CONTENIDO de la SEMANA 02 ESFUERZO - Esfuerzos Esfuerzos en un plano oblicuo bajo carga axial. - Esfuerzos bajo condiciones generales de Carga. Componentes del esfuerzo. - Consideraciones de Diseño Tomado de: Beer, Ferdinad, Johnston, Russell; De Wolf John; David Mazurek. 2001 . MECANICA DE MATERIALES MATERIALES . 5ta ed. México Mc Graw Hill
Esfuerzos en un plano oblicuo bajo carga axial Las fuerzas axiales ejercidas en un elemento sometido a do s fuerzas, causan esfuerzos normales en ese elemento Las fuerzas transversales ejercidas sobre pernos y pasadores, causan esfuerzos cortantes en esas conexiones. La relación entre las fuerzas axiales y los esfuerzos normales, por una parte, y las fuerzas transversales y los esfuerzos cortantes, por la otra, fue que los esfuerzos se determinaron únicamente en los planos perpendiculares al eje del elemento o conexión.
Las fuerzas axiales causan esfuerzos tanto normales como cortantes en planos que NO son perpendiculares al eje del elemento. De manera similar, las fuerzas transversales ejercidas sobre un perno o pasador producen esfuerzos tanto normales como cortantes en planos que NO son perpendiculares al eje del perno o pasador
Esfuerzos en un plano oblicuo bajo carga axial El elemento de dos fuerzas se encuentra sometido a fuerzas axiales P y Si se realiza un corte en dicho elemento, que forme un ángulo Ɵ con un plano normal (fig.a) Del diagrama de cuerpo libre de la porción a la izquierda de ese corte (fig. b), y de las condiciones de equilibrio del cuerpo libre, sabemos que las fuerzas distribuidas en la sección deben ser equivalentes a la fuerza P. Separando P en sus componentes F y V, que son, respectivamente normal y tangencial al corte (fig. c), se tiene que F = P cos Ɵ V = P sen Ɵ (1) Los valores promedio de los esfuerzos normales y cortantes correspondientes se obtienen:
σ= τ=
F V
σ=
P Cos Ɵ Ɵ Ɵ
τ=
P Sen Ɵ Ɵ Ɵ
Esfuerzos en un plano oblicuo bajo carga axial En las figuras se observa que la misma carga produce un Esfuerzo Normal máximo
σm =
y ningún esfuerzo cortante (figura b), O un esfuerzo normal y un esfuerzo cortante de la misma magnitud (figura c y d), dependiendo de la orientación del corte σ = τm = 2
Esfuerzos bajo condiciones Generales de carga. Componentes del esfuerzo axial Sea un cuerpo sujeto a varias cargas P1, P2, P3, etc., fig. Si efectuamos un corte a través de Q, utilizando un plano paralelo al plano yz. La porción del cuerpo a la izquierda de la sección está sujeta a algunas de las cargas originales, y a las fuerzas normales Δ y de corte Δ que actúan sobre una pequeña área ΔA que rodea el punto Q
La fuerza normal Δ tiene una dirección bien definida, la fuerza cortante Δ puede tener cualquier dirección en el plano de la sección. Por lo tanto, descomponemos en dos fuerzas componentes, Δ y Δ en direcciones paralelas a los ejes y y z, respectivamente
Esfuerzos bajo condiciones Generales de carga. Componentes del esfuerzo axial Dividiendo ahora la magnitud de cada fuerza entre el área ΔA y haciendo que ΔA se aproxime a cero, se definen las tres componentes del esfuerzo mostradas en la figura
•
Haciendo un corte a través de Q paralelo al plano zx, se definen de la misma manera las componentes de esfuerzo
•
Por último, un corte a través de Q paralelo al plano xy da las componentes
Esfuerzos bajo condiciones Generales de carga. Componentes del esfuerzo axial Consideramos un pequeño cubo de lado «a» centrado en Q y que los esfuerzos se ejercen en cada una de las seis caras del cubo. Las componentes de los esfuerzos mostradas en la figura son:
σX
σY
σZ
que representan los esfuerzos normales en las caras perpendiculares respectivamente a los ejes x, y y z, y las seis componentes de los esfuerzos cortantes
τxy
τxz
τyz
τyx
τzx
τzy
Las fuerzas normales y cortantes que actúan sobre las diversas caras del cubo se obtienen multiplicando las componentes correspondientes del esfuerzo por el área ΔA de cada cara.
