Respuesta de un sistema a entrada sinusoidal La respuesta de un sistema lineal de coeficientes constantes a una entrada sinusoidal es una señal sinusoidal de la misma frecuencia que la entrada. Sin embargo la magnitud y la fase de la señal de salida difieren de las de señal de entrada, siendo tal diferencia una función de la frecuencia de entrada. La respuesta en frecuencia de un sistema se define como la respuesta del sistema en estado estacionario a una señal sinusoidal de entrada. La sinusoide es una señal de entrada única, y la señal de slida resultante para un sistema lineal, al igual que las señales a través del sistema, es sinusoidal en el estado estacionario; difiere de la forma de la onda de entrada solamente en amplitud y angulo de fase. La señal de salida en estado estacionario depende solo de la magnitud y de la fase T(jw) a una frecuencia w especifica. En el límite para y(t), se obtiene, para t
∞ (el estado estacionario),
y(t)= A|T(jw)|sen (wt+Φ), donde Φ= T(jw). Por lo tanto, la señal de salida en estado estacionario depende solo de la magnitud y de la fase T(jw) a una frecuencia w especifica. la respuesta en estado estacionario, como es descrita en la ecuaion anterior, es solo cierta para sistemas T(s) estables. Una ventaja del método de la respuesta de frecuencia es la fácil disponibilidad de señales de prueba sinusoidales para diversos intervalos de frecuencia y amplitudes. Por esto, se realiza fácilmente la determinación experimental de la resouesta de frecuencia de un sistema y es el método
mas seguro y sencillo para el análisis experimetal de un sistema. Frecuentemente, la función de transferencia desconocida de un sistema puede deducirse a partir de su respuesta en frecuencia determinada experimentalmente. Además, el diseño de un sistema en el dominio de la frecuencia proporciona al diseñador un control del ancho de banda y alguna medida de la respuesta del sistema a ruidos y perturbaciones que no son deseados. Una segunda ventaja en este método es que puede obtenerse la función de transferencia que describe el comportamiento sinusoidal en el estado estacionario de un sistema reemplazando s por jw en la función de transferencia del sistema T(s). la función de transferencia que representa el comportamiento sinusoidal en el estado estacionario de un sistema es, entonces, una función de la variable compleja jw y de su propia función compleja T(jw) que tiene una magnitud y un angulo de fase. la magnitud y el angulo de fase T(jw) se representa fácilmente mediante graficas que proporcionan un conocimiento significativo para el análisis y diseño de sistemas de control. La principal desventaja que se encuentra en este método para el análisis y diseño es el vinculo indirecto entre los dominios del tiempo y de la frecuencia. Las correlaciones directas entre las caracteristics de la respuesta en frecuencia y las correspondientes características de la respuesta transitoria son algo débiles y, en la practica, la característica de la respuesta de frecuencia se ajusta usando criterios de diseño que normalmente dan como resultado una respuesta transitoria satisfactoria. Medidas de la respuesta en frecuencia Los métodos de medición de respuesta en frecuencia en general son simples y pueden ser efectuadas con exactitud usando generadores de señales senoidales fáciles de obtener y precisos.
Por lo general se pueden determinar experimentalmente, las funciones de transferencia de componentes complicados en prueba de respuesta de frecuencia. Además, el método de respuesta de frecuencia tiene la ventaja de que se puede diseñar un sistema de manera que los efectos del ruido indeseables sean despreciables, y de que ese análisis y diseño pueda extenderse a ciertos sistemas de control no lineales. Obtener la frecuencia de respuesta es importante puesto que proporciona medios convenientes para obtener la respuesta en el estado estable para cualquier sistema lineal sujeto a una señal senoidal. La medición de la respuesta en frecuencia de un lazo abierto en un sistema de control puede ser realizada empleando una onda sinusoidal, esto debido a que, en la practica se obtendrían graficas de amplitud frente a la frecuencia y fase frente a la frecuencia. Entonces partiendo de dichas graficas se puede deducir la función de transferencia de lazo abierto GH(jw). Al igual, es posible obtener la respuesta en frecuencia de lazo cerrado de un sistema de control, T(jw), y deducir la función de transferencia real. Existe un dispositivo capaz de medir las variaciones de fase y de amplitud a medida que varia la frecuencia de la onda sinusoidal de entrada, el cual es denominado analizador de ondas. Además existe el analizador de función de transferencia, que tiene como función la medición de funciones de transferencia de lazo abierto y cerrado. Además de estos y otros dispositivos analizadores, la determinación de la función de transferencia se puede realizar a partir del diagrama de Bode, tal y como muestra la presente figura, en la cual se puede visualizar un sistema de lazo estable consistente de resistencias y condensadores.
