Reduccionde Un Sistema de Fuerzar a Un Par

MECÁNICA VECTORIAL (ESTÁTICA). CAPÍTULO 3: CUERPOS RÍGIDOS. SISTEMAS EQUIVALENTES DE FUERZAS. REDU CCI ÓN D E UN SI STEM A D E F UE UER RZAS A UNA U NA F UE UER RZA Y UN PAR. PAR.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Octubre de 2015.

Capítulo 3. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerza.

Reducción de un sistema de fuerzas a una fuerza fu erza y un par.

3.5.- REDUCCIÓN DE UN SISTEMA DE FUERZAS A UNA FUERZA Y UN PAR. Cualquier sistema de fuerzas, sin importar que tan complejo sea, puede ser reducido a un sistema equivalente fuerza-par que actúa en un punto dado O. El sistema equivalente fuerza-par está definido por las ecuaciones R 

M RO

 F   M   (r  F )

(11) (12)

O

las cuales expresan que la fuerza R se obtiene sumando todas las fuerzas del sistema, mientras que el momento del vector de par resultante M RO , denominado momento resultante del sistema, se obtiene sumando los momentos de todas las fuerzas del sistema

con respecto a O. Una vez que un sistema de fuerzas dado se ha reducido a una fuerza y un par que actúa en el punto O, dicho sistema puede reducirse a una fuerza y un par actuando en cualquier otro punto O´. Mientras que la fuerza resultante permanecerá inalterada, el nuevo momento resultante M RO´ será igual a la suma de M RO y el momento con respecto a O´de la fuerza R unida a O. Entonces se tiene M O `  M 0  s  R R

R

(13)

Sistemas equivalente de fuerzas. Dos sistemas de fuerzas son equivalentes si pueden ser reducidos al mismo sistema fuerza par en un punto dado O. Dos sistemas de fuerzas F 1, F 2, F 3,… y F y F 1´, F 2´, F 3´,… que actúan sobre el mismo cuerpo rígido son equivalentes si, y sólo si, respectivamente, las sumas de las fuerzas y las sumas de los momentos con respecto a un punto dado O de las fuerzas de los dos sistemas son iguales.

 F   F ´  M   M ´ O

O

(14)

Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.

(15)

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127



Ejemplo 3.48. Ejemplo 3.8 del Beer-Johnston. Novena Edición. Una viga de 4.80 m de longitud está sujeta a las fuerzas mostradas en la figura. Redúzcase el sistema de fuerzas dado a: a) un sistema equivalente fuerza par en A, b) un sistema equivalente fuerza-par fuerza -par en B y c) una sola fuerza o resultante. Solución. Sistema equivalente fuerza-par en A. Fuerzas individuales (N): F 1  150 j

F 2  600 j

F 3  100 j

F 4  250 j

Fuerza resultante: F R  F 1  F 2  F 3  F 4

F R  (150 j )  (600 j )  (100 j )  (250 j ) F R  600 j

a) Suma de momentos en el punto A. M R A  150 (0)  600 (1.6)  100 (2.8)  250 (4.8) M R A  1880 N.m

b) Suma de momentos en el punto B. M R B  150 (4.8)  600 (3.2)  100 (2)  250 (0) M R B  1000 N.m

Este resultante también puede obtenerse mediante: M R B  M R A  r  F R M R B  1880 N.m  4.8 m  600 N Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.


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M R B  1000 N.m

c) Una sola fuerza o resultante. F R  600 j

Punto de ubicación de la fuerza resultante.

M R A  F R x

 1880  600 x x  3.13 m medidos desde el punto A.

En este caso para el cálculo del punto de aplicación de la resultante se tomó como referencia el punto A, pero también puede realizarse este cálculo tomando como referencia el punto B.

Ejemplo 3.49. Ejemplo 4.3 del Hibbeler. Décima Edición. Página 117.

Determine el momento resultante de las cuatro fuerzas que actúan sobre la barra mostrada en la figura.

Solución. Enfoque escalar. M O  50 (2)  60 (0)  20 (3 sen 30º )  40 (4  3 cos 30º ) M O  333.92 N.m



129


Reducción de un sistema de fuerzas a una fuerza y un par.


Tres fuerzas actúan sobre la barra mostrada en la figura. Determine el momento resultante que generan con respecto a O y calcule

los

ángulos

coordenados

de

dirección del eje de momento.

Solución.

El momento resultante en el punto O está dado por: M RO  r 1  F 1  r 2  F 2  r 3  F 3

Vector posición. Para definir el vector posición de todas las fuerzas, se requieren las coordenadas de los puntos A y B: A ( 0 , 5.0 )

B ( 4 , 5 ,  2 )

El vector de posición para cada fuerza es: r 1  5 j

r 2  5 j

r 3  4 i  5 j  2 k

F 2  50 j

F 3  80 i  40 j  30 k

Fuerzas individuales (lb): F 1  60 i  40 j  20 k


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130



Par resultante en A (Suma de momentos en el punto A). M RO 

i

j

k

i

j

k

i

j

0

5

0  0

5

0  4

5

 60 40 20

0 50

0

k

2 80 40  30

M RO  (100 i  300 k )  (0)  (70 i  40 j  240 k ) M RO  (30 i  40 j  60 k ) lb.ft

Módulo del momento resultante:

M RO  78.10 lb.ft

Dirección del momento resultante:

  67.41º

  120.80º

  39.80º


Reemplace las fuerzas que actúan sobre la pieza mostrada en la figura por una fuerza resultante y un momento de par equivalentes actuando en el punto A.

