Vectores en Rn Versión Agosto de 2010 Pontificia Universidad Católica de Chile
Índice 1. Conceptos básicos 1.1. Representación gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 1
2. Operaciones vectoriales 2.1. Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Ponderación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Propiedades de la suma y la ponderación . . . . 2.4. Combinaciones lineales y conjuntos generados
2 2 3 4 5
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3. Producto punto, norma y distancia en Rn 7 3.1. Producto punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.2. Norma y proyecciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.3. Distancia en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4. Rectas 4.1. Rectas en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Rectas y conjuntos generados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Ecuaciones de la recta en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13 13 15 15
5. Planos en R3 16 5.1. Planos y conjuntos generados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5.2. Hiperplanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1. Conceptos básicos Definición: Sea n ∈ N = {1, 2, 3, . . .}. Un vector en Rn es un conjunto ordenado de n elementos de R. Anotaremos los vectores de Rn con paréntesis redondos: (a1 , a2 , . . . , an ). Así, al considerar el conjunto {a1 , a2 , a3 }, donde a1 , a2 y a3 son números reales, tendremos que {a1 , a2 , a3 } = {a3 , a1 , a2 }, pues ambos conjuntos tienen exactamente los mismos elementos (lo que define la igualdad de conjuntos). Pero los vectores (a1 , a2 , a3 ) y (a3 , a1 , a2 ) no son iguales a menos que los componentes correspondientes son iguales, es decir, a1 = a3 , a2 = a1 y a3 = a2 . Luego, estos vectores serán iguales sólo si sus tres componentes son iguales (un conjunto no ordenado no tiene elementos repetidos, los vectores sí). En general, dos vectores (a1 , a2 , . . . , an ) y (b1 , b2 , . . . , bn ) de Rn son iguales si y sólo si los componentes correspondientes de ambos vectores son iguales. En fórmula: (a1 , a2 , . . . , an ) = (b1 , b2 , . . . , bn ) ⇐⇒ a1 = b1 y a2 = b2 y · · · y an = bn Notación: Según el contexto, usaremos la notación vectorial como una n-tupla ordenada (conjunto ordenado, con elementos separados por comas, escrito hacia el lado) o por columnas. Así, un vector (a1 , a2 , . . . , an ) de Rn a veces se anotará a1 a2 .. . . an
1.1. Representación gráfica En R1 , R2 y en R3 tenemos representaciones gráficas de los vectores. Considerando un enfoque algebraico, comenzamos estableciendo un sistema de coordenadas adecuado (ejes coordenados, origen y unidad de medida). Luego, en R1 , graficaremos los vectores sobre la recta real con flechas dirigidas desde el cero hasta el (único) número que compone el vector. En R2 , se grafica el vector usando también una flecha dirigida desde el origen hasta el punto del plano cuyas coordenadas coinciden con las componentes del vector. De manera análoga se procede en R3 . En R2 :
En R:
(a, b)
b
En R3 :
(a) 0
c
(a, b, c)
b a
a
1
a
De esta manera, todos los vectores algebraicos “nacen” en el origen y quedan determinados completamente por sus componentes. Los puntos 0 de R, (0, 0) de R2 , (0, 0, 0) de R3 y, en general, (0, 0, . . . , 0) de Rn serán anotamos → − como 0 (sin distinción en cuanto al número de componentes que tiene, pues esto se deduce según el contexto). El enfoque geométrico para graficar vectores permite “despegar” los vectores del origen. Consideremos la representación gráfica de los vectores geométricos (o vectores libres) en el plano (R2 ). En este caso, partimos definiendo, a través de una semirecta fija, la dirección horizontal positiva (ángulo cero) y, en la semirecta se define la unidad de medida. Luego, graficamos los vectores por flechas ubicadas en cualquier lugar del plano. Los vectores geométricos quedan completamente definidos por el largo de la flecha y el ángulo que forma → − con el eje horizontal (el vector 0 tienen longitud 0 y no forma ángulo alguno con la horizontal). De esta manera, flechas del mismo largo (largo distinto de cero) y que forman el mismo ángulo representan el mismo vector.
− → x 45◦
−z →
−z →
− → y
−z →
−z →
60◦
Entonces, un vector geométrico es la familia de todos las flechas de la misma longitud que forman el mismo ángulo con el eje horizontal. Uniendo ambos enfoques, podemos pensar que un vector algebraico es la única flecha de la familia geométrica que nace en el origen. Más adelante profundizaremos en esta relación. En el espacio tridimensional, R3 , los vectores geométricos quedarán determinados por la longitud de la flecha y por los tres ángulos (conocidos como ángulos directores) que el vector forma con tres direcciones fijas perpendiculares a pares (una réplica de los ejes coordenados X , Y y Z). Pero en R3 (y en general, en todo Rn con n ≥ 3) privilegiaremos el enfoque algebraico por su poder descriptivo.
2. Operaciones vectoriales 2.1. Suma → → → → Consideremos dos vectores geométricos − x e− y en el plano. Para obtener el vector suma − x +− y , se ubica el → − → − → − → − vector y a continuación del vector x y la representación gráfica del vector x + y es la flecha que une el inicio de → − − → → x con el final de → y (‘método del triángulo’). De manera análoga puede ponerse − x a continuación de − y para obtener → → el vector − y +− x. − → y
− → x
− → x
− → → x +− y − → y
− → → y +− x − → y
− → x
Método del triángulo
Método del Paralelogramo
2
El Método del Paralelogramo consiste en trasladar ambos vectores a un origen común y copiarlos simultáneamente a continuación del otro, construyendo un paralelogramo cuya diagonal naciendo en el origen común es el vector → → → → suma. Este método nos permite comprobar la conmutatividad de la suma de vectores geométricos (− x +− y =− y +− x ). → − → − Algebraicamente, consideremos los vectores x = (x1 , x2 ) y y = (y1 , y2 ). El vector suma se obtiene sumando ‘componente a componente’: → − → x +− y = (x1 + y1 , x2 + y2 ). Notemos que el signo + que aparece en cada componente del vector suma denota la adición de números reales, mientras que el signo + que aparece en el lado izquierdo de la igualdad representa la suma de vectores. Este fenómeno es muy común en Álgebra lineal, pero aunque en un comienzo puede resultar confuso usar el mismo símbolo para distintos propósitos, esto resulta más conveniente a largo plazo que definir nuevos símbolos para cada nuevo concepto desarrollado. Comprobemos, con un gráfico simple, que la suma de vectores algebraicos coincide con la suma de vectores geométricos en el plano.
|
x2 + y2
{z
x2
}
y2 x2
−y →
−x →
x1 + y1 y1 | {z }
x1
x1
Aunque, por lo menos en R2 , las definiciones geométrica y algebraica de la suma vectorial son equivalentes, preferiremos el enfoque algebraico que volverá triviales las demostraciones de las propiedades de la suma vectorial y, además, es fácilmente generalizable a Rn . → → Así, dados dos vectores − x = (x1 , x2 , x3 , . . . , xn ) e − y = (y1 , y2 , y3 , . . . , yn ) de Rn , obtenemos el vector suma realizando la suma componente a componente: → − → x +− y = (x + y , x + y , . . . , x + y ). 1
1
2
2
n
n
2.2. Ponderación → → Dados un vector geométrico − x y c un número real constante, queremos definir el vector ponderado c− x . Para → − → − → − esto, comencemos pensando en la natural interpretación de los vectores 2 x y − x = (−1) x . → → → → El vector 2− x debe corresponder a − x +− x . Es decir, el vector 2− x debe formar el mismo ángulo con la horizontal → − → − → que x (misma dirección) y su longitud es el doble que la de x . En tanto, el vector −− x debe cumplir el papel de un inverso aditivo, es decir, se debe cumplir que → − → − → x + (−− x)= 0, → → luego el vector −− x debe tener la misma longitud que el vector − x y debe apuntar en la dirección diametralmente → → → opuesta a la de − x . Combinando ambos argumentos, el vector −2− x debe apuntar en la dirección opuesta a la de − x y → − su longitud debe ser el doble de la de x . 3
b
− → x
→ −− x
→ 2− x
→ −2− x
→ → En general, el vector c− x tiene una longitud que es |c| veces la longitud de − x (¿por qué el valor absoluto?) y → − apunta en la misma dirección o en la dirección opuesta a la de x , según sea c positivo o negativo. −x = (x , x , . . . , x ) ∈ Rn , obtenemos el vector ponderado de → − Algebraicamente, si → x por c multiplicando cada 1 2 n componente por c: → c− x = (c x1 , c x2 , . . . , c xn ).