Diagrama de Bode para un sistema con una función de transferencia no identificada. En el podemos observar que debido a que la magnitud disminuye en -20 dB/década a medida que w aumenta entre 100 y 1000 y, dado que la fase es -45° y la magnitud -3dB a 300 rad/s, se puede deducir que un factor es un polo en p1=300. Además se deduce que existe un par de ceros cuadráticos
con E = 0,16 en wn= 2450. En la figura (a) se muestran las asíntotas para el polo p1 y el numerador de la función de transferencia. Análisis de respuesta sinusoidal Los métodos de respuesta en frecuencia fueron desarrollados en los años 1930 y 1940 por Nyquist, Bode y Nichols, entre otros. Los métodos de respuesta en frecuencia son los más potentes en la teoría de control convencional. También son indispensables para la teoría de control robusto. En los métodos de respuesta de un sistema en estado estacionario a una entrada sinusoidal, la frecuencia de la señal de entrda se varia en un cierto rango, con el fin de analizar y estudiar la respuesta resultante para el análisis y diseño de sistemas de control. El resultado de la información obtenida por medio de este análisis es distinto al obtenido por el análisis del lugar de las raíces, con el cual mas bien se complementa, motivo que eleva la importancia del conocimiento de ambos métodos por parte de los ingenieros de control. Una de las principales ventajas del método de la respuesta en frecuencia es que se pueden utilizar los datos o información que se obtienen de las medidas sobre el sistema físico sin deducir su modelo matemático. En general el método de la respuesta en frecuncia son sencillas y pueden ser de gran precisión con la implementación de generadores de señales sinusoidales y un equipo de medición preciso, al momento de realizar las pruebas. A menudo las funciones de transferencia de los componentes complicados se determinan experimentalmente mediante pruebas de la respuesta en frecuencia. Además, este método tiene la ventaja de que
permite diseñar un sistema en el que se eliminen los efectos no deseados del ruido así como extender este análisis y diseño a ciertos sistemas de control no lineales. Al momento de diseñar un sistema de lazo cerrado, A menudo las funciones de
transferencia
de
los
componentes
complicados
se
determinan
experimentalmente mediante pruebas de la respuesta en frecuencia. Además, este método tiene la ventaja de que permite diseñar un sistema en el que se eliminen los efectos no deseados del ruido así como extender este análisis y diseño a ciertos sistemas de control no lineales. Presentación de las características de la respuesta en frecuencia de forma gráfica. La función de transferencia sinusoidal, función compleja de la frecuencia u, se caracteriza por su magnitud y ángulo de fase, con la frecuencia como parámetro. Por lo general se usan tres representaciones gráficas de las funciones de transferencia sinusoidales: 1. El diagrama de Bode o diagrama logarítmico: está formado por dos gráficas: una es la gráfica del logaritmo de la magnitud de la función de transferencia sinusoidal, y la otra es la gráfica del ángulo de fase; ambas se dibujan contra la frecuencia en escala logarítmica. 2. El diagrama de Nyquist o diagrama polar: El diagrama polar de una función de transferencia sinusoidal G( ju) es una gráfica de la magnitud de G( ju) con respecto al ángulo de fase de G( ju) en coordenadas polares, cuando u varía de
cero a infinito. Por tanto, el diagrama polar es el lugar geométrico de los vectores _G( ju)_ G( ju) cuando u varía de cero a infinito. Obsérvese que, en las gráficas polares, los ángulos de fase son positivos (negativos) si se miden en el sentido contrario al de las agujas del reloj (en el sentido de las agujas) a partir del eje real positivo. El diagrama polar se denomina, a menudo, diagrama de Nyquist. La Figura 7-25 muestra un ejemplo de dicho diagrama. Cada punto en el diagrama polar de G( ju) representa el punto terminal de un vector en un valor determinado u. En el diagrama polar, es importante mostrar la graduación de la frecuencia del lugar geométrico. Las proyecciones de G( ju) en los ejes real e imaginario son sus componentes real e imaginaria.
Una ventaja de utilizar un diagrama polar es que representa, en una sola gráfica, las características de la respuesta en frecuencia de un sistema en el rango de frecuencia completo. Una desventaja es que el diagrama no indica en forma clara la contribución de todos los factores individuales de la función de transferencia en lazo abierto. 3. El diagrama de magnitud logarítmico contra la fase (diagrama de Nichols): es un diagrama de la magnitud logarítmica en decibelios con respecto al ángulo de fase o margen de fase para un rango de frecuencia de interés. [El margen de fase es la diferencia entre el ángulo de fase real h y .180o; es decir, h.(.180o)%180o!h.] La curva se gradúa en función de la frecuencia u. Estos diagramas de la magnitud logarítmica con respecto a la fase se denominan diagramas de Nichols. Las ventajas del diagrama de magnitud logarítmica con respecto a la fase son que la estabilidad relativa del sistema en lazo cerrado se determina con rapidez y que la compensación se obtiene con facilidad.
Respuesta sinusoidal de régimen permanente Tiene dos objetivos principales de interés practico; en primer lugar muchos circuitos funcionan en régimen sinusoidal permanente (una o varias frecuencias) y, en segundo lugar que, en circuitos lineales señales no
sinusoidales pueden ser tratadas como combinaciones lineales de señales sinusoidales (principio de superposición). Representación gráfica de señales sinusoidales de régimen permanente. Variación con el tiempo de la señal (a: corriente, tensión) en un punto dado de un elemento de circuito
Variación con la distancia de la señal (a: corriente, tensión) en los puntos de un elemento de circuito en un instante dado