Solución. Las fuerzas se han designado como en la figura (a). Se descompuso la fuerza F 2 de 400 N en sus componentes rectangulares.

a)

b)

Fuerzas individuales (N): F 1  100 i Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.


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F 2  400 cos 45º i  400 sen 45º j  282.84 i  282.84 j F 3  600 j

Fuerza resultante: F 1  F 2  F 3 R  F

F R  (100i)  (282.84 i  282.84 j )  (600 j) F R  (382.84i  882.84 j ) N

Módulo de la fuerza resultante:

F R  962.28 N

Dirección de la fuerza resultante:

  66.56º

Suma de momentos en el punto A. M R A  100 (0)  400 sen 45º (0.8)  400 cos 45º (0.3)  600 (0.4) M R A  551.13 N.m

En la figura b) se muestra la fuerza resultante actuando en el punto A y el momento resultante en el punto A.

Ejemplo 3.52. Problema 2/9 del Meriam.

Determinar la resultante de las cuatro fuerzas y un par que actúan sobre la placa mostrada.



132



Ejemplo 3.53. Problema 4.5 del Bedford.

Dos fuerzas de igual magnitud F se aplican a la llave como se muestra. Si se requiere un momento de 50 N.m para aflojar la tuerca, cual es el valor necesario de F?

Solución. Respuesta: 81.1 N.

Ejemplo 3.54. Ejemplo 3.10 del Beer-Johnston. Novena Edición.

Tres cables están unidos a una ménsula, como se muestra en la figura. Reemplace las fuerzas que ejercen los cables por un sistema equivalente fuerza-par en A.

Solución. Las fuerzas se han designado como en la figura. También se ilustran los vectores posición para la determinación del momento de cada fuerza.



133



Vector posición. Para definir el vector posición de todas las fuerzas, se requieren las coordenadas de los puntos A, B, C y D. Adicionalmente, para definir la fuerza F 3 se requiere conocer las coordenadas del punto E. A ( 0 , 0.1, 0 )

B ( 0.075, 0.1, 0.05 )

C ( 0.075, 0.1,  0.05 ) D ( 0.1, 0 , 0 )

E ( 0.15 , 0.05 , 0.1)

El vector de posición para cada fuerza es: r 1  0.075 i  0.05 k

r 2  0.1 i  0.1 j

r 3  0.075 i  0.05 k

Fuerzas individuales (N): F 1  1000 cos 45º i  1000 sen 45º k  707.11i  707.11k F 2  1200 cos 60º i  1200 sen 60º j  600 i  1039.23 j

F 3  F 3 u BE

u BE : vector unitario de la dirección de la fuerza.

Vector BE: BE  0.075 i  0.15 j  0.05 k

Módulo del vector BE: BE  0.175

 0.075 i  0.15 j  0.05 k    300 i  600 j  200 k 0 . 175  

F BE  700 

Fuerza resultante: Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.


134



F R  F 1  F 2  F 3

F R  (707.11i  707.11k )  (600 i  1039.23 j )  (300 i  600 j  200 k )

F R  (1607.11i  439.23 j  507.11k ) N F R  1741.52 N

Módulo de la fuerza resultante: Dirección de la fuerza resultante:



 22.66º

  75.39º

  106.93º

Par resultante en A (Suma de momentos en el punto A). M R A  r 1  F 1  r 2  F 2  r 3  F 3 i M R A  0.075

j

k

i

j

k

i

j

k

 0.05  0.1  0.1 0  0.075 0 0.05 707.11 0  707.11 600 1039.23 0 300  600 200 0

M R A  (17.68 j )  (163.92 k )  (30 i  45 k ) M R A  (30 i  17.68 j  118.92 k ) N.m

Módulo del par resultante: Dirección del par resultante:

M R A  123.91 N.m 

 75.99º

  81.80º

  16.32º


Un miembro estructural está sometido al momento de un par M y a las fuerzas F 1 y F 2. Reemplace este sistema por una fuerza resultante equivalente y el momento de un par actuando en su base, en el punto O.

Solución. Momento resultante en el punto O. M RO  M C  r 1  F 1  r 2  F 2 Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.


135



Momento en el punto C. M C  500 ( 54 ) j  500 ( 53 ) k M C  400 j  300 k

Momento debido a las fuerzas individuales. Vector posición. Para definir el vector posición de todas las fuerzas, se requieren las coordenadas de los puntos B y C. B (  0.15 , 0.1,1)

C ( 0 , 0 ,1)

El vector de posición para cada fuerza es: r B  0.15 i  0.1 j  k

r C  k

Fuerzas individuales (N): F 1  800 k F 2  F 2 uCB

uCB: vector unitario de la dirección de la fuerza.

