Funciones en R
Prof : Mónica Soto Márquez
Función
Es una correspondencia que asigna a cada elemento del conjunto A uno y sólo un elemento del conjunto B. Notación: f : A B
x f ( x) y Donde x se denomina variable Independiente e y variable dependiente.
Evaluación de Funciones:
Dada una función f(x) = y podemos evaluar reemplazando la variable independiente Ejemplo: 1
1.- Sea f ( x) x 2
2
Obtener: 1 2
f (27) 25 5 1 2
f (5) 3 1,7... 1 2
f (1) 1
2.- sea
1 si x 1 f ( x) x 1 3 x 2 1 six 1
Obtener:
f (1) f (1) f (3)
3.- Suponga que el costo total, en dólares de fabricar q unidades de un determinado artículo esta dado por la función C (q ) q 3 30q 2 500q 200
Calcule el costo de producir 10 unidades del artículo Calcule el costo de producir la décima unidad Solución:
C (10) 10 3 30 *10 2 500 *10 200 =3200
C (10) C (9) = 201
Dominio de una función
Esta formado por el conjunto de valores de la variable independiente para el cual la función esta definida. A la hora de estudiar la expresión que representa una función tendrás que tener en cuenta tres aspectos fundamentales: 1 El radicando de una raíz de índice par debe ser positivo. 2 Si se trata de una división, el divisor debe ser distinto de cero. 3 La función logaritmo solo admite valores mayores estrictos que cero. Ejemplo: Determine el dominio de las siguientes funciones:
Recorrido o Imagen de una función
Esta formado por el conjunto de valores resultantes de evaluar el dominio en la función. Ejemplo: Determine le recorrido de las funciones dadas en el ejemplo anterior.
Composición de Funciones
Dado dos funciones f : A B y g : B C , entonces es posible obtener una nueva función gof ( x) tal que:
A B
C
x f ( x)
g ( f ( x)) Observando este esquema observamos que para que exista la función compuesta es necesario que el recorrido de la función f quede totalmente incluido en el dominio de la función g. Nota Si no se verificara esta condición podríamos construir una función compuesta realizando una restricción en los puntos donde no existen problemas. En este caso, el dominio de definición de la nueva función sería: Dom(gof)=
Ejercicios 1.- Dadas las funciones f(x)=3x-7 y g(x)=2x+k, determinar k para que gof=fog. 2.- Dadas la funciones 3.- Dada la función
, calcular si es posible la función gof. , comprobar que (fofof)(x)=x
4.- Estudia la función gof siendo f(x)=8x-3 5.- Estudiar las funciones gof y fog en el caso
Función Lineal:
Una función lineal es una función que cambia a una tasa constante con respecto a la variable independiente. Notación:
Denotamos la función lineal de las forma f(x)=ax+b; donde a, b y a 0 .
Ejemplo:
La gráfica de una función lineal es una recta, cuya ecuación esta dada por: y=mx+n. Donde m es la pendiente de la recta (indica la inclinación de la recta). Dado 2 puntos en el plano P 1 ( x1 , y1 ) P 2 ( x2 , y2 ) entonces m La ecuación de la recta dado dos puntos es:
y y1 ( x x1 ) y y1 2 x x 2 1
y 2 y1 x2 x1
Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta L1 que pasa por los puntos (4,7) y (-3,5) y la ecuación de la recta L2 que es paralela a L1 pasa por el punto (1/5,-5) Desarrollo
ec. recta de p1(4,7) y p2(-3,5) y 7 y y
57
3 4 2 7 2 7
x 4
y 5
7
y
x
8
x
41
7
entonces m
7
L1
y
2 7
2 7
y p(1/5,-5)
2 1 x 7 5
x
2 35
5
2 177 x ó. 7 35
–10x+35y+177=0 ( L2)
Guía de ecuación de la recta
1.
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (7,5) y tiene m=2
2.
Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto (-3,4) y tiene pendiente 1/5
3.
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (7,5) y (3,8)
4.
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (0,5) y (1,-3)
5.
Hallar la ecuación de la recta que pase por el punto (2,0) y es perpendicular a 2x-4y+6=0
6.
Hallar la ecuación de la recta que pase por el punto (3,8) y que es perpendicular a 6x-4y+7=0
7.
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los punto (7,4) y (-3,-5). calcular una recta paralela que pase por (6,10) y otra perpendicular que pase por el origen. grafique.
8.
Encuentre la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas l1: 3x+2y-1=0 y l2: 5x-3y-27=0 a)
es paralela a la recta 4x-2y+3=0
b)
es perpendicular a 6x+2y-83=0
9.
Determine el valor de k para que la recta 5kx-y+8=0 sea paralela a 3x+2y-1=0
10.
