Dispensa Fisica 1 POlito

Appunti di Meccanica Classica e Termodinamica Mario Trigiante 3 marzo 2015

Indice 1 Introduzione 1.1 Metodo scientifico e misurazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Richiami di Matematica 2.1 Punti e vettori . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Somma di due vettori . . . . . 2.1.2 Prodotto scalare . . . . . . . 2.1.3 La rappresentazione matriciale 2.1.4 Prodotto vettoriale . . . . . . 2.2 Sistemi di coordinate . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dei vettori . . . . . . . . . . . . . .

3 Cinematica 3.1 Velocità e accelerazione . . . . . . . . . . 3.1.1 Moto unidimensionale . . . . . . 3.1.2 Moto nello spazio tridimensionale 3.2 Moti relativi . . . . . . . . . . . . . . . .

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4 Dinamica 4.1 Principio di inerzia e leggi di Newton . . . . . . . . 4.1.1 Prima e seconda legge di Newton’s . . . . . 4.1.2 Interazione e terza legge di Newton . . . . . 4.2 Metodo statico e dinamico per misurare le forze . . 4.3 Il problema generale della meccanica della particella 4.4 Sistemi di riferimento inerziali e forze inerziali . . . 4.5 Forze di attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Conservazione della quantità di moto . . . . . . . . 5 Lavoro ed Energia 5.1 Lavoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Lavoro ed energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Forze conservative ed energia potenziale . . . . . . 5.4 Forze centrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Forze non conservative . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Moto Unidimensionale e Conservazione dell’Energia 3

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81 . 81 . 89 . 90 . 100 . 106 . 107

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INDICE

6 Campo gravitazionale ed elettrostatico 6.1 Campi di Forze, Campo Gravitazionale e Campo Elettrostatico . 6.2 “Azione a distanza” Vs “Azione a contatto” . . . . . . . . . . . 6.3 Campo Vettoriale Conservativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Legge di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Misura dell’angolo solido . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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7 Sistemi di particelle 127 7.1 Centro di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 7.2 Collisioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 8 Moto di rotazione 141 8.1 Momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 8.2 Moto di una particella soggetta a una forza centrale . . . . . . . . . . . . . . 148 8.3 Moto di un corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 9 Approfondimento 169 9.1 Il Problema Generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 9.1.1 Traiettorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 9.2 Le Leggi di Keplero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 10 Meccanica dei Fluidi 10.1 Forze esterne sui fluidi e statica dei fluidi 10.2 Equilibrio di un fluido . . . . . . . . . . 10.3 Misura della pressione . . . . . . . . . . 10.4 Dinamica dei fluidi . . . . . . . . . . . .

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11 Termodinamica 11.1 Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Dilatazione con la temperatura . . . . . . . . . 11.2 Calore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Equilibrio termodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Prima legge della termodinamica . . . . . . . . . . . . 11.5 Gas ideali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6 La seconda legge della termodinamica . . . . . . . . . . 11.6.1 Ciclo di Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6.2 Postulati di Clausius e di Lord Kelvin . . . . . 11.6.3 Teorema di Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6.4 Processi irreversibili . . . . . . . . . . . . . . . 11.6.5 Scala assoluta della temperatura . . . . . . . . . 11.7 Formulazione quantitativa del secondo principio tramite 11.7.1 Entropia e disordine . . . . . . . . . . . . . . . Index

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213 215 221 222 227 228 234 239 240 244 246 247 250 252 262

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Capitolo 1 Introduzione Questa prima parte del corso è intesa come introduzione alla meccanica classica e alla termodinamica. Il suo obiettivo è dare allo studente una conoscenza approfondita delle principali leggi fisiche su cui si fondano tali discipline, mettendo in rilievo il ruolo del metodo scientifico in fisica come in qualsiasi altro ambito di ricerca scientifica. Il testo di riferimento è: • P. Mazzoldi, M. Nigro, C. Voci,“Fisica, Vol.1”, seconda edizione; Sono anche consigliati, per approfondimento, i seguenti testi: • S. Focardi, I.G. Massa, A. Uguzzoni,“Fisica generale. Meccanica e termodinamica”; • John R. Taylor,“Introduzione all’ analisi degli errori”,; il secondo per la teoria degli errori e della misura. La fisica è la scienza che indaga i fenomeni naturali. Essa comprende vari campi, a seconda del tipo di fenomeno studiato: l’ Ottica è la scienza che studia la luce e la sua propagazione; l’Acustica si occupa del suono; la Meccanica studia il movimento dei corpi e le loro interazioni; la Termodinamica indaga su tutti i processi relativi al calore e alla sua diffusione1 , mentre il campo di indagine dell’ Elettrodinamica riguarda i fenomeni che coinvolgono le interazioni elettriche e magnetiche. La distinzione fra queste scienze e fra i fenomeni da esse indagati, ha una giustificazione storica: fino alla fine dell’Ottocento tali fenomeni erano considerati essere privi di relazioni fra loro. Nel corso del secolo successivo, il progresso scientifico permise una maggiore conoscenza della struttura della materia e del suo comportamento su scale di grandezza molto piccole, nonché della natura delle forze fondamentali. Questo progresso rivelò inaspettate relazioni tra fenomeni che precedentemente erano considerati non correlati e portò ad una visione pi` u unificata della Fisica e dei suoi campi d’indagine. Per esempio, già durante la seconda metà dell’Ottocento si comprese che la luce è generata da campi elettrici e magnetici, gli stessi responsabili delle interazioni fra 1

Tale definizione si è estesa col tempo fino ad includere tutti i processi di trasfromazione dello stato interno di un sistema.

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CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

corpi dotati di carica o della forza che agisce sull’ago di una bussola. Pertanto non vi era pi` u alcuna motivazione fisica per separare nettamente l’Elettromagnetismo dall’Ottica. Nel corso del ventesimo secolo furono scoperte nuove leggi che regolano sia il comportamento dei costituenti elementari della materia (Meccanica quantistica) che i processi che coinvolgono velocità vicine a quella della luce (Relatività ). Il progresso della scienza durante l’ultimo secolo ha comportato un radicale mutamento del punto di vista da cui sono considerati i vari fenomeni. Oggi è generalmente accettata l’idea che tutti i fenomeni fisici comunemente osservati possano essere descritti, in teoria, mediante un numero limitato di particelle, che costituiscono la materia, (particelle fondamentali ) e le quattro forze fondamentali (elettromagnetica, gravitationale, nucleare debole e forte ). Con il termine Fisica classica si intende la fisica conosciuta fino alla fine del secolo diciannovesimo con le sue nette suddivisioni. La Fisica moderna invece include anche gli sviluppi che la scienza ha avuto nel secolo ventesimo con le sue nuove prospettive concettuali. Le ragioni per cui la fisica classica è ancora insegnata è che le sue leggi sono molto chiare e semplici e offrono una accurata descrizione dei fenomeni naturali entro certi limiti (limiti classici). Per esempio le leggi della meccanica classica, che risalgono in gran parte a Newton, sono una buona approssimazione se noi analizziamo il movimento dei corpi su distanze non troppo piccole (per esempio, non paragonabili alla dimensione di un atomo) e con velocità molto inferiori alla velocità della luce. Esse non sarebbero adatte a descrivere correttamente il moto di un elettrone in un atomo o la collisione di particelle ad altissima velocità. La conoscenza basata sulla fisica classica è spesso inadeguata per lo sviluppo della moderna tecnologia di alta precisione: microscopi elettronici, strumenti GPS ecc. Per esempio, se dobbiamo progettare e costruire uno strumento GPS 2 usando solamente la legge di gravitazione di Newton, lo strumento avrebbe un margine di errore, nella rilevazione della posizione dell’utente, di circa due metri, e tale errore si accumulerebbe progressivamente, facendo s`ı che l’utente possa facilmente smarrire la strada. La ragione di ciò è che lo strumento lavora scambiando un segnale elettromagnetico con un satellite. Un segnale elettromagnetico, come per esempio un segnale di luce, “sente” l’effetto della forza gravitazionale della terra, proprio come fa ogni oggetto materiale. Conseguentemente, l’utente riceverà l’informazione sulla sua localizzazione con un certo ritardo. Questo effetto non è previsto dalla teoria di Newton, ma lo è dalla teoria della gravitazione di Einstein, chiamata teoria generale della Relatività che costituisce una generalizzazione della teoria di Newton. Usando la teoria generale della Relatività , si può ottenere la precisione richiesta per un funzionamento corretto dello strumento GPS. Trattare le vaste acquisizioni concettuali della fisica nel secolo ventesimo è lontano dallo scopo del presente corso che si limita alla trattazione, nella prima parte, della meccanica classica e, nella seconda, della termodinamica. Prima di affrontare l’argomento centrale di questo corso, tuttavia, diamo una rapida panoramica delle attuali conoscenze sulla materia, la sua struttura e le interazioni fondamentali. 2

Un GPS (Global Positioning System), è uno strumento capace di determinare la sua stessa posizione misurando la sua distanza da almeno tre satelliti. Questa distanza è determinata calcolando l’intervallo tra l’invio e la ricezione di un segnale elettromagnetico (essendo la velocità del segnale conosciuta).

7 Gli elementi di base che costituiscono la materia sono tre particelle fondamentali chiamate protoni , neutroni ed electroni . Esse formano le strutture elementari chiamate atomi. Un atomo è costituito da un nucleo centrale di protoni e neutroni, legati insieme in un

Figura 1.1:

piccolo volume circondato da una “nube” di elettroni che si muovono intorno ad esso, approssimativamente come, nel sistema solare, i pianeti ruotano intorno al sole, vedi Figura 1.1. L’elettrone è una particella estremamente leggera, essendo la sua massa dell’ordine di u pesanti dell’elettrone. 10−30 Kg. Sia il protone che il neutrone sono circa duemila volte pi` Per questa ragione, la massa di un atomo può pensarsi come concentrata nel suo nucleo. La dimensione di un atomo è dell’ordine di 10−10 metri. Tale dimensione definisce una unità di lunghezza chiamata angström (˚ A). D’altra parte la dimensione del nucleo è dell’ordine di −15 10 m, molto pi` u piccola dell’intero atomo. In proporzione, se il nucleo avesse la dimensione di una noce, gli elettroni orbiterebbero intorno ad esso ad una distanza di circa un chilometro. Due o pi` u atomi possono legarsi tra loro per formare molecole che, aggregandosi ` presente un enorme a loro volta, formano la materia nel suo stato solido, liquido o gassoso. E numero di molecole in una quantità visibile di materia. Per esempio, 0.018 litri di acqua contengono circa 6.022 × 1023 molecole e questo numero è chiamato numero di Avogadro N0 . L’universo contiene a sua volta un vasto numero di strutture formate dai corpi celesti: i pianeti ruotano intorno al sole e costituiscono il nostro sistema solare, che ha una estensione di circa 1010 Km; le stelle a loro volta sono raggruppate in galassie e le galassie in ammassi di galassie. La nostra galassia, chiamata Via Lattea, ha una estensione di circa 100.000 anni

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CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

luce (1018 Km). Che cosa determina l’aggregazione della materia in sistemi, dalla pi` u piccola −15 scala di grandezza di un nucleo atomico (10 m) sino alla pi` u vasta scala di miliardi di anni luce? Perché i protoni ed i neutroni sono riuniti in nuclei, i nuclei e gli elettroni in atomi, gli atomi in molecole, le molecole nella materia, le stelle ed i pianeti nelle galassie ecc.? La risposta va cercata nel concetto di interazione, cioè di forze di attrazione o repulsione che le particelle, o gli aggregati di particelle, esercitano le une sulle altre. Benché questa sia una definizione oltremodo semplificata, dovremo limitarci ad essa, tenendo presenti lo scopo di questo corso. I protoni ed i neutroni sono tenuti insieme da una forza estremamente intensa, detta forza nucleare forte. Gli elettroni ed i protoni interagiscono per via di una forza attrattiva, forza elettrica, che è una forza che agisce su particelle dotate di carica elettrica. La stessa forza è responsabile dell’aggregazione di atomi in molecole e delle molecole nei corpi. Per questo la forza elettrica è responsabile della coesione interna della materia e delle sue proprietà chimiche. La forza che conosciamo meglio, visti i suoi effetti sulla nostra vita di ogni giorno è la forza di gravità. Storicamente, questa ` sempre attiva e la sua è stata la prima interazione ad essere studiata scientificamente. E azione su di un corpo dipende dalla sua massa . Anche gli elettroni ed i protoni in un atomo avvertono una reciproca attrazione gravitazionale. Tuttavia, essendo particelle estremamente leggere (avendo una massa molto piccola), l’intensità di questa interazione gravitazionale è trascurabile, se confrontata con l’attrazione elettrica. L’attrazione gravitazionale, d’altro canto, mostra i suoi effetti su larghe scale. Essa spiega, per esempio, perché noi siamo vincolati alla superficie della terra. Spiega anche il movimento reciproco dei corpi celesti e la formazione di vasti aggregati come le galassie o gli ammassi galattici.

1.1

Metodo scientifico e misurazioni

Il grande progresso nella conoscenza che ha riguardato le scienze naturali (fisica, chimica, biologia ecc.) a partire dal XVII secolo può essere largamente ascritto al metodo rigoroso che gli scienziati seguono nella loro ricerca e che dà ad essa basi solide ed oggettive. La definizione di questo metodo è comunemente fatta risalire all’italiano Galileo Galilei (15641642) che, per primo, comprese l’importanza del rapporto tra teoria ed osservazione nella ricerca scientifica. Analizzando un fenomeno, come la caduta libera di un corpo, lo scienziato fa delle ipotesi sulle cause che lo determinano e pi` u specificamente cerca di individuare le relazioni tra determinati fattori e aspetti del fenomeno osservato: per esempio, egli può ipotizzare che la caduta libera di un corpo sia causata da una forza dovuta alla terra (la forza di gravità ) e da un effetto dell’aria attraverso cui si muove il corpo (attrito) ed infine che il primo determina una componente del moto che è uguale per tutti i corpi. Sulla base di queste ipotesi lo scienziato formula predizioni, e soprattutto, elabora un modello. Ciò è ottenuto mediante deduzioni logiche e usando strumenti matematici. Le previsioni possono interessare nuovi fenomeni non ancora osservati. In tal caso, lo scienziato individua un esperimento al fine di comprovare la sua previsione. L’esperimento consiste nell’osservazione del fenomeno indagato in condizioni di laboratorio controllate. L’esperimento può confutare o meno la previsione del modello. Nel primo caso lo scienziato dovrà modificare le

1.1. METODO SCIENTIFICO E MISURAZIONI

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sue ipotesi ed elaborare un nuovo modello. Per esempio, supponiamo che il modello proposto per descrivere il moto di caduta libera di un corpo preveda una dipendenza dell’azione della terra dalla forma del corpo. Successivamente, studiando il moto di caduta libera di numerosi corpi, con forme diverse, in un contenitore in cui sia stato creato il vuoto ed in cui, pertanto, l’effetto dell’aria sia trascurabile, lo scienziato osserva che esso è lo stesso per tutti gli oggetti. Da ciò egli conclude che l’effetto della forza gravitazionale della terra non dipende dalla forma dell’oggetto su cui essa agisce e il modello sarà scartato. Il metodo scientifico, quindi, consiste in una parte teorica nella quale viene formulato un modello e in una parte sperimentale mediante la quale le sue previsioni vengono verificate. Entrambe, la previsione e l’osservazione, per avere un valore oggettivo, devono tradursi in informazioni di tipo quantitativo. Ciò è ottenuto associando a ogni quantità fisica un numero che rappresenta la sua misura rispetto ad una quantità standard scelta come unit` a di misura. La misurazione è un procedimento sperimentale mediante il quale ad una grandezza è associata la sua misura. Le leggi della fisica che descrivono le relazioni tra quantità fisiche sono quindi espresse come relazioni matematiche tra le corrispondenti misure. Secondo questo punto di vista operativo, una quantità fisica è definita una volta che la procedura per la sua misurazione è specificata (definizione operativa). Comunemente una distinzione è fatta tra quantità fondamentali come le lunghezza o i tempi, le cui definizioni non coinvolgono altre quantità e le quantità derivate come la velocità o l’ accelerazione le cui definizioni sono date mediante quantità fondamentali. Per esempio, “la velocità di un oggetto è il rapporto fra la distanza percorsa divisa per il tempo impiegato a coprirla”. La misura di una quantità fondamentale comporta il suo confronto con il campione di riferimento della stessa grandezza scelto come unità di misura. Vi sono alcuni requisiti riguardo a questo standard, affinché sia una buona unità di misura: deve essere possibile determinarlo con la massima precisione, deve essere facilmente riproducibile ed invariabile. Questi criteri di ottimalità determinano quali quantità vanno considerate fondamentali e quali derivate. Per esempio, la quantità fondamentale per descrivere i fenomeni elettrici e magnetici fu fin dall’inizio individuata nella carica elettrica, cioè la grandezza che descrive la capacità di alcune particelle di esercitare o subire una forza elettrica. D’altra parte, l’intensità della corrente elettrica fu definita come una quantità derivata, cioè la sua unità (Ampère) nel sistema di unità MKSA fu definita in termini di carica elettrica standard (che nel sistema MKSA è il Coulomb): la corrente di un Ampère corrisponde alla carica di un Coulomb che percorre un circuito in un secondo. Il successivo sviluppo della tecnologia ha permesso di determinare la corrente elettrica con maggiore precisione rispetto alla carica elettrica. Pertanto la corrente venne assunta come una quantità fondamentale e la carica elettrica come derivata: un Coulomb è definito ora come la carica che percorre, in un secondo, un circuito in cui è presente una corrente di un Ampère. Per dare una definizione operativa di grandezza fondamentale, bisogna definire un procedimento sperimentale allo scopo di: • stabilire se due quantità della stessa grandezza sono uguali; • dividere una certa quantità della grandezza in parti uguali;

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CAPITOLO 1. INTRODUZIONE • fissare una certa quantità di riferimento della grandezza come unità di misura.

In questo modo, una volta che lo standard è fissato come unità, è possibile creare dei sottomultipli dell’unità stessa e quindi confrontare con essi una data quantità al fine di determinarne misura: dire che una sbarra è lunga 1, 3 metri equivale a dire che è uguale a un metro pi` u una lunghezza residua che è di tre decimi di un metro. Il numero di grandezze fondamentali è il minimo necessario al fine di definire tutte le altre grandezze. In questo corso useremo il Sistema Internazionale (SI) delle unità o MKSA (metro, kilogrammo, secondo, Ampère)3 . Diamo ora le definizioni delle unità di misura delle quantità fondamentali relative alla meccanica: • il metro (m) è l’unità di lunghezza. Esso è uguale a 1.650.763,73 volte la lunghezza d’onda della luce arancione emessa da un isotopo di Krypton (Krypton-86 o 86 Kr). Questa lunghezza d’onda è una caratteristica distintiva dell’isotopo di Krypton. Come standard esso è quindi invariabile ed inoltre accessibile in ogni laboratorio, essendo tutti gli atomi di Krypton-86 uguali fra loro. Per questa ragione è in genere utile fare riferimento a proprietà degli atomi nel definire uno standard; • il Kilogrammo (kg) è l’unità di massa. Per finalità pratiche esso può essere definito come la massa di un litro (cioè di 10−3 m3 ) di acqua distillata alla temperatura di 4 o C. ` anche uguale alla massa di 5.0188 × 1025 atomi di 12 C; E • il secondo è l’unità di tempo. Tradizionalmente questa unità fu riferita al movimento della terra intorno al sole e definita come 1/31.556.925, 975 della durata dell’anno solare (l’intervallo di tempo fra due successivi passaggi della terra attraverso l’equinozio di primavera). Può anche essere definito come 1/31, 556, 925.975 volte la durata media del giorno solare (cioè la durata di un giorno calcolata nella media annuale). La migliore definizione di secondo fa riferimento al cosiddetto orologio atomico. La molecola di ammoniaca (N H3 ) ha una struttura piramidale, consistente in una base triangolare, costituita da tre atomi di idrogeno (H) e da un atomo di azoto (N) al vertice. L’atomo N oscilla tra due posizioni di equilibrio, che sono simmetriche rispetto alla base, in un tempo caratteristico. Il secondo può allora essere definito come l’intervallo di tempo corrispondente a 2.387 × 1010 volte questo periodo. .

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La lunghezza, il tempo, la massa, l’intensità di corrente elettrica e la temperatura, sono le grandezze fondamentali indipendenti nel senso che qualsiasi altra grandezza fisica è esprimibile in termini di esse. Ciononostante la quantit` a di sostanza e l’intensit` a luminosa, benché grandezze non indipendenti, sono comunemente misurate per confronto con un corrispondente standard di riferimento (nel SI la mole e la candela, rispettivamente) e per questo considerate anch’esse fondamentali.

Capitolo 2 Richiami di Matematica Come messo in risalto nel capitolo precedente, sia una previsione teorica che un’osservazione sperimentale, devono tradursi in informazioni quantitative da mettere a confronto per verificare l’ ipotesi o il modello adottato. A questo scopo, la descrizione dei sistemi fisici dovrebbe essere fatta usando il linguaggio matematico: le lunghezze, gli intervalli di tempo e le masse sono descritti con numeri che ne rappresentano misura, la posizione di un piccolo oggetto da un punto nello spazio che a sua volta è descritto in termini di coordinate rispetto ad un sistema di coordinate fissato, una forza da un vettore ecc. Una legge fisica, che esprime una relazione tra quantità fisiche, si traduce quindi in una relazione matematica tra i corrispondenti oggetti matematici. In questo capitolo ricordiamo alcune nozioni matematiche di base che useremo durante questo corso.

2.1

Punti e vettori

Una linea retta nello spazio definisce una direzione. Rette parallele corrispondono alla stessa direzione. Si possono ordinare punti lungo una linea retta fissando un verso o orientazione. Ci sono due orientazioni possibili lungo una direzione: se prendiamo due punti di P e Q sulla stessa linea retta, si può dire che P precede Q, fissando cos`ı l’orientazione che va da P a Q, o quello P viene dopo Q scegliendo l’orientazione opposto. Il senso lungo una direzione è indicato solitamente da una freccia e la linea retta orientata è denominata asse. Una volta che una direzione e un orientazione sono stati fissati, se scegliamo un punto O (l’origine) sulla retta e un’unità u di lunghezza, abbiamo fissato un sistema di riferimento unidimensionale rispetto al quale la posizione di qualsiasi punto P rimane definita unicamente dalla relativa coordinata. Quest’ultima è definita come la distanza di P da O espressa nell’ unità u, con un segno positivo se la P viene dopo la O o un segno negativo P la precede (vedi Fig. 2.1). Questo sistema di riferimento tuttavia non è sufficiente per definire univocamente la posizione dei punti nel nostro spazio tridimensionale. Per fare questo è necessario fissare tre linee o assi ortogonali orientati, che saranno denominati X, Y, Z, passanti per una stessa origine O e un’unità di lunghezza u. I punti lungo ogni asse sono completamente individuati dalle loro coordinate riferite ad O nelle unità u. La posizione di un punto P nello spazio quindi è univocamente determinata dalle coordinate x, y, z delle relative proiezioni ortogonali lungo 11

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CAPITOLO 2. RICHIAMI DI MATEMATICA

Figura 2.1:

i tre assi X, Y, Z rispettivamente. I tre assi ortogonali, l’origine O e l’unità u definiscono un sistema di coordinate cartesiane ortogonale tridimensionale (ved. Fig. 2.2). Alcune quantità fisiche come la massa, il tempo, la lunghezza o la temperatura sono completamente definite da un numero che rappresenta la loro misura o grandezza riferita ad una certa unità di misura. Altre quantità fisiche richiedono pi` u informazioni per essere determinate completamente. Per esempio, se vogliamo descrivere la condizione del vento in un dato posto, dobbiamo specificare non solo la relativa velocità (per esempio 50km/h) ma anche la direzione ed il verso in cui il vento soffia (per esempio abbiamo un vento di sud-est). Tutti questi dati sono descritti da un singolo oggetto matematico chiamato vettore. Un vettore solitamente è → − indicato da un simbolo con una freccia V o in neretto V ed è rappresentato, nello spazio, da una freccia. La base della freccia è detta origine e la sua punta estremità del vettore. Tale grandezza è quindi definita dalla sua lunghezza, detta anche norma o modulo, indicata → − con il simbolo | V |, dalla sua direzione ed il suo verso, come indicato dalla freccia (ved. Fig. 2.3). Il modulo di un vettore è una grandezza dimensionale, ovvero è espressa in una unità di misura, ed è sempre positiva. Perciò, un vento di sud-est che soffia ad una velocità di 50km/h è descritto da un vettore → − ` velocità V~ , la cui lunghezza è | V | = 50km/h e che punta da sud-est verso di noi. E importante sottolineare che, essendo un vettore completamente caratterizzato dal propria lunghezza, direzione e verso, due vettori che hanno in comune queste tre caratteristiche sono da considerarsi lo stesso oggetto, indipendentemente dal punto nello spazio in cui si trovano.

2.1. PUNTI E VETTORI

13

Figura 2.2:

Questo ci permette di spostare in modo rigido un vettore liberamente nello spazio, purché non ne si modifichi la norma, direzione e verso. Un vettore unità o versore è un vettore ~u adimensionale di lunghezza unitaria |~u| = 1. Esso definisce una direzione nello spazio ed un orientazione. Possiamo definire il prodotto → − di un vettore V per un numero reale a ottenendo un nuovo vettore: → −0 → − V = aV , (2.1.1) → − che è parallelo a V , ma la cui lunghezza è → −0 → − | V | = |a| | V | . (2.1.2) → − Esso ha la stessa orientazione di V se a è positivo, orientazione opposta se a è negativo (vedi → −0 → − → − Fig. 2.3). Un vettore V è opposto a V , e viene indicato con − V , se ha la stessa lunghezza → − → − e direzione di V ma verso opposto, cioè è ottenuto moltiplicando V per −1: → −0 → − → − V = − V = (−1) V . (2.1.3) → − Un vettore generico V può essere rappresentato come il prodotto della sua norma, che è un numero positivo espresso nelle unità della grandezza che esso rappresenta, per il vettore unitario che ne definisce verso e l’ orientazione: → −0 → − V = | V | ~u . (2.1.4)

14


Figura 2.3:

Nell’esempio del vento, il vettore velocità può essere espresso come il prodotto della sua lunghezza, in unità di Km/h, vale a dire 50 Km/h, per il vettore unitario adimensionale ~u che indica la direzione ed il verso da sud-est verso noi, di lunghezza pari a uno: |~u| = 1. Un’altra quantità descritta da un vettore è lo spostamento. Se un corpo è spostato da un punto O ad un punto A, il relativo spostamento è descritto da un vettore, che si indica con −→ OA, che punta da O ad A e la cui lunghezza o norma è la distanza fra la O ed A. In altre parole un vettore che si genera in O e che finisce in A.

2.1.1

Somma di due vettori

→ − → − → − La somma di due vettori V 1 e V 2 è definita ponendo l’origine di V 2 coincidente con la punta → − → − → − di V e tracciando una freccia dall’origine di V 1 all’estremità di V 2 . Il vettore risultante → − 1 → − → − V 3 è detto somma di V 1 e V 2 : → − → − → − V 3 = V 1+ V 2.

(2.1.5)

→ − → − → − → − Ci si puo facilmente convincere che tale somma è commutativa, cioè che V 1 + V 2 = V 2 + V 1 (ved. Fig. 2.3). Per esempio se spostiamo un oggetto da un punto O ad un punto A e poi spostiamo lo stesso oggetto da A ad un nuovo punto B, indicando con d~1 e d~2 i due spostamenti successivi, lo spostamento risultante sarà descritto da un vettore d~3 con origine in O ed estremo finale in B, che rappresenta la somma di d~1 and d~2 . La differenza di due → − → − → − → − vettori V 1 − V 2 è la somma V 1 and − V 2 (ved. Fig. 2.4). L’ angolo tra due vettori è definito come l’angolo, pi` u piccolo di 180o , del quale uno dei due vettori deve essere ruotato per far coincidere il suo verso ed orientazione con quello dell’altro vettore (vedi la fig. 2.5).


15

Figura 2.4:

→ − → − → − → − → − Calcoliamo ora la lunghezza di V 3 = V 1 + V 2 in funzione delle norme di V 1 e V 2 e → − dell’angolo θ tra di essi. Con riferimento alla Fig. 2.5 vediamo che la lunghezza di V 3 → − → − è quella del segmento OC. Considerato che |AB| = | V 2 | cos(θ) and |BC| = | V 2 | sin(θ), usiamo il teorema di Pitagora per ottenere |OC|: q p → − → − → − → − 2 2 | V 3 | = |OC| = |OB| + |BC| = [| V 1 | + | V 2 | cos(θ)]2 + | V 2 |2 sin2 (θ) = q → − → − → − → − | V 1 |2 + | V 2 |2 + 2 | V 1 || V 2 | cos(θ) . (2.1.6) → − → − → − Ora definiamo la somma di pi` u di due vettori. La somma di tre vettori V 1 + V 2 + V 3 è ottenuta sommando prima due dei tre vettori e poi sommando il risultato con il terzo: → − → − → − → − → − → − V 1 + V 2 + V 3 ≡ ( V 1 + V 2) + V 3 . (2.1.7) il risultato non dipende dalla coppia dei vettori con cui si comincia. Questa procedura può essere ripetuta per definire la somma di un numero generico dei vettori. Se abbiamo un → − insieme di n vettori V i (i = 1, . . . , n), possiamo disporli nello spazio in modo che la punta di un vettore coincida con l’origine di quello seguente. Allora la somma dei vettori, che denotiamo con n X → − → − → − → − V i ≡ V 1 + V 2 + ... + V n, (2.1.8) i=1

→ − è il vettore la cui l’origine coincide con l’origine del primo vettore ( V 1 ) della sequenza → − e l’estremità coincide con quella dell’ultimo vettore (sia V n ). Il risultato non dipende chiaramente dall’ordine in cui i vettori sono organizzati.

16


Figura 2.5:

Il prodotto di un vettore con un numero reale è distributivo rispetto sia alla somma dei vettori che alla somma dei numeri. Cioè vale la seguente proprietà : → − → − → − → − a ( V 1 + V 2) = a V 1 + a V 2 , → − → − → − (a1 + a2 ) V = a1 V + a2 V , (2.1.9) dove a, a1 , a2 sono numeri reali. Queste proprietà si estendono a somme generiche di numeri e vettori.

2.1.2

Prodotto scalare

→ − − → → − − → Il prodotto scalare di due vettori V e W , denotato con V · W , è definito da: → − − → → − − → V · W = | V ||W | cos(θ) ,

(2.1.10)

dove θ è l’angolo fra i due vettori. Come prima proprietà, il prodotto scalare è simmetrico → − − → − → → − nei due vettori: V · W = W · V . Esso è positivo se θ > π/2 mentre è zero se θ = π/2, vale a dire se i due vettori sono ortogonali. Il prodotto scalare di un vettore con se stesso è il quadrato della norma del vettore. Ora mostriamo che il prodotto scalare è distributivo rispetto alla somma di due vettori, cioè : → − → − − → → − − → → − − → ( V 1 + V 2) · W = V 1 · W + V 2 · W . (2.1.11) → − → − Infatti, riferendoci alla Fig. 2.6, siano α1 e α2 gli angoli che i due vettori V 1 , V 2 formano


17

Figura 2.6:

− → → − → − − → con W e sia β l’angolo tra il vettore somma V 1 + V 2 e W . Dalla definizione abbiamo: → − → − − → − → → − → − ( V 1 + V 2 ) · W = |W | | V 1 + V 2 | cos(β) , → − − → − → → − V 1 · W = |W | | V 1 | cos(α1 ) , → − − → − → → − V 2 · W = |W | | V 2 | cos(α2 ) .

(2.1.12)

Abbiamo anche che: → − → − |OB| = | V 1 + V 2 | cos(β) , → − |OA| = | V 1 | cos(α1 ) , → − |AB| = | V 2 | cos(α2 ) . Essendo |OB| = |OA| + |AB|, concludiamo che vale la seguente proprietà: → − → − → − → − | V 1 + V 2 | cos(β) = | V 1 | cos(α1 ) + | V 2 | cos(α2 ) .

(2.1.13)

Cos`ı, dall’ equazione (2.1.13) e (2.1.12), segue la proprietà distributiva (2.1.11) . Questa proprietà può essere generalizzata alla somma di un numero generico di vettori e prende la seguente forma generale: ! n n X X → − − → → − − → V i ·W = (V i · W) . (2.1.14) i=1

i=1

18


` utile fissare Un vettore può sempre essere espresso come la somma di due o pi` u vettori. E un insieme di assi reciprocamente ortogonali, definito da vettori unità e scrivere un vettore generico come la somma di vettori che si trovano lungo questi assi. Fissiamo, per esempio, nel piano due assi ortogonali X ed Y descritti dai corrispondenti vettori unità ~ux e ~uy . Dalla definizione (2.1.10) segue che: ~ux · ~ux = ~uy · ~uy = 1 ; ~ux · ~uy = 0 .

(2.1.15)

→ − Possiamo scrivere un generico vettore V come la somma di due vettori lungo i due assi (ved. Fig. 2.7):

Figura 2.7:

→ − → − → − V = V x+ V y.

(2.1.16)

→ − → − → − I vettori V x , V y sono detti le vettori componenti di V lungo le direzioni ~ux , ~uy . Essi sono → − ` facile verificare che, se θ è l’angolo tra infatti le proiezioni di V lungo queste direzioni. E → − V and ~ux , possiamo scrivere: → − → − V x = Vx ~ux = | V | cos(θ) ~ux , → − → − V y = Vy ~uy = | V | sin(θ) ~uy ,

(2.1.17)

→ − → − V = | V | (cos(θ) ~ux + sin(θ) ~uy ) .

(2.1.18)

cos`ı che:


19

I numeri reali Vx , Vy definiscono le componenti di V~ rispetto agli assi X,Y. Nello spazio tridimensionale possiamo fissare tre assi ortogonali, che precedentemente abbiamo chiamato X, Y, Z, definiti dai corrispondenti vettori unità ~ux , ~uy , ~uz : ~ux · ~ux = ~uy · ~uy = ~uz · ~uz = 1 , ~ux · ~uy = ~ux · ~uz = ~uy · ~uz = 0 .

(2.1.19)

→ − Un vettore generico V può essere scritto come somma dei vettori componenti rispetto a questi assi: → − → − → − → − V = V x+ V y+ V z.

(2.1.20)

→ − Riferendoci alla fig. 2.7, vediamo che il verso e l’orientazione di V sono completamente definiti da due angoli, anzichè da uno, come nel caso di un vettore in un piano: l’angolo θ → − → − (π ≥ θ > 0) che V forma con ~uz e l’angolo ϕ (2 π > ϕ ≥ 0) che la proiezione V sul piano ` facile verificare che: XY forma con ~ux . E → − → − V x = Vx ~ux = | V | sin(θ) cos(ϕ), ~ux , → − → − V y = Vy ~uy = | V | sin(θ) sin(ϕ) ~uy , → − → − V z = Vz ~uz = | V | cos(θ) ~uz .

(2.1.21)

e perciò vale la seguente relazione: → − → − → − → − | V |2 = | V x |2 + | V y |2 + | V z |2 = (Vx )2 + (Vy )2 + (Vz )2 .

(2.1.22)

I numeri reali Vx , Vy , Vz definiscono le componenti di V~ rispetto agli assi X,Y,Z. → − Ricapitolando, un vettore generico V può essere scritto, rispetto ad un sistema di assi cartesiani, in termini delle sue componenti ortogonali come segue: → − V = Vx ~ux + Vy ~uy + Vz ~uz .

(2.1.23)

Se, oltre ai tre assi ortogonali, fissiamo un’origine O nello spazio, come loro punto di intersezione, qualsiasi punto P potrà essere completamente identificato dal suo vettore posizione −→ ~r = OP (ved. Fig. 2.7). Le componenti di questo vettore rispetto agli assi coincidono con le coordinate di P riferite al corrispondente sistema di coordinate cartesiane: −→ ~r = OP = x ~ux + y ~uy + z ~uz .

(2.1.24)

Per questa ragione denoteremo il vettore posizione anche con ~x. Dati due punti P, Q, nello −→ −→ spazio, definiti dai vettori posizione ~r1 = OP e ~r2 = OQ rispettivamente, il vettore posizione −→ relativa QP ha la seguente forma: −→ −→ −→ QP = OP − OQ = ~r1 − ~r2 = (x1 − x2 ) ~ux + (y1 − y2 ) ~uy + (z1 − z2 ) ~uz ,

(2.1.25)

20


dove (x1 , y1 , z1 ) e (x2 , y2 , z2 ) sono le coordinate di P e Q rispettivamente. Applicando −→ l’equazione (2.1.22) al vettore P Q vediamo che la sua norma misura la distanza tra P e Q: p −→ (2.1.26) r12 = |QP | = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 + (z1 − z2 )2 . La rappresentazione dei vettori mediante le loro componenti rispetto ad uno stesso sistema di assi è conveniente poichè permette di calcolare facilmente la somma di due o pi` u vettori. → − − → Consideriamo come esempio due vettori V e W scritti mediante le loro componenti come segue: → − V = Vx ~ux + Vy ~uy + Vz ~uz , − → W = Wx ~ux + Wy ~uy + Wz ~uz .

(2.1.27)

→ − − → Usando le proprietà distributive (2.1.9) la somma V + W assume la seguente forma: → − − → V + W = (Vx ~ux + Vy ~uy + Vz ~uz ) + (Wx ~ux + Wy ~uy + Wz ~uz ) = (Vx + Wx ) ~ux + (Vy + Wy ) ~uy + (Vz + Wz ) ~uz ,

(2.1.28)

In altre parole, le componenti della somma dei due vettori sono la somma delle corrispondenti componenti di ogni vettore. Questa proprietà è generalizzata alla somma di un numero n → − → − dei vettori V i . Infatti se il vettore generico V i ha la seguente forma: → − V i = Vi x ~ux + Vi y ~uy + Vi z ~uz ,

(2.1.29)

la loro somma avrà la seguente espressione: n n n n X X X X → − Vi = ( Vi x ) ~ux + ( Vi y ) ~uy + ( Vi z ) ~uz . i=1

i=1

i=1

(2.1.30)

i=1

→ − − → Ora esprimiamo il prodotto scalare di due vettori V and W in termini di loro componenti date in (2.1.27). Usiamo la proprietà distributiva (2.1.14) ed il fatto che i vettori unità che definiscono gli assi di riferimento sono ortonormali, vale a dire la proprietà (2.1.19): → − − → V · W = (Vx ~ux + Vy ~uy + Vz ~uz ) · (Wx ~ux + Wy ~uy + Wz ~uz ) = Vx Wx ~ux · ~ux + Vy Wy ~uy · ~uy + Vz Wz ~uz · ~uz + (Vx Wy + Vy Wx ) ~ux · ~uy + (Vx Wz + Vz Wx ) ~ux · ~uz + (Vy Wz + Vz Wy ) ~uy · ~uz = Vx Wx + Vy Wy + Vz Wz . (2.1.31) → − Poichè la norma di un vettore V è data dalla radice quadrata del prodotto scalare del vettore con se stesso, essa può, usando l’ equazione (2.1.31), essere espressa come segue: q p → − → − → − V · V = (Vx )2 + (Vy )2 + (Vz )2 . (2.1.32) |V | =


21

Possiamo ora ottenere facilmente la formula (2.1.6) che esprime la norma della somma di due vettori: q → − → − → − → − → − → − | V 1 + V 2| = ( V 1 + V 2) · ( V 1 + V 2) = q → − → − → − → − | V 1 |2 + | V 2 |2 + 2 V 1 · V 2 , (2.1.33) dove abbiamo usato la proprietà distributiva del prodotto scalare. Questa formula può allora essere generalizzata alla somma di n vettori: n n X X X→ → − 2 → − − → − | V i| = | V i |2 + 2 V i· V j. i=1

2.1.3

i=1

(2.1.34)

i
La rappresentazione matriciale dei vettori

A volte i vettori sono rappresentati come tabelle (1 × 3) o matrici riga i cui elementi sono le loro componenti cartesiane. Alla base di questa rappresentazione vi è l’identificazione dei vettori unità di un sistema di assi cartesiani ortogonali con i seguenti vettori riga: ~ux = (1, 0, 0) ; ~uy = (0, 1, 0) ; ~uz = (0, 0, 1) .

(2.1.35)

Usando l’ equazione (2.1.23), un vettore generico può essere scritto come → − V = Vx ~ux + Vy ~uy + Vz ~uz = Vx (1, 0, 0) + Vy (0, 1, 0) + Vz (0, 0, 1) = (Vx , Vy , Vz ) . (2.1.36) → − − → Il prodotto scalare fra due vettori V e W può essere scritto come il prodotto tra un vettore → − − → riga associato a V e il vettore colonna associato a W , o viceversa:   Wx → − − → V · W ≡ (Vx , Vy , Vz )  Wy  = Vx Wx + Vy Wy + Vz Wz . (2.1.37) Wz Per esempio la rappresentazione matriciale del vettore di posizione è ~r = (x, y, z) .

(2.1.38)

Adotteremo, di tanto in tanto, anche la rappresentazione matriciale dei vettori.

2.1.4

Prodotto vettoriale

→ − → − Diversamente dal prodotto scalare, il prodotto vettoriale di due vettori V 1 , V 2 non è un → − → − numero ma un vettore, che si indica con il simbolo V 1 × V 2 . La sua direzione è ortogonale → − → − al piano definito dai due fattori V 1 , V 2 mentre il suo verso è quello dell’avanzamento di una → − → − vite destrogira che viene girata da V 1 a V 2 (ved. Fig. 2.8). Un altro modo per determinare

22


Figura 2.8:

l’orientazione fa uso della mano destra (regola della mano destra): se le dita della mano → − → − → − → − destra sono orientate da V 1 a V 2 , allora il pollice definirà il verso di V 1 × V 2 lungo la direzione ortogonale al piano su cui si trovano le altre dita. → − → − La norma di V 1 × V 2 è: → − → − → − → − | V 1 × V 2 | = | V 1 || V 2 | sin(θ) , (2.1.39) θ essendo l’angolo fra i due vettori. Come prima proprietà vediamo che i vettori paralleli hanno il prodotto vettoriale nullo, essendo θ = 0. → − → − → − → − Poichè V 1 × V 2 è ortogonale ad entrambi V 1 e V 2 abbiamo: → − → − → − → − → − → − ( V 1 × V 2) · V 1 = ( V 1 × V 2) · V 2 = 0 . (2.1.40) Inoltre il prodotto vettoriale è antisimmetrico rispetto allo scambio di due vettori: → − → − → − → − V 1 × V 2 = −V 2 × V 1 ,

(2.1.41)

è distributivo rispetto alla somma: → − → − → − → − → − → − → − ( V 1 + V 2) × V 3 = V 1 × V 3 + V 2 × V 3 ,

(2.1.42)

e commuta con il prodotto ordinario, cioè se a è un numero reale, abbiamo: → − → − → − → − V 1 × (a V 2 ) = a V 1 × V 2 .

(2.1.43)


23

Dimostriamo la (2.1.42) nel caso pi` u semplice in cui i tre vettori giacciano sullo stesso piano. Facendo riferimento alla Fig. 2.9 e osserviamo che tutti i tre prodotti che appaiono nella → − → − → − → − → − → − → − formula (( V 1 + V 2 ) × V 3 , V 1 × V 3 , V 2 × V 3 ) sono nella direzione perpendicolare al piano della figura ed hanno tutti la stessa orientazione. Di conseguenza basta provare la proprietà per le norme ed inoltre che la norma della somma di due qualunque di essi è la somma delle loro norme. Osserviamo subito che:

Figura 2.9:

→ − → − → − → − → − → − |( V 1 + V 2 ) × V 3 | = | V 1 + V 2 || V 3 | sin(β) , → − → − → − → − | V 1 × V 3 | = | V 1 || V 3 | sin(α1 ) , → − → − → − → − | V 2 × V 3 | = | V 2 || V 3 | sin(α2 ) .

(2.1.44)

→ − |OA| = | V 1 | sin(α1 ) , → − |AB| = | V 2 | sin(α2 ) , → − → − |OB| = | V 1 + V 2 | sin(β) .

(2.1.45)

Inoltre abbiamo che:

Da ciò, dalle equazioni (2.1.44) e da |OB| = |OA| + |AB| deduciamo che: → − → − → − → − → − → − → − |( V 1 + V 2 ) × V 3 | = | V 1 × V 3 | + | V 2 × V 3 | . (2.1.46) → − → − Dalla Fig. 2.8 vediamo che la norma del prodotto vettoriale V 1 × V 2 misura l’area del paral→ − → − lelogramma definito dai due vettori, essendo | V 1 | un lato e h = | V 2 | sin(θ) la corrispondente altezza.

24


Fissiamo ora un sistema di riferimento cartesiano ortogonale specificando tre assi ortogonali X, Y, Z, definiti mediante i vettori unità ~ux , ~uy , ~uz . Dalla definizione di prodotto vettoriale, otteniamo facilmente che: ~ux × ~uy = ~uz ; ~uz × ~ux = ~uy ; ~uy × ~uz = ~ux , ~ux × ~ux = ~uy × ~uy = ~uz × ~uz = 0 .

(2.1.47)

→ − − → Se V e W sono due vettori le cui componenti rispetto al sistema di riferimento sono definite dalle equazioni (2.1.27), usando le proprietà (2.1.42), (2.1.43) e (2.1.47), possiamo scrivere il prodotto vettoriale nel seguente modo: → − − → V × W = (Vx Wy − Vy Wx ) ~uz + (Vz Wx − Vx Wz ) ~uy + (Vy Wz − Vz Wy ) ~ux .(2.1.48) La formula di cui sopra è utile poichè esprime il prodotto vettoriale di due vettori in termini di loro componenti. Può anche essere scritta, in modo pi` u mnemonico, come il determinante della matrice simbolica: ~ux ~uy ~uz → − − → (2.1.49) V × W = Vx Vy Vz . Wx Wy Wz → − → − → − Dati tre vettori V 1 , V 2 , V 3 , dopo qualche calcolo è possibile dimostrare la seguente utile proprietà : → − → − → − → − → − → − → − → − → − ( V 1 × V 2) × V 3 = ( V 1 · V 3) V 2 − ( V 2 · V 3) V 1 .

2.2

(2.1.50)

Sistemi di coordinate

Coordinate polari sferiche. Nella sezione precedente abbiamo visto come descrivere i punti in uno spazio tridimensionale mediante le loro coordinate rispetto ad un sistema di coordinate cartesiane. Quest’ultimo è definito assegnando ai tre assi ortogonali X, Y, Z, un’unità di lunghezza e un’origine O in cui i tre assi si incontrano. Possiamo, alternativamente, utilizzare una differente descrizione dei punti nello spazio in termini di coordinate polari (ved. Fig 2.10). Ciò è utile quando si descrivono i sistemi con simmetria sferica, vale a dire sistemi che sembrano gli stessi dopo una rotazione generica intorno ad un punto. Per esempio le coordinate polari saranno usate per descrivere il moto di una particella puntiforme su cui agisce una forza centrale. Riferendosi ad un sistema di assi cartesiani, un generico punto P può essere descritto −→ dalla sua distanza r dall’origine, dall’angolo θ (π ≥ θ ≥ 0) formato dal vettore OP con ~uz e dall’angolo ϕ (2 π > ϕ ≥ 0) del quale ~ux dovrebbe essere ruotato, in senso antiorario, per −→ coincidere con la proiezione di OP nel piano XY . L’orientazione positivo per θ (il verso di −→ θ crescente) è quello che va da ~uz a OP percorrendo l’angolo pi` u piccolo e, analogamente, −→ il verso positivo per ϕ è quello che va da ~ux alla proiezione di ~r = OP nel piano XY seguendo l’angolo pi` u piccolo. Ad ogni punto nello spazio possiamo associare tre vettori

2.2. SISTEMI DI COORDINATE

25

Figura 2.10:

ortogonali unitari, ~ur , ~uθ , ~uϕ , definiti come segue: ~ur descrive la direzione orientata, detta radiale, lungo la quale un punto è spostato partendo da P quando θ e ϕ sono tenuti fissi ed ` facile verificare che ~ur definisce r viene aumentato di una piccola quantità : r → r + dr. E la direzione ed il verso del vettore posizione. ~ur =

~r . |~r|

(2.2.1)

Similmente ~uθ descrive la direzione orientata lungo cui un punto P è spostato quando r e ϕ sono mantenuti fissi e θ è aumentato da una piccola quantità : θ → θ + dθ. Infine ~uϕ è definito modo analogo attraverso lo spostamento di P ottenuto tenendo fissi r e θ e variando ϕ di una piccola quantità : ϕ → ϕ + dϕ. In questo modo abbiamo inoltre definito, a partire dal punto P (r, θ, ϕ) tre spostamenti ortogonali. Il primo è lo spostamento radiale d~`r = dr ~ur , il secondo è lo spostamento d~`θ lungo ~uθ , la cui lunghezza può approssimarsi (essendo lo spostamento infinitesimo) con l’arco della circonferenza centrata in O e passante per P (meridiano) a cui sottende l’angolo dθ. Se dθ è misurato in radianti, allora la lunghezza dell’arco è r dθ e quindi: d~`θ = r dθ ~uθ . Il

26


terzo è lo spostamento d~`ϕ lungo ~uϕ la cui lunghezza è approssimata dall’arco della circonferenza giacente sul piano ortogonale all’asse Z, centrata su di esso e passante per P (cerchio di latitudine o parallelo), a cui sottende l’arco dϕ. Essendo il raggio del parallelo passante per P uguale a r sin(θ), la lunghezza di questo arco è r sin(θ) dϕ. Un generico spostamento infinitesimo d~` dal punto P (r, θ, ϕ) ad un punto P 0 (r + dr, θ + dθ, ϕ + dϕ) infinitesimamente vicino ad esso può essere rappresentato come il vettore somma dei tre spostamenti infinitesimi: d~` = d~`r + d~`θ + d~`ϕ = dr ~ur + r dθ ~uθ + r sin(θ) dϕ ~uϕ .

(2.2.2)

Per una certa classe di problemi è utile esprimere in coordinate polari l’area dS di un elemento infinitesimo di superfice sferica centrata nell’origine. Tale elemento può essere preso come la porzione rettangolare infinitesima di una sfera centrata in O e passante per P, con lati |d~`θ | e |d~`ϕ |: dS = |d~`θ | |d~`ϕ | = r2 sin(θ) dθ dϕ .

(2.2.3)

In maniera simile, un volume infinitesimo (elemento di volume dV ) è definito, in coordinate polari, come il volume del parallelepipedo con lati |d~`r |, |d~`θ | e |d~`ϕ |: = |d~`r ||d~`θ | |d~`ϕ | = r2 sin(θ) dr dθ dϕ . (2.2.4) −→ Applicando equazione (2.1.21) al vettore posizione ~r = OP , facilmente troviamo le relazioni tra le coordinate cartesiane (x, y, z) e quelle polari (r, θ, ϕ): dV

x = r sin(θ) cos(ϕ) , y = r sin(θ) sin(ϕ) , z = r cos(θ) .

(2.2.5)

Coordinate polari nel piano Facendo riferimento al sistema di coordinate polari definite nel paragrafo precedente, vediamo che tutti i punti nel piano XY , avendo z = 0 (o equivalentemente θ = π/2), possono essere descritti mediante solo due coordinate r, ϕ, ved. Fig. 2.11. Queste definiscono le coordinate nel piano e sono utili quando si voglia descrivere particelle che si muovono in un piano. Ad ogni punto nel piano possiamo associare due vettori unitari ortogonali, ~ur , ~uϕ , i quali definiscono le direzioni ed i versi lungo cui il punto è spostato se variamo r → r + dr tenendo fisso ϕ e se variamo ϕ → ϕ + dϕ, tenendo r fisso, rispettivamente. Il vettore unitario ~ur definisce la direzione radiale rispetto all’origine, con verso uscente rispetto ad esso. Cos`ı come per le coordinate sferiche a tre dimensioni, ~ur in un generico punto del piano definito dal vettore posizione ~r puo essere scritto come ~ur =

~r . |~r|

(2.2.6)

Un generico spostamento nel piano d~` assume la seguente forma d~` = d`r ~ur + d`ϕ ~uϕ ,

(2.2.7)


27

le cui componenti sono d`r = dr ; d`ϕ = r dϕ . Le relazioni tra (x, y) e (r, ϕ) si ottengono da (2.2.5) ponendo θ = x = r cos(ϕ) , y = r sin(ϕ) .

(2.2.8) π 2

e sono

(2.2.9)

Un elemento infinitesimo di superficie in coordinate polari piane è descritto come la superficie del rettangolo limitato dalle circonferenze di raggi r e r + dr e dalle direzioni radiali definite da ϕ e ϕ + dϕ. I suoi lati sono perciò d`r e d`ϕ e la sua area dS = d`r d`ϕ = r dr dϕ .

(2.2.10)

Coordinate cilindriche. Queste coordinate si usano quando si voglia descrivere un sistema con simmetria cilindrica, cioè simmetria di rotazione rispetto ad un asse. In questi casi esiste una direzione nello spazio tale che, se l’osservatore ruota intorno ad essa di un angolo qualunque, il sistema sembrerà esattamente lo stesso di prima. In questo caso possiamo partire da un sistema di assi cartesiani X,Y, Z in cui Z coincide con l’asse di simmetria del sistema. Un punto P nello spazio può essere definito univocamente mediante la sua coordinata z, la sua distanza r > 0 dall’asse Z e dall’angolo ϕ che il piano contenente l’asse Z ed il punto P forma con l’asse X (ved. Fig. 2.12). Le coordinate r, ϕ, z sono dette coordinate cilindriche. Tenendo fisse due di queste coordinate ed aumentando la rimanente di una quantità infinitesima, il punto P si sposterà lungo le direzioni descritte dai seguenti vettori unitari ortogonali: ~ur , ~uϕ , ~uz . Un generico spostamento d~` può essere decomposto lungo queste tre direzioni d~` = d`r ~ur + d`ϕ ~uϕ + d`z ~uz , .

(2.2.11)

Le componenti sono facilmente ricavabili: d`r = dr ; d`ϕ = r dϕ ; d`z = dz .

(2.2.12)

` utile esprimere in coordinate cilindriche un elemento infinitesimo di superficie dS di un E cilindro di raggio r centrato sull’asse del sistema. Esso è l’area di un rettangolo di lati d`ϕ , d`z : dS = d`ϕ d`z = r dz dϕ .

(2.2.13)

Un elemento infinitesimo di volume dV può essere descritto come il volume di un parallelepipedo con lati d`r , d`ϕ , d`z : dV

= d`r d`ϕ d`z = r dz dr dϕ .

(2.2.14)

28


Figura 2.11:


29

Figura 2.12:

30


Capitolo 3 Cinematica Con il termine Cinematca noi intendiamo lo studio del moto senza considerare le cause che lo determinano o, per meglio dire, gli agenti che lo influenzano, che saranno descritti, nel prossimo capitolo, in termini di forze. Un oggetto è in movimento se la sua posizione, rispetto ad un osservatore, cambia con il tempo. Il concetto di moto quindi ha un significato solo se riferito ad un osservatore, ovvero esso è un concetto relativo. Per esempio, rispetto ad una persona in strada, la macchina che passa è in movimento, mentre è ferma rispetto a ciascuno dei suoi passeggeri. Supponiamo di essere in un laboratorio e di voler descrivere il moto di un oggetto. Di che cosa abbiamo bisogno? Il moto è descritto compiutamente se specifichiamo la posizione dell’oggetto in ogni istante. A tale scopo, abbiamo bisogno di definire un sistema di riferimento nello spazio, fissando, ad esempio, tre assi ortogonali, X, Y,Z che si incontrano nello spazio in un’origine O. Quindi abbiamo bisogno di uno strumento per misurare le distanze in certe unità, per esempio un metro. Ed infine abbiamo bisogno di un orologio per misurare gli intervalli di tempo. Equipaggiati con questi strumenti di base, il nostro laboratorio costituisce un sistema di riferimento rispetto al quale noi possiamo studiare il moto di ogni oggetto. Per esempio, se noi definiamo una particella come un oggetto estremamente piccolo la cui dimensione è molto pi` u piccola rispetto alle altre lunghezze considerate nel problema, possiamo descrivere completamente il suo moto, assegnando ad ogni istante t la sua posizione vettoriale ~r(t): ~r(t) = x(t) ~ux + y(t) ~uy + z(t) ~uz = (x(t), y(t), z(t)) .

(3.0.1)

Un diverso osservatore, collocato, ad esempio, in un’automobile che si muove rispetto a noi, e che osserva la stessa particella, non sarebbe d’accordo con noi nella descrizione del suo moto. Rispetto al suo sistema di riferimento, egli troverà una diversa dipendenza rispetto al tempo della posizione della particella ~r 0 (t0 ). Studieremo, in un capitolo successivo, come queste due diverse descrizioni possano essere riconciliate derivando le regole di trasformazione che legano le grandezze cinematiche misurate nei sistemi di riferimento in moto relativo. Considereremo anche il moto di corpi di una certa estensione, cioè di corpi la cui dimensione non è trascurabile, come nel caso di una particella, ed il cui moto è pi` u complicato perché comprende anche rotazioni o vibrazioni. Per esempio, se gettiamo una pietra in aria e vogliamo descriverne il moto, vediamo che la sua posizione in ogni istante non è completa31

32

CAPITOLO 3. CINEMATICA

mente determinata da un punto nello spazio. Se la sua forma è irregolare, abbiamo bisogno in ogni momento di specificare la posizione dei vari punti su di essa e tali punti possono non spostarsi in modo solidale durante il moto, ma, anzi, muoversi uno rispetto all’altro, se l’oggetto ruota o vibra. In questo capitolo, per semplicità, noi ci limiteremo alle sole particelle e definiremo, per questo semplice sistema, le quantità cinematiche fondamentali.

3.1

Velocit` a e accelerazione

Fissiamo un particolare sistema di riferimento ed introduciamo alcune importanti quantità che caratterizzano il moto. Consideriamo una particella che si muove nello spazio. La sua posizione, al variare del, tempo descriverà nello spazio una curva chiamata traiettoria.

3.1.1

Moto unidimensionale

Dobbiamo come prima cosa analizzare, per semplicità, il moto di una particella in una linea retta, cioè un moto rettilineo (vedi fig.3.1a).

Figura 3.1:

` utile descrivere la posizione della particella in funzione del tempo in termini di una sola E coordinata x(t) rispetto ad un sistema di coordinate unidimensionali che noi fissiamo sulla stessa traiettoria. Come abbiamo visto nel precedente capitolo, un sistema di coordinate unidimensionale è definito da una sola linea retta su cui sono dati una origine O e una orientazione positiva (cioè un vettore unitario ~u). Supponiamo che la particella nell’istante t1 sia collocata nel punto x1 e, in un tempo successivo t2 , essa sia in x2 . Noi vogliamo introdurre una quantità che ci dica “quanto velocemente la particella si è spostata da x1 a x2 . Questa quantità è la velocità media nell’intervallo di tempo ∆t = t2 − t1 definita come: x2 − x1 vmedia = . (3.1.1) t2 − t1

` E ACCELERAZIONE 3.1. VELOCITA

33

Se consideriamo, partendo da un certo tempo t, intervalli ∆t = t0 − t sempre pi` u piccoli, 0 noteremo che avremo valori differenti per la velocità media. Però, se t è abbastanza vicino a t, osserveremo che per ulteriori riduzioni di ∆t la velocità media rimarrà approssimativamente costante e quindi sarà indipendente da ∆t. Questo valore limite della velocità media può essere considerata come caratteristica del moto al tempo t ed è chiamata velocità istantanea. Pi` u precisamente la velocità istantanea di una particella nell’istante t è definita come il valore limite della velocità media da t a t0 > t quando facciamo tendere t0 a t, cioè la derivata della posizione rispetto al tempo v = lim 0

t →t

x(t + ∆t) − x(t) dx x0 − x = lim = . 0 ∆t→0 t −t ∆t dt

(3.1.2)

La velocità istantanea è quindi una quantità che caratterizza il moto in ogni singolo istante t. Entrambe, la velocità media e la velocità istantanea sono quantità derivate, poiché la loro unità di misura è espressa in termini di unità fondamentali di lunghezza e tempo. Infatti la velocità ha la dimensione di una lunghezza divisa per il tempo e, quindi, nel sistema SI, è misurata in unità m/sec. Dalla definizione (3.1.2) possiamo vedere che, se ∆t è un intervallo di tempo abbastanza piccolo da poter considerare che v pressoché costante in esso, possiamo approssimare la derivata con il rapporto incrementale: ∆x/∆t ≈ dx/dt. Questo ci permette di interpretare dt nel simbolo della derivata come un incremento infinitamente piccolo del tempo (dt è chiamato infinitesimale), a cui corrisponde uno spostamento altrettanto piccolo dx. Avendo dato a dx e dt questo dignificato, senza pretesa di rigore matematico, possiamo scrivere lo spostamento dx della particella durante dt come dx = v dt. Durante un intervallo di tempo finito ∆t, v può variare. Tuttavia, noi possiamo dividere ∆t = t2 − t1 in un numero infinitamente grande di intervalli infinitesimali dt1 , dt2 , . . ., durante ciascuno dei quali v può essere considerato costante ed uguale a v1 , v2 , . . . rispettivamente. Lo spostamento totale ∆x = x2 − x1 durante ∆t può essere calcolato come la somma degli spostamenti dx1 , dx2 , . . . durante ogni intervallo di tempo elementare: Z t2 ∆x = dx1 + dx2 + dx3 + . . . = v1 dt1 + v2 dt2 + v3 dt3 + . . . = v dt , (3.1.3) t1

dove abbiamo espresso la soma di un numero infinito di spostamenti infinitesimali come l’integrale di v in dt estesa da t1 a t2 . Se durante un intervallo di tempo ∆t la velocità istantanea non cambia, allora v1 = v2 = v3 = . . . e noi possiamo riscrivere (3.1.3) nella forma Z t2 ∆x = v(dt1 + dt2 + dt3 + . . .) = v dt = v ∆t , (3.1.4) t1

In alter parole, se v è costante durante ∆t possiamo portare v fuori del simbolo dell’integrale. In questo caso, noi vediamo che: v =

∆x = vmedia , ∆t

(3.1.5)

34


Cioè la velocità istantanea in ogni istante, durante ∆t, è eguale alla velocità media. Questo moto è chiamato uniforme durante ∆t. Consideriamo un istante t entro ∆t, cioè t1 < t < t2 nel quale la particella è in x(t). Il moto è ancora uniforme durante ∆t0 = t − t1 e possiamo applicare ad esso la relazione (3.1.5) v =

x(t) − x(t1 ) ⇒ x(t) = v (t − t1 ) + x(t1 ) . t − t1

(3.1.6)

Troviamo che, se il moto è uniforme, ad uguali intervalli di tempo ∆t corrispondono eguali spostamenti, cioè la dipendenza di x(t) dal tempo durante ∆t è rappresentata da una linea retta nel piano t, X. Esercizio 2.1 Derivare la seconda equazione nel (3.1.6) rispetto al tempo e ricavare, dalla definizione (3.1.2) che v è la velocità istantanea in ogni istante durante ∆t. Exercise 2.2 Considerare un’automobile che si muove, a velocità costante, da x0 = 0 (cioè l’origine O) al tempo t0 = 0 fino ad x1 = 1Km al tempo t1 = 10sec. Poi a t1 il guidatore improvvisamente frena e inverte il suo moto quasi istantaneamente procedendo a velocità costante e raggiungendo x2 = 700m al tempo t2 = 16sec. 1. Disegnare la posizione x(t) rispetto al tempo t durante ∆t = t2 − t0 ; 2. Calcolare la velocità media durante ∆t2 = t2 − t0 , ∆t1 = t1 − t0 and ∆t1,2 = t2 − t1 ; 3. Calcolare la velocità istantanea durante l’intero percorso da t0 a t2 . La fig. 3.2 rappresenta il grafico di x(t) rispetto al tempo t. Esso consiste di due segmenti: il primo, da t0 a t1 , ha una pendenza positiva e descrive la parte del moto diretto lungo il verso positivo dell’asse X; il secondo, da t1 a t2 , ha pendenza negativa e descrive la parte finale del moto in verso opposto. La velocità media dell’automobile durante il primo intervallo (1) di tempo è vmedia = (x1 − x0 )/(t1 − t0 ) = 0.1 Km/sec e, poiché il moto è uniforme, la velocità istantanea v (1) in ogni istante t tra t0 e t1 è la stessa e coincide con la velocità (1) media: v (1) ≡ vmedia = 0.1 Km/sec. Per questo motivo, essendo la velocità istantanea v (2) (2) costante durante il secondo intervallo, essa coincide con la velocità media v (2) ≡ vmedia = (x2 − x1 )/(t2 − t1 ) = −300/6 m/sec = −50 m/sec (ved. Fig. 3.2.b). Notiamo che la velocità istantanea è positiva durante il primo intervallo e negativa durante il secondo. Questo è dovuto al fatto che, ad un certo tempo, la velocità istantanea è positiva se la particella si muove in avanti rispetto all’orientazione dell’asse (cioè se dt > 0, dx > 0) mentre è negativa se si muove all’indietro (cioè se dt > 0, dx < 0). Il grafico di x(t) rispetto a t è una utile rappresentazione del moto in una dimensione. Esso è descritto da una curva nel piano t, X che non deve essere confusa con la traiettoria spaziale della particella, che è sempre una linea retta. La velocità media durante l’intervallo di tempo ∆t = t2 − t1 ha l’interpretazione geometrica della pendenza della linea retta che connette i due punti A e B della curva x(t) a t1 e t2 rispettivamente (vedi Fig.3.3) Prendendo t2 arbitrariamente vicino a t1 , il punto B tenderà ad A e la linea retta che unisce A a B


35

Figura 3.2:

tenderà alla linea tangente della curva x(t) in A. Poiché per definizione la velocità istantanea v nell’istante t1 è il valore limite della velocità media durante ∆t = t2 − t1 per t2 → t1 , essa assume il significato geometrico della pendenza della linea tangente in t1 (vedi Fig. 3.4). Per semplicità, in ciò che segue, noi useremo il termine velocità al posto di velocità istantanea. Durante un certo intervallo di tempo ∆t la velocità istantanea v in genere varierà. Ora introduciamo il concetto di accelerazione di un moto unidirezionale, come la quantità che descrive il cambiamento della velocità nel tempo. Supponiamo che la particella abbia una velocità v1 nell’istante t1 e v2 in un istante successivo t2 > t1 . Definiamo accelerazione media durante un intervallo di tempo ∆t = t2 − t1 la seguente quantità : amedia ≡

v2 − v1 . t2 − t1

(3.1.7)

Partendo da un tempo dato t riduciamo gradualmente ∆t = t0 − t prendendo t0 sempre pi` u vicino a t. Per un ∆t sufficientemente piccolo, noi noteremo che amedia non varierà in modo apprezzabile se noi riduciamo ulteriormente ∆t ma tenderà a un valore che caratterizza lo stato di moto nell’istante t. Questo valore definisce l’accelerazione istantanea a(t) al tempo t. v(t0 ) − v(t) dv d2 x a(t) = lim = = 2 . t0 →t t0 − t dt dt

(3.1.8)

36


Figura 3.3:

L’accelerazione ha la dimensione di una lunghezza divisa per il quadrato del tempo. Se noi indichiamo con [a] la dimensione di a, possiamo scrivere: [a] =

(lunghezza) . (tempo)2

(3.1.9)

Nel sistema MKSA l’accelerazione è misurata in unità m/sec2 . Se il moto è uniforme durante ∆t allora v è costante e quindi a ≡ 0. Pertanto un moto uniforme è caratterizzato dall’annullarsi dell’accelerazione istantanea in ogni istante. Se noi consideriamo un intervallo di tempo sufficientemente piccolo dt durante il quale l’accelerazione a può essere considerata come approssimativamente costante, la variazione della velocità durante dt può essere scritta come dv = a dt. Durante un intervallo di tempo finito ∆t, a in genere varierà. Seguendo la stessa linea di ragionamento che ci ha permesso di derivare l’espressione (3.1.3) per lo spostamento di una particella in un intervallo di tempo finito ∆t = t2 − t1 , noi possiamo dividere ∆t in un numero infinitamente grande di intervalli infinitesimali dt1 , dt2 , . . . durante ciascuno dei quali l’accelerazione istantanea ha il valore a1 , a2 , . . . rispettivamente, e scrivere la variazione della velocità come la somma delle variazioni dv1 , dv2 , dv3 , . . . of v durante ogni intervallo elementare. Z

t2

∆v = v(t2 ) − v(t1 ) = dv1 + dv2 + dv3 + . . . = a1 dt1 + a2 dt2 + . . . =

a(t) dt . t1

(3.1.10)


37

Figura 3.4:

Se a è costante, il moto è chiamato uniformemente accelerato. In questo caso a può essere portata fuori dal simbolo dell’integrale in (3.1.10) e noi troviamo: ∆v = a ∆t .

(3.1.11)

Se il moto è uniformemente accelerato tra t1 e t2 > t1 , lo è anche durante l’intervallo ∆t0 = t − t1 per ogni istante t tra t1 e t2 . Applicando l’equazione (3.1.10) all’intervallo ∆t0 = t − t1 noi troviamo: v(t) − v(t1 ) = a (t − t1 ) ⇒ v(t) = a (t − t1 ) + v(t1 ) .

(3.1.12)

Concludiamo quindi che in un moto uniformemente accelerato la velocità dipende linearmente dal tempo, cioè la sua dipendenza dal tempo è descritta da un polinomio di grado non pi` u grande di uno. Allo scopo di trovare la posizione della particella in funzione del tempo in un moto uniformemente accelerato, applichiamo (3.1.3) all’intervallo di tempo ∆t0 = t − t1 ed usiamo l’espressione (3.1.12) per v(t) Z t Z t a 0 0 x(t) − x(t1 ) = v(t ) dt = (a (t0 − t1 ) + v(t1 )) = (t − t1 )2 + v(t1 ) (t − t1 ) , 2 t1 t1 ⇓ a x(t) = (t − t1 )2 + v(t1 ) (t − t1 ) + x(t1 ) . (3.1.13) 2 Concludiamo che la dipendenza di x(t) da t in un moto uniformemente accelerato è descritto da una parabola nel piano t, x data dall’equazione (3.1.13).

38


Nell’equazione (3.1.13) il tempo t1 è un tempo in cui entrambe la posizione e la velocità della particella sono note. Questi due dati, insieme con l’accelerazione costante a, sono sufficienti a definire l’intero moto della particella, che è descritta dall’equazione (3.1.13). Esercizio 2.3 Come vedremo nei capitoli seguenti, tutti i corpi sulla superficie terrestre cadono approssimativamente con la stessa accelerazione, che si indica con g ∼ 9.8 m/sec2 (in realtà la terra non è nè sferica nè omogenea, pertanto il valore di g varia da punto a punto, anche se di poco). Supponiamo che un corpo che è inizialmente a riposo, sia lasciato cadere nell’istante t1 = 2 sec dall’altezza h = 4 m. Il grave cadrà verso il basso per l’azione della gravità della terra. Noi vogliamo descrivere il suo moto, vale a dire determinare la sua posizione in ogni istante successivo a t1 . Poiché il moto è rettilineo è utile fissare un sistema di coordinate unidimensionale, con l’asse verticale X orientato verso l’alto e l’origine O sulla superficie della terra. Poiché il grave cadrà verso il basso, la sua velocità ad ogni t > t1 sarà negativa rispetto al nostro sistema di coordinate, finché non toccherà il terreno. Durante la sua caduta libera, la velocità assoluta del corpo aumenterà, cioè sarà soggetta ad accelerazione. Tuttavia, dal momento che v(t) è negativo, un aumento di v in valore assoluto corrisponde ad una diminuzione di v come numero reale. Pertanto, durante dt > 0, dv < 0 e quindi l’accelerazione rispetto al nostro sistema di coordinate sarà negativa: a = −g = −9.8 m/sec2 . I dati iniziali del problema sono: al tempo t1 = 2 sec, v(t1 ) = 0 e x(t1 ) = h = 4 m. Usando equazione (3.1.13), troviamo per x(t) la seguente espressione: x(t) = −

9.8 (t − 2)2 + 4 . 2

(3.1.14)

Il grave toccherà il terreno nell’istante t > t1 quando x(t) = 0. L’equazione x(t) = 0 ha due soluzioni in t. A noi interessa la soluzione che è maggiore di t1 , che è t = 2.9 sec. Nella Fig. 3.5 la funzione x(t) è rappresentata rispetto a t. Come anticipato nel precedente esercizio, un corpo è detto accelerato se il valore assoluto della velocità aumenta con il tempo. Ciò avviene se, in un certo istante, v > 0 e a > 0 o v < 0 e a < 0. Si dice che un corpo è decelerato se |v| diminuisce nel tempo e questo è il caso in cui v ed a in un certo istante hanno segno opposto.