2.3. Propiedades de la suma y la ponderación → → −z vectores de Rn y sean c y d dos costantes reales. Entonces: Sean − x,− y,→ − → → → (i) → x +− y =− y +− x. − → → → → → (ii) → x + (− y +− z ) = (− x +− y )+− z. → − − → → − (iii) → x + 0 = 0 +− x. → − − → → → (iv) → x + (−− x ) = (−− x )+− x = 0. → → → → (v) c (− x +− y ) = c− x + c− y. → → → (vi) (c + d)− x = c− x + d− x. → → (vii) c (d − x ) = (cd)− x.
Nota 1: La resta vectorial se define a través de los inversos aditivos − → → → → x −− y =− x + (−− y ). → → Consideremos una vez más el paralelogramo con lados − x e− y.
− → y
−z →
→ → El vector − x +− y está marcado en rojo como antes, pero hemos marcado → también la otra diagonal del paralelogramo, vector al que hemos llamado − z. Notemos que → − → → x +− z =− y. Por tanto,
− → x
−z = − → → → y −− x.
Así, una de las diagonales del paralelogramo es la suma de los lados y la otra es la resta de los lados.
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→ Nota 2: Al ponderar cualquier vector − x ∈ Rn por cero, se obtiene el vector cero. De hecho, → → → → 0− x = (0 + 0)− x = 0− x + 0− x, es decir,
→ → → 0− x = 0− x + 0− x
→ y restando a ambos lados de la igualdad 0− x , obtenemos → − → 0 = 0− x.
Nota 3: Podría definirse sin ningún impedimento la multiplicación de dos vectores componente a componente. ¿Por qué esto no se hace? (Para quien esté interesado, podría ser de ayuda el concepto de ‘divisores del cero’).
2.4. Combinaciones lineales y conjuntos generados Las dos operaciones definidas para los vectores son la suma y la ponderación, cualquier trabajo posterior que se realice con vectores se basará en estas dos operaciones y sus propiedades. El concepto de combinación lineal unifica ambas operaciones y es central en la generación de nuevos vectores a partir de vectores conocidos. → → → − Definición: Sean − x 1, − x 2, . . . , − x r , r vectores de Rn . Un vector → x ∈ Rn es una combinación lineal (c.l) de → − → − → − { x 1 , x 2 , . . . , x r } si existen constantes reales c1 , c2 , . . . , cr tales que → → → → − x . x + ··· + c − x +c − x =c − 1
1
2
2
r
r
Los números c1 , c2 , . . . , cr se conocen como los coeficientes de la c.l. Ejemplo: → → Si − v = (3, −1) y − w = (7, 8), entonces: → − 2− v −→ w = 2(3, −1) − (7, 8)
→ → − 1− 2 w −3 v
= (6, −2) − (7, 8) = (−1, −10)
− → w
y 1 1− → − (7, 8) − 3(3, −1) w − 3→ v = 2 2 7 = , 4 − (9, −3) 2 11 = − ,7 2
− → v
→ → 2− v −− w
Entonces, tenemos que los vectores (−1, −10) y − 11 , 7 son combinaciones lineales de los vectores 2 → − → − v y w.
→ → → → → → Definición: Sean − x 1, − x 2, . . . , − x r , r vectores de Rn y A = {− x 1, − x 2, . . . , − x r }. El conjunto generado por A se define como → → → hAi = {c − x +c − x + ···+ c − x : c , c , . . . c ∈ Rn } 1
1
2
2
r
r
1
2
r
= el conjunto de todas las c.l. de los vectores de A. 5
Ejemplo: Consideremos el conjunto A = {(−1, 3, 3), (3, −9, 6), (0, 0, 5)}. Entonces (−1, 3, 3) ∈ A y también se tiene que (−1, 3, 3) ∈ hAi, pues (−1, 3, 3) = 1 (−1, 3, 3) + 0 (3, −9, 6) + 0 (0, 0, 5). Ahora, (0, 0, 7) ∈ / A. Pero, (0, 0, 7) sí pertenece a hAi, pues (0, 0, 7) = 0 (−1, 3, 3) + 0 (3, −9, 6) +
7 (0, 0, 5). 5
Por último, (2, 0, 2) ∈ / A y (2, 0, 2) tampoco pertenece a hAi, pues si intentamos escribir (2, 0, 2) como c.l. de los vectores de A, tendremos que (2, 0, 2) = c1 (−1, 3, 3) + c2 (3, −9, 6) + c3 (0, 0, 5) = (−c1 + 3c2 , 3c1 − 9c2 , 3c1 + 6c2 + 5c3 ), y debemos encontrar los valores de c1 , c2 y c3 que deben cumplir −c1 + 3c2 = 2 3c1 − 9c2 = 0
3c1 + 6c2 + 5c3 = 2
(1) (2) (3)
De la ecuación (2), se tiene que c1 = 3c2 . Pero al reemplazar esta relación en la ecuación (1), se obtiene que 0 = 2. Lo que no es posible. Por tanto, no existen constantes c1 , c2 y c3 tales que (2, 0, 2) = c1 (−1, 3, 3) + c2 (3, −9, 6) + c3 (0, 0, 5), es decir, (2, 0, 2) ∈ / hAi.
→ − Nota: Cuando el conjunto A contiene al menos un vector distinto del vector 0 , entonces el conjunto generado por A → − → − tiene infinitos elementos. Pero si A = { 0 }, entonces hAi = { 0 } nuevamente.
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3. Producto punto, norma y distancia en Rn Como ya vimos, no suele definirse una multiplicación de vectores componente a componente, pues esta operación no tiene propiedades fundamentales para el trabajo con vectores. Por ejemplo, al definir la multiplicación componente a componente, muchos vectores no tendrán inversos multiplicativos y, por tanto, la solución de ecuaciones vectoriales que incluyan multiplicaciones será incierta y, a veces, imposible. Aún así, ciertos tipos de multiplicación de vectores (producto punto y producto cruz) son definidos y juegan un importante papel en la descripción geométrica de Rn .
3.1. Producto punto → → → Definición: Sean − x = (x1 , x2 , . . . , xn ) e − y = (y1 , y2 , . . . , yn ) vectores de Rn . Se define el producto punto de − x y de → − y por → − → x ·− y = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn . Nota: El producto punto también recibe el nombre de producto escalar debido a que al realizar esta operación entre dos vectores se obtiene como resultado un número real o escalar.