Determine el valor de k para que la recta 4kx+5y=1 sea perpendicular a la recta 3x-2y=-1
Respuestas
1) -2x+y+9=0 2) –x+5y-23=0 3) 3x+4y-41=0 4) 8x+y-5=0 5) 2x+y-4=0
6) 2x+3y-30=0
7) EC. Recta –9x+10y+23=0; paralela: 10y-9x-46=0; perpendicular: 10x+9y=0 8) a).-2x+y+10=0
b) –x+3y+15=0
9) k=-3/10
10) k=5/6
Función Cuadrática:
Son todas las funciones de la forma f x ax 2 bx c ; donde a, b, c y a 0 . El dominio de f x ax 2 bx c es , el recorrido será: Si a>0 Si a<0
4ac b 2 f y / y 4 a 4ac b 2 f y / y 4 a
La función cuadrática se representa gráficamente como una parábola. Los vértices de una función cuadrática esta dada por la siguiente fórmula:
b 4ac b 2 , 2 a 4 a
ó
b b , f 2 a 2 a
El eje de simetría de una función cuadrática esta dado x con el eje x hacemos f(x)=0, es decir x
b b 2 4ac 2a
b
2a
, para encontrar el corte
; para encontrar el corte con
el eje y hacemos x=0, entonces y=c Las parábolas de ecuación y = ax2 tienen por vértice el punto V(0,0). Cuanto mayor sea a (en valor absoluto), más cerrada será la parábola. Las ramas van hacia arriba si a > 0 o hacia abajo si a < 0.
Ejemplo:
Un proyectil es lanzado al aire con una velocidad inicial de 192 mts por segundo, después de t segundos su altura es la función S t 192t 16t 2 . Hallar la máxima altura que alcanzará el proyectil y cuánto tiempo le tomará caer a tierra. Desarrollo Para hallar la máxima altura utilizaremos la fórmula x
b
2a
cuyo resultado es 6, luego
este valor lo evaluamos en la función S 6 16 6 2 192 6
S 6 576 Máxima altura Para saber cuánto tiempo le tomará caer a tierra, en la función despejamos t S t 192t 16t 2
192t 16t 2 0 t 192 16t 0 t 0 192 16t 0 t=12 Respuesta:
A los 12 segundos el proyectil caerá a tierra. Graficamos S(t)
57
0
6
Dominio de la función Recorrido S t y / y 768
12
t
1.- Dibuja la gráfica de y = 4x2 + 4x + 1. Como a = 4 es positivo la parábola tiene sus ramas hacia arriba. La 1ª coordenada del vértice es p = -b/(2a) = -4/2·4 = -0'5. Y la 2ª coordenada q = 4·(-0'5) 2 + 4(-0'5) + 1 = 0. Luego el vértice es V(-0'5,0). Utilizando valores de x situados a la misma distancia de -0'5 por la izquierda y por la derecha:
Ejercicios
1.- Determine vértice, eje de simetría, cortes con los ejes de coordenadas y gráfica de las parábolas siguientes: a. y = 2x2 -14x + 24 d. y = 3(x - 2)(x + 5)
b. y = 5x2 - 10x + 5 e. y = 3(x - 2)2
c. y = 6x2 + 12 f. y = 3(x2 + 4)
Cuál de los siguientes gráficos corresponde a la función f(x) = ax2 + bx + c, con a>0, b2-4ac<0, c>0? 2.-
3.- La funcion graficada corresponde a: a) f(x) = x2 + x - 6 b) f(x) = -x2 – x + 6 c) f(x) = x2 + 5x - 6 d) f(x) = -x2 - 5x + 6 e) f(x) = -x2 + x + 6
4.- El vértice de la parábola representado por lafunción y=2x2-1 es: a) (0,0) b) (0,-1) c) (0,1) d) (0,2) e) (0,-2) 5.- Una pelota se deja caer desde el techo de un edificio, su altura (en pies) después de t segundos esta dada por la función H t 16t 2 256 . ¿A qué altura estará la pelota después de dos segundos? ¿Qué distancia recorrerá la pelota durante el tercer segundo? ¿Cuál el la altura del edificio? ¿Cuándo la pelota hará impacto con el suelo? 6.- En cierta industria el costo total de producción de q unidades durante el periodo diario de producción son C q q 2 q 900 . En un día normal de trabajo, se fabrican
qt 25t unidades durante las primeras t horas de un periodo de producción. Exprese el costo total de producción como una función de t ¿Cuánto se habrá gastado en producción al final de la tercera hora? ¿En cuánto tiempo alcanzará el costo total de producción $11.000? 7.- La gerencia de una fábrica de campanas, después de un estudio estadístico llegó a la conclusión que el costo diario de producción depende de la cantidad de campanas q de acuerdo a la función C q q 2 50q 3000 . Determine el costo y la cantidad que minimiza el costo. 8.- Se ha descubierto estadísticamente que el número de accidentes en la carretera Santiago – Valparaíso entre noviembre 1998 y marzo 1999 ha variado de acuerdo a la función y x 2 6 x , donde x representa los meses numerados a partir de noviembre de 1998. Determine el mes en que el número de accidentes fue máximo y cuántos accidentes hubo ese mes. ¿En qué mes esperaría usted, que los accidentes disminuyan a cero? 9.- Se sabe que la utilidad depende de las ventas x de cierto articulo si y x 2 199x 200
¿Cuál es la utilidad si se venden 350 artículos? ¿Cuántos artículos se deben vender para obtener 4500 pesos de utilidad? ¿A partir de qué cantidad se empiezan a obtener utilidades?
