4 V
O >4
t- PALSO Lo cual indica que
S !
H ip é r b o la - 2-*>
Y2 - 4 x 2 = 4 - x2 = 1
(3) F ro n te ra de R : lx| + |y|= 4 Si
X>oav>o
4
x + Y
=4
x - y
- 4
Si
x >0 a y <0 **>
Si
X
St
x
V<04
se debe^som -
br^Q r * la región interior d e la h ip é r bola .
Sólo fines educativos - FreeLibros
-x -y
=4
Uraj- ic a r
Problemas tas siguientes relacionesAiguientes ;
JL.S, =|üi,v)€/R2/ y z £ 8 X a
16. SMn S12 O S í3
2 . S 2 = J ( x ; y)€fR2/ x z- y zi 1 x xZ4-yZé 1¿ }
|7.
T,
3 -5 3 = j (x,y)€ IR2/ Xz- y Z£. 1 A
18 .
r z =-{
IVI ^2
= {(x,y)e1R2/
JXl £lYÍ£2 |
'
y#y lx ~'|l l X-1 ‘
. 19 . Tj rzjcXjyielR2/ lx |>
Ixléyj.
4
.S 4 = f (x,Y)en?2/ Xz_ 4 v z- 2 X + ) > 0 }
5
. Ss = | (XjVJfc tRz/ 9 x i- y J_ 3 cx - 2 y>««| 20. T4 ={(x,y) € IR2/ lx l> y 2 , I x I l l Y l } 21. Ts = {(X jY )e (R2/ lx y l£ 4 }
6 . St = j ( x, y) e íRz / x y <4 } 7 . 5 7 = | (x.,v)€ ( r 7 - £ + - £ S i } *
8
14
10 . S 9
\
2 3 . T7
.s 6 n s 7
9 . 58
22.
'
= { (x ,y )€ R 2/ 4 x 2- y 2-i4 |
(x,y)elR2/
(y-2)X*.1j-
= |(x Jv)e iR 7/ 4 x 2- 9 y 2 s 144}
24 . Tg = ^(x,y)6 (R2/ Ú -i)2- (y-2)2é 4 }
= {
25. T
H -.S j0 = j ( x ; y)tn ? z /
ixi< 4 }
2 C.
9
lü±i>2< 1 1 4 1
Tío = \ CXjylelR2/ (y-2)z + (x+0 ¿ 4 }
27. T9 n T )0
i 2 . S j - n s l0 18. 5 it = j l M i e IR2 / x2-9 y 2¿ 9 }
28. 'T,, = j lx;y)6iR2 / (x-2)2-(y -3 )2>4}
14. *3|2 = { lX,y)€ (R*/ y-3 ¿ Ix| J
2 9 . T i2 - | . ( V ) € I R 2 / ^
15. S ) 3 = ■{ (X ,y )e í1 ? y I x l i S , y Í - 3 |
Sólo fines educativos - FreeLibros
+
^
1}
FUNCIONES o APLICACIONES O.
IN T R O D U C C IO N Tomarvdo
dos
.conjuntos
A y B
hemos c o n s t r u i d o el conjunto
R,tol
que , R c z A x 8 . Al conjunto Eje m p lo :
R
le llom om os
Dado los conjuntos
relocion
de
A
A ~ ^ o ,b '¿ c ,d j
construimos los siguientes relociones
R
= {
( o , 1} , ( o , 2 ) , ( b , 3 ) , ( b , 4 )
5
= |
( o ~'í) , ( b , 3 ) , ( b , 4 ) , ( d , 5 ) }
F
= |
( o . l ),
( b , 2 ) , ( c ,2 ) , < d , 3 ) J
6
= {
(o,5),
í
en 8 y de
;
8 = jV ,2 ,3 , 4 , 5 j A en B
)
b . S ) , ( c , 5 ) , ( d, 5 } J
% que ol
r e p r e s e n t a r , codo uno , en un diogrómo de Venn
Dom { R )
Sólo fines educativos - FreeLibros
tendremos!
Moisés Lázaro C
Fensemos, por un i ) ti J
momento , en dos
cosos
En el dominio de codo uno deios rela cio nes
, y
en lo
dominio
correspondencia
con un elemento En ¡a re la c ió n i)
E l dom inio
del R
de
de un elemento de! conjunto
de
de
cada
relación
llegada.
tenem os R
es un subconjunto
propio
del co n ju n to
de
p o rf id o . Pues
D om
( R)
<= A
| o, b | c=
it)
L o correspondencia es elementos 1 y 2 ol
e le m e n t o
E n lo re la c ió n
S
éi
i
b€ A
-En lo . r e N m ó n . F
y
en
' al elemento o B A
lo
oigo
ponde d a s ele m en to s 3 y 4
t )
lo
re la c ión G
de 8 .
ocurren de» porticuiortdades¿ten
re locio'n F , tenemos !
D om ( F ) s
dos
sim ilo r.
di t e r e n c í o dos £ n
correspo n de
;
c o rre
ocurre
a
A t. todo el co nju nto
de p a rtid o .
Sólo fines educativos - FreeLibros
Funciones o Aplicaciones
ii)
o codo elemento elemento
E n lo t ) Ü )
del conjunto
re la ción Dom
de l conjunto
port¡'do
corresponde
un único
de lle gado.
G , tenemos :
(G ) »
A
o codo elemento de A Pues b i e n , e s t o s F y G
de
van
a
dos
elemento de 8 .
un único
p a rtic u la rid a d e s que gozon las
de fin ir
N O TA .* A p l i c a c i ó n co n ju n to
corresponde
uno
s ig n ifico
A P L IC A C IO N o
FU N C IO N
cu yo
r e lo c ío n e s de A en 8 .
FU N C IO N dominio
es todo
el
de P A R T I D A .
E n e i presente l i b r o ,
usaremos
corno sinónimos
f uncio'n
o
api i cocí oo.
1.
FUN CIO N
OI
DEFINICION
EN
8
1
conjuntos A y 8 , llamamos función
Dado dos correspondencia mento
A
f
que asocio o
codo elemento
y € 8 .
Tam bién
de A
x 6 A
con
en 8
un único e le
%
podemos decir
f es uno e le m e nto
f u n c ió n
definido en A
x € Acorresponde
y con valores
un único elemento
y
en
8 ,si o codo
6 8.
N O TA C IO N La notación
f
.*■ A ■— x
Se lee o
o toda
F
— *♦ 8 y se f c x ) A en 8 “
"
f es
uno función de
“
f es
una función definida en A y con
valoresen
Sólo fines educativos - FreeLibros
8
Moisés Lázaro C.
—
Lo
N O TA C IO N - y = f (X ) H y y
A d e la s !
1.1
y -
es lo imagen de x me diente
f
es el
f en x
fix)
valor de la función
• es equivalente
GRAFICO
DE
D EFINICION -
UNA
: A
G R A F IC O O I
f
al
( % # f ( x ) } , "V* x t
A
.
sea
Sun bal ico mente :
ir (f } «
A*
DEFINICION
conjunto de todo
(* i f ( x ) ) / x€
Según esta definición
el
los
pares
de
la
A
G r ( f ) es una relación
de A e n , i , es decir
8 . 2.
Si el Gr ( f ) es una
relación
de
A en 8
que goza de las siguientes p r o - ,
piedades !
,
1)
Dom ( G r ( f ) ) s
2)
St una
Gr(f)
8
|
Gr ( f )
( x , f (x ) } €
a
FUN CIO N f
Se Mama form a
se iee :
{ x, y ) €
A
Gr ( f )
función
de
a
A
( x , z } € G r { f ) »> y = z ¡ diremos que f en 8 ,
Sólo fines educativos - FreeLibros
es
Funciones o Aplicaciones *
EJEMPLO 11 ) D efin im o s
Seon lo s lo
fu n c ió n
8 =j m ^s^r J
y
2 ) Definimos lo f uncio'n g.‘ A -+ Q
modo.'
de I s i g u i e n t e
f \ A~+B
A = | p,b,.c,d j
co n ju n to s
deí siguiente modo
f ( o) = m
g{a ) »
t
f { b )
n
■g I b ) »
t
f (c )
n
g
f { d )
s
g ( d ). =
( C ) ass
t
t
A
Podemos
observar , cloromente , que en ambos
todo el conjunto de partida , esto e l lo En combio el rango
es un
el rango de una función o uno f u n c ió n
El
que defin e
es todo e i conjunto
o uno
el
mas
es
a p lica ción
de llegada. A
de llegadat esfo
que estudiaremos
dominio
vo
a
veces definir
adelante.
B A S IC A :
co nju nto .d e 'p a rt id a
todo
funciones
ubconjunfo del c o n ju n to
su rye ctiva
ACLARACION
B
y
de llegada pueden ser de cualquier naturaleza;
lo que .'debemos hacer . es'■definir bien a uno'función.
EJEMPLO
2.
Sean los conjuntos A a B - {
D e f in im o s
lo función
p /p
es uno
O .l } (p .: A —*
8
del
siguiente
modo
Sólo fines educativos - FreeLibros
proposición j
y
Moisés Lázaro C.
\O 0f~
f
EJEM PLO
1
, si
p es
verdadero
O
, si
p es
folso .
(p ) *
3 . Seo f
e l conjunto
A = \ - 1, 0, 1^
A x A — |( - 1 , - 1 )
f ( x, y ) =
x f
definimos
, 0 ,1) | — * A
lafunción
delsiguiente
modo
y
o ) Hollar e J 6 r ( f ) b )
H a lia r ei Ranfo de f.
Sofücio'n
o)
Como ef conjunto A tiene solo sentar en un diagrama Así
3 elementos , podemos
intuir y repre
d.e Venn lo función f.
:
ElSrOfico
de f son PARES
del conjunto de partido
ordenados
que se forma tomando un elemento
( x , y ) y un elemento
del conjunto
de llegada
{ x+ y ) 6 A
A si obtenemos ! Gr { f ) — | ( ( -i .o ) f - i ) , í ( 0 , - 0 , ~ i ) , ( { - i , i ),0 ) , ( ( i ~ i ) ,0 ) , ( ( 0 ,1 ), 1 ), ( ( i , 0 ) , i ) , ( ( o to } , 0 ) I
•
Sólo fines educativos - FreeLibros
Funciones o Aplicaciones - 0
b )
Rong { f ) * A . ے
d o m in io de f ,
f es uno Dom
(f ) »
Se d e f in e
sie m p r e
sero todo e I conjunto de
o p lí c o c io n . A
IJ6 H P L 0
XA
4 .
( ( - 1 , - 1 ) , ( 1,1 ) ]
A — { 0 , 1,2
Seo
lo f u n c i o 'n
f : A -*
A
así i
X+- 1 , si
(X + 1 ) € A
f XX) = ,
o )
H o llo r
b ) H o llo r
él
Sr
si
y
(x + i)
a
.
(.()
el ra ng o
de f .
S o lu c ió n
o ) Bosto dor
vo tares
o
x
paro
h ollor f ( x) .
Asi 7 ! f { O í—
0 + 1 * 1
, 'pues
(0 + 1) £ A
f ( ! ) =
T+ 1
s 2
,
pues
( 1 + 1) 6 A
f ( 2 ) *
2+ 1
— 3
,
pues
( 2 +1) 6 A
f ( 3 ) = 0
, porgue
(3+1)= 4 / A
Donde ! f { O ) a 1
indico
f ( 1) = 2
indico que
lo
que
( 0 ,1 ) 6 (1,2)
f ( 2 } 1=
3 indica
que
f ( 3 ) »
0 indica
que ( 3 , 0 )
y
Po r
—
tonta :
Gr ( f ) €
{ 2, 3 ) € €
Gr ( f ) Gr ( f ) Gr ( f )
<
G r { f ) = | ( 0,1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 0 ) }
Sólo fines educativos - FreeLibros
porf ido, porque
■
Moisés Lázaro C,
b ) fteng ( f ) *
{ 1,2,3,o}
*
A .
RECOMENDACION*
To d o vez que se
tener en cuento
siguiente
1.
lo
Id e n t i f i c a r lo formo L L E G A D A codo p u la r
2.
lo
No
del
conjunto
y=
ol
de P A R T I D A
dominio
olvidar que el
D O M IN IO »
Seo
f
ff?
fN
porahollar f ( x ) .
C O N JU N TO
f
2.
Seo
f
dt
Seo
g .* [ - 3 , 3 ]
Seo
F .* F
IR2
| ~
,—
|
definido por
2X‘+1
2 ~~~* [ 0 , 3 ]
g(X)~
4.
por .
2n -1 4n - 1
| O,I | — *
f {X)=s
3.
, d e fin id o
, definido por
x2'
— * IR
( x, y ) »
x -
, definido
por
y
n 5.
Seo
H
IR
IR
, definido por
x.,+ x 2+ —
del conjunto de
sedeun valor
Ejemplos ; 1.
y
en mani
x€ A .
vez que
de Jo fu nción
uno f u n c i ó n ,
y tener cuidado
f (xl ,
codo
e stu d ia r
!
que decimos f * A ~-*8
vez
y tener cu ida do
.'.perteneciente
de
recomendocion
corres pondencia
A n a liz a r
froto
+ Xr
Sólo fines educativos - FreeLibros
P a r tid a .
a 11 x “
Funciones o 'Aplicaciones.
1.2 DOMINIO Y RANGO .
Sí
f .* A —* 8
DE
se lee
UNA FUNCION o APLICACION
f e v uno función de A en 8 .
definimos ! o ) Dom ( f ) = A b ) Rong ( f ) =
2.
IGUALDAD Seon
f ( A ) = | f { x) / x € A j
DE
FUNCIONES
f y g dos funcio nes
D ecim o s
E JE M P L O -
de A en 8
que f y gson ig u a le s . s í
Seo n f ( x )
~
y solo si
f (x ) = g (x ) , V x 6 A
, x ^ O y g (x ) - j
x Se cum ple
3. FUN CIO N
x >0 x
g {x ) ,
*V* x € IR- j O j
y
A , si'd e fin im o s
RESTRINGIDA
Sea lo fu n c ió n g * £
f (x ) ~
’ l -1 ,
f \ A —* B
8 , de t o l
modo
que
£ «
lo fu n c iV n
% (x } =/ ( x } , “V* x 6 Edecimos
que g
\
es
lo
R E S T R IC C IO N
de f o í c o n ju n to E que deno tomos p o r f |^ ♦
E je m p lo s ;
1.
Seo
f ! IR —♦JR
definido
por
Lo función, g : . [ 0 ,oo y * — > IR es lo
r e s t r i c c ió n
f ( x ) ~ - 2 x 4*5 d efinid o por g (x ) = - 2 x + 5
de f oi conj unto
[ 0,oo )■
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C.
(m )-
—
2.
Seo h •[ - 4 , 4 ] — ♦*[ 0 , 4 J
definido p o r
Lo f unción
j
.* [ 0 , 4 ] — ♦ [ 0 , 4 ]
r e s tr ic c i ó n
de ■
h oí c o n ju n to -■\
4.
C O U P O 91 C I O N
Seon los funciones codo
•D E
gff(x>)
€ C",
• , ' A sí quedo
es lo
[0,4]*
♦8 —
A
8 " y "o
o codo
x€A
► C ¿ toí
codo f ( x ) € B corresponde
que , si
o
corresponde
g { f ( x l ) 6 C “.
■' ' lo nuevo función.
ge f ' A -» C Hornodo FU N C IO N
j(x)= 7 4 - 7
F U N C I OH ES
f Jx ) €
entonces
; i. definido
definido por
f y g , donde
x € A corresponde
h ( x) ~ v/4~ x2> .
definido por
COM PLETA/
de
{ g 0f ) <*) == g ( f i x } ) f yg.
9o i
1) g
N O T A C IO N E S
0 f se lee “ f compuesto con g “ o
“ función compuesto de f y g "
En lo composíckm Q0 f t o lo función délo derecha llamaremos FUNCION de PARTIDA y o ¡a función de la izq uierda llamaremos FUNCION 2)
La notación (g o f . ) ( x ) & g l f ( x ) } **f com puesta
3 } Poro f a c ilita r f u n c í on
por
con g
se
lee
o piteado en x , es iguol a
el aprendizaje es con veniente uno
de L L E G A D A .
f lecha .
Sólo fines educativos - FreeLibros
g aplicado en f de x ** re p r e s e n t a r c o do
Funciones o Aplicaciones •
COM POSICION
DE
D IA G R A M A
FU N C IO N ES
FLEC H A S
f g A ---- ♦B —
go f
Donde
DE
S compuesta con g ( 9 0 f)(*> = 9&<*>)■:
go f
jo h $ h com p ue sta con j
j oh M -X * N
Donde : ( j o h ) t * ) = j ( h f r ) )
C
X í
hafoQ
h0 f 0 g í M compuesta, con i campu&da can h
D onde’, (ho foj)(x \c(h o f)(3 (x i)
A—
f fír — > C ---- ♦ D f0g
*
Tombien se puede
~ h [í(3 W )]
A
- ±
¡
X»®*''."
_________ . £i
x T *
n
P R O P O S IC IO N ;
Lo composición
g Q f existe
sí, y sóío si
Rong ( f ) n Dom ( g ) # 0
Sólo fines educativos - FreeLibros
hocer
9
Moisés Lázaro C.
EJEMPLO
1.
Seon los conjuntos
A = j o, b , c , d j , 8 = | f M ,s -, p
Seon~los fundones
f
siguiente
8
A
y g ' B —* C ,
,
qj
, C =j a .n ^ b .c
cuyos gráf icos¿s.def inen ^ del
modo !
G r ( g ) = | { o,m)^
©r { f ) = I
{ b,n ) , { c ,s ) , ¡ d ,s ) |
(m,o ) , (n ,a ) , ( s,n ) , ( p,s ) , (
H ollor : o )
Gr ( g 0 f )
b )
Gr ( f0 g )
^ ,b ) j
SO LUCIO N o ) Poro
Gr ( g 0 f )
h o llo r
vez que
el a 10 2 -
co mponente
componente
en un par
Obtenemos ' Gr { g 0 f ) s
b } Gr ( g ) =
hocer
un transito de
de un por del Gr ( g )
Gr (
f
f a g
codo o ) a p a re c e com
Gríj-) G rl3 )~ \V n p .),in p L )A ¿ $ Ó >(fiJA)Jl'f¡b)}
*
| ( o , o ) , ( b , o ) , ( c , n ) , í d, n ) j
| ( m ,p ) , ( n , o j , ( s , n ) , ( p , s ), ( q_,b ) l
Gr(f
del
bosta
)=
-^
"
j («í'TnV) , { b r n T ”, ( c , s )
, ( d. s )
Así obtenemos !
Gr ( f o
P e ro Ud.
,
a )= I
( m ,m ) , ( n,m ) , ( q , n ) j
si est e
recurrir
pro".ce'di m ie n to --;ie est o d a v ía
a
los
d i a g r a m a s . de
Venn.
Así :
Sólo fines educativos - FreeLibros
n d i f íc il ",
puede
Funciones o Aplicaciones
Pora
hol lar
gQ f
Para
hollor f Q g
Com o ! Rong
(g ) s | 0 ,0 , s , b |
D oír) ( f ) = | A | S e t iene :
Rong { 9 ) n D o m ( f ) ~ j o , b j # Luego
f 0 g-
exi st e
El dio gromo de f lechos
es
8 — -*■ Rg n A 9 o f existe sii Rong ( f ) n Rong (g)?¿ 0
0
i
8
£1 dia gra m o de Venn es
8
Com o !
9
C
A
f
B
Rong { f ) = j" ¡n,n,s j Dom se tiene
(g ) = | B j R o n g íf ) n Dom{ g
0
Luego Luego
G r ( g 0 f ) - | ( a tú ) t { b ta ) t ( c tñ) , { átc\)
Gr ( f 0 g ) a I ( m , m ) , ( n/n ) , (
EJEMPLO Dado
2
los conjuntos
A = | 0 , 1 , 2 ] , 8 = | 0, 1, 3 , 5 ] , C = {1 ,2 ,3 , 6 }
seo lo función
f ‘
A —♦8
y
g X
B -* C
lo función
defin i do definido
por por
f í 0 ) = 1 , f { 1 ) = 3 , f ( 2) = 5 g ( 0 )= l , g(t) = 2 , g{3)~ 3 ,
g í 5 } ■= 6 ■ Hollor
q,n ) j
o )
g o f
y
b )
f o 9.
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C
S O LU C IO N o)
P o ro
o bte ne r
g 0 f , lo primero
que
debemos
hdllor
es
R o ng ( f ) n Oom ( g ) • Se tiene-! Rong
{ f ) = | t, 3 ,5 j
Oom
(g )
f
A firm am os
Y B |
Rong ( f ) n Dom ( g ) = ( 1,3,5 } ^ 1 j
^
que existe
0
g© f .
H o lle m o s g o f- a p l i c a n d o
( g 0 f )(*! = g ( f ( x)
lo definición
}
x € A
V e a m o s:
( 9 o f ) C i ) s g(f
( g o f ) l o ) 35 g ( f ( o ) ) S / "-'
f
d e f in id o
)5
( go f ) (2) = g í f ( 2 ) )
«
g ( i )
= g (3 )
= g (5 )
»
2
« 3
«
L u e g o , lo f unción
9o
(1
:
go f
{ o , T, 2 j
6
es !
------► { 2 , 3 , 6
}
( g 0 f ) (O) = 2 , ( go f ) <1 > = 3 , ( g0 f ) U )•= 6 .
por
\
i)
P o ro
obtener
Rong ( g ) n Se
f 0 g , lo
primero
que
debemos
h a llo r es
Oom { f ) .
tiene .*
Ron g ( g ) =r | 1 , 2 , 3 r§ j Oom
( f ) = [ A J
Afirm am os Hollemos
que ex i s t e
m> Roag(g) n Dom (f) ~ { 1, 2} ¿ 0 f o g
f © g , apíicoaóo lo definición í f o g ) ( x ) « f ( g c x } ) , *¥• x 6
8.
Veamos ( f o 9 ) í o l ~ f (g ( O) )
* ffí)
(f ogld
f ( 9. o )
'V '" ’ ~ f ( 2)
= 3
Sólo fines educativos - FreeLibros
)
(fog)w ~ f
(g (3) )
= f (3 ) ' ~
3
_________
Funciones o Aplicaciones
{ f d 9 |(3 ) -
f í 0( 3) )
=
f (6 )
=
/
Luego , l o f u n c i ó n
f©g sero i
f O0 . { o . l j —
{3,5 }
definido por ( f o g ) ( d ) -
4.
3
PROPIEDADESDE P1 } Seon los funciones Qo f #
( f <>8 ) < i ) s 5 .
,
LA f :
A
COM POSICIO N 0
y
g .'
DE
FUNCIONES
B - » C , en genero!
f o g ( L o composición de funciones no es c o n m u t a tiv o )
) Seon los funciones se cumple si f , g ,
h
f .* A — * 8 , g .* 8 -rt C , h
( hoQ ) o f = ho l Qp f )
C — *D
propiedod asociativa .
son funciones reales de va ria b le r eo! , se cumplen :
P ) ( f + g ) o h- » 3 i
f oh + gob
Ley
distríbu tiv o de lo c omposicíon respecto
de. lo sumo.
^4 ) í f g ) © b » {f © h ) •( g© b )
Ley d i s t r i b u t i v a respecto
P8 )
f o í
*
t é f 38 f
, T
f
,
de lo composición
de lo m u lt i p lic a c i ó n .
donde
I
es
es lo función
I< X) * x , ^ i d e n t id a d .
x € IR
J z ír /f
5. F U NC IO N
INV E CT IV A , SÜRYECTIVA Y
■
B IY E C T IV A
5.1 FUNCION INVECTIVA DEFINICION D odo
lo función,
f
A - t .B , diremos que f es I N Y E C T I V A
Sólo fines educativos - FreeLibros
t í, y
Moisés Lázaro C.
que
es
e q u i v© lente a lo
si g u i ente
f es
IN Y E C T I V A t si y solo si
o#
d e f in ic ió n b implico f ( ó ) # f { b) , ¥ a , b i A
** 0 FO R M A
PR A C TIC A
DE
y euondo
no.
(T ]
fu ncion e s
'
Foro
ID E N TIF IC A R
con
cuando
ÍS» P uno f u n c i ó n es inyectiVo
pocos, elemen tos .’ Unofaocion NO
cuando lo segundo" co mponente / ., . ■' / se re p ite dos o mos veces.
EJE M P L O S
.S e a n los funciones
Gr l f ) = |
( a , m ) , (b , p ) , { c , p } ,*{ d , q ) A
,
f,g,
de -a lg ú n p o r { x / y ) ■ *■■■ t
hcuyos
gmficos
NO
del G r á f i c o t
son
7
ES I N Y E C T IV A , porque en
( b, p)
*
es IN Y E C T I V A
y' { c , p ) se re p ite ” p "
dos veces , G r ( g ) 53 ( [
( o fm ) t ( b , m ) , ( c , p ) , ( d , p )>-*-x.NO ES IN Y E C f l VA , porque en t f f f J * (o,m ) y (b, m ) se repite m ; adema's en
{ c, p ) y { d, p ) se
repite p ,
6 :r ( h ) «
( o . m ) f{ b, p ), ( c, q ) t ( d > r }
j *-*es
INYECTIVA , porque
ninguno
de los segundos componentes se repite. UQ
Én funciones
r eol es
de variable real cuyos
r*ecto-s o
c u r v a s , un o
función in y e c tív o
Cüolquter
recto boVizonío! . S i
de 10 función en un sol o re cto h©rizantal
la
r ect o
gráficos
son
se identifico frozondo hor i zont al
c o r t a aJ gr áf i c o
punto , entonces es i n y e c t iy a . Si c u a l q u i e r
co rto ol gráfico dé la función en dos o
e n to n c e s id fum io'n
I ¡neos'
NO es I N Y E C T I V A .
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mos puntos
Funciones ó Aplicaciones
Ejemplos qrafleos
Respuesto ■
Cuondo v i do d ■ *
r
3.2 FUNCION
se froto ‘de probor
teo'ri Gómente lo in y e c t i-
de un o f u nc ion. ■/
SUNYSCTIVA
— DEFINICION 1— — — — — r— Dodo lo
fiíncion
D ecimos que f e s
f i
------— ------ — —
A — »■ 8
S U R V E C T IV A
s í , y so'íó
si V y € B ^ * € A
Esto definición nos "y"
dice
que . Todo elemento,
del conjunto de llegada
menos olquno
/y=í¿x)
preimoqen*'x"
tiene por Jo perteneciente ól
conjunto de portido , tol* que ^ y=
f (X )
*
t. y es imagen de x
p or f v
-DEFINICION t Lo
función
f 1 A-+8 es SURYEC l IVA sí , y solo sí
f (A ) — B L conjun fo día Bwie ( f } fl agota
•
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Moisés Lázaro C.
L 0 segundo definición de f
coincide
e je m p lo s
nos dice que f es S u r y e c t i ^ o
cuondo el Rango
con el conjugo de He godo.
:
f ,
J ►m ►n *P
í )
1) g e
f es inyecfivo
1 } h no es i nyec t i vo
inyecto vo
f¡Wesn¿€V r doip suryecti va ,
2 } g no es suryectiva,
f } f es s u r y e c f i v o ) porque f ( A ) = 8
2)h
porque f( A ) # C
rango áe }
porque
f(M}~N
Pues :
f 3 , 6 , 9}
Pues f ( A ) s : { 2, 4 ,6 , 8 } Ranso ee 9
NOTA
Probablem ente
el e stu d ia n te *e planteare
lo interrogante
¿ C uénóo usor
lo definición 1 y cuando
la 2 ?
Sugiero usor lo d e f in ic ió n ' de funciones pocp$
..
se trota de probar lo j
teóricamente- planteados. Perom&trata
elementos
reglo de
1 cuando
© de f u ncione s
correspondencia
cuyo
suryecti vidod
de funciones
con
dominio es un intervalo y tiene
algebro icg > a p lic a r lo definición 2 .
Sólo fines educativos - FreeLibros
^,
Funciones o Aplicaciones
EJEMPLO 1—
Seo lo
' Probor que f
f • ( A x 8 ) x C —♦
función
defin ido
por
f { ( x ty ) , z ) =
Ax ( 8x C )
{ x , (y , z ) )
es s u r y e c f i v a .
Demos tro c ion d e fin ic ión 1
Lo
Dodo
f :
M— * N
f es s u r y e c t i v o i
NOT A
dice .‘
todo y 6 N , 3 x € M / y »
<»> Poro
E n lugOr
de decir
P ord todo' y E N
f |x|
diré
dodo y € N.
Veomos .* Se tiene
f
A x ( 8 xC)
( A x B )x C — ♦
definido por
' f (■ ( x, y ) t z ) =? ( x , ( y , z ) )
t
se empiezo por aquí Así ( x, ( y, z) ), x 6 A , y G 8 , z 6 C
Dodo tol que
f {(o,b),c ) = Se froto Es
Io )
de
d e c ir
Holl em os
encontrar
{ x , ( y, z ) )
probar
( i )
lo existencia de ( ( x t y ) t 2 ) € A
sólo
debo p robar que a ~ x t b = y , c -
f se tiene !
•
f ( ío .b ), c ) = ( a t ( b , c ) ) ( 1 } se tiene
Por
3o )
Ig uo lo r
(2 )
( 1 )
Est o
igualdad se cumple , cuondo
Esto
ptueba
l o, - exi st enci a
p ru e b a
epae
/ e s
) • • . . * • . . ( 1 )
( x , ( y, z ) )
o= x , b = y , c = z , x ,yy, 2 ) € A
de (<
f ( í x , y >t2 ) = ( x t ( y , z ) } , cual
(x^cy.z)
:
( o, { b, c ) } =
Lo
-------------- ---------* ••• ( 2 )
f((o,b),c ) =
con
z
C( o, b ) , c ) 6 ( a * b ) x C
la imagen de
Según la definición de
2o )
í ( o, b) ( c ) 6 ( A x B )x C
s u ry ^ a t¿va
( x #{ y , z) ) €
, tol que A x ( 8 xC)
.
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Moisés Lázaro C.
* -
c j c m p l o
Seo
la f unción f ! £ - 2 , 3 ] - — **[“* 3 , 7 ]
f (X ) * - 2 x
¿Es
f
definido
por
+ 3
S u ry t e fiv Q ?
Probar.
, • En tsfe c # 6 , bastara hollar el rango de f y compararlo con e l conjunto
[- 3 , ? ]
de llegada a s
.
» :
S i tiern
x €
por
[ - 2 ,3 J
<=> - 2 -
x ~ 3
-2
®>
4 ^ - 2x & - 6
Sumar 3
»>
7 -
f
»>
f (x j
~3
~2x + 3
e
( x )
[-3,7
]
f {[-2,3] ) =[-3 ,7 ]
Se cumple :
P o r tonto , of i r momos que f es Sur y ec ti va ,
8*1
FUNCION
B IY EC TI V A
OEFINICION Lo
f u n c ió n f
• f ti
i
A
infectiva
y
EJEM P LO Seo
a 6 A
Oéf m o m o s y lo
t .
iió n
8
es
ÍIYECTIVA
s í} )
S u ry e ctivo . A #
0
, y lo functon
f ! A —•A
fijo. :
8 =
| { x to ) / x € A j
función F : A —♦ i
D e m ostrar
que
F
es
solo si
toi que
F (x ) «
biyecr-tv-o .
Sólo fines educativos - FreeLibros
( f (X }, a
biyecfivo .
Funciones o Aplicaciones
D€M OST R A C IO N . L a s h ip ó te s is so n *. i)
.
— {101
u
= ¿
^
j « A - * A e só /y e c tiV c . .e s d e cir <, %..
j *0
ff¡)
F ; A^ 8
V o ^
0 ) La i ny e e H vidod.
^ f l = |fx ,a ) / x ^
A
Aplicar lo definición de inyecfivo .
b
={
Supongamos que
F.’( X't ) ®
deba probar q u e X j 35 x¿ , x t € A
F {x ' ) ,
( f ( x 2),a)
ífC xf) , o } »
=>
f (
xt}
^ £ A
-.í» f { x* }
a
según
o= a
definición
de F
según la igualdad de
pares
ordenados. f es I N Y I C T I V A
«>
x?»
Por tanto , a firm a m os b)
La
x¿
que
según hLPÓtests
F es
inyectivo>
S u ry e c t iv id o d .
Lo de fin ic ión
de F es
F !
A— ► 8 x i— ► ( f ( x) , a )
1
■
.
partir de aquí %
Según
lo definición de
suryectividod , d e b o
probar
■-V- (f (* ),o ) € i , 3 * € A / { f( x), o) = F
t se prueba lo existencia de x El estila de Dado
ff U )
demostración
es como
sigue!
,a ) 6 S, x€ A encontrar m 6A / ( f { x) , a i - F { m ) Debo
............
{# )
probar que " m ,‘ es " x "
Veamos ! ( 1)
Pero
(2 )
Remplazar
F (m ) = { f { m } , o ) . { 1 ) en ( * )
..... .................... segúnla definición
de
F
!
( f ( x } ,o ) 4 { f ( m ) , a )
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{# * )
Moisés 1x1/aro C.
{3}
Pero
f
es s y y e c t i v ©
(según
hipótesis
f es biyectivo )
entonces sé
cumple * t
yi
A ,3
x € A / y = f (x ) f
( 4 ) Según ( 3 ) existe
e liJe m e n t o ' V , x € A
y
según ( # - * J
se tendrá
f (x ) » f í m ) Como
f es i n y t c f i v o , entonces
m=
x.
( 5 } A s / , se ho probado que ! O odo
( f (x ) , o ) , 3 x 6 A
EJEM PLO
2.
Seo
/ ( f m ,o
F ( x) .
lo fu nción f : ] ~ ® , 2 ]
definido por Probor
f { x ) = ~3
que f
es
— •. ] ~oo
-
3 ]'
( x - 2 )2
bi yecf i v a.
Pe m os tro c ion o ) Lo
¡n yecti vidod ...
Suponer que
Pero :
...
fío)
-3 -~ (o -2 )* 4 í
—f { b )
= - 3- — 4 ' *
| 0 - 2 ( 3»
=>
Debo, probor que o = b
( b - 2 }*
(b-2)* fb-2j
Pero
- 0^ 2
=»>
. >> =>
-(o-2
}
- (b-2)
Pe r o
b * 2 => >>
Lo cuol
pruebo
que
OjbCj-oOjO)
f es inyecfiva.
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o- 2 ~ O |o-2'|»-'(o-8 ) b - 2 & 0 | b - 2 1 * - ( b - 2)
___________________
b)
Funciones o Aplicaciones__________
.
La S u r y e c t i v i d a d . H r l l o r el R A N G O P artir
de f
deí dominio .* x £ ] — oo, 2 ] <~>
x -
2
==>*{ x - 2) ~ O
Por - 4 -
4
Sumor - 3
:
( x - 2) 2
- 3-
f (x ) =>
fix)
£
=>
( x -2 )* '* O
=>
- 4 - ( x- 2 ) ? - 0
4
&
-3
6
-3
] ~co , - . 3 ]
E l rango de f es ] - o o 3 J Como
vemos
rango de f
pruebo que f es c)
6.
Como f
con el conjunto
de
llegado , lo cual
Suryectivo.
es inyecfivo
FUNCION
coincide
y suryectivo , entonces
es
bi yectí va.
INVERSA
DEFINICION Si
f l
A — ►©
f * 1; g _ > £ la condición
es uno
FUNCION
8 i Y E G T I V A , entonces existe
Mamado inversa de f , y« f
(x )
<=>
defin id a
x~
por
y }. í- inversa d i f
EJEMPLO
1 • Do do
Definimos lo función
los c on juntos
f i A
B
f { o ) =s m
, íí b ) = n , f ( c ) ~ p
Hollar
inverso
la
A =
|
o t b , c ,d
delsiguiente
j
.modo*
, f ( d) = q.
de f , si exi ste.
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y
6 = j m.n, p, q |
Moisés Lázaro C
Sotuc ion L o función
f
A —*8
Lo in v e rs o r
es
biy e cfivo, entonces
8 -f A
f ( o )=
m <=>
def inido
) = n <=*> b a f ' 1 ( n )
f ( c
) = p <=> c ~ f - 1 ( p )
f í d
) = q <*> d = f “ r C q )
o p i romos
ir
( f ) »
condición
por
con el g r á f i c o
de f , tendremos
{ ( o , m ) , ( b, n ) , ( c , p ) , { d , q i }
i r { f " 1) m
y
| ( m .o ) , ( n , b ) , ( p , c ) , ( q ,d ) } •
EJEMPLO 2.
Seo lo función defin ido
Se cumple que f es
d e fin id o
por
Hollemos
f
f :]~co,2]
— * ]-00,-3 ]
f ( x ) = - 3 - - 24
por
b iy e c t iv o .e n t o n c e s
( x- 2 ) *
f
tie ne
f *1 : ] - 0 0 , - 3 ] — »
L o inverso" de f es
i s ) Hocer
.
f- 1 f y )
=s
2
—
2 / - y
-
3
f (x i = y :
y * - 3 - - i - ( x - 2 )*
: 4y = — 12 - ( x - 2 )* ( x - 2 )2 = - 12 — 4 y
=»>
inve rso.
] --©,2]
1
-t s ( y ):
2 S ) Despejor x
*>
f * ’1
o - f "*1 ( m )-
f ( b
Si
existe
|x—2 | = - ( x -2 ) x -2
=
/ - I 2 - 4y 2 / - y-3*
= - 2 ' / - ' i - 31 x = 2-2 V V ?
......^... ..../ f - r(y)
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Como x 6 ] -o o , 2 J =>
x 4 2
*>
x - 2 4.0
=>
|x -2 | = -
(x -2 )
■■Funciones, o .-Aplicaciones*
7. IMAGEN 7-M
DIRECTA
IM A GE N
01 R E CTA
E INVERSA
OE
ÚN
C O N JUN TO 'A ;M E D IA N TE ,
______
DE
UN CONJUNTO
7 2 1 IM A G E N f.