3.1.2

Moto nello spazio tridimensionale

Consideriamo ora due istanti t1 e t2 > t1 nei quali la particella si trova nei punti P1 e P2 di −−→ −−→ una curva. Tali posizioni sono descritte dai vettori ~r1 = OP1 = ~r(t1 ) e ~r2 = OP2 = ~r(t2 ) rispettivamente. Supponiamo che ∆t sia l’intervallo di tempo tra t1 e t2 e ∆~r = ~r2 − ~r1 la posizione relativa di P2 rispetto a P1 che misura lo spostamento della particella durante ∆t. Noi definiamo la velocità media della particella tra t1 e t2 (ved. Fig. 3.6.b) Il vettore ~vmedia =

∆~r ~r2 − ~r1 = . t2 − t1 ∆t

(3.1.15)

Notiamo che la distanza percorsa dalla particella durante ∆t non è misurata dalla lunghezza del vettore spostamento |∆~r|, ma piuttosto dalla lunghezza del tratto della sua traiettoria tra


39

Figura 3.5:

P1 e P2 . Supponiamo di voler caratterizzare il moto della particella nell’istante t1 . Possiamo prendere t2 > t1 sufficientemente vicino a t1 cosicché la condizione di moto della particella sia approssimativamente costante durante l’intervallo di tempo ∆t. Possiamo quindi definire velocità istantanea della particella a t1 come il valore limite della velocità media quando t2 si avvicina indefinitamente a t1 , cioè quando ∆t si avvicina allo zero ~v (t1 ) =

lim

∆t→0

∆~r . ∆t

(3.1.16)

Poiché la parte destra di (3.1.16) è, per definizione, la derivata della posizione del vettore ~r(t) rispetto al tempo, calcolato nell’istante t1 , noi possiamo scrivere la velocità in ogni istante t come segue: ~v =

d~r . dt

(3.1.17)

Come t2 si avvicina a t1 il punto B si avvicina ad A ed il vettore posizione relativa ∆~r si avvicinerà alla linea tangente alla traiettoria nel punto A. Possiamo inoltre notare che pi` u t2 è vicino a t1 , e quindi B ad A, meglio la lunghezza |∆~r| del vettore ∆~r approssima la lunghezza ∆s dell’arco della traiettoria tra A e B, cioè la distanza percorsa durante ∆t: |~v (t1 )| =

|d~r| |∆~r| ∆s ds = lim = lim = . ∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t dt dt

(3.1.18)

40


Figura 3.6:

Dalla definizione (3.1.17), ne consegue che lo spostamento della particella dall’istante t in cui la velocità è ~v (t), durante un intervallo di tempo infinitesimo dt (nel quale ~v è approssimativamente costante) è d~r = ~v (t) dt .

(3.1.19)

Se vogliamo calcolare lo spostamento totale ∆~r della particella durante un intervallo di tempo finito ∆t = t2 − t1 , conoscendo la velocità della particella ~v (t) in ogni momento durante ∆t, noi possiamo scomporre ∆t in un numero infinito di intervalli infinitesimali dt1 , dt2 , . . ., durante ciascuno dei quali la velocità può essere considerata costante ed è rappresentata dal vettore ~v1 , ~v2 , . . . . Lo spostamento totale può essere allora essere calcolato come la somma vettoriale dello spostamento d~rn durante ciascun breve intervallo di tempo dtn (n = 1, 2, . . .). Questa soma è descritta matematicamente da un integrale: Z t2 X X ∆~r = d~r1 + d~r2 + . . . = d~rn = ~vn dtn ≡ ~v (t) dt . (3.1.20) n

t1

n

Un moto è detto uniforme se la velocità, come vettore, è costante, cioè non deve cambiare sia in grandezza che in direzione. Se il moto è uniforme dall’ equazione (3.1.20) abbiamo ~v1 = ~v2 = . . . = ~v e possiamo ottenere ∆~r come segue Z t2 X X ∆~r = d~rn = ~v dtn ≡ ~v dt = ~v ∆t , (3.1.21) n

n

t1


41

Cioè, essendo ~v costante durante ∆t, abbiamo portato ~v fuori dal simbolo dell’integrale. Supponiamo di avere un moto uniforme con velocità costante ~v e di conoscere la posizione della particella in un generico istante t1 . Per determinare la posizione ~r(t1 ) della particella in ogni istante t > t1 , dobbiamo solo applicare equazione (3.1.21) all’intervallo di tempo ∆t = t − t1 e troviamo: ~r(t) − ~r(t1 ) = ~v (t − t1 ) ⇒ ~r(t) = ~v (t − t1 ) + ~r(t1 ) .

(3.1.22)

La precedente equazione ci dice che la traiettoria della particella che si muove con moto ` spesso uniforme è una linea retta lungo la direzione di ~v , orientato come ~v , vedi Fig. 3.7. E

Figura 3.7:

utile descrivere il moto di una particella rispetto al sistema di coordinate cartesiane, con versori ortogonali ~ux , ~uy , ~uz e origine O. Lo spostamento della particella da t1 a t2 diventa ∆~r = ~r(t2 ) − ~r(t1 ) = ∆x ~ux + ∆y ~uy + ∆z ~uz ,

(3.1.23)

dove ∆x = x(t2 ) − x(t1 ), ∆y = y(t2 ) − y(t1 ) e ∆z = z(t2 ) − z(t1 ). La velocità media in ∆t è ∆x ∆y ∆z ~ux + ~uy + ~uz . (3.1.24) ∆t ∆t ∆t Prendendo il limite per ∆t → 0, troviamo la velocità istantanea ~v nelle componenti cartesiane: dx dy dz ~v = vx ~ux + vy ~uy + vz ~uz = ~ux + ~uy + ~uz , (3.1.25) dt dt dt ~vmedia =

42


Cioè le componenti cartesiane della velocità sono le derivate delle corrispondenti componenti del vettore posizione. Il moto della particella è ora descritto come la composizione di tre moti lungo le direzioni ortogonali, ciascuna delle quali è descritta dalla velocità istantanea vx , vy , vz . L’equazione (3.1.25) puo essere ottenuta semplicemente derivando il vettore di posizione della particella in (3.0.1) rispetto al tempo, ricordando che i versori del sistema cartesiano non dipendono dal tempo, dal momento che non si muovono con la particella. Introduciamo ora il concetto di accelerazione, che è particolarmente importante, dal momento che esso rappresenta la qualità del moto che è direttamente influenzata da un’azione esterna, cioè da una forza, come vedremo nel prossimo capitolo. L’accelerazione esprime il tasso del cambiamento della velocità rispetto al tempo. A differenza del caso unidirezionale, un vettore in tre dimensioni, come la velocità, può variare non solo in lunghezza, ma anche in direzione. Definiamo l’accelerazione media di una particella durante un intervallo di tempo ∆t = t0 − t come il rapporto tra la variazione della velocità istantanea e lo stesso intervallo di tempo: ~amedia =

∆~v ~v 0 − ~v = , 0 t −t ∆t

(3.1.26)

Dove ~v 0 and ~v sono le velocità istantanee negli istanti t0 e t rispettivamente. Se t0 è abbastanza vicino a t, la velocità può essere considerata approssimativamente costante durante ∆t e quindi nel limite ∆t → 0 l’accelerazione media può essere considerata una caratteristica del moto nell’istante t. Pertanto noi definiamo la accelerazione istantanea ~a(t) nell’istante t come il limite dell’accelerazione media per ∆t → 0, che è nient’altro che la derivata della velocità istantanea nell’istante t. d~v d2~r ∆~v = = 2. ~a = lim ∆t→0 ∆t dt dt

(3.1.27)

Se dt è un intervallo di tempo abbastanza piccolo da poter considerare al suo interno la velocità istantanea all’incirca costante, possiamo esprimere la variazione della velocità in dt come d~v = ~a dt. Durante un intervallo finito ~a in generale varierà. Però se vogliamo calcolare la corrispondente variazione ∆~v di ~v , possiamo decomporre ∆t = t2 − t1 in un numero infinito di piccoli intervalli dt1 , dt2 , dt3 , . . . in ognuno dei quali ~a è costante e rappresentata dai vettori ~a1 , ~a2 , . . .. Allora ∆~v è espresso come soma vettoriale delle variazioni elementari d~v1 = ~a1 dt1 , d~v2 = ~a2 dt2 , . . . in ogni intervallo di tempo elementare infinitesimo. Z t2 ∆~v = ~v (t2 ) − ~v (t1 ) = d~v1 + d~v2 + . . . = ~a1 dt1 + ~a2 dt2 + . . . = ~a dt . (3.1.28) t1

Cos`ı come abbiamo già fatto per la velocità, è utile esprimere l’accelerazione, ad un dato istante, in termini delle sue componenti cartesiane. Ciò è fatto osservando che la variazione totale ∆~v = ~v 0 − ~v della velocità durante l’intervallo di tempo ∆t = t0 − t può essere scritto in componenti cartesiane come segue: ∆~v = ~v 0 − ~v = (vx0 − vx ) ~ux + (vy0 − vy ) ~uy + (vz0 − vz ) ~uz = ∆vx ~ux + ∆vy ~uy + ∆vz ~uz . (3.1.29)


43

L’accelerazione media durante ∆t ha la forma: ~amedia =

∆vy ∆vz ∆vx ~ux + ~uy + ~uz . ∆t ∆t ∆t

L’accelerazione istantanea è il limite dell’accelerazione media per ∆t → 0 ∆vx ∆vy ∆vz ~ux + ~uy + ~uz = ~a = ax ~ux + ay ~uy + az ~uz = lim ∆t→0 ∆t ∆t ∆t dvx dvy dvz d2 x d2 y d2 z ~ux + ~uy + ~uz = 2 ~ux + 2 ~uy + 2 ~uz . dt dt dt dt dt dt

(3.1.30)

(3.1.31)

Nello scrivere i vettori posizione, velocità ed accelerazione di una particella in coordinate cartesiane, abbiamo decomposto il moto totale in tre moti indipendenti uni-dimensionali lungo i tre assi: il moto lungo l’asse X, descritto da x(t), vx (t) = dx/dt e ax (t) = dvx /dt = d2 x/dt2 , il moto lungo l’asse Y, descritto da y(t), vy (t) = dy/dt e ay (t) = dvy /dt = d2 y/dt2 ed il moto lungo l’asse Z, descritto da z(t), vz (t) = dz/dt e az (t) = dvz /dt = d2 z/dt2 . Osserviamo che questi tre moti possono essere descritti indipendentemente come tre moti unidimensionali lungo i tre assi cartesiani. Il problema dello studio del moto tridimensionale è ora ridotto al semplice problema di studiare tre moti uni-dimensionali. Come esempio consideriamo il

Figura 3.8:

moto uniforme, descritto dal vettore posizione ~r(t) dato nell’ equazione (3.1.22). L’equazione (3.1.22) è una uguaglianza tra due vettori. Poiché l’eguaglianza tra due vettori sussiste

44


se e solo se vale l’uguaglianza per ciascuna delle sue corrispondenti componenti, possiamo riscrivere (3.1.22) come un sistema di tre equazioni che corrispondono alle tre direzioni cartesiane x(t) = vx (t − t1 ) + x(t1 ) , y(t) = vy (t − t1 ) + y(t1 ) , z(t) = vz (t − t1 ) + z(t1 ) .

(3.1.32) (3.1.33)

Queste sono le equazioni parametriche di una linea retta nello spazio tridimensionale, lungo la direzione di ~v , che passa per il punto: ~r(t1 ) = x(t1 )~ux +y(t1 )~uy +z(t1 )~uz . Ciascuna equazione nel sistema (3.1.32) ha la forma (3.1.6) e cos`ı descrive un moto uniforme uni-dimensionale. Esercizio 2.3 Si consideri una particella che si muove sul piano XY (la cui coordinata z è pertanto nulla (z(t) ≡ 0) il cui vettore posizione come funzione del tempo è dato da: ~r(t) = x(t) ~ux + y(t) ~uy , x(t) = R cos(ωt) , y(t) = R sin(ωt) ; R = 1 m ; ω = 2π sec−1

(3.1.34)

Determinare la traiettoria, la velocità e l’accelerazione della particella in un istante generico. Se si disegna la posizione della particella nei diversi istanti, ci si può convincere che la traiettoria è un cerchio di raggio R. Infatti se calcoliamo la distanza dall’origine al variare del tempo, ovvero il modulo del vettore posizione, troviamo che essa è costante: |~r|2 = x(t)2 + y(t)2 = R2 ,

(3.1.35)

(ved. Fig.3.9.a). Vediamo dalla figura 3.9 che ~r(t) è un vettore che giace sul piano XY, la cui origine è fissata nell’origine del sistema di coordinate e la cui punta ruota in senso antiorario. L’angolo ϕ(t) tra ~r(t) e l’asse X è ϕ(t) = ωt ed è misurato in radianti. La quantità ω può essere interpretata come il tasso di variazione nel tempo dell’angolo ϕ(t) che definisce la posizione della particella lungo il cerchio ω ≡

dϕ , dt

(3.1.36)

ed è chiamata velocità angolare. Per calcolare la velocità usiamo l’equazione (3.1.25) e deriviamo il vettore posizione rispetto il tempo, derivando ciascuna delle sue componenti. ~v = vx ~ux + vy ~uy + vz ~uz =

d~r dx dy dz = ~ux + ~uy + ~uz , dt dt dt dt

vx = −R ω sin(ωt) , vy = R ω cos(ωt) , vz = 0 . (3.1.37)


45

Figura 3.9:

Possiamo notare che solo la direzione della velocità varia con il tempo, non il suo modulo: q |~v | = (vx )2 + (vy )2 = R ω = 2 π m/sec . (3.1.38) Questo moto è chiamato moto circolare uniforme. Se noi rappresentiamo il vettore velocità in ogni istante, possiamo constatare che è certamente tangente alla traiettoria, vedi Fig. ` facile verificare che ~v e ~r sono perpendicolari in ogni istante, poiché l’angolo tra essi 3.9.b. E è sempre π/2 ~v · ~r = 0 .

(3.1.39)

Calcoliamo ora l’accelerazione, usando equazione (3.1.31) ~a = ax ~ux + ay ~uy + az ~uz =

dvx dvy dvz d~v = ~ux + ~uy + ~uz , dt dt dt dt

ax = −R ω 2 cos(ωt) , ay = −R ω 2 sin(ωt) , az = 0 . (3.1.40) Se noi raffiguriamo a(t) in ogni istante, possiamo vedere che essa è sempre diretta lungo la direzione radiale, verso il centro, vedi Fig. 3.9.c. Infatti si può verificare che ~a(t) = −ω 2 ~r(t).

46


Il modulo dell’accelerazione è parimenti costante ed è dato da: |~v |2 . R

|~a| = R ω 2 =

(3.1.41)

Questa accelerazione è anche chiamata radiale o centripeta. Possiamo comprendere la formula anche in un modo pi` u intuitivo. Consideriamo il vettore velocità ~v e ~v 0 nei due istanti t, t0 = t+∆t > t, come nella Fig. 3.10.a. I tre vettori ~v , ~v 0 , ∆v = ~v 0 −~v formano un triangolo

Figura 3.10:

isoscele ABC (vedi Fig. 3.10.b). Ora osserviamo che l’ angolo ∆ϕ = ω ∆t tra ~v and ~v 0 è uguale all’angolo tra il vettore posizione ~r e ~r0 nei due istanti. Il triangolo OP P 0 definito da ~r, ~r0 e la corda |P P 0 | della circonferenza è parimenti isoscele e pertanto è simile a ABC. Cos`ı possiamo scrivere: |BC| |P P 0 | = ⇒ |AB| |OP |

|∆~v | |∆~r| = . |~v | R

(3.1.42)

Ora, prendiamo ∆t molto piccolo, cioè prendiamo il limite ∆t → 0. Questo vuol dire che consideriamo un intervallo infinitesimo dt. In questo limite la corrispondente variazione ∆ϕ ∼ dϕ dell’angolo ϕ sarà dϕ = ω dt ed è infinitesima come la lunghezza della corda |P P 0 | e quindi può essere ben approssimata dalla lunghezza dell’arco ds della circonferenza che sottende dϕ.


47

Usando equazione (3.1.18) possiamo scrivere ds = |~v | dt, e riscrivere la seconda delle equazioni (3.1.42) nel limite ∆t → 0 in termini di quantità infinitesimali: |d~v | ds |~v | dt |∆~v | = = = , ∆t→0 |~ v| |~v | R R lim

(3.1.43)

e concludere che d~v |~v |2 |~a| = = . dt R

(3.1.44)

Inoltre, poiché la somma degli angoli interni del triangolo è 2π, nel limite ∆ϕ → 0, gli altri due angoli interni al triangolo ABC diventeranno angoli retti e quindi d~v ed ~a sono perpendicolari a ~v . Questa è una proprietà generale: la variazione infinitesimale di un vettore con grandezza costante è sempre perpendicolare allo stesso vettore. Il periodo di un moto circolare uniforme è definito come il tempo che impiega la particella a coprire una volta tutta la circonferenza. Quando la particella ritorna nella sua posizione iniziale dopo aver percorso una volta l’intero cerchio, la variazione totale di ϕ è ∆ϕ = 2 π e quindi ∆ϕ = 2 π = ω T ; T =

2π . ω

(3.1.45)

` utile descrivere il moto circolare uniforme in Nel nostro caso troviamo che T = 1 sec. E termini di coordinate polari r, ϕ nel piano del moto. In queste coordinate il moto è descritto dall’equazione r(t) ≡ R e ϕ(t) = ω t. Queste equazioni, usando (2.2.9), danno (3.1.34). In questo sistema di coordinate l’accelerazione centripeta e la velocità hanno la semplice forma: v2 ~ur = −ω 2 R ~ur , R ~v = v ~uϕ = ω R ~uϕ ,

~a = −

(3.1.46) (3.1.47)

` utile definire il vettore velocità angolare ω Dove v = |~v |. E ~ = ω~uz , dove l’asse Z è ortogonale al piano del moto e la sua orientazione è legata al senso positivo scelto per l’angolo ϕ, nel nostro caso quello antiorario, dalla regola della mano destra. Se ω > 0 la particella si muove in senso antiorario e ω ~ è orientato verso l’esterno. Se, al contrario, la particella si muove in senso orario, ω < 0 e ω ~ entrera’ nel piano della figura. Lo studente può verificare che, in ogni istante, vale la relazione seguente: ~a = ω ~ × ~v .

(3.1.48)

Exercise 2.4 Si consideri una palla di cannone che è sparata da un punto della superficie della terra in un istante iniziale t0 con una velocità iniziale ~v (0) . Studiate la traiettoria descritta dalla palla di cannone durante il suo moto. Per semplicità fissiamo il nostro sistema di coordinate in modo che il cannone sia posto nell’origine O e la velocità iniziale si trovi sul piano YZ. L’asse Z è allora scelto in modo che

48


sia ortogonale alla superficie terrestre. Poiché la velocità iniziale si trova sul piano YZ, la (0) sua componente lungo l’asse X è zero, vx = 0, ed avrà la seguente formula generale: ~v (0) = vy(0) ~uy + vz(0) ~uz = v (0) cos(θ) ~uy + v (0) sin(θ) ~uz ,

(3.1.49)

Dove v (0) = |~v (0) | e θ è l’angolo tra ~v (0) e l’asse Y. Se la distanza percorsa dalla palla è trascurabile rispetto alla estensione della terra (il raggio della terra è approssimativamente R = 6371 Km), allora possiamo trascurare la curvatura della superficie terrestre. Dalla la teoria della gravitazione di Newton sappiamo che, in questa situazione, la forza di gravità esercitata dalla terra sulla palla produrrà un’accelerazione costante e diretta verso il basso ~a = −g~uz ; g = 9.8 Km/sec2 .

(3.1.50)

Vogliamo determinare la posizione della palla ~r(t) in ogni istante t > t0 . Partendo dalla definizione di accelerazione, possiamo scrivere: d2~r d~v = 2. (3.1.51) dt dt Possiamo scomporre il moto nei moti rettilinei componenti lungo i tre assi, riscrivendo la precedente equazione nei suoi componenti ~a =

d2 z dvz = 2, dt dt dvy d2 y Y axis : 0 = = 2, dt dt dvx d2 x X axis : 0 = = 2 . (3.1.52) dt dt Questi tre moti possono essere studiati indipendentemente. I moti lungo gli assi X e Y sono (0) (0) uniformi con velocità vx e vy rispettivamente e sono dati da Z axis : −g =

x(t) = x(t0 ) = 0 , y(t) = vy(0) (t − t0 ) + y(t0 ) = vy(0) (t − t0 ) = v (0) cos(θ) (t − t0 ) ,

(3.1.53)

(0)

dove noi abbiamo usato il fatto che vx = 0 e che la palla è situata a t0 nell’origine: x(t0 ) = y(t0 ) = z(t0 ) = 0. Poiché x(t) ≡ 0 in ogni istante, l’intera traiettoria giacerà nel piano Y Z. Il moto lungo l’asse Z è uniformemente accelerato e pertanto z(t) è dato dall’equazione (3.1.13) g (3.1.54) z(t) = − (t − t0 )2 + vz(0) (t − t0 ) . 2 Usando l’equazione (3.1.53), possiamo esprimere t−t0 come una funzione di y ed allora, sostituendo il risultato nell’equazione (3.1.54), possiamo determinare l’equazione della traiettoria z = f (y) sul piano YZ: (0)

g vz g z = f (y) = − 2 y 2 + (0) y = − y 2 + tan(θ) y . 2 (0) 2 (0) 2 (v ) cos(θ) vy 2 vy

(3.1.55)


49

Figura 3.11:

La traiettoria è parabolica (vedi Fig. 3.11) e la palla colpirà il terreno alla distanza d in cui z(d) = 0 d =

v (0)

2

sin(2 θ) . g

(3.1.56)

Questa distanza è massima se la palla di cannone viene lanciata a θ = π/4. Le componenti sono determinate derivando, rispetto al tempo, x(t), y(t), z(t) dx = 0, dt dy vy (t) = = vy(0) = v (0) cos(θ) , dt dz vz (t) = = −g (t − t0 ) + vz(0) = −g (t − t0 ) + v (0) sin(θ) , dt

vx (t) =

(3.1.57)

Quanto tempo impiegherà la palla a toccare il suolo? Per rispondere a questa domanda noi possiamo trascurare la componente verticale del suo moto e considerare la componente orizzontale, cioè il moto lungo l’asse Y, che, come abbiamo visto, è uniforme con velocità (0) costante vy = v (0) cos(θ). Indichiamo con t1 istante in cui la palla tocca il terreno. Usando la seconda delle equazioni. (3.1.53), possiamo calcolare la durata totale ∆t = t1 − t0 di volo

50


` il tempo che impiega un oggetto che si muove dal lancio iniziale all’atterraggio finale. E (0) lungo una linea retta con velocità costante vy a coprire una distanza pari a d: ∆t =

3.2

d (0) vy

=

v (0)

d . cos(θ)

(3.1.58)

Moti relativi

Come accennato all’inizio del capitolo, quello di moto è un concetto relativo, nel senso che la sua descrizione va sempre riferita ad un osservatore. Due osservatori, in moto relativo l’uno rispetto all’altro, che studiano uno stesso moto (p.es. di una particella), in generale lo descriveranno in modo diverso, ovvero i valori delle grandezze cinematiche che essi misureranno nei rispettivi Sistemi di Riferimento (SR) saranno diversi. Il moto di una bicicletta, visto da un osservatore fermo sulla strada sarà caratterizzato da una certa velocità, mentre rispetto al ciclista la bicicletta sarà ferma. Ma il fenomeno descritto dai due SR è lo stesso. Questo signiica che deve esistere una relazione generale che lega le descrizioni del moto rispetto a due SR in moto relativo, che si esprime come una relazione tre le corrispondenti grandezze cinematiche. Supponiamo di essere dermi rispetto ad un SR, che chiameremo S, definito da

Figura 3.12:

un sistema di coordinate cartesiane ortogonali con assi X, Y, Z ed origine O, e consideriamo → − un secondo SR S 0 , in moto traslatorio rispetto ad S con velocità V , e definito da un sistema di coodinate cartesiane con assi X 0 , Y 0 , Z 0 ed origine O0 , vedi Figura 3.12.

3.2. MOTI RELATIVI

51

Siano t e t0 i tempi misurati rispetto ad S e S 0 . Facciamo l’ipotesi, comunemente assunta nella fisica classica, che il tempo sia assoluto, ovvero che gli intervalli di tempo misurati nei due SR coincidano, in modo che, sincronizzati i due orologi sullo stesso istante iniziale t = 0, t0 = 0, abbiamo1 t ≡ t0 .

(3.2.1)

→ − Tutti i punti solidali ad S 0 , incluso O0 , si muovono rispetto ad S con velocità V . In particolare − −→ → − quindi possiamo rappresentare V come la derivata del vettore posizione OO0 (t) rispetto al tempo: → − V =

d −−→0 (OO ) . dt

(3.2.2)

Supponiamo che in un istante t la particella in esame si trovi in punto P , definito dal vettore −−→ −→ posizione ~r(t) = OP rispetto ad S e dal vettore ~r 0 (t) = OP 0 rispetto ad S 0 . Dalla Figura 3.12 risulta che −−→ −−→ −→ −−→ ~r(t) = OP = OO0 (t) + OP 0 = OO0 (t) + ~r 0 (t) . (3.2.3) Derivando primo ed ultimo membro rispetto a t troviamo una relazione tra le velocità ~v e ~v 0 della particella rispetto ad S ed S 0 rispettivamente: ~v =

d −−→ d~r0 → d~r − = (OO0 ) + = V + ~v 0 . dt dt dt

(3.2.4)

Sia ~aS 0 l’accelerazione di S 0 rispetto ad S: ~aS 0 =

→ − dV d2 −−→ = 2 (OO0 ) . dt dt

(3.2.5)

Derivando ulteriormente la (3.2.4) rispetto al tempo, troviamo una relazione le accelerazioni ~a e ~a0 della particella rispetto ad S ed S 0 rispettivamente: → − d~v dV d~v 0 ~a = = + = ~aS 0 + ~a0 . (3.2.6) dt dt dt → − Se S 0 si muove di moto uniforme rispetto ad S, V = cost. e quindi ~aS 0 = 0. In tal caso ~a = ~a0 .

(3.2.7)

Ritorneremo a discutere di questa proprietà quando, nel prossimo capitolo, discuteremo dei SR inerziali. 1

Questa ipotesi fu abbandonata all’inizio del secolo scorso da A. Einstein il quale suppose che, proprio come lo stazio, anche il tempo non fosse assoluto. Questo gli permise di formulare la sua Relatività Ristretta, che generalizza della meccanica classica a fenomeni in cui le velocità in gioco sono paragonabili a quella della luce.

52


Supponiamo ora che a t = 0 i due sistemi di coordinate coincidano: X ≡ X 0 , Y ≡ Y 0 , Z ≡ Z 0 , O ≡ O0 . Supponiamo inoltre che gli assi si mantengano paralleli nel tempo: ~ux = ~u0x , ~uy = ~u0y , ~uz = ~u0z . Possiamo scrivere: ~r(t) = x(t) ~ux + y(t) ~uy + z(t) ~uz ≡ (x(t), y(t), z(t)) , ~r 0 (t) = x0 (t) ~u0x + y 0 (t) ~u0y + z 0 (t) ~u0z = x0 (t) ~ux + y 0 (t) ~uy + z 0 (t) ~uz ≡ (x0 (t), y 0 (t), z 0 (t)) . −−→ Se supponiamo il moto di S 0 rispetto ad S unoforme, ricordando che a t = 0, OO0 = ~0,risulta: −−→0 → − OO = V t ≡ (Vx t, Vy t, Vz t) .

(3.2.8)

La (3.2.3) si riscrive in questo caso, in componenti, come una relazione tra le coordinate della particella rispetto ai due SR: x(t) = Vx t + x0 (t) , y(t) = Vy t + y 0 (t) , z(t) = Vz t + z 0 (t) .

(3.2.9)

Analogamente per la velocità e le accelerazioni: vx (t) = Vx + vx0 (t) ; ax (t) = a0x (t) , vy (t) = Vy + vy0 (t) ; ay (t) = a0y (t) , vz (t) = Vz + vz0 (t) ; az (t) = a0z (t) .

(3.2.10)

Le relazioni (3.2.9), (3.2.10) sono note come leggi di trasformazione di Galileo, da Galileo Galilei che per primo le scrisse.

Capitolo 4 Dinamica Il problema tipico della meccanica è determinare il moto di un corpo che interagisce con l’ambiente circostante caratterizzato dalla presenza di altri corpi, per esempio il moto della terra sotto l’azione della forza di gravità del sole e degli altri pianeti del sistema solare. Nel capitolo precedente abbiamo affrontato il problema di descrivere il moto di un corpo puntiforme senza considerare gli agenti che lo influenzano cioè l’azione su di esso dell’ambiente nel quale si muove. In questo capitolo completeremo questa descrizione introducendo le leggi fondamentali della meccanica classica, formulate da Galileo Galilei ed Isaac Newton, che mettono in relazione l’azione dell’ambiente su un dato corpo con il suo moto. La parte della meccanica che studia il moto di un oggetto in relazione alle cause che lo determinano, è chiamata dinamica.

4.1

Principio di inerzia e leggi di Newton

Che cosa causa il moto? In che modo l’azione di un corpo su di un oggetto può causare il moto di quest’ultimo? Fino a Galileo Galilei si credeva che, se non influenzato da un agente esterno, ogni corpo sarebbe stato in condizione di quiete. Questo punto di vista era in un certo senso motivato dall’esperienza di ogni giorno: se noi spingiamo un oggetto su di un piano orizzontale, questo inizierà a muoversi, anche accelerando, finché noi agiamo su di esso per poi rallentare gradualmente fino a fermarsi. La convinzione che, se non sottoposto ad un’azione, ogni corpo rimarrebbe fermo, fu per la prima volta messa in discussione da Galileo che usò il metodo scientifico per indagare questi fenomeni. Per comprendere l’effetto di un’azione esterna sul moto di un corpo, dovremmo paragonare questo moto a quello di un corpo che non è soggetto a nessuna azione, cioè che non interagisce con altri oggetti. Naturalmente un simile oggetto, che chiameremo isolato o libero, non esiste in natura. Ogni corpo sulla superficie della terra è soggetto all’attrazione gravitazionale ed inoltre, essendo l’azione gravitazionale avvertita anche ad una distanza infinitamente grande, non possiamo immaginare, nel nostro universo, un corpo isolato, poiché esso avvertirebbe l’attrazione gravitazionale di stelle e galassie, non importa quanto queste siano distanti. Tuttavia possiamo pensare a situazioni sperimentali in cui le influenze esterne su di un corpo sono molto piccole e di qui estrapolare quale sarebbe il moto di un corpo libero. 53

54

CAPITOLO 4. DINAMICA

L’azione di un corpo su di un altro è descritta in termini di una quantità fisica chiamata forza di cui in seguito verrà data una definizione operativa. Torniamo all’esempio di un oggetto che si muove su di un piano orizzontale. Quando si muove esso è sottoposto all’azione di tre forze: la forza di gravità terrestre che lo attira verso il centro della terra, la reazione del piano che si oppone alla forza di gravità e ne compensa gli effetti, cos`ı che l’oggetto non cade ma continua a rimanere in posizione verticale; infine, c’è una forza di attrito esercitata dal piano orizzontale sull’oggetto, che si oppone al suo moto e lo fa rallentare ed infine fermare. Questo oggetto non può certamente considerarsi isolato. Tuttavia, possiamo trascurare l’effetto su di esso della forza di gravità,, poiché essa è compensata dalla reazione del piano, e concentrarci sui soli effetti che la forza d’attrito esercita sul suo moto. Possiamo ridurre l’attrito rendendo il piano pi` u levigato e, nello stesso tempo, prendendo un oggetto di forma sferica. Nel fare ciò, vediamo che l’oggetto, dopo una spinta, impiegherà pi` u tempo per fermarsi e percorrerà distanze pi` u lunghe. Come caso limite possiamo prendere un oggetto che è separato dal piano orizzontale levigato da un cuscinetto d’aria, cos`ı che la forza dell’attrito divenga trascurabile1 . Questo è quanto di meglio possiamo ottenere sulla terra per simulare un oggetto libero. Constateremo che l’oggetto continuerà a muoversi alla stessa velocità per sempre, o per lo meno fino a quando non decideremo di fermarlo. Estrapolando i risultati di queste osservazioni, possiamo dedurre che le forze non sono responsabili dello stato di moto di un corpo, cioè della sua velocità, ma piuttosto esse determinano un suo cambiamento, cioè una accelerazione. Quando noi spingiamo su di un tavolo un oggetto che è inizialmente fermo, esercitiamo una forza e, come conseguenza di ciò, il suo stato di moto cambierà. L’oggetto acquisterà velocità e quindi accelererà. Dopo che lasciamo l’oggetto, la forza di attrito rallenterà il moto dell’oggetto che decelererà. L’effetto di una forza è quindi, sempre un’accelerazione, intesa come variazione di velocità. Possiamo approfondire la nostra analisi e mostrare sperimentalmente che l’accelerazione dovuta a una data forza non dipende dalla velocità iniziale dell’oggetto.

4.1.1

Prima e seconda legge di Newton’s

Da queste osservazioni, Galileo potè formulare il suo Principio di inerzia che poi fu riformulato da Newton in questi termini: Ciascun corpo persisterà nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme finché non è indotto a cambiare il suo stato da forze che agiscono su di esso. Questa è anche conosciuta come Prima legge di Newton del moto. Come abbiamo anticipato nel precedente capitolo, non esiste una nozione di moto assoluto. La descrizione del moto è sempre riferita ad un determinato sistema di riferimento. Supponiamo di essere seduti su di una piattaforma ruotante all’interno del laboratorio. Descriveremo ciò che vediamo rispetto ad un sistema di riferimento che è a riposo rispetto a noi. Dal nostro punto di vista, gli oggetti che sono fermi rispetto al laboratorio, si muoveranno intorno a noi con moto circolare. Questi oggetti hanno quindi un’accelerazione rispetto 1

Spesso si usano dischi a ghiaccio secco (anidride carbinica liquida), studiati in modo tale che, sublimando il ghiaccio secco, si venga a creare uno strato di anidride carbinica tra la superficie inferiore del disco ed il piano su cui esso poggia.

4.1. PRINCIPIO DI INERZIA E LEGGI DI NEWTON

55

a noi senza che nessuna forza agisca su di essi. Sembra che il principio di inerzia non valga nel nostro sistema di riferimento. Tuttavia, il nostro sistema di riferimento, cioè noi stessi e tutti gli strumenti che noi usiamo per misurare lunghezza e tempo, si muove insieme alla piattaforma. Rispetto ad un osservatore che è fermo rispetto alla terra, il nostro moto è spiegato in termini di una forza, la forza d’attrito , che è esercitata dalla piattaforma sulla sedia sulla quale siamo seduti e, attraverso la sedia, si trasferisce al nostro corpo. Rispetto a tale osservatore tutti gli oggetti nel laboratorio, inclusi noi e i nostri strumenti, obbediscono alla prima legge di Newton, senza eccezione. Possiamo concludere che il principio di inerzia vale rispetto ai sistemi di riferimento che non sono essi stessi soggetti a forze, cioè che sono isolati. Questi sistemi sono chiamati inerziali. Come in natura non esistono corpi liberi, cos`ı non esistono sistemi inerziali . Essi piuttosto vanno considerati come casi-limite. Un laboratorio che è in quiete rispetto alla superficie terrestre, come la terra stessa, è soggetto all’influenza gravitazionale del sole, della luna e cos`ı via. Inoltre le forze di coesione lo trascinano con la terra nel suo moto di rotazione intorno all’asse terrestre. Tuttavia, per una certa classe di fenomeni, come il semplice moto di un oggetto su un tavolo, l’effetto di queste influenze esterne è trascurabile e il laboratorio può essere considerato, con buona approssimazione, un sistema inerziale. Sistemi inerziali diversi possono, al pi` u, muoversi con moto uniforme gli uni rispetto agli altri. Approfondiremo la nostra discussione sui SR inerziali dopo aver introdotto le leggi di Newton nella sezione 4.4. Diamo ora una definizione quantitativa di forza, cioè definiamo un procedimento sperimentale per misurarla. Possiamo misurare una forza mediante l’accelerazione che essa produce su un corpo di prova A. Prendiamo, per esempio, il corpo A che è libero di muoversi su di un tavolo senza attrito e leghiamo ad esso l’estremità di una molla elastica che noi teniamo dall’altro capo. Se tendiamo la molla fino ad una certa lunghezza, tirando la sua estremità, essa eserciterà una forza su A, causandone una accelerazione. Questa accelerazione non dipende dallo stato di moto iniziale di A, ma solo dalla lunghezza di cui è stata estesa la molla, al di là della sua naturale lunghezza. Diremo che due forze sono uguali se producono la stessa accelerazione su A. Inoltre, definiamo la direzione di una forza come la direzione dell’accelerazione prodotta. Definiamo la somma di due o pi` u forze come la forza risultante dall’azione simultanea di queste forze sullo stesso corpo. Se applichiamo due forze uguali ad A, aventi la stessa direzione, ne risulterà un’accelerazione doppia di quella prodotta da ogni singola forza. Allo stesso modo, applicando tre forze uguali, lungo la stessa direzione sullo stesso oggetto, l’accelerazione risultante è tre volte quella causata da ciascuna di esse e cos`ı via. Possiamo concludere che su un dato corpo la forza è proporzionale all’accelerazione prodotta. Fissiamo ora una unità di forza uF che causa una certa accelerazione su A, ad esempio di 1 m/sec2 , ed esprimiamo ogni altra forza in funzione di essa. L’effetto di una forza dipende anche dalla direzione lungo la quale è esercitata. Per esempio, l’accelerazione del corpo A dipende dalla direzione lungo la quale tiriamo l’elastico e coincide con essa. Possiamo → − dedurre che una forza è quindi, una quantità vettoriale, F , definita da una lunghezza che misura la sua intensità in unità uF , una direzione ed un verso lungo il quale essa è esercitata. Inoltre, come abbiamo detto, è naturale assumere che la direzione e il verso coincidono → − con la direzione ed il verso dell’accelerazione che la forza produce: F ∝ ~a. Da semplici

56


esperimenti possiamo convincerci che le forze si sommano come quantità vettoriali e non come numeri: l’effetto dell’azione simultanea di due forze lungo direzioni diverse è un’accelerazione data dalla somma vettoriale delle accelerazioni che le singole forze produrrebbero se agenti → − separatamente. Supponiamo che una forza F 1 che agisce lungo la direzione X su A, produca un’accelerazione lungo X di 4 m/sec2 . Se noi applichiamo le due forze su A simultaneamente, il risultato è un’accelerazione ~a di 5 m/sec2 lungo una direzione il cui angolo con Y ha → − tangente 4/3. Questa accelerazione è prodotta da una forza F con la stessa direzione ed orientazione di ~a, ed intensità F = 5 uF . Questo vettore risulta essere la somma delle forze → − → − → − → − F 1 ed F 2 . Infatti, poiché F 1 = 4 (uF ) ~ux e F 2 = 3 (uF ) ~uy , troviamo → − → − → − F = F1+ F2, q → − → − → − F = | F | = | F 1 |2 + | F 2 |2 = 5 uF .

(4.1.1)

Possiamo generalizzare questo risultato dicendo che l’accelerazione prodotta dall’azione simultanea di due o pi` u forze è la somma vettoriale delle accelerazioni che ciascuna forza produrrebbe se agisse separatamente e che è la stessa accelerazione che sarebbe causata da una forza uguale alla somma vettoriale di tutte le forze. In conclusione, possiamo consistentemente definire la forza che agisce su un dato corpo come un vettore che è proporzionale all’accelerazione che essa causa. Finora abbiamo considerato forze diverse che agiscono su di uno stesso corpo prova A. Che cosa accadrebbe se applicassimo la stessa forza a corpi diversi? L’esperienza ci insegna che, se noi applicassimo la stessa forza ad una palla da tennis, essa causerebbe una accelerazione che è pi` u grande di quella prodotta dalla stessa forza su di una palla da foot-ball. Esiste una qualità, che ogni corpo ha, che misura la resistenza che esso oppone al cambiamento del suo stato di moto, cioè all’essere accelerato dall’azione di una forza. Questa qualità è chiamata inerzia e la corrispondente quantità fisica è chiamata massa inerziale (o semplicemente massa) m. Pi` u grande è la massa inerziale, pi` u piccola è l’accelerazione prodotta dall’azione di una stessa forza. Dall’esempio precedente concludiamo che la palla da foot-ball ha una massa inerziale pi` u grande della palla da tennis. Supponiamo di applicare la stessa forza F a due corpi A e B con masse inerziali mA e mB , rispettivamente, e chiamiamo aA e aB le accelerazioni corrispondenti lungo la stessa direzione. Definiamo il rapporto delle masse inerziali come segue aA mB = . mA aB

(4.1.2)

Se applicassimo una forza diversa F 0 ai due oggetti, essi subirebbero diverse accelerazioni a0A e a0B , ciò nonostante troveremmo: mB aA a0 = = 0A . mA aB aB

(4.1.3)

Concludiamo quindi che il suddetto rapporto dipende solo dai due oggetti e non dalla loro accelerazione. Possiamo allora fissare la massa inerziale di un oggetto A campione come unità

4.1. PRINCIPIO DI INERZIA E LEGGI DI NEWTON

57

di riferimento mediante la quale misurare la massa inerziale di ogni altro oggetto: mA = um . Per essere precisi la massa inerziale m è misurata in unità um paragonando l’accelerazione a e aA prodotta su esso e sull’oggetto di riferimento A dalla stessa forza m =

aA um . a

(4.1.4)

Tutte le considerazioni espresse sopra sono riassunte da una singola formula matematica che è anche conosciuta come la seconda legge di Newton: d~v F~ = m ~a = m . dt

(4.1.5)

Rispetto a un sistema di coordinate cartesiano ortogonale, possiamo scrivere l’equazione (4.1.5) come tre equazioni nelle componenti corrispondenti: Fx = m ax , Fy = m ay , Fz = m az .

(4.1.6)

L’equazione (4.1.5) è l’equazione di moto di una particella che ha massa inerziale m, nella quale F~ denota la somma di tutte le forze che agiscono sulla particella in un certo istante e ~a è l’accelerazione risultante. Definiamo ora la quantità di moto (o momento) p~ di una particella di massa m che si muove alla velocità ~v come: p~ ≡ m ~v .

(4.1.7)

Se la massa inerziale non dipende dal tempo, possiamo portare m dentro il simbolo di derivata nell’equazione (4.1.5), e quindi riscriverla come: d(m ~v ) d~p = . F~ = dt dt

(4.1.8)

Questa è la formulazione originale della seconda legge di Newton che risulta avere una validità pi` u generale dell’ equazione nella forma (4.1.5). Ad esempio, essa descrive correttamente il moto di sistemi in cui la massa m varia con il tempo, come per esempio un razzo che vola e che riduce la sua massa espellendo i gas dovuti alla combustione. Inoltre, l’equazione (4.1.5) è inadeguata nel descrivere il moto di particelle le cui velocità sono paragonabili alla velocità della luce c = 3 × 108 m/sec. In questo limite, chiamato limite relativistico, la meccanica newtoniana cessa di valere e la massa inerziale di una particella acquista una dipendenza dalla sua velocità. In questo limite la corretta descrizione del suo moto è fornita dalla teoria della Relatività Speciale di Einstein. Tuttavia si può dimostrare che l’equazione (4.1.8) vale ancora nel limite relativistico a patto che la definizione di p~ venga generalizzata. La corretta forma dell’equazione del moto è pertanto (4.1.8). Essa diviene l’equazione (4.1.5) nel limite in cui la velocità della particella è molto pi` u piccola della velocità della luce (v c, limite non

58


relativistico) e la massa non dipende sensibilmente dal tempo. In questo corso limiteremo la nostra analisi a sistemi non relativistici per i quali vale la meccanica newtoniana. C’è un’ultima osservazione da fare sulla definizione di forza. Una forza dovrebbe sempre essere intesa come un vettore che si origina nel punto in cui è applicata. Allora si dice che il vettore che rappresenta la forza è applicato a quel punto. Solo le forze che sono esercitate sullo stesso punto, p.es. che agiscono sulla stessa particella, possono essere sommate. Come anticipato nell’introduzione, l’unità di misura della massa nel sistema MKSA è il Kilogrammo (Kg). Poiché la dimensione di una forza, secondo l’eq (4.1.5) è: [F ] = (massa) × (accelerazione) =

(massa) × (lunghezza) , (tempo)2

(4.1.9)

La sua unità di misura nel sistema MKSA, il Newton (N), è definita come: 1 N = 1 Kg m/sec2 .

4.1.2

(4.1.10)

Interazione e terza legge di Newton

Quando spingiamo un mattone su di un piano orizzontale, esercitiamo su di esso una forza. Allo stesso tempo avvertiamo una forza esercitata dal mattone sulla nostra mano. Questa forza può essere intesa come reazione del mattone alla nostra azione di spinta. Pi` u fortemente spingiamo il mattone, pi` u forte sarà la sua reazione sulla nostra mano. In Natura le forze si manifestano sempre nelle interazioni, cioè nelle azioni reciproche fra due o pi` u corpi: esse non sono mai unilaterali. Ogniqualvolta un oggetto A esercita una forza sull’oggetto B, l’oggetto B esercita nello stesso istante una forza su A2 . Quale delle due forze è chiamata azione e quale reazione, dipende dalle convenzioni adottate. L’esperienza mostra che ad ogni azione corrisponde una reazione opposta. Esse sono rappresentate da forze che agiscono rispettivamente sui due corpi in interazione, lungo la stessa direzione, con la stessa intensità, ma con verso opposto vedi fig. Fig. 4.1. Questo è il contenuto della terza legge di Newton. L’azione e la reazione non possono essere sommate poiché esse sono applicate a due punti diversi. Se esse potessero essere sommate, l’effetto risultante sarebbe nullo, poiché si cancellerebbero a vicenda.

4.2

Metodo statico e dinamico per misurare le forze

Per misurare la forza su un dato corpo, possiamo procedere misurandne l’accelerazione risultante e poi, conoscendo la massa, usare l’equazione del moto (4.1.5). Questa può essere definita misurazione dinamica di una forza. Talvolta è pi` u conveniente usare un secondo procedimento, che chiameremo statico. Supponiamo che un corpo sia sottoposto ad una forza F~ . Esercitiamo sul corpo una seconda forza F~ 0 che possiamo variare finché si raggiunge una condizione di equilibrio in cui il corpo è in quiete. Ciò significa che si ha ~a = 0. Secondo 2

Vedremo nella seconda parte del corso come il concetto di azione istantanea a distanza va corretta.

4.2. METODO STATICO E DINAMICO PER MISURARE LE FORZE

59

Figura 4.1:

la prima legge di Newton, se un corpo ha un’accelerazione nulla, la forza complessiva che agisce su di esso è zero, cioè: F~ + F~ 0 = 0. Conoscendo F~ 0 , possiamo quindi determinare F~ . Come esempio consideriamo una bilancia elastica. Questo strumento consiste in una molla elastica che è verticalmente sospesa per una estremità. Ci sono alcune caratteristiche della molla elastica che giocano un ruolo importante per il funzionamento appropriato del congegno. La massa della molla deve essere abbastanza piccola, affinché l’azione della gravità su di essa sia trascurabile. Dopo averla tirata, la molla dovrebbe tornare alla sua forma originaria, caratterizzata da una certa lunghezza di quiete d0 . Per allungarla di una lunghezza ∆d oltre d0 , è necessario applicare alle sue estremità una forza proporzionale a ∆d. Ciò può essere verificato connettendo un capo della molla ad un oggetto prova giacente su di un piano orizzontale senza attrito, e tirando l’altro capo in modo da causare il suo allungamento e il conseguente moto dell’oggetto con una certa accelerazione, vedi Fig. 4.2. Secondo la terza legge di Newton, la forza esercitata dalla molla sull’oggetto campione è uguale in intensità alla forza che l’oggetto esercita sul capo dell’elastico a cui è legato. Ciò che osserviamo è che l’accelerazione risultante è proporzionale a ∆d. Essendo l’accelerazione a sua volta proporzionale alla forza che agisce sul capo dell’elastico, questa forza è anch’essa proporzionale a ∆d. Torniamo all’elastico verticale. Quando un oggetto è attaccato all’estremità inferiore libera della bilancia elastica, la forza di gravità W , che agisce su di esso, anche chiamata peso, è trasferita all’estremità della molla e ne causerà allungamento di una certa lunghezza ∆d oltre d0 . Quando l’oggetto è a riposo, cioè in equilibrio, la forza esercitata su di esso dall’elastico deve compensare il suo peso, vedi Fig. 4.3. Per la terza legge di Newton, la prima è uguale in intensità alla forza esercitata dall’oggetto sul capo dell’elastico, la quale è nota in funzione di ∆d. C’è un puntatore solidale con l’estremità libera della molla il quale può scorrere lungo una scala graduata. Sulla scala si possono leggere i valori della forza necessaria ad allungare l’elastico di lunghezze ∆d note. Partendo dalla posizione del

60


Figura 4.2:

puntatore in situazione di equilibrio, si può direttamente leggere il peso W dell’oggetto. Dalla misura del peso dell’oggetto possiamo dedurre la sua massa. Come anticipato nel precedente capitolo, tutti i corpi che si trovano nello stresso posto sulla superficie della terra cadono con la stessa accelerazione g. Il valore di g può variare da punto a punto sulla terra ma solo di poco intorno al valore approssimativo g ∼ 9.8 m/sec2 . Il peso W di un oggetto di massa m corrisponde all’intensità della forza gravitazionale che agisce su di esso sulla superficie terrestre e, di conseguenza, è data dalla seconda legge di Newton: W = m g. Dalla misura di W , conoscendo g, possiamo dedurre m.

La bilancia chimica permette di misurare il peso di un dato oggetto, paragonandolo, in condizione di equilibrio, con il peso di qualche oggetto standard di massa conosciuta. Ciò, quindi, consente di misurare le masse mediante la misurazione statica della forza verso il basso che agisce su di esse. Ciò deve essere confrontato con la misurazione dinamica della massa inerziale, discussa nelle precedente sezione (see equazione (4.1.4)), che esprime la vera definizione di massa come la resistenza che un oggetto oppone al cambiamento del suo stato di moto.

4.3. IL PROBLEMA GENERALE DELLA MECCANICA DELLA PARTICELLA

61

Figura 4.3:

4.3

Il problema generale della meccanica della particella

L’obiettivo principale dello studio del moto di una particella puntiforme è di determinare la sua posizione ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)) in funzione del tempo t, conoscendo tutte le forze che agiscono su di essa, dovute all’interazionecon il resto dell’universo. Le forze sono in genere conosciute mediante un’analisi indipendente della natura dell’interazione fra la particella e l’ambiente in cui si muove, la quale può in genere dipendere sia dalla posizione ~r(t) che dalla velocità ~v (t) della particella in un dato istante, anche se noi considereremo solo forze che → − → − sono indipendenti da ~v . Sia F = F [~r(t), ~v (t), t] la forza risultante che agisce sulla particella all’istante t. Possiamo scrivere la forza in componenti cartesiane ortogonali: → − F = Fx~ux + Fy ~uy + Fz ~uz = (Fx , Fy , Fz ) .

(4.3.1)

La seconda legge di Newton diventa: m ~a = m

d2~r → − = F [~r(t), ~v (t), t] , 2 dt

(4.3.2)

62


o, in componenti, d2 x = Fx [x(t), y(t), z(t), vz (t), vy (t), vz (t), t] , dt2 d2 y m ay = m 2 = Fy [x(t), y(t), z(t), vz (t), vy (t), vz (t), t] , dt d2 z m az = m 2 = Fz [x(t), y(t), z(t), vz (t), vy (t), vz (t), t] . (4.3.3) dt Queste equazioni possono essere viste come relazioni tra le tre funzioni x(t), y(t), z(t), e le loro derivate, prima e seconda, rispetto al tempo, cioè vz (t), vy (t), vz (t) e az (t), ay (t), az (t). Esse sono quindi sono chiamate equazioni differenziali di secondo ordine. La soluzione ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)) delle (4.3.3) esiste sempre ed è unica entro un certo intervallo di tempo, una volta che siano fissati i “dati iniziali relativi alla particella, cioè la sua posizione e velocità in un certo istante di riferimento t0 : ~r(t0 ) = ~r(0) = (x(0) , y (0) , z (0) ) e (0) (0) (0) ~v (t0 ) = ~v (0) = (vx , vy , vz ). Il problema è che ci sono veramente pochi casi nei quali le equazioni (4.3.3) ammettono soluzioni che possono essere espresse in termini di funzioni analitiche (polinomi, seni, coseni, esponenziali ecc...). Nella maggioranza dei casi le equazioni (4.3.3) possono solo essere risolte numericamente. Quando si studia il moto di un sistema di particelle che interagiscono, il primo passo è considerare ogni particella e scrivere il sistema di forze che agiscono su di essa. Allora per ogni particella noi scriviamo il sistema di equazioni (4.3.3) e le risolviamo con una certa scelta di dati iniziali, cioè posizione e velocità di tutte le particelle in un dato istante t0 . ` importante, nel risolvere questo problema, scegliere un sistema di coordinate nel quale le E equazioni (4.3.3) abbiano la forma pi` u semplice. m ax = m

Esempio 1 Come esempio, consideriamo il moto di una particella di massa m, soggetta ` chiaramente conveniente scegliere un sistema di coordinate cartesiane, alla forza di gravità. E nel quale uno degli assi, diciamo Z è verticale, in modo che la forza su m abbia una sola → − componente non nulla: F W = −m g ~uz . In questo caso le equazioni (4.3.3) si semplificano: d2 x = 0, dt2 d2 y m ay = m 2 = 0 , dt d2 z m az = m 2 = −m g . (4.3.4) dt Il moto risultante è la composizione di due moti uniformi lungo gli assi X e Y e di un moto uniformemente accelerato lungo Z. Con i dati iniziali esso è descritto da: m ax = m

x(t) = x(0) + vx(0) (t − t0 ) , y(t) = y (0) + vy(0) (t − t0 ) , z(t) = z (0) + vz(0) (t − t0 ) −

1 m g (t − t0 )2 , 2

(4.3.5)

4.3. IL PROBLEMA GENERALE DELLA MECCANICA DELLA PARTICELLA (0)

(0)

63

(0)

ove ~r(0) = (x(0) , y (0) , z (0) ) e ~v (0) = (vx , vy , vz ) definiscono la posizione iniziale ~r(t0 ) e la velocità iniziale ~v (t0 ). Questo moto è stato studiato nel paragrafo precedente. Esempio 2 Consideriamo, come secondo esempio, una particella di massa m che descrive un moto circolare uniforme con velocità angolare costante ω e con un raggio R. Abbiamo visto nel paragrafo precedente che tale particella ha un’accelerazione, l’accelerazione centripeta, lungo la direzione radiale verso il centro della traiettoria, data dall’equazione (3.1.46). → − Per la seconda legge di Newton questa accelerazione è causata da una forza F c , chiamata centripeta, data da: v2 → − F c [ϕ(t)] = m ~a = − ~ur = −ω 2 R ~ur . R

(4.3.6)

→ − La dipendenza di F c da ϕ(t) può essere compresa notando che, al variare della posizione della particello lungo la traiettoria circolare, ruota il vettore ~ur , cioè esso dipende da ϕ(t). Questa forza è costante in intensità ed è perpendicolare alla velocità ~v in ogni istante. Nel precedente paragrafo, quando abbiamo trattato il moto circolare uniforme da un punto di vista cinetico, abbiamo iniziato conoscendo la posizione ~r(t) = (x(t), y(t)) in ogni istante e abbiamo dedotto da essa la velocità e l’accelerazione. Qui vogliamo percorrere la strada → − opposta. Partendo dalla forza centripeta F c vogliamo trovare un moto circolare uniforme → − come soluzione di (4.3.3). Infatti, rispetto al sistema di assi cartesiani, F c ha la forma → − F c [ϕ(t)] = −ω 2 R cos(ϕ(t)) ~ux − ω 2 R sin(ϕ(t)) ~uy ,

(4.3.7)

ove la dipendenza da ϕ(t) della forza è evidente dal momento che i vettori unità ~ux , ~uy sono costanti e non dipendono dalla posizione dell’oggetto. Le eqs. (4.3.3) hanno la forma d2 x = −ω 2 R cos(ϕ(t)) , dt2 d2 y = m 2 = −ω 2 R sin(ϕ(t)) . dt

m ax = m m ay

(4.3.8)

Vediamo che il moto circolare uniforme descritto dalle equazioni (3.1.34) rappresenta una soluzione delle (4.3.8), corrispondente ai seguenti dati iniziali a t0 = 0: x(0) = R, y(0) = 0, vx (0) = 0, vy (0) = R ω. Questo si può facilmente verificare calcolando le derivate seconde di x(t) e y(t) in (3.1.34) e sostituendo il risultato nella parte sinistra delle equazioni (4.3.8). Esempio 3 Consideriamo una massa puntiforme m, attaccata all’ estremità inferiore di un filo inestensibile (di cui possiamo trascurare la massa) di lunghezza L, la cui estremità superiore è fissata ad un punto O di qualche supporto. Se spostiamo m dalla direzione verticale lungo un arco di circonferenza avente centro in O, di raggio L, al momento di rilasciarla, la massa oscillerà percorrendo un arco della stessa circonferenza. Questo sistema è chiamato pendolo semplice e ne vogliamo descrivere il moto, vedi Fig. 4.4: Iniziamo con lo scegliere le coordinate appropriate per descriverlo. Poiché il moto ha luogo in un piano

64


Figura 4.4:

e, in particolare, lungo un cerchio, è conveniente, per descrivere il moto nel piano, ricorrere a coordinate polari r, ϕ, con origine O. Scegliamo inoltre gli assi X e Z rispettivamente lungo le direzioni orizzontale e verticale, cos`ı che i punti con ϕ = 0 giacciano nella parte negativa dell’asse Z. La posizione della massa durante il suo moto è completamente definita dalle coordinate r ≡ L, ϕ = ϕ(t). Quando la massa è a riposo in direzione verticale, ϕ = 0, mentre ϕ > 0 se la massa è a destra della direzione verticale, e ϕ < 0 se è sul lato opposto 3 . Possiamo descrivere la posizione della particella mediante la lunghezza s dell’arco di circonferenza tra la posizione di m e l’asse negativo Z, presi con segno positivo o negativo a seconda che m sia a destra o sinistra di Z, ovvero a seconda del segno si ϕ. Con questa convenzione possiamo descrivere la posizione di m nell’istante t in termini di s(t) = L ϕ(t). La velocità in ogni punto è diretta lungo la retta tangente alla circonferenza, cioe lungo ~uϕ . Usando l’ equazione (3.1.18) possiamo indicare la velocità come ~v =

dϕ ds ~uϕ = L ~uϕ = L ω ~uϕ , dt dt

(4.3.9)

Dove ω = dϕ è la velocità angolare (dipendente dal tempo). Benché questo moto sia circolare, dt esso non è uniforme, poiché ~v varia anche in modulo. Come conseguenza di ciò, l’accelerazione ~a ha una componente (centripeta) in direzione radiale e una componente tangente alla traiettoria, cioè in direzione ~uϕ . Per calcolare queste componenti valutiamo ~a come derivata 3

L’angolo ϕ è definito come angolo orientato, ovvero è descritto nel verso che va dal semiasse Z negativo fino al filo. Per convenzione, ϕ è negativo se esso è descritto in verso orario, positivo in caso contrario.


65

rispetto al tempo di ~v in (4.3.9), tenendo conto che anche ~uϕ varia nel tempo con la posizione della particella, e quindi contribuisce alla variazione della velocità d d ds d2 s ds d ~a = ~v = ~uϕ = 2 ~uϕ + ~uϕ . (4.3.10) dt dt dt dt dt dt Ora vogliamo calcolare il secondo termine della parte destra della precedente equazione, cioè la derivata rispetto al tempo del vettore unità: ~uϕ : d ~uϕ = dt

lim

∆t→0

~uϕ (t + ∆t) − ~uϕ (t) . ∆t

(4.3.11)

L’angolo tra i due vettori successivi ~uϕ (t + ∆t) e ~uϕ (t) è ∆ϕ = ϕ(t + ∆t) − ϕ(t). Pertanto pi` u piccolo prendiamo ∆t, pi` u piccolo sarà l’angolo tra ~uϕ (t + ∆t) e ~uϕ (t) e meglio possiamo approssimare la loro differenza ∆~uϕ = ~uϕ (t + ∆t) − ~uϕ (t) mediante l’arco della circonferenza di raggio 1, sotteso all’angolo ∆ϕ ved. Fig. 4.5. Per quel che riguarda la direzione della differenza ~uϕ (t + ∆t) − ~uϕ (t), essa diventerà ortogonale a ~uϕ (t), al limite ∆t → 0, e sarà quindi orientata verso O. In alter parole, sarà orientata come −~ur . Infatti se consideriamo il triangolo isoscele di lati ~uϕ (t + ∆t), ~uϕ (t) e ∆~uϕ , al tendere a zero dell’angolo al vertice ∆ϕ, gli angoli alla base, e quindi l’angolo tra ~uϕ (t) e ∆~uϕ , tenderanno ad angoli retti. Cos`ı nel limite di ∆t infinitesimo, ~uϕ (t + ∆t) − ~uϕ (t) ∼ −∆ϕ ~ur , e possiamo scrivere la (4.3.11) nella forma d ~uϕ = dt

~uϕ (t + ∆t) − ~uϕ (t) −∆ϕ dϕ = lim ~ur = − ~ur = −ω ~ur . (4.3.12) ∆t→0 ∆t→0 ∆t ∆t dt lim

L’espressione (4.3.10) per ~a può ora essere riscritta nella seguente forma: ~a = aϕ ~uϕ + ar ~ur =

d2 s ~uϕ − L ω 2 ~ur , 2 dt

d2 s d2 ϕ = L , dt2 dt2 = −L ω 2 .

aϕ = ar

(4.3.13)

Dopo questa analisi cinematica preliminare, vogliamo scrivere l’equazione di Newton relativa → − a questo moto. La massa m è soggetta alla forza di gravità F W = −m g ~uy ed alla tensione → − dell’elastico T = −T ~ur , diretta nella direzione radiale verso il centro. Proiettiamo la forza → − → − → − risultante F = F W + T lungo Le direzioni ~ur e ~uϕ : → − F = Fr ~ur + Fϕ ~uϕ , Fr = −T + m g cos(ϕ(t)) , Fϕ = −m g sin(ϕ(t)) .

(4.3.14)

Non c’è forza agente nella direzione Y, perpendicolare al piano X Z e quindi l’equazione di Newton implica ay = 0. Poiché non vi sono componenti iniziali della velocità lungo Y, il

66


Figura 4.5:

moto si svilupperà unicamente nel piano X Z, come abbiamo supposto. Possiamo ora scrivere equazioni (4.3.3) 2

m ar = −m L ω = −m L m aϕ = m L

dϕ dt

2 = Fr = −T + m g cos(ϕ(t))

d2 ϕ = Fϕ = −m g sin(ϕ(t)) . dt2

(4.3.15) (4.3.16)

Dalla prima equazione vediamo che l’effetto della tensione dell’elastico T non solo bilancia la spinta verso l’esterno, dovuta alla gravità, ma causa anche l’accelerazione centripeta, necessaria al moto circolare. L’equazione (4.3.16) può essere risolta in ϕ(t), mentre l’equazione (4.3.15) può essere usata per determinare T . Concentriamoci ora sull’equazione (4.3.16) d2 ϕ g = − sin(ϕ(t)) . 2 dt L

(4.3.17)


67

Questa è un’equazione differenziale di secondo ordine che non ha soluzioni analitiche e quindi può essere risolta soltanto con metodi numerici. L’equazione (4.3.17) può essere risolta analiticamente per piccole oscillazioni, cioè se noi perturbiamo m dalla sua posizione di quiete (lungo la linea verticale), di un piccolo angolo ϕ0 ∼ 0. Quando ϕ(t) è piccolo, possiamo approssimare la funzione seno mediante il suo argomento: sin(ϕ(t)) ≈ ϕ(t)

(piccolo ϕ(t)) ,

(4.3.18)

E l’equazione (4.3.17) sarà scritta nella forma d2 ϕ + ω02 ϕ(t) = 0 , dt2 g ω02 = . L

(4.3.19) (4.3.20)

L’equazione (4.3.19) è come vedremo, l’equazione del moto di un oscillatore armonico. La sua soluzione generale ha la forma ϕ(t) = A sin(ω0 t) + B cos(ω0 t) ,

(4.3.21)

come si può facilmente verificare. A e B sono due parametri che si determinano specificando le condizioni iniziali, cioè posizione e velocità di m nell’istante t = 0. Supponiamo di rilasciare (t = 0) = 0. Con il pendolo ad un angolo iniziale ϕ(t = 0) = ϕ0 senza velocità iniziale: dϕ dt queste condizioni si ottiene A = 0, B = ϕ0 e la soluzione assume la forma: ϕ(t) = ϕ0 cos(ω0 t) .

(4.3.22)

Questa soluzione descrive le piccolo oscillazioni del pendolointorno alla direzione verticale. Il periodo T di questo moto, cioè il tempo che occorre perché m completi la sua oscillazione e ritorni alla sua posizione e velocità originaria è costante ed è dato da s L 2π T = = 2π . (4.3.23) ω0 g Inoltre, esso non dipende dall’ampiezza 2ϕ0 dell’oscillazione finché ϕ0 è piccolo. Nella posizione ϕ = 0 il peso di m è esattamente bilanciato dalla tensione dell’elastico e la forza totale è quindi zero. Questo punto è chiamato posizione d’equilibrio del pendolo. Se noi posizioniamo a t = 0 la massa m nella posizione di equilibrio, ϕ(t = 0) = ϕ0 = 0, con velocità iniziale nulla, dϕ (t = 0) = 0, i coefficienti A, B saranno fissati a zero e la risultante dt soluzione sarà ϕ(t) ≡ 0, cioè il pendolo sarà in posizione di equilibrio in ogni istante t > 0. La posizione ϕ = 0 è anche detta posizione di equilibrio stabile poiché se perturbiamo di poco la posizione della massa dalla verticale, scegliendo p.es. un’angolo iniziale ϕ0 sufficientemente piccolo, il suo moto si svolgerà in un intorno comunque piccolo di ϕ = 0 (nel nostro caso la massa oscillerà con un’ampiezza 2 ϕ0 ) Il moto del pendolo e le sue caratteristiche furono studiati per la prima volta da Galileo Galilei.

68


Oscillatore armonico Consideriamo un blocco di massa m, che giace su di un piano orizzontale senza attrito legato ad una estremità di una molla elastica, il quale è fissato all’altra estremità, come in fig. 4.6. Supponiamo che la massa della molla sia trascurabile. Fisseremo l’asse X lungo l’elastico con l’origine O coincidente con l’estremità fissa. Se la molla

Figura 4.6:

non è deformata la sua lunghezza è x0 . Come abbiamo già detto, la molla è caratterizzata, come tutti gli oggetti elastici, dalla proprietà di resistere ad ogni deformazione sviluppando una forza che si oppone ad essa. Infatti, se la molla viene allungata fino ad una lunghezza → − x > x0 , essa eserciterà alle sue estremità una forza verso l’interno F e la cui intensità è proporzionale alla deformazione x − x0 , se la deformazione non è troppo grande. D’altra parte, se compressa ad una lunghezza x < x0 , la forza alle sue estremità sarà diretta verso l’esterno, ma sempre proporzionale in intensità a x − x0 . La direzione della forza che essa esercita alle sue estremità è sempre tale da opporsi alla deformazione e tenderà a riportare la molla alla sua originaria lunghezza. La forza elastica che la molla sviluppa alle sue estremità, se deformata, avrà quindi la seguente espressione: → − F e = −ke (x − x0 ) ~ux , (4.3.24) Dove ke è detta la costante elastica della molla e misura quanto essa sia “rigido: pi` u grande è ke , pi` u difficile è deformare la molla. Se portiamo il blocco in posizione x = x1 > x0


69

nell’istante t = 0, tirando in tal modo l’elastico e poi rilasciandolo, per azione della forza elastica esso oscillerà intorno alla posizione x0 : finché x > x0 il blocco sarà tirato dall’elastico verso O. Appena x = x0 il corpo non è soggetto ad alcuna forza e procede con la velocità che ha acquistato. Come per il caso del pendolo, la posizione in cui la forza totale agente sulla massa, nel nostro caso la sola forza elastica, è zero è chiamata posizione d’equilibrio. Quando x < x0 il blocco è spinto verso l’esterno, la sua velocità si reduce in intensità finché il suo moto si inverte e il corpo inizia a muoversi verso l’interno. Dopo un tempo caratteristico T (periodo), il blocco tornerà nella sua posizione originaria. Questo sistema e chiamato oscillatore armonico. Analizziamo ora il solo blocco e scriviamo le forze che agiscono su → − di esso in ogni istante. Il blocco è soggetto alla forza gravitazionale F W , alla reazione del → − → − tavolo N , che è perpendicolare al piano, ed alla forza elastica del filo elastico F e . Poiché → − non c’è moto in direzione verticale la reazione normale N compensa esattamente il peso: → − → − F W + N = 0. Il moto è unidimensionale ed è descritto dalla posizione x(t) del blocco in funzione del tempo. L’accelerazione pertanto ha la forma: ~a =

d2 x ~ux . dx2

(4.3.25)

Ora possiamo scrivere l’equazione di Newton (4.3.3) per il blocco, lungo la direzione X: d2 x → − m ~a = F e ⇒ m 2 = −ke (x − x0 ) . dt

(4.3.26)

Se definiamo x˜ = x − x0 , la suddetta equazione può essere riscritta nella forma: d2 x˜ + ω02 x˜ = 0 , 2 dt ke ω02 = . m

(4.3.27) (4.3.28)

Notiamo che l’equazione (4.3.27) ha la stessa forma dell’equazione (4.3.19) che descrive le piccole oscillazioni del pendolo. La sua soluzione generale ha la forma: x˜(t) = x(t) − x0 = A sin(ω0 t) + B cos(ω0 t) ,

(4.3.29)

Dove, come nel caso del pendolo, i coefficienti A, B sono fissati dalle condizioni iniziali. Derivando x˜(t) rispetto al tempo, calcoliamo la componente X della velocità e dell’accelerazione d˜ x = A ω0 cos(ω0 t) − B ω0 sin(ω0 t) , dt dv a(t) = = −ω02 x˜(t) . dt v(t) =

(4.3.30)

Se scegliamo come dati iniziali la posizione e la velocitàdel blocco x(t = 0) = x1 , cos`ı che x˜(t = 0) = x1 − x0 , e v(t = 0) = 0, i coefficienti diventano A = 0 e B = x1 − x0 . La soluzione risultante è : x(t) = x0 + (x1 − x0 ) cos(ω0 t) .

