Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
RESPUESTA A COMPONENTES ORTOGONALES DE EXCITACION SISMICA Y ANÁLISIS DE LAS REGLAS DE COMBINACIÓN PORCENTUAL Ernesto Heredia Zavoni 1 y Raquel Machicao Barrionuevo 2 RESUMEN Se examinan los efectos de componentes ortogonales horizontales de excitación sísmica en la respuesta lineal de sistemas torsionalmente rígidos y torsionalmente flexibles, cimentados en suelos blando y firme. Se utiliza un modelo estructural de un nivel sometido a componentes principales de aceleración sísmica. Los modelos de densidad espectral de la excitación se basan en datos registrados para sismos Mexicanos. Se evalúan las reglas de combinación porcentual comúnmente especificadas en los códigos de diseño sísmico en función de los resultados de los análisis dinámicos. Tales reglas de combinación pueden producir respuestas muy conservadoras o subestimarlas, particularmente para sistemas torsionalmente flexibles. Dada la magnitud relativa de la respuesta a cada componente de excitación del terreno, se encontró que usar valores diferentes en el porcentaje de las reglas de combinación no tiene un efecto significativo para mejorar la estimación de la respuesta total.
ABSTRACT The effects of horizontal components of ground motion on the linear response of torsionally stiff and torsionally flexible systems, on soft and firm soil conditions, are examined. A one storey structural model is used subjected to uncorrelated ground acceleration components along their principal directions. Spectral densities for ground acceleration are modeled based on recorded data from Mexican earthquakes. The percentage combination rules usually specified in seismic design codes are assessed against the dynamic response. Such combination rules can result in overly conservative design forces or underestimated design forces, particularly for torsionally flexible structures. Given the relative magnitude of the response to each ground motion component, it was found that using different percentage values in the combination rules has no significant effect for improving the estimation of the total response.
INTRODUCCIÓN Los edificios se encuentran sometidos a la acción simultánea de componentes múltiples múltiples de excitación sísmica. En el diseño sísmico, se acostumbra analizar los efectos de los componentes traslacionales independientemente y luego combinarlos para obtener las demandas de diseño. Los códigos de diseño especifican generalmente generalmente unas reglas de combinación porcentual para calcular los efectos de los componentes ortogonales de excitación del terreno. Sean R X y RY las respuestas de interés debido a excitaciones del terreno de la misma intensidad actuando a lo largo de los ejes estructurales X y Y , respectivamente. La regla de combinación porcentual establece que la respuesta de diseño debe tomarse como la mayor de las siguientes dos combinaciones: R X +RY o R X + RY . Las reglas más comunes son la del 30% ( =0.3) y la del 40% ( =0.4). La regla del 30% fue desarrollada por Rosenblueth y Contreras (1977) y es considerada en varios códigos, véase e.g. ICBO (1997) y DDF (1996). La regla del 40% fue propuesta por Newmark (1975) y también está incluida en varios códigos, véase e.g. ASCE (1986). La validez de tales reglas de combinación para estimar la respuesta obtenida bajo la acción simultánea de dos componentes ortogonales, considerando el
1
Programa de Investigación y Desarrollo Tecnológico en Aguas Profundas, Instituto Mexicano del Petróleo, Eje Central 152, Col. San Bartola Atepehuacan, 07730, Mé xico DF,
[email protected]
2
Alonso García Hnos. y Asociados, S.C. Carretera México Toluca 1725-C5, Col. Lomas de Palo Alto, México, D.F, 05110,
[email protected] [email protected] 1
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acoplamiento de los grados de libertad de la respuesta de la estructura, es todavía un tema de estudio y análisis. Una regla de combinación modal, denominada CQC3, para sistemas lineales que tienen en cuenta la correlación entre las respuestas modales y los componentes horizontales de excitación del terreno fue propuesta por Menun y Der Kiureghian (1998), basados en el trabajo de Smeby y Der Kiureghian (1985). En dicho trabajo, se especifican componentes horizontales de excitación del terreno a lo largo de sus direcciones principales en términos de espectros de respuesta. Según Penzien y Watabe (1975) existe un conjunto de direcciones principales para las que puede considerarse que los componentes de excitación del terreno no tienen correlación. Especificar componentes de excitación (o formas espectrales) a lo largo de cualquier otro conjunto de ejes estructurales ortogonales puede llevar a un modelado poco realista de la correlación entre los componentes. El efecto de la correlación entre los componentes de excitación del terreno en la respuesta de la estructura lineal es relativamente pequeña cuando la intensidad media cuadrática de los componentes de excitación es similar entre sí, o cuando la relación de formas espectrales es cercana a uno. La regla de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados (SRSS) es un caso particular de la regla CQC3. Esta regla produce resultados exactos cuando los ejes estructurales y las direcciones principales de la excitación del terreno se alinean, y su uso es apropiado para combinar respuestas cuando los componentes horizontales son de intensidades semejantes.