Ejemplos: 1. Geométricamente, el producto punto entre dos vectores se relaciona directamente con el ángulo que forman los → → vectores. Por ejemplo, los vectores − u = (4, 2) y − v = ◦ (−1, 2) son perpendiculares (ángulo de 90 ) y esto se traduce en que el producto punto es cero
− → v
− → → u ·− v = 4 · (−1) + 2 · 2 = 0. → → Los vectores − u = (4, 2) y − w = (−3, −3) no son per→ → pendiculares. Su producto punto es − u ·− w = −18. Más → → adelante veremos cuál es el ángulo que forman − u y− w ◦ (que no es 90 ). 2. Una interpretación física del producto punto. Pongamos un peso de 4 en el punto x = −1 y un peso de 2 en el → → punto x = 2. Entonces los vectores − u y− v resumen la información de los pesos y sus ubicaciones respectivamente. Y si el eje X es un balancín, éste se equilibra poniendo el pivote en x = 0, pues al calcular el momento del sistema (fuerza por brazo) con respecto al origen, tenemos que es
− → u
− → w
4 b
−1
2 b
2
M = 4 · (−1) + 2 · 2 = 0 y ‘momento = 0’ indica ‘equilibrio’. → → 3. Si el vector − p = (p1 , p2 , p3 , p4 ) almacena los precios de 4 productos y el vector − c = (c1 , c2 , c3 , c4 ) almacena el número de unidades de cada producto que se venden o compran, según ci sea positivo o negativo, entonces → → el producto − p ·− c entrega el ingreso total; un producto punto igual a cero significa ‘libro balanceado’.
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Propiedades del producto punto → → → Sean − x,− y y− z vectores de Rn y sea c una constante real. Entonces: − → → → (i) → x ·− y =− y ·− x.
− → → → → → → (ii) → x · (− y +− z )=− x ·− y +− x ·− z.
→ → → → → → (iii) c(− x ·− y ) = (c− x )·− y =− x · (c− y ). → → − (iv) 0 · − x = 0. − → (v) → x ·− x ≥ 0.
→ − − → → (vi) → x ·− x = 0 ⇐⇒ − x = 0. Estas propiedades son claras cuando describimos los vectores por coordenadas. Producto punto y combinaciones lineales Consideremos la siguiente combinación lineal (para hacer más evidente la relación que queremos establecer, escribimos los vectores como columnas): 41 9 1 −1 −10 −1 0 2 1 = 4 3 + 2 −1 − 3 3 4 −22 5 3 Ahora, notemos que 41 = 4 · 9 + 2 · 1 − 3 · (−1) , es decir, 41 = (4, 2, −3) · (9, 1, −1). Y también tenemos que −10, 1, −22 son productos punto. De esta manera, al hacer una c.l. de vectores de R4 , se realizan 4 productos punto, uno por cada componente del resultado. En general, en una c.l. de vectores de Rn se hacen n productos punto.
8
3.2. Norma y proyecciones ortogonales → − → Definición: La norma (o longitud) de un vector − x ∈ Rn es la raíz cuadrada del producto → x ·− x: √ → → x ·− x. kxk = − Esta definición es clara en R2 y en R3 , donde podemos realizar esquemas gráficos para comprobar que geométricamente, la norma de un vector coincide con la longitud de la flecha que lo representa. (0, b)
En R2 , tenemos que la flecha que representa al vector (a, b) es la hipotenusa del triángulo rectángulo de lado a y b. Luego, usando el Teorema de Pitágoras, la longitud de la flecha es √ a2 + b2 . Pero p p a2 + b2 = (a, b) · (a, b)
(a, b)
= k(a, b)k.
(a, 0)
(0, 0, c) (a, b, c)
(0, b, 0)
(a, 0, 0)
(a, b, 0)
Ahora, en R3 , usaremos dos veces el Teorema de Pitágoras para calcular la longitud de la flecha que representa el vector (a, b, c). Primero, considerando el triángulo rectángulo de lados a y b en la base del paralelepípedo, tenemos que√la longitud de la flecha que representa al vector (a, b, 0) es a2 + b2 . Consideramos, ahora, el triángulo con √ vértices (0, 0, 0), (a, b, 0) y (a, b, c), cuyos catetos miden a2 + b2 y c. Entonces la longitud de la flecha del vector (a, b, c) es p p a2 + b2 + c2 = (a, b, c) · (a, b, c) = k(a, b, c)k
− En general, tenemos que la norma del vector → x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn es q → k− x k = x21 + x22 + · · · + x2n . Propiedades de la norma → → Las propiedades de la norma se heredan de las del producto punto, debido a la definición. Si − x e− y son vectores n de R y si c es una constante real, entonces: −x k2 = − → → 1. k→ x ·− x ≥0
→ − −x k = 0 si y sólo si − → 2. k→ x = 0
→ → → 3. kc − x k = |c| k− x k, pues kc− xk=
q q √ q → → → → − → → (c− x ) · (c− x ) = c2 (− x ·− x ) = c2 (→ x ·− x ) = |c| k− xk
−x + − → → → → → 4. k→ y k2 = k− x k2 + k− y k2 + 2 − x ·− y , pues → → → → → → → → → → → → k− x +− y k2 = (− x +− y ) · (− x +− y)=− x · (− x +− y )+− y · (− x +− y) − → → → → → → → = → x ·− x +− x ·− y +− y ·− x +− y ·− y → − → − → − → − 2 2 = k x k +k y k +2 x · y 9
El siguiente teorema relaciona el producto punto con la norma. → → Teorema. (Desigualdad de Cauchy–Schwarz) Sean − x e− y vectores de Rn . Entonces → → → → |− x ·− y | ≤ k− x k k− yk
→ → y la igualdad se cumple si y sólo si existe una constante real λ0 tal que − x = λ0 − y. Demostración. Sea λ un número real cualquiera. Como → → 0 ≤ k− x −λ − y k2 → → − → y k2 + 2 − x · (−λ → y) = k− x k2 + k − λ − → → → → x ·− y, y k2 − 2λ − = k− x k2 + λ 2 k−
entonces tenemos que para todo λ ∈ R la función cuadrática
→ → → → x k2 x ·− y λ + k− k− y k2 λ 2 + −2− | {z } | {z } | {z } a
b
c
es positiva o cero. Es decir, el discriminante de esta función cuadrática debe ser menor o igual a cero. Entonces 0 ≥ ∆ = b2 − 4ac → → → → ⇐⇒ 0 ≥ (−2− x ·− y )2 − 4k− y k2 k− x k2 → → → → ⇐⇒ 4k− y k2 k− x k2 ≥ 4(− x ·− y )2 → → → → ⇐⇒ k− y k2 k− x k2 ≥ (− x ·− y )2 → → → → ⇐⇒ k− y k k− x k ≥ |− x ·− y|
Por último,
→ → → → k− y k k− x k = |− x ·− y | ⇐⇒ ∆ = 0
− x − lo que significa que la función cuadrática tiene una única raíz real, llamémosla λ0 . Para ella tendremos que k→ → − → − → − 2 λ0 y k = 0, es decir, x = λ0 y . 2 Tenemos dos consecuencias directas de la desigualdad de Cauchy-Schwarz: la desigualdad triangular y la relación entre el producto punto y el ángulo entre dos vectores. → → Desigualdad triangular. Dados − x e− y en Rn , se tiene que → → → → k− x +− y k ≤ k− x k + k− y k. Pues → → → → → → k− x +− y k2 = k− x k2 + k− y k2 + 2 − x ·− y → − → − → − → 2 2 ≤ k x k + k y k + 2k x k k− yk
(por Cauchy-Schwarz)
−x k + k− → = (k→ y k)2
→ → → − Ángulos entre vectores. Sean − x e− y vectores de Rn . Como nos interesa determinar el ángulo entre − x e→ y , tiene → − → − sentido asumir que ambos son distintos del vector cero. Entonces k x k = 6 0, k y k = 6 0 y, por la Desigualdad de Cauchy-Schwarz, → → |− x ·− y| ≤ 1. → − → k x k k− yk 10
Como
→ − → x ·− y ≤ 1, −1 ≤ → − → k x k k− yk
→ → para cualquier vector − x y cualquier vector − y existe un ángulo α ∈ [0, π ] tal que → − → x ·− y . cos(α ) = → − → k x k k− yk
De esta manera, podemos hacer la siguiente definición. → → Definición: El ángulo entre los vectores − x e− y está dado por la fórmula − → → x ·− y . α = arc cos − → k→ x k k− yk → → Nota 1: Si los vectores − x e− y son paralelos, entonces el ángulo α entre ellos es 0 (0◦ ) o π (180◦ ), luego cos(α ) = 1 → → → → → → → → x ·− y = k− x k k− yk o − x ·− y = −k− x k k− y k, es decir, se alcanza la igualdad en la o cos(α ) = −1 y, por tanto, − Desigualdad de Cauchy-Schwarz. Entonces, − → − → → x e→ y son paralelos si y sólo si existe una constante real λ0 tal que − x = λ0 − y. → → Nota 2: Si los vectores − x e− y son perpendiculares, entonces el ángulo α entre ellos es − → → − x · y = 0. Entonces,
π 2
(90◦ ), luego cos(α ) = 0 y
− → → → → x e− y son perpendiculares si y sólo si − x ·− y = 0.
