente nte la frecuen frecuencia cia media media potencia potencial. l.
Equipo
1. Gene Genera rado dorr de señ señal ales es 2. Digitalizador de señales.
3. Dete Detect ctor or de de vol volta taje je.. 4. Caja Caja de sustitu sustitució ción n de resist resistenc encias ias.. 5. Caja Caja de sustitu sustitució ción n de capac capacita itanci ncias as 6. Bobina.
Trabajo previo
1. Haga las las gráficas gráficas cualitati cualitativas vas de las funcion funciones es Φ(ω) Φ(ω) dadas dadas en (12) y (13) (13) del manual de laboratorio. Incluya los casos límite ω→0 y ω→∞
2. Repita lo anterior para VR(ω) expresadas en (14) y (15)
3. ¿Qué significa “frecuencia de media potencia (f 1/2)? ¿Cuáles son las
expresiones de f 1/2 para los circuitos RC y RL?
f 1/2 es la frecuencia requerida para que la potencia sea l a mitad de su máximo
RC:
RL:
f 1 / 2
=
f 1 / 2
=
1 2π RC
R
2π L
Marco Teórico
a. Circuito RLC
Un circuito RLC es aquel conformado por un resistor, un capacitor y un inductor, para efectos de este laboratorio nos interesa cuando este es alimentado por una fuente de voltaje senosoidal de voltaje pico Eo y frecuencia f. Este circuito se puede analizar por medio de la ley de voltajes de Kirchhoff, obteniendo la ecuación: L
di dt
+ Ri +
q C
= e( t )
(1)
Aquí i(t) es la corriente instantánea que pasa por el circuito, q(t) la carga almacenada en el capacitor y e(t) la tensión instantánea de la fuente que tiene la forma: e( t )
= E o sen( ω t )
(2)
Donde ω = 2πf es la frecuencia angula.
Estos circuitos serán analizados por medio de diagramas fasores, los cuales son vectores representados por flechas abiertas que giran alrededor del origen con una velocidad angular constante. Las propiedades de los fasores son:
•
Su longitud es proporcional al valor máximo de la magnitud alternante en cuestión
•
La proyección desde un fasor en el eje vertical nos da el valor instantáneo de la magnitud alternante en cuestión
b. Diagrama fasorial de un circuito con resistor R
Para este primer caso la ecuación (1) se disminuye a: R ⋅ i ( t )
=
e( t )
De la cual se puede obtener que
=
E o sen( ω t )
(3)
i ( t )
= I sen(4) ( ω t ) 0
De esta expresión se infiere que el fasor de la corriente y el de la fuente son colineales pues no presentan ángulo de desfase entre ellos.
Fasores asociados con el circuito del resistor
c. Diagrama fasorial del circuito con capacitor
Al igual que en el caso anterior par el análisis de este circuito se despeja la ecuación (1) que para este caso resulta: q ( t ) C
= E sen( ω t )
(5)
0
La cual al derivar, y utilizar 1/ωC = XC (reactancia capacitiva) obtenemos: i ( t )
=
E 0 π sen ω t + X C 0
(6)
Esta expresión nos permite concluir que el fasor de la fuente y el de la corriente se encuentran desfasados 90º, lo cual se puede expresar como que la corriente del circuito está adelantada con respecto al voltaje de la fuente.
Fasores asociados con el circuito del capacitor
El concepto señalado anteriormente de reactancia capacitiva representa la capacidad del capacitor de oponerse al paso de la corriente, lo cual es un papel semejante al que realiza un resistor de ahí que su unidad es el ohm. Además es importante destacar que esta se comporta de forma inversamente proporcional a la frecuencia, lo que implica que a altas frecuencias el capacitor es un buen conductor de corriente.
d. Diagrama fasorial de un circuito con un inductor
En este último caso se obtiene de la ecuación (1) L
di ( t ) dt
= E o sen( ω t )
(7)
Integrando y utilizando ωL=XL (reactancia inductiva) obtenemos: i ( t )
=
E o X L
sen ω t −
π
2
(8)
Donde se puede observar que la fuente se encuentra desfasada de la corriente -90º, lo cual se puede traducir como que la corriente en el circuito está atrasada con respecto al voltaje de la fuente.
El término reactancia inductiva representa la propiedad del inductor de oponerse al paso de la corriente y al igual que la reactancia capacitiva posee unidad de ohm.