Módulo del vector CB: CB  0.1802

Vector CB: CB  0.15i  0.1 j

  0.15 i  0.1 j    249.72 i  166.48 j 0 . 1802  

F 2  300 

Fuerza resultante: F R  F 1  F 2

F R  (800 k )  (249.72 i  166.48 j ) F R  (249.72 i  166.48 j  800 k ) N

Módulo de la fuerza resultante: Dirección de la fuerza resultante:

F R  854.44 N 

 106.99º

  78.76º

  159.44º

Par resultante en O (Suma de momentos en el punto O). i M RO  400 j  300 k 

j

k

i

j

k

 0.15 0.1 1  0 0 1  249.72 166.48 0 0 0  800



136



M RO  400 j  300 k  (166.48 i  249.72 j )  (0) M RO  (166.48i  649.72 j  300 k ) N.m

Módulo del par resultante: Dirección del par resultante:

M R A  734.75 N.m 

 103.10º

  152.16º

  65.90º

Ejercicios propuestos. 105. Una viga de 4 m de longitud se somete a una variedad de cargas. a) Reemplace cada tipo de carga por un sistema equivalente fuerza-par en el extremo A de la viga. b) ¿Cuáles de las cargas son equivalentes?

(a)

(c)

(e)


(b)

(d)

(f)


137



(g)

(h)

Respuesta: a) F R = 600 N ↓, M = 1000 N.m; b) F R = 600 N ↓, M = – 900 N.m; c) F R = 600 N ↓, M = 900 N.m; d) F R = 400 N ↑, M = 900 N.m; e) F R = 600 N ↓, M = – 200 N.m; f) F R = 600 N ↓, M = 800 N.m; g) F R = 1000 N ↓, M = 1000 N.m; F R = 600 N ↓, M = 900 N.m; b)

Cargas c y h.

106. Una viga de 4 m de longitud se carga de la forma mostrada en la figura. Determine qué carga del problema 105 es equivalente a esta carga. Respuesta: Carga f.

107. Determine la fuerza sencilla equivalente y la distancia desde el punto A hasta su línea de acción para la viga y la carga de a) del problema 105b, b) del problema 105d, c) del problema 105e.

108. Cinco sistemas fuerza-par diferentes actúan en las esquinas de la placa de metal, que se ha moldeado en la forma que se muestra en la figura. Determine cuál de estos sistemas es equivalente a una fuerza F  (10 lb) i y a un par de momento M  (15 lb.ft) j  (15 lb.ft) k ubicado en el

origen. Respuesta: Sistema fuerza-par en D.

109. Los pesos de dos niños sentados en los extremos A y B de un balancín son 84 lb y 64 lb, respectivamente. Determine dónde debe sentarse un tercer niño si la resultante de las fuerzas de los pesos de los tres niños debe pasar por C, y si se sabe que el peso del tercer niño es a) 60 lb, b) 52 lb. Respuesta: a) 2.00 ft a la derecha de C; b) 2.31 ft a la Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.


138



derecha de C.

110. Tres lámparas de escenario se colocan sobre el tubo mostrado en la figura. El peso de las lámparas en A y B es de 4.1 lb, mientras que la lámpara en C pesa 3.5 lb. a) Si d  25 in ., determine la distancia desde D hasta la línea de acción de la resultante de los pesos de las tres lámparas. b) Determine el valor de d si la resultante de los pesos debe pasar por el punto medio del tubo. Respuesta: a) 39.6 in a la derecha de D; b) 33.1 in.

111. Una viga soporta tres cargas de magnitud dada y una cuarta carga cuya magnitud está en función de la posición. Si b = 1.5 m y las cargas se deben reemplazar

por una sola fuerza equivalente, determine a) el valor de a tal que la distancia desde el soporte A hasta la línea de acción de la fuerza equivalente sea máxima, b) la magnitud de la fuerza equivalente y su punto de aplicación sobre la viga.

112. El engrane C está rígidamente unido al brazo AB. Si las fuerzas y los pares mostrados se pueden reducir a una sola fuerza equivalente en A, determine dicha fuerza equivalente y la magnitud del par M. Respuesta: F R = 72.4 lb, 81.9º, M = 206 lb.ft.

Otras reducciones de un sistema de fuerzas. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.


139



Cuando R = 0, el sistema fuerza-par se reduce a un vector de par M RO . Entonces, el sistema de fuerzas dado puede ser reducido a un solo par, que recibe el nombre de par resultante del sistema. Un sistema fuerza-par en O puede ser reemplazado por una sola fuerza R que actúa a lo largo de una nueva línea de acción si R y M RO son mutuamente perpendiculares. Por tanto, los sistemas de fuerzas que pueden ser reducidos a una sola fuerza o resultante, son aquellos sistemas para los cuales la fuerza R y el vector de par M RO son mutuamente perpendiculares. Aunque, en general , esta condición no se cumplirá para sistemas de fuerzas en el espacio, si se cumplirá para sistemas constituidos por 1) fuerzas concurrentes, 2) fuerzas coplanares o 3) fuerzas paralelas. Estos tres casos se estudiarán en forma separada. 1) Fuerzas concurrentes. Las fuerzas concurrentes están aplicadas en el mismo punto y, por tanto, pueden ser sumadas directamente para obtener su resultante R. Por consiguiente, éstas siempre se reducen a una sola fuerza. 2) Las fuerzas coplanares actúan en el mismo plano, el cual se puede suponer que es el plano de la figura. La suma R de las fuerzas del sistema también estará en el plano de la figura, mientras que el momento de cada fuerza con respecto a O y, por consiguiente, el momento resultante M RO , serán perpendiculares a dicho plano. De esta forma, el sistema fuerza-par en O está constituido por una fuerza R y por un vector de par M RO que son mutuamente perpendiculares. Estas fuerzas pueden reducirse a una sola fuerza R, moviendo R en el plano de la figura hasta que su momento con respecto a O sea igual a M O . La R

distancia desde O hasta la línea de acción de R es d  M OR / R

(16)

Punto de aplicación de la fuerza resultante.