La regla CQC3, formulada por Menun y Der Kiureghian, está basada en suponer que el movimiento del terreno en cada dirección principal es un proceso de banda ancha. También supone que ambos componentes tienen las mismas formas espectrales. La regla CQC3 ha sido usada para evaluar la capacidad de las reglas SRSS y las de combinación porcentual, tales como las de 30% y 40%, para predecir una respuesta crítica, es decir, la respuesta más grande sobre todos los posibles ángulos de incidencia sísmicos (López et al. (2001)). En este artículo, se examina los efectos de componentes horizontales de excitación sísmica para sistemas torsionalmente flexibles y torsionalmente rígidos en suelos firme y suelos con un periodo característico de 2seg. Las excitaciones se modelan mediante funciones de densidad espectral e stimadas para cada componente principal de movimiento del terreno basado en registros de dos sismos de gran intensidad en la Ciudad de México. Se analiza la respuesta dinámica de un sistema lineal, de un nivel, asimétrico bidireccional sujeto a los componentes principales de movimiento del terreno. Se estudia los efectos de componentes horizontales de excitación en la respuesta en términos de fuerzas cortantes en elementos estructurales. Se utiliza la respuesta dinámica debida a ambos componentes de excitación para evaluar las reglas de combinación porcentual.
ECUACIONES DE MOVIMIENTO Consideremos el sistema estructural asimétrico lineal mostrado en la Figura 1 que consiste en una losa rígida apoyada sobre elementos de resistencia lateral. Supongamos que el sistema está sujeto a un par de T componentes ortogonales de excitación sísmica a lo largo de los ejes estructurales. Sea { X } ={x1 , x2 , x3 } el T vector de desplazamiento de respuesta a lo largo de los tres grados de libertad del sistema y { F } = x , u y ,0} el vector de fuerzas equivalentes debido a los movimientos del terreno, donde x1 , x2 son los m{ u desplazamientos laterales del sistema a lo largo de los ejes X y Y , respectivamente, x3 es la rotación de la losa, , u y son las aceleraciones del terreno horizontales a lo largo de los ejes X y Y , m es la masa del sistema y u
x
respectivamente.
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CR e y
(t)
CM
b
e x
a
Figura 1. Sistema estructural
En forma matricial las ecuaciones de movimiento se escriben de la siguiente manera,
1 λ 1 0 0 2 ω 0 1 0 X 0 y 2 2 0 0 a 1 + r 12 - α a r λ y
1 α x
u x α x a X u y 0 a 2 1 + r 2 12 - α y a r λ
0 a
Ω
2
(1)
donde, y es la relación de frecuencias desacopladas de rotación y traslación en la dirección Y ,
k y k x es la relación de rigideces laterales en las direcciones Y y X , r b a es la relación de aspecto, y
x e x a , y e y ar son las excentricidades nominales normalizadas. De la solución de vibración libre se
obtiene
las
frecuencias
modales,
i,
2 2 2 2 x i x i x , } i { 1 , , 2 2 2 y r x i x y r a
y
las
formas
modales
correspondientes,
y 0. En el caso en que la rigidez lateral en ambas
direcciones sea la misma, = 1, se puede demostrar que la segunda frecuencia modal es igual a la frecuencia
de traslación desacoplada, 2 = x, y
1 , 2
y x
r , 0 . Sea Z el vector de coordenadas generalizadas
la matriz modal, X Z . Las ecuaciones de movimiento desacopladas para las coordenadas
y
generalizadas son 2
zi 2 i i zi i zi f i
i = 1, 2, 3
(2)
donde,
f i 1i u x ( t ) 2i u y ( t ) mi
(3)
El coeficiente de amortiguamiento modal i ha sido incorporado en la ecuación 2; en la ecuación 3, mi es la iésima masa modal generalizada y 1i, 2i son los componentes del vector modal, i , correspondiente al iésimo modo. Supongamos ahora que se modelan los componentes horizontales de excitación sísmica del terreno como procesos aleatorios, estacionarios y con media cero. La función de correlación cruzada entre la respuesta modal zi (t) y z j (t) es igual a