Además
es
directamente
proporcional a la frecuencia, de lo que concluimos
que
a
mayor
frecuencia
mayor reactancia. Fasores asociados con el circuito del inductor
e. Circuitos RC y RL
Ahora se analizará tanto el circuito RL como el RC por el método de fasores, para lo cual se suman las contribuciones de las caídas de voltaje fasorialmente. En estos casos se incluye la contribución del resistor por lo que Eo ya no es
colineal con VR, sino que esta separado por un ángulo Φ, denominado ángulo de desfase de la fuente con respecto a la corriente. El valor de Φ es negativo para el circuito RC y positivo para el RL.
Por medio de triángulos rectángulos se puede hallar expresiones para Φ definidos por VR y Eo para ambos circuitos:
a. RC:
tan φ = −
V c V Rtot
=−
X C I o Rtot I o
=−
1 ⇒ φ ( ω ) = − tan −1 ω Rtot C ω R C tot 1
(9)
b. RL: tan φ =
V L V Rtot
=
X L I o Rtot I o
=
ω L ⇒ φ ( ω ) = tan −1 Rtot Rtot ω L
(10)
Fasores asociados con los circuitos en estudio: izquierda RC; derecha RL.
Ahora la caída de potencial en el resistor se obtiene aplicando la siguiente fórmula:
a. RC:
V R ( ω )
RE 0
=
2
2 tot
R
b. RL:
V R ( ω )
=
1 + ω C
(11)
RE 0 2 + ( ω L) Rtot
2
(12)
Procedimiento
Circuito RC: a. Arme el circuito de la figura 7 del manual de prácticas. Seleccione: R =
12 kΩ, C = 0.033 μF, Eo = 6 V y f generador = 50 Hz.
b. Conecte el sensor de voltaje del canal A, del digitalizador de señales,
entre los terminales de la resistencia y los terminales del sensor del voltaje del canal B entre los terminales de la fuente.
c. Busque la práctica correspondiente en el DATAESTUDIO.
d. Proceda a variar la frecuencia del generador de modo que V R vaya
tomando los valores: = 0.5, 1.0, 1.5, 2.0,… V hasta tratar de alcanzar los 6 V( no sobrepase el valor de 10 kHz en frecuencia).
e. Asegúrese que el voltaje pico de la señal de entrada se mantenga
constante. Lleve el registro del periodo experimental de la señal de entrada (T) y calcule su frecuencia experimental f = 1/T. Tome simultáneamente las medidas necesarias para medir el ángulo de desfase.
f. Elabore las gráficas VR vs. f y Φ vs. f por separado. Use un eje
logarítmico para la frecuencia. Señale en sus gráficas el punto correspondiente a la frecuencia de media potencia.
Circuito RL
a. Arme el circuito de la figura 8 del manual de laboratorio. Seleccione: R =
2 kΩ, E0 = 6 V y f generador = 50 Hz. Recuerde que L = 840 mH.
b. Conecte el sensor de voltaje del canal A entre los terminales de la
resistencia y los terminales del sensor del voltaje del canal B entre los terminales de la fuente.
c. Busque la práctica correspondiente en el DATAESTUDIO.
d. Proceda a variar la frecuencia del generador de modo que V R vaya
tomando los valores: = 5.5, 5.0, 4.5, 4.0,… V hasta tratar de alcanzar los 0 V( no sobrepase el valor de 10 kHz en frecuencia).
e. Asegúrese que el voltaje pico de la señal de entrada se mantenga constante. Realice las mismas medidas que para el circuito anterior.
f. Elabore las gráficas VR vs. f y Φ vs. f por separado. Use un eje
logarítmico para la frecuencia. Señale en sus gráficas el punto correspondiente a la frecuencia de media potencia.
Resultados
Tabla 1.1.: Datos generales aplicados al circuito RC.