Con bastante frecuencia se usan los vectores con norma igual a uno para indicar una dirección particular. Para simplificar la escritura les damos un nombre especial a estos vectores. Definición: Un vector es unitario si su norma es 1. − → x → − 1 − → → → es unitario y paralelo al vector − x. x = Nota 3: Si − x 6= 0 , entonces el vector xb = − → k→ xk k− xk Concluimos esta sección estudiando las proyecciones ortogonales en Rn . → − → → Consideremos dos vectores − u y− v 6= 0 . La proyección or→ → − togonal de − u sobre − v es el vector → uv (ver Figura), que queda caracterizado por dos propiedades:
−z →
− → u − → uv
− → v
− → − → 1. → uv es paralelo a − v , luego → uv = λ − v,y −z es perpendicular a → − → → 2. → v , es decir, − z ·− v = 0.
− Para determinar el vector → uv , basta determinar la costante λ (por 1). Ahora, observando la figura, se tiene que − → → − → − uv + z = u , luego → − → → → → z =− u −− uv = − u −λ− v. Entonces, la propiedad 2 nos permite encontrar λ :
→ → → → → → → → → → → → v )·− v =− u ·− v −λ− v ·− v =− u ·− v − λ k− v k2 . 0=− z ·− v = (− u −λ− 11
→ − → u ·− v Por tanto, λ = → . − k v k2 − → Luego, la proyección ortogonal de → u sobre − v es el vector → − → u ·− v → − → −v . uv = − → k v k2 − − − v Es directo probar que si se reemplaza el vector → v por cualquier ponderado no nulo de él, digamos → w = α→ → − (α 6= 0), entonces se tendrá que − u→ w = uv (¡demuéstrelo!).
3.3. Distancia en Rn A continuación vamos a definir formalmente la distancia entre dos puntos A y B de Rn . Definición: Dado un punto P en Rn . El vector que nace en el origen y termina en el punto P se conoce como el vector −→ → de posición de P. Anotaremos este vector por OP o por − p. La distancia entre los puntos A y B corresponderá a la lon→ → gitud del vector − x . Si − a es el vector posición del punto A → − y b es el vector de posición del punto B. Entonces,
A − → x
− → a
→ − − → → a +− x = b, B
O
− → b
por lo tanto,
→ → − − → x = b −− a
y la distancia entre A y B, que anotaremos d(A, B), será → → − d(A, B) = k b − − a k.
12
4. Rectas A continuación, describiremos vectorialmente la ecuación de una recta en Rn y estudiaremos detalladamente las diversas formas de la ecuación de una recta en R3 .
4.1. Rectas en Rn
`
X b
− → d
− → x
P2 b
− → p2
P1 b
− → p1 b
0
Sea ` la recta que pasa por los puntos P1 y P2 (P1 6= P2 ). Para describir esta recta a través de una ecuación vectorial, usaremos los vectores de posición de los puntos que pertenecen a ella. → Sea X un punto cualquiera de Rn y − x su vector de posición. → Encontraremos condiciones sobre el vector − x para que el punto X pertenezca a la recta `. Si X pertenece a la recta se debe cumplir que el vector que → − → −−→ −−→ − une P1 con X , P1 X, debe ser paralelo al vector P1 P2 = d 6= 0 . Luego, → − −−→ P1 X = λ d , donde λ es una constante real. Además, se debe cumplir que −−→ → − → p1 + P1 X = − x.
Juntando ambas condiciones, se tiene que → − → − → x =− p1 + λ d , con λ ∈ R. Así, hemos determinado la ecuación vectorial de la recta `. Esta ecuación nos dice que el vector de posición de − un punto cualquiera de la recta será la suma del vector de posición de un punto conocido de la recta (→ p1 ) más un → − ponderado de un vector que está contenido en la recta ( d ). → − El punto P1 se llama punto de posición de la recta y el vector d se conoce como la dirección de la recta. Juntos, el punto de posición y la dirección, determinan de forma única la recta. Notemos que los distintos valores que asume el número real λ permite obtener los distintos puntos de la recta, λ se conoce como el parámetro de la recta. Notemos, también, que si se conocen dos puntos de la recta P1 y P2 , entonces cualquiera puede actuar como punto de posición → − −−→ y la dirección de la recta será el vector que une ambos puntos: d = P1 P2 . Ejemplo: Determinemos la ecuación de la recta en R5 que pasa por los puntos P1 (−1, 0, 1, 1, 4) y P2 (−3, 0, 4, 3, 1). Simplemente debemos indicar el punto de posición de la recta y su dirección. Tomemos como punto de posición el punto P1 y el vector de dirección será → − −−→ → → d = P1 P2 = − p2 − − p1 = (−3, 0, 4, 3, 1) − (−1, 0, 1, 1, 4) = (−2, 0, 3, 2, −3) Luego, la ecuación de la recta buscada es → − − → − x = → p1 + λ d
= (−1, 0, 1, 1, 4) + λ (−2, 0, 3, 2, −3).
13
Encontremos algunos puntos de la recta. Para esto, damos distintos valores al parámetro λ . − − λ = 0 =⇒ → x = (−1, 0, 1, 1, 4) = → p1 − → λ = 1 =⇒ → x = (−1, 0, 1, 1, 4) + (−2, 0, 3, 2, −3) = (−3, 0, 4, 3, 1) = − p2
− λ = −3 =⇒ → x = (−1, 0, 1, 1, 4) − 3(−2, 0, 3, 2, −3) = (5, 0, −8, −5, 13) 1 1 2 1 2 9 → − λ =− =⇒ x = (−1, 0, 1, 1, 4) − (−2, 0, 3, 2, −3) = − , 0, , , 6 6 3 2 3 2 De esta manera, los puntos P1 (−1, 0, 1, 1, 4), P2 (−3, 0, 4, 3, 1), P3 (5, 0, −8, −5, 13) y P4 − 32 , 0, 21 , 32 , 92 pertenecen a la recta. Aprovechemos este ejemplo para aclarar que una recta puede ser representada por distintas ecuaciones vectoriales. Si en vez de tomar P1 como punto de posición de la recta, hubiéramos tomado P2 , entonces la ecuación vectorial de la recta hubiera sido → − − → − x = → p2 + α d
= (−3, 0, 4, 3, 1) + α (−2, 0, 3, 2, −3).