(4.3.31)

70


Lo studente è invitato a disegnare x(t) assegnando diversi valori a x0 , x1 e ω0 . Il periodo dell’oscillazione è: r m 2π = 2π . (4.3.32) T = ω0 ke Notiamo che se noi iniziamo con il blocco a riposo, v = 0, nella posizione di equilibrio

Figura 4.7:

x(t = 0) = x0 , i coefficienti A, B in (4.3.29) dovrebbero essere uguali a zero e la soluzione sarebbe: x˜(t) ≡ 0 ⇔ x(t) ≡ x0 , cioè il blocco sarà in posizione di equilibrio per sempre.

4.4

Sistemi di riferimento inerziali e forze inerziali

Nella sezione 3.2 del capitolo precedente abbiamo descritto le leggi di trasformazione che legano le descrizioni di un moto fatte rispetto a due SR in moto relativo. L’equazione (3.2.6) in particolare mette in relazione le accelerazioni di una particella misurate rispetto ai due SR S ed S 0 , e coinvolge l’accelerazione ~aS 0 del SR S 0 rispetto ad S. Supponiamo ora che S sia un SR inerziale. Questo significa che l’accelerazione ~a misurata rispetto ad S è causata da una forza risultante (eserciata da altri corpi sulla particella) F~ ed è ad essa legata dalla

4.4. SISTEMI DI RIFERIMENTO INERZIALI E FORZE INERZIALI

71

legge: F~ = m ~a .

(4.4.1)

Se S 0 si muove rispetto ad S di moto uniforme, ~aS 0 = ~0 ed ~a0 = ~a. Questo comporta che anche l’accelerazione misurata in S 0 sia spiegabile in termini della stessa forza F~ = m ~a = m ~a0 .

(4.4.2)

Poiché una qualsiasi accelerazione osservata in S 0 , per questo motivo, risulta spiegabile in termini di una azione di altri corpi sulla particella, anche S 0 sarà inerziale. Mostriamo adesso che, se il moto di S 0 rispetto ad S inerziale è accelerato, S 0 non è inerziale. Infatti, dalla (3.2.6), troviamo che ~a0 = ~a − ~aS 0 .

(4.4.3)

Vediamo che l’accelerazione ~a0 è espressa come somma di un contributo ~a, dovuta all’azione di una forza, essendo S inerziale, pi` u un termine −~aS 0 non dovuto ad alcuna azione esterna, ma legata al moto accelerato del SR. Per questo, anche se la particella non fosse soggetta ad alcuna forza, F~ = 0 = ~a, si osserverebbe rispetto ad S 0 una accelerazione pari a: ~a0 = −~aS 0 .

(4.4.4)

Non essendo tale accelerazione dovuta ad una forza agente sulla particella, concludiamo che non vale in S 0 il principio di inerzia, ovvero che S 0 non è un SR inerziale. Quanto detto dimostra la seguente importante proprietà dei SR inerziali: I sistemi di riferimento inerziali sono in moto relativo uniforme gli uni rispetto agli altri. Supponiamo che un’osservatore solidale con S 0 insista a voler scrivere la seconda legge di Newton nel proprio SR. Egli spiegherà la componente −~aS 0 dell’accelerazione ~a0 , legata al moto del proprio SR, come l’effetto di un nuovo tipo di forza, non dovuto all’azione di altri corpi sulla particella in esame. Tale forza è detta forza inerziale o fittizia ed è definita nel seguente modo: F~inerziale ≡ −m ~aS 0 .

(4.4.5)

Se moltiplichiamo ambo i membri della (4.4.3) per m ed usiamo la (4.4.1), troviamo m ~a0 = m ~a − m ~aS 0 = F~ + F~inerziale .

(4.4.6)

L’osservatore solidale con S 0 potrà quindi ancora scrivere la seconda equazione di Newton, a patto di includere tra le forze, oltre a quelle fisiche dovute all’azione di altri corpi sulla particella, le forze fittizie legate al moto accelerato del proprio SR. → − Consideriamo come esempio una macchina che procede con velocità costante V . Sul suo cofano è poggiata una valigetta che procede, come ogni oggetto sulla macchina, con la stessa → − velocità V . Ad un certo istante la macchina decelera fino a fermarsi. La valigetta scivola sul cofano senza attrito fino a cadere per terra. Vediamo come questo stesso fenomeno è visto

72


Figura 4.8:

da due osservatori: uno fisso rispetto al suolo (SR S), l’altro alla guida della macchina (SR S 0 solidale con la macchina). Per l’osservatore in S la macchina frena, ovvero è soggetta ad una accelerazione opposta alla sua velocità, dovuta ad una forza F~ che si origina dall’attrito delle ruote contro l’asfalto e che si trasmette ad ogni cosa all’interno della macchina, incluso il guidatore. Essa però non si trasmette alla valigetta, a causa dell’attrito trascurabile di questa con la superficie del cofano. La valigetta continuerà il suo moto iniziale con velocità → − V , scivolando sul cofano e cadendo per terra per effetto della gravità, vedi Figura 4.8 in alto. Ogni accelerazione che l’osservatore fermo sulla strada osserva è effetto di una forza. Per questo fenomeno il SR S è una buona approssimazione di un SR inerziale. Vediamo invece cosa osserva il guidatore (SR S 0 ). Esso osserva la valigetta che, nel momento in cui egli inizia a frenare, si mette in moto in avanti, ovvero subisce una accelerazione, apparentemente non dovuta ad una qualche azione su di essa. Il SR S 0 è quindi chiaramente non inerziale. Analizziamo il fenomeno quantitativamente. Rispetto ad S la valigetta, mentre la mac→ − china frena con una accelerazione ~aS 0 in verso opposto a V , prosegue con velocità costante (ignoriamo l’effetto della gravità), ovvero ~a = 0. Rispetto ad S 0 l’accelerazione della valigetta sarà data dalla (4.4.4): ~a0 = −~aS 0 . Il guidatore, per poter descrivere il moto della valigetta da lui osservato, deve ricorrere ad una forza inerziale F~inerziale = −m ~aS 0 diretta in avanti, che causa lo scivolamento della valigetta: m ~a0 = F~inerziale , vedi Figura 4.8 in basso. Riprendiamo l’esempio della piattaforma rotante con velocità angolare costante. Un osservatore solidale con il laboratorio (SR S) osserva un osservatore seduto sulla piattaforma che rota assieme ad essa (SR S 0 ). Per l’osservatore in S l’osservatore in S 0 si muove assieme

4.5. FORZE DI ATTRITO

73

Figura 4.9:

2

alla piattaforma con moto circolare uniforme. La sua accelerazione centripeta ~a = − vR ~ur è dovuta alla forza di attrito statico esercitata dalla piattaforma sulla sedia e trasmessa 2 all’intero osservatore in S 0 . Essa funge da forza centripeta: F~attrito = m ~a = −m vR ~ur , vedi Figura 4.9 in alto. Rispetto ad S ogni accelerazione ossservata è effetto di una forza. Questo SR può essere considerato, ai fini di questo esperimento, inerziale. Consideriamo adesso come l’osservatore in S 0 vede se stesso. Nel proprio SR egli è fermo, quindi ~a0 = 0. Infatti l’accelerazione ~aS 0 di S 0 rispetto ad S è proprio ~a: ~aS 0 = ~a. Il suo essere fermo è interpretato, alla luce dell’equazione di Newton in S 0 (4.4.6), come un equilibrio tra la forza di attrito dovuta alla piattaforma e la forza inerziale: 2

v F~inerziale = −F~attrito = −m ~a = m ~ur . R

(4.4.7)

Questa forza inerziale, uguale ed opposta alla forza centripeta osservata in S, è detta forza centrifuga ed è quindi diretta verso l’esterno, vedi Figura 4.9 in basso. Essa è la forza che tutti noi proviamo quando in macchina curviamo, e ci spinge verso l’esterno della curva. Essa è tanto pi` u intensa quanto pi` u stretta è la curva (pi` u piccolo R) o tanto maggiore è la nostra velocità v.

4.5

Forze di attrito

74


Attrito da scorrimento Se osserviamo un oggetto che si muove su di un piano orizzontale, non soggetto ad altre forze se non quelle legate al contatto con la superficie stessa, noteremo che esso rallenterà fino a fermarsi. Pi` u la superficie è liscia, pi` u tempo impiegherà l’oggetto per fermarsi. Dal momento che esso è soggetto ad una decelerazione, il principio di inerzia ci dice che, durante il suo moto, deve esistere una forza che agisce sull’oggetto e che si oppone al suo moto. Poiché il solo altro oggetto che è in contatto con lui è il piano orizzontale su cui esso si muove, concludiamo che è il piano stesso ad esercitare una forza sull’oggetto in movimento. Questa forza, chiamata attrito è tangente alla superficie del moto ed il suo verso è opposto a quello della velocità. Studiamo questa forza un pò pi` u in dettaglio. Consideriamo un oggetto che è inizialmente a riposo su di un tavolo orizzontale. Applichiamo ad esso → − una forza F , legandolo ad una estremità di un filo elastico e tirando l’altra estremità cos`ı che possiamo misurare la forza esercitata in base all’allungamento dell’elastico. Osserviamo che, se l’intensità F della forza è troppo piccola, essa non farà muovere l’oggetto. Ma se l’intensità della forza sarà superiore ad un valore ben definito F > Fs , l’oggetto inizierà a muoversi. Questo si spiega in termini di una forza di attrito, chiamato attrito statico, che è esercitata dalla superficie sull’oggetto, nel momento in cui cerchiamo di metterlo in → − moto tirandolo. Essa è tale da bilanciare esattamente la forza esterna F da noi applicata, fintanto che l’intensità di quest’ultima non supera un valore caratteristico Fs , e quindi da mantenere l’oggetto fermo. Osserviamo inoltre che, una volta che l’oggetto è in moto, al fine di mantenerlo in moto a velocità costante è necessario ridurre l’intensità della forza → − F applicata ad esso ad un valore inferiore ad Fs . Questo significa che l’attrito F k , che è chiamato attrito dinamico. La sua intensità è pi` u piccola di Fs , ovvero l’intensità massima → − → − dell’attrito statico: Fk = | F k | < Fs . Inoltre si trova che F k ha sempre la stessa direzione della velocità ~v dell’oggetto, ma verso opposto, cos`ı da resistere al suo moto. In altre parole, se descriviamo la direzione e il verso di ~v mediante il vettore unità ~u = ~v /v, possiamo → − scrivere: F k = −Fk ~u. Dall’osservazione sperimentale si deduce che entrambi Fs e Fk sono indipendenti, in buona approssimazione, dall’area di contatto delle superfici e sono ~ esercitata dal piano sull’oggetto proporzionali all’intensità N della forza perpendicolare N che giace su di esso. Fs = µs N ; Fk = µk N .

(4.5.1)

I due parametri µs , µk sono chiamati coefficienti di attrito statico e cinetico e dipendono dalle proprietà fisiche dei due corpi a contatto. In genere vi è una dipendenza di µk dalla velocità dell’oggetto. Tuttavia risulta che questa dipendenza è trascurabile entro un intervallo abbastanza ampio di valori della velocità e quindi che possiamo non tenerne conto nell’affrontare la maggior parte dei problemi. L’attrito, come forza che agisce tra due superfici a contatto, si origina dalle forze di interazione e di coesione tra le molecole dei due oggetti. Se osservate al microscopio, le due superfici appaiono estremamente irregolari e solo le parti prominenti dei loro profili, che rappresentano una piccola frazione della superficie totale, sono veramente ` in questa regione pi` a contatto. E u piccola che le interazioni fra le molecole dei due oggetti hanno effettivamente luogo e la sua estensione aumenta con la forza perpendicolare N che schiaccia un oggetto contro l’altro. L’intensità del risultante attrito dipenderà solo dall’area di questa regione effettiva di contatto tra le due superfici e quindi aumenterà con N .

4.5. FORZE DI ATTRITO

75

Moto nei fluidi: attrito viscoso Un corpo che si muove attraverso un fluido (noi tratteremo le proprietà fisiche dei fluidi in un capitolo successivo) sotto l’azione di una forza esterna, F~ , è soggetto alla forza esercitata dal fluido intorno ad esso, chiamata attrito vi→ − scoso F f . Questa forza si oppone al moto del corpo, poiché è sempre diretta nella stessa direzione della sua velocità, ma in verso opposto. La sua dipendenza dalla velocità ~v del corpo, a condizione che v = |~v | non sia troppo grande, è descritta dalla formula: → − F f = −K η ~v ,

(4.5.2)

dove K dipende dalla forma del corpo (per un oggetto sferico di raggio R, risulta essere K = 6 π R) ed η è il coefficiente di viscosità. Esso misura la viscosità del fluido la quale si origina dallo scorrimento di strati del fluido l’uno rispetto all’altro. Nel nostro caso possiamo pensare ad uno strato di spessore infinitesimo di fluido, aderente alla superficie dell’oggetto, che viene trascinato dall’oggetto stesso alla sua stessa velocità, a seguito dell’interazione tra le molecole sulla sua superficie e quelle del fluido. Questo strato sarà quindi in moto relativo rispetto agli strati di fluido pi` u esterni. Le forze di interazione tra le molecole di due strati di fluido adiacenti in moto relativo, all’origine del fenomeno della viscosità, hanno l’effetto di coinvolgere gli strati via via pi` u lontani nel moto dell’oggetto, ma con velocità che diminuisce all’aumentare della distanza dall’oggetto stesso. → − Considerando F f , l’equazione di Newton per il corpo sarà: → − → − → − m ~a = F + F f = F − K η ~v .

(4.5.3)

→ − Possiamo scomporre questo moto in una componente nella direzione di F e in una componente ortogonale ad esso. Quest’ultima componente è soggetta solo alla forza d’attrito che ridurrà la corrispondente componente della velocità. Pertanto, dopo un certo tempo, → − ~v sarà diretta nel verso F . L’effetto della forza esterna cos`ı aumenterà v fino a che essa raggiungerà il valore vL , chiamato velocità limite, nel quale l’attrito bilancerà esattamente la forza esterna: 1 → − → − F . F − K η ~vL = 0 ⇒ ~vL = Kη

(4.5.4)

Quando la velocità limite viene raggiunta, il corpo continuerà il suo moto a velocità costante. → − Se il corpo cade sotto l’azione della gravità della terra: F = −(m−mf ) g ~uz , essendo Z l’asse verticale orientato verso l’alto e la velocità ~vL = −vL ~uz ha la seguente intensità vL =

(m − mf ) g . Kη

(4.5.5)

La componente mf g ~uz nella forza, che si oppone alla forza peso −m g ~uz , descrive l’effetto della spinta di Archimede esercitata dal fluido circostante sul corpo in moto al suo interno. Infatti, come vedremo in seguito, questa spinta verso l’alto, secondo il principio di Archimede, è uguale in intensità al peso della massa mf del fluido spostato dall’oggetto. I tre tipi di attrito trattati finora sono riassunti dalla Fig. 4.10.

76


Figura 4.10:

4.6

Conservazione della quantit` a di moto

Discutiamo ora di un’importante implicazione della seconda e terza legge di Newton di cui abbiamo parlato prima. Per cominciare, consideriamo due particelle di massa m1 e m2 , che interagiscono, e che si muovono con velocità ~v1 e ~v2 rispettivamente, vedi Fig. 4.11. Le corrispondenti quantità di moto saranno p~1 = m1 ~v1 e p~2 = m2 ~v2 . Supponiamo che la sola → − forza che agisce sulla massa m1 è dovuta ad m2 ed è indicata da F 21 . In virt` u del principio → − di azione-reazione, la massa m2 sarà soggetta ad una forza F 12 dovuta a m1 che è uguale → − → − → − e contraria ad F 21 : F 12 = − F 21 . Scriviamo l’equazione di Newton nella forma (4.1.8) per ciascuna particella d~p1 → − = F 21 , dt d~p2 → − → − = F 12 = − F 21 . dt

(4.6.1) (4.6.2)

Se sommiamo le due equazioni (4.6.1) e (4.6.2) membro a membro, otteniamo: d ~ d P = (~p1 + p~2 ) = 0 , dt dt

(4.6.3)

cioè la quantità di moto totale P~ ≡ p~1 + p~2 del sistema è conservata durante il moto delle particelle: P~ = const. Queste due particelle forniscono un esempio di sistema isolato. In

` DI MOTO 4.6. CONSERVAZIONE DELLA QUANTITA

77

Figura 4.11:

genere un sistema di particelle in cui ogni elemento componente è soggetto soltanto alle forze esercitate dalle altre particelle dello stesso sistema è chiamato un sistema isolato. Quindi un sistema isolato è un sistema di particelle che non interagisce con il resto dell’universo. Questa è chiaramente una situazione idealizzata. Nella realtà un sistema di corpi distanti da ogni altro oggetto può essere una buona approssimazione di un sistema isolato. Per esempio, consideriamo il sistema terra-luna. Questo non è un sistema isolato dal momento che entrambe, la terra e la luna, sono soggette alla influenza gravitazionale del sole e degli altri pianeti. Tuttavia se noi siamo interessati a studiare il moto della luna e della terra limitatamente ad un periodo di pochi giorni, l’effetto su di esso dei corpi esterni può essere trascurabile e il sistema può essere considerato isolato. Torniamo al sistema isolato di due particelle. Supponiamo che le particelle nell’istante t abbiano quantità di moto p~1 , p~2 e in un istante successivo t0 abbiano quantità di moto diversi p~01 , p~02 . La conservazione della quantità di moto totale implica la seguente relazione: P~ = p~1 + p~2 = p~01 + p~02 .

(4.6.4)

Definendo la variazione della quantità di moto di ciascuna particella ∆~p1 = p~01 − p~1 , ∆~p2 = p~02 − p~2 , la suddetta relazione può anche essere scritta nella forma: ∆~p1 = −∆~p2 ,

(4.6.5)

Cioè la variazione della quantità di moto della particella m1 è uguale ed opposta alla variazio` come se la quantità di moto fosse stata trasferita da ne nella quantità della particella m2 . E

78


una particella all’altra. Questa è una caratteristica generale delle interazioni: una interazione implica un trasferimento della quantità di moto tra le particelle che interagiscono. Consideriamo ora tre particelle di massa m1 , m2 and m3 . Ciascuna di esse avverte solo → − → − la forza delle altre due: la massa m1 è soggetta alle forze F 21 e F 31 esercitate da m2 and m3 → − → − rispettivamente, m2 subisce le forze F 12 e F 32 dovute a m1 and m3 ed infine m3 è soggetta → − → − alle forze F 13 e F 23 dovute a m1 e m2 , vedi Fig. 4.11. Il sistema costituito da m1 ed m2 non è isolato, poiché ciascuna delle due particelle è soggetta all’azione esterna di m3 che non appartiene al sistema. Tuttavia il sistema costituito da tutte le particelle è isolato. Le forze tra i componenti dello stesso sistema sono chiamate interne. La terza legge di Newton → − → − implica che le forze interne si trovano in coppie uguali ed opposte, cioè che F 21 = − F 12 , → − → − → − → − → − → − → − F 31 = − F 13 , F 23 = − F 32 . Siano F 1 , F 2 , F 3 le forze risultanti che agiscono su m1 , m2 e m3 rispettivamente. Le equazioni del moto delle tre particelle sono: d~p1 → − → − → − = F 1 = F 21 + F 31 , dt d~p2 → − → − → − = F 2 = F 12 + F 32 , , dt d~p3 → − → − → − = F 3 = F 13 + F 23 . dt

(4.6.6) (4.6.7) (4.6.8)

Sommando le suddette equazioni e definendo la quantità di moto totale P~ = p~1 + p~2 + p~3 , troveremo dP~ → − → − → − = F 1 + F 2 + F 3 = 0, (4.6.9) dt → − → − → − dove la proprietà F 1 + F 2 + F 3 = 0 deriva dalla terza legge di Newton. L’ equazione (4.6.9) ci dice che la quantità di moto totale di questo sistema isolato si conserva durante la sua evoluzione: P~ = const.. In generale possiamo dimostrare la seguente importante proprietà: La quantità di moto totale di un sistema isolato si conserva. Questa proprietà è conosciuta come legge di conservazione della quantità di moto. Dimostriamola per un sistema isolato di n particelle di massa m1 , m2 , . . . , mn che interagiscono. → − Poniamo che F i denoti la forza risultante che agisce sulla particella iima del sistema. Dal momento che per la terza legge di Newton tutte le forze interne si trovano in coppie opposte, abbiamo n X → − → − → − → − F i = F 1 + F 2... + F n = 0. (4.6.10) i=1

D’altra parte l’equazione del moto per la particella iima dice: d~pi → − = Fi. dt Sommando l’equazione del moto per tutte le particelle, troviamo: ! n n X dP~ d X → − = p~i = F i = 0. dt dt i=1 i=1

(4.6.11)

(4.6.12)

` DI MOTO 4.6. CONSERVAZIONE DELLA QUANTITA

79

P cioè che il quantità di moto totale del sistema è conservata: P~ ≡ ni=1 p~i = const. La legge di conservazione della quantità di moto è stata verificata sperimentalmente in tutti i processi ` comunemente considerata un principio naturale. fisici finora senza eccezione. E Sebbene noi abbiamo derivato tale principio dalla seconde e terza legge di Newton, possiamo seguire un approccio diverso: postulare il principio della conservazione della quantità di moto e derivare da esso le leggi di Newton. Consideriamo infine un sistema non isolato di n particelle che interagiscono. Poniamo che la particella iima del sistema di massa mi e quantità di moto p~i , sia soggetta ad una forza → − int → − ext interna risultante F i dovuta alle altre due particelle, e ad una forza esterna F i . La sua equazione del moto sarà d~pi → − int → − ext = Fi + Fi . dt

(4.6.13)

Grazie alla terza legge di Newton avremo ancora: n X → − int Fi = 0.

(4.6.14)

i=1

Tuttavia questo non vale per le forze esterne, che in generale hanno una risultante non nulla: n X → − ext → − ext F = F i 6= 0 .

(4.6.15)

i=1

Sommando tra di loro le equazioni (4.6.13) membro a membro otteniamo: ! n d X dP~ → − ext = p~i = F . dt dt i=1

(4.6.16)

Concludiamo che la variazione rispetto al tempo della quantità di moto totale di un sistema di particelle è uguale alla risultante della forza esterna che agisce su di esso. Se noi applichiamo i suddetti risultati ad un sistema di una sola particella, ri-otteniamo il principio di inerzia: la quantità di moto totale del sistema è la quantità di moto della particella p~; poiché il sistema non è ulteriormente decomponibile, non vi sono forze interne e quindi ogni forza sul sistema è da considerarsi forza esterna. Pertanto il principio della conservazione della quantità di moto totale in questo caso implica che un cambiamento nello stato di moto della particella, cioè di p~, può essere solo dovuto ad una forza agente su di essa. Inoltre l’equazione (4.6.16) si riduce all’equazione del moto per la singola particella.

80


Capitolo 5 Lavoro ed Energia 5.1

Lavoro

Lavoro compiuto da una forza costante Consideriamo un corpo su cui agisce una forza → − → − F lungo l’asse X: F = F ~ux . Sia ora il corpo spostato di una lunghezza ` dal punto A al punto B lungo X, ved. Fig. 5.1. Se la forza non varia durante lo spostamento, definiamo lavoro fatto dalla forza nello spostamento ` la quantità W` = F ` .

(5.1.1)

Se la forza forma un angolo costante θ con la direzione dello spostamento, la definizione di lavoro si generalizza come segue W` = F ` cos(θ) .

(5.1.2)

Notiamo che se θ = 0 si ritorna all’ equazione (5.1.1). Sappiamo che lo spostamento si descrive in maniera naturale mediante i vettore ~` che si origina dal punto iniziale A e termina nel punto B. Dalla definizione (2.1.10) del prodotto scalare tra due vettori, segue che possiamo → − riscrivere l’espressione del lavoro (5.1.2) come il prodotto scalare tra F e ~` → − W~` = F · ~` = (F cos(θ)) ` = F (` cos(θ)) .

(5.1.3)

Abbiamo scritto la definizione di W in due forme equivalenti per indicare che esso può sia essere calcolato come il prodotto della proiezione F cos(θ) della forza lungo la direzione dello spostamento per lo spostamento stesso `, sia come il prodotto della proiezione ` cos(θ) dello spostamento lungo la direzione della forza con il modulo di F . Questo lavoro è fatto da una forza quando un oggetto su cui essa agisce viene spostato e dipende perciò dall’orientazione relativa tra la forza e lo spostamento. In particolare se la forza è ortogonale alla direzione del moto del corpo, cioè se θ = π/2, il lavoro fatto è nullo. Ciò avviene, per esempio, nel caso del moto circolare uniforme, in cui la forza centripeta è ortogonale in ogni istante alla velocità ~v e perciò ad ogni spostamento infinitesimo d~` = ~v dt dell’oggetto in moto. La forza centripeta quindi non compie lavoro su un corpo rotante. Un altro caso rilevante è quello in cui il lavoro 81

82

CAPITOLO 5. LAVORO ED ENERGIA

Figura 5.1:

è negativo. Ciò avviene se la componente della forza lungo la direzione dello spostamento ha verso opposto ad esso, cioè se F cos(θ) < 0. In questo caso la forza si oppone al moto del corpo. Per esempio, quando saliamo con un ascensore, su di noi agisce la forza di gravità che è diretta verso il basso e quindi compie un lavoro negativo su di noi perché oppone resistenza al nostro moto. Un altro esempio di lavoro negativo è dato dalle forze di attrito dinamico (o viscoso, nel caso di un moto all’interno di un fluido). Come abbiamo visto nel capitolo precedente queste forze sono sempre dirette in direzione opposta al moto, cos`ı che l’angolo θ sia sempre uguale a π e cos θ = −1. Il loro effetto è infatti sempre tale da opporsi al moto dell’oggetto. L’attrito statico, d’altra parte, non compie lavoro, manifestandosi, per definizione, quando il corpo è a riposo e perciò non vi è alcuno spostamento~` = 0. Supponiamo ora di muovere l’oggetto da B indietro fino ad A lungo una linea retta. Lo → − spostamento ~`0 sarà ora opposto a quello precedente ~`: ~`0 = −~`. L’angolo θ0 tra F e ~`0 è θ0 = π − θ e perciò cos(θ0 ) = − cos(θ). Il lavoro risultante sarà → − → − W−~` = F · (−~`) = − F · (~`) = −W~` .

(5.1.4)

In altre parole, il lavoro compiuto dalla forza quando l’oggetto viene spostato da A a B lungo

5.1. LAVORO

83

una linea retta, è l’opposto del lavoro fatto dalla stessa forza quando l’oggetto è riportato da B ad A lungo la stessa linea. Il lavoro ha la dimensione di una forza per una lunghezza e, nel sistema MKSA, la sua unità di misura è il Joule: 1 Joule = 1 N ewton × 1 m .

(5.1.5)

Notiamo che il moto del corpo può essere dovuto all’azione simultanea di P pi` u forze, → − → − → − → − − n → (`) diciamo F 1 , F 2 , . . . F n . Il lavoro totale W fatto dalla forza risultante F = i=1 F i è → − → − (`) uguale alla somma dei lavori Wi = F i · ~` compiuti da ogni singola forza F i , come se queste agissero sul corpo indipendentemente. Questo è conseguenza della proprietà distributiva del prodotto scalare (2.1.14) n

W~`

n

X→ → − → − → − → − − ~ X (`) = F · ~` = ( F 1 + F 2 + . . . + F n ) · ~` = Fi·`= Wi . i=1

(5.1.6)

i=1

Generalizziamo ora la definizione di lavoro al caso in cui la forza non è costante lungo lo spostamento del corpo su cui agisce. Per semplicità partiremo dal considerare il caso di uno → − spostamento ~` = ` ~ux lungo l’asse X da A a B, con la forza diretta lungo X: F = F (x) ~ux . Possiamo calcolare il lavoro compiuto dividendo lo spostamento totale in un numero di intervalli ∆x1 , ∆x2 , . . . sufficientemente piccoli in modo da poter approssimare la grandezza della forza F nel generico ∆xi mediante la media Fi nell’intervallo stesso. Questo ci consente di applicare l’equazione (5.1.1) per esprimere il lavoro compiuto dalla forza nel generico intervallo ∆xi come Fi ∆xi . In questa approssimazione, il lavoro totale è esprimibile come la somma dei lavori compiuti dalla forza in ognuno degli spostamenti elementari: (approx.)

W(A,B)

= F1 ∆x1 + F2 ∆x2 + F3 ∆x3 + . . . =

xB X

Fi ∆xi

(5.1.7)

xA

Graficamente, se disegniamo F (x) nell’intervallo (xA , xB ), il lavoro compiuto dalla forza lungo ogni intervallo elementare ∆xi è l’area del rettangolo di lati ∆xi e Fi ed il lavoro totale è la somma di queste aree (ved. Fig. 5.2). L’approssimazione della forza costante in ogni intervallo sarà tanto migliore quanto pi` u piccoli si prendono gli spostamenti elementari. Il lavoro compiuto dalla forza lungo lo spostamento sarà il valore limite dell’espressione approssimata (5.1.7) quando ∆xi → 0. In questo limite la somma delle aree delle strisce elementari in Fig. 5.2 coinciderà con l’area esatta sottesa alla curva F (x). Prendere questo limite è equivalente a dividere lo spostamento totale in un numero infinito di intervalli infinitesimi (xi , xi + dxi ) in cui l’intensità della forza è esattamente F (xi ), e sommando su tutti i lavori compiuti in ognuno di essi dWi = F (xi ) dxi : Z xB xB xB X X W(A,B) = dWi = F (xi ) dxi = F (x) dx , (5.1.8) xA

xA

xA

dove abbiamo scritto la somma su infiniti contributi infinitesimi come un integrale. Perciò il lavoro compiuto dalla forza è l’integrale della forza lungo tutto lo spostamento.

84


Figura 5.2:

Esempio 1 Consideriamo l’oscillatore armonico analizzato nell’esempio 4 del capitolo precedente. Calcoliamo il lavoro compiuto dalle varie forze quando il blocco si muove da P1 to P2 lungo l’asse X. Durante il moto del blocco, ogni spostamento elementare può essere espresso in termini della velocità istantanea d~` = ~v dt. Poiché il moto avviene lungo l’asse X, → − ogni forza agente nella direzione perpendicolare non compirà lavoro. Ciò vale per il peso F W → − e per la reazione del tavolo N . L’unico contributo al lavoro totale è compiuto dalla forza → − elastica F e = −ke (x − x0 ) ~ux = Fe (x) ~ux la quale è diretta lungo l’asse X. Il lavoro W(P1 ,P2 ) e’ dato da (5.1.8) Z x2 Z x2 ke ke (x1 − x0 )2 − (x2 − x0 )2(5.1.9) . W(P1 ,P2 ) = Fe (x) dx = −ke (x − x0 ) dx = 2 2 x1 x1 Consideriamo ora il caso generale di una particella spostata lungo una curva C, da un → − punto iniziale P1 ad un punto finale P2 , lungo la quale la forza F agente sulla particella non è

5.1. LAVORO

85

costante. Lo spostamento totale è definito da una curva orientata C(P1 , P2 ), che è la curva C su cui fissiamo un verso, indicato sulla curva da una freccia da P1 a P2 . Se avessimo mosso la particella da P2 a P1 lungo la stessa curva, la curva orientata risultante sarebbe indicata con C(P2 , P1 ) ed il verso risultate sarebbe stato l’opposto. Denoteremo il lavoro fatto dalla forza lungo questo spostamento mediante il simbolo WC(P1 ,P2 ) , per evidenziare il fatto che esso dipende non solo dalle posizioni iniziali e finali P1 , P2 della particella, ma anche dalla curva C su cui essa si muove. Per calcolare WC(P1 ,P2 ) è utile decomporre lo spostamento totale in una successione di spostamenti infinitesimi d~`, ved. Fig. 5.3. Ogni spostamento infinitesimo

Figura 5.3:

→ − è abbastanza piccolo da poter considerare F costante su di esso. Perciò il lavoro compiuto → − → − dalla forza lungo ciascun d~` è dato dall’equazione (5.1.3): dW = F · d~` = | F | d` cos(θ), → − dove θ è l’angolo tra F e d~` ed è funzione del punto lungo la curva, poiché esso varia con d~`. Il lavoro totale è la somma degli infiniti contributi dW e scriveremo questa somma come

86


un integrale: WC(P1 ,P2 ) =

X

dW =

spostamenti elementari d~` lungo C

X spostamenti elementari d~` lungo C

→ − ~ F · d` =

Z

→ − ~ F · d` .

C(P1 ,P2 )

(5.1.10) Il precedente integrale è un integrale di linea e dipende in generale dai due estremi P1 , P2 e dalla curva C che li connette. Per calcolarlo è necessario conoscere le equazioni che definiscono la curva orientata C(P1 , P2 ). Queste equazioni possono essere date in una forma parametrica. Fissiamo un punto O su C e parametrizziamo ogni altro punto mediante la lunghezza s della curva tra O ed il punto stesso, presa con segno positivo o negativo a seconda che il punto segua o preceda O rispetto al verso scelto sulla curva. La coordinata s è chiamata parametro affine sulla curva orientata C(P1 , P2 ) ed il suo valore definisce univocamente il punto su di essa. Per esempio il punto O corrisponde ad s = 0. Naturalmente s varierà tra un valore minimo s(P1 ) < 0 corrispondente a P1 ad un valore massimo s(P2 ) > 0 corrispondente a P2 . Se fissiamo un sistema di coordinate cartesiane nello spazio, la curva orientata può essere descritta specificando le coordinate x, y, z di un generico punto su di essa in funzione di s. Ciò fornisce le equazioni parametriche della curva:   x = x(s) equazioni parametriche di C(P1 , P2 ) : y = y(s) . (5.1.11)  z = z(s) E’ utile ora scrivere la forza e lo spostamento infinitesimo in ogni punto della curva mediante le loro componenti cartesiane: → − F = Fx ~ux + Fy ~uy + Fz ~uz = (Fx , Fy , Fz ) , d~` = dx ~ux + dy ~uy + dz ~uz = (dx, dy, dz) .

(5.1.12)

Usando equazione (2.1.31) possiamo scrivere → − dW = F · d~` = Fx dx + Fy dy + Fz dz ,

(5.1.13)

dove Fx , Fy , Fz sono funzioni di s attraverso le coordinate della particella. Lo spostamento infinitesimo è preso lungo la curva e connette un punto s ad un punto s + ds. Perciò le componenti di d~` non sono indipendenti poiché esse possono essere tutte espresse in termini di ds mediante le equazioni parametriche della curva (5.1.11) dx ds , ds dy dy = y(s + ds) − y(s) = ds , ds dz dz = z(s + ds) − z(s) = ds . ds

dx = x(s + ds) − x(s) =

(5.1.14)

5.1. LAVORO

87

Usando queste equazioni, il lavoro elementare (5.1.13) può essere scritto nella forma dx dy dz → − ~ + Fy (s) + Fz (s) ds , (5.1.15) dW = F · d` = Fx (s) ds ds ds ed il lavoro totale può essere ora espresso mediante un integrale ordinario nella variabile s. Z

→ − ~ F · d` =

WC(P1 ,P2 ) = C(P1 ,P2 )

Z

s(P2 )

s(P1 )

dx dy dz Fx (s) + Fy (s) + Fz (s) ds . ds ds ds (5.1.16)

Generalizziamo ora, ad uno spostamento generico, la seguente proprietà: se su una particella agisce una forza che in ogni istante è la risultante di pi` u forze, il lavoro da essa compiuto lungo un qualsiasi spostamento è la somma dei lavori che ciascuna delle forze, di cui essa si compone, compirebbe, lungo lo stesso spostamento, se agisse separatamente. Sia F~ la risultante di un sistema di forze F~1 , . . . , F~n agenti simultaneamente sulla particella in ogni istante: n X ~ F = F~i . (5.1.17) i=1

Il lavoro compiuto da F~ quando alla particella viene fatto descrivere uno spostamento C(P1 , P2 ) è dato dalla (5.1.10): Z → − ~ ~ WC(P1 ,P2 ) (F ) = F · d` . (5.1.18) C(P1 ,P2 )

Esprimendo F~ in termini delle forze componenti, troviamo: ! Z Z n Z n n X X X ~ ~ ~ ~ ~ WC(P1 ,P2 ) (F ) = Fi · d` = Fi · d` = C(P1 ,P2 )

=

n X

i=1

C(P1 ,P2 ) i=1

WC(P1 ,P2 ) (F~i ) .

i=1

F~i · d~` =

C(P1 ,P2 )

(5.1.19)

i=1

Questo dimostra la proprietà di cui sopra. Esempio 2 Consideriamo una particella in un piano su cui agisce una forza che dipende dalla posizione della particella nel modo seguente: → − F = (Fx , Fy ) = k (y, x) ,

(5.1.20)

dove x, y sono le coordinate cartesiane di un punto nel piano. Supponiamo che la particella è spostata dall’origine P1 = O = (0, 0) del sistema di coordinate al punto P2 = (1, 1) lungo la → − parabola di equazione y = c x2 . Vogliamo determinare il lavoro fatto da F sulla particella.

88


Partiamo scrivendo l’equazione della curva orientata in forma parametrica, cioè x = s, y = c s2 . Ciò significa che un punto appartiene alla parabola se e solo se le sue coordinate x, y possono essere scritte nella forma x = s, y = c s2 , per un certo valore di s. Su un generico punto della parabola, la forza dipenderà da s nel seguente modo → − F = (Fx , Fy ) = k (c s2 , s) ,

(5.1.21)

Il lavoro può ora essere scritto nella forma (5.1.16) di un integrale nella variabile s: Z Z s(P2 ) dy dx → − ~ + Fy ds = . Fx WC(P1 ,P2 ) = F · d` = ds ds s(P1 ) C(P1 ,P2 ) Z 1 Z 1 2 ck s (1) + cks (2 s) ds = 3 ck s2 ds = ck (Joule) , (5.1.22) = 0

0

dove abbiamo tenuto conto che s(P1 ) = s(O) = 0 e s(P2 ) = 1. Cosa accade se spostiamo la particella indietro da P2 a P1 lungo la stessa curva C? Lo spostamento totale ora è rappresentato dalla curva orientata C(P2 , P1 ), descritta dalla stessa curva C, ma avente verso di percorrenza opposto. Questo implica che lo spostamento infinitesimo d~`0 nel punto P su C andando da P1 to P2 è l’opposto dello spostamento d~` nello stesso punto della curva andando in verso contrario: d~`0 = −d~`, ved. Fig. 5.3. Come abbiamo visto, il lavoro elementare lungo d~`0 in C(P2 , P1 ) deve essere l’opposto del lavoro compiuto lungo d~` in C(P1 , P2 ). Conseguentemente anche la somma dei lavori elementari ha segno opposto. Concludiamo dicendo che il lavoro compiuto da una forza su una particella che si muove da P1 a P2 è uguale ed opposto al lavoro compiuto dalla stessa forza quando la particella è spostata da P2 a P1 lungo la stessa curva. In formule: Z Z Z → − ~0 → − → − ~ ~ WC(P2 ,P1 ) = F · d` = F · (−d`) = − F · d` = −WC(P1 ,P2 ) , C(P2 ,P1 )

C(P1 ,P2 )

C(P1 ,P2 )

(5.1.23) Esempio 3 Consideriamo ora il pendolo analizzato nell’esempio 3 dell’ultimo capitolo. Vogliamo determinare il lavoro compiuto sulla massa m da ognuna delle forze che agiscono su di esso, quando m si muove dalla posizione P1 a P2 definite rispettivamente da ϕ1 e ϕ2 . In ogni istante lo spostamento elementare tra t e t + dt si esprime mediante la velocità ~v (t): dϕ d~` = ~v dt = L dt ~uϕ = L dϕ ~uϕ . dt

(5.1.24)

→ − Essendo ~v sempre tangente alla traiettoria e la tensione del filo T ortogonale ad essa, ab→ − ~ → − biamo T · d` = T · ~v dt = 0. Ne risulta che solo la forza gravitazionale contribuisce al lavoro totale: Z → − WC(P1 ,P2 ) = F W · d~` . (5.1.25) C(P1 ,P2 )

5.2. LAVORO ED ENERGIA CINETICA

89

Calcoliamo ora il lavoro elementare compiuto in uno spostamento infinitesimo d~`, usando le → − espressioni di F W e d~` nella base ~ur , ~uϕ : → − FW

→ − d~` = ds ~uϕ = L dϕ ~uϕ ; F W = −m g sin(ϕ(t)) ~uϕ + m g cos(ϕ(t)) ~ur , · d~` = [−m g sin(ϕ(t)) ~uϕ + m g cos(ϕ(t)) ~ur ] · [L dϕ ~uϕ ] = −m g L sin(ϕ(t)) dϕ , (5.1.26)

dove abbiamo usato la proprietà distributiva (2.1.14) del prodotto scalare. L’equazione (5.1.26) permette di riscrivere l’integrale di linea in (5.1.25) come integrale in una variabile Z

ϕ2

sin(ϕ) dϕ = m g L (cos(ϕ2 ) − cos(ϕ1 ))) = m g L (z1 − z2 ) ,

WC(P1 ,P2 ) = −m g L ϕ1

(5.1.27) dove abbiamo usato il fatto che L cos(ϕ) misura la distanza dall’asse X, cioè L cos(ϕ) = −z, essendo z negativo al di sotto dell’asse X (ved. Fig. 4.4). Dall’equazione (5.1.27) vediamo che il lavoro è negativo se z2 > z1 , cioè se m si è spostata verso l’alto. Ciò perché la forza gravitazionale si oppone sempre ad ogni spostamento verso l’alto. In questo esempio, il parametro affine s lungo la traiettoria è s = L ϕ, cioè l’arco della circonferenza che definisce la posizione di m.

5.2

Lavoro ed energia cinetica

→ − Metteremo ora in relazione il lavoro compiuto dalla forza risultante F , agente su una particella di massa m in moto, con la variazione di una quantità connessa al moto e chiamata energia cinetica. Cominciamo con il calcolare, usando l’equazione (5.1.10), il lavoro compiu→ − to da F su una particella che si muove da P1 a P2 lungo una curva C. Ogni spostamento elementare lungo la traiettoria può essere scritto, ad ogni istante, mediante la velocità istantanea d~` = ~v dt. Se scriviamo la forza mediante l’accelerazione della particella, unando → − v la seconda legge di Newton, F = m ~a = m d~ , la formula (5.1.10) per il lavoro può essere dt riscritta nel seguente modo Z WC(P1 ,P2 ) =

→ − ~ F · d` =

C(P1 ,P2 )

Z

d~v m m · ~v dt = dt 2 C(P1 ,P2 )

Z C(P1 ,P2 )

d v2 m dt = dt 2

m 2 m 2 = v − v1 , 2 2 2

Z

d(v 2 ) =

C(P1 ,P2 )

(5.2.1)

dove v 2 = |~v |2 = ~v · ~v , v1 e v2 sono i valori di v quando la particella si trova rispettivamente in P1 e P2 . Abbiamo anche usato la proprietà d v2 d d~v d~v d~v = (~v · ~v ) = · ~v + ~v · =2 · ~v , dt dt dt dt dt

(5.2.2)

90


e la proprietà di simmetria del prodotto scalare. particella come la quantità Ek =

Se definiamo l’energia cinetica della

m 2 p2 v = , 2 2m

(5.2.3)

l’equazione (5.2.1) identifica il lavoro compiuto dalla forza agente sulla particella con la variazione della sua energia cinetica ed esprime il teorema lavoro-energia: WC(P1 ,P2 ) = Ek,2 − Ek,1 = ∆Ek .

(5.2.4)

Come conseguenza di questa relazione, un lavoro negativo si manifesterà in una riduzione, in modulo, della velocità della particella, mentre uno positivo avrà l’effetto opposto. Questo risultato può essere compreso intuitivamente ricordando che una forza compie un lavoro negativo se si oppone al moto della particella e cos`ı, se è l’unica forza che si agisce su esso, essa causerà una riduzione della sua velocità. Se la velocità è costante in modulo durante il moto, come, per esempio, per il moto circolare uniforme, l’energia cinetica è costante ed il lavoro fatto dalla forza centripeta è zero, consistentemente con l’equazione (5.2.4 ). Ora consideriamo l’esempio del pendolo. Come la massa m si solleva da un’altezza z1 a z2 > z1 , la sua energia cinetica diminuisce di una quantità uguale al valore assoluto del lavoro fatto dalla forza gravitazionale, mentre nell’ andare indietro da z2 a z1 l’energia cinetica aumenta esattamente della stessa quantità. Possiamo dire che durante la salita, l’energia cinetica persa dalla massa, è in qualche modo “immagazzinata nella gravità della terra” , in modo tale che essa venga riguadagnata dalla massa nel ritorno alla sua posizione iniziale z1 ove assume la stessa energia cinetica che aveva originariamente. Questa proprietà non è comune a tutte le forze, ma solo, come vedremo nel seguente paragrafo, a quelle che hanno la proprieta di essere conservative . Per esempio, non c’è alcuna possibilità per una massa che si muove su un piano orizzontale, di riguadagnare l’energia cinetica persa per effetto del lavoro negativo fatto dalle forze di attrito. Queste sono un esempio di forze non conservative.

5.3

Forze conservative ed energia potenziale

Una forza è detta conservativa se e solo se il lavoro che essa compie su un oggetto generico, quando questo è spostato da un punto P1 ad un punto P2 , dipende solo dalle posizioni iniziale e finale, e non dalla traiettoria seguita. Ciò significa che se C e C 0 sono due curve generiche tra P1 e P2 , vedi Fig. 5.4, il lavoro fatto da una forza conservativa lungo di esse è lo stesso: WC(P1 ,P2 ) = WC 0 (P1 ,P2 ) .

(5.3.1)

Indicheremo questo lavoro con W(P1 ,P2 ) perché esso dipende solo da P1 and P2 . Da questa definizione segue che una forza conservativa non può dipendere né dalla velocità della particella, né esplicitamente dal tempo, cioè una forza conservativa può solo dipendere dalla posizione della particella su cui agisce ed, inoltre, essa può dipendere dal tempo solo attraverso la sua posizione.

5.3. FORZE CONSERVATIVE ED ENERGIA POTENZIALE

91

Figura 5.4:

Dalla proprietà (5.1.23) segue che il lavoro W(P2 ,P1 ) compiuto quando l’oggetto è riportato indietro da P2 a P1 è di segno opposto a W(P1 ,P2 ) , indipendentemente dalla curva seguita nel ritorno: W(P2 ,P1 ) = −W(P1 ,P2 ) .

(5.3.2)

In conseguenza di questo, il lavoro fatto da una forza conservativa lungo un cammino chiuso C è sempre zero, poiché in questo caso i punti iniziali e finali coincidono: P1 = P2 . Generalmente il lavoro WC fatto lungo un cammino chiuso C, su cui è definito un verso di percorrenza, è descritto come un integrale di linea, vale a dire una somma degli infiniti contributi al lavoro lungo spostamenti infinitesimiHsuccessivi. L’integrale di linea lungo un cammino (orientato) chiuso è indicato dal simbolo : I → − ~ WC = F · d` , (5.3.3) C

→ − → − ed è chiamato circuitazione di F intorno a C. Abbiamo visto che, se F è conservativa, WC = 0 lungo ogni curva chiusa C I → − → − ~ F conservative ⇒ F · d` . (5.3.4) C

Mostriamo ora che l’inverso è anche vero, vale a dire che se una forza ha circuitazione nulla lungo una curva chiusa, essa è conservativa, cioè che il lavoro che essa compie lungo un percorso aperto dipende soltanto dai punti iniziali e finali. Fissiamo due punti P1 e P2 nello spazio, e siano C1 (P1 , P2 ) e C2 (P1 , P2 ), due curve generiche passanti per P1 e P2 , vedi Fig. 5.5.

92


Figura 5.5:

Supponiamo di spostare la particella da P1 a P2 lungo C1 (P1 , P2 ), e quindi, una volta in P2 , di spostare indietro la particella seguendo C2 (P2 , P1 ). Il percorso totale seguito è una curva chiusa C. Per ipotesi, la circuitazione della forza lungo C, che è il lavoro totale fatto dalla forza nello spostamento della particella indietro fino a P1 è zero. Riscriviamo ora questo lavoro come la somma del lavoro fatto quando la particella viene spostata da P1 a P2 lungo C1 e del lavoro fatto quando la particella è riportata indietro lungo C2 Z Z Z I Z → − ~ → − ~ → − ~ → − ~ → − ~ F · d` − F · d` , F · d` = F · d` + F · d` = 0 = C

C1 (P1 ,P2 )

C2 (P2 ,P1 )

C1 (P1 ,P2 )

C2 (P1 ,P2 )

(5.3.5) dove abbiamo usato equazione (5.1.23).Concludiamo perciò che, date due curve generiche passanti per P1 e P2 abbiamo: Z Z → − ~ → − ~ F · d` = F · d` , (5.3.6) C1 (P1 ,P2 )

C2 (P1 ,P2 )

cioè la forza è conservativa. La proprietà di una forza di essere conservativa è stata finora caratterizzata in due modi equivalenti: • Il lavoro fatto su ogni oggetto dipende soltanto dalle sue posizioni iniziali e finali e non dal cammino seguito; • il lavoro lungo ogni cammino chiuso è zero.


93

Se una forza è conservativa, possiamo associare ad essa una quantità Ep , denominata energia potenziale, che dipende soltanto dalla posizione della particella, di modo che il lavoro fatto su un oggetto mentre è spostato da P1 a P2 può essere espresso come la differenza fra i valori di Ep in P1 e P2 : W(P1 ,P2 ) = Ep (P1 ) − Ep (P2 ) .

(5.3.7)

L’energia potenziale è definita a meno di una costante additiva arbitraria, indipendente dal punto. Effettivamente la quantità Ep0 = Ep + C, C essendo una costante arbitraria, soddisfa ancora equazione (5.3.7) W(P1 ,P2 ) = Ep (P1 ) − Ep (P2 ) = Ep0 (P1 ) − Ep0 (P2 ) ,

(5.3.8)

→ − e quindi è ancora l’energia potenziale associata alla stessa forza F . Il valore di C può essere fissato assegnando un valore arbitrario all’energia potenziale in un dato punto. Esso non ha alcun significato fisico poiché soltanto differenze nell’energia potenziale sono misurabili, essendo esse connesse al lavoro compiuto dalla forza corrispondente. Scriviamo ora l’equazione (5.2.4 ) nel caso di una forza conservativa W(P1 ,P2 ) = Ep (P1 ) − Ep (P2 ) = Ek,2 − Ek,1 .

(5.3.9)

L’equazione precedente può anche essere scritta, per ogni coppia di punti lungo la traiettoria di una particella, nella forma Ep (P1 ) + Ek,1 = Ep (P2 ) + Ek,2 .

(5.3.10)

Essendo P1 e P2 le posizioni della particella in due istanti differenti lungo il suo percorso, equazione (5.3.10) ci dice che la quantità E ≡ Ek + Ep , detta energia meccanica totale, è conservata durante il moto della particella E ≡ Ep + Ek = Ep +

m 2 v = const. , 2

(5.3.11)

Abbiamo visto che l’energia meccanica totale è una quantità conservata che caratterizza il moto di una particella, se la forza risultante che agisce su di essa è conservativa. Ricordare che Ep è una quantità scalare dipendente soltanto dalla posizione della particella Ep = Ep (x(t), y(t), z(t)) mentre Ek = Ek (v(t)) dipende soltanto dalla velocità della particella. Di conseguenza, anche se Ep e Ek possono separatamente dipendere dal tempo attraverso la posizione e la velocità della particella, la loro somma E è costante. Ciò facilita considerevolmente lo studio del moto di una particella, perché riduce il problema di risolvere un’ equazione differenziale di secondo ordine (4.3.3) al problema pi` u semplice di risolvere una equazione differenziale primo ordine per vari valori del E costante. Infatti E = Ep + Ek , per un dato valore di E, può essere visto come una relazione fra le coordinate x(t), y(t), z(t) della particella, e delle loro derivate rispetto al tempo. Questa relazione non coinvolge le derivate del secondo ordine della posizione, vale a dire l’accelerazione della particella e quindi è in

94


generale pi` u semplice da risolvere rispetto all’ equazione di Newton. L’equazione (5.3.11 ) può essere risolta facilmente e fornisce il modulo della velocità in funzione della posizione. Quando diciamo che Ep dipende soltanto dalla posizione della particella, dobbiamo essere pi` u precisi. Effettivamente la particella interagisce con il suo ambiente, che può essere → − composto da altre particelle. Sia la forza F che Ep in generale dipenderanno non solo dalla posizione della particella in considerazione, ma da tutte le particelle interagenti. Possiamo focalizzare la sua dipendenza dalla posizione della particella che stiamo considerando, se assumiamo che le altre particelle siano fisse. Durante il moto di una particella sotto l’effetto di una forza conservativa, abbiamo visto che l’energia meccanica è conservata, mentre l’energia cinetica può essere convertita in energia potenziale e viceversa. Per esempio, se durante uno spostamento la forza risultante fa un lavoro negativo, l’energia cinetica della particella diminuisce, mentre la sua energia potenziale aumenta dalla stessa quantità. Ciò significa che, per effetto del lavoro negativo, l’energia cinetica è convertita in energia potenziale e, in qualche modo, “immagazzinata” nel sistema che esercita la forza, in modo tale che, se la particella ritorna alla sua posizione iniziale, l’energia potenziale è convertita nuovamente in energia cinetica. Mostriamo ora che la risultante di forze conservative è ancora conservativa. Siano ~ F1 (~r), . . . , F~n (~r) forze conservative agenti simultaneamente su una particella. Ad esse sono associate energie potenziali Ep,1 (~r), . . . , Ep,n (~r). Calcoliamo il lavoro compiuto dalla forza P risultante F~ = ni=1 F~i lungo uno spostamento C(P1 , P2 ). Dalla (5.1.19) deriva che: WC(P1 ,P2 ) (F~ ) =

n X

WC(P1 ,P2 ) (F~i ) =

n X

i=1

=

n X

! Ep,i (P1 )

−

(Ep,i (P1 ) − Ep,i (P2 )) =

i=1 n X

i=1

! Ep,i (P2 )

= Ep (P1 ) − Ep (P2 ) , (5.3.12)

i=1

ovvero che il lavoro compiuto da F~ , essendo esprimibile come la differenza dei valori di una funzione energia potenziale Ep tra il punto iniziale e finale, non dipende dal percorso. F~ è quindi conservativa e la sua energia potenziale è la somma delle energie potenziali associate alle forze conservative che la compongono: Ep (~r) =

n X

Ep,i (~r) .

(5.3.13)

i=1

→ − Esempio 4 Consideriamo il caso di una forza F costante in intensità e direzione. L’espressione del lavoro WC(P1 ,P2 ) , dato nell’ equazione (5.1.10), può essere riscritta portando → − F fuori dal segno dell’integrale essendo essa costante lungo la linea Z → − → − → − WC(P1 ,P2 ) = F · d~` = F · ~r(P2 ) − F · ~r(P1 ) = Ep (P1 ) − Ep (P2 ) , (5.3.14) C(P1 ,P2 )

dove abbiamo usato il fatto che la somma vettoriale di tutti gli spostamenti infinitesimi è proprio la posizione relativa di P2 rispetto a P1 , qualunque sia la curva C che li collega:


95

d~` = ~r(P2 ) − ~r(P1 ). Vediamo che il lavoro non dipende dal percorso seguito, ma dalle posizioni iniziali e finali. Una forza uniforme è perciò conservativa. → − Dalla equazione (5.3.14) deduciamo l’energia potenziale associata a F : R

C(P1 ,P2 )

→ − Ep (~r) = − F · ~r + C ,

(5.3.15)

essendo C una costante arbitraria. Un esempio di forza (in buona approssimazione) uniforme → − è la gravità sulla superficie della terra agente su una particella di massa m: F W = −m g ~uz , dove l’asse Z è diretto verso l’alto nella direzione verticale. La sua energia potenziale è: → − Ep (~r) = − F W · ~r + C = −(−m g ~uz ) · ~r + C = m g z + C ,

(5.3.16)

e l’equazione (5.3.14) fornisce l’espressione (5.1.27) trovata per il pendolo. ` conveniente fissare la costante C in modo che Ep = 0 sulla superficie terrestre. SuppoE nendo di fissare l’origine dell’asse di Z sulla superficie terrestre, allora C = 0 e Ep = m g z. La costante C dovrebbe essere scelta in modo da rendere pi` u semplice l’espressione di Ep e quindi dipenderà dal particolare problema che stiamo considerando. Esempio 5 Consideriamo l’oscillatore armonico. Abbiamo calcolato il lavoro fatto dalla forza elastica mentre la massa m si muove da un punto P1 in x1 verso un punto P2 in x2 . Esso è dato dalla equazione (5.1.9) e dipende soltanto nelle posizioni iniziali e finali della massa. La forza elastica della molla è quindi un altro esempio di una forza conservativa. Per semplicità, spostiamo l’origine dell’asse X nel punto di equilibrio in modo che x0 = 0. Dall’equazione (5.1.9) possiamo dedurre l’energia potenziale del sistema: Z x2 Z x2 ke 2 ke 2 x − x2 = Ep (P1 ) − Ep (P2 )(5.3.17) . W(P1 ,P2 ) = Fe (x) dx = −ke x dx = 2 1 2 x1 x1 e trovare che Ep = Ep (x), dipende solo da x ed è data da Ep (x) =

ke 2 x +C. 2

(5.3.18)

Possiamo fissare C in modo che Ep = 0 nella posizione di equilibrio. In questo caso C = 0 e Ep (x) = k2e x2 . L’energia meccanica totale dell’oscillatore armonico ha la forma E =

ke 2 m 2 x + v . 2 2

(5.3.19)

Possiamo verificare che E è costante durante il moto dell’oscillatore. Consideriamo la soluzione (4.3.31) che descrive il moto della massa m, inizialmente nella posizione x1 con velocità nulla x(t) = x1 cos(ω0 t) , dx v(t) = = −x1 ω0 sin(ω0 t) . dt

(5.3.20)

96


Le energie cinetica e potenziale sono m v(t)2 = 2 ke Ep (t) = x(t)2 = 2

Ek (t) =

1 2 2 ke 2 x1 ω0 m sin2 (ω0 t) = x sin2 (ω0 t) , 2 2 1 ke 2 x cos2 (ω0 t) , 2 1

dove abbiamo tenuto conto che ω02 = ke /m. L’energia meccanica totale quindi è data dalla seguente costante del moto ke 2 m 2 ke 2 x + v = x . 2 2 2 1

E =

(5.3.21)

Il suo valore uguaglia il valore massimo dell’energia potenziale a t = 0 e t = T/2, quando x(t) = ±x1 il moto cambia direzione e l’energia cinetica è zero. E inoltre uguaglia il valore massimo dell’energia cinetica a t = T/4 and t = 3 T/4, in cui la massa passa per x(t) = 0 con velocità massima. → − Esempio 6 In genere se abbiamo una forza agente lungo la direzione dell’ass X F = F (x) ~ux , qualunque sia la sua dipendenza F (x) da x, la forza è conservativa. Z

x2

Z

x1

F (x) dx = −

W(P1 ,P2 ) = x1

Z F (x) dx − −

x0

x1

F (x) dx

= Ep (x1 ) − Ep (x2 ) ,

x0

(5.3.22) dove l’energia potenziale Z

x

Ep (x) = Ep (x0 ) −

F (x0 ) dx0 ,

(5.3.23)

x0

è sempre ben definita e dipende dal valore arbitrario che assegnamo a Ep in un certo punto di riferimento x0 . E’ facile verificare che se applichiamo la formula precedente alla forza elastica Fe (x) = −ke x sull’oscillatore armonico, scegliendo x0 = 0 e Ep (x = 0) = 0, troviamo l’equazione (5.3.18). Definiamo ora una relazione tra una forza conservativa sulla massa m e l’energia potenziale associata in forma locale, ovvero che valga in un punto qualunque nello spazio. A questo → − scopo iniziamo con il considerare una forza diretta lungo l’asse X F = F (x) ~ux . Come abbiamo visto, questa forza, qualunque sia la sua dipendenza da x, è conservativa e può essere descritta da un’energia potenziale Ep (x). Se prendiamo i due punti P1 e P2 in x e x + dx, vale a dire infinitamente vicini, l’ integrale di linea ha solo un contributo essendo F (x) costante lungo dx: W(x,x+dx) = F (x) dx = Ep (x) − Ep (x + dx) = −dEp = −

dEp dx , dx

(5.3.24)


97

dove abbiamo denotato con dEp il differenziale di Ep , definito come Ep (x + dx) − Ep (x) ed abbiamo usato la definizione di derivata rispetto a x. Usando (5.3.24) possiamo identificare, in un punto qualunque x, la forza come la derivata di Ep (x) rispetto a x, cambiata di segno: F (x) = −

dEp . dx

(5.3.25)

Per la gravità sulla superficie terrestre, il ruolo dell’asse X è assunto dall’asse verticale di Z p e possiamo verificare che F (z) = −m g = − dE dove Ep (z) è dato in (5.3.16). dz Lo studente è invitato a verificare l’equazione (5.3.25) nel caso dell’oscillatore armonico. L’equazione (5.3.25) permette di dedurre il comportamento di una forza unidimensionale su una particella dalla relativa energia potenziale. Vediamo che nei punti in cui la curva di Ep (x) ha pendenza negativa o positiva, la forza è diretta rispettivamente lungo la direzione p = 0, nei quali positiva o negativa dell’asse X . Di interesse speciale sono quei punti in cui dE dx F = 0. Essi sono massimi, minimi o flessi della curva Ep (x) e sono detti punti di equilibrio. Se una particella, inizialmente a riposo, è lasciata in un punto di equilibrio, essa rimarrà in quel punto indefinitamente. 2 Se sono minimi, vale a dire se ddxE2p > 0, essi sono detti punti di equilibrio stabile . Se la particella è spostata di una piccola quantità da un punto stabile la forza sarà diretta sempre verso quel punto e la particella si muoverà in un piccolo intorno di esso. Un massimo della curva Ep (x) è detto punto di equilibrio instabile. Se è spostata di una piccola quantità da quella posizione, la particella sarà allontanata indefinitamente con una forza diretta in verso opposto. La forza come gradiente dell’energia potenziale Consideriamo ora la generalizzazione di equazione (5.3.25) a una forza conservativa dipendente da pi` u di una coordinata. Cominciamo col ricordare la definizione di una derivata parziale. Per esempio, data una funzione di tre variabili f (x, y, z), la derivata parziale rispetto ai suoi argomenti è definita come: ∂f ≡ ∂x ∂f ≡ ∂y ∂f ≡ ∂z

f (x + ∆x, y, z) − f (x, y, z) , ∆x→0 ∆x f (x, y + ∆y, z) − f (x, y, z) lim , ∆y→0 ∆y f (x, y, z + ∆z) − f (x, y, z) lim . ∆z→0 ∆z lim

(5.3.26)

La derivata parziale rispetto ad una variabile è calcolata derivando la funzione rispetto a ∂ quella variabile, trattando le altre variabili come costanti. Per esempio ∂x (x2 y z) = 2 x y z. Dato un punto (x, y, z) ed un punto ad esso infinitamente vicino (x + dx, y + dy, z + dz), si definisce differenziale totale di f in (x, y, z), e si denota con df (x, y, z), a seguente quantità: df (x, y, z) ≡

∂f ∂f ∂f dx + dy + dz . . ∂x ∂y ∂z

(5.3.27)

98


In virt` u di un teorema di analisi matematica, la differenza tra il valore di f nei due punti infinitamente vicini è approssimabile con df (x, y, z): f (x + dx, y + dy, z + dz) − f (x, y, z) ≈ df (x, y, z) =

∂f ∂f ∂f dx + dy + dz(5.3.28) . ∂x ∂y ∂z

La proprietà appena scritta generalizza l’equazione, pi` u volte usata, che esprime da differenza dei valori di una funzione ad una variabile tra due punti infinitamente vicini, in termini della df dx. derivata della funzione in uno dei punti: f (x + dx) − f (x) ≈ df = dx In coordinate cartesiane, dx, dy, dz sono le componenti dello spostamento infinitesimale → − ~ d` che collega (x, y, z) a (x +dx, y +dy, z + dz). Associamo ad f un vettore, denotato da ∇f , e denominato gradiente della funzione f , definito in ogni punto dello spazio dalla proprietà : → − ∇f · d~` = df .

(5.3.29)

Confrontando l’equazione (5.3.29) con (5.3.27), troviamo le componenti del gradiente in un sistema di coordinate cartesiane: ∂f ∂f ∂f ∂f ∂f ∂f → − ∇f = ~ux + ~uy + ~uz = , , . (5.3.30) ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z Ritorniamo alla relazione infinitesimale fra lavoro ed energia potenziale. Se la massa m è spostata da (x, y, z) a (x + dx, y + dy, z + dz), il lavoro elementare fatto è : → − ~ → − F · d` = Ep (x, y, z) − Ep (x + dx, y + dy, z + dz) = −dEp = −( ∇Ep ) · d~` .(5.3.31) Poiché l’uguaglianza precedente è valida per ogni spostamento elementare d~`, possiamo fare la seguente identificazione: ∂Ep ∂Ep ∂Ep → − → − F = − ∇Ep = − ,− ,− . (5.3.32) ∂x ∂y ∂z L’equazione (5.3.32 ) generalizza la relazione (5.3.25) e si riduce ad essa nel caso in cui l’energia potenziale dipende soltanto da una variabile. Supponiamo che il moto avvenga in un piano e che stiamo lavorando con coordinate polari bidimensionali r, ϕ. In questo caso la variazione di una funzione f (r, ϕ) tra due punti molto vicini (r, ϕ) (r + dr, ϕ + dϕ) si esprime in termini del suo differenziale totale che vale: f (r + dr, ϕ + dϕ) − f (r, ϕ) ≈ df (r, ϕ) =

∂f ∂f → − dr + dϕ = ∇f · d~` . ∂r ∂ϕ

(5.3.33)

In questo sistema di coordinate uno spostamento infinitesimo d~` è dato dalle equazioni (2.2.7) e (2.2.8): d~` = (dr, r dϕ). ∂f 1 ∂f ∂f 1 ∂f → − ~ur + ~uϕ = , , (5.3.34) ∇f = ∂r r ∂ϕ ∂r r ∂ϕ


99

e la relazione locale tra forza ed energia potenzialediventa: ∂Ep 1 ∂Ep → − → − F = − ∇Ep = − ~ur − ~uϕ . ∂r r ∂ϕ

(5.3.35)

In modo simile possiamo calcolare l’espressione del gradiente in coordinate polari sferiche e cilindriche, usando la definizione (5.3.29) e la forma corrispondente di spostamento infinitesimale nelle equazioni (2.2.2), (2.2.11) e (2.2.12). Troviamo per le coordinate polari sferiche: 1 ∂f 1 ∂f ∂f 1 ∂f 1 ∂f ∂f → − ~ur + ~uθ + ~uϕ = , , , (5.3.36) ∇f = ∂r r ∂θ r sin(θ) ∂ϕ ∂r r ∂θ r sin(θ) ∂ϕ e cos`ı la forza sarà relazionata a Ep nel seguente modo ∂Ep 1 ∂Ep 1 ∂Ep → − → − F = − ∇Ep = − ~ur − ~uθ − ~uϕ . ∂r r ∂θ r sin(θ) ∂ϕ

(5.3.37)

Finalmente in coordinate cilindriche il gradiente è ∂f 1 ∂f ∂f → − ∇f = ~ur + ~uϕ + ~uz = ∂r r ∂ϕ ∂z

∂f 1 ∂f ∂f , , ∂r r ∂ϕ ∂z

,

(5.3.38)

e l’espressione della forza in funzione di Ep diventa ∂Ep 1 ∂Ep ∂Ep → − → − F = − ∇Ep = − ~ur − ~uϕ − ~uz . ∂r r ∂ϕ ∂z

(5.3.39)

Esempio 7 Si consideri una forza della forma ~r γ → − F = F (r) ~ur = γ 3 = 2 ~ur , r r

(5.3.40)

rispetto ad un sistema di coordinate sferiche. Trovare l’energia potenziale corrispondente. Scriviamo l’equazione (5.3.37): → − F =

γ ∂Ep 1 ∂Ep 1 ∂Ep → − ~ur = − ∇Ep = − ~ur − ~uθ − ~uϕ . 2 r ∂r r ∂θ r sin(θ) ∂ϕ

(5.3.41)

Uguagliando componente per componente i due membri, troviamo le seguenti equazioni per Ep ∂Ep , ∂θ ∂Ep 0 = , ∂ϕ γ ∂Ep F (r) = 2 = − . r ∂r 0 =

(5.3.42) (5.3.43) (5.3.44)

100


La prima e seconda equazione implicano che Ep è indipendente da θ, ϕ: Ep = Ep (r). L’ultima equazione è risolta dalla seguente energia potenziale γ Ep (r) = +C. (5.3.45) r Se fissiamo C in modo che Ep sia zero per valori grandi di r, vale a dire nel limite r → ∞, otteniamo Ep = γr . Come vedremo l’ equazione (5.3.40) descrive la forza gravitazionale che una massa puntiforme m1 situata nell’origine, esercita su una particella di massa m2 (in questo caso γ ∝ m1 m2 ).

5.4

Forze centrali

Un ruolo speciale nella meccanica delle particelle è svolto dalle cosiddette forze centrali. Esempi di questo genere di forze sono la forza gravitazionale esercitata da una massa puntiforme su una seconda massa, oppure la forza elettrostatica dovuta a una carica puntiforme. Una forza centrale agente su una particella è caratterizzata da due proprietà principali: Per ogni posizione P della particella, essa è diretta lungo la direzione che collega P ad un punto O nello spazio, denominato centro della forza, e la sua intensità dipende soltanto dalla distanza r fra P e O. Se fissiamo nello spazio un sistema di coordinate polari sferico, con origine O coincidente con il centro della forza, allora la forza centrale agente su un punto P = (r, θ, ϕ) ha la forma generale → − F = F (r) ~ur . (5.4.1) Abbiamo discusso un esempio di forza centrale nell’esempio 7. Qui faremo una discussione generale senza usare il concetto di gradiente. Consideriamo il lavoro fatto da una forza centrale quando la particella è spostata da P = (r, θ, ϕ) ad un punto vicino P 0 = (r + dr, θ + dθ, ϕ + dϕ. Lo spostamento infinitesimale d~`, in coordinate polari, ha la forma (2.2.2) ed il corrispondente lavoro fatto dalla forza centrale è → − dW = F · d~` = (F (r) ~ur ) · (dr ~ur + r dθ ~uθ + r sin(θ) dϕ ~uϕ ) = F (r) dr , (5.4.2) cioè ogni spostamento infinitesimo può essere decomposto in una componente lungo la direzione radiale ed in una componente perpendicolare ad esso. Soltanto la prima contribuirà al lavoro, poiché l’altra componente dello spostamento è ortogonale alla forza. Di conseguenza, se calcoliamo il lavoro totale fatto quando la particella si muove da un punto P1 = (r1 , θ1 , ϕ1 ) ad un punto P2 = (r2 , θ2 , ϕ2 ) lungo la curva C, esso avrà la forma Z r2 Z Z r2 Z r1 → − ~ WC(P1 ,P2 ) = F · d` = F (r) dr = − F (r) dr − − F (r) dr = C(P1 ,P2 )

r1

= Ep (r1 ) − Ep (r2 ) ,

r0

r0

(5.4.3)

dove r0 si riferisce ad un punto di riferimento arbitrariamente scelto. Il lavoro dipende soltanto dalle posizioni iniziali e finali della particella e non dal percorso seguito. Ciò dimostra che una forza centrale è conservativa. Dall’equazione (5.4.3) possiamo dedurre l’energia

5.4. FORZE CENTRALI

101

potenziale: Z

r

Ep (r) = Ep (r0 ) −

F (r0 ) dr0 .