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Rij ( ) E zi ( t ) z j (t) hi ( 1 ) h j ( 2 ) E f i ( t 1 ) f j (t - 2 ) d 2 d 1 (4) donde, hi (t) es una función de respuesta de impulso unitario. Existe un conjunto de direcciones principales para las cuales los componentes de movimiento del terreno x ,u y los componentes principales de aceleración están no correlacionados (Penzien y Watabe (1975)). Sean u del terreno, de manera que los ejes estructurales coinciden con los ejes principales de excitación del terreno; dado que no existe ninguna correlación entre los componentes principales de aceleración del terreno, la función de correlación cruzada entre fi (t) y fj (t) se da por,
E f i ( t 1 ) f j ( t 2 )
1 mi m j
( 1i 1j R xx ( - 1 2 ) 2 i 2j R yy ( - 1 2 )) (5)
En la ecuación 5 R xx( ) y R yy( ) son las funciones de autocorrelación para los componentes de aceleración del terreno en las direcciones principales. Expresando R xx( ) y R yy( ) en términos de las funciones de densidad espectral de los componentes de aceleración del terreno en ambas direcciones, S xx( ), S yy( ), y sustituyendo dicha ecuación en la ecuación 4, se encuentra la siguiente expresión para la función de correlación cruzada entre las respuestas modales,
Rij ( )
1 mi m j
* i ( 1i 1j S xx ( ) 2i 2j S yy ( )) H i ( ) H j ( )e d
(6)
donde el asterisco del exponente indica el conjugado complejo y transferencia modales
hi ( 1 ) e Sea 2
2
-i 1
son las funciones de
2
d 1 H i ( ) 1 ( i 2 2 i i i )
(7)
la relación de las varianzas de los componentes principales de aceleración del terreno, 2
yy 2 xx . La relación 2 es mayor (o menor) que 1.0 si el componente de aceleración del terreno,
y , es el componente principal mayor (o menor). Las densidades espectrales en la ecuación 6 pueden u normalizarse de la siguiente manera,
s xx ( )
S xx ( )
xx
s yy ( )
2
,
S yy ( )
2 xx
2
(8)
Reemplazando la ecuación 8 en la ecuación 6,
Rij ( )
1 mi m j
2
*
xx ( 1i 1j s xx ( ) Re H i ( ) H j ( ) ei d
2i 2j 2 s yy ( ) Re H i ( ) H j* ( ) ei d )
(9)
Las respuestas de desplazamientos y rotación del sistema pueden escribirse como sigue, 3
xk ( t ) ki zi (t) ; i 1
k 1,2,3
(10)
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Entonces, la función de correlación cruzada entre las respuestas del sistema está dada por 3
3
E xm ( t ) xk (t) R xk xm ( ) ki mj Rij ( ) i 1 j 1
(11)
Consideremos ahora la respuesta estructural a lo largo del borde rígido del sistema. Sea k y la rigidez lateral del eje estructural en el borde rígido del sistema. El d esplazamiento relativo del eje es
a x3 2
(12)
y su varianza está dada por
var var x2 a 2 var x3 4 a cov x2 , x3
(13)
Usando la ecuación 11, se deduce de la ecuación 13 que 3
3
var { 2 i 2 j i 1 j 1
a
2
4
3i 3 j a 2i 3 j } Ri j ( 0 ) (14)
La fuerza cortante en el eje es igual a V k y con una desviación estándar dada por V k y , donde
var . La fuerza cortante máxima esperada, V T E [ V max] , puede calcularse como la media multiplicada por un factor pico KT,
V E [ V max] K T T V donde, K T
(15)
2 ln (2 s) 0.5772/ 2 ln (2 s) y y s son la tasa de cruces por cero y la duración de la
ventana de la respuesta, respectivamente. Como los ejes estructurales están alineados con los ejes principales de excitación del terreno, entonces las ecuaciones 9 y 14 representan la base para derivar la regla de combinación SRSS. Asumiendo que el factor pico para la respuesta V T es el mismo que el factor pico para cada componente de aceleración del terreno, entonces reemplazando las ecuaciones 9 y 14 en la ecuación 15 se obtiene la regla de co mbinación SRSS para V T.
ANÁLISIS DE RESULTADOS Para modelar las funciones de densidad espectral se analizó registros de aceleración del terreno para ambos componentes horizontales de los sismos de México del 25 de abril de 1989 y del 9 de octubre de 1995. Se usó registros de estaciones en suelo firme de la Ciudad de México y de estaciones en suelo con período dominante cercano a 2 segundos, que denominaremos en este trabajo como “suelo blando” . Las características de los sismos considerados, así como el número de estaciones para ambos tipos de suelo se muestran en la Tabla 1. Los registros se descompusieron en sus componentes principales de manera que ambos componentes fueran no correlacionados (Penzien y Watabe (1975)). Las funciones de densidad espectral se estimaron entonces para las direcciones principales.