Aquí hemos cambiado el nombre del parámetro por α . Es claro que por como las hemos encontrado, las ecuaciones vectoriales − → x = (−1, 0, 1, 1, 4) + λ (−2, 0, 3, 2, −3)
(1)
− → x = (−3, 0, 4, 3, 1) + α (−2, 0, 3, 2, −3)
(2)
representan la misma recta. Luego los vectores de posición de los puntos P1 , P2 , P3 y P4 deben cumplir la ecuación (2), determinemos los valores del parámetro α que le corresponde a cada punto. − → p1 = (−1, 0, 1, 1, 4) = (−3, 0, 4, 3, 1) + α (−2, 0, 3, 2, −3) =⇒ (2, 0, −3, −2, 3) − → p2 = (−3, 0, 4, 3, 1) = (−3, 0, 4, 3, 1) + α (−2, 0, 3, 2, −3) =⇒ (0, 0, 0, 0, 0)
= α (−2, 0, 3, 2, −3) =⇒ α = −1 = α (−2, 0, 3, 2, −3) =⇒ α = 0
− → p3 = (5, 0, −8, −5, 13) = (−3, 0, 4, 3, 1) + α (−2, 0, 3, 2, −3) =⇒ (8, 0, −12, −8, 12) = α (−2, 0, 3, 2, −3) =⇒ α = −4 2 1 2 9 → − = (−3, 0, 4, 3, 1) + α (−2, 0, 3, 2, −3) p4 = − , 0, , , 3 2 3 2 7 7 7 7 7 = α (−2, 0, 3, 2, −3) =⇒ α = − , 0, − , − , =⇒ 3 2 3 2 6
Nota: La dirección de una recta es decisiva al determinar su relación con otras rectas. Así, dos rectas serán paralelas si y sólo si sus vectores de dirección son paralelos y dos rectas serán perpendiculares si y sólo si su vectores de dirección son perpendiculares. ¿Cúal es el criterio que garantiza que dos ecuaciones vectoriales representen la misma recta? o, dicho de otra forma, ¿cuándo dos rectas son coincidentes? No basta sólo con que la dirección sea la “misma”.
14
4.2. Rectas y conjuntos generados → − La recta `0 pasa por el origen y tiene dirección d . Luego, → −x = λ − → d O
− → d
b
−p →
`0
es una ecuación vectorial para `0 . De esta manera, el conjunto → − generado h d i describe todos los vectores de posición de los puntos de la recta `0 . Identificaremos la recta con el conjunto generado: → − `0 = h d i. Ahora, el conjunto
b
P
→ − → −p + h− → → d i = {− p + λ d : λ ∈ R}
`
describe la recta `, que pasa por el punto P y es paralela a `0 → − (su dirección es d ). Así, toda recta se describe por el conjunto generado por su vector dirección más el vector de posición de la recta: → − → `=− p + h d i.
4.3. Ecuaciones de la recta en R3 A continuación, revisaremos todas las formas de la ecuación de una recta en R3 . Para esto, describiremos por componentes todos los vectores involucrados. → − → − → → Sea ` = − p + h d i, con − p = (p1 , p2 , p3 ) y d = (d1 , d2 , d3 ). Entonces un punto X (x, y, z) en el espacio pertenece → a la recta ` si y sólo si su vector de posición − x = (x, y, z) cumple la siguiente ecuación vectorial: → − − → → x =− p +λ d , con λ ∈ R. Por componentes, la ecuación vectorial es (x, y, z) = (p1 , p2 , p3 ) + λ (d1 , d2 , d3 ). E igualando ambos términos de la ecuación componente a componente, obtenemos las ecuaciones paramétricas de `: x = p1 + λ d1 y = p2 + λ d2 con parámetro λ ∈ R. z = p3 + λ d3 Despejando λ de todas las ecuaciones paramétricas, obtendremos las ecuaciones simétricas de la recta `. Cuando d1 6= 0, d2 6= 0 y d3 6= 0, las ecuaciones simétricas de la recta son x − p1 y − p2 z − p3 = = d1 d2 d3
15
(= λ )
Ejemplo: Determinemos las ecuaciones simétricas de la recta ` que pasa por los puntos A(−3, 5, 9) y B(1, 5, −2).
→ → − → − Usamos A como punto de posición y AB = b − − a = (1, 5, −2)−(−3, 5, 9) = (4, 0, −11) como vector de dirección de la recta. Luego, la ecuación vectorial de ` es (x, y, z) = (−3, 5, 9) + λ (4, 0, −11), luego
Despejamos λ para eliminarlo y obtenemos
x = −3 + 4λ y = 5 z = 9 − 11λ (λ =)
x+3 z−9 = 4 −11
como la segunda componente del vector dirección es cero, en la ecuación paramétrica de y no aparece λ . Aun así, dentro de las ecuaciones simétricas, debemos indicar cuál es la condición para y. Entonces, las ecuaciones simétricas de la recta ` son x+3 z−9 = , y = 5. 4 −11 (Todos los puntos de la recta tienen segunda coordenada igual a 5).
5. Planos en R3 La descripción de un plano en el espacio se realizará, al igual que en el caso de la recta, a través de una ecuación vectorial. Entonces debemos buscar una propiedad que caracterice inequívocamente todos los puntos de un plano dado. A diferencia de una recta, un plano no queda determinado por un vector dirección, pues dentro de un plano claramente hay vectores que se dirigen en infinitas direcciones distintas. Pero aun así, será una dirección la que nos permitirá describir un plano.
b
− → x
− → n
Partiremos caracterizando los planos en el espacio que pasan por el origen. Para esto, consideremos un vector fijo → − n. → Entonces todos los vectores − x de R3 que son perpendicu→ lares a − n indican la posición de los puntos que conforman
el plano Π0 por el origen. Luego, la ecuación vectorial del plano Π0 es → − → n ·− x = 0. → → Usando componentes, con − n = (a, b, c) y − x = (x, y, z),
obtenemos la ecuación cartesiana de Π0 : ax + by + cz = 0.
Π0
→ − → Claramente, el vector − x = 0 = (0, 0, 0) cumple la ecuación de Π0 y el plano pasa por el origen. → El vector − n se conoce como el vector normal del plano Π0 y sólo nos interesa su dirección, no su longitud. De hecho, → → → si − n es un vector normal de Π0 , también lo son 2− n y −− n. 16
El siguiente paso es describir los planos en general (que no pasan necesariamente por el origen). Nuevamente, la característica de todos los vectores contenidos en el plano Π es que son perpendiculares a una dirección fija, que → seguimos llamando − n (normal al plano). Consideramos un punto fijo P del plano y queremos determinar la condición (ecuación vectorial) que debe cumplir un punto X del espacio para pertenecer al plano.