IN VER SA
DE
8 ,
M EDIANTE f . Seo f T E r* F uno .opíicocion y 8 « F.
Seo f E
— * F.
uno oplicacion y A«= E.
E 1 conjunto .*
r ’íBjajxee / fu ie
f ( A ) = | f ( x )6 F / x 6 A j
<= F
recibe el nombre de I MAGEN’ DIRECTA . de A, mediante
E I con junto .* e] >
e
recibe el nombre de IMAGEN INVERSA de B med ionfe f . f
f.
ax pftoyecaoN de 8 sobre E es í" í®) l a PfcOyEecjow de A sobre F es í (A)
EJEMPLO Seo la función f : E —* F
EJEMPLO
Sea lo fundón f ; E ~~~*F dado en el sigíe. diagrama. c
dado en el sig fe. dio g r ama ,
/ .
F
f
/
Y
{f i
}(M) =ÍP ,<0 f(N) - )<*,,*} j(Maw) - {<$}
JVMN =:{ct/e}
¡(MVN) =
Mun ■z\blcJd)e l S\
j(E )
í'^/
S e tiene
se tiene *. f ( A ) =
b ___-V c ■—--\ ' el - \—T S ^ r J \ e jz>
= } P,<* ,
a
}
t rango de í NOTA ; La imagen D ire cta ,e ubconjunfo de) ■conjuntp..-de llegado
í" ({P}) = K bí i-'(B) €) {•' (D ) i'1ÍBnD) = { c , d ,e) ,BaO-z{$,r} 5'<.bud)= £ ; BUD={p,<*,r,,d J-'.co-b) * ; p-B ={/4j Lo imagen inverso,es su b co n ju n to del conjunto
de Pa r t i d a.
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C.
IJE M PLO
t ** Seo
Sé def i na
Poro-
IN;
ÍR
IN
| 2n /n6 /N |
A
H .Ollar
fA
A «
lo l q ue
,
fA ( x ) =
3n/n£ (N | y
8
C
= (-1,0,1 |
:v
i»)
f A •{ f ^ i c ) )
S O L U C ION Sugerencia ’ Cuándo e l problema no e
encilia
de résolver , acuda al
diagrama de V ena con algunos volares de A y 8 . Veamos Algu nos elementos de A y S son
O Z ,4 , 6 t B , 10, 1 2 , .......
A=
•B = [ o , 3 , 6 , 9 , 1 2 ,1 5 ,........ .. £ I d i o g ama
de • Vean es i ) En primer lugar ¡ haífdr
ÍN
Mirando el diagrama fA ( B)
= {liO
A hora hallemos
obtenemos
}
la imagen inversa
de { 1 , 0 } f ; T(
■> * N
-
£*s decir ; f 1-1 í f í B ) ) = IN A A L i ) E n primer lugar M ira ndo
haliemos
f ~ 7 í C } , donde
el diagrama , o b t e n e mo s !
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C ~ j -7,0 , 1 } ) =
fA ( 8 )
A u 8
Funciones o Aplicaciones
A horo, hallemos lo imogen directa de A u S !
ft '(A«8 ) * ( l , 0 | Por tonto!
) = {. 1,0 }.
PROPIEDAOES DE L A
IMAGEN
OE LA
DIRECTA
seo la función f :
IM AGEN
INVERSA
sea la función f ! E — ►F
£ — ►F
Elegir dos subconjuntos de E .digamos!
Elegir dos subconjuntos de F,diga m os!
M «* £
8
«
F
N «
0 «
F
£
Se cumplen los siguientes propiedades
Se cumplen los --siguientes, propiedades!
f> } f ( £ ) = Pongo de f , E = Oom ( f )
r,)
y f(M)-Rong
) , f(M ) « f ( E )
(
r ’(0)«-0
I ? ) si B *= D
P ,) f í 0 ) ^ 0
Ij)YA<= £
P3 ) si M «s N implica f ( M )«= "f ( N )
I 4)
P^} f ( M u N ) s
I
f { M ) u f (N)
P ) f { M n N } €B f { M ) n f ( N ) s P6 ) M « #
implica f ( N - M ) « f Í N ' H f M )
5
f unci ón
A«*f_,(f(A))
) r ’ ÍB u D ) = f - ' ( B ) u r ' ( D I
I 6)
f -1( 8 nD ) = r ’ ( B ) n f ’ í D )
I ?) 8 * 0
implico f ' l O - e j s f tD)-f**( 8 )
B
TEOREMA 2
TEOREMA 1 la
implico
V 8 « F implico f t r U 8 ) ) •= 8
1e ) r ' (^
Seo
implico f ’ í-Bjc f ’ ( 0 )
f
! £
S e o la f unción
fes
f ! E—F
S U R Y E C TIV A
<=> f ( f ' 1(B)) = B | T B =
Sólo fines educativos - FreeLibros
F
Moisés Lázaro C.
H O T A • Estos
propiedades se demuestren opticondo corree tómente
é e f i niciones 1)
de ímogen
De imagen dire cto. j é t a •
2) De imcgen inverso
directo e inverso.
f ' E
DE R j.
fe x ) 6 f { A ) <=> x 6 A
tíe o
f : E
si l * m Ñ »>
Se pidedemostrar Se empieso T )
seo
t
<*> fex) 6 B
f cx i 6
Pero
si
Sí
Por
f (
N)
teniendo
f (M)
como hipótesis
M «
x€N
M e N.
ouxi i i ar
d e f i n i c i ó n de
N ,
^
x€M »>
4) :
P R U E B A de P 8
im agen d irecta
hipótesis
i m p lic o x S N
f
1} y
P a r t i r de
h ip ó te sis
M
. Cotonees 4)
f (M} «
{ M } «= f ( N )
E
B «
por f ( M )
% ) * * > % € 3)
f
» A *= E
F
c f*m
PRUEBA
f( N ) f (M ) «
f (MnN ) «
, f
x 6 M ...........U hítem nJ* l»¿U*su& i y.
defin ición de
imagen directo
f(N) . f ( M ) n f { N )
.
f ( fetoN }
r Ho&ra d p i cosos : c u on do
Mn N = 0
y
f ( M n N ) ** 0
.m
cu o n d o
MnN #
0
CASO 1 Cuondo
MisN *
0
*?
f ( M ) n f ( N ) ^
CASO 2 Cu ondo
1}
V
lo s
MnN #
y € f(
0
M nN ) implico
fue
existe
oigan
x©
Sólo fines educativos - FreeLibros
tal
que
y~
f ( x© )
Funciones- o Aplicaciones
2 ) C o mo . y = f ( x e ) 6 f (M nN ) ->
x0 6 ( MnN }
"3)
■=>
Xo 6 M
4)
=>
*o6 N
a
f{xo)6 f { Mí
a
5)
=>
y 6 f {Mí
a
6)
=>
7 )P o /
6)
1) y
S U G E R E N C IA : igu oldo d de
S .- '- y' €
f (N)
y 6 [ f(M) n f í N ) ]
concluimos ‘
f(MnN)
Cuondo se t ro t o
conj unt os
6 f (N )
fíxo)
'-y..... -
«
f (M ) n f { N } ,
de de mostrar
uno
i n c lu s ió n
o
uno
siempre ¿dr ¡a/2out£RDA ée.1 sím bolo cz c r - é z
patAir
¿a rsests... EJEMPLOS. f) V A c z E
implica
s) Probar: f ( t n n N ) e : fCm) a J(N)
A ó / 'V m ))
partir de a ^ u t .
t. partir ¿ e o fm '
t) Y B < z r
¿m ptica
^cN
¿=-B
tmptica.
c ; £(w)
1 paré trefe
Pruebo de 1 2 ) Se t r o t o
de
8 «= 0
si
demos trar
t i p a rtir d e
implico
(NI)
ou^u l
{ 8 ) «= f*° ( 0 )
f
f 1 ( 8 ) *= f~ * ( 0 ) , ten ien do como h ip ó te sis 8 c 0
Porfir de f w|( B )
1)
sed
2 } =>
f ~T( 8 )
x € f
(X ) G i
3} Pero !
i
4) L u e go f ( x ) 5 ) C om o
definición de imagen
* 0
P R U E B A ' de
Po rtir de f sea x
. {
€
~>
f ’f i n D
)
f~ -( 8
n
i
«
x € f**1^ 0 i
se cumple
5 )
a
in v e rsa .
según hipótesis.
8 implica f (x) 6 0 ,. *V* f {x }
€
f fx ) 6 0
6 ) Por 1 )
Asi
hipótesis auxiliar
••
*
6 8 ... (&ef im ánete írKhstm).
definición de imagen inversa «
f
1(
0 }
r T ( 8 )n r Tí D )
f> ) ~
,
0
.) * >
P RU E § A de 1 7
8 <= 0
Partir de f ^ i D - S
)
f
(x
im plica
) i
( ®
n
Ú ) *>
.
f ~ 1{ D ~ É } * f ~ U D ) ~ f ~ l l B >
y usar la hipófisis
i «
0 .
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/-j -|q\
8
Moisés Lázaro C
FUN C IO N
C A R ACTER ISTICA
Se.o A «s W
Definimos,
,U
’f
conjunto universal
i i f — * | 0 , l } , lo FUNCION C A R A C T E R I S T I C A de A , según
lo reglo de correspondencio
siguiente
1 , f
si x 6 A
(X ) ■ '
{ Q ,
si x C ( i r - A
)
Probór tos siguientes propiedodes
.!► . S i A « A* B %
BJ
, B« = ttf
s.s.s
fA «B ( X ) “
ígl*)
fA « * Í V
X|
. "V- x 6 W-
.
* A <* > + fB.«*> “ fA ( x ) V * >
f*.
^ < s ) * t - f A(x)
*5’
ft - » l x í * V * * [ * “ V
%'
f A6B t t ) M
p. *
A « e <=>
■
.
V
V
X)
w
, -v x e x1 ]
'
+ f 8 t x> “ 2 V
n C I
*
* 6 117
X) f e I X ) ' ' V x
€ U -
f .o u a f ( x ) . i f x e i j A '
“
* fA <* > f B
>
. y> e i j x u
Pruebo de 1 ) Si
x 6
•( A ü*S )<»> U
x 6 A I
v
x f li
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Funciones o Aplicaciones
2 ) Si
x/
(AuB)
<=>
x ¿ A
» V
i V
r V
lx)S°
fA
3)
8
a
Como lo función corocteristico tienesoio dos volores volé 1 , si el elemento esto' en el conjunto volé
0 , si el elemento no esto' en el conjunto ;
entonces tendremos .* si x I
(A í I
) =>
f. _ t x ) * X
tí
(a V i
)
t
d
x
r
A«S
*>
* o
(%)
AHÍ
o } Cuondo x € { Au f í } ocurren 3 cosos
L u e go:
fA>B( x ) = 1
fA
* '
fg- (x
T
+
=
1
1
=
O 'x
b J Cuondo x ^
+
a
x 6
8
x €
A
A
XX
B
xX A
a
x6 8
> - fA( x ) ¿ f (x )
i
— (1 í C 1J
o
1
, si
x€A a x S i
-
1
1
x i A
-
{ U
(O )
, si- x£ A
-
( O)
(1
, si x X * A
)
( A u 8 ) ocurre sólo un coso
x Jtí A
Lueqo f. J X ) = A tf 0
0
*
0e mortero, simi l or
f
A
(X) +-f _ { X ) B
. 0
4-
se pruebon
O
-
A
_(x) 8
(O ) ( O )
los otros propiedodes:
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A
a
x X s X
e8
x X
®
Moisés Lázaro C.
Problemas ( j ) Sea/? lo s a p lic a c io n e s J : A
b
y
3 ' b ->.c
Probar yoe :
v
a; Si f
y g so?7 i*y ecf¿yas ^ entonces J o f e$ ,una funcióíi iiiy e c tiv a .
3 ^ j es infectiva y entonces / «s in f e c t i v a . c) Si f y g son Suryactivas ^ enton
6) S i
C
St ces
Jcf
es
Sa/yecfzya. :
y ©y «s- S£//yecz*tVa ^ enton jf
es
© S e a í : TL—+IL una función b i yectiva, . Analizar la verdad cr false d a d de ccudcL una de tq s siguéen les a f ir m a c io n es ¿ ju s tific a n d o cada re s p u e s ta \
Ó?? xe W
^
y e
% / j< x ) -z y
{ t x ,t < x )) f x e 2 j
es
v / ( x )= o
£//?a r e f a c í a n
a nti s im é tric a en T¿ \ ■
c) Si A c 2 v entonces se cumple que f ( < $ A ) ~ <¡g: ( f t A ) ) '
si/ryect iv a .
Sea í A - > 8 u ñ a f unción cual quiera , . ■ S e a n M y N sub conjuntos f (A x B )x c — > A x C B x c ) de A . £ y ^ sub conjuntos de 8. d a f in id a par f ( ú /v),%)'z pa a)* Probas q u e : f (Afrw) C l í(M)nf(N) ra to d o (U,vf;Z) €• (A x s )x C es • b) Anoíczar Sí se cum ple •: en a b iy e c o io T L . ©
®
Probar q u e La explicación
(x,(y,Z))
f í/ w)nf (/vj.cr
f(M n N )
.
‘
® Sean ¿as funciones cr a p l i c a c) Probar que E C F im p lic a . j ' r (F -E ) - í ' ^ ) - f'é H ) . c io n e s f : A -*b y g: B->c . Dem ostrar q u e s i f y § son b i y e c t i v a s ^ en to n c e s g o f es © S e a £>e/R fyo .y s e a b iy e o tiv a
@
fun ció n ^ * x e t R ;
Sea A = \ 0 )? , 2 } un conjunto que representa Las notas m ín im a y iji te rm e d ia y m á x im a s de un tur so*. - ■■■ ' ■ xfea A 3 -VfR t/^a función
definida por f(xflx2/x3>r **±3+*3* ¿¿amada, fu n cion prom edio . a) H a lla r e t Gr(j) Hadar el rango de f . (s) Se denotamos con P a l conjun to de toda s tas funciones d e fi n id a s en un conjunto B y con valores en { °} l } 0 °v sea
£n Cx) = n x + b
ne fN + }
%
pa ra
c ie r to
9
2
A)
P b) í
© S e a
n e
H a l l a r f ^ f f ^ il) .
13
, q
x d)
f : /W**^ íft
y e n - a
h a lla r A ) . a *6 (j o ) S e a
10
u n a j-uncron
f(2)-b
y
f ( n) _ f < n - 3 )
,
<¥ n > . 4
f
1)
son
• ( 1 ?st xéA donde ^ A(x) - {• , «¿a [6 .,s i x fA que
$
3)
.
? cj¿?y-c ^ d ) a + h t e
d e
La s
V ^ y g 'C l
s ig u ie n t e s
v e r d a d e r a s
fíKx) r
f< x -y )
k f(x)
es b iy e c t iv e u .
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=
.
una Junción A a ¿ que
®
?
proposición
? k: £ ¡ H - { ó }
2) . . f (O) - O
> ÍA ) - a
y. ’
f í 310) -h f (loo) fl) Q-y-c
C u a les
n e s
£q / 9 ^
7-f(3)-c
¿ (x fv y ^ fU í + ^ y ) d
P ro b a r
con
S i s e so b e que f n (fn2Í0)) = n+b
b)
Sea i a aplica ción $ : íPce) -* F d e fin id a m e d ia nte l a igua lda d
,
ffx j> ffy)
. '
Funciones o Aplicaciones
Sea
®
: . j x/x
A
Se
4a
d e f i n e
J
es u n a p r o p o s i c i ó n } f u n c ió n
f :
J
'
S e i i ene e n to n c e s : í ( • -f ( S e ja n e s t o p
A - y IR. • p
)
lo /si x es falsa.
es ; .
e)/íp) + H $ )
(§) S e a
>s \ * e s v e rd a d e ra
f ( x ) - \ '
- f ( P) -f(y ) = 7 - f CP)
P)
, fC p A q y
A)
o r
c)
f c p K f -f c g j), o) f (p y -f (< f Y
y g dos funciones de A en A } ta le s que
A = j i , 2 , 3 , 4 ^5 J ^ sean f
sr{* > = |.(i,2)
= { ( 1 , 5 ) j ( 1 , 1) , ( 3 , 2 ) , ( 4 , 4 ) .,
H Q lla r
‘
f
« i í l t l í i n
1
(5,3)
s (3)
f m +-ÍM) J
A) 1/5 , 8) V2 ^ c) 5 yo) 2 ^ £) ©Sea
}
f : IN
Ninguna de Los a n te rio re s
IR definida inductivamente
por :
ÍIO) =2 f O) =.3 feh) = 3 fín- 1)— 3 fín - 2 ) y * n>>2 Si
g : b\i
ir
%
£
«s fa lq u e : fÓ O
entonces
*
es :
f(n)
A) 1
> 8)
© S eo A diez q u e
2
, c)
, O) 4
3
un c o n ju n to dé e s sim é trico si
4 y
,
B) 5
e le m e n to s . solo s i f
.. Una
fu n c ib h e s b iye ctivcc
y
A -> A si
se
fíx)-y e n to n ce s f i y ) - x £/ numero de fu n c io n e s s im é tric a s de A en A es l Á)' 5 : 8) * ^ ,ic).10/- o) lo , £ ) A/in$uft* de las a n te rio re s • . (g)
Sea
f ; JN—*\tN ^ tal que
f<*> - Zx
ÍA 2 íd
2
<í Cuales I)
«í ,JI)
de. las
Siguientes afirm aciones
7
s>i
x
es
Im p a r
son falsas ?
(§of>Í X) r X
(f«8 )W
=*
ífo § )(X ) é x - 1
v * X=2K ^ v x
in yectiva . . A) sólo H y XII , B) Solo IV iv)
Si x es par
^
=2X41
) K€ W • ^ K € lM
es
} c) sólo J1I y IV , D) sólo XXI f E) solo X y IZ .
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Moisés Lázaro C.
Problemas i.
Sea j uncx fu n c ió n d e fin id a en H p u e c u m p le J i x + z ) ~ f(x> +- f o y f a z d cuáles de tas s ig u ie n te s prop osicio ne s son v e rd a d e ro s ? :
f (O) zr O
I )
Sean
}
11)
: ÍR -* ÍR
f , % y h
,
f - ( - 3 ) - H 3 )
si
f(7 2 )= 4 íi3 >
t i l )
g (x )-2 x 4 i ;
* §(h(x>+i(x)) = x2 % (h (x )+ 2 f(x )) = 3 - X2’- 3X e n to n c e s
,
AV o
3.
% (h ( - £ ( * ( i>))} e s :
8) 1
Sean
f
, cy 2
y §
A ) -5 .
,
4. Sean ■
A ?B
ta le s
que :
•
s a b ie n d o que ( ,
D) 4
sub e p n ju n to s
f u? 3 ¿ i
hallar
x * -3
> -c)-I
5
q u ie ra ^ ta l q u e
31
•,
de R
£ ) - 2- .
V se a í :
f > (C ) * c a / f o o e C ' V
c = \ * 6 IR /
§ )lt> = \
B
una función cual-
\, w C c B .
<1 }
f 1( c ) .
A) 3 - 4 , | ] _ { l }
5.
,
'
11 ( S“\> f ) ( t - — ) B)
inyec.ttvas
.
g -'íx jx ü X+3
Hallar
e ) 4-
funciones reales
f U> - -*±i_
.
D) 3
/
, 8)
,2 C
> =) D - | , A L - M
, O)
3 f ,t l
, E U |,|.L
Hallar la sum a ale va ld re s e n te ro s de K para que la -función -f(x) = 4 x 2 - k ( 4 x - i ) + 6 ño te n g a in te rc e p te s con el eje X A) Ó
,
8) 1
- c ) -z
; D) 3 . ,
E) 4 .
,9 Qf.
o
-
*
Sean las funciones reales de variable real
( X+2
f(x) = <
I X -1
\ j
X£ 1 X>1
§(*) = - x2 +1 ó .Cuáles
dé la s
I) (S°í) íx) = - x 2 _4 x II)
I II)
' x>,0
siguientes proposiciones
, x í l - 21 1 ]
3
D o m ( g aj ) - o o m f
( § o j)U l
e
-X
.2 4-2 X
, xt t - 2 /c o [ . ■
son v e r d a d e r a s 7 A)sólo X 7.
,
B) solo I y X I I
Sean las funciones
} c) soló I I y I I I j D) T©das
reales de
vqrtable real
f(x)
,
- ) x+2 r ká 1 (*-1
S<*)~ *2
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E) Ninguna .
,
x >1
, ‘x
Funciones o Aplicaciones
d CuQÍes l)
de las siguientes a firm a cton e s
( § ° í ) (X)
II)
§o*
ÍIJ )
=
-1-4
(§ ° í) < x ) = xz - z x + i son v e rd a d e ra s ?
A) sólo I I 8.
X2 + 4 X
, X 6 IR
es función inyectivai } x e ]-o o ,-2 [
B) soto n i
}
j e)
sólo X y I I
; o) Todas ^ E) Ninguna,.
¿ Cuates d é la s siguientes afirm aciones : f(x) = |x1 - zx| inyectiva en [l,+<»k I I ) Los únicos valores d e C para los cuates f (x )= x2- z x + c c o rto al eje "X p e rte n e c e ol -intervalo t P , l [ '
I)
I I I ) El ra n g o d e f (x ) = x2 - 2 X + C e s subconjunto de t°j+°c>[ s i c e [ I ^ oóC son v e rd a d e ra s ? A) Solo I I I ^ 8 ) soló I y I i , c) sólo TI. y I I I - °) Todas yE) Ninguna . 9-.
Sean
tas
funciones reales de variable real
entonces Dom f HDomg n Ranf n Ran§
es i^ual a *. A)I-
Se
definen
§(x> = * 2
%(x) =.
} t>) ^
f
y
1-1 > si
1
U-zM**-c| } e) Ninguna de las anteriores .
tas siguientes funciones (1 , s i X>1
s e a firm a n ;
fon - _V2-x’ +3 ^
x -1
de U en IR *. >h ( x ) -
f (x -i)
x <1
I) Ran (H) = Ran (f) I I ) R a n (fe g ^ - { 0 , 1 } III)
°om (fo% ) - ¡R
Son ve rdaderas A) Sólo I 11.
La
y
fu n c io 'n
:
I I ; 8) Soto I I y I I I ; c) Sólo I y I I I } t>) solo I I I ^ ) Todas. o le
i
IR
en
IR
d e f in id a
por
f(x )- — t i
Ixi+Z tiene
A) -3 12.
rango C ^ V M ]
^Sea
3
B) -l ; c)
y
í *.
IR
.
H a lla r 2 M - I m
; D) 5
, e )7
definida por
f (1) = 4 ; f-(z )- 4 p f (n+2) = 4 + f (n)
5 e a firm a *. 1) f{8) = IG
II) III)
V -h e
• í (n)
es
m últiplo d e 4 .
f (35) ~
son verdaderas : A) sólo I } B) sólo 1 y I I
. c) sólo I I
D) sólo I
y -I I I
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E> Todas .
Moisés Lazaro C,
13. Sea f ; C®, i) a.) probar q u e b)
*4.
|R una f unción de fin id a por : f(x> = | * >$¿ ■* *s racional fof - I d e n Co,í} h - x ? six es irracional
probar e ^
= £0,13
Ram gf
Dada la función de variable real : f
(f> Oomf
es astntcrtQ ve rtical } (SJI&ngf =1- ^ - 1] u [J,too C
/ «!* = §
¿ Cualesafim actones son verdaderas. 13.
S «a
definido
Se a fu m a : U ) f (2X) + f ( 3 y ) z O U)
j
^
f
par
a
y es impar ]
, } * X JI-C H
<3) son
por f t x j - . j ' 1 > st '* *****'. 1-1 , s i x es impar
ct€ *H ta l q u e
:
§ «**) = c¿ -fcx)
; ^X€BM
verdaderas :
A) s
la s f u n c io n e s r e a le s : f(x>= ( z - 3 x| (x + i) gOC) « v/S-SX -2X? Saan A = Oom(g) y 8 = Rang ( f > .
Hallar : A V C -3 ,-i] 17.
,
AOQ B )fc -3 ,f| }
, c)
,> )3 -C o ,-8 ]
, E) C Í > f | ]
Sea fíxy = 2x2 - 4 x - f 3 u n a función con d o m i n i o A o IR Se a f ir m a n :. O) Si A = £-2,21 }- entonces R a n (f ) = I1;13] U> Pora A = 3 - 0 0 , 1] y f e s in vectivo. £ ) Si A = IR. y fc x )¿ 9 } e n to n c e s xe L ° ; 33
son verdaderas : A)
sólo O )
;
B)
só lo m ■ c ) só lo (Si
y-O ) só lo <2) y (3) J el) s o b ti) y (2).
18*
Hallar la sum a d é lo s v a lo re s e n te ro s d e K p a ra q u e la función c u a d r á tic a -f(x) z 4 x 2 + K ( i - 4 x ) + 2 no t e n ^ a in te rc e p to s con e| e je X . A) o , 8)1 , c) 2 , 0 ( 3 ) , e ) A • 1 19. D a d a s ta s f u n c io n e s reales *f(x.) = VJ-x ^ §u> = — - Si A = Dom (fo §) ; hollar A )3 -V T ; \/2 C - W
20.
/>B )l-\f2 ,r l [ u 3 i >y2,[
; c ) 1 - ^ ñ í j D)
3-oo,^]ur^£x>r
Sean las funciones * S r ( f ) r { ( 2^ 0 , 5), (4, 2), ,(8 ,4 )f Br(%)=í(2fV ), (S,*),^,*), (5,1), <&,*♦) , a,C)A(S,é)} S e a h la función con dom inio Í ^ A ^ / S f t al que § = hof Hallar h (n +-h(Z) + h (4 )+ h (5 ) + h( 8) A) 17 ; 8 ) 16 , c) 19 , 0)20 , e/ 21 ..
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< § )-
FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
4 0.
INTR ODUCCIO N. E n aste capítulo sólo
Es decir t de funchones de llegada
paro
dé
v a ria b le real. y el conjunto
de IR a coincide n co n IR .
las d e fin ic io n e s , da da s en el los funciones
F UNCION R Í A L
reales
en el que el conju nto de p a rtid a
son subconjuntos
N O TA : Todos
1.
trataremos d* funciones
DE
ca p ítu lo
3
son va lida s
reoles de v a ria b le r e a l .
VAR IABLE
RE AL .
D EFIN ICIO N -I. Sean A y i - dos subconjuntos de' IR . Diremos que f es uno función existe
un único número reol
Lo notación
y = f ( x ) se lee
* y es Jo im agen de
x
de 'A en © , si pora íodó y € 8
* y es igual o f
E ntre o tro s
íx).
de x
f en x "
"y depende de x ” &
y ~ f(x ) ■"x "
e
es
que
que
. “ y esfunción de
cosos !
Lo notación
ein d ic a
por f
o que "y es el valor de la. función Tam bién «ndico que
, tal que y « f
numero real x € Á ,
nos in d ic o que .* lo
y M es lo
vonaole^ independiente variable
dependiente .
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x “
Moisés Lázaro C.
Lo
f : A —♦ 8
notación
,donde
A ~ IR ,
i
-
R
* x 4 -«y «f{x ) nos indico que
1. 2
1 )
f es uno función de
2 )
A * ©om ( f )
3)
-V- * « A , 3? y e 8 / y * f { x )
4)
f ( A ) » Rongo* de f,
FORMA UNA
IN TU ITIV A
FttliCiOÜ
0C
ACAL
A en I .
donde f ( A ) « e § ;
PCRSIVIR
OE
En el proceso de lo enseFonzo suges t i yo e int uit i v © o gráfico
poro
qtié recurrir
VARIA8LE
ACAL.
aprendizaje
no hoy noaa
a lo
aprender el s i g n if i c a d o
rep re $ e ntoc ¡o n y
función.
*
6 róficomente , si f ^ A - » Í
es uno f u n c i ó n
co n ju n to d e p a r t i d a Migodo 8 está PLA N O
XY
esto
g e om e t r ¡ c o
luego la d e f i n i c i ó n
Los puntos conj un tos in f in i t o s
numerables o
Ademas , el dominio ir(f }
sobre
el
$r ( f )
sobre el
x € A corresponde un
6
íx ,y )
eje
6r
rango de f
tínico
A ,
puntos del
y € 8 .
( f )c o n f o r m a n
conjuntos infin itos
de f , que es
eje X y el
de
real
contenid o en el e je Y ; además ek G r ( f ) , s o n
en el que o codo
más
de vorioble real ; el ' contenido en el eje X y el conjunto de
t
A
GR AFICAM ENTE
c o n ju n to s f initos discret
no numerobles
es loP R O Y E C C I O N
es lo
P R O Y E C C IO N
Y.
Sólo fines educativos - FreeLibros
.
del del
Funciones Reates de Variable Real
Eje m p lo s
■ ^ u y—
Gro fíeos
EJEM PLO
1
EJEM PLO
2
Seo g i IN *—* IR , definido - * { 2 , 4 , 6 ,8 }
Seo f : 1 1 ,2 ,3 , 4 }
por
g < n J = (- r , " i i z i .
definid o p or * Si tobulomos f { i") = 3
por y luego poro n impar obtenemos*.
f ( 2) «4
o ) P o ro n par } tenemos .* Z 4 6
f í 3} = 6
f (4 )= 8 Su g r á fic o e s
por se porado poro n
g ( n ) = { 7 / 3 ,1 5 / 7 ,2 3 / 1 1 , i—
:
2} -
«J «a con junto inf inito n om orob lo
Cuondo n es muy g ra n de , la función se aproximo
o 2
bj Poro n impar , i i m m ó s i
3
5
g t n ) = | - 3 , - 1 1 / 5 , - 1 9 / 9 ........ -* - 2 } Cuando n es muy.gronde lo función se
6
aproximo ol número - 2 .
6 4
i i i » -tr— I------- 1~ I
Z
3
4
6r ( f ) S f M, 2 ),( 2 ,4 ),( 3,6 ), (4,8 l} En este
coso
d is c r e t a
fin ito.
f es uno f u n c ió n
Oom ( f ) * ¡ 1, 2 , 3 , 4 } =A Rong í f ) * | 2 , 4 , 6 , 8 } = B
En este coso decimos que g es uno función de variable d i s c r e t a junto in f in ito
y forman un con n u m e ra b le .
Discreta, indico puntos separados que no se pueden unir trozando una re c t a o curvo.
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Moisés Lázaro C.
EJEMPLO 3
EJEMPLO 4
f (x ) * 3X5- 20 x3 +16 cuyo dominio es
Esto cur vo ,es uno funcion^rooiónol cuyo reglo de corresponde itfio es !
todo IR y cuyo rongo es todo R . En este eoso f es uno fu n ció n de yorioble c o n tin u a
infinito
NO
X- i
y form ar un conjunto Su dominio es x G IR - { i }
*
NUM ERABLE.
, que es lo
proyección dé lo curvo so bre el eje X. CO N TIN U A , significo que los* puntos del 3r ( f ) se pueden unir., obteniéndose un TRAZO
decir
de
c u r v o CON T I N U A O A , es
podemos t r o z o r lo curvo
uniendo
los puntos ( x , y )
sin levontor
Su rongo es ] - ®
u [ 2, + » [ , que ,
es lo proyección
de lo curvo sobre el
eje. Y;. En este coso, tombie'n, f ( x } es u no función de variable continua.
*1 t o p u . Pero hay un detalle, la curvo se hc,,roto,, En este co so , el Anolisis Motemotico
en x~1 .
nos dice que f es uno funeio o
Pero estos cosos,el Anolisis Motemotíco nos dirá' que f ( x ) es D I S C O N T I N U A
continuo en todo IR.
en x = 1 . Pero N O T A .* E l nombre de función independiente
x
f ( x) es continuo e n 3 -i»,iC u 1 i t® C-
reol de vorioble reol es porque lo voriob le
tomo valores reales yiavorioble
que es" y " tombie'n tomo vofores reoles . Esto f u n c io n e s vectoriole s que es yno
fu n ció n
de de
variable IR en
reol
IR* .
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tal
dependiente f ( x ) difie re
de los
como f (t ) ~ {
Funciones Reales de Variable Real
f.y
EJEM PLO NUMERICO PARA CONJUNTOS FINITOS
Seon los conjuntos: A ={ ' i , * , S i 7 } dónale. :
y
B =j o , 2 / j .
AxB :\ü,o) ,(1,2) ,(i,4)((3,o),(3l« , ( 3 ^ \ { s , o) 1C
5
,
i
5
j
|
-
ix A : |(o,tv(o,sv1(o,s),(o> T)i(2ii),«,v),(i,s)j2,l),(i,n,(¿,3Uí',5),(4IT) j . De ios siguientes conjuntos que s* don a continuación ¿ diya tM. cuál de ellos es uno. función de A en 8 , cuál de B en A C O N JU N TO
D£ P A R E S O & ÜEHA& O S
Gfíífc ^(1.2) ,(S il),(S ,l'> ,(T ,I)
y cuál i» es uto función?
D / a $ «a m á s os
veñn
J
va
%
y q f i ^(1,0), (3 ,2 ), (5 ,e )p A K (2,2) }
b r (h )- ^ ( 2 * ),(* .,s ),(o ,?> |
6r(j)=
(j r W r j c o . i y í j y . ? ) }
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V :'# ;V:
Moisés Lázaro C.
SO l ü c i o n :
a)
f
/ es u na fu n c ió n ote A an 3 y se dzn ota a s t donde
;
D o m (f)
s
: A -+ B
}■ =A
fíonfof/) r j i j C i
6)
O
no oí
funa'on d a
A en B
}
p o r y un a l
com ponentes ote ¿os p o rte s o r tiz n a d o s efe f
p¿¿a dos ve ce s . ¿© fue genes gue dé
pon d a r ía
y e¿ " 4 *
&t a firm a r
s ó lo
Ade/nés :
c)
son e¿ " 2 ”
fu n c ió n
g u ia ré d e c i r
qué a
"3 '
se re -
¿e corresponde do* /roa
; /o cu©/ contradice
a
la d e f im e t ó n deb a corres-
rancho .
del
= { 1, 11, 5,7 ] = A
D o m (§)
A es c/no función
e n c o n tra m o s g u a * 3 "
Qi codo éC em en to de/ dom inio
puz
un e le m e n t o
}
¿ o d a s ¿os prim eras
observar
da B en Á
y s e denoto cxsí
h : B -* A
Donde ; . Dom(h)' z ¡ 2,4,0 ! = B A o n 9 0 (/ > ) z ¡ 3t5; 7 ) c d) ^
et Donde
f/na función D om (j)
da A«l?j en 3
F es í/nar función Donde
y se denota a s i
z \ 3, 1,5 } C A
£© ngo ( j )
*)
A
= \o,2 } C
da
8
B en A
y se
Don? ( F ) r { 0 , 2 , 4 } -
denota a s i
F *. B
A
1
£a/?9o(F) r { 3 ,7 } C A
NíCfTA «k Ac O5Í14C/0/V
^Urm . form am uAjA&n&ilto.
reconocer
p a rte ,
crraLznouícr)
jVLirnc/taA
£4
jumsx fMmcicm. , ¿ 4
A zrm p c m tv t& i cázb&i
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JUmCoiy*vri6xate mofo- 9me /áxfo
/Svt /djft/t&nfoá, .
Fu n d o n e s Reales de Variable Real
Í.A 0QAFICO DE UNA FUNCION
a b t f i T i i c i Ó T L •'¿ d e a - J a . Ju m c io n . f : A — * B
*• '
.
ción efe A en B **
jáe Jtixmxx. GAAF/ca emf mt AuJb&>7LjM¿n£ct y^rcxúcüSr ¿méGdikno' de AxB quecumple <&s condiciones ; t) Eemf&rw) xA U ) S i (X ,y )€ § r (f ) A (* ,2 J 6 (jr ff)
yToíia e t c * n ;
g ró f ( f ) =
r~
2
[ ( x , fe * )) / x € A }
EJEMPLO 1 | . S « t a funció n: :
i ¡*
4
}(* )- i x -5 * t[í,3 ]s A
•"?v/V.: *'3
J-
r|*^ i » * » - * m m
*« M
=
b
. .
i
m m
A í
1
;>b 1¡ 4
i £am© v
t
A*B
>u
*
-j .*
f i g A
-2 EJEMPLO 2 1 Sea la función
l*
§ ( x ) = Z \ñ e x € [0 ,5 >
1
fOústvC
=M
y€ [ o , 2 v ¥ > = N
ia
: i Com e w m e $ C f ( ^ ) C
M x N
’ *
l
1
*
i
4
S
4
»
M
EJEMPLO 3 1
§t©i l á f u n c ió n , h Cx) ~ xC < O , + 0 0 > = *
! .
hí«r -
l4 !1
y* < 0 ,+ a D > -$ ji
1
1 .j R
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«
Moisés Lázaro C.
19
¡yy^oiactori pam las
AtaJb&e /tmo¿ /han v
,S »
% > % ,% > \
U
ví^cjíoi de
to m o
, h^ efe.
fu n c ió n
uno
c a lc u la r
* j
la
ai
j
de g
s e rá
será
1 ) , (*, lyfe), C3,,
Si cia de h
será
es F
ü lg é B Q M c á
;
*.
} ( * ) que
p o ro
f .
te n d re m o s que lo reglo d e
{ ( t ) z }-x
cq -
, x£2*
j , tendremos que lo mgk* ck corres
gcx>= 2x - i , xe
J ) tendremos fuela mqla ét corresponden
h(x> - ¿
[EJEMPLO 4 1 3 t W P )r {(x t 2ae?- i ) J *. c fR | de F
E x p re s ió n
dominio d e
Si & § )= | (l>l ) ( 2 l3 ) l (3 ,5 )l ( A , t ) |pandando
EJEMPLOS]
a,
( 2/r> #f 3,Q , ^ S > , : .......