140



Para reducir el sistema de fuerzas a una sola fuerza R, se expresa que el momento de R con respecto a O debe ser igual a M RO . Representando con x y y las coordenadas del punto de aplicación de la resultante, se escribe x R y  y R x  M R O

(17)

la cual representa la ecuación de la línea de acción de R. 3) Las fuerzas paralelas tienen líneas de acción paralelas y pueden o no tener el mismo sentido.

Ejemplo 3.56. Ejemplo 3.9 del Beer-Johnston. Novena Edición. Se usan cuatro remolcadores para llevar un transatlántico a su muelle. Cada remolcador ejerce una fuerza de 5000 lb en la dirección mostrada en la figura. Determine: a) el sistema equivalente fuerza-par en el mástil mayor O y b) el punto sobre el casco donde un solo remolcador más potente debería empujar al barco para producir el mismo efecto

que

los

cuatro

remolcadores

originales. Solución.

Ejemplo 3.57. Ejemplo 4.16 del Hibbeler. Décima Edición. Página 170. La viga AE que se muestra en la figura está sometida a un sistema de fuerzas coplanares. Determine la magnitud, la dirección y la ubicación sobre la viga de una fuerza resultante que sea equivalente al sistema dado de fuerzas medido desde E. Solución.



141



Las fuerzas se han designado como en la figura. Se descompuso la fuerza F 1 de 500 N en sus componentes rectangulares.

Fuerzas individuales (N): F 1  500 cos 60º i  500 sen 60º j  250i  433.0 j F 2  200 j F 3  100 i

Fuerza resultante: F R  F 1  F 2  F 3 F R  (250 i  433.0 j )  (200 j )  (100 i) F R  (350i  233.0 j ) N


F R  420.5 N


  33.53º

Suma de momentos en el punto E. M R E  500 sen 60º (4)  200 (2.5)  100 (0.5) M R E  1182.05 N.m

Punto de acción de la resultante. El momento resultante en E es equivalente al momento ejercido por la única fuerza en un punto ( x) de la viga.



142



233d  1182.05 d  5.07 m

La fuerza resultante del sistema de fuerzas actúa a 5.07 m del punto E. Comentario: El punto de aplicación de la fuerza resultante se puede determinar también considerando la suman de momentos con respecto al punto A.

Ejemplo 3.58. Ejemplo 4.17 del Hibbeler. Décima Edición. Página 171. La grúa mostrada en la figura está sometida a tres fuerzas coplanares. Reemplace esta carga por una fuerza resultante equivalente y especifique en qué punto la línea de acción de la resultante intersecta la columna AB y el pescante BC.

Solución. Las fuerzas se han designado como en la figura. Se descompuso la fuerza F 2 de 400 N en sus componentes rectangulares.

Fuerzas individuales (N): F 1  175 i Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.


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F 2  60 j F 3  250 ( 35 ) i  250 ( 54 ) j  150 i  200 j

Fuerza resultante: F R  F 1  F 2  F 3 F R  (175i )  (60 j )  (150 i  200 j ) F R  (325i  260 j ) lb


F R  416.20 lb


  38.66º

Suma de momentos en el punto A. M R A  175 (5)  60 (3)  150 (11)  200 (8) M R A  745 lb.ft

Línea de acción de la resultante. El momento resultante en A es equivalente al momento ejercido por la única fuerza en un punto ( x, y) del plano.

745  325 y  260 x

Intersección entre la línea de acción de la resultante y la columna AB ( x  0 ) 745  325 y  260 (0) Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.


144



y  2.29 ft

Intersección entre la línea de acción de la resultante y el pescante BC ( y  11) 745  325 (11)  260 x x  10.88 ft

Ejemplo 3.59. Problema 4.121 del Hibbeler. Décima Edición. Página 177.

Reemplace la carga sobre la estructura por una sola fuerza resultante. Especifique dónde intersecta su línea de acción al miembro CD, medida esta intersección desde el extremo C.

Solución. Las fuerzas se han designado como en la figura. Se descomponen las fuerzas F 1 de 500 N y F 3 de 250 N en sus componentes rectangulares.

Fuerzas individuales (N): F 1  500 cos 60º i  500 sen 60º j  250 i  433.01 j Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.


