Relaciones y Funciones

3 456 a

M

78

9

0

2

1

Tutorial MT-b15

Matemática 2006

Tutorial Nivel Básico Relaciones y Funciones

Tutorial Tutorial

Relaciones y Funciones Marco teórico:

1. Producto cartesiano:

El producto cartesiano de dos conjuntos A x B se define como el conjunto de todos los pares ordenados que se pueden formar con un elemento perteneciente al conjunto un elemento del conjunto B. Los elementos de A x B son pares ordenados. Cada par que se forma con un elemento del conjunto A y uno del conjunto B, (exactamente en ese orden) recibiendo el nombre de par ordenado. Los elementos del producto cartesiano se colocan entre paréntesis, separados por una coma. Ejemplo: A = AxB

{1,2,3} posee 3 elementos

B = {x,y} posee

2 elementos

= {(1,x); (1,y); (2,x); (2,y); (3,x); (3,y)} posee 6 elementos (6 pares ordenad

2. Relación:

Se define como relación entre los conjuntos A y B a un subconjunto del producto cartesia A x B. Este producto cartesiano puede estar formado por un solo par ordenado, varios, to o ninguno de los que forman parte de A x B, por lo tanto: relación

AxB

3. Función:

Sean A y B conjuntos no vacíos, f es una función de A en B , si y sólo si f es una relació A en B de modo que a cada elemento de A le corresponde uno y sólo un elemento de B

También podríamos decir que es una relación en la cuál a cada preimagen le correspo y sólo una imagen. (Todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones)

4. Elementos de una función 4.1 Dominio: Corresponde a los elementos del conjunto de partida, a cada uno d elementos se les conoce como las preimágenes. 4.2 Codominio: Corresponde a los elementos del conjunto de llegada, a casa uno d elementos se les conoce como las imágenes.

2 2

CEPECH Edición 2006 2006 CEPECHPreuniversitario, Preuniversitario, Edición

4.3 Rango o recorrido: Corresponde al subconjunto de imágenes que poseen preimagene o sea el recorrido es un subconjunto del Codominio

Ejemplo: 1

x

2

y

3

z

Conjunto de partida Conjunto de llegada Dominio: {1,2,3} Codominio: { x , y, z} Recorrido: {x,y}

5. Clasificación de funciones: 5 .1

Función Epiyectiva (o Sobreyectiva)

Sea f una función de A en B , f es una función epiyectiva , si y sólo si cada elemento de es imagen de al menos un elemento de A. Ejemplo: A = {f,a,i,r,l} B = { 2,4,6,8} f = { ( f , 2) , ( a , 8) , ( i , 4) , ( r , 6) , ( l , 8 ) } 5 .2

Función Inyectiva

Sea f una función de A en B, f es una función inyectiva , si y sólo si cada elemento de B es imagen de a lo más un elemento de A. Ejemplo: A = { x , y, z } B = { 10 , 13 , 20 , 35 } f = { ( x , 35 ) , ( y , 10 ) , ( z , 20 ) }

3 3


Tutorial Tutorial 5.3 Función Biyectiva

Sea f una función de A en B , f es una función biyectiva, si y sólo si f es epiyectiva e in a la vez . Ejemplo: A = {v,w,x,y} B = { 1 , 2 , 3 , 4} f = { ( v , 1 ) , ( w , 2 ) , ( x , 3 ) , ( y , 4 )}

Observar que: Si f es una función biyectiva , entonces tiene función inversa f –1 ,la cual también es

6. Función inversa: Dada una función f(x), su inversa es otra función, designada por f –1(x) de forma que se si f(a) = b, entonces f -1(b) = a Para encontrar la función inversa de una función dada debemos: a) Despejar la variable independiente x. b) Intercambiar la x por la y, y la y por la x. La función así obtenida es la inversa de la función dada. Ejemplo: encontrar la función inversa de y = 7x –10 Primero, despejamos la variable independiente x de donde resulta x = y= Segundo, intercambiamos ambas variables, de donde resulta Luego, la función inversa de y = 7 x –10 es y =

7. Valorización de funciones:

7

x+

10

7

x+

7

y+

10

10

Consiste en reemplazar la x de la función (también conocida como variable independien el valor en cuestión de la valorización. Ejemplos: Si f(x) = x – 10, entonces f(4) = 4 – 10 = – 6 f(25) = 25 – 10 = 15

4 4


f(0) = 0 – 10 = –10 f(a + 2) = a + 2 – 10 = a –

8

8. Composición de funciones: Dado una función f(x) y una función g(x) una composición de funciones se simboliza como fog(x) y consiste en valorizar la función f(x) en g(x), matemáticamente lo señalamos como: f(g(x)). Ejemplo: Si una función f(x) consiste en sumar dos a x y otra función g(x) consiste en extraer la raíz cuadrada de x, la función g[f(x)] consistirá en extraer la raíz cuadrada de x + 2. Matemáticamente, f(x) = x + g (x) =

2

√x ,entonces

gof(x)

⇒

g(f(x)) =

√(x + 2)

Ejercicios: 1. ¿Cuál(es) de la(s) siguiente(s) relación(es) es(son) funciones? I.