Si
/responda n eta efe
EJEMPLO 2 1
>5
e le m e n tó de l p o r o rden o do(x,f
e l se g u n d o
v a lo r d e H x rt q u e p e r t e n e c e
EJEMPLOí T j
dt ummfímtion > Homoreglade
corresponde nciá
c o r r e s p o n d e n c ia de
nos p e rm ite
, hl ,
• tendremos 9^e la reófa de cor/esponcfenetQi
i x > = 2 x ? -1
z j I EJEMPLO 5 1 S tfríG ) = {(.* , ^ e' ’ /!) / I f <- oOj + c o ^ j. tendremos -
ponderre/m ofe G
es G <*> r
vTT
í?
(? ■1 .
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90c ía re^/ad* co/res-i
Funciones Reales de Variable Real
1.7 ¡D e te r m in ó le io n
oto. una. f u n c i ó n
*
U n a J u n c ió n
“f
* q u zcü x
b ie n
te r m in a d o ( también se oít’ce : bren d e fin id a )} St St conocen : a) y
3 u regía cíe co/re spondene tcx / ( x ) (a ^«ot ¿a ecuación, ofe ¿a función)
b) Su dom i r u ó
:
PROBLEMAS
© Determine <¿t dom inio y rango d e /a fu n c ió n
J (x ) r
R ESUELTO S con una asinto ta horizonta l : y r o . 5u gráfico es :
*
Solución: a ) -x s t ) o m ( f ) «
x € fR - j x*®/**i=o|
C=> x € ÍR - f - 1 } Con una asíntota ver. ftcaí ;
* r-i ,
b) Paro d e te rm in a r el ran^o de uno fun ción } procedamos üeí sgte modo : $ Hacemos
} (*) a y
2®) Des peja r n o s
x
en t é r m in o s
de y l ñ D isc u tim o s
¿os d if e r e n t e s cos09;
i orno en el c a p itu lo re fe r e n te a
©
t ^ t e m i n e e l d o m v m y m ngo
§
m ia c io n e s P a r a al presante
Y= '3 3 T
e je r c ic io
te n d re m o s
a) x 6 Domfg) <=» ,xe
° y
yx
S o iU C tQ N
<=* x € |R - 0
= i- y * * x€ IR
«a*
X
y
Luego : y £ Rongo(f) Csp ye (R * {**/>«©■} *=* y e ÍR- {o }
b ) D e t e r m in a c ió n i 9) H a g a m o s
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del
ra n g o :
§ (x ) = y
Moisés Lázaro C.
Despejar x ; y =
-fx $ 0
Como
^
7(x\l) ~ I
<=»
X1 + y C l
y
• ^ T '^ 0 O i
<=* Z S < 0 , 1 ]
y x V = i-y
Hollar el dominio da / (x )r Ln/l
___ _
SOLUCION :
v/5?
f (x )r Ln\Á~ T
Pero
r i U ( l - £ )
3e Ánaliaorf: v e Rongo ( g )
L-r <-> - ¿ - L >^o
V - --f
Por lo tomto : x € Dom(f)
y- í
o l T
<=4
q
l-~ p >0 €=> 4 - 3 Í > 0
*
y€ < 0 , 1 ]
«=4
4 >x2
.
Con os*nío¿a hartionfarl y =o .
. x*<4
^ 4 -2 < x < 2 «> xc<- 2, 2> (5 ) peterminor el dominio de £(x) = / x Lna SOLUCION :
St
}{x ) ~^J x {n x
x e D o m {f ) <=^
t entonces ;
x lnx^O x>0
@
I n x }y Q
A
V - %
L m i^ rm in e «¿ dom inio y ro/j^o de
x N
A
*>,o
A
f
v
[ x^0
A
i
Ln x 4 o
¿n / t / n c iV n h ( x ) = ^=r¡7¡SOLUctQfsJ ;
á) x 4 D o m (h )
<=£ c=*
x ^ o x e [o , 4*co>
Cs*i#eftb d a l fango, hocemos h ( x ) = Y y ~ /
1— vGt *1
»
c=>
<=> . *=>
X £
[ l , + OD>
Donde:
y (V x + 1)
•I '
*=$
O < x 4 1
=♦ i
i)
Lnx^O
«=»■
V v^x t y = 1 . yV>T vT
= i- y
x^e°
<=*
ti) Lnx 4: Cl
i
x x<
a
a >O
N<1
A
x >O
= -íf
** <3^
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>
O
Funciones Reales de Variable Real
e l d o m in io d e c/ajl de &*S s i t i e n
fa lla r
ízs /tinciones: (g )/<
x
f (x ) r 2 x2 - Y * -1
Sea
*€ <-oo,-2>u
)
Sea
| (x ) :
*€ C l,4 ] *€<-co,Z>u <3,£»>
¿x+C
@
©
Solución ; 0 ^ 0
,
S v K *) “ 2x
/
* € {£ -¡-2 ,2 }
©
fe*) = ■
*€ <- l,o>u
©
H x > = U>g(’c © Sx)
©
f ( x ) r \ / x 2- X - V + ^ U X - X J'
y del producto
O .
^ (x ) z x2 + 4 .
J (l)c p (3 ).
Solución : -g* " » 39..
i»3(i + x>
Para %*. cfe. lasfunciones de los e^er Cicios cteí ©
2 3]
*€¡ ,
*« [2,3>
V 3+2 a }(*> = - = = = ;
V x 2-X + 2
al @ ?hallar F(*)z ü » l ^ T .f S
con h / 0 . ©
í( x ) z '5
0
j ( x ) z - 2 x 4-
FW s o
0
{(* > = 2X 1 - !
3
F < * )= -2
FO O z4 x + 2 h
*€ <-CD,-í>ü<2,CO>
© { ( * > = . 3x2 - 2x +2 F(x) = Gx + 3 H -2 -
x ¿ ^ + 2K7I «2
0
©
$
0
fjo c )-a rt S e n . i i _ l o ^ ( 4 - x )
xc[i,¿>
$<*> = - ±
C(>0 :
3-2X
( ® t(* )= 7 -~ ------- -f V x + 2 ^ * 105(1- X)
X€Í2,0>U<0,Ji >
® f(x) Z
xeíR
-1 . v t ^ a x +i
'
F(x ): - -
0
f(x )r 4 - X
F lx ) r - 1
.
®
H x )z X
F (* )rl
/
Vi Í**M-U*h)-»5
f ( x ) : lo§ s c n ( x - 3 ) -i- v/ i g -
©
}<*) z n/'3 - x ' 4- ore eos
x2
x.€<3/]
ix 1+x2
f(x )r l - x - 2 x 2
(*) z -1 -4x - 2h
f
G r a jic a r la s Siguientes funciones :
X € [-l,3 l
'
© ÍP 0 =
.
" ©
©
, x íl
[—
5W= j * - ‘ i 3.
*€ P
, XZ1
I X * -¿ xe P - (-1, i )
© * * > = £ ?
© l(T )r ± Ü L
x€|R-\oJ
@ *<*>= 2x-3
*€ IR - \ 3á }
»<«>= ^
X€ !P -{-2 ,2 }
j<*) r'/zx+A
x >, - 2
@
i<*)=
*
x= 2
■x1 -
@
j(* ) =
x>C x t2
-2
, x ~ -2
S X -1 3 X + & ©
) - Y * 2 -4
+
*€ <-cn,-2juT3,«>>
^ ©
;
x t Já
y
X Z 3/^
,
X ±
2x - 3
$(*>=
4
©
(3-2(**.hl)( 3-2*)
(37) f (x ) = \/2X1- X 4- 5
i
©
.
gO) .
H a lla r el valor num érico d e lo fra cció n £ 3
f(x) z log U - X2 |
©
f(2} ,
.
^ - G x V f n x -G
H a lla r : § ( i ) , g (2 ) ,
x ^ S x +C
. Hallar
Sóiixtdn. : 4 , -1 ^
X€ <-3,3>
) = Lti ( 9 - x * )
( ? ) f (x ) = L-n (
©
| 8 x 2 +18x {(»> = <■’ — z í ^ r [
-3
Sólo fines educativos - FreeLibros
>5
lA
.
y *x r'Vt
Moisés Lázaro C.
a
En cacto u a o cié los ejercicios del © a l ©
44 X 2-C
} 3t€ < - < » , - l >
“5
> X € [-1 ,K )>
I @
N * )-
ac-15 > xc
* -l ,1 A
I
,
{(x/OctR2/ y = - S x > 3 ]
-1 í * < 3
©
|l*#y )s m V
© J{* , v)HRV x>, 3
,
!<*>=<Í 2 X - 1
W *)r.
@
V (x )r .
í 1
,
1-1
,
ili X
x V4
©
h(W).=
j (*,yK jp2/ v* - x1 = 9 1 {
©
|(x , yK ÍP2/ y2 z 4 x
,
una
fórm ula p a ra la función otesertta :
© La junción 6 bajo la cual X ^ 1
Xr
un c í r c u l o d e r a d i o
3 l xi - 4
|
,
¡xi - 5
, }x|s<5
©
La f unción F b a ja la cuál P (x) es el volumen de una esfera de radio x .
©
La función V bajo Va cual V ( x ) es el volumen de una caja ete base un c u a d ra d o de lodo x y altura que es el doble creí lado qfe la b a s e .
^ IxJ>5
Hollar e l » Ixj 4
}xl 4-4
|X1 >2
f n/®-
>
- i . \ / * 7-2 s"
, 1x1 > 5
1*1 4:5
XX(x)r 5
@
f (x > :: |Xl 4- l x - l l
©
g (x )-
2 |x i- 3 |* + i{
©
h (*)-
x* - ix i
©
j ( ac) r
A * 2 - l*-ll
©
K (x )-
l * a- 4 |
©
5¿ 6 (x ) = —
@
5t
¿ E xiste G Í 2 )? ¿ G (- 2)
2
rango cíe las Siguientes funciones:
©
f(x) r - i / T T
,
xN
@
§ {x ) z 2 x 2- 5
,
xeR
(§) h (x )z 2 x 2-5
x€ <-2#2]
©
xc [-5,3]
P (x )r n/25-x 1
©
G M --m -x ?
, x<
[-5 , 5 ]
©
H (*)= -33C + 5
, xc
< -2,3}
©
f(x) r
,
< 0 ,4 >
,
^ € £ 4 ,4 5
|x - }¡
©
S (x ) = | * * - 2 5 |
©
h(x) r - 10x 4-20 ,
x c <-0 0 , 3]
©
P (x ) c \ / x - x 2
x c [o.-, l ]
©
puesta.
~
¿ E * ste §( i) 7 Exphquc
°°r {*i* *
'too r i Existe h(-3)? i t p itz c s t su«w vSr ' x*3 Puesta? ^ c_ x1 -3x~Sólo IB ¿ £xlSte (-3)7 £xpli fines 5educativos
,
G (^ l) Z “ 2 5 ^ 4- 5 0
2 Existe bo) ? Explicar su res
g (x ) - x +
es el area de
|x|>2
| \J *’ -2S
(S)
6 (t)
T .
( © La fu nevón H bajo la cual H ( ! ) es el volumen de un cubo de arista X.
1
> 1X1 4 2
x
y*2 r J C - X ?)
* * 0
Ixi
f(x) = 4
]
E n cada uno de los ejercicios del X a l 79 dar
X -J
$<*}= ■;
@ ©
x<0
0
©
Y=4 |
ll ^ v ) € lR 2/ x * 4 -y 2 = : 9 }
<§) ¡ <^y)€fR V
Ix-H f(* ) =
y r *H z J
*>o
, X ^0
0 ®
©
-xf í< -}* <¿
’ x J - )6 >
©
© [ (*,*)€IR2/ y2=: - 1Cx J
* < -L
S* ' 4 * ©
razón pona SU respuesta . En cada ejercicio obte ner la g ráfica y dar su dominto y contradom io .
@
,
d*c‘f
si las relacionas dadas son o no funciones y dar una
5l
- FreeLibros
,
Funciones Reales de Variable Real
1.8
FORMA EN
OE
EXPRESAR
FUN CIO N
Do do uno ecu ocio n despejar " y " Si se puede
DE
en d,os
en términos
T)
De :
de **x ”
y
otros
direm os
DEPENDIENTE
IN D EPEN DIEN TE
F {x ,y )~ O ,
íeVminos
contrario
VARIABLE
V A R IA B LE
v ó ri.a b le s
d e s p c j o r “ y ,, en
e x p l í c i t o s ,en coso
E je m p lo s
LA
LA
unos veces es posible
veces es im posible .
de " x " se
ob tie n e n
funciones
q u e y ~ f(x) es dado implícitamente.
.* Ax + By + C = O
3)
sí 8 jé O •
-> _ JL 8
y : y =
Despejar
O e : x* + y* = 9
8 X
9 _ x*
y* a
y * í y/9 - x*'1, donde 9 - x2 - O
s>
A s í o b te n e m o s .*
- 3 fe x fe 3
n *f ,( x )* = - —A x - ■—C 8
,
B*0
x .e f-3 ,3 ]
8
Donde' f|x ) ■.€.«
<~>
A s í , hemos d e f in id o
x 6 IR
l no
la f u n c i ó n
es
codo
f u n c io n x
, porque p o ro
6[~3,3]
corres
m=-| ponde dos
X € IR
v o lo r e s
un p o s i t i v o y lla m a d o
un n e q o t i v o .
F u n c ió n
4 } De: 2)
de y ,
De : { x - o ) ( y - b ) =
y ( x 2- 9 ) - 2
-
5 L n ( x Z- 4 ) = o
K , 'kWÓ 2 4- 5 L n ( x 2- 4 ’ }
K =>N y — w b = -----------
' y ~x2 - 9
-x ~0
Dónde v K
=>
.
y e m <=> . X* - 4
r = -b +
<=*> Donde y 6 IR <^>
x 6 IR - J o }
A s í , hemos d e f i n i d o
fix )> b f
x- o
lo
f u n c ió n
.x 6 IR - { a }
> O
a
X2 - 9 ?4 o
x2 > 4
<=> [ x > 2 v
x
< -2 ]a x# Í3
Así quedo bien definido lo fu n cio n Z«-5 L n ( X * - 4 ) f ( x ) « ------ ----- y -----------. X - 9 reola oc co» we« p»«-
oeiMcn/iL.
Sólo fines educativos - FreeLibros
x £ <-°°r2>u<2xc»>-{'3tx3} DOMINIO
Moisés Lázaro C.
5)
S i.* © *
es ío voriobfe in d e p e n d ie n te
siguientes
ecuociones
q ) r a»
3 sen#
b ) r'*
3 {1-eos © j
c )
que r es f u n c i ó n
de
que r es f u n c i ó n
de 0 •
r ss - sen 5 ©
Lo
n o íocion
r«f{© )
ecuoc ion
r1*
grá fico
es :
Lo cuyo
in d ic o
2c os0
“Ó
©
no expreso urro función tsóto es uno relocion 1.8.1
v
PROBLEM AS
Coól
de lo * s¡guientes conjuntos
A •* | { x, y ) / x y ?- x *
definen funciones
2}
H - | íx, y ) /
C = { ( x, y ) / l y l - x }
I
0 = { ( x , y ) / y * íxl )
J =
E >
{
=
( x ,y )/ ( y-T I-
{
{ x , y ) / I y. I -
I x-1
I =
£>}
L>
1x1 =
0 , 6 , M, I ..J*, L .
no son funciones , A , B , C
y 3 ■= x }
( x , y ) / ' 2 y - x3 - 2 x2 =
x, y }/
y x2 ~ 4 y - x
o j
= O|
K = { íx , y ) / y4 * x * ~ 4 }
S O L U C IO N Son funciones
y = f(x )
G = { ( x, y ) / y = 3 - j x - 2 | }
8={{x,y J / - U - I }
F
6
r =s 2 eos 3 0
-d }
§}
expresan
y*r* lo vúriobte dependiente, Jos
, E ,F , K
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j C * ,y) / y * 2 J x - 2 |
,
Funciones Reales de Variable Real
2.
DEFINICION
GEOM ETRICA
V A R IA 8 L E
DEFINICION
2. 1
del
REAL
0£
f. de
A rn
de f es
rectos . d i r e m o s ción
FUNCION
RE AL
Seo f uno r e í a c i m S i el Gr á t i c o
DE
u no
8 ,
A & IR , ü
r e c to , curvo
F . o
u n ió n
de
curvo s
y /o
que f es uno función de A en 8 sí , y sólo si lo intersec
G r {f >
con
c u a lq u ie r
re cto porolelo ol eje Y es só lo un punto.
P R O B L E M A S
Oiga cuol
de las siguientes
G r á f i c o s r e p r e s e n t a n una
u
u
■ll ■ i “" S
i IV
y
/■R
. X
/
(
/ u
±1
y
,y
\
función
/
il
ly
NX
¿
y
/H L- '
y
^
x
.
ay
V
-
c^ (J
- x
dodos
en
*
/
iA \y/
1
Y / X / "
....■ »
V *
SOLUCION . Son funciones tos g r á f i c o s No son f u n c i o n e s
3.
TRES S i
:
FORMAS
CONOCEN
2, 3 y 8
1 ,4 ,5 , 6 ,7 .
0£ S tf
EXPRESAR RSSL A
DE
UNA
FUNCION
C O R R E S P O N O E N C IA
D OM IN IO . Los
CUANDO
tres siguientes t o r m o s , e x p r e s a n a la mismo
f u n c ió n .
Sólo fines educativos - FreeLibros
Y
Moisés Lázaro C.
FORMA
1
FO RMA
2
f .*] ~ 2 » 2 [
IR
por f (x ) «
, d e f in id o
f (X ) » x2- 4
FORMA
4.
3
Gr { f ) ■
I M A 0 CN UN
o)
( x, J _
- ) / -2
C
M A S E N
D IR E C T A
INVERSA
OE
CON J U N T O .
I MASEN
Seo de
j
DIRECTA
ro función A
al
f :
conjunto
OE
X — ►Y y A « f ( A ) ,
en el
UN
CONJUNTO
X se que
A.
H om o I M A C E N f { A ) s j f ( x ) / x€ A
01 R E C T A «= y ]
L.ei s subeonjunto del rango de f IL U S T R A C IO N
f(A ) f
iR A F IC A .
es lo proy e c c¡on del T R A Z O
OSCURO
OE L A C U R V A f sobre el
eje Y ,
L -IM A ÍIN
de A .
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Funciones Reales de Variable Real
b)
IMAGEN
IN VER SA
Sea lo f u n c i ó n IN V E R S A
de
f : X -*•*Y 8
j
| « i j *
61 y
meéionfe
CONJUNTO
§ m y
^ se
Hamo
I M A G IN
f , al c o n j u n t o f~ ?(S ) d e fin id # p o r :
/ f u i
x € X
UN
i
i|
CZ x
)
í- es subconjunto del dominio de f. ILUS TR AC IO N
ÍR A FICA
f“ ( í ) = I T u
u 2 3 son fel'proyecciones de los tres romas oscuros
de lo curvo sobre el eje X.
L
I MA6EN INV6RSA d « B
EJEM PLO
1 -
Seo
lo función f : < - 8 , t ] tí { » 0 }
— *
definido por i , -8 < x ■±
x . ±
2 *
f( x ) =
■ 4“
2
, -5
*
< - S
x < -1
í x " 3 , l + ® , -1 * * < v
-4
, x » 9.
-6
x * 10
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)R
Moisés Lázaro C.
c u y o g r á f i c o es;
Se
pide h o l l o r :
O
f C -6 )+ 2 f ( 9 )
2)
5) f - ’ l { 7 } )
9 ) í
( {9 ,7 0 } )
6) f ' 1 ( { - 4 , - 6 } )
10) f ( { 3 , - 3 } )
I I ) r 1( { 6 , 4 } )
. 3 f ( 3 } - 5f ( - 1 ) 3f(tO)-2f (-3)
3)
f(<-8,-5>)
7 ) f ' ’( < - 3 , - l ] )
4)
f([-3 .3 ) )
8 ) f ' X í 2 ,5 ] )
S O LU C IO N 1)
f ( - 6 )= 7 ,f ( 9 ) - - 4
; luego f ( - 6 ) + 2 f ( 9 ) =
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7 + 2 (-4 )* -l
Funciones Reales de Variable Real
2)
í (3 ) — 6 , f ! - 1 ) = 2 , f (1 0 ) = - 6 ,
Luego;
f ( - 3 ) = - - § - (-3 )--£ • = =
3f í 3 ) - 5 f í - 1 )
_
3 (6 ) - 5 (2 )
3 f (10 ) - 2f ( - 3 )
“
3 ( - 6 ) - 2 (4 ) =
3)
f { < - 8 , - 5 > ) — | f (x ) / x € < - 8 , - 5 > }
4)
f ( C- 3 , 3 > )
*
_
4
8
¿
7
» | f tx } / x 6 C - 3 , 3 >}
Leste , ínter velo toco
porte de los inte r
v a l o s C- 5 , - i > y d e t ~ T , 9 > . Cuando esto ocurre debemoeporficionorlo ( p a r t i r l o } en l a unían de dos intervolos. Así
: [-3 ,3
> = [ “ 3 ,-1 >
Luego: x 6 [ - 3 , 3 )
<=>
U
[-1 ,3
x 6 [ -3 ,-l)
<=> - 3 6
x < -1
2
*
4 ^ -j x
x < 3
somor - 3 -4 -
2
1 sum ar- —
x 6 L -> ,3 > -1 i
por - 3 / 2
2
V
>
t
>1
x- 3 < 0
4* - { x-3 ) > 0 a l cuadrado
16 ¿ f (x ) 6
{ x - 3 )*
> O
<1,4 ] por - 4 A -'4 4 - ' ( x - 3 )* < 0 sumar
6
2 & - 4 - { x - 3 }*+& < 6 _4
^
f íxJ f(x>e[2,6> Por tonto; f ( t - 3 ,1 > ) * ■< 1 , 4 J
U [ 2 ,6 >
* < 1 ,6 >
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Moisés Lázaro C.
5)
f _1 ( 1 7} ) »
|x € < - 8 , 9 3 u { i o J / f < x ) 6 { 7 } j , f < x ) C | 7 } < s > f ( x ) = 7
«
6)
x € <-8,-5 >
f ”’ (
| .X 6
,
<-
a ,9 3 u
jio}
| 9|10}
<- 3 , - i 3
toco al
j -4 ,
<*> f ( x ) « - 4
v f(x )a ~ 6
<»>
v x = 10
x «f
/ f { X) 6 < - 3 , - 1 3
Rango de f ( x ) ** - -y- ( x - 3 f
entonce*:
f ( x ) € ^ - 3 , - i ]
s»>
-
3
e
ftrs f t x ) € { - 4 , - « J
7 ) f " ’ ( < - » , - » I ) » j x É <-* ,9 3 U { « J Come
/ f
+ 6.
< f ( x ) fe - 1
- 3 < - - r ( x - 3 ) *+ 6 fe-1 4
-9
< -y
9
( x-3)* &
4
> ~
36 >
( *-3)* *
4
( x - 3 )* *
-7 7
28 %
( x - 3 )* * 2 0 x-3*
2yT
( x* 3 + 2 % ^
v
a
x - 3 fe - 2 V P
* x* 3 - 2 v * F
■ bm
—3
le
)
i 0
*
( x - 3 ) * < 36 -6 < x -3
< 6
-3 <
<9
4 = -— ^ 3+ f / F 9
Lut^o :
#"T( < - 3 , - 0 ) * [ 3 + 2 / f , 9 >
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x
Funciones Reales de Variable Real
8)
U \ 10} /
í 2,§ I ) = | X € < - 8 , 9 ]
Como [ 2 , 5 ] toco el rongo de
f{x)
fíx J i
[2 ,5 ]|
= - A x .-l.
y
f(x)
* - ^ ~ { x -3 ) * 4 6
,
Entonces e [2 ,5 ] 2 Á- - ¿ x - A
2
2
*
V
( - ^ -
5
6
( x-3 )*
4
+
_ 4 ¿ . i _ ( x- 3 ' ) *
24
4
1
*
.A *
2 -5
*
-A
*
16
ü
é
2
2
3x
*
á (X- 3
( x - 3 }* - 4
-11
x-3* 2 » x- 3
L 3
x é
5
y
6
4
5
4 - 1
)* * 4 a( x - 3 ) * £ l 6
* -2 x -
[2 ,5 ]
a
1
- 4 - %- 3 4 4
a
-1 -
x £
-1 iL 3
L u e g o : f ^ í í z ,5 ] ) =
§)
f
({9,1 0}
Pero
)
a | f
(X)
/
X€ {
x € {f,T O | <*?
L u e g o .'
10)
f
({9 ,1 0 })
f ({3 ,-3 } ')■ { Pero
A 3
U [-1 ,1 ]
U [ 5 ,7 ]
9 ,J 0 }}
x = 9
v
x = 10
f{9 H = ~ 4
v
f (10) » - 6
= {-4 ,-6 }
f (x ) /x £ { 3 , - 3 ) }
x € { 3 ,-3 }
<»>
x= 3
V
f
V f ( 3 ) » - -1- ( 3 - 3 >* + «
4
-
f c -3 )* - A ( . 31- A 2 2 -
Luego
.*
f ( { 3 ,-3 } ) »
{ 6, 4 ]
Sólo fines educativos - FreeLibros
7
Moisés Lázaro C.
11)
f ’ { i 6 ,4 }') a j x e < - 8 . 9 ] U V 'O } / f ( X ) 6
{6 ,4 }}
Oonde I Í C x i e f6 ,4 V '*>■ f{xj = 6 3
1
- y X - y m 6
V
V
f(x ) =
* ,, -y(X-3)+6-6
X»~y-
X --Í--4
i
X-3
V
Z
■
4 - ~ ( X -J)* + 6 = »4 «
X =* — 3
X* 3 Í4 / ?
Lu e g o I
f -1 ( j 6 , 4 } ) —
I
- —
J
, 3 , - 3 , 3 + 2 y / 2 1 , 3 - 2 \/~?
9. DOMINIO Y NANEO
OE
UNA
FU NCI ON
DEFINICION OoOo
to fuAcion o
o p lico c io n
f
A —• 8
,
AS
ÍR
,
B S IR
d e fin im o s ; o)
D o m { f ) =s A = |
b)
Ronflí f ) s* | f ( x ) 6 8
9.1
x € A / 3 | y 6 8 ,
/ x £ A } ■«=
CALCULO OEL DOMINIO 1.
De SÍ
=> 2.
un f(X !
j
8
OE FUNCIONES USUALES
P o lin om io a
0# X*+0H
XH
* f - ..........+ 0 , 1
,
Oj €
, n € iN
D om ( f ) = H .
De uno R A I Z Si
y = f(x )
CUADRADA
f (x ) * / u
=>
Dom ( f ) = I x S IR / u (x ) -
Oj
En g e n e r a l , si f
Sólo fines educativos - FreeLibros
Funciones Reales de Variable Real
3.
DE
UNA
FU N C IO N P( x)
5 i f ( X) =
R A C IO N A L
=>
Dom ( f ) =
IR— -/ x € IR / Q (x ) - O } l i
Q (( xx ))
4.
DE U N A F U N C IO N L O G A R I T M O Si
f (x) »
u (x )
log 0
5. D E Si
,
2.
UN A
Si
f ( x ) = 0 U
EXPONENCIAL *>
Oom { f ) =
_ 3x + 5
2x V x - X3 '
f (x ) ~
Dom(f) = x €
> O J
ASINTOTAS ;M ( x ) = 0
F U N C IO N
E J SUPLO 9 :
|x 6 R / u |x)
=>Dom { f )=
=>
Oom (f)= *
~> Dom ( f ) :
x - x3 - O x3 ~ x
1 ] u [o , i ]
<-co
Ulx)
Dom
-
O
x (x-lHx + t ) =
—
©
0
i
-
©
1 3.
Sí f ( x) = - x ■x -o — => O o m ( f ) : - 5 — = !()«= > 1- X
o-
x*~T
<=> x e [ o , i > 4.
X*
Si f (x ) = — j
=>
O o m (f )= R -| 2 ,-2 ]
,
x -4
pues x2- 4 = 0
l
V x = ±2
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Moisés Lázaro C.
5. S i
f*|x) *
*>■
2x -
Dom ( f ).
L n ('1 -.2 x } :
1 - 2x
A síntota. : S.
• s>
X <1/2
<=»
! -2 x = O
- JL 0
Si f U ) *
>0
<=£
x -y 2
Oom
,
pm s
X-1«Ü
A sín to ta ; x -t = o
7.
Si
S.
Si
*>
f(x)s -30
fíx js
«>
2 1^9
(f )
úom
—X
( 4— X 2 ) -
:
x2
4 -
~ 2 < X
*>
0©m ( f )
€
A sín to ta s :
0©m ( f ) =
Sea
>(*)
w X *—O.
D om a) :
x -z a
5e
X2— 1 # 0
< 2
< -2 ,2
4 - x2- o
X # i 1
> -
(
?
>o
( x - a ) ( x2 f a x - i - a 2) X -2 Q .
a _ >
fcx>= J S Í Í 2 Í Ix i-M B* x IR -
12. ÍÜO = I x
, % = •*' 1°}
>o 13
0
)
x :- i t
ti.
>
-1,1 =o
^
a>o
V X -2Ql
íft
o
>
x ~±2
9.
X = 1
J W = |x J + \/x - | x l 7 Dj = <-oo; oo>
0
X€
D í = t - x , 1 > U < 1 ) 2> •
Hallar él é c m iñ io de 15. fx > = J ü i í i r i h í
10.
Un) X -f\4[ X * -S x 4 -x 24? ~ V X*-S
| X -2 | -1
D5. * <-eo, 1] u < 3 , oo>
X€ 4.-00 ^tlK-Vs^-|]ü[I,n/5’>UE3/oo,> A s e n t ó la s v e r t i c a l e s : * - í
Sólo fines educativos - FreeLibros
__________
3.1.1
Funciones Reales de Variable Real
FUNCION
RESTRINGIDA
Godo lo fimcio'n Si defi ni mos
f .* A
8
g.* E — ♦ 8 , ' t ol
que
decimos que lo función,
y
E «
Á.
g t x ) = f < x ) , ■¥ x €
g es lo R E S T R IC C IO N
de
f
E .
ol co nju nto £ .
EJEMPLOS
nr
IT
ir
Seo g : [ - j . , 3 ] - * [ o , 3 ]
Seo f : i r - * [ o , m > definido p o r f t x ) =»x*
definido po r
_
Seo f : ñ — • IR definido por f t X) *- ' 2x + 3
g (X ) « V e - x * *
Lo f unción g [©,*> definido por g ( x ) » x 2 , es Io r E s t r i c c i o n
de f ol
conjunto [ o ,« > *
Lo fu n ció n h:[0,3]-+ > [0¿]
Lo funcio'n j.’i o . s j - ^ i í
definido por
definido por
fi
es lo restricción d e jo l
j ( x ) = - 2x 1*3 conjunto [ o , 3 ] •
conjunto [ o , 3 ]
Sólo fines educativos - FreeLibros
•j42)'--
5.2
Moisés Lázaro C.
CALCULO
DEL
RANGO
OE
UNA
FUNCION.
Hóllor el rongo es muy importante , sobre todo pora hollor lo inverso
de lo
función , si existe. Trotaremos tres cosos i #cuondo lo función esta definido en todo su dominio , cuando la función es CASO
restringido y
cuando la función es inyectiva.
l
Cuando lo función
esto
x en terminas ■de y , poro seo
que
Ejemplo
definido
en
TODO
luego o nal i zar
su dominio , bastoro despejar
que" valores reales tomo V \ p o r a
real.
seo
x2 f ( x } = — -------x - 4
,
Oom ( f ) = IR -
Hollor su rango * (1 }
Hocer
f (x ) ~ y
=>
y
—
x2
■T * - 4 (2 )
Despejar
x
*
x2y - 4 y ® X* x 2 <<«> -> <*>.
(3 )
Anolizor :
«6
R
W
-—
Xx2 {
y — 1} = 4 y
x
¿.0
y-1 <=£
y €<-«6,o ] u
Cuondo el dom»nto esto
© - ©
R E S T R INGI D O .
^E J E M P L 0 : , Seo lo función f ! [ Q-, S J — ^ IR Hollar el Rango
I 2 definido p o r f ( x ) = ^ - { x - z ) - 2
de f .
Solución Por definición el rango de f es Donde
x € [0,6]
Sumor - 2 :
<=>
O*
f ( [ o , e ] ) 2 | f ( x ) / x € [0 ,6 ] j x ‘6
6
-2 * x -2 ¿ 4
Sólo fines educativos - FreeLibros
Funciones Reales de Variable Real
No podemos e le vor ol c u o d ro d o porque el extremo i z q u i e rdo es N E G A T I V O y el derecho es p o s it i v o . E n este coso hoy dos Subintervolos ; tomando lo p o r t e Asi'
-2
<=>
-2
»>
p° r - r : 4 & w n o r- 2 :
P A R T I R el i n te r v a lo en
N E G A T I V A y la parte p o s i t i v a .
x - 2 fe 4
fe x - 2 fe O
2 * -
=>
fe
que
v
O < x -2
fe 4
( x - 2 ) feO
4 fe ( x - 2 ) * feO
v
0 < ( x - 2 ) * fe 16
Ife - j * ( x - 2 ) * f e O 4
v
O < 4 - ( x - 2 )* fe 4 4
-1 fe J - ( x - 2 ) * - 2 f e -2 4
v
-2 < - j - ( x - 2 )* - 2 fe 3 4
y y
y
fe-1
.V -•
_
v ____________________
-2 < ~-___________
y ¿ 3 ;___________
UNION
ye [-2,3] CASO 3
Cuondo lo función
es I N Y E C T I VA
Seo lo función f : [ - 2 , 3 > — ►IR ,
definido
por
f ( x ) = - 3 x f 4.
Hollor el rongo de f. Solución Como f es in y e e t i v o , bosto i n te r v o l o
de los e x t r e m o s
[ - 2, 3 ) =* D o m ( f ) . -
Así:
hollor los imogenes
Oe £ - 2 , 3 > | J
^
f { ~ 2 ) = - 3 ( - 2 ) + 4 = lt) f ( 3 )
--3 (3 )4 -
4 = - 5
f<~2) f ( 3 ) « N K> P o r tonto .
-5 R ong ( f ) = ( - 5 , 1 0
]
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del
Moisés Lázaro C
• * F U N C IO N E S
ESPECIALES
Codo función especio i se define con su respectivo reglo de c oríes pondencio y su dominio:
F
1 F UNCIO N
LINEAL
AFIN FUNCION
f {si
FU N C IO N
IO C N T IO A O
« x ♦ b t x « ft .
f ( x )» K ,
i ( x ) * % , *« m
o#0
C O N S TA N TE
íe s ,
m
«.
S e gráfico #« ese reefe
Se gref leo **e*e reefegee NO pese per el ertgeft.
horítonfel
v'*
Rong íf) = |K}
Rongff) » R
3
FUNCION
.5]
ÑOLA
FUNCION RAIZ CUADRADA
fu>*.é, t t » .
**Q
¥
FUNCION CUADR ATICA « ¡ t í - o ^ + bx + e
sy gmfico coincide con el
,*«#».
= < ^K + & f+ J|h ¿ ,a * e
eje x.
.
t
x _ aac-b7
"íót » K- - « c r ,» vemic£=(h/J.
y V>
y*e Ov
i
X
RMft (f)« joj
>** * [ 0 , ® >
S ta > o ,la
> 4 ia < o ,la
parábo la se
parcdoola. se
abw hacia amba *a» « o :
abajo • R&n&o :
y^K
H FUNCION C A N A C TEN IS TIC A
ü # f: A
definido ri , *e a
p#f fu>a J O
FUNCION ESCALON UNITARIO DE PASO o f (X )
(o , x < e
abahotío. y.&n
sr
FUNCION VALOR A 8SOLUTO
« * , * i * i * 1 * >x *°
(t , xe e
•x , X < o
,i/a
/1 « óo
Pang íf)» 10,i)
V*-X*A x
P a o g í f l'* V s ,i}
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Rofiq(f) s y e £ o ,© )
Funciones Reales de Variable Real
F U N C IO N M AYO R E N T E R O f (x ) s ( xJ
,
FU N C IO N
S IG N O
x € IR -1 , x < 0
f ( X) *
donde
0 , xs O 1 , x >0
f * | * K <*>
K i* x < K + l •V K 6 Z .
o 1
-1 Q-
Rong (f ) = {
Rong ( f } = 2Z
F U N C IO N
j
P O L IN O M f C A
P ( x ) a o n xf t 4 0
^
'
+ • - + 0^
+ o fl , x 6 IR t n I R
, @f i Q .
E je m p lo s : P(x)*
2
P íx)> - 5 x + 2 P U )
* 2 x * - * x 41
P (x) «
x3 - x
S o n funciones
polinomicos
d e g r a d o .* 0 , 1 , 2 y 3 re sp e ctiv a m e n te .
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Moisés Lázaro C.
?. A L G E B R A
D£
FUNCIONES
SUMA, D I F E R E N C I A
REALES
, PRODUCTO
DE V A R I A B L E
Y
CO C IE N TE
DE F U N C I O N E S
REAL.