(5.4.4)

r0

Ep (r0 ) è il valore del potenziale a r0 e rappresenta la costante arbitraria nella definizione dell’energia potenziale. Possiamo fissare questa costante al valore zero in un determinato r0 secondo la nostra convenienza. Infine dall’ equazione (5.4.2) deduciamo la relazione locale fra la forza e Ep (r): F (r) = −

dEp . dr

(5.4.5)

Esempio 8 Prendiamo per esempio la forza considerata nell’esempio 7: F (r) = γ/r2 . Se scegliamo r0 = ∞, il punto dove la forza è nulla e poniamo Ep (r = ∞) = 0 troviamo Z ∞ Z ∞ γ γ γ 0 0 dr = dr = . (5.4.6) Ep (r) = Ep (r = ∞) + (r0 )2 (r0 )2 r r r Questa analisi si applica al caso di un’interazione fra due particelle di masse m1 e m2 , in cui → − la forza F 12 che la particella 1 esercita sulla particella 2 è diretta lungo la linea che collega le due particelle, vale a dire è parallela a ~r12 = ~r1 − ~r2 e la relativa norma dipende soltanto dalla loro distanza r12 = |~r1 − ~r2 |: → − F 12 = F12 (r12 ) ~u12 ,

(5.4.7)

dove ~u12 =

~r12 , r12

(5.4.8)

è il versore che definisce la direzione che collega le due masse, orientata da m1 a m2 . La → − → − forza che m2 esercita su m1 sarà F 21 = − F 12 . Questa è la forma tipica dell’interazione 2 gravitazionale o elettrostatica fra due particelle (cariche), per cui F12 (r12 ) = γ/r12 : Forza gravitazionale: Forza elettrostatica:

m1 m2 → − F 12 = −G 2 ~u12 , r12 1 q1 q2 → − F 12 = ~u12 , 2 4 π 0 r12

(5.4.9) (5.4.10)

dove G = 6.67 10−11 N m2 /Kg 2 , q1 , q2 sono le cariche elettriche delle due particelle espresse in Coulomb e 0 = 8.85 10−12 f arad/m è la costante dielettrica del vuoto. Se consideriamo m2 come nostro sistema e m1 come la fonte della forza e parte dell’ambiente, possiamo applicare a questa interazione generale la nostra discussione precedente circa le forze centrali → − poiché F 12 può essere considerata come forza centrale agente su m2 , con il centro in m1 . In generale tuttavia, a meno che m1 sia molto maggior di m2 , come nel caso del sistema terra/sole, m1 non può essere considerata come fissa, poiché si muoverà sotto l’azione di

102


m2 . Di conseguenza dovremmo generalizzare la nostra discussione al caso in cui l’ambiente, in questo caso m1 , può cambiare per effetto della sua interazione con il nostro sistema, in questo caso m2 , ovvero al caso in cui consideriamo come sistema da studiare quello costituito dai due corpi interagenti. Supponiamo che durante il loro moto la massa m1 è spostata di d~`1 e m2 di d~`2 . Il lavoro totale compiuto dalle forze interagenti è la somma del lavoro dW12 → − → − fatto da F 12 su m2 e dal lavoro dW21 fatto da F 21 su m1 : → − → − → − dW = dW12 + dW21 = F 12 · d~`2 + F 21 · d~`1 = F 12 · (d~`2 − d~`1 ) = F12 (r12 ) ~u12 · (d~`2 − d~`1 ) . (5.4.11) Usiamo ora la proprietà che la proiezione ~u12 · (d~`2 − d~`1 ) dello spostamento relativo d~`2 − d~`1 di m2 rispetto a m1 , lungo la direzione che connette le due particelle, misura la variazione dr12 delle distanze relative: ~u12 · (d~`2 − d~`1 ) = dr12 . L’espressione di W diventa dW = F12 (r12 ) dr12 ,

(5.4.12)

la quale può sempre essere espressa come la differenza fra i valori di un’energia potenziale nella configurazione iniziale e finale: dW = Ep (r12 ) − Ep (r12 + dr12 ) .

(5.4.13)

La quantità Ep (r12 ) è l’energia potenziale associata non pi` u as una singola particella, ma all’intero sistema delle due particelle e dipende soltanto dalla loro distanza. Essa è collegata alla forza F12 come segue F12 (r12 ) = −

dEp . dr12

(5.4.14)

0 Il lavoro fatto quando le due particelle sono portate da una distanza r12 ad una distanza r12 0 è ottenuto decomponendo la variazione totale ∆r12 = r12 − r12 nelle variazioni infinitesimali dr12 e sommando i contributi elementari dW al lavoro totale fatto lungo ciascuno di loro

Z 0 Wr12 →r12 =

Z

0 r12

dW =

0 F12 (r) dr = Ep (r12 ) − Ep (r12 ).

(5.4.15)

r12

L’equazione (5.4.15) ci dice che il lavoro totale fatto dalle forze di interazione, che sono forze conservative, dipende solo dalle configurazioni iniziali e finali e non dal modo in cui il sistema 2 si è evoluto da una configurazione all’altra. Nel caso in cui F12 = γ/r12 si ha Ep (r12 ) =

γ +C. r12

(5.4.16)

Si può fissare C scegliendo l’energia potenzialedel sistema con due particelle in modo che sia nulla quando è nulla la forza tra le due particelle, cioè quando le due particelle sono a distanza infinita r12 → ∞. Ciò equivale a porre C = 0. Abbiamo definito cos`ı un’energia potenziale di un sistema di due particelle la cui differenza in valore fra le configurazioni

5.4. FORZE CENTRALI

103

iniziali e finali fornisce il lavoro totale fatto dalle forze di interazione. Il suo valore in una data configurazione rappresenta il lavoro Wr12 →∞ che le forze farebbero qualora le due particelle fossero portate a distanza infinita l’una dall’altra Z ∞ F12 (r12 ) dr12 = Ep (r12 ) − Ep (∞) = Ep (r12 ) . (5.4.17) Wr12 →∞ = r12 0 Per calcolare il lavoro Wr12 →r12 in (5.4.15) mentre la distanza relativa fra le due particelle è 0 variata da r12 to r12 , possiamo pensare di portare prima le particelle ad una distanza infinita 0 a partire da r12 e poi riportarle indietro da una distanza infinita a r12 . Poiché il lavoro totale 0 dipende dalle configurazioni iniziali e finali soltanto, esso sarà ancora dato da Wr12 →r12 in (5.4.15): Z r12 Z ∞ Z r12 Z ∞ 0 0 0 Wr12 →r12 = F12 (r) dr = F12 (r) dr = F12 (r) dr + F12 (r) dr − r12 r12 ∞ r12 Z ∞ 0 0 →∞ = Ep (r12 ) − Ep (r ) . F12 (r) dr = Wr12 →∞ − Wr12 − (5.4.18) 12 0 r12

Possiamo estendere questa analisi ad un sistema di tre particelle interagenti di masse m1 , m2 , m3 . → − → − Supponiamo che il sistema sia isolato, cos`ı che m1 sia influenzato solo da F 21 e F 31 , m2 da → − → − → − F 12 e F 32 e cos`ı via. Supponiamo che la generica forza F ij che mi esercita su mj abbia la forma generale (5.4.7) → − F ij = Fij (rij ) ~uij , (5.4.19) dove, come al solito, ~uij è il versore nella direzione congiungente le due particelle, orientato da mi a mj ed rij è la loro distanza. Supponiamo che il sistema evolva da una configurazione definita dalle distanze relative {rij } = {r12 , r13 , r23 } ad una differente configurazione definita 0 0 0 0 da {rij } = {r12 , r13 , r23 }. Poiché il lavoro fatto dalla somma delle forze agenti su una stessa particella è la somma dei lavori che ciascuna forza compirebbe se agisse separatamente, il → − → − 0 fatto dalla coppia di forze F 21 e F 12 , che dipende solo dalle lavoro totale è il lavoro Wr12 →r12 → − → − 0 0 distanze iniziali e finali r12 , r12 tra m1 e m2 , pi` u il lavoro Wr13 →r13 compiuto da F 31 e F 13 , → − → − 0 0 che dipende solo da r13 , r13 , pi` u il lavoro Wr23 →r23 compiuto da F 32 e F 23 e dipendente solo 0 da r23 , r23 . Ciascuno di questi contributi è espresso in termini di energia potenziale associata alle relative coppie 0 + Wr →r 0 + Wr →r 0 W{rij }→{rij0 } = Wr12 →r12 = 13 23 13 23

0 0 0 = Ep (r12 ) − Ep (r12 ) + Ep (r13 ) − Ep (r13 ) + Ep (r23 ) − Ep (r23 )= 0 0 0 = Ep (r12 , r13 , r23 ) − Ep (r12 , r13 , r23 ) . (5.4.20)

l lavoro totale, cos`ı come nel caso di due particelle, dipende soltanto dalle configurazioni iniziali e finali attraverso il valore di un’energia potenziale del sistema che dipende soltanto dalle distanze relative fra le particelle X Ep ({rij }) ≡ Ep (r12 , r13 , r23 ) = Ep (r12 ) + Ep (r13 ) + Ep (r23 ) = Ep (rij ) . (5.4.21) i
104


L’energia potenziale associata al sistema è quindi la somma delle energie potenziali relative a ciascuna coppia di particelle. Questa energia potenziale è definita a meno di una costante additiva che non dipende dalla configurazione e che può essere fissata scegliendo Ep uguale a zero quando le particelle sono alla distanza infinita l’una dall’altra: rij → ∞. In questo caso Ep ({rij }) misura il lavoro fatto dalle forze di interazione quando le particelle, non importa come, sono portate a distanza infinita: W{rij }→{∞} = Ep ({rij }) − Ep ({∞}) = Ep ({rij }) .

(5.4.22)

L’equazione precedente può essere derivata alternativamente come segue. Supponiamo di voler calcolare questo lavoro a partire da una configurazione {rij }. Possiamo portare prima m3 all’infinito, mantenendo m1 e m2 fissi. Ciò significa che r13 e r23 sono mandati all’infinito ed il lavoro totale fatto sarà Wr13 →∞ + Wr23 →∞ = Ep (r13 ) + Ep (r23 ) .

(5.4.23)

Mandiamo poi m1 e m2 a distanza infinita. Il corrispondente lavoro vale Wr12 →∞ = Ep (r12 ). Il lavoro totale sarà W{rij }→{∞} = Ep ({rij }) − Ep ({∞}) = Wr13 →∞ + Wr23 →∞ + Wr12 →∞ = = Ep (r13 ) + Ep (r23 ) + Ep (r12 ) = Ep ({rij }) . (5.4.24) La generalizzazione dell’ analisi precedente ad un sistema isolato di n le particelle di masse → − m1 , m2 , . . . , mn è facile. Sia F ij , i, j = 1, . . . , n la forza esercitata da mi su mj , la quale abbia la forma generica data in (5.4.19). Il lavoro totale compiuto dalle forze interne quando 0 } dipende solo dalle configurazioni iniziali la configurazione del sistema varia da {rij } a {rij e finali attraverso l’energia potenziale del sistema Ep ({rij }) = Ep (r12 , r13 , . . . , rn−1,n ): 0 W{rij }→{rij0 } = Ep ({rij }) − Ep ({rij }) ,

(5.4.25)

dove Ep ({rij }) è la somma delle energie potenziali associate ad ogni coppia di particelle X Ep ({rij }) ≡ Ep (r12 ) + Ep (r13 ) + . . . + Ep (rn−1,n ) = Ep (rij ) . (5.4.26) i
Come di consueto la costante additiva indeterminata nella definizione di Ep può essere fissata richiedendo che Ep ({rij → ∞}) = 0, di modo che Ep ({rij }) misura il lavoro totale fatto quando si portano le particelle a distanza relativa infinita. Applichiamo ora il teorema lavoro-energia a questo sistema di n particelle. Il lavoro totale compiuto dalle forze di interazione, se il sistema è isolato, è uguale la variazione dell’energia cinetica totale del sistema W{rij }→{rij0 } = Ek0 − Ek ,

(5.4.27)

dove Ek =

n X 1 i=1

2

mi vi2

n X 1 2 = pi . 2 m i i=1

(5.4.28)

5.4. FORZE CENTRALI

105

usando l’equazione (5.4.25) troviamo 0 Ek0 − Ek = Ep ({rij }) − Ep ({rij }) ⇔ E 0 = E ,

(5.4.29)

vale a dire troviamo che l’energia meccanica totale interna del sistema, somma di energie cinetiche e potenziali, è conservata: E = Ek + Ep ({rij }) = costante .

(5.4.30)

Se il sistema non è isolato, ma è soggetto anche a forze esterne, il lavoro totale W sarà la somma dei lavori fatti dalle forze interne W int , date da (5.4.25), e dalle forze esterne W ext . Applicando il teorema del lavoro-energia troviamo 0 }) + W ext , Ek0 − Ek = W = W int + W ext = Ep ({rij }) − Ep ({rij

(5.4.31)

∆E = E 0 − E = W ext .

(5.4.32)

cioè

Abbiamo trovato che la variazione dell’energia meccanica interna totale di un sistema di particelle, somma dell’energia cinetica totale e dell’energia potenziale associata alle forze interne conservative, è uguale al lavoro totale compiuto dalle forze esterne sul sistema. Come vedremo, qualsiasi quantità macroscopica di materia può essere vista come sistema di infinite particelle rappresentate dalle molecole costituenti. In questo caso il numero n di particelle è dell’ordine del numero di Avogadro, vale a dire n ∼ 1023 . Anche se il sistema, che potrebbe essere un liquido o un gas in un contenitore, sembra a riposo da un punto di vista macroscopico, ovvero non osserviamo un moto relativo delle parti del sistema, questo non implica che le singole molecole siano a riposo. Ciò che noi possiamo effettivamente misurare in modo diretto è solo la velocità media h~v i delle molecole contenute in un piccolo intorno di ogni punto del sistema in un intervallo di tempo limitato. Questa media coinvolge tipicamente tantissime molecole. Essa misura una componente globale del moto del sistema nell’intorno di ogni punto, che è la stessa per tutte le molecole. Se questa componente globale è zero, il moto delle molecole è completamente disordinato e non ha cosi’ nessuna direzione preferita. Questo è il caso del moto termico delle molecole all’equilibrio. In questa situazione la loro velocità media è zero, anche se le singole molecole si stanno muovendo. Effettivamente il piccolo volume sondato dallo strumento per la misurazione della velocità del sistema contiene tipicamente un grande numero n di molecole. La distribuzione delle velocità all’interno di questo campione è completamente disordinato in modo che per ogni molecola in moto con una velocità ~vi esiste una molecola che si muove ad una velocità −~vi (in altre parole è ugualmente probabile trovare le velocità ~vi e −~vi all’interno del campione di molecole, per qualsiasi ~vi )) e quindi la somma vettoriale su tutte le velocità nel campione a ogni istante è zero. n 1 X ~vi = 0 . h~v i = n i=1

(5.4.33)

106


Ciò avviene in un sistema termodinamico all’ equilibrio. Anche se la velocità media delle molecole è zero, il valore medio delle norme corrispondenti non lo è n 1 X |~vi | = 6 0. h|~v |i = n i=1

(5.4.34)

In conseguenza di questo, l’energia cinetica media delle molecole nella materia non è zero. In effetti essa è collegato con la temperatura T del sistema. Poiché le molecole interagiscono, possiamo definire per il sistema un’energia meccanica interna totale, che chiameremo energia interna U , come la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale del sistema di molecole N 1 molecole: U ≡

N X

(i)

Ek + Ep ({rij }) = N hEk i + Ep ({rij }) .

(5.4.35)

i=1

essendo hEk i l’energia cinetica media di ciascuna molecola. Nei solidi e nei liquidi, l’interazione fra le molecole è importante per la determinazione delle proprietà del sistema, cioè l’energia potenziale rappresenta una frazione importante dell’energia interna totale. Nei gas le molecole interagiscono soltanto durante il breve tempo delle loro collisioni e possono essere considerate come particelle libere durante il tempo fra due urti successivi, vale a dire durante la gran parte del loro moto. In conseguenza di ciò, il contributo dell’energia potenziale all’energia interna totale U è molto pi` u piccolo per i gas che per i liquidi o i solidi. Riducendo gradualmente la densità di un gas, la distanza media fra le relative molecole aumenta e questa riduce l’energia potenziale media del sistema fino a che non diventa trascurabile rispetto all’energia cinetica media. In questo limite, il gas si comporta come un gas ideale, descritto come un insieme di molecole libere che interagiscono soltanto con scontri istantanei. Generalmente la dipendenza dell’ energia interna U di sistema dal suo volume V è dovuta all’energia potenziale, poiché quando variamo V , la distanza media hrij i fra le molecole varia e, di conseguenza, l’energia potenziale media cambia. D’altra parte, U dipende dalla temperatura attraverso l’energia cinetica media di ciascuna molecola. Per un gas ideale il contributo dell’ energia potenziale a U è trascurabile in (5.4.35) e, di conseguenza, U dipende soltanto dalla temperatura U = U (T ) .

(5.4.36)

Questa è una caratteristica importante di un gas ideale e descrive bene le proprietà dei gas reali a densità e pressione basse.

5.5

Forze non conservative

Una forza è non-conservativa se una delle due proprietà equivalenti, stabilite per le forze conservative nell’ultimo paragrafo, non vale. Come precedentemente accennato, un esempio

5.6. MOTO UNIDIMENSIONALE E CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA

107

` facile convincersi che il lavoro compiuto dall’ attrito di forza non-conservativa è l’attrito. E quando un oggetto è spostato su un tavolo orizzontale lungo un circuito chiuso non è zero. Infatti le forze di attrito sono dirette sempre nella direzione opposta al moto, in modo da resistergli. In altre parole, esse compionosempre lavoro negativo sull’oggetto su cui agiscono. Il viaggio totale di andata e ritorno può essere decomposto in una successione di piccoli spostamenti lungo cui il lavoro elementare fatto dall’ attrito è una quantità negativa non nulla. Di conseguenza il lavoro totale compiuto sull’oggetto mentre esso viene riportato alla sua posizione originale rimane negativo, essendo la somma dei contributi negativi lungo ogni spostamento. Segue da questo che il lavoro compiuto dalle forze di attrito, quando l’oggetto è spostato fra due punti, dipende dal percorso seguito. Di conseguenza non possiamo esprimere il lavoro fatto come la differenza nei valori di una funzione fra le posizioni iniziale e finale. In altre parole non è possibile associare alle forze di attrito, cos`ı come con altre forze non-conservative, un’energia potenziale. Supponiamo che una particella sia soggetta, quando si muove, a forze conservative e nonconservative, il cui lavoro è indicato con Wc e da Wn−c rispettivamente. Possiamo scrivere il lavoro totale fatto dalla forza risultante come la somma dei lavori fatti dai due tipi di forze: Wtot = Wn−c + Wc . Soltanto Wc può essere espresso come la variazione di un’energia potenziale fra le posizioni iniziali e finali della particella: Wc = −∆Ep . Per il teorema lavoro-energia, espresso in (5.2.4 ), possiamo scrivere Wtot = Wn−c + Wc = ∆Ek ⇒ Wn−c = −Wc + ∆Ek = ∆Ep + ∆Ek = ∆E .(5.5.1) La relazione precedente identifica il lavoro fatto dalla forza non-conservativa con la variazione dell’energia meccanica totale. Di conseguenza, in presenza di forze non-conservative, l’energia meccanica totale non è conservata. Se la forza non conservativa è l’ attrito, Wn−c è sempre negativa, vale a dire l’energia meccanica totale si ridurrà mentre l’oggetto si muove. Notiamo tuttavia che, quando due oggetti sono sfregati uno contro l’altro, essi si riscaldano: si produce calore e le loro temperature aumentano. Come vedremo, il calore è una forma di energia e possiamo pensare all’energia meccanica persa in presenza delle forze di attrito come convertita in una quantità Q di energia termica. Si può verificare che il calore prodotto è Q = −Wn−c , cos`ı che possiamo scrivere ∆E + Q = 0 .

5.6

(5.5.2)

Moto Unidimensionale e Conservazione dell’Energia

Torniamo al caso del moto unidimensionale di una particella di massa m soggetta all’azione → − di una forza F diretta lungo la direzione del moto (che prendiamo coincidere con l’asse X), che dipende solo dalla posizione della particella su cui agisce. Essendo tale posizione univocamente definita in ogni istante dall’ascissa della particella x, scriveremo: → − → − F = F (x) = F (x) ~ux . (5.6.1)

108


→ − Sappiamo che F è conservativa e che la corrispondente energia potenziale Ep (x) è data dall’opposto della funzione primitiva associata alla sua componente F (x): Z dEp (x) . (5.6.2) Ep (x) = − F (x)dx + C ⇔ F (x) = − dx L’energia meccanica si conserva durante il moto della particella: E = Ek (v) + Ep (x) =

m 2 v + Ep (x) = cost. 2

(5.6.3)

Vogliamo mostrare che il moto unidimensionale è completamente derivabile dalla conservazione dell’energia meccanica E. Infatti dalla (5.6.3) possiamo ricavare la velocità v della particella in funzione di x: r 2 dx =± (E − Ep (x)) , (5.6.4) v= dt m dove il “+” vale in quegli istanti in cui x aumenta con t (v > 0), il “−” nella parte del moto in cui x diminuisce con t (v < 0). In un’intervallo infinitesimo tra t e t + dt, la variazione dt = v(t) dt, per cui, moltiplicando ambo i membri corrispondente dx di x si scrive dx = dx dt della (5.6.4) per dt, troviamo: r 2 dx dt = ± (E − Ep (x)) dt . (5.6.5) dx = dt m q Dividiamo adesso ambo i membri per la funzione m2 (E − Ep (x)): dx q

2 (E m

= ± dt .

(5.6.6)

− Ep (x))

Abbiamo trovato una relazione che lega dx a dt per ogni intervallino infinitesimo di tempo dt in cui possiamo pensare di dividere il moto intero. Sommiamo queste equazioni membro a membro su tutti gli intervallini in cui è diviso l’intervallo tra l’istante iniziale t = 0 ed un generico istante t > 0. Questo equivale ad integrare il secondo membro della (5.6.6) tra 0 e t, ed il primo membro tra il valore x0 di x nell’istante iniziale ed il valore x(t) di x all’istante t: Z x(t) Z t dx q =± dt = ±t . (5.6.7) 2 x0 0 (E − E (x)) p m Il primo membro è un integrale pi` u o meno complicato da calcolare, che comunque dipende solo da x(t) e dalle condizioni iniziali del moto x0 = x(0) e v0 = v(0) sia attraverso l’estremo inferiore dell’integrale, sia attraverso il valore costante dell’energia meccanica E, che si può pensare fissata dalle stesse condizioni iniziali (essendo una costante del moto): E=

m 2 v + Ep (x0 ) . 2 0

(5.6.8)

5.6. MOTO UNIDIMENSIONALE E CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA

109

Calcolando l’integrale a primo membro della (5.6.7) e risolvendo l’equazione in x(t), possiamo in linea di principio determinare l’espressione esplicita di x(t) in termini di t e dei dati iniziali x0 , v0 , ovvero determinare il moto della particella. Applichiamo questa procedura ad un moto che abbiamo esplicitamente risolto per altra via: quello dell’oscillatore armonico. In questo caso sappiamo che l’energia potenziale vale Ep (x) = k2e x2 , avendo fissato la costante additiva arbitraria richiedendo che tale energia sia nulla nella posizione di equilibrio x = 0. L’equazione (5.6.7) si scrive: Z x(t) Z t dx q =± dt = ±t . (5.6.9) 2 ke 2 x0 0 (E − 2 x ) m Calcoliamo l’integrale a primo membro, riconducendo attraverso opportuni passaggi ad un integrale noto. Per cominciare, lo riscriviamo nel seguente modo: r Z x(t) Z x(t) dx m dx q q = . (5.6.10) 2 E x0 ke 2 2 ke 2 x0 (E − x ) x ) (1 − m 2 2E Introduciamo adesso la nuova variabile: r y(x) =

ke x. 2E

(5.6.11)

Se x varia di una quantità infinitesima dx, y(x) varierà di un infinitesimo dy dato da: r dy ke dy = dx = dx . (5.6.12) dx 2E Cambiamo variabile da x ad y(x) nell’integrale (5.6.10): r r Z y(x(t)) Z x(t) m m dx dy q p = . 2) 2 E x0 k ke 2 (1 − y e y(x ) 0 (1 − x )

(5.6.13)

2E

Osserviamo adesso che |y| ≤ 1. Infatti sappiamo che l’energia potenziale durante il moto è sempre minore dell’energia meccanica totale essendo l’energia cinetica mai negativa: Ep (x) =

ke 2 ke 2 x = E − Ek ≤ E ⇔ y 2 = x ≤ 1. 2 2E

Possiamo calcolare facilmente l’integrale: Z

dy p , 1 − y2

(5.6.14)

(5.6.15)

cambiando ulteriormente variabile di integrazione da y ad un angolo 0 ≤ θ ≤ π, legato ad y dalla relazione: dy y = cos(θ) ⇔ dy = dx = − sin(θ) dθ ; (5.6.16) dx

110


troviamo Z

Z

dy

p = (1 − y 2 )

(− sin(θ)dθ) p = (1 − cos2 (θ))

Z

(− sin(θ)dθ) =− sin(θ)

Z dθ .

(5.6.17)

Siamo ora in grado di calcolare l’integrale in (5.6.13) r r Z θ(y(x(t))) Z x(t) m m dx 1 q = − (θ(y(x0 )) − θ(y(x(t)))) = dθ = 2 E x0 ke θ(y(x0 )) ω0 (1 − ke x2 ) 2E

= − ove, al solito, ω0 =

1 (arccos(y(x(t))) − arccos(y(x0 ))) , ω0

(5.6.18)

p ke /m. Dalla (5.6.9) abbiamo che:

arccos(y(x(t))) − arccos(y(x0 )) = ∓ω0 t ⇔ arccos(y(x(t))) = ∓ (ω0 t + φ) ,

(5.6.19)

dove φ = ∓arccos(y(x0 )). Calcolando il coseno di ambo i membri dell’ultima equazione e ricordandoci la definitione di y(x), troviamo infine: r 2E x(t) = cos(ω0 t + φ) , (5.6.20) ke che è la soluzione generale dell’equazione del moto dell’oscillatore armonico, in cui le condizioni iniziali sono fissate da E e da φ. Se per esempio consideriamo l’oscillatore che viene lasciato andare da fermo (v0 = 0) a partire da un x0 > 0, troviamo che l’energia meccanica è data dall’energia potenziale iniziale: r ke 2 ke x0 ⇔ y(x0 ) = x0 = 1 ⇔ φ = ∓arccos(y(x0 )) = ∓arccos(1) = 0 ; (5.6.21) E= 2 2E la fase iniziale φ è quindi nulla ed il moto (5.6.20) si scrive nella forma pi` u familiare: x(t) = x0 cos(ω0 t) .

(5.6.22)

La derivazione di un moto unidimensionale generico dalla conservazione dell’energia sarà utile quando studieremo il moto Kepleriano, ovvero il moto dei pianeti intorno al sole e, in generale, il moto di una particella soggetta ad una forza centrale il cui modulo è inversamente proporzionale al quadrato della distanza r dal centro della forza. Per questo problema pi` u complesso vedremo che non basterà la conservazione dell’energia meccanica a determinare il moto, ma occorrerà ricorrere alla conservazione di una ulteriore quantità: il momento angolare. Quest’ultima ci consentirà di ridurre lo studio della sola componente radiale del moto (definita da r(t)) ad un moto unidimensionale di una particella soggetta ad una forza diretta lungo la direzione del moto con modulo dipendente solo dalla sua posizione. Applicando a questo moto la procedura generale descritta in questa sezione, dalla conservazione dell’energia sarà possibile determinare la componente radiale del moto r(t).

Capitolo 6 Campo gravitazionale ed elettrostatico 6.1

Campi di Forze, Campo Gravitazionale e Campo Elettrostatico

Nei capitoli precedenti abbiamo considerato esempi di forze che agiscono su particelle e che dipendono solo dalla loro posizione ~r(t) (rispetto ad un opportuno sistema di coordinate): → − → − F = F (~r) .

(6.1.1)

In questa classe rientrano le forze conservative e, tra queste, le forze centrali discusse nella Sezione (5.4), come la forza gravitazionale ed elettrostatica (quando una delle due particelle può essere considerata fissa, ovvero come parte dell’ambiente). Possiamo descrivere l’azione di questo tipo di forza su una particella in modo che non dipenda dalla particolare posizione ~r(t) della particella in un generico istante, associando ad ogni punto ~r dello spazio la forza che agirebbe sulla particella se fosse posta in ~r. In questo modo definiamo una corrispondenza tra punti dello spazio e vettori forza: ~r −→

→ − F (~r) ,

(6.1.2)

tale che ad ogni punto dello spazio corrisponde uno ed un solo vettore forza. Questa corrispondenza definisce un campo di forze. Esso è un esempio di campo vettoriale, ovvero di grandezza matematica definita in ogni punto dello spazio (o di una regione di spazio) da un → − vettore. Indicheremo un campo di forze con il simbolo F (~r) ed un generico campo vettoriale → − con V (~r). Incontreremo diversi esempi di campi vettoriali in Fisica. Pensate alla descrizione della situazione dei venti in una certa regione geografica. Questa viene fatta disegnando, in punti caratteristici ~r della cartina geografica, i vettori ~v che definiscono le velocità medie del vento in quei punti, ovvero descrivendo una corrispondenza tra punti dello spazio ~r e vettori velocità ~v (~r). Tale corrispondenza definisce il campo vettoriale delle velocità ~v (~r). Vedremo che il 111

112

CAPITOLO 6. CAMPO GRAVITAZIONALE ED ELETTROSTATICO

moto di un fluido in generale, nella rappresentazione euleriana, sarà descritto da un campo di velocità ~v (~r) in ogni istante. → − Torniamo alle forze descritte in termini di un campo vettoriale F (~r) e consideriamo due esempi importanti: la forza di gravità e la forza elettrostatica. Su una massa puntiforme m agisce, per effetto di un’altra massa puntiforme M (considerata fissa), una forza → − gravitazionale descritta dal campo di forze F G (~r): Mm → − F G (~r) = −G 2 ~ur , r

(6.1.3)

ove abbiamo scelto, per semplicità, l’origine O di un sistema di coordinate polari sferico in → − corrispondenza della posizione di M . Il vettore F G (~r) non è altro che la forza che, per la legge di gravitazione universale di Newton (5.4.9), agisce su m quando questa è posta in ~r. Analogamente la forza elettrostatica esercitata da una carica puntiforme Q fissa (posta anch’essa nell’origine) su un’altra q, è descritta, in funzione di una generica posizione di quest’ultima, dal campo di forze: Qq → − F es (~r) = k 2 ~ur , r

(6.1.4)

essendo k = 1/(4πε0 ) ≈ 9×109 N m2 /C 2 , secondo la legge di Coulomb (5.4.10). Chiameremo sorgente la particella (fissa), di massa M o carica Q, che esercita la forza, gravitazionale o elettrostatica, mentre la particella su cui tale forza è esercitata, di massa m o carica q nei due casi, verrà chiamata campione. ` utile descrivere la forza gravitazionale che la sorgente M esercita su una generica massa E puntiforme m posta in un punto dello spazio P , usando una quantità che non dipende dalla massa campione m, ma solo da M e dal punto nello spazio P . Tale grandezza è il campo gravitazionale ~g (~r) definito come il rapporto tra la forza gravitazionale esercitata da M su m, posta in un punto di vettore posizione ~r, e la stessa massa m: ~g (~r) =

→ − M F G (~r) = −G 2 ~ur . m r

(6.1.5)

Osserviamo che essa non dipende da m. Il campo gravitazionale ~g (~r) è un altro esempio di campo vettoriale, in termini del quale la forza gravitazionale che M esercita su una generica massa m posta in ~r, si descrive come: → − F G (~r) = m ~g (~r) .

(6.1.6)

Abbiamo in altre parole isolato, nell’espressione della forza, la parte che dipende dalla sola sorgente (campo gravitazionale) da quella che dipende dalla particella campione. Il campo gravitazionale descrive la forza esercitata da M su una massa unitaria. La sua dimensione fisica è quella di una forza per unità di massa, ovvero di accelerazione. Esso si misura quindi in unità m/s2 . Analogamente possiamo descrivere l’azione elettrostatica di una carica sorgente Q su una generica carica campione q posta in ~r, usando una quantità che dipenda solo da Q e da ~r,

6.1. CAMPI DI FORZE, CAMPO GRAVITAZIONALE E CAMPO ELETTROSTATICO113 → − ma non da q. Questa quantità è il campo elettrostatico E (~r), definito come rapporto tra forza esercitata su q in ~r e la carica q stessa: → − Q F es (~r) ~ = k 2 ~ur . E(~r) = q r

(6.1.7)

Il campo elettrostatico dipende solo da Q e da ~r ma non da q. La forza elettrostatica che Q esercita su una generica carica q posta in ~r, si descrive come: → − ~ r) . F es (~r) = q E(~

(6.1.8)

Supponiamo di avere adesso n particelle sorgente, di masse M1 , . . . , Mn , localizzate in punti fissi nello spazio descritti, rispetto ad un’origine O, dai vettori ~r1 , . . . , ~rn . Vogliamo descrivere la loro azione gravitazionale su una massa puntiforme campione m posta in un punto di vettore posizione ~r. Essa sarà la somma delle forze gravitazionali che ciascuna massa Mi , i = 1, . . . , n, eserciterebbe su m se agisse separatamente. La forza che una generica sorgente Mi eserciterebbe su m è data dal campo: Mi m → − F G,i (~r) = −G 2 ~ui = m ~gi (~r) , di

(6.1.9)

essendo di la distanza tra m e Mi : di = |~r − ~ri | ,

(6.1.10)

e ~ui il versore longo la direzione congiungente Mi com m, nel verso che va da Mi ad m. Esso è il versore associato al vettore posizione relativa ~r − ~ri di m rispetto ad Mi : ~ui =

~r − ~ri . |~r − ~ri |

(6.1.11)

→ − Possiamo quindi descrivere la forza F G,i anche nel seguente modo, che rende esplicita la sua dipendenza da ~r e ~ri : Mi m → − F G,i (~r) = −G (~r − ~ri ) = m ~gi (~r) , |~r − ~ri |3

(6.1.12)

essendo il campo gravitazionale associato ad Mi dato da: → − F G,i (~r) Mi Mi ~gi (~r) = = −G 2 ~ui = −G (~r − ~ri ) . m di |~r − ~ri |3

(6.1.13)

→ − La forza totale esercitata su m sarà, in ogni punto ~r, la somma vettoriale delle F G,i : n

n

n

X→ X X Mi m Mi m → − − F G (~r) = F G,i (~r) = −G 2 ~ui = −G (~r − ~ri ) = m ~g (~r) . (6.1.14) 3 d |~ r − ~ r | i i i=1 i=1 i=1

114


Nell’ultimo passaggio abbiamo definito il campo gravitazionale ~g (~r), associato al sistema di masse {Mi }, come il rapporto tra la forza gravitazionale che esse esercitano su una massa campione m posta in ~r ed m: → − n n n X X F G (~r) X Mi Mi ~g (~r) = = ~gi (~r) = −G 2 ~ui = −G (~r − ~ri ) . (6.1.15) m di |~r − ~ri |3 i=1 i=1 i=1 Troviamo quindi che per il campo gravitazionale vale il principio di sovrapposizione, ovvero il campo gravitazionale associato ad un sistema di masse fisse è in ogni punto la somma (vettoriale) dei campi associati a ciascuna sorgente nello stesso punto. Osserviamo inoltre che, proprio come nel caso di una sorgente, il campo gravitazionale generato dalle n sorgenti dipende solo dalle loro masse, dalle loro posizioni ~ri e dal punto ~r dello spazio considerato, ma non dalla massa campione m. Quanto detto per la forza gravitazionale si ripete per quella elettrostatica esercitata da un sistema di cariche puntiformi sorgente Q1 , . . . , Qn , localizzate in punti fissi ~r1 , . . . , ~rn , su una carica campione q in ~r: n n n X X X Qi q Qi q → − → − ~ r) , (~r − ~ri ) = q E(~ (6.1.16) k F es (~r) = F es,i (~r) = k 2 ~ui = 3 d |~ r − ~ r | i i i=1 i=1 i=1 → − essendo F es,i (~r) la forza che la sorgente Qi eserciterebbe su q se agisse separatamente e si ~ i (~r) calcolato in esprime come il prodotto di q per il corrispondente campo elettrostatico E ~ ~r. Il campo elettrostatico E(~r) associato all’intero sistema di cariche sorgente è al solito → − definito come il rapporto tra F es (~r) e q e vale: → − n n n X X F es (~r) X ~ Qi Qi ~ = Ei (~r) = k 2 ~ui = (~r − ~ri ) . (6.1.17) E(~r) = k q di |~r − ~ri |3 i=1 i=1 i=1 Tale campo dipende solo dalle cariche sorgenti Qi e dalle loro posizioni, ma non da q. Vale inoltre per esso il principio di sovrapposizione che abbiamo discusso per il campo gravitazionale. Abbiamo discusso in questa sezione esempi di campi vettoriali: i campi di forze gravitazionali F~G (~r) ed elettrostatici F~es (~r), il campo gravitazionale ~g (~r) ed il campo elettrostatico ~ r). In questo capitolo ci soffermeremo a studiare proprietà comuni a ~g e E. ~ A tale scopo E(~ converrà studiare i due campi insieme, indicandoli attraverso un unico simbolo V~ (~r) e le rispettive sorgenti puntiformi con α, dove: α = −G M campo gravitazionale , α = kQ campo elettrostatico . Il campo (gravitazionale o elettrostatico) V~ (~r) generato da un sistema di sorgenti puntiformi α1 , . . . , αn , localizzate nei punti ~r1 , . . . , ~rn , si scriverà quindi nella forma n n n X X X αi αi ~ ~ V (~r) = Vi (~r) = ~u = (~r − ~ri ) . (6.1.18) 2 i d |~r − ~ri |3 i=1 i=1 i i=1 Nel caso del campo gravitazionale αi = −G Mi , mentre nel caso elettrostatico αi = k Qi .

6.2. “AZIONE A DISTANZA” VS “AZIONE A CONTATTO”

6.2

115

“Azione a distanza” Vs “Azione a contatto”

I fenomeni gravitazionali studiati nella meccanica classica (Newtoniana) o elettrostatici si possono consistentemente descrivere in termini di “azione a distanza” di un sistema di sorgenti (masse o cariche) su una o pi` u particelle campione. In questa rappresentazione il ~ r) associato ad un sistema di sorgenti è solo un campo gravitazionale ~g (~r) o elettrostatico E(~ modo geometrico per descrivere l’azione a distanza del sistema su una particella campione, di massa m o carica q, attraverso una forza, gravitazionale F~G = m ~g (~r) o elettrostatica ~ r), che va pensata come azione istantanea. Quando però si considerano particelle F~es = q E(~ interagenti in rapido movimento (con velocità paragonabili a quella della luce), la rappresentazione dell’interazione in termini di azione a distanza risulta inadeguata. Se per esempio la configurazione di un sistema di cariche {Qi } viene fatta variare rapidamente, si osserva che la forza agente sulla carica campione q varia con un certo ritardo. Questo ritardo è tanto maggiore quanto pi` u q dista dal sistema di cariche (Qi ) ed è incompatibile con l’idea di un’azione istantanea. Il modo pi` u corretto per descrivere questi fenomeni è in termini di “azione a contattto”, ovvero l’interazione tra due cariche viene descritta in due momenti (vedi Figura 6.1): ~ r) che va pensato adesso come un’entità 1. Una carica Q genera intorno a sé un campo E(~ fisica vera e propria, portatrice di energia e quantità di moto; ~ agisce sulla carica campione q posta al suo interno attraverso una forza 2. Il campo E ~ r). F~es = q E(~ ~ associato a Q e la carica In questa rappresentazione, l’interazione avviene tra il campo E campione q ed è localizzata nel punto occupato da q. Se la carica Q viene rapidamente ~ inizialmente nella regione prossima spostata in un certo istante, viene modificato il campo E a Q e questa perturbazione, che porta con sé l’informazione sulla nuova posizione di Q, si propaga nello spazio a velocità finita (nel vuoto alla velocità della luce), fino a raggiungere il punto occupato da q dopo un certo tempo e a modificare l’azione del campo elettrico. 0 ~0. F~ → F~ = q E

(6.2.1)

~ che ~g sono Quanto detto per il campo elettrostatico vale per quello gravitazionale: sia E entità fisiche generate da un sistema di sorgenti, definiti in ogni punto dello spazio e misurabili attraverso la forza che essi esercitano su una particella al loro interno.

6.3

Campo Vettoriale Conservativo

Generalizziamo il concetto di forze conservative ad un campo vettoriale generico. Ricordiamo che una forza agente su una particella, che dipende solo dalla posizione di questa, si dice conservativa se e solo se il lavoro da essa compiuto quando la particella viene spostata da un punto iniziale ad un punto finale, non dipende dal percorso seguito nello spostamento, ma solo dai due punti. Una forza di questo tipo fornisce un esempio di campo vettoriale

116


Figura 6.1: Rappresentazione dell’interazione tra due cariche Q e q come “azione a contatto” ~ nello mediata dal campo elettrico: in una prima fase la carica Q genera un campo elettrico E ~ generato da Q agisce su q tramite spazio ad essa circostante; in una seconda fase il campo E ~ ~ ~ e la carica q ed è “localizzata” una forza F = q E. L’interazione coinvolge solo il campo E nel punto occupato da q.

F~ (~r) conservativo. Abbiamo anche visto che un campo di forze centrale F~ (~r) = F (r) ~ur è conservativo. Per quanto detto nella sezione 5.3, la sovrapposizione di forze centrali è ancora conservativa e la sua energia potenziale è la somma delle energie potenziali associate a ciascuna forza componente ( si veca eq. (5.3.12)). Consideriamo uno spostamento C(P1 , P2 ) nello spazio, da un punto iniziale P1 ad uno finale P2 lungo un percorso C, e definiamo, per un campo vettoriale generico V~ (~r), l’integrale di linea lungo C(P1 , P2 ) come la quantità Z V~ · d~` , (6.3.1) C(P1 ,P2 )

ottenuta dividendo lo spostamento in spostamenti infinitesimi d~`, lungo i quali V~ si può considerare costante, calcolando per ciascuno di essi il prodotto scalere V~ · d~`, e sommando questi contributi infinitesimi su tutto lo spostamento. Nel caso di un campo di forze V~ (~r) = F~ (~r) l’integrale di linea definisce il lavoro. Valgono inoltre tutte le proprietà degli integrali

6.3. CAMPO VETTORIALE CONSERVATIVO

117

di linea dimostrate per le forze. Se lo spostamento è chiuso (P1 = P2 ), esso sarà descritto da un percorso chiuso orientato C. L’integrale di linea corrispondente è detto circuitazione di V~ lungo C e si indica con il simbolo: I V~ · d~` . (6.3.2) C

Diciamo che un campo vettoriale V~ (~r) è conservativo se e solo se l’integrale di linea lungo un generico spostamento non dipende dal persorso seguito ma solo dal punto iniziale e finale: Z Z ~ ~ ~ V~ · d~` . (6.3.3) V conservativo ⇔ V · d` = C(P1 ,P2 )

(P1 ,P2 )

Analogamente a quanto fatto per le forze, si dimostra che un campo vettoriale è conservativo se e solo se il la sua circuitazione lungo un generico percorso chiuso è nulla: I ~ V~ · d~` = 0 . (6.3.4) V conservativo ⇔ C

Cos`ı come ad un campo di forze conservativo è associata una funzione energia potenziale (definita a meno di una costante additiva indipendente dal punto), ad un generico campo vettoriale conservativo associamo una funzione del punto Φ(~r) tale che il suo integrale di linea da un punto P1 ad un punto P2 (lungo un qualsiasi percorso) si scrive: Z V~ · d~` = Φ(P1 ) − Φ(P2 ) = −∆Φ . (6.3.5) (P1 ,P2 )

Questa relazione si può scrivere in forma locale usando il concetto di gradiente (la dimostrazione è analoga a quella data nel caso delle forze): ~ r) . V~ (~r) = −∇Φ(~

(6.3.6)

La funzione Φ(~r) è detta potenziale associato al campo conservativo V~ (~r). La forza gravitazionale esercitata da un sistema di masse puntiformi {Mi } (o, pi` u correttamente dal campo ~g generato da queste masse) su una massa m, è conservativa perché somma delle forze centrali F~G,i esercitate da ciascuna massa Mi su m. A ciascuna di queste G forze componenti è associata una energia potenziale Ep,i data da (5.4.6): G Ep,i (~r) = −G

Mi m . di

(6.3.7)

L’energia potenziale associata a F~G sarà quindi (la costante additiva è stata fissata richiedendo che l’energia potenziale sia nulla quando m è a distanza infinita dalle masse sorgenti): n X Mi m G Ep (~r) = −G . (6.3.8) d i i=1

118


~ generato da un sistema di Analogamente la forza elettrostatica F~es esercitata dal campo E, sorgenti {Qi }, su una carica campione q, è conservativa e la sua energia potenziale si scrive: Epes (~r)

=k

n X Qi q i=1

di

.

(6.3.9)

~ sono campi vettoriali conservativi. Calcoliamo l’integrale di Dimostriamo che i campi ~g e E linea di ~g lungo un generico spostamento C(P1 , P2 ): Z Z Z ~G EpG (P1 ) EpG (P2 ) F 1 ~g ·d~` = ·d~` = F~G ·d~` = − = VG (P1 )−VG (P2 ) . m C(P1 ,P2 ) m m C(P1 ,P2 ) C(P1 ,P2 ) m (6.3.10) Questa derivazione dimostra che ~g è conservativo e che la sua funzione potenziale Φ(~r), che indichiamo con il simbolo VG (~r), altro non è che l’energia potenziale gravitazionale per unità di massa e non dipende dalla massa campione: n

X Mi 1 G VG (~r) = Ep (~r) = −G . m di i=1

(6.3.11)

Essa è detta potenziale gravitazionale e ha le dimensioni del quadrato di una velocità, come lo studente può facilmente verificare. ~ generato da un In modo del tutto analogo si dimostra che il campo elettrostatico E sistema di cariche fisse Qi , è conservativo: Z Z Epes (P1 ) Epes (P2 ) 1 ~ ~ ~ ~ Fes · d` = − = V (P1 ) − V (P2 ) . (6.3.12) E · d` = q C(P1 ,P2 ) m m C(P1 ,P2 ) Il suo potenziale, detto potenziale elettrostatico, è l’energia potenziale elettrostatica per unità di carica positiva e vale: n X 1 es Qi V (~r) = Ep (~r) = k . (6.3.13) q di i=1 Esso ha le dimensioni di una energia diviso una carica e la sua unità di misura è detta Volt (V): J 1 V olt = 1 . (6.3.14) C Riassumiamo le corrispondenze tra i campi vettoriali conservativi considerati in questa sezione e i corrispondenti potenziali: V~ (~r) F~G (~r) F~es (~r) ~g (~r) ~ r) E(~

↔

Φ(~r) ,

↔

EpG (~r) ,

↔ ↔

Epes (~r) , VG (~r) ,

↔

V (~r) . (6.3.15)

6.4. LEGGE DI GAUSS

119

~ Se indichiamo con il simbolo generico V~ il campo gravitazionale ~g o quello elettrostatico E, e le sue sorgenti puntiformi con αi , esso ha la forma (6.4.2) ed il suo potenziale Φ si scrive: Φ(~r) =

n X αi i=1

6.4

di

.

(6.3.16)

Legge di Gauss

Trattiamo in questa sezione la legge di Gauss. Indichiamo per semplicità il campo elettrostatico e gravitazionale con lo stesso simbolo generico V~ (~r), e le rispettive sorgenti con αi . La proprietà di questi campi di essere conservativi è legata al fatto che essi sono la sovrapposizione di campi associati a sorgenti puntiformi, ciascuno dei quali è un campo centrale (o radiale): X V~ (~r) = V~i (~r) , V~i (~r) = fi (di ) ~ui , i

ovvero ciascuno dei campi elementari V~i (~r) è diretto lungo la congiungente il punto ~r con la sua sorgente αi , ed in modulo dipende solo dalla distanza di del punto dal αi . La dimostrazione che ciascun campo V~i (~r), dovuto ad αi , è conservativo non dipende dal particolare andamento del suo modulo |fi (di )| dalla distanza di . Essa varrebbe anche se p.es fi (di ) ∼ 1/d5i . Il potenziale Φi (~r) associato a V~i (~r) è dato da: Z Φi (~r) = − fi (r) dr + C . (6.4.1) La legge di Coulomb per la forza elettrostatica e la legge di Newton per quella gravitazionale non implica solo che il campo (elettrostatico o gravitazionale) V~i generato da una sorgente puntiforme αi sia radiale, ma anche che |V~i | ∼ 1/d2i (la legge dell’inverso del quadrato della distanza). Quest’ultima proprietà è espressa invece dalla legge di Gauss. Supponiamo di avere un sistema di sorgenti (αi ) = (α1 , α2 , . . . , αn ) distribuite nello spazio ed una superficie chiusa S, vedi Figura 6.2. Convenzionalmente scegliamo la normale ~n in ogni punto di S diretta in verso uscente. La legge di Gauss afferma che il flusso del campo V~ dovuto a tutte le sorgenti αi attraverso S è 4π per la somma delle sorgenti αi interne ad S : I X ~ FS (V ) = V~ · ~ndS = 4 π αi . S

int

Per dimostrare questa proprietà, consideriamo il campo V~ generato da una singola sorgente puntiforme α posta nell’origine: α (6.4.2) V~ (~r) = 2 ~ur , r

120


Figura 6.2:

Distribuzione di n sorgenti puntiformi nello spazio e superficie chiusa S.

e calcoliamone il flusso attraverso un elemento di superficie dS orientato, con il versore normale ~n, vedi Figura 6.3: +|V~ |dS⊥ θ < π2 dF(V~ ) = V~ · ~ndS = |V~ | cos(θ)dS = , −|V~ |dS⊥ θ > π2 ove dS⊥ = dS| cos(θ)| è la proiezione di dS nel piano perpendicolare la congiungente dS con la sorgente α. Usando la (6.4.2), troviamo +|α| dSr2⊥ cos(θ) > 0 ~ (6.4.3) dF(V ) = dS⊥ −|α| r2 cos(θ) < 0 Il rapporto dSr2⊥ misura l’angolo solido sotto cui la sorgente α “vede” la superficie dS o dS⊥ in unità steradianti ( rimandiamo lo studente alla sottosezione 6.4.1 per un richiamo della nozione di angolo solido e della sua misura in steradianti). Questo rapporto infatti non dipende da r, ma solo dall’angolo solido dΩ, definito come regione di spazio delimitata dalle rette che collegano α ai punti del bordo di dS, o equivalentemente, dS⊥ . Possiamo quindi riscrivere +|α| dΩ cos(θ) > 0 ~ dF(V ) = . (6.4.4) −|α| dΩ cos(θ) < 0 Il flusso dF non dipende dalla distanza di dS da α ma solo dall’angolo solido sotto cui α “vede” dS. Questa proprietà è comprensibile pensando alla caratterizzazione del flusso in ` facile convincersi termini di numero di linee di campo che attraversano una superficie. E infatti che tutte le superfici “viste” dalla sorgente sotto lo stesso angolo solido dΩ, sono attraversate dallo stesso numero di linee (sempre entranti o uscenti per tutte le superfici), si veda Figura 6.4.

6.4. LEGGE DI GAUSS

Figura 6.3:

121

~ attraverso un elemento di superficie dS. Flusso del campo elettrostatico o gravitazionale V

Consideriamo adesso una superficie chiusa S. Al solito la normale ~n è fissata, in ogni suo punto, in verso uscente. Supponiamo che α sia all’interno di S, vedi Figura 6.5, e calcoliamo il flusso, attraverso S, del campo da essa generato come somma dei flussi elementari dF attraverso ciascun elemento di superficie dS in cui pensiamo sia suddivisa S I V~ · ~ndS . FS (V~ ) = S

Osserviamo che i flussi elementari sono: dF(V~ ) = V~ · ~ndS =

+|α|dΩ −|α|dΩ

q>0 , q<0

(6.4.5)

e hanno lo stesso segno, qualsiasi sia dS, poiché se α > 0, V~ ed ~n hanno prodotto scalare positivo (cos(θ) > 0), mentre se α < 0, V~ · ~n = |V | cos(θ) < 0. Possiamo scrivere quindi che, per ogni dS: dF = α d Ω,

(6.4.6)

per cui FS (V~ ) =

I

I α dΩ = α

S

dΩ = α Ω0 = 4π α , S

R essendo l’angolo solido giro Ω0 = S dΩ = 4π. Se invece α è esterna ad S, vedi Figura 6.6, per ogni elemento della superficie dS attraverso cui il flusso è positivo (V~ · ~n > 0) dF(V~ ) = |α| dΩ > 0 ,

122


Figura 6.4:

Stesso numero di linee di campo che attraversano superfici viste da α sotto lo stesso angolo solido.

esiste un elementino dS 0 visto da α sotto lo stesso angolo solido dΩ ma attraverso cui V~ ·~n < 0 e quindi dF 0 (V~ ) = −|α| dΩ = −dF(V~ ) < 0 . Nella somma, quindi, i contributi elementari al flusso si elidono a due a due e si ottiene: FS (V~ ) = 0 . (6.4.7) Se abbiamo un sistema (αi ) = (α1 , α2 , . . . , αn ) di sorgenti puntiformi, il campo totale V~ è la somma dei campi V~i dovuti a ciascuna sorgente αi n X ~ V = V~i . (6.4.8) i=1

Il flusso di V~ attraverso una superficie chiusa S I n I n X X ~ ~ ~ FS (V ) = V · ~ndS = Vi · ~ndS = FS (V~i ) , S

i=1

S

(6.4.9)

i=1

è la somma dei flussi FS (V~i ), che valgono 4π αi se αi è interna ad S e zero se αi è esterna ad S. Troviamo quindi che I X ~ FS (V ) = V~ · ~ndS = 4π αi , S

int

6.4. LEGGE DI GAUSS

Figura 6.5:

123

Sorgente α interna alla superficie chiusa S.

P ove il simbolo int indica la somma sulle sorgenti interne ad S. Per la dimostrazione del teorema di Gauss è stato essenziale usare la proprietà che V~ è la sovrapposizione di campi elementari, ciascuno dei quali, in modulo, è proporzionale all’inverso del quadrato della distanza dalla corrispondente sorgente. Questo ha permesso di esprimere il flusso elementare dF in termini del solo angolo solido dΩ.

6.4.1

Misura dell’angolo solido

Un angolo solido è definito come la porzione di spazio delimitata dal fascio di rette che congiungono un punto O, detto vertice, con i punti sul bordo di una superficie S data, vedi Figura 6.8. In analogia con la misura di un angolo piano θ in radianti, come rapporto tra la lunghezza dell’arco staccato dall’angolo su una circonferenza di raggio R centrata nel suo vertice ed il raggio stesso, si definisce la misura di un angolo solido Ω in steradianti il rapporto tra l’area ∆S della calotta sferica staccata da Ω su una sfera di raggio r, centrata sul vertice, ed r2 , vedi Figura 6.8. Ω=

∆S . r2

Questo rapporto si dimostra non dipendere da r, ma solo da Ω. Se l’angolo solido dΩ è infinitesimo, la superficie dS da esso staccata sulla sfera è infinitesima. Essa giace sul piano

124


Figura 6.6:

Sorgente α esterna alla superficie chiusa S.

tangente alla sfera ed è quindi perpendicolare alla direzione che la congiunge con il vertice O. dΩ quindi lo si può misurare come il rapporto tra una superficie dS a cui è sotteso dΩ, perpendicolare alla congiungente dS con O, ed il quadrato r2 della distanza r di dS da O. ` utile esprimere dS elemento di superficie sferica in coordinate polari usando l’equazione E (2.2.3): dS = r2 sin(θ)dθdφ . L’angolo solido elementare dΩ in coordinate polari si scrive quindi: dΩ =

dS = sin(θ) dθ dφ , r2

ed infatti non dipende da r. L’angolo solido giro Ω0 è l’angolo solido sotto cui il centro della sfera “vede” tutta la sfera. Esso è quindi pari al rapporto tra la superficie S della sfera ed r2 Ω0 =

4π r2 = 4π . r2

6.4. LEGGE DI GAUSS

125

Figura 6.7:

Figura 6.8:

Misura di un angolo piano.

Misura di un angolo solido Ω.

126


Capitolo 7 Sistemi di particelle Finora abbiamo trattato il moto di una singola particella, soggetta all’azione del suo ambiente. Abbiamo supposto che tutti gli oggetti con cui la particella interagisce siano fissi nello spazio, di modo che la forza esercitata su essa dipenda soltanto dalla sua posizione o velocità. Ora estendiamo la nostra analisi includendo l’ambiente (o parte di esso) in cui la particella si muove, vale a dire considereremo l’evoluzione nel tempo di un sistema di particelle interagenti. Vedremo che generalmente l’evoluzione di un tal sistema può essere decomposto sempre nel moto relativo di particelle una rispetto all’altra, includendo rotazioni e vibrazioni, ed in un moto globale del sistema nel suo complesso. Quest’ultima componente può essere associata ad un punto caratteristico del sistema, denominato centro di massa. Vedremo anche che nei problemi in cui non siamo interessati al moto interno del sistema di particelle, vale a dire nel loro moto relativo, il moto di traslazione globale del sistema può essere descritto come moto di una singola particella avente massa uguale alla massa totale del sistema, situata nel relativo centro di massa e soggetto alla risultante delle forze esterne che agiscono sul sistema.

7.1

Centro di massa

Dato un sistema di n particelle di masse m1 , m2 , . . . , mn , in moto con velocità ~v1 , ~v2 , . . . , ~vn , definiamo velocità del centro di massa ~vCM la seguente quantità Pn vi i=1 mi ~ , (7.1.1) ~vCM = M dove abbiamo definito la massa totale del sistema M come M =

n X

mi .

(7.1.2)

i=1

Se moltiplichiamo entrambi i membri dell’ equazione (7.1.1) per M , ricordando la definizione della quantità di moto per ogni particella p~i = mi ~vi , vediamo che la quantità M ~vCM può 127

128

CAPITOLO 7. SISTEMI DI PARTICELLE

essere identificata con la quantità di moto totale P~ del sistema M ~vCM =

n X

p~i = P~ .

(7.1.3)

i=1

Se la massa di una particella è indipendente dalla sua velocità, come nel caso del limite non-relativistico v c che stiamo considerando, la velocità del centro di massa può essere associata al moto di un punto nello spazio, il centro di massa, definito dal seguente vettore di posizione ~rCM = (xCM , yCM , zCM ) Pn ri i=1 mi ~ , (7.1.4) ~rCM = M dove ~ri = (xi , yi , zi ) è il vettore posizione dell’ ima particella e le coordinate si riferiscono ad un sistema di coordinate cartesiane S con origine O ed assi X,Y,Z. Dalla 7.1.4) deduciamo l’espressione delle coordinate del centro di massa Pn i=1 mi xi xCM = , (7.1.5) Pn M i=1 mi yi , (7.1.6) yCM = M Pn i=1 mi zi zCM = . (7.1.7) M (7.1.8) Effettivamente, se deriviamo entrambi i membri dell’equazione(7.1.4) rispetto al tempo ed CM identifichiamo ~vCM con d~rdt troviamo (7.1.1). In un dato istante, la posizione del centro di massa è indipendente dalle coordinate con cui scegliamo di descrivere il sistema stesso. Consideriamo un nuovo sistema di riferimento cartesiano con origine O0 , differente da O, ed −−→ assi X 0 , Y 0 , Z 0 paralleli ai rispettivi X, Y, Z e denotiamo con ∆~r = OO0 la posizione di O0 rispetto ad O. I vettori posizione ~r0 e ~r di un punto P sono legati da ~r0 = ~r − ∆~r ,

(7.1.9)

Le componenti (x0 , y 0 , z 0 ) of ~r0 rispetto al nuovo sistema di coordinate S 0 sono le nuove coordinate di P , e (x, y, z) sono le vecchie coordinate di P nel vecchio sistema S. Se (∆x, ∆y, ∆z) sono le componenti di ∆~r rispetto a S, le relazioni tra le nuove e le vecchie coordinate di P sono ottenute scrivendo (7.1.9) nelle sue componenti x0 = x − ∆x , y 0 = y − ∆y , z 0 = z − ∆z .

(7.1.10) (7.1.11) (7.1.12)

` facile controllare che la posizione ~rCM −~ri del centro di massa rispetto ad ogni particella del E 0 sistema è la stessa nei due sistemi di coordinate S 0 e S: ~rCM − ~ri0 = ~rCM − ~ri . Per mostrarlo 0 è sufficiente provare che, se ~ri0 = ~ri − ∆~r, ~rCM = ~rCM − ∆~r. Questa è una proprietà generale del centro di massa: la sua posizione rispetto ad ogni particella del sistema non dipende dal sistema di coordinate usate per descriverlo.

7.1. CENTRO DI MASSA

129

Esempio 1 Consideriamo due particelle di masse m1 = 1 Kg and m2 = 2 Kg, giacenti sull’asse X nelle posizioni x1 = 1 m, x2 = 3 m. Trovare la posizione del centro di massa e la sua distanza dalle due particelle. La massa totale del sistema è M = m1 + m2 = 3 Kg. In questo caso y1 = y2 = 0 and z1 = z2 = 0. Dalle (7.1.6) e (7.1.7) troviamo che yCM = zCM = 0, cioè il centro di massa si trova anch’esso sull’asse. La sua posizione è data dall’ equazione (7.1.5) xCM =

m1 x1 + m2 x2 (1 Kg) (1 m) + (2 Kg) (3 m) = = 2.33 m . M 3 Kg

(7.1.13)

La distanza del centro di massa dalle due particelle è m2 |x2 − x1 | = m1 + m2 m1 − x2 | = |x2 − x1 | = m1 + m2

|xCM − x1 | = |xCM

2 |x2 − x1 | = 1.33 m , 3 1 |x2 − x1 | = 0.67 m . 3

(7.1.14)

Vediamo che il centro di massa è pi` u vicino alla particella pi` u pesante. Esempio 2 Consideriamo tre particelle di masse m1 = 1.5 Kg, m2 = 1.5 Kg, m3 = 3 Kg poste nel piano XY nelle posizioni ~r1 = (0, 0), ~r2 = (0, 2) e ~r3 = (2, 1) (le coordinate sono espresse in metri). Trovare la posizione del centro di massa. Applichiamo l’equazione (7.1.4).La massa totale del sistema è M = m1 +m2 +m3 = 6 Kg. Troviamo ~rCM =

1 1 1 (m1 ~r1 + m2 ~r2 + m3 ~r3 ) = [(0, 0) + 1.5 (0, 2) + 3 (2, 1)] = (6, 6) = (1, 1) = M 6 6 = ~ux + ~uy . (7.1.15)

Supponiamo ora che ogni particella sia soggetta ad una forza interna dovuta alle altre particelle del sistema ed a forze esterne. Se deriviamo entrambi i membri di equazione (7.1.3) ed usiamo equazione (4.6.16) del Cap. 4, troviamo d d ~ → − ext (M ~vCM ) = P =F , dt dt

(7.1.16)

→ − ext dove F è la risultante delle forze esterne. Dalla precedente equazione concludiamo che il moto del centro di massa è quello di una particella di massa M , uguale alla massa totale del sistema, su cui agisce la risultante delle forze esterne. La quantità di moto di questa particella uguaglia la quantità di moto totale del sistema. Il suo moto quindi non è influenzato dalle forze interne e descrive il moto di traslazione del → − ext sistema nel suo complesso. Se il sistema è isolato, vale a dire se F = 0, qualunque siano le interazioni fra le particelle, il suo centro di massa persisterà nel suo moto uniforme, in conseguenza del principio di conservazione della quantità di moto totale M ~vCM = P~ = const. Si consideri, per esempio, un razzo che esplode nell’aria in un certo istante. Le sue varie parti sono espulse dalle forze prodotte nella deflagrazione e ciascuna di esse continua lungo

130


una traiettoria differente. Queste forze tuttavia sono interne al sistema, essendo originate dalle reazioni chimiche che sono avvenute all’interno del razzo e quindi non influenzano il moto del centro di massa. Quest’ultimo risente soltanto della forza esterna totale che agisce sul sistema, cioe’ la forza di gravità, e quindi persisterà nel suo originario moto uniformemente accelerato, ovvero lungo la sua traiettoria parabolica. Possiamo applicare questa analisi al moto di un oggetto esteso. Dividiamo il volume V dell’oggetto in infinite cellule elementari di volume ∆V , sufficientemente piccole in modo da potere considerare uniformi tutte le quantità fisiche all’interno di ciascuna di esse. Sia ∆m la massa contenuta in ∆V e definiamo la densità media ρmedia di materia in ∆V come la quantità ρmedia =

∆m , ∆V

(7.1.17)

Riducendo ∆V , varierà il valore di ρmedia . Se ∆V è abbastanza piccolo, e lo denoteremo con dV , ogni ulteriore riduzione di esso non modificherà apprezzabilmente il valore di ρmedia , che denoteremo con ρ, cioè nel limite ∆V → 0, ρmedia tenderà ad un valore limite ρ che definisce la densità della materia in un punto all’interno di dV ρ =

dm ∆m = . ∆V →0 ∆V dV lim

(7.1.18)

ρ(x, y, z) è una funzione del punto e descrive la distribuzione della materia all’interno dell’oggetto. Ogni volume elementare dV può essere considerato come una particella puntiforme di massa dm = ρ dV , essendo la sua estensione trascurabile rispetto a quella dell’intero oggetto. Fin ora abbiamo implicitamente assunto che la distribuzione di materia sia continua. Tuttavia sappiamo che, osservando la materia su una scala sufficientemente piccola (cioè ad una distanza dell’ ordine di 10−8 ÷10−10 m), essa rivelerà la sua natura discreta fatta di atomi e di molecole. Definiamo l’elemento di volume dV , che rappresenta la pi` u piccola porzione di materia che stiamo considerando, come un volumetto molto pi` u piccolo dell’intero oggetto, la cui dimensione lineare sia comunque pi` u grande della distanza media fra le molecole, in modo da contenere tantissimi costituenti elementari e presentare quindi al sui interno una distribuzione in buona approssimazione continua di materia. Tenendo questo in mente, noi ignoreremo per il momento la natura microscopica discreta della materia e considereremo la porzione dV di materia come una particella di massa dm. Avendo descritto un oggetto esteso come un sistema di infinite particelle, possiamo estendere ad esso la definizione del centro di massa. La massa totale M dell’oggetto è data data da Z Z X M = lim ∆m = dm = ρ dV . (7.1.19) ∆V →0

V

V

La posizione del centro di massa è definita da ~rCM

Z Z X 1 1 1 R ∆m ~v = ~v dm = ~v ρ dV . = lim P ∆V →0 ∆m M V dm V V

(7.1.20)

7.1. CENTRO DI MASSA

131

` spesso utile studiare l’evoluzione di un sistema di particelle isolate rispetto ad un sistema E di riferimento, denominato sistema del centro di massa in cui il centro di massa è a riposo: ~vCM = 0. Poiché il centro di massa di un sistema isolato si muove a velocità costante, questo sistema di riferimento è inerziale, ovvero vale in esso l’ equazione di Newton. Nel sistema del centro di massa la descrizione del sistema è semplificata dal fatto che le quantità di moto delle particelle sono soggette alla condizione P~ =

n X

p~i = 0 ,

(7.1.21)

i=1

il che riduce il numero delle variabili cinematiche in gioco. Esempio 3 Si consideri un sistema di due particelle di masse m1 and m2 che si spostano con velocità ~v1 , ~v2 . Supponiamo che le particelle siano soggette solo alla loro azione reciproca, in modo che il sistema sia isolato. Vogliamo scomporre il moto totale delle particelle nel moto del centro di massa, e nel moto delle due particelle relativo al centro di massa. A tal fine, cerchiamo di descrivere il sistema rispetto al sistema di riferimento S, chiamato sistema di laboratorio in cui il centro di massa si muove ad una velocità costante ~vCM rispetto ad un sistema di S 0 in moto con il centro di massa, ( sistema del centro di massa ), la cui origine O0 coincide con il centro di massa in ogni istante. Se supponiamo che a t = 0, O0 ≡ O, la posizione ∆~r(t) of O0 rispetto a O in un successivo istante t sarà ∆~r(t) = ~vCM t. Questa equazione quindi fornisce la relazione tra i vettori posizione di un punto P (7.1.9) rispetto a due sistemi di coordinate: ~r0 = ~r − ∆~r = ~r − ~vCM t .

(7.1.22)

Queste non sono altro che le leggi di trasformazione di Galileo (3.2.9) applicate al moto relativo del sistema del centro di massa rispetto al sistema del laboratorio. Se deriviamo entrambi i membri della (7.1.22) rispetto al tempo, troviamo la relazione tra la velocità di una particella nei due sistemi di riferimento: ~v 0 = ~v − ~vCM .

(7.1.23)

Pertanto, un osservatore che si sposti con centro di massa a riposo rispetto a S 0 vedrà m1 e m2 in moto con velocità ~v10 , ~v20 date da m2 m2 1 (m1 ~v1 + m2 ~v2 ) = (~v1 − ~v2 ) = ~v12 , m1 + m2 m1 + m2 m1 + m2 m1 =− ~v12 , (7.1.24) m1 + m2

~v10 = ~v1 − ~vCM = ~v1 − ~v20 = ~v2 − ~vCM

ove ~v12 = ~v1 − ~v2 è la velocità relativa di m1 rispetto a m2 . Possiamo verificare che la quantità di moto totale nel sistema del centro di massa S 0 è pari a zero: p~01 + p~02 = m1 ~v10 + m2 ~v20 = 0 .

(7.1.25)

132


Scriviamo ora l’ energia cinetica totale del sistema Ek =

m2 0 m1 2 m2 2 m1 0 v1 + v2 = |~v1 + ~vCM |2 + |~v2 + ~vCM |2 = 2 2 2 2 m1 + m2 2 µ 2 M 2 µ 2 0 = vCM + m1 ~v1 · ~vCM + m2 ~v20 · ~vCM + v12 = vCM + v12 , 2 2 2 2 (7.1.26)

dove abbiamo introdotto la massa ridotta del sistema, definita da µ =

m1 m2 . m1 + m2

(7.1.27)

Vediamo che l’energia cinetica totale è la somma di un contributo dovuto al moto del centro di massa e di un altro contributo associato al moto relativo delle due particelle, vale a dire il moto del sistema rispetto al centro di massa. Il primo moto è quello di una particella di massa M situata nel centro di massa del sistema ed in moto con quantità di moto costante P~ = const. Il secondo moto è quello di una particella di massa pari alla massa ridotta µ del sistema, che si muove con velocità ~v12 . Consideriamo questo moto in maggior dettaglio. Possiamo scrivere le equazioni del moto per le due particelle nel seguente modo d~v1 1 → − = F 21 , dt m1 1 → d~v2 1 → − − = F 12 = − F 21 . dt m2 m2

(7.1.28)

Sottraendo queste equazioni membro a membro, si trova l’equazione µ

d~v12 → − = F 21 , dt

(7.1.29)

che descrive il moto relativo delle due particelle come il moto di una singola particella di massa µ che si muove con una velocità uguale alla velocità relativa di m1 rispetto a m2 e soggetta alla forza interna esercitata da m2 su m1 . Se m2 m1 , µ ≈ m1 ed il moto relativo può essere descritto come il moto di m1 rispetto ad m2 a riposo. Si consideri ad esempio un atomo di idrogeno, che consiste in un protone ed un elettrone vincolato dalla reciproca attrazione elettrica. La massa del protone è mp = 1.67 10−27 Kg e la massa dell’ elettrone è me = 9.11 10−31 Kg. Vediamo che il protone è circa 2000 volte pi` u pesante dell’ elettrone e quindi il centro di massa può essere considerato, con una buona approssimazione, coincidente con il protone. Inoltre la massa ridotta è approssimativamente uguale alla massa dell’ elettrone. Il moto dell’ atomo può quindi essere scomposto in un moto globale di traslazione di una massa M = mp + me ≈ mp concentrata nel centro di massa e nel moto dell’ elettrone rispetto al protone a riposo.