X b
− → x O
− → n
− → → x −− p
−p →
b
P
Π → → El punto X pertenece al plano Π cuando el vector − x −− p está contenido completamente en el plano. Por tanto, → − este vector debe ser perpendicular al vector normal n y la ecuación vectorial del plano Π es − → → → n · (− x −− p ) = 0. → De esta manera, el plano Π queda completamente determinado por su vector normal − n y el punto de posición P. → → → Determinamos la ecuación cartesiana del plano Π, poniendo − n = (a, b, c), − p = (p1 , p2 , p3 ) y − x = (x, y, z): a(x − p1 ) + b(y − p2 ) + c(z − p3 ) = 0, o en su forma más simple: ax + by + cz = d, − → donde d = ap1 + bp2 + cp3 = → n ·− p. Nota 1: Un plano con ecuación cartesiana ax + by + cz = d pasa por el origen si y sólo si d = 0. → Nota 2: La ecuación de un plano no es única. Recordemos que si − n es un vector normal al plano, entonces todo vector → − → → − → → ponderado c n (c 6= 0) también es un vector normal al plano, luego las ecuaciones − n · (− x −→ p ) = 0 y (c− n ) · (− x − → − p ) = 0 son dos ecuaciones que representan el mismo plano. Pero, además, distintos puntos de posición generarán dos ecuaciones vectoriales distintas. ¿Cómo se puede determinar si dos ecuaciones representan el mismo plano? Nota 3: El vector normal a un plano determina su posición relativa con respecto a otros planos. Dos planos serán paralelos si y sólo si sus vectores normales son paralelos y serán perpendiculares si y sólo si sus vectores normales son perpendiculares.
17
Ejemplo: → El plano Π1 : 3x + y − 2z = 0 pasa por el origen y tiene vector normal − n = (3, 1, −2) (los coeficientes que → − acompañan a x, y y z). El vector 5 n = (15, 5, −10) también es un vector normal de Π1 , luego, la ecuación 15x + 5y − 10z = 0 describe el mismo plano. Ahora queremos determinar la ecuación cartesiana del plano Π2 que es paralelo a Π1 y que pasa por el punto (7, 3, 1). Claramente, la ecuación de Π2 será 3x+ y− 2z = d, donde la constante d se determina usando que el punto (7, 3, 1) debe satisfacer la ecuación. Entonces 3 · 7 + 3 − 2 · 1 = 22 = d. Por lo tanto, la ecuación buscada es Π2 : 3x + y − 2z = 22. Ahora, consideremos un tercer plano, también paralelo a Π1 , Π3 : 3x + y − 2z = −5. Para determinar la ecuación vectorial de Π3 debemos encontrar un punto de posición del plano. Para esto, fijamos los valores de dos de las variables y, usando la ecuación cartesiana, determinamos el valor correcto de la tercera variable. Por ejemplo: si x = 2 y z = 7, entonces y = −5 − 3x + 2z = −5 − 3 · 2 + 2 · 7 = 3 y el punto P(2, 3, 7) pertenece a Π3 y su ecuación vectorial es: (3, 1, −2) · (x, y, z) − (2, 3, 7) = 0.
5.1. Planos y conjuntos generados En el último ejemplo, manipulamos la ecuación cartesiana de un plano para determinar un punto de él. Generalizaremos este procedimiento para describir de una nueva manera los puntos de un plano. → Comencemos con un plano Π0 que pasa por el origen y tiene vector normal − n = (a, b, c). Entonces, ax + by + cz = 0 es la ecuación cartesiana del plano Π0 . Usemos esta ecuación para describir un punto cualquiera de este plano, → − → X (x, y, z), como la combinación lineal de ciertos vectores fijos. Como − n 6= 0 , al menos una de sus componentes es distinta de cero. Si suponemos que a 6= 0 (si a = 0, usamos b o c), entonces podemos despejar la variable x (o y o z) en la ecuación del plano, obteniendo: x = − ba y − ac z, luego el vector posición de X puede escribirse como → − x = (x, y, z) = − ba y − ac z , y , z = − ba y , y , 0 + − ac z , 0 , = y − ab , 1 , 0 + z − ac , 0 ,
z 1
Entonces, todos los puntos delplano Π0 tienen vectores de posición que son una combinación lineal de los vectores → − → − b c fijos v1 = − a , 1 , 0 y v2 = − a , 0 , 1 . Identificamos el plano con el conjunto generado por estos vectores y anotamos: oE Dn → → . Π0 = h{− v1 , − v2 }i = − ba , 1 , 0 , − ac , 0 , 1 18
Ejemplo: Escribamos el plano Π0 : 3x + y − 2z = 0 como un conjunto generado. Para esto, despejamos de la ecuación cartesiana del plano una de las variables. En este caso, nos conviene despejar y (para no tener que trabajar con fracciones). Entonces, como y = −3x + 2z, tenemos que un punto del plano tendrá vector de posición − → x = (x, y, z) = (x, −3x + 2z, z) = (x, −3x, 0) + (0, 2z, z) = x (1, −3, 0) + z (0, 2, 1). Luego,
D E Π0 = {(1, −3, 0) , (0, 2, 1)} .
No hay un único conjunto generado que representa este plano: si despejamos x en la ecuación cartesiana de Π0 , obtendremos otra descripción del plano. → x = (x, y, z) = − 31 y + 23 z , y , z x = − 31 y + 23 z =⇒ − = − 31 y , y , 0 + 23 z , 0 , z = y − 31 , 1 , 0 + z 32 , 0 , 1 Luego, Π0 =
D
− 13 , 1 , 0 ,
2 3
E . , 0, 1
− → v2 se conocen como vectores directores del plano Π0 y ambos están completamente contenidos Los vectores → v1 y − en el plano. Ahora, para que dos vectores cualesquiera u1 y u2 de R3 generen un plano no podrán ser paralelos, pues en caso contrario sólo generarán una recta. Ahora, el conjunto
o D E n→ − → −p + → → − → v1 + β − v2 : α , β ∈ R = −p + α → v1 , − v2 D E → → describe el plano Π que es paralelo al plano Π0 = − v1 , − v2 y que pasa por el punto P cuyo vector de posición es → − p. Nota: En el caso de un plano que no pasa por el origen, tendremos que sus vectores directores (que están completa→ → → → mente contenidos en él) son los vectores − p +− v1 y − p +− v2 (Haga un dibujo y explique este hecho). D E Ejemplo: Consideremos el plano Π0 = {(1, −3, 0) , (0, 2, 1)} de los ejemplos anteriores, cuya ecuación cartesiana es 3x + y − 2z = 0, y el plano Π3 : 3x + y − 2z = −5 que es paralelo a Π0 y que pasa por el punto P(2, 3, 7) (calculado en la sección anterior). Entonces D E Π3 = (2, 3, 7) + {(1, −3, 0) , (0, 2, 1)} Por otro lado, el plano
D E Π4 = (4, −2, −1) + {(1, −3, 0) , (0, 2, 1)}
también es paralelo a Π0 y pasa por el punto (4, −2, −1), luego, su ecuaión cartesiana es 3x + y − 2z = d, con d = 3 · 4 + (−2) − 2 · (−1) = 12, es decir, Π4 : 3x + y − 2z = 12.
19
5.2. Hiperplanos Terminaremos este capítulo mencionando lo que es la versión de los planos en Rn : los hiperplanos. El punto de vista que será rescatado para esta generalización será el vectorial. Por esto, la característica fundamental de los planos que trascenderá a más dimensiones será la de perpendicularidad a un vector fijo, que seguiremos llamando vector normal al hiperplano. → → Así, dado un vector fijo − n de Rn , definimos el hiperplano Π0 que pasa por el origen con vector normal − n por la ecuación vectorial → − → n ·− x = 0. → → En general, un hiperplano Π en Rn que pasa por el punto P (con vector de posición − p ) y tiene vector normal − n queda descrito por la ecuación
− → → → n · (− x −− p ) = 0.