P R O P O S I C I O N 1. Seon f y g
dos funciones
ó ) L o sumo f + g ,
con
lo d i f e r e n c io
Dom { f ) n Dom ( g ) £ 0 b)
El
dominios
cociente
f-g
Dom ( f ) y D o m ( g ) t re s pe c t i vame nt e .
y el
producto fg
exi st en, sr y sólo si
•
existo sr y solo si
Dom ( f ) n Dom ( g } # 0
y g # O *
PROPOSICION f . o)
Lo FUNCION S U M A
fV g
quedo bien definido
f f * g í ( x i m f ( x ) + g' ( x)
donde
b)
B r ( f -f.g )
x € Dom { f ) n O o m ( g )
(x , f ( x ) + g | x ) ) / x € Dom(f )n Dom ( g ) j
Lo FUNCION D IF E R E N C I A * f - g , quedo bien definido (f
donde
c)
-g
)(x
)
f ex j - g
Br ( f - g ) »
( x)
x
Lo FU N C IO N P R O D U C T O
donde
Lo
fg
Dom ( f ) n Do m ( g) |
quedo bien definido
C L IE N T E
s.s.s
x € Dom ( f ) n Dom ( g )
© r (f .g )s s | ( x, f ( x ) g ( x )
FUNCION
6
s.s.s
| ( x, f ( x ) - g ( x ) ) / x € D o m (f )n D o m ( g ) |
( f f t ( x ) * f ( x) . g ( x )
d)
s.s.s.
) / x € Dom(f )n Domfg ) j
quedo
bien definido
s. s . s
x € D o m { f ) n Dom(g) co n §
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Funciones Reates de Variable Real
donde
6 1 ( - 5- ) = | ( x , ~
A d o r e m o s estos
t é t m p i o
)
6r
6
D o m ( f ) n Dom ( g ) |
definiciones con tres ejemplos
diferentes.
1 .
Cuondose t r o t o de f unc i ones Seon f
/ x
y g dos funciones
Discretos
F i n i tos
cuyos giró'ficos son
( - 1 , - 2 ) , ( 0 , 0 1 , ( 1 , 2 ) , ( 2 , 4 ) , ( 4 , 6 ),
(f ) = {
(
6, 8 ) }
S r ( g ) = { ( - 1 , - 3 ) , ( 1, 3) , ( 4, 12) , ( 6,18) } Hollor e)
e I GRAFI CO
2f-3g -
de
o)
f+g
1 f) - — g +
2g
5 g -2 f
2
, b ) f-g ,
c ) f.g
, d)
y
3f - g
S O LU C IO N PASO T
HeMor I
PASO 2
Como
Dom ( f ) n O o m ( g ) = { - 1 , 1 , 4 , 6 }
Oomf f ) n O o m ( g )
procedemos
o ef ect uor
es lo s
difire í^e
del v o c io , e ntonces
o p e r o c io n e s
i ndi codos
T o d o lo que se hoce es o p e ro r con los imo'genes de - 1 , 1 / 4 y 6 . A si tendremos o)
6r < f+ g
) = {
( - 1 , - 2 - 3 ) , ( 1, 2 + 3 ) , ( 4 , 6 + 1 2 ) , ( 6 , 8 + 1 8 ) }
= { ( - 1 , - 5 ) , (. 1, 5)
b)
6r ( f - g
, (4,18), (6,26 ) }
) = { (-1 , - 2 + 3 ) , { 1, 2 - 3 ) , { 4 , 6 - E ) , ( 6 , 8 - 18 ) } = {
(-1,1),
(1,-D
,(4,-6), (6,-10)
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}
¡Moisés Lázaro C.
-< g > c)
Gr ( f g
) = í - 1 , (-2) í-3 ) ), (V, ( 2 )(3)) , { 4 , Í6KI2) ), í 6, (8){I8)) =
(~1 ,6) , (1,6) , (4,72 } , (6,144)
=
■('■{■)
l i C l Y * f ~* 9 ) -
f-J J t l t 2 t 2 ! \ A
■
\
quedo
f }
15(12 ) - 2 (6 ) / ’ \
e je rcic i o .
$umd de j-unciones
la s
s i g u ie n t e s
7—x }
(
*
,
de variable cóntinuct
-f u n c to n e s *.
x<2
í
y ZéxcS
- 3
H a lla r :
2(2 ) - 3 ( 3 >\ / . Z [61-3(12 ) \ / 2( 81-3 (IB ) >
’ 5( - 3) -2t -2 ) /' \ ’ 9( 3 H? '( 2 ) / ' \
como
EJEMPLO 2 Dadas
■ l 4' 81' ( 6> f )
g (x )iÍ3 X -2
X>;5 *
a)
í+ %
A
s e g u ir
9
x<3
j
3 ¿x < C »
1“ 2
^ to * -§
, c)
^
^
X>,fc
d) 1
Solución M E TO D O
;
1° * Representar g rá fica m en te ■ ' e n una recta horizontal } cada función con sus domintos y su s im ágenes ? respectivamen 2°
3o
te . Buscar a p re cia r St
la i n i & r s e c c io n de los dom inios que s e pueden en el dtgfarna. hech o e n el primer p a so .
existen
f u n c ió n € s
;
p li c a r o o p e r a c ió n
las
in fte rs e c c io n e s e n tre ios dom inios
e n to n c e s
O PERA M O S
o.
de la s
s u m a r ( re s ta r } m ulti
d iv id ir ) la s i m á g e n e s d e la s fu n cto n e s . E s t a l a re a liz a m o s h a s ta te rm in a r con t o d a s la s irrter
s e c c io n e s ,
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Funciones Reales de Variable Real
veamos : , ¿■■■>■7 y
■„
-f OO
*SS ' s S SsSy
' 4-co
X -1
Las interseco tones de los dom inios d e ^ y g
s o n '.O -o b ^L -O t^L^^S ]
y Cé^a>c.
En
estos in te rv a lo s
se
o peran
con la s
im á g e n e s de f v ^ t e
niéndose : [ í t - x y 4-(x-1> X 4- I X -i ) * +C3X -2)
<í+S>00 = f
-3
+
- 3
4- ( - 2 )
(3x-2)
0 -x } “ (x -i) X - (x -l) X - (3 X -2 ) ( í - § ) t x ) =< -3
-
- 3 -
(3 X -2 ) ( - 2)
O
, x € ]-o o ,2 [
* « ] - < » ,2C
2X-1 , x í t s A C ' > x«C2,3[ » xfe [3 ,5 t ’ x t C s .tC > *£ r6 ,+ oot
_S
, X€ [6 , +<»[
, Xír]-0O, 2 [
,
x« I " 00 ,2 [
,X £
1
«
[2 ,3
’
x«
13, 5 1
[2,3
[
> XÉ [ 3 , 5
[
($-§K*)=
» x« , xe
> x é [ 5) 6 C
’ x 6 [ &^+00C
-( X- I )2
X € ] - O o , 2*[
X e [2 , 3 [ (f% )(X ):
(ÍS )W =
[2 ,3
[
3x -2 x
( x€
^
^
6
_X _
3x-2 -3 3X-2 -3
w
-2
x« [ 2 , 3 [
,
X€[3,5 C
/
xt [ 5 , 6 [
-i X
> ■
x-l ( f ) M= 1
X
X€
> x€
[2,3 [
, X€
[3, 5 [
3x-2
, X€ [ G , + 0 0 [ l
ri
(l) w = <<
^
>*€ [Gj+oo);
st (— 1
X 1---l 1 .8 f\3 1--- 1
l^ + O O t
X X-1
, xe]-<»,2[ ,* í
- 9x2 +& , x6 j-5)& j-
X6 [ 5 , c [
1-X x-í
C5,G [ [ 6 , +oo [
x2- x
2
**[3,5[
[
-3 3X-2
V
**
[S,G[
3 2
,
Ké
[<=>,+oo[
Sólo fines educativos - FreeLibros
—
Moisés Lázaro C,
^50)-
S 4-
C O M P O S IC IO N
Si
sedan
OE
P U N C IO N E S
dos fu n c io n e s
reaies d e v a ria b le re a l } cada uno con su
re s p e c tiva re gla d e cor re s p o n d e n cccx y d o m in io : f :
Dom Cf ) — ► Wl
7 y ■= jcx v
% : Dom (§)■ — ► R
0 y =§<>g
Junció n
e x is te
La
€c
s í D o m (f ) flR a n (g )
£
t— u La composición de f yg 5> Or cc f com puesta con g 4i Donde I ó*) E J
b)
.d o m in io d e D o m (g o J ) = [ x /
La
regla d e
*
X€ D o m ( f }
A
c o rre s p o n d e n c ia
f(x ) € D o m (§ )^
de
go-J ^ e s !
(g o f U x ) = % (jc x ))
EJEM PLO 1. Sean las fu n c io n e s : f(x) -
2 -3 x
gu) = 5 - x - z x 2 HdilQr
i)
SOLucio'n a)
goj
de
?
ti)
Jo g
.
9
xe E -t>5C
5
x ^ H ; i oL
s i e xiste n .
i)
6n p rim e r lu g a r
D om ( § o f )
}
h a lle m o s e l d o m in io
;r j x / x e D om (*) x € C-1 ,S C
de § o J
A
J(x) € D o m (§ )
A
,tt**3XK 3 1,10 c
;
1< 2 - 3 X < 10 ■' -1 < -3 x < 8 1 > 3 x > -8 xe t ',% 1
a j_
.
4 —
^ i
y
x
>_ £
------------------------------ =
=
-1 °v 3
= b) En
segundo lu g a r .
C -i/ / 3 [ hallemos la- fegia d e
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¿ -----------------
5'
*
Funciones Reales de Variable* Real
CONCLUSION *. S o l u c ió n
a)
-<151)—
?
(§ o f )(X ) = -18X? +27* - 5
*'e C" ^ V3 I
d e ii)
Dominio de $03 :
Dom (fo g ) = \ */ x€ Dom (3 ) a gtx> c Dom( 4) ■XGlijlo.i-
*
- i é- 5 - X . - 2 X
.
}
1
( 5 - X - 2 X 2) €
1
L
< 5
A [-1¿5-X _ixz \
[
2X2 + X
¿ 5+1
x’ + i x l - .4 3 > * + H É
í3 + ií
-2 < * » 5
-2
x ¿ ]i,
4=
10C
D om ( f o g )
b)
-
X ¿ 1 -0 0 J-Vz [ u 1 o , + 0 0 L
O
3/z
\ ( * e É v f e 'lú ló / s / j})
= i-C
2
/v
£
1/2 0
1
a. 3'?
1
10
= x e ] i , 3 / 2]
Regla d e (}° § )w
c o rre s p o n d é ñ c c o c d e
:
= '=
-
2 - 3 ( S - x -2X*)
2 - le ¥3X HhGX2
z: GX2 + 3X -13 . CONCLUSION *.
Xf °§)CX) =* GX2+ 3X- V3
/
X€ ] 1 , 3/¿] ..
EJEMPLO 2
Dadas tas funciones :
ílx) ssi/x+4
* ? x€ |*-3>5-[ .
x íB r l l - ^
{
H a lla r
-s i e x i s t e , f o g .
1
^ 1
sl
x = -4
v sí x £ > 4 , o [
5 sí *e[?,3 [
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C.
* sbtocCón.
Lo primero que se d ebe Hq c e r ; es e x p re s a r. %(x) e n su fo rm a .m a s S im p lific a d a . . ;— r . r__. N ecesitam os $¿m p?ificar : [“ 2 I en el intevalo ] - 4 , o [ •
Veamos:
0)
^
«-n 'ei in te rva lo 0 , 3 [ ;
'
StmpUficar
*
£-|.|
,
en el intervalo 3-4^0 L
Se Sabe que Drrl es un ENTERO*6*4 que se def ine así: f-f-J=K El
0 —
;
problema* es bailar
K= ?
<*41 2K¿~X<2ÍK41)
-2*55, *>-2(k«i)
// \' • Una
Se
form a
d e hallar
el
parte d e l in te rva lo J - 4 , o [
Asi
*. \ por - -b 2
como
sigue :
porque ( H f ! esta d e fin id o e n l - 4 p [
a Partir de este intervalo " construir * La
0 —
...—
< m
v
-.J
..............
V
0
< - f
S i 1x -
< 2
< 2
2 < - x < 4
>
x
> - 2. |
=
{
’
’
i
°
*
| -2 >
SÍ 1 - e
^
l l - f l = 1
< I
0 < - x (o
-o
v
I - t ) = o 5t
(2)
^ es
-A < x < 0
.fl
NOTA :
K
e n t s p o
SI
- 4
x
> -4 1
< x < -2
- 2 C X < 0
S i retornam os a © obtendremos el m is m o resultado p a ra Kc1* ^ t : 0 con X ^ 2 ,X ^ 0
Sim plificar
| — Z2<°1
e n el intervalo l Z j 3 í
. Conviene dividir : 7x -26 -7x +28 «7
Luego I
, *2L< X <3
5 6
,
X -.2 .
Sólo fines educativos - FreeLibros
•
Funciones Reales de Variable Real < § > —
Donde e l entero f J
} P°r defintcton es ; = «
K i <=$
E L p ro b íem Q
es
2 *-*
< K+1
■K¿ — + 4 > . x > A +K 2+i
hcxllar
Partir del íntervolo
[2 #3 [
y -formar la expresión
2 ¿i x < 3
Asi
2.-4
Sumar - 4 invertir
< x -4 < 3 - 4
-2
£
1
por 2.
X -4
< -1
1
V
>
-
2
t -a p li c a r ! J -2 Ov
Gradear
-1 — O* ^ T Si
Sí
Luego
x -
- 2 < - 1 . <-1 3
2
> X >2
• t e l = f t “"2 ’ 51 *"x<3 1 ^ Si X=2 V
4
O) E n consecuencia?la junción queda strnpii-Jicado o- lo. forma. I
-1 .'-2 G -4x -1
Si
-4 < x £ -2
>
Si
-2
j»
si
X r 2
>
SÍ
2< X < 3
7
-4
>
-
> 7
~¿i
Y*—... ¿L
>
>
2
x -4 x
-2
%
H *
< x
<0
1
6 x2(i)-4 x x2(o)-4x
x*í - t
X II
%lx> =
2
— = -1 x~4
< x ¿ -2
2 < x <■ O v ^2 2 < x <- 3
Sólo fines educativos - FreeLibros
I t =t 1
Moisés Lázaro C.
(4)
Ahora
y a podemos h o lla r
6 , x*-4x ■ §<*)=< - 4 x ,
x =-4 - 4 < x ¿ -2
-\
X ’=. 2 2 CX<3
i-* • 5
^
x€
^ te n ie n d o :
1 2
__ 3^
-2 < x < 0
> ,,
í° §
4 r
[-3^[ ei dom in io d e s d e 1 h asta 5 .
Para ello y e m p e c e m o s a d e f i n i r Veamos : 1.
a)
x e p o rn (% )
O om (fog)
xe
{-4}
A
got) e D a m U )
A
6 € [-3,5 [ - v ........ pALSO
-v— *
Entonces 2.
a)
! ^
í° § •
Dom
x cD o m t^V *4
A
gcxre D om (í)
A
( x J- 4 x ) € [ - 3 , 5 [
- 3 . < %7- 4 x < 5
resolver esta
' -3+4 ¿ xz-4x+4<5+*
Inecuación .
1 * (X -2 )Z < 9
1¿ tx-2>2
a
<9
v x-2*-i) A -3 <■ x-¿<3 (x ^ 3
V X6 1) -1
~ 4
Entonces 3.
<. X S - 2
A
»
3
3 - ',» lu L 3 > C
f°S x G Dom ( g>
a») Dom (f o g )
- 2 < x < O
A
§<*)€ D om ( ^ )
A
- 4 x 6 &3.,3C -3
6 -4 .x < 5
-= > x > - 4
4 B o m (fo g }
-
“2 -V4 ] - 5/4 0C
-1 < x<5
0 Va
x g
Sólo fines educativos - FreeLibros
'■
A
5
Funciones Reales de Variable Real
b) 4.
(J o g H x ) = H s o o ) = V -4 X + 4
q
p o m(
'.= Z Í - x + l
Do m( < 3 ' )
'**{*}
a>
%
A
-le
D om (f )
[-3 ) 5 [
es verdadero D o m íí.,,,1 2 )
U ! < ![-« (
Lq regla de corre sp o n d e n cia e s ’.
t>)
=(2(
(f° g )te ) = = f(-i) = '/ ?
5.
a.) pom (f o g V í
x e D o m (§ \
a
2.<
x <3
A
g(x)fe D o m (í) -2 s
x< 3
A
C-3/51
es Verdadero,
*-3 Dom
b)
(fo % )
-
2
3
5
X€ ]2 ,3 [
(5 ° 3 ) I x) = 4 (% U l) = í(-2 ) = V^T2T ^yfz
2 \ T x+J CONCLUSION
1
(f
O
Cx) = j
•l EJEMPLO 3‘
*
? X€ ] - V ^ ó [ <
'fS
7
'f?
, x e ]2 ,s c
Sean las Junciones :
X= 2
fcx) = H i i ü i i í l l . -i< x<4 '
I X-Hi
*
3 L a ( * -£ ) ,« 2 %M= i
Hallar
gef
SOLUCION. En p r im e r l u g a r , Se d ^ e
±d ^
e xp re sa r
**
A
'
la fun ció n fu v
Vemos : = lx + 11
como :
-4
=$
o <•x + 1< 3
= - 2 (2x - n
Luego
= -a * + ¿ >
1*4-11 = x+i
sumar 1
Sólo fines educativos - FreeLibros
x <4
a fo rm a
sencC lia . E s t o se logra d e f in ie n d o el vator a b s o lu to y fo c to rie a n d o e l trin o m io 1- X - 2 X2 ,
íoc, =
*
^
m ás
jx+il pom -i<.x¿4
Moisés Lázaro C.
Ahora. tenemos f
A continuación y term inando (n
desunamos
«t dominio
dé
§<>f } empezando por U)
por ( 2 ) .
a )D p m (^ J ):x c D O * n < 4 V
-U X i4
$<*> €
a
Oom(s)
A (*4X41)^
i*)a) Dom(fH) *x€Dom(4) a $
-4X4-2 < 2
x >o
• O i - 4 X < 2
-i < ,x c 4
a
o V
x
> ~ j
O O B tfK go f)* X t J o ^ C
*fc
Dom(? .íV = x€]-VZ;o£
*5 {%®í)(*) = § ( f w )
*4
= 3 U (* -= $ & )
.
= 3 in x
3Lnx c o n c l u s ió n ;
EJEM PLO 4
»
* 6 ] o,l L
,
X € .]-'^ 0 [
_
1 #
"
4
A
^
(§ o í)t x ) =
Sea L a funcuciñ
f(x i = a x - t - b
a) Si hU) =J(x) + f W = | x + | b) Si ge») = lx*sV-lx+il •'
f x € t -3 ,3 ]
gtx) -
D« t
y ai «xiste . ■ r-2
,
12X4*4
>
2
x _ JLV _ u
-
* ■****■
(a + ¿ )x + (b -|) = | x + f
a+¿ J--r 5. = ~S z = =?* “a=2 ■='
)
-S L ,
> **-*
(3)^
,
Ahora, hademos (1) i) Dom(*og) = d (2) i) Dorn ($■*§) = K€ [~ V 11 tí)
- l = !
<*L
x<-3 -3 ¿ X < -1
f(* )= 2 X 4 3
b
hex) s OX4-b+¿X-~ Q. =| X4*1
^ a > l/2
, halla* a y b
hallar j-°g
SO U JC IO N ;
*)
4
(í*S>O0= f(§ O O y = 2 (2 X 44 )4 3 = 4 x4 11
*
(3) i) Domüog) s x c [1,33 § IX) -
|X43 l - | x 4 i |
{ -< X +3 }-(-x -t) ^ x<-3 X+3-C -xH )
t i)
Ct * 8 )0 0 = í (%<*>) s W > 3
C O N C L U S I O N : >.f
X43-(.*40 r x H
Sólo fines educativos - FreeLibros
.
(4 X + I1 . ,
(í° 5 W = t 7
=7
X.€ .tr3,-tC
X€ti¿3l
Funciones Reales.de Variable Real
9.
INYECTfVA
FUNCION
—
t SUNYECTIVA
Y
—
<§
81 Y E C T I V A .
0.1 FUNC ION INYECTIVA DEFINICION 1. Seo lo funcion
f
,f es I N V E C T I V A
A <=>
8 , A S iR [
f ( x , ) - f ( X2)
, 8 — JR ? A = D o m (f ) =>
x " x 2 , "V x1 , x2 6
a
]
E s t o d e f i n i c i ó n nos indico q u e ; o codo yo lo r “ y " del r o n g o le corres
ponde
un so lo
valor
"x' d e l
d o m in i o .
DEFINICION 2 . f e«
IN Y E C TIV A
DEFINICION O odo
lo
D ir emos
M
<=>
[ x , ¿ %z => f ( x , ) # f ( x., >,'V- x,, x 2 6 A J
3
f uncida
f (x ) = .
f i (x )
» x € Dom ( f 1 )
f2 ( x )
, x € Do m ( f 2 )
f 3 (x )
, x 6 Dom ( f3 )
que ? es I N V E C T I V A - s i , y- solo st cumple dos co ndic iones;
t )
Coda función f ¿ ( x )
ti)
Rong f t 7 )
n Rong C f ^ )
f= 0
Rang ( f 1 )
n Rong ( f 3 )
= 0
Rong ( f 2 )
n Rong{ f 3 )
=0
FUN CIO N
es inyectivo .
SU N YECTIV A
D E F I N I C I O N 1. Seo lo función
f * A —►8 , A ~ ÍR , 8 -
f es S UR Y E C T I VA
IR
y€ 8 , 3 x CA / y= f(x)
DEFINICION 2. f es S U R Y E C T I V A •
<->
f (A } =
8
i , ,r-ango de f es igu a l di co nju nto de llegado.
Sólo fines educativos - FreeLibros
JVtoisés-Lázaro'C..
9.3 F U N C I O N
función f
Seo lo
f es
BlYECTtVA
EJEMPLO Dado
BIYECTIVA
1.
<=>
Digo Ud.
,
AS
, B ^ IF
jr
f es inyectivo
y suryectivo.
Fo ro f unc io oes di s c re tos f *n it o s .
conjunte
el
A -* 8
A * j — 1, O, 1 , 2 , 3 j
ctidles de io
y
8 = fF .
funciones de A en IF; cuyos gráficos se don,
son ¡nyectivos. Justif i que o
) ©r { 1 } »
/ 1
( - i , 2 * , (O, 2 I
1, 2 ) , ( 2,5 ) , Í 3,5 )
f
f
t
»)ér(f).«
[ ( - 1 , 2 ) , ( O , '3) ,1.1,4), (2,5), ( 3 , * ) } .
c)6 r
I
(h )*
i 1
t
( - t *OÍ , { 0 , 2 ) , ( 1 , 4 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3/S ) }
1
f
f
é ) 6 r ( j ) * | ( -1 , 1 ) , ( 0 , 3 ) , ( 1 , 5 ) , ¡ 2 , 7 ) , ( 3 , 9 )
1 J
S O LUC IO N Foro
est e
tip o de f un cio n e s ,
o codo ,volor,ly M
bastará aplicar la def inición .1 que dice;.
de i rango corresponde un único “ x"deldominio.
Bichó de otra manera : Ninguna dé los segundos componentes debe repetirse. Aplicando este criterio , tenemos !
o)
f no es inyectivo porque í 2 se repite tres veces. Es decir 2tiene tres •preimogenes>]>O y 1. 5 se repite
p)
f es
dos veces.
Es decir 5
INVECTIVA , porque todo
tiene dos preimogenes ; 2 y 3.
los segundos .componentes
diferentes .
Sólo fines educativos - FreeLibros
son
Funciones Reales de Variable Real
c) ’ h
N®
es tnyectiv o , p o r q u e en ios p orejos f 0 , 2 ) y ( 2 , 2 } , lo
segundo d)
se re p ite
dos
veces.
¡ es I N Y E C T I V A , porque ninguno de los se g u ndos co mponentes de
lo s CJ
com ponente
purés
IM P L O
(x,y ) I
2
-
®r ( ) )
Poro
Oo#e j o funcio'n
se
f u n c io n e s
re p ite n .
de vo rio b le
f (x ) * 4 ( x -1 }* - 5
¿ E s f in y e e t iv o ?
t
C O N TIN U A .
x € [ - 3 , 5 j
.P ruebe
SoluctQn Por f
d e f in ic ió n : es I N Y E C T I V A
Debo
<■> [ f ( . * ) * f . ( b ) *>
demos t ro r
donde
que
- 3* o * 5
,
o=b -3
o = b , V- Oj b 6 [ - 3 , 5 ]
o p o r t i r de lo b
igu o ld o d
J
f ( o ) = f (b )
.
Veomos Sed «>
2 4 ( o -l ) - I ®
*>
( o - 1)
«
o -1
' * i
«>
*
o -i
En este
coso
- 3 *
Sumor Como Esto
2
vemos niego
- 5 y
4.
, ixtretr
re ¡z
cuod rodo.
( b -T ) b - 1
v
ss b
o - > = -
v dos
volores que son b y 4
$ H
- b; * - 5
*>
S *
- b +
b € [ - 3 , S ]
in y e e t i v o
de
( b - i )
o » - b + 2
»>
lo d e fin ic ió n
L u e g o f no es
b *■ 5
2
Mo H a d m i t e
b ^ 5
- 3*
5 , sim p íif ic o r
(b - 1}
* o
5 ,
i 4 ( b-1)
i
si
. - 3 £ .0
f { o ) * f ( b ) , donde
y
2 > -
3
( - b +2 ) € [ ~ 3 #S J
i nyeet i vo.
sobre [ - 3 , 5 ]
Sólo fines educativos - FreeLibros
t i,
porque
160)
- _______- ______
EJEM PLO Seo
Moisés Lázaro C.
3.
f
4(x~Tf~5
# x € [ 1,5 ]
d £$ f ( x ) t n y e c U m ?
Pruebe .
PRUE 8 A S úpeme r q u e »> {#)
f {o )*
f { b )
,
1& o -
4(o-1 ) * - 5
= 4 { b-1 )*-5
••••• { o - 1 )*
= ( b - 1 )* , como
5
,
1-
b - 5
o - 5 =>
0 - o -l
1 á b é 5 => *> .
ss b - 1
o - l
»>
. o
NO TA.
l o
£#)
*
b
,
•
se puede
porque
Luego o p iic o
o -?
Ó - b -1 ^ 4
y b -7
son positivos
f es I N YE C T I V A
lo pro p ie da d
Io
- 4
so bre { 1,5] * T 1
1= y o
A tt ; De
(o - l / *
( b - l )*■
=>
| o -1 [ » I b -1 j
Pe ro
1 -o ~ 5
, 7 -
e
»>.
V O * o -7 * # V
- o —T ■'* b “ 1 ■ O =3 b J
b -
u
4
%V O * b -1 * 4 H V
¡ O - l ] = 0 - 7 ¡ b - l l =5 5 -7 L o c u o l p ru e b o
E J EMPLO
quef ( x )
Lo f u ncial
en
todo
lin e a l
Lo
sobre
fu n ció n f (x)=
su
[ 1,5
dominio , los siguientes
ofin
f {x ) = oxt b , o 2)
i nyecfi va
]•
4.
Son IN Y E C T I V A S 1)
es
O
,
x §
ft.
Logaritm o
t ef g- x
,
x > O .
Sólo fines educativos - FreeLibros
funciones*
5
Funciones Reales do Variable Real
3}
Lo f u n c ió n f (X ) * o *
4 ) Lo
exponencioi , x € JR .
función
hiperbólico.
x--« R r | • J 5)
Los
funciones
hiperbólicos
f
x c m
f
---------
,x€
Lo* fonctonos que NO
son
m
EJEMPLO 3.
v e rt ir en in y e e f i v o s II
coso
típico
I N Y E C T I V A S , en su
restringiendo
dominio, se pueden con~
su dominio.
se presento en lo porübofalo e l i ps e,
lo hipeVbolo y lo
circunferencio. E je m p lo s: o)
L o función
f ( x ) » o ( x - h }* + k ,
n o es in yectiv o en su dom in io. Pero .* g.*
+
$ , tol que
Tbmbien ^ : ^ e o , h ] - * £t , fot que.
x 6
IR =
Dom ( f )
* g (x ) - o ( x ~ h f + k
es inyectivo.
) ~ o (x - h )* *f k
Sólo fines educativos - FreeLibros
es
in y e c fiv e .
b)
LQ fmción f (x ) s v/o* ~ x2 * , x 6 [ - 0 , 0 J Pero y
g
por g ( x ) =
x¿\ es inyecfivo.
h ’ [ - & , O ] -♦ IR ^ d e f ini do por h { x } ~ s/a*~ j ?
Igualmente
Pero
[ O ,a ] —* íR , definido
NO es inyecfivo .
ft ( x ) » -
g^ : [ 0 , d j ~ *
f x £ [-0 1 ,6 1 }
, definido por g^í x ) = -
, definido p o r
H O es
o*- x*1
, fombiénes inyeetivo.
inyeotivo
y
( x) ~~ y/o2 - **' son
Sólo fines educativos - FreeLibros
in y ac t i v os .
Funciones Reales de Variable Real
EJEM PLOS En los el
sobre
siguientes
funciones
ejemplos bo stora
de lo función
rango
O odo tos siguientes cuáles 1.
poro
comparo r el c o n j u n t o de líe godo con
o f i r m o r si lo función
fu ncio nes , di ga
Ud.
c u á le s
son
es su ry e c tiv o ó no. s u ry e c t i v o s
y
NO.
Seo lo función
2. Sea
SU R Y€CTIYA S -
f
3. Seo lo función lo función
5. Seo
lo
IR ,
d e f in id o p o r
g : ( - 00 , O ) u
lo función
4. Seo
IR
h *
( 0 , o o ) — * IR
IR
j ‘ [— 2 ,3 ^ — ♦
f (x ) = ox* b , o #
12,t3 j definido por j ( x ) » - 5x + 3 por f ( x ) = 2
f .* f - 3t 0 J u ^ 0 ,4 j — * [ ~ 5 , ~ 2 ] x -2
definido p o r
d e f in id o por g ( x ) = - ^ -
definido por h (x ) ~ - 5x 4* 3
función f.*fá — * ( - 0 0 , 0 ] , de fin ido
6. Seo lo función
,
O .
- 3 -
I x~2 J
u (2 ,3 ]
x * 0
f (x 5 =
2 + - Í - U - 2 )*,
0 < x 6 4
SO LU C IO N 1.
M ETODO 1
A p lic a n d o lo definí cio'n
si f { IR ) =* IR => f es Survcctiva. v— —y
V
H o l l a r el rango de f ( x ) »
Veamos r
Seo.
,a y* O
a p a r t i r dfei d o m i n i o
xcfR>:Dc>mC$>
X€ /£
a
( a x ) € lR
aá
o x •+b
Rc«god<*5
a
a € IR ^
(axOe IR
b e IR.
(a x
+- b ) € ÍR v
P o r tonto
.* R o ng { f )-=
Co mo
Rong ( f )
coincide
f es
Suryectivo.
~
con el co nju nto
de ílegodo , 0f írmom os que ^
M E T O D O 2 . Aplicando lo definición’ f es inyectivo
<=*> t
x 6 IR . , i . y 6 Í
/ y= f {x)
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C.
D ebem os probar dos cosas
existencia, de Y , ti)ademas que y=f(x)
ÍÜOTA * Si pru e bo q . u e / Y ' e s un numero reai a pro bando i)
let
C o m o o cy a . y b '»
¿*¿ En la ecuació n
Despejor x : A p l i cor f Cama
p a rtir
de
xeíR
e sto /
e xiste n cia r e a l e s , e n t o n c e s (aac/¿) = y
so n
• f(x)*s ox + b y
=
x
= -5 - y -
, hacer
f(.x)*
t a m b i é n e s te a l.
y
(ix f b , co m o
x6 «
=> ( t
Y~J~)
e **
f ( x) = f { -y y - - J - ) f(x>»
ox +
b
, entonces *•>
ss
f(x)
y — o ------b h •b" a. — o
«
y
*
y
o
-
b + b
A s r , hemos probado que y€
ff*, t a l que
x ■»
y = f(x)
2.
H a IIe mos Ha c e r
e i r ong o g íx ) = y
" y es Jo imagen de x
de
x =s —
y
g (x) —
*1
•
: :
.
x * T
&
jl
y
< 0 , 00 ) =
< ~ a o ,0 > U <
0
v
—
>
o
y
u ^
y
»
V
y € < - c o tO >
1
O
y Es decir
h e mo s
S U R y e c T IY A .
Despejar x
Analizar
j € fR
*
t - s e lee Por t a n t o * f es
T
o, +
a> y
=
> 0
Rango ( g )
Sólo fines educativos - FreeLibros
D om ( f )
h o lla d o
Funciones Reales de Variable Real
Al comporor el rong (g ) con el conjunto de llegado, que es que
Rong { g ) #
£7 .
to n to , a f i r m a m o s que g no es s u r y e c t i v o .
Po r
3.
tenemos
h
no es
suryecti vo.
Porqué
j
h ([-2 ,3 » =
h tx) /x 6 [ - 2 , 3 ) -2
Por
-5
:
-
10 i
Sumor 3 :
<3
x
-5x
> -15
13 — - 5 x + 3 > - 12
f (X) Í ( X ) e < -1 2 ,1 3 ] Luego, el
rango de h es'.
h (í-2 .5))=
< -1 2 ,1 3 ]
#
IR c o n ju n to de
4.
j es Ve r
5.
f el
6.
f
s u r y e c t í v a , porque' j ( [ - 2 , 3 X ) = problema
es
< - t 2 , 13 ]
3.
s u r y e c t i v o , porque Rong { f } = < ~ aa, O ] , I© c uoJ c o incide c o n
conju nto
es
llego do .
de
llego do.
suryectivo, f ( [-3 ,0 ]
porque U
< 0 ,4 ])
= [ - 5 , - 2 ]
Sólo fines educativos - FreeLibros
U
<2,3]
Moisés Lázaro C.
C J fM -F L O S Di go
S 'O 'M C
FUN CIO N ES
codies de tei sigwientes
1. Seo
f
f* — * f 2 }
funciones son
, de fin ido
2. Se© g ' [ - 2 , 4 ^
& IYECTIV A $.
^0, 3 ]
por
bi y e c f i v os .
f { x) ~ 2 .
definid© por g ( x ) 535—
x 4- 2. - x. , - *f e x < o
1. Se© h : [ - 2 , 2 ]
-♦ £0.f4 í]
d e fin id a p o r
h (x ) * x 2, o fe x 4r z
x , - * -A X < © 4.
Seo f . [ - 2 , 2 ] - * [ - 2 , 4 ]
definido por f
312
5. Se©
g .*| 0 , 1 , 2 , 3 }
6 . Seo
hv [ ~ 2 , 2 ] - ♦ [ 0 , 2 j , defin ido
7. Seo
f .*[ 0 , 2 ]-*♦ [ 0 , 2 ] , d e f in id o
i.
l-tjtjS jS j*
Seo g.*[ 0 , 3 ^ [ 0 ,
definido p o r
g(x)«
O é % & 2
3 x -1 .
por h ( x ) - v^4 - x * * por
3 ^ , defin ido
f ( x ) 38 ^ 4 — x1 *
por f
\/x - f x J 1
x - 2 , - 4 fe x < ~ 2
%
f. Seo h : [ - 4 , 4 ] -* [ - § , 2], definido
pmr h
«
- x* , - 2 * x < O \ / T , 0 fe x fe 4
10. Seo
f I H-eW
, de finido
Tf. Seo
g : <*- 00 , o ) o
po r f ( x ) »
< o , co >
Ln ( x +
< -o o , o )
)
u
g (x j a L n
12. Seo h.‘ < - 1 , i )
-* J f * , definido por h ( x ) » ^* Ln
13. Seo f .*^ - 00 , - 1 )
^ -o © ,0 )
u (0,o©\
Sólo fines educativos - FreeLibros
^
d e fin id o
__________
Funciones Reales de Variable Real
por
1 / x -m \ f |x ) * y L e í — ) •
14.
Seo g . [ 1 , 0 © ) — » [ 0 , 0 3 )
y . — ", «i
, definid© p or g e * ) 28 L n ¡ x + / x 2- 1 }
S O L U C IO N 1. f
« o e s i n y e d i v o , f es
N O T A .* L os
s u ry e c tiv o -t f no e$ b i y e c t i v o .
funciones
no son ¡n y e c tiv o s .
2. g
es
in y e ctiv o
3. h
no
es in y e c t iv o , ñ e r o es s o r y e c t i v o ;
4.
f es
3.
g es i n y e c t i v o
6.
b
io.y e cf»v©
y
s u r y e c t i v o , g es b i y e c t i v o .
su rye ctivo
,
f
y s u r y e c t i v o , g es
es
f no es b i y e c t i v o . biyectivo.
bi yect i vo.
no es i n y e c t i v o , pero es su r y e c t i v o ¡ h
7.
f es
8.
g es in y e ctiv o
inyectivo
L o s funciones J u s ti f i que
de
y
constantes
in y e c tiv o
y
su rye ctivo ?; f
y suryectivo
del 10
; g es
hósto el 15
no es
biyectivo.
es b i y e c t i v o . bi yect i vo.
son b i y e c t i v o s .
codo uno de es to/s respuestú s o pli cando la def in ic i on y suryectivo.
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C.
10.
FU N C IO N
_ _
¡N V tftS A
DEFINICION $ ton
A y 8
dos
Si lo
función
s u b c o n ju n to s
f
A—
►8
de J R
es biyecti vo ,enrtonces t iene
Lo inverso f es f ' 1.' 8 — * A
.definido por lo
'ysfUI W Lo notocio’n 10.1
f - 1( y )
inversa .
condición.
x = f“ ’ ( y )
indico lo inverso de f.
PROPOSICION
Siel GRAFICO
de lo función f es Gr( f )= j fac ,f ( x) ) /x G Dom(f ) j
y f es BIYECTIVA , entonces
Gr ( f'’)= j { f( x) , x ) /xeOom( f ) j
Ejemplos por simple inspección ©
Sea
■
G ríf)
entonces 0
Sea
= [ t i , 2 ) , U , 4 l , ( 3 ^ 1 4 , 8 ) } el GRAFICO d « í
Gr (f*V =. \ ( V ) , ( 4 , 2 ) , (G,3),C8,4)} «S el Gráfico de f*'
j : IR-► Co}+oo>
definido por fW-
entonces } '* : Co,t®> -» p. © S e a .