145



F 2  300 j F 3  250 ( 45 ) i  250 ( 35 ) j  200 i  150 j

Fuerza resultante: F R  F 1  F 2  F 3 F R  (250 i  433.01 j )  (300 j )  (200 i  150 j ) F R  (450i  883.01 j ) N.m


F R  991.06 N


  63.00º

Suma de momentos en el punto C. Obsérvese que se está aplicando un momento de 400 N.m en sentido antihorario (+) en el punto C. Este momento se debe sumar a los momentos de las fuerzas individuales sobre este mismo punto. M RC  400  250 (2)  433.01(1)  300 (3)  200 (0)  150 (6) M RC  2333.01 N.m

Línea de acción de la resultante. El momento resultante en C es equivalente al momento ejercido por la única fuerza en un punto ( x, y) del plano considerando como el origen del sistema de coordenadas el punto C.

 2333.01  450 y  883.01 x

Intersección entre la línea de acción de la resultante y el miembro CD ( y  0 ) Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.


146



 2333.01  450 (0)  883.01 x y  2.64 m

Intersección entre la línea de acción de la resultante y el miembro AB ( x  1 )  2333.01  450 y  883.01(1) y  3.22 m

Ejemplo 3.60. Problema 4.140 del Bedford. El soporte se somete a tres fuerzas y un par. Si Ud representa este sistema por una fuerza F, cual es F?, y dónde su línea de acción se intersecta con el eje x?

Solución. Se designan los puntos correspondientes a cada aplicación de la fuerza.

Fuerzas individuales. F B  200i

F D  180 j

F C  400 i

Fuerza resultante: F R  F 1  F 2  F 3 F R  (200 i)  (400 i)  (180 j ) F R  (200i  180 j ) N

Módulo de la fuerza resultante: Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.

F R  269.07 N http://www.slideshare.net/asesoracademico/

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  41.98º

Suma de momentos en el punto A. Obsérvese que se está aplicando un momento de 180 N.m en sentido antihorario (+) en el punto D. Este momento se debe sumar a los momentos de las fuerzas individuales sobre este mismo punto. M R A  140  200  0.2  400  0.6  180  0.65 M R A  57 N.m

Línea de acción de la resultante. El momento resultante en A es equivalente al momento ejercido por la única fuerza en un punto ( x, y) del plano considerando como el origen del sistema de coordenadas el punto A.

57  200 y  180 x

Intersección entre la línea de acción de la resultante y el eje x ( y  0 ) 57  200 (0)  180 x y  0.317 m



148



Ejemplo 3.61. Problema 3.114 del Beer-Johnston. Octava Edición. Cuando el seguidor AB rueda a lo largo de la superficie del elemento C, ejerce una fuerza F constante y perpendicular a la superficie. a) Reemplace F con un sistema equivalente fuerza-par en el punto D. b) Para b = 1 ft, h = 2 ft, determine el valor de x para el cual el momento del sistema

equivalente fuerza-par en D es máximo. Respuesta: M 

F R

=

F ,

(2 h 2  b 2 ) x  2 (h / b) 2 x 3

b  4 h x 4

2

 b 2   , tan  2 h x   1

2

F ; b) 0.354

ft. Solución. a) El módulo de la fuerza resultante es F R = F . Su dirección es normal a la curva y  k x 2 . Ecuación de la curva. Determinación de k . Para x  b , y  h . Al sustituir en la ecuación de la curva: h  k b 2 k 

h b2

La ecuación de la curva es: y 

h b

2

x2 .

Fuerza. La dirección de la fuerza es tan   

1 y ( x)

Al derivar la ecuación de la curva: Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.


149


y  

2h

b2

x

tan   

1 2h b2

tan   

x

b2 2 h x

Sabiendo cos  


que

tan   

2 h x (b )  (2 h x) 2

2

2

b2 2 h x

,

se

tiene

sen   

que

b2

y

(b 2 ) 2  (2 h x ) 2

.

La fuerza queda expresada como:  2 h x F   i  b 4  4 h 2 x 2 

 j  F 4 2 2 b  4 h x  b2

Momento. M  r  F

Vector posición trazado desde el punto D hacia cualquier punto sobre la línea de acción de la fuerza aplicada en C. Coordenadas del punto D: D ( 0 , h ) Coordenadas del punto de aplicación de la fuerza: C   x ,

h

2  b

 

x2 

 2 Vector posición: r  x i    2 x  h  j h

 b



Momento. 2 h x   h    M   x i   2 x 2  h  j    i 4 2 2  b      b  4 h x


b2



j  F

b 4  4 h 2 x 2 


150


  M     

 h 2   x  h   2  b   F b 4  4 h 2 x 2   

2 h x 

2

b x b  4 h x 4


2

 2

 2 2 h 2 x 3 2    b x   2 h x  2 b  F M   4 2 2   b  4 h x     M 

(2 h 2  b 2 ) x  2 (h / b) 2 x 3

b 4  4 h 2 x 2

F

b) Para b = 1 ft, h = 2 ft: 7 x  8 x 3

M 

1  16 x

2

F

Para un valor máximo de M : d M d x

0

 7  24 x 2  256 x 4  d x (1  16 x 2 ) 3 / 2

d M

 7  24 x 2  256 x 4 0 (1  16 x 2 ) 3 / 2

 7  24 x 2  256 x 4  0

Al resolver la ecuación anterior: x 2 

1 8

De donde: x 

1 8

x  0.354 ft

El momento máximo correspondiente es: Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.