E (V)
C(μF)
R
RTot
F1/2
5,92±0,01
0,033
12000
12178,200
396,025
Tabla 1.2.: Datos obtenidos del circuito RC. T(s)
f(Hz)
VR,exp(V)
VR,teo(V)
%Error V
A(V)
B(V)
Φ Exp(rad)
Φ teo(rad)
0,0130 0,0100 0,0069 0,0054 0,0043 0,0034 0,0027 0,0016 0,0004
76,92 100,00 144,93 185,19 232,56 294,12 370,37 625,00 2325,58
1,13 1,49 2,04 2,50 3,00 3,50 4,00 4,99 6,01
1,13 1,45 2,03 2,50 2,99 3,53 4,04 4,99 5,83
0,24 2,94 0,40 0,17 0,21 0,71 0,95 0,08 3,12
16,50 16,50 15,90 15,60 15,00 14,00 13,50 12,00 8,20
17,00 17,00 16,40 16,80 16,80 17,00 17,00 16,90 16,80
-1,33 -1,33 -1,32 -1,19 -1,10 -0,97 -0,92 -0,79 -0,51
-1,39 -1,38 -1,32 -1,22 -1,13 -1,04 -0,93 -0,82 -0,56
Gráfico 1.: Ángulo de desfase en función de la frecuencia para el circuito RC.
%Error Φ 4,32 3,72 0,02 2,41 2,62 6,94 1,55 3,58 9,72
Gráfico 2.: Voltaje en función de la frecuencia para el circuito RC.
Tabla 2.1.: Datos generales aplicados al circuito RL. E (V)
L(mH)
R
RTot
F1/2
6,0±0,1
840
2000
2249,6
426,2321
Tabla 2.2.: Datos obtenidos del circuito RL.
T(s)
f(Hz)
VR,exp(V)
VR,teo(V)
0,0046 0,0026 0,0017 0,0011 0,0009 0,0004 0,0002 0,0001
217,39 384,62 588,24 909,09 1176,47 2380,95 4347,83 8695,65
5,51 4,50 3,50 2,50 2,01 1,00 0,50 0,00
5,36 4,47 3,53 2,56 2,05 1,06 0,59 0,29
%Error A(V) V 2,74 0,68 0,91 2,17 1,97 5,73 14,87 14,13
8,10 12,00 14,00 15,60 16,10 16,70 16,40 15,50
B(V)
Φ Exp(rad)
Φ teo(rad)
16,80 16,80 16,80 16,80 17,00 17,10 16,60 15,60
0,50 0,80 0,99 1,19 1,24 1,35 1,42 1,46
0,52 0,79 1,00 1,18 1,26 1,41 1,48 1,53
Gráfico 3.: Ángulo de desfase en función de la frecuencia para el circuito RL.
%Error Φ 3,41 0,35 1,34 1,25 1,21 4,17 4,61 4,57
Gráfico 4.: Voltaje en función de la frecuencia para el circuito RL.
Análisis de resultados
Como se observa en las tablas 1 y 2, donde se encuentran anotados los datos obtenidos de un circuito RC y un circuito RL respectivamente y de donde se construyeron
las graficas que aparecen posterior a cada tabla;
para
diferentes valores en la frecuencia del generador, se producen diferentes valores de voltaje no lineales, que para el caso RC estos cambios son crecientes y para el caso RL son decrecientes. Además que los valores de voltajes experimentales y teóricos presentan muy pocas diferencias, o sea los porcentajes de error son muy pequeños. Lo que también se aprecia con respecto a la variación del ángulo de desfase teórico y experimental; lo que deduce un buen desempeño en la toma de datos dado en el experimento practicado. En la gráfica 2, como era de esperarse, se nota que conforme aumenta la frecuencia se aumenta el valor del voltaje en el resistor, esto tanto en los valores experimentales como en los teóricos. En cambio en la gráfica 4, se observa el comportamiento contrario para el circuito RL, donde conforme se aumenta la frecuencia del generador, se tiende a disminuir la diferencia de voltaje presente en el resistor. Luego en las cuatro graficas, se puede notar que los valores experimentales presentan variaciones muy pequeñas con respecto a los teóricos, lo que se sustenta con el bajo porcentaje de error obtenido en el muestreo de datos para los diferentes circuitos. En la gráfica 1 se observa que para el caso del circuito RC al aumentar la frecuencia disminuye el valor del ángulo de fase. Y en la gráfica 3, que corresponde al circuito RL, al aumentar la frecuencia se presenta un aumento del ángulo de fase. Esto sustenta la teoría y demuestra el modelo físico aplicado a estos circuitos. Como se observa al aplicar un eje logarítmico en la gráfica a los valores de la frecuencia se logra apreciar una relación aproximadamente lineal tanto en el crecimiento como en el decrecimiento en las situaciones antes citadas. Y también, que la frecuencia de media potencia recae aproximadamente en el voltaje RMS (esto es a 4,19 V para el RC y 4,24 para el RL) en la curva de voltaje con respecto a la frecuencia del generador tanto en el circuito RC como en el circuito RL, lo que indica que equivale a la mitad de la potencia disipada en el receptor como indica la teoría.