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Tabla 1. Características de los si smos y número de estaciones registradas Fecha
Magnitud (Ms) 6.9 7.3
25 abril 1989 9 octubre 1995
Longitud
Latitud
99.40 104.67
16.60 18.74
Profundidad (Km) 19 20
Estaciones Suelo T=2seg 7 7
Estaciones Suelo Firme 9 9
La Figura 2 muestra el promedio de las densidades espectrales para las aceleraciones a lo largo de los componentes principales mayores y menores para los dos eventos y las dos condiciones del terreno. Para modelar el movimiento del terreno se seleccionó las funciones de densidad espectral correspondientes al sismo del 9 de octubre de 1995. Srr
Stt
5.00 1 2
4.00
25 abr 89 09 oct 95
5.00
3.00
3.00
2.00
2.00 2
1.00
1 2
2
4.00
25 abr 89 09 oct 95
1
1.00
1
0.00
0.00 0.00
0.25
0.50
0.75
f 1.00
0.00
0.25
0.50
0.75
f 1.00
a. Componente principal mayor; suelo blando b. Componente principal menor; suelo blando Stt
Srr 1.50
1 2
1.00
25 abr 89 09 oct 95
1.50 1 25 abr 89 2
1.00
09 oct 95
2 1
0.50
0.50
2 1
0.00
0.00
0.00
0.50
1.00
1.50
f 2.00
0.00
0.50
1.00
1.50
f 2.00
c. Componente principal mayor; suelo firme d. Componente principal menor; suelo firme Figura 2. Funciones de densidad espectral normalizadas en direcciones principales
Se analizó sistemas estructurales como el mostrado en la Figura 1 con una relación de frecuencias 0.7, 0.9, 1.2, 1.4 y una relación de aspecto r = 0.5, 1.0 . Las excentricidades nominales se tomaron iguales a 5%, 12% y 17% y se consideró un coeficiente de amortiguamiento crítico del 5% para todos los modos. El componente principal menor de aceleración del terreno actuó a lo largo del eje Y , mientras que el componente principal mayor actuó a lo largo del eje X . Para las excitaciones sísmicas consideradas la relación promedio de la varianza de la aceleración del terreno a lo largo de los componentes principales menores y mayores es
yy / xx 0.78 para suelo blando y yy / xx 0.85 para suelo firme. Se calculó la fuerza cortante máxima esperada, V T , en el borde rígido del sistema a lo largo del eje Y debido a la acción de ambos componentes principales de aceleración del terreno; y la fuerza cortante máxima esperada, V Y, debido únicamente a la acción del componente principal en la dirección Y . Suponiendo que la relación entre los correspondientes factores pico K T / K Y 1.0, la relación de las desviaciones estándar correspondientes, V T V Y , puede interpretarse como la relación de los valores medios de las fuerzas cortantes máximas. Las figuras presentadas a continuación muestran V T / V Y en el eje vertical versus el período
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de traslación desacoplado en la dirección de Y , T Y en el eje horizontal. En la dirección X se consideraron cuatro valores para el período desacoplado del sistema; en la dirección Y , el período natural desacoplado se varió considerando que la relación entre la rigidez lateral en ambas direcciones del sistema no es mayor que cinco. VT / VY
VT / VY 2.40
1.75
= 0.7
1
2.05
2
1.70
= 1.2
3 4
2
1.50 3
1.35
1.25
4
1.00
1
1.00 0.1
Ty 10.0
1.0
a. Sistemas torsionalmente flexibles; suelo firme VT / VY
Ty 10.0
1.0
b. Sistemas torsionalmente rígidos; suelo firme VT / VY
2.65
1
Tx = 0.5 s 2 Tx = 1.05 s
= 0.7 3
2.10
3 4
Tx = 2.09 s Tx = 3.14 s
2
1.55
2.35
= 1.2
3
1.90 4
1.45
1
4
1.00 0.1
0.1
1.0
1
1.00
Ty 10.0
0.1
2
1.0
Ty 10.0
c. Sistemas torsionalmente flexibles; suelo blando d. Sistemas torsionalmente rígidos; suelo blando Figura 3. Efectos de la rigidez torsional en la respuesta