151


M max  M (

M max 

1 2

1 8


)

6 F

M max  1.2247 F

Ejercicios propuestos.

113. Reemplace el sistema de fuerzas que actúa sobre la estructura por una fuerza y un momento de par resultante equivalentes que actúen en el punto A.

114. Un par de magnitud M = 54 lb.in y las tres fuerzas mostradas en la figura se aplican a una ménsula angular. a) Encuentre la resultante de este sistema de fuerzas. b) Localice los puntos donde la línea de acción de la resultante interseca a la línea AB y a la línea BC. Respuesta: a) 34 lb, 28.0º; b) AB: 11.64 in a la

Figura Problemas 114 y 115.

izquierda de B, BC: 6.20 in debajo de B.

115. Un par M y las tres fuerzas mostradas en la figura se aplican a una ménsula angular. Encuentre el momento del par si la línea de acción de la resultante del sistema de fuerzas debe pasar a través de a) del punto A, b) del punto B, c) del punto C. Respuesta: a) 42.8 lb.in; b) 240 lb.in; c) 0.



152



116. Reemplace la carga sobre el marco por una sola fuerza resultante. Especifique dónde interseca su línea de acción, medida desde A, al miembro AB.

117. Una armadura resiste las cargas mostradas en la figura. Determine la fuerza equivalente a las fuerzas que actúan sobre la estructura y el punto de intersección de su línea de acción la línea que pasa por los puntos A y G. Respuesta: 773 lb, 79.0º, 9.54 ft a la derecha de A.

118. Las poleas A y B se montan sobre la ménsula CDEF. La tensión en cada lado de las dos bandas es la que se muestra en la figura. Reemplace las cuatro fuerzas por una sola fuerza equivalente y determine dónde se interseca su línea de acción con el borde inferior del soporte.

119. Cuatro cuerdas que se encuentran atadas a una caja ejercen las fuerzas que se muestran en la figura. Si las fuerzas deben remplazarse por una sola fuerza equivalente aplicada en un punto sobre la línea AB, determine a) la fuerza equivalente y la distancia desde A hasta el punto de aplicación de la fuerza si   30º , b) el Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.


153



valor de  y tal que la fuerza equivalente se aplique en el punto B. Respuesta: a) 665 lb, 79.6º, 64.9 in a la derecha de A; b) 22.9º.

120. Un arnés de alambre se fabrica al enredar dos o tres alambres alrededor de clavijas de 2 in. de diámetro montadas sobre una hoja de madera. Si la fuerza en cada alambre es de 3 lb, determine el par resultante que se sitúa sobre la madera cuando a = 18 cm, y b) sólo se colocan los alambres AB y CD, b) se colocan los tres alambres.

121. Tres cables conectados a un disco ejercen sobre éste las fuerzas indicadas en la figura. a) Reemplace las tres fuerzas con un sistema fuerza-par equivalente en A. b) Determine la fuerza única que es equivalente al sistema fuerza-par obtenido en el inciso a) y especifique su punto de aplicación sobre la línea que pasa por los puntos A y D. Respuesta: a) F A = 22.0 lb, 20.0º, M A = 26.0 lb.in; b) F A = 22.0 lb, 20.0º, 1.259 in abajo de A.

122. Un componente de máquinas se somete a las fuerzas y pares mostrados en la figura. El componente debe mantenerse en su lugar mediante un solo remache que puede resistir una fuerza pero no un par. Para P = 0, determine la ubicación del orificio para el remache si éste debe localizarse a) sobre la línea FG, b) sobre la línea GH. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.


154



Respuesta: a) 0.365 m arriba de G; b) 0.227 m a la derecha de G.

123. Retome el problema 122, y ahora suponga que P = 60 N. Respuesta: a) 0.299 m arriba de G; b) 0.259 m a la derecha de G.

124. Un motor de 32 lb se monta sobre el peso. Encuentre la resultante del peso y las fuerzas ejercidas sobre la banda, y determine el punto donde la línea de acción de la resultante interseca con el piso.

125. Cuando el seguidor AB rueda a lo largo de la superficie del elemento C, ejerce una fuerza constante y perpendicular a la superficie. a) Reemplace F por un sistema equivalente fuerza-par en el punto D obtenido al dibujar la perpendicular desde el punto de contacto hasta el eje x. b) Para a  1 m y b  2 m , determine el valor de x para el cual el momento del sistema equivalente fuerza-par en D es máximo.  x 3  2 F b  x  2  2   a  a  ;  , M  Respuesta: F R = F , tan 1  a 4  4 b 2 x 2  2 b x  2

b) 0.369 m.



155



Ejemplo 3.62. Ejemplo 3.11 del Beer-Johnston. Novena Edición.

Una losa de cimentación cuadrada soporta las cuatro columnas mostradas en la figura. Determine la magnitud y el punto de aplicación de la resultante de las cuatro cargas.

Solución. El sistema de fuerzas se reduce a un sistema fuerza-par en el origen del sistema de coordenadas O. Fuerza resultante. F R  40 kips  12 kips  8 kips  20 kips F R  ( 80 kips) j

Momento resultante en el origen. i M RO  10 0

j

k

0

0  10

 12 0

i 0

j

k

i

j

k

0

5  4

0

10

 20

0

8 0

0

M RO  (120 k )  (40 i  80 k )  (200 i  80 k ) M RO  (240i  280 k ) kips.ft

Punto de aplicación de la resultante.