II.

III.

1

x

1

2

y

2

x

x 1

y

3

A) B) C) D) E)

Sólo I Sólo II Sólo III I, II, II Ninguna

5 5


Tutorial Tutorial 2. ¿Cuál(es) de la(s) siguiente(s) relación(es) es(son) funciones? A=

{1,2,3}

I. R =

B=

{5,6,7,8}

{(1,2)}; (1,5); (1,3)} II.

R=

{(1,5)}; (2,6); (3,7)}

III. R =

{(1,5)}; (2,6); (3,8)}

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III

3. ¿Cuál es el dominio y recorrido respectivamente, de la siguiente función de A A) B) C) D) E)

dominio = {1,2,3,4} recorrido = {1,2,4} dominio = {1,2,4} recorrido = {1,2,3,4} dominio = {a,b,c} recorrido = {1,2,3,4} dominio = {a,b,c} recorrido = {1,2,4} dominio = {1,2,4} recorrido = {a,b,c}

A a b c

B

1 2 3 4

4. ¿Cuál es el dominio y recorrido respectivamente, de la siguiente función de B A) dominio = {i,g,n} recorrido = {f,c} B) dominio = {f,c} recorrido = {i,g,n} C) dominio = {f,c,o} recorrido = {i,g,n} D) dominio = {i,g,n} recorrido = {f,c,o} E) La relación de B en A no es una función

A f c o

B i g n

5. ¿Cuál es el dominio y recorrido respectivamente, de la siguiente función f(x) den 1 f(x) = x– 2 A) B) C) D) E)

6 6

Dominio = Dominio = Dominio = Dominio = Dominio =

IR IR + IR – {0} IR – {2} IR – {2}

Recorrido Recorrido Recorrido Recorrido Recorrido


= IR = IR + = IR – {0} = IR – {2} = IR – {0}

6. ¿Cuál es la función inversa de f(?x) = √x 2 √ x A) f –1(x) = 2 2 B) f –1(x) = √x C) f –1(x) = 4x2 D) f –1(x) = 2x2 E) f –1(x) = ( √x )-1

7. Si f(x) =x2, entonces f(x + 2) = A) B) C) D) E)

x+2 x2 x2 + 4x + 4 x2 + 2x + 4 x2 + 2

8. Si f (x) = x + 3

∧

g(x)

= x3, entonces f (17) – g(2) =

A) –12 8 B) C) 10 D) 12 E) 20

9. ¿Cuál es la función inversa de f(x?) = 3x 2 2 A) f(x)–1 = 3x 2x B) f(x)–1 = 3 C) f(x)–1 = x D) f(x)–1 = 5x E) Esta función no posee inversa

7 7


Tutorial Tutorial 10. Si f(x) = 6x – 4, entonces f –1 (2)= 1 A) 2 B) 1 C)

8

D)

10

E)

12

11. Si f(x) = 2x – 8

∧

g(x)

= x2, entonces

∧

g(x)

= x2 + 2, entonces

fog(x) =

A) 2x - 8 B) x2 C) x2 – 8 D) 2x2 – 8 E) (2x - 8)2

12. Si f(x) = 2x + 5 A) B) C) D) E)

gof(2) =

6 9 17 81 83

13. La siguiente función de A en B es : I.

Epiyectiva

II. Inyectiva

w

III. Biyectiva

g

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II, III

8 8

A


B

11 12

14. si f(x) = 2x – 144 ¿Cuál es el dominio de f –1(x) dentrode IR? A) IR B) IN C) Z D) IR E) IR

– {0} – {72}

15. Si f(x) = 2x + 5 ; g(x) = x + 2 A) B) C) D) E)

∧

h(x) =

11, entonces ( gof )–1(h(x)) =

2 4 13 27 29

Respuestas Preg.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Alternativa

B E D A E C C D B B D E E A A

9 9


Solucionario Solucionario

Solucionario 1. Alternativa correcta letra B)

Recordando que Sean A y B conjuntos no vacíos, f es una función de A en B , si y sól si f es una relación de A en B de modo que a cada elemento de A le corresponde uno y sólo un elemento de B. En cuanto a los diagramas podemos decir que estos son funcio si:

•

existen líneas conectando todos los elementos del conjunto de partida, con los elemen del conjunto de llegada y

•

los elementos del conjunto de llegada están conectados con sólo una línea con los elemen del conjunto de llegada.