Las Figuras 3(a) y 3(b) muestran la variación de la respuesta con los períodos desacoplados para las estructuras en suelo firme considerando una excentricidad nominal del 5% y una relación de aspecto r = 0.5. El efecto de los componentes ortogonales es notoriamente distinto para sistemas torsionalmente flexibles y torsionalmente rígidos. Para los sistemas torsionalmente flexibles la importancia del componente ortogonal es mayor cuando el sistema es más rígido en traslación (Figura 3(a)). A medida que los períodos de traslación del sistema en ambas direcciones son menores, el efecto de los componentes perpendiculares es mayor. El incremento de máximo de respuesta debido a los componentes ortogonales varía entre 40% y 230%. Si T Y T X el sistema es mucho más flexible en la dirección Y y la contribución del componente principal mayor de x ) tiene un efecto pequeño en la respuesta de interés. Para los sistemas excitación del terreno ( u torsionalmente rígidos el efecto de los componentes ortogonales es mayor para los sistemas con período de traslación largos en ambas direcciones, i.e. para los sistemas flexibles en traslación (Figura 3(b)). Los incrementos máximos de respuesta debidos a los componentes ortogonales varían entre 25% y 70%. Si T Y T X la respuesta no es sensible a los efectos de bidireccionalidad debido a que el sistema es mucho más flexible en la dirección X y por lo tanto la contribución del componente principal mayor de movimiento del terreno x ) a la respuesta de interés a lo largo de la dirección Y es pequeña. (u Las Figuras 3(c) y (d) muestran la variación de la respuesta con los períodos desacoplados para estructuras en suelo blando. Para estructuras torsionalmente flexibles el efecto de bidireccionalidad no es importante para sistemas con períodos largos en ambas direcciones, i.e. sistemas que son más flexibles en traslación ( T X =3s). Por otro lado, para sistemas torsionalmente rígidos el efecto de los componentes ortogonales es despreciable para sistemas con período natural corto ( T X =0.5s), i.e. sistemas rígidos en traslación. Los incrementos pico de
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respuesta pueden ser del orden de 210% y 245% para sistemas torsionalmente rígidos y torsionalmente flexibles, respectivamente. La sensibilidad de la respuesta a diferentes condiciones de terreno se puede analizar también en la Figura 3. Para sistemas torsionalmente rígidos en suelos blandos el efecto de la bidireccionalidad es despreciable para T X =0.5s; sin embargo, en suelo firme el incremento pico de la respuesta debido a la combinación de los componentes ortogonales es del 25%. Para T X =1s la respuesta pico se incrementa de 1.1 veces para suelo blando a 1.6 para suelo firme. En el caso de sistemas torsionalmente flexibles, la respuesta pico aumenta de 2.05 a 2.45 (T X =1s) y de 1.9 a 2.3 (T X =2s) cuando el sistema está cimentado en suelo blando en lugar de en suelo firme. La Figura 4 muestra resultados para sistemas torsionalmente rígidos con excentricidades nominales en la dirección Y, Y=5 %, 12%, 17 %, relación del aspecto r = 0.5, X =17 %, y período T X =1s. Los efectos de bidireccionalidad en la respuesta son sensibles al grado de asimetría del sistema y, en general, aumentan con la excentricidad nominal. Por ejemplo, la respuesta pico aumentó de 1.5 a 2.2 ( =1.2) y de 1.5 a 2.40 ( =1.4) cuando la excentricidad nominal aumentó de 5% a 17% para los sistemas en suelo firme. Para excentricidades pequeñas ( 5%), cuando T Y T X la respuesta no es sensible a los efectos de los componentes ortogonales ya que el sistema es mucho más flexible en la dirección X como se explicó anteriormente. La Figura 4 muestra que para niveles mayores de asimetría, independientemente de que T Y T X , la excentricidad es bastante grande para que la contribución del componente principal mayor de excitación del x ) no sea despreciable. Consideremos por ejemplo un período T Y =0.5s y =1.2 : la respuesta terreno ( u aumenta de 1.1 a 2 (suelo firme) y de 1.04 a 1.4 (suelo blando) cuando la excentricidad nominal aumenta de 5% a 17%. Se obtuvieron resultados similares para diferentes valores del período desacoplado en la dirección X . VT / VY 2.35
= 1.2
1
2
3
1.90
V T / VY
= 1.4
2.00 3
2
1.45
2.50
1.50
3
1
1.00
1.00 0.1
1.0
Ty 10.0
0.1
1.0
a. suelo firme
Ty 10.0
b. suelo firme VT / VY
VT / VY 1.60
1
2
1.45
= 1.2 3
1.40
= 1.4
1.30
2
1.15
1.20
3 2
1
1.00
1.00 0.1
1.0
c.