§ :
ir
definido
( 5 , fco>
«n to n c e s g " 1 :< S + o o > — * (R
por
f -,(y )= V 2 « »
d e fin id o p o r
la¡nvefsa d e f
g (x > = 5 + 2 X
d e f in id o p o r
JL + JL log ( Y - 5 ) 3
3
2
es fa inversa d e g . ®
Sea
h I í - oo- i y—
entonces lí1:
-2> definido por h(x>- - 2 - ^ ; Í*H)2 <-oo,-t> definido por h~1(v) - -1 - 2 /-y -T es la inversa de h X -X
®
Sea
tffcnces
f
• R — - < -V >
fin id o
por f w s —
—* ffl
definido
por f ’Vy) - 1
inversa de
f
.
Sólo fines educativos - FreeLibros
e ...
^-Xlí J
ia
.
Funciones Reales de Variable Real
E J E M P L O I - Pora Seo 10 funciono Como
g es
Lo inverso
funciones
discretos
finitos .
g í j G, 1 ,2 , 3 } £ - 1 , 2 , 5 , 8 }
definido por g ( x ) = 3 x — 1
biyec ti va ( Probar lo ) , tiene inverso:
de g es
g**1 : | - 1 , 2 , 5 , 8 }
—* | 0 ,1 ,2 ,3 }
d e f in id o p o r
g-* { y ) S . 1 y + J_
Donde
g^fy)
se obtiene haciendo
g(x>»y
.* y » 3 x ~ 1
des pe jondo " x "
y
y+1 ®3x X ss
y 4-
-ij~
g~M y) En este
próbleme , el gráfico
de g es :
W ( g ) s | ( 0 , - t ) , (1^2 ) , ( 2 ,5 ) , { 3 ,8 ) } ,^z— «s »n Goniunf© discreto finito. Lutfo
S r í g ' 1) =
EJEMPLO 1.
Seo Como
2.
( 2 , 1 ) , ( 5 ,2 ), { 8 , 3 )
Poro funciones de vorioble
lo función
g.es biyec tiv o
Lo inverso de g es : NOTA.
g * [ -2 , 4 ^ —* { 0 , 3 ] ( P r o b a r Jo ) ,
g- 1 : ( o , 3
Lo reglo di
, d e f in id o por g t x ) - -^
de
definido por g*”1 ( y)®5- 2y * 4 ,
g-* se obtiene
modo .’
f0 ) Hocer
g (x) » y
en
g ( x } = - j x y * - i
2°) Despejor x :
x +2
tiene inverso .
£-2,4)
corrés^on dencio
continuo.
+ 2 % 4*2
2y * ~ x + 4
Sólo fines educativos - FreeLibros
del siguiente
170)_____________
2.
Seo
lo
f (X) = -
¿Moisés Lázaro C.
función
f i < -o o ,-2 ) - v
- i - (x + 2 f
-Z
f es b i y e c t i v o
Como
reglo de
(P r o b a r lo } , tiene
c o rre s p o n d e n c ia { x + 2 )* - 3
=>
y
=
-
4 y
=
-
{ x+2)2
=
-
4 y - 12
2 )2«
4
{ - y -3
,
hocer
C-x 4 2 )* - 3 ,luego
I x +2 1 = 2 / - y - 3*
f (x> = y
de spejor
, , = 2 n/ - y - 3 *
^
lo l
$ X < ~ 2
Calculo
. ~
En
=> | x +2 J = - ( x+2)
/
lo inversa
de h.
h~7 . IR — * IR , d e f i n i d o
por h ^ í y
!=
correspondencia
—— i — -------
-■
. : .
,n
h
=
h ( x ) = Ln { x 4 v ^ + T }
( p ro b a r lo ) , exi st e
d é lo reglo de .
x 4 2 < 0
h ; IR — ► JR , defin id o por
L o in v e rs o de h es
f poro definir el votor
l x4zl ■■ Asi.* x € < - 0 0 , - 2 / = D o m ( f )
jT—————!*|
b iy e c tiv o
, oplicor lo propíedod
.absoluto
1 íy )
es
é a i z cu a d r a d a
.
usar el dominio de
x a - 2 / - y -3 - 2 „----------— *
h
x
) ’**- ol extroer
x + 2 = - 2 y^-y-31
Como
del siguiente modo
( x + 2 ) 2 - 12
P -
3, Seo lo función
inverso.
de f ~ 7 se o b tie n e
f (x ) =
- ( x 4 2)
por
3 ^ - * < - o o , - 2 X definido por f~7{ y )= - 2 y ^ y - 3 -2.
En
{x4
defin id o
■
Lo inverso de f es f~\‘ <~eo Lo
< -0 0 ,-3 }
)
,
Ln ( x 4 v ^ 4 ? ).**-
de h~r !
—-- —■--
hocer
h
despejor x
Sólo fines educativos - FreeLibros
e T- e “y — -----------
Funciones Reales de Variable Real < 3> —
ey
= x + y/x*+1 '
Pues y = Ln u ❖=> Q1 = u
e*y- 2 xe»+x 2 = x*+1 e*y- i = 2 xe g*y - i
=
X
2ey 2
h"1 (y) E J E M P L O 3 ■ Poro
funciones
F U N C IO N E S
DOS
[T]
CON
que. tienen 2 o más imágenes.
X M A S E N E S . E s decir f = f, u f?
Seo lo función f : ] - c o , 2 [ — » ] - 8 , o o [ x
, x <
2- 4
definido
p or
- 2
f ( X) -? x -4
H o llo r
, ~2* x < 2
ío inverso de f , si existe.
SO LUC IO N PASO T ¿ Como
sa b e r q u e
R e s p u e sta .-f (1)
Codo
f tiene inverso P
tiene inverso si', y solo si cumple dos co ndicio ne s!
fu nción
f. ( x ) ~
x2 - 4
,
y ^(x) = - 2 x -4 ,
x < --2 -2 -
x < 2
SON I N Y E C T I VAS .
(2 )
R o n g ( fr ) n
Rong ( f2 ) =
0
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C.
Ve o m os 1 H)
o)
P robem os
si
es
inyeetivo
f , í o ) ~ f2 ( b )
Seo ->
o*-4
=
P e ro
- o * - b
Entonces b)
—
Gomo b < - 2
o
=> l b i ~ - b
b
P r o b e m o s ,si ' f 2 { o) =
-2 o
- 4 O
Lo cuot
es in y e e tiv o o no.
f ? (b ) , - 2 &
Pongo
f (]-
■b
pruebo que
de
od.
o < 2 , - 2- b<2
= - 2 b -4
f2
es inyeetivo.
( 2 ) - A hora , hollemos los rangos de f t y
si
o <**2 ~> io
f., es i n y e e t i v o .
Seo
o)
, b <-2
i* b
J o | « íbl
o
o <-2
b * -4
O* »
=>
,
e no.
f2> res pe c ti vamen te.,
( ] - oo , ~ 2 [ )
- 2 [ ) = { f I X » / x e J - ® I- 2 Í
x € j - 0 0 ,-2
[ ->
x <- 2 - x > 2
A y
a i cu o d rd o
=>
Su mor - 4
=>
|
x2 > 4 x 2— 4
>O
f í x) => Luego
Rong ( f ) ~
y >0 y E
] 0, +
Sólo fines educativos - FreeLibros
od
[
•
Funciones Reales de Variable Real
b)
Rango de ^ * ^ ( [ - 2 , 2 0 f _ í C - 2 .2 [ ) » j f ( X ) / x e [ - 2 , 2 [ } -2
-
x
<2
por - 2
=>
4
^ - 2x
sumor - 4
*>
O
& -2x-4
Luego .’
Rong(f2 )=
A h o r o , hollemos
de los rongos
Rong ( f 2 ) n R o n g ( fj ) sr 3 - 8 , 0 ]
y
>-8
<=> y € } - 8 , 0 ]
y 6 ]-8 ^ 0 ]
lo intersección
G om o los f u n c io n e s
> -4
ft ’ y
de f 2 y f t
n í O f oo [ «
0
#2 son i n y e c t i v o s en su r e s p e c f i vodom inio
R o n g { f , ) n R o n g { f2 ) = 0
, o f i r momos q u e
f
es
IN Y E C TIV A .
PASO 2 Ahoro o)
hollemos
los
regios
de c o rre sp o nde ncios
de f j 1 y
f2 1
L o reglo de correspondencia de f ~ , l se h o llo ó porfir de fT(x ) = x2- 4. Mocer
f (x ) = y
D es pe jo r x
=>
y ss
x2- 4
»>■
x* s
y+4
=>
IxI a
- x
/ y + 4 1, c om o x < - 2 -> I x l = - x .
= / y i 4* x = - \/y 44* f^Cy)
A s i , obtenemo
f
y ) sr,<— y/y * 4*
^
y C } 0 ,00 [
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Moisés Lázaro C.
<174}
b)
La r e g l a
de c o r r e s p o n d e n c i a
de f z , se obtiene
o
p a r t i r de
í fx )'* - 2x - 4* y «
Hoeer f z ( x ) --y . De pejor x
-2x-4
2x = -
y -
x
4 -2
f2 ( y )
Así
obte ne m os
C O N C L U S IO N --
;
f “l ( y ) = - ^ y - 2 , y G ] ~ 8 ,0 ]
Lo
inve rso
f ^ 1 : ] - 8 , 0D[
de f
es
— ♦ ] ~ 00 ,2 [
-iy-2
,
.*
, d e fin ido
y 6
]-8 ,0 ]
y 6
] O , 00 [
por
f ’( y ) V' y + 4' ,
[ 2] F U N C I O N E S
CON
Seo lo f un c i ó n
TRES
IMA6ENES .
E s decir
f= ^
u
u
f 5 t ‘S >*r2Vut2#2>u&/l í y — ^
Sólo fines educativos - FreeLibros
r Funciones Reales de Variable Real
{175}
f O L U C IO N (1)
f( x- ) tiene in v e rsa , porque H
)
Las
(ii)
funciones .* f
Ro ng ( f, )
cumple
, f2 y
n Rong (
f*
son inyectivos en su dominio
) .« 0
Rong ( f , )
n Rong ( f 3 ).
s 0
Rong ( f2 )
n Rong { f 3 )
® 0
Quedo como e j e r c i c i o , p roba rlo. (2)
Hollemos los inversos de í 1\
y
-8 ~ x C-2
x < 2
-2 -
De £,(*) z: _ * _ v Y
=
De f2( x j =
x + 2 )*
2 6 x < 11 De f 3( x ) = 4 + 2 V x - 2 1
,
x2- 4
YX2- 4 Y - X
.*•
r espec ti vom&nt t
y
= - ~ ( x + 2)* 4
4y
= ( x+ 2)
y
= 4 + 2\Zxr 2 1
y - 4 = 2 / x -2 ’
yx2 - x - 4 y = 0 x2- 1 x - 4
y
( x + 2 )* = 4y
-O
f x + 2 | = 2v T
x2- l x + ~ - 4 4 y 4y* 4y*
x +2
i \2 _ % y 24*i (x-¿)
= x- 2
íVy ( y — 4 )*
x = 2 ^ 7 -2 . ¿ (v )
x _ - L = + -L 2y *” 2y t .e s c g @ E R 4 -
2y
=í> Como
x e ¡j-6 , "2 [ "V «'*
2 + - 4 “ “ = X • .-v r '
Donde: ÍX4-2| - x +2 ^porche
SÍ =*>
X =
Como:
(y ~ 4 )2
—
fjMy)
-2 £ :X < 2 O Sí x+2 < 4 l X+21 — x + 2 X e [-2
2 [ , * * Kl-2),*2) 4 4»
Rong^zye[o ,4 [
Como : =»
x e [z,ll [ $00 £ [fy * ',í3(ii>[
4 i i R ong ( f j ) = y € [ 4,1.0 [
Rango ÍM-ye]-
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C. —
CONCLUSIOJM :
Si Pf )
f .* A - * 0
es
uno fu n c ió n 8 I Y E C T I V A
( f • f ” *) ( y ) = y Trmbten (f of
,
»
.’
-V y e 8 , donde (/o/” ' ) ( y ) = f (f*l¡y ) )
podemos
)W
se c u m p l e
expresar
como :
, x 61
x
«esto f o r m o
x i i
f{ f l x ) ) = x
e s conveniente
poro api i c o r e n di v e r s o s problemas Tombiense P2)
cumple.*
INVERSA Si los
(■ f“ © f ) (x-) » x
DE U N A
a p lica c ione s
COMPOSICION.
( o funciones )
so n b i y e c t iv o s , e n to n c e s Por
lo
t ant o ,
g ©f
, •¥* x € A .
g cf
tiene
* A
f .* A -» 8 C
es
inversa.
Sólo fines educativos - FreeLibros
y g .* B-+ C b iy tc f iv o .
Funciones Reales de Variable Real
Lo inverso
de g © f , es
y cumpIe
lo propie dad ‘
P j ) ■€1 g r á fic o de f o lo f u n c ió n
(g0f )
y
l C -* A
(g o f ) " 1ss f ' 1 o ' . r 1
e l g r á f i c o de f* son
identidad
S IM E T R IC O S con respecto
y* x .
EJEMPLOS
j J
| u y
=: - L ( :
2
\ Z x + z , s | l C x + ,)2
^ : _ Z
,
. . . . . .
o s « 4
y , ‘
;
-
v J
YrX
v
A
■
/ i * - Y = X
---------------------------------- /
/
/i / f /
3 -
/
r _y
^
5
t ,
2* //
'
!
1 * -4 A
-3
-2
¡
'
.i —
^
!
/
*
1
t
/
1 I
V
2
3
x
/
i / ,
M
k
'
í - 3 ,*4 > € 6 r ( f J 4
H - I ) €
& r ( f ' 1)
< - l o ) s G r ( i ) ^
(o ,-y )€
S r í f 1}
-2 •• $ ¿
( - 2, 0 )
6
^ i f C5 > = £
( 0 , - 2) e
(3 r ( f ~0
/ ✓
S i
I0 l 2
t t , 4 )
€
( ai r ( í >
=$> ( 4 , 2 )
Se aplico
LA
( 1,1 )6 6 r « )
° 4
/
€
A P L IC A C IO N D i
1/ c . _ ______ __
PHOPUDAD
( f 0 f T) ( x ) =
pora hollar la i n v e r s a de funciones .
Ejemplo 1 Seo
la f un c i ó n
f ( k ) - ~ 2x + 4
,
*
(3, < ♦ ) € & ( « *
- 2 - x < 3
Hollar la inverso de f . SO LUCIO N H olla re m os el Dominio de f 1y su r e g l o de correspondencia .
Sólo fines educativos - FreeLibros
x.
0
, t ) e ( f ( f )
( 4 ,3 ) € & r ( f - ' )
Moisés Lázaro €. 178)
ú)
Dominio de f Dom ( f " 1) = R o n g (f ) Hoí temos é I mng o de f Como
-2 * x < 3
¿ sr p*'- - 2
4 4 - 2 x > - 6 « j r - s umor 4 8 i -2 x + 4 > - 2 f (x )
*> b)
Regio
f ( X> e 3 -2 ,8 ] de
A portir d
corres pondenc i o e
f
de f.
f o f " 1) ( x ) =
x
f { rN x ) ) á x ^ 2f~7+
4
f"1*
Conciusicm
f ~T( x ) = 2 - i
introducir f
en f ( x j ~ ~ 2 x 4 4
sr x
x
2 --S - X .
, - 2
_
[EJEMPLO a] xíea la funciob í • O orn(f) — > R a n g lf) cfej-tm do p o r f íx ): e x- c o.) h a l l a r el d o m i n i o
a)
x€ t> o m ($ ) &
£— £
>e2x- y - c 2x+-i
q^o
ex - - L
eax ( Y - i > = y+1
Va
e íx- i
*o
2X
£
=
y+r
L n ( € 2% l n ( W )
2 X qt O
x =
L n t~ )
X£ 0
J-Uy)
/ . Dom C*) =: xe<'-do^o>u
Pqra hallar el desjarse Nacer
rango
de J ^ debe
x ' en términos de 'y".
f(x > -y f así tendrem os .*
.£ * ± £ T
ezx-n
Y € Rango (£) 4=> ~ b) S e a
> o 4=4 y€<~
$ Ca) -
j a ; b € Dom(J)
e%e~a _ eb +e“b
ea-e'a ~ eto_e'b a -b
ex - e 'J e
C) f fc< : Voo,-1>U
Sólo fines educativos - FreeLibros
Funciones Reaíes de Variable Real mmL 1 h k iU o r l a i n v e r s a o'e ccxdo. u n o c/e t a s s ifu i'm r ^ é s
■ fu n cio n e s :
t.
fíK) - 2X-3
7
2.
Htxj = 2 x 3 - 3
Í
x€ C1,C> ,
gOO= x24 2
Hx¿?
,
2£X<4
X€R
12. 3.
x
-V-x-M X - ttxl 3 x -s
^
, - 3 é: X < O
gix) 3x
<1,ao>
^
o <. x < 4
x-b hoc)*!* /*
13. ,
*>.1
■fíx) = I _ Vx-2
x>G
[ - 2X4 10
ícx) _ A
2£ _ 1
1+2V~*
*5.
-4 x2
.
? _ |?x* - 9 X-h M
8.
hcx) =-i ' * * I 2Vx
9.
±*V,
tO .
,
t.
cl)
Rallar
% ( x > - 5 - 2 l n ( 2 X - \ ) ? x >1/2
goj
x
8.
M
9.
f ‘« ) =
i'cx) = i x + |
í4 ** ?;
?
.^ r
x* + 2
7.
. ,
Vx
Tr r is í,
f ’í v i r J ”!
^
osx<4
?
x >4
y
e 5j?
-t-KJ x+1 Ib
3
fiT(x) ~ b + Ln ( x -a )
H*.
f- Lnl-^) ^
11.
x<2 ^ xeR
V x
13.
x€<-2,ó>
- Í x+5> ? x e <- 00,-23 f. * i x í -3 t i
’ x-4
11.
x € Lh ° ° >
xe
5. f W Í ' ‘íx)s,
7
X €<- oo^o>
©< x s4
' L n íV )
lo. £'<«> = -t. +
T x
x>o
b) S t % of : Dom(^ojí) — * B ^cketcr minar B para que g&f ten g a inversa y hallar la fu n ción im e rs a correspondiente.
x eiR
SOLUcton
X
_1_ X
x
-5 X
’
%Cx)
O £.X¿-4
fu ) = 2-ae
x>4
1-2X
t o< x ¿2 ■)
X€0
S®cin los Junciones f y §
x-co
7
x>o
;>
ta le s qu é ;
7 H4-1 > -H)*SO X vo
, 2X-Í
fu> = |
U.
2¿x<6
I 4x2 ►x + 4
X€ IR
-x
X<-2
*2- 4
7.
h(x> s a + €
é 12 ? « " ‘
) *>a
-kx<1 , x >1
<*) l§*j)(x>= ~ I*-*)2 “ 1 * #*,4
b} í%*4)’lX) s 4 4*2\/x41
*>±742
Sólo fines educativos - FreeLibros
; X>.-1
—
Moisés Lázaro C
(l8 0 )-
Problemas: Nivel II I.
Sea
f : IR — * Rar» (* )
la .
fu n c ió n d e f i n i d a . p o r
fe*) =
.5 -
e x + e '* O.)
D e m o s tra r
q u e ------f (x ) = 1 -------- - —
b) c> d)
D e m o s tra r D e m o s tra r
que que
f>
H a lla r
;
R a n (£ ,| C 1 -1 , t£ * f «^S in y e .c ± iv c L .
R a n (f ) _ ^ i R
r _ V~X
} - 4 í:X < 0
Rdníf) definida por í cx>-srr*-cH i
51. Sea f • D©m[J)
| 1 T ! X -|2 x I.,0 * X ¿ 2 H a lla r
3.
f *.
S
f : Co,+ooL — { oo .
H a lla r
la in v e r s a
4 . Sean
y^ooC) ; deftntdCL por
e 2x - e ' 2x
2
de f .
tas funciones *.
f (x) ■=
log^x'
^ x>o
f lx> ss 2 x-1 , xefR a)
H a lla r
( f ^ y 1 ^ s i e x i s t e ^ b) G r a f ic a r (f o g V ' y
n o ia m o
5.
D ad o
S is te m a
c o o rd e n a d a s
te c ta n ^ u L o re s .
las funciones :
Í
± v 2_a 4 *
3
2X-1
CL) Malta»* b)
d e
en e t
Hallar
, ~7 < x < o
,
J
o< x^A
f -+ % lo- In v e r s a
de
H*> s
f+ g
o
■-/ a l intervalo X -
r e s tr in g id o
x2
7.
SÍ S U d o m in io S e r e s t r i n g e D a d o la fu n c ió n f lx ) - lop x <*) H a llo r x7« b> G r a f t c a r
,
.
Dado la función
e) R e s o lv e r
..-A^x-co
l-^X^x+l
e x iste .
6.
S e p id e
f ~ x -f 3
*#±3
/3
. hallar la inversa d e 4
in te rv a lo I= J o ,3 l~ x>o '
J y 5~* e n e l rru s m o p la n o : loo
12*-?) - f ( l )
-2
5 Vs
<**) R e s o l v e r : lop ( 2 x - i ) - l o o , Cx-d <1 s,/3
V3
f lo g ^ x -9 )
8.
Sea
f : C
cjue
fcx) =<
Hallar ta In versa d e f ; Si e x is te ,■ _
■
Sean la s funciones :
r
fcx> r
x
2
.> o < x < y
[ ( 2)
2xZ-Í2x4*2
-
¿ ■gao =< T x +jP V x -3
H a lla r í a g
, 12 < X<10
,, 2x-i
3
24.x ^3 x >3
i n d ic a n d o Su d o m in io y su resgla d e correspondencia.
Sólo fines educativos - FreeLibros
_____________________ Funciones Reales de Variable Real
TI.
FUNCIONES
MONOTONAS
:
C R EC IEN TE
,
A S IR ,
Y
DECRECIENTE
DEFINICIONES Seo lo
función
f ! A -» 8
R ,
A = Dóm ( f )
(1 )
f es NO D E C R E C I E N T E <=> x , < x ? implico f ( x , ) * f (x2 ) , - V x „ x ?e D o m (f)
(2 )
f es C R E C I E N T E x ,< x 2 implico
(3)
f e s N O C R E C I E N T E <=>
(4)
f es D E C R E C I E N T E <=>x,< x2 implico
(5)
f ( x , ) < f (x2 ) , •V x ,j X 2 € D o m ( f )
x,< x? im p lico f { xt ) — f ( x2) ,V- x, , x 2 6 D o m f f ) f ( x f) > f Í X j ) ,
x (> %z 6 O o m (f )
f es M O N OTONA <=> f cumple olguno de las 4 definiciones
a nteriores .
E J E M P L O 1. F u n c i o n e s que son monótonos en todo Su d o m in i o . 1. Lo función lineo!
o fin
f(x)~ox+b
es C R E C I E N T E cuondo o > 0 Por
y es decreciente cuondo
, es Creciente
2
fex) =s-Ln x,
Dom { f ) :
es creciente g(x) = 5
x
en todo
IR = D o m ( f ) , p o rq u e a = 2 > o
x>O
x >O .
es creciente
*V* x 6 IR ~ Dom (g )
4.
h{x)~
85 A c re c ie n t e f
5.
f ( x ) = e**x
, x € ñ
es d e c re c ie n te
0>.
o < O •
, es decreciente en todo IR 9 porque a - - |
g(X) =s - — x + 5
3.
cuyo dominio es t odo
ejemplo !
f (x ) = 2x ~ 3
2.
, a#0
x 6 ÍR .
x € IR .
f u ) r= n/2x7i ^ x^,V 2
7 . J( x) = 1+ ~ (x-2)7 ; x ے R
es creciente no es m on oto na porque crece en <‘x,oo> crece en <“ Oo,2> .
Sólo fines educativos - FreeLibros
^ de
Moisés Lázaro C.
EJEMPLO
2.
Fu nciones »que son crecientes in t e r v o lo s
contenidos
y decrecí entes
en cie rtos
en el d o m in i o .
Por ejemplo f f (*>«
cumple
x*- 4
es creciente
s o b re
<-<&,-*>
f es creciente
sobre
<-?, o >
f es de c r e c i e n t e sobre f es decreciente
< 0 ,2 >
sobre
MOTA : C R E C IE N T E INDICA subir lo curvo,cuan do x avanza de tzouierda a de recha. D ECR EC IEN TE INDICA bojor lo curvo, cuando x avanza de fequíer da ck derecha».
I t . FUNCI ON
P E R I OD I C A
DEFINICIONES Seo
1.
lo función
PUNCION
t PAR
E
I MP AR
: f
: A -* 8
,
Dom(f)
PERIODICA
f es PERIO DIC A <*> 3
un numero reo! T ^ O (x + T ) 6 Dom( f ) y
E l mínimo número p o s i t i v o T , tol que Homo PERIO DO
tol que x € O o m ( f ) , implico f { x + T ) « f { x ) ¡ 'V’ x € Dom(f )
f ( x + T ).■* f ex) tV* x
€ Dom ( f ) ; se
de f .
Por ejemplo o)
II
b } II e)
período de
seno , c o s e n o , secante y cosecante
período de
tangente
£1 período
de f U ) ^ , | x |
es
y
cotangen
es IT.
1.
Sólo fines educativos - FreeLibros
es
2TT.
_____________ Funciones Reales de Variable Real
2. F U N C I O N fes
PAR .
PA R <-> x 6 D o m (f ) implico-x € Dom ( f )
Por
e je m p lo .
o)
f(x) = x 2 , es p or, porque x2 — x * -4
9( X ) ~ —
b)
•V-
X
-
f ( ~ x ) = ( ~ x }2= x2 = f ( x ) , *V- x6 IR.
e (R - { - v T , v/T1j
h(x) s eosx , es por porque
d)
f(x)ss ixl
, es por
3. F U N C I ON
V
x 6 0^
(“ X )2 x2 es por,- porq ue g < ~ x ) = - -------------------------------------------- == g (x ) (~ x r - 4 x — 4
c)
fes
y f (-x )= f (x)f Y
porque
hfr-x ) = eos ( - x ) - cosx = h ( x ) , *V* x 6 IR . f
x
I ~ x r » Ix I = í ( x ) , “V* x € IR .
IM PAR
IM P A R
<=>
x € Dom ( f ) implica - x 6 Dom ( f ) y f ( - x ) = - f ( x ) ,
x € Dom( f ) .
Por ejemplo * o jf íx )b)
x3 es impor , porq ue f { - x j -
f ( x ) = sen x es i m p o r ,
p o rq u e
(~x )3 « - x 3 == ~ f ( x ) , - V - x € I R.
f ( - x ) = sen ( - x ) =
- sen x
= -f(x),tx6 R
12.1
PROBLEMAS
N O T A I No
olvido/ que el pert'odo
fol que @
es el m enor NUM£RQ P O S I T I V O
f ( x + T ) ~ f ( x } , -V- x € D o m { f )
H o lla r, el período
de
,( x + T )
6 Dom(f).
f { x ) ™ sen x , x € Í R .
So lu cion Supongamos
que existe
f { x -f T ) =s f ( x ) sen ( x + T ) ^
-T
T>0
,
x e IR
toí ,
que ( x + T | 6 IR .
senx<<*~“\ esta iguoldod se cumple poro todo
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T
x £ IR .
Moisés Lázaro C.
En p a r t i c u l a r sen T -
sen 0
sen T «
0
se c u m p l i r á
pora
x-
0 , obteniéndose .*
y / € : x*+y?~ i
L
0 ,0)
T es un arco positivo de lo e írcu nfe re nc ía y sen T
^
------ ^
es lo segunda componente de los pares ( x , y ) pertenecientes a lo
Razonemos
4 T I . 671
.
positivo y sen T ~ 0 , entonces T e s 2Tt*
«te.
El menor T Luego,
si T es un or c o
así í
c irc u n fe r e n c ia
positivo
el período
Hollar
es
2TÜ ,
de sen x
el período
de
es
Ts
21T .
eos x
Solucio'n E I razonamiento es i d é n t i c o a í l ) , so lo es lo
2 a Componente
de
{ c e n t r a e n e ! o rig e n Í3 J
Maltor
el
(x,y )
y radio
período
‘de
f(x)~
del
aplicar
Hacer
Bx-ZTT
=>
Luego el
p e río d o
de f { x )
es
Tambie'n , podemos
hacer
del
A p a r t i r de
Asen ( 8 x )
f(x)=
período =>
Asen
perteneciente
o
lo
cir eunferencio
uni tari o ) *
Bosforo'
Si T es el
el p e r í o d o
tener en cuento que el coseno
Asen
seno
T =
i 8 x ).
que es
2IÍ
2TT B
siguiente modo '
( 8. (x + T ) ) ~
A sen ( 8 x + 8 T )
Asen 8 x
25 A sen 8 x
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,
8 >0
del siguiente
modo
Funciones Reaíes de Variable Real
doode , necesaria mente
(4)
Dado
B T = 2TT , pues 2 lí es el período
lo fu nción
fCx)=*fx|
, x € IR • ¿
Es
de seno .
f ( x ) p e rió d ica ?
Pro b a rlo . Solució'n (1)
Supongamos
qué existe
f ( x + T ) -
f ex) ,
( 2) £ x + t ] (3 )
En
= £ xI
pa r t i c u la r
do
> O ,
"V- x e
tal que
m .
x e ir . /
, -r pora
T
x~ O
Id i g u a ld a d en (2)
se se güi ra
cumplien
, o b ten i t n d ose !_
cn-fo] T 1 =
[
L En
e.l
Seo
lo funcio'n
b ) G rá fic o r
(1)
0 ~ T < 1
fíx) = | x |
a } Ha lia r
Solución
lo solución de esto ecuación
in te rva lo
Luego ( 5)
0
el
/no
es
no
e xi s t e
es
O -
m ínim o
T
< 1.
pos i t i v o.
p e rió d ic a /
f e x ) '==. x - [ x
J
, x 6 ff?
pe río do de f { x } f {x) •
de o )
Supongamos f (x +T
que exi st e
T > O , tal que '
f e x >, -V- x G fñ
(2)
x +T - £ x + T 1 =
{ 3}
La i g u a ld a d
en
t
{
x + T ) 6 IR.
x - | x ] (2 )
se cumple
poro todo x 6 ÍR , en p a r t i c u l a r
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se
Moisés Lazaro C.
<186}
c u mp l i r á '
par o
x = 0
t
o+-T-£o+rJ= T - Í T J
o-[o]
= 0 •' . '
ir r=
L
t
es un e nteró . Com o
T > 0 , entonces
entero Entonces
el
conjunto
solu ción
T = { 1,2,3........
sero
pos v H vo
*
b)
El gro'fico
(6 )
HdIJor el
debe ser
}
L e s el menor entero L u e g o , el p e r í o d o
T
positivo.
que cumple 5{*+t ) = $(*) v-xeíR + Cx4-T)eíR
T = 1
es
de f ( x ) == x - £x J , x € IR \ es !
p e río d o
de
f ( x ) = 5 x — [ 5 x | , x € IR .
S o lu c ió n
Como es semejante aJ p r o b l e m a
cuyo
p e r i o d o es 1, b a s í a r á
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hacer
, •
______
de r e s o l v e r
Ot ro forma
Suponer
Funciones Realesde Variable Real
*
que.3 T > 0 ,to lq ue
f(x + T ) ~
5{ x + T ) - [ 5 ( x + l T ) 1 5x + 5 T
f ( x ) l'V'x€JR , ( x + T )
6
= 5 x -f5 * J
-| 5 x + 5 T j=
5x -[5 x J
-,•••(] )
Lo iguoldod í 1 ) se cumple poro todo x 6 tf?, en porticuiorse cumplirá poro
y
x = 0.
’
m
-
5T-f5 T| =
0
| 5 T l = 5T es un entero. Gomo T > 0^ entonces el entero 5T= 1
5T=2
T ~ 1/5 ,
, 5T =
5 T. debe ser 3 , .. ....
T ~ 2 / 5 > T =. 3 / 5
es et mínimo reol positivo. Luego T = 1 /5
es el peno do
NOTA' G ráficam ente el período T de una función periódica es la LONGITUD de un intervalo, sobre el cual eJ gráfico de la función sa repite id é n tic a formo. -
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Moisés Lázaro. C
13. O T R A S F U N C I O N E S 13.1
FUNCIONES
TRi 60 W M ETNICAS
Cuondo los funciones t r i g o n o m é t r i c a s
se estudion
funciones ‘r eoles , entonce* bostoro’ expresor el coniunto ( dom in io ) , él conjunto
como
simple
de portido
de He godo (rango) y su respectivo
re gla
de
•
funciones trigonométricos
bien definidos ,
correspondencio. As/ obtenemos
que los
si se co n o ce n
su dominio , su
se expresan en el siguiente
rango
quedaron
y su reglo de correspondencia • , como
cuadro.
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Funciones Reales de Variable Real
Poro graficor
los funciones
trigonométricos
—
se don v alo res
o
x
en
rod iones Por
ejemplo
siguientes tes
poro
va valores
FUN CIO N ES
1 1 ” i Ü S L 6 ’ 4 * 3 12 * 3 1 6
TRIGONOM ETRICAS
R e s t r in g i e n d o los
tobularse
el
dominio
debemos
de f i ni r
de codo funcio'n
lo función
ir 37T •7 r * 2
IN V ER S A S trigonomeVrica obtenemos
inversos de seno , coseno , tongente , co ta ngente , Antes
con Jos
conocidos IT I - i n 3 1 4 ’ 6 1
-21T,. 13.2
graficor el seno y coseno , deberá
secante y cosecante .
L O N G I T U D de A R C O . <
Seo
| ( x , y ) / x2+ y2 »
con centro en
(.0 ,0
) •
un
ARCO
Sea u a "
1 j
de
una circunferencio
medido en radianes
en sen tido
on tih o ro rio basto el punto
Entonces ,
lo L O N G I T U D
de A R C O
de r a d i o
desde
1
el punto (1 ,0 )
P(x,y) es lo función
L * t ? — ► IR
L (a )
definido por
Algunos
eos ex ^sena )
a
v a lo r e s
de lo funcion
Longi tud
de A R C O , son :
ir
si or= —
4
v ( , ir , ,
=>
ir
ir .
L ( — ) = (eos — , sen 4
4
4
)
A
si
L ( y ) = ( eos Y =
.flota, i S i eí
cltco
&yai¿YO
*
, se n ^ -) ^ \< x-ir/2
(0,1 )
s e m u eve en s e n tid o horaria es ^
senC(-«O C sen -*) n-send --
XÍe cumpla I c o s ^ . cosol
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Moisés Lázaro C.
si
»>
m&W
L í ít ) - ( c o s í , sen! )
" a ( “ 1, 0}
v » I
« W s* « s ~ ~ p
S> L {
Íf- *
/ / W\ / W\ \ ) * { c o s í - j ) t sen( - j ) ) «
Hociendo de
el combio
codo f u n c i ó n
tricos
inversos
(0,-D
convencional "ot*' por ' x "
y
trigonom étrico , obtenemos ios expr esodos
en ei
siguiente
x
]
* y « sen x
:
funciones
trigonom é
cuadro . SU INVERSA
FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA
i
restringiendo e i dominio
A rc s e n :[-l,l]-— [ - f , f ] yH*x=Arcseny
\*
fv J K >>2
eos:
[ o ,ir] - . [ - i . i J x
* y=senx
Are eos: [ - 1 , 1 ] — [O . f f l y - * x = A rcco y
V
[y °
A rcfg : R — » ] - f , j [ x i— > y= tg x
y h-* x s Are tg y
^
S-
V V&1
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Funciones Reales de Variable Real
cofg : J 0 , IT[
Are cofg .*IR-*]0 , 3 [
x l— ►y=cotgx
y H-x=Arccotgy
sec [o,ir]
Arese c.']- « . - t f u j t . o o f — £ o , itJ x I— ►y s s ec x
—
y > — — ►x = A r c $ e c y
>
Are esc .*■]-
M C . ' F f . f j - H - ' J ' - . - ’l u W x I--------» y=csc x
E
13.2.1
AMPLITUD .P E R IO D O , Seo f { x ) =
Asen
{8 x + C )
3t "2
FASE,
FR EC U EN CIA .
, A > 0 , 8 >O , C > 0
uno curvo sinosoido!. Definimos
ampiilud de f es
o)
Lo
b)
E l período de f t se hallo
hociendo
8x =
2 TT 2ir
El
c)
—
período es
Lo frecuencia
ZTT
es U ) =
i T
8 2 IT
ci cl os/s eg
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Moisés lázaro C,
Lo
ó)
FASE
Hoftar
s e ' h oHo
haciendo
Bx 4 C =
la ó m p l i t u d , p e r í o d o , f a s e
y
0
frecuencia.
Solución a)
Lo a m plitud
b j £1
período
Luego
e s j 2 1 25 2
l se halla
el período
c)
La
f ftcuenero es
d)
L o fose , se hofla
es
haciendo
x ~ 2TT.
T = 2TT .
: u) = ^ haci endo
~
ciclos/seg x + j - 0
4
a)
Amplitud ! |
b)
Período :
2x *
| ~ -|* 2F
; ~>
* * IT
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Miscelánea - Problemas
E J E M P L O 3 . Demostrar que, para cualesquiera^, B , y C, y = A s e n c x + Bcosex representa una onda sinusoidal y determinar su amplitud, período y fase. SUGERENCIA: Tómese
cos0 -
— J a2 +
J
b2
2 + B2 eos (9
A
B
sen#
a2
+
b2
= y [ Á 2 + B2sen0.