7.2. COLLISIONI

7.2

133

Collisioni

Prendiamo ora in considerazione le collisioni, e cioè i processi che coinvolgono particelle libere che, durante un breve intervallo di tempo ∆t, e in una regione limitata ∆V dello spazio, interagiscono e cambiano il loro stato di moto, ved. Fig. 7.1. Gli stati iniziale e finale del

Figura 7.1:

sistema sono supposti essere descritti da particelle libere, mentre durante ∆t ha luogo il → − processo di interazione in cui ogni particella è soggetta ad una forza F dovuta alle altre particelle del sistema (forza interna). Questa forza produce una variazione della quantità di moto che può essere calcolata come segue. L’ equazione Newton ci permette di ricavare la → − variazione della quantità di moto di un particella soggetta ad una forza F durante un lasso di tempo infinitesimo dt: → − d~p = F (t) dt , (7.2.1) in cui la forza dipende dal tempo perché è esercitata dalle altre particelle del sistema, a loro volta in moto. Integrando la precedente equazione sul periodo di interazione ∆t, troviamo Z → − → − ∆~p = F (t) dt = F ∆t , (7.2.2) ∆t

→ − dove F la forza media sulla particella durante ∆t. Se ∆t è molto piccolo, F deve essere molto intenso per produrre un effetto apprezzabile sul moto della particella. Sulle particelle

134


possono agire anche forze esterne. Tuttavia ∆t è cos`ı piccolo che l’effetto di ogni azione esterna sul moto delle particelle durante la collisione è trascurabile rispetto a quello della loro interazione. Pertanto, fino a quando si considerano gli stati iniziale e finale delle particelle, come i loro stati di moto immediatamente prima e dopo la collisione, il sistema può essere considerato isolato e si può applicare il principio di conservazione della quantità di moto. Se conoscessimo la natura esatta delle forze reciproche che agiscono sulle particelle durante la collisione, risolvendo le equazioni del moto, per ciascuna di esse, noto il loro stato iniziale, che è sempre sotto controllo, saremmo in grado di prevedere con precisione lo stato finale del sistema. Nella maggior parte dei casi, la natura delle interazioni, soprattutto nei processi subatomici, non è nota e preziose informazioni su di essa possono essere dedotte osservando il moto delle particelle dopo le collisioni in funzione del il loro stato iniziale. Consideriamo n particelle di masse m1 , . . . , mn e quantità di moto iniziale p~1 , , . . . , p~n le quali si scontrano in un certo istante. Noi ci limiteremo a collisioni che non cambiano la natura ed il numero delle particelle, anche se questa non è la situazione pi` u generale nelle interazioni che coinvolgono particelle elementari (come il protone, il neutrone e l’elettrone, per esempio) o anche nei processi chimici. Supponiamo che le particelle (libere) provenienti dalla collisione siano descritte dalle quantità di moto ~q1 , , . . . , ~qn . La conservazione della quantità di moto totale nell’interazione implica che p~1 + . . . + p~n = ~q1 + . . . + ~qn .

(7.2.3)

La collisione è chiamata ( elastica) se anche l’ energia cinetica totale è conservata, cioè se non ci sono forze dissipative agenti durante l’interazione. In questo caso abbiamo una ulteriore condizione che collega le quantità iniziali e finali: Ekin

n n X X qi2 p2i = = Ekout . = 2 m 2 m i i i=1 i=1

(7.2.4)

Se l’energia cinetica non è conservata, la collisione è chiamata anelastica. Definiamo ora il seguente parametro Q Q = −∆Ek = Ekin − Ekout .

(7.2.5)

Se Q = 0 la collisione è elastica, mentre è anelastica se Q 6= 0. Se Q > 0 l’energia cinetica totale (che coincide con l’energia meccanica totale del sistema, essendo le particelle libere nei loro stati iniziali e finali), è diminuita. Questo è in genere il caso in cui forze dissipative agiscono nel processo e convertono energia meccanica in energia termica, misurata da Q. Collisioni di questo tipo sono chiamati endogene. Se Q < 0 si osserva un aumento della energia meccanica totale e il processo è chiamato esogeno. Le quantità di moto iniziali p~i sono note. Le equazioni (7.2.3) e (7.2.4), essendo indipendenti dal tipo di interazione, possono essere viste come vincoli cinematici sulle quantità di moto finali ~qi . Le caratteristiche dello stato finale che non sono fissate dai vincoli cinematici, dipenderanno dalla natura delle interazioni e pertanto possono fornire importanti informazioni sulle dinamiche del processo.

7.2. COLLISIONI

135

Spesso è utile studiare il processo nel sistema del centro di massa, in cui la quantità di moto complessiva è zero e le relazioni (7.2.3) diventano p~01 + . . . + p~0n = 0 = ~q10 + . . . + ~qn0 .

(7.2.6)

Esempio 4 Prendiamo in considerazione un processo di urto tra due particelle di masse m1 , m2 , e quantità di moto iniziale p~1 = m1 ~v1 , p~2 = m2 ~v2 e finale ~q1 = m1 ~u1 , ~q2 = m2 ~u2 . La conservazione della quantità di moto totale implica p~1 + p~2 = ~q1 + ~q2 .

(7.2.7)

Se la collisione è elastica abbiamo anche l’ulteriore vincolo Ekin =

p2 q2 q2 p21 + 2 = 1 + 2 = Ekout . 2 m1 2 m2 2 m1 2 m2

(7.2.8)

Iniziamo a considerare il caso pi` u semplice di una collisione in una dimensione. Le particelle prima e dopo l’ interazione si muovono lungo la stessa direzione X. Siano pi e qi le componenti delle quantità di moto iniziale e finale lungo X e vi , ui le componenti delle corrispondenti velocità. Ci sono due casi limiti in cui le quantità di moto finali sono totalmente determinate in termini di quelle iniziali: la collisione elastica e quella totalmente anelastica in cui le due particelle rimangono attaccate. Iniziamo a considerare il caso elastico, ved. Fig. 7.2. Le

Figura 7.2:

136


leggi di conservazione della quantità di moto e dell’energia cinetica forniscono le seguenti relazioni m1 v1 + m2 v2 = m1 u1 + m2 u2 , m1 v12 + m2 v22 = m1 u21 + m2 u22 .

(7.2.9) (7.2.10)

Queste sono due relazioni che possono essere risolte per ottenere le velocità finali u1 , u2 in funzione di quelle iniziali v1 , v2 . Dalla (7.2.9) otteniamo m1 (v1 − u1 ) = m2 (u2 − v2 ) .

(7.2.11)

Usando (7.2.11), l’equazione (7.2.10) puo essere riscritta come m1 (v1 − u1 )(v1 + u1 ) = m2 (u2 − v2 )(v2 + u2 ) ⇒

v1 + u1 = v2 + u2 . (7.2.12)

L’ultima relazione implica che la velocità relativa di approccio delle due particelle è pari alla velocità relativa di separazione dopo la collisione. Le equazioni (7.2.11) e (7.2.12) possono ora essere facilmente risolte e dare m1 − m2 m2 v1 + 2 v2 , m1 + m2 m1 + m2 m2 − m1 m1 = v2 + 2 v1 , m1 + m2 m1 + m2

u1 =

(7.2.13)

u2

(7.2.14)

Possiamo verificare il risultato precedente in alcuni casi specifici in cui l’intuizione ci può aiutare a indovinare lo stato finale del sistema. Consideriamo la prima particella m2 molto pi` u pesante di m1 (m2 m1 ) e inizialmente a riposo v2 = 0. Vediamo dalla nostra soluzione che u1 = −v1 e u2 = 0 cioè che la massa m2 rimane a riposo imperturbata, mentre m1 rimbalza indietro. Un’ altra situazione è quella in cui m2 m1 e v2 = 0. Dalla nostra soluzione risulta che u1 = v1 e u2 = 2 v1 , ossia la massa m1 procede imperturbata nel suo moto, mentre la massa m2 è respinta. Infine se m1 = m2 abbiamo u1 = v2 e u2 = v1 , vale a dire le due particelle si scambiano le loro velocità iniziali. Esercizio 1 Prendiamo in considerazione una collisione 1-dimensionale tra due particelle di masse m1 = 2 Kg, m2 = 1 Kg, avvicinantesi una all’altra con velocità v1 = 2 m/sec, v2 = 1 m/sec nel sistema di laboratorio. Calcolare le velocità delle particelle dopo la collisione, la velocità del centro di massa e le velocità iniziali e finali delle particelle nel sistema del centro di massa . Consideriamo ora una collisione totalmente anelastica ved. Fig. 7.3. Nello stato finale le due particelle si muovono insieme e quindi possono essere descritte come una singola particella di massa M = m1 + m2 che si muove ad una velocità u1 = u2 = u. Siamo in grado di dedurre il valore di u dalla conservazione della quantità di moto totale m1 v1 + m2 v2 = M u ⇒ u =

m1 v1 + m2 v2 = vCM , M

(7.2.15)

7.2. COLLISIONI

137

Figura 7.3:

Le posizioni delle due particelle dopo l’urto coincideranno con il centro di massa del sistema. Supponiamo che m1 provenga da sinistra e m2 da destra: v1 > 0, v2 < 0. Se p1 > −p2 allora M si sposterà nella direzione originale di m1 . Possiamo ora calcolare la variazione dell’ energia cinetica del sistema M 2 M 2 m1 2 m2 2 v1 + v2 ; Ekout = u = v , 2 2 2 2 CM µ 2 ∆Ek = Ekf in − Ekin = − v12 < 0, (7.2.16) 2 dove abbiamo usato (7.1.26). La variazione di energia cinetica, cambiata di segno, è denotata con Q e misura la non elasticità del processo: Q = 0 per collisioni elastiche. Q è massima per collisioni totalmente anelastiche. L’energia meccanica perduta, come abbiamo illustrato in precedenza, si trasforma in calore. Il parametro Q misura l’energia calorica prodotta in una collisione anelastica. Osserviamo ora questa reazione nel sistema del centro di massa. Le quantità di moto iniziali e finali in questo sistema sono connesse come segue Ekin =

p01 = −p02 = p0 ; q10 = −q20 = q 0 .

(7.2.17)

Le energie cinetiche iniziali e finali sono Ekin =

p02 q 02 ; Ekout = . 2µ 2µ

(7.2.18)

138


Per una collisione elastica Q = 0 e q 0 = −p0 . Questo significa che v10 = −u01 e v20 = −u02 . In una collisione totalmente anelastica q 0 = 0 e lo stato finale composto delle due particelle è a riposo. Possiamo calcolare vi0 e u0i utilizzando le leggi di trasformazione (7.1.23) e le formule (7.2.14). Nel caso elastico abbiamo m1 m2 v12 ; v20 = − v12 , m1 + m2 m1 + m2 m1 m2 v12 ; u02 = v12 , = − m1 + m2 m1 + m2

v10 = u01

(7.2.19)

che confermano le nostre analisi precedenti. Se la collisione ha luogo su un piano o in uno spazio tridimensionale, il moto finale delle particelle è totalmente determinato in termini dei dati iniziali solo se la collisione è del tutto anelastica. In questo caso, la velocità finale ~u delle due particelle è data da ~u = ~vCM .

(7.2.20)

Se il processo è elastico e si svolge su un piano, per esempio, le leggi di conservazione (7.2.7 e 7.2.8) forniscono 3 vincoli (le equazioni (7.2.7) danno due equazioni, una per ciascuna componente) nelle 4 incognite q1x , q1y , q2x , q2y . Vi è uno parametro nello stato finale che non è fissato dalla cinematica. Esempio 5 Consideriamo ora una collisione tra due particelle su un piano. Abbiamo scelto il sistema di laboratorio S in modo che la particella m2 sia inizialmente a riposo (~p2 = 0) nell’origine O ed m1 si avvicina ad m2 lungo l’asse X con una quantità di moto iniziale p~1 = p1 ~ux . Dopo la collisione le quantità di moto finali ~q1 e ~q2 formano angoli θ1 e θ2 con l’asse X, ved Fig. 7.4. Dalla conservazione della quantità di moto totale troviamo p~1 = ~q1 + ~q2 ,

(7.2.21)

p21 = |~q1 + ~q2 |2 = q12 + q22 + 2 ~q1 · ~q2 = q12 + q22 + 2 q1 q2 cos(θ1 + θ2 ) , q22 = |~p1 − ~q1 |2 = p21 + q12 − 2 p~1 · ~q1 = p21 + q12 − 2 p1 q1 cos(θ1 ) .

(7.2.22) (7.2.23)

da cui si ottengono le due equazioni:

Il parametro Q è dato da Q =

Ekin +

−

Ekout

q2 q2 p2 p2 = 1 − 1 − 2 = 1 2 m1 2 m1 2 m2 2 m1

q1 p1 cos(θ1 ) . m2

m2 − m1 m2

q2 − 1 2 m1

m2 + m1 m2

+

(7.2.24)

Nel caso elastico Q = 0, abbiamo tre equazioni in quattro incognite q1 , q2 , θ1 , θ2 , che possono essere risolte ed esprimere tutte le grandezze dello stato finale in termini, ad esempio, di θ1 . Al fine di determinare completamente il moto della particella dopo la collisione avremo

7.2. COLLISIONI

139

Figura 7.4:

bisogno di misurare θ1 . Se le due particelle hanno pari masse m1 = m2 l’equazione (7.2.24), per Q = 0, implica p21 = q12 + q22 ,

(7.2.25)

la quale, insieme all’equazione (7.2.22), porta alla seguente proprietà ~q1 · ~q2 = q1 q2 cos(θ1 + θ2 ) = 0 ,

(7.2.26)

cioè le direzioni di rinculo delle due particelle dopo le collisioni sono ad angolo retto: θ1 +θ2 = π . 2 In natura non tutte le interazioni risultano da un “contatto” tra due o pi` u oggetti. Per esempio due pianeti o due “particelle elettricamente cariche si influenzano reciprocamente a distanza. Nel mondo atomico e subatomico le particelle “non si toccano mai”: esse agiscono a distanza una con l’altra mediante forze uguali ed opposte tipicamente di natura elettrica o nucleare (la forza gravitazionale tra le particelle subatomiche è trascurabile). Anche quando due o pi` u oggetti si colpiscono a vicenda nella nostra esperienza quotidiana, come quando una mazza da golf colpisce una pallina, non vi è alcun reale contatto ”a livello microscopico. Pertanto, nel nostro esempio, ci sono casi in cui avviene una collisione, anche se la particella m2 a riposo è a una distanza b dalla linea iniziale del moto di m1 . Il parametro b è chiamato parametro di impatto, see Fig 7.4.

140


Lo stato finale di moto delle particelle dipende da b. Se il parametro di impatto è troppo grande, le due particelle non si avvicineranno mai abbastanza da influenzare sensibilmente, attraverso la loro azione reciproca, il loro stato di moto. In questo caso possiamo dire che la collisione non ha avuto luogo. Il processo che abbiamo appena descritto è caratterizzato dall’ avere b = 0 e si chiama ( collisione frontale). Diamo ora un’occhiata allo stesso scattering nel sistema del centro di massa (ved Fig. 7.5), in cui abbiamo: p~01 = −~p02 = p~0 ; ~q10 = −~q20 = ~q0 ,

(7.2.27)

cioè le due particelle si allontanano lungo la stessa direzione, dopo la collisione, con quantità di moto ±~q0 . Lo stato finale è quindi del tutto determinato da q 0 = |~q0 | e dall’angolo θ

Figura 7.5:

formato da ~q0 con la direzione iniziale del moto, definita da p~0 . Il parametro Q diventa Q =

p02 q 02 − . 2µ 2µ

Nel caso elestico Q = 0, p0 = q 0 e l’unico parametro indeterminato è θ.

(7.2.28)

Capitolo 8 Sistema di particelle: moto di rotazione Nell’ultimo capitolo abbiamo trattato le leggi generali che governano la cinematica di un sistema di particelle. In particolare abbiamo mostrato che il moto di un sistema di particelle può sempre essere decomposto in una componente di translazione del sistema nel suo complesso, associato al suo centro di massa, e in una componente interna, rappresentata dal moto delle particelle le une rispetto alle altre. Questi concetti possono essere applicati al moto di un oggetto esteso, consistente in una distribuzione continua di materia e che, come abbiamo visto, può essere descritto come un sistema di infinite particelle, ciascuna delle quali rappresenta una porzione infinitesima dello stesso. Analizziamo ora alcune importanti proprietà che caratterizzano il moto di una particella o di un sistema di particelle rispetto ad un punto nello spazio.

8.1

Momento angolare

Definiamo momento angolare di una particella di massa m che si muove alla velocità v, intorno ad un punto O nello spazio, la quantità → − L = ~r × m ~v = ~r × p~ ,

(8.1.1)

Dove ~r è la posizione della particella in un dato istante rispetto ad O. Dalla definizione → − di prodotto vettoriale deduciamo che L è perpendicolare ad entrambi ~r and ~v , vedi Fig. 8.1. Usando l’equazione (2.1.49) possiamo esprimere l’equazione (8.1.1) nelle componenti cartesiane ~ux ~uy ~uz → − L = x y z = (y pz − z py ) ~ux + (z px − x pz ) ~uy + (x py − y px ) ~uz . (8.1.2) px py pz Se il moto della particella avviene in un piano, diciamo XY, la direzione del momento angolare rispetto ad ogni punto del piano sarà ortogonale al piano del moto, lungo l’asse Z, vedi Fig. 141

142

CAPITOLO 8. MOTO DI ROTAZIONE

Figura 8.1:

8.2. Infatti, in ogni istante, z = pz = 0 e quindi, per l’ equazione (8.1.2) risulta Lx = Ly = 0: → − L = Lz ~uz = L ~uz . Consideriamo questa situazione pi` u in dettaglio e fissiamo un sistema di coordinate polari nel piano XY, con origine O. Lo spostamento infinitesimale della particella dall’istante t all’istante t + dt ha la forma in (2.2.7) e (2.2.8): d~` = dr ~ur + r dϕ ~uϕ .

(8.1.3)

La velocità pertanto può essere decomposta in una componente radiale e una angolare: d~` = vr ~ur + vϕ ~uϕ , dt dr dϕ = ; vϕ = r = rω, dt dt

~v = vr

(8.1.4)

Dove la velocità angolare è definita, come al solito, ω = dϕ . vϕ descrive la componente dt rotazionale del moto intorno ad O. Ricordando che ~r = r ~ur e che il prodotto vettoriale di vettori paralleli è zero, il momento angolare può essere scritto nella forma: → − L = m ~r × ~v = m ~r × (vϕ ~uϕ ) = m r2 ω ~ur × ~uϕ = m r2 ω ~uz ,

(8.1.5)

Dove abbiamo usato la proprietà che, in ogni punto del piano, ~uz = ~ur × ~uϕ . L’orientazione → − di L è legata al senso di rotazione nel piano dalla regola della mano destra. Consideriamo

8.1.

MOMENTO ANGOLARE

143

Figura 8.2:

ora un moto circolare con centro in O, caratterizzato da r ≡ const, vedi Fig. 8.3. La velocità avrà solo la componente vϕ lungo la linea tangente alla traiettoria circolare: ~v = r ω ~uϕ . Se definiamo il vettore della velocità angolare ω ~ come il vettore la cui grandezza è |ω|, con direzione ortogonale al piano del moto e orientazione legata al senso di rotazione dalla regola della mano destra, possiamo scrivere: ω ~ = ω ~uz . Questo vettore è legato a ~v and ~r dalla relazione: ~v = ω ~ × ~r .

(8.1.6)

→ − Il momento angolarerelativo a O assumer à la semplice forma L = m r2 ω ~. → − Consideriamo ora un moto generico di una particella sotto l’influenza di una forza F e calcoliamo la derivata temporale del suo momento angolare relativo al punto O. Dall’equazione (8.1.1) troviamo → − d d~r d~p dL → − = (~r × p~) = × p~ + ~r × = ~v × p~ + ~r × F , dt dt dt dt

(8.1.7)

Dove abbiamo usato l’equazione di Newton. Ora usiamo la proprietà che ~v e p~ sono vettori paralleli, cos`ı che ~v × p~ = 0, per riscrivere la suddetta relazione nella forma: → − dL → − = ~r × F = ~τ , dt

(8.1.8)

144


Figura 8.3:

dove la quantità → − ~τ = ~r × F ,

(8.1.9)

→ − è chiamata la momento torcente o semplicemente momento della forza F relativa ad O. Il modulo del momento torcente ~τ vale |~τ | = (r sin(θ)) |F~ | = b |F~ | ,

(8.1.10)

ove θ è l’angolo tra ~r ed F~ , r la distanza della particella da O, ed infine b = r sin(θ) misura la distanza di O dalla linea d’azione di F~ (ovvero la retta che ne rappresenta la direzione). La lunghezza b è detta braccio della forza rispetto ad O. Se il punto O giace sulla linea di azione della forza, b = 0 e quindi il corrispondente momento della forza è nullo. ` importante sottolineare che stiamo descrivendo il moto della particella rispetto ad un E sistema di riferimento inerziale in cui il punto O è in quiete. Se non fosse cos`ı, il modo in cui è stata ottenuta la nostra equazione (8.1.8) non sarebbe valido. Consideriamo ora un sistema di particelle di masse m1 , . . . , mn , che si muovono con → − quantità di moto p~1 , . . . , p~n , definiamo il momento angolare totale L del sistema relativo a → − → − O come somma vettoriale dei momenti angolari L 1 , . . . , L n rispetto allo stesso punto: n

n

X→ X → − → − → − − L = L1 + ... + Ln = Li = ~ri × p~i , i=1

i=1

(8.1.11)

8.1.

MOMENTO ANGOLARE

145

dove ~ri indica la posizione, rispetto ad O, della particella. Supponiamo che la particella → − iima sia soggetta a forze che possono essere sia esterne che interne, con risultante F i . Per ciascuna particella possiamo scrivere l’ equazione (8.1.8): → − dLi → − = ~ri × F i = ~τi . dt

(8.1.12)

Derivando ambi i membri della (8.1.11) e, usando la (8.1.12), deriviamo la seguente equazione per il momento angolare totale → − → − n n X dL dLi X = = ~τi = ~τ , dt dt i=1 i=1

(8.1.13)

→ − → − dove abbiamo definito il momento ~τ del sistema di forze F 1 , . . . , F n , relative ad O, come la somma dei momenti associati a ciascuna forza. Notiamo che il momento torcente totale, ~τ , può essere diverso da zero anche se il sistema delle forze ha risultante nulla. Esempio 1 Consideriamo due particelle di masse m1 , m2 attaccate ai capi di un’asticella rigida di lunghezza ` e di massa trascurabile. Supponiamo, qualunque sia la loro posizione, → − → − → − → − che le due particelle siano sottoposte a forze costanti F 1 = F and F 2 = − F rispettivamente ved. Fig. 8.4. Studiamo il moto del sistema.

Figura 8.4:

146


→ − → − Iniziamo considerando il moto globale di traslazione del sistema. Oltre a F 1 , F 2 vi → − → − → − sono anche le forze di tensione T 1 = − T 2 = T esercitate dall’asticella sulle particelle, che sono uguali ed opposte ed entrambe dirette lungo l’asticella. Osserviamo che le forze hanno risultante nulla → − → − → − → − F 1 + F 2 + T 1 + T 2 = 0,

(8.1.14)

cos`ı che il centro di massa del sistema si muove con velocità costante. Ora siamo interessati al moto relativo delle due particelle e quindi è conveniente adottare come sistema di riferimento il sistema di riferimento del centro di massa S 0 , che è inerziale. Rispetto a S 0 il centro di massa del sistema sarà in quiete e le particelle si muoveranno intorno ad esso. Chiamiamo O il centro di massa e poniamo che ~r1 e ~r2 siano le posizioni di m1 , m2 relative ad O. Le forze di tensione non contribuiscono a ~τ , dal momento che la loro linea d’azione contiene O, essendo questo punto lungo l’asticella, e quindi è parallela ai vettori posizione ~r1 and ~r2 . Calcoliamo ora il momento di torsione del sistema: → − → − → − → − ~τ = ~r1 × F 1 + ~r2 × F 2 = (~r1 − ~r2 ) × F = ~` × F ,

(8.1.15)

dove ~` = ~r1 − ~r2 è la posizione di m1 relativa ad m2 . Notiamo che il momento di torsione è → − ortogonale ad entrambi i vettori F e ~`. L’ultimo vettore varia nel tempo con la posizione delle due particelle. Se inizialmente l’asticella è in quiete, essa ruoterà nel piano definito dalla direzione della forza e dalla direzione iniziale ~`0 di ~`, che noi abbiamo assunto come → − piano XY del nostro sistema di assi con centro in O. Iniziando da t = 0 con L = 0, dopo dt il sistema avrà un momento angolare dato da (8.1.13): → − → − d L = ~`0 × F dt ,

(8.1.16)

che giace lungo Z. Ciò significa che, nell’istante dt, ~` e la velocità della particella giacciono su XY, e, quindi, dopo un altro intervallo infinitesimo dt il nuovo momento angolare sarà ancora diretto lungo l’asse Z. Ripetendo questa argomentazione, possiamo concludere che il momento angolare del sistema sarà sempre diretto lungo l’asse Z e pertanto il moto avverrà nel piano XY. Poiché le distanze r1 , r2 delle particelle da O sono costanti, la posizione del sistema è totalmente determinato dall’angolo ϕ(t) formato da ~` con ~ux . Ciascuna particella descriverà un moto circolare con lo stesso momento angolare ω = dϕ . Usando l’ equazione dt (8.1.5) per ciascuna particella troviamo → − → − L 1 = m1 r12 ω ~uz ; L 2 = m2 r22 ω ~uz , → − → − → − L = L 1 + L 2 = (m1 r12 + m2 r22 ) ω ~uz = I ω ~uz ,

(8.1.17)

Dove la quantità I = m1 r12 + m2 r22 è chiamata momento di inerzia del sistema ed è costante. → − Riscriviamo ora l’espressione (8.1.15) per la coppia di torsione scegliendo l’asse X lungo F : → − ` anche utile scrivere ~` nelle componenti F = F ~ux . E ~` = ` cos(ϕ(t)) ~ux + ` sin(ϕ(t)) ~uy .

(8.1.18)

8.1.

MOMENTO ANGOLARE

147

Ora usiamo la proprietà distributiva del prodotto vettoriale e le relazioni (2.1.47) per scrivere − ~` × → F = [` cos(ϕ(t)) ~ux + ` sin(ϕ(t)) ~uy ] × (F ~ux ) = ` F cos(ϕ(t)) ~ux × ~ux + ` F sin(ϕ(t)) ~uy × ~ux = −` F sin(ϕ(t)) ~uz . (8.1.19) Ora possiamo scrivere l’equazione del moto (8.1.13) per il sistema → − dL dω d2 ϕ → − ~ = `× F = ⇒ I = I 2 = −` F sin(ϕ(t)) , dt dt dt

(8.1.20)

la quale, infine, può essere cos`ı riformulata: 1 d2 ϕ = − ` F sin(ϕ(t)) . 2 dt I

(8.1.21)

Notiamo che la suddetta equazione ha la stessa forma dell’equazione (4.3.17) del pendolo. Le posizioni di equilibrio corrispondono ai valori ϕ = 0, π in cui τ = 0. La prima definisce l’ equilibrio stabile mentre l’ultima l’ equilibrio instabile. Proprio come per il pendolo, se noi perturbiamo la posizione del sistema dalla posizione di equilibrio stabile con un piccolo angolo ϕ0 , il sistema oscillerà intorno a ϕ = 0 con un periodo caratteristico: r I T = 2π . (8.1.22) `F Terminiamo questo paragrafo considerando l’equazione che lega il momento angolare di un sistema di particelle alla risultante torsione che agisce su di esse, quando entrambe queste quantità sono calcolate relativamente al centro di massa centro di massa del sistema. Qui sembra che ci sia una complicazione poiché il centro di massa di un sistema di particelle si sposterà in genere con le particelle e il sistema di riferimento, attaccato ad esso, S 0 , potrebbe non essere inerziale. Scriviamo il momento angolare totale relativo al centro di massa: X → − → − → − L CM = mi (~ri − ~rCM ) × ~vi = L O − L CM −O , (8.1.23) i

→ − → − dove ~ri , ~rCM and L O sono calcolati in riferimento a O mentre L CM −O indica il momento angolare di una particella di massa M situata nel centro della massa, relativa a O. Se noi deriviamo la suddetta equazione rispetto al tempo, troviamo: X X d→ d d − L CM = mi (~ri − ~rCM ) × ~vi + mi (~ri − ~rCM ) × ~vi = dt dt dt i i X X = mi (~vi − ~vCM ) × ~vi + mi (~ri − ~rCM ) × ~ai = −M~vCM × ~vCM + i

+

i

X i

→ − (~ri − ~rCM ) × F i = ~τCM ,

(8.1.24)

148


dove τCM è la coppia di torsione totale relativa al centro di massa. Notiamo che entrambe, → − L CM e la sua derivata rispetto al tempo, possono essere espresse in termini di quantità cinematiche riferite a S 0 . Basta ricordare che ~v 0 = ~v − ~vCM e ~a0 = ~a − ~aCM . Poiché P ri − ~rCM ) = 0 abbiamo i mi (~ X X → − L CM = mi (~ri − ~rCM ) × ~vi = mi (~ri − ~rCM ) × ~vi0 , d→ − L CM = dt

i

i

X

X

mi (~ri − ~rCM ) × ~ai =

i

mi (~ri − ~rCM ) × ~a0i = ~τCM .

(8.1.25)

i

Quindi, nonostante il centro di massa sia un punto in moto, possiamo ancora scrivere l’ equazione (8.1.13) relativa ad esso.

8.2

Moto di una particella soggetta a una forza centrale

Abbiamo definito una forza centrale come una forza la cui linea di azione passa sempre attraverso un punto O dello spazio chiamato centro della forza. Come evidenziato in precedenza, esempi di forze centrali sono la forza gravitazionale esercitata dal sole sui pianeti del sistema solare, la forza elettrostatica esercitata dal nucleo di un atomo sui suoi elettroni ecc. → − L’espressione generale di una forza centrale in un punto P è F = F (r) ~ur , dove ~ur = ~r/r, ` semplice mostrare che una forza ~r è la posizione di P relativa a O e r la sua distanza. E centrale ha un momento di torsione nulla rispetto al suo centro: F (r) → − ~r × ~r = 0 . ~τ = ~r × F = r

(8.2.1)

Dall’equazione (8.1.13) concludiamo che se una particella è soggetta ad una forza centrale, il suo momento angolare relativo al suo centro è una costante del moto → − dL → − ≡ 0 ⇒ L ≡ const. (8.2.2) dt → − Poiché L è perpendicolare alla velocità della particella e a ~r in ogni momento, il suo essere → − costante implica che il moto è planare e si colloca nel piano ortogonale a L contenente O. Usiamo coordinate polari per descrivere i punti sul piano del moto e per descrivere il momento angolare mediante l’equazione (8.1.5). Equation (8.2.2) implica allora che m r2

dϕ = const. dt

(8.2.3)

Possiamo dare un significato geometrico alla suddetta proprietà . Consideriamo due successive posizioni P e P 0 della particella a t e t + dt rispettivamente, (vedi Fig. 8.5). Lo −−→ spostamento d~` = P P 0 ha una componente |AP 0 | = dr lungo la direzione radiale e una componente |AP | = r dϕ lungo ~uϕ . L’area dA coperta dal vettore posizione ~r quando la particella

8.2. MOTO DI UNA PARTICELLA SOGGETTA A UNA FORZA CENTRALE

149

Figura 8.5:

si muove da P a P 0 , può essere approssimata dall’area AP OP 0 del triangolo P OP 0 , che a sua volta è la somma delle aree dei triangoli retti P OA e P AP 0 . Il primo è AP OA = 12 r(r dϕ) e l’ultimo è AP AP 0 = 21 dr(r dϕ). Tuttavia, poiché entrambi, dr e dϕ sono molto piccoli, il loro prodotto è di un ordine di grandezza pi` u piccolo di ciascuno di essi, e cos`ı possiamo trascurare AP AP 0 paragonato con AP OA . Concludiamo che dA = AP OA =

dA 1 dϕ 1 2 r dϕ ⇒ = r2 . 2 dt 2 dt

(8.2.4)

Grazie alla conservazione del momento angolare relativo a O, espresso dall’equazione (8.2.3), possiamo ricavare la seguente proprietà : dA = const. dt

(8.2.5)

La suddetta legge, se applicata al moto dei pianeti intorno al sole, è conosciuta come seconda legge di Keplero, dal matematico e astronomo tedesco J.Keplero (1571-1630) che, per primo, diede una descrizione matematica delle orbite dei pianeti intorno al sole in termini di ellissi. Questa fu enunciata con la proposizione: I pianeti coprono aree uguali in tempi uguali (vedi Fig. 8.6). 8.6). Si può obiettare che la nostra analisi sino ad ora si è limitata a particelle, cioè ad oggetti che virtualmente non hanno estensione, mentre i pianeti non somigliano per niente alle particelle. Tuttavia la nostra nozione di particella è sempre relativa al problema

150


Figura 8.6:

esaminato. Possiamo descrivere in termini di particella ogni oggetto la cui dimensione è trascurabile in confronto alle altre lunghezze che caratterizzano il nostro problema. Per esempio, quando consideriamo il moto della terra intorno al sole, possiamo descrivere la terra e lo stesso sole come particelle poiché il loro raggi sono molto pi` u piccoli della dimensione dell’orbita terrestre. Quando descriviamo un oggetto in termini di particella, decidiamo di trascurare i suoi moti interni, come irrilevanti ai fini della nostra indagine, e pensiamo a tutta la loro massa come concentrata nel loro centro di massa. L’equazione (8.2.5) implica anche che vϕ = const./r, cioè la componente angolare della velocità di una particella soggetta ad una forza centrale è inversamente proporzionale alla distanza dal centro. Come conseguenza di ciò, pi` u un pianeta è vicino al sole, pi` u rapido è il suo moto.

8.3

Moto di un corpo rigido

Definiamo corpo rigido un oggetto esteso, caratterizzato da una distribuzione continua di materia, nel quale la distanza fra due punti qualsiasi non varia con il tempo, e, in particolare, non risente dell’effetto di forze esterne. Un corpo rigido, proprio come una particella puntiforme, è un concetto idealizzato, cioè uno strumento per costruire un modello, che ci aiuta ad afferrare le caratteristiche del moto di un oggetto. Se un oggetto può essere a ragione o no descritto come corpo rigido dipende naturalmente dalla portata delle forze esterne a cui è soggetto e, quindi, dal particolare problema meccanico che stiamo analizzando. Un corpo rigido può essere descritto come un sistema di infinite particelle puntiformi, ognuna delle quali è rappresentata una parte infinitesima di dV del suo volume V . Per definizione, la distanza relativa fra ogni due particelle è costante durante il moto del sistema. Possiamo ora applicare allo studio del moto di un corpo rigido le stesse proprietà che abbiamo trovato nello studio dell’evoluzione di generico sistema di particelle. Il moto di un corpo rigido, può in genere essere decomposto in un moto di traslazione del suo centro di massa, che è soggetto solo alla risultante delle forze esterne che agiscono su di esso, e in un moto rotazionale

8.3. MOTO DI UN CORPO RIGIDO

151

intorno ad un asse, che può variare con il tempo, vedi Fig. 8.7. La traslazione di un corpo

Figura 8.7:

rigido è caratterizzata dal fatto che la linea che unisce ogni coppia di punti rimane parallela a sè stessa. Possiamo sempre adottare il sistema di riferimento del centro di massa, nel quale il moto del sistema ha solo la componente rotazionale. Analizziamo nel dettaglio il moto rotatorio di un corpo rigido intorno ad un asse che non varia nel tempo e che noi scegliamo coincidente all’asse Z di un sistema cartesiano di coordinate. Mentre il corpo ruota, ogni particella di massa dmi al suo interno si muove di un moto circolare sul piano ortogonale a Z e contenente la particella, con centro in Z e → − velocità angolare ωi . Possiamo calcolare il momento angolare totale L del corpo rispetto all’origine O come somma dei momenti angolari di ciascuna particella dmi , vedi Fig. 8.8. Supponiamo che ~ri sia la posizione di dmi rispetto a O, Ri la sua distanza dall’asse Z e ~vi = vi~uϕ = Ri ωi ~uϕ la sua velocità. Possiamo quindi scrivere: n n X X → − → − L = Li = dmi ~ri × ~vi . i=1

(8.3.1)

i=1

Stiamo descrivendo il corpo come un insieme di una infinite particelle, classificate da i = 1, . . . , n con n → ∞. Poiché tuttavia il corpo consiste in una distribuzione continua di materia, la somma in (8.3.1) può essere sostituita da un integrale su tutta la massa M della

152


Figura 8.8:

massa elementare dm = ρ dV : → − L =

Z

Z ~r × ~v dm =

M

~r × ~v ρdV .

(8.3.2)

V

→ − Il vettore L in genere non è diretto lungo Z. Possiamo comunque calcolare la sual componente lungo Z, come somma delle corrispondenti componenti Li z di ciascun contributo elementare → − → − L i . Ricordando che L i giace in una direzione perpendicolare al piano definito da ~ri e ~vi e → − appartiene al piano che contiene ~ri e Z. Se θi è l’angolo formato da ~ri con Z, l’angolo tra L i and Z sarà quindi π2 − θi e potremo scrivere: Li z = Li cos(

π π − θi ) = dmi ri vi cos( − θi ) = dmi vi ri sin(θi ) = dmi vi Ri = dmi Ri2 ωi . 2 2 (8.3.3)

Dal momento che il corpo è rigido, non vi può essere nessun moto relativo fra i suoi costituenti dmi . Come conseguenza di ciò , ciascun dmi si muove con la stessa velocità angolare ωi ≡ ω.


153

Possiamo ora scrivere l’espressione per la componente Z del momento angolare totale Lz =

n X

n X

Li z =

i=1

dmi Ri2 ω = I ω .

(8.3.4)

i=1

La quantità I è chiamata momento di inerzia del corpo rispetto all’asse Z. I =

n X i=1

dmi Ri2

Z

2

Z

R dm =

= M

R2 ρ dV ,

(8.3.5)

V

Definiamo raggio di inerzia di un corpo di massa M , la lunghezza K tale che I = M K2 ,

(8.3.6)

Essa rappresenta la distanza dall’asse di rotazione su cui possiamo pensare concentrata l’intera massa M del corpo, senza che sia variato il suo momento di inerzia. L’equazione → − (8.3.4) esprime proprio la componente di L lungo Z. Una importante proprietà dei corpi rigidi, che qui non dimostreremo, è che vi sono sempre → − tre assi mutuamente ortogonali tali che, se il corpo ruota intorno ad uno di essi, L sarà diretta lungo l’asse di rotazione e l’equazione (8.3.4) darà cos`ı il modulo del momento angolare totale. Questi assi sono chiamati assi principali di inerzia e sono indicati con X0 , Y0 , Z0 , vedi Fig. 8.9. Essi si incontrano nel centro di massa del corpo. I corrispondenti momenti di inerzia I1 , I2 , I3 sono chiamati momenti principali di inerzia del corpo. Gli assi principali di inerzia costituiscono un sistema di riferimento solidale al corpo e muoventesi con esso. Supponendo che la distribuzione di materia dentro il corpo sia uniforme (cioè che la densità della matera, ρ, non dipenda dal punto), se il corpo ha qualche simmetria, gli assi di simmetria costituiranno alcuni degli assi principali. Se consideriamo, per esempio, un oggetto sferico, tre qualsiasi assi ortogonali che passano per il centro sono assi principali. Se il corpo ha forma cilindrica, o ha una simmetria cilindrica, il suo asse di simmetria è principale. Se la forma del corpo è un parallelepipedo, i tre assi perpendicolari a ciascuna coppia di facce sono gli assi principali dell’oggetto. Se il corpo rigido ruota intorno a qualunque asse principale il suo momento angolaresarà dato da: → − L = Iω ~,

(8.3.7)

cioè il momento angolare è parallelo alla velocità angolare, essendo diretto lungo l’asse di rotazione. Se, d’altra parte, il corpo ruota intorno ad un generico asse, esiste un’utile formula che ci permette di esprimere il vettore del corrispondente momento angolare: → − L = I1 ωx0 ~ux0 + I2 ωy0 ~uy0 + I3 ωz0 ~uz0 ,

(8.3.8)

dove ~ux0 , ~uy0 , ~uz0 sono i vettori unità relativi agli assi principali rispetto ai quali il vettore velocità angolare ha la seguente forma: ω ~ = ωx0 ~ux0 + ωy0 ~uy0 + ωz0 ~uz0 .

(8.3.9)

154


Figura 8.9:

Per calcolare il momento di inerzia di un corpo rigido, di particolare utilità è il teorema di Steiner che permette di esprimere il momento di inerzia I relativo a un generico asse in termini di momento di inerzia IC relativo a un asse parallelo che passa attraverso il centro di massa. Esso afferma che: I = IC + M a2 ,

(8.3.10)

Dove a è la distanza fra i due assi. Per dimostrare (8.3.10), identifichiamo i due assi paralleli come assi Z e ZC di due sistemi cartesiani S ≡ {X, Y, Z} e S 0 ≡ {XC , YC , ZC } rispettivamente, l’origine dell’ultimo coincidente con il centro di massa. Possiamo anche scegliere i due sistemi tali che YC ≡ Y . Consideriamo una particella dmi dentro il corpo, ad una distanza Ri da Z e RiC da ZC , avente coordinate xi , yi rispetto a S 0 e coordinate xi , yi + a rispetto a S, vedi fig. 8.10. Il momento di inerzia rispetto a Z è la somma dei contributi relativi a ciascun dmi X X X X I = dmi x2i + (yi + a)2 = dmi x2i + yi2 + dmi a2 + 2 dmi a yi = i

=

X i

P

i 2 dmi RiC

2

+ M a + 2a

X i

i 2

dmi yi = IC + M a + 2 a

i

X

dmi yi .

(8.3.11)

i

Poiché e la massa totale moltiplicata per la coordinata y del centro di massa i dmi yi ` relativo al proprio sistema di riferimento, che è zero, l’ultimo termine in (8.3.11) dà un contributo nullo e quindi otteniamo l’ equazione (8.3.10).


155

Figura 8.10:

Esempio 2 Calcoliamo, come esempio, il momento di inerzia di un’asta, di massa M e lunghezza L, rispetto ad un’asse Z perpendicolare ad essa e passante per una delle sue estremità, che prendiamo come origine di un sistema di coordinate cartesiane in cui l’asse X coincide con la direzione dell’asta, vedi fig. 8.11. L’asta è omogenea, cioè la sua densità è uniforme. Supponiamo che lo spessore dell’asta sia trascurabile, cosicché possiamo descrivere la distribuzione di materia solo con la densità lineare, indicata con λ e definita come la sua massa per l’unità di lunghezza: dm . (8.3.12) dx Dividiamo la lunghezza dell’asta in un numero infinito di intervalli dx di massa dm = λ dx. La massa totale dell’asta può essere espressa in termini di λ, usando la proprietà che λ è indipendente da x: Z Z L Z L M = dm = λ dx = λ dx = λ L , (8.3.13) λ =

rod

0

0 M . L

Cos´ı , possiamo semplicemente scrivere λ = Il contributo di dm al momento di inerzia è M 2 2 2 dI = dm x = λ x dx = L x dx. Il momento di inerzia totale è : Z Z L M 2 M L3 M 2 I = dI = x dx = = L . (8.3.14) L L 3 3 rod 0 Calcoliamo ora il momento di inerzia IC rispetto ad un asse Z perpendicolare all’asta e ` conveniente scegliere il passante per il suo centro che è anche il suo centro di massa. E

156


Figura 8.11:

centro come origine del nostro sistema di coordinate. Ogni elemento dm dell’asta verrà definito mediante la coordinata x che varia da − L2 a L2 . Il momento di inerziaè calcolato usando l’equazione (8.3.14) in cui l’integrale è esteso al nuovo intervallo per x Z

Z

IC =

L 2

dI = rod

−L 2

L M 2 M x3 2 M 2 x dx = = L L L 3 −L 12

(8.3.15)

2

Poiché la distanza fra una estremità dell’asta e il suo centro è a = L/2, possiamo verificare che I e IC soddisfano il teorema di Steiner (8.3.10). Infatti troviamo: I =

M 2 M 2 M 2 L = L + L = IC + M a2 . 3 12 4

(8.3.16)

Esempio 3 Calcoliamo ora il momento di inerzia IZ di un disco omogeneo di massa M e raggio R relativo ad un asse ortogonale al disco e passante per il suo centro. Prendiamo questo asse coincidente con l’asse Z di un sistema di coordinate cartesiane con origine O al centro del disco, e descriviamo i punti del disco in termini di coordinate polari r, ϕ, vedi Fig. 8.12. Dal momento che lo spessore del disco è trascurabile rispetto ad R, la distribuzione della materia in esso può essere descritta in termini di una densità della superficie σ che


157

Figura 8.12:

misura la massa per unità di superficie del disco dm . (8.3.17) dS Se dividiamo la superficie del disco in elementi infinitesimali dS, ciascuno di essi conterrà una massa dm = σ dS. Supporremo che il disco sia omogeneo, cioè che σ sia in esso uniforme. E’ utile esprimere σ in termini di M e R: Z Z Z M dm = σ dS = σ dS = π R2 σ ⇒ σ = . (8.3.18) M = π R2 disk disk disk σ =

Il contributo della particella dm a IZ è dIZ = dm r2 = σr2 dS, cos`ı che possiamo scrivere Z Z IZ = dIZ = σ r2 dS . (8.3.19) disk

disk

Ora ricordiamo l’espressione di dS nelle coordinate polari nel piano, date dall’equazione (2.2.10): dS = r dr dϕ. IZ può allora essere scritto nella forma Z 2π Z R 1 R4 IZ = σ dϕ r3 dr = 2π σ = M R2 . (8.3.20) 4 2 0 0 Calcoliamo ora il momento di inerzia IX rispetto all’asse X, che giace nel piano del disco. La distanza di una particella dm dall’asse x è data da |y| = r| sin(ϕ)|, e pertanto contribuisce

158


a I con la quantità infinitesima dIX = dm y 2 = dmr2 sin2 (ϕ). Il momento totale di inerzia sarà dato da: Z 2π Z R Z Z 1 2 2 2 IX = = dIX = σ r sin (ϕ)dS = σ sin (ϕ) dϕ r3 dr = M R2 , 4 disk disk 0 0 (8.3.21) Dove abbiamo usato le seguenti proprietà cos(2ϕ) = 1 − 2 sin2 (ϕ) ⇒ sin2 (ϕ) = Z 2π Z 2π sin2 (ϕ)dϕ = π . cos(2ϕ)dϕ = 0 ⇒ 0

1 − cos(2ϕ) , 2 (8.3.22)

0

Avendo descritto un corpo rigido come un sistema di infinite particelle, possiamo scrivere l’equazione che governa il suo moto di rotazione applicando l’equazione (8.1.13), cioè eguagliando la derivata rispetto al tempo del momento angolare totale rispetto ad un punto O in quiete in un sistema di riferimento inerziale, al momento di torsione totale esercitato sul corpo e relativo allo stesso punto: → − − X d→ dL Li X = = ~τi = ~τ . (8.3.23) dt dt i i Supponiamo che il corpo rigido stia ruotando intorno all’asse Z che contiene il punto in quiete → − O. In questo caso, se l’asse Z è un asse principale di inerzia, possiamo scrivere L = I ω ~ e l’equazione del moto diventa: d(I ω ~) = ~τ . dt

(8.3.24)

Se Z è fisso, possiamo portare I fuori della derivata, essendo una costante, e la suddetta equazione assumerà la forma: Iα ~ =I

d~ω = ~τ , dt

(8.3.25)

ω è il vettore di accelerazione angolare diretto lungo l’asse di rotazione. In un dove α ~ = d~ dt → − caso pi` u generale, dove Z non coincide con un asse di inerzia principale, L e ω ~ non saranno paralleli, ma possiamo ancora proiettare l’equazione (8.3.23) lungo Z

d(I ω) = τz . dt

(8.3.26)

Se non vi è alcun punto nell’asse di rotazione che è fisso rispetto a qualche sistema inerziale, possiamo in generale scrivere la (8.3.23) rispetto al centro di massa usando l’equazione (8.1.25): → − d L CM = ~τCM . (8.3.27) dt


159

Come al solito, il moto totale di un corpo rigido può essere decomposto in un moto di traslazione del centro di massa e in un moto di rotazione del corpo rispetto al centro di massa. Se l’asse di rotazione contiene il centro di massa ed è uno degli assi principali, allora → − L CM = IC ω ~. Di particolare interesse è il caso in cui la torsione totale relativa a qualche punto fisso nello spazio è zero in ogni istante: ~τ ≡ 0. In questo caso l’equazione (8.3.23) implica che il momento angolare del corpo relativo a qualche punto O è costante → − L ≡ const. (8.3.28) Se l’asse di rotazione contiene il punto ed è un asse principale, la precedente equazione implica che Iω ~ = const.

(8.3.29)

Se, inoltre, l’asse di rotazione è anch’esso costante, dal momento che il corpo è rigido, I sarà costante e la conservazione del momento angolare implica che ω = const., cioè che il corpo rigido si muova ad una velocità angolare costante. Se, tuttavia, I varia col tempo, ω varierà corrispondentemente. Un esempio ben noto di questo fenomeno è quello del pattinatore sul ghiaccio. Per aumentare la sua velocità di rotazione, il pattinatore tiene le braccia e le gambe vicine al corpo, cioè al suo asse di rotazione. Facendo ciò, egli diminuisce il suo momento di inerzia. Poiché non ci sono momenti di torsione che agiscono su di lui e il momento angolare è conservato, ω aumenterà al diminuire di I. Se l’asse di rotazione contiene il punto, ma non è l’asse principale, possiamo scrivere la conservazione del momento angolare, usando l’equazione (8.3.8) → − L = I1 ωx0 ~ux0 + I2 ωy0 ~uy0 + I3 ωz0 ~uz0 = const. , (8.3.30) → − In termini di grandezza di L la suddetta equazione implica che : 2 2 2 L2 = I12 ωx0 + I22 ωy0 + I32 ωz0 = const. ,

(8.3.31)

L’equazione (8.3.31), nei componenti ωx0 , ωy0 , ωz0 , è l’equazione di un ellissoide con semi~ varia nel tempo, la sua estremità asse I1−1 , I2−1 , I3−1 . Questo significa che, come il vettore ω giace su questo elissoide e descrive su di esso una traiettoria caratteristica. Consideriamo ora il moto di un corpo rigido dal punto di vista della sua energia. L’energia cinetica del corpo, proprio come per un generico sistema di particelle, può essere scritta come somma dell’energia cinetica di una particella di massa M situata al centro di massa e dell’energia cinetica associata al moto nel sistema del centro di massa. Come abbiamo visto, questo moto può solo essere del tipo rotatorio intorno ad un asse che contiene il centro di massa. L’energia cinetica totale del corpo avrà quindi la forma: 1 2 M vCM + Ekint , 2 1 X 1 X 1 = dmi vi02 = dmi Ri2 ω 2 = I ω 2 , 2 i 2 i 2

Ek = Ekint

(8.3.32)

160


dove abbiamo supposto che nel sistema CM tutte le particelle dmi si muovano con la stessa velocità angolare rispetto all’asse di rotazione. Possiamo scrivere la relazione lavoro-energia: Ekf in − Ekin = W ,

(8.3.33)

Dove Ekf in and Ekin sono i valori finali ed iniziali della energia cinetica e W è il lavoro totale fatto sul corpo dalle forze che agiscono su di esso. Queste non includono le forze interne di coesione poiché , per un corpo rigido, le distanze relative tra le sue varie parti non cambiano e cos`ı le forze reciproche che agiscono su di esse non fanno alcun lavoro. Se il corpo è sottoposto a forze conservative, il lavoro può essere espresso come variazione di una energia potenziale Ep : Ekf in − Ekin = W = Epin − Epf in ⇒

E = Ek + Ep =

1 1 2 M vCM + I ω 2 + Ep = const. , 2 2 (8.3.34)

dove abbiamo definito l’energia meccanica totale del corpo come la somma della sua energia cinetica e potenziale. L’equazione (8.3.32) comprende anche il caso in cui il corpo ruoti intorno ad un asse fisso Z non contenente il centro di massa C. In questo caso C ruoterà intorno all’asse con velocità angolare ω. Indichiamo con ZC l’asse parallelo a Z che contiene C. Se calcoliamo l’energia cinetica totale, troviamo Ek =

I 2 ω , 2

(8.3.35)

dove I è il momento di inerzia relativo a Z. Usando il teorema di Steiner, troviamo Ek =

IC 2 M 2 2 ω + a ω , 2 2

(8.3.36)

dove a è la distanza di C da Z. Poiché vCM = a ω e poiché, come non è difficile provare, nel sistema CM il corpo ruota intorno a ZC con la stessa velocità angolare ω, la suddetta equazione coincide con (8.3.32). Valutiamo ore il lavoro fatto dalle forze che agiscono su di un corpo rigido durante la sua rotazione di un angolo infinitesimo dϕ = ω dt, intorno all’asse fisso Z, dal tempo t a t + dt. Durante dt la velocità angolare cambia da ω a ω + dω. La variazione dell’energia cinetica e cos`ı il lavoro infinitesimo dW fatto, è calcolata usando l’espressione (8.3.35) di Ek : dW = Ekf in − Ekin =

I (ω + dω)2 − ω 2 = I ωdω , 2

(8.3.37)

Dove abbiamo trascurato i termini di ordine superiore in dω. Ora ricordiamo che , secondo l’equazione (8.3.26), I dω =

dLz dt = τz dt . dt

(8.3.38)


161

Quindi troviamo dW = τz ω dt = ~τ · ω ~ dt = τz dϕ .

(8.3.39)

La potenza è il lavoro fatto per unità di tempo ed ha la seguente forma P =

dW = ~τ · ω ~. dt

(8.3.40)

Esempio 4 Studiamo il moto di un giroscopio. Questo strumento consiste in una ruota che gira velocemente e che è montata su di un supporto che permette al suo asse di rotazione di muoversi, vedi fig. 8.13. Esso è progettato in modo tale che, se non perturbato, il momento

Figura 8.13:

di torsione totale che agisce su di esso sia zero, e pertanto il suo asse di rotazione rimanga costante. Se si sposta un giroscopio, esso ruoterà in modo da mantenere fissa la direzione del suo asse. Infatti, durante il moto di rotazione della terra intorno al proprio asse, le direzioni orizzontali si muoveranno con essa mentre l’asse di un giroscopio, che all’inizio giaceva sul piano orizzontale, ruoterà rispetto alla superficie della terra lungo il piano verticale di 90o in sei ore, vedi figura 8.14. Esempio 5 Un altro sistema che è considerato come esempio di giroscopio è la trottola. Si tratta un corpo rigido con simmetria cilindrica che ruota intorno al suo asse di simmetria Z0 (che è anche un asse principale) tanto rapidamente che l’energia cinetica associata al suo moto rotatorio costituisce il contributo principale alla sua energia. Il momento angolare sarà → − L = Iω ~ = I ω ~uz . La trottola è soggetta alla forza gravitazionale e si posiziona su di un punto O del terreno che si trova sul suo asse di rotazione Z0 e che, pertanto, non muta col tempo. Se Z0 non coincide con l’asse verticale Z, ma forma con esso un angolo θ, il peso → − F W = −M g ~uz , che grava sul centro di massa, avrà un momento torsione ~τ non null che → − → − causerà un cambiamento in L . Poiché F W giace nel piano Z0 O Z, ~τ sarà perpendicolare a → − L in ogni momento. Durante un intervallo di tempo infinitesimo dt, il momento angolare

162


Figura 8.14:

→ − → − varierà di d L = ~τ dt che è un vettore perpendicolare a L . La situazione è molto simile al caso del moto circolare uniforme nel quale la forza è perpendicolare alla velocità durante il moto e ciò fa s`ı che la velocità possa variare solo nella direzione, ma non in intensità. Per la stessa ragione ilmomento torsione farà s`ı che il momento angolare varieri solo in direzione, ma non in modulo. In particolare l’estremità del vettore angolare ruoterà intorno all’asse → − verticale, lungo una circonferenza di raggio L sin(θ), dove L è la lunghezza di L . Questo moto dell’asse di rotazione della trottola, dovuto alla torsione, è chiamato precessione, vedi → − Fig. 8.15. In dt il piano Z0 O Z nel quale L giace, ruoterà intorno a Z di un angolo → − τ |d L | = dt . dϕ = L sin(θ) L sin(θ)

(8.3.41)

Possiamo facilmente esprimere il modulo del momento di torsione come: τ = M g ` sin(θ) ,

(8.3.42)

` essendo la distanza del centro di massa da O, cos`ı che La velocità angolare della precessione Ω = dϕ diventa dt Ω =

dϕ M g` M g` = = . dt L Iω

(8.3.43)

~ = Ω ~uz , associato alla precessione, possiamo Se definiamo il vettore di velocità angolare Ω scrivere − ~ ×→ ~τ = Ω L.

(8.3.44)

→ − La suddetta equazione è analoga alla relazione F = ω ~ × p~ tra la velocità angolare e la forza centripeta di una particella in moto circolare uniforme con quantità di moto p~. Concludendo, abbiamo visto che il moto della trottola consiste in una rotazione intorno al suo asse e in


163

Figura 8.15:

una rotazione, o precessione, dell’asse intorno alla direzione verticale. Il momento angolare totale avrà un contributo dovuto alla precessione e quindi non giacerà lungo Z0 . In effetti, la ~ Tuttavia, se tale contributo è piccolo e quindi trascurabile velocità angolare totale sarà ω ~ + Ω. rispetto alla rotazione della trottola intorno al sua asse, cioè se Ω ω, esso può essere ignorato. Il suo effetto è quello di far oscillare l’asse di rotazione nel piano verticale durante la precessione in modo tale che θ non è costante ma varia tra due valori limiti. Questa oscillazione è chiamata nutazione. Esempio 6 Consideriamo ora il moto di un pendolo composto. Questo sistema consiste in un corpo rigido di massa M che è libero di muoversi intorno ad un asse orizzontale X, su → − cui agiscono il suo peso e le forze di reazione F p esercitate nei perni. Queste ultime non influenzano il moto del corpo dal momento che si esercitano su punti lungo l’asse e quindi hanno momento di torsione nullo. La forza gravitazionale totale agisce sul centro di massa → − C ed è F W = −M g ~uz , essendo Z l’asse verticale. Sia O l’origine del sistema di coordinate cartesiane coincidente con la proiezione ortogonale di C sull’asse e sia ` = |OC| la distanza di C dall’asse, vedi fig. 8.16. La posizione del corpo è totalmente definita dall’angolo ϕ formato dall’asse verticale e dalla linea che unisce O a C. Quando ϕ = 0 il centro di massa giace sull’asse negativo Z e ϕ aumenta in senso antiorario. Come al solito, I è il momento

164


Figura 8.16:

di inerzia del sistema, rispetto ad X. Il momento di torsione totale che agisce sul corpo è dovuto alla gravità ed è dato da: −→ → − ~τ = OC × F W = −M g ` sin(ϕ) ~ux . (8.3.45) Scriviamo l’equazione (8.1.13) lungo la direzione X dell’asse di rotazione I

dω d2 ϕ = I 2 = τx = −M g ` sin(ϕ) . dt dt

(8.3.46)

Questa equazione ha la stessa forma dell’equazione del pendolo semplice e, per piccole oscillazioni, diventa: d2 ϕ 1 = − `M gϕ, 2 dt I

(8.3.47)

dove abbiamo approssimato sin(ϕ) ∼ ϕ. La suddetta equazione descrive un moto armonico con periodo: s s s I K2 `0 T = 2π = 2π = 2π , (8.3.48) `M g `g g essendo K il raggio di rotazione e `0 = K 2 /` la lunghezza dell’equivalente pendolo semplice con lo stesso periodo di piccole oscillazioni.


165

Esempio 7 Consideriamo il disco omogeneo, di massa M e raggio R in Fig. 8.17 (a). Il

Figura 8.17:

disco è attaccato, con un perno, ad un asse orizzontale intorno al quale può ruotare senza → − frizione. Esso é fatto ruotare per mezzo di una forza verticale F che agisce su di una corda arrotolata intorno ad esso. Calcolare l’accelerazione angolare α = dω del disco. dt Soluzione: Stabiliamo un sistema di coordinate cartesiane in cui Z sia l’asse verticale, Y l’asse di rotazione del disco ed X l’asse orizzontale, parallelo alla superficie del disco. Poiché il centro di massa è fissato nell’asse, la sua posizione è totalmente determinata dall’angolo ϕ che definisce la posizione angolare di un punto di riferimento nel disco rispetto all’asse X. Sia l’orientazione di Y connessa al verso positivo di ϕ dalla regola della mano destra. Sul centro → − → − di massa il peso del disco F W è compensato dalla reazione F p del perno cos`ı che queste due → − forze non hanno effetto sul moto del disco. La forza F = −F ~uz (F > 0) esercitata sulla corda ha un momento di torsione ~τ non nullo sul disco, che ne determina la rotazione: ~τ = R F ~uy .

(8.3.49)

→ − Poiché il momento angolare è L = I ω ~uy , possiamo scrivere l’equazione di moto nella forma: d→ − L = ~τ ⇒ I α = R F , (8.3.50) dt dalla quale, e dall’espressione di I relativa all’asse del disco, possiamo derivare il risultato: 2F α = . (8.3.51) MR

166


Esempio 8 Con riferimento alla fig. 8.17 (b), consideriamo il disco dell’esempio precedente che è messo in moto da un peso di massa m e che è attaccato all’estrremità di una corda arrotolata intorno ad esso. Calcolare la tensione T della corda e l’accelerazione a della massa m. Soluzione: Scriviamo l’equazioni del moto per il disco e la massa. Quest’ultima è soggetta → − → − al suo peso F W = −m g ~uz ed alla tensione T = T ~uz della corda. La sua posizione lungo 2 l’asse Z è descritta dalle sue coordinate z(t) e la sua accelerazione è ~a = a ~uz = ddt2z ~uz . L’equazione del moto per la massa è : → − → − m~a = F W + T ⇒ m a = −m g + T .

(8.3.52)

→ − Per quanto riguarda il disco, il suo momento angolare è: L = I ω ~uy , mentre il momento di torsione, dovuto alla tensione della corda, è ~τ = R T ~uy . Pertanto il moto rotatorio del disco è descritto dall’equazione: I α = RT .

(8.3.53)

Le quantità a e α non sono scorrelate. Infatti, mentre il disco ruota con un angolo ∆ϕ, ciascun punto sul suo bordo si sposta di una distanza R∆ϕ e la massa si abbassa alla stessa lunghezza: ∆z = −R∆ϕ. Pertanto la velocità e l’accelerazione della massa dipendono dalle corrispondenti quantità angolari del disco ∆z = −R∆ϕ ⇒ v =

dϕ d2 z d2 ϕ dz = −R = −R ω ; a = 2 = −R 2 = −R α . dt dt dt dt (8.3.54)

Usando (8.3.54) e (8.3.53) troviamo α=

1 T (g − ) . R m

(8.3.55)

Sostituendo la precedente espressione in (8.3.52) possiamo determinare T : mM T = g, 2m + M

(8.3.56)

Da cui troviamo α =

2m R (2m + M )

g,

(8.3.57)

E cos`ı a = −R α = −

2m 2m + M

g.

(8.3.58)

Dalla suddetta equazione notiamo che |a| < g a causa della massa del disco. Nel limite in cui M è trascurabile rispetto a m, a = −g ed il moto di m sarà a caduta libera.


167

Esempio 9 Consideriamo il disco della fig. 8.17 (c), che è omogeneo, di massa M e di raggio R. Una corda è arrotolata al suo bordo ed è attaccata per la sua estremità superiore ad una parete orizzontale fissa. Appena il disco è lasciato cadere, la corda si srotola, causando un moto verso il basso. Trovare l’accelerazione del centro di massa del disco. Soluzione Osserviamo che, come nel caso del moto di rotolamento senza slittamento, il moto è di pura rotazione perché esiste in ogni istante un punto del disco che ha velocità nulla. Questo punto è quello in cui il filo si stacca dal bordo e ha velocità nulla poiché il tratto di filo verticale è fermo. Scegliamo comunque di descrivere tale moto decomponendolo nella componente traslatoria associata al centro di massa ed in quella di rotazione rispetto al centro di massa, descritta dall’equazione (8.3.27). Se la posizione del centro di massa lungo Z è descritta da z(t), troviamo ancora le stesse relazioni (8.3.54) tra v, a e ω, α. Il centro di → − massa è soggetto a F W mentre il moto di rotazione è determinato dal momento di torsione → − ~τ associato alla tensione T . Quindi troviamo le seguenti equazioni del moto: M a = −M g + T ; I α = R T ; a = −R α .

(8.3.59)

Risolvendo la precedente equazione, troviamo T =

M 2 g ; a = − g. 3 3

(8.3.60)

168


Capitolo 9 Approfondimento: Moto Kepleriano In questo capitolo analizzeremo pi` u in dettaglio il moto di una particella soggetta ad una forza centrale il cui modulo sia proporzionale all’inverso del quadrato della distanza dal centro della forza. Questa classe di moti include quello dei pianeti intorno al sole, detto moto Kepleriano dall’astronomo-matematico Johannes Kepler (1571-1630), che per primo lo caratterizzò in modo esaustivo dal punto di vista cinematico-descrittivo, rispetto al SR del sole. La nostra analisi includerà anche il moto relativo di due particelle cariche, soggette alla reciproca forza elettrostatica, descritta dalla legge di Coulomb. In questo caso il riferimento è all’interazione tra particelle subatomiche cariche, come un elettrone (carico negativamente) in un atomo ed i protoni (carichi positivamente) nel nucleo dell’ atomo stesso (interazione attrattiva), o tra particelle subatomiche con cariche dello stesso segno (p.es. due nuclei atomici che si avvicinano abbastanza da poter avvertire la loro reciproca repulsione elettrostatica). In questi casi, essendo le particelle subatomiche molto leggere, la forza elettrostatica prevale di gran lunga su quella gravitazionale, che risulta quindi essere completamente trascurabile. Studieremo questa ampia classe di moti in modo unificato, mostrando come la loro analisi dinamica si possa ricondurre ad uno stesso problema matematico.