Pero al final, aunque los bajos índices de error en la comparación de los voltajes y los ángulos de desfase indican un buen desempeño, se obtuvo errores debido a la mala toma de datos obtenidos por el programa DataStudio y al mal uso de los instrumentos.
Cálculos matemáticos
•
ω = 2π f Ejemplo:
• V R ( ω )
ω
=
ω
=
ω
=
f 2π 2π ( 217.39) 1365.90rad / s
RE 0
=
2
2 tot
R
1 + ω C
Ejemplo:
V R ( ω )
RE 0
=
2
2 tot
R V R ( ω )
=
1 + ω C
(12000)( 6) 2
1 (12178.20) + − 6 ( 628.32) ( 0.033 × 10 ) 2
V R ( ω )
•
V R ( ω )
=
= 1.45V
RE 0 2 + ( ω L ) Rtot
2
Ejemplo:
RE 0
V R ( ω )
=
V R ( ω )
=
V ( ω )
= 5 36V
2 + ( ω L ) Rtot
2
( 2000 )( 6) ( 2249.6) 2 + ( (1365 .90) (840 × 10 −3 ) )
2
•
φ ( ω )
1 = − tan −1 ω Rtot C
Ejemplo:
1 = − tan −1 ω R C tot 1 φ ( ω ) = − tan −1 − 6 ( 628.32)(12178.20) ( 0.033 × 10 ) φ ( ω ) = −1.38rad φ ( ω )
•
φ ( ω )
ω L = tan −1 Rtot
Ejemplo:
ω
•
φ exp
Rtot −3 −1 (1365.90 ) ( 840 × 10 ) = tan
A = arcsen B
Ejemplo:
φ exp φ exp φ exp
Cuestionario
A = arcsen B 8.10 = arcsen 16 . 80 = 0.50rad
9 .6 )
1. Dibuje un diagrama del circuito que emplearía para medir el ángulo de fase entre el voltaje de entrada y el voltaje a través del capacitor en el circuito RC.
2. Estos circuitos se pueden denominar “filtro paso bajo” y “filtro paso alto”. ¿A cuál corresponde el circuito RC y el RL?
El circuito RC corresponde al “filtro paso alto” y el circuito RL corresponde al “filtro paso bajo”.
3. ¿Cómo luciría cualitativamente la gráfica de Vc vs. ω en el RC? ¿Y la
gráfica VL vs.ω en el RL?
Gráfica VC vs w en el RC: 6
5
4
3
2
1
20000
Gráfica VL vs w en el RL:
40000
60000
80000
100000
6
5
4
3
2
200
400
600
800
4. ¿Qué se puede decir de la concordancia teória-experimento entre los
valores de f 1/2?
Según el experimento realizado y sus resultados, se puede decir que la frecuencia de media potencia obtuvo una gran concordancia entre la teoría y el experimento, esto debido a que se apreció que su valor se situaba en aproximadamente el valor RMS del voltaje aplicado por la fuente, además del poco error generado en todo el experimento.
Conclusiones
•
En un circuito RC al aumentar el valor de la frecuencia del generador el valor del voltaje en el resistor también aumenta. Mientras en un circuito RL el valor del voltaje del resistor disminuye al aumentar la frecuencia del generador.
•
Con respecto al ángulo de fase entre la corriente y el voltaje en un circuito RC al aumentar el valor de la frecuencia disminuye el ángulo de fase, mientras que en el circuito RL se da lo contrario ya que al aumentar la frecuencia aumenta el ángulo de fase.
• Se logró obtener experimentalmente la frecuencia de media potencia que resultó ser 396 Hz para el caso del circuito RC y 426 para el caso del circuito RL.
Respuesta a la frecuencia – segunda parte
Objetivos
En esta práctica se desea estudiar la influencia de la frecuencia suministrada por una fuente de voltaje senosoidal de amplitud constante sobre un circuito RLC. Específicamente:
1. Estudiar el comportamiento del voltaje a través del resistor con la variación en la frecuencia de la señal de entrada. 2. Estudiar el comportamiento del ángulo de desfase entre el voltaje de la fuente y la corriente del circuito con la variación en la frecuencia de la señal de entrada. 3. Comparar las curvas de V R vs. f
y Φ vs. f para dos casos de
capacitancia distintas. 4. Obtener el valor experimental de la frecuencia de resonancia.