( 1)
Solución: Se trata de convertir y - A sen ex + B eos ex a la forma y - M sen( N x + P ) 2 , r>2r y = \T A 2 + B 2 c o s 6 s e n c x: + + y¡ y jA A z + B^senOcoscx
Sustituir (1):
yt:—
+ B2sen ex eos 9 + eos ex sen 9
y = \ l A 2 + B 2 sen (e x
+
6
amplitud = 4 A2 +B2
Tenemos:
hacer
P E R ÍO D O :
c x -2 n 2n
FASE:
, donde 9 - árceos f
hacer ex 4- 9 - 0
[ J
E JE M P LO 4 .
Para un período completo dibujar^
a) y = 2sen*-eos*
b) y = sen 4* 4- 2 eos 4x
Veamos a) Aplicando el problema 3 tenemos
A = l
A = 2 <
C=1
b) Tenemos
1
•B = 2 C =4
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^ a2
+b2
Moisés Lázaro C.
1)
*
v^ 4 + T
1) « / A*+ 8*' = V 5
= >/5
ib — - ore cosf eos 0= ib
-}
— -
' V*1 /
€
3)
y = sen 4x + 2 eos 4 x s V ? eos ( 4 x + 0 )
,0
3) y= Zsenx - eos x = y's'sen ( x + 0 ) , 0 = 2 6 - 5 6 ° = 0 - 4 6 rod.
= 2.23 sen (x + 0.40)
EJEMPLO
4.2
G ro f ic o r
y = sen(Bx+C)
y
y = senx, B ) 0 , C ) 0
y 3 sen ( B x + C ) y »' senx
PROBLEMA
S.
Demostrar
que Jo ecuócion
de Momplifud modulódo w
y - A» f 1 + m ten 2Wwf ) ütt 2 ¥ Se puede
escribir
en lo f o r mo
!
y ~ A 0 s e n 2 T w Bf + - — 5 - eos 2TT ( v * - w e ) t , - ^ ? p - cos2W ( w f w>>'
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Funciones Reates de Variable Real
Demosfroeidh y «
A 0 ( 1 4 m sen 2 f wt ) sen21Tv*>t
5 s A 0s e n 2 ¥ w « t «
4 A^rnsm 2 ? wt sen21T w0t
A 0s e n 2 f v*>t 4 Á©m *-• ^eos(2 1Twt~2ffwbt ) - c o s ( 2 W w t 4 2TT w®! ) J
T = A 0 sen2TTw0f + y
A*m eos 2 1 { w - w 0) t —
AajMpfi y -
eos 2 IT ( w + w 0 ) t
PROBLEMAS Resolver los siguientes e cu a c io n e s
trigonom é tricos
D
1 senx = T
„■ í IT 51 1 R “ ( t - T J
o, 2}
1 cosx - - y
„ f R = J
3)
fg x = 1
R = | X (^
4)
se n 2 x = y
TT 5f 12 1 ’ 12
1
5)
tg 2 x = 1
ir 8 -»
1 8
* 65)\ sen —*
= y^
Resolver los
1) Resolver
4)
4TT
l
3f i
} |
J
IB ir
I7W
lZ
*
12 §T
I 3¥ »
8
'{ ^ 1
siguientes ecuaciones c6$ ~1 ( 2 x ) ~
t r i g o n o m é t r ic o s
cos~1{ x ) > —
2) R e s o l v e r ! . t o n ^ í x / í ) 4 cosec- 1
3 ) R e s o lv e r :
2TT
f o n " 1—
!
R a|~V 2j 1^-
4 tan*1 x =»
Resolv er ! á r c e o s ^x 4 y ^
inversos
4 are cosx 4 ore c o s ^
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R = ÍV 2 / 3 l
R s í/ Ü T
=
3TT 2
Moisés Lázaro C.
— (¡96)-
Id e n tid a d e s c o n fu n c io n e s tr ig o n o m é tr ic a s in v e r s a s :
1)
P r o b a r q u e : are s e n x = a r e c o s e c -
2)
Probar qu e:
are c o s x = j r c s e c -
, x ^ 0
, x * 0
y 3)
Probar qu e:
- y
4)
P robar q u e:
,
si
x >
0
,
si
x < 0
a rctg x + a rc tg y =
a re c o tg y
,
si
x > 0
are c o t g - - ; r
,
si
x < 0
- 2 sen
1x.
a rctg x =
l( 2 x ¿ - 1 ) = - y
5)
P robar qu e:
sen
6)
P robar q u e:
s e n '1( 2 x 2 - 1 ) = - y
+ 2 se n _1x
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,
V x g [ -1 ,0 [
,
V x € ] 0 ,1 ]
Funciones Reales de Variable Real
FU N C IO N E S
EX P O N EN C IA LES y
En
es fe capítulo estudiaremos
rítmicos , "como
funciones
FUNCION Uno
es f ( x ) = ó*
a tos funciones
exponenciales y loga
reates de vorioble reoI que eston bien defin idos ¡
codo uno con su respectivo regla
1.
LOGARITMICAS
de
correspondencia .y dominio.
EXPONENCIAL
función
exponencial , es: aquella
coni o > o
a
o ffe.1
y dominio
cuyo reglo de correspondencia todo F
Es decir! f Cx) = a* M II base a a >o a 0 7*1 Lo
función exponencial
y e IR*
x€ F
y = a*
R A H 0O DOMINIO
y » o e s A .H .
puede
ser creciente
Á.H * ASINTOTA HORIZONTAL o decreciente ,
dependiendo de la base " a " . CASOS
CASO 2. si o < o t 1,1a funcidn exponen^
C A S 0 1. si o > l , la función exponencial f(x )= ox , x € F es estrictamente creciente. * ■■ X X Es d e c i r ! xr < x2 implica a l < a
EJEM P LO ! f (x )= 2 X , x 6 í R.
xf€ F Xj£ F
* ciol f( x) = a? , x £ F es estric tamente decreciente. Es decir : x,< x2 implica aX l> a X2i x 1€ F
.
x 2€
EJEMPLO
g(x)= ( £ ) = Z %, x E I R .
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F
Moisés Lázaro C
Propiedades:
Propiedades:
P\. ax = 1
x- 0
W
aX
P2 . 0
P2. 0
P3. a*>l
P3. ax > 1
c=>
x>0
P4 . La función exponencial es biyectiva (inyectiva y suryectiva)
P4 ! La función exponencial es biyectiva P5 . *Cuando x -»+oo,
P5. Cuando x -» -oo^
entonces ax —>0
entonces Qx -±Q
P6 . Cuando x -»
P6 . Cuando x -> + 00 ,
- 00,
entonces ax —» + 0 0
entonces ax -» +00 2. LA FUNCIÓN LOGARITMO 2.1
DEFINICIÓN
Si a > 0
a
a* 1, definimos: log^ x = y
x = ¿r
Vx >0 La notación \ogax = y se lee “logaritmos de x en base “a”*es igual a y. 2.2
LA FUNCIÓN LOGARITMO COMO INVERSA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Dado la función / : R -> JR+ definida por f(x)-, ax, con a > 0 a a ^ 1, existe
x*-> y — a La función /
—i
:R
.
-> i? definida por condición y = a <=> x = \ogay
y l->. * = loga y De esta manera, hemos obtenido la función logaritmo de base “a” con a > 0 a a * 1 , que se puede expresar como;
g(x) = loga .V con a>0 a 1 Regla de correspondencia
x>0 Dominio
La función loga x puede ser creciente o decreciente, dependiendo de la base “¿z” . Sólo fines educativos - FreeLibros
Miscelánea - Problemas
CASOS CASO 1 Si a > 1 . La función g(x) = log¿7x, x>0es es trictamente creciente. Es decir: xj < x2 implica ¡ogaXj < lógax2 . Ejemplo: Sea g(x) = log2 x , x > 0
CASO 2 Si O< a <1 La función g(x) = \ogax , x > O es es trictamente decreciente. Es decir: Xj < x2 implica logfl xj > \ogax2 Ejemplo: Sea h(x) = log1/2 x , x > O
PROPIEDADES:
PROPIEDADES: 1.
logflx = 0 » x=l .loga.x<0 <=> 0
'1. \ógax = O
2.
2. \ogax < 0
4. Si x -» 0+ entonces logfl x -* -oo 5. Si x —>+qo entonces loga x -» +oo
4. Si x -> 0+ entonces log^ x -» +oo
3.
logflx > 0
5. Si x —» + oo entonces log^x-»-oo
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Moisés Lázaro C, -H200> 2.3
PROPIEDADES FUNDAME NTALES DE LOS LOGARITMOS
i>) •V x > O ,y > O
, o> O , o # l
se verifico ! •og0 ( x y ) — fog0 x + log0y
3.
ECUACIO NES
CASO 1. cuondo los boses son iguoles .* si o > O a o # 1 i enfonces ‘ Q f(x) _ Q 9tx) <=> f(xJ = g {x)
• P2) Y x > 0 , Q > O l
tn 6 ñ
se verifico !
CASO 2. cuando los boses son diferentes, ajé O
log x" « n.log x o o
EXPONENCIALES
Tienen lo incógnito en el exponento .
b> 0 , b ^ l
Of(x)= Q 9(x)
f>) v- X > 0 , y >0 , o >0 , a # 1 se
4. EC UA CIO N ES
v erific a
togo( y ) - logax -
logoy
L O G A R IT M IC A S
Lo incógnita esto' bajo el signo del logaritmo. * log u { x ) = K e
2.4 OTRAS
PROPIEDADES
t.
*og*(o*)s x
2.
tog X a ® = x
3.
x x.Lria o =e
. 7° ) UNIVERSO:[ o>0 A O j í l ] A [ g ( x ) > o ] 2°)Hocer
togau(x)=xK <*> .u ( x ) = aK
5. I N E C U A C I O N E S
E X P O N E N C IA LE S
CASO 1. cuondo lo exponenciot es decreci ente.
2.5 CAM8ia 0 £ BASE PROPIEDADES
1)
afíx* < o9txV-> f{x)>g(x)
2)
o, W > a,txW
si O < a < 1 *> P,-
»ó9b.X “ -l-lo g ^X
Pr
log / ' ^ - f - l o g X O O
P„. l o g a , bg 3
•
O
ff
f(x)< g (xj
CASO 2. .cuondo lo exponencial es
b =1
c re cie n te .
•°9„x p4- 10V b * = T
1} ofU) < o°
log-b t í a > 1 ?>
_.
2} a P5 ‘
{ log C ) (log b) b o
tog»c = •°ok°
cambio de lo base V a Jo base” b'r
P. s
Jog X « - lóg X *i/b
&
Sólo fines educativos - FreeLibros
g(x), v .
>o
<=> f{x) > g (x)
Funcioftes Reales de Variable Real
6. CASO 1.
INECUACIONES
{201}
LOGARITMICAS
Cuondo el logoritmo es D E C R E C IE N T E !0 < o <1 eny = logQu (x) UNIVERSO
(1)‘ s¡
[ 0
( 2)
[0
sí
CASO 2.
u(x) > O ] entonces [ log flu{ x) > K <=> u (x ) < o K J
a
1
a
u(x) > o ] entonces
[ logQu ( x j < K
> oK ]
cuondo el logoritmo es C R EC IEN TE ! o >1 en y = log
s i [ o >1
a
u (x)
/
u n iv e r s o
(3)
u(x)
<=0
u (x ) > 0 J
(4 ) si [ o > V X u ( x ) > o ]
entonces
[
log-
u
(x )
> K
entonces [ logfl u i x ) < K <»>
<» >
u (x}
> o* ]
u ( x ) < o K. ]
Resolver! l o g ^ ( 2 x - 3 ) > - 2
(v)
x
Solución.
Es el coso T -
** X > 7
■f* universo . 2 x - 3 > O <=> x > 3/2 2° lo g ^ l 2 x - 3 )> - 2<=>-2x-3 < ( i ) - *
S 2/3 C8*
2X-3 < * •X < 7/2
:7n log
5/2
{ 2x - 5 ) > 2
7
C $ = x c j 7, + m [
• (?) Resol v e r ’ log j f 2 x - l I > 2 Solución : coso 2 - ( 3 )
1e x -
x € j ¡ 2 / 3 ,7 /2
( ? ) Resolver
2X- 5 >9
> 5/2
( T •)
2 i f > 0
X #1/2
A
I 2X- 7 I > 3
Á
| 2X-1 | > 9 2X-1 >9 V 2 X - 1 < - 9
Solución : coso 2 - ( 3 ) 2x- 5 > O
a
2x~ 5
* X * 1/2
>
32
C s = x g J - « f- 4
A
X >5
[ U
J 5, + o o [
Sólo fines educativos - FreeLibros
V X < ~4
202'
—
-_______
Resolv er!
Soluci ón.
Moisés Lázaro C.
log { í s x ~ * l - 3 j < O
E n est e coso lo báse a = 1 2X~ii es funcio^n de x, por tonto, h obra ' que o n o l i z a r s e t o á o s l o s c o s o s .
CASO I
cuando
e l logorit mo es cre c i e nt e 1 _______ ^
u m iv er so
j* I 2X-1 I > 1
A
I 5X-2 I - 3 > 0 ]
. »> ( I 5X-2 1 - 3 < I 2X -1 I • } * > ( I5X.- 2 | - 3 < 1 ) t
[(2X -T M y
2 X - 1 . < - l ) A ( f 5 X- 2 l >
3 )]
A ( 5 X- 2 > 3 f ( X >1
V X'< O )
A
V
( X >1
5X-2 < - 3 ) ] *=> I 5X- 2. I
VX< -.«i-
) 1
*>
<4
**4 < 5 X - 2 < 4
*_______________________________________________ -
‘
- 4 ^ 3»—
-1/5
-2 <
2/5 <
-^ k = = = = = = = = = = = ^ \
X < 6/5
O
y : <-C30l-y> U < l,+ 00 >
5> ^ j [ ( x < A
in te r s e c t o r;
4 wmd>
-2/5
------------
-V5
1
6/5
Luego, el conjunto solución poro el coso 1 , es S -
y )
^ ^
)
CA SO 2 . cuando el lo g a rit m o e i decreciente .‘
{ O C I 2X- 1 l< 1
A
i SX- 2 1-3
> Q \ «>
( I2X-1 I > O. A I 2 X- l l < 1 ) a (
)
(
X ?k ! /I
A -1 < 2X-1 < i ) A {
)
(
X #1/2
A 0
■o
)'A { X ) 1 V X < 4 )
I5X-2 I-3
(
5X 2 - 3 l 5X - 2 I { 5X-Z > 4 *»>
(
X > 6/5
2, es
S? =
o-
-1 /5
O
t/2
1
I L u e g o , el c o n j u n t o solución C O N CLUSION :
C9 — S , e,.*
x e
poro el coso U
s2 r )
u C
Sólo fines educativos - FreeLibros
.
t
)
>
I
2X-1I0)
> 1 > 4 V 5X ~ 2 <’- 4 ) . V X <~2/5)
*x
Funciones Reales de Variable Reai
8.
FUNCIONES
HIPERBOLICAS
Introducción » Sumondo los funciones exponenciales se obtienen nuevos f unciones t liomodos
funciones
c*
f(x) = —
y g {x } =
e-x
hiperbólicos .
DEFINICIONES
8.1
IT
EL SENO HIPERBOLICO di x
j j EL COSENO HIPERBOLICO
LA TANGENTE HIPERBOLICO di x .
d i x.
sen h .]-® ,® [ — *•] - ® f® [ tgh!
cosh : ] - « , « [ - - * [ i , ® [
e*-e~* sen h (x ) « — - —
,
e*+e~*
tgh(x) i
cosh { x ) * — ------
IT
E L COSECANTE HIPERBOLICO de x .
c o ü c h :]-® ,o[ u j o , ® ^ - ® , © ^ ! ^
cosec h(x) « l/senh{x)
j y LA SECANTE HIPERBOLICA d i x.
1
-i,i [ siithfx)
CO» htX)
LA COTANGENTE HIPERBOLICA d i x.
sseh . : ] - * , « [ - * ] o , l ]
cotg h,:]-®,o[u3o»®H-®,-1 [u] l,® [
s e c h ( x ) » l/ cosh(x)
coig h ( x) * 1/ fg h( x)
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C
8. 2
FUNCIONES HIPERBOLICAS
I T 1" s eVn h — se n ffx
i. ] - «
l iJ —
INVERSAS
c o s hh - '.- [r i
2L
^
t g h ~ L ] - V ’ [•
e o s h‘ x s L b ( x * V * * - ? J
i
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*** V
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1
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1
: v -V*' /
-1 V
I
'1
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i
-« !
5
4 j cotac h * :]-© ,f [ « 3 * 4 - 4 » . « í 4 4 cosach x » U n ( - . l i Z l i x V 1*1
)
—
1 ü € j f , : ] o l i ] 1—
p
L
, cofgh x = * y Ln
3>
L
2. 1. -a
, cotoh’ 1:]-<»,> »[u] if<
'
3
-s
iJ
3 o co[
, ^ teeh x = Ln {
-i i
2
3
1 2
-1
!
<1
S-)
■3 i 1 ! . 3
1
.2 .1
i-1
L 1 Z
-1
. -2
-2 i
-3
_____ 1 _________L ___
8.3
IDENTIDADES H I P E R B OL I CAS f ■. Se cumpíein tos siguientes identidades hiperbólicas
cqshV - seph2 x - 1 * sech*x
sen h (x~y )~senhx coshy— coshx senhy
cotg h2 x - cosec h*x = 1 . .2
— 14
sen h x « — ■ — »
cosh 2 x -—
—
14 =CO$h2X
eos I r x = — i
sen b ( x 4*y ) = senhxcoshy 4 cóshxsenhy
.......
eosh ( x 4 y )== coshx.coshy 4 sen hx.senhy c os h ( x - y ) == eos hx coshy - senhx sen hy senh2 x -
2 sen h x eos hx
cosh2x = cosh2 x 4senf?x
Sólo fines educativos - FreeLibros
. 3
M
I S C E L A N E A
PROBLEMAS RELATIVOS A COMPOSICION DE FUNCIONES E INVERSA DE FUNCIONES P R O B L E M A 1
Seon
la s
fu n cion es re a le s
de
va ria b le ■ÍZ)
g ( x ) =\
x 2
, x < o f ( X ) Á *
1-
XZ ■ , X ^
h a lla r. ( f o g h x )
<-/ ■
S O L U C IO N
:
o
M ET O D O
x < o a X2 e
'
X > !•
[X -1
y d a r s u d o m in io.
Dom ( f o g ) = x 6 O) / s í
+ 2
<-co,n
P R Á C T IC O
Dg
a
g ( x ) € Df
J(J q Is i x < o
X2* l
a
x‘ e < i , * a > >
.
X2 > 1
■ -I á£Y* 1
X >1
3 —
-I
real
"i^1 (3) X. afi.l'
O
V
X<-1
x r ..
1
x e t - i , o >
í f o g
} ( x ) = f ( g l x ) } = f ( x l ) = x z +2^
( f 0 g ) ( x j = f l g ( x ) } = f ( x 2) = x * - i :
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C.
t (gíx) j=
t - x 2 + 2
f (gix))=* 3 - x 2
C O N C L U S IO N
:
2
x 2+
P R O B L E M A
Z
sea
,
x e [ -
1,0
>
X 2-
i
,
x £ ( - o o >
3—
X2
,
xe
[
o,+co)
, X < -2
f(x )
2+X 2 aX / ‘2 - 1 2 X + 2
g ( x ) ==
X- f 2 1
X
v;
X - 3
H a lla r
f~o g
S O L U C IO N
(1 )
in d ica n d o
L a
do m inio
> 3
y re g la
de
:
H a lle m o s p rim e ro Com o
su
< X sí 3
-2
f ( x ) es
in v e rsa
la i n v e r s a
in y e ctiva V x
de f
se
de /
f. x <-2
h a lla a l r e s o lv e r
:
f ( f \x)) = x i -i
— ---------— = x ' 2 D e s p e ja r
f."1 .*■
+ f "! = 2 x + x f ~ l t-r
f
(i - x)
=? 2 x = Rong ( f }
l-X
8 •*T V II
2X
Sólo fines educativos - FreeLibros
co rre sp o n d e n c ia .
Misc€ 1 nea
Donde
2X
<=>
x G D f J i
Problemas
1-
X
2X > 2
X — 1 2X
-2
X -f
2X-2X +2 X -
2
(2)
P oro Dom
h o lla r
,
f~o g
( f og ) = x
6
> 0
I
>0
X — 1 X
>0
>1
h a lle m o s
en
Dg
g (x ) G
a
p r im e r lu g a r su
d o m inio
D o m f*1
f o g
X € ( 1, + r n )
g =
( 1)■ D o m lf'o g )=
x £
Dg
=
-2
= -2
< X *
§ W €
< X ¿ 3
3
A
t t o m í r 1)
( 2 X - 1 2 X + 2 ) 6 ( 1 , + a> ) 2 X 2- 1 2 X + 2
> 1
2 X 2 - 12 X +1 > 0
X 2- 6 X ¡f\
x. i i OÓ W
2 l 2 X 2- l 2 X + 2 ) = ----------- x----- — -------1 - ( 2 X 2- 1 2 X + 2 ) 4 ( X * - 6 X + 1) - ( 2 X * - I 2 X + 1)
+ j-
> 0
X Z- 6 X J L 9 - 9 - h j ( X - 3 )* ( X - 3 )*> - f
-j-
=>X-3
- 2 < * i. 3
Sólo fines educativos - FreeLibros
> 0 > 0 v
x
~ 3 < ~Ít
Moisés Lázaro C
m
a)
V
>3
X
X f 2 X - 3
< ? , *c d >
€
71
X 4 -2 1 X —3 X+ 2 X - 3 tm m
ü---------
© -*
-
— 0
>
A
i
X+2
>2
X - 3
X*2
( f f lr n m
-
X -3
3 ©
í >0
x+2 - x + 3
<-ooi -2>U<3/09>
x -3
Á
: X -3
x >3
A
< -0 P ,-2 > U < 3 ,O O >
/\
x>3
X + 2
b)
f o g =»
2 / X + 2*
X -3
X+2 '
C O N C L U S IO N
/ X - 3 * - / x +• 2'
:
r 4 ( X
, -2 < X <
- 6 X +1 )
- l 2X*-I2X + 1 ) f o g
=
2 / x T F /X -3 ' - /X +2
X
>3
1
Sólo fines educativos - FreeLibros
3 -
> o
X > 3
-> o
Miscelánea - Problemas
¡P R O B L E M A
X
3
/
- 2 X
Sean
la s
p o s i b l e , h a lla r
a)
se
( f
de
2X-5 f( X )
S O L U C IO N ( L )
fu n cio n e s
X < 1
g U )= -
si e s
■<209)—
o g )(x)
iy
X —2
su
va ria b le re a l
, X < 2 —^ ,
X ±2
d o m in io .
^
e m p ie za
por
Dom ( f o g ) =
e l d o m in io
x 6
Dg
x <1
a
g ( x ) 6 Df
a
( X * - 2 X ) e <-oo,2>
:
X
i
X 2 - 2 X +1 < 3
•
I
- 2X
< 2
( X -V *
.< 3
i -/?<.x-i
X<1
A
1 - V3 < x < 1 + V T
éHVr
Dom(fog) =
x€ < 7 - / 3 1, T>
Sólo fines educativos - FreeLibros
( 1)
13)
<20
Mi
Moisés Lázaro C.
X
(3 ) a )
7
A l.
£
< -o o , 2 >
e*
X9.1 V.
< Ln 2 < 0.6
-= 3 -
T Cn2 0.6
7
t»)
(4)
X X
A
._______
< 2
a)
y
x » t
©
C 2 ,+ ® >
e
e* >, a X
>. L n 2 .
m m mmm
X 6 [ 1 , oo>
(
b)
fo g ) (x ) = - e * - 2
C O N C L U S IO N
(f0 g ) (x, ;
4
¡ P R O B L E M A
Ln2
]
sean
t x3
(0S
x < o
g ix )
x 2- 1 H o jia r
fog
y
2X - 4 X - 5
f X e < 1-vT, 1 >
-X* + 2 X - 2
,X
€ <-a>, t-\/PJ
- e * -%■
,X
€ Cl , + D>
0
fu n d o n es
—
p
ffx) = \Z Tf T , - í * x < 2
, x * o i (2)
.
g ra fica rla
S O L U C IO N :
j s P a ra
h a lla r
fo g
, debem os
} su
dom inio
h a lla r
2 ° ) su regla de corres p on dencia. Dom
(fo g) — x
V eam os
;
(D
{ x
€
Dg
ffxj e
a
g ( x ) €
Df
{ x — o a ( x * - o e c - J . 2 >}
Sólo fines educativos - FreeLibros
0
Miscelánea - Problemas
- I Í ffxj < ? |
| x <0 A
{ X^O A. - f é x 2- t < 2 j
u
CxJ * - 1 A £ x j < 2 r X<0
A
O -
A
X
X < 2
X<0
A
A x 2< 3 A -V3'
(R
-/3?< ■x<'ÍT
X ÍO A -I
< 3
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X3S-1
-
2 o t x < VJ
-1 & x < 2
- i í x
-1 ,0 >
[ o ,\/T >
U
T
~
f ( g exj } = f ( E x V ) - / í + Cx j ‘
~
r ~
f ( g i x ) ) — f ( x * - i ) * \Zt+x*-i* = * ^
/ i + Éx J
CONCLUSION:
( f o g ) ( X) =
* ,
x e
c - 1,o >
j
X €
C O, / f
X
5 /
P R O B L E M A
E n c o n t r a r s i e x i s t e la f u n c i ó n
X +. 2
v v f(x)
2 -
Si J
f "7 g r a fic a r f
S O L U C IO N (1 )
/
P ara
que
y
f~ 1en
el
+1
,
in v e rsa d e :
- Í ^ X é l/2
7
2 <
X+7 m ism o
>
X
< 4
p la n o
: f .te n g a
in v e rsa , d eb e
d o s im á g e n e s, e s in v e c tiv a
s e r in y e ctiv a . Com o
f
tie n e
<4 R a n g o ( f , ) D R a n g o ( f ¡ ) = 0 fc>) Caxlct
es cnyectivcL .
- 1 ^ X £ 1/2 i
f(~U 1/ 0*M
fl I y e
fd/i) 11 3/2 +1 n 5/2
Cl , 5 / 2 3-Rango
Sólo fines educativos - FreeLibros
(-fj)
Moisés Lázaro C.
n2> b)
dt
E l rango
fz
2 ~
tx*né& :
t) ^(ct) = f 4(4>) poro
i < X < 4 1 1 fti) II
{2 )
vem os
u)
fl 2-JL
a «b *^ct,fo€ < Z ,4 >
.
&
a
3/5
y e <- *
Como
C~i,V2l
fí4)
“ 3 // -*/3
a. = b
:
Ronpo(f2)
< - t/ 3 ,3 / s >
fi [1
,5 / 2 ]=
0
s i f, ix> = v /x - x * + 2 ' + i y ol resolver f , ( f * x > } =
*
obtenemos
y / í f - f F + í '+ t
í * «mversade
‘X
y/qf-lf+ 2' » X - f
*
lf-lf-+ 2
= IX-1)Z
■ 2 - ( X - 1 )z
- f*
2 -1 X -1 )* + -? = f ? - f * + ~ i - ( x - v * =
d o n d e -| í* -l-h -(^ i)
t* » | - 1 / 9 - 4 ( X - f ; 2 ‘
-1 * 4?*V2
(3 )
si
f* ix i = 2 -
) =
2
y
x + i x
al r e s o lv e r :
conclusión: i - 1
obtenem os: & ,=
7 -
f* + l 2fg
+ 2 ~7
■X f* + X
fi l 2 - X ) ~ X + 5
f* Y
X4g 2-X
X e < 4
> f>
Sólo fines educativos - FreeLibros
4ÍX-0* , X € D ,SÁ 1
M iscelánea - Problem as
2X-1 , X < - f aj
s e o f una fu nción h a lla r
b)
sea
d e f i n i d a e n IR
la fu n ció n
una fu n ció n
f~ ', s i d efin id a
p o r: f(x)
4X2
, - f *• X * 0
X + 4 , X >O
e x iste .
en IR por
la r e g l a :
3 x - 4 o
f ( X) t¡
f* (3 )«2 e -3 b
hollar et'valor de
y
f *( 3 ) » 3 o
f * ( Ó - 3 b I > donde
b
í-* es la i nversa. d« $ .
Solución de a ) (1)
f>V >V *
Para saber q u e f ( x ) es inyectivo,debo probar que:) ^ S íü o s :
^
lio a ^ í,
t i ) Cauda. f u / ic i¿ n ms t.ny ^estiva, mn mu rmmpG.c'éivo d b m in io . . i ) Añora, y h a lla r e¿ rango dm cetc/a. función. -
e s ínyecrtiva
íf
<
fjí-D
<
f2 i o i * o * . J > y 6 C 0 ,4 J = R,
4 ,* '-'^
f^ -D =
2
s 3 Se fien#;
, % , n R f,= ¿ , Rj, n » $ -,= #
(2) a) INVERSA DE f(
b) INVERSA DE f¡ (4o f*3(X )= X
f} ( f * x j 3 = X
4f*
2 ff - J = x em \
U
x < -3
* X ~ 4
>'■ ~T" con # <* ~ *“ *2
o 2
pues*.
*í=¿ VF , porqoe-I ¿ 5*
Sólo fines educativos - FreeLibros
c; INVERSA D£ fe f3 o f 3 = X
f* + 4 f* * X -4
Moisés Lázaro C.
2 Por
tonto :
a
f*( x )
2
'
-J- V P
, x € C 0,43
X - 4
, X €
<4 ,+m ■
Solución 4o b ) ’ (1 )
f (x ) =
De
3 Xg ~ ~
f
h o lla r
l f o t * } ( XI = / 3 f*- 4a
■
= x 3 f* -
SS8>
(2)
De
4o =
5X
f/V,3®
**
3
f * ( 3 ) = 2 a - 3b.
~
X C 1
De
f*í5 )
. -------= 2 o - 3 b
= 3o+b
1 5 + 4o
2 5 + 4o „ ' — =3 o + b
15 + 4 a = 6 o — 9b
25+ 4a = 9o + 3b
15 — 2 a - 9b ----------------------j _ ---------------- 2 5
= 5o+3b
f 2 a - 9 b — 15 por 3
| 5 o + 3b — 25
f 2a-9b |j5 o + 9 b n a
=15 = 75 = 9 0
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_
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Sólo fines educativos - FreeLibros
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Miscelánea - Problemas
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Miscelánea - Problemas
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Miscelánea - Problemas
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Por tanto:
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,
-7
Sólo fines educativos - FreeLibros
Miscelánea - Problemas
8.32
GRAFICO DE FUNCIONES ENTERO
Y S I6 N 0
CON VALOR A B SO LUTO , MAXIMO
OE X .
Para groficor funciones con valor absoluto, con máximo entero y signo de X,se
debe recurrir o lo definición de dichas funciones.
[7|
VALOR ABSOLUTO lilxv , St ULtx) £ 0
En lo áefinicio'n de vaíor absoluto ’
|u ix )| :
J -U ü ) ,
UUx) < o
se observé dos cosos bien definidos,que son:las restricciones y ios ima'genes.' Si ; u ( X ) * Oj
*>
uc x i l = + u (XI
si i u ( X } < O ;
=>
U(X)| = -
U (X)
IMASEMES
R E 5 T R ICCIOtsiES
Ejemplos
0
y=
12x— 1 1
y* S,
I X - 1, SÍ I X- 1 * 0
IXI-2
,
X 3k 2
X* r2
X * 2
X-2
- ( 2 X - U , s» ex—t < o
V
-(IX l-2 ) , - 2 < X < 2
X
-X-2
, s í e x - i , x ai i/e 1/2
2
-2(X SO
1 - ( e x - i ) , x < 1/2
-(X-2),
O < X <2
Su gráfico:
X -2
y=
X* 2
-X-2
X«-2
X+ 2
-2 < X S O
-X + 2
O < X <2
$ 0 VÉRtm & M & l 2 X - 1 « 0 * > X * f/2
Punto crítico 0
:
2x - t * o *> x * 1/2
y * I lx l -2 I fX I - 2 , si Ix I —2 ^0 - ( IX I - 2 ) , SI Í X l - 2 < O
Sus Los
puntoscríticos; ¡IxI- 2|*o *> x* 2, x *-2 vartícds : (-2,0) } (0,2) ; (a,©)
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C.
X"~ 4 ^
, SI ^ t
-X*4*4
X -4 * mi
-2 < X < 2
#
X ^4 SO
4#
X * 2 , X a* ~ 2
A C L A R A C I ON E S
f
Cuondo se define ei volor absoluto , se obtienen dos imogenes diferentes,codo imagen con su dominio restringido.
2. Todo io que se debe tener cuidodo es el signo del vofor obsoí uto , dicho signo dependero' de Jo restricción de i dominio. 3.
si $e esta' analizando uno función con dos o mo's valores absolutos, es mejor recurrir al método practico de los PUNTOS CRITICOS. Los PUNTOS C R I T I C O S
se obtienen igualando a cero codo valorobsoluto.
Los puntos críticos par ti ció non a la recta real en la unión de intervalos4. Algunas veces la presencia del valor absoluto en las funciones están por demos, porgue son positivos poro todo x 6 I R . 2+ x , si x - O E jemplos ’ ( J )
y = I 2 + I x I f== 2+1 x I .= <
2 —x , si x < O
( J ) £n y =2 2 I x2 + 4 I - 2 x I x - 1 1 * 2 ( x 2+ 4 ) - 2x I x-1 I =
2 ( x2+4) - 2x ( x - I ) , s i x-1 ^ O 2 (x2 + 4) - 2 x ( - x f l) ,si x-1 < 0
2x + i
, x *1
4x*-2x + f , x < 1
Sólo fines educativos - FreeLibros
Miscelánea - Problemas
( £ ) En
{2 27 }
y = | 3 + lx l2 f - 3 j x2 4 1 j m 3 4 1x I * — 3 (x*+l )
donde Ixl2 - x2
3+ x2 - 3x2- 3 « - 2 x2 /
© En
y&
3 f 2 4 lx l| - 2 Ixl Ix* + 4 1 - I x 1*
-
3 (2 + Ixl ) - 2 Ixl
I x 1+6
X4 6
4
!+ 4 - x*
8}
6r«rfi cor lo funcio'n
-x+ 6
, si x i 0 , si x < O
f(x )= lx * -4 x + 3l - 2 |x -2 | + x|x|
Solución se puede e s c r i b i r a s í :
í.
f(X)
2.
Puntos críticos
3.
f ( X ) = | { x - 3 ) ( x—t } | -
De | ( x - 3 ) { x - i ) | « G
~> x* 3 , x * i
De | x —2 | —O
»> x * 2
De
=a> X » o
Ix l» O
2 fx-2 ¡ + x [x|
Gr& fimr los punios críticos en fo recto reaf .
Así : o
I
2
3
Los puntos críticos' 0 ,f ,2 ,3 han particionódo o la recta real en la unían de cinco intervalos = < - € 0, O> ü [ 0 , ) > U [ f,2> U [ 2,3) U [ 3 , + oo> Codo intervalo es cerrado par izquierda y abierto por derecho. 4.
Ahora , hallemos las imágenes de f ( x ) •
Coda imagen esta restringido aun intervalo y el signo de codo valor absol uto der endera de los valores de x en codo intervalo.
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Moisés Lázaro C.
f(x) = a)
|(X-3)(X-1) i
- 2| x - a
I
+
xj xj
si x £ < - « , 0 > => f ( x ) s + (x2-*4x43 )— 2 ( ~x42) 4 x (-x ) cm
x~«i £ <-», 0 >
6} sixe-Xo,i> conX— 0.8
=
-2x-1
=> f(V= {X2- 4x + 3)-2(-x + 2) + x( x)
6 Co,i>
= 2xz- 2 x - i
c) si x6 Ci.2 > => f(X) s-( x1-4x+3) - 2 (-x+2 ) + x (x ) conX»i . $€Ci , 2 > d)
ti x £ t 2, 3 >
= 6x-7
=> f ( X ) = - ( x - 4 X + 3 ) - 2 ( x—2 ) 4 x f x )
COOX»2.3 £ t 2,3 >
e)
-
sí x £ £3, + eo> *> f {X)~ (x2- 4x43 ) - 2 { x - 2 ) + x ( x ) con x»5 € C3,+00>
5.
2X 41
=
2x2- 6x 4
Como sé observora ,en cada intervalo hemos lomado
un
valor arbitrario de
x que pertenece al intervalo y con dicho valor $e prueba qué signo tiene
coda valor obsofuto. Por ejemplOjOn a ) con x»- t€<~«, o> ^eí signo de íx 2-4x***3 I e$ + {x2-4X43) porgue 114 4+3 í »f+e I
; el signo de I x - 2! = - { x- 2 )=v-x + 2 porque
l - i - 2 l = 1-3.1»- (-3) - el signo de I xl = - x porque l- lI s - (-i ) • £1 mismo resultado
:
f(Xt=-2X - 1, se obtiene si escogemosX=-3l-4,~8#
etc* que son valores pertenecientes al intervalo <-oo,o> . De moñero similor se opera en ; 6.
En conclusión
f
f (X )
b),c) ,d ),e ) •
es .* 2 X —1
, X£ <-00» 0>
2X2~ 2X - I
, X£ I O, t >
6X — 7
, X 6 C f,2 >
2X +1 2X^- 6 X + *7
v
X € C 2 ,3 >
, X £ £3,00 >
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,
En lo definición de máximo entero .*
^
u txt f K+1
2
se observan dos cosas bien definidas g>ue>son la imapn ,,K:,tqoe es un número entero y la restricción de la; fene ion ujxt si k i u í x X k + l
que está dentro del CORCHETE,
|u t x il= K,Vk6 2 .
ACLARACIONES f. [ u i x i ] es un entero y Ja función utxtque seencuentra dentro del corchete, esto entre dos enteros consecutivosfujy ffü]!-M,cerradopor izquierdo y abierto por derecha : 2.
uixi < í u j + I .