156


i

j

k

240 i  280 k  x

0

z

0


 80 0

240 i  280 k  80 z i  80 x k

240  80 z

 280  80 x

z  3.00 ft

x  3.50 ft

El punto de aplicación de la fuerza resultante se encuentra en ( 3.50 , 0 , 3.00 ) ft

Ejemplo 3.63. Ejemplo 4.18 del Hibbeler. Décima Edición. Página 172. La losa que aparece en la figura está sometida

a

cuatro

fuerzas

paralelas.

Determine la magnitud y la dirección de una fuerza resultante equivalente al sistema dado de fuerzas y localice su punto de aplicación sobre la losa. Solución. El sistema de fuerzas se reduce a un sistema fuerza-par en el origen del sistema de coordenadas O. Fuerza resultante. F R  500 N  400 N  100 N  600 N F R  (1400 N) k Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.


157



Momento resultante en el origen. i

j

k

i

j

k

i

j

k

M RO  0 10

0

 6 5

0

 8 0

0

 400

0

0

 600

0

0

0 100

0

M RO  (4000 i)  (500 i  600 j )  (4800 j ) M RO  (3500 i  4200 j ) N.m


i

j

k

 3500 i  4200 j  x

y

0

0

0

 1400

 3500 i  4200 j  1400 y i  1400 x j  3500  1400 y

4200  1400 x

y  2.50 m

x  3.00 m

El punto de aplicación de la fuerza resultante se encuentra en ( 3.00 , 2.50 , 0 ) m



158




Tres fuerzas paralelas actúan sobre el borde de la placa circular de cubierta en la figura. Determine la magnitud y la dirección de una fuerza resultante equivalente al sistema dado de fuerzas y localice su punto de aplicación, P, sobre la placa.

Solución. El sistema de fuerzas se reduce a un sistema fuerza-par en el origen del sistema de coordenadas O. Fuerza resultante. F R  300 lb  200 lb  150 lb F R  (650 N) k

Momento resultante en el origen. i

j

k

M RO  8

0

0

0

0

 300

i

j

k

 0 8 0

0

0

 200

i

j

  8 sen 45º 8 cos 45º 0

0

k 0

 150

M RO  (2400 j )  (1600 i)  (848.53 i  848.53 j ) M RO  (751.47 i  1551.47 j ) lb.ft




159


i

j

k

751.47 i  1551.47 j  x

y

0

0

0

 650


751.47 i  1551.47 j  650 y i  650 x j 751.47  650 y

1551.47  650 x

y  1.16 ft

x  2.39 ft

El punto de aplicación de la fuerza resultante se encuentra en ( 2.39 ,  1.16 , 0 ) ft

Ejemplo 3.65. Ejemplo 2/16 del Meriam.

Determinar la resultante de la fuerza y par que actúan sobre el sólido rectangular.



160



Solución.

Ejemplo 3.66. Ejemplo 2/18 del Meriam.

Reemplace las dos fuerzas y el par por una fuerza única R aplicada en A y el par correspondiente.

Solución.

Ejercicios propuestos. 126. Cuatro fuerzas se aplican al componente de máquina ABDE como se muestra en la figura. Reemplace estas fuerzas por un sistema equivalente fuerza-par en A. Respuesta:

F R  (420 i  50.0 j  250 k ) N ,

M  (30.8 j  22 k ) N.m.



161



127. Dos poleas de 150 mm de diámetro se montan sobre el eje en línea AD. Las bandas de las poleas B y C están contenidas en planos verticales paralelos al plano yz . Reemplace las fuerzas de las bandas mostradas

por

un

sistema

fuerza-par

equivalente en A. Respuesta:

F R  (420 j  339 k ) N ,

M  (1125 i  163.9 j  109.9 k ) N.m .

128. Al usar un sacapuntas manual, un estudiante ejerce sobre éste las fuerzas y el par que se muestran en la figura. a) Determine las fuerzas ejercidas en B y en C si se sabe que las fuerzas y el par son equivalentes a un sistema fuerza-par en A que

consta

de

la

R  (2.6 lb) i  R y j  (0.7 lb) k y

fuerza el par

M A R  M x i  (1.0 lb.ft ) j  (0.72 lb.ft) k .

b)

Encuentre los valores correspondientes de R y y M x.

Respuesta:

a)

B  (2.50 i) lb ,

C  (0.1000 i  2.47 j  0.700 k ) lb ;

b)

F y  2.47 lb , M x  1.360 lb.ft .



162



129. Una paleta sostenida mediante un berbiquí se utiliza para apretar un tornillo en A. a) Determine las fuerzas ejercidas en B y C, si se sabe que estas fuerzas son equivalentes a un sistema fuerza-par en A que consiste

R  (30 N) i  R y j  R z k

en

R M A   (12N.m) i .

b)

Encuentre

los

y valores

correspondientes de R y y R z . c) Determine la orientación de la ranura en la cabeza del tornillo para la cual es menos probable que la paleta se resbale, si el berbiquí se encuentra en la posición mostrada. Respuesta:

F B  (80 k ) N ,

a)

F C  (30.0 i  40.0 k ) N ; b) F R y  0 , F R z  40.0 N ,

c) Cuando la ranura está en la posición vertical.