Equipo
1. Generador de señales. 2. Un detector de voltaje. 3. Un digitalizador de señales. 4. Caja de sustitución de resistencias. 5. Caja de sustitución de capacitancias.
6. Bobina
Trabajo previo
1. Demuestre las expresiones de la (2) a la (6). (Del folleto de prácticas de laboratorio).
•
•
ω L − 1 ω L ⇒ tan θ = V L − V c = X L I o − X c I o φ (ω ) = arctan R I o RT RT ω L − 1 ω L ⇒ φ = arctan RT
E o
zI o
=
E = V R i
V L
+
+
V c
=
E m sen(ω t )
i sen(ω t − φ )
= m
(
E m sen(ω t ) = Ri m sen(ω t − φ ) + X L i m sen ω t − φ + π E m sen(ω t ) = i m [ Rsen( ω t − φ ) + X L E m ⇒
•
i m sen(ω t )
=
R 2
⋅
+
( X L − X C ) 2
sen(ω t )
E m
z
i z
= m
X L
= ω L
X C
=
1 ω C
z = R 2 T + ( X L
− X C ) 2 2
⇒ z =
R
2
L − 1 T + ω ω C
= RI E = iz V R
•
i
=
E z
E
=
2
2 T
R
1 + ω L − ω C RE o
⇒ V R =
2
2 T
R
−
1 + ω L − ω C
X C ]
2
)
+
(
X c i m sen ω t − φ − π
2
)
2. Haga una gráfica cualitativa de V R vs. ω y Φ vs. ω
Marco Teórico
En esta segunda parte del laboratorio “Respuesta a la frecuencia” se analiza un circuito RLC enserie, el cual mediante la regla de la malla se puede describir como:
E = ∆V R
+ ∆V L + ∆V C
(1)
Conociendo que ΔVC = q/C y ΔVL = L di/dt la ecuación anterior se puede escribir diferencialmente como: E = L
di dt
+ Rtot i +
q C
(2)
Donde Rtot = R + Rgen + RL. Aplicando el método de fasores, explicado en la primera parte de este laboratorio, se observa que V L y VC están desfasados 180º por lo que el ángulo de desfase de la fuente y la corriente está dado por: Fasores asociados con el circuito RLC.
ω L − 1 ω C φ = arctan Rtot
(3)
Además obtenemos la relación directa entre corriente y el voltaje denotado por:
E = zI o
(4)
En esta ecuación z representa la impedancia la cual es la oposición al paso de corriente y cuya unidad es el Ohm.
La impedancia se utiliza cuando la corriente varia con el tiempo en cuyo caso la resistencia y la corriente se denotan por los números complejos, donde la parte real es la resistencia y la imaginaria representa la reactancia. Cuando el generador y la corriente tienen la misma frecuencia y sus amplitudes son
constantes, el sistema se encuentra en un estado estacionario y sus soluciones son senosoidales. El uso de la impedancia para la solución de circuitos se restringe a los de corriente alterna.
La expresión de la inductancia es: 2
z = R
2
L − 1 T + ω ω C
(5)
Ahora bien ahora despejando la corriente de (4) y usando VR= RIo se obtiene la ecuación para el voltaje del resistor:
V R
RE o
=
2
2 T
R
1 + ω L − ω C
(6)
Se puede notar la existencia dentro de la ecuación (6) de una frecuencia angular la cual se denomina frecuencia de resonancia del circuito y representa la máxima caída de voltaje en el resistor. En tal caso, se tiene que los fasores VL y VC tienen la misma magnitud y se cancelas, por lo que el circuito se comporta como uno totalmente resistivo.
Una consideración similar se puede hacer para el ángulo de desfase dado en (3). Cuando el circuito se encuentra en resonancia, se tiene Φ= 0 y el fasor de la fuente coincide con el fasor de corriente. Si el circuito no está en resonancia, dependiendo de los valores de ω, L y C, se puede tener Φ>0 o bien Φ<0.
Procedimiento
1.