[Tul ^ u(X) < f f u j + l es uno desigualdad que nos permitiréhaítar el dominio (recorrido de x) poro cada entero ffu j .
3.
Es conveniente conocer affunos propiedades usuales de máximo entero, que son: Pt)
f u (XI ♦ x | * f u(x>3+ * , si
k€
2.
P2) C I u IX j I ! * I u ( X ) l
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—
Moisés Lázaro C.
(230)-
x-CxJ^ixiOA Cxl*o,il o, x€
f|) Ixí-fxJ
-‘X-ffx2íSÍ X<0 AIx ls ■-,-2,-1
-i , x 6
-Cx j rsf x es entero P4)
tn x js X
hx < K4-1
y
r l x l - l ,en otro caso.
P8) I x + y l = f x l + íy J v C xlf fyH-1
Ke2 .
CASOS
C-x I 3
P) E*x J = Ex j + £ x + t /2 3 9.
o) si n€ 22* , «l intervul© I K tiene
b) siñ€¿~ } qL
Qí0 : Clc&rckete I 1 «s unentero:.»..-*,-s
cambia de
int erval o
.....
^
Dentro det corche.le Aay-funciones llix) que están acotados por tosenteros "O * y* |j-M**
sentido ■
Ejemplos :
vltl-"" **
— —
SC £ ~ B - 2 y entonces 2 é ~ < 3 « * *
*n & x < n ÍX+D
**•.....-*>-...............’
S i H Vx-1 ][ -
-I k
entonces K 6 Vx-f < k+1 S iK í.o =^ x-1 < ( k + i )z
o) SI n e 7L+ *> I K se alargo. b)
K *+l <. X < 1 K K + 1 )2
K = lo, 1,1,3,...,}
si n6 22 ~ »> I K se otorga y cambio de
5 t fljx - il ]|= K * * i í s I x - i | < k + i
sentido. 4.
K»o«
K = {0 ^ ,2 ,...}
En consecuencia-, cada vez que vemos una funcio'n con máximo entero,se procede a dar un valor entero a resol viendo la inecuación : entero que s e le a s t g r e
5.
.
fj0)[[5X3 = [x|+C x+i/3l+ f x + 2/3 I
lonfí t»d
CASOS
< .
re
>»
luí
X)J y luego hollar los inte»votes para x
[ u J-& uw < I u I +1 > teniendo andado que el valor
a. {[uix)]| d e p e n d e , del RANGO de ta funcion ILO) ,
El gráfico de f
E JE M P LO S
(7 ) Graficor la función f ( x ) ~ I V 3 P j So loe idn y
Sé
tie n e :
mw - í i .
1.
Dom (f ) = Dom (a) : x^,o
Z .
Q m H m r
* t m á x im o
m
i m
o
:
& **
^
■ > F^an^{/u.) ; y>0
=[Vx 1 = K *->
Si K¡to *9
K ±
f x
k7 i
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x dc+i)z
} k es entero
M iscelánea - Problemas
¿ ó i n t e t i 2 m .n d Q :
7 K2 ¿X<^K+1)2 *=to,1
■
0, 0 - x < 1 í ,M x < 4
fíK)SS
2,4-x < 9
D o m ( f ) = x 6 C o, + # >
Rcmg.(f ) * ÍN s jo , 1,2,3 ,— | (2 )
.G r a f ic a r
to función f ( X
J
Soluc ion f.
El
g r á f i c o d e f ( X) so n r e c t o s
>ucws -
X+3
2. D o m (f ) - x 6 IR -
3.
horizontales,proyecciones v e rtic a le sd e
3 l = D o m ía } • , Rong ( f ) ~ 2 . t
-2
< -f
X+ 3
-1 X+ 3
O a—
f(X )=<
1 :—
X+3
J & _ —— . < 3 X+3 < 4 X+ 3
0
, X€ [-5/2,2 > , X€ [ - 2 , + ©> , x e { - ® , - 4>
1
, x€ C - 4 , -7/2 >
2
, x6 c - 7 / 2 , -10/3 >
O
, X€ < - » , - 4 >
-2 - 1 f(X) =
f CXJ as -1
K
-4 J-3 -l
, X6 [ - 2, + 1» > v P r -( 3K+l) ,-( 3 K+ 4? \ _ r ■XfcL K ’ K+1 / K K
O , K * - 1 , K€ Z
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Moisés Lázaro C.
( J )
Graftcar
f {x )
ix M ]
Sol uci ón 1.
£1 gráfico de
f ( x ) = £ X2- 4J
son
los p r o y e c c i o n e s v e r t i c a l e s
v ol o
def i ni do en
Dom (f ) » Bonr>
3.
D efinir el máximo entero
£ X2- 4 j * K + + >
K+4
i
K ¿ X2- 4 < K + t , K € Z
A
X2 < K f 5 k +?<
x
SI X + 3 > O
K — -4
K >-5
Los intervalos para * ve>-4 tienen
K62
m r n m ii -vlt+ 4 1
/
k+T
/
k+ ?
laforrnQ ■
esto in te r se c ció n se cumple só lo p o ro k * - 4
KSZ Poro oigunos enteros K - - 4 ) fafuncio,n f { x ) es
f (X ) = {
en codo i n t e r -
OU*) es un polinomio
K + 4 — -O
- / x T iP
X 2- 4
...
; porgue
m ( x í n/km1 v x ^ - v / í f í T ) a ( - V Sr
h o r i z o n t a l e s , que
K4 4 ¿ X 2 < K + 5
4+
X2-
d e l g r á f i c o 4c
2.
♦*
son segmentos de rec t os
-4
,x é < -),o ]u C o ,i> = < -i,i>
-3
, x6 X -v^.-iJu
-2
, x 6 < - V T , - ' / 5 1J ut/J.v/S1 )
-i
, x £ < - 2 , - v ' T , 3 u [ \Z3\ 2>
o.
, x6 <-vSV* 3
i'
; * 6 < - v í ’ , - ^ 1] u l v ? 1 , # )
z
, x € < -v ? V v?1 > u
[ i . v T 1) -
u [* .vT>
>
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.
Miscelánea - Problemas
@
- 0 —
G r a í ic c i r : f Cx) = DL<=osx|
Solución jt
i)
En
-fex) = [ c o s x j , s e t i e n e
D o m (a ) : x€ IR
¿ux> = c o s x RanoíAx) : Y € E l
^
11
\
V^f
/- 5 J
-i»
-ij[\
íw i
~1T
5^-.
«4— 0
3T1
O
fW
o
4 OomT^)= Dorn(u) : x€l& 1)
Ahoroi definimos el ma.yor entero
E co s* 1 = -1 ^
- l^ c o s x -
([COSX J
V
~ <
X
Como
< -|*1T
V
- H c o s x ^ l ^entonces t c°Sx]J={-1>oi}
. ¿T T
<
X
,!(» « ) „ « « W f
< 2JI V . . . . . r U
J
Kspar
T~~ * — 2—
L
ssO . >► O - COSX < 1 .....v -a ¿
X íf
v
ft is x s
5. í t v .....
- ^
x*o
[ 2 * ^ 2 , E í E 1]
K=impw
(|í+im
n ca £cosx J
=5.1
*-*, f = COSX , no puede s e r : 4 X - 2 K.TT , X € 2
1< cosx<2
En consecuencia , lo regla de correspondencia de f ( X) = ¡ [ e o s x j e s '
’-l f (X) =
'
0 1
O TR O S ( 5)
G ro fic a r
, Si * € ] & £ ? * , « ™
[
. , « _ par
, sí * £ [S ™ ? , £í¿2L"]-{
^ K= Cmpar
, Si X •r.zn'H
E JE M P L O S
DE
FUNCIONES CON
MAXIMO
EN TER O
f (x )= 2 [ - 2 X - 3 J + £ - 2 X 4 - 6 B - 2 X
Solución f.
Aplicando la propiedad f (X)
- 2 (1-2X1
?
= 2 l-2 x l-'6
-3 )
P, , la función f { X ) se reduce a lo siguiente !
+ I- 2 X J + 6 - 2 X ’ +¡[-2Xl + 6 - 2 X
= 3 't - 2X J - 2 X
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Moisés lázaro C.
2. Definir t[~ 2X Upará todos los enteros — , - 1, o. i,•••
y
y lo función f(x) se reduce o lo siguiente De f ( X ) =
“ H-5 --*4
3 Í - 2 X ] I - 2X «SNTFRO
f (X ) »
3 (-1 ) - 2 X
,
£i - I Í - 2 X
3 (O)
—2X
,
SÍ O - - 2 X
3 (i )
— 2X
,
<.0 <1
I — - 2X < 2
— f— — — -
, O < X *
- 3 - 2X - 2X
¡s:
1/2
1/2
1/2
, -1/2 < X ^ O
f
\
-1<
X — — 1/ 2
^ D o m f#)
@
s R
■ ' ~ f* a n g (* ) =
?
J r * r * í u í ° j [ u
[*> 5 [u
Grafícor f tx » = f x f f j ]
SOLUCION
Tener en cuento Q u e f-j-J y | * f ^ | | son enteros . 1. Dom ( f ) == x €
- { 0 } == <~po,o > u <ó, + ©>
2. Analicemos paro x>o y poro x < o A)
x >o
Para
Definomos|~-j==n
B)
pora n= o , 1,2 ,3 ,....
frl =n
Defina mos
W - "
Bf)
;j.j= 0 por x
xJ y
I í* [ =*
t
~
0 aíi - ' 1
-L a -L<1 ^ x >o a 5lS o
J = 0 «-► x > t
P o ra
si
x
J == n , si n = <-> n -
,-3,~ 2',-
n =-1
B-I=- « -V-T
<->
x
-1
miiftiplicor por x = - m , m € Z +
■ * > ’
É =0
f(X)=0,SÍX>1
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Miscelánea - Problemas
A J si n >o :• 2 n *+
w
Aplicar.máximo entero n -
—
< n +1
x
,£ xÍ t J .
x > — x n+i
n
m -
f(x)
-m
por x :
x £ - * -] =nx
£
«-»
*
x
> -
(m+ t )
a nx > f (x) = m
[ f j =nx
x ( - i )
< nx ¿
n+1
-(m + 1 ) < x
<-m ,m € Z *
1 B 2 ) si n < - i , e s
d e c ir
4,-
n=
3, - 2
definimos!
<-* o < nx
< 1
v
n x *i-í
n -
- y- < n + 1
x »
x é ix|t
J
n+1
£ XI T i l i = 0
iP o rn
.s' x = jr
x í{ 7 ] 1
<
nx
í
— n
= 1,s¡ x = y O <
nx
-
1
s> I f( X) »
1, SÍ XJS*—
Resumiendo.^
O , x >i f (X) = i o
í
• “rTiT< x ( } ' " e z +
, x =*— , n é H +
J -J x
a°
V
[ijx-'.sixzfi
f ( X) f
< X < -y-
Hs-2,-3,-4
f(X) « 11SÍ X = 7P n --2,-3,-4,...
Resumiendo! m ,-( m+i) < x <-m , m 6 Z * f (x)=
0
• n Í r
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(? ^
Graficar
f ix í = [
xJ
4* £ - x
J
n o ta : T
Solución
1. Úominio .* x € IR. 2. Vamos a definir [ x j y I~xJ A)
si x * n
# ( x l *B ff n
V
\-*¡[xl+ E-x 1®
=- n/
*
Por ejemplo *. De 1< 2 sed ed u ce; l 1 Aplicar EL1 Por -1 4 4 W s» i ApUcar C H
"n + " _ T = o
C.-X-J--2 D e. t < * < 7
í ñ+1)
- ( n f i n -*x < - n »
V
.(£-* J * - ( n+r)
, se deduce:
? 2 3 4 «l c^ ? St HX <2 =1 3t 5$*
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Sumar: f ' x J + C -x 'J * n - ( n + i ) »'-1 t si n < x < n + i 0 r si
0
3. Luego donde
f (X ) * | x j + f - x J =
si n < x < n+1 , n 6 Z
Rang ( f ) = { 0 , 1 }
-3
-2
•-
8)
-1
x * n *n € Z
t1
•
•
I x - H x U I , si 1 x 3
es por
| x - C x +12 [, si C x I
es impar.
Graftcar f (X ) = <
Solución 1. A nal i ce mos
f,tx)= | x - ttxfll , [[xB es'par
si £ x J es par, definimos; lx j =
' 2n ~ x
2n
>»
X
< 2n + f
,nez
e [ 2 n , 2 n +1 > = A
Luego .* x - 2n
, si x —2n - O A
xBA
.....
*r\
2fHI
Jtn
■ i — w*n
*€[>n»2n-H>
1x -2n I =
tyx) = I x - 2 n I = x - 2 n
f,{X ) = x ~2n , x 6 [
, s i 2 n -c x < zrM-1
zn
, 2 n +i >
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Moisés Lázaro C.
x +2 , x € [-2 ;-i> ,si n = -i , x 6 [ 0 ,1 > , si n = o
x
X— Z.
2 ,
Xe
[ 2 , 3>
Ahora analicem os : sifxj [
es
1
=: l x - B > + 1 ] } | = t x ~ f t x j - i j
i m p a r , def i mmos
x 1 = 2n*M
Luego !
, si n -
<~t
2 n + 'l ~
x <
2n
++
x 6 [ 2 n + i ,2 n + 2
+ 2 >= B
| x - ( 2 n + i ) ~ t | = | x - 2n - - 2 |
Donde x —2n*■2
, si
x-2n~2
- o
a
x 6 8
*¿.20+2.* X$B
.
2ívm
zn$2
1 • 20+1
¿U ^ 2H-+2
|x-2n-2|=s •*(x **2,n — 2) , si
|x-2n-2l= - ( x - 2n -2) Luogo :
f2í x ) ~
El gráfico de
J
2Í141 ¿ X < 2n+2
-(x-2n~2) *-x
,
x -2n - 2 < 0 a x € B X <. 20+2 A», x € B
,X £ [ 2 0 + í , 20 +
2>
ne2T
, x 6 [ -i ,0) ,s i n = - t
-X + 2
, X€
-X 4 4
, x l [3,4>
[ 1,2 )
, si 0 = 0 , si 0 = 1
x " 2n > * € | -(x ~ 2 n -2 ) , * € [zn+i,2rt+2>
Donde
Rong = [o , 1J
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Miscelánéa - Problemas
m)
SIGNO
DE X -i , sí x < o o , si x = o
Lo definición de función signo de x es .* sgn( x ) = D o n d e : Dorr>(sgn)= fR
R o n g (s g «) = {-1 ,o ,1 J
[
f , Si X > O
Pero, sí en lugor de "x " se escribe otro 'función u(x), entonces definimos* , si U (X ) < 0 Bon(sgou
r- i sgn{u(xj) » < 0
, si U Cx i » 0*
1 , si U( X) >0
' A
A
Limdgenes
Lr esfricciones
Donde observamos que las imágenes son-¡-1, 0 , i} y los re stricc io n e s Son los inecuaciones: u(x) < o ? u(xl > o
y la ecuación u(x) =o que deberán
resolverse paro hallar los valores de x. Ejemplos @
G ro fic a r
f ( x ) = sgn ( x2- 4 )
$ a lu cia n
f.
signo de ( x 2- 4 ) , se obtiene ;
Al definir la función
y - 1 ,SI
h
fíx)ssgn (x2-* 4) =
X - 4 < 0
0 , Si X2 - 4 = 0
*
1 , -I
f(X) ss
Luego :
SI
X
, SÍ - 2 < X <
O
,S Í
X = í 2
t
,S i
X >2 V
- 4 >0 2
2
-2
X <- 2 2
. ' .
Dom ( f ) = É Rong ( f ) = | - i , o , i j
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y=-i
X
Moisés Lázaro C.
(? )
f c x)
G ra fica r
‘jQLüctQN : •1.
2
=
sgn
v^x-i1
.
tiene u.(xi - / xh T
D o m ( f ) z D o m (u ) :
x -1 > o
=>
x > i
Al d e f i n i r si gno / x - i \ obtendremos'.
2.
2 ( - 1 ) j si
< o * * e s absurdo,.
f(-X)sfi|2(0) , SÍ VrX;- l ‘ *Íp X t i ) , SÍ
y ^ n
>0
I 'fíxr=
8,32.1
o
, X = I
2
, X
3
a
>1
GRAFICO
OE
FUNCIONES
COMBINANDO E L V A LO R
A B S O L U T O , CON M A X I M O E N T E R O
(T )
2
Y SIGNO
DE X
Hottor el dominio , rango y bosque ja r el gráfico de la funcio'n f definida en JR por *
3- x f (X ) * -
1*1 - t x J
Solución t.
Como
fe XI
es una función raciono^ entonces e I denom inador debe
ser diferente de
cero.
Es decir * ; Txi- Ix l * 0 o
| xf # f x |
, donde [ x ] € 1
Resglver: J-x.I s f * ] ** Cx 1 ~ O x>o
A
j x = ff x J
A
V
x=-£xj j
V
x =0
|
¡hT~ Luego:
el conjunto solución de Ig ecuacidh IxI — C x 1 =s o es fcs-rN
3. Por tanto :
Dom (f) = x e(/R -IN )
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Miscelánea - Problemas
4. Definamos el valor absoluto Ixl del denomnodor de f(x) y asi obtendremos dos fom i tíos de funcione s Veomos ! Oe
fu )
*-
3 -
x
Dom(f) = IR/* IN
ix r - ix 3
si x ai o , entonces 3 — x
f un
x -E x J 3 - X X
f i x )«
0 < X < 1
•
3
X
X -
I
si x < o , e n t o n c e s ;
1 <; X < 2
2
.
3 - X
X-3
-X> I
X-í
3 —X
X-3
-X + 2
f (xl*.
3 - X
%;-* x*
-x - E x 3
3
1
• i * x
X —2
x
, - 3 & X <- 2
r4C4*3
X - 2
I z J L r-i - 3 < x < 4 X —3
,4
3- X
X -3
-X4-4
X- 4
< X <5
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-4 -
X <-3
.6.
Rong ( f } ~ y
€
> ü
f - 1 } iJ
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M iscelánea - Problemas
(T )
sean
t)
f = j ( x ,-|- v /» - x * * ) / l x l - 3 < © } g
sgn
—
[^ r K
( ^ “^ p )
,
Hallar el dominio de H i x ) » f ( x ) .g ( x ) + ft(x)
ü ) Bosquejar el gráfico de H
Dom* ( H ) == Dom ( f ) n O o m ( g ) n Oom ( h )
2)
Debemos bollar el ddmmto de f , g
y h.
Veamos : 3 ) Hollemos el dominio Como
de f
fex)38 *1“*i / t - x ] , si ix I - 3
f es : x € Dom { f )
*->
9—
<-* H
«->.
— o
X2 £ -
-3¿
X i
a 9
3
A A
X 6 <-3,~ 3 >
Dom (f ) a* x € < - 3 , -3 > Luego ;
f
v4 - x2
lxl-3 < o
X < - 3 ,3>
Sólo fines educativos - FreeLibros
IX I
-3
<
< 3 X <
3
Moi e Lazaro C
4.
Hollemos el dominio de g ; Como g{x i = sen ^ a si
^ 9definamos
la f u n c i ó n
.
g
x + ?- s o , VJLiLza
o
*
i
X- 2
X = ~ 2 ,
^ J L íjL > o
x € <2 ,+ © >
X—2
Resolver
signo de u(x
— -■>
O
X- 2 X
>- 2
-2
Bes0(v#r: v ^
A
X-2 < O
A
X < 2
2
=
X -2
Resol ver ; J Ó í £ ¿ x -2
>o
VT+T > o
A
X- 2 > 0
x >-2
A
X > 2
4*
-2
2
x € < 2, + oo > 5.
Ha f i e m o s
Como
el
h ( X ) '=*
éo m in ió
de
h.
2X+6 X+ 4
2+
2X + 6
] -
2 X+ 4
f
—2 x
-e -
I-
-2
Sólo fines educativos - FreeLibros
2
Miscelánea - Problemas
llf x )
X 4*4
A n a liz a n d o el denominador, obtenemos
6.
Ahora , hollemos la fundón
H íx )
Dom(h } =
f (x ) g (x r
IR —1 - 4 }
+
h .ex-)
Lo formo mos sencillo de hollár el producto f.g y lo sumo f.g+h es diagromondo en lo recto reol codo función r poro observar y hallor lo intersección de los dominios y luego operar el producto y la sumo de funciones:
7.
^
,— — t
i3. / 9 -x 2
Por. tanto ~ \Z9- X*' ( - 1) + 1 + £ - - ^ - J
ffx >gc xr *h(x) a 4
V 9 - x*'( O ) 4- 1 f £ -
,-2
j
< X < 2
, x*-2
2
A h o ra d e b e m o s coi cu la r valo < - 2, 2 >^ en el p u n to
Para ello
p ro c e d a m o s En Sum ar
4
:
v a lo r d e l e n te ro t **4! en ínter x = -2 y en intervalo < 2 , 3 ;>.
Qt
a c lo ta p i
:
-2 < x < 2
2 < x+ 4 < 6
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C.
Aplicar I B ' .
b)
~
1 = ~1
3i x =-Z =»
c)
En
2 <•* < 3 £ < *+4 < 7
Sumar 4 ; in v e rtir
:
±
> ±
> ± -
. 1 < -_ 2 _ c '- i -
p or - Z
3
x+4
-V3 -V7 Aplicar t í
7
O
>
En consecuencia* lo funeidn H ex) se reduce a lo sígte : , - i < X < 2 Htx)
X = - 2 —
2 < X < 3
— x?i
10. El gráfico de Hfx)
;
Sólo fines educativos - FreeLibros
Miscelánea - Problemas
©
Sea la función
y = f ( x ) . definida por f (.x)
VZX^~161
=
|
[x * -i
ó } Ñafiar eI dominio de f . b } Gr af i oor f ( x )
Solución a)
Hallemos el dominio de f analizando la rai 2 y e f denominador i x e Dom ( f )
44
x* - 1 6 -
44
x* a 16
O
A
[ x * - t
;
A
R - f
44 ( x 3*4 V X flft-4 )
A
44 ( X — 4
A
V X
4 )
■ -y y r
*4
■-ÍR -
6 ]¿ 0
x6 I R / £ x * - « I - o f
< -v1 tl-4 3 ü
C 4 ,|# l >
< - ® , V ? 7 j U < - 4 , 4 > U [ v / f ’. - f ® )
-4
4
v^1
x € < - » , -y ír1 l u C v ^ . + é > - Dome*)
Luego ! Oom ( f
x€
)=
y/ñi
<-oo
J U
Cy/íP.+oo >
, V i - p * 4-12
Al resolver
f XZ- t 6 Í = 0
44
xf —
44
O * X - 16 < 1
44
® á
16
XJ
A
( X - 4
V
XSÉ-4
I
17
x* < 1 7
• !
44
<
:
A
- v'F1
'
< X
■
<
VTP
-------:---- -— —<|HüiltlIilÉA -X w m m m ► -
—4
y/W1
x € < - # , -43 ü C4 .-VW >
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C, —
V x 2- ^
se obtiene f oVifmente dondo valores
b j £ I gráfico de f ( x ) «s f x ’- . J
enteros a £ x 2- 4 J , tal que no seo cero y teniendo en cuento el domi„ nio de f . El problemo
en esje coso , consiste en precisar
empezar o operar ?
Veamos Definimos : f x 2~ 4 j »
x
k
** x* - 4 < k-m
K+ 4 e
x2 >, K+4 ( * ^ / k +4
X2 (
; xe?
K 4*5
x2
a
V X S - f iS h l) A ^ ^ K Í i
-v¡s? -v E íí
«
< X < /
/ES
M
k
+S )
-V W
" )
Para Inter Secta r con e) dcvrumn de í , debe ser k+4 =17 =$> * - 13.9 K>13 R e su m ien d o.
x € ]-V * + 5 r v /íS ]u [V k S ^ ^ s C
H * t = ¿ ¡E ±
K
'
K€2.
x e ] - /i- v ^ J u C v 'ñ , vlg^ tí
’
, IÍM
; k> .13
X6 ]-V?5, 0 Í J u [vfíe v i ? £
, ^ ].v S i. v ^ } u [ v ^ iN^ ,[
Sólo fines educativos - FreeLibros
Miscelánea - Problemas
(7 )
seo
lo fimcidh real
o ) Sra fie o r
f (x i = | 2x - 1 1 - 1
g
)-
b ) si g (x) esto definido enCi/4,3/4>
y h (x
ía inversa de u (x )
graficar
)Va
g (x ) , 1/4 * x < 3/4 hCX 1, X * ; 3 / 4 ,
c)
Hallar la inversa de u (x)
Solución
< 2. f(X)ss
)= | 2 ( 2 X -I ) - 1 M * | 4X - 3 I - f f ( 2X- I )=
f fl-2X)J I
« |— 4X4 11 — I
» Í 4X- 1Í - 1
Luego .* | 4 X- 3 1 - 1 — 14X— 114- i - Ahora analtcam ós las valores a b s o lu to s : |4x-3l y |4x-l| . ( - ( 4 X - 3 ) - ( - 4 X + 1))^,SÍ
_
X < 1/4
| 4 X — 3| — ( 4 X - 1 [
[ - { 4 X - 3 ) - ( 4 _ X - 1 >]£,S¡ 1/4 — X < 3 /4
2
U X - 3 - ( 4X- . I
?SÍ
X*3/4
. Los puntos crítico s x - ’/4 H ^ - ^ 4 disiden (párticiónan) a la re cta recxl en tres intervalos • E n acida, interva lo s e a n a lie a el sioiio d e c a d a v a la r ab soluto . • ■
xo/V
L o fu n d a n §o<)
x ^.3^4
>/+¿x<^4
«/4
3/4
re d u c id a ( e-s v ✓
1
gtx):
, X < 1/4
-4 X + 2
, 1/4* X
< 3 /4
-1
, X * 3/4
Sólo fines educativos - FreeLibros
Como uí x) y su inverso son simétricos con respecto o lo recto ys x, entonces
el g rá f i c o de lo inversa de u ( x r se obtiene por .simetría.
Veamos
c)
Como u íx) es I-*
hallemos lo
inyeetivo r entonces existe ta in versa de uexv. inversa de g
tíoser § í x t » y
«I
tx) = -4 x + 2 ;
x
6 í 1/ 4 , 3/4 >
y =s-4x + 2 4xss_ y + £
X 3S -J- y 4
t ye
f*«y)
=> . g~?{x ) « - ¿ x t *5- , x € <-í,i 3 2^® Hallemos la inversa de h(X) == -j- ( x Hocer h (x) = y
=>
y =~-(x-*|-)
Sólo fines educativos - FreeLibros
+ 2 +2
x * 3/4
M iscelánea - Problemas
< §> -
/ =S>
3
A*
t
;
' (
x “
=> l >
-
í
i
H a
K
II V
í
x = — +
\/y-2 , y 6 [ h1 3 /4 ) , h
. h-'(y)___
=>
■(,-» ( X ) s a i + 2
Por tanto
y / X - 2* , X
. i x +
i ,
6 [ > , + » )'
X
U*'(Xj i
+ 2
, X[*,+•)
Solución 1. Ho Mimos en I - * logar el domio de f. Poro ello ano Meemos el denomino dor y la ra i2 cuadrado, asi': x 6 Dom(f)
*-£*1«-*
2 -íx J > o
W
£x I < 2
X
0
a
2- f x j # o
<2
DOMIN 10 2. Definir el valor óbsoluto I x I
«n
x < 2/
Ixfft-x
3. Al definir txl ¥ x a ki función í m se desdobla: V2 -
f si
xxo
ttx i
f <*> = <
x -S >l
, si o * x < 2
\/z t 3
Sólo fines educativos - FreeLibros
X <0
1x1=3, °00x<2
punto crítico de 1* 1; es x=o
Moisés Lázaro C ;
4 , Ahora J definam os
m ayor
entero
ÍL*I
^xeiR/x<¡>..
Una m anera muy se n cilla efe definir el MAyoR e n te ro [x]] pana x<2 e s o b s e r v a n d o e n la re cta r e a l . Ix B r -2
-OS
A sí
tx != -i
---------- -o©—
-2
-2*x<-1 "1
“í+ x co
#
1x11=0 O
ix i- i
—:
O*-------- — ■ — —O
0*x
I
1¿x<2
Z
fcx> e s : X- I
, si 1* X < 2
X vT»
, si 0*X < 1
f(X) = -X + 1
, f» - í «
X < 0
V T
~X+ 2 2 ~x+3
,
-2 * X < - 1
*
-3 ir x < -2
sea la f une ion f ex > •
x I x —I xl I
Hollar el dominio y rango de f.
lxl-|x 3
Solución 1.
EL Dominio de f ; x € Dom ( f )
A noli zomas safo eí denominador '
<=?> I x l - f x J ^ 0
si x& o
•> [x ]»x * > x € fN
<»> l f - { x € IR /tx i-1x1=0}, donde ‘f x f - fxf*^
V
^ si X <0 <3s>
tu s
s*x|x|*-x m 0
- | o , i , 2 , 3 , ............ }
=> Dom (f ) = x € { IR - IH) Én lo recto real, el dominio de f es 2.
Rango de f
Pora lid llar
- 2 - 1 0 1
2
3
4
5
—h — <— - o— o—-o— o— o-— o-
el rango , definir el valor absoluto y
el máximo entero en cada intervalo de lo forma < K , x+f > para k* o ,i;z,...y en cada intervalo de lo forma [ k , k + i >
pora
k = - i . - 2 . - 3 , ......
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M iscelánea - Problemas
X I X -x i
x- 2 X IX - X I
- ^
2 < X <3
o
, 2 < x <3 , donde y = o
o
, i < x <2 , donde y =o , o < x
?
1< X <2
o
X I X - XI X -0
,
0
-2 X 7*i*x < o, donde y€ C-ifo> 1 -X
X 1X4X1 -X +1
, -i e» x < o
X I X+ XI -X-+ 2
^ -2 * x <-i
X -1
-
f u>*
s>
X 1X4X1 -X + 3
;
- 2X
2- X - 2X
3- X
, -26 x <- t , donde y 6 C-2,-2/3 > , -3 6 x < -2 , donde *C-3 ,-e/5>
-3 6 X < - 2
Rong (f )®fo} ü r - i , o > u [ - e . - e / s ) u [ - 3 , - e / 5 > u
3.
G rá fico
de
f(X)
Sólo fines educativos - FreeLibros
(0 )
Moisés Lázaro C.
---
^7^ Hollar el dominio* y rango de los funciones a)
f ( X ) = /ix l* - I ( x l
¿I ’
x | x - Ix I I
b ) g ix ) = SOLUCION dt o) t . CALCU LO D EL Anúlizor
P O M IN IO
lo S & b ra é ic Q l
DÉ f
'
.2
Ix I - I Ix I *#>2 1 £ o f
tf
I
X I*
85
x2 - ( IxI + 2 } ^ o , ptüs s i. .
*
X2
. '
,
.. .
.
i frx>+?fa fxL+2 , porque*/1x1+2¿*o V x € IR
ft X - Ixl - 2 £ 0 ■■ ■•*»»-*
At )
SÍ
X ^ O
Ix I =8X
=>
X2 — X— 2 ^ O
At« x e [2,+»> -I
O
2
( X - 2 ) { X + t . ) áf 0
Af )
si
X
*>
x 4* x - 2 ^ O ( X + 2 ) { X- l ) ^ 0
.m mó -2
l y - d O 1
A2 =
X
e <~GD , - 2 ]
Sólo fines educativos - FreeLibros
Miscelánea - Problemas
Bf ) En lo 1~ imogen f t( X ) s y
02 ) En la Segundo imagen , ( X ) = y = / x‘ + x - i
ss y / X 2- X - 2 1
x2 - x ^ - J L - ?
y = s -/ x * + X + -5 --y --2 l y * y/( x + ^ - f - • J ^ 1
sí x € C 2,00) ~> =>
X - - í - ái —
2
como Xe <-00,-2 3 => X ^ -2
Xi 2 2
•
=>
X+
— -2 + y
t =>
{ X --1
v
a, / i x - ± f . ± ' é
>
/ w ¿ 1 %*
{ X + j
/
-
•
—
y —
~
O
t o qc/e l o s e x tr e m o s son po s it tv o s D o r a ”
to d o x íz—Z .
y *
=>
04
e le v a r c u a d r a d o , puss
0
O
r
=> / ( x + 4 - ) * -
4 ./
- 0
y- o
Luego .* Rong ( ff ) = y 6 C o, +00 > Luego
Rong ( f2 )= y 6 C o , +00 >
Por tonto el rengo de f será : Rong (f )= Rong (
)
U Rong (f¿)
= y 6 [ o , + oo > S o l u c ió n de b )
§(* ) =
x | x- ixj|
)(l+ \/C x fl-x')
1. Para funciones que tienen Raíz c u a d r a d a ^ lo primero que de be reí h a cerse es } ánaltsar Iq subradtcal . £n ®ete problema haremos 1 x -IM ^ O a E x l-X . - x + í j x i so a>i ^*
Ex. B < x
a
La solución d e a s t a in e c u a ción e s todo flR ¿)
x ^ E *3 t a soiucioh d e es t a in e c u a c io h es : S .
La inecuación : (T x Il< x < E x | l+ 1 s e cum ple -para v x £ |R Pues : 1 x 3 = K «=* K 6 x < K + 1 ^ |xl<: x < E x l + 1
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C. íi)
x * í* l
<£=>
x = |£xj
X < Ix-J
'------*
2.
Como
%(k > -
'2
H*> Hoq. u(y)
siendo <
{< * ) s x | x - I x l j
Danr»(4) = ÍR
^Ot) z 1 - \ / x - |[ x ¿
^
ÉNarn(hl * ÍF?
ttcx> = 1+ V l M - x
,
D o m (U )ís Z
S e iendm t : Dom (%> =. Dom ( i ) n D o m (h i n Q om Ou) ? h o o ^ o , ucx>£0
2:
3.
¥
x6 I
s e cumple
Lyega :
1 \/* - f x D
sgtx) ss x| x - t x i |
,
l x -( - x ) |
= í1-2X2 °
st x ^ o
»
-2-1
*
3
4
5
y s í x
X 4 - - -2
? xs l ~
*e 2f+w{o) « r -
,’
é - ...... - 8
4 R a n g (§ ) = { o >-2 J - 8 ^ - t S - - , -*** . . . . } K e a r-. .
PROBLEMA : Docks Iq Luncion Se
=0
V
? x €']£*« {o }
■i.x |2.xt S
\/|xJ - X
, x€ %
x|x- x |
O
A
=0
&s/- X
t<>0 =
-9X-2Q
- I x t 8 | -t-x
|x+3| + |x+G| + |x-1{ 4 -x + 4
p id e :
a) Hallar «d dominio de f b)
SfCLficcir
c)
Hallar el
f (x). Ba¿N©e de {• .
SOLUCION
1-
En
Primer tugar
La
re s tric c ió n ( O
a n a liza r t£x
Ra í z
cuadrada
universo) 2 S - x 2- 9 x - 2 0 > 0
'
•
4=4 x24*9x>20 ¿ O 44 (* +S)(x + 4 ) < 0
2. En Seoundo logar anáLizor el s i^ n a de cada va/or a b s o lu to } a p a rtir d e - 5 £ :X é r - 4
-5
-«
X € C -5 ,-4 ]
i « um ar 8 : 3 .< x+8 <. 4
i
|x+8l=x+8
sumctr 3 - 2
±
x+3 ¿--1
IX+ 3|=:-x-3
sum ar
q
i< :x + g f2 * Ix+6|s * * £
Sólo fines educativos - FreeLibros
sumar -1 - g < x- i ^ - 5 i |x,t|s-.x+1
Miscelánea - Problemas
3.
. Sustituir en f t x ): $(x) - — 8 y^-x2-9 x 20 -(*+S)+x
- x-3 +* +G- x- M + *44
8y-X -9X-20 - 8
,
■f«) = \/-x2_9 x-2 0 -1
x e e -s
-o
¡y -* -4
r H : ......... ...... -Vt -i
c) calculo dei rango
a
p a r tird é S u m o r l.
* -4
“ 5 ~
“t 4 *+§
* .< * ♦ *> * 4
V
)l
O£ V
* + §• < ±
o
J-
y V
0 Í 4 '
V
-1 < ^ - 1
sumar - í
0$
v
J >, ( * + f f > 0 í _ (*+f
, fo rn rre rn o s
- 5* | t x + | < - 4 + | 4
4
*
^ »• 'i
V
'iO
-4-
> ,-i -j— ’
y
y
PROBLEMA 8 Do dos los funciones .* l + X
f ( x>-
-1 <
>
/ixíTr
X*
S
I x I £ s g n CJt' lf
,
- 31
#
- 3 < x
< 1
X
|
<
4
§ (X ) ■ / x
4 *
x'‘ *
f g
o )
Hoffor lo función
producto
b )
Hollar la función
compuesto
r
y
gr&fimrto.
Sólo fines educativos - FreeLibros
4luí*tr:
Moisés Lázatip C-
Solución de o) I.
En
f(X ),
Ii b r o m o s
debemos
i nt er v al o
-i
si
U (X)
K —
<
x
< t , par a < K*-f 1
del
máximo
e l l o t d e b e mo s recordar
i mpl i co £ U (X ) J -
K
a p ar t i r
entero la
del
definición!
siendo k € 22
Veomos si -1 < x < 1
=> ex t r ae r
1 < X+ 2 < 3
sumor 2
RAIZ
invertir
1 < I X+ 2 I < 3
...
=>
i < \/T7777 < s/T
=>
I
1
>
>
V^IX + 21*
Com o: ‘ o
f
jé
I
/P
v'TxTi?
< 1
1 /P
f
implica
vT x+ir
Luego f ex> se convierte en ;
X
, -
t
< X
s
,
X 25 1
<1
f ( X> •
2. in g (X) , debemos cuento
libremos
de tx I y de £sgn(X)J teniendo en
le resfriecio'n - 3 < X < 4-
Veomos: X \
i)
X\
I x ls —x_______ lxl= x i. .. ■— ........ — i.