Como hay fuerzas iguales y opuestas a las fuerzas mostradas en la figura actuando sobre las caras ocultas del cubo, es claro que las ecuaciones de equilibrio se satisfacen.
Esfuerzos bajo condiciones Generales de carga. Componentes del esfuerzo axial Considerando, ahora, los momentos de las fuerzas alrededor de los ejes QxЈ, QyЈ y QzЈ dibujados desde Q en direcciones paralelas respectivamente a los ejes x, y y z, se Con una proyección sobre el plano X ´ Y ´ (fig.), se ve que las únicas anotarán tres ecuaciones adicionales fuerzas con momentos alrededor del eje Z distintas de cero son las fuerzas cortantes. Estas fuerzas forman dos pares, uno de ellos es un momento (τxy ΔA)a, en la dirección antihoraria (positiva), y el otro es un momento - (τyx ΔA)a, en dirección horaria (negativa). La última de las tres ecuaciones da:
τxy = τyx
De donde se concluye que
De las dos ecuaciones restantes deducimos que Se concluye, que solo se requieren seis componentes de esfuerzo en un punto dado Q en lugar de nueve.
σX
σY
σZ
τxy
τyz
τzx
Consideraciones de Diseño a. Determinación de la resistencia última del material. La carga última de un elemento estructural o componente es la carga a la que se espera que el elemento o componente falle; Se calcula a partir del esfuerzo último o resistencia última del material usado, que se determina por un ensayo de laboratorio en una probeta de ese material. La carga última deberá ser considerablemente mayor que la carga permisible, esto es, la carga que soportará el elemento o componente en condiciones normales.
b. Carga permisible y esfuerzo permisible. Factor de seguridad. La razón de la carga última a la carga permisible se define como el factor de seguridad: La máxima carga que puede soportar a un elemento estructural o un componente de maquinaria en condiciones normales de uso es considerablemente más pequeña que la carga última. Esta carga más pequeña se conoce como la carga permisible y, en ocasiones, como la carga de trabajo o carga de diseño. La razón de la carga última a la carga permisible se emplea para definir el factor de seguridad.
Una definición alterna del factor de seguridad se basa en el uso de esfuerzos:
Las dos expresiones dadas para el factor de seguridad en las ecuaciones son idénticas cuando existe una relación lineal entre la carga y el esfuerzo.
Consideraciones de Diseño c. Selección de un factor de seguridad adecuado. La determinación del factor de seguridad que deberá usarse en el diseño de una estructura dada depende de: 1. Variaciones que pueden ocurrir en las propiedades del elemento 2. Número de cargas que puedan esperarse durante la vida de la estructura o máquina. fatiga 3. Tipo de cargas que se han planeado para el diseño, o que puedan ocurrir en el futuro. 4. Tipo de falla que pueda ocurrir. Los materiales frágiles los materiales dúctiles, 5. Incertidumbre debida a los métodos de análisis. 6. Deterioro que pueda ocurrir en el futuro por mantenimiento incorrecto o por causas naturales inevitables. 7. Importancia de un elemento dado a la integridad de la estructura completa.
Problema Modelo 1.3 Se aplican dos fuerzas a la ménsula BCD como se muestra en la figura. a)
b)
c)
Sabiendo que la varilla de control AB será de acero con un esfuerzo normal último de 600 MPa, determine el diámetro de la varilla utilizando un factor de seguridad de 3.3. El perno en C será de un acero con un esfuerzo último al corte de 350 MPa. Encuentre el diámetro del perno C tomando en cuenta que el factor de seguridad con respecto al corte también será de 3.3. Halle el espesor requerido de los soportes de la ménsula en C sabiendo que el esfuerzo permisible de apoyo del acero utilizado es de 300 MPa.
Problema Modelo 1.4 La viga rígida BCD está unida por pernos a una varilla de control en B, a un cilindro hidráulico en C y a un apoyo fijo en D. Los diámetros de los pernos utilizados son: B = D = 3/8 in y C = ½ in Cada perno actúa en cortante doble y está hecho de un acero para el que el esfuerzo último de corte es τu = 40 La varilla de control AB tiene un diámetro = 7/16 in y es de un acero con esfuerzo último a la tensión de σu = 60 Si el mínimo factor de seguridad debe ser de 3.0 para la unidad completa, encuentre la fuerza ascendente máxima que puede aplicarse al cilindro hidráulico en C.