Función Racional:
Una función es racional si F x
f x
g x Además se sabe que la función racional posee asíntotas: Se dice que la recta x=a es una asíntota vertical de la gráfica y=f(x). La recta f(x)=b es una asíntota horizontal de la gráfica y=f(x) Ejemplo:
Ejemplo2:
Sea y
3 x 5 x 1
, determinar dominio, recorrido, asíntotas y corte con los ejes.
Dominio 1, asíntota vertical en x=-1 Recorrido y
3 x 5
x 1 y x 1 3x 5 xy y 3x 5
asíntota horizontal y=1 Recorrido 1
x y 3 5 y 5 y x y 3 Corte con los ejes: Si hacemos x=0, encontramos corte eje y: y 5 Si hacemos y=0, encontramos corte con el eje x: x
5 3
Ejercicios: Graficar las siguientes funciones: f ( x) g ( x)
h( x)
x 2 x 1 4 x 5 7 x 1 3 x 9 x 6
Función Exponencial:
Una función exponencial es de la forma f x a x con a 1, en donde: a=constante y x= variable independiente (exponente). Si 0 a 1 f ( x) a x es decreciente en ; si a 1 f ( x) a x es creciente en Ejemplo: Si el número de artículos fabricados por día, durante x días después del inicio de un periodo de producción esta dado por y 200 1 e 01 x . ¿Cuántos artículos son fabricados diariamente 10 días después de iniciada la producción? y 200 1 e 0110 y 200 1 e 1
y 200 1 0.37 y 200 0.63 y 126 Respuesta. Son fabricados 126 artículos aproximadamente.
Función Logarítmica
Una función logarítmica es de la forma f x log a x con a 1, en donde: a=constante (base del logaritmo). Ejemplo:
Se sabe que el número de bacterias de un cultivo crece según la fórmula t
N t N 0 10
, donde N 0 es el número de bacterias presentes al comenzar la
observación, t es el tiempo de horas transcurrido desde el comienzo de la observación N t el número de bacterias al cabo de t horas y una constante. Se observa que al cabo de 6 horas el número de bacterias ha aumentado en un 50% ¿En cuánto tiempo la colonia de bacterias doblará su número?
Desarrollo
Datos que entrega el ejercicio: t=6 N t =1,5 N 0
1,5 N 0 N 0 10(
6 )
1,5 10( 6) / log log1.5 6 log10
log 1.5
6 0.029
Para saber en cuanto tiempo la colonia de bacterias doblará su número usamos la constante encontrada
2 N 0 N 0 100.029t
2 100.029t Aplicamos log log 2 0,029t log10 log 2 t 0,029 10 t Respuesta: Después de 10 horas la cantidad de bacteria doblará su número
Guía Funciones Exponenciales y Logarítmicas
1.- Uno de los modelos de crecimiento poblacional esta dado por: M t M 0 e r t , donde: M 0 es la cantidad inicial, r la razón de crecimiento; t el tiempo y M t la cantidad después del tiempo. Usando este modelo resuelva los siguientes problemas: El fermento en un cultivo aumenta de 4 gramos a 10 gramos después de 7 horas. Hallar la razón de crecimiento. El nivel de agua en un pueblo W se esta reduciendo a razón de 1.6% al año. Si continúan las condiciones ¿cuánto quedará dentro de 20 años, si en la actualidad el nivel de agua es de W 0 ? Las moscas de árboles frutales crecen a razón de 6.2% al día ¿cuánto demorará la población para ser cuatro veces su tamaño actual?, considere M 0 como la cantidad inicial. 2.- La razón a la que decrece una sustancia radiactiva es proporcional a la concentración de la sustancia presente en el momento de medir S t S 0 e r t , donde r es la constante positiva llamada constante de decrecimiento. Si la constante de decrecimiento del Kriptón 92 es aproximadamente r=0,231 de segundo, halle la vida media del Kriptón 92, es decir el periodo requerido para que la cantidad dada de Kriptón 92 llegue a la mitad de su tamaño S 0 original. 3.- El número de artículos que un trabajador nuevo puede producir en la línea de ensamble después de t días esta dado por la curva de aprendizaje N t 40 40e 3.5t ¿Después de cuántos días estará en capacidad de hacer 30 artículos al día?. 4.- El director de personal de una industria predice que el número de empleados se 0.5t
puede describir mediante la función E t 200 0.004 , donde E es el número de empleados y t años transcurridos ¿Cuántos empleados contrató la compañía inicialmente? ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir para que la empresa posea 40 empleados? 5.- En un estudio de crecimiento poblacional en una comuna de Santiago, se tiene que la función que determina dicho crecimiento esta dada por y población transcurridos 5 años.
25000 23t 1 5 23t
. Calcule la