suelo blando
Ty 10.0
0.1
1
1.0
Ty 10.0
d. suelo blando
Figura 4. Respuesta de sistemas torsionalmente rígidos para varios niveles de asimetría
La Figura 5 muestra resultados para el caso de estructuras torsionalmente flexibles con excentricidades nominales en la dirección Y, Y =5%, 12%, 17 %, relación del aspecto r = 0.5, X =17%, y período T X =1s. Los efectos de bidireccionalidad en la respuesta también son sensibles al grado de asimetría del sistema y, en
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general, aumentan con la excentricidad nominal. Estos sistemas presentan un incremento de respuesta máximo para el caso de estructuras con =0.9 cimentados en suelo blando. Se calculó la fuerza cortante máxima esperada en el borde rígido a lo largo del eje Y del modelo mostrado en la Figura 1 usando reglas de combinación porcentual y se comparó con la fuerza cortante obtenida del análisis dinámico del modelo sujeto a ambos componentes horizontales de excitación del terreno. Sea V CR la fuerza cortante máxima esperada en el borde rígido a lo largo de Y cuando la regla de combinación del -por ciento se aplica: V CR= max( U Y+ , U Y+U U X X ), donde U X y U Y denotan la fuerza cortante de interés debido a la misma excitación del terreno que actúa a lo largo de cada eje estructural X y Y , respectivamente. Para calcular U Y y U X , se usó la densidad espectral del componente principal mayor de aceleración del terreno para ambos ejes estructurales. VT / VY
VT / VY
2.35
= 0.7
1 3
2
1.90
3
2.80
= 0.9
3
2.20 2
2
1.45
1.60 1
1
1.00
1.00 0.1
1.0
Ty 10.0
0.1
1.0
a. suelo firme
Ty 10.0
b. suelo firm e
VT / VY
V T / VY
1.75
= 0.7
4.00
3
3
= 0.9
1.50
2
3.00 2
1
1.25
2.00 1
1.00
1.00 0.1
1.0
c. suelo blando
Ty 10.0
0.1
1.0
Ty 10.0
. suelo blando
Figura 5. Respuesta de sistemas torsionalmente flexibles para varios niveles de asimetría
Primero, se analizan los resultados para la regla de combinación del 30%. La Figura 6 muestra la relación de la fuerza cortante obtenida con la regla del 30%, V CR, y la obtenida del análisis dinámico que considera la combinación de ambos componentes horizontales de movimiento del terreno, V T , para un sistema torsionalmente flexible con =0.7 y r=0.5. Para los sistemas con un bajo nivel de asimetría ( = 0.05) en suelo blando, la relación de respuestas es en general mayor que uno. Sin embargo, hay sistemas para los que la respuesta dinámica puede ser mayor que la calculada según la regla del 30%, como T X =2s y T Y<1.3s . Para los sistemas con período corto, digamos T X y T Y menores que 0.5s, la regla del 30% presenta respuestas que son aproximadamente 3 veces la respuesta dinámica. En suelo firme, la respuesta con la regla del 30% es mayor que uno para todos los períodos considerados. Así, la regla de combinación del 30% presenta respuestas conservadoras que son, a lo sumo, del orden de 2 veces la respuesta dinámica. La Figura 6 muestra que para sistemas torsionalmente flexibles con un mayor nivel de asimetría ( = 0.17 ) en suelo blando, la respuesta con la regla del 30% es mayor que la respuesta dinámica para los sistemas con período T Y> 1.5s. Para otros períodos se encontró que la respuesta dinámica es subestimada por la regla del 30%; en los casos menos desfavorables la respuesta de la regla de combinación del 30% es aproximadamente 20% de la respuesta dinámica. En suelo firme, la respuesta con la regla del 30% es mayor que la respuesta
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dinámica para los sistemas con período T Y mayores que 1s. Para sistemas con períodos cortos ( T X =0.5s) la respuesta de la regla de combinación es 40% a 90% la respuesta dinámica. Por otro lado, para ciertos sistemas con período largo, la respuesta con la regla del 30% puede ser considerablemente más alta que la respuesta dinámica. Por ejemplo, para los sistemas con T Y> 3s, la respuesta con la regla del 30% puede ser hasta de 3 a 4 veces la respuesta dinámica. VCR / VT
VCR / VT
3.50
3.50 1
2.80
3
x = 5% y = 5%
0.70
Tx = 0.5 s Tx = 1.05 s 3 Tx = 2.09 4 Tx = 3.14 s
2.80
2.10 1.40
1
4
2.10 1.40
2
3
1
0.70
0.00
x = 17% y = 17%
2
4
2
0.00
0.1
Ty 10
1
0.1
a. Suelo blando
b. Suelo blando