Arme el circuito de la figura 1 del manual de laboratorio con los
siguientes parámetros: R = 1 kΩ, C = 0.33 μF y Eo = 6V. Recuerde que L = 840 mH. Conecte el canal A del digitalizador de señales a R y el canal B a Eo. Recopile la información en una tabla de datos cuyo encabezado se muestra continuación. Recuerde variar la frecuencia de modo que VR vaya tomando los valores 1.0, 2.0, 3.0, …, VRmax, …, 2.0, 1.0 V.
2.
Elabore las gráficas VR vs. f y Φ vs. f por separado. Use un eje
logarítmico para la frecuencia
3.
Señale en sus gráficas la frecuencia de resonancia f 0. Analice sus
resultados.
4.
Repita los puntos 1, 2 y3 para el mismo circuito pero cambiando
el valor de capacitancia a
0.33 μF. Construya las curvas sobre las
mismas gráficas de la parte anterior para hacer una buena comparación.
Resultados
Tabla 1.1.: Datos obtenidos del circuito RLC con una capacitancia de 0,33 uF. E (V)
C(μF)
L (H)
R (Ω)
RL (Ω)
FO (Teórico Hz)
5,92±0,01
0,33
0,840
1000
1063,3
302,29
Tabla 1.2.: Datos obtenidos del circuito RLC con una capacitancia de 0,33 uF. T(s)
f(Hz)
VR,exp(V)
VR,teo(V)
%Error V
A(V)
B(V) Φ Exp(rad) Φ teo(rad) %Error Φ
8,5E-04 1,6E-03 2,0E-03 2,5E-03 2,9E-03 3,4E-03 4,0E-03 4,6E-03 5,5E-03 7,4E-03 1,4E-02
1176,47 645,16 500,00 400,00 344,83
1,00 2,00 3,00 4,00 5,00
1,02 2,10 3,03 4,30 5,25
295,00
5,47
5,63
250,00 217,39 181,82 135,14 74,07
5,00 4,00 3,00 2,00 1,00
4,90 3,98 3,00 1,97 0,97
1,733 4,588 0,827 6,895 4,689 2,803 2,141 0,620 0,041 1,575 3,527
16,5 16,0 14,4 12,0 7,4 2,0 7,6 12,0 15,0 16,0 16,8
16,6 16,8 16,8 16,8 16,8 16,8 16,8 16,8 16,8 16,8 17,2
1,389 1,190 1,005 0,705 0,377 -0,073 -0,521 -0,789 -1,010 -1,214 -1,399
1,461 1,261 1,030 0,796 0,456 -0,119 -0,469 -0,796 -1,104 -1,261 -1,355
Gráfico 1.: Voltaje en la resistencia contra la Frecuencia 6,0
Voltaje Resistivo Teórico con 0,33 uF
5,5 5,0 ( 4,5 e4,0 j a3,5 t l o3,0 V
Voltaje Resistivo Experimental con 0,33 uF
2,5 2,0 1,5 1,0
-50
100 250 400 550 700 850 1000 1150 1300 Frecuencia (Hz)
5,147 5,945 2,457 12,791 20,905 63,171 9,832 0,827 9,273 3,837 3,150
Gráfico 2.: Ángulo de Desfase contra la Frecuencia 1,5 1,2
Ángulo de desfase Teórico con 0,33 uF
0,9
e s a 0,6 f s e 0,3 D e 0,0 d o -0,3 l u g -0,6 n Á-0,9
0
150 300 450 600 750 900 1050 1200
Ángulo de desfase Experimental con 0,33 uF
-1,2 -1,5
Frecuencia (Hz)
Tabla 2.1.: Datos obtenidos del circuito RLC con una capacitancia de 0,033 uF. E (V)
C(μF)
L (H)
R (Ω)
RL (Ω)
6,00±0,01
0,033
0,840
1000
1063,3
FO (Teórico Hz) 955,92
Tabla 2.2.: Datos obtenidos del circuito RLC con una capacitancia de 0,033 uF. T(s)
f(Hz)
VR,exp(V)
VR,teo(V)
%Error V
A(V)
B(V) Φ Exp(rad) Φ teo(rad) %Error Φ
8,0E-04 8,5E-04 9,0E-04 1,0E-03 1,1E-03 1,1E-03 1,1E-03 1,2E-03 1,3E-03 1,4E-03 1,9E-03
1250,00 1176,47 1111,11 1000,00
1,00 2,00 3,00 4,00 5,00
2,04 2,54 3,23 5,19
51,0 21,2 7,1 22,9 11,3 6,2 1,8 16,6 22,6 5,5 7,9
15,3 15,1 13,8 9,2 1,8 3,4 6,0 12,6 13,8 15,8 16,4
16,2 16,4 16,4 16,4 16,4 16,4 16,2 16,4 16,4 16,4 16,6
952,38 937,00 909,09 833,33 769,23 714,29 526,32
5,20 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00
5,64 5,54 5,09 3,43 2,45 1,90 0,93
1,201 1,104 0,962 0,404 -0,035 -0,188 -0,445 -0,918 -1,122 -1,228 -1,406
1,236 1,170 1,000 0,596 -0,080 -0,209 -0,379 -0,876 -1,000 -1,299 -1,415
2,9 6,0 4,0 47,3 21,2 11,4 14,7 4,5 10,9 5,8 0,7