Por lo tanto, el diagrama I no es función pues el elemento “3” no esta conectado ningún elemento del conjunto de llegada. El diagrama II si es función. El diagrama III no es función pues desde el elemento del conjunto de partida salen dos líneas al conjunto de llegada.

2. Alternativa correcta letra E)

Recordando que sean A y B conjuntos no vacíos, f es una función de A en B , si y sól si f es una relación de A en B de modo que a cada elemento de A le corresponde uno y sólo un elemento de B. Entonces:

El ítem I no es una función pues al elemento ”1” del conjunto A le corresponden elementos en B. Los item II y III son funciones pues satisfacen el enunciado.

3. Alternativa correcta letra D)

Recordando que el dominio corresponde a los elementos del conjunto de partida el do corresponde a los elementos {a,b,c}.

Y dado que el recorrido son los elementos del conjunto de llegada que poseen preimá entonces el recorrido esta formado por los elementos {1,2,4}.

10 10


4. Alternativa correcta letra A) Observar que se pide realizar la función de B en A y no la función de A en B, por lo tanto el conjunto de partida es B y el conjunto de llegada es A.

Recordando que el dominio corresponde a los elementos del conjunto de partida el dominio corresponde a los elementos {i,g,n}.

Y dado que el recorrido son los elementos del conjunto de llegada que poseen preimagene entonces el recorrido esta formado por los elementos {f,c}.

5. Alternativa correcta letra E)

1

En una función expresada de la forma f(x) = x–

2

El dominio corresponde a los valores que puede tomar la variable x, recordemos además que un denominador debe ser siempre distinto de cero para que pertenezca a los reales, y dado que 2 –2 = 0, entonces el dominio corresponde a todos los reales menos el número dos.

El recorrido corresponderá a los valores que puede tomar la variable y una vez despejada variable x, luego despejando y

1 x– 2 (x – 2)y = 1

y=

xy –2y =

1

1 + 2y 1 + 2y x= xy =

(Multiplicado por (x –2) ambos lados de la ecuación) (Multiplicando el lado izquierdo de la ecuación) (Sumando 2y a ambos lados de la ecuación) (Dividiendo por x ambos lados de la ecuación)

y

Finalmente recordemos que un denominador debe ser siempre distinto de cero para qu pertenezca a los reales por lo cual “y” debe ser distinta de cero, luego el recorrido es: IR

– {0}

6. Alternativa correcta letra C) Recordemos que para encontrar la función inversa de una función dada debemos: a) Despejar la variable independiente x. b) Intercambiar la x por la y, y la y por la x.

1 11 1


Solucionario Solucionario La función así obtenida es la inversa de la función dada. Entonces para encontrar la función inversa de y =

2

√x

Primero, despejamos la variable independiente x de donde resul x

= (2y)2

x = 4 y2

(Desarrollamos la potencia) Segundo, intercambiamos ambas variables, de donde resulta:

y = 4 y2

√x Luego, la función inversa de f(x) = es f –1(x) = 4x2

2

7. Alternativa correcta letra C)

Este es un ejercicio de valorización en la función f(x) = x2 debemos reemplazar la valor pedido para la valorización (x + 2) de donde resulta: f( x

+ 2) = (x + 2)2Luego desarrollando el cuadrado de binomio, recordamos que (a + b) = a2 + 2ab + b2 de donde resulta:

f( x

+ 2) = x2 + 4x + 4

8. Alternativa correcta letra D)

Este es un ejercicio de valorización en la función f(x) = x + 3 debemos reemplazar la el valor pedido para la valorización: 17 de donde resulta: f(17)

= 17 + 3 = 20

Además en la función g(x) = x3 debemos reemplazar la x por el valor pedido pa valorización: 2 de donde resulta: g(2)

= 23 = 8

Finalmente f(17)

– g(2)= 20 – 8 = 12

9. Alternativa correcta letra B) Recordemos que para encontrar la función inversa de una función dada debemos: a) Despejar la variable independiente x. b) Intercambiar la x por la y, y la y por la x. La función así obtenida es la inversa de la función dada. 12 12


Entonces para encontrar la función inversa de y =

2

3x

Primero, despejamos la variable independiente x, de donde resulta:

2y 3 2 x y= 3 x=

Segundo, intercambiamos ambas variables, de donde resulta:

2x 3

3x Luego, la función inversa de f(x) =es f –1(x) =

2

10. Alternativa correcta letra B)

Recordemos que el paso final para encontrar la función inversa era Intercambiar la x por la y, y la y por la x. Por lo tanto cuando nos piden valorizar una función inversa basta con valorizar en y en vez de x, de donde resulta: f(2)–1

2 = 6x – 4 6 = 6x 1=x

⇒

por lo tanto si f(x) = 6x –

(Sumando 4 a ambos lados de la ecuación) (Dividiendo por 6 ambos lados de la ecuación)

4, entonces

f –1(2), resulta igual a

1

11. Alternativa correcta letra D) Recordando que la expresión fog(x) consiste en valorizar la función f(x) en g(x), lo que matemáticamente señalamos como: f(g(x)) Entonces fog(x) = f(g(x)) f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) =

2(g(x)) – 8 2(x2) – 8 2x2 – 8

De donde resulta: Y dado que g(x) = x2, entonces: Multiplicando resulta:

12. Alternativa correcta letra E) Recordando que la expresión gof(x) consiste en valorizar la función g(x) en f(x), lo que matemáticamente señalamos como: g(f(x)) Entonces gof(x) = g(f(x))

De donde resulta:

g(f(x)) = (f(x))2

Y dado que f(x) = 2x + 5, entonces:

g(f(x)) = (2x

+2

+ 5)2 + 2

Luego desarrollando el cuadrado de binomio, recordamos que (a + b) = a2 + 2ab + b2 de donde resulta:

13 13


Solucionario Solucionario g(f(x)) =

4x2 + 20x + 25 + 2

g(f(x)) =

4x2 + 20x + 27 (Finalmente para encontrar gof(2) debemos valorizar en

gof(2) =

4(2)2 + 20 · 2 +(desarrollando 27 la potencia)

gof(2) =

4 · 4 + 20 · 2 + 27

gof(2) =

16 + 40 + 27 (Finalmente sumando)

gof(2) =

83

(Sumando)

(Multiplicando)

13. Alternativa correcta letra E) Recordando que una función es Epiyectiva (o Sobreyectiva) si Sea f una función de A en B, f es una función epiyectiva, si y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A.

Podemos concluir que la función es epiyectiva pues al elemento “11” y “12” les corre un elemento del conjunto A. Recordando que una función es Inyectiva si

Sea f una función de A en B, f es una función inyectiva, si y sólo si cada element es imagen de a lo más un elemento de A. Podemos concluir que la función es epiyectiva pues al elemento sólo un elemento del conjunto A.

11” y “12” les corre

Y finalmente recordando que una función es Biyectiva cuando es epiyectiva e inyec vez , podemos concluir que la función es biyectiva también.

14. Alternativa correcta letra A) f( x) = 2 x

– 144 ¿Cuál es el dominio de f –1(x) dentro de IR

Primero calcularemos la función inversa de f(x) = 2x

– 144

Para eso recordemos que para encontrar la función inversa de una función dada de a) Despejar la variable independiente x. b) Intercambiar la x por la y, y la y por la x. La función así obtenida es la inversa de la función dada.

14 14


Entonces para encontrar la función inversa de y =2x

– 144

(Primero, despejamos la variable independiente x)

+ 144 = 2x y + 144 x= 2 x + 144 y= 2 y

(Dividiendo por 2 a ambos lados de la ecuación) (Segundo, intercambiamos ambas variables)

Luego, la función inversa de f(x)

= 2x – 144 es

f –1(x) =

2

x+

144

Luego como el dominio corresponde a los valores que puede tomar la variable x, el dominio de la función inversa corresponderá a todos los reales

15. Alternativa correcta letra A) Primero debemos encontrar gof(x) Recordando que la expresión gof(x) consiste en valorizar la función g(x) en f(x), lo que matemáticamente señalamos como: g(f(x)) Entonces gof(x) = g(f(x))

De donde resulta:

g(f(x)) = (f(x)) + 2 g(f(x)) = (2x + 5) + 2 g(f(x)) = 2x + 7

Y dado que f(x) = 2x + 5 ,entonces: (Luego, sumando)

con lo cual entonces gof(x) = 2x + 7 Ahora bien debemos calcular (gof )–1(h(x)) y dado que h(x) (gof )–1(11)

= 11, equivale a calcular

También debemos recordar que el paso final para encontrar la función inversa era Intercambia la x por la y, y la y por la x. Por lo tanto cuando nos piden valorizar una función inversa basta con valorizar en y en vez de x, de donde resulta: (gof )–1(11)

⇒

11 = 2x + 7 4 = 2x 2=x

(Restando 7 a ambos lados de la ecuación) (Finalmente, dividiendo por 2 ambos lados de la ecuación)

15 15


Relaciones y Funciones

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