VCR / VT
VCR / VT
5.0
5.0
x = 5% y = 5%
4.0
3.0
2.0
2.0 1
2
3
x = 17% y = 17%
4.0
3.0
1.0
Ty 10
1
4
3 2
4
1.0
1
0.0
0.0 0.1
1
c. Suelo firme
Ty 10
0.1
1
Ty 10
d. Suelo firme
Figura 6. Validez de la regla de combinación del 30%; sistemas torsionalmente flexibles
La Figura 7 muestra la relación V CR /V T para sistemas torsionalmente rígidos con =1.2 y r=0.5. En condiciones de suelo firme, la respuesta de la regla del 30% es siempre mayor que la respuesta dinámica obteniéndose resultados conservadores. La respuesta de la regla del 30% es más de dos veces la respuesta dinámica para casi todos los períodos considerados cuando = 0.05. Para un nivel de asimetría mayor ( = 0.17), el procedimiento de la regla de combinación puede ser aun más conservador; obteniéndose fuerzas cortantes 3 a 4 veces mayores que en el análisis dinámico para los intervalos de T Y. La respuesta de la regla de combinación es en general por lo menos dos veces la respuesta dinámica. En el caso de suelo blando, se encontró que las respuestas pueden ser muy variables para = 0.17 . Por ejemplo, para T X =3s, la respuesta de la regla del 30% puede ser más de 4 veces la respuesta dinámica para T Y < 2s, mientras que para T Y >4s es menos de la mitad. Por otro lado, para los otros valores de T X se observó que el procedimiento de combinación del 30% produce respuestas que son 1.5 a 3.5 veces las del análisis dinámico para los períodos T Y <2s. Finalmente, cabe señalarse que en prácticamente todos los casos estudiados se encontró que V CR= max( U Y+ , U Y+U U X X )= U Y+ U X . Otras reglas de combinación porcentual también se compararon contra la respuesta dinámica. Se usó la regla del 40% para la comparación. Para examinar la variación en el cálculo de la respuesta con el valor del porcentaje usado para la combinación también fue considerada una regla del 10%. Las Figuras 8 y 9 muestran resultados para las reglas de combinación del 10% y 40% para sistemas torsionalmente flexibles y rígidos en condiciones de suelo firme y blando, =5% y r=0.5. Como se observa, utilizar diferentes porcentajes en las reglas de combinación no mejora la estimación de la respuesta dinámica significativamente. Cuando la contribución del componente ortogonal, U X , es pequeño comparado con el componente de la respuesta U Y, el peso usado en la regla de combinación porcentual, ya sea 10%, 30% o 40%, no tiene una influencia significativa en los resultados.
XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural
VCR / VT
VCR / VT 5.0
5.0
1
4.0
Acapulco, Gro., 2004
x = 5% y = 5%
Tx = 0.5 s Tx = 1.05 s Tx = 2.09 Tx = 3.14 s
2 3
3.0 2.0
x = 17% = 17%
4.0
2
3.0 2
1
2.0
1 4
1.0
3
0.0
3
1.0
4
0.0 0.1
Ty 10
1
0.1
Ty 10
1
a. Suelo blando
b. Suelo blando
VCR / VT
VCR / VT
5.0
5.0
x = 5% y = 5%
4.0
4.0
3.0 1
2.0
4
2
1.0
0.0
0.0 Ty 10
1
2
2.0
1.0
0.1
1
3.0
3
3
x = 17% y = 17% 0.1
4
Ty 10
1
c. Suelo firme
d. Suelo firme
Figura 7. Validez de la regla de combinación del 30%; sistemas torsionalmente rígidos VCR / VT
VCR / VT
3.50 2.80
1 Tx = 0.5 s 2 Tx = 1.0 s 3
1
2.10
2
4
= 0.7
1
2.80
Tx = 2.0 s Tx = 3.0 s
2.10
4
1.40
1.40 0.70
3.50
2
0.70
3
0.00
3
4
= 0.7
0.00 0.1
Ty 10
1
0.1
a. 10 %
b. 40 %
VCR / VT 5.0
Ty 10
1
VCR / VT 5.0
= 1.2
4.0
= 1.2
4.0
3.0
3.0 2
2.0
4
1.0
2
2.0
3
1
0.0
1
3 4
1.0 0.0
0.1
1
c. 10 %
Ty 10
0.1
1
Ty 10
d. 40 %
Figura 8. Comparación de resultados usando las reglas de combinación del 10% y 40%; suelo blando
XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural
Acapulco, Gro., 2004
VCR / VT
VCR / VT
5.0
5.0
= 0.7
4.0 3.0
1
2
3.0
2.0
1 2
1.0
2.0
4
3
4
1
3
2
1.0
0.0
= 0.7
Tx = 0.5 s Tx = 1.0 s 3 Tx = 2.0 s 4 Tx = 3.0 s
4.0
0.0 0.1
Ty 10
1
0.1
a. 10 %
b. 40 %
VCR / VT 5.0
VCR / VT 5.0 = 1.2 4.0
= 1.2
4.0 3.0
3.0
3 2
1
2.0
Ty 10
1
3
2.0
4
2
1
4
1.0
1.0
0.0
0.0 0.1
Ty 10
1
0.1
Ty 10
1
c. 10 %
d. 40 %
Figura 9. Comparación de resultados usando las reglas de combinación del 10% y 40%; suelo firme