, O- X < 4 , , - f < X <
' O
—
— -3
i i ) Oe lodefiniciónde signo de x ‘ - 1 sgn(x) =s {
, si . x < o
O , si x *o t
, si x > o
Sólo fines educativos - FreeLibros
Miscelánea - Problemas
Deducimos si x < o
entonces sgn ( x) =- t y por tonto f sgn ( x ) J =-1
si x
entonces sgn ( X )
s*o
si x > o
= 0
entonces sgn ( X ) =
y por tonto
£
sgn (x) J
y por tonto
[
sgn (x ) | =
1
= 0 1
ti i) Poro multipficor ios funciones fx| y [ sgn (x)J,se intersecton los dominios Así :
(tsgntx)J = 1 ts^ncx)D=0
Es§n
?v) De esto monero , io función g( x)
se reduce o lo siguiente .*
( - X ) ( - 1 ) , si - 3 < X < 0
g
, si
( X ) { 0)
X* 0
x
, si - 3 < x
o
, si
x
, si o < x
x mo
= > g ( x )=
í X) (1)
, si
0
v/x- 3»
, si
46 X é 7
v / x - 7 , si 4 * X
^ _ 3 < x <4
X g(x) = <
/x-3‘ , 4 £ X£? 1
3.
Como fas funciones f y g se han reducido a Jo sigte
f(x) =
< o
x
, -i
< x
5
, x - t
< i
x
, x € 1 -3 ,4 C
/x-3 '
,*X 6 C 4 , 7 3
g (x) =
Ahora, hallemos el producto f g : Xntuttivonnenfe. es sencillo si observam os ern e l s ig u ie n te dicL^rcxmcL '
Sólo fines educativos - FreeLibros
<4 * 7
Moisés Lázaro C.
En coda interseca ton que observemos en el diagrama > Se ho u Ce la multipltcactort . abien-ien dose : '
5X 5 n/x- 3 • s o l u c ió n
b)
de
^cx) =
-1
, *
Se pide bailar
*
,
V*Z?
í ó§
*£ > 3 , 4 [
— —
,■x c ' C ^ T ]
¡ i |
[ x Ib
-f ( x ) :
> ,
,
LJ© xe [T ,+ o o [
Com o
g
tie n e
dos
im á g e n e s
§
“*
^
f
tiene
dos
im a g e n ® 3
í =^
==
la
composición
f© g
la.
h a lla re m o s
X
5
en
4
p a rte s .
V eam os '
© i, Dom ( ^
■ «)
j
x / x€ DomC^ a %,C'x) € D om (£ ,) J X € 3-3,¿MI a x € 3 -M C x € j - 3 , 4 c n ] - i ; ic - x e ]-i,i[ -3
(í»o 8 ,)(x j ¿ - Í 1 (x ) = X
, pues g, Cx)
1
-i
n X
Luego :■ ©
t)
Dorri (f z ° § t )
= | x € / * e D o m (§ ,) X €1-3,4 [
a
A
Sp<> € D o m C íz l} x € [1,+ oot
x e ] -3 , a l O [1 ,0 0 Q X €
C1,-4E-
= D ,4 L üy
© ° §,)<*> .= f íf s ,(x ó -^ ( y )
pues g, (x> - x ^
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Miscelánea - Problemas
lu e go:
(D
i)
(^2°§l)
D o m ( i 1D g 2 )
Z
{ X/
X € D o m ( § 2)
a | 2(x y e D o m ($*>
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A \^ 3* € 3 - 1^1 [ A
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= 14,7] nC3,4C; = 0 Luego ; ^
}
f i° § 2
D o m ^ o g j ) = | x / x e D o m íS z V
XtGVU'
a
g 2cx) e O o r n ( í z )
}
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E »,7 ]
-
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(f20g2)
f 2 (W X-3*)
=s U<2 § 0 *.
( f 2 0 g 2)(x ) s: 5 , X € [ 4 , 7 ]
J
* , X € E-1, it
"1 V 3U greifteo:
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x € t f;,7)
.
Moisés Lázaro C.
(0 }
PROBLEMA ai <3ra{¿car y hallar el ran^o de í
D e b e m o s d e s h a c e rn o s
d e los va lo re s a b s o lu to s .
ello pro c e d e m o s d e l stgtfe-rnodo •
^°) O b t e n e r t od b s fos puntos crí ii m s *-\ ^ I * * 1~ ° ja* x ~1 \ne. | lx - t f-2 1 = O |y - l|- 2 = 0 f*) U b i c a r los puntos c r í t i c o s X -í = 2 en Ja retóte resal. • *
-i
3°) E n
cada
a) b* t C) d)
in te rv a lo
.
r4
¿anOffescif
!d e lo s va lo re s a b s o l u t o s *
I X - 1 - 2 | = lx- 3l « # £ « * 4 m - | X-1 - 2 |
$4
j-f r r í
Í
X4-1
fttf. ^
x = 3
Jfeó r | e t - x - 1 1 _ Ix+i | = - x - í = ( - * > # - * 1 = I-X-1| = |X + 1| =
í
ti
■ t.
-x+3 X-3
>
X<-1
,
< - ,í*x* < isx<. *^3
, ,
R o n ^ ( t ) =. y e. to ^
Ix -1 ! = 2 V x - 1 = -2 V x --1
X+ 1
= -x+3
1 3
ód )
Do do lo función
PROBLEMA 9
f ÍX> = * * | - T
J
a ) Hoflor el rrngo
b ) Graficar f
, $ i x e < 0, « ]
- 4X J y |
de f .
(X) .
Solución de o) f. Como í * J
>M
son enteros , debemos hallar los intervalos en el
que estos mox irnos
enteros
es fon definidos
-V X €
Veamos i)
-f-
<
K 4,
«>
[
f
| = k
2K — X < 2 ( K4*M » >
U b
= o : o ^ x <2
m>
|* j
|= 0
, K «1 : 2 * X < 4
=*> f - f - J 32 1
kK = 2
4~ X <6
=> IT-r I s 2
‘ K * 1
6 o
x
< 8 ' *>
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| -A . J
ss 3
Miscelánea - ..Problemas,
U )
Si
K * - i
< K4 1
«>
f “v | s
K
• 3 K *. X < 3 ( K f t í
=> f *3^1 s
K*0
:0 * X
<3
*>
K al
; 3 * X < 6 s> | ¿ J a
K -2 : 2.
£n el intervalo < o ; G ]
f
[4 1 * 2
tra fiq u e m o s v r e s f s e c t i v a m e n t e ; tosin
intervalos en ope esta h d e fin id o s [ 4 J V 1"% 1 Luego , hadam os las o p e ra c io n e s d « p r o d u c t o m s u m a en ca d a intersección Pa/tx e x p re sa r fcx) d e m ane/a re n c illa , e exD llclta -
|4 i= o
W b=i
tt)=o Luego! f c x ) * x 2 [ 4 3 “ 4 x [ 4 1
f(x) =
X2 ( 0 ) - 4 X { 0 >
, SÍ 0 < X < 2 , Si 2 * X < 3
X2C1 ) - 4 X
(1)
, Si 3 * X < 4
J?{2)-4X
(1 )
* Si 4 * X < 6 , Si
0
f(X)s
X»
<
<
2
X
2 ~
X
< 3
X2 - 4 x
3 ■*
X
< 4
2X2— 4 X
4 4
X
< 6
60
X «
[fl=1
6
X
I¿ l= j
^ V - x C < 0, 6 3 es lo unión ée !
X*(1 ) - 4 X ( Ó )
X*( 3 I - 4 X { 2 )
H | =2
6
Rong ( f ) = y 6 [ - 3 , o ] u [ 4 ,6 [ u [ i $, 4| . [ ü { $ oJ ^
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Moisés Lázaro C.
PROBLEMA 10
Dodo o)
fa función
f{X)=-
|2X- l|-f z| X+!| - 7
‘ ,-2 < x < f
Hallar el rango de f .
fe) G r a f i c a r . SOLUCION 1. Poro hollar el rango y poro gr&fkar f , debo definir el máximo antera
J
£- p -2 < x
y los valores absolutos | 2 x - t | ,lx > ’l[ restringido al dominio <1/2
•
Veamos !
tt) donde
si x - -
<
2K # - X C
k+i 2{ K-M )
=>
k »-2 :2< x £ 4 => £ --f - 1 = ~2
-2CX4f ) < X ^ - 2 K => [ - - § - ] - K ^ K ^ - i : 0 < X S 2 = ) | - - | - | = - l = 0
K « O :-2< X ¿ 0 = )
iti)
En los volores absolutos , necesitamos^los puntos críticos x = t/2 , %
x ®- 1
que dividen a la recto reo! en tres
intervalos.
A h o ra o o e íe m o s en cada» in te rs e c c ió n ou e e x iste é n tre lo s in te rv a los d e f in id o s en tt * y ios intervalos d e fin id o s por ios puntos críticos cié los v a lo r e s a b s o lu t o s :
1*+11 x-x-i |ax~ij=-2x+i
2. Existen 3 intersecciones y en codo intersección definimos lo función ■+ 3 X +> 2
f(X) = -
| 2X - 1 1 2 | X +1 | - 7
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N O TA | Uno f o rm a m u y s e n c i f l o d e d e f in ir el M a y o r e n t e r o a - :p m f t i r d e l in t e r v a lo - 2 < x < e s com o sigue :
Por - 1 AP*toar | |
1
1
H aciendo un d ia g ra m a en la recta re a l M isu a ltza re m os y d e du cire m os la. ima gen del m ayor e n t e r o y su re s p e c t iv o DOIVMNJO .
& ) Rang ( f ) = y i ] - r/e , i / 4 [
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~ j
2cg
Moisés Lázaro C.
PROBLEMA k
t al es
II
2 f ( X - 2)== x 2+ 2 ,
si
gue el r a n g o de g(X) sea
la s v a l o r e s
hallar
<- 2, 2> , donde
9(X) =
r e a l e s de
*— -2 •~ ~
f <3X
-2 ) + x
Solucio'n■ 1.
• 2 Oe 2 f i x - 2 ) = x + 2
2.
Hacer
x-2« y
X2 f(x-2)=-— + 1 2 2 £ *443^ V x = y> 2 , luego f (y) = -----— - 4r 1
obtenemos
=*>
* fv - . 3. Oonde .
* % f(3X-a) 2
( ( 3X —2 ) +■2 )* , V --------- ; *f 1
2
_ ex2 v . 2
+ )-KX g (X ) - - V - ---------- - 2 * i-2 * * ± L »X + , + x 9*-»+?x+2 2
5. Como el rango de 9 ( X) es <— 2 , 2 > , en ronces : - 2 < g
<»>.-*< —— IX
/como el denominador es positivo t -x 6 IR ,
se puede m u l t i p l i c a r
entonces ex2 + n
<2
+IX4 2
42
s
por
-2
9 ^ x 2 + -|- x + ••••
y
por 2 ;
pues
- 4- 2
x2 9 f( * ‘ + ± -= x -x + - iL- )J
V
■m 9
et / + í -
e
2 I X 4- -¿~ )
4- 1 1
^
es
P O * it w o
** x e íR
(**+)■ < a > - t e x 2~ 4 X - 4 -.iex <»>
2
2 - 4X—
4
O < 27 X2+
*>
( 4 - 2K ) 2 -
<
< 9X « 2 K X + 2
4(27) (£ ) <
< 0 , * x €JR
- 9^2* < 2 - K *
I S X ^
4X+4
9 X - 2K X + 2
A
O< 9 X ? + ( 4 + 2 K ) X + 2
A
( 4 + 2 X )2 -
4 (9)(2)
A ( 4 + 2 K )2
<
A
~ 2 ( 3) / ?
< 9 VÍ*
A
- 3V F *
< -2 + 9 V 2
A
-2-3
Sólo fines educativos - FreeLibros
<
2 I8X + 4 X 4 4
A
4 <27)(6)
< 4 - 2 K < )$ V F
2 -9 V F <
( 2
(4 -2 K )X + 6
(4 - 2X ) 2 -
OX2- 2 X X > 2
< O ,*xe(R
4(9 )(2 )
C 4 +2 K < 2 ( 3 ) * / ? <2 + K
/F <
K
< 3 a/ ? < - 2 + 3 v/1P
Miscelánea - Problemas
- 10.7 < k < 14.7
-10.? 6.
- 4.24
-4.2
,2.2
Luego .' « I - < - 2 - 3 / P , - 2 + i t / T
< *
< 2.24
14?
}
ti PROBLEMA 12
. Dodo to función
ixi-tv^nj
f (x» a
✓* -f * i ‘
o ) HoWbr et dominio b)
Sroficor
rango de
y
f (x)
f (X)
Sofuéion
!xI
1 . En f ( X ) , tenemos tres funciones que debemos definir, que son<
iv ^r ffxl
2. El dominio de Ixl es IR. El dominio d e C v P J es x - Q , porque
El denominodor 3.
y/z-
Ex I
v/P 6 IR
x ^ O
no puede ser cero , pero s í:e -C x 2>og»>Íxixe «*> r< t
E l dominio de f f x ) es lo interseco i oh de los' dominios :
m n J® ,+eé > n
2)
>. -Hollemos .tas imágenes de fcx; ^ definiendo M* i IlVx 1 y M partir del intervalo CP,2> •*
a
PUNIO 06 B&RTIOA
r Ixlsx
06 X < 2 1 l o í Vx
■ q
i
|[^J*0-" •v • o¿vx
ffVxJsl %
'iá/suVi:
\ < [x | <2 -L
1x 1-0 t
0
O < x <1
Sólo fines educativos - FreeLibros
1 í*3 = i
r i±x<2
Moisés Lázam C.
S in t e t iz a n d o
é)
1
r r~*tt
">
0 > o
= rr
ui)
S.
> * x € O j 2> .
lx| = x
i.
,4x «
ITxlrj
í
O
,
1. »
Ahora ; operem os 'en' c a d a
0< X<1
iax<2.
in t e r s e c c ió n
0
---
que hollemos ’
lxl = x
Ixl [tfn l
CxJJ»0 5 .* Viendo, ios intersecciones, de los intervalos
en que han sido definidos
Ix l . , I v 5P j , C * l , obtenemos x ~ 0
v^rgr» f {X) ~
x- r /T rp
x Y T f (X)
I
si
X i
Co , t
>
x€ [ 1 » 2 >
, si
x e [o 11 )
sí
x-e [ i , 2 )
=r
X -r 1
6.
, si
Su gráfico .* Dom ( f ) = x € [o tS> Rang(f) = y 6 [o ,t>
Sólo fines educativos - FreeLibros
Miscelánea - Problem as
P R O B L E M A 13
Hallar el dominio , el rango y g ra fica r la función..'
[ i - x. ] -i f x - i ] : , f (X)
s gn
Solución:
O -
X
< 2
2 - )/ I X I - C x l '
Ix t —1
f - n u a .)
\ C x 1l
V
<»#x£o s e c o m p íe ix j= x .
1. El numerador se puede reducir á jo sigte. .*
1 í* - x | * i ♦ I - x | v £ x - i 1 =* £ x J - i
y [ t - x j + [ x - i j *; i + .| - x| + £x| - 1 / f o ,*¡ x 6 2
1
2
r - —
r -—
r
2 . Teniendo en cuenta lo restricción o ^ x < 2 , lo imagen í, se reduce:
o 2 -V ^ O ’ f ( X ) 55
1
[ i - X J + fx - i ] I - x| + £ x j .......... ..........— -—- 2S ....... „
2-
/ i x l - E x .1 *
2 - v / lx l - C x l ‘
-s <
-1 2 -v 'X ^ »
’ ,
0
2- / T T T 1 ? _L .2 -v T rn
Sólo fines educativos - FreeLibros
’
X = O
O < X < t
X as i .
1 < X < 2
Moisés ‘Lázaro C o -
L uego
ft (Xf
»
Ahora,
definam os
r lo p f o n t o : ¥ x ^ 2
Al d e f i n i r
I
0 < X < 1
I 1 < X <2
v ^ n -2
I
x € { 0 , 1}
/5 P -2 1
3.
,
f2(x
)=
^ ,^ L J . ^ ^ si
sgn
x
-
2
=* |xl = x .
la f u n d ó n
s i g n o , o b t e n e m o s .*
1 T
T
* * .
1
, sí x €
o
, si
<-*», o > u
x -1 0
4
#0r
4.
lo
re stricció n ,
U n ien d o
, si
> »f
solo
r x i * -
0
“ <
,
x =
o
CxH
tom am os
f, y f 2 , obtenem os
f2i x
)
-
1
f
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, x -
2
1
Miscelánea - Problemas
PROBLEMA 14
(271)
Se o I o función f ( x } = •
V i-txl*
X
C 2X-1 3 -
2X
Hollar el dominio de f ( x ). x € Dom Cf ) <=»>
*
* L * x ~ ■*!'- 2x
#o
<=r>
£x j * I
A
IR - | x 6 I R / x f a x - t J -2X=so}
<=>
X < 1+ 1
A
x ( [ex - 1 1 - 2 ) * O
<=>
X < 2
<=>
X < 2
A
Dom (f i » X 6 <-CD,0> PROBLEMA
V
X a O
V
fax - 1J »
3/2
2
2 * 2X — 1 < 3
J R - { x € IR / X » 0
I ¿WMWm/MWM h O
X as. O
V 3/2 * x < 2 }
-ó 2
U <0,3/2)
Dado las .funciones
15
f (X) = |x+3| - | x +1 ]• x 2 sgn f x r Q( X) = { / s - x .* I Ix + i l - 5 I i ) Hallar
H ( X)
i i ) G ra ficé r
H
=
(X)
f
(x j -+•g
,x 6
[ - 1 , 1]
,x 6
<1,3]
,x e < 3 , r ]
(x )
y hallar su rango .
Solución t . Definir los valores absolutos en f ( xi , teniendo en cuento los puntos crítico s | * ~
j3
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Moisés Lázaro C.
2.
Teniendo
en cuento los i ntersecciones de l os ínter votos , obtenemos f (X) —
| x + 3 1‘ — I ‘ - X - 3 - ( - X - I J . , SI
r
f (X) «
X 4 3 - (-X -1 )
, SÍ
- 3a
x + 3 - ( x + 1j
,
si
xe
-
,
X < - 3
2X44
,
-3 *
3. Afloro, definamos, fa función
X
M
-
2
X < -1
1
'
•
W
f (X » =*
X < -
g (x )
Tenemos * o)
g -U) -
x r tgn ( x )
, x € [ - 1,1 ]
sn%cx| x
Luego ,
I)
(x ) «
(-ij . ti
- 1 4 x <0
x2 toi
, si x » o
,2, X (1í
, Si
-X
X* , 0 < X s< 1
7 X€
<3 , 7 ]
) A v e r i g u a r d q u e signo tiene (x-4 1 1,-V-x 6 <3,5 T se
o , x **o
=>• g t ( X ) •**
OXKÍrl
I 3 (X|S? | IX+11 - 5 |
, -1 |X
tiene .* I x + 1 1 =* x + l - X 4*4 ,
ix + t|r
l— -
-1
3
3
Luego ! g (X.) = I x + f - 5 l = l x - 4 I = X - 4 , 4 * X * 7'
tfr^fs-Wf«-4|aX-4 *m M **W M P
s
4. Por tanto.*
4
'-x 2 v 0 x2 , g
X ~ 4 ,
- I * X < 0 Xa 0 0
3
r -X £
. . ,r 1<: * éo
X2
J O < x < 1
4 *cx>s-, v C 7 .j 1 < x 6 3 -X +
< X < 4
4 e x
a
7
Sólo fines educativos - FreeLibros
*
4
,
3
< XC4
.
2- X
, - 1 S< X v< O » o < x ¿1
Ht X) *
2 + y/z - X '
,
1< X £ 3
- x -h e
,
3< X < 4
X— 2
.
4¿X
7
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C.
PR OQ L E M A 16
G ro fica r
f ( X ) = x 2sg n ( x 2- i )
§ Ix-flsgn ( x + 'i ) ,
X 6 [ * 3 , 3 >'• Sol uc i ón
f.
Codo uno de los funciones#: sgn ( x 2- i ) , de-finiéndo d e n t r o
, 1 x —11 y sgnt x + i) sevan
d e la. re s tric c ió n
- 3< x<3
.y
se representan en lineas rectas , para poder observar las intersecciones de los intervalos y a s í o o d e r hallar fcx) . V e a m o s .*
1 1 1>
|| J v
j i-
1 t 1 j> : - K1<> X<3 2. Observando las intersecciones , obtenemos
f (X)
x 2 sgn C X * . l | - [ ^ L | | x - . - f . | -
sgnC x +1)
X2 ( t )
- ■ < - * ) . { - X + 1 ) ¡ M ) , si
-3 * X <- 1
x 2 co )
- ( - t ) C - X -M) CO)
, Si
x 2>t )
- C- f t C - X - M ) ( 1 )
, si
- 1 < X < 1
x2
- CO) C x - U
M )
tm
X*1
- C O ) íX —I ) c 1-0
, si
1< X < *
coj
x2 c 1 )
X2 + 2 X — 2
,
0
so
f cxn
X -4- 1
- X2 o X
,
2
-
3 * X*
a*
X — 1
,
-V < X
,
X * 1
, 1
< x
X » - i
< 1
< 3
Sólo fines educativos - FreeLibros
< -1
NOTA : D educción
d e Jas i m á g e n e s d e
o
kPUNTO DEL RüüRTlDA.
partir del intervalo E3/3>
~
■y*— ---------- ——"
- 3< x < 3 - 4 ^ x -i < 2
-2 < *£Í < 1 -2 i
-2
^ [¥ 1 -2
|^r J
-2
V¥l*0:
S 5 = -i $ *
-2 í -^ < í - 4 < *-t <-2
-3 < X4-1
- 3 < x < -1
XC1 ■ A.......--.9 It 1=i “1O ■,* - 1<1
-t< ^ « ->2.á x-l<0
O í: X - 1 ¿ 2
- 1 < X<1
1 < X<3
l - X + f x J - | l - x l , si P R O B L E M A 17
i)
Dodo lo función f ( X) =
SfflíX*-.#).,!! K X í 4 | 1X- 4| ♦ x j - X , Si 4 < X < 9/2
6/ofícar f (X)
ti ) Hallar el rango de f. Solución 1 Simplificar ft (X) = 1 - x + - £ x j - | i - x J , si .
=
o í x í i
1- x ♦ f x l -
(
1
o * x * i
+f-x j )
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C.
( 0 )-
'PARTIDA, 0£Xé1 Jl 1 f,(XJ =
=
f -X - X
a p u c a r |[ B
t l x|- i - t - * J
+ [ x ] - [ [ - x j , 8i0<*x*t
-1^£-x1<0
^ :... -4 -------- O 4 .....- <4-— o
o
S'h... ~2
t x io
- X 4- O - ■ •{ - i í , Si 0 < X <1
3 4 -X * 0 - (0)
"0 £ -X £ -1
oíW
, si X-
t il,,
W 5*’ M»o
t
t
0£X
X “ 1
* ... * -tZ O
1 >X>0
XsO
k-X +• 1 - (-1 ) # si x* ' -X +f í*X)a< 0 f 1
Cxb4 ° . 0- xu •11, *=■>
, 0 < X <í 1 X« 0 , X» 1
ü-xl=.
■t ¿0
!*|aO flxj o4— 11*1 ^ceQpX]jr O
2. Simplificor f? ( * >= (-jp -x - 2 j sgn ( x^4)
Í-X l= -1
, Si 1 < X — 4
(-t) ,si 1
-I , X -4<044-2
< U , Si 2< X *4
1
0
-1
= ic -2
3. Simplificar f j ( X ) * £ i x - 4 l + x j - x , si 4 < x •1) Paro
:
4 t x
< |
o < x -4 < £
=sá>
t i ) Lutgo :
lX-41. = X-4
f$í#J » f x - 4 *+► x | -*x ss-4
4 [l X j-X
,
4 < X < 9/2
Sólo fines educativos - FreeLibros
x<-1
Miscelánea - Problemas
Definamos I 2X1 a partir del intervalo 4 < x < y f3 (X ) = - 4 + 8 -
X ,
4 < X < 9/2
' Por2 :
f
( X ) 2= ; - X + 4 ,SÍ
4 < X < 9/2
y
.
8 <2X4 9
aplicar O *
$
12x1 = 8
f l ^x31 J
v x € <- i , t >
f ( X ) ,=* <
| lx -3 i j + X , X€ [ i ,4 > 1x^ 4! X +2
, X 6 <-2,1 >
Q(X) -
Hollar .* 2 f - 3 g.
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro C
í
D cíin if
a)
y
s í m p h f i c a r
* f w
/)
,
X 6 C -,J> o
-1
=f x | x í |
o-
-o e -
-o
txh?-x f-X ^j
^ ' - 1 < X <-0
flt*> = X3 1
Punto crítico d « jxi=ro # xso
fxi=-x
exonde t) S i
I
1
*
-1 < x < o
0 ¿ X c1
1 > - x > o
1> x2 >o
=$
=* .- 1 * -1 < x
í|W =
^
O 6 X <1 ít) S t
06x<1
O i X2 < 1
=4
=*
b)
- x z < 0
l-x23 --i
=0
£x2j
, x€ C1,4 >
f*«<) = | | x - 3 | j t x
3
£-x+3l+ X
, 1Sx<3
i* ~ n +x
9
3 4 x <4
I ~x| + 3 + x
7
1Sx<3
‘
■ 3 < x <4*
Ixj- n x ' -1 +3 +1 -
- 3 + 3 +x
, ,
rexé? 2< x < 3
w 3 - 3 +X
,
3< x < 4
x+f x
l *
y
x =i
y y >
1.< x < 2 2 < x< 3 3 < x <4
f 3 fz w =
}
> x+1
3
u
?
Luego
-1
X rl 1 <•x < 2 "2 < x ¿ 4 ,
0
f ( x) r t
l* -3 | = -X + 3
Dond e : i)
Sí
~
~3 < flrXjH-1 -3 r - :—
-2 —
l - x ] j = -2
t - 3 <- x<-2
- 2 £ x <-1
3
\
X = 1
■'
1< x ! 2
X
?
2
t 2 >, x > 1
3 > x >2
U)
-I -O#
—
frXl=:-3
5i
- 1
x+j
lx -3 j -y -3
1£ x < 3 = » - 1 > . - X > - 3
X rl
< -2 +3 + x
’ 3
-o * -
_y
< X<4
Sólo fines educativos - FreeLibros
-1
Xsl
-2 - 3
Z <
3 < X <4 1*1 = 3
1
Sr*]M -1r-X 1=X
_ 2*
_
_______
Miscelánea - Problemas
D e ítn i’r y
s im p lif ic a r
|xV4|
a)
g .w )
x e < - 2,1 >
X+2 |x- 2l|X+2l
S
X+2
iX -2 l = - x + ?
IX -2 l — - X + 2
|x -2 fs X -2
U + 2 |= '- x - 2
|- X + 2 |s X + 2
iX+21 r X+2
(* X + 2 ) ( X+ 2 ) X+2 - X+ 2
b)
> X € <-2, 1>
2X -1
§2'«> = [ | i
xe[i,io>
*X+5 x x-1
= íil
h
■oiov.
Donde:
t) s i ü )
Si
14X 00
lx| rX
1^ X < i o
=* t e x - 1 1 r 2 X-7
- [ S I
13x+51 = Bx+5
X= 1
«1^3-
I < x < 10
L ü o g o : . [ % C X )
- <
- x
+
2
- 2
<
X
< 1
5
1 > > 1
K = 1 I
< x
< 1 0
°
O ciu ccicyi d e lós m a y o re s e n te ro s P AR T I DA
de § 2
a p a r t i r d e l intérvc^o D ,» 0 > .
"
*
1 < X < 10
— li
tIO t;
—
p©i 3:
l i'. 4X - > 10 —
+s :
<— X \í 1
invertir •
isrlít
4r >, 3X+S r-f r» > *s fc 35 :!l
- - f V
3
I
3* 3X< 30 . 8 < ÍX+5 < 35
J3 24
1 . -13/3
13 2 .
3 |* ~ 3X+5
3 35
< 2.4. -J& ? < X
_13_
' . 3
30*)
o <
3x+5.
M-
3
< * -3*> t' 1¿-
l u í =o
10 > X> 1
2X-1 3x +5
r e s t a r
ib-i-bu
X- }
Sólo fines educativos - FreeLibros
] = 0 , X€[l,10>
Moisés Lázaro C
— ^280^ 3. HóH'emos 2 f - 3 §
'
2C-1) - 3 < - x + 2 )
-1 < X < . 0
2 ( €>) •- 3 ( - X + 2 )
CK< X < 1
2 í3 ) — 3 (! )
X* 1
2 (X+.1)
1< X * 2
2 f - 3 g »
- 3(0)
2< X <4
2 ( X ) - 3 (0 )
, -1 < x
3X- % 3X - €»
¿
o ^ x < 1
6
,
X=1
H CXI-í
ax-i-z
, 1
2X
, 2
Ix P R O B L E M A 19
O&éo
, X 6 <-3 , 2 3
f (x ) =
x [ l x -2 IJ - 2 s
n
g
<2, 4>
Groficer f(X). f . Antes de grafrco r 7definamos : i x I , £ I x-e 0}
En ftcx) = x2- f x f
y sng
(-X ) , - 3
X* -
(X )
,
IX í=~
En
ft ( X )
a
x* + x
, - 3 < x
x2 - x
, - o *
x | lx - 2 11 - 2
- í
sng
^
—il
vi 0
»
X .4 2
*j5f )
2 (1 ) , X 6
*■ X | x - 2 j -
Ixf* X
0 4 X 4 2 n n t w m t* i
b)
^ x€< 2 ;4 >
x 6 <- 3, 2 3
X2 -
sr <
ij
<2, 4 >
X ( O) - 2
/ 2
X (1 i - 2
, 3 4 X <4
- 2
, 2
X~ 2
, 3 4 X <4
*
X 6 <2 , 4 > Donde :
bi) Si 3tf«rktr.z
Sólo fines educativos - FreeLibros
*2 < X < 4 o < * -2 < 2 | X -2 | =
X -2
M iscelánea - Problemas
-!
X— 2
bi)
(281)
X— 2 <0 X- 1
X-4 X -2 > 0 X-1
( t t )
1 1
f 2< X <4
m
x* 2
-OTRA FORMA. OE D6P»NJA Cx*2l t* Aplica* ^ propi-edaol |x ^2l¿I^I~E 2* Defi n ir ffxB
sng
1
( « i’
> <*, 4 > I
b3) A hora definam os él | x - 2 1
a partir dei «itervoío
Veamos:
a
p a r tir d e
< 2 ,4 >
2 < x <4 2< | x | < 4
Á CxJs62 2 < K.< 3
.
v h r iío a
— r- ?o ’4 W = 3 3^ x <4
■ turnar -2*
A p lic a r H 1 :
o * £*~2§<2
't
:-' l í o
o < *-«<1 * 2 «*^3
J4*Sl<2
2. Luego:
X > X . I -3CX<0 f(X )á
x2- x , oe x e 2 -2
, t
X - 2 , Í * X <4
Sólo fines educativos - FreeLibros
2
l 1 /3 < x <4
•Moisés Lázaro; C.
PROBLEMA 20
si f está
u
-*■ C - 2 , 2 ]
J
<3,9
definido por
J- X*+- I , X e [ - 4 , - 2 ) f(X) = 4s/x + 2 1 - f
D em o strar
X € [ -2
, *
, X e
,23
< 2 , 6
3
que f es b i y e c t i v a .
PRUEBA 1)
f a# BIYECTIVA
<-> f es inyectivo y suryectivo
2)
En este coso, fes inyectivo <=> códa
, 1 = i ,2 ,3 es inyectivo y la intersec
ción 4e tos rangos tómatelos de dos en dos ,r
e s
■ ♦
Veamos : o ) ^ 8 *ff ( X r = j X 2+ I , X e f - 4 , - 2 > Pirro
o firm o r que f, es inyectivo , debo probar
ff
ft
( x2 i
implica
x, = x 2 ,
.
que
C- 4 , - 2 >
f,(x,l = j x [ + i >■ f ( X , ) = f ( X 2)
f 2 ( x2 ) = ^ x f > i
x2+ 1 2
2
x f = X2 ^ > lxt|a|X2|
b)
seo
f2 ( X ) ss
Poro si
f 2( X l )
xi - *2
v /x + T , x
a fir m a r que
f2 ( X )
« f 2t x 2)
6 [-
2, 23
c)
seo
xt
=
x2
f (X)= 1- y X
implica
xf
,
f3 ( x f ) = .•f 3 cx2 )
4 ix¿l =-X2
xt ,X2 e C - 2 . 2 ] -2* **£2 -2 6 X2 *2 =*. Oí x24-2*4^0
,
, luego* f 2 es inyectivo , X 6 <2,6 ]
Poro ofirmor que f 3 es inyectivo , debo probar que si
t4
es inyectivo debe cumplirse :
veamos: i/x^+z ~ y / x ^ P ^
, -4 OCi <-2
- X1 r -X 2
Luego ft es inyectivo. '
implica
x1 =
x2
, -V- x, , x 2 € < 2 , p ]
Sólo fines educativos - FreeLibros
Miscelánea - Problemas
*
1 - ~ *1 = 1 - T
X2
=>
x,= Xj
2
Luego f3 es d)
inyectiva.
Para a fir m a r cumpl i r s e :
que
f , que es lo unión
de
f 1 , f2
y f 3 ¡ es i n y e c t i v a
debe
R an$(íiM R o u g e t =<£ , Rang($i) n RangC^) =0, Rcm$íf2)nttaog03M.
Veamos
.
*
/ f (~ 4 ) » j
(t6)+1
=*9
En fl ( x , - i x * + .. . x e [ - 4 , - 2 > < \ye<>.»]-r«fl(U . > f { - 2 ) * y (4)+1 = 3^
<
f 2 (-2 ) = v /- 2 + 2 = 0 \
y 6 [ o . z j -ro n g (f2)
fJ ( 2) = / ? + ? = 2 •
/
En f,
2
e) La i n1er sección délos rangos Por tanto . f es inyectiva.
f (2) = 1-4- (2)=»0 ■ \ f (6) =t - l . ( e ) = - 2 ' ^ i (
3t 9 ] n [O , 2] s 0 }
> ye[-2 ,o)=»nong{f3)
t-^o) ro,2i n tr2yo>=:^
2 ) La unión de los rangos .* ( 3 ,9 ] u [o , 2} u [ - 2 , o > = [-2 , 2] u < 3 , 9 ]
Cómala unron de los rangos coincidecon
"
elconjunto de llegada t entonces
afirmamos que f es SURYECTIVA. 3)
CONCLUSION ! Por ser f inyectiva y suryectiva/decimos que es biyectivo.
PROBLEMA
f (X) = ----------- -------- ----- . x C A ^ C - a . o l x-2 1 Hollar analíticamente f ( A ) Dado lafunción
Solución t.En lugar, determinar elentero Veamos!
quecorresponde
a
— J ^ x { - 2,o ]- A
Ahora, se reduce a determinar el entero que corresponde á Como : x 6 <-2,o ] => por - =
Por tanto
-2 < x é-0
> «
t > - 2L * o o* - « < 1 - . >[-«.].j 1
+O
= 1
, -V-x 6 < - 2 ,o ]
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y*J .*
Moisés Lázaro C.
2.
L u e g o , to f unci ón x2 f(X)
f ( X ) se ha reducido
a ’
( t 40) + 3 x —i
=*-
X- 2 X*4 3X - 1
f ( X ) -s»
3.
X -2
•
T eni endo en cuenta que x . 6 Í - 2 t o ] * Á
debemos hollar l a i m a g e n d e ) c o n
©3) . Para; «este p ro b le m a y no e s -fácil- hallar flA ) a c o t a n d o a p a rtir d e - 2cx
junto
t°)
decir h a ll a r e m o s
H a c ie n d o f ( x ) = y s e o t d ie n e Y ~
X' + 3X-1 X-2
A h o ra
}
d e s p e ja r
x ;
yx - 2 y 33 x2 4 3 x - 1 =>
0=
x* + 3 x - x y + 2 y - t
*>
0 a x* + ( 3 - y ) x + 2 y - 1
«>
x »•*
- ( 3 - f ) ± V ( J -y )* -4 ti Míy-i)
20) ty -3
s> x s
)
14 y 4 1 3
, donde I
4. como x € <-2, o3 => - 2
<
=> - 2 < « > - 4 S X - y- 1 < / y ?- 14y 4 Í 3 * 6
<
—y —I
x *
y
G Rang(f )&$ y 2- 14 y>13 ^ ó
j . ......»
« -
13
4
( y . - i 3 ;) { y - t ) i o
y G <-® r l J.-U C 13,4<30>
=> ^
o
y - 3 — V ^ 2- 1 4 y - t 13
ú0 y- 3 < -
-
/ y * - 14 y 4
13* 6
y ^ r ¿ - 1 4 y 4 13 ^
V
3 - y
V
fy2-i4YH3 >.-cy+o a i/yí#y+i3 ¿ 3 - y)
^
3 — y
- y - t < -Vy2-14y 4 13* 6 3 - y y4 1
>
V/
X€U \Z?L¡4y7r? t 3-Y
y-> V z
yctr
y r n
é
y— 3
y - 3 < Vy2-í4 y+i3 < Y + r
,4¿ y-3>o => (y-3)7£; yL»4Y4l3<(y4J)2>y€U y^ 3 ^ y-CY-t-9^yz-i4y+i3
y2-f4y+13 ¿ 4 - ¿ y f y 2} si y-wy-Nj> o a 3-y¿&
4 <: 8y
0
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y>^3
^
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1
0 [ v2,'3 CONCLUSION '
u
0
Í(A) = [V2^1]
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