9.1

Il Problema Generale

Consideriamo due particelle, di masse m1 ed m2 , soggette ad una reciproca forza di interazione gravitazionale diretta lungo la loro congiungente, il cui modulo è proporzionale all’inverso → − del quadrato della loro distanza r. In formule, m1 esercita su m2 una forza F 12 data da: m1 m2 → − F 12 = −G 2 ~u12 , r

(9.1.1)

dove, al solito, ~u12 è il versore dell’asse orientato che congiunge le due particelle nel verso che va da m1 ad m2 . Se le due masse hanno cariche q1 , q2 , rispettivamente, alla forza gravitazionale si aggiunge quella elettrostatica descritta dalla legge di Coulomb: m1 m2 q1 q2 → − F 12 = −G 2 ~u12 + k 2 ~u12 , r r 169

(9.1.2)

170

CAPITOLO 9. APPROFONDIMENTO

essendo k = 1/(4π0 ) nel vuoto. A sua volta la particella 2 eserciterà una reazione sulla → − → − 1 uguale e contraria: F 21 = − F 12 . Scriveremo, per semplicità, la forza di interazione nel seguente modo: γ → − F 12 = − 2 ~u12 , (9.1.3) r ove γ = G m1 m2 − k q1 q2 . (9.1.4) I sistemi fisici che abbiamo in mente sono costituiti o da due corpi celesti in interazione (come sole e pianeti o asteroidi) o da due particelle subatomiche cariche (elettrone e nucleo in un atomo). Nel primo caso le cariche sono nulle e l’interazione è puramente gravitazionale: γ = G m1 m2 . Nel secondo, la forza gravitazionale è trascurabile e l’interazione è di tipo elettrostatico: γ = −k q1 q2 . Tutti questi problemi possono essere affrontati dal punto di vista dinamico in modo unificato, considerando una forza di interazione di tipo (9.1.3). Sappiamo che il moto del sistema di due particelle si può decomporre nel moto del suo centro di massa (CM) e nel moto interno rispetto al centro di massa. Se consideriamo il sistema isolato, il moto del CM è rettilineo uniforme ed il SR ad esso solidale sarà quindi un SR inerziale. Rispetto ad esso il moto delle due particelle è descritto come il moto di una sola particella di massa pari alla massa ridotta µ = m1 m2 /(m1 + m2 ), posizione pari alla posizione relativa ~r(t) = ~r2 (t) − ~r1 (t) della particella 2 rispetto alla 1 e soggetta alla → − forza F 12 . Conviene, nel SR del CM che chiameremo S, fissare un sistema di coordinate cartesiano ortogonale {0, X, Y, Z} in cui ~r(t) è il vettore posizione di questa particella ideale e gli assi puntano verso le stelle fisse (SR inerziale), in modo che l’ equazione del moto della particella sia: γ → − (9.1.5) µ ~a = F 12 (~r) = − 2 ~u12 , r 2

essendo ~a = ~a2 − ~a1 = ddt2~r . Se la massa della particella 1 è molto maggiore di quella della particella 2, m1 m2 (come è il caso del sole rispetto ai pianeti o del nucleo di un atomo rispetto ad un elettrone), si può pensare il CM localizzato con buona approssimazione sulla prima ed il SR S quindi solidale con essa. In questo limite, infatti, l’accelerazione della → − → − particella 1, a1 = | F 12 |/m1 , è molto minore di quella della particella 2, a2 = | F 12 |/m2 , e quindi si manifesta sul moto della prima su tempi molto pi` u lunghi dei tempi caratteristici del moto della particella 2. Di conseguenza, nello studiare quest’ultimo, ci si può mettere nel SR solidale con la particella 1 pi` u pesante, essendo questo in buona approssimazione inerziale. In questo SR la massa 1 è fissa mentre la 2 si muove di moto descritto dalla (9.1.5) in cui la massa ridotta µ è approssimativamente uguale a m2 : m1 m2 ⇒ µ =

m1 m2 ≈ m2 . m1 + m2

(9.1.6)

Torniamo alla situazione generale con m1 ed m2 generiche e studiamo nel SR S del CM il moto della particella ideale di massa µ, descritta dal vettore posizione ~r(t) e soggetta alla forza radiale: γ → − → − F (~r) = F 12 (~r) = − 2 ~ur , (9.1.7) r

9.1. IL PROBLEMA GENERALE

171

ove ~ur è il versore radiale uscente rispetto all’origine O, centro della forza: ~ur = ~u12 . Sap→ − piamo che in presenza di una generica forza radiale il momento angolare L della particella su cui essa agisce, riferito al centro della forza, è un vettore costante. Il moto è quindi caratterizzato da due leggi di conservazione: quella del momento angolare e quella dell’energia meccanica; → − conservazione del momento angolare : L = ~r(t) × p~(t) = cost. , µ γ conservazione dellenergia meccanica : E = |~v |2 − = cost. , (9.1.8) 2 r → − dove abbiamo usato la proprietà che l’energia potenziale associata alla forza centrale F (~r) vale Ep (r) = −γ/r, avendone fissato il valore essere nullo nella configurazione del sistema in cui la forza di interazione è nulla, ovvero quella in cui la distanza r è infinita. Sappiamo → − che la conservazione di L in direzione e verso implica che il moto si svolge su un piano → − → − perpendicolare a L . Conviene fissare l’asse Z lungo la direzione e verso di L , in modo che il moto abbia luogo sul piano X, Y . Fissiamo quindi su tale piano un sistema di coordinate polari rispetto al quale la posizione della particella in ogni istante sia definita univocamente dalla sua distanza r(t) dall’origine e dalla sua posizione angolare ϕ(t): la prima descriverà la componente radiale del moto, la seconda quella angolare. Rispetto a questo sistema di coordinate avremo che: → − L = L ~uz , L = m r(t)2 ω(t) = cost. > 0 , (9.1.9) la velocità angolare. La particella di massa µ si muoverà quindi sempre essendo ω(t) = dϕ dt nel verso dei ϕ crescenti che, rispetto ad un osservatore in piedi lungo l’asse Z (ovvero lungo → − L ), è convenzionalmente scelto come il verso antiorario, vedi Fig.s 8.2 e 9.1. → − La costanza del modulo L di L , ovvero del prodotto r(t)2 ω(t) (che abbiamo interpretato come costanza della velocità areolare) fa s`ı che le componenti radiale ed angolare del moto non siano indipendenti e che, se riuscissimo a ricavare la prima, ovvero a determinare r(t) in ogni istante, potremmo conoscere la velocità angolare ω(t): r(t) ⇒ ω(t) =

L , m r(t)2

(9.1.10)

e da questa (problema inverso della cinematica), la posizione angolare ϕ(t) in ogni istante per ` possibile determinare la componente date condizioni iniziali ϕ0 = ϕ(t = 0), ω0 = ω(t = 0). E radiale del moto indipendentemente da quella angolare usando proprio la conservazione del momento angolare. Questa infatti consente di descrivere tale componente in termini di un opportuno moto rettilineo. Per mostrare questo, scriviamo l’espressione dell’energia meccanica E in termini della velocità e posizione della massa µ, ed esprimendo la velocità angolare ω(t) in termini di r(t) attraverso la (9.1.10): γ µ 2 γ µ 2 E = |~v | − = vr + vϕ2 − = , 2 r 2 r 2 2 µ dr µ 2 2 γ µ dr L2 γ − . (9.1.11) = + r ω − = + 2 2 dt 2 r 2 dt 2µr r

172


Figura 9.1:

Si osservi che l’energia meccanica è stata scritta solo in termini di r(t) e della sua derivata rispetto al tempo. In particolare essa ha l’espressione dell’energia meccanica associata ad un moto rettilineo di coordinata r(t) e soggetto ad una forza con energia potenziale data dalla somma degli ultimi due termini. Se indichiamo con Ek0 l’energia cinetica associata (1d) a questo moto rettilineo e con Ep (r) (energia potenziale del moto unidimensionale) la corrispondente energia potenziale, potremo scrivere: E = Ek0 + Ep(1d) (r) , 2 µ dr L2 γ 0 Ek = ; Ep(1d) (r) = − . 2 2 dt 2µr r

(9.1.12)

A quale descrizione del sistema si riferisce questo moto rettilineo? Per rispondere a questa domanda chiediamoci rispetto a quale SR il moto del pianeta appare rettilineo. Pensiamo ad un osservatore ideale localizzato nel centro della forza (p.es. sul sole) e che ruoti intorno all’asse Z in modo da “puntare” il suo sguardo sempre verso la particella in moto (p.es. un pianeta o una cometa), come in Fig. 9.2. Indichiamo con S 0 sia tale osservatore che il SR ad esso solidale, caratterizzato da un asse X 0 che, a partire dall’osservatore, punta sempre verso la particella, e da un asse Y 0 ad esso perpendicolare. Il sistema di assi {X 0 , Y 0 } è ruotato rispetto ad {X, Y } di un angolo ϕ(t)


173

Figura 9.2: Sistema di riferimento S (inerziale) e sistema di riferimento S 0 (non-inerziale).

e quindi si muove rispetto ad S di moto rotatorio intorno all’asse Z con velocità angolare ω ~ (t) = ω(t) ~uz . Il SR S 0 è quindi non-inerziale essendo S inerziale. Inoltre risulta chiaro che l’asse X 0 coincide con l’asse radiale uscente (~ux0 = ~ur ), mentre Y 0 con la direzione angolare (~uy0 = ~uϕ ). Di conseguenza l’ascissa x0 (t) della particella non è altro che la sua distanza r(t) da O. Rispetto all’osservatore S 0 , il moto del pianeta si svolge completamente lungo l’asse X 0 (si veda Fig. 9.3). Egli, in altre parole, non vede la componente rotazionale del moto della particella in S, poiché ruota assieme ad essa. Nel caso del moto di un pianeta intorno al sole, per esempio, vedremo che la traiettoria descritta dal pianeta è una ellissi. L’osservatore S 0 vede il pianeta oscillare lungo il suo asse X 0 all’interno di un segmento compreso tra una ` istruttivo distanza minima rmin dal sole (perielio) ed una distanza massima rmax (afelio). E 0 analizzare in dettaglio il moto della particella nel sistema ruotante S . Sappiamo che la velocità ~v 0 misurata in questo SR è legata a quella in S dalla relazione: ~v 0 = ~v − ω ~ × ~r ,

(9.1.13)

ove ω × ~r è la velocità di trascinamento associata ad S 0 , ovvero la velocità con cui si muove in S un punto localizzato in ~r e che si muove assieme ad S 0 . In componenti polari ~v 0 vale: dr dr dr 0 ~ur + rω ~uϕ − (ω~uz ) × (r~ur ) = ~ur + rω ~uϕ − rω ~uϕ = ~ur = v 0 ~ur , (9.1.14) ~v = dt dt dt

174


Figura 9.3: Moto della massa µ (p.es. di un pianeta o una cometa) rispetto ad un osservatore ideale localizzato nel centro della forza (p.es. il sole) e che ruota assieme ad essa. Il moto è rettilineo ed è descritto dalla sola componente radiale r(t) del moto in S.

ove abbiamo usato la proprietà ~uz × ~ur = ~uϕ . Come previsto la velocità in S 0 ha solo componente radiale (ovvero è diretta lungo X 0 ) pari a v 0 = dr/dt, ed il moto è unidimensionale lungo tale direzione. L’osservatore S 0 calcola l’accelerazione ~a0 derivando ~v 0 rispetto al tempo: 0

~a =

d~v 0 dt

= S0

dv 0 d2 r ~ur = 2 ~ur = a0 ~ur , dt dt

(9.1.15)

ove la derivata è fatta da S 0 considerando ~ur costante essendo l’asse radiale X 0 fisso nel suo SR. In S 0 viene quindi scritta l’ equazione di Newton tenendo conto delle forze inerziali oltre → − alla forza fisica F : → − → − µ ~a0 = F + F inerziali , Mostriamo che la risultante delle forze inerziali consiste nella sola forza centrifuga. Ricor→ − diamo l’espressione generale di F inerziali : → − → − → − F inerziali = −µ α ~ × ~r + F Coriolis + F centrif uga ,

(9.1.16)


175

Figura 9.4: Energia potenziale del moto unidimensionale lungo la direzione radiale, nel caso di forza attrattiva (gravitazionale o elettrostatica tra cariche di segno opposto), figura sopra, o repulsiva (elettrostatica tra cariche dello stesso segno), figura sotto.

ove il vettore accelerzione angolare vale α ~ = α ~uz , essendo α = dω/dt e → − F Coriolis = −2 µ~ω × ~v 0 = −2 µ (ω~uz ) × (v 0 ~ur ) = −2 µ ω v 0~uϕ , → − F centrif uga = −µ ω ~ × (~ω × ~r) = µ r ω 2 ~ur .

(9.1.17)

→ − Mostriamo che F Coriolis si cancella con −m α ~ × ~r: dr dω → − r + 2ω ) ~uϕ . (9.1.18) −µ α ~ × ~r + F Coriolis = −m(α~uz ) × (r ~ur ) − 2 mω v 0~uϕ = −µ ( dt dt Dalla conservazione del momento angolare L = µ r2 ω, d’altronde, ricaviamo che: 0=

d(r2 ω) dr dω = r (2ω + r) , dt dt dt

(9.1.19)

da cui deriva che il vettore ad ultimo membro nella (9.1.18) è nullo, ovvero che −µ α ~ × ~r + → − 0 F Coriolis = ~0. L’equazione del moto in S si riscrive quindi nella seguente forma: → − → − → − (1d) µ ~a0 = F + F centrif uga = F ,

176


dove

γ γ L2 → − (1d) F = (− 2 + µ r ω 2 ) ~ur = (− 2 + ) ~ur = F (1d) (r) ~ur . (9.1.20) r r µ r3 Vediamo che il moto in S 0 è un moto unidimensionale (lungo la direzione radiale), soggetto → − (1d) ad una forza risultante F (somma della forza fisica e di quella centrifuga), diretta lungo la direzione del moto e che dipende dalla sola posizione della particella. Sappiamo che tale (1d) forza è conservativa ed è quindi derivabile da un’ energia potenziale Ep (r), legata ad essa dalla nota relazione: Z (1d) γ L2 dEp (1d) (1d) (r) ⇒ Ep (r) = − F (1d) (r)dr + cost. = − + , (9.1.21) F (r) = − dr r 2 µ r2 ove la costante additiva arbitraria è stata fissata richiedendo che l’energia potenziale sia → − (1d) nulla nella configurazione in cui la forza F è nulla, ovvero per r → ∞. Vale quindi, per il 0 moto unidimensionale in S , il principio di conservazione dell’energia meccanica, che prende 2 proprio la forma (9.1.12) trovata in precedenza, dove il termine 2 Lµ r2 ha due interpretazioni a seconda dell’osservatore: rispetto ad S 0 esso rappresenta il contributo corrispondente alla forza centrifuga (repulsiva) all’energia potenziale, mentre rispetto ad S, esso è il contributo all’energia cinetica Ek della componente angolare del moto. In Fig. 9.4 è rappresentata (1d) l’energia potenziale Ep associata al moto unidimensionale radiale in S 0 nel caso di una forza attrattiva (γ > 0, grafico di sopra) e repulsiva (γ < 0, grafico di sotto). Da questo grafico possiamo ricavare informazioni qualitative importanti sulla componente del moto radiale per fissata energia totale E. Nel caso attrattivo la particella è soggetta a due forze → − (1d) contrastanti: quella attrattiva F e la forza centrifuga repulsiva. La curva di Ep presenta un minimo, corrispondente ad una distanza r∗ dal centro della forza alla quale le due forze sono in equilibrio: (1d)

F (1d) (r∗ ) = −

γ L2 L2 dEp (r∗ ) = − 2 + = 0 ⇒ r = . ∗ dr r∗ µ r∗3 µγ

(9.1.22)

Sappiamo che la particella può muoversi solo in quell’intervallo di valori di r per cui E ≥ (1d) Ep (r). Questo fissa un valore minimo dell’energia meccanica corrispondente al minimo (1d) dell’energia potenziale Ep : µγ 2 . (9.1.23) 2 L2 La componente radiale del moto è figurativamente descrivibile dal moto di una pallina ideale (1d) che viene lasciata rotolare lungo il profilo dell’energia potenziale Ep , a partire da ferma, in uno dei punti in cui l’energia potenziale uguaglia quella meccanica E. Nel caso attrattivo, quindi, l’energia meccanica può assumere valori negativi. Se 0 > E > Emin , il moto radiale si svolge in un intervallo finito tra una distanza minima rmin ed una massima rmax , alle quali (1d) l’energia potenziale Ep uguaglia l’energia meccanica totale E. Troviamo: s s ! ! γ 2 L2 E γ 2 L2 E rmin = − 1− 1+ ; rmax = − 1+ 1+ . (9.1.24) 2E µγ 2 2E µγ 2 E ≥ min(Ep(1d) ) = Ep(1d) (r∗ ) = −


177

In questo caso, quindi, la traiettoria è limitata, non estendendosi fino a distanza infinita. Come vedremo essa è descritta da una ellisse. Un esempio importante è il moto dei pianeti intorno al sole, posizionato nel centro O della forza gravitazionale ed rmin , rmax sono il perielio e l’afelio. Cosa succede se E = Emin ? Lasciando la pallina ideale nel minimo da ferma, l`ı rimane in ogni istante, ovvero è assente la componente radiale del moto e la distanza dal centro è costante e pari a r∗ : E = Emin ⇒ r(t) = r∗ =

L2 . µγ

(9.1.25)

L’orbita in S è quindi un cerchio di raggio r∗ . Concludiamo che, fissato il momento angolare L, l’orbita circolare è quella di minore energia. Il fatto che l’orbita corrispondente ad un valore negativo dell’energia meccanica sia limitata si può interpretare con il fatto che l’energia cinetica non è sufficiente affinché la → − particella sfugga all’azione attrattiva della forza F , ovvero far raggiungere alle due particelle 1, 2 distanza infinita. Questo è legato al fatto che, essendo E < 0, l’energa cinetica è sempre minore del valore assoluto dell’energia potenziale e quest’ultimo, ricordiamo, misura → − il lavoro che compirebbe F se la particella fosse portata da una distanza r all’infinito. Nel caso dell’orbita circolare, per esempio, l’energia cinetica Ek in S ha solo il contributo dalla componente angolare del moto e vale la metà del valore assoluto dell’energia potenziale Ep (r): 2 µ 2 2 µ 2 L γ mγ 2 Ep (r∗ ) µ 2 = . (9.1.26) = = − Ek = vϕ = r∗ ω = r∗ 2 2 2 µr∗2 2 L2 2r∗ 2 Si dice che per E < 0 le due particelle 1, 2 formano uno stato legato. Il minimo valore di energia ∆E da fornire al sistema per liberare le particelle interagenti dalla loro reciproca attrazione è quell’energia che consente ad esse di raggiungere distanza infinita con velocità (min) nulla. L’energia meccanica corrispondente a questo stato libero Elib. è nulla, essendo le particelle ferme (energia cinetica nulla) a distanza infinita (energia potenziale nulla). Troviamo quindi che ∆E è l’energia da fornire per aumentare l’energia meccanica da E (min) a Elib. = 0: (min) ∆E = Elib. − E = −E > 0 . (9.1.27) Essa è detta energia di legame del sistema. Se lo stato legato è invece quello costituito dal nucleo di un atomo e dall’elettrone pi` u esterno, ∆E è l’energia da fornire all’atomo per liberarlo di quest’ultimo, ovvero per ionizzarlo e ∆E è detta energia di ionizzazione. Restando nel caso attrattivo (γ > 0), se E = 0, la pallina, lasciata da ferma, raggiunge distanza infinita con energia cinetica nulla (Ek0 è la distanza tra la retta orizzontale che (1d) rappresenta E e il grafico di Ep ). Se E = 0 l’energia cinetica Ek in S ha il minimo valore che permette alle due particelle di raggiungere distanza infinita, ed esse la raggiungeranno con velocità nulla. Essa, infatti, è sempre pari all’opposto dell’energia potenziale Ep (r) e tende a zero per r → ∞. La distanza minima rmin raggiunta tra le due particelle vale: E = 0 ⇒ r ≥ rmin =

r∗ L2 = . 2µγ 2

(9.1.28)

178


Come vedremo l’orbita corrispondente è una parabola. Se invece E > 0, le particelle raggiungeranno distanza infinita con velocità (in S) diversa da zero (Ek 6= 0). L’orbita non è quindi limitata. Essa, come vedremo, è descritta da un ramo di iperbole di cui O coincide con il fuoco interno ed è caratterizzata da una distanza minima rmin tra le due particelle data da: s ! γ 2 L2 E E > 0 ⇒ r ≥ rmin = 1+ −1 . (9.1.29) 2E µγ 2 Nel caso di forza repulsiva (γ < 0, che è il caso della forza elettrostatica tra cariche dello (1d) stesso segno), Ep è sempre positiva e quindi anche l’energia meccanica può solo assumere valori positivi. Vedremo che la traiettoria è descritta un ramo di iperbole di cui O coincide con il fuoco esterno.

9.1.1

Traiettorie

Avendo ridotto, usando la conservazione del momento angolare, la componente radiale del moto ad uno moto rettilineo, possiamo determinarlo usando la conservazione dell’energia meccanica, ovvero risolvendo l’equazione integrale del tipo (5.6.7): Z r(t) dr q = ±t ⇒ r(t) , (9.1.30) (1d) 2 r0 (E − Ep (r)) µ essendo r0 = r(t = 0) la distanza iniziale tra le due particelle. Ricavato il moto radiale r(t), possiamo ricavare la componente angolare nel modo descritto sopra. Noi non affronteremo qui questo problema, bens`ı ci limiteremo a determinare l’equazione della traiettoria, ovvero la relazione tra le coordinate r, ϕ della particella di massa µ durante suo moto. Se questo moto è descritto dalle funzioni r = r(t), ϕ = ϕ(t), l’equazione della traiettoria si ottiene invertendo la seconda equazione e sostituendo il tempo t(ϕ) in funzione di ϕ nella prima. Determiniamo cos`ı la distanza come funzione di ϕ attraverso t: r(ϕ) = r(t(ϕ)). La derivata di r rispetto a ϕ si ottiene applicando quindi la formula della derivata delle funzioni composte: dr dt dr 1 1 dr µr2 dr dr = = = = . (9.1.31) dϕ dt dϕ dt dϕ ω dt L dt dt Ora ricordiamo l’espressione di dr ricavata dalla conservazione dell’energia meccanica: dt r q dr 2 dr r2 (1d) (1d) =± (E − Ep (r)) ⇒ =± 2µ(E − Ep (r)) . (9.1.32) dt µ dϕ L q (1d) 2 Moltiplichiamo ambo i membri dell’ultima equazione per L dϕ/r e dividiamo per 2µ(E − Ep (r)): L dr q = ±dϕ . (1d) r2 2µ(E − Ep (r))

(9.1.33)


179

Integriamo il secondo membro da un valore ϕ0 = 0 a ϕ ed il primo tra i corrispondenti valori di r: r(ϕ0 = 0), r(ϕ). Scegliamo l’origine della coordinata angolare in corrispondenza del punto pi` u vicino al centro della forza r(ϕ0 = 0) = rmin . Troviamo: Z r(ϕ) L dr q = ±ϕ . (9.1.34) (1d) rmin r2 2µ(E − Ep (r)) Per procedere conviene riscrivere l’espressione sotto radice nel seguente modo: 2µ(E − Ep(1d) (r)) = 2µE +

2µγ L2 µ2 γ 2 µ2 γ 2 2µγ L2 − 2 = 2µE + 2 − 2 + − 2 = C 2 − B(r)2 , r r L L r r

dove abbiamo definito: L µγ µr2 1d µ2 γ 2 = F (r) . C = 2µE + 2 ; B(r) = − L r L L 2

(9.1.35)

Notiamo che C 2 non è mai negativo in virt` u della condizione E ≥ Emin e indichiamo con C la sua radice positiva: s r 2 2 µγ µ|γ| 2EL2 C = 2µE + 2 = + 1 > 0. (9.1.36) L L µ γ2 (1d)

Inoltre, se r = rmin sappiamo che E = Ep e B(rmin ) = C (se E < 0 abbiamo anche il (1d) valore r = rmax al quale E = Ep , ma B(rmax ) = −C). Riscriviamo quindi (9.1.34) nella forma: Z r(ϕ) Z r(ϕ) L dr L dr r p = (9.1.37) 2 = ±ϕ . 2 C 2 − B(r)2 rmin rmin r C r2 1 − B(r) C Cambiamo ora variabile di integrazione a primo membro da r a Y (r) =

dY 1 dB L dr B(r) ⇒ dY = dr = dr = − , C dr C dr C r2

tenendo conto che, per quanto detto sopra, Y (rmin ) = 1: Z Y (r(ϕ)) dY √ = ∓ϕ . 1−Y2 1

(9.1.38)

(9.1.39)

Ci siamo ricondotti ad un integrale nella forma (5.6.17) che sappiamo si risolve in termini della funzione arcocoseno: −arccos(Y (r(ϕ))) + arccos(1) = −arccos(Y (r(ϕ))) = ∓ϕ .

(9.1.40)

Calcoliamo infine il coseno di ambo i membri ed usiamo la definizione di Y in funzione di r: s L2 2 L2 E γ Y (r) = cos(ϕ) ⇒ B(r) = C cos(ϕ) ⇒ − = 1+ cos(ϕ) , (9.1.41) µ |γ| r |γ| µγ 2

180


ove, nell’ultimo passaggio, abbiamo moltiplicato ambo i membri per L/(µγ). Abbiamo ricavato l’espressione di r(ϕ), ovvero l’equazione della traiettoria, come soluzione dell’equazione: d γ − = cos(ϕ) ⇒ r(ϕ) = r |γ| ove abbiamo definito: 2

d =

L = r∗ ; = µ |γ|

γ |γ|

s 1+

d , + cos(ϕ)

2 L2 E . µγ 2

(9.1.42)

(9.1.43)

L’equazione (9.1.42) descrive una conica in coordinate polari. A seconda del segno di γ, essa si scrive nei seguenti modi: caso attrattivo, γ > 0 caso repulsivo, γ < 0

d , 1 + cos(ϕ) d . r(ϕ) = −1 + cos(ϕ) r(ϕ) =

(9.1.44) (9.1.45)

Per conica si intende la curva che si ottiene intersecando nello spazio un cono con un piano. Se il piano è inclinato rispetto all’asse del cono di un angolo maggiore rispetto alla semiapertura del cono stesso, la figura risultante è una ellisse. Se l’inclinazione è uguale alla semiapertura si ottiene una parabola e se essa è minore della semiapertura la curva che ne risulta è una iperbole. Dalla geometria sappiamo che un modo per descrivere una conica è come luogo dei punti del piano per cui il rapporto tra le distanze da un punto dato O (detto fuoco) e da una retta data (detta direttrice) è costante. Indichiamo tale costante con il simbolo e sia d la distanza del fuoco dalla direttrice. Deriviamo dalla definizione di conica l’equazione che la descrive in coordinate polari. Consideriamo per il momento punti nello stesso semipiano del fuoco rispetto alla direttrice. Con riferimento alla Figura 9.5, se |P Q| è la distanza di un punto della conica dalla direttrice e |P O| quella dello stesso punto dal fuoco, scriviamo: P ∈ conica ⇔

|P O| = . |P Q|

(9.1.46)

Usiamo adesso le proprietà |P O| = r e |P Q| = d − |OP 0 | = d − r cos(ϕ) per riscrivere l’equazione della conica nella forma: r |P O| = = ⇔ |P Q| d − r cos(ϕ)

r(ϕ) =

d , 1 + cos(ϕ)

(9.1.47)

che è l’equazione (9.1.44) della traiettoria che abbiamo ricavato dalla dinamica nel caso attrattivo γ > 0. Con riferimento alla Figura 9.6, se > 1, la condizione (9.1.46) è anche soddisfatta da punti situati a destra della direttrice, ovvero nel semipiano non contenente O. In questo caso |P O| = r e |P Q| = |OP 0 | − d = r cos(ϕ) − d e la condizione (9.1.46) si scrive: |P O| r = = ⇔ |P Q| r cos(ϕ) − d

r(ϕ) =

d . −1 + cos(ϕ)

(9.1.48)


181

Figura 9.5: Conica in coordinate polari, fuoco interno.

Questa è l’equazione della traiettoria che troviamo nel caso repulsivo (9.1.45) e i punti che la soddisfano definiscono un ramo di iperbole di cui il centro O della forza occupa il fuoco esterno. Iniziamo con il considerare il caso attrattivo γ > 0 e distinguiamo i casi rilevanti. < 1. Dalla (9.1.43) risulta che questo caso corrisponde ad un valore negativo dell’ energia meccanica E < 0. Al variare di ϕ da −π a π r(ϕ) rimane sempre finito (orbita limitata) e varia da un valore minimo rmin = r(ϕ = 0) ad un valore massimo rmax = r(ϕ = π) dati da: rmin =

d d ; rmax = . 1+ 1−

(9.1.49)

Sostituendo il valore di dato nella (9.1.43) in funzione dei parametri del moto, è immediato verificare che i valori dati sopra coincidono con quelli ricavati dal grafico dell’energia (1d) potenziale Ep , eq. (9.1.24). La conica corrispondente è una ellissi con eccentricit` a , si veda Figura 9.7 (1). Il semiasse maggiore a è dato da a=

rmin + rmax d = . 2 1 − 2

(9.1.50)

182


Figura 9.6: Caso > 1, fuoco esterno.

Il semiasse minore b si può ottenere come il valore massimo dell’ordinata y dei punti sull’ellisse al variare di ϕ. Tale ordinata in funzione di ϕ vale: y(ϕ) = r(ϕ) sin(ϕ) =

d sin(ϕ) ⇔ 1 + cos(ϕ)

dy d = ( + cos(ϕ)) . dϕ (1 + cos(ϕ))2

(9.1.51)

La derivata di y rispetto a ϕ si annulla per ϕ = ±ϕ0 , per cui cos(ϕ0 ) = −, ed il valore massimo di y corrisponde a ϕ = ϕ0 > 0: d b = y(ϕ0 ) = √ . 1 − 2

(9.1.52)

Se E = Emin , = 0 mentre il prodotto d = r∗ rimane finito. L’equazione dell’ellisse di riduce a r(ϕ) = r∗ e corrisponde al cerchio. = 1. In questo caso che corrisponde al valore nullo dell’energia meccanica, E = 0, se ϕ → ±π, r → ∞. La traiettoria è parabolica, con una distanza minima data da rmin = r∗ /2, si veda Figura 9.7 (2).


183

Figura 9.7: Casi corrispondenti ad una forza attrattiva.

> 1. Questo caso corrisponde a E > 0. All’aumentare di ϕ in valore assoluto, il coseno al denominatore di r(ϕ) in (9.1.42) diminuisce ed r aumenta, fino a divergere quando ϕ = ±ϕ0 ove cos(ϕ0 ) = −1/. La traiettoria è quindi definita da −ϕ0 < ϕ < ϕ0 . Essa è un ramo di iperbole avente fuoco interno in O, ed i valori limite ±ϕ0 definiscono le pendenze degli asindoti si veda Figura 9.7 (3). L’apertura dell’iperbole si può misurare con l’angolo 2α tra gli asindoti, essendo α = π − ϕ0 e quindi cos(α) = 1/. Possiamo ora trattare anche il caso repulsivo γ < 0, in cui sappiamo che E può solo essere positivo e quindi > 1. La traiettoria è descritta dall’equazione (9.1.45) e, come accennato in precedenza, definisce il ramo di iperbole situato, con riferimento alla Figura 9.5, a destra della direttrice e che quindi ha il centro della forza nel fuoco esterno, si veda Figura 9.8. I valori positivi di r corrispondono adesso a valori dell’angolo ϕ definiti dalla condizione: cos(ϕ) >

1 ,

(9.1.53)

ovvero −ϕ0 < ϕ < ϕ0 ,

(9.1.54)

ove ϕ0 è sempre l’angolo positivo per cui cos(ϕ0 ) = 1/. La distanza minima raggiunta tra

184


Figura 9.8: Caso repulsivo.

le due particelle corrisponde, come sempre, a ϕ = 0 e vale rmin =

d γ d = 2 ( + 1) = − ( + 1) . ( − 1) ( − 1) 2E

La situazione fisica corrispondente è l’interazione tra due cariche dello stesso segno. Si consideri per esempio una carica positiva +q che viene sparata contro una carica positiva +Q molto pi` u pesante e ferma, che coincide con il centro O della forza, si veda Figura 9.9. La carica indicente si avvicinerà a +Q raggiungendo una distanza minima rmin per poi allontanarsi raggiungendo una direzione asintotica, molto dopo l’interazione, diversa da quella di incidenza. La traiettoria seguita è un ramo di iperbole rispetto al quale la carica +Q è localizzata nel fuoco esterno. L’effetto dell’interazione tra un istante iniziale in cui le due cariche sono ancora molto distanti per poter sentire la reciproca repulsione, ed un istante finale in cui le due paritcelle sono di nuovo molto distanti dopo aver interagito, è che la direzione di moto della carica +q si è modificata. Si dice che la carica +q è stata diffusa dalla carica +Q, detta centro di diffusione, di un angolo β, dato dall’angolo tra direzione di incidenza (direzione del moto nell’istante iniziale) e direzione finale. Questo angolo non è altro che l’angolo formato dai due asindoti dell’iperbole e vale β = π − 2ϕ0 , essendo 2ϕ0 l’apertura dell’iperbole. Pi` u intensa è l’interazione, maggiore sarà la deviazione β, minore l’apertura 2ϕ0 dell’iperbole. Vediamo pi` u un dettaglio da cosa dipende la forma


185

Figura 9.9: Diffusione.

dell’iperbole. Consideriamo tante cariche identiche +q che incidono sulla carica +Q con la stessa velocità iniziale ~vi . Nell’istante iniziale le particelle sono cos´ı lontane da +Q che possiamo trascurare il contributo dell’energia potenziale all’energia meccanica. Questa è quindi totalmente cinetica e dipende dal solo modulo di ~vi . Tutte le cariche +q indicenti hanno perciò la stessa energia meccanica E. Ciò che cambia da particella a particella è il parametro d’urto b, definito come la distanza di +Q dalla loro direzione di incidenza. Questo parametro determina il momento angolare. Infatti, essendo esso costante, possiamo calcolare → − L nell’istante iniziale: → − L = ~r × p~i ⇒ L = r|~pi | sin(θ) = |~pi | b , (9.1.55) ove θ è l’angolo tra ~r e p~i = µ ~vi . A parità di velocità iniziale vi , all’aumentare di b, aumenta L e quindi , diminuisce cos(ϕ0 ) = 1/ e quindi aumenta l’apertura 2ϕ0 dell’iperbole. Di conseguenza diminuisce l’angolo di deflessione β. Inoltre all’aumentare di L aumenta anche rmin , come si può facilmente verificare. Diminuendo invece b, si riduce L e la particella riesce

186


ad avvicinarsi di pi` u a +Q, subendo una deflessione β maggiore. Possiamo definire un valore minimo del parametro d’urto b0 tale che, se b > b0 , l’angolo di deflessione è trascurabile e si può pensare che l’interazione tra le due cariche non abbia avuto luogo. Se abbiamo un fascio di cariche +q incidenti con la stessa velocità iniziale, quelle che interagiranno in modo apprezzabile con +Q sono quelle deviate di un angolo β sensibilmente diverso di zero, ovvero che hanno b < b0 . La linea di indicenza di queste particelle intersecherà quindi un disco ideale di raggio b0 , perpendicolare alla direzione di incidenza e centrato sul centro di diffusione. L’area di questo disco π b20 è detta sezione d’urto e caratterizza il processo di interazione. Essa dipenderà anche dalla velocità iniziale in quanto, a parità di b, particelle pi` u veloci sono deviate di meno perché si avvicinano a +Q per meno tempo, ovvero il tempo di interazione è minore.

9.2

Le Leggi di Keplero

Consideriamo il moto dei pianeti intorno al sole e applichiamo ad esso l’analisi fatta nella sezione precedente. La traiettoria da essi descritta è una ellisse di cui il sole (centro della forza gravitazionale agente si di essi) occupa uno dei fuochi. Vogliamo ora determinare le caratteristiche di queste orbite in funzione dei parametri del moto. I semiassi maggiore e minore vagono: L γ ; b= √ . (9.2.1) a=− 2E −2µE L’area A racchiusa dall’ellisse vale: A = π ab = p

πLγ −8 µ E 3

.

(9.2.2)

Da questo valore possiamo ricavare il periodo T di rivoluzione del pianeta, utilizzando la costanza della velocità areolare. Prendiamo un intervallo di tempo infinitesimo tra t e t + dt dt. durante il moto di rivoluzione. Il raggio vettore avrà coperto un’area infinitesima dA = dA dt Integrando ambo i membri da t = 0 al periodo T del moto, l’area spazzata dal raggio vettore sarà l’area A racchiusa dall’orbita, per cui avremo r Z A Z T dA dA L 2µA µ A= dA = dt = T = T ⇒ T = = πγ − . (9.2.3) dt dt 2µ L 2 E3 0 0 Calcoliamo adesso il rapporto a3 /T 2 : a3 γ3 2 E3 γ G(m1 + m2 ) = − − = = , T2 8E 3 π2γ 2µ 4 π2 µ 4π 2

(9.2.4)

ove abbiamo usato che γ = Gm1 m2 . Se la particella 1 è il sole e la particella 2 il pianeta, abbiamo che m1 = Ms m2 ed il rapporto diventa a3 GMs = . 2 T 4π 2

(9.2.5)

9.2. LE LEGGI DI KEPLERO

187

Si osservi che questo rapporto non dipende dal pianeta. Questo fu osservato per la prima volta da Keplero ed è il contenuto della sua terza legge. Riassumiamo quanto abbiamo imparato sul moto dei pianeti intorno al sole attraverso le tre leggi di Keplero: Prima legge: i pianeti descrivono orbite ellittiche di cui il sole occupa uno dei fuochi; Seconda legge: il raggio vettore che definisce la posizione del pianeta intorno al sole spazza aree uguali in tempi uguali (costanza della velocità areolare); Terza legge: Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dell’orbita ellittica ed il quadrato del periodo del moto di rivoluzione non dipende dal pianeta. L’eccentricità dell’orbita della terra è di ≈ 0.017. Questo vuol dire che il rapporto tra il semiasse minore e maggiore vale: b √ = 1 − 2 ≈ 1 , a

(9.2.6)

ovvero l’orbita terrestre è ben approssimata da un cerchio di raggio R ∼ a ∼ b ≈ 1.5 × 108 Km. Ad avere eccentricità maggiore nel nostro sistema solare sono Mercurio con ≈ 0.21 e Plutone con ≈ 0.25. Per essi il rapporto b/a vale rispettivamente 0.98 e 0.97. Possiamo comunque dire che le orbite dei pianeti sono ben approssimabili con orbite circolari. Se indichiamo con Rorb ≈ a la distanza media del pianeta dal sole (raggio della circonferenza che approssima l’orbita) e v la velocità media, possiamo scrivere, approssimando il moto con un moto circolare uniforme: v=

2π a 4π 2 a3 G Ms a2 2π Rorb = ⇒ v 2 = 4π 2 2 = = , 2 T T T a T a

(9.2.7)

ove abbiamo usato la terza legge di Keplero. Vediamo che i pianeti che orbitano pi` u vicini al sole (come Mercurio) si muovono con velocità maggiore di quelli pi` u lontani.

188


Capitolo 10 Meccanica dei Fluidi In meccanica è di solito fatta distinzione tra i due stati di materia: solidi e liquidi. La prima categoria comprende i corpi rigidi e i materiali elastici, mentre la seconda comprende sia sostanze gassose che liquide. I fluidi, al contrario dei solidi, sono caratterizzati da forze di coesione molto pi` u deboli tra le loro componenti (molecole), che consentono loro di fluire Come conseguenza di ciò, le sostanze fluide non hanno una forma precisa, ma di solito si adattano alla forma del recipiente che li contiene. Un altro modo di caratterizzare la differenza tra i solidi e liquidi è di dire che la distanza tra due punti qualsiasi in un solido è o costante (corpi rigidi) o che può variare in un intervallo limitato (materiali elastici), mentre la distanza tra due punti all’interno di un fluido può variare indefinitamente col tempo. Le sostanze liquide sono ulteriormente distinti dai gas dalla proprietà di essere incompressibili, vale a dire il loro volume non può essere modificato da qualsiasi azione esterna. Inoltre la loro densità è approssimamente uniforme. Questo non è vero per le sostanze gassose che possono essere compresse da sollecitazioni esterne e tendono ad espandersi fino a riempire il recipiente chiuso in cui sono contenute. Questo comportamento è dovuto alle frequenti collisioni che avvengono tra le molecole all’interno di un gas. La densità dei gas in genere varia da punto a punto e dipende sia dalla pressione che dalla temperatura. Se siamo interessati a studiare il comportamento meccanico di liquidi e gas, e cioè le leggi che governano il loro moto, le loro caratteristiche distintive non sono rilevanti, mentre occorre prendere in considerazione solo le proprietà li accomunano come fluidi.

10.1

Forze esterne sui fluidi e statica dei fluidi

Il concetto idealizzato di forza applicata in un certo punto è stato particolarmente utile quando abbiamo studiato il moto di solidi. Se si spinge una palla da golf con la punta di un ago, la forza applicata al punto di contatto è trasferita alla restante parte della palla provocandone il moto. In effetti la descrizione di un’azione esterna su un corpo solido, in termini di un sistema di forze applicate su diversi punti di esso, semplifica la descrizione del suo moto, perché ciò rende pi` u semplice calcolare la forza risultante, il momento delle forze rispetto a un punto, ecc. Se si tenta di applicare la stessa azione di un ago su un fluido, l’ago entra in esso, 189

190

CAPITOLO 10. MECCANICA DEI FLUIDI

provocando una deformazione localizzata, senza farlo muovere nel suo complesso. In altre parole, il fluido non può sostenere una tale azione. Se, d’altro canto, tiriamo un sacchetto contenente acqua, l’acqua si muoverà sotto l’effetto delle forze che il sacchetto esercita sull’ acqua che possono essere pensate distribuite sulla superficie di contatto dell’acqua con la borsa. Le sollecitazioni esterne che possano agire sullo stato di moto di un fluido sono tipicamente descritte da una forza distribuita con continuità su una porzione estesa della superficie che lo racchiude. Se il fluido è a riposo, le sollecitazioni sono descritte da forze che sono perpendicolari alla superficie che lo racchiude. Infatti le forze tangenziali causerebbero uno slittamento degli strati del fluido, uno rispetto all’altro, in modo da determinare un moto del fluido che non ` utile, per descrivere questa situazione, introdurre il è osservato quando esso è a riposo. E concetto di pressione che è grosso modo definito come la misura della forza normale (i.e. perpendicolare alla superficie) per unità di superficie su cui agisce. Consideriamo la borsa riempita di acqua (ved. Fig. 10.1).

Figura 10.1:

L’acqua sarà soggetta ad una forza esercitata dal sacchetto sulla superficie di contatto e reagirà con una forza verso l’esterno applicata alla superficie della borsa. Sia l’acqua a riposo e prendiamo in considerazione un elemento ∆S della superficie di contatto. Supponiamo che ∆S sia sufficientemente piccolo da essere approssimativamente piatto. Sia ~n il vettore unità normale a ∆S e rivolto verso l’esterno. Su ogni punto di ∆S sarà applicata una forza verso l’esterno del contenitore. Tutte −−→ queste forze sono normali a ∆S e, pertanto, sono dirette lungo ~(n). Sia ∆F = ∆F ~n la loro risultante, vale a dire la forza esercitata dal fluido contro la superficie ∆S del contenitore. Al diminuire dell’estensione di ∆S il rapporto ∆F/∆S in generale cambierà, in quanto l’intensità della forza che agisce su ciascun punto di ∆S non è uniforme. Al limite ∆S → 0,

10.1. FORZE ESTERNE SUI FLUIDI E STATICA DEI FLUIDI

191

in cui ∆S si riduce ad un punto P interno ad esso, il rapporto ∆F/∆S tenderà ad un valore che useremo per caratterizzare l’azione del fluido nel punto P sul contenitore e che chiameremo pressione p del fluido in P . In pratica, per calcolare la pressione in P , possiamo misurare il rapporto dF/dS per un elemento di superficie dS, abbastanza piccolo che le forze possano essere considerate uniformemente distribuite su di esso, essendo dF la loro risultante: p =

dF ∆F = . δS→0 ∆S dS lim

(10.1.1)

La pressione ha la dimensione di una forza divisa per una superficie, e quindi, nel sistema MKSA, viene misurata in unità N/m2 detta Pascal. Ricordiamo ora la definizione di densità di ρ. Essa misura la massa di un corpo, che può essere solido o fluido, per unità di volume e descrive come la materia è distribuita al suo interno. Si tratta di una quantità scalare, definita in ogni punto all’interno dell’oggetto e che può essere calcolata, in un punto P , prendendo un elemento di volume ∆V intorno a P e quindi misurando il valore limite del rapporto ∆m/∆V , dove ∆m è la massa contenuta all’interno di ∆V , mentre riduciamo gradualmente ∆V fino al punto P , vale a dire calcolando il limite ∆V → 0. In pratica, può essere misurata prendendo l’elemento di volume ∆V = dV abbastanza piccolo da poter considerare la massa distribuita in modo uniforme all’interno di esso e poi calcolando il rapporto dm/dV , dm essendo la massa contenuta all’interno di dV ρ =

dm ∆m = . ∆V →0 ∆V dV lim

(10.1.2)

La densità ha la dimensione di una massa divisa per un volume e pertanto è misurata, nel ` importante notare che stiamo sempre considerando sistema MKSA , in unità di Kg/m3 . E distribuzioni continue di materia e la materia appare continua solo se vista a scale di lunghezza molto pi` u grandi rispetto alla distanza media tra molecole o atomi all’interno di essa, vale a dire a scala macroscopica in cui si può ignorare la sua struttura microscopica discreta. Per questo motivo, dobbiamo sempre pensare gli elementi infinitesimi di superficie o di volume dS o dV come aventi dimensioni piccole ma ancora macroscopiche, e cioè contenenti un numero sufficientemente elevato di molecole in modo che si possa considerarle come continuamente distribuite all’interno della materia. La densità di un fluidoin generale dipende dalla sua temperatura T e dalla pressione esterna a cui è soggetto. Per quanto riguarda i liquidi, tuttavia, ρ risulta variare molto poco, quando la temperatura e la pressione esterna variano in un ampio intervallo di valori, e quindi può essere considerata, in una buona approssimazione per tutti i nostri scopi, come indipendente di tali quantità. Questo non è nel caso dei gas, la cui densità è, in generale, sensibile sia alla temperatura che alla pressione. Ad esempio, la densità dell’aria (a T = O o C) è 1.293 Kg/m3 mentre la densità dell’acqua è 103 Kg/m3 = 1Kg/litro.

192

10.2


Equilibrio di un fluido

Si può caratterizzare l’equilibrio di un fluido, come lo stato in cui o tutte le sue parti sono a riposo oppure esse non hanno alcun moto rispetto l’una rispetto all’altra. Nel primo caso, nessun elemento del fluido possiede alcuna accelerazione, e quindi la forza totale che agisce su di esso è nulla. Nel secondo caso le varie parti del liquido possono avere un moto globale, con una accelerazione non nulla. Quest’ultima situazione è realizzata, ad esempio, se si mescola l’acqua in un bicchiere con un piccolo cucchiaio, in modo da produrre un moto stazionario del fluido in cui tutti i suoi elementi descrivono un moto circolare uniforme con la stessa velocità angolare. Limitiamoci per ora alla prima caratterizzazione di equilibrio e consideriamo un fluido a riposo sulla superficie della terra. Ogni elemento di volume del fluido sarà a riposo e ` conveniente fissare un sistema di quindi non vi è una forza risultante agente su di esso. E coordinate uni-dimensionale in cui l’asse Z è verticale, orientato verso l’alto, e la cui origine O si trova sulla superficie della terra, in modo che un valore positivo della coordinata z misura l’altezza di un punto al di sopra della superficie della terra (ved. Fig. 10.2). Prendiamo

Figura 10.2:

in considerazione un elemento di volume rappresentato da un disco sottile, situato ad una altitudine z > 0, con spessore dz, e le cui facce, di area A, sono parallele alla superficie della terra. Valutiamo prima le forze che agiscono sul disco e quindi imponiamo la condizione di equilibrio richiedendo che la forza totale sia pari a zero. La massa del disco è dm = ρ A dz, dove la densità ρ in generale dipenderà dal punto all’interno del fluido. A causa della simmetria del sistema, il fluido sembra lo stesso da qualsiasi punto su un piano orizzontale, e quindi la densità dipenderà solo dalla coordinata z: ρ = ρ(z).

10.2. EQUILIBRIO DI UN FLUIDO

193

→ − Il peso del disco è F W = −dmg ~u = −ρ A g dz ~u, ove ~u è il versore del nostro asse. → − Oltre alla forza gravitazionale F W che è una forza di volume che agisce sul centro di massa dell’elemento fluido, il disco è soggetto all’azione del fluido circostante, descritta da una certa pressione esercitata sulla sua superficie. Osserviamo che non vi è una forza totale dovuta alla pressione sulla superficie laterale del disco, dal momento che una forza orizzontale risultante non nulla dovrebbe causare il movimento del sul piano orizzontale, mentre in una situazione di equilibrio questo movimento non avviene. In realtà, in virt` u della simmetria del sistema, le forse sul volumetto appariranno esattamente le stesse se lo ruotiamo rispetto al proprio asse. Pertanto, la forza che agisce su un punto qualsiasi sulla sua superficie laterale è esattamente compensata dalla forza che agisce sul punto diametralmente opposto. Consideriamo ora la forza risultante che agisce nella direzione verticale. Il fluido al di sopra del disco eserciterà una pressione p(z + dz) = p + dp sulla → − sua faccia superiore, a causa di una forza diretta verso il basso F + che è uniformemente distribuiti sulla faccia superiore ed ortogonale ad essa. Dalla definizione (10.1.1) siamo in grado → − di esprimere questa forza in termini della corrispondente pressione: F + = −(p + dp) A ~u. Il fluido al di sotto del disco eserciterà una pressione p = p(z) su di esso la cui risultante è una → − forza verso l’alto F − = p A ~u. Le forze verticali agenti sul centro di massa del disco sono → − → − → − perciò F W , F + , F − . Il disco rimarrà fermo se la loro risultante sarà nulla: → − → − → − 0 = F W + F + + F − = −(ρ A g dz + (p + dp) A − p A)~u = −(ρ A g dz + dp A)~u . (10.2.1) Dividendo entrambi i membri di questa equazione per dz, otteniamo l’equazione dell’equilibrio. dp = −g ρ(z) . (10.2.2) dz Questa è l’equazione principale che governa la statica dei fluidi. Si tratta di un equazione differenziale che descrive come la pressione deve essere distribuita all’interno di un fluido, soggetto alla forza gravitazionale sulla superficie della terra, in modo che esso sia a riposo. La soluzione p(z) dell’ eq. (10.2.2) dipende dal modo in cui la densità ρ(z) varia con z. Supponiamo di conoscere ρ(z) e la pressione in un punto P0 ad una data di altezza z0 (p(z0 ) = p0 ). Usando l’ equazione (10.2.2) siamo in grado di determinare la pressione p in ogni punto P del fluido. Supponiamo che P sia situato ad una altezza z, sulla stessa linea verticale di P0 . Dividiamo il segmento verticale P0 P in un numero infinito di spostamenti infinitesimi dz, in cui ρ può essere considerato uniforme. La differenza di pressione tra P0 and P può essere espressa come la somma delle variazioni infinitesime dp di p in ciascun intervallo, le quali, a loro volta. sono espresse in termini della densità mediante l’equazione (10.2.2): Z p Z z p(z) − p0 = dp = −g ρ(z 0 ) dz 0 . (10.2.3) p0

z0

Se il punto P non si trova sulla stessa linea verticale di P0 i due punti possono essere congiunti da una successione di segmenti infinitesimi orizzontali e verticali ed quindi si potrà

194


esprimere p−p0 come l’integrante sulle variazioni dp lungo ogni spostamento (ved Fig. 10.3). Dal momento che p dipende solo z, la sua variazione lungo i segmenti orizzontali sarà pari

Figura 10.3:

a zero, e quindi l’integrale ha contributi non nulli solo dagli spostamenti verticali, ossia si riduce all’integrale (10.2.3) nella sola variabile z. Si noti che la differenza di pressione tra due punti non dipende dall’effettiva quantità di fluido tra i due punti, né dipende dalla forma del contenitore, ma solo dalla distribuzione di densità e dalla loro altezza. Esprimiamo la soluzione di (10.2.3) in qualche situazione specifica in cui ρ(z) ha una forma particolare. Ogni strato di liquido è sottoposto a una pressione dovuta al peso del liquido sovrastante. Pertanto ci aspettiamo che gli strati piu bassi siano pi` u compressi, e quindi avere una maggiore densità di ρ(z). I liquidi tuttavia, come già sottolineato, sono caratterizzati dall’ essere incompressibili, vale a dire la loro densità non è apprezzabilmente influenzata dalle variazioni della pressione esterna a cui sono soggetti. Per questo motivo possiamo assumere, in una buona approssimazione, che la densità di un liquido è indipendente dall’altezza ρ(z) ≡ ρ. In questo caso l’equazione (10.2.3) ha la semplice forma p(z) = p0 − g (z − z0 ) .

(10.2.4)

Se abbiamo un liquido contenuto in un recipiente, si può prendere il livello di riferimento z0 in corrispondenza alla sua superficie libera che lo separa dall’aria sovrastante. La corrispondente pressione di riferimento p0 sarà la pressione dell’aria e l’equazione (10.2.4) esprime la pressione all’interno del liquido in funzione della profondità (z −z0 ) del punto dalla superficie libera. Come abbiamo già sottolineato, i gas differiscono dai liquidi in quanto non sono incompressibili, vale a dire la loro densità dipende dalla pressione esterna. Ci aspettiamo che per il gas sulla superficie della terra, come per l’aria nell’atmosfera, ρ dipenderà da z.


195

Tuttavia, poiché la densità del gas è in generale molto pi` u piccola della densità dei liquidi, la sua variazione con l’altezza è apprezzabile solo su scala relativamente larga. Esempio 1 Se noi supponiamo che la temperatura sia uniforme nell’ atmosfera, che è un’assunzione fortemente semplificativa, la densità dell’aria può essere ritenuta, in buona approssimazione, proporzionale alla pressione. Ciò significa che, se la densità e la pressione a un certo livello di riferimento z0 hanno valori ρ0 , p0 rispettivamente, i loro valori ad una generica altezza z sono legati come segue: ρ =

ρ0 p. p0

(10.2.5)

Sostituendo tale valore nella equazione (10.2.2) troviamo la seguente equazione differenziale ρ0 dp = − g p. (10.2.6) dz p0 L’equazione è risolta moltiplicando entrambi i membri per dz/p e ricordando che d(log(p)) = dp/p ρ0 d(log(p)) = − g dz . (10.2.7) p0 Integriamo entrambi i membri da z0 a z Z z Z log(p) ρ0 ρ0 0 0 log(p) − log(p0 ) = d(log(p )) = − g dz = − g (z − z0 )(10.2.8) . p0 p0 z0 log(p0 ) Esponenziando entrambi i membri della equazione precedente arriviamo finalmente alla seguente funzione per la pressione in funzione dell’altezza p(z) = p0 e−k (z−z0 ) ; k = g

ρ0 . p0

(10.2.9)

` conveniente scegliere come livello di riferimento il livello del mare z0 = 0. A questo E livello la densità e la pressione dell’aria sono circa ρ0 ∼ 1.2 Kg/m3 and p0 ∼ 1.01 105 N/m2 . Prendendo g = 9.8 m/sec2 , troviamo k ∼ 1.16 10−4 m−1 . Si vuol tracciare la pressione in funzione della altezza/profondità sopra e sotto il livello del mare. Ricordiamo che al di sotto del livello del mare la pressione dipende linearmente da z < 0, come descritto dalla equazione (10.2.4) con z0 = 0. Il comportamento esponenziale di p(z) per z > 0 deve essere raccordato al comportamento lineare per z < 0, richiedendo la continuità della funzione globale p(z) in z = 0. Lo studente è invitato a tracciare questo grafico. Esempio 2 Si consideri il contenitore in Fig. 10.4. I punti P1 e P2 sono nello stesso liquido con densità ρ, allo stesso livello z. Possiamo convincerci che la pressione in P1 and P2 è la stessa. Infatti si può prendere un punto di riferimento A all’interno del liquido ad

196


Figura 10.4:

un livello z0 < z, e risolvere l’equazione (10.2.2) lungo le curve (1) e (2) che collegano A a P1 e P2 rispettivamente. Troviamo la stessa soluzione (10.2.4) per la pressione p = p(z) nei due punti. Tuttavia, sebbene il punto P3 nel tubo di destra è allo stesso livello di P1 e P2 , esso è contenuto all’interno di un fluido diverso con densità ρ0 6= ρ. La pressione in P3 , p0 (z) = p(P3 ), è ottenuta risolvendo prima l’equazione (10.2.2), con densità uniforme ρ lungo il percorso (3) fino a z = L1 , e poi, prendendo come livello di riferimento L1 , risolvendo (10.2.2) all’interno del liquido con densità uniforme ρ0 fino a P3 p(L1 ) = p0 − g ρ (L1 − z0 ) ; p0 (z) = p(P3 ) = p(L1 ) − g ρ0 (z − L1 ) = = p0 − g ρ0 (z − L1 ) − g ρ(L1 − z0 ) . (10.2.10) Vediamo che p(z) 6= p0 (z). Un’ altra caratteristica di un liquido in stato di riposo è che tutte le sue superfici libere che vengono a contatto con l’atmosfera si trovano allo stesso livello. Infatti, la pressione su S1 e S2 coincide con quella dell’atmosfera pA . Pertanto, usando ` utile esprimere il (10.2.3), il loro livello è lo stesso ed è dato da L = z0 − (pA − p0 )/(g ρ). E rapporto tra le due densità in termini di livelli delle superfici libere S1 , S2 ed S3 , osservando che su S3 la pressione è pA . Se scriviamo equazione (10.2.10) prendendo P3 su S3 , ossia z = L1 + L2 and p0 (z) = pA troviamo pA = p0 − g ρ0 L2 − g ρ(L1 − z0 ) .

(10.2.11)

Confrontando questa relazione con pA = p0 − g ρ (L − z0 ) troviamo L − L1 ρ0 = . ρ L2

(10.2.12)


197

Si noti che se S3 è al di sopra del livello di S1 and S2 , come in Fig. 10.4, allora L − L1 < L2 e questo si verifica se ρ0 < ρ. Se, invece, ρ0 > ρ, avremmo L − L1 > L2 e la superficie libera del liquido con densità ρ0 sarebbe al di sotto del livello di S1 e S2 . Siamo in grado di comprendere questo risultato in un modo pi` u intuitivo. Si consideri la pressione in un punto situato all’interno del tubo di sinistra al livello L1 e in un punto situato all’interno del tubo di destra, sull’interfaccia tra i due liquidi. Poiché i due punti appartengono allo stesso liquido e si trovano allo stesso livello, i due valori della pressione saranno uguali. Dal momento che la pressione su S1 e S3 è anche la stessa, ne consegue che la colonna di altezza L − L1 , e base S1 , contenente il liquido di densità di ρ, deve avere lo stesso peso, per unità di superficie di base, della la colonna di altezza L2 e superficie di base S3 contenente il liquido di densità di ρ0 . Eguagliando i due pesi per unità di superficie si ottiene l’eq.(10.2.12). Come precedentemente sottolineato, l’equazione (10.2.2), o equivalentemente (10.2.3), implica che, in un fluido a riposo, la differenza di pressione tra due punti al suo interno dipende solo dalla loro posizione relativa e dalla distribuzione di materia (descritta dalla funzione densità). Se il fluido è incompressibile, una variazione della pressione in un punto, non potendo modificare ρ, indurrebbe un nuovo stato di equilibrio in cui la pressione varia della stessa quantità in qualsiasi altro punto all’interno del fluido, in modo che la differenza di pressione rimanga costante all’interno del volume. Si consideri ad esempio un liquido contenuto all’interno di un contenitore a forma cilindrica, chiuso nella parte superiore da un pistone. Per mezzo del pistone, è possibile variare la pressione esercitata sulla superficie superiore del fluido. Se mettiamo un peso sul pistone, la pressione sul liquido aumenterà di una certa quantità. Il liquido si porterà, quasi istantaneamente, ad un nuovo stato di equilibrio in cui il pressione in un punto qualsiasi del suo volume e sulla superficie interna del contenitore aumenterà della stessa quantità. Lo stesso accade per un fluido comprimibile, come un gas. In questo caso una variazione della pressione esterna induce una variazione di densità locale (per esempio nella regione vicino al pistone), che rappresenta un perturbazione dello stato di equilibrio del fluido. Questa perturbazione si propaga, dalla regione in cui è prodotta, a tutto il fluido come un’onda, con la velocità data dalla velocità del suono nel fluido. Dopo qualche tempo la variazione di pressione e la densità sarà trasmessa al resto del fluido determinando un nuovo stato di equilibrio in cui la pressione in tutti i i punti all’interno del liquido e sulla superficie interna del contenitore, cambierà della stessa quantità. In questo caso, tuttavia, la funzione densità nel nuovo stato di equilibrio non sarà costante. Questo risultato è formulato nel seguente principio, detto principio di Pascal essendo dovuto allo scienziato francese Blaise Pascal (1623-1662): La pressione applicata ad un fluido chiuso è trasmessa intatta in ogni porzione del fluido e sulle pareti del contenitore. Dalle leggi che regolano la statica del fluido si può dedurre anche il principio di Archimede: Un corpo, parzialmente o totalmente immerso in un fluido, è soggetto ad una forza verso l’alto, uguale in grandezza al peso del fluido spostato dal corpo. Se un oggetto è immerso in un fluido, ad esempio l’acqua, esso subirà una pressione sulla sua superficie esposta al fluido, da parte del fluido circostante. Si consideri un corpo che è totalmente o parzialmente immerso in un fluido. La pressione esercitata dal fluido circostante sulla parte immersa S della sua superficie, non dipende dal materiale di cui l’oggetto è fatto,

198


Figura 10.5:

ma solo dal volume V della sua parte immersa e dalla sua forma. Possiamo prendere in considerazione una porzione del liquido racchiuso nella stessa superficie S, e quindi avente volume V , che rappresenta la quantità di fluido spostato quando l’oggetto fu immerso. Questa porzione di liquido sarà fermo, in equilibrio statico con il fluido circostante, perché sarebbe come tracciare una superficie immaginaria, avente la forma del contorno del corpo, → − all’interno del fluido fermo. Pertanto, la forza risultante F B , dovuta alla pressione del fluido → − (f ) circostante sul volume V di fluido è compensata dal suo peso F W = −g ρf V ~u, dove ρf è la densità (media) del fluido in V . → − → − (f ) F B = − F W = g ρf V ~u .

(10.2.13)

Questa è la stessa forza, detta forza di Archimede, che agisce sulla parte immersa dell’ oggetto, dovuta al fluido circostante. Essa è uguale in intensità al peso del fluido spostato. Se il corpo ha densità media densità ρ e volume totale Vtot , la forza risultante che agisce su di esso è → − → − → − F = F B + F W = g (ρf V − ρ Vtot ) ~u .

(10.2.14)

Se ρ < ρf , come nel caso di ghiaccio immerso in acqua, (ρ = 0.92 103 Kg/m3 , ρf = 1 103 Kg/m3 ), il volume V della parte immersa dell’oggetto, all’equilibrio dovrebbe essere

10.3. MISURA DELLA PRESSIONE

199

→ − tale che F = 0, cioè si dovrebbe avere che V ρ = . Vtot ρf

(10.2.15)

Se ρ > ρf , questo equilibrio non sarà mai raggiunto essendo V ≤ Vtot e l’oggetto affonderebbe raggiungendo il fondo del fluido. Esercizio 7.1 Si consideri un palloncino riempito di elio (densità ρHe = 0.1785 Kg/m3 ), che galleggia contro il tetto di un autobus in movimento a velocità costante. Il palloncino è cos`ı leggero che si può trascurare la forza gravitazionale su di esso ed, inoltre, consideriamo anche trascurabile la forza di attrito del soffitto sul pallone. Ad un tratto l’autobus si ferma. Il palloncino si sposterà in avanti o all’indietro? Solutione: Rispetto ad un osservatore all’interno del bus, durante la fase di decelerazione, ogni oggetto è soggetto ad una accelerazione in avanti ~a, e quindi il palloncino subirà una → − forza F = ρHe V ~a, V essendo il suo volume. La forza di Archimede sul palloncino è uguale → − ed opposta alla forza che agirebbe sul palloncino se fosse riempito con aria F B = −ρaria V ~a. → − → − La forza totale sul palloncino è quindi F + F B = (ρHe − ρaria ) V ~a. Essendo ρHe < ρaria , il palloncino si muoverà all’indietro.

10.3

Misura della pressione

Lo strumento originariamente utilizzato per la misurazione della la pressione atmosferica è il barometro a mercurio, ideato nel 1645 da Evangelista Torricelli (1608-1647) . Esso può essere costruito riempendo una provetta di vetro, chiusa ad una estremità, con il mercurio e poi capovolgendola in un contenitore aperto riempito anch’esso con mercurio. Lo spazio al di sopra della colonna di mercurio contiene solo vapore di mercurio la cui pressione è trascurabile. Il mercurio è soggetto alla pressione atmosferica pA sulla sua superficie libera, la quale è esposta all’aria. Si raggiunge l’equilibrio tra il peso della colonna di mercurio e la forza verso il basso da parte dell’atmosfera sul mercurio nel serbatoio. In questo stato l’altezza h della colonna dipende da pA secondo l’equazione (10.2.3) pA = g ρ h ,

(10.3.1)

dove ρ = 13.6 103 Kg/m3 è la densità del mercurio. Possiamo pensare pA , in un punto della superficie della terra, come il peso per unità di superficie della colonna d’aria che si estende dal punto alla fine dell’atmosfera. La quantità di aria in questa colonna non è costante, poiché l’aria nell’ atmosfera è in continuo movimento. Come conseguenza di ciò, l’altezza della colonna di mercurio varia da un giorno all’altro, come osservato da Torricelli. Tuttavia, al livello del mare l’altezza media della colonna di mercurio è di circa 76 cm. Un’ atmosfera standard (atm) è definita come la pressione corrispondente ad una colonna di mercurio alta proprio 76 cm alla temperatura di 0 o C: 1 atm = 1.013 105 N/m2 .

(10.3.2)

200


Esercizio 7.2 Determinare l’altezza di una colonna d’acqua che riproduce la pressione atmosferica pA . Solutione.h = 10.34 m Il manometro Un manometro è un dispositivo per determinare le differenze di pressione, mediante la misurazione delle altezza di colonne di un fluido. Fig. 10.6 rappresenta un

Figura 10.6:

particolare manometro che consiste di un tubo ad U contenente aria, con densità ρaria , e un fluido con densità ρ. Questo strumento consente di determinare la differenza pA − pB della pressione dell’aria nei punti A and B, mediante le differenze di altezza h3 − h1 tra le colonne di liquido nei due tubi verticali. Applichiamo l’ equazione (10.2.3) nelle due colonne del tubo ad U e assumiamo come livello di riferimento quello di un punto O nella parte inferiore dell’apparecchio. Troviamo pA = pO − g ρaria (h2 − h1 ) − g ρ h1 , pB = pO − g ρaria (h2 − h3 ) − g ρ h3 , . Calcolando la differenza tra le precedenti equazioni si arriva alla seguente relazione pA − pB = −g (ρaria − ρ) (h3 − h1 ) .

(10.3.3)

If ρaria ρ, equazione (10.3.3) si semplifica in pA − pB = g ρ (h3 − h1 ) .

(10.3.4)

10.3. MISURA DELLA PRESSIONE

201

Esempio 3 Discutiamo un esempio di fluido in equilibrio le cui parti sono soggette a una accelerazione, anche se non si muovono l’una rispetto all’altra. Prendiamo in considerazione un contenitore cilindrico, riempito con un liquido, che è fatto ruotare intorno al proprio asse con una velocità angolare costante ω. All’equilibrio il fluido avrà un moto rotatorio di insieme solidale con il contenitore, e ogni elemento di volume al suo interno descriverà un ` utile introdurre un sistema di coordinate moto circolare uniforme con velocità angolare ω. E cilindrico, definito nel capitolo 2, con l’asse Z coincidente con l’asse di simmetria del contenitore (ved. Fig. 10.7). Dobbiamo studiare le forze che agiscono all’equilibrio, su un elemento

Figura 10.7:

di volume dV , definito nel sistema di coordinate cilindriche, in equazione (2.2.14). Ci sono → − due forze di volume che agiscono sul centro di massa di dV : il peso F W = −g ρ dV ~uz e la → − forza centripeta F c = −ω 2 r ρ dV ~ur . Inoltre abbiamo la pressione esercitata dal fluido che circonda il dV . Il sistema è simmetrico se ruotato rispetto all’asse Z, ovvero se si varia φ. Pertanto ci aspettiamo che la pressione dipenda da r e z, ma non da φ: p = p(r, z). Poiché non vi non è accelerazione nella direzione ~uφ , le pressioni sulle due facce verticali a φ and φ + dφ si compenseranno a vicenda. Consideriamo la forza risultante dovuta alla pressione nella direzione radiale. Le due facce, che sono perpendicolari a ~ur nelle posizioni r e r + dr (tutte le altre coordinate essendo le stesse), hanno area dS = r dz dφ, in modo che la forza lungo la direzione radiale è la somma della forza verso l’esterno a causa della pressione che agisce sulla faccia in r e la forza verso l’interno agente sulla faccia in r + dr ∂p ∂p → − F r = (p(r, z) − p(r + dr, z)) dS~ur = − dr dS ~ur = − dV ~ur , ∂r ∂r dove è stata usata la definizione di derivata parziale lungo r:

(10.3.5)

∂p p(r + ∆r, z) − p(r, z) p(r + dr, z) − p(r, z) = lim = , (10.3.6) ∆r→0 ∂r ∆r dr la quale è calcolata derivando p(r, z) rispetto ad r e trattando z come una costante. All’e→ − quilibrio F r fornirà la forza centripeta su dV : ∂p → − → − Fr = Fc ⇒ = ω2 r ρ . ∂r

(10.3.7)

202


Possiamo integrare la precedente equazione, usando il fatto che ρ = const, da r = 0 to r, per trovare: Z r 1 ω 2 r ρ dr = p(0, z) + ω 2 r2 ρ . p(r, z) = p(0, z) + (10.3.8) 2 0 Abbiamo ancora bisogno di determinare la dipendenza di p da z. A questo scopo scriviamo → − la condizione di equilibrio lungo la direzione Z. La forza risultante F z dovuta alla pressione sulle facce dSz of dV che sono perpendicolari all’asse Z, e poste rispettivamente in z e z+dz, è la somma della forza p(r, z) dSz ~uz esercitata sulla faccia inferiore e la forza −p(r, z+dz) dSz ~uz esercitata sulla faccia superiore ∂p ∂p → − F z = (p(r, z) − p(r, z + dz)) dSz ~uz = − dz dSz ~uz = − dV ~uz , ∂z ∂z

(10.3.9)

dove abbiamo usato le proprietà: dSz = r dr dφ e dV = dSz dz. Non essendoci accelerazione → − → − nella direzione Z , F z deve compensare il peso F W of dV : ∂p → − → − = −g ρ , F z = −F W ⇒ ∂z

(10.3.10)

che è l’equazione (10.2.2) che governa la dipendenza di p da z. Se z0 indica il livello pi` u basso della superficie libera del liquido, integrando (10.3.10) utilizzando z0 come livello di riferimento p(r, z) = p(r, z0 ) − g ρ (z − z0 ) .

(10.3.11)

Possiamo usare l’equazione precedente per esprimere p(0, z) in (10.3.8) mediante la pressione in p(0, z0 ) che è pari a pA essendo il punto r = 0, z = z0 sulla superficie libera del liquido: Z r 1 ω 2 r ρ dr = pA − g ρ (z − z0 ) + ω 2 r2 ρ . p(0, z) = pA − g ρ (z − z0 ) ⇒ p(r, z) = p(0, z) + 2 0 (10.3.12) Determiniamo ora la geometria della superficie libera del liquido all’equilibrio. Essa è definita dall’equazione p(r, z) = pA , cioe, usando (10.3.12), z = z0 +

1 2 2 ω r 2g

(10.3.13)

la quale definisce il paraboloide in Fig. 10.7.

10.4

Dinamica dei fluidi

Finora siamo stati principalmente interessati a fluidi in stato di riposo. Studieremo ora il moto dei fluidi e le leggi che lo governano. A tal fine abbiamo bisogno di descrivere il moto di un fluido. Si possono adottare due punti di vista. Il primo è quello di descrivere il

10.4. DINAMICA DEI FLUIDI

203

fluido come un insieme di particelle (molecole), e di caratterizzare il suo moto specificando in ogni tempo t la posizione ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)) di ogni singola particella. In principio, questa posizione può dedursi dalle leggi di base della meccanica, conoscendo la posizione ~r0 = (x0 , y0 , z0 ) della particella in un dato istante t0 e le sue interazioni con tutti le altre particelle del fluido. Il suo moto sarà poi specificato dal vettore posizione ~r(~r0 , t) soluzione delle equazioni di Newton che definisce cos`ı l’evoluzione nel tempo della particella che, a t = t0 , era situata in ~r0 . Poiché questa posizione iniziale deve essere specificata per ogni particella, e dal momento che una quantità macroscopica di fluido contiene un numero di particelle dell’ordine di 1023 , la quantità di dati necessari per prevedere l’evoluzione del fluido è troppa da gestire anche per il pi` u potente computer. Il punto di vista in cui il moto del fluido è descritto in termini di moto dei suoi elementi costitutivi di particelle è chiamato Lagrangiano, da Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) il quale sviluppò le leggi della meccanica delle particelle. In realtà, al fine di descrivere le principali caratteristiche di un fluido in movimento, non abbiamo bisogno di seguire ogni particella lungo la sua traiettoria. Tale descrizione sarebbe ridondante se consideriamo quantità di fluido che contengono un numero sufficientemente elevato di particelle, di modo che, a tutti gli effetti, possiamo descrivere il fluido come una distribuzione continua di materia. In questo caso essendo, ai fini della descrizione del sistema, la natura microscopica discreta (molecolare) della materia diventa irrilevante. ` opportuno adottare il punto di vista locale o Euleriano, che consiste nel descrivere lo E stato di un fluido, in un dato istante, precisando alcune importanti quantità fisiche, come ad esempio la velocità ~v o la pressione p, punto per punto nello spazio. Facciamo notare che questa descrizione è macroscopica, cioè tutte le quantità utilizzate per descrivere il sistema non sono riferite al movimento delle componenti microscopiche del fluido. Ad esempio quando si parla di velocità del fluido in un punto P ad un tempo t, non ci riferiamo alle effettive velocità delle molecole che passano per P al tempo t, che sarebbero piuttosto difficile da determinare sperimentalmente, dal momento che il moto di un molecola è molto irregolare e rapidamente variabile, essendo caratterizzato da continue collisioni. Ciò che possiamo misurare è una media delle velocità di un gran numero di molecole contenute all’interno di un volume elementare dV in un intorno di P , sufficientemente piccolo affinchè questo valore medio non vari sensibilmente quando prendiamo un volume pi` u piccolo, ma abbastanza grande da contenere un considerevole numero di particelle. Diremo che dV è sufficientemente piccolo da poter considerare ~v , p o qualsiasi altra quantità macroscopica uniformi al suo interno, ma ancora di dimensioni macroscopiche, in modo che il fluido sembri continuo in esso. Detto questo ci dimenticheremo della struttura microscopica del liquido e adotteremo la descrizione macroscopica. Da ora in poi useremo la parola particella per intendere un elemento infinitesimo dV del fluido (ved. Fig 10.8). Il moto del fluido sarà caratterizzato associando ad ogni suo punto P = (x, y, z) e ad ogni istante t, la velocità ~v (x, y, z, t) che è una particella assume passando per P all’istante t. Questa velocità tuttavia, nella descrizione Euleriana, è associata al punto dello spazio e non ad una particolare porzione di fluido. La configurazione spaziale della velocità ~v (x, y, z, t) del fluido in un dato istante definisce un campo vettoriale, che è una quantità definita assegnando a ogni punto dello

204


Figura 10.8:

spazio un vettore, cioè tre funzioni vx , vy , vz of x, y, z e t e che rappresentano le componenti cartesianeo di ~v P, t −→ ~v (x, y, z, t) ≡ (vx (x, y, z, t), vy (x, y, z, t), vx (x, y, z, t)) .