Gráfico 3.: Voltaje en la resisntencia contra la Frecuencia Voltaje Resistivo Teórico con 0,33 uF
6,0 5,5 5,0
Voltaje Resistivo Experimental con 0,33 uF
4,5 ( 4,0 e j a3,5 t l o V3,0
Voltaje Resistivo Teórico con 0,033 uF
2,5 2,0
Voltaje Resistivo Experimental con 0,033 uF
1,5 1,0
-50
100
250
400
550
700
850 1000 1150 1300
Frecuencia (Hz)
Gráfico 4.: Ángulo de Desfase contra la Frecuencia Ángulo de desfase Teórico con 0,33 uF
1,5 1,2 0,9 e s 0,6 a f s 0,3 e D e 0,0 d o -0,3 l u g -0,6 n Á
Ángulo de desfase Experimental con 0,33 uF 0
150 300 450 600 750 900 1050 1200
Ángulo de desfase Teórico con 0,033 uF Ángulo de desfase Experimental con 0,033 uF
-0,9 -1,2 -1,5
Frecuencia (Hz)
Análisis de Resultados
Con la tabla 1.2, correspondiente a un circuito
RLC con una
capacitancia de 0.33μF, se percibe que conforme hacemos aumentos en la frecuencia se producen aumentos en el valor del voltaje de la resistencia hasta alcanzar un punto máximo y al continuar estos aumentos en la frecuencia comienza a decaer como lo expone la teoría. En la gráfica 1 se observa que el valor máximo del voltaje experimental en la resistencia es de 5,47 V acorde con la fuente a una frecuencia de 295 Hz, esto debido a errores en la medición y exactitud en los datos a la hora de tomarlos, pero que no generan un error porcentual muy grave. Se perciben que existe un rango de valores en la frecuencia que producen incrementos otro que producen decrecimientos en el voltaje, los cuales están separados por un valor de frecuencia que da la máxima magnitud de voltaje.
Con respecto al ángulo de desfase experimental se observa en la gráfica 2 un comportamiento inversamente proporcional a la frecuencia en una parte y directamente proporcional en otra, es decir, conforme aumenta la frecuencia disminuye el ángulo de desfase desde –1,5 rad hasta llegar a cero (en f = 295 Hz) y al seguir aumentando la frecuencia a partir del ángulo de desfase experimental mínimo ( que se observa localizado en cero) este empieza a aumentar; esto entonces decrece exponencialmente al aumentar la frecuencia y crece exponencialmente a partir del aumento de su frecuencia partiendo del mínimo. Y también se aprecia que conforme se acerca al estado de resonancia, el porcentaje de error entre los ángulos de desfase (el teórico y el experimental) aumenta considerablemente.
Con respecto a la tabla 2.2, se observa un comportamiento idéntico al anterior, en donde al aumentar la frecuencia llega a un valor máximo VR y a partir de ahí empieza a decrecer. En este experimento el punto máximo de frecuencia: 937 Hz, anda un poco más lejano al teórico que es 956 Hz y que presenta esta amplia diferencia por errores de precisión y apreciación a la hora de tomar datos. Pero los porcentajes de error entre los datos se mantienen inferiores al 5% lo que indica una aceptable obtención de datos con respecto a
la teoría. Y con respecto al gráfico 3 se observa que entre menor es la capacitancia, más desplazado hacia la derecha (o sea que el punto de resonancia ocurre a mayores frecuencias lo que concuerda con la teoría y demuestra la proporcionalidad inversa de la reactancia capacitiva), lo cual se debe a que a mayores reactancias capacitivas, mayor es la impedancia de circuito y por ende se requiere una mayor frecuencia forzada para llevar a igualar la frecuencia natural del circuito RLC.