La gran diferencia entre los planos y los hiperplanos es que estos últimos no pueden graficarse. Pero aún pueden hacerse cálculos de distancia a un punto, intersección con rectas u otros hiperplanos a través de operaciones vectoriales, puede determinarse la ecuación cartesiana de un hiperplano y también se tiene que los hiperplanos pueden ser expresados como conjuntos generados (por n − 1 vectores que no solo deben no ser paralelos, sino que deben cumplir que ninguno de ellos pueda ser escrito como una combinación lineal de los demás).
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MAT1203 – Á LGEBRA L INEAL G UÍA N◦ 1 – V ECTORES EN Rn
→ → → → → → → → → → → 1. Sean − u = (−1, 2, −2), − v = (4, −3, 5) y − w = (−4, −2, 0). Encuentre − u +− v −− w, − u · (− v +− w ), k− u +− w k, → − → − → − el ángulo θ entre u y v , el vector unitario en la dirección de u . → − → 2. Hallar un vector unitario paralelo a la suma de los vectores − a = (1, 2, −5), b = (2, 1, −1). −→ → − 3. Dados los vectores P = 2bi + 3 b j −b k y Q = 4bi − 3 b j + 2b k, encontrar PQ en términos de bi, b j, b k y encontrar su magnitud. (R.: 2bi − 6 b j + 3b k , 7) 4. Demuestre que en un triángulo ABC, el centro de gravedad G tiene vector de posición dado por → → − → − a + b +− c − → g = , 3 → − → → donde − a, b y− c son los vectores de posición de los vértices A, B y C. 5.
a) Se considera el 4ABC cuyos vértices A, B y C tienen los siguientes vectores de posición, respectivamente → − → − → a = (1, 1, 1), b = (1, 2, 1) y − c = (2, −1, 1). Calcule el área de dicho triángulo y determine su centro de → − gravedad g . → − → 1√ − → → 2, entonces b) Demuestre que si − a y b son vectores unitarios que cumplen − a·b = 2 √ → → − − → → k− a + b k k− a − b k = 2.
→ − → − − → → − → 6. Sean − a y b dos vectores no paralelos. Se definen los vectores → c = (m + n − 1)− a + (m + n) b y d = (m − → − → − → → n)− a + (2m − n + 1) b . Encuentre m y n tales que − c =3d. → − − → 7. Si − a, b,→ c son vectores de R3 , demuestre que → − → − → → a) k− a + b k ≤ k− ak + kbk → → − → − → → → b) k− a + b −− c k ≤ k− a k + k b k + k− ck → − → − → → c) k− a − b k ≥ k− a k−k b k → − → 8. Dados − a y b . Demuestre que
→ − → − → − → → → k− a + b k2 = k− a k2 + k b k2 ⇐⇒ − a y b son ortogonales. 9. Demuestre que → 1 → − − → → − − → → a · b = (k− a + b k2 − k− a − b k2 ). 4 a, b b), demuestre que 10. Si ab y b b son unitarios y θ = ](b
1 θ b kb a − bk = sen . 2 2 21
− → → 11. Halle m en R tal que − a = (m, −2, 1) y b = (2m, m, −4) sean ortogonales.
→ − → − → → 12. Exprese d = (2, 1, 3) como combinación lineal de − a = (1, 1, 1), b = (1, 1, −1), − c = (2, 1, 0).
→ − → 13. En Rn , dados − a y b no nulos, se definen los vectores
→ − → c =− a − − → → − a d = b − α→ → − → Calcule α en R de modo que − c y d sean ortogonales entre sí (Método de Gram - Schmidt). 14. Dado el triángulo ABC de vértices A(−1, −4), B(6, −5), C(7, 2): i) ¿ Es un triángulo isósceles? ¿ Un triángulo rectángulo? ii) Determine las coordenadas de su centro de gravedad G, su ortocentro H y su circuncentro S. iii) Calcule la longitud de su altura trazada desde B, su área y su circunradio. iv) Determine la ecuación de su transversal de gravedad y su bisectriz interior, trazadas desde B. − → 15. Dados los vectores → u = (1, −3, 2) y − v = (2, −1, 1) de R3
− → i) ¿Para qué valores de k el vector (1, k, 5) es combinación lineal de → u y− v? → − → ii) Determine una condición para que (a, b, c) sea combinación lineal de u y − v.
16. Dados
− → u = bi + bj − b k
− → v = 2bi + bj + b k
→ − a) Encuentre la proyección de − u sobre → v. → − → b) Descomponga u en una suma de vectores, uno de los sumandos paralelo a − u y el otro sumando perpen→ − dicular a v . −p + (1 − α )− → → → → q donde α es real. Encuentre el 17. Dados − p = (1, 2, −1) y − q = (2, 1, 3), se define el vector − u = α→ → − → − valor de α para que u sea ortogonal al vector v = (1, 2, −2).
− → −→ 18. Siendo A(0, 2, 4), B(3, −1, 2), C(2, 0, 1), D(4, 2, 0), determinar un vector ortogonal tanto a AB como a CD. − → −→ 19. Hallar el área del paralelógramo determinado por OA = bi − bj + 2b k y por OB = 3bi + 2b k.
20. Las ecuaciones de los lados de un triángulo son 5x − 7y + 27 = 0,
9x − 2y − 15 = 0,
4x + 5y + 11 = 0.
Encuentre los ángulos del triángulo. 21. Describa el gráfico de la ecuación x = 3 en R2 y en R3 . 22. Describa el conjunto de puntos en R3 que satisfacen las ecuaciones simultáneas x = 6; y = 3. 23. Determine el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(0, 2, 2), B(8, 8, −2) y C(9, 12, 16).
22
→ − − → − → → → − → − → → − − − 24. Demuestre que si A , B son dos vectores cualesquiera diferentes de 0 y si C = || B || A + || A || B , entonces → − → − − → C forma ángulos iguales con A y con B . 25. Determine α de modo que el vector (1, α , 2) forme un ángulo de 45◦ con el vector (−1, 1, 3). 26. Determine α de modo que el punto (α , 3) equidiste de los puntos (2, 1) y (−3, 4). 27.
→ − → → a) Determine un vector − u = (x, y, z) que sea combinación lineal de − a = (1, 1, −1) y b = (2, −1, 0) y que, → además, sea unitario y ortogonal a − c = (2, 1, 3). → − b) Si la normal a un hiperplano es n = (1, 2, −1, 1, 1) y el punto P(1, 2, −1, 1, 3) está en él, determine la
ecuación de dicho hiperplano y su distancia al origen. → − − 28. Si → a y b representan las diagonales de un paralelogramo, construya dicho paralelogramo.