La Figura 10 muestra la relación U X /U Y para sistemas torsionalmente flexibles y torsionalmente rígidos en condiciones de suelo blando y firme. Se puede ver que el componente de respuesta ortogonal en la regla de combinación, U X , es muy pequeño comparado con el componente de respuesta U Y, y así el porcentaje usado tiene una influencia muy pequeña en la estimación de la respuesta dinámica. Puede mostrarse fácilmente que para obtener diferencias mayores que 5% en la respuesta calculada con las reglas del 40% y 30%, la relación U X /U Y debe ser mayor que 0.62; y mayor que 0.27 al usar las reglas del 30% y 10%. La Figura 10 muestra que la contribución del componente ortogonal nunca es suficientemente grande como para obtener respuestas que difieran en más de un 5% usando diferentes porcentajes en la regla de combinación. Ux / Uy 0.25
1
0.20
2 3
0.15
4
torsionally flexible, soft soil, Tx = 1.0 s torsionally stiff; firm soil, Tx=1.0 s torsionally flexible, soft soil, Tx=3.0 s torsionally stiff, firm soil, Tx=3.0 s
1
3
0.10 2 4
0.05 0.00 0.5
1
1.5
2
2.5
Ty 3
Figura 10. Relación UX/UY for sistemas torsionalmente flexibles y rígidos
XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural
Acapulco, Gro., 2004
CONCLUSIONES Se evaluó un sistema estructural lineal, de un nivel, asimétrico para examinar el efecto de la combinación de los componentes ortogonales de excitación sísmica. El sistema fue sometido a la acción de los componentes principales de movimiento del terreno actuando a lo largo de los ejes estructurales. La función de densidad espectral de aceleración del terreno se modeló basándose en registros obtenidos en la ciudad de México. Las conclusiones principales de este trabajo son las siguientes: 1.
2.
3.
4.
5.
El efecto de los componentes ortogonales en la respuesta estructural varía con el período de traslación natural dependiendo si el sistema es torsionalmente flexible o torsionalmente rígido. Para sistemas torsionalmente flexibles en suelo firme, la importancia de la bidireccionalidad es mayor cuando el sistema es rígido en traslación; para sistemas torsionalmente rígidos, el efecto de los componentes ortogonales es mayor para sistemas con periodos de traslación largos. Sistemas con un nivel de asimetría baja ( 5% de excentricidad nominal) presentan incrementos máximos de respuesta debido a la combinación de componentes ortogonales de aproximadamente 245% para sistemas torsionalmente flexibles y 210% para sistemas torsionalmente rígidos en suelo blando. En el caso de suelo firme, los incrementos máximos de respuesta son aproximadamente 230% para sistemas torsionalmente flexibles y 70% para sistemas torsionalmente rígidos. El incremento de respuesta debido a los componentes ortogonales puede ser mayor para niveles mayores de asimetría. El efecto de bidireccionalidad es sensible a las condiciones de suelo. Para ambos sistemas torsionalmente flexibles y rígidos, el incremento de respuesta debido a los componentes ortogonales puede ser mayor en suelo firme que en suelo blando, o viceversa, dependiendo del período natural del sistema. Las reglas de combinación porcentual pueden producir fuerzas de diseño que son menores que las fuerzas dinámicas debido a los componentes ortogonales de excitación del terreno. Por otro lado, estas reglas pueden producir también fuerzas de diseño demasiado conservadoras. Aunque las reglas de combinación son relativamente fáciles de aplicar en la práctica del profesional, no consideran que los efectos de los componentes ortogonales de excitación del terreno en la respuesta dependan significativamente de las propiedades estructurales y de las condiciones del suelo. No existe una diferencia significativa en el cálculo de la respuesta dinámica al usar reglas de combinación con un porcentaje diferente. Una comparación de las ampliamente conocidas reglas del 30% y 40%, pero también de una regla del 10%, muestra que, debido a la magnitud relativa de las respuestas en cada componente de excitación del terreno, la diferencia en las respuestas calculadas con dichas reglas de combinación porcentual es menor al 5%.
AGRADECIMIENTOS Los autores agradecen al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología, CONACYT, por proporcionar fondos para esta investigación bajo el proyecto 27521U.
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Acapulco, Gro., 2004
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