Con respecto al gráfico 4 se observa que el ángulo experimental crece desde –1,5 rad al aumento de la frecuencia y llega a cero en la frecuencia de resonancia dado por 937 Hz y empieza a aumentar. Lo cual muestra el mismo comportamiento de la gráfica 2. Dado por la comparación de ambas gráficas se aprecia que el punto donde ambas se hacen cero resulta estar muy aproximado por su frecuencia de resonancia y por lo tanto se aprecia que conforme disminuye la capacitancia del sistema, la curva de desfase se desplaza hacia la derecha. En cambio en la gráfica 3, se aprecia que la amplitud del voltaje tiende a ser parecidos y que la diferencia principal es que en ambos el pico máximo recae en la frecuencia de resonancia, por lo tanto entre menor es la capacitancia, mas a la derecha se desplaza el ancho de banda permitido por el circuito.
Cálculos matemáticos
•
ω L − 1 ω C φ = arctan Rtot
Ejemplo:
•
V R
ω L − 1 ω C φ = arctan Rtot 1 ( 7391.85) (840 × 10 −3 ) − −6 ( 7391.85) ( 0.033 × 10 ) φ = arctan 1063.30 φ = 1.389rad
RE o
=
2
2 T
R
1 + ω L − ω C
Ejemplo:
V R
RE o
=
2
2 T
R V R
=
1 + ω L − ω C
(1000)( 6) 2
1 (1063.3) + ( 7391.85) ( 840 × 10 −3 ) − − 6 × ( ) ( ) 7391 . 85 0 . 033 10 2
V R
•
φ exp
= 1.02V
A = arcsen B φ exp φ exp
Cuestionario
φ exp
A = arcsen B . = arcsen . = .
Ejemplo:
1. Si los circuitos RC y RL se denominan paso alto y paso bajo, ¿Cómo llamaría al circuito RLC?
La combinación de ambos tipos de filtro es lo que se conoce como un filtro pasa banda o un atrapa banda.
En estos últimos, la región entre las dos
frecuencias de esquina se conoce como banda de paso, y la región fuera de la banda de paso se conoce como banda de supresión. Por lo tanto se le llamaría al circuito RLC un filtro pasa banda si esta en serie y un filtro atrapa banda si esta en paralelo.
2. ¿En que se diferencian las curvas Φ(ω) para los dos casos de capacitancia?
En que el punto donde se hacen cero se ha desplazado debido a que al cambiar el valor de la capacitancia, se modifica el valor de la frecuencia de resonancia. Pero su comportamiento se mantiene.
3. ¿En qué se diferencian las curvas VR(ω) para los dos casos de
capacitancia? ¿ Puede Ud. Ahora explicar cuál es el principio de operación de un detector de canales de radio o televisor con base en esto?
La diferencia principal entre las curvas de VR(ω) es que el punto donde recae el máximo se ha desplazado de la primera curva hacia la derecha en la segunda curva. Esto debido a que su máximo voltaje se localiza en la frecuencia de resonancia y por lo tanto al variar la capacitancia, la posición de esta varía al variar la frecuencia de resonancia. Pero en sí, el comportamiento de ambas curvas y aproximadamente su máximo voltaje se mantienen iguales. Esto permite que en un selector de estaciones de radio, al modificar la impedancia de la antena haga que el circuito de esta entre en resonancia para determinadas frecuencias que serán las correspondientes a la estación radial que se consiga escuchar, y así funciona un selector de canales.
Conclusiones
•
El voltaje máximo se alcanza a la frecuencia de resonancia.
•
El voltaje es afectado por la frecuencia del generador, en aumentos de frecuencia que no sobrepasen a la frecuencia de resonancia se producen aumentos en el voltaje y para valores mayores a la frecuencia de resonancia se originan disminuciones en el voltaje.
•
Se logró comprobar que al aumentar la frecuencia en ángulo de desfase disminuye hasta llegar a un mínimo en cero, esto cuando se esta en presencia de frecuencia de resonancia. Luego pasando este punto al valor del ángulo de desfase aumenta conforme aumenta la frecuencia.
•
Se puede demostrar que la frecuencia de resonancia esta directamente relacionado con la capacitancia, así pues si la capacitancia disminuye la frecuencia de resonancia aumenta, o sea que son inversamente proporcionales.
Bibliografía