130. Un mecánico usa una llave tipo pata de gallo para aflojar un perno ubicado en C. El mecánico sostiene el maneral por los puntos A y B, ejerciendo sobre éstos puntos las fuerzas que se muestran en la figura. Si se sabe que estas fuerzas son equivalentes a un sistema fuerza-par

en

C

que

consta

de

la

fuerza

C  (8 lb) i  (4 lb) k y el par M C  (360 lb.in ) i ,

determine las fuerzas aplicadas en A y B cuando A z  2 lb .

Respuesta:

A  (1.600 i  36.0 j  2.00 k ) lb ,

B  (9.60 i  36.0 j  2.00 k ) lb .



163



131. Un puntal ajustable BC se utiliza para colocar una pared en posición vertical. Si el sistema fuerza-par que se ejerce sobre la pared es tal que R = 21.2 lb y M = 13.25 lb.ft, encuentre un sistema fuerza-par equivalente en A.

132. Un mecánico reemplaza el sistema de escape de un automóvil al asegurar firmemente el convertidor catalítico FG a sus ménsulas de montaje H e I para después ensamblar de manera holgada los mofles y los tubos de escape. Para colocar el tubo de salida AB, lo empuja hacia adentro y hacia arriba en A mientras lo jala hacia abajo en B. a) Reemplace el sistema de fuerzas dado por un sistema fuerza-par equivalente en D. b) Determine si el tubo CD tiende a rotar en el sentido de las manecillas del reloj o en el sentido inverso en relación con el mofle DE, según lo observa el mecánico.

Figura Problemas 132 y 133. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.


164



Respuesta: a) F R  (28.4 j  50.0 k ) N , M  (8.56 i  24.0 j  2.13 k ) N ; b) En contra de las manecillas del reloj.

133. Para el sistema de escape del problema 132, a) reemplace el sistema de fuerzas dado por un sistema fuerza-par equivalente en F, donde el tubo de escape está conectado con el convertidor catalítico, b) determine si el tubo EF tiende a rotar en el sentido de las manecillas del reloj o en el sentido inverso, según lo observa el mecánico. Respuesta: a) F R  (28.4 j  50.0 k ) N , M  (42.4 i  24.0 j  2.13 k ) N ; b) En contra de las manecillas del reloj.

134. El cabezal del taladro radial originalmente estaba colocado con el brazo AB paralelo al eje z , mientras que la broca y el portabrocas estaban colocados paralelos al eje y. El sistema se rotó 25º respecto del eje y y 20º alrededor de la línea de centros del brazo

horizontal AB, hasta que quedó en la posición mostrada. El proceso de taladrado comienza al encender el motor y rotar la manivela hasta que la broca entra en contacto con la pieza de trabajo. Reemplace la fuerza y el par ejercidos por el taladro por un sistema equivalente fuerza-par en el centro O de la base de la columna vertical.

135. Tres niños se encuentran parados en la balsa de 5×5 m. Si el peso de los niños que están parados en A, B y C es de 375, 260 y 400 N, respectivamente, determine la magnitud y el punto de aplicación de la resultante de los tres pesos. Respuesta: 1035 N, a 2.57 m de OG y 3.05 m de OE.


Figura Problemas 135 y 136.


165



136. Tres niños se encuentran parados en la balsa de 5×5 m. Los pesos de los niños que están parados en A, B y C son de 375 N, 260 N, y 400 N, respectivamente. Si un cuarto niño que pesa 425 N se sube a la balsa, determine dónde debe estar parado si los otros niños permanecen en la posición mostrada y si la línea de acción de la resultante del peso de los cuatro niños debe pasar por el centro de la balsa. Respuesta: 2.32 m de OG y 1.165 m de OE.

137. Una base de concreto que tiene forma de hexágono regular con lados de 12 ft soporta cuatro cargas sobre sus columnas, como se muestra en la figura. Determine la magnitud de las cargas adicionales que deben aplicarse en B y F si la resultante de las seis cargas debe pasar por el centro de la base.

138. Un grupo de estudiantes carga la plataforma de un tráiler de 2×3.3 m con dos cajas de 0.66×0.66×0.66 m y con una caja de 0.66×0.66×1.2 m. Cada una de las cajas se coloca en la parte posterior del tráiler, de tal forma que quedan alineadas con la parte trasera de los costados del tráiler. Determine la carga mínima que los estudiantes deben colocar en una caja adicional de 0.66×0.66×1.2 m y el sitio en el tráiler donde deben asegurarla si ninguna parte de las cajas debe salirse de los costados. Además, suponga que cada caja está cargada uniformemente y que la línea de acción de la resultante del peso de las cuatro cajas pasa por el punto de intersección de las líneas centrales y el eje del tráiler. (Sugerencia: Tomen en cuenta que las cajas pueden colocarse sobre sus extremos o sobre sus costados). Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.


166

Reduccionde Un Sistema de Fuerzar a Un Par

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