(10.4.1)

Possiamo inoltre specificare, per ogni punto del fluido al tempo t la corrispondente pressione p(x, y, z, t), o la densità ρ(x, y, z, t) o la temperatura T (x, y, z, t) che forniscono esempi di campi scalari. Il moto del fluido è chiamato costante o laminare, se in ogni punto la velocità non dipende dal tempo, e cioè se ~v (x, y, z, t) ≡ ~v (x, y, z). Ciò non significa che ogni elemento di volume dV di un fluido nel moto costante fluisca con un velocità costante, ma piuttosto che ogni elemento di volume, quando passa per un punto P = (x, y, z), in qualsiasi momento, ha velocità ~v (x, y, z). Supponiamo che un particella di un fluido in moto costante passi da un punto A a t = tA , in cui la velocità è ~vA , a un punto B a t = tB , in cui la velocità è ~vB 6= ~vA . Anche se ~vA and ~vB sono costanti nel tempo, la velocità della particella cambia nel tempo da ~vA a ~vB durante il lasso di tempo tB − tA . Un flusso costante di un fluido è, in genere, realizzato quando la velocità del flusso non è troppo elevata e può essere descritto in termini di moto di strati paralleli. Al di sopra di una velocità di flusso caratteristica, che dipende dal fluido, un moto laminare si trasforma in un moto turbolento. Una definizione matematica di moto costante si ottiene mediante la seguente condizione ∂~v ∂vx ∂vy ∂vz = ( , , ) ≡ 0. ∂t ∂t ∂t ∂t

(10.4.2)


205

Il moto di un fluido è detto di essere irrotationale se le sue varie particelle non hanno momento angolare rispetto a qualsiasi punto. Al contrario, un moto rotationale è di solito caratterizzato dalla presenza di vortici o mulinelli. Un flusso di fluido viene detto essere incompressibile se la densità ρ(x, y, z, t) è uniforme e costante, ossia essa non dipende né dal punto nello spazio né dal tempo: ρ(x, y, z, t) ≡ ρ. Se questo non è il caso, il flusso è chiamato compressibile. Il fluido può essere caratterizzato da una certa viscosità che si manifesta in una forza di attrito tangente che gli strati del fluido in moto relativo esercitano uno sull’altro. Se la viscosità non è trascurabile il fluido è chiamato viscoso. La viscosità tipicamente causa dissipazione di energia meccanica che viene convertita in energia termica provocando un aumento della temperatura. Ci limiteremo a considerare flussi di fluidi che sono costanti, irrotazionali, non viscosi ed incomprimibili. ` utile a rappresentare il flusso di un fluido, in un dato istante, in termini di linee di E flusso, che sono linee orientate caratterizzate dall’ essere in ogni punto tangenti alla velocità ~v . La rappresentazione in termini di linee di flusso fornisce una “istantanea”, in un dato istante, della distribuzione di velocità ~v (x, y, z, t) all’interno del fluido. Se il flusso è costante, esse rappresentano le traiettorie descritte dalle particelle nel loro moto. Questo non avviene nel caso non costante, o turbolento, in cui le linee di flusso variano nel tempo e il moto delle particelle è tipicamente caotico (vedi Figure 10.9 e 10.10). Per definizione, una linea

Figura 10.9:

di flusso è tangente alla velocità in ogni punto. Come conseguenza di ciò due linee di flusso non si intersecheranno mai, altrimenti la velocità non sarebbe definita nel punto di intersezione, dovendo essere tangente al tempo stesso a due curve diverse. L’insieme delle

206


linee di flusso passanti attraverso una superficie finita definisce un tubo di flusso (vedi Figura 10.10). La superficie di un tubo di flusso, essendo costituita da linee di flusso, non può essere

Figura 10.10:

attraversata da alcuna delle particelle del fluido, altrimenti avremmo due linee di flusso che si intersecano in un punto. Un tubo di flusso si comporta come un tubo in cui scorre il fluido in moto costante e incompressibile. Due sezioni qualunque S1 e S2 di un tubo di flusso sono quindi attraversate nello stesso intervallo di tempo dalla stessa quantità di fluido. Si noti che, per definizione di tubo di flusso, il numero di linee di flusso che attraversano due sezioni è lo stesso. Pertanto, le linee di flusso sono fitte nei punti lungo il tubo in cui la sezione trasversale è piu piccola, mentre di diradano quando la sezione trasversale è piu’ larga. Equazione di continuit` a e le equazioni di Bernulli Consideriamo un fluido che scorre in un tubo di flusso e deduciamo alcune caratteristiche di questo moto che derivano dal principio di conservazione della massa nella dinamica dei fluidi. Siano S1 ed S2 due sezioni del tubo, rispettivamente di aree A1 e A2 , perpendicolari alla direzione del flusso. Supponiamo che la velocità, la densità e la pressione siano uniformi su una sezione del tubo, in modo che si possa associare ad S1 e S2 le corrispondenti velocità ~v1 and ~v2 (vedi Figura 10.11). Se il moto è costante, come assumeremo che sia, ~v1 and ~v2 sono costanti. Siano ρ1 and ρ2 i valori della densità in S1 ed S2 rispettivamente. Per il momento considerariamo il caso pi` u generale di un fluido comprimibile, in cui ρ1 and ρ2 possono essere diversi, anche se assumeremo che siano costanti nel tempo. Durante un intervallo di tempo ∆t sufficientemente piccolo, la sezione S1 sarà attraversata da una quantità di fluido uguale al fluido contenuto nel cilindro di lunghezza v1 ∆t e superficie di base A1 , vale a dire dalla massa ∆m1 = ρ1 A1 v1 ∆t ,

(10.4.3)

dove abbiamo preso ∆t abbastanza piccolo da poter considerare ρ e ~v uniformi nel cilindro. Particelle che sono inizialmente ad una distanza da S1 maggiore di v1 ∆t, e, pertanto, non


207

Figura 10.11:

sono contenute nel cilindro, non arriveranno ad attraversare S1 nell’ intervallo ∆t. Durante lo stesso lasso di tempo, la sezione S2 sarà attraversata da una massa di fluido ∆m2 data da ∆m2 = ρ2 A2 v2 ∆t .

(10.4.4)

Se non vi è alcuna perdita o fonte di liquido (cioè il fluido non è né distrutto e né creato, come richiesto dal principio di conservazione della massa) tra S1 ed S2 , e se la densità ρ, all’interno della porzione di tubo tra le due sezioni trasversali, non varia nel tempo, in modo che non vi sia alcun accumulo o rarefazione di fluido, ci aspettiamo che, dal principio di conservazione della massa, ∆m1 = ∆m2 = ∆m ⇒ ρ2 A2 v2 = ρ1 A1 v1 .

(10.4.5)

La precedente equazione non vale se rilasciamo alcune delle nostre ipotesi sul flusso del fluido. Prendiamo, ad esempio, il caso di acqua che scorre in un tubo di plastica e consideriamo due sezioni S1 and S2 lungo di esso. Se c’è un buco nel tubo tra S1 e S2 , vi è perdita di acqua e quindi ∆m1 sarà maggiore di ∆m2 , essendo la differenza ∆m1 − ∆m2 > 0 pari alla massa d’acqua fuoruscita attraverso il buco durante ∆t. Allo stesso modo, se iniettiamo acqua in un punto tra le due sezioni del tubo, avremo ∆m2 > ∆m1 , essendo ∆m2 − ∆m1 la massa di acqua iniettata nel tubo durante ∆t. In entrambi questi casi il tubo di plastica non si comporta da tubo di flusso. Se il fluido è un gas, che è comprimibile, la densità ρ può, in generale, variare anche col tempo in alcune regioni tra S1 and S2 . Se ρ aumenta in ∆t, ci sarà accumulo di fluido tra le due sezioni e quindi ∆m2 < ∆m1 , mentre se ρ diminuisce, vi è rarefazione di fluido e ∆m2 > ∆m1 . Queste deduzioni sono tutte conseguenze della conservazione della massa. Cerchiamo di ottenere la relazione tra ∆m2 − ∆m1 e la variazione nel tempo della densità in modo un po’

208


pi` u preciso. Sia V il volume della porzione di tubo delimitato da S1 ed S2 . Al tempo t la massa di fluido tra le due sezioni è Z M (t) = ρ(x, y, z, t) d3 x . (10.4.6) V

Se in ∆t la quantità di fluido ∆m2 che fuoriesce da S2 è maggiore della quantità ∆m1 entrante attraverso S1 in virt` u della conservazione della massa, la differenza di ∆m2 − ∆m1 > 0 deve tradursi in una riduzione ∆M = M (t + ∆t) − M (t) of M (t). In formule ∆M = M (t + ∆t) − M (t) = ∆m2 − ∆m1 = (ρ2 A2 v2 − ρ1 A1 v1 ) ∆t .

(10.4.7)

Dividendo entrambi i membri della precedente equazione per ∆t e prendendo il limite ∆t → 0, il che significa sostituisce ∆t con dt, troviamo Z M (t + dt) − M (t) ∂ρ dM = = (x, y, z, t) d3 x = −ρ2 A2 v2 + ρ1 A1 v1 . (10.4.8) dt dt ∂t V Questa equazione è chiamata equazione di continuità ed esprime la conservazione della massa, in assenza di fonti o pozzi (punti di perdita di fluido). Possiamo prendere S1 ed S2 infinitamente vicine l’una all’altra, lungo l’asse X, separate da una distanza dx. Esse avranno la stessa area A cos`ı che V = A dx e ρ può essere considerata uniforme. L’equazione ( 10.4.8) può essere riscritta nella forma d(ρ v) ∂ρ dx A = −[ρ(x + dx) v(x + dx) − ρ(x) v(x)] A = − dx A , ∂t dx

(10.4.9)

da cui deduciamo la seguente espressione per l’equazione di continuità (10.4.8): d(ρ v) ∂ρ = − . ∂t dx

(10.4.10)

Questa equazione è la forma locale di (10.4.8), in quanto lega il comportamento spaziale della quantità ρ v, detta densità di corrente, alla variazione nel tempo della densità in ogni punto del tubo di flusso e, inoltre, vale, in questa forma, sotto l’assunzione che la quantità ρ v vari solo nella direzione X del tubo di flusso. Si dimostra che , nel caso generale in cui ρ v dipendano non solo dalla coordinata x, ma anche da y, z, che la (10.4.10) si generalizza alla seguente equazione: ∂ρ ∂(ρ vx ) ∂(ρ vy ) ∂(ρ vz ) . (10.4.11) = − + + ∂t ∂x ∂y ∂z Ritroveremo l’equazione di continuità nello studio della corrente elettrica, come relazione tra la variazione nel tempo della densità di carica elettrica e la variazione nello spazio della densità di corrente elettrica. Essa esprimerà in tal caso la conservazione della carica eletttrica. Supponiamo che il fluido sia un liquido, cos`ı da poter considerare ρ, in buona approssimazione, non solo costante, ma anche uniforme lungo il tubo. L’ equazione (10.4.5) si semplifica nella forma A2 v2 = A1 v1 ,

(10.4.12)


209

che vale per ogni coppia di sezioni trasversali del tubo di flusso. Noi vediamo che pi` u piccola è la sezione trasversale, pi` u veloce il liquido scorre attraverso essa. Questo spiega il fatto noto che se comprimiamo l’estremità di un tubo di plastica, ossia ne riduciamo la corrispondente sezione trasversale A, l’acqua fuoriesce pi` u velocemente. Abbiamo anche visto che minore è la sezione trasversale di un tubo di flusso, pi` u densamente le linee si forze la attraversano. Deduciamo che la velocità del fluido è maggiore nelle regioni in cui le linee di flusso sono pi` u fitte. Questa deduzione non vale per fluidi comprimibili. Vediamo ora le implicazioni, su un flusso di liquido, della conservazione dell’energia. Assumiamo che il flusso del fluido sia incompressibile, non viscoso e costante e siano p1 and p2 i valori della pressione sulle due sezioni S1 and S1 lungo il tubo di flusso (vedi Figura 10.12). Supporremo anche che la densità ρ sia uniforme lungo il tubo e prenderemo un

Figura 10.12:

intervallo di tempo di ∆t abbastanza piccolo in modo che la pressione non vari sensibilmente lungo la lunghezza v∆t percorsa da una particelle di fluido in ∆t. Considereremo due punti A e B nel fluido, e studieremo il flusso del volume V di fluido, delimitato dalle sezioni in A e B, che si muove insieme con il fluido, come in Figura 10.12. All’istante iniziale t la sezione per B coincide con S2 mentre quella per A precede S1 di una distanza v1 ∆t. Al tempo t+∆t la sezione per A è avanzata di v1 ∆t e quindi coincide con S1 , mentre la sezione per B seguirà S2 a una distanza v2 ∆t. Durante ∆t la massa ∆m = ρ A1 v1 ∆t tra A ed S1 , soggetta alla pressione in avanti p1 del fluido che la precede, attraverserà S1 . Il lavoro compiuto dalla forza in avanti p1 A1 durante ∆t è W1 = p1 A1 v1 ∆t .

(10.4.13)

Nel frattempo, la stessa quantità ∆m di fluido , tra S2 e B ha attraversato S2 . Questa volta ∆m è contenuta nel cilindro di volume A2 v2 ∆t, delimitata da S2 e B, ed è soggetta ad una

210


forza all’indietro p2 A2 dovuta alla pressione p2 del fluido di fronte ad essa, che perciò resiste al suo moto. Il lavoro compiuto da questa forza su ∆m è W2 = −p2 A2 v2 ∆t .

(10.4.14)

Il lavoro totale W sulla massa di fluido limitato da S1 ed S2 durante ∆t è W = W1 + W2 = (p1 A1 v1 − p2 A2 v2 ) ∆t = (p1 − p2 ) A1 v1 ∆t = (p1 − p2 )

∆m , ρ (10.4.15)

dove abbiamo usato l’equazione di continuità eq. (10.4.12). Il lavoro totale W deve tradursi in una variazione dell’energia meccanica del sistema. Questa comprende l’energia cinetica e l’energia potenziale dovuta alla gravità della terra. Supponiamo che le due sezioni siano situate a due diverse altezze z1 , z2 . La variazione di energia meccanica del volume V è calcolata come la differenza tra l’energia del cilindro di fluido con massa ∆m tra A e S1 al tempo t e quella della massa ∆m passata per S2 al tempo t + ∆t: 1 W = Ef in − Ein = ∆m(v22 − v12 ) + g ∆m (z2 − z1 ) . 2

(10.4.16)

Usando (10.4.15) e (10.4.16) arriviamo alla seguente relatione (p1 − p2 ) =

1 1 1 ρ (v22 − v12 ) + g ρ (z2 − z1 ) ⇒ p1 + ρ v12 + g ρ z1 = p2 + ρ v22 + g ρ z2 . 2 2 2 (10.4.17)

Ricordiamo che abbiamo preso il tubo di flusso sufficientemente sottile da poter trascurare la variazione delle diverse quantità fisiche lungo le direzioni trasversali del tubo. Equazione (10.4.17), nota come equazione di Bernoulli, vale quindi per due punti generici lungo la stessa linea di flusso che può essere una qualunque linea di flusso all’interno di un tubo, essendo i due punti l’intersezione della linea con S1 and S2 . Dal momento che la coppia di sezioni è stata presa arbitrariamente, un altro modo di scrivere l’equazione di Bernulli è il seguente: p+

1 2 ρ v + g ρ z = const. (lungo una linea di flusso) . 2

(10.4.18)

Abbiamo assunto il flusso di fluido non viscoso. Se la viscosità del fluido non fosse trascurabile, allora, come abbiamo sottolineato in precedenza, il lavoro svolto dalle forze di attrito causerebbe la conversione di energia meccanica in energia termica, facendo aumentare cos`ı la temperatura del fluido. In questo caso il bilancio di energia dovrebbe tenere conto non solo dell’energia meccanica, ma anche dell’energia interna U di ∆m e l’equazione (10.4.18) deve essere modificata con l’aggiunta, a secondo membro, della densità di energia interna u: p+

1 2 ρ v + g ρ z + u = const. (lungo una linea di flusso ) . 2

(10.4.19)


211

In modo simile l’equazione (10.4.17), che lega le quantità in due punti distinti lungo una linea di flusso, ora diventa (p1 − p2 ) =

1 ρ (v22 − v12 ) + g ρ (z2 − z1 ) + Q , 2

(10.4.20)

dove Q = u2 −u1 è il calore acquistato dall’unità di volume del fluido nel passaggio da S1 a S2 . Deduciamo ora alcune conseguenze dell’equazione di Bernoulli. Si consideri prima il caso in cui il fluido sia a riposo: ~v ≡ 0. In questo caso, l’ eq. (10.4.17) implica p2 −p1 = −g ρ (z2 −z1 ), che è l’ equazione (10.2.3) per ρ uniforme, dato che ci stiamo limitando a considerare fluidi incomprimibili. Si consideri ora un fluido non viscoso, costante e incompressibile e due punti lungo una stessa linea di flusso, allo stesso livello in modo che z1 = z2 . L’equazione (10.4.17) implica p1 +

1 2 1 ρ v1 = p2 + ρ v22 , 2 2

(10.4.21)

Dall’equazione precedente si vede che, se v2 > v1 , p2 < p1 , cioè la pressione è pi` u bassa nei punti in cui la velocità è pi` u elevata.

212


Capitolo 11 Termodinamica Nella prima parte di questo corso abbiamo considerato in dettaglio la meccanica di sistemi quali, ad esempio, particelle puntiformi e corpo rigido, la cui evoluzione è completamente descritta specificando un numero limitato di variabili. Il moto di una particella puntiforme è definito specificando le tre coordinate x(t), y(t), z(t) in funzione del tempo, mentre per il corpo rigido necessario specificare in ogni istante le tre coordinate del suo centro di massa xCM (t), yCM (t), zCM (t) e gli angoli di Eulero che definiscono la posizione del suo asse principale di inerzia rispetto a qualche sistema di coordinate. Tutte queste variabili cinematiche sono soluzioni di certe equazioni del moto e la loro dipendenza dal tempo è completamente determinata una volta che siano specificate un insieme di valori iniziali delle posizioni e delle velocità ad un determinato tempo di riferimento. Se stiamo considerando un sistema costituito da un gran numero N di particelle abbiamo bisogno di risolvere un sistema di 3N equazioni del moto in cui le 3N variabili xi (t), yi (t), zi (t) definiscono la posizione di ciascuna particella del sistema. Dato che le particelle in generale possono interagire, queste equazioni devono tenere conto di tali interazioni. Inoltre abbiamo anche bisogno di misurare i valori delle coordinate e le velocità di ciascuna delle particelle ad un certo tempo, al fine di determinare completamente loro moto. Si consideri, ad esempio, una quantità di materia visibile. Essa consiste in un certo numero di molecole dell’ordine di N ∼ 1023 . Anche se potessimo descrivere in qualsiasi momento le loro interazioni, in modo da poter scrivere le equazioni del moto, e poter determinare la loro posizioni e le velocità ad un determinato tempo, la quantità di dati e il numero di equazioni da risolvere sarebbero troppe da gestire per qualsiasi computer, anche il pi` u potente. Vi è un altro problema in questo tipo di analisi. Ogni misura richiede un certo tempo caratteristico ∆t. Questo è un problema se si tenta di determinare le posizioni e le velocità delle particelle ad un certo tempo, dato che durante il tempo di misurazione ∆t, le molecole in un fluido, per esempio, avranno subito un numero considerevole di collisioni e quindi il loro stato di moto sarà cambiato notevolmente dall’istante iniziale. Per questi motivi una descrizione di un sistema di un numero infinitamente grande di particelle in termini di moto di ciascuna delle sue componenti, vale a dire una descrizione microscopica del sistema, non è fattibile. Abbiamo incontrato un problema simile quando abbiamo discusso il moto di un fluido 213

214

CAPITOLO 11. TERMODINAMICA

, per il quale abbiamo rinunciato alla descrizione microscopica in termini di moto di ogni molecola e descritto il sistema in termini di quantità macroscopiche come la velocità del fluido, la sua pressione ecc., che sono valori medi, nel tempo ∆t, di quantità microscopiche misurate su piccoli volumi dV , sondati da parte dello strumento e che ancora contengono un gran numero di costituenti microscopiche. Riassumendo, in generale, una descrizione microscopica di un sistema di un numero elevato di particelle, come una quantità macroscopica di materia, richiede un’enorme quantità di dati e fornirebbe pi` u informazioni sull’evoluzione del sistema di quanto noi siamo in grado di misurare o di quelle di cui abbiamo effettivamente bisogno. In generale siamo interessati in alcune proprietà globali di un tale sistema, che possono essere descritte mediante un numero limitato di altre quantità. Questa analisi è chiamata macroscopica e si basa su alcuni aspetti del comportamento del sistema che siamo in grado di misurare direttamente e che sono direttamente correlati alla nostra percezione sensoriale. Questi aspetti definiscono le stato macroscopico di un sistema. La Termodinamica è la scienza che studia il cambiamento di stato macroscopico di un sistema come conseguenza delle sua interazioni con l’ambiente. Pi` u in particolare si occupa dello stato interno di un sistema e le sue trasformazioni, e non, ad esempio, il suo moto. Considereremo infatti sistemi in equilibrio meccanico in cui tutti le parti sono a riposo rispetto alle altre. Il tipo di trasformazioni oggetto di indagine da parte della termodinamica sono, per esempio, quelle che riguardano lo scambio di calore tra il sistema ed il suo ambiente. Supponiamo di voler descrivere lo stato di una quantità di acqua in una pentola. Possiamo specificare la sua massa, il volume e la pressione che essa esercita sulla superficie del contenitore. Questo però non è sufficiente. Se scaldiamo l’acqua, dopo un po’ di tempo realizziamo un cambiamento nel suo stato dato che, toccandola, ci sembra pi` u calda di prima. Associamo alla nostra percezione di caldo o di freddo una quantità macroscopica chiamata temperatura. Continuando a scaldare l’acqua, la sua temperatura aumenta. Quando l’acqua inizia a bollire, sarà prodotto del vapore. Vorremmo quindi descrivere lo stato del sistema anche in termini di composizione vapore/acqua. Nei sistemi in cui hanno luogo reazioni chimiche, come è il caso del carburante nel cilindro di un motore durante la combustione, abbiamo bisogno anche di specificare la sua composizione chimica. Infatti la pressione del pistone favorisce la combustione del carburante, provocando, di conseguenza, variazioni nella composizione chimica del sistema, oltre che nella pressione, temperatura e volume, In termodinamica lo stato (interno) di un sistema è pertanto descritto da un numero limitato di variabili macroscopiche, chiamate coordinate! termodinamiche, le quali possono essere misurate direttamente e le cui definizioni prescindono da ipotesi relative alla struttura microscopica della materia. In effetti, le leggi fondamentali della termodinamica, e cioè i rapporti tra le variabili termodinamiche di un sistema che disciplinano la sua interazione con l’ ambiente, furono dedotte da postulati di origine empirica prima della scoperta della struttura molecolare della materia. Il punto di vista microscopico, d’altro canto, si basa su quantità che non possono essere direttamente misurate, come le posizioni e le velocità delle molecole, e quindi si basa

11.1. TEMPERATURA

215

fortemente sulla descrizione molecolare del materia. I punti di vista microscopico e macroscopico dovrebbero tuttavia essere compatibili in quanto si riferiscono allo stesso sistema fisico. Le coordinate termodinamiche sono infatti legate ai valori medi delle variabili microscopiche relative al moto delle molecole costituenti: la temperatura è collegata alla loro energia cinetica media, la pressione alla media della quantità di moto trasferita dalle molecole, durante le collisioni, alle pareti del contenitore del fluido per unità di tempo e di superficie, vedi Figura 11.1. Storicamente, la deriva-

Figura 11.1:

zione delle leggi di base della termodinamica dalla descrizione microscopica corpuscolare della materia, ha fornito prove a favore dell’ ipotesi molecolare. La scienza che studia le proprietà macroscopiche della materia in termini della sua struttura microscopica è la meccanica statistica.

11.1

Temperatura

La temperatura è la quantità fisica che descrive lo stato associato alla sensazione di caldo o freddo di un oggetto, lo stato!termico, che possiamo percepire attraverso i nostri sensi

216


quando tocchiamo l’oggetto stesso. I nostri sensi, essendo soggettivi, non possono tuttavia costituire la base per una definizione operativa di temperatura. Nella nostra esperienza quotidiana si osserva che due oggetti a temperatura diversa, posti in contatto, dopo un po’ di tempo vengono percepiti come ugualmente freddi o ugualmente caldi, cioè assumono la stessa temperatura. Si dice che i due oggetti hanno raggiunto un equilibrio termico. Inoltre osserviamo anche che l’oggetto che era inizialmente pi` u freddo ora è pi` u caldo cioè la sua temperatura è aumentata, mentre la temperatura dell’oggetto che era pi` u caldo, è ora diminuita, vedi Figura 11.2. In altre parole, la temperatura finale raggiunta dai due oggetti

Figura 11.2:

tra loro in equilibrio ha un valore intermedio tra le loro temperature originarie. Una definizione oggettiva della temperatura è in genere riferita a proprietà caratteristiche, proprietà termometriche (volume, pressione, resistenza elettriche ecc) di alcuni materiali, sostanze termometriche, che sono particolarmente sensibili alla temperatura. Un termometro è un dispositivo che contiene una sostanza termometrica e che permette di leggere il valore della sua proprietà termometrica corrispondente ad un determinato stato termico del sistema. Un esempio di termometro è costituito da un tubo capillare che termina, all’estremità inferiore in un bulbo e riempito con un liquido, come l’alcool o mercurio, che

11.1. TEMPERATURA

217

serve come sostanza termometrica. Al variare della temperatura del sistema varia anche il volume del liquido, che viene misurato dalla lunghezza della colonna di liquido nel tubo capillare, anch’ essa variata conseguentemente. La lunghezza della colonna di liquido è, in questo caso, la proprietà termometrica: maggiore è la temperatura, pi` u alta è la colonna. Se il dispositivo viene posto a contatto con un oggetto A e attendiamo che l’equilibrio termico venga raggiunto, cioè i due oggetti raggiungano la stessa temperatura, si può prendere la corrispondente lunghezza X della colonna di liquido come misura della temperatura di A. Supponiamo ora di porre lo stesso dispositivo in contatto con un altro oggetto B e di leggere all’equilibrio lo stesso valore per la proprietà termometrica di X. Si deduce che entrambi A e B sono separatamente in equilibrio termico con il dispositivo, dal momento che, spostandosi da A a B il suo termico stato non è cambiato. Se poi tocchiamo A e B percepiamo la stessa sensazione di freddo o di caldo. Inoltre, se li mettiamo direttamente a contatto in modo che possano raggiungere l’equilibrio termico, si osserva che i loro stati non cambiano sensibilmente. Concludiamo che gli oggetti A e B erano già in equilibrio termico prima che fossero messi in contatto. Questa esperienza supporta il cosiddetto principio zero della termodinamica: Se due oggetti sono separatamente in equilibrio termico con un terzo oggetto, per esempio un termometro, essi sono in equilibrio termico con l’altro. Quindi possiamo dire che due oggetti A e B sono in equilibrio termico l’uno con l’altro e quindi hanno la stessa temperatura, se posti a contatto con un termometro, essi inducono lo stesso valore della proprietà termometrica di X, ad esempio, la lunghezza della colonna di liquido. Alcune cautele devono essere adottate quando si progetta un termometro. Sappiamo che un dispositivo, per essere un buon strumento di misura, deve perturbare il meno possibile il valore della grandezza fisica che deve misurare. Nel nostro caso abbiamo visto che quando i due oggetti in contatto raggiungono l’equilibrio termico, essi si assestano ad una ` importante che, stessa temperatura che è intermedia tra le loro temperature originarie. E quando un termometro è messo in contatto con un oggetto, la temperatura finale raggiunta non sia significativamente diversa dalla temperatura iniziale dell’oggetto, vale a dire che il termometro non perturbi lo stato termico dell’oggetto che si vuole misurare. A tal fine è sufficiente prendere un termometro contenente una quantità di sostanza termometrica che è molto piccola rispetto alla massa dell’oggetto di cui vogliamo misurare la temperatura. Per dare una definizione operativa di temperatura, partiamo postulando una relazione lineare tra il valore X della proprietà termometrica, che viene letta sul termometro, e la corrispondente temperatura T (X), in modo che, se T (X1 ) e T (X2 ) sono le temperature corrispondenti alle due letture X1 , X2 di X, valga la seguente relazione X1 T (X1 ) = . T (X2 ) X2

(11.1.1)

Poi si fissa un valore per la temperatura corrispondente ad uno stato termico di riferimento, che è preso essere il punto triplo dell’acqua. Questo è lo stato in cui acqua, ghiaccio e vapore coesistono. Se X0 è la corrispondente lettura di X, essa è convenzionalmente associata con il valore T (X0 ) = 273.16 o K in unità Kelvin. Usando (11.1.1) siamo in grado di calibrare

218


il termometro associando ad una lettura X della proprietà termometrico un valore di T (X) data da T (X) = 273.16 o K

X . X0

(11.1.2)

Si può seguire la stessa procedura per la calibrazione di diversi termometri basati su diverse sostanze termometriche. Per esempio si potrebbe utilizzare un filamento di platino e come proprietà termometrica X la sua resistenza elettrica R (termometro a resistenza), oppure si potrebbe considerare la lunghezza L di una colonna di liquido in un termometro a mercurio o ad alcool già descritto precedentemente. Nel termometri a gas a volume costante la proprietà X è la pressione p di un gas a volume costante, mentre nei termometri a gas a pressione costante è il volume di un gas a pressione costante. In tutti questi casi la temperature è legata alla proprietà termometrica dalla (11.1.2) termometro a resistenza : termometro a mercurio : termometri a gas a volume costante : termometro a gas a pressione costante :

R , R0 L T (L) = 273.16 o K , L0 P T (P ) = 273.16 o K , P0 V T (V ) = 273.16 o K . V0 T (R) = 273.16 o K

(11.1.3)

Tutte le letture di T si accordano ovviamente nel punto triplo dell’acqua, ma sono decisamente in disaccordo su qualsiasi altro stato. Inoltre anche due termometri dello stesso tipo, che fanno uso di sostanze termometriche diverse, danno letture diverse per la temperatura. Ciò rappresenta un problema quando si cerca di dare una unica definizione di temperatura. Il motivo alla base di questo disaccordo è il fatto che, se si definisce la temperatura in modo che essa dipenda linearmente da X per un certo termometro, la sua dipendenza dalla proprietà termometrica di un altro termometro in generale non sarà pi` u lineare. Postulare una relazione lineare tra T e X valida per ogni termometro è un ipotesi troppo forte. La definizione operativa di T è quindi riferita ad un particolare tipo di termometro, che tipicamente è scelto essere il termometro a gas . Cerchiamo di illustrare brevemente il funzionamento di un termometro a gas a volume costante. Esso consiste in un bulbo di vetro, contenente gas, totalmente immerso nel liquido di cui vogliamo determinare la temperatura, vedi Figura 11.3. Il bulbo è collegato attraverso un tubo capillare alla colonna di sinistra del tubo a U di un manometro, la cui colonna di destra è aperta. Il tubo ad U, a sua volta è collegato, attraverso un tubo di gomma, ad serbatoio mobile contenente il liquido del manometro, diciamo mercurio. Modificando l’altezza del serbatoio è possibile mantenere il menisco A del liquido nella colonna di sinistra, che è l’ interfaccia tra il mercurio e il gas, allo stesso livello. In questo modo il volume del gas viene mantenuto costante, mentre il manometro consente per misurare la sua pressione pA . Quest’ultima è determinata, ricordando, dalle leggi fondamentali dellastatica dei fluidi, che la pressione all’interno di un fluido a riposo, dipende solo dall’altezza del punto. Pertanto

11.1. TEMPERATURA

219

Figura 11.3:

pA = pB in Figura 11.3. Ma pB è uguale alla pressione atmosferica pi` u un contributo alla pressione dovuto al peso del mercurio nella colonna di destra che poggia su B e la cui altezza d è la differenza di altezza delle due colonne di liquido nel tubo a U: pA = pB = patm + g ρm d ,

(11.1.4)

dove patm = 760 mm Hg è la pressione atmosferica e ρm = 13.534gr/cm−3 la densità di mercurio. Il funzionamento di un termometro a gas a pressione costante è pi` u complicato e non lo descriveremo. Le letture della temperatura su un termometro a gas, a loro volta, dipendono dal gas utilizzato. Tuttavia, se si rimuove il gas dal bulbo, in modo da ridurre il valore della pressione p0 in uno stato fissato (e.g. puntro triplo dell’acqua), p = pA diminuirà a sua volta. Continuando la rimozione di gas, il rapporto p/p0 si avvicinerà a un valore limite che è indipendente del gas utilizzato. Infatti, continuando a ridurre la quantità di gas a volume costante, cioè la sua densità, qualsiasi gas è ben descritto da un gas ideale, in cui, come vedremo, la dipendenza della temperatura dalla pressione a volume costante è esattamente lineare. In questo limite un qualsiasi termometro a gas diventerà un termometro a gas ideale. Possiamo prendere la

220


temperatura nel limite di gas ideale p0 → 0 come definizione di temperatura: p . p0 →0 p0

T = 273.16 K o lim

(11.1.5)

Nella fig. 11.4, le risposte dei vari termometri a gas sono tracciate per diversi valori di p0 . La temperatura misurata è quella del punto di ebollizione di acqua a pressione atmosferica. Vediamo che le risposte convergono nel limite del gas ideale p0 → 0. Un termometro a

Figura 11.4:

gas ideale può essere usato per definire temperature basse come 1 K o (temperatura alla quale l’elio diventa liquido). A temperature pi` u basse questo tipo di termometri non può essere utilizzato perché tutti i gas si condensano allo stato liquido. Una definizione di basse temperature, intorno a 0 K o , deve basarsi su processi diversi. La scalaCelsius (o centigradi ) utilizza la stessa unità di temperatura della scala Kelvin, anche se la temperatura pari a zero è associata con il punto di congelamento dell’acqua a Patm = 1 Atm, Atm, che corrisponde a T = 273.15 o K: T (o C) = T (o K) − 273.15 .

(11.1.6)

Per calibrare diversi termometri nella scala Celsius, si scelgono due punti fissi vicini, a cui tutti i termometri dovrebbero fornire la stessa lettura: il punto di fusione del ghiaccio (T = 0 o C) e il punto d’ebollizione dell’ acqua (T = 100 o C) alla pressione atmosferica. Tra questi due punti fissi diversi termometri daranno risposte diverse, vedi figura 11.5, tuttavia esse differiscono di qualche percentuale. La scala Fahrenheit invece è definita come segue: T (C o ) =

5 (T (F o ) − 32) . 9

(11.1.7)

11.1. TEMPERATURA

221

Figura 11.5:

11.1.1

Dilatazione con la temperatura

Abbiamo già accennato che diverse proprietà fisiche dei materiali dipendono dalla temperatura. Per esempio una variazione di temperatura produce, su oggetti solidi, una variazione nelle dimensioni. Consideriamo questo fenomeno pi` u in dettaglio. La struttura microscopica di un oggetto solido può essere descritta da un modello semplificato in cui le molecole sono poste nei vertici di un reticolo e oscillano nelle loro posizioni di equilibrio, soggette a una forza esercitata dalle molecole vicine che, per piccole oscillazioni, può essere approssimata da una forza elastica proporzionale, in intensità, alla distanza della molecola dalla sua posizione di equilibrio. Per piccole oscillazioni, la molecola può quindi essere rappresentata da un oscillatore armonico. All’aumentare della temperatura, l’energia cinetica media di ogni molecola aumenta e, di conseguenza, aumenta l’ampiezza della sua oscillazione e quindi diventa pi` u grande la distanza media tra molecole vicine. Ciò si traduce in una dilatazione generale dei solidi, vale a dire in una dilatazione in tutte le sue dimensioni. Se il solido è isotropo, vale a dire le sue proprietà e la struttura microscopica non dipendono dalla direzione da cui lo si guarda, la dilatazione è la stessa in tutte le direzioni e, pertanto, si traduce in un aumento di volume dell’ oggetto che mantiene la sua forma originale. Sperimentalmente si trova che la variazione di lunghezza di un oggetto ∆` è legata alla sua variazione di temperatura ∆T (se questa variazione non è troppo grande) in modo lineare: ∆` = α∆T , `

(11.1.8)

222


dove α è detto coefficiente di dilatazione lineare . Per solidi isotropi α è la stessa in tutte le direzioni. La variazione di area e volume di un materiale isotropo, corrispondente ad una variazione ∆T di T , è ∆V ∆A = 2 α∆T ; = 3 α∆T . A V

(11.1.9)

α dipende da T , tuttavia, all’interno di una ampia gamma di valori della temperatura, la corrispondente variazione percentuale di α è piccola e può essere trascurata nella maggior parte delle applicazioni. L’ordine di grandezza di α è di circa 10−5 , e ciò significa che, se T varia di 100 gradi, una barra lunga un metro varierà la propria lunghezza di 1 mm. Questo fenomeno può causare forti tensioni alle giunture tra materiali differenti che possono tradursi in deformazioni di una intera struttura. Per evitare questi inconvenienti vengono usate alcune leghe con bassissimi valori di α. La dilatazione dei liquidi con l’aumentare della temperatura è maggiore che per i solidi, ma meno che per i gas. A questo proposito l’acqua ha un comportamento singolare, dato che subisce una dilatazione riducendo la temperatura da 4 o C al punto di congelamento a 0 o C mentre si espande, come tutti gli altri fluidi, con l’aumento T sopra 4 o C. Questo eccezionale comportamento può essere spiegato con il fatto che al di sotto di 4 o C le molecole di acqua iniziano a “ sentire” la loro reciproca interazione (la loro energia potenziale diventa paragonabile alla loro energia cinetica media) e questo le induce ad organizzarsi secondo certe strutture in cui la loro distanza media è pi` u grande.

11.2

Calore

Abbiamo già accennato al fatto sperimentale che due oggetti a diverse temperature, quando messi in contatto per un periodo sufficientemente lungo, raggiungono una temperatura finale che è intermedia tra le loro temperature originali. Storicamente, questo processo fu dapprima spiegato associando la temperatura alla presenza, all’interno di un oggetto, di una sostanza fluida, chiamata fluido calorico. Pi` u alta è la temperatura di un oggetto, maggiore è la quantità di fluido calorico di cui dispone. Questo modello presume che la quantità totale di fluido calorico sia conservata nel corso di un processo e che, quando due oggetti a diverse temperature iniziali sono messi insieme, una quantità di fluido calorico, calore, viene trasferito dal corpo a temperatura superiore a quella a temperatura inferiore, in modo che, raggiungendo l’equilibrio termico, essi assumono una temperatura intermedia. Questa descrizione è stata adottata fino all’inizio del diciannovesimo secolo ed è sufficiente a spiegare i processi che coinvolgono conduzione di calore. Tuttavia l’idea che il calore corrisponda ad un quantità di una sorta di fluido, presente nella materia e conservato in tutti i processi, non sopravvivere alle evidenze sperimentali. Se strofiniamo le nostre mani una contro l’altra, si produce calore e la temperatura delle due mani aumenta. Se continuiamo lo sfregamento e se non ci sono state perdite di calore nell’aria, la temperatura aumenterebbe indefinitamente, cioè non vi è alcun limite alla quantità di calore che può essere prodotta in tale processo. Questa osservazione è incompatibile

11.2. CALORE

223

con l’ipotesi che, mentre strofiniamo le mani, parte del fluido calorico presente in esse viene rilasciata sotto forma di calore, poiché o ci dovrebbe essere una quantità infinita di essa o si dovrebbe presumere che essa non sia conservata. Sebbene il concetto di fluido calorico è stato abbandonato, il concetto di calore è sopravvissuto, essendo stato definito indipendentemente dal fluido. La definizione di calore è legata al cambiamento che esso provoca nello stato termico di un sistema. Se non si verificano transizioni di fase nella trasformazione, questo cambiamento in genere comporta una variazione di temperatura. Il calore è definibile come quella grandezza che, se fornita o sottratta ad un sistema, in assenza di trasizioni di fase, ne provoca una variazione della temperatura. L’unità di calore è la caloria (cal) e viene definita come la quantità di calore necessaria per innalzare la temperatura di un grammo di acqua, a pressione atmosferica, da 14.5 o C to 15.5 o C. 1 Il Kilo-calorie (Kcal) è definita come: 1Kcal = 103 cal. La quantità di calore Q necessaria per aumentare la temperatura di un oggetto di ∆T dipende dall’oggetto. Definiamo la capacità termica di un corpo il rapporto tra il calore fornito e la corrispondente variazione di temperatura C =

Q . ∆T

(11.2.1)

Il calore specifico è definito come la capacità termica per unità di massa c =

1 Q , m ∆T

(11.2.2)

m essendo la massa del sistema. La capacità termica molare è definita come il calore specifico per mole di un materiale. Il valore di c dipende, per un determinato oggetto, non solo dalla temperatura iniziale T , ma anche dal modo in cui il calore viene fornito. Possiamo definire il calore specifico di un oggetto di massa m, ad una data temperatura T , calcolando la quantità dQ di calore necessario per aumentare la sua temperatura di una quantità infinitesimale dT : c(T ) =

1 dQ . m dT

(11.2.3)

Il calore necessario per far variare la temperatura di m da T1 a T2 sarà Z

T2

c(T ) dT = m c¯ (T2 − T1 ) ,

Q = m

(11.2.4)

T1

dove c¯ è il valore medio del calore specifico nell’intervallo ∆T = T2 −T1 . Se c(T ) è approssimativamente costante durante questo intervallo, c ≈ c¯ e torniamo all’ equazione (11.2.2). Questo tipicamente avviene a temperature ordinarie. Il calore specifico dell’acqua cW a P = Patm variando T da 0 o C a 100 o C, cambia meno dell’ 1% intorno al valore cW = 1 Kcal/(Kg o C). Nella seguente tabella sono riportati i calori specifici per diverse sostanze.

224

CAPITOLO 11. TERMODINAMICA sostanza pressione temperatura cal. spec. o H2 0 Patm 0 − 100 C cW = 1 Kcal/(Kg o C) ± 1% o Ag Patm 15 − 185 C cAl ≈ 0.219 Kcal/(Kg o C) ice Patm −10 a 0 o C, cghiaccio ≈ 0.55 Kcal/(Kg o C) Hg Patm 0 a 100 o C cHg ≈ 0.033 Kcal/(Kg o C) o Fe Patm 20 to 100 C cF e ≈ 0.119 Kcal/(Kg o C) Cu Patm 10 a100 o C cCu ≈ 0.093 Kcal/(Kg o C) o vetro Patm 10 a100 C cvetro = 0.118 Kcal/(Kg o C)

Esempio 1 Un blocco di rame pesante 0.075 Kg è tratto da un forno e immerso in una coppa di vetro pesante 0.3 Kg e contenente 0.2 Kg di acqua fredda. La temperatura dell’acqua aumenta da 12 to 27 o C. Trovare la temperatura del forno Tf . La temperatura iniziale del blocco di rame è Tf e la sua temperatura finale, essendo in equilibrio termico con l’acqua, è T = 27 o C. Pertanto, essendo scesa la sua temperatura, ha rilasciato una quantità di calore Q, dato da Q = cCu mCu (Tf − T ) = 0.093 × 0.075 (Tf − 27) (Kcal) .

(11.2.5)

La stessa quantità di calore è stata assorbita dal sistema vetro/acqua. La porzione di Q assorbita dalla coppa è (in Kcal) Qb = cvetro mvetro (27 − 12), mentre la frazione assorbita dall’ acqua è Qacqua = cacqua macqua (27 − 12) ≈ macqua (27 − 12). Poiché l’ammontare totale di calore è conservato, vale la seguente relazione Q = Qb + Qacqua ⇔ cCu mCu (Tf − 27) = (cvetro mvetro + cvetro mvetro ) (27 − 12) , Tf = 532 o C . (11.2.6) Il calore specifico, come già menzionato, dipende anche dal modo in cui il calore viene fornito al sistema. Un gas, per esempio, può essere riscaldato a volume costante o a pressione costante. Misureremo due diversi valori per il calore specifico, vale a dire il calore specifico a pressione costante cp ed il calore specifico a a volume costante cV . Abbiamo già detto che in tutti i processi in cui sono coinvolte forze non conservative di tipo dissipativo, viene persa energia meccanica (∆E < 0). Tuttavia, si osserva sempre un’ alterazione dello stato del sistema in cui l’energia meccanica viene dissipata. Vi sono processi in cui tale modifica consiste solo in una variazione della temperatura del sistema, vale a dire la produzione di una quantità Q di calore. Si osserva che in questi processi Q è sempre proporzionale all’ energia meccanica |∆E| dissipata nel sistema, cioè al lavoro meccanico |W nc | svolto dalle forze non conservative, e che il fattore di proporzionalità è universale, ovvero non dipende dal particolare sistema, né dal modo in cui lavoro meccanico è dissipato in esso. Questo fenomeno fu studiato sperimentalmente per la prima volta da Joule nel 1843 e portò all’ipotesi che il calore fosse una forma di energia, o meglio, un modo di scambiare energia tra il sistema ed il suo ambiente, diverso dal lavoro meccanico. Esso infatti è sempre legato ad una differenza di temperatura tra il sistema e l’ ambiente. Per illustrare l’equivalenza tra calore ed energia, dobbiamo considerare l’esperimento eseguito da Joule, vedi Figura 11.6 Consideriamo una quantità di acqua all’interno di

11.2. CALORE

225

Figura 11.6:

un contenitore con pareti isolanti, in modo da impedire lo scambio di calore tra l’acqua ed il suo ambiente. Un sistema di pale, collegato a un asse verticale, viene immerso nell’acqua. Facendo ruotare l’asse per mezzo di un peso legato ad esso, l’ acqua è agitata dalle pale. Un sistema di diaframmi all’interno del contenitore riduce il moto globale delle acque. Il lavoro meccanico impiegato per ruotare le pale W esterno , se si trascura il moto dell’ acqua, è bilanciato dal lavoro negativo W nc = −W esterno < 0 svolto dalle forze di attrito dell’ acqua che si oppongono al moto. Se l’acqua è isolata termicamente e ha una temperatura iniziale TA , allo stato finale acqua e pale saranno ferme riposo, ma l’acqua avrà un diversa temperatura TB . Si potrebbe portare la stessa quantità di acqua dallo stesso stato iniziale allo stesso finale, semplicemente riscaldando per mezzo di un bruciatore in modo da aumentare la temperatura dell’acqua da TA a TB . In quest’ultimo caso il contenitore, invece di avere pareti isolanti, dovrebbe avere una base non isolante in modo da consentire il riscaldamento. I due processi producono lo stesso stato finale B dell’ acqua a partire dallo stesso stato iniziale A: nel primo l’energia meccanica W è stata fornita al sistema, mentre nel secondo è stato fornita una quantità di calore Q. L’analisi delle diverse varianti dell’ esperimento suggerisce che il rapporto tra Q e il suo equivalente meccanico W è una costante universale, che permette di misurare il calore nella

226


stessa unità del lavoro. L’unità del calore può essere espressa in termini di unità di energia attraverso una costante universale: 1 cal = 4.186 Joule ,

(11.2.7)

L’equazione (11.2.7) implica che, se si dissipano 4.186 Joule di lavoro meccanico in un grammo di acqua alla pressione atmosferica e alla temperatura di 14.5 C o , la sua temperatura aumenterà di un grado. Se esprimiamo il calore in unità di energia, per il processo di cui sopra si può scrivere: Q = −W nc > 0 .

(11.2.8)

Un altro risultato è che, se il contenitore è un buon isolante termico, il lavoro svolto nel primo processo, o il calore fornito nel secondo, dipendono solo dagli stati iniziali e finali. Questo risultato ha una profonda implicazione. Consideriamo il primo processo e includiamo nel sistema anche il peso. Negli stati iniziali e finali tutte le componenti del sistema sono a riposo, il peso avrà però una diversa altezza. La differenza dell’energia meccanica tra gli stati A e B coincide pertanto con la differenza di energia potenziale del peso: ∆E = EB − EA = ∆Eppeso = W nc . Se scriviamo l’equivalente quantità di calore Q per il secondo processo come la differenza tra i due stati di una funzione U detta energia interna, cioè Q = UB −UA = ∆U , l’equazione (11.2.8) implica ∆U + ∆E = 0 .

(11.2.9)

In altre parole, se definiamo come energia totale del sistema la somma dell’energia meccanica e interna: E (tot) = E + U , questa nuova quantità è conservata durante il primo processo (tot)

∆E (tot) = EB

(tot)

− EA

= 0.

(11.2.10)

L’energia totale non è evidentemente conservata nel secondo processo dato che stiamo fornendo calore al sistema attraverso il bruciatore. Riassumendo, nel primo esperimento, una quantità di energia meccanica viene convertita, mediante l’azione delle forze di attrito, in una quantità equivalente di energia interna, misurata in base al calore prodotto, in modo che l’energia totale sia conservata. L’energia interna può essere interpretata come l’energia associata al il moto delle molecole all’interno di un determinato materiale. L’effetto delle forze dissipative è stato quello di convertire energia meccanica delle pale in energia meccanica di ogni molecola di acqua. Ciò si traduce in un aumento del temperatura dell’acqua, che è legata all’ energia cinetica media delle sue molecole. Calore e lavoro sono quindi quantità che non sono associati ad un particolare stato del sistema in esame, ma piuttosto ai cambiamenti nel suo stato derivanti dalla sua interazione con l’ambiente. Ci sono fondamentalmente due modi in cui un sistema termodinamico può scambiare energia con l’ambiente circostante. Il lavoro è sempre associato ad un’ azione meccanica sul sistema o dal sistema, mentre il calore è associato a differenze di temperatura. Nel primo dei due esperimenti considerati, l’acqua era stata chiusa all’interno di pareti isolanti in modo che potesse scambiare energia con l’ambiente circostante solo attraverso il lavoro. Nel secondo esperimento il contenitore non è isolato termicamente e l’acqua in esso può scambiare energia con l’ambiente circostante attraverso il calore.

11.3. EQUILIBRIO TERMODINAMICO

11.3

227

Equilibrio termodinamico

Un sistema è in equilibrio termodinamico se il suo stato interno non cambia nel tempo fino a quando le condizioni esterne non sono alterate. L’equilibrio termodinamico implica • equilibrio meccanico: le forze che agiscono su ogni elemento del sistema sono bilanciate, in modo che non vi possa essere nessun moto di parti del sistema. In questa situazione non vi è alcun lavoro svolto all’interno del sistema o tra il sistema e il suo ambiente. La pressione è definita uniformemente, in modo che si possa descrivere il sistema (che si suppone essere sempre omogeneo ed isotropo) mediante un unico valore di p; • equilibrio termico: la temperatura è uniforme all’interno del sistema e coincide con la temperatura del suo ambiente. In questa situazione non fluisce calore all’interno del sistema o tra il sistema ed il suo ambiente. Il sistema può quindi essere caratterizzato da un unico valore di T ; • equilibrio chimico: tutte le reazioni chimiche dovrebbero aver raggiunto un punto di equilibrio in modo che la composizione chimica del sistema rimanga invariata. Un sistema di equilibrio termodinamico è quindi caratterizzato da valori ben definiti del volume V , della temperatura T e della pressione p. Se si tratta di una miscela di diversi composti chimici, la sua composizione chimica all’equilibrio deve essere anche specificata. Considereremo sistemi, come un gas omogeneo ad una componente e lontano da transizioni di fase, che sono totalmente descritti all’equilibrio da p, V, T . Le coordinate termodinamiche all’equilibrio non sono indipendenti, ma sono legate da un’equazione di stato che caratterizza le proprietà fisiche del sistema e che ha la forma generale: f (p, V, T ) = 0 .

(11.3.1)

Quindi, al fine di descrivere lo stato di equilibrio, possiamo scegliere due delle tre coordinate p, V, T come indipendenti, mentre la terza sarà fissata dall’ equazione (11.3.1). Lo stato di equilibrio di un sistema può quindi essere descritto da un punto nel piano p, V , se si scelgono queste come variabili indipendenti, nel piano p, T o nel piano T, V se si scelgono rispettivamente le coppie p, T or T, V . Si può cambiare lo stato del sistema variando le condizioni esterne che caratterizzano il suo ambiente. Se si aspetta abbastanza a lungo dopo una trasformazione, il sistema raggiungerà un nuovo stato di equilibrio definito dai nuovi valori delle sue coordinate termodinamiche . Prima del raggiungimento dell’equilibrio, il sistema, in generale, non può essere descritto dalle coordinate termodinamiche, in quanto p e T non saranno definiti globalmente nel sistema, ma possono assumere valori diversi in punti diversi all’interno di esso. Possiamo pensare di eseguire molto lentamente la trasformazione da uno stato di equilibrio iniziale ad uno finale, cioè mediante una successione di trasformazioni infinitesime alla fine di ciascuna delle quali si attende che si stabilisca l’equilibrio termodinamicoe durante le quali le coordinate termodinamiche sono variate di quantità infinitesime. La trasformazione

228


quindi potrà essere descritta da una successione di un numero infinito di stati intermedi di equilibrio. Tali trasformazioni sono rappresentate nel piano descritto dalle due coordinate termodinamiche indipendenti, come una sequenza di infiniti punti vicini, cioè da una curva continua, che collega lo stato iniziale allo stato finale. Queste trasformazioni sono chiamate reversibili in quanto il sistema può essere ricondotto alla stato iniziale, seguendo la stessa sequenza di stati intermedi in ordine inverso.

11.4

Prima legge della termodinamica

Introduciamo ora la prima legge della termodinamica, che esprime la conservazione di energia durante l’interazione di un sistema termodinamico con l’ambiente. Consideriamo la situazione generale di un sistema che può scambiare energia con l’ambiente sia tramite lavoro che tramite calore. Nel paragrafo precedente abbiamo preso in considerazione un sistema consistente in una quantità d’acqua, sulla quale il lavoro è compiuto da un sistema di pale rotanti. Due tipici sistemi termodinamici che scambiano energia con il loro ambiente attraverso il lavoro meccanico, sono, ad esempio, un gas in espansione contro le pareti del suo contenitore, oppure un gas compresso. In entrambi i casi il volume V del gas varia. Un fluido esercita su ogni punto della sua superficie una forza, che è descritta in termini di una pressione (forza normale alla superficie per unità di superficie). Al variare del volume del contenitore, i punti della sua superficie si spostano verso l’interno o verso l’esterno sotto l’effetto della forza esercitata dal fluido interno. Queste forze perciò compiono lavoro durante la compressione o l’ espansione, e, poiché sono orientate verso l’esterno, nel primo caso il lavoro è negativo, cioè il fluido resiste alla propria compressione, mentre nel secondo caso, è positivo, vedi Figura 11.7. Per valutare questo lavoro in termini di pressione e di variazione di volume, consideriamo il semplice caso di un gas all’interno di un contenitore cilindrico con un pistone, vedi Figura 11.7. Una pressione è esercitata dal gas in ogni punto della superficie interna del contenitore e quindi sulla superficie del pistone. Possiamo supporre che, in situazione di equilibrio meccanico, la pressione su tutti i punti delle pareti del contenitore sia la stessa. In questo caso si può scrivere la forza totale su una porzione ∆A della superficie interna del contenitore come ∆F = p ∆A. Nel rilasciare il pistone di un piccola lunghezza dx, in modo da far espandere il gas, il suo volume varia di dV = A dx, dove A è l’area del pistone. Durante la dilatazione del gas, esso compirà un lavoro positivo contro il pistone, espresso come il prodotto della forza totale (diretta verso l’esterno) che agisce sul pistone F = p A per lo spostamento dx: W = F dx = p A dx = p dV .

(11.4.1)

Il lavoro svolto dal gas sul pistone, che è parte dell’ambiente, è dato dall prodotto della pressione per la variazione del volume. Allo stesso modo, se il gas è stato compresso, il lavoro W sarà negativo e si dice che esso è compiuto dall’ambiente sul sistema. Ci si avvale

11.4. PRIMA LEGGE DELLA TERMODINAMICA

229

Figura 11.7:

quindi della seguente convenzione per il lavoro: il lavoro è positivo se compiuto dal sistema sull’ambiente, negativo quando compiuto sul sistema. Durante la dilatazione, la pressione del gas varierà. Siamo in grado di definire completamente lo stato di equilibrio del gas mediante i corrispondenti valori di p e V e associarlo ad un punto sul diagramma p, V (p, V possono essere scelte come coordinate termodinamiche indipendenti del sistema, in modo che la temperatura sarà espressa in funzione dei esse). A seconda che il lavoro sia fatto o subito dal sistema, il suo stato cambia e cos`ı il corrispondente punto sul diagramma p, V , ved. Fig. 11.8. Supponiamo di rilasciare il pistone in modo da fare variare il volume del gas da una quantità finita ∆V . Facciamo questo abbastanza lentamente in modo tale che in ogni fase di questa trasformazione il sistema ha abbastanza tempo per raggiungere l’equilibrio con il suo ambiente. Il punto corrispondente sulla p, V si sposta lungo una curva che collega lo stato iniziale A a quello finale B, vedi Figura 11.8. Al variare del volume, p varia in funzione di V . Possiamo scomporre la variazione totale del volume ∆V = VB − VA in quantità infinitesimali dV , all’interno del quale si può supporre che p sia costante. Il lavoro svolto dal sistema durante l’ espansione infinitesimale dV è dW = p dV . Il lavoro totale W (a) è la somma dei contributi relativi ad ogni variazione

230


Figura 11.8:

infinitesimale, dal volume iniziale VA a quello finale VB : W

(a)

Z

VB

p dV ,

=

(11.4.2)

VA

e corrisponde alla zona sotto la curva (a) della trasformazione nel piano p, V . Possiamo pensare di trasformare il sistema dallo stesso stato iniziale A allo stesso stato finale B, aumentando il volume da VA to VB a pressione costante pA e poi diminuire la pressione da pA to pB a volume costante VB , cioè di seguire la traiettoria (b) nella Figura 11.8. Il lavoro compiuto dal sistema sarà W (b) = pA ∆V . Avremmo potuto seguire uno percorso diverso tra gli stessi stati iniziale e finale, eseguendo la trasformazione in modo diverso. Si potrebbe per esempio, prima ridurre p da pA a pB a volume costante VA e poi dilatare il gas da VA a VB a pressione costante seguendo la curva (c) in Figura ??. Il corrispondente di lavoro sarebbe W (c) = pB ∆V . A seconda del percorso che abbiamo scelto per portare il sistema dallo stato A allo stato B, troviamo valori diversi per il lavoro che, pertanto, non dipendono solo dagli stati iniziali e finali dichiara A, B, ma anche dalla strada seguita nel passare da uno all’altro: W (a) 6= W (b) 6= W (c) .

(11.4.3)


231

Possiamo descrivere alternativamente gli stati di equilibrio del sistema in termini di p, T , che vengono scelti come variabili indipendenti, e descrivere il flusso di calore tra il sistema e il suo ambiente, passando dallo stato A ≡ (pA , TA ) allo stato B ≡ (pB , TB ). La quantità di calore scambiata durante la trasformazione dipende da come questa è attuata, e non solo dagli stati iniziali e finali. Infatti possiamo modificare la pressione a temperatura costante TA da pA a pB e quindi modificare la temperatura da TA a TB a pressione costante pB , o potremmo modificare la temperatura da TA a TB a pressione costante pA e quindi modificare la pressione a temperatura costante TB da pA a pB . La quantità di calore scambiata nelle due trasformazioni è diversa. Useremo la convenzione che il calore Q è positivo quando è trasmesso al sistema, mentre è negativo quando viene rilasciato dal sistema all’ambiente. Dalle precedenti osservazioni si conclude che in generale la quantità di calore e lavoro scambiati tra il sistema e il suo ambiente nel corso di una trasformazione, non sono funzioni solo degli stati iniziali e finali, ma dipendono anche dagli stati intermedi, vale a dire dal percorso seguito. Comunque, sperimentalmente, si osserva che la differenza Q − W dipende solo dagli stati iniziali e finali ed è quindi indipendente dal percorso seguito. Questo fatto empirico ci permette di introdurre un funzione dello stato di U , in modo che, se W e Q sono il lavoro ed il calore scambiato nel passaggio del sistema dallo stato A allo stato B Q − W = UB − UA = ∆U .

(11.4.4)

La funzione U è chiamata energia interna del sistema e la relazione precedente ha la seguente interpretazione. Se il sistema assorbe una quantità di calore Q > 0, dell’ energia fluisce in esso. Se, al tempo stesso, il sistema compie lavoro sull’ambiente W > 0, esso perde energia. Se l’energia è essere conservata, la differenza tra l’energia che entra nel sistema (in questo esempio Q > 0) e l’energia che fluisce fuori dal sistema (nell’ esempio W > 0), deve tradursi in una variazione di qualche nuova forma di l’energia, l’energia interna U , associata al sistema. L’equazione (11.4.4) esprime quindi la conservazione di energia in un processo termodinamico ed è nota come prima legge della termodinamica. Nel secondo esperimento illustrato nella fig. 11.6 e discusso nel precedente paragrafo, quando l’acqua viene riscaldata da TA a TB > TA , si può trascurare il lavoro compiuto dall’acqua essendo la sua variazione di volume molto piccola. Durante questo processo, l’unica energia scambiata con l’ambiente è il calore Q assorbito dall’acqua e si potrebbe scrivere Q = UB − UA , coerentemente con l’equazione (11.4.4). Nel primo esperimento invece l’unica l’energia scambiata con l’ambiente era il lavoro negativo W = W nc < 0 compiuto dall’acqua sulle pale e che descrive un equivalente flusso di energia al sistema causando un aumento di energia interna pari a −W = UB − UA come nel secondo esperimento. I due flussi di energia al sistema, che hanno causato la stessa variazione di temperatura, sono stati pari Q = −W . Dal punto di vista microscopico, l’energia interna è interpretata come l’energia meccanica totale associata alle molecole costitutive del sistema. Se del lavoro è compiuto sul sistema (W < 0), come da parte delle pale nell’esperimento di Joule, e se non vi è alcun moto risultante macroscopico del sistema, l’energia meccanica viene dissipata e trasferita al moto delle singole molecole all’interno della sistema.

232


Il calore, da un punto di vista microscopico, può essere interpretato come un aumento dell’energia meccanica delle molecole, che viene trasferita da un oggetto ad un altro, in contatto tra loro attraverso collisioni molecolari. Nel secondo esperimento, discusso nell’ultima sezione, l’energia viene rilasciata dal bruciatore a tutto ciò che gli sta intorno aumentando cos`ı l’energia meccanica media delle molecole dell’aria circostante. Questa energia meccanica viene trasferita, attraverso collisioni, alle molecole del contenitore e, da queste, alle molecole dell’acqua, causando un aumento di U . Il calore e il lavoro, scambiati durante una trasformazione tra il sistema e l’ambiente circostante, in genere non possono essere espressi separatamente come un “cambiamento” di una certa quantità tra lo stato finale e quello iniziale. Tuttavia, la loro differenza può esserlo, in virt` u dell’equazione (11.4.4). La prima legge può essere espressa in forma infinitesimale. Consideriamo una trasformazione del sistema per effetto della quale le quantità termodinamiche dello stato finale differiscono per una quantità veramente piccole dai loro valori iniziali. Il caloree il lavoro scambiati durante la trasformazione saranno parimenti descritti da quantità infinitesime, che indicheremo con dQ e dW . Insistiamo comunque sul fatto che dQ e dW non possono essere interpretati come variazioni di qualche funzione Q e W , ma solo come quantità scambiate. Se dU è la variazione infinitesima dell’energia interna risultante da tale trasformazione, l’equazione (11.4.4) diventa dQ − dW = dU .

(11.4.5)

Supponiamo ora di scegliere come variabili indipendenti T e V . Poiché U è una funzione di stato, sarà una funzione di T, V , cioè U = U (T, V ). Durante la trasformazione infinitesimale T, V sono variate di quantità infinitesime: V → V + dV e T → T + dT . Possiamo esprimere la variazione totale di U in termini delle sue derivate parziali rispetto a V e T , calcolate rispettivamente prendendo T e V come costanti e derivando U come sola funzione di V e T . Di solito, data una funzione di pi` u variabili, è implicito, nel fare la derivata parziale, mantenere fisse tutte le altre variabili. Tuttavia in questo caso la stessa quantità U può essere espressa come funzione di diverse variabili, a seconda della coppia di coordinate che usiamo per descrivere il sistema. Per questo si usa specificare, insieme al simbolo di derivata parziale di U , la variabile che viene mantenuta costante durante la derivazione. Questo ci dice quale è la coppia di variabili in funzione della quale U è espresso. A tal fine dovremo scrivere il simbolo della derivazione parziale tra parentesi e indicare, come pedice, la variabile ∂U , vogliamo intendere che U è presa che è mantenuta fissa. Per esempio, se scriviamo ∂V T come funzione delle variabili indipendenti V, T . In questo caso, per calcolare la derivata parziale al variare di V , T è mantenuto fisso, mentre in genere p varierà , dal momento che ∂U è esso e’ espresso in termini di V e T dall’equazione di stato. La quantità ∂V p è quindi ∂U differente da ∂V , poiché nel primo caso U è considerato come una funzione delle variabili T indipendenti V, p e, al variare di V , p è mantenuto costante, mentre T varia. Scegliendo V, T come variabili indipendenti, la variazione di U , in una trasformazione infinitesima, può essere scritta come segue: ∂U ∂U dU = U (V + dV, T + dT ) − U (V, T ) = dV + dT . (11.4.6) ∂V T ∂T V


233

Sostituendo questa espressione nell’equazione (11.4.5) e scrivendo dW = p dV , troviamo ∂U ∂U + p dV + dT . (11.4.7) dQ = dU + dW = ∂V T ∂T V Se scegliamo invece T e p come variabili indipendenti, dU avrà la forma: ∂U ∂U dU = U (p + dp, T + dT ) − U (p, T ) = dp + dT . ∂p T ∂T p

(11.4.8)

Essendo V una funzione di p e T , possiamo anche indicare dV in termini di dp e dT ∂V ∂V dV = V (p + dp, T + dT ) − V (p, T ) = dp + dT . (11.4.9) ∂p T ∂T p Sostituendo queste equazioni in (11.4.5) troviamo dQ = dU + dW =

∂U ∂p

+p T

∂V ∂p

"

dp + T

∂U ∂T

+p p

∂V ∂T

# dT (11.4.10) . p

Se noi scaldiamo il sistema a volume costante dV = 0, la corrispondente capacità termica CV , cioè il rapporto dQ/dT , può essere desunta dall’equazione (11.4.7) dQ ∂U . (11.4.11) CV = = dT ∂T V Se riscaldiamo il sistema, mantenendo invece p costante, (dp = 0), la corrispondente capacità termica Cp può essere desunta dall’equazione (11.4.10) ∂V dQ ∂U +p , (11.4.12) Cp = = dT ∂T p ∂T p dove l’ultimo termine a destra è il contributo alla capacità termica dovuto al lavoro compiuto. Esempio 2 Come esempio, consideriamo l’applicazione della prima legge della termodinamica a processi in cui la pressione è mantenuta costante. Questi sono chiamati processi isobarici. Se p è la pressione costante e se, durante la trasformazione, il volume del sistema viene variato da VA a VB , il lavoro fatto dal sistema sarà : Z VB W = p dV = p (VB − VA ) . (11.4.13) VA

Un esempio di trasformazione isobarica è offerto da un sistema che consiste in una mistura di acqua e vapore, contenuta in un cilindro verticale, che si espande agendo contro un pistone situato al di sopra, sul quale è collocata una data massa m. Possiamo pensare che la trasformazione avvenga lentamente, in modo che in ogni istante il sistema sia in equilibrio

234


meccanico con l’ambiente circostante; cos`ı la pressione esercitata dal pistone sul sistema eguaglia la pressione p esercitata dal sistema sul pistone, che è quindi costante durante l’espansione e data da m g/A, essendo A l’area del pistone. Per far s`ı che il vapore si espanda contro il pistone, del calore deve essere fornito costantemente. L’effetto del calore aumenterà la quantità relativa di vapore rispetto all’acqua. In effetti, la fase di transizione dall’ acqua al vapore avviene a precisi valori di temperatura e pressione (T = 100 o C a pressione atmosferica) e richiede una determinata quantità di calore per unità di massa, chiamata calore di vaporizzazione L (per l’acqua a 1 atm, L = 539 Kcal/Kg). Per far s`ı che una massa M di acqua raggiunga la fase di passaggio al vapore, una quantità di calore Q = M L deve essere fornita dal sistema. Appena l’acqua si trasforma in vapore, il suo volume aumenta da VA a VB > VA e cos`ı il sistema si espande contro il pistone a pressione costante p. In virt` u dell’equazione (11.4.4), il calore Q fornito è in parte trasformato in lavoro, in parte in energia interna: Q = M L = UB − UA + W = UB − UA + p (VB − VA ) .

(11.4.14)

Esempio 3 Un’altra importante categoria di processi sono quelli in cui non vi è scambio di calore tra il sistema e l’ambiente circostante. Questi sono chiamati processi adiabatici . Questa è tipicamente la situazione in cui il sistema, che è sottoposto a trasformazione, è collocato entro un contenitore con pareti isolanti, come per l’acqua nell’esperimento di Joule descritto nell’ultima sezione. Durante le trasformazioni adiabatiche Q = 0 e l’energia è scambiata con l’ambiente solo sotto forma di lavoro. W = −∆U .

(11.4.15)

Se il sistema si espande contro le pareti del suo contenitore, esso produce un lavoro positivo W > 0, pertanto l’energia interna diminuisce ∆U < 0. Un processo particolare è l’ espansione libera di un gas in cui Q = W = 0. Consideriamo, ad esempio, un contenitore isolato termicamente, consistente in due camere, separate da una parete isolante, con una valvola ermetica (si veda Fig. 11.9). Una camera è riempita con un gas, l’altra è vuota. Appena verrà aperta la valvola, il gas si propagherà nella camera vuota, espandendosi. Questa espansione, tuttavia, non implicherà, né calore né lavoro, poiché il gas non si espande contro alcunché. Poiché Q = W = 0, grazie alla prima legge, l’energia interna rimane costante durante la dilatazione libera.