29. Demostrar vectorialmente que el segmento que une los puntos medios de 2 lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y su magnitud es la mitad de éste. 30. Hallar una ecuación del plano paralelo al vector 3bi − bj + 2b k y que pasa por la recta de intersección de los planos x + y = 3 y 2y + 3z = 4. (R. 2x − 3z = 2) 31. Comprobar que los tres planos 7x + 4y + 7z + 1 = 0, 2x − y − z + 2 = 0 y x + 2y + 3z − 1 = 0 se intersectan en una recta. 32. Calcular p y q de modo que los planos 3x − y + pz = 9 y qx + 2y + z = 3 sean paralelos. 33. Hallar las ecuaciones del plano determinado por la recta (R. x − 9y − 17z + 3 = 0 )
x y+6 z+3 = = y el punto (4, −3, 2) 1 2 −1
34. Encontrar la ecuación del plano tal que: a) Pasa por (3, −2, 4) y es perpendicular a los planos 7x − 3y + z − 5 = 0 y 4x − y − z + 9 = 0 ( R. 4x + 11y + 5z − 10 = 0 )
b) Pasa por (2, 1, 1) y (3, 2, 2) y es perpendicular al plano x + 2y − 5z − 3 = 0 (R. 7x − 6y − z − 7 = 0 ) c) Pasa por (3, 4, 1), (−1, −2, 5), (1, 7, 1) (R. 3x + 2y + 6z − 23 = 0 )
d) Pasa por la ∩ de los p lanos 3x − 4y + 2z − 6 = 0, 2x + 4y − 2z + 7 = 0 y por el punto (1, 2, 3) ( R. 43x − 24y + 12z = 31 ) 35. Encontrar la ecuación del plano tal que: a) Es paralelo al plano XY y pasa por (3, −2, 4)
b) Es paralelo al eje Z y la intersección con el eje x es 2 y con el eje y es −3. c) Es perpendicular al segmento (−2, 2, −3) a (6, 4, 5) en el punto medio .
d) Pasa por el origen y es paralelo al plano 3x + 7y − 6z + 3 = 0.
e) Es paralelo al plano 3x − 6y − 2z − 4 = 0 y pasa a una distancia 3 del origen. (R. a) z + 4 = 0 b) 3x − 2y − 6 = 0 c) 4x + y + 4z − 15 = 0 d) 3x + 7y − 6z = 0 e) 3x − 6y − 2z ± 21 = 0 23
36. Determine la ecuación del plano P que pasa por el punto (3, 0, 7), que es perpendicular al plano 2x − 5y − 6z = 0 x−1 z−2 = ; y = 3. y que es paralelo a la recta −6 3
→ → 37. Dado el punto P0 (1, 1, 1) y los vectores − u = bi + bj − b ky− v = 2bi + b j +b k.
→ → u y− v. a) Encuentre la ecuación vectorial del plano π por P0 generado por los vectores − b) Determine si el punto P(1, 0, 1) está sobre el plano π . c) Encuentre la dirección normal al plano π .
38.
a) Demuestre que los puntos A(1, −1, 3), B(2, 1, 7) y C(4, 2, 6) son los vértices de un triángulo rectángulo y calcule su área. b) Encuentre la ecuación del plano que contiene los tres puntos del ejercicio anterior.
39. ¿En qué caso tres puntos distintos en R3 no definen un único plano? Encuentre tres puntos con esa característica y encuentre al menos tres planos distintos que contengan dichos puntos. 40. Encontrar el ángulo formado por las rectas l1 : x + y − 3z = 1; 2x − y − 9z = 2 l2 : 2x + y + 2z = −5; 2x − 2y − 3 = −2. 41. Comprobar que la recta
x−1 y+2 z−3 = = es paralela al plano 6x + 7y − 5z − 8 = 0. 1 2 4
42. Hallar la ecuación vectorial de la recta que contiene el punto (2, 1, −3) y es perpendicular al plano 4x − 3y + z = 5. 43. Averiguar si las rectas
x−3 y+8 z+6 = = y 3x + 5y + 7 = 0; y + 3z − 10 = 0 son paralelas. 1 −2 −11
44. Comprobar que la recta
x − 2 2y − 2 z − 5 = = yace en el plano 3x − 8y + 2z − 8 = 0. 10 11 7
45. Encontrar el punto en el cual la recta x = z + 2; y = −3z + 1 corta al plano x − 2y − z = 0. (R. (3, −2, 1)) 46. Encontrar ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto (1, 1, 3) y que es paralela a la recta 5x − 3z + 11 = 0; 5y + 2z − 11 = 0. 47. Encontrar la ecuación de la recta: a) Pasa por (1, 4, −4) y paralela a cada uno de los planos 6x + 2y + 2z + 3 = 0 y 3x − 5y − 2z − 1 = 0 (R. x−1 y−4 z+2 = = ) 1 3 −6 b) Pasa por (−2, 4, 3) y es paralela a la recta que pasa por (1, 3, 4) y (−2, 2, 3) (R. x−3y+14 = 0, y−z−1 = 0) 48. Encontrar el punto en el cual la recta x = z + 2, y = −3z + 1, corta al plano x − 2y − z = 0 (R. (3, −2, 1))
49. Encontrar la ecuación de la recta:
24
a) Pasa por (2, 1, −2) y es perpendicular al plano 3x − 5y + 2z + 4 = 0 x−2 y−1 z+2 = = ) (R. 3 −5 2 b) Pasa por (2, −1, 3) y es paralela al eje x. (R. y + 1 = 0, z − 3 = 0 ) c) Pasa por (2, −3, 4) y (5, 2, −1) x−2 y+3 z−4 (R. = = ) 3 5 −5
x = 1 + s + 2t 50. Dados los planos P1 : 2x + 3y − z + 1 = 0 y P2 : y = 1 − s + 2t , determine la ecuación de la recta paralela z = 2+s+t a la intersección de éstos y que pasa por el punto (0, 1, 2). → − → 51. Determinar la intersección de la recta que pasa por los puntos A(− a ), B( b ) con el plano que pasa por los puntos → − → − → − → → → → → C(− c ), D( d ), E(− e ), siendo − a = (1, −1, 2), b = (2, 0, 1), − c = (−1, 3, 2), d = (1, −2, 3), − e = (2, 1, 0). → − 52. Dado el punto P0 (1, 1, 1) y el vector l = bi − bj − b k.
→ − a) Encuentre la ecuación vectorial de la recta L que pasa por P0 y tiene dirección l . b) Encuentre un punto P sobre L distinto de P0 y verifique su resultado. c) Decida si el punto (1, 2, 3) pertenece a L.
d) Escribe la ecuación cartesiana de L. 53.
a) Encuentre la ecuación paramétrica de la recta que pasa por P0 (1, 2, −2) y es perpendicular al plano XY .
b) Encuentre la ecuación del plano π que pasa por el origen y que es paralelo al plano de ecuación 3x − y + 2z = 2. 54. Hallar la ecuación de la recta que se apoya en las rectas l1 , l2 y es paralela a l3 cuando l1 : x = 3z, y = z − 2; l2 : x = 6z − 1, y = −2z y l3 : x = 2z + 8, y = 5z − 3. 55. ¿Es verdad que las rectas l1 : x + 2y− z = 7, −2x + y+ z = 6; y l2 : 3x + 6y− 3z = 8, 2x − y− z = 0 son paralelas? En caso afirmativo, encontrar el plano que las contiene. 56. Calcule las coordenadas del punto de intersección de la recta 41 (x − 2) = − 21 (y + 3) = 71 (z − 1) y el plano 5x − y + 2z − 12 = 0. 57. Obtenga la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, 6, 4), que intersecta al eje Z y que es paralela al plano x − 3y + 5z − 6 = 0. 58. Encontrar la distancia del origen al plano que pasa por el punto (1, −2, 0) y que contiene la recta y + 1 3z − 6 = . 5 6 59. Determine si las rectas
x + 2y − z = 7 −2x + y + z = 6
,
son paralelas. Encontrar el plano que las contiene. 25
3x + 6y − 3z = 8 2x − y − z = 0
x−2 = 3
60. Demuestre que el conjunto → → → S⊥ = {− r = (x, y, z) ∈ R3 /− r ⊥− a
→ −r ⊥ − y → b },
→ − → con − a = (1, 2, −1) y b = (1, 0, 2), describe los puntos de una recta. Determine un punto de posición y el vector dirección de esta recta.
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