11.5

Gas ideali

´ un fatto sperimentale che tutti i gas, a bassi valori di densità e di pressione, si comportano E approssimativamente nello stesso modo. Le loro differenze nel comportamento possono esser ridotte diminuendo la densità e la pressione, cos`ı che possiamo definire un comportamentolimite che osserveremmo se la densità e pressione fossero ridotte indefinitamente ed associarlo ad un gas perfetto o ideale. Nella situazione di equilibrio, la pressione p, il volume V e la temperatura T di un gas ideale sono legate dalla seguente equazione di stato pV

= nRT ,

(11.5.1)

11.5. GAS IDEALI

235

Figura 11.9: Espansione libera.

dove R = 1.98 cal/(mole)(K o ) = 8.32 Joules/(mole)(K o ) è una costante universale e n è la massa del gas misurata in unità di gram-molecole o mole. Una mole è la massa la cui misura in grammi eguaglia il peso molecolare M del gas (per esempio il peso molecolare dell’ossigeno O2 è 16 × 2 = 32 mentre il peso medio molecolare dell’aria è 28.88). Se la massa del gas è m (grammi) allora la massa in mole è n = m (grammi)/M e misura quante mole sono contenute in m. Dall’equazione (11.5.1) vediamo che, per un gas perfetto, la quantità V /n, che è il volume per mole, o volume occupato da una mole, dipende solo dalla pressione e dalla temperatura del gas e non dalla sua composizione chimica. Per esempio, a condizioni standard p = 1 atm and T = 273 K o , V /n = 22.4 litri/(mole). Un gas ideale descrive bene il comportamnto di un gas reale purché la pressione non sia troppo alta o la temperatura troppo bassa. Come anticipato nel Cap. 5, l’energia interna di un sistema termodinamico può essere interpretata come l’energia meccanica totale delle N molecole (N 1) che lo costituiscono. Questa energia è la somma della dell’energia cinetica totale e dalla media della energia potenziale totale. La prima è esprimibile come N volte l’energia cinetica media hEk i(T ) di ciascuna molecola, che dipende dalla temperatura del sistema. La seconda invece dipende dalla distanza media tra le molecole e, quindi, dal volume del sistema. U = E=

N X

(i)

Ek + Ep ({rij }) = N hEk i(T ) + Ep (V ) .

(11.5.2)

i=1

Un gas ideale è caratterizzato, da un punto di vista microscopico, dalla proprietà che le sue molecole possono essere considerate particelle libere, eccetto per le collisioni istantanee. Per

236


un gas ideale, quindi, il contributo di energia potenziale ad U è trascurabile e questo spiega il fatto sperimentale che l’energia interna di un gas ideale dipenda solo dalla sua temperatura: U = U (T ). Esercizio 1 Spiegare come ci si aspetta che T vari durante la dilatazione libera di un gas ideale e di un gas reale. Usando le equazioni (11.4.11), (11.4.12) e (11.5.1) possiamo scrivere la capacità termica di un gas ideale: CV

=

dU , dT

1 Cp = CV + p (n R ) = CV + n R . p

(11.5.3)

Ricordando che n = m/M e che il calore specifico molare è definito come capacità termica per mole e quindi è calcolato dividendo C per n, possiamo anche scrivere la relazione tra i due calori specifici di un gas ideale cp = cV + R .

(11.5.4)

Sperimentalmente si trova che CV è quasi indipendente da T , cos`ı che per un gas ideale si trova: U (T ) = CV T + const. .

(11.5.5)

Dalla teoria cinetica dei gas, si può mostrare che 3 R per gas monoatomici 2 . cV = 5 R per gas diatomici 2

(11.5.6)

Dall’equazione (11.5.4) si trova 5 cp =

2 7 2

R R

per gas monoatomici . per gas diatomici

(11.5.7)

Definiamo la seguente costante K, che è caratteristica di un gas ideale, come 5 cp per gas monoatomici K = = 37 . per gas diatomici cV 5

(11.5.8)

Descriviamo ora una trasformazione adiabatica per un gas ideale. Durante una espansione adiabatica dQ = 0 e quindi la prima legge della termodinamica implica che: dU + dW = 0 ⇔

CV dT + p dV = CV dT + n R T

dV = 0, V

(11.5.9)

dove abbiamo usato (11.5.5). Dividendo entrambi i membri della suddetta equazione per CV T e ricordando che la capacità molare vale cV = CV /n, troviamo dT R dV dT dV + = + (K − 1) , T cV V T V

(11.5.10)

11.5. GAS IDEALI

237

dove abbiamo usato la proprietà K = 1 + come segue:

R cV

. La suddetta equazione può essere integrata

d log(T ) + (K − 1) d log(V ) = 0 ⇒ T = (const.) × V 1−K .

(11.5.11)

Da questa equazione vediamo che, come conseguenza di una espansione adiabatica, poiché 1−K < 0, la temperatura del gas diminuisce. Usando l’equazione di stato (11.5.1), possiamo esprimere T in termini di V e p ed ottenere p = (const.) × V −K ,

(11.5.12)

dove abbiamo incluso il fattore n R nella costante. Poiché K > 1 vediamo che le trasformazioni adiabatiche (reversibili), per un gas ideale, sono rappresentate nel piano p, V da curve che sono pi` u ripide delle linee isotermiche, rappresentate da iperboli equilatere. Infine possiamo esprimere la relazione tra temperatura e pressione durante una trasformazione adiabatica. ´ sufficiente sostituire nell’equazione (11.5.11) l’espressione di V come una funzione di T e E p, usando (11.5.1): T p

K−1 K

= const. .

(11.5.13)

Esempio 4 Calcolare il lavoro compiuto da una mole di un gas ideale che si espande isotermicamente (cioè a temperatura costante) da un volume iniziale Vi a uno finale Vf (considerare la situazione in cui la trasformazione è reversibile, cioè, in ciascuno stadio della trasformazione, il sistema è infinitamente vicino ad uno stato di equilibrio e quindi si può applicare l’equazione di stato). Possiamo applicare l’equazione (11.5.1) per esprimere p come funzione di V a temperatura costante: p(V ) = n R T Possiamo allora calcolare il lavoro Z Vf Z W = p(V ) dV = n R T Vi

Vf

Vi

1 . V

(11.5.14)

dV Vf = n R T log( ) . V Vi

(11.5.15)

Le trasformazioni isotermiche reversibili di un gas perfetto sono rappresentate da iperboli equilatere nel piano p, V , definite dall’equazione (11.5.14). Esempio 5 Considerare la dipendenza della temperatura dall’altitudine nella nostra atmosfera. Questa dipendenza è dovuta alla presenza nella troposfera (lo strato pi` u basso dell’atmosfera che si estende dalla superficie terrestre ad un’altitudine che varia tra 7 Km ai poli e 17 Km all’equatore) di correnti convettrici che trasportano masse di aria dalle altitudini pi` u basse verso l’alto e dalle altitudini pi` u alte verso il basso. Quando una massa d’aria si muove dal livello del mare verso l’alto, la sua pressione diminuisce e, come conseguenza, essa

238


si espande. Dal momento che l’aria è un cattivo conduttore di calore, possiamo trascurare la quantità di calore scambiata dall’aria che si muove verso l’alto con ciò che la circonda e descrivere questo processo in termini di una trasformazione adiabatica. In particolare, grazie all’equazione (11.5.11), questa espansione causa una diminuzione della temperature dell’aria. Per la stessa ragione, quando l’aria si muove verso il basso verso regioni con una pressione pi` u alta, essa viene sottoposta ad una compressione adiabatica e, come conseguenza, la sua temperatura aumenta. Nella condizione di equilibrio, la temperatura media T in ogni punto nell’atmosfera avrà una dipendenza dall’altitudine z. Per determinare questa dipendenza iniziamo dall’equazione di statica dei fluidi che definisce la distribuzione, all’equilibrio, della pressione come una funzione dell’altezza: dp = −g ρ dz .

(11.5.16)

Esprimiamo ora la densità dell’aria in condizioni di equilibrio in funzione della sua pressione e temperatura, usando (11.5.1): ρ =

Mp m = 10−3 , V RT

(11.5.17)

dove abbiamo usato la relazione n = m/M , M ∼ 28.88 gr per l’aria e il fattore 10−3 è dovuto al fatto che stiamo esprimendo m in Kg. Sostituendo questa espressione in (11.5.16) si trova gM dp = −10−3 dz . p RT

(11.5.18)

Dall’equazione (11.5.13) troviamo dT T

K − 1 dp , K p

(11.5.19)

K − 1 −3 g M 10 dz . K R

(11.5.20)

=

che, insieme con (11.5.18) dà dT = − Assumendo K =

7 5

troviamo dT dz

o

≈ −9.7

K . Km

(11.5.21)

Secondo questo calcolo, la temperatura dovrebbe decrescere di circa 9.7 gradi salendo di 1 Km. Questo valore di dT è in una certa misura pi` u grande di quello osservato, perché dz abbiamo trascurato il fenomeno della condensazione del vapore acqueo durante la dilatazione delle masse di aria.

11.6. LA SECONDA LEGGE DELLA TERMODINAMICA

11.6

239

La seconda legge della termodinamica

La prima legge della termodinamica esprime la conservazione dell’energia in tutti i processi termodinamici. L’energia che fluisce nel sistema, che è la differenza tra l’energia che entra (sia come calore Q > 0 che come lavoro W < 0) e l’energia che esce (Q < 0, W > 0), dovrebbe risultare in una variazione dell’energia interna U del sistema. Questa legge, tuttavia, non ci dice se un processo può veramente aver luogo. Ci sono indubbiamente processi che non sono esclusi dalla prima legge, ma che non si verificano mai. Un esempio è il passaggio spontaneo di calore da un oggetto ad un altro a temperatura pi` u alta. Ciò che si osserva, quando due oggetti sono messi in contatto, è che il calore passa dall’oggetto pi` u caldo a quello pi` u freddo e mai il contrario. Sperimentalmente si possono anche trovare limitazioni, non derivabili dalla prima legge, alla possibilità di convertire calore in lavoro nei casi in cui, per esempio, il calore estratto dall’oggetto ed il corrispondente lavoro prodotto sono uguali e quindi l’energia è conservata. Pertanto, mentre dal punto di vista energetico non ci sono limitazioni per la conversione del lavoro in calore, come nell’esperimento di Joule, dove una quantità di lavoro veniva totalmente convertita in calore, non si è mai riusciti a realizzare un processo il cui unico risultato fosse la conversione di una data quantità di calore, derivato da un’unica sorgente, in lavoro. Se ciò fosse possibile, allora sarebbe possibile trasformare il calore in lavoro, raffreddando gli oggetti circostanti. Dal momento che, in linea di principio, non vi è alcun limite al calore, che può essere ottenuto dall’aria o dal mare, potrebbe essere ideata una macchina a moto perpetuo detta macchina a moto perpetuo del secondo tipo, che spontaneamente e continuamente trasforma il calorein una eguale quantità di lavoro (consistentemente con la prima legge della termodinamica), senza necessitare dell’apporto di energia esterna (le cosiddette macchine a moto perpetuo di prima specie produrrebbero pi` u energia di quella consumata e quindi violerebbero il principio di conservazione dell’energia). Una macchina a moto perpetuo di secondo tipo necessiterebbe solamente di una fonte che fornisca il calore da convertire in lavoro. L’insuccesso di tutti i tentativi di ideare una simile macchina ha portato alla formulazione della seconda legge della termodinamica che nega la possibilità di costruire una macchina a moto perpetuo del secondo tipo Prima di dare una formulazione precisa pi` u della seconda legge, introduciamo alcuni concetti preliminari che useremo in seguito. Per sorgente di calore, o sorgente termica, intendiamo un corpo alla temperatura uniforme T che può scambiare calore con un secondo corpo in contatto con lui senza subire variazioni apprezzabili della sua temperatura mentre si stabilisce l’equilibrio termico. Inoltre una sorgente di calore scambia energia con l’ambiente circostante solo mediante il calore e non il lavoro. Ciò avviene se il suo volume non cambia durante l’interazione con gli altri corpi. Per questo una sorgente di termica tipicamente consiste in un corpo con grande capacità termica, come una grande quantità di acqua a temperatura T . Un ciclo reversibile è una successione di trasformazioni reversibili di un sistema omogeneo in seguito alla quale il sistema ritorna al suo stato iniziale. Lungo un ciclo, perciò, la variazione totale dell’energia interna del sistema è nulla essendo gli stati iniziale e finale coincidenti: ∆U = 0. Per la prima legge della termodinamica, il calore totale Q e il lavoro

240


W scambiati dal sistema con l’ambiente, durante il ciclo reversibile, sono uguali a Q = W.

(11.6.1)

Un ciclo reversibile è rappresentato nel piano p, V da una curva chiusa, con una certa orientazione. Il lavoro W fatto dal sistema durante il ciclo è dato dall’area racchiusa dalla curva corrispondente, con un segno pi` u (cioè il sistema compie lavoro sull’ambiente circostante) se esso è descritto in senso orario, o con un segno negativo (il lavoro è fatto sul sistema) altrimenti. Se W > 0, significa che, sul ciclo, una quantità netta di calore Q fluisce nel sistema ed è convertito in una equivalente quantità di lavoro W = Q. Questo processo realizza una macchina termica.

11.6.1

Ciclo di Carnot

Un esempio di ciclo reversibileè il ciclo di Carnot, ideato da Sadi Carnot nel 1824. Esso consiste in due trasformazioni adiabatiche e due trasformazioni isotermiche, vedi Figure 11.10 e 11.11 per una raffigurazione schematica della trasformazione. Si può dimostrare

Figura 11.10:

che il pi` u generale ciclo reversibile durante il quale il sistema scambia calore con sole due sorgenti (i.e. ciclo reversibile che lavora tra due sorgenti ) è il ciclo di Carnot. La forma di


241

Figura 11.11:

questo ciclo sul piano p, V dipende chiaramente dalle proprietà fisiche del sistema sottoposto alla trasformazione, ovvero dalla sua equazone di stato. Per descrivere il ciclo di Carnot consideriamo un gas perfetto contenuto in un cilindro verticale, chiuso sopra da un pistone ermetico, vedi Figura 11.12. Le pareti laterali del cilindro e il pistone sono termicamente isolanti, mentre la base conduce calore. Lo stato iniziale è rappresentato dal punto A nella Figura 11.11 e descrive lo stato di equilibrio in cui la base del cilindro è in contatto con una sorgente di calore alla temperatura T2 . Ciò significa che lo stesso gas è alla temperatura T2 . Posizioniamo ora il pistone in modo che il gas si espanda lentamente cos`ı che esso abbia abbastanza tempo, in ogni fase del processo, di raggiungere l’equilibrio termicocon la sorgente di calore. Questa prima espansione è quindi isotermica, dal momento che avviene alla temperatura costante T2 ed è descritta dalla linea AB nella Figura 11.11. Dopo aver raggiunto lo stato di equilibrio B, sostituiamo la sorgente di calore con un isolante termico, in modo che il gas sia isolato termicamente dall’ambiente circostante. Eseguiamo quindi una lenta espansione del gas sino al volume VC in modo da realizzare la trasformazione adiabatica reversibile rappresentata dalla linea BC nella Figura 11.11. Una volta raggiunto lo stato di equilibrio C, l’isolante è sostituito da una sorgente di calore alla temperatura T1 < T2 e il gas è lentamente compresso lungo la linea isotermica CD sino al volume VD . Infine, partendo dallo stato D, il sistema è nuovamente isolato e compresso fino a quando

242


Figura 11.12: Ciclo di Carnot di un gas.

raggiunge la temperatura originaria T2 al volume VA , attraverso la trasformazione reversibile adiabatica rappresentata dalla linea DA. Durante questo ciclo, il gas compie un lavoro W > 0 sull’ambiente, assorbe una quantità di calore Q2 > 0 dalla sorgente a temperatura T2 durante l’espansione isotermica AB, e trasferisce una quantità di calore, in valore assoluto, pari a Q1 > 0 alla sorgente a temperatura T1 . Usiamo qui e fino alla sezione 11.7, per semplificare l’esposizione, la convenzione di indicare i calori scambiati con le sorgenti attraverso i loro valori assoluti Q1 , Q2 , tenendo presente quindi che, nella notazione definita in precedenza, il calore ceduto dal sistema è negativo e vale −Q1 < 0. La quantita di energia fluita dentro il sistema è pertanto Q = Q2 − Q1 > 0 mentre l’energia ceduta dal sistema all’ambiante è misurata dal lavoro W . Dalla prima legge della termodinamica otteniamo: W = Q2 − Q1 .

(11.6.2)

Il ciclo di Carnot può essere ripetuto in modo da produrre costantemente lavoro meccanico dal calore. Esso costituisce un esempio di macchina termica. Una quantità di calore Q è trasformata in lavoro. Tuttavia, non tutto il calore Q2 ottenuto dalla sorgente a T2 è trasformato in lavoro: parte di esso, Q1 , è trasferito alla sorgente alla temperatura inferiore T1 . Questo è tipico delle macchine termiche, cioè non è possibile ideare una macchina termica il cui unico effetto sia la conversione di una quantità di calore, estratta da una sorgente di calore ad una data temperatura, in lavoro. C’è sempre una perdita di energia, rappresentata dal calore Q1 che è trasmesso ad una sorgente alla temperatura pi` u bassa. Definiamo il


243

rendimento η del ciclo come la quantità η =

W Q1 =1− . Q2 Q2

(11.6.3)

Essa misura la frazione del calore estratto dalla sorgente a temperatura pi` u alta, che è trasformata in lavoro. Se esso fosse tutto convertito in lavoro, allora η = 1 e Q1 = 0, cioè non vi sarebbe perdita di energia e la macchina potrebbe lavorare con una sola sorgente di calore. Come abbiamo detto sopra, è un fatto sperimentale che una macchina termica con rendimento massimo (η = 1) non può essere costruito, cioè che η < 1. In altre parole, per convertire il calore in lavoro, c’è bisogno di almeno due sorgenti di calore a differenti temperature. Si dice che la macchina basata sul ciclo lavora tra due temperature T1 e T2 . Esempio 6 Mostrare che, se la sostanza è un gas ideale, il rendimento del ciclo di Carnot che lavora fra due temperature T1 e T2 > T1 è η =

T2 − T1 . T2

(11.6.4)

Poiché l’energia interna di un gas ideale è funzione della sola temperatura, essa è costante lungo le trasformazioni isotermiche AB e CD. Per la prima legge della termodinamica, il calore Q2 , assorbito alla temperatura T2 eguaglia il lavoro W2 fatto dal sistema durante la sua espansione, che è (vedi esempio 4): VB Q2 = W2 = n R T2 log . (11.6.5) VA Allo stesso modo, il calore −Q1 < 0 fornito dal sistema alla sorgente T1 lungo CD eguaglia il lavoro −W1 < 0 fatto dal sistema durante la compressione VC Q1 = W1 = n R T1 log . (11.6.6) VD Ora applichiamo l’equazione (11.5.11) alle trasformazioni adiabatiche BC e DA: BC : DA :

T2 VBK−1 = T1 VCK−1 , T2 VAK−1 = T1 VDK−1 .

(11.6.7)

Dividendo queste due equazioni membro a membro, otteniamo: VB VC = . VA VD

(11.6.8)

Da questa guaglianza e dalle equazioni (11.6.5), (11.6.6) deduciamo: Q1 T1 = . Q2 T2

(11.6.9)

244


Il rendimento quindi risulta essere: η = 1−

Q1 T2 − T1 = . Q2 T2

(11.6.10)

Dal momento che il ciclo di Carnot è reversibile, possiamo realizzarlo in senso opposto, eseguendo le trasformazioni descritte sopra in ordine inverso: A → D → C → B → A. La trasformazione darà origine ad un lavoro −W < 0 fatto sul sistema al fine di assorbire una quantità di calore Q1 > 0 dalla sorgente a temperatura pi` u bassa e trasferire una quantità di calore Q2 = Q1 + W alla sorgente a temperatura pi` u alta. Questo ciclo è una rappresentazione schematica del processo fisico con cui lavora un frigorifero. Un frigorifero è una macchina capace di trasferire calore da un oggetto ad una certa temperatura ad un altro oggetto a temperatura pi` u alta, cosi da tenere, per esempio, il sistema a temperatura inferiore a quella dell’ambiente circostante. Questo processo è opposto al flusso di calore spontaneo quando due corpi a temperature diverse sono posti a contatto e, perciò, è necessario impiegare una quantità di lavoro per realizzarlo. Un frigorifero perfetto sarebbe, quindi, una macchina capace di trasferire una quantità di calore, Q1 , da un oggetto ad una certa temperatura ad un altro oggetto a temperatura pi` u alta, senza il bisogno di un apporto esterno di lavoro. Frigorifero perfetto:

W = 0 , Q2 = Q1 .

(11.6.11)

Schematicamente descriveremo i cicli termici e frigoriferi tra due temperature come in figura 11.13.

11.6.2

Postulati di Clausius e di Lord Kelvin

L’esperienza insegna che i frigoriferi perfetti, proprio come le macchine a moto perpetuo, non possono essere costruiti. Questi fatti empirici sono descritti dalla seconda legge della termodinamica che può essere formulata in diversi modi equivalenti: Postulato di Clausius: Una trasformazione, il cui unico risultato finale è di trasferire calore da un corpo ad una data temperatura ad un altro a temperatura pi` u alta, è impossibile Postulato di Lord Kelvin: Una trasformazione, il cui unico risultato finale è la trasformazione in lavoro del calore proveniente da un’ unica sorgente a temperatura costante è impossibile. Dimostriamo ora l’equivalenza fra i due postulati, provando che se uno di essi non fosse valido, l’altro parimenti non varrebbe. Supponiamo che il postulato di Clausius non fosse valido e che fosse quindi possibile costruire un frigorifero perfetto che trasferisca una quantità di calore da una sorgente alla temperatura di T1 ad una sorgente alla temperatura T2 > T1 senza impiego di lavoro. Allora, come prima cosa, potremmo eseguire un ciclo di Carnot tra le due sorgenti in modo da assorbire una quantità di calore Q2 dalla sorgente T2 e produrre


Figura 11.13: temperature.

245

Rappresentazioen schematica dei un cicli termici e frigoriferi tra due

lavoro W , mentre viene trasmessa una quantità di calore Q1 = Q2 − W alla sorgente T1 . Poi, usando il frigorifero perfetto, potremmo trasferire Q1 dalla sorgente T1 alla sorgente alla temperatura pi` u alta T2 . Durante questa sequenza di trasformazioni, la sorgente T1 avrebbe assorbito ed emesso la stessa quantità di calore Q1 e cos`ı sarebbe rimasta inalterata. Il solo risultato dell’intero processo sarebbe quello di trasferire una quantità di calore Q2 − Q1 dalla sorgente a temperatura T2 in lavoro, in contraddizione con il postulato di Lord Kelvin. Supponiamo ora che il postulato di Lord Kelvin non sia valido e che si possa ideare una trasformazione il cui solo risultato finale sia la trasformazione di una quantità di calore Q, proveniente da una sola sorgente ad una data temperatura T1 in lavoro W = Q. Poiché , usando l’attrito, è sempre possibile convertire totalmente una quantità di lavoro in calore (vedi l’esperimento di Joule), il lavoro W appena prodotto può essere dissipato in un secondo sistema, producendo in tal modo un aumento della sua temperatura, indipendentemente dalla sua temperatura iniziale T2 . In particolare, possiamo prendere T2 > T1 , cos`ı che il solo risultato dell’intero processo è trasferire una quantità di calore Q da una sorgente a temperatura T1 ad una sorgente a temperatura T2 > T1 , in contraddizione con il postulato di Clausius Finora abbiamo trattato il ciclo di Carnot. Possiamo considerare macchine termiche che lavorano su cicli di trasformazione pi` u generali, che non consistono necessariamente in due trasformazioni isotermiche e due adiabatiche. Supponiamo che una macchina termica lavori tra due temperature T1 e T2 > T1 , in modo che durante ciascun ciclo venga prodotto un lavoro positivo, W , assorbendo una quantità di calore Q2 dalla sorgente T2 e trasmettendo una

246


quantità di calore Q1 alla sorgente T1 , cos`ı che W = Q2 − Q1 . Possiamo mostrare che, come caratteristica generale, Q2 e Q1 sono entrambi positivi. Supponiamo infatti Q1 ≤ 0, cioè che la quantità di calore Q1 sia assorbita dalla sorgente T1 . Allora, dopo ogni ciclo, possiamo mettere le due sorgenti in contatto in modo che il calore possa passare dalla sorgente pi` u calda a quella pi` u fredda. Teniamo le due sorgenti a contatto finché una quantità, precisamente Q1 , di calore è passata alla sorgente T1 . Alla fine di questo processo, il sistema ritornerebbe allo stato iniziale poiché si è realizzata una trasformazione ciclica. La sorgente T1 non avrà subito variazioni, dal momento che, durante la trasformazione, ha emesso ed assorbito la stessa quantità di calore Q1 . L’unico risultato della trasformazione, pertanto, sarebbe la conversione di una quantità di calore attinto dalla sorgente T2 in lavoro, in contraddizione con il postulato di Kelvin. ` immediato infine mostrare che per un generico ciclo, Q2 > 0. Per la prima legge, E infatti, abbiamo Q2 = W + Q1 . Poiché entrambi, W and Q1 , sono positivi, ne segue che anche Q2 lo è . Una macchina termica è chiamata reversibile se la sua trasformazione ciclica è reversibile.

11.6.3

Teorema di Carnot

Proviamo ora una importante proprietà delle macchine termiche espressa dal teorema di Carnot. Consideriamo due macchine termiche A e A0 che lavorano tra le stesse temperature T1 e T2 > T1 . Il lavoro e la quantità di calore scambiate durante ciascun ciclo sono W, Q1 , Q2 per la prima macchina che ha rendimento η, e W 0 , Q01 , Q02 per la seconda, che ha rendimento η0. Teorema di Carnot: Propriet` a a):

Se la prima macchina è reversibile, troviamo: η ≥ η 0

Propriet` a b):

Se entrambe le macchine sono reversibili: η = η 0 .

Dimostriamo la proprietà a). Essendo la prima macchina reversibile, possiamo farla lavorare in senso contrario, cioè come un frigorifero, ed usare precisamente lo stesso lavoro prodotto dal secondo motore: W = W 0 > 0. La seconda macchina, durante ciascun ciclo, assorbe una quantità di calore Q02 alla temperatura T2 e rilascia calore Q01 alla temperatura T1 , producendo cos`ı un lavoro W 0 = Q02 − Q01 . La prima macchina assorbe una quantità di calore Q1 alla temperatura T1 , e rilascia il calore Q2 alla temperatura T2 , con un apporto esterno di lavoro W = Q2 − Q1 . Dal momento che le due macchine sono connesse in modo tale che W = W 0 , abbiamo: Q02 − Q01 = Q2 − Q1 .

(11.6.12)


247

Supponiamo ora η 0 > η. Ciò implica che: Q2 − Q1 Q02 − Q01 > . 0 Q2 Q2

(11.6.13)

Dalle equazioni (11.6.12) e (11.6.13) segue che Q2 > Q02 . Questo a sua volta, usando l’equazione (11.6.12), implica Q1 > Q01 . Alla fine di ogni ciclo congiunto la sorgente T2 ha assorbito una quantità di calore Q02 − Q2 > 0 e la sorgente T1 ha ceduto una uguale quantità di calore Q01 − Q1 = Q02 − Q2 > 0. Poiché il lavoro totale compiuto è nullo, il solo risultato di questo processo sarebbe un trasferimento di una quantità di calore da una sorgente pi` u fredda ad una pi` u calda, in contraddizione con il postulato di Clausius. Concludiamo quindi che η ≥ η 0 . Se anche la seconda macchina è reversibile, possiamo rifare il precedente ragionamento, scambiando il ruolo delle due macchine per trovare: : η 0 ≥ η. Pertanto, se entrambe le macchine sono reversibili η = η 0 . Tutte le macchine reversibili che lavorano tra due temperature hanno lo stesso rendimento. Il rendimento di una macchina non-reversibile non può essere maggiore di quella di una macchina reversibile che lavora tra le stesse temperature.

11.6.4

Processi irreversibili

Prima di procedere, fermiamoci ad alanizzare alcune proprietà generali che distinguono i processi reversibili da quelli non-reversibili o irreversibili . In particulare, vogliamo mostrare con argomenti generali, concentrandoci su esempi significativi e senza pretesa di rigore, che a parità di stati di equilibrio iniziali e finali, il lavoro ed il calore scambiati dal sistema con l’ambiente durante una trasformazione reversibile sono tipicamente superiori a quelli di una irreversibile (si veda Fig. (11.14)). Ricordiamo la definizione che abbiamo dato di reversibilità di un processo termodinamico: una trasformazione di un sistema è reversibile, quando viene realizzata in modo tale che in ogni istante intermedio lo stato del sistema sia infinitamente vicino ad uno stato di equilibrio termodinamico. Il processo è irreversible quindi quando questo non succede ed il sistema, durante la trasformazione, è sensibilmente lontano da uno stato di equilibrio, ovvero non è realizzato l’equilibrio termodinamico all’interno del sistema e tra il sistema e l’ambiente. Questo si verifica se, per esempio, durante il processo, la pressione varia in modo apprezzabile da punto a punto all’interno del sistema o è diversa dalla pressione dell’ambiente (mancanza di equilibrio meccanico), oppure se la temperatura non è uniforme nel sistema o è diversa dalla temperatura dell’ambiente (mancanza di equilibrio termico), etc. Nel primo caso la differenza di pressione tra un punto ed un altro di un sistema gassoso fa s`ı che parti di esso si espandano spontaneamente contro altre compiendo su di esse lavoro. La mancanza di equilibrio meccanico è anche alla base del proceso di espansione libera discusso in precedenza. In tal caso la pressione all’interno del gas differisce da quella esercitata da o sull’ambiente che è nulla. Sappiamo che questo processo, essendo il sistema termicamente isolato, non comporta scambio di calore e quindi Qe.l. = 0. Inoltre, non espandendosi contro una parete, il gas non compie lavoro sull’ambiente, ovvero We.l. = 0. Se quindi prendiamo un qualsiasi processo reversibile che colleghi gli stessi stati iniziali e finali (nel caso di un gas ideale, avendo questi stati la stessa temperatura, possiamo pensare ad una isoterma reversibile), il lavoro Wrev compiuto lungo questo sarà dato dalla (11.4.2) ed

248


Figura 11.14: Lavoro e calore prodotti in una trasformazione reversibile sono, a parità di stati di equilibrio iniziali e finali, tipicamente maggiori di quelli di una trasformazione irreversibile.

è positivo essendo il sistema sottoposto ad una espansione (qualunque sia la trasformazione reversibile, questa sarà descritta da una curva continua che collega, sul piano pV , i due stati estremi ed il lavoro sarà dato dall’area sottesa a questa curva nello stesso piano). Abbiamo quindi che il lavoro Wrev è maggiore di quello nullo dell’espansione libera. Essendo gli stati di equilibrio iniziali e finali gli stessi ed essendo l’energia interna del gas una funzione di stato, la variazione di questa nei due casi la stessa. Per il primo principio: ∆U = Qe.l. − We.l. = Qrev − Wrev ,

(11.6.14)

e quindi, essendo Wrev > We.l. , avremo che anche Qrev > Qe.l. . Un’altra tipica situazione in cui la pressione interna ed esterna sono diverse è quella in cui è presente attrito. Pensiamo ad un gas che si espande contro un coperchio mobile, in presenza di attrito tra questo e le pareti del contenitore. Per spostare il coperchio il gas deve esercitare una forza per unità di superficie sufficiente a compensare, oltre la forza contrastante esercitata dall’ambiente, anche la forza di attrito. La pressione interna è quindi superiore a quella dell’ambiente ed il lavoro compiuto dal gas diverso da quello effettivamente realizzato sull’ambiente (e quindi utilizzabile) in quanto parte di esso è stato convertito dalla forza di attrito in energia termica (inutilizzabile). Possiamo quindi pensare di sottoporre un gas alla stessa sequenza di trasfromazioni isotermiche e adiabatiche descritte in figura 11.12 per un ciclo di Carnot (che ricordiamo essere per definizione un ciclo termico reversibile che lavora tra due temperature), in presenza però di attrito tra il pistone e le pareti del cilindro (il ciclo termico risultante, non essendo reversibile, non sarà pi` u chiamato di Carnot). Per quanto detto, il lavoro totale compiuto dal gas sul pistone sarà lo stesso di quello compiuto in


249

assenza di attrito (ciclo di Carnot), che chiameremo Wrev , ma il lavoro Wirr effettivamente compiuto sull’ambiente (e quindi utilizzabile) sarà invece inferiore, essendo parte di Wrev persa per effetto dell’attrito: Wirr = Wrev + Wattrito < Wrev .

(11.6.15)

Analogamente, per il primo principio, il calore netto Qirr scambiato in presenza di attrito è inferiore a quello assorbito in assenza di questa forza: Qirr = Wirr < Wrev = Qrev .

(11.6.16)

Questo succede perché la quantità di calore ceduta alla sorgente pi` u fredda è maggiore rispetto al ciclo di Carnot, in quanto aumentata del calore equivalente prodotto dalla forza di attrito (il calore Q2 assorbito dalla sorgente pi` u calda essendo lo stesso nei due casi). La situazione è schematizzata in figura 11.15. Concludiamo che il rendimento η 0 del ciclo con

Figura 11.15: Ciclo termico tra due temperature senza e con attrito.

attrito è strettamente minore di quello η del ciclo di Carnot tra le stesse due temperature: η0 =

Wirr Wrev < = η. Q2 Q2

(11.6.17)

Riassumendo, tipiche cause di irreversibilità di un processo, per un sistema ad una componente, sono:

250


• La presenza di forze di attrito o all’interno del sistema (p.es. la viscosità di un fluido) oppure tra il sistema e l’ambiente (come nell’esempio di ciclo termico irreversibile discusso sopra); • la presenza di un’ espansione libera (può avvenire solo se manca l’equilibrio meccanico); • Trasferimento di calore per conduzione da un punto pi` u freddo ad uno pi` u caldo (può avvenire solo se la temperatura non è uniforme all’interno del sistema o tra il sistema e l’ambiente, ovvero in assenza di equilibrio termico). Un’analisi attenta di queste situazioni, che noi non facciamo, porterebbe a convincerci che, come nei due esempi discussi sopra, a parità di stati iniziali e finali, valga la proprietà generale enunciata all’inizio: Qirr < Qrev , Wirr < Wrev . (11.6.18) Alla luce di questa discussione, possiamo completare il teorema di Carnot dando all’ultima affermazione della sezione percedente una formulazione pi` u forte: se A0 è una macchina termica irreversibile ed A reversibile tra le stesse due temperature, il rendimento della prima è strettamente inferiore a quello della seconda, ovvero η0 < η .

(11.6.19)

Proprio perché non realizzati come successione di stati di equilibrio intermedi infinitamente vicini, i processi irreversibili non sono mai osservati avvenire in verso opposto: non si osserva mai calore passare spontaneamente da un corpo pi` u freddo ad uno pi` u caldo, cos`ı come non si osserva mai un gas comprimersi spontaneamente fino ad occupare una frazione del volume a sua disposizione. Nel paragrafo 11.7 daremo una caratterizzazione quantitativa dei processi irreversibili attraverso il concetto di entropia.

11.6.5

Scala assoluta della temperatura

La proprietà b) implica che, per ogni sistema sottoposto ad un ciclo reversibile di trasformazione tra due temperature T1 and T2 > T1 , il rapporto tra la quantità di calore scambiato 1 = 1 − η < 1 dipende solo dalle due temperature e non dalla sostanza tra le due sorgenti Q Q2 su cui stiamo agendo né dai dettagli della trasformazione. In altre parole questo rapporto ha lo stesso valore per tutte le macchine termiche che lavorano tra le stesse temperature, a patto che siano macchine reversibili. Possiamo quindi scrivere questo rapporto come una funzione delle sole due temperature Q1 = f (T1 , T2 ) . Q2

(11.6.20)

Ora mostriamo che, se abbiamo due macchine reversibili A1 e A2 , che lavorano tra due temperature T1 , T0 e T2 , T0 rispettivamente, la funzione f soddisfa la seguente proprietà : f (T0 , T2 ) = f (T1 , T2 ) . f (T0 , T1 )

(11.6.21)


251

Supponiamo che A1 assorba una quantità di calore Q1 alla temperatura T1 e rilasci una quantità di calore Q0 alla temperatura T0 < T1 , mentre A2 assorba una quantità di calore Q2 alla temperatura T2 e rilasci la stessa quantità di calore Q0 alla temperatura T0 < T1 . Per definizione della funzione f abbiamo per le due macchine: Q0 = f (T0 , T1 ) , Q1 Q0 = f (T0 , T2 ) , Q2

(11.6.22)

che implica Q1 f (T0 , T2 ) = . Q2 f (T0 , T1 )

(11.6.23)

Ora rovesciamo il ciclo di A1 , cos`ı che, durante un ciclo composto che consiste di un ciclo diretto A2 e dal ciclo inverso di A1 , A2 assorbe Q2 alla temperatura T2 e rilascia Q0 alla temperatura T0 , mentre A1 assorbe Q0 alla temperatura T0 ed espelle Q1 alla temperatura T1 . Il ciclo composto è un ciclo reversibile poiché entrambi, A1 e A2 lo sono. Esso lavora tra le temperature T1 and T2 dal momento che dopo ogni ciclo lo stato della sorgente T0 rimane inalterato. Applicando l’equazione (11.6.20) al ciclo composto, troviamo: Q1 = f (T1 , T2 ) . Q2

(11.6.24)

Confrontando questa equazione con (11.6.23), si trova l’equazione (11.6.21). La proprietà (11.6.21) è consistente con lo scrivere f (T1 , T2 ) come rapporto dei valori della funzione θ(T ) calcolata nelle due temperature. θ(T1 ) Q1 . = f (T1 , T2 ) = Q2 θ(T2 )

(11.6.25)

Possiamo usare (11.6.25) per definire una nuova scala di temperature, chiamata scala termodinamica assoluta di temperatura. Il vantaggio di questa definizione è che essa è indipendente dalle particolare sostanza usata. Questa equazione definisce θ a meno di un fattore moltiplicativo arbitrario. Questo fattore può essere fissato scegliendo per esempio θ(T0 ) = 273.16 K o = T0 al punto triplo dell’acqua. Mostriamo che questa scala di temperature coincide con la scala definita usando i termometri del gas ideale. Poiché la definizione della scala della temperatura termodinamica assoluta è indipendente dalla sostanza usata, possiamo scegliere un gas ideale come sostanza della macchina termica. Usando l’equazione (11.6.9) e (11.6.25) troviamo θ(T1 ) Q1 T1 = = , θ(T2 ) Q2 T2

(11.6.26)

la quale implica che θ(T ) ∝ T , dove T è la misura della temperatura riferita a un termometro di gas ideale. Poiché le misure delle temperature nelle due scale coincidono in un punto, la

252


costante di proporzionalità è uguale ad uno e le due scale coincidono: θ(T ) ≡ T . Nella scala termodinamica assoluta, la temperatura è cos`ı definita dall’equazione (11.6.25), che si riferisce ad un ciclo reversibile di Carnot il quale opera tra una temperatura T e la temperatura del punto fisso scelto: T = 273.16 K o

Q . Q0

(11.6.27)

Al diminuire di T sotto T0 , anche il calore Q, trasferito alla temperatura T , diminuisce. In particolare, se T tende a zero, la quantità di calore scambiata con l’ambiente a quella temperatura tenderà anch’essa a zero. Al limite, quando T = 0, chiamata temperatura dello zero assoluto, la corrispondente quantità di calore è zero Q = 0. Se fosse possibile raggiungere la temperatura dello zero assoluto per mezzo di un numero finito di trasformazioni, sarebbe possibile ideare una trasformazione ciclica reversibile che opera tra una temperatura T e lo zero assoluto. Dal momento che la quantità di calore emessa dal sistema alla sorgente a pi` u bassa temperatura sarebbe zero, il solo risultato della trasformazione sarebbe convertire la quantità di calore Q, assorbita alla temperatura T , in lavoro, cioè la macchina termica avrebbe un rendimento massimo, in contrasto con la seconda legge della termodinamica. La temperatura zero non può pertanto essere raggiunta mediante un numero finito di operazioni nel sistema. Questo è il contenuto del teorema di Nernst, anche noto come la terza legge della termodinamica. La temperatura dello zero assoluto può tuttavia essere definita come valore-limite che può essere raggiunto con un numero infinito di operazioni

11.7

Formulazione quantitativa del secondo principio tramite l’entropia

La seconda legge della termodinamica nega la possibilità che alcuni processi accadano spontaneamente (cioè senza alcuna azione esterna), come ad esempio il trasferimento di calore da un oggetto ad uno pi` u caldo o la conversione di una certa quantità di calore in lavoro. Processi spontanei come la libera dilatazione di un gas, la conversione di lavoro in calore, come nell’esperimento di Joule, o il passaggio di calore da un corpo pi` u caldo a uno pi` u freddo non sono mai stati osservati in senso inverso (non potremo mai vedere una compressione spontanea di gas, o il calore che si trasforma in lavoro senza un apporto esterno di energia). Pertanto questi sono processi irreversibili. La seconda legge può essere formulata in termini pi` u quantitativi, introducendo il concetto di entropia S, che è una nuova quantità associata ad un sistema termodinamico e funzione del suo stato di equilibrio, proprio come l’energia interna U . Consideriamo una trasformazione ciclica generica (non necessariamente reversibile) durante la quale un sistema S interagisce con varie sorgenti di calore alle temperature T1 , T2 , . . . , Tn . Ogni trasformazione ciclica può essere rappresentata da una sequenza, che può essere infinita, di trasformazioni adiabatiche ed isotermiche durante le quali il sistema interagisce con sorgenti di calore a varie temperature, vedi Figura 11.16. Iniziamo considerando il caso in cui il numero n di sorgenti è finito. Allora consideriamo n cicli reversibili di Carnot Ci , i = 1, . . . , n, ciascuno operante tra una temperatura Ti e una temperatura T0 ,

11.7. FORMULAZIONE QUANTITATIVA DEL SECONDO PRINCIPIO TRAMITE L’ENTROPIA253

Figura 11.16:

vedi Figura 11.17. Essi potranno lavorare o come cicli termici (verso orario) o come cicli frigoriferi (verso antiorario). Consideriamo un ciclo composto, consistente in un ciclo del sistema S ed in un ciclo di ciascuna macchina Ci . Useremo la convenzione, introdotta in precedenza, di descrivere con un numero negativo Q < 0 il calore che è trasmesso all’ambiente e con un numero positivo Q > 0 il calore che fluisce nel sistema. Con questa convenzione in mente, l’equazione (11.6.20) per ciascun ciclo di Carnot Ci , operante tra T0 e Ti , diventa Qi,0 T0 = − 0 , Ti Qi

(11.7.1)

Dove Qi,0 , Q0i sono le quantità di calore scambiate, rispettivamente, alle temperature T0 , Ti . Il segno meno nell’equazione (11.7.1) deriva dal fatto che Qi,0 , Q0i hanno sempre segno opposto: se T0 > Ti Qi,0 > 0, Q0i < 0 mentre se T0 < Ti Qi,0 < 0, Q0i > 0. Costruiamo le varie macchine Ci in modo tale che essi forniscano alla (o assorbano dalla) sorgente Ti , durante ciascun ciclo, la stessa quantità di calore che S assorbe (o trasmette) alla stessa temperatura: Q0i = −Qi . Per ciascun ciclo Ci possiamo riscrivere l’equazione (11.7.1) come segue Qi,0 = T0

Qi , Ti

(11.7.2)

dove Qi sono le quantità di calore scambiate dal sistema S alla temperatura Ti . Durante l’intero ciclo composto, la sorgente a T0 avrà scambiato con il sistema, consistente nelle

254


Figura 11.17:

macchine Ci e S, una quantità di calore Q0 data da Q0 =

n X

Qi,0 = T0

n X Qi

i=1

i=1

Ti

.

(11.7.3)

Supponiamo ora Q0 > 0. Ciò implica che, dal momento che alla fine di un ciclo composto, il sistema composto ritorna allo stato iniziale, e poiché ciascuna sorgente Ti rimane inalterata, avendo assorbito ed emesso la stessa quantità di calore, il solo risultato del ciclo sarebbe la conversione di una quantità di energia Q0 , ottenuta dalla sorgente T0 , in lavoro W = Q0 > 0. L’intero sistema composto avrebbe agito come una macchina termica con rendimento pari ad uno. Questo sarebbe in contraddizione con il postulato di Kelvin e pertanto la seconda legge della termodinamica implica che, durante il ciclo S n X Qi i=1

Ti

≤ 0.

(11.7.4)

Supponiamo ora che la trasformazione ciclica di S sia reversibile. Ciò comporta che l’intera trasformazione ciclica sul sistema composto consistente in S e nelle n macchine, sia reversibile, poiché ciascuno dei cicli Ci lo è. L’inverso di tutta la trasformazione complessa è descritta, eseguendo il ciclo di S e ciascun ciclo Ci in senso opposto. Le quantità di calore, scambiate con le varie sorgenti, cambiano segno rispetto al caso precedente (Q0 → −Q0 , Qi → −Qi ) e

11.7. FORMULAZIONE QUANTITATIVA DEL SECONDO PRINCIPIO TRAMITE L’ENTROPIA255 cos`ı l’ammontare complessivo di calore, scambiato con la sorgente T0 , è ora −Q0 . L’equazione (11.7.3) continua a valere, ma ora, usando lo stesso argomento di prima, possiamo provare che −Q0 ≤ 0, cioè Q0 ≥ 0. Questo implica che le stesse quantità Qi soddisfino la diseguaglianza (11.7.4) e la disuguaglianza: n X Qi i=1

Ti

≥ 0.

(11.7.5)

Pertanto troviamo che, per una trasformazione ciclica reversibile di S, la seguente relazione è ancora valida n X Qi i=1

Ti

= 0.

(11.7.6)

Nel limite in cui il numero delle trasformazioni isotermiche e adiabatiche che descrivono l’intero ciclo di S sia infinito, cioè in cui S ha intaragito durante la trasformazione con un infinito numero di sorgenti (n → ∞), la somma in (11.7.6) è sostituita da un integrale sulla trasformazione ciclica, rappresentata da una curva chiusa orientata nel piano p, V e possiamo scrivere: I dQ = 0. (11.7.7) ciclo rev. T Se il ciclo non è reversibile, ovvero è irreversibile, alla luce della discussione fatta nella sezione 11.6.4, la disuguaglianza (11.7.4) varrà in senso stretto. Infatti abbiamo che I I dQ dQ < = 0, (11.7.8) ciclo irrev. T ciclo rev. T avendo usato la proprietà (11.6.18) dQirr < dQrev che vale lungo ciascuna isotermica infinitesima in cui il sistema scambia calore con l’esterno. L’equazione (11.7.7) può essere interpretata come segue: dividiamo l’intera trasformazione ciclica reversibile di S in trasformazioni infinitesime (reversibili), durante le quali la temperatura del sistema è in buona approssimazione costante e il sistema scambia con l’ambiente una quantità di calore Q, vedi Figura 11.18. Se sommiamo i rapporti dQ su tutte le trasformazioni infinitesime, troviamo T zero. Questo è indubbiamente vero per un ciclo di una macchina termica reversibile che opera tra due temperature T1 , T2 > T1 (i.e. macchina di Carnot). Dall’equazione (11.7.1) abbiamo: Q1 Q2 + = 0, T1 T2

(11.7.9)

dove Q1 < 0 and Q2 > 0. In questo caso infatti, l’integrale sul ciclo nell’equazione (11.7.7) ha solo i due contributi lungo le due isotermiche e ritroviamo un risultato noto. Indichiamo ora con C(AB) la linea orientata nel piano p, V , che descrive una trasformazione reversibile che porta un sistema S da un stato di equilibrio iniziale A ad uno stato

256


Figura 11.18:

di equilibrio finale B lungo una curva C, vedi Figura 11.19 (a). Poiché questa trasformazione è reversibile, possiamo portare indietro il sistema da B ad A lungo la stessa curva, effettuando una trasformazione inversa, descritta dalla linea orientata C(BA), vedi Figura 11.19 (b). C(BA) e C(AB) sono pertanto definite dalla stessa curva che unisce A a B, ma hanno orientazione opposta. Consideriamo ora una trasformazione reversibile C(AB) e la tdividiamo in trasformazioni infinitesime (reversibili) durante le quali la temperatura T può essere considerata costante ed il sistema scambia con l’ambiente una quantità di calore di tutte le trasformazioni infinitesime. Questa somma è un dQ. Sommiamo i rapporti dQ T integrale espresso da: Z dQ IC(AB) = . (11.7.10) C(AB) T Se seguiamo la stessa curva C in senso opposto, cioè consideriamo la trasformazione inversa, tutte le trasformazioni infinitesime lungo essa si invertono allo stesso modo. Durante ciascuna trasformazione infinitesima, il sistema scambierà una quantità di calore dQ0 = −dQ che è l’opposto della quantità scambiata quando la trasformazione era eseguita in direzione opposta. Pertanto troviamo Z Z dQ0 dQ IC(BA) = =− = −IC(AB) . (11.7.11) C(BA) T C(AB) T

11.7. FORMULAZIONE QUANTITATIVA DEL SECONDO PRINCIPIO TRAMITE L’ENTROPIA257

Figura 11.19:

Ora vogliamo mostrare che il suddetto integrale dipende solo dagli stati iniziali e finali e non dagli stati intermedi, cioè dalla curva che descrive la trasformazione del sistema da A a B. A questo scopo consideriamo due trasformazioni generiche reversibili C(AB) e C 0 (AB) che connettono A to B, descritte dalle curve C and C 0 rispettivamente, vedi Figura 11.20 (a). Vogliamo mostrare che IC(AB) = IC 0 (AB) .

(11.7.12)

Portiamo il sistema da A a B lungo la curva C, descrivendo cos`ı C(AB). Una volta in B portiamo il sistema indietro in A lungo la curva C 0 , descrivendo cos`ı C 0 (BA). La trasformazione reversibile totale è un ciclo, indicato da C, poiché si origina e termina nello stesso stato A, vedi Figura 11.20 (b). L’integrale IC sull’intero ciclo è la soma dell’integrale lungo C(AB) e l’integrale lungo C 0 (BA). Essendo la trasformazione reversibile, in virt` u dell’equazione (11.7.7), esso è zero Z Z I dQ dQ dQ = + = 0 = IC = C T C(AB) T C 0 (BA) T = IC(AB) + IC 0 (BA) = IC(AB) − IC 0 (AB) . (11.7.13) Dalla suddetta equazione deduciamo la proprietà (11.7.12). Poiché IC(AB) non dipende da C, potremo denotarlo con I(AB) . Esso soddisfa la proprietà I(AB) = −I(BA) . Notiamo che l’integrale di dQ da solo, che misura il calore totale scambiato durante la trasformazione, dipende dalla traiettoria seguita! L’integrale I(AB) soddisfa la stessa proprietà a cui soddisfa il

258


Figura 11.20:

lavoro per una forza conservativa. Quindi, cos`ı come abbiamo fatto per l’energia potenziale, introduciamo una funzione di stato del sistema S, chiamata entropia, cosi’ che possiamo scrivere: Z B dQ I(AB) = = S(B) − S(A) , (11.7.14) T A dove l’integrale è calcolato lungo ogni trasformazione reversibile che unisce A a B. Proprio come per l’energia potenziale, l’entropia è definita a meno di una costante additiva indipendente dallo stato. S è completamente definita una volta che sia fissato il suo valore S(O) = SO su uno stato di riferimento O: Z A dQ S(A) = SO + , (11.7.15) T O Dove l’integrale è calcolato lungo una trasformazione generica reversibile che connette O ad A. Cosa accade se dQ è calcolato lungo una trasformazione irreversibile? Consideriamo T una trasformazione irreversibile Irr(AB) e una trasformazione reversibile C(AB) tra gli stessi stati A e B, vedi Figura 11.20 (c). possiamo considerare il ciclo di trasformazione (irreversibile) Cirr. , facendo prima la trasformazione irreversibile Irr(AB) e poi, una volta in

11.7. FORMULAZIONE QUANTITATIVA DEL SECONDO PRINCIPIO TRAMITE L’ENTROPIA259 B portando indietro il sistema fino ad A lungo C(BA), vedi Figura 11.20 (d). Se calcoliamo l’integrale di dQ lungo Cirr. , usando l’equazione (11.7.8) troviamo T I 0 ≥ Cirr.

dQ = T

Z Irr(AB)

dQ + T

Z C(BA)

dQ = T

Z Irr(AB)

dQ − T

Z

B

A

dQ . (11.7.16) T

L’equazione precedente implica che Z

B

S(B) − S(A) = A

dQ ≥ T

Z Irr(AB)

dQ , T

(11.7.17)

Cioè l’integrale di dQ lungo una trasformazione irreversibile non è mai pi` u grande dell’inteT grale calcolato lungo una trasformazione reversibile tra gli stessi stati. Se il sistema è completamente isolato, come nelle trasformazioni adiabatiche, la quantità di calore scambiato con l’ambiente è zero: dQ = 0. L’equazione (11.7.17) ci dice che n ∆S = 0 trasf. reversibile sistema isolato ∆S = S(A) − S(B) ≥ 0 : (11.7.18) ∆S > 0 trasf. irreversibile Questo implica che i sistemi isolati non evolvono verso stati con minore entropia. Perciò essi evolveranno fino a quando raggiungono uno stato di equilibrio in cui l’entropia è massima (compatibilmente con la loro energia). Partendo da un tale stato, ogni altra trasformazione dovrebbe comportare una riduzione della sua entropia, cosa che non può avvenire. Questo chiaramente non è vero per sistemi non-isolati. L’entropia di un sistema può esser fatta decrescere attraverso un’azione esterna. Tuttavia, se estendiamo la definizione di sistema fino a includere tutto l’ambiente, questo sistema esteso, che coincide con l’intero universo, sarà certamente isolato e cos`ı la sua entropia non può mai decrescere durante la sua evoluzione. La proprietà (11.7.18) dell’entropia è stata derivata dal secondo principio della termodinamica e, come vedremo fra poco, è equivalente ad esso. Applichiamola all’espansione libera di un gas. Sappiamo che questo processo non comporta scambio di calore e di lavoro con l’ambiente: Q = W = 0. Mostriamo ora che tale processo è irreversibile ovvero che, l’entropia aumenta. Per farlo consideriamo, per semplicità, un gas ideale. Sappiamo che, in questo caso, l’espansione non comporta una variazione di temperatura tra gli stati di equilibrio iniziale e finale. Per calcolare la variazione di entropia dobbiamo calcolare l’integrale nell’equazione (11.7.14) lungo una trasformazione reversibile che connette gli stessi due stati. Avendo questi la medesima temperatura T , conviene, a tale scopo, considerare una trasformazione isoterma reversibile. Questa di realizza pensando ad una situazione sperimentale diversa, in cui il contenitore nel quale si trova il gas abbia pareti permeabili al calore e sia mantenuto costantemente a contatto con una sorgente termica a temperatura T . Questa volta la valvola sulla parete che le due camere interne, non viene aperta, bens`ı la parete divisoria stessa viene fatta scorrere senza attrito cos`ı da far espandere gradualmente il gas dal volume iniziale Vi della camera in cui è contenuto, al volume Vf > Vi dell’intero contenitore (si veda Fig. 11.21 in basso). La parete viene spostata molto lentamente in modo tale che, in ogni stadio di questa trasformazione, il gas sia sempre in uno stato prossimo all’equilibrio termodinamico

260


Figura 11.21: Espansione libera ed isoterma reversibile tra gli stessi stati di equilibrio.

(trasfromazione reversibile). Lungo questa isoterma il gas interagisce con una sola sorgente termica a temperatura T e scambia con essa un calore Q uguale al lavoro compiuto W , dato dalla (11.5.15). Usando la (11.7.14), troviamo che la variazione dell’entropia vale: Z ∆S = rev

δQ Q W 1 = = = nRT log T T T T

Vf Vi

= nR log

Vf Vi

> 0.

(11.7.19)

Da quanto detto sopra ed in particolare dalla proprietà (11.7.18), concludiamo che l’espansione libera di un gas è un processo irreversibile. Perciò non osserveremo mai un gas contrarsi spontaneamente, perché tale processo dovrebbe avere ∆S < 0 violando cos`ı la (11.7.18) e con essa la seconda legge della termodinamica. Possiamo, dopo la dilatazione libera, riportare il gas al suo stato originario, comprimendolo lentamente e allo stesso tempo raffreddandolo, dando luogo, cos`ı, ad una trasformazione reversibile. Chiaramente, durante questa trasformazione, il sistema non è pi` u isolato, poiché stiamo facendo del lavoro su di esso e stiamo estraendo calore da esso, e la sua entropia diminuisce. Consideriamo ora un sistema A composto da due parti A1 e A2 . Supponiamo che l’energia U di A sia la somma delle energie U1 , U2 delle due parti e lo stesso dicasi per il lavoro fatto

11.7. FORMULAZIONE QUANTITATIVA DEL SECONDO PRINCIPIO TRAMITE L’ENTROPIA261 o subito dall’intero sistema1 U = U1 + U2 ; W = W1 + W2 ,

(11.7.20)

dove W1 , W2 sono i lavori fatti o subiti da ciascuna delle due parti. Per la prima legge della termodinamica, anche il calore Q scambiato dall’intero sistema con l’ambiente è la somma di Q1 , Q2 scambiati dalle componenti con l’ambiente e con l’altra parte separatamente: Q = Q1 + Q2 .

(11.7.21)

Possiamo cos`ı dividere l’integrale nella definizione di S (scegliendo per semplicità SO = 0) Z A Z A Z A dQ1 dQ2 dQ = + = S1 (A) + S2 (A) . (11.7.22) S(A) = T T T O O O Nelle ipotesi precedenti, possiamo scrivere le entropie dell’intero sistema come la somma delle entropie S1 , S2 delle sue parti costituenti. Un altro esempio di processo spontaneo, la cui irreversibilità è dedotta dalle proprietà dell’entropia, è dato dal flusso di calore per conduzione termica da un oggetto ad un altro pi` u freddo in contatto con esso. Ciò che si osserva è che il calore fluisce spontaneamente dall’oggetto pi` u caldo a quello pi` u freddo e mai il contrario. Siano T1 e T2 > T1 le temperature dei due oggetti. Consideriamo il sistema dei due oggetti come isolato e sia Q la quantità di calore che fluisce da quello pi` u caldo a quello pi` u freddo. Supponiamo che Q sia tanto piccolo che le due temperature non siano sensibilmente influenzate dallo scambio. Siano S1 ed S2 le entropie dei due oggetti e S = S1 + S2 l’entropia dell’intero sistema. La variazione di entropia dell’oggetto pi` u caldo è limitata inferiormente dal calore rilasciato −Q, diviso per la sua temperatura T2 , mentre la variazione di S2 è limitata inferiormente dal calore assorbito Q diviso per T1 : Q , T2 Q Q − > 0. ∆S = ∆S1 + ∆S2 ≥ T1 T2

∆S1 ≥

Q ; T1

∆S2 ≥ −

(11.7.23)

Durante questo processo, l’entropia totale è aumentata. Se Q fosse stato trasferito mediante conduzione dall’oggetto pi` u freddo al pi` u caldo, avremmo osservato una diminuzione dell’entropia dell’intero sistema isolato, in contrasto con le proprietà dell’entropia. Da questo esempio concludiamo che, assumendo vera la proprietà (11.7.18), il passaggio spontaneo di calore da un corpo pi` u caldo ad uno pi` u freddo è un processo irreversibile, ovvero che non è possibile realizzare un processo il cui unico risultato (processo spontaneo) sia il passaggio di calore da una sorgente termica ad un’altra a temperatura maggiore. Quest’ultimo è il contenuto dell’enunciato di Clausius, ovvero del secondo principio della termodinamica. Ricordandoci che la (11.7.18) è stata originariamente dedotta da tale principio, concludiamo che esiste tra i due una doppia implicazione, ovvero che la proprietà (11.7.18) dell’entropia rappresenta una formulazione equivalente del secondo principio della termodinamica. 1

Questo si verifica nel caso, facilmente realizzabile, in cui l’energia di interazione tra le due parti, in corrispondenza della superficie che le divide, sia trascurabile rispetto alle rispettive energie interne o ai lavori compiuti.

262

11.7.1


Entropia e disordine

Come p, T ed U , anche l’etnropia S ha una interpretazione microscopica, dovuta a Boltzmann, legata al grado di disordine di un sistema . Quando abbiamo adottato il punto di vista macroscopico nel descrivere lo stato interno di un sistema, abbiamo rinunciato alla conoscenza dettagliata dello stato di moto delle molecole che lo compongono, ovvero del suo stato microscopico. Ci siamo accontantati di descrivere lo stato macroscopico interno (o termodinamico) del sistema attraverso quantità legate a valori medi delle grandezze che descrivono il moto delle molecole. Per questo lo stato macroscopico è lungi dal definire completamente lo stato meccanico delle molecole (distribuzione in ogni istante delle velocità tra le molecole e delle molecole all’interno del volume occupato dal sistema). Da questo discende che uno stesso stato termodinamico pió originarsi da pi` u stati microscopici che sono indistinguibili a livello macroscopico. Se indichiamo con N il numero di stati microscopici che realizzano uno stesso stato termodinamico, diremo che questo è tanto pi` u disordinato quanto maggiore è N , ovvero quanto minore è la nostra conoscenza dello stato meccanico delle molecole che compongono il sistema. D’altro canto possiamo anche legare N alla probabilità che si realizzi uno stato macroscopico: uno stato macroscopico è tanto pi` u probabile quanto maggiore è il numero di modi N in cui esso può essere realizzato a livello microscopico.2 Boltzmann legò l’entropia di un sistema al numero N di stati microscopici che realizzano un dato stato termodinamico (e quindi al grado di disordine corrispondente) nel seguente modo: S = k log(N ) , (11.7.24) ove k = R/NA ≈ 1.38 × 10−23 J o K −1 , NA essendo il numero di Avogadro, è detta costante di Boltzmann. Il secondo principio della termodinamica afferma che un sistema isolato tende ad evolversi verso stati con entropia maggiore. Alla luce della identificazione (11.7.24) concludiamo che un sistema isolato tende ad evolversi verso stati con maggiore disordine, ovvero con maggiore probabilità.

2

Per essere precisi, tale probabilit` a, che è sempre un numero minore di uno, è il rapporto tra il numero N di stati meccanici molecolari che realizzano lo stato macroscopico doviso il numero totale Ntot di stati molecolari possibili del sistema.

Indice analitico accelerazione, 9, 32, 35, 36, 38, 42–45, 48, 54– 56, 58–60, 63, 64, 69, 89, 93, 166, 192, 199, 202 angolare, 158, 165 centripeta, 47, 63, 66 costante, 38 istantanea, 35, 36, 42, 43 media, 35, 42, 43 radiale o centripeta, 46 acustica, 5 adiabatici processi, 234 Ampère, 9, 10 analisi macroscopica, 214 angolo solido, 120, 123, 124 atomi, 7, 8, 10, 130, 191 attrazione forze di, 8 gravitazionale, 8 attrazione gravitazionale, 53 attrito, 8, 54, 55, 59, 68, 73–75, 90, 107, 199, 205, 210, 225, 226, 245 cinetico, 74 coefficienti, 74 di fluidi, 75 dinamico, 74, 82 scorrimento, 73 statico, 74, 82 Avogadro, 7, 105

caloria, 223 campo conservativo, 119 di forze, 111 flusso, 119 gravitazionale, 112 vettoriale, 111 capacità molare, 236 termica, 223, 233, 236, 239 Carnot, 240–245, 252, 253 Celsius, 220 ciclo complesso, 251, 253 irreversibile, 258 reversibile, 239, 240, 250–252 cinematica, 31, 65, 138, 141 Clausius, 244, 245, 247 coefficiente di viscosità, 75 collisione anelastica, 134–138 elastica, 134, 135 coordinate, 11, 26 cartesiane, 12, 19, 24, 26, 41, 43, 61, 62, 86, 87, 98, 128, 155, 156, 163, 165 cilindriche, 27, 99, 201 polari, 24, 26, 27, 47, 64, 98, 100, 124, 142, 148, 156, 157 sferiche, 24, 26, 99 termodinamiche, 214, 215, 227–229 unidimensionali, 32, 38, 192 calore, 107, 137, 211, 214, 222–227, 231, 232, 234, 238–240, 242–247, 251–254, 257, coppia di torsione, 144, 146, 148 259, 261 specifico, 223, 224, 236 corpo 263

264

INDICE ANALITICO

rigido, 150, 151, 153, 154, 158–161, 163, di moto, 57 213 di stato, 227, 234, 237 Coulomb, 9, 101, 119 equazionie di moto, 213 densità equilibrio dei liquidi, 195 chimico, 227 del gas, 195 di un fluido, 192 delfluido, 198 instabile, 97, 147 dell’acqua, 191 meccanico, 214, 227, 228, 234 dell’aria, 191, 238 stabile, 97, 147 della superficie, 156 statico, 198 di un fluido, 191 stato di, 197, 227, 241, 252, 255 di un liquido, 194 termico, 216, 217, 224, 227, 239, 241 lineare, 155 termodinamico, 227 descrizione espansione macroscopica, 203 libera, 234, 247, 259 microscopica, 213–215 dilatazione, 221, 222, 228, 229, 234, 236, 238, fluido 252 calorico, 222, 223 dei liquidi, 222 comprimibile, 197, 206, 207 lineare, 222 incompressibile, 197 moto del, 202, 205, 214 Einstein, 6 non viscoso, 211 elettrodinamica, 5 statica del, 197, 218 elettroni, 7, 8, 148 viscosità del, 75, 205, 210 energia forza calorica, 137 centrale, 100, 101, 148, 150 cinetica, 89, 90, 94, 96, 104–106, 132, 134, centripeta, 63, 81, 90, 162, 201 136, 137, 159–161, 210, 215, 221, 222, conservativa, 90, 92–97, 102, 105, 107, 226, 235 160, 258 conservazione, 209 di coesione, 55, 74, 189 interna, 106, 210, 226, 231, 234–236, 239, di interazione, 74, 102–104 243 di repulsione, 8 meccanica, 93–96, 105–107, 134, 137, 160, di tensione, 146 205, 210, 224–226, 231, 232, 235 dissipativa, 134, 226 potenziale, 90, 93–107, 160, 210, 222, 226, elastica, 68, 69, 84, 95, 96, 221 235, 258 elettrica, 8, 9, 148 potenzialeideale, 106 elettrmagnetica, 6 termica, 107, 134, 205, 210 elettrostatica, 100 totale, 226 fondamentale, 5, 6 energia-lavoro, 160 forte o nucleare, 8 entropia, 252, 258–261 grado di disordine, 262 gravitazionale, 6, 9, 48, 88–90, 100, 148, equazione 161, 163, 193, 199

INDICE ANALITICO non conservativa, 90, 106, 107, 224 nucleare debole, 6 nucleare forte, 6

265 meccanico, 224–226, 242 unità di, 83 limite non relativistico, 128 relativistico, 57 Lord Kelvin, 244, 245

Galilei, 8, 53, 67 gas comprimibile, 207 diatomicio, 236 macchina termica, 240, 242, 243, 245, 246, ideale, 106, 219, 220, 234–237, 243, 251 251, 252, 254, 255 ideali, 234 non reversibile, 247 monoatomicio, 236 reversibile, 246 Gauss, 119, 123 massa, 8, 10 giroscopio, 161 centro di, 127–132, 135–137, 140, 141, 146, gravità, 38, 48, 53, 54, 59, 62, 65, 66, 75, 90, 147, 150, 153, 155, 158, 159, 161, 163, 95, 97, 164, 210 193, 201, 213 forza di, 8, 130 meccanica classica, 6, 53 inerzia, 53–56, 74, 79 quantistica, 6 assi principali, 153, 158 metodo massa, 56 scientifico, 5, 8, 9 momenti principali, 153 momento di, 146, 153–157, 159, 160, 164 metodo scientifico, 53 mole, 235 raggio di, 153 molecole, 7, 8, 74, 105, 106, 189, 191, 203, inerziale 213–215, 221, 222, 226, 231, 232, 235 massa, 56, 57, 60 momento inerziali angolare, 151, 153 sistemi, 55, 158 di torsione, 145, 146 interazione, 8, 58, 61, 78, 101, 102, 106, 133, momento angolare, 141–144, 146–149, 153, 134, 214, 228, 239 158, 159, 162, 163, 166 gravitazionale, 101 moto isotropo armonico, 164 materiale, 222 circolare, 54, 66, 143, 146, 151 sistema, 227 circolare uniforme, 45, 47, 63, 81, 162, solido, 221 192, 201 Joule, 224, 231, 234, 239, 252 di rotazione, 55, 141, 151, 158, 159, 167 di rotazione (rotatorio), 161, 166 Keplero di rotazione(rotazionale), 150 seconda legge, 149 di traslazione, 150, 159 Kilo di un corpo rigido, 150 calorie, 223 perpetuo, 239, 244 rettilineo, 32 lavoro, 81–83, 85, 87–90, 92–95, 98, 100, 102– 105, 107, 160, 209, 210, 224, 226–228, uniforme, 34, 36, 40, 41, 43, 44, 54, 55, 231, 232, 234 62, 129

266 uniformemente accelerato, 37, 62, 130 moto circolare uniforme, 162

INDICE ANALITICO

fisica, 54, 56, 215 fisiche, 12, 203 fondamentali, 9, 10 neutroni, 7, 8 fondamentali cinematiche, 32 Newton, 6, 48, 53, 55, 65, 69, 75, 76, 79, 131, macroscopica, 105, 214 133, 143, 203 scalare, 191 prima legge, 59 vettoriale, 55 seconda legge, 54, 57, 60, 61, 63 quantità di moto, 57, 76–79 terza legge, 58, 59, 76, 78, 79 legge di conservazione, 78 nutazione, 163 relativitá, 6, 57 orologio atomico, 10 sistema oscillatore armonico, 67, 69, 84, 95–97, 221 complesso, 254 osservatore, 27, 31, 55, 131, 199 di riferimento, 54 ottica, 5 di riferimento, 31, 32, 55 particella, 31 isolato, 53, 76–78, 103, 104, 131, 261 puntiforme, 213 MKSA, 9, 36, 58, 83 pendolo, 63, 65, 67, 69, 88, 90, 95 non isolato, 79 composto, 163 SI, 33 equazione del , 147 solato, 78 moto del, 67 termodinamico, 106 oscillazioni, 69 situazione posizione di equilibrio, 67 di equilibrio, 60, 193, 234 semplice, 164 somma peso, 59, 60, 67, 69, 75, 84, 161, 163, 165, 166, di vettori, 14–18, 20, 21, 40, 56, 94, 105, 193, 194, 197–199, 201, 202, 219, 225, 144 226, 235 sorgente, 239, 255 postulati, 214 di calore, 239, 241–243 precessione, 162, 163 stato processo termico, 215–217, 223 spontaneo, 252 Steiner prodotto teorema, 154, 156, 160 scalare, 16, 20, 21, 81, 83, 89, 90 temperatura, 10, 12, 106, 189, 215–227, 231, vettoriale, 21–24, 141, 142, 147 234–239, 242, 244–246, 252, 253, 256 protoni, 7, 8 assoluta, 251 punto atmosferica, 237 triplo, 217, 218, 251 del, 237 quantità media, 238 angolari, 166 scala assoluta, 250, 251 termodinamica, 213 derivate, 9, 33 -prima legge, 228 di moto, 77–79, 127–129, 131, 133–137, -seconda legge, 252 140, 162, 215

INDICE ANALITICO -terza legge, 252 seconda legge, 239 termometriche proprietà, 216 sostanze, 216 termometro, 216–218 a mercurio, 218 a gas, 218–220, 251 a resistenza, 218 trasformazione adiabatica, 234, 236–238, 241 irreversibile, 247 reversibili, 228 trasformazioni reversibili, 239 trasfromazione irreversibile, 252 isobarica, 233 trottola, 161, 162 unità di misura, 9 variabili cinematiche, 213 velocità angolare, 142, 152, 153, 160, 162 versore, 193 vettore, 11, 12, 18 accelerazione, 158 posizione, 19, 21, 25, 26, 42–44, 46, 128, 203 rappresentazione matriciale, 21 unità, 13, 26, 32, 65, 74, 101, 103, 190 velocità, 14, 45, 46, 153

267

Dispensa Fisica 1 